BELINPhysique

lectrostatique et magntostatiqueSAINT-JEAN, Janine BRUNEAUX et Jean MATRICONMichel

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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESJ. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICON lectrostatique et magntostatique, rsum de cours et exercices A. MAUREL Optique gomtrique, cours A. MAUREL, J.-M. MALBEC Optique gomtrique, rsum de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESA. BARBEROUSSE La mcanique statistique de Clausius Gibbs M. BLAY La science du mouvement de Galile Lagrange

Photo de couverture : Digital Vision Illustrations et composition : Jean-Marc Dignac Mise en pages : Publilog

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Sommaire1. Un peu dhistoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2. lectrostatique dans le vide : loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Charges lectriques et distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forces entre charges lectriques statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le champ lectrostatique dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le potentiel lectrostatique dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lignes de champ et surfaces quipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications de ces dnitions quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 15 19 21 26 28

3. Proprits du champ lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Proprits associes au caractre radial du champ lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprits associes la dpendance en 1/r 2 de lintensit du champ lectrostatique . . . . . . Proprits de symtrie du champ lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple dutilisation des proprits du champ lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul du champ lectrostatique cr par des distributions de charges de symtrie leve . . . Mthode gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 35 39 42 44 49

4. quations de Laplace et de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51quations de Poisson et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple dutilisation de lquation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Complment : Thorme de la valeur moyenne sur une sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 54 60

5. Diples et multiples lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Ensemble de deux charges lectriques de mme grandeur et de signes opposs . . . . . . . . . . . Notion de dveloppement multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de distributions multipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 68 71

6. Conducteurs lquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Dnition dun conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conducteur lquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacit dun conducteur unique isol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phnomnes dinuence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensemble de conducteurs lquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condensateurs et groupement de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ et potentiel lextrieur dun systme de conducteurs lquilibre . . . . . . . . . . . . . . .

76 77 79 80 83 84 89 95 963

7. lectrostatique dans les milieux isolants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Polarisation de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 104 109 112 115 Complments : notion de champ local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Champ lectrique, potentiel et charges de polarisation dans les isolants . . . . . . . . . . . . . . . . . Systmes prsentant une polarisation permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systmes prsentant une polarisation induite : les dilectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le vecteur dplacement D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacit et dilectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. nergie lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121nergie lectrostatique dun systme de charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie lectrostatique associe une distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie associe un ensemble de conducteurs lquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forces et moments de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 123 126 129

9. Le champ magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Force magntique entre ls rectilignes innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion de champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprits locales du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de calcul du champ magntique cr par diffrentes distributions de courants . . . .

138 140 146 151

10. Le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Potentiel vecteur et champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Potentiel vecteur associ des courants continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Exemples de potentiels vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11. Linduction magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Mise en vidence exprimentale de linduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Force lectromagntique induite et courant induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interprtations de la loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition et proprits locales du champ lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion dinductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples dapplications de phnomnes dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 176 178 181 182 187

12. Magntisme dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Aimantation de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Champ magntique et courants daimantation dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Le champ auxiliaire H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Complment : ferromagntisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13. Lnergie magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213nergie magntique emmagasine dans une boucle de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expression de lnergie en fonction des champs B et H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expression de lnergie en fonction des inductances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forces et moments de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214 218 220 222

4

14. Applications du magntisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229tude de quelques circuits magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Les transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Les moteurs lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

A. lments danalyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Les systmes de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientation de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flux et divergence dun champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circulation et rotationnel dun champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques relations connatre en algbre vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition de langle solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 248 249 250 252 257 264 264 266 268 268 270

Rponses aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

SOMMAIRE

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C h a p i t r e

1

Un peu dhistoire...Lensemble form par llectrostatique, le magntisme et llectromagntisme tels quils sont enseigns aujourdhui est parfaitement cohrent, et ressemble une construction entirement logique : quelques expriences fondamentales permettent dinduire des lois gnrales do dcoulent, par des raisonnements mathmatiques, dautres lois merveilleusement vries par lexprience. On se donne mme parfois le luxe de suivre un cheminement pseudo-historique pour drouler cette belle histoire. Or, la vraie histoire ne ressemble nullement celle qui est suggre. La voie rellement suivie par une ide, depuis la premire bauche, souvent perdue ou ignore, et la forme parfaite sous laquelle on la prsente maintenant est en gnral tortueuse, pleine de rebroussements, derreurs, de fausses pistes, de longues priodes de stagnation ou doubli, mais aussi davances fulgurantes. Les hros qui ont survcu, ceux dont un effet, une unit ou un appareil portent le nom, sont peu nombreux en comparaison de tous les inconnus sans lesquels ldice naurait ni fondations ni charpentes. Lhistoire de llectricit et du magntisme commence certainement chez les Grecs, qui observent le phnomne dlectrisation par frottement et les proprits magntiques (attraction/rpulsion) de certains minraux et surtout prouvent le besoin de consigner par crit leurs observations. Certes, plusieurs proprits du magntisme sont utilises, en particulier la boussole, probablement invente par les Chinois au XIe sicle, mais aucune recherche scientique sur ces questions napparat avant le XVIIe sicle. Durant la priode qui va de la n du XVIe au dbut du XVIIIe sicle, jalonne par les noms prestigieux de Galile, Huygens et Newton, pour ne citer que ceux-l, un changement considrable se produit dans lart dobserver la nature. Jusqualors, on se contentait de vrier, par une observation rarement quantitative, la conformit de la nature des principes dorigine philosophique ou religieuse considrs comme vrais et immuables. Il est habituel de faire crdit Galile davoir renvers lordre de prsance, en afrmant quil fallait dabord observer et dcrire la nature avant dnoncer des lois. Le rsultat spectaculaire de ce choix, joint certes aux talents particuliers de Galile fut la naissance de la mcanique, dont Newton sut faire usage en tablissant les lois de la dynamique et celle de la gravitation. Pour ce qui concerne les phnomnes lectriques et magntiques, la situation est fondamentalement diffrente de celle de la mcanique, en ce sens que les manifestations de ces phnomnes sont relativement rares et que les moyens dexprimentation nexistent pas spontanment : la nature offre beaucoup plus doccasions de dcouvrir directement les effets de la gravitation que ceux des forces lectriques, et lexprimentation dans ce domaine ne pouvait relever que dune dmarche volontariste, ce qui, lorsquon na aucune ide sur ce que lon veut chercher, nest pas une attitude facile... Cest cependant ce que1. UN PEU DHISTOIRE...

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rent quelques pionniers : William Gilbert (1540-1603) mit en vidence la diffrence entre magntisme et lectricit et montra que lorientation de la boussole pouvait sexpliquer en considrant le globe terrestre comme un gros aimant ; Otto von Guericke (1602-1686) construisit la premire machine lectrostatique, permettant de faire une vritable exprimentation ; Stephen Gray (1666-1736) tablit la diffrence entre conducteurs et isolants ; Charles Dufay (1698-1739), accompagn de labb Nollet (1700-1770) tablit lexistence de deux sortes dlectricit, quil nomma non pas positive et ngative, mais vitreuse et rsineuse en rfrence aux objets utiliss pour les extraire par frottement ; Petrus von Musschenbroek (1692-1761) dcouvrit la condensation de llectricit (bouteille de Leyde) ; Benjamin Franklin (1706-1790) montra que les clairs ne sont autres que de puissantes tincelles lectriques, ce qui prouvait que llectricit participait aux phnomnes naturels et ntait pas quune curiosit de salon ; on doit galement Franklin lide que la neutralit lectrique de la matire rsulte dune compensation parfaite entre charges positives et ngatives ; John Priestley (1733-1804), imprgn du modle newtonien de la gravitation, dcouvrit qu lintrieur dune bote mtallique ne sexerce aucune force lectrique, et en dduisit que les interactions entre charges devaient obir une loi en inverse du carr de la distance, loi quil nalla pas jusqu publier. Un autre anglais, Henry Cavendish (1731-1810) t nombre de dcouvertes importantes dans le domaine de llectricit, en particulier il trouva lui aussi, la loi en carr inverse de la distance, mais il ne publia pratiquement aucun de ses rsultats. Ce ne fut que cinquante ans plus tard quon dchiffra ses archives et quon prit connaissance de tout ce quil avait dcouvert. Cest nalement Charles Augustin Coulomb (1736-1806) que la postrit a attribu cette loi fondatrice, quil a dailleurs nonce la suite dexpriences remarquables de mesure de la force entre deux charges, et non la suite de dductions mathmatiques comme cela avait t le cas pour Priestley et Cavendish. Lnonc de toutes ces tapes montre bien quel chemin il fallait parcourir pour arriver noncer enn une loi simple, que sa ressemblance formelle avec la loi de la gravitation rendait parfaitement convenable et acceptable. De ce fait, il tait facile aux brillants mathmaticiens dont les talents sexeraient autour des annes 1800, les Lagrange, Laplace, Poisson, Gauss, Green, de construire un outil mathmatique spcique llectrostatique, dont les qualits et la solidit sont telles quil na pas de rival et que cest lui quon va rencontrer dans cet ouvrage. Mais les contemporains de Coulomb dcouvraient un autre phnomne dont la relation avec llectricit ntait pas du tout vidente : les courants galvaniques, ainsi nomms en hommage au biologiste bolonais Luigi Galvani (1737-1798) qui dcouvrit fortuitement que la mise en marche dune machine lectrostatique induisait des contractions sur des muscles de grenouille quil venait de dissquer au voisinage de la machine. Cette exprience attira lattention du physicien Alessandro Volta (1745-1827) qui analysa le phnomne, et, ayant observ le rle des pices mtalliques servant de support aux muscles dans le dclenchement des ractions, inventa la pile lectrique , par empilement de disques de cuivre et de zinc spars par des rondelles de tissu imprgn de vinaigre. Cet engin extraordinaire permettait de faire circuler des courants intenses, ce que ne permettaient pas jusqualors les machines lectrostatiques. Il faut savoir gr Volta davoir clairement montr lanalogie entre ce qui sortait de sa pile et ce que produisaient les machines lectrostatiques.8

