magnetostatique

MAGNÉTOSTATIQUE DU VIDE

Table des matières

1 Topologie du champ magnétostatique 3

1.1 Champ magnétostatique crée par un aimant droit : . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Champ magnétostatique crée par un fil infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Champ magnétostatique crée par une spire circulaire : . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Champ magnétostatique crée par un solénoide : . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Champ magnétique crée par un circuit filiforme :Loi de Biot et Savart 4

3 Propriétés de symétrie 5

4 APPLICATIONS : 6

4.1 Champ magnétique crée par un fil infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire : . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoide : . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Conservation du flux du champ magnétostatique : 8

6 Circulation du champ magnétostatique :Théorème d’Ampère 9

6.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.2 Théorème d’Ampère : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.3 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.3.1 Fil infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.3.2 Solénoide infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7 Relation de continuité du champ magnétique 10

7.1 La composante normale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2 La composante tangentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Le dipole magnétique 12

8.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Expression duchamp magnétostatique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.3 Lignes de champ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique : 14

8.4.1 Force de Laplace : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

TABLE DES MATIÈRES Magnétostatique-M.P.S.I

8.4.2 L’effet de champ extérieur sur le dipole circulaire : . . . . . . . . . . . . 148.4.3 L’énergie potentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.4.4 Le modèle du dipole en physique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 Comparaison des propriétés des deux champs 17

CPGE/B.Mellal Page -2/ 17- -El.Filali.Said-

Magnétostatique-M.P.S.I

MAGNÉTOSTATIQUE DU VIDE

C’est l’étude du champ magnétostatique crée par des courants continus ( ou lentement variable(A.R.Q.P))

1 Topologie du champ magnétostatique

1.1 Champ magnétostatique crée par un aimant droit :

N

S

1.2 Champ magnétostatique crée par un fil infini :

I

1.3 Champ magnétostatique crée par une spire circulaire :

I

1.4 Champ magnétostatique crée par un solénoide :

II

Quelques ordres de grandeurs du champ magnétostatique :

⋆ Un aimant courant :B ≃ 10mT



⋆ Un aimant ordinaire :B ≃ 1T⋆ Une bobine supraconductrice :B ≃ 20mT⋆ Une bobine resistive :B ≃ 30 a 1000T⋆ champ magnétostatique terrestre :⊲ La composante verticale :B⊥ ≃ 4.10−5T⊲ La composante horizontale :B// ≃ 3.10−5T .

2 Champ magnétique crée par un circuit filiforme :Loi de

Biot et Savart

Soit (C) un circuit filiforme , parcouru par un courant continu I.

I

P

M

−→u−→dℓ

C

Avec −→u =

−−→PM

PM; On admet que :

−→B (M) =

µoI

4π

∫

(C)

−→dℓ ∧ −→u

PM 2=

µoI

4π

∫

(C)

−→dℓ ∧

−−→PM

PM 3(1)

C’est la loi de Biot et Savart

⋆ Unité de B est le Tesla (T ) ou le Gauss (1T = 104G)⋆ µo perméabilité du vide :µo = 4π10−7H.m−1

Remarque 1 :1- µoεoC

2 = 1 : avec C la célérité de la lumière.2- Comme en électrostatique , le principe de superposition en magnétostatique reste valable :

−→B = Σ

−→B i

3-−→E est un vrai vecteur par contre

−→B est un pseudovecteur (ou vecteur axial) puisque il découle

d’un produit vectoriel ( change de sens)4- Pour une distribution volumique :

−→B (M) =

µoI

4π

∫∫∫

(D)

−→j ∧ −→u

PM 2dτ (2)

Avec :−→j = ρ

−→V vecteur densité de courant



3 Propriétés de symétrie

Soient −→a ,−→b deux vrais vecteurs(ou vecteurs polaires) et S un miroir plan.

On pose −→c = −→a ∧−→b

S

−→a−→a

−→b

−→b

−→c

−→c

Un pseudovecteur est transformé en l’opposé du symétrique

Si M ′ est le symétrique de M par rapport au miroir plan alors :⋆−→B ′(M ′) =

−→B (M) si

−→B⊥S

⋆−→B ′(M ′) = −

−→B (M) si

−→B//S

Conclusion :1- Si le système admet un plan de symétrie Πs alors en tout point de ce plan

−→B⊥Π.



2-Si le système admet un plan d’antisymétrie Πa alors en tout point de ce plan−→B est contenu

dans ce plan.

Remarque 2−→E et

−→B ont un comportement antagoniste.

