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Contents
점추정과 신뢰구간 추정
추정량
신뢰구간 추정
모평균의 신뢰구간 추정
t 분포
모비율의 신뢰구간 추정
표본크기 결정
모분산의 신뢰구간 추정
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점추정과 신뢰구간 추정
통계적 방법
통계분석
기술통계학 추리통계학
통계적 추정 가설검정
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점추정과 신뢰구간 추정
추정량과 추정치
추정량(estimator): 표본정보에 의존하는 확률변수로서 모수를추정하는 데 사용되는 표본통계량
추정치(estimate): 표본자료를 이용하여 계산한 통계량의 특정한값(수치)
점추정과 신뢰구간 추정
점추정(point estimation) : 표본을 추출하고 필요한 계산을 하여얻는 하나의 수치인 점추정치(point estimate)로 모수를 추정하는방법
신뢰구간 추정(confidence interval estimate) : 모수의 참 값이포함되리라고 기대하는 추정치를 일정한 범위로 나타내는 방법
점추정과 신뢰구간 추정
신뢰구간의 범위(폭)
신뢰하한 점추정치 신뢰상한
모집단
확률분포
평균= 50
표본
모평균 μ는
모른다.
모평균은40에서
60사이일것이라고
나는95%신뢰한다.
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추정량
모수의 좋은 추정량이 되기 위한 조건
불편성(unbiasedness)
효율성(efficient estimator)
일치성(consistency)
충족성(sufficient estimator)
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점추정과 신뢰구간 추정
불편추정량 점추정량 의 표본분포의 기대값이 모수 와 같을 때 점
추정량 은 모수의 불편추정량(unbiased estimator)이라고한다.
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추정량
효율추정량 불편추정량 중에서 분산이 작은 추정량을 효율추정량(efficient
estimator)이라고 한다.
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추정량
일치추정량 표본크기가 증가할수록 추정량 이 모수 에 더욱 근접하는
추정량을 일치추정량(consistent estimator)이라고 한다.
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추정량
충족추정량 충족추정량(sufficient estimator)이란 모수 를
추정하기 위하여 추출하는 동일한 크기의
표본으로부터 가장 많은 정보를 제공하는 추정량을
말한다.
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추정량
모수의 추정량
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신뢰구간 추정
신뢰구간 추정 모수가 포함되리라고 보는 범위(구간)를 실수할 확률을
가지고 제시함으로써 추정치에 대한 불확실성을 표현한다.
신뢰구간 추정치 : 하한 ≤ 점추정치 ≤ 상한
신뢰구간(confidence interval) 점추정치를 중심으로 특정 확률로 모수가 포함될 것이라고
기대하는 하한부터 상한까지의 구간
신뢰하한과 신뢰상한을 신뢰한계(confidence limits)라고도한다.
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신뢰구간 추정
신뢰구간 신뢰수준(level of confidence)또는 신뢰도(degree of
confidence) : 미지의 모수의 참 값이 신뢰한계 안에 포함될
확률
모수 μ에 대한 95% 신뢰구간 : 모수 μ가 이 구간 속에 들어갈
확률이 95%라는 것을 의미하지 않고 표본크기 n을 반복하여
추출하여 설정하는 100개의 신뢰구간 중에서 95개(95%)는
모수 μ를 포함하고 5개(5%) 정도는 포함하지 않을 것이라는
것을 의미한다. 실제로 하나의 신뢰구간을 설정하기 때문에
모수 μ가 이 구간 속에 포함될 것으로 95% 신뢰한다고 말한다.
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신뢰구간 추정
오차율(probalility of error)
설정된 신뢰구간이 모수의 참값을 포함하지 않을 확률
= 1 - 신뢰수준
신뢰수준 = 1 -
오차율 의 값이 작을수록 신뢰수준은 높게 되고신뢰구간의 폭은 증가한다.
보통 =0.05, 95% 신뢰구간이 사용된다.
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신뢰구간 추정
신뢰구간 설정 오차한계(margin of error) : 표본오차로서 표본평균과
모평균 사이의 차이
신뢰구간 추정치의 한계 = 점추정치 ± 오차한계
= 점추정치 ± Z(추정의 표준오차)
Z는 임계치(critical value) 또는 신뢰요인(factor) 이라고 하는데 오차율 또는 신뢰수준에 따라 결정된다.
신뢰구간
신뢰하한 신뢰상한점추정치(표본통계량)
오차한계
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신뢰구간 추정
신뢰구간
모평균
σ²기지
모분산모비율
σ²미지
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 아는 경우 가정(assumption)
모집단은 정규분포를 따른다.
모표준편차 σ 는 알고 있다.
모평균의 신뢰구간
모평균 μ의 신뢰구간의 한계 = ± Z
= ± Z
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 아는 경우 모평균 μ의 신뢰구간
Z 는 각 꼬리에 의 확률을 갖는 표준정규분포의 임계치이다.