Il rgnait au dbut du XIXe sicle un courant philosophique qui traversait toutes les disciplines scientiques, et qui postulait lexistence dune grande unit des lois de la nature, afrmant que tous les phnomnes taient lis entre eux ; il sufsait de dcouvrir le lien pour que lunit se manifestt. Il est certain que le rapprochement entre la loi de Coulomb et celle de la gravitation, ainsi que la relation tablie par Galvani entre phnomnes lectriques et effets biologiques confortaient les adeptes de ces ides. Cest dans le cadre de ce courant de pense que se situe lvnement qui, en 1820, va donner une dimension nouvelle la science de llectricit : la dcouverte par Christian Oerstedt (1777-1851) de proprits magntiques lies au courant lectrique, immdiatement suivie dune thorie complte de cet effet et de sa formulation mathmatique adquate par Andr-Marie Ampre (1775-1836). L encore, ldice est si parfait, qu quelques notations prs, cest lui qui est encore enseign. Nous pouvons analyser la situation en 1820 en considrant que dun ct, il existe une thorie du potentiel, cohrente et acheve, qui rend bien compte de tout ce quon sait sur les interactions entre charges lectriques immobiles, de lautre une thorie lectromagntique qui donne du magntisme et de sa relation aux courants lectriques stationnaires, une description phnomnologique tout fait oprationnelle. Il nous est facile aujourdhui de dire quil manquait ldice, dune part une connexion entre le monde des charges immobiles et celui des courants, dautre part, la rciproque de lorigine lectrique des champs magntiques, savoir la possibilit dengendrer des courants partir des champs magntiques. Cest Georg-Simon Ohm (1787-1854) qui rendit claire la notion de rsistance lectrique et qui, par la loi qui porte son nom, tablit le pont entre potentiel et courant. Le pas dcisif qui t sortir llectricit du laboratoire pour envahir le monde fut franchi par Michael Faraday (1791-1867), gnial exprimentateur, qui dcouvrit en 1831 le phnomne dinduction, et construisit dans la foule une dynamo, un moteur et un transformateur. On sait quelle vitesse ces appareils devinrent les outils de la rvolution industrielle. La contribution de Faraday lensemble de llectromagntisme est immense et concerne de nombreux aspects, souvent suggrs par la recherche dune unit sousjacente entre ces diffrentes branches de la philosophie naturelle qutaient llectricit, le magntisme, la lumire, la matire etc. Dans chaque domaine, sa contribution, tantt dnitive, tantt seulement prmonitoire, a toujours t fondamentale. Au tournant du demi-sicle, aprs 1850, on peut considrer que le modle newtonien, nullement remis en cause, nest cependant plus lunique rfrence. Les progrs de la thermodynamique, une connaissance de plus en plus ne des proprits de la matire et de ce que nous appelons aujourdhui proprits de transport , transport de la chaleur, de llectricit, de la quantit de mouvement, tout contribue donner du monde physique une image plus nuance, o dautres interactions que des forces sexerant distance entrent en jeu. Les temps sont mrs pour quune nouvelle rvolution, perue par les contemporains comme comparable celle de Newton, se produise. Cest James Clerk Maxwell (1831-1879) qui fut ce second Newton en proposant la thorie unitaire de llectromagntisme qui runit dans un mme formalisme les rsultats accumuls depuis un sicle par Coulomb, Ampre, Faraday, Gauss, Weber et bien dautres. Les quations de Maxwell constituent un ensemble dune parfaite lgance mathmatique dont le pouvoir prdictif sest avr prodigieux : le fait que la lumire soit de1. UN PEU DHISTOIRE...

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nature lectromagntique, souponn dj par Faraday, fut clairement compris par Maxwell, mais cest la dcouverte des ondes hertziennes par Heinrich Hertz (1857-1874) qui apporta une clatante conrmation de lexistence de ces ondes lectromagntiques prdites par Maxwell. Ldice scientique qui stait construit au cours des deux sicles passs, et dont luvre de Maxwell semblait lachvement, impressionnait beaucoup ceux qui, la n du XIXe sicle, le contemplaient. Le succs paraissait tel, dans tous les domaines et pas seulement en physique, que la croyance dans la toute puissance de la science pour assurer un avenir radieux aux hommes inspirait des courants de pense et des doctrines politiques qui ont largement dbord sur le XXe sicle. Pourtant, certains esprits clairvoyants avaient bien dtect quelques failles dans ldice. En ce qui concerne llectromagntisme, deux points au moins taient obscurs : dune part, lexistence de lther, ce milieu aux invraisemblables proprits, qui semblait indispensable la propagation des ondes lectromagntiques comme lair lest la propagation du son, dautre part la constatation vidente que les quations de Maxwell nobissaient pas au principe dinvariance galilenne, cl de vote de la mcanique newtonienne, Ces failles nchapprent pas au physicien hollandais Hendrik Antoon Lorentz (18531927), qui analysa trs nement les hypothses sous-jacentes dans lcriture des quations de Maxwell, concernant la relation des champs lectrique et magntique avec le milieu de propagation, que ce soit la matire ou lther. Malgr la pertinence de cette analyse, Lorentz ne put venir bout des contradictions, en particulier de celles quamenait la clbre exprience des physiciens amricains Albert Abraham Michelson (1852-1931) et Edward-Williams Morley (1838-1923), qui rendait encore plus invraisemblable le comportement de lther. Il fallut attendre les travaux du plus illustre de tous les savants, Albert Einstein (1879-1955) pour que cette question soit dnitivement clarie.

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C h a p i t r e

2

loi de Coulomb

lectrostatique dans le vide :Les concepts fondamentaux permettant de dcrire les phnomnes lectrostatiques dans le vide sont introduits dans ce chapitre. Suivant en cela la progression historique des dveloppements de llectrostatique, nous prsenterons tout dabord la notion de force lectrostatique, puis successivement celles de champ et de potentiel lectrostatiques. Soulignons que ce choix est arbitraire, la force lectrostatique ntant que lune des faons de formuler la loi fondamentale permettant de dcrire les proprits lectrostatiques de la matire et les phnomnes physiques associs.2.1 Charges lectriques et distributions de charges 1 Charges lectriques et corps lectriquement chargs 2 Distributions de charges lectriques statiques 2.2 Forces entre charges lectriques statiques 1 Force entre deux charges ponctuelles - Loi de Coulomb 2 Principe de superposition 2.3 Le champ lectrostatique dans le vide 1 Dnition du champ lectrostatique 2 Expressions du champ lectrostatique 2.4 Le potentiel lectrostatique dans le vide 1 Existence dun potentiel lectrostatique 2 Dnition du potentiel lectrostatique 3 Le champ lectrostatique drive du potentiel lectrostatique 2.5 Lignes de champ et surfaces quipotentielles 2.6 Applications de ces dnitions quelques exemples 1 Exemple dune distribution discrte 2 Exemple dune distribution continue

Mots-cls Charges Forces Forces de Coulomb Champ lectrostatique Potentiel lectrostatique

2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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2.1. Charges lectriques et distributions de charges1 Charges lectriques et corps lectriquement chargsCharges lectriques lmentaires lchelle atomique, les charges lectriques sont le proton, charg positivement, et llectron, charge ngativement. Dans le systme M.K.S.A., leur charge et leur masse sont donnes respectivement par : p 5 1, 602 1019 coulomb, e 5 1, 602 1019 coulomb, mp 5 1, 67 1027 kg me 5 0, 9 1030 kg

Il sagit l de charges lmentaires permanentes dans le temps et dans lespace dont les valeurs sont considres comme des constantes universelles. Notons que lunit associe aux charges lectriques, le coulomb correspond une charge extrmement grande. Pour xer les ides, la charge lectrique transfre dans un clair dorage est de lordre de 20 30 C.

Un peu dhistoirelectron la Renaissance, les savants introduisirent le mot latin electrum pour dcrire les phnomnes observs depuis lantiquit lorsque lon frotte de lambre, matire appele lektron en grec.

Corps lectriquement chargsTout processus dlectrication doit tre compris comme le transfert dun certain nombre de ces charges lmentaires. Un atome de nombre atomique Z est form de Z lectrons gravitant autour dun noyau contenant Z protons et N neutrons de charge nulle. Lensemble est lectriquement neutre. Lorsquon arrache un ou plusieurs lectrons cet atome neutre, il devient un ion charg positivement ; linverse, si on ajoute un ou plusieurs lectrons cet atome, on cre un ion charg ngativement. Plus gnralement, lchelle macroscopique, un corps dcitaire en lectrons sera considr comme charg positivement tandis quun corps excdentaire en lectrons sera considr comme charg ngativement. Notons que cette charge macroscopique ne pourra tre quun multiple entier de la charge lectronique e. (Dans la plupart des cas, ce sont les lectrons qui sont changs, les protons tant trop solidement lis au noyau.)

