ЛПЛПО

[СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ]

Ці методичні вказівки розроблені для учнів Львівського

професійного ліцею побутового обслуговування

Розроблено

Викладачем математики

Горонь Н.Й.

Степенева функція

2 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Зміст

Степінь з цілим показником ............................................................ 3

Корінь n-го степеня ........................................................................... 4

Степінь з раціональним (дробовим) показником .......................... 9

Ірраціональні рівняння ................................................................... 10

Степенева функція

3 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Степінь з цілим показником

Для початку пригадаємо, що називається степенем з числа а.

1. Степенем числа a з натуральним показником n>1 називається

добуток n-множників, кожен з яких дорівнює а.

aaaaan ......

n

Наприклад,

2. Степенем числа а з показником 1 називають число а

3. Будь-яке відмінне від нуля число в степені нуль дорівнює 1.

4. Якщо n – довільне натуральне число, а - дійсне, то

Ці означення повністю відкривають зміст степеня з цілим показником.

Наприклад,

,

Для степенів чисел справджуються такі властивості:

Властивості степенів

Степенева функція

4 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Корінь n-го степеня

Пригадаємо, що таке корінь квадратний і його арифметичне

значення. Квадратним коренем з числа а називають число, квадрат

якого дорівнює а. наприклад, з числа 100 квадратними коренями є

числа 10 та -10, бо

102=100 і (-10)

2=100 . Для будь-якого додатного числа існує два

квадратні корені (вони є протилежними числами). Квадратним коренем

з нуля є нуль.

Арифметичним квадратним коренем з числа а називають

невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а і позначають . Вираз

має зміст, якщо .

Справедливі рівності:

Властивості квадратного кореня

Вираз називають коренем n-го степеня із числа а.

Тут а – підкореневий вираз, - знак кореня, n – показник

кореня . Залежно від показників коренів (від числа n) , корені бувають

другого степеня (квадратний корінь, позначають ), третього

(кубічний корінь та вищи степенів.

Коренем n-го степеня із числа а називають число, n-й

степінь якого дорівнює а. Наприклад, корінь третього степеня з числа 8

дорівнює два, оскільки 23=8. Числа 2 та -2 є коренями четвертого

степеня з числа 16, оскільки 24=16 та (-2)

4=16.

Приклади:

Степенева функція

5 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Для додатних підкореневих виразів і довільних показників коренів

справджуються властивості, подібні до властивостей квадратних

коренів:

Властивості кореня n-го степеня

Приклад 1: Обчислити

Пояснення: Для того, щоб обчислити вираз та добути корінь

скористаємося властивістю

. Отримаємо один корінь 3-ї степені. Тоді розкладемо

12 та 18 на множники. Числа 4 та 9 розпишемо як та відповідно.

Скористаємося властивістю степеня

. Отримаємо . Відомо, що .

Отже =

Числа 12 та 18 можна розкласти і іншим способом, для

прикладу 12= 6 =3 а число

18=6 Проте, як бачите, кінцевий результат

однаковий. Числа ми повинні розкласти так, щоб було зручно

добувати корінь, тобто думати треба на крок попереду.

Приклад 2: Обчислити

Приклад 3: Обчислити

Степенева функція

6 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Приклад 4: Обчислити

Приклад 5: Обчислити

Приклад 5: Внести множник під знак кореня

Приклад 6: Внести множник під знак кореня

=

Пояснення: У цьому прикладі застосовані дві властивості степеня:

і . Ці властивості легко перевірити на

простому прикладі:

=

Приклад 7: Позбутися ірраціональності у знаменнику

Позбутися ірраціональності у знаменнику означає позбутися кореня в

знаменнику. Як цього можна досягнути, якщо корінь не добувається?