오차한계 ME =
신뢰수준에 따른 Z값
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 아는 경우 모평균 μ의 신뢰구간
= 0.05 신뢰수준 = 95%
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 아는 경우 모평균 μ의 신뢰구간
모평균 μ의 신뢰구간의 영향요소 : σ, (1- ), n
오차한계 축소 = 신뢰구간 범위의 축소
ME =
모표준편차 σ를 줄여야 한다.
신뢰수준(1- )를 낮추어야 한다.
표본크기 n을 증가시켜야 한다.
에서
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 아는 경우 모평균 μ의 신뢰구간 : 예 8-1
모평균 소요시간이 35.2분에서 54.8분 사이일 것이라고 95%
신뢰한다.
모평균 소요시간이 이 구간 속에 포함이 안될지라도 이런 방법으로
설정한 구간들의 95%는 모평균 참 값을 포함한다.
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 모르는 경우(대표본) 가정 모집단이 정규분포를 따른다.
모표준편차 σ 를 모른다.
표본크기 n≥30이다.
예 8-2
} σ 대신 s를 이용한다.
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모평균의 신뢰구간 추정
Z분포와 t분포 사용의 결정방법
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 모르는 경우(소표본) 가정
모집단이 정규분포를 따른다.
모표준편차 σ를 모른다.
표본크기 n<30 이다.
t 분포(t distribution) 평균 μ인 정규모집단으로부터 크기 n의 표본을 무작위로 추출하였을
때 평균 , 표본표준편차 s일 표본통계량 t는
으로 자유도 (n-1)인 t 분포를 따른다.
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 모르는 경우(소표본) t 분포의 특성
t 분포는 표준정규분포와 같이 평균=0을 중심으로
좌우대칭이며 종모양이다.
t 분포의 밀도함수는 표준정규분포보다 큰 분산을 갖는다.
동일한 신뢰수준에서 t통계량을 사용한 신뢰구간의 범위가
Z통계량 사용시보다 넓다.
t 분포는 자유도 (n-1)에 따라 분포모양이 결정된다.
자유도(표본크기)가 증가할수록 t 분포는 표준정규분포에
근접한다.
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 모르는 경우(소표본) t 분포의 특성
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모평균의 신뢰구간 추정
Z분포와 t분포의 비교(신뢰수준 95%, 표본크기 5)
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 모르는 경우(소표본) t 분포표 이용
확률이 아닌 t값
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모평균의 신뢰구간 추정
모표준편차 σ를 모르는 경우(소표본) t 분포를 이용한 모평균 μ의 신뢰구간
t 분포를 이용한 모평균 μ의 신뢰구간 : 예 8-5
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모비율의 신뢰구간 추정
가정(대표본) 확률표본이 추출된다.
이면 표본비율 은 정규분포에 근접한다.
표본비율 의 표본분포
으로 표준오차 을 추정한다
모비율의 신뢰구간 추정
모비율 p에 대한 100(1- )% 신뢰구간(대표본)
모비율 p의 신뢰구간 : 예 8-6
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표본크기 결정
모평균을 추정하는 경우 모표준편차 σ를 아는 경우
모평균을 추정하는 데에 필요한 표본크기 결정 임계치 Z값을 결정하는 신뢰수준(1- )를 알아야 한다.
오차한계(표본오차) e를 알아야 한다.
모표준편차 σ를 알아야 한다.
표본크기의 결정 : 예 8-7
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표본크기 결정
모평균을 추정하는 경우 모표준편차 σ를 모르는 경우
표본크기의 결정 : 예 8-8
표본크기 결정
모비율을 추정하는 경우 표본비율을 아는 경우
표본비율을 모르는 경우
표본크기 결정 : 예 8-9
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모분산의 신뢰구간 추정
분포
분포(chi-square distribution)
평균 μ, 분산 σ²인 정규모집단으로부터 크기 n의 표본을무작위로 반복하여 추출하고 각 표본에 대해 분산 s²을계산하였을 때 확률변수 은
으로 자유도 (n-1)인 분포를 따른다.
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모분산의 신뢰구간 추정
분포 분포의 특성
t분포와 같이 자유도 (n-1)에 따라 분포의 모양이 변한다.
표본크기가 클수록 정규분포에 근접한다.
t분포, 정규분포와 달리 좌우대칭이 아니며 오른쪽 꼬리를 갖는다.
확률변수 은 언제나 양수이고 가장 왼쪽에서 0을 갖는다.
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모분산의 신뢰구간 추정
분포 분포표 이용
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모분산의 신뢰구간 추정
모분산 σ²의 신뢰구간 가정
모집단은 정규분포를 따른다.
분포의 신뢰구간
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모분산의 신뢰구간 추정
모분산 σ²의 신뢰구간 분포를 이용한 모분산 σ²의 신뢰구간
분포를 이용한 모분산 σ²의 신뢰구간 : 예 8-13
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E N D