Conservation de la charge lectriqueLes charges lectriques lmentaires tant permanentes, si un corps charg est isol, cest--dire sil ne peut pas changer de charges avec lextrieur, sa charge lectrique reste constante. Ceci constitue la loi de conservation de la charge. Il sagit l dun postulat fondamental de llectromagntisme, jamais contest exprimentalement.12

2

Distributions de charges lectriques statiques

Caractrisation dune distribution de chargesLorsque nous nous intressons un phnomne associ la prsence de charges lectriques, il convient de commencer par prciser quelques caractristiques de la distribution de charges considre. Sagit-il dune distribution de charges statiques ou mobiles ? Comment dcrire leurs positions, leur quantit ? Cette description pralable de ltat du systme de charges est indispensable, les techniques de calcul employes tant diffrentes suivant les cas rencontrs. Toutefois, comme nous allons le voir maintenant, il conviendra de garder en mmoire que, pour une mme situation physique, plusieurs descriptions de la distribution de charges sont possibles, celle retenue dpendant du phnomne tudi. Tout dabord quand peut-on considrer quune distribution de charges est statique ? Comme toujours en physique, les conditions requises dpendent du problme tudi. Par exemple, lorsquun isolant est charg lectriquement, les temps caractristiques des dplacements de charges dans ce matriau sont extrmement longs par rapport au temps ncessaire pour faire une mesure sur le systme et pourront tre considrs comme innis. Cette proprit caractrise la nature isolante du matriau. La distribution de charges est alors rellement statique. Cette condition nest plus remplie dans le cas des conducteurs dans lesquels les charges se dplacent librement. Toutefois lorsque le conducteur est lquilibre, cest--dire lorsque les lectrons ne sont alors soumis aucune force macroscopique, chaque lectron, du fait des collisions, change de vitesse (en module et direction) environ 1018 fois par seconde. Moyenne sur des temps plus longs, cette vitesse lectronique peut tre dcrite par une vitesse moyenne nulle. Aussi, ds lors que les phnomnes tudis auront des temps caractristiques suprieurs 1018 s, la distribution de charges dans des conducteurs lquilibre pourra, elle aussi, tre considre comme statique, bien que les charges soient en mouvement incessant. (Comme nous le verrons, llectrostatique dans les milieux continus utilise des grandeurs physiques moyennes, aussi les uctuations microscopiques sont-elles ngliges.) Notons enn que cette notion de charges statiques dpend du rfrentiel dans lequel nous tudions la distribution de charges. En effet, le caractre statique dune distribution est une notion relative. Une charge considre comme xe dans un rfrentiel ne le sera plus dans un autre. Nous reviendrons sur cet aspect lorsque nous dcrirons les phnomnes lectromagntiques. Toutefois dans la suite, sauf mention explicite, nous considrerons le repre associ au laboratoire comme un rfrentiel absolu. De la mme faon, la description de la distribution spatiale des charges dpend de la nature du phnomne tudi, des dimensions caractristiques associes et du degr de prcision souhait. Ainsi, suivant les cas, un mme ensemble de charges pourra tre dcrit soit comme un ensemble de charges ponctuelles isoles, soit comme une distribution continue de charges. Prenons par exemple un cristal de chlorure de sodium NaCl (sel) : ce cristal ionique est constitu dions positifs Na1 et dions ngatifs Cl , rpartis alternativement au sommet dun rseau cubique, la distance entre les ions tant de lordre de langstrm (), cest--dire 1010 m. Supposons que nous voulions dterminer la force exerce sur un ion par tous les autres. Nous pourrions avoir envie de considrer tous les ions comme des individualits. En fait ce nest pas ncessaire. Dans la plupart des cas,2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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il est sufsant daccorder ce statut aux seuls ions proches voisins situs des distances comparables la distance inter-ionique ; les autres, plus loigns donc moins facilement diffrenciables, pourront tre considrs comme formant une distribution continue homogne de charges. Nous voyons donc quune mme distribution pourra tre apprhende diffremment suivant que nous en sommes loin ou prs. Ainsi de faon plus gnrale, si on tudie une distribution de charges des distances du mme ordre de grandeur que leur extension spatiale ou que la distance entre charges, il conviendra de considrer ces charges comme isoles et la distribution sera dite discrte ; linverse, si les dimensions caractristiques du problme tudi sont grandes devant celles de la distribution de charges, nous pourrons la dcrire comme une distribution continue. Comment dnir et valuer ce qui est loin et ce qui prs ? En Cl Na + fait, cela dpend du degr de prcision souhait. Dans lexemple du chlorure de sodium, plus le Fig. 2.1. Structure cristalline du chlorure de sodium. nombre dions considrs comme charges individuelles sera important, plus grande sera la prcision obtenue pour la force calcule, mais en contre-partie le calcul deviendra en gnral plus difcile. Il faudra trouver un compromis entre la prcision du rsultat et la simplication technique associe aux distributions continues.

Un peu dhistoireIonLe mot ion, import de langlais en 1840, est tir du participe prsent neutre du verbe ienai voulant dire aller en grec. Un ion est donc quelque chose qui va . Lion est une particule qui se dplace sous linuence dun champ lectrique.

Distribution discrte de charges - Charges lectriques ponctuellesComme nous venons de le voir, si la distance entre les charges lectriques est du mme ordre de grandeur que les dimensions caractristiques du problme pos, il convient de considrer les corps chargs comme des objets individualiss. Si de plus, le volume de chaque corps charg est petit devant toutes les autres dimensions du problme, une bonne approximation consiste identier chacun de ces corps un point, sans volume propre, auquel on associe une charge lectrique correspondant la charge totale du corps considr. Cette abstraction mathmatique est connue sous le nom d approximation des14

charges ponctuelles . Dans cette approximation, une rpartition des charges lectriques pourra tre modlise par une distribution de charges ponctuelles, cest--dire par un ensemble de points caractriss par leur position r i , chaque point tant associ une charge qi . Nous parlerons alors de distribution discrte de charges lectriques (qi , r i ).

Distribution continue de charges lectriquesSi toutes les dimensions du problme pos sont plus grandes que lextension spatiale de la rpartition des charges lectriques ou si les charges portes par les corps constituant le systme tudi sont trs grandes devant la charge lmentaire, il nest plus ncessaire de prciser la position des diffrentes charges lmentaires constituant cette distribution et il est alors lgitime de faire abstraction du caractre discret de ces charges. La distribution de charges sera dite continue et sera caractrise par une densit moyenne de charges lectriques, dnie en tout point de lespace. Cette densit est par dnition la limite, si elle existe, du quotient de la charge lectrique d q contenue dans un petit lment par le volume d t (la surface d s ou la longueur d l) de ce petit lment quand celui-ci tend vers zro. On dnit ainsi : la densit linique de charges l 5 d q/ d l la densit surfacique de charges la densit volumique de charges s 5 d q/ d s r 5 d q/ d t

2.2. Forces entre charges lectriques statiquesDeux charges lectriques exercent entre elles une force. lchelle microscopique, les forces lectriques sont omniprsentes, tous les constituants lmentaires de la matire, lexception des neutrons, tant lectriquement chargs. Toutefois lchelle macroscopique, ces forces sont en gnral de moyenne nulle, les corps tant cette chelle, dans la plupart des cas, lectriquement neutres. Pour que lon puisse observer des forces lectriques macroscopiques, elles doivent sexercer entre des corps ayant rompu leur neutralit de charges.

1

Force entre deux charges ponctuelles - Loi de Coulomb

La force lectrostatique existant entre deux charges considres comme ponctuelles prsente trois caractristiques fondamentales : elle est rpulsive ou attractive selon que les charges en interaction sont de mme signe ou de signe oppos (cette proprit a t lorigine de la classication des charges lectriques en deux types distincts de charges) ; elle est radiale, cest--dire sexerce suivant la direction joignant les deux charges en interaction ; elle est de porte innie ; deux charges lectriques, aussi loignes soient-elles, exercent lune sur lautre une force lectrique.2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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Lensemble des rsultats exprimentaux concernant les forces exerces entre charges lectriques peut tre dcrit par une loi, valable quelle que soit la distance entre les charges (au moins pour des distances suprieures aux distances nuclaires de lordre de 1012 m) et quelle que soit la valeur de ces charges. Elle a t formule par Charles Augustin Coulomb en 1784 et porte depuis le nom de loi de Coulomb.

Un peu dhistoireCharles Augustin de Coulomb (1736-1806)N Angoulme en 1736, Coulomb commence ses tudes Paris puis Montpellier o il devient vingt ans membre dune socit savante et enn retourne Paris pour suivre les cours de lcole royale du gnie de Mzires. Lcole termine, il occupe successivement des postes Brest, en Martinique et Cherbourg o il crit un premier mmoire, Recherches sur la meilleure manire de fabriquer des aiguilles aimantes, qui lui vaut le prix de lAcadmie des Sciences. Mut Rochefort, il poursuit cependant des recherches sur la force de torsion et llasticit des ls mtalliques. Cest cette occasion quil mettra au point sa balance de torsion lui permettant en 1785 de formuler la loi dattraction et de rpulsion des charges lectriques qui porte son nom. Pendant la rvolution, nomm membre de la commission des poids et mesures jusquen 1793, date laquelle il se retire dans ses terres, il continue ses travaux en introduisant notamment la notion de moment magntique . lu membre de linstitut sous le Consulat, Bonaparte le nomme inspecteur gnral de linstruction publique.

Dnition : Selon cette loi, la force F 1 ( r 2 ) exerce dans le vide par la charge ponctuelle xe q1 situe la position r 1 , sur la charge ponctuelle xe q2 situe la position r 2 , a pour expression : F 1( r 2) 5 1 q1 q2 u 1( r 2) 4p0 | r 1 r 2 |2 (2.1)

u 1 ( r 2 ) est un vecteur unitaire dans la direction q1 q2 et orient de la charge q1 vers la charge q2 , | r 1 r 2 | est la distance entre les charges, 0 est une constante universelle mesure exprimentalement, dite permittivit dilectrique , qui caractrise le vide (puisque cette constante nest accessible que par des mesures, elle nest connue quavec une prcision nie). Dans le systme M.K.S.A, o la force sexprime en newton (N), la charge en coulomb (C) et la distance en mtre (m), le coefcient de proportionnalit vaut : 1 5 8, 987 109 m3 kg A2 s4 4p0

F 1 (r 2 ) u 1 (r 2 ) F 2 (r 1 ) q1 q2

a) q1 et q2 de mme signe q2 u 1 (r 2 ) q1 F 1 (r 2 ) F 2 (r 1 )

b) q1 et q2 de signes oppossFig. 2.2. Forces lectrostatiques entre charges ponctuelles.

