Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 ... ?· Master Modélisation Statistique M2…

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  • Master Modlisation Statistique M2Finance - chapitre 4

    Mouvement Brownien et modle de Black-Scholes

    Clment Dombry,Laboratoire de Mathmatiques de Besanon,

    Universit de Franche-Comt.

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 1 / 23

  • Motivations et objectif du cours

    Il sagit de modliser un march financier en temps continu. Le modleest plus raliste, car les cours des actions sont gnralement cots demanire continue : par exemple pour le CAC40.Le modle principal est le modle de Black-Scholes et se base sur lemouvement Brownien.Aprs avoir dfinit le mouvement Brownien, on tudiera quelquesproprits et on verra que le mouvement Brownien apparat comme limitede marches alatoires renormalises.Finalement, on introduira le modle de Black-Scholes comme limite dumodle de Cox-Ross-Rubinstein.On tablira la formule de Black-Scholes donnant le prix des optionseuropennes (call et put).

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 2 / 23

  • Plan du cours

    1 Le mouvement Brownien

    2 Le modle de Black-Scholes comme limite du modleCox-Ross-Rubinstein

    3 La formule de Black-Scholes pour le prix des options europennes

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 3 / 23

  • Notion de processus stochastique

    Un processus stochastique reprsente lvolution alatoire dune quantitdans le temps : la valeur Xt () reprsente la quantit au temps t pour laralisation .

    DfinitionSoit (,F ,P) un espace probabilis.

    On appelle processus stochastique X = (Xt )t0 une collection Xt devariables alatoires (i.e. pour tout t 0, 7 Xt () est mesurable).On dit que le processus X = (Xt )t0 est trajectoires continues si ilexiste un ensemble de probabilit nulle N tel que pour tout \ Nlapplication t 7 Xt () est continue.

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 4 / 23

  • Notion de processus stochastique

    Un processus stochastique reprsente lvolution alatoire dune quantitdans le temps : la valeur Xt () reprsente la quantit au temps t pour laralisation .

    DfinitionSoit X = (Xt )t0 un processus stochastique.

    On appelle accroissement de X entre les temps t1 et t2 la variablealatoire Xt2 Xt1 .On dit que le processus X = (Xt )t0 est accroissements indpendantssi pour tout k 2, 0 = t0 < t1 < t2 < < tk , les variables Xti Xti1 ,1 i k sont indpendantes.

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  • Notion de mouvement Brownien

    DfinitionOn appelle mouvement Brownien standard B = (Bt )t0 un processusstochastique trajectoires continues vrifiant

    i) B0 = 0 p.s.,ii) pour tout 0 t1 < t2, Bt2 Bt1 N (0, t2 t1),iii) pour tout k 2, 0 = t0 < t1 < t2 < < tk , les accroissements

    (Bti Bti1 )1ik sont indpendants.

    Par dfinition du mouvement Brownien, les accroissements sont Gaussiens(ii) et indpendants (iii). Remarquons que lexistence du mouvementBrownien est non triviale, notamment la continuit des trajectoires.

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  • Simulation dun mouvement BrownienAvec un ordinateur, on peut simuler trs simplement les valeurs duprocessus (Bt )t0 en un nombre fini de points.Par exemple, pour tk = kTn , 0 k n variant entre t0 = 0 et tn = T , oncommence par simuler les accroissements k = Btk Btk1 , 0 k n,qui sont i.i.d. de loi N (0,T/n) et on pose

    B0 = 0, Btk =k

    i=1

    (Bti Bti1 ) =k

    i=1

    k , 1 k N.

    Avec le logiciel R :

    T

  • Simulation dun mouvement Brownien

    Attention, cette reprsentation est trompeuse car le logiciel fait uneinterpolation linaire ! On a donc une reprsentation approche dumouvement Brownien.Evidemment la qualit de cette reprsentation est meilleure lorsque Nest grand :

    0 2 4 6 8 10

    1

    01

    23

    4

    N=10

    temps t

    mou

    vem

    ent B

    row

    nien

    B_t

    0 2 4 6 8 10

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    2.5

    3.0

    N=100

    temps t

    mou

    vem

    ent B

    row

    nien

    B_t

    0 2 4 6 8 10

    1

    01

    23

    4

    N=1000

    temps t

    mou

    vem

    ent B

    row

    nien

    B_t

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  • Proprits du mouvement Brownien

    PropositionSoit B = (Bt )t0 un mouvement brownien :

    (covariance) pour tout t1, t2 0, Cov(Bt1 ,Bt2 ) = min(t1, t2) ;(symtrie) le processus (Bt )t0 est aussi un mouvement Brownien ;(proprit de Markov) pour tout a > 0 le processus (Ba+t Ba)t0 est unmouvement Brownien ;(autosimilarit) pour tout c > 0 (c1/2Bct )t0 est un mouvementBrownien.