4 APPLICATIONS :

4.1 Champ magnétique crée par un fil infini :

−→B (M) =

µoI

2πr−→eθ


4.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire : Magnétostatique-M.P.S.I

4.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire :

−→B (M) =

µoI

2Rsin3 α−→ez =

µoI

2

R2

(R2 + z2)3/2

−→ez

Remarque 3 Si la spire contient N spires collées alors :

−→B T = N

−→B =

µoNI

2Rsin3 α−→ez

4.3 Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoide :

Un solénoide est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. Onsuppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoide comme une juxta-position de spires coaxiales, avec n spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcouruepar un courant permanent I. Comme pour la spire simple vue plus haut, les propriétés de symé-trie du courant montrent que le champ magnétique du solénoide, qui est la somme vectorielledu champ créé par chaque spire, est suivant z uniquement. Autour d’un point P situé en z, surune épaisseur dOP = dz, il y a ndz spires

Avec n =N

L: nombre de spire par unité de longueur .

Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe



−→B (M) =

µonI

2[cos α1 − cos α2]

−→ez

Remarque 4 :1- M à l’intérieur ; M à gauche du solénoide .(schémas descriptives)2- Solénoide infini =⇒ α1 → 0 et α2 → π :

−→B (M) = µonI−→ez

3- Au centre : α1 = π − α2 = αc :−→B (Mc) = µonI cos αc

−→ez

5 Conservation du flux du champ magnétostatique :

Considérons une surface orienté (vers l’extérieur) s’ap-puyant sur une courbe C fermée et orienté :On admet que :

S

S 1

2

C

−→dS1

−→dS2

Φ =

∫∫

©

S

−→B .

−→dS = 0 (3)



c’est à dire que le "flux entrant"="flux sortant" : conservation du flux.

6 Circulation du champ magnétostatique :Théorème d’Am-

père

6.1 L’étude d’un exemple :

Pour un fil infini on a :−→B (M) =

µoI

2πr−→eθ ; d

−−→OM = dr−→er + rdθ−→eθ + dz−→ez .

Calculons :∮ −→

B (M).d−−→OM :

∮−→B (M).d

−−→OM =

µoI

2π

∮

dθ

• Si la courbe C n’enlace pas le fil =⇒∮

dθ = 0• Si la courbe C enlace le fil =⇒

∮dθ = 2π

• Si la courbe C enlace le fil N fois =⇒∮

dθ = 2πND’où le théorème d’Ampère :

6.2 Théorème d’Ampère :

La circulation de−→B le long d’une courbe C quelconque ,orientée et fermée (appelée contour

d’Ampère ) est égale à µo fois la somme algébrique des courants qui traversent la surfacedélimitée par C

∮−→B (M).

−→dℓ = µo

∑

Ie (4)

6.3 Applications :

6.3.1 Fil infini :

⋆ Symétrie :−→j = j(r, θ, z)−→eθ =⇒

−→B = B(r, θ, z)−→eθ .

⋆ Invariance : translation (oz)+rotation autour de Oz =⇒−→B (M) = B(r)−→eθ .

⋆ d−−→OM =

−→dℓ = dr−→er + rdθ−→eθ + dz−→ez

∮ −→B (M).d

−−→OM = µoI =⇒ B(r) =

µoI

2πr

6.3.2 Solénoide infini :

Considérons un solénoide infini, comportant N spires par unite de longueur, chacune par-courue par un courant I permanent. Étant donne la géométrie cylindrique du solénoide, on seplace en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoide. La densité de courant esttoroidale et s’écrit

−→j (z) = j(r, θ, z)−→eθ

Puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe z et translation le long de ce même axe.Donc, le champ magnétique est poloidal et s’écrit

−→B (z) = B(r, θ, z)−→eθ



On choisit trois contours d’Ampere différents (voir figure) :

7 Relation de continuité du champ magnétique

7.1 La composante normale :

Puisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe àla traversée d’une nappe de courant infinie. Comme pour le champ électrostatique, va-t-on voirune discontinuité dans le champ ?Soit une distribution surfacique de courant

−→j s séparant l’espace en deux régions 1 et 2.


7.2 La composante tangentielle : Magnétostatique-M.P.S.I

Considérons une surface fermée fictive, traversant la nappe de courant. La conservation du fluxmagnétique a travers cette surface s’écrit :

∫∫

S1

−→B .

−→dS +

∫∫

S2

−→B .

−→dS +

∫∫

SL

−→B .

−→dS = 0

Où SL est la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre cette surface vers zéro (S1 tend vers S2 ),on obtient :

∫∫

S1

−→B .

−→dS +

∫∫

S2

−→B .

−→dS = 0

∫∫

S1=S2

(−→B 2 −

−→B 1).

−→n 1→2

−→dS = 0

Puisque :−→dS1 = −

−→dS2 = dS−→n 1→2

Dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la surface S choisie, on vient donc dedémontrer que :

(−→B 2 −

−→B 1).