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De plus, le principe daction et de raction impose que la force F 2 ( r 1 ) exerce par la charge ponctuelle q2 sur la charge ponctuelle q1 soit gale et oppose F 1 ( r 2 ) : F 1( r 2) 5 F 2( r 1) Cette loi constitue, dans notre prsentation, la loi fondamentale de llectrostatique. Toutes les autres proprits que nous allons maintenant prsenter seront issues de cette loi de Coulomb. Cette caractristique des forces lectrostatiques fut une chance pour les physiciens du XVIIIe sicle, en effet, la puissance du modle paradigmatique de Newton tait telle quil tait impensable lpoque de chercher une force ayant une autre forme (voir chapitre 1). Nous verrons au chapitre 7 comment cette loi, valable uniquement dans le vide, permet de construire lexpression de la force entre charges lectriques dans un milieu quelconque. Comme nous pouvons le constater sur lexpression 2.1, les forces lectriques prsentent les mmes caractristiques que les forces gravitationnelles, toutefois leur intensit est beaucoup plus importante. Comparons par exemple les modules des forces lectrostatique et gravitationnelle entre llectron et le proton dun atome dhydrogne loigns dune distance est r0 : me mp 1 pe Fe Fg 5 G 2 1042 Fe 5 2 4p0 r0 Fg r0 o G est la constante de gravitation : G 5 6,67 1011 MKSA. Un autre exemple : la force lectrique exerce entre deux charges de 1 C espaces de 1 m est gale environ 1010 N, soit le poids sur la Terre dune masse dun million de tonnes. Cette diffrence dintensit nous permettra de trs souvent ngliger les forces gravitationnelles entre charges devant les forces lectriques. En revanche ces forces lectriques sont beaucoup moins importantes que les forces nuclaires (interaction forte) existant lintrieur du noyau, ce qui explique la cohsion nuclaire en dpit de la rpulsion coulombienne entre protons.& Dveloppement Recheche

lectrophorseUne solution collodale est une solution contenant un ensemble de micro-particules en suspension (poussires dans de leau, gouttes dun nuage, globules sanguins en suspension...). Ces particules possdant en gnral une charge lectrique, lorsque lon soumet un collode laction dun champ lectrique extrieur, les particules de ce systme dispers se dplacent. Ce phnomne est appel llectrophorse (tymologiquement transport par llectricit ). Ce phnomne est de plus en plus utilis comme technique danalyse mais aussi comme mthode de sparation Considrons une particule de masse m et de charge lectrique Ze, place dans un champ lectrique E. Par dnition cette particule subit une force F donne par la relation F 5 Ze E. Sous leffet de cette force, la particule se dplace en subissant une force de frottement due aux autres molcules de la solution, force f proportionnelle et oppose sa vitesse v : f 5 a v. La relation fondamentale de la dynamique permet dcrire m ddv 5 Ze E a v. t En rgime stationnaire, dd v 5 0 et la vitesse t v e de la particule est gale v e 5 Ze E. a

2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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Chaque constituant est caractris par sa mobilit m : m 5 Ze ayant quelques microa mtres par seconde pour ordre de grandeur. Ainsi, la mobilit de chaque constituant de la solution lui est spcique : elle dpend

de sa charge et de son coefcient de friction. On comprend aisment quen utilisant un tel procd, on puisse sparer les particules dune solution collodale et obtenir ltat pur les substances les plus rapides ou les plus lentes.

2

Principe de superposition

Lexpression 2.1 dcrit la force de Coulomb entre deux charges ponctuelles dans le vide. Envisageons maintenant une situation faisant intervenir plusieurs charges.

Force entre une charge ponctuelle et une distribution discrte de chargesCommenons par dterminer la force exerce par une distribution discrte de charges (qi , r i ) sur une charge q place au point r (g. 2.3). Lexprience a permis de montrer que la prsence dautres charges ne modie pas la force entre deux charges particulires. Dans ce cas, la force rsultante obit la rgle gnrale de composition des forces et est gale la simple somme vectorielle de toutes les contributions associes aux diffrentes paires (q, qi ). Ceci constitue le principe de superposition.O riqi qjFig. 2.3. Distribution discrte de charges (qi , r i ).

r q u i (r )

Dnition : La force F ( r ) exerce sur la charge q, situe au point r , par un ensemble de charges qi situes en r i , est gale 1 qqi F(r ) 5 u i( r ) (2.2) 4p0 i | r r i |2 u i ( r ) tant le vecteur unitaire dirige de la charge qi vers le point r .

Force entre une charge ponctuelle et une distribution continue de chargesLexpression de la force obtenue pour une distribution discrte de charges se gnralise facilement au cas des distributions continues. La procdure suivre est simple. Il convient dans un premier temps de calculer la force entre la charge ponctuelle q et la charge d q contenue dans un lment innitsimal de la distribution continue de charges centr en un point r . Cet lment tant par construction inniment petit, la charge d q peut tre considre comme ponctuelle, la force entre q et d q est donc donne par la loi de Coulomb (2.1). Dans un second temps, conformment au principe de superposition, toutes ces diffrentes contributions sont sommes sur tout le domaine occup par la distribution continue. Suivant la nature de la distribution, nous obtenons ainsi les expressions suivantes : pour une distribution linique de charges : F(r ) 5 q 4p0 l( r ) d l( r )L

|r r |

2

u( r )

(2.3)

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pour une distribution surfacique de charges : F(r ) 5 q 4p0 s( r ) d s( r )S

|r r |

2

u( r )

(2.4)

pour une distribution volumique de charges : F(r ) 5 q 4p0 r( r ) d t( r )V

|r r |

2

u( r )

(2.5)

Forces entre distributions continues de chargesFormellement la force lectrique entre deux distributions continues de charges peut galement tre calcule en gnralisant la procdure prcdente. Il conviendra alors dvaluer la force entre deux lments innitsimaux appartenant chacune des deux distributions de charges, puis, aprs deux intgrations successives sur les domaines des deux distributions, de calculer la force rsultante. Cest ainsi que la force entre deux distributions volumiques de charges, V1 et V2 scrit : F 5 1 4p0 r1 ( r )r2 ( r ) d t1 ( r ) d t2 ( r )V1 V2

|r r |

2

u( r )

(2.6)

Cette procdure stend sans difcults aux calculs de forces faisant intervenir des distributions surfaciques ou liniques de charges. Soulignons toutefois que dans la plupart des cas, ces doubles intgrations sont difciles voire impossibles calculer analytiquement, aussi a-t-il fallu dvelopper dautres techniques de calcul permettant de contourner ces difcults. Ces techniques ont au pralable ncessit lintroduction de nouveaux concepts comme celui du champ lectrostatique.

2.3. Le champ lectrostatique dans le videDans le paragraphe prcdent, nous avons tabli les expressions de la force entre charges lectriques statiques. Nous allons montrer maintenant que cette mme force peut galement sexprimer partir dune grandeur vectorielle associe chaque point de lespace : le champ lectrique . Comme nous le verrons, les proprits gnrales du champ lectrique offrent certains avantages et son usage permet entre autre de simplier bon nombre de calculs. De plus, il sagit dune notion tout fait gnrale, qui ne se restreint pas au cas de llectrostatique mais qui au contraire prendra toute sa valeur dans le cas de charges en mouvement relatif. Nous y reviendrons dans les chapitres ultrieurs. Il faudra toutefois garder lesprit que les expressions et proprits que nous donnons maintenant de ce champ correspondent au cas particulier de llectrostatique. Pour quil ny ait aucune ambigut, nous appellerons champ lectrostatique le champ lectrique associ des charges statiques.2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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1

Dnition du champ lectrostatique

Comme le montrent les expressions 2.2 2.5, la force exerce par une distribution de charges (discrte ou continue) sur une charge q situe au point r est proportionnelle une somme qui ne dpend que de la valeur des charges qi et des positions relatives r r i des charges q et qi . Cette somme vectorielle, indpendante de q, peut donc tre considre comme une grandeur caractristique de lespace au point r . En dautres termes, chaque point de lespace nous pouvons associer un vecteur qui caractrise la distribution (qi , r i ). Ce vecteur, not E( r ), est par dnition le champ lectrostatique au point r . Dans ce formalisme, la force lectrostatique applique sur la charge q vaut par dnition : F ( r ) 5 q E( r ) (2.7)

2

Expressions du champ lectrostatique

Champ lectrostatique cr par une charge lectriqueLe champ lectrostatique cr par une charge peut tre dtermin en comparant lexpression 2.1 de la force lectrostatique entre deux charges donne par la loi de Coulomb et lexpression 2.7 introduisant le champ E.Dnition : Le champ lectrostatique cr au point r par une charge q xe, situe au point r , a pour expression : qur 1 E( r ) 5 (2.8) 4p0 | r r |2 u r tant le vecteur unitaire radial et fuyant la charge q : ur 5 (r r ) |r r |

Les gures 2.4.a et 2.4.b prsentent le champ lectrostatique cr en deux points xes M et N par une charge q, respectivement positive et ngative, place lorigine. Par construction, le champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle est radial, isotrope (toutes les directions sont quivalentes) et indpendant du temps puisque les charges sont statiques. Dans le systme M.K.S.A., lunit du champ lectrostatique est le volt/mtre (et non le newton par coulomb comme le suggre la relation 2.7).E(r ) M(r ) E(r )ur

M(r )

E(r )ur

ur

O q

N(r ) a) q > 0

O qur

E(r ) b) q < 0

N(r )

Fig. 2.4. Champ lectrostatique cr par une charge lectrique ponctuelle q : pour q > 0 (a) et pour q > 0 (b).

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Champ lectrostatique cr par une distribution discrteLe champ lectrostatique cr par une distribution discrte statique (qi , r i ) peut tre calcul en suivant la mme dmarche. En comparant les expressions 2.2 et 2.7, nous obtenons alors : 1 q u i( r ) E( r ) 5 (2.9) 4p0 i | r r i |2 Nous constatons sur cette expression que le principe de superposition sapplique galement au champ lectrique : le champ lectrostatique total cr au point r par une distribution discrte de charges est gal la somme des champs lectriques crs par chacune des charges qi au point r .