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 9 / 23

  • Proprits du mouvement Brownien

    DfinitionSoit (Mt )t0 un processus alatoire et Ft = (Ms; s t) la filtration naturelle.On dit que (Mt )t0 est une martingale si pour tout 0 s t , Mt est intgrableet

    E[Mt | Fs] = Ms.

    PropositionSoit B = (Bt )t0 un mouvement brownien. Alors :

    i) (Bt )t0 est une martingale ;ii) (B2t t)t0 est une martingale ;iii) (exp(Bt t/2))t0 est une martingale.

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 10 / 23

  • Marche alatoire et thorme de DonskerDfinitionSoit (Xi )i1 une suite de v.a.i.i.d.On appelle marche alatoire la suite de variable alatoires (Sn)n0 dfinie par

    S0 = 0, Sn =n

    i=1

    Xi , n 1

    Simulation avec R dans le cas Bernoulli Xi B(p) :

    N

  • Marche alatoire et thorme de Donsker

    On tend la marche alatoire (Sn)n0 au temps continu par interpolationlinaire

    St = Sn + (t n)Xn+1, n t n + 1.

    Thorme de DonskerOn suppose les Xi de carr intgrable de moyenne m et variance 2. Alors lamarche alatoire renormalise(

    Snt ntm

    n

    )t0

    converge en loi vers un mouvement Brownien standard (Bt )t0.

    Ce rsultat gnralise le TCL que lon retrouve lorsque t = 1.

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  • Illustration du thorme de DonskerAvec R, on simule la marche alatoire (renormalise) de Bernoulli avecp = 1/2 ou p = 1/4, pour N = 10 ou N = 1000.

    0 2 4 6 8 10

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    2.5

    3.0

    N=10, p=1/2

    temps

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    1.

    0

    0.5

    0.0

    N=10, p=1/2

    temps

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    1.

    2

    1.0

    0.

    8

    0.6

    0.

    4

    0.2

    0.0

    N=1000, p=1/2

    temps

    0 2 4 6 8 10

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    N=10, p=1/4

    temps

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    0.

    4

    0.2

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    N=10, p=1/2

    temps

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    1.

    2

    0.8

    0.

    40.

    0

    N=1000, p=1/2

    temps

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 13 / 23

  • Plan du cours

    1 Le mouvement Brownien

    2 Le modle de Black-Scholes comme limite du modleCox-Ross-Rubinstein

    3 La formule de Black-Scholes pour le prix des options europennes

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 14 / 23

  • Modle de Black-Scholes

    On cherche modliser le cours dun actif cot en temps continu par unprocessus alatoire (St )t0.

    DfinitionLe modle de Black-Scholes de prix initial S0 > 0, rendement instantan etvolatilit > 0 est donn par

    St = S0 exp(t

    2

    2t + Bt

    ), t 0,

    o (Bt )t0 est un mouvement Brownien standard.

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 15 / 23

  • Proprits du processus de Black-Scholes

    St = S0 exp(t

    2

    2t + Bt

    ), t 0,

    PropritsLe processus (St )t0 est trajectoires continues et dmarre en S0 pourt = 0.Pour tout t 0, St suit une loi log normale

    ln(St ) N (ln(S0) + ( 2/2)t , 2t)

    Lesprance de St est donne par

    E(St ) = S0et

    ce qui explique linterprtation de comme rendement instantan.

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 16 / 23

  • Proprits du processus de Black-ScholesDe lquation

    St = S0 exp

    (t

    2

    2t + Bt

    ), t 0,

    on dduit facilement que pour tout t 0, h > 0

    St+h = St e(2/2)he(Bt+hBt ).

    Avec un dveloppement de Taylor heuristique, pour h 0

    St+h St(

    1 + ( 2/2)h)(

    1 + (Bt+h Bt ) + 2/2(Bt+h Bt )2).

    On va lordre 2 pour la partie Brownienne car E[(Bt+h Bt )2] = h et on peut montrer que les termes 2/2het 2/2(Bt+h Bt )2 se compensent en moyenne ce qui conduit

    St+h St + St h + St (Bt+h Bt ).

    La formulation rigoureuse se fait par la thorie des quations diffrentielles stochastiques :

    dSt = St dt + St dBt .

    C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 17 / 23

  • Black-Scholes comme limite de Cox-Ross-Rubinstein

    Rappels :

    Le modle CRR est un modle temps discret n = 0, . . .N o le rendement de lactif chaque pas detemps ne prend que deux valeurs possibles 1 + a et 1 + b, a < b.

    Pour que le march soit viable, le taux dintrt par priode r doit vrifier r [a, b].Il existe alors une unique probabilit risque neutre P sous laquelle les variables de rendementRn = Sn/Sn1 1, 1 n N sont i.i.d. et desprance r :

    aP(Rn = a) + bP(Rn = b) = r

    do

    P(Rn = a) = pa + (1 p)b avec p =b rb a

    .

    Pour n = 0, . . . ,N,