−→n 1→2 = 0 (5)

la composante normale du champ magnétique reste continue

7.2 La composante tangentielle :

Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampere. Considérons lecontour d’Ampere suivant :

Le théorème d’Ampere s’écrit alors :∫

AB

−→B .

−→dℓ

∫

BC

−→B .

−→dℓ +

∫

CD

−→B .

−→dℓ +

∫

DA

−→B .

−→dℓ = 0



(−→B 1 −

−→B 2) ∧

−→n 1→2 = µo

−→j s (6)

la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.

8 Le dipole magnétique

8.1 Définition :

Soit une petite spire plane traversée par un courant I .Onappelle moment magnétique de la spire la grandeur :

−→M = I

−→S = IS−→n (7) I

−→n

Avec S la surface de la spire.et ‖−→M‖ en A.M2

On s’interesse au champ magnétostatique−→B crée par cette boucle au point M tel que :

OM = r ≫ R dimension de la boucle (approximation dipolaire).

8.2 Expression duchamp magnétostatique :

On admet que :

−→B (M) =

µo

4πr3[3(

−→M.−→er )

−→er −−→M] (8)

En électrostatique , on rappelle que :

•−→E (M) =

1

4πεor3[3(

−→P .−→er )−→er −

−→P ]

• V (M) =

−→P .−→er

4πr2

•−→E = −

−−→gradV (M)


8.3 Lignes de champ : Magnétostatique-M.P.S.I

Par analogie−→B (M) dérive d’un potentiel scalaire :

Vm =µo

4π

−→M.−→er

r2+ cte (9)

et que :

−→B (M) = −

−−→gradVm(M) (10)

Donc pour retrouver les composantes du champ magnétostatique en coordonnées sphériques on

remplace−→P

ε0

par µo

−→M

Er =1

4πεo

2P cos θ

r3=⇒ Br =

µo

4π

2M cos θ

r3

Eθ =1

4πεo

P sin θ

r3=⇒ Bθ =

µo

4π

M sin θ

r3

Remarque 5

tgθ = 2tgα

B

B

B

r

z

M

α

θ

θ

8.3 Lignes de champ :

On a :−→B ∧

−→dℓ =

−→0 =⇒ r = ro sin2 θ

Question : représenter les LDC dans la zone ou l’approximation dipolaire n’est plus valable ?


8.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique :Magnétostatique-M.P.S.I

8.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un

dipole magnétique :

I

P

x

y

z

BeM

α

−→dℓ

On pose−→M = M

−→ez

8.4.1 Force de Laplace :

Considérons un circuit filiforme traversé par un courant I dans unchamp magnétostatique

−→B e extérieur .

Une portion (−→dℓ) subit une force dite force de Laplace

I

P

(C)ℓ

d−→F = dq

−→V ∧

−→B e avec dq = ρdτ

d−→F = ρ

−→V dτ ∧

−→B e =⇒ d

−→F = ρ

−→V

︸︷︷︸−→j

−→S .

−→dℓ ∧

−→B e

Comme I =−→j .

−→S alors d

−→F = I

−→dℓ ∧

−→B e

−→F =

∫

(C)

I−→dℓ ∧

−→B e (11)

Force de Laplace

8.4.2 L’effet de champ extérieur sur le dipole circulaire :

Hypothèses :⊲ spire circulaire de rayon R.⊲−→B e ∈ (yoz)

•−→F =

∮I−→dℓ ∧

−→B e = I(

∮ −→dℓ) ∧

−→B e =

−→0 : donc pas de translation.

• d−→Mo =

−→OP ∧ d

−→F =

−→OP ∧ (I

−→dℓ ∧

−→B e)

On rappelle que :−→a ∧ (−→b ∧ −→c ) =

−→b (−→a .−→c ) −−→c (−→a .

−→b )



d−→Mo = I

−→dℓ(

−→OP.

−→B e) −

−→B e (

−→OP.I

−→dℓ)

︸︷︷︸−→0

−→OP = R−→er ,

−→dℓ = Rdθ−→eθ ,

−→er

∣∣∣∣∣∣

cos θsin θ0

, −→eθ

∣∣∣∣∣∣

− sin θcos θ0

,−→B e

∣∣∣∣∣∣

0Be sin αBe cos α

=⇒ d−→Mo = IR2Be sin α[− sin2 θ−→ex +

1

2sin 2θ−→ey ]dθ

−→Mo = IR2Be sin α[−

∫2π

0

sin2 θdθ

︸︷︷︸

2π

−→ex +1

2

∫2π

0

sin 2θdθ

︸︷︷︸

0

−→ey ]

−→Mo(

−→F ) = − IπR2

︸︷︷︸

S

Be sin α−→ex = −SBe sin α−→ex

−→Mo(

−→F ) =

−→M ∧

−→B e (12)

L’action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme se réduit à un couple.(en électrosta-tique :

−→Mo =

−→P ∧

−→E e)

8.4.3 L’énergie potentielle :

Part analogie avec l’électrostatique ;

Epm = −−→M.