Champ lectrostatique cr par une distribution continueEn gnralisant la formule prcdente, on obtient facilement les expressions du champ lectrostatique cr par une distribution continue de charges statiques. Cest ainsi que le champ lectrostatique E( r ) cr au point r par une distribution volumique continue r( r ) contenue dans un volume V est la somme de tous les champs lmentaires crs par des charges lmentaires d q 5 r( r ) d t centres autour du point r (g. 2.5). Le champ lectrostatique E( r ) a pour expression : 1 r( r ) d r E( r ) 5 u (2.10) 2 r 4p0 V |r r |dE(r )

ur

dr r V

( > 0)

O

Fig. 2.5. Champ lectrostatique cr par un lment innitsimal de charge lectrique d q.

u r correspondant au vecteur unitaire fuyant la charge d q. Cette expression stend immdiatement aux cas des distributions linique et surfacique de charges. On peut en principe calculer en utilisant ces expressions le champ lectrostatique cr par nimporte quelle distribution connue de charges. Soulignons encore une fois que les expressions du champ lectrostatique que nous venons de donner ne sont valables que dans le cas de distributions de charges xes, dautres expressions seront ncessaires dans le cas de charges en mouvement relatif.

2.4. Le potentiel lectrostatique dans le videAprs avoir associ chaque point r de lespace une grandeur vectorielle E( r ), nous allons maintenant montrer que lon peut aussi caractriser chaque point de lespace par une grandeur scalaire que nous appellerons potentiel lectrostatique et noterons V ( r ).2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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1

Existence dun potentiel lectrostatique

Supposons une charge q place dans le champ lectrostatique E cr par une distribution de charges quelconque et valuons lnergie quil faudrait changer avec cette charge pour la dplacer inniment lentement dune position initiale I une position nale F (g. 2.6). Le travail du manipulateur devra tre exactement oppos celui de la force lectrique F 5 q E laquelle est soumise la charge q. Lexpression de ce travail est donn par lintgrale curviligne : WIF 5 qI F

E( r ) d l ( r )

(2.11)

expression dans laquelle d l( r ) reprsente un lment innitsimal de dplacement, centr au point r , le long du trajet IF. Ce travail est indpendant du traF jet suivi. Il ne dpend que du point de dpart I et du point darrive F. On rF peut comprendre facilement pourquoi dl il en est ainsi en lectrostatique. Supq posons que ce travail soit diffrent dun O r trajet lautre, nous pourrions alors E(r) considrer des circuits ferms sur lesquels le trajet retour ne serait pas rI identique au trajet aller . Dans ce cas, le travail retour naurait aucune I raison de compenser le travail aller . Le travail total sur le cycle serait diff- Fig. 2.6. rent de zro. Autrement dit le travail fourni dans un sens de parcours ne serait pas restitu lors du parcours dans lautre sens. Ceci est impossible. En effet, le champ lectrostatique tant cr par dnition par des charges immobiles, ltat de lunivers aprs un tour ne peut tre quidentique celui de ltat initial : la conservation de lnergie impose que lnergie totale change avec la charge q au cours dun cycle soit nulle. Nous allons dmontrer dune autre faon ce rsultat en utilisant une des proprits de la loi de Coulomb dans le cas dun champ cr par une charge ponctuelle, la dmonstration se gnralisant aisment au cas dun champ cr par une distribution continue de charges. Soit une charge Q place lorigine. Cette charge cre en tout point de lespace un champ lectrique E( r ) radial donn par lexpression 2.8, en prenant r 5 0. Pour dplacer une charge q de I F dans ce champ lectrique, on peut lui faire emprunter une innit de trajets. Prenons par exemple le trajet IA F indiqu sur la gure 2.7 et calculons lnergie change sur ce trajet. On peut dcomposer le travail ncessaire au passage de I F en deux contributions : celui ncessaire au passage de I A puis celui de A F. Sur larc de cercle IA , la charge se dplace sur une trajectoire telle quen tout point le champ E( r ) et le vecteur dplacement lmentaire d l ( r ) sont orthogonaux puisque le champ cre par la charge Q est radial. Le travail associ au dplacement sur cet arc est nul. En revanche, sur la portion de dplacement de rayon22

A F, le champ E et le vecteur dplacement d l sont parallles, le travail nest donc pas nul a priori sur cette portion. Le travail total a pour expression : WIF 5 q 4p0rF rA 5rI

qQ Q dr 5 2 r 4p0

1 1 rI rF

(2.12)

Comparons ce travail celui que F nous obtiendrions sur nimporte quel autre trajet. On peut dcomposer un E(r) trajet quelconque en une suite darcs et de portions de rayons innitsiA' maux (voir gure 2.7). En gnralisant la dmonstration prcdente chacun O r de ces lments darcs de cercle, on Q > 0 constate comme prcdemment que le E(r) travail est nul sur les arcs. En somI mant toutes ces contributions radiales nous retrouvons pour le travail total une expression strictement identique lexpression 2.12. Le travail changer avec la charge q est donc indpendant du chemin suivi. Aussi, la quan- Fig. 2.7. tit WIF /q ne dpend-elle que de la charge Q qui cre le champ lectrostatique dans lequel se dplace la charge q et des positions initiale et nale de q, caractrises par r I et r F . Ce rsultat suggre que nous puissions caractriser chaque point r de lespace par une grandeur scalaire V ( r ) appele potentiel lectrostatique , le travail changer avec la charge q pour la dplacer de I F tant gal par convention la variation de cette grandeur entre I et F : WIF 5 q V (F) V (I ) (2.13)

Un peu dhistoireHistoire du potentielDs quils furent connus, lensemble des rsultats de Coulomb et de Cavendish concernant lattraction et la rpulsion entre charges lectriques furent refondues par Lagrange qui, par analogie avec la thorie newtonienne, introduisit en chaque point de lespace une fonction somme de toutes les masses lectriques divises chacune par leur distance ce point , fonction dont pouvait tre dduite la force lectrique. Cest en 1782 que Laplace montra que cette mme fonction vrie une quation aux drives partielles que la postrit appela quation de Laplace . Ce fut Green qui, publiant en 1828 Essay on The Application of The Mathematical Analysis to The Theory of Electricity and Magnetism , appela cette fonction potentiel lectrique .

2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

23

2

Dnition du potentiel lectrostatique

Potentiel lectrostatique cr par une charge ponctuelleLexpression du potentiel lectrostatique cr par une charge ponctuelle est obtenue en comparant les relations 2.12 et 2.13. Ces deux expressions peuvent tre satisfaites en prenant pour dnition du potentiel lectrostatique V ( r ) cr au point r par la charge Q place lorigine : 1 Q 1K (2.14) V(r ) 5 4p0 r Notons que ce potentiel nest dni qu une constante additive K prs (il est indispensable de dterminer cette constante pour dnir compltement le potentiel lectrostatique, toutefois il convient de garder lesprit que seule une diffrence de potentiel a un sens physique). Pour xer cette constante, il suft de se donner, de faon arbitraire, la valeur du potentiel en un point. Ainsi, si lon pose que le potentiel cre par la charge ponctuelle Q est nul linni, on trouve que le potentiel en r est : Q 1 (2.15) 4p0 r Si la charge Q tait situe en rQ , lexpression du potentiel au point r serait de la forme : V(r ) 5 V(r ) 5 1 Q 1K 4p0 | r r Q | (2.16)

Potentiel lectrostatique cr par une distribution ponctuelle de chargesComme nous lavons fait pour les forces lectriques et le champ lectrostatique, nous pouvons gnraliser ces dnitions aux cas de distributions discrtes de charges. Le champ lectrostatique E( r ) cr par une distribution discrte (qi , r i ) est, nous lavons vu, la superposition des champs E i ( r ) crs par chacune des charges. Ainsi le travail ncessaire pour dplacer une charge q dans le champ lectrique E( r ) est gal la somme des travaux ncessaires au dplacement de la charge q dans chaque champ E i ( r ). Le potentiel cr par une distribution de charges est donc la somme algbrique des potentiels associs chaque charge de la distribution et a pour expression : V(r ) 5 1 4p0 qi 1K | r r i| (2.17)

i

Si toutes les charges qi sont situes distance nie, nous pouvons encore choisir le potentiel nul linni. La constante K est alors gale 0.

Potentiel lectrostatique cr par une distribution continue de chargesOn gnralise aisment lexpression prcdente au cas des distributions continues de charges. Ainsi, le potentiel lectrostatique cr par une distribution volumique continue de charges sobtient par intgration, sur tout le volume charg, du potentiel lmentaire cr par la contribution lmentaire de charge r( r ) d t centre au point r (ou s d s ou l d l) : 1 r( r ) dt 1 K (2.18) V(r ) 5 4p0 |r r | V24

La dtermination de la constante K est dans ce cas plus dlicate que dans les deux prcdents. Si cette distribution continue prsente des charges linni (par exemple droites ou plans innis chargs) on ne peut plus considrer le potentiel comme nul linni et prendre K 5 0 ; il faudra alors choisir arbitrairement un point de lespace et lui associer le potentiel nul. Dans tous les autres cas, nous pourrons prendre K 5 0. Dans le cas gnral, le potentiel lectrostatique est dni par des relations quivalentes la relation 2.18, la densit de charges variant avec le temps, mais la force ne peut plus sexprimer selon la loi du Coulomb. Les expressions obtenues pour le potentiel lectrostatique demeureront valables dans le cas de charges mobiles. Cela peut paratre trange puisque nous les avons dduites de celles du champ lectrostatique, qui elles sont spciques du cas lectrostatique. En fait, si on peut en lectrostatique dduire le potentiel lectrostatique de la force de Coulomb, ce nest plus justi dans le cas gnral.& Dveloppement Recheche

Membrane cellulaireToute membrane cellulaire prsente une diffrence de potentiel lectrostatique, dite de membrane, entre ses deux faces. Cette diffrence de potentiel peut tre trs importante, notamment dans le cas de cellules neuronales pour lesquelles elle peut tre de lordre de plusieurs dizaines de millivolts, le potentiel de la face externe tant toujours suprieur celui de la face interne. Lpaisseur de ces membranes cellulaires tant de lordre dune centaine dangstrm (), cette diffrence de potentiel correspond des champs lectrostatiques gigantesques, denviron 105 V/m. Sans entrer dans les dtails, prcisons que lorigine de ces potentiels est associe la permabilit slective des membranes. Dans le cas des membranes des neurones (cellules nerveuses), on observe une diffrence sensible de concentration de certains cations comme Na1 et K1 entre lintrieur et lextrieur de la cellule, entranant lapparition dune diffrence de potentiel. La diffusion spontane des ions, qui tend rtablir lquilibre de concentration, est en permanence compense par un pompage slectif qui maintient lcart. Sous laction dexcitations externes (mcaniques, thermiques, lectrostatiques...), cette permabilit slective des membranes est modie, ce qui conduit une variation de la diffrence de potentiel de membrane. Le phnomne de linux nerveux, caractris par une baisse brutale du potentiel transmembramaire suivie de sa restauration, rsulte de louverture temporaire de voies de passage pour les cations (Na1 ) suivie dun retour au dsquilibre de concentration. Ainsi, de proche en proche, lexcitation se propage. Cest pour avoir compris que ces potentiels membranaires participent la propagation de linux nerveux que Hodgkin et Huxley reurent le prix Nobel en 1963.

