Lorbite de Mars par J. Kepler. 18/01/2005Orbite de Mars2 Contexte historique Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré

L’orbite de Marspar J. Kepler

18/01/2005 Orbite de Mars 2

Contexte historique

• Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements.

• Un siècle plus tard, l’astronome allemand Jean KEPLER (1571-1630) , convaincu que la distribution, la forme et les dimensions des orbites n’étaient pas dues au hasard mais régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été le disciple. C’est ainsi qu’il établit une très belle théorie concernant l’orbite de Mars et qu’il énonça les trois lois dites lois de Kepler.

•Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre ère) a prévalu jusqu’au XVIIème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire un corps fixe.

•L’astronome polonais Nicolas COPERNIC (1473–1543) proposa une représentation héliocentrique du système solaire montrant le double mouvement des planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil, théorie condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures.


Principe de la méthode de Kepler

• Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare de l’observateur.

• Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles constituant le décor.

• Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux d'observation assez éloignés.

• Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même place dans le repère héliocentrique de Copernic.

• Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars ».


M ar s

Ter r e

Sol ei l

l m ar s

l sol ei l



Révolution sidérale et révolution synodique

La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre.

relation période synodique – période sidérale

Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre.

Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées.


Révolution sidérale et révolution synodique

La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre.

Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre.

Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées.

Pour une planète intérieure 1 1 1

T T SP T

1 1 1

T T SP T

Pour une planète extérieure


Mesure de la période synodiqueObservation des temps d’opposition

La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique.

Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes. La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des intervalles de temps entre oppositions successives.


Mesure de la période synodique

On peut utiliser l’observations des configurations Mars – Soleil soit avec :

• un calculateur d’éphémérides (ICE ou serveur de l’IMCCE) et chercher par interpolation soit

- le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales pour la conjonction- le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions.

et inversement si l’on utilise les longitudes héliocentriques.

Observation des temps d’opposition

• un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque l’on fait défiler le temps.Les temps observés peuvent être imprécis.


Sans toucher à l’heure, avancer ou reculer le temps de mois en mois d’abord, puis de jour en jour à l’approche de l’opposition jusqu’à ce que Mars soit dans le méridien.

Temps des oppositions :

Temps des oppositions avec Skyglobe

configuré à Londres,face au Sud,à minuit en hiver ou 1 heure en été.

Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de l’année rigoureusement à minuit dans le demi-méridien nord l’indication de date est légèrement approchée.

On peut l’obtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts l’instant où les ascensions droites des deux astres diffèrent exactement de 12 heures.


D:\prg_sources\astro\skyglobe\Skyglobe.exe


Temps des oppositions avec les éphémérides

On peut chercher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de Mars sont exactement opposées.Méthode fastidieuse et longue.

programme ICE ou autresou

http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php

Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE.


Il est plus facile de faire calculer aux alentours de l’opposition les longitudes de Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel d’interpolation, de trouver la date.


Heliocentric Coordinates of MARS Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 47 05 22.2 - 0 04 51.9 1.4654601 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 47 39 10.1 - 0 03 46.5 1.4666980 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 48 12 54.5 - 0 02 41.1 1.4679400 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 48 46 35.6 - 0 01 35.9 1.4691859 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 49 20 13.2 - 0 00 30.7 1.4704357 Heliocentric Coordinates of EARTH Date Time Long Lat Dist Julian Date Year Mon Da h m s ø ' " ø ' " AU 2453685.50000 2005 Nov 11 0 00 00 48 42 06.5 + 0 00 00.4 .9900451 2453686.50000 2005 Nov 12 0 00 00 49 42 26.1 + 0 00 00.3 .9898078 2453687.50000 2005 Nov 13 0 00 00 50 42 47.1 + 0 00 00.2 .9895744 2453688.50000 2005 Nov 14 0 00 00 51 43 09.6 0 00 00.0 .9893453 2453689.50000 2005 Nov 15 0 00 00 52 43 33.6 - 0 00 00.1 .9891206

Temps des oppositions avec les éphémérides

Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de l’opposition.Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques.

Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE.



Période synodique

Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement à compter les jours un à un. Le jour julien

La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalle de temps entre deux dates.

Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des mois irréguliers !

Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le dernier jour de cette année scolaire.1er septembre 2004 et 1er juillet 2005


Utilisation de ICE

Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date

• Entrer la date (F1/F1)• Donner le nom du fichier de sortie (F2)• Faire faire le calcul (F3/F3)


Utilisation de ICE


• Entrer la date (F1) avec le format exact (décimales non obligatoire)• Donner le nombre de ligne de calcul (F5)• Sortir du menu (F7)

•Entrer la date (F1) : ouverture du menu :


Utilisation de ICE


• Sortir (F10)• Récupérer le fichier de données

pour les insérer dans le fichier excel

• Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F3) / (F3) :

Mars

Terre(earth)

oppositions_mars.xls

685,17782,26


Utilisation de ICE

On obtient pour la période synodique : 782,26 jours

et la période sidérale : 685,17 jours

Valeurs officielles de l’UAI : 779,936 jours et 686,980 jours


Tracé de l’orbite de Mars

Classement par couples pour le tracé géométrique ?