−→B e = −MBe cos α (13)

dEp

dα= 0 =⇒ sin α = 0 =⇒

α = 0 →d2Ep

dα2= M cos α]0 > 0

α = π →d2Ep

dα2= M cos α]π < 0

Donc :α = π est une position d’équilibre stableConclusion :

L’action d’un champ magnétostatique uniforme sur un dipole se réduit à un couple

qui tend à orienter le moment magnétique−→Mo antiparallèlement à

−→B e

8.4.4 Le modèle du dipole en physique :

Il est intéressant de remarquer que l’expression du champ magnétique crée par une spire decourant (dipole magnétique

−→M = IS−→n ) est formellement équivalente a celle du champ électro-

statique crée par un système de deux charges opposées (dipole électrique −→p = q−→d )

−→E = −

1

4πεo

−−→grad(

−→M.−→er

r2)

Cependant, pour le champ magnétique, il s’avère impossible de séparer le dipole en une chargemagnétique + et une autre − . Le dipole est la première source de champ magnétique. C’est laraison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation des effets magnétiques observesdans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique.



L’origine du champ magnétique d’un matériau quelconque (ex : aimant) doit être microscopique.En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les atomes (du moins cer-tains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle de Bohr de l’atomed’Hydrogene consiste en un électron de charge q = −e en mouvement circulaire uniforme autour

d’un noyau central (un proton) avec une période T =2π

ω.

Si on regarde sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s’il yavait un courant I = q/T = qω/2πOn a donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton, c’est adire le rayon de Bohr a0. L’atome d’Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque :−→M = IS−→n =

qω

2ππa2

o−→n

−→σo =−−→OM ∧ m

−→V = maoV

−→n = ma2

oω−→n

−→M =

q

2m−→σo (14)

On pose :γ =q

2m: est appelé le facteur gyromagnétique.

−→M = γ−→σo (15)

Relation indépendante de la trajectoire

En effet :−→M = IS−→n =

q

TS−→n = q(

S

T)−→n = q(

r2θ

2)−→n =⇒

−→Mo =

q

2m−→σo

On peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction del’orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent :

• Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribues aléatoirement, il n’y a pas dechamp magnétique intrinsèque.

• Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels les moments peuvent s’orienter dansune direction privilégiée en presence d’un champ magnétique extérieur, pouvant donc être ainsiaimantes momentanément.

• Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans unedirection particulière, de façon permanente (aimants naturels).La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, ou le pôle Nord magnétiquecorrespond au pôle Sud géographique (a un angle près). Au niveau macroscopique, l’explicationde l’existence du champ magnétique observe sur les planètes et sur les étoiles est encore aujour-d’hui loin d’être satisfaisante. La théorie de l’effet dynamo essaye de rendre compte des champsobservés par la presence de courants, essentiellement azimutaux, dans le cœur des astres. Plu-sieurs faits connus restent partiellement inexpliqués :

⋆ Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique a grande échelle qui ressemblea celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polaritétous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en evidence qu’il y avait eu une inversion il y aenviron 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des fluctuations du champ.



⋆ Non-alignement avec le moment cinétique de l’astre : s’il est de l’ordre d’une dizaine dedegrés pour la Terre (avec une modification de la direction de l’axe magnétique d’environ 15’par an), il est de 90o pour celui de Neptune !

9 Comparaison des propriétés des deux champs

−→E

−→B

Origine :charges fixes Origine :charges mobiles

Vrai vecteur pseudo vecteur

Appartient au plan de symétrie Perpendiculaire au plan d’antisymétrie

Perpendiculaire au plan d’antisymétrie Appartient au plan d’antisymétrie∫∫

©−→E .

−→dS =

Qint

εo

∫∫

©−→B .

−→dS = 0

∮ −→E .

−→dℓ = 0

∮ −→B .

−→dℓ = µo

∑Ienlac

−→E = −

−−→gradV (M)

−→B dipole = −

−−→gradVm(M)

Er =2P cos θ

4πεor3Br =

2µoM cos θ

4πr3

Eθ =P sin θ

4πεor3Bθ =

µoM sin θ

4πr3

µo =−→P ∧

−→E e

−→Mo =

−→M ∧

−→B e

Ep =−→P .

−→E e Ep =

−→M.

−→B e


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