3

Le champ lectrostatique drive du potentiel lectrostatique

Relation entre le champ lectrostatique et le potentiel lectrostatiqueNous venons de voir quune charge lectrostatique ponctuelle tout comme une distribution de charges, discrte ou continue, cre en chaque point de lespace une grandeur vectorielle, le champ lectrostatique, et une grandeur scalaire, le potentiel lectrostatique. Nous allons maintenant tablir une relation simple entre ces deux grandeurs.2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

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Supposons que nous voulions dplacer innitsimalement une charge q place dans un champ lectrostatique E de la position r la position voisine r 1 d r . Par dnition, lnergie changer avec la charge q est gale : d W 5 q E( r ) d r 5 q V ( r 1 d r ) V ( r ) (2.19)

Plaons-nous en coordonnes cartsiennes et supposons que le dplacement innitsimal seffectue uniquement selon laxe Ox. Lexpression 2.19 se rduit alors : d W 5 qEx ( r ) d x 5 qV (x 1 d x) qV (x) 5 q V dx x

Ex ( r ) tant la composante suivant Ox du champ au point r . Nous trouverions des relations quivalentes faisant intervenir Ey ( r ) et Ez ( r ) pour un dplacement de la charge q respectivement suivant Oy et Oz. Par identication, nous pouvons rcrire les composantes du champ lectrostatique E( r ) en fonction des variations locales du potentiel V(r ) : V (r ) Ex ( r ) 5 x Ey ( r ) 5 Ez ( r ) 5 V (r ) y V (r ) z (2.20)

On dit que le champ lectrostatique E( r ) drive du potentiel V ( r ). Si nous introduisons loprateur correspondant aux coordonnes cartsiennes (voir annexe), nous constatons que la relation 2.20 scrit simplement : E( r ) 5 V ( r ) (2.21)

V se lisant gradient de V . Ce rsultat se gnralise aisment tous les systmes de coordonnes, condition bien entendu demployer les expressions correspondantes de loprateur qui sont donnes en annexe. Notons que ce rsultat montre que le potentiel doit tre une fonction continue dans tout lespace. En effet, une discontinuit du potentiel entranerait une valeur innie du champ lectrostatique au niveau de cette discontinuit. Nous y reviendrons au chapitre 4.

2.5. Lignes de champ et surfaces quipotentiellesLes lignes de champ du champ lectrostatique, introduites initialement par Faraday, taient vues comme de vritables lignes dans lespace, appeles lignes de forces. Aujourdhui, ces lignes ne sont plus quune faon simple de reprsenter le champ lectrostatique, les surfaces quipotentielles associes tant des ensembles de points de lespace ayant la mme valeur du potentiel.26

Lignes de champDnition : Les lignes de champ sont des courbes de lespace auxquelles le champ lectrostatique est en tout point tangent.

Tant que le champ lectrostatique est un vecteur dni non nul, on peut suivre une ligne de champ de faon continue. Aucun point ne peut porter plusieurs lignes de champ, sauf sil sagit dun point singulier pour lequel le champ nest pas dni (les points correspondants aux charges elles-mmes) ou dun point o le champ lectrostatique est nul (exemple : un centre de symtrie de distribution). En effet, dans tous les autres cas, un croisement des lignes de champ signierait quil existe deux orientations possibles du champ lectrostatique E pour un mme point, ce qui est strictement impossible par dnition du champ lectrostatique. Cette rgle montre que les lignes de champ ne doivent commencer ou sarrter que sur des points singuliers ou des points tels que E 5 0 ; elles peuvent galement natre ou sloigner linni. Les lignes de champ ne donnent pas lintensit du champ lectrostatique. Toutefois, si nous adoptons pour rgle de construction que le nombre de lignes par unit daire perpendiculaire aux lignes est proportionnel lintensit du champ, nous pouvons constater quelles se resserrent dans les rgions de champ intense et quau contraire elles scartent section des surfaces dans les rgions de champ faible. quipotentielles Pour tracer ces lignes de dans le plan de la figure champ, nous pouvons dtermilignes de champ ner les solutions du systme diffrentiel issu de la relation Fig. 2.8. Lignes de champ et surfaces quipotentielles cres E( r ) 5 V ( r ). En coor- par deux charges ponctuelles positives gales. donnes cartsiennes par exemple, les variables (x, y, z) seront lies par les relations : dy dz dx 5 5 Ex Ey Ez (2.22)

Surfaces quipotentiellesDnition : Les surfaces quipotentielles sont constitues par lensemble des points correspondant la mme valeur du potentiel. Ces surfaces sont orthogonales aux lignes de champ.

En effet, en chaque point dune telle surface, le champ lectrostatique qui oriente la ligne de champ correspondante indique lorientation du gradient de potentiel : celuici est ncessairement perpendiculaire la surface qui caractrise lensemble des points quipotentiels. Une surface quipotentielle est solution de lquation diffrentielle Ex d x 1 Ey d y 1 Ez d z 5 02. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

27

2.6. Applications de ces dnitions quelques exemplesDans les paragraphes prcdents, nous avons introduit les principales dnitions concernant llectrostatique. Nous allons maintenant les appliquer quelques exemples simples.

1

Exemple dune distribution discrte

Considrons deux charges ponctuelles gales, qA 5 qB 5 q, spares par une distance 2a, places en r A et r B . Par commodit, on pourra prendre lorigine des espaces au milieu O de AB, r A 5 r B (g. 2.9).

Force lectrostatiqueConsidrons maintenant une troisime charge Q de mme signe que q place en un point M quelconque. Formellement, nous pouvons calculer les forces F A et F B exerces respectivement par les charges en A et B sur cette charge Q en utilisant la relation 2.2. La force totale scrit F ( r ) 5 F ( r A) 1 F ( r B) 5 Q 4p0 qA

| r A r M|

2

u A( r M) 1

qB

| r B r M|y

2

u B( r M)

Pour simplier le calcul de cette somme vectorielle, nous allons supposer de plus que la charge Q est situe dans le plan mdian de AB. Dans le systme de coordonnes cartsiennes ( u x , u y ) choisi sur la gure 2.9, les vecteurs u A et u B ont pour composantes : u A ( r M ) 5 (cos u, sin u); u B ( r M ) 5 ( cos u, sin u) tandis que le point M est de coordonnes (0, y). Ainsi la force totale F ( r M ) a pour expression : F(r ) 5u A(r M )

F(M ) FB FA

Mu B(r M )

A q

O

B q

x

Fig. 2.9. Force lectrostatique exerce sur une charge Q > 0 par deux charges ponctuelles q > 0.

Qq 2 sin u 2Qq y uy 5 uy 4p0 a2 1 y2 4p0 (a2 1 y2 )3/2

Cette force F( r M ) est dans la direction de la droite passant par M et appartenant au plan mdian. Nous verrons au chapitre 3 que ce rsultat aurait pu tre anticip en utilisant des arguments de symtrie. Lorsque y est grand devant a, on peut alors ngliger a2 devant28

y2 dans lexpression de F ( r ). La force est ainsi gale en premire approximation : F(r ) 5 2qQ uy 4p0 y2

Nous pouvons constater sur cette expression que tout se passe comme si les charges qA et qB taient places lorigine. Cet exemple illustre les commentaires effectus au paragraphe 2 concernant les distributions de charges.

Champ et potentiel lectrostatiqueLe champ lectrostatique E( r M ) cr au point M par les charges qA et qB peut donc scrire, en vertu de la relation 2.7 : E( r ) 5 2q y u 2 1 y2 )3/2 y 4p0 (a

Pris nul linni, le potentiel lectrostatique V ( r M ) scrit quant lui : V(r ) 5 4p0 (a2 2q 1 y2 )1/2

On peut montrer aisment avec ces expressions que la relation 2.21, liant le champ lectrostatique au potentiel, est bien vrie.

2

Exemple dune distribution continuez dz Pu P (r M )

Considrons maintenant un l inni , charg uniformment et caractris par une densit linique de charge l > 0 (g. 2.10). Calculons le champ et le potentiel en point M situ la distance r du l. La distribution de charges prsentant une symtrie axiale, il convient dutiliser les coordonnes cylindriques (r, u, z) pour dcrire la position du point M. Par commodit, lorigine est choisie au point dintersection O de laxe de rvolution avec le plan perpendiculaire contenant M.