Необхідно чисельник та знаменник помножити на таке число або

вираз, щоб корінь пропав. Для даного прикладу найпростіше

помножити чисельник та знаменник , оскільки при такому

множенні у знаменнику утвориться вираз

. Отже,

Приклад 8: Позбутися ірраціональності у знаменнику

Степенева функція

7 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Помножимо чисельник та знаменник на та для знаменника

застосуємо формулу скороченого множення .

Отже,

Приклад 9: Спростити вираз

Застосуємо формулу скороченого множення

Приклад 10: Спростити вираз (

Застосуємо формулу скороченого множення

(

Приклад 11: Спростити вираз

Приклад 12: Розв’язати рівняння

Розв’язання:

підкореневий вираз кореня парної степені повинен бути більшим

рівним нулю.

Приклад 13: Що більше?

а)

б)

Розв’язання:

Степенева функція

8 Розроблено для учнів ЛПЛПО

а) Оскільки і , а 90>85. Звідси слідує, що

б) Відразу важко визначити що більше чи . Цей приклад

можна зробити двома способами:

1) Перетворимо . Порівняємо чи .

Оскільки після перетворення = , бачимо, що числа рівні.

2) Перетворимо . Використаємо властивість

. . Бачимо, що числа рівні.

Приклад 14: Винести множник за знак кореня

Самостійне опрацювання:

1. Обчислити значення виразу:

а)

б)

в)

г)

відповідь:а) , б) 31, в)9, г) 0

2. Позбутися ірраціональності у знаменнику:\

відповідь:а) , б) , в) , г) д)

3. Спростити вираз:

відповідь:а) , б) , в) ,

4. Розв’язати рівняння:

Степенева функція

9 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Степінь з раціональним (дробовим) показником

Степенем показника з додатного числа а називають корінь n-го

степеня із числа , тобто

Для степенів додатній чисел a та b з дробовими (раціональними)

показниками r та s справджуються такі властивості, як і для степенів з

цілими показниками:

Властивості степенів з дробовим показником

Приклад 1: Обчислити:

Розв’язання.

Приклад 2: Обчислити: а)

Розв’язання.

а)

б)

в)

Приклад 3: Спростити вираз:

Розв’язання.

Приклад 4: Спростити вираз:

Степенева функція

10 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Самостійне опрацювання:

1. Спростити вираз:

а) б)

відповідь:а) x; б) 4.

2. Обчислити:

відповідь:а) 2; б) 4; г)

3. Скоротіть дріб:

відповідь:а)

Ірраціональні рівняння

Ірраціональними називають рівняння, які містять змінну під

знаком кореня (радикала), або в основі степеня з раціональним

показником.

Степенева функція

11 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Наприклад,

Зазвичай при розв’язуванні ірраціональних рівнянь виконують

піднесення до степеня. Це перетворення може зумовити появу

сторонніх коренів. Тому слід обов’язково виконувати перевірку,

підставляючи отримані корені в задане рівняння, або проводити

рівносильні перетворення, враховуючи додаткові умови.

Приклад 1: Розв’язати рівняння:

а) +

Розв’язання.

Перенесемо один радикал у праву частину рівняння і піднесемо обидві

частини рівняння до квадрата: + =

Залишимо радикал в лівій частині рівняння, а всі інші доданки

перенесемо у праву і зведемо подібні:

Піднесемо ще раз обидві частини рівняння до квадрата:

Перевірка:

Відповідь:6.

б)

Розв’язання. Зробимо заміну . Тоді , і задане рівняння

матиме вигляд: 2 2

Вертаємось у заміну:

Відповідь:81.

Степенева функція

12 Розроблено для учнів ЛПЛПО

Приклад 2: Розв’язати рівняння: =

Розв’язання. Якщо , то рівняння коренів не має, бо

для всіх допустимих значень Якщо , , то

- не задовольняє умову, що ,

Відповідь:14.

Самостійне опрацювання:

1. Розв’язати рівняння:

а)

б)

в)

Відповідь: а) 5; б)1; в)3.

2. Розв’язати рівняння: . У відповіді

записати модуль різниці коренів.

Відповідь:13.