DateJour julien

longitudeSoleil

longitudeMars

17/02/1585 2300017 339,38 135,20

10/03/1585 2300038 359,68 131,80

5/01/1587 2300704 295,35 182,13

26/01/1587 2300725 316,10 184,70

28/03/1587 2300786 16,83 168,20

12/02/1589 2301473 333,70 218,80

19/09/1591 2302422 185,78 284,30

6/08/1593 2303109 143,43 346,93

7/12/1593 2303232 265,88 3,07

25/10/1595 2303919 221,70 49,70

Observations de Mars utilisées par Kepler

Données dans le fichier excel : data_kepler.xls

Résultats fichier excel : data_kepler_res.xls



Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ?

Couples d’observations de Mars utilisées par Kepler

DateJour julien

Tlongitude

Soleillongitude

Mars

10/03/1585 2300038 359,68 131,80

26/01/1587 2300725 687 316,10 184,70

17/02/1585 2300017 339,38 135,20

5/01/1587 2300704 687 295,35 182,13

28/03/1587 2300786 16,83 168,20

12/02/1589 2301473 687 333,70 218,80

19/09/1591 2302422 185,78 284,30

6/08/1593 2303109 687 143,43 346,93

7/12/1593 2303232 265,88 3,07

25/10/1595 2303919 687 221,70 49,70


M ar s

Ter r e

Sol ei l

l m ar s

l sol ei l

202

180

190

200

210

230

240

250260 270 280

i r e de Lyon1999PhM

CP-Obse r va t o

014

150

160

170

013

8090100110

120

3

290

300

310

20

0

330

340350

5

1020

30

40

0

60

70

Tracé d’un couple d’observations

LTerre = lSoleil-180

lSoleil

On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions.

Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace :- le centre (O), emplacement du Soleil- la direction O, origine des directions

L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm.

O

LTerre = lSoleil +/- 180°

Terre


M ar s

Ter r e

Sol ei l

l m ar s

l sol ei l

202

180

190

200

210

230

240

250260 270 280


CP-Obse r va t o

014

150

160

170

013

8090100110

120

3

290

300

310

20

0

330

340350

5

1020

30

400

60

70

LTerre = lSoleil-180

lSoleil

Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle lMars

lMars

De même pour la deuxième observation.






Terre

Mars


202

180

190

200

210

230

240

250260 270 280


CP-Obse r va t o

014

150

160

170

013

8090100110

120

3

290

300

310

20

0

330

340350

5

1020

30

40

0

60

70

Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions.

On recommence pour les autres couples d’observations.






Terre

Mars

De même pour la deuxième observation.


A l’aide de la feuille transparente

Orbite de MarsObservations de Kepler

Observatoire de Lyon (FC) kepcercl.skd - 99/07/05

R = 90 mm

on recherche le meilleur ajustement d’un des cercles.

Noter le rayon et la position du centre.

Le rayon trouvé donne le demi grand axe a de l’orbite de Mars exprimé en rayons de l’orbite terrestre.

de c et a on en déduit l’excentricité e.

3 S

2

1

4

5

Orbite de Mars

La distance Soleil-centre du cercle donne la valeur de c de l’ellipse de l’orbite de Mars


Méthode analytique

On exprime les équations des droites Terre-Mars aux deux positions :

x R L x R L

y R L y R LT T

T T

1 1 2 2

1 1 2 2

co s( ) co s( )

sin( ) sin( )

y x x l yM M M ( ) tan( )1 1 1

x RL l L l L L

l lM TT M T M T T

M M

co s( ) tan( ) co s( ) tan( ) sin( ) sin( )

tan( ) tan( )2 2 1 1 2 1

2 1

Coordonnées des points T1 et T2 :

Intersection des deux droites :

y y

x x

y R L

x R Ll

y y

x x

y R L

x R Ll

T T

T TM

T T

T TM

1

1

1

11

2

2

2

22

sin( )

co s( )tan( )

sin( )

co s( )tan( )

Positions de Mars à partir des deux observations.