O

ur

M

d E P (M ) d E(M ) d E P (M )

r

dz

u P (r M )

P

Fig. 2.10. Champ lectrostatique cr par deux contributions innitsimales symtriques dun l inni charg uniformment.2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

29

Champ lectrostatique cr par un l rectiligne inniPour calculer ce champ lectrostatique, nous allons appliquer le principe de superposition en dcoupant le l en lments innitsimaux puis en sommant toutes les contributions. Soit donc une charge lmentaire d q contenue dans llment de longueur d z et situe en P, une distance z de lorigine. Puisque le l est uniformment charg, on a d q 5 l d z. La contribution lmentaire au champ lectrostatique cre par cet lment de charge au point M scrit : d E P (M) 5 l d z u P (z) 4p0 (z2 1 r 2 )

Dans cette expression u P (z) dnit le vecteur unitaire dans la direction PM. Pour calculer le champ total, il convient maintenant de faire la somme vectorielle de toutes ces contributions lmentaires. Il est judicieux de commencer par les regrouper deux par deux. En effet, considrons maintenant la contribution dun lment de longueur d z situ en P , symtrique de P par rapport O, et sommons les contributions lmentaires cres par P et P : l dz d E P (M) 1 d E P (M) 5 u P (z) 1 u P (z) (2.23) 4p0 La somme vectorielle u P (z) 1 u P (z) donne par symtrie une contribution perpendiculaire au l. Cette composante radiale a pour module :

|d E P (M) 1 d E P (M)| 5

l dz u P (z) 1 u P (z) u r 4p0 (z2 1 r 2 )

(2.24)

Ceci se gnralise tous les couples de points (P, P ) situs de part et dautre de lorigine. Le l tant inni, pour toute charge lmentaire d q situe en P, on pourra trouver sur le l une autre charge situe en P , de telle sorte que les composantes parallles au l sannulent. Toutes ces contributions de paires (P, P ) tant radiales, leur somme le sera galement. Le champ lectrostatique total cr par un l inni est donc radial (indiquons encore une fois que lutilisation des proprits de symtrie du systme aurait pu nous permettre daccder directement cette conclusion ; nous y reviendrons au chapitre suivant) : E( r ) 5 Er ( r ) u r Lorientation du champ lectrostatique total ainsi dtermine, il ne reste plus qu en calculer le module Er ( r ) qui ne dpend que de la distance r. Pour ce faire, il suft deffectuer la somme des contributions donnes par lexpression 2.24. Au pralable, il convient de la rexprimer en fonction de langle a entre OM et PM. La contribution de la paire (P, P ) est gale :

|d E P (M) 1 d E P (M)| 5

l cos a d a l dz 2 cos a 5 4p0 (z2 1 r 2 ) 2p0 r

(2.25)

30

r z tan a 5 2 )1/2 1r r da dz 5 r 2 cos a Le module du champ lectrostatique total cr par toutes les charges du l sobtient en sommant sur toute les paires (P, P ), ce qui revient intgrer lexpression 2.25 entre 0 et p : 2 puisque cos a 5 (z2p 2

Er ( r ) 50

l cos a d a l sin a 5 2p0 r 2p0 r

p 2

50

l 2p0 r

(2.26)

Potentiel lectrostatique cr par un l rectiligne inniPour calculer le potentiel lectrostatique cr par ce l inni au point M(r, u, z), nous allons ici utiliser la relation 2.21 liant le champ et le gradient du potentiel. En coordonnes cylindriques, nous avons les relations suivantes : V (r, u, z) r V (r, u, z) Eu (r, u, z) 5 ru V (r, u, z) Ez (r, u, z) 5 z Nous venons de dmontrer dans la section prcdente que le champ lectrostatique tait radial. Eu (r, u, z) et Ez (r, u, z) sont donc nuls, ce qui veut dire que le potentiel lectrostatique est indpendant de u et z. partir de lexpression 2.26, nous pouvons calculer lexpression du potentiel lectrostatique V (r). Par simple intgration par rapport r, nous obtenons : l ln r 1 K V (r) 5 2p0 Rappelons que le l tant inni, on ne peut pas prendre le potentiel nul linni ; la constante K devra tre dtermine en choisissant arbitrairement la position correspondant au potentiel nul. Er (r, u, z) 5

1 On spare les lectrons et les protons dun gramme dhydrogne et on les carte de la distance Terre-Lune. Calculer la force de Coulomb qui en rsulte et la comparer la force gravitationnelle correspondante. On donne : Nombre dAvogadro : 6 1023 ; constante de gravitation G 5 6, 67 1011 MKSA ; Mproton 5 1840 ; mlectron 5 9 1031 kg ; la mlectron distance Terre-Lune est de 38, 5 104 km.

2 On distribue des charges de mme valeur sur les sommets dun cube, chaque arte de longueur a joignant deux charges de signes opposs. Intuitivement, pensez-vous que les huit charges ont tendance se rapprocher ou sloigner ? Vrier votre intuition en calculant, la force qui sexerce sur chacune des charges. Indice. Calculer la rsultante des forces sur la diagonale du cube.

2. LECTROSTATIQUE DANS LE VIDE : LOI DE COULOMB

31

3 Deux boules de lige identiques de masse m et portant la mme charge q sont attaches deux ls de longueur l et suspendues en un mme point. a. Trouver langle u que font les deux ls avec la verticale quand lquilibre est atteint. b. Quelle charge q faut-il dposer sur chacune des boules de lige pour que u 5 5 , si m 5 1, 6 102 g et l 5 20 cm. c. Les deux ls sont maintenant suspendus en deux points espacs de la distance d. Comment pourrait-on utiliser ce montage pour vrier exprimentalement la loi de variation de linverse du carr de la distance en mesurant langle u pour diffrentes valeurs de d ? 4 Un noyau duranium a une charge de 92 p. a. Donner le sens, la direction et le module du champ lectrostatique d au noyau la distance de 1 (5 1010 m) de celui-ci. b. En dduire le sens, la direction et le module de la force qui sexerce sur un lectron cette distance. 5 Soient deux charges q et q repres dans un plan (x, y) respectivement par leurs coordona a nes 2 , 0 et 2 , 0 . On donne : q 5 1, 11 1010 C et a 5 102 m.

Donner le sens, la direction et le module du champ lectrostatique rsultant aux diffrents points du plan xOy suivants :a (1) M(0, a), M 0, 2 , O(0, 0) ;

(2) N(a, 0), N (a, 0) ; (3) P(a, a), Pa4

,

a 4

;

(4) Existe-t-il, en dehors de linni, des points o le champ est nul ? 6 Calculer la diffrence de potentiel VA VB entre deux points A et B distants respectivement de a et b dun l inni uniformment charg avec une densit linique l. Calculer VA VB si l 5 1010 C/m, a 5 5 cm, b 5 10 cm en sachant que le potentiel du point C situ 20 cm du l est choisi comme origine des potentiels. 7 Donner lexpression de la densit supercielle s quil faut introduire sur un plan conducteur suppos inni pour quune charge ponctuelle q rpartie uniformment sur une petite sphre de masse m tienne en quilibre au dessus du plan. Calculer s si q 5 107 C et m 5 0, 9 g. Lquilibre dpend-t-il de la position de la charge q au dessus du plan ? Que se passe-t-il si, une fois la charge en quilibre, on augmente lgrement s ? Indice. On supposera la charge ponctuelle.

32

C h a p i t r e

3

lectrostatique

Proprits du champLe champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle est radial et obit une loi en 1/r 2 . Ces caractristiques induisent des proprits des champs lectrostatiques que nous allons tudier dans ce chapitre. Nous y dmontrerons en particulier le thorme de Gauss, thorme fondamental de llectrostatique, que nous appliquerons ensuite quelques distributions de charges.3.1 Proprits associes au caractre radial du champ lectrostatique 1 Circulation du champ lectrostatique 2 Rotationnel du champ lectrostatique 3.2 Proprits associes la dpendance en 1/r 2 de lintensit du champ lectrostatique 1 Flux dun champ lectrostatique travers une surface ferme 2 Thorme de Gauss 3 Expression locale du thorme de Gauss. Divergence du champ lectrostatique 3.3 Proprits de symtrie du champ lectrostatique 1 Symtries et variables pertinentes 2 Symtries et orientations du champ lectrostatique 3.4 Exemple dutilisation des proprits du champ lectrostatique 1 Continuit de la composante tangentielle du champ lectrostatique 2 Discontinuit de la composante normale du champ

3.5 Calcul du champ lectrostatique cr par des distributions de charges de symtrie leve 1 Principe de la mthode 2 Calcul du champ lectrostatique cr par une distribution symtrie sphrique charge uniformment 3 Calcul du champ cr par un l cylindrique inni uniformment charg 4 Champ cr par un plan inni uniformment charg 3.6 Mthode gnrale

Mots-cls Champ lectrostatique Symtries Thorme de Gauss

3. PROPRITS DU CHAMP LECTROSTATIQUE

33

3.1. Proprits associes au caractre radial du champ lectrostatique1 Circulation du champ lectrostatiqueC E(r ) E(r ) E(r )Fig. 3.1. Circulation du champ lectrostatique sur un contour ferm C.

Comme nous lavons vu au chapitre prcdent, le champ lectrostatique E( r ) cr par une charge ponctuelle tant radial, il drive dun potentiel V ( r ). Cette proprit importante des champs lectrostatiques E permet dafrmer que leur circulation, dnie comme lintgrale de E d l sur tout contour ferm C (g. 3.1) est nulle. Nous dirons que la circulation du champ lectrostatique est conservative. En effet : E dl 5C A A

A

E d l 5 V (A) V (A) 5 0

(3.1)

Le cercle sur le symbole dintgration rappelle que lintgration doit tre effectue sur tout le contour C.

2

Rotationnel du champ lectrostatique

La relation 3.1 fait intervenir la valeur du champ lectrostatique en chaque point de la boucle C. Elle dcrit donc une proprit non locale de ce champ. Nous allons maintenant tablir une autre relation qui dcrira une proprit locale du champ lectrostatique, en ce sens que cette proprit ne dpendra que du point o lon tudie le champ et de son voisinage immdiat. Soulignons ds prsent que cette nouvelle formulation est mathmatiquement strictement quivalente la premire, toutes deux dcrivant, des chelles diffrentes, le caractre radial du champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle. Pour tablir cette nouvelle formulation, nous utiliserons le thorme de Stockes (la dmonstration de ce thorme est donne en annexe). Selon ce thorme, E dl 5C S

E( r ) d S

(3.2)

Dans cette expression, E( r ) reprsente symboliquement le produit vectoriel de loprateur et du champ lectrostatique E( r ), appel rotationnel du vecteur E, S une surface connexe sappuyant sur le contour C ; d S est un vecteur normal un lment innitsimal de surface, de module d S et orient de manire ce que le tridre34

S

dSv

C dlFig. 3.2.

(d l , v, d S) soit direct, v tant un vecteur quelconque orient vers le centre de la boucle (g. 3.2). En appliquant le thorme de Stockes lquation 3.1, on obtient immdiatement :

E( r ) d S 5 0S

(3.3)

Cette relation tant vraie quels que soient le contour C parcouru, et donc la surface S borde, on en dduit que :

E( r ) 5 0

(3.4)

Nous dirons que le rotationnel du champ lectrostatique E est nul. Ce rsultat constitue lexpression dune proprit locale fondamentale du champ lectrostatique. Elle relie les valeurs du champ E en un point celles quil prend dans un voisinage immdiat. Ce rsultat est totalement li au caractre radial du champ lectrostatique : il lui est strictement quivalent. (Ce rsultat nest valable que dans le cas de llectrostatique. Dans le cas de charges mobiles, lexpression du rotationnel du champ lectrostatique est plus complique.)

3.2. Proprits associes la dpendance en 1/r 2 de lintensit du champ lectrostatiqueAprs avoir tudi dans le paragraphe prcdent les proprits locales du champ lectrostatique lies son caractre radial, nous allons examiner maintenant celles associes la variation en 1/r 2 de lintensit du champ lectrostatique. Nous tablirons en particulier lun des thormes les plus importants de llectrostatique : le thorme de Gauss, dans ses versions non locale et locale. Ce thorme sapplique tout champ radial dont lintensit varie en r 2 (champ lectrostatique et galement champ gravitationnel).

1

Flux dun champ lectrostatique travers une surface ferme

Par dnition, le ux dun champ vectoriel C travers un lment de surface d S est donn par lexpression d F 5 C d S. Le ux du champ C travers une surface nie S est tout naturellement donn par lintgrale double tendue toute la surface S de llment innitsimal prcdent. Applique au champ de vitesse dun uide en coulement, cette dnition recouvre bien la notion de ux du uide travers une surface, par exemple le ux de leau dune rivire travers un let tendu (voir annexe). La notion de ux travers une surface ferme voque donc quelque chose qui rentre ou qui sort . Nous conserverons ici cette ide intuitive. Le ux dun champ lectrostatique travers une surface ferme sera discut en termes de lignes de champ qui pntrent ou qui quittent cette surface ferme.3. PROPRITS DU CHAMP LECTROSTATIQUE

35

Flux du champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle q travers une surfaceCommenons par calculer le ux dun champ cr par une charge ponctuelle travers une surface ferme S entourant un volume ni V . Une charge ponctuelle place lorigine O des espaces cre en tout point r un champ lectrostatique E( r ) : E( r ) 5 1 q ur 4p0 r 2

Ce champ tant radial, les lignes de champ associes forment un faisceau de droites passant par O.

Flux travers un lment de surface - DnitionConsidrons un lment innitsimal d S quelconque de la surface S, situ la distance r de lorigine, et calculons le ux travers cet lment de surface (g. 3.3). Il convient dintroduire lensemble des lignes de champ sappuyant sur le contour de d S : ce cne de lignes de champ dnit langle solide d V sous lequel on voit llment de surface d S depuis la charge. Par dnition (voir annexe), nous avons : dS (3.5) dV 5 ur 2 r

dS S

qFig. 3.3. surface.

ur

Flux travers un lment de

d S tant le vecteur sortant de S normal la surface et de module d S. Le ux lmentaire d F de E travers d S sexprime simplement en fonction de langle solide d V par : dF 5 q dV 4p0

Ainsi, lorsque les lignes de champ sont perpendiculaires la surface d S, le ux est maximum, tandis quil est nul si la surface est parallle aux lignes de champ. Le ux mesure en quelque sorte lcoulement du champ travers la surface.

Flux travers une surface ferme ne contenant pas la charge ponctuelle q crant le champ lectrostatiqueSupposons maintenant que la surface ferme S ne contienne pas la charge q > 0 (g. 3.4) et calculons en nous servant du rsultat prcdent, le ux total travers la surface S. Prenons tout dabord un cne engendr par un faisceau de lignes de champ. Ce cne intersecte la surface S et dnit deux surfaces lmentaires d S1 et d S2 ; nous appellerons d c le volume contenu lintrieur de ce faisceau et de la surface S. Calculons le ux travers le tube constitue par les surfaces d S1 , d S2 et la surface latrale SL engendre par les lignes de champ. Par dnition, le ux travers la surface latrale E d S L est nul puisquen chaque point de cette surface le champ appartient la surface. Il ne reste donc plus qu calculer les contributions associes chacune des surfaces d S1 et d S2 .

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Conventionnellement les surfaces sont orientes de lintrieur vers lextrieur de la surface ferme S. En appliquant la relation 3.5 chacune de ces surfaces, nous obtenons : d F1 5 d F2 5 q d S1 u r q 5 dV 2 4p0 4p0 r1 q d S2 u r q 5 dV 2 4p0 4p0 r2

dS1

S

dS2

Ces deux ux sont de mme intensit mais de signe oppos le ux est rentrant sur la surface d S2 et sortant sur la surface d S1 . Ainsi le q O ux total travers la surface entourant le volume lmentaire d c est nul. Toute la surface ferme S Fig. 3.4. Flux travers une surface ferpeut tre dcompose de cette faon. Le ux total me. traversant cette surface S est alors gal par construction la somme des contributions associes chacun des tubes intervenant dans la dcomposition de S. Chaque contribution tant nulle, nous pouvons conclure que le ux total du champ lectrostatique cr par une charge, travers une surface ferme ne la contenant pas, est nul.

Flux travers une surface ferme contenant la charge ponctuelle q crant le champ lectrostatiqueConsidrons maintenant une surface ferme qui enveloppe la charge q. Chaque faisceau de lignes de champ issu de la charge q intersecte alors la surface S en dnissant une seule surface lmentaire d S (g. 3.5). Calculons le ux travers la surface ferme constitue par la surface latrale du cne et la surface d S. Comme dans le cas prcdent, le ux travers la surface latrale est nul par construction. Le ux est simplement gal celui du champ travers la surface d S qui a pour expression : dF 5 q dV 4p0dS1S q O

dS2Fig. 3.5.

Le ux total travers la surface S est la somme des contributions apportes par chaque lment dangle solide d V, quelle que soit sa forme ; langle solide correspondant toute la surface S est gal 4p. Ainsi le ux du champ lectrostatique cr par une charge ponctuelle travers une surface ferme la contenant est exactement gal : F5 q 0 (3.6)

3. PROPRITS DU CHAMP LECTROSTATIQUE

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Thorme de Gauss

Nous avons valu pour linstant le ux du champ lectrostatique cr par une seule charge ponctuelle. Nous pouvons en dduire le ux dun champ lectrostatique cr par une distribution quelconque de charges travers une surface ferme, en appliquant le principe de superposition. En effet, chaque charge qi dans le cas dune distribution discrte ou chaque lment de charge d q dans celui dune distribution continue, cre un champ lectrostatique dont le ux contribuera au ux total travers une surface ferme. Si la charge qi ou llment de charge d q est extrieur la surface S, la contribution lmentaire correspondante sera nulle ; dans le cas contraire, elle sera respectivement gale qi /0 ou d q/0 .Thorme : Le ux total du champ lectrostatique cr par la distribution continue travers une surface ferme est gal au produit par 1/0 de la somme algbrique Qint , des charges contenues dans la surface. Nous pouvons crire : E dS 5S

Qint 0

(3.7)

Ce rsultat fondamental de llectrostatique est appel thorme de Gauss .

Un peu dhistoireThorme de GaussEn 1840, Gauss publie Thormes gnraux sur les forces dattraction et de rpulsion agissant en raison inverse du carr des distances , ouvrage dans lequel il nonce son clbre thorme.

3 Expression locale du thorme de Gauss. Divergence du champ lectrostatiqueLexpression 3.7 qui ncessite la connaissance du champ lectrostatique en tout point de la surface ferme, caractrise donc une proprit non locale du champ. Toutefois, nous allons voir maintenant que cette proprit a son quivalent lchelle locale. Pour tablir cette nouvelle formulation du thorme de Gauss, nous appliquerons la relation 3.7 le thorme de Green-Ostrogradsky. Selon ce thorme dmontr en annexe, on a : E dS 5S V

( E) d t

(3.8)

Dans cette expression V est le volume contenu dans la surface ferme S et d t un lment innitsimal de ce volume.

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Un peu dhistoireThorme de GreenGreen dmontre en 1826 son thorme et le prsente dans un ouvrage intitul Essay on the Application of Mathematical Analysis to The Theory of Electricity and Magnetism . Il restera inconnu de la quasi-totalit des savants de lpoque, en particulier ceux de lcole franaise, jusqu ce que W. Thomson, lord Kelvin, le popularise lors dune visite Paris en 1845 et fasse rditer louvrage de Green en 1850.

Si nous introduisons le rsultat obtenu par le thorme de Green-Ostrogradsky dans lexpression 3.7, nous obtenons par identication : Qint 1 ( E) d t 5 5 r dt 0 0 V V Ce rsultat est valable quels que soient la surface S et le volume V quelle enveloppe. On peut donc en dduire la relation : r( r ) (3.9) 0 Ce rsultat correspond la formulation locale du thorme de Gauss. En chaqu