Mat 2080 par Hassan Younes · Mat 2080 par Hassan Younes UQÀM Mat2080 - Chapitre 7 Exercice... Une entreprise de vente au détail emploie 40 vendeurs. Le gérant est en train de

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Mat2080 UQÀM

Chapitre 7: Estimation d’autres paramètres

H. Younes Page 1 de 58

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Plan de l’exposé

Nous avons développé en détail le problème de l’estimation de lamoyenne µ d’une population. Mais la moyenne n’est pas le seulparamètre qu’on puisse vouloir estimer: il y a au moins quatreautres paramètres qu’on a souvent intérêt à connaître ou à estimer:

• Le total τ d’une population : par exemple, la production totalede blé dans les fermes d’une certaine région.

• Une proportion p: par exemple, la proportion des employésd’une compagnie qui serait favorable à un plan de soinsdentaires.

• Un effectif NC , par exemple, le nombre d’employés favorables àun plan de soins dentaires.

• Un quotient R, par exemple, le nombre de postes de radio parpersonne dans les ménages d’une population.


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Plan de l’exposé

• Estimation d’un total

• Estimation d’une proportion

• Estimation d’un effectif

• Estimation d’un quotient

• Estimation de la moyenne et du total d’un domaine


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Résumé des propriétés de y

• L’estimateur y est sans biais :

µy = µ

• L’écart type de y est

σy =

√1 − n

N

S√n

,

où S est l’écart type corrigé de la population, défini par

S =

√∑N

i=1(yi − µ)2

N − 1.


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Résumé des propriétés de y...

• L’écart type de y peut être estimé par

σy =

√1 − n

N

s√n

,

où s est l’écart type corrigé de l’échantillon, défini par

s =

√∑n

i=1(yi − y)2

n − 1.

• Un intervalle de confiance de niveau 1−α pour µ est donné par

[y − 2 × sy; y + 2 × sy] ,


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Exercice...

Une entreprise de vente au détail emploie 40 vendeurs. Le gérant

est en train de comptabiliser les ventes pour la semaine qui vient de

se terminer. Jusqu’ici, les montants des ventes par employé, ne sont

disponibles que pour 5 vendeurs. Ces 5 données sont présentées

dans le tableau suivant:Nom du vendeur Ventes de la semaines (en $)

Pierre 7 600

Céline 4 800

Rosario 6 200

Mélanie 8 500

Sophia 6 400

On a calculé pour vous :∑

y = 33 500 et∑

y2 = 232 450 000


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1. Évaluer y et sy

Solution

y =1

n

∑y

=33 500

5= 6 700

σ2

y = y2 − (y)2

=1

n

∑y2 − (y)2

=232 450 000

5− 6 7002

= 1 600 000

s2

y =n

n − 1σ2

y =5

4× 1 600 000 = 2 000 000

sy =√

2 000 000

= 1 414, 2136


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2. Estimer, par un intervalle de confiance de niveau 95%, la

valeur de la moyenne des ventes par vendeur.

Solution

L’intervalle de confiance est de la forme:

y ± 2 × sy.

En ce qui a trait à sy, on a:

sy =

√1 − n

N

sy√n

=

√1 − 5

40× 1 414, 2136√

5= 591, 607994

On trouve

y − 2 × sy ≤ µy ≤ y + 2 × sy

6 700 − 2 × 591, 607994 ≤ µy ≤ 6 700 + 2 × 591, 607994

5 516, 784 ≤ µy ≤ 7 883, 215


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Estimation d’un total

Considérons une population constituée de 850 transactions. Soit τ

le total des transactions. Supposons que ce total est inconnu et que

nous nous proposons de l’estimer à partir d’un échantillon de taille

20. Les montants des transactions de l’échantillon sont:

23,9 110,52 79,95 146,65 19,51

26,62 27,67 65,79 12,38 12,44

72,14 57,37 62,93 135,88 15,22

36,35 31,98 7,39 33,05 46,96

Nous pouvons suivre les mêmes étapes avec τ qu’avec µ: proposer

un estimateur; vérifier qu’il est sans biais; donner une formule de sa

variance, une formule de l’estimateur de la variance, et une formule

de l’intervalle de confiance.


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L’estimateur. Puisque nous avons utilisé la moyenne y pour

estimer µ, il est naturel d’utiliser

T = Ny

pour estimer le total τ = Nµ.

Écart type de l’estimateur du total

σT = Nσy = N

√1 − n

N

S√n


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Comment estimer l’écart type de T?

Il suffira de remplacer S par s dans la formule, ce qui donne

σT = N

√1 − n

N

s√n

Intervalle de confiance à 95% est donc

[T − 2 × σT ; T + 2 × σT ] .

Remarque On peut obtenir aussi un intervalle de confiance pour

le total τ de la population en multipliant les bornes de l’intervalle

de confiance pour la moyenne µ par N .


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Estimation du montant total des transactions...

Taille de la population: N = 850 transactions.

Taille de l’échantillon : n = 20.

La moyenne et l’écart type de la variable y, montant de la

transaction, sont:

y = 51, 235

et

s = 40, 7313

donc l’estimateur du total est

T = Ny = 850 × 51, 235 = 43549, 75.


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.

L’écart type estimé de l’estimateur est

σy =

√1 − n

N

s√n

=

√1 − 20

850

40, 7313√20

= 9

l’écart type de l’estimateur du total est donc:

σT = Nσy = 850 × 9 = 7650

Un intervalle de confiance à 95% pour le total τ est donné par:

T − 2 × σT ≤ τ ≤ T + 2 × σT

43549, 75 − 2 × 7650 ≤ τ ≤ 43549, 75 + 2 × 7650

28250 ≤ τ ≤ 58850.


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.

Une autre façon de faire c’est de calculer un intervalle de confiance

à 95% pour la moyenne µ:

y − 2 × σy ≤ µ ≤ y − 2 × σy

51, 235 − 2 × 9 ≤ µ ≤ 51, 235 + 2 × 9

33, 235 ≤ µ ≤ 69, 235

on trouve alors l’intervalle de confiance pour le total τ en

multipliant les deux bornes de l’intervalle de confiance pour µ par

N = 850 et on peut enfin affirmer avec 95% de confiance que

28250 ≤ τ ≤ 58850.


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Estimation d’une proportion

Un autre paramètre qu’on veut souvent estimer est p, la proportion

des membres d’une population qui possèdent une certaine

caractéristique, ou qui appartiennent à une certaine classe C .

• p peut être:

– la proportion de comptes impayés dans une population de

comptes;

– la proportion de pièces défectueuses dans un lot de pièces

fabriquées;

– la proportion de personnes exprimant telle ou telle opinion

dans un sondage.


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Estimation d’une proportion

Ici aussi, nous pourrons exploiter les résultats obtenus pour

l’estimation d’une moyenne. Il suffira de réaliser qu’une proportion

est en fait une moyenne d’un type particulier: c’est la moyenne

d’une variable dont les seules valeurs sont 0 et 1. Ce qui signifie

que tout ce que nous avons développé jusqu’ici sur l’estimation

d’une moyenne peut être mis à profit dans l’estimation d’une

proportion. L’exemple suivant illustre ce fait.


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Exemple...

Supposons qu’on veuille estimer, à partir de l’échantillon de 50 professeurs tiré d’une populationde N = 171 professeurs, la proportion p de professeurs engagés en 1970 ou avant (la classe C ).Pour faire le lien entre une proportion et une moyenne, définissons la variable Y de la façonsuivante:

yi =

1 si le professeur i appartient à la classe C

0 sinon

Date y Date y Date y Date y

1975 0 1972 0 1968 1 1971 0

1981 0 1969 1 1967 1 1974 0

1983 0 1969 1 1966 1 1970 1

1971 0 1968 1 1969 1 1985 0

1983 0 1969 1 1969 1 1974 0

1967 1 1969 1 1969 1 1972 0

1982 0 1983 0 1971 0 1982 0

1987 0 1969 1 1975 0 1973 0

1971 0 1967 1 1967 1 1969 1

1967 1 1971 0 1970 1 1981 0

1969 1 1970 1 1968 1 1981 0

1983 0 1970 1 1978 0 1976 0

1973 0 1976 0


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Exemple...

Il est clair que p = y et on peut alors procéder exactement comme

avec une moyenne. On a

y = 0, 46

s =

√∑n

i=1(yi − y)2

n − 1=

√12, 42

49= 0, 5035

σp ≈√

1 − 50

171

0, 5035√50

= 0, 0599

Un intervalle de confiance à 95% est donné par

[0, 46 − 2 × 0, 0599; 0, 46 + 2 × 0, 0599]

= [0, 3402; 0, 5798]

34, 02% ≤ p ≤ 57, 98%


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Estimation d’une proportion: simplifications...

L’estimateur. Dans un sondage auprès de 1785 personnes, on leur

a demandé s’ils étaient satisfaits du gouvernement en place.

Le nombre de personnes qui ont répondu affirmativement est

l’effectif de l’échantillon et est une variable aléatoire X

Si la taille de l’échantillon est n, la proportion de l’échantillon est:

p =X

n

Par exemple, si 1000 des 1785 personnes ont répondu «oui», alors

p =1000

1785= 0, 56


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Simplifications...

L’estimateur:

p =X

n,

cet estimateur est sans biais, c’est à dire µp = p.

Comment estimer l’écart type de p?

σp =

√1 − n

N

√p(1 − p)

n − 1≈

√1 − f

√p(1 − p)

n − 1

Intervalle de confiance

[p − 2 × σp; p + 2 × σp] .


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Exemple...

L’estimateur. La proportion p, de professeurs engagés en 1970 ou

avant, est estimée par p = 0, 46.

Comment estimer l’écart type de p?

σp =

√1 − n

N

√p(1 − p)

n − 1

=

√1 − 50

171

√0, 46(1 − 0, 46)

49∼= 0, 06

Intervalle de confiance pour p à 95% est

p − 2 × σp ≤ p ≤ p + 2 × σp

0, 46 − 2 × 0, 06 ≤ p ≤ 0, 46 + 2 × 0, 06

0, 34 ≤ p ≤ 0, 58


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Estimation d’un effectif

Tout comme avec le total

τ = Nµ

d’une variable quantitative, nous pouvons définir l’effectif

NC = Np

d’une certaine classe C de la population.

Les techniques d’estimation de ce paramètre découlent de celles de

p, tout comme les techniques d’estimation de τ découlent de celles

de µ.


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Estimation d’un effectif

L’estimateur.

NC = Np = N × proportion au sein de l’échantillon

Comment estimer l’écart type de NC?

σNC

= N√

1 − f

√p(1 − p)

n − 1

Intervalle de confiance[NC − 2 × σ

NC; NC + 2 × σ

NC

].


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Exemple...

Supposons qu’on veuille estimer le nombre de professeurs engagés

en 1970 ou avant. Puisque p = 0, 46 et que N = 171, nous estimons

le total par NC = (171) (0, 46) = 78, 66. Puisqu’il s’agit d’un

effectif, nous arrondissons, et estimons donc que le nombre de

professeurs dans cette classe est 79.

L’écart type de l’estimateur σNC

:

Nσp = N√

1 − f

√p(1 − p)

n − 1

= 171

√1 − 50

171

√(0, 46)(0, 54)

50 − 1= 10, 24.


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Exemple...

Intervalle de confiance pour l’effectif, N : le nombre de professeursengagés en 1970 ou avant, à 95% est donc:

NC − 2 × σNC

≤ NC ≤ NC + 2 × σNC

78, 66 − 2 × 10, 24 ≤ NC ≤ 78, 66 + 2 × 10, 24

58, 18 ≤ NC ≤ 99, 14

Le nombre de professeurs engagés en 1970 ou avant est donc entre58 et 100.

Une autre façon de faire est de determiner un intervalle deconfiance pour p puis de multiplier les bornes par N :

0, 34 ≤ p ≤ 0, 58

171 × 0, 34 ≤ N × p ≤ 171 × 0, 58

58, 14 ≤ NC ≤ 99, 18


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Estimation d’un quotient

Considérons le tableau suivant qui présente des données sur unéchantillon de 50 logements tirés d’une population de 1 500logements.

X Y X Y X Y X Y X Y

2 87 7 116 4 95 4 98 4 95

5 112 3 90 7 122 6 105 4 92

4 95 2 85 3 92 2 83 4 98

6 95 2 86 1 80 2 85 2 83

4 95 5 112 6 95 3 96 2 83

5 108 6 115 6 115 3 96 6 120

4 98 5 108 2 83 2 87 3 90

4 92 6 100 2 86 6 95 3 90

2 86 4 92 1 80 5 96 5 104

3 94 4 92 4 95 4 98 4 95

X: Nombre de personnes dans le logementY : Superficie du logement, en mètres carrés.


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Supposons que l’objectif est d’estimer le nombre de mètres carrés

par personne dans les logements de la population. Il s’agit donc

d’un paramètre nouveau, un quotient, que nous dénoterons par R,

soit

R =

∑N

i=1yi∑N

i=1xi

=µy

µx

où µy et µx sont les moyennes de Y et de X , respectivement.


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L’estimateur:

R =

∑n

i=1yi∑n

i=1xi

=y

x

Comment estimer l’écart type de R?

σR≈

√1 − f

√s2

y + R2s2x − 2Rsxy

x√

n

Intervalle de confiance[R − 2 × σ

R; R + 2 × σ

R

].


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Exemple...

Nous avons:

n = 50∑xi = 193

∑yi = 4790

∑x2

i = 869∑

y2

i = 464 324∑

xy = 19 198

x = 3, 86

s2

x = 2, 53102

s2

y = 111, 061

sxy = 14, 4612


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Exemple...

L’estimation du quotient est donc

R =

∑50

i=1yi∑

50

i=1xi

=4790

193= 24, 818653

Nous estimons donc que, dans la population, l’espace dans les

logements est de 24,8 m2 par personne.


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Exemple...

On estime l’écart type de R par

σR

=√

1 − f

√s2

y + R2s2x − 2Rsxy

x√

n

=

√1 − 50

1500

×

√√√√ 111, 061 + 24, 81862 × 2, 53102

−2 × 24, 81876 × 14, 4612

3, 86√

50= 1, 11159

L’estimation semble être très précise, l’écart type n’étant que de

1,11159.


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Exemple...

Par conséquent, un intervalle de confiance approximatif à 95% est

donné par

R − 2 × σR

≤ R ≤ R + 2 × σR

24, 818 − 2 × 1, 111 ≤ R ≤ 24, 818 + 2 × 1, 111

25, 60 ≤ R ≤ 27, 94


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Exercice...

Une ville d’un million d’habitants compte 105 résidences pour

personnes âgées d’une capacité comprise entre 100 et 250 lits. Une

banque désire connaître le rendement d’opération (R) pour ce type

d’industrie de services. Elle définit R comme rapport (Y/X) de la

somme (Y ) du profit avant amortissement et des frais de

financement à long terme à l’investissement (X) constitué par la

somme de l’avoir des propriétaires et de l’emprunt à long terme. La

banque compte utiliser le rapport R = Y/X pour établir sa

stratégie de crédit industriel. L’examen des rapports financiers

d’un échantillon aléatoire de 25 établissements de la catégorie

considérée a donné les résultats suivants (en milliers de dollars):

x = 3735; y = 381; sx = 1104; sy = 57; sxy = 5852. Établissez un

intervalle de confiance approximatif à 95% pour R.


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Solution...

L’estimation du quotient est

R =y

x=

381

3 735= 0, 1020008 .

On estime l’écart type de R par

σR

=

√1 − n

N

√s2

y + R2s2x − 2Rsxy

x√

n

=

√1 − 25

105

√572 + (0, 102)2(1 104)2 − 2(0, 102)(5 852)

3735√

25= 0, 0056742 .

L’intervalle de confiance approximatif à 95% pour R est

[R − 2 × σR, R + 2 × σ

R], soit 0, 092 ≤ R ≤ 0, 112.


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Un autre exemple...

Pour estimer le revenu par personne dans un quartier de 1 120

ménages, vous tirez un échantillon de 50 ménages. Vous trouvez

que, dans l’échantillon, le revenu moyen par ménage est de 35 100$

avec un écart type de 13 000$ et que le nombre moyen de personnes

par ménage est de 3.2 avec un écart type de 1.2 personne. Sachant

que le coefficient de corrélation de l’échantillon (r = sxy/ (sxsy))

est égal à 0,631, déterminez un intervalle de confiance à 95% pour

le revenu par personne dans le quartier.


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Solution...

Le revenu R par personne est le quotient µy/µx où µy est le revenu

moyen par ménage et où µx est le nombre moyen de personnes par

ménage. L’estimation de R est

R =y

x=

35 100

3, 2= 10 968, 75 .

On peut trouver sxy par la formule

sxy = rsxsy = 0, 631 × 1, 2 × 13 000 = 9 843, 6 .


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Solution...

On en déduit l’estimateur de l’écart type de R:

σR =

√1 − n

N

√s2

y + R2s2x − 2Rsxy

x√

n

=

√1 − 50

1 120

×

√130002 + (10 968, 75)2(1, 2)2 − 2(10 968, 75)(9 843, 6)

3, 2√

50

= 485, 47 .

L’intervalle de confiance approximatif à 95% pour R est

[R − 2 × σR, R + 2 × σR], soit 9 997, 81 ≤ R ≤ 11 939, 69.


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Encore...

Afin d’évaluer des obligations émises par une municipalité

comptant 11 000 propriétés résidentielles unifamiliales, une agence

de quotation désire évaluer l’équité moyenne du propriétaire pour

cette catégorie de propriétés. Il s’agit du rapport

R =Y

X=

évaluation − reste de l’hypothèqueévaluation

.

Un échantillon de 43 propriétés donne – à partir des données

fournies par le bureau d’enregistrement et par la municipalité en

question – que (en millier de dollars) x = 93, y = 52, que sx = 22,

sy = 9 et que sxy = (0, 22) (sxsy). Établissez une intervalle de

confiance approximatif à 95% pour l’équité moyenne dans la

municipalité.


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

R = 52/93 = 0, 559,

Sxy = 43, 56,

σR

= 0, 2217551,

R − 2 × σR≤ R ≤ R + 2 × σ

R;

soit

51, 57% ≤ R ≤ 60, 26%


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Échantillonnage d’un domaine

• Considérons une population P qui comprend comme partie, ou

sous-population D.

• Dénotons par τd, µd, et Nd le total, la moyenne et la taille,

respectivement, de D.

• Il arrive qu’on décide d’estimer τd ou µd après avoir prélevé un

échantillon de la population entière P.

• Une sous-population dont on veut estimer un paramètre est

appelée: domaine.

• Soit nd le nombre d’éléments de l’échantillon qui appartiennent

à D.


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%


D

Population : N, µ, S

Sous-population

Échantillon

N , µ , S d d d

d d d n, y, s

Sous-échantillonn , y , s


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%


L’estimation de µd: faire comme si on avait prélevé unéchantillon de taille nd du domaine D. C’est-à-dire, on estime µd

par la moyenne yd des nd éléments de l’échantillon quiappartiennent à D.

Comment estimer l’écart type de yd?

Si Nd est connu,

σyd=

√1 − nd

Nd

sd√nd

,

Si Nd n’est pas connu,

σyd=

√1 − n

N

sd√nd

,

Intervalle de confiance

[yd − 2 × σyd; yd + 2 × σyd

] .


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%


L’estimation de τd: faire comme si on avait prélevé un

échantillon de taille nd du domaine D. C’est-à-dire, on estime τd

par Td = Ndyd en se restreignant aux nd éléments de l’échantillon

qui appartiennent à D.

Comment estimer l’écart type de Td?

• Si Nd est connu,

σTd= Nd

√1 − nd

Nd

sd√nd

.


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

• Si Nd n’est pas connu.

Pour estimer un total dans ce cas, nous définissons une nouvelle

variable Y ′ dont les valeurs y′i remplacent les yi et sont:

y′

i =

yi si l’unité i est dans D0 sinon

– Y ′ est définie pour la population entière.

– Le total τ ′ pour la population est précisément égal au total τd

du domaine.

Faire comme s’il s’agissait d’estimer le total d’une population

entière et non celui d’un domaine.

En pratique, on remplace toutes les données échantillonnales

qui n’appartiennent pas à D par 0, et procéder ensuite à

l’estimation d’un total.


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Exercice 6.2

A la fin d’une journée, le gérant d’un marché Monoprix prélève un

échantillon de 40 coupons de caisse parmi les 350 de la journée afin

d’estimer le montant total des ventes de produits pharmaceutiques.

Il trouve que seulement 10 coupons parmi les 40 comprenaient des

achats de produits pharmaceutiques. Les montants pour ces 10

coupons sont:

21,28 2,32 18,76 16,36 4,59

4,99 6,67 7,28 8,10 6,60


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution

1. Estimer le montant total des ventes en produits pharmaceu-tiques et estimer l’écart type de votre estimateur.

Solurion: les données peuvent être présentées sous la formesuivante:

i y′i

ni

1 21,28 1

2 2,32 1

4 16,36 1

5 4,59 1

6 4,99 1

7 6,67 1

8 7,28 1

9 8,10 1

10 6,60 1

11 à 40 0,00 30

c’est à dire: définir la nouvelle variable Y ′ dont les valeurs y′i

remplacent les yi et sont:

y′

i =

yi si l’unité i est dans D : achats pharmaceutiques

0 sinon


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

.

i y′i

ni y′ini y′2

i ni

1 21,28 1 21,28 452,8384

2 2,32 1 2,32 5,3824

3 18,76 1 18,76 351,9376

4 16,36 1 16,36 267,6496

5 4,59 1 4,59 21,0681

6 4,99 1 4,99 24,9001

7 6,67 1 6,67 44,4889

8 7,28 1 7,28 52,9984

9 8,1 1 8,1 65,61

10 6,6 1 6,6 43,56

11 à 40 0 30 0 0

Total 40 96,95 1330,4335

Moyenne y′ = 2,42375 y′2 = 33, 2608375


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

La variance échantillonnale non corrigée est:

σ′2 = y′2 − y′2

= 33, 2608375 − 2, 423752 = 27, 3862734

et la variance échantillonnale corrigée est:

s′2

=n

n − 1× (variance échant. non corrigée)

=40

39× 27, 3862734

= 28, 0884856


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

Ce qui nous conduit à un écart type échantillonnal (corrigé) de

s′ =√

28, 0884856 = 5, 29985713

On calcule alors l’écart type de y′ :

s′y′ =

√1 − n

N

s′√n

=

√1 − 40

350

5, 2999√40

= 0, 7886


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

L’estimation ponctuelle de τd est :

Td = N × y′ = 350 × 2, 42375 = 848, 3125

L’écart type de cette estimation du total est

sTd= N × s′y′ = 350 × 0, 788644 = 276, 025392.

Si nous voulons un intervalle de confiance à 95% pour le total

des ventes en produits pharmaceutiques (τd):

Td ± 2 × sTd= 848, 3125 ± 2 × 276, 025392

d’où l’intervalle

296 ≤ τd ≤ 1400.


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Attention...

L’intervalle de confiance à 95% pour la moyenne des ventes en

produits pharmaceutiques n’est pas:

y′ ± 2 × s′y′ = 2, 42375 ± 2 × 0, 788644

c’est à dire l’intervalle

0, 846462 ≤ µ ≤ 4, 001038.

Analyser les valeurs des ventes! La moyenne de ces valeurs est

plus élevée que $4. Cet intervalle peut juste servir comme

première étape pour le calcul de l’intervalle de confiance pour

le τd dans le cas où Nd est inconnue en multipliant les bornes

de cet intervalle par N .


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Question 2...

2. Supposons qu’on fasse un travail préliminaire pour séparer,

dans la population, les coupons qui comprennent des produits

pharmaceutiques de ceux qui n’en comprennent pas, et qu’on

trouve que dans la population 80 des coupons ont des produits

pharmaceutiques.

Estimer le total en utilisant cette information et estimer l’écart

type de l’estimateur.


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

.

Solution:i yi ni yini y2

ini

1 21,28 1 21,28 452,83842 2,32 1 2,32 5,38243 18,76 1 18,76 351,93764 16,36 1 16,36 267,64965 4,59 1 4,59 21,06816 4,99 1 4,99 24,90017 6,67 1 6,67 44,48898 7,28 1 7,28 52,99849 8,1 1 8,1 65,6110 6,6 1 6,6 43,56

Total 10 96,95 1330,4335

Moyenne yd =9,695 y2

d=133,04335


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

La variance échantillonnale non corrigée est:

σd2 = y2

d − yd2 = 133, 04335 − 9, 6952 = 39, 050325

et la variance échantillonnale corrigée est:

nd

nd − 1× (variance échantillonnale non corrigée)

=10

9× 39, 0503254

= 43, 38925

Ce qui nous conduit à un écart type échantillonnal (corrigé) de

sd =√

43, 38925 = 6, 58705169


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

On calcule alors l’écart type de yd :

syd=

√1 − nd

Nd

sd√nd

=

√1 − 10

80

6, 58705169√10

= 1, 9485

Faisons donc un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne:

yd ± 2 × syd= 9, 695 ± 2 × 1, 9485


5, 798 ≤ µd ≤ 13, 592.


Mat

208

0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Solution...

Si nous voulons un intervalle de confiance à 95% pour le totaldes ventes en produits pharmaceutiques (τd), il suffit demultiplier les bornes par la taille de la population, à savoir,N = 80.

80 × 5, 798 ≤ τd = Nd × µd ≤ 80 × 13, 592.

463, 84 ≤ τd ≤ 1087, 36.

N.B.:

L’estimation ponctuelle de τd est :

Td = Nd × yd = 80 × 9, 695 = 775, 60

L’écart type de cet estimateur est

sTd= Nd × syd

= 0, 7591884 × 1, 9845 = 155, 878093.


Mat

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0 pa

r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Remarque...

Si Nd est inconnue et on veut de terminer un intervalle de confiance

pour µd alors, l’estimation ponctuelle de µd est:

yd = 9, 695

L’écart type échantillonnal est:

sd = 6, 58705169

Un seul changement est au niveau de calcul de l’écart type de yd:

syd=

√1 − nd

Nd

sd√nd

=

√1 − n

N

sd√nd


Mat

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r H

assa

n Y

oune

s


&

$

%

Remarque...

Soit

syd=

√1 − 40

350

6, 58705169√10

= 1, 960

et l’intervalle de confiance à 95% pour la moyenne est donc

yd ± 2 × syd= 9, 695 ± 2 × 1, 960


5, 775 ≤ µd ≤ 13, 615.


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Mat 2080 par Hassan Younes · Mat 2080 par Hassan Younes UQÀM Mat2080 - Chapitre 7 Exercice... Une entreprise de vente au détail emploie 40 vendeurs. Le gérant est en train de