Résultats

DateJour julien

Tlongitude

Soleillongitude

Mars

10/03/1585 2300038 359,68 131,80

26/01/1587 2300725 687 316,10 184,70

17/02/1585 2300017 339,38 135,20

5/01/1587 2300704 687 295,35 182,13

28/03/1587 2300786 16,83 168,20

12/02/1589 2301473 687 333,70 218,80

19/09/1591 2302422 185,78 284,30

6/08/1593 2303109 687 143,43 346,93

7/12/1593 2303232 265,88 3,07

25/10/1595 2303919 687 221,70 49,70

Programmation dans excel : fichier kepler_calculs.xls

Rayon orbite Terre : 60 mm


Résultats

Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res.xlsRayon orbite Terre : 60 mm

PointPositions Terre Position Mars

x1 y1 X2 y2 x mars y mars r mars

1 -59,9991 0,3351 -43,2331 41,6041 -93,2231 37,4942 100,4807

2 -56,1562 21,1301 -25,6888 54,2226 -87,1775 51,9356 101,4753

3 -57,4301 -17,3720 -53,7892 26,5843 -97,9352 -8,9100 98,3397

4 59,6950 6,0425 48,1878 -35,7483 71,7411 -41,2163 82,7379

5 4,3107 59,8449 44,7983 39,9138 64,4358 63,0696 90,1652

3 S

2

1

4

5


Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité

Points reportés sur un graphique : même méthode que par rapporteur et cercles concentriques.

Construction d’une image avec les points positionnés.

Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite.jpg).

Utilisation de la fonction Photométrie d’ouverture.

Cette fonction permet d’ajuster, à la souris, un cercle de rayon donné.

On mesure pour les points de la Terre et de Mars,les rayonset les positions des centres

des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites.

(Analyse / Photométrie d’ouverture)


Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité

Traitement par IRIS d’imaorbite.jpgOn mesure pour les points de la Terre et de Mars,les rayonset les positions des centres


Mesu. 1 Mes. 2

xt

yt

rt

Echelle

xm

ym

rm

a Mars

e Mars

Résultats ->

Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris.xls

Construire les formules pour arriver aux résultats


Résultat fichier image IDL imaorbite.jpg

IRIS IRIS

xt 500 500

yt 501 501

rt 300 300

Echelle 0,2000 0,2000

xm 463 464

ym 533 530

rm 460 461

a Mars 1,5333 1,5367

e Mars 0,1063 0,1003

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité Traitement par IRIS d’imaorbite.jpg

On mesure pour les points de la Terre et de Mars,les rayonset les positions des centres


Terre

Mars



Peut-on justifier l’utilisation de cercles à la place des ellipses ?

Avec un rayon de l’orbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Marset des excentricités de 0,01671 et 0,090 de Mars Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ?

La différence correspond au tracé de l’épaisseur - d’un trait fin pour la Terre- d’un trait un peu épais pour Mars.

(a-b)0,01 mm0,40 mm

b59,99291,598

TerreMars

a6090

e0,016710,09340

Programmation dans excel : fichier kepler_iris.xls feuille 2Résultats dans le fichier kepler_iris_res.xls feuille 2


Repérage rapide des oppositions et des conjonctions

Au moyen des graphiques des positions relatives des planètes / au Soleil


Positionsdes

Planètes2004

V

U

W

0

Saturne

Mars

Jupiter

phm 26 décembre 20030

Mercure S

Vénus T

Juil.

Déc.

12hEst

15h

Sept

.No

v.O

ct.

Août

18h 21h

Fév.

Mai

Juin

Avr.

Mar

s W

V

-180

Janv

.

U

-90

Juil.

3h 6h

T

9h

Déc.

Ouest12h

Sept

.No

v.O

ct.

Août

S

90

Fév. V

Mai

Juin

Avr.

Mar

s

180

Janv

.


Configuration du 13 janvier 2004

0

012hE st

15h 18h 21h

-180

Jan

v.

-90

3h 6h 9hO uest

12h

90 180

Jan

v.

Planètes se couchant avant le Soleilet se levant avant lui

Planètes du matin

Planètes se couchant après le Soleilet se levant après lui

Planètes du soir

Planètes opposées au Soleilvisibles toute la nuit

Saturne Mars Vénus Mercure Jupiter


Positionsdes

Planètes2004

V

U

W

0

Saturne

Mars

Jupiter

phm 26 décembre 20030

Mercure S

Vénus T

Juil.

Déc.

12hEst

15h

Sept

.No

v.O

ct.

Août

18h 21h

Fév.

Mai

Juin

Avr.

Mar

s W

V

-180

Janv

.

U

-90

Juil.

3h 6h

T

9h

Déc.

Ouest12h

Sept

.No

v.O

ct.

Août

S

90

Fév. V

Mai

Juin

Avr.

Mar

s

180

Janv

.


Positionsdes

Planètes2005

V

Saturne

Mars

Jupiter

Mercure S

Vénus T

U

W

0

0

Juil.

Déc

.S

ept.

Oct

.N

ov.

Aoû

tF

év.

Mai

Juin

Mar

sA

vr.

Janv

.

12h

Est

15h

U

18h 21h

T

W

V

-180 -90

Juil.

Déc

.S

ept.

Oct

.N

ov.

Aoû

tF

év.

Mai

Juin

Mar

sA

vr.

Janv

.

3h 6h 9h

Ouest

12h

U

S

90

V

180

W

L’orbite de Marspar J. Kepler

Finde

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