MAT231 – Algèbre linéaire - Université Joseph Fourier – 2009-2010

MAT231 – Algèbre linéaire

MAT231 – Algèbre linéaireUniversité Joseph Fourier – 2009-2010

Pierre Bérard

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Notions fondamentales

Applications linéaires, compléments

Matrices associées à une application linéaire

Changements de base

Réduction des endomorphismes, I

Groupe des permutations

Formes multi-linéaires

Déterminant

Déterminant d’un endomorphisme

Calcul des déterminants

Réduction des endomorphismes, II

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Références

Pour la première partie du cours (Notions fondamentales), onpourra consulter les notes de Bernard Ycart (Université JosephFourier, Grenoble I. Mathématiques, Informatique etMathématiques appliquées. Licence Sciences et Technologies),disponibles surhttp ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/

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Pour la deuxième partie du cours (à partir de la sectionApplications linéaires, compléments), on pourra consulter lesouvrages [LFA] ou [M].

[LFA] Lelong-Ferrand, Jacqueline et Arnaudiès, Jean-Marie. Coursde mathématiques, Tome 1. Algèbre. Dunod universités 1977.

[M] Monasse, Denis. Mathématiques. Vuibert 1998.

Dans tout le cours, K désigne R ou C (ou, plus généralement, uncorps commutatif de caractéristique 0).

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MAT231 – Algèbre linéaireNotions fondamentales

Notions fondamentales

Cette section constitue un résumé de la première partie du cours,voir les notes de Bernard Ycart, principalement

I Espaces vectoriels,I Dimension finie,

et accessoirement,I Calcul matriciel,I Systèmes linéaires.

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Espace vectoriel

DéfinitionSoit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur le corps K estla donnée d’un groupe commutatif (E ,+), dont l’élément neutreest noté 0E , et d’une action de K sur E , · : K× E → E ,(λ, x) 7→ λ · x (ou plus simplement λx) telle que

I pour tous α, β ∈ K et x ∈ E , (α + β) · x = α · x + β · x ,I pour tous α ∈ K et x , y ∈ E , α · (x + y) = α · x + α · y ,I pour tous α, β ∈ K et x ∈ E , (αβ) · x = α · (β · x),I pour tout x ∈ E , 1K · x = x .

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ExemplesI L’ensemble Rn, muni des opérations usuelles, l’addition des

vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, estun espace vectoriel sur R.

I L’ensemble Cn, muni des opérations usuelles, l’addition desvecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, estun espace vectoriel sur C et également un espace vectoriel surR.

I L’ensembleMm,n(R) des matrices à m lignes et n colonnes,muni des opérations usuelles, addition des matrices etmultiplication d’une matrice par un scalaire, est un espacevectoriel sur R.

I D’autres exemples sont donnés en cours . . .

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Combinaison linéaire

DéfinitionOn appelle combinaison linéaire de vecteurs de E toute somme(finie) de la forme α1u1 + · · ·+ αkuk où les αj sont des élémentsde K et où les uj sont des éléments de E .

Proposition et DéfinitionSoit A une partie non vide d’un espace vectoriel E . L’ensembleVect(A) des combinaisons linéaires de vecteurs appartenant à Aest un sous-espace vectoriel de E , appelé l’espace vectorielengendré par A. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion)sous-espace vectoriel de E qui contient A.

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Famille génératrice

DéfinitionOn dit qu’une famille {uj}j∈I de vecteurs de E est une famillegénératrice si tout élément de E peut s’écrire comme combinaisonlinéaire (finie) d’éléments de la famille {uj}j∈I .

Dire qu’une famille {uj}j∈I de vecteurs de E est génératricerevient à dire que l’espace vectoriel Vect({uj}j∈I) est égal à E .

Remarque : Soient G1 ⊂ G2 deux familles de vecteurs de E . Si G1est génératrice, alors G2 est génératrice également.

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Famille libre

DéfinitionOn dit qu’une famille {uj}j∈I de vecteurs de E est une famille libresi, pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I, l’égalité

∑j∈J αjuj = 0

implique que αj = 0 pour tout j ∈ J .

Remarque : Soient L1 ⊂ L2 deux familles non vides de vecteurs deE . Si L2 est libre, alors L1 est libre également.

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Base

DéfinitionOn dit qu’une famille de vecteurs de E est une base de E si elle està la fois libre et génératrice.

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ExemplesI La famille e1 := (1, 0, . . . , 0), . . . , en := (0, . . . , 0, 1) est une

famille libre et génératrice de Rn. C’est une base de Rn.I La famille {1,X ,X 2, . . .} est une base de l’espace vectoriel sur

C[X ] des polynômes à coefficients complexes.I La famille {eikx}k∈Z est une famille libre dans l’espace

vectoriel sur C des fonctions continues de R dans C. Elle n’estpas génératrice.

I D’autres exemples sont donnés en cours . . .

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Espace finiment engendré

DéfinitionOn dit qu’un K-espace vectoriel E est finiment engendré (ou qu’ilest de dimension finie) sur le corps K s’il possède une famillegénératrice finie. On dit qu’un espace vectoriel est de dimensioninfinie s’il n’est pas de dimension finie.

ExemplesI Le R-espace vectoriel Rn est finiment engendré.I Le C-espace vectoriel Cn est finiment engendré.I Le R-espace vectoriel R[X ] n’est pas finiment engendré, il est

de dimension infinie.

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Théorème de la base incomplète

ThéorèmeSoit E un K-espace vectoriel finiment engendré. Soient L unefamille libre de E et G une famille génératrice. Alors, il existe unebase finie B de E telle que L ⊂ B ⊂ L ∪ G.

CorollaireSoit E un espace vectoriel finiment engendré, non réduit à {0}.1. Toute famille libre de E est contenue dans une base.2. Toute famille génératrice de E contient une base.3. L’espace vectoriel E possède au moins une base finie.

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Dimension

LemmeSoit E un espace vectoriel. Soit {v1, . . . , vn} une famille de nvecteurs de E . Alors, toute famille de (n + 1) vecteurs dusous-espace vectoriel Vect(v1, . . . , vn) est liée.

Théorème et DéfinitionSoit E un K-espace vectoriel finiment engendré. Alors, toutes lesbases de E ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appellela dimension de l’espace vectoriel E et se note dimK(E ).

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Attention. La dimension dépend du corps de base. Ainsi, leC-espace vectoriel C est de dimension 1 sur C, mais il est dedimension 2 comme R-espace vectoriel.

Quand il n’y aura pas d’ambiguïté sur le corps K, on noteraégalement dim(E ) la dimension de l’espace vectoriel E sur K.

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CorollaireSoit E un K-espace vectoriel de dimension n.1. Toute partie libre de E a au plus n éléments.2. Toute partie libre de E qui possède n éléments est une base.3. Toute partie génératrice de E a au moins n éléments.4. Toute partie génératrice de E qui a n éléments est une base.

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Somme de sous-espaces vectoriels

Remarque préliminaire : Soit E un espace vectoriel. Si F et G sontdeux sous-espaces vectoriels de E . Alors, F ∩ G est un sous-espacevectoriel de E .

Attention, en général F ∪ G n’est pas un sous-espace vectoriel deE .

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DéfinitionSoit E un espace vectoriel et soient F et G deux sous-espacesvectoriels de E .1. On note F + G le sous-espace vectoriel Vect(F ∪ G) engendré

par F et G . On dit que c’est la somme des sous-espaces F etG .

2. On dit que le sous-espace vectoriel H est la somme directe dessous-espaces F et G si H = F + G et si de plus F ∩ G = {0}.On écrit alors H = F ⊕ G .

3. Si E = F ⊕ G , on dit que les sous-espaces F et G sontsupplémentaires (ou encore que l’espace G est unsupplémentaire de F et réciproquement).

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PropositionL’espace vectoriel H est somme directe des sous-espaces vectorielsF et G , H = F ⊕ G , si et seulement si tout vecteur x de H peuts’écrire de manière unique sous la forme x = xF + xG avec xF ∈ Fet xG ∈ G . Si F et G sont de dimension finie, alors H estégalement de dimension finie. Étant données F une base de F et Gune base de G , la famille F ∪ G est une base de H et, de plus,dim(H) = dim(F ) + dim(G).

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Généralisation. Plus généralement, soient E1, . . . ,Ep dessous-espaces vectoriels de E , de somme F := E1 + · · ·+ Ep (définiecomme Vect(∪iEi)). On dit que les sous-espaces Ej sont en sommedirecte, et on écrit leur somme F = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si, pour toutj , 1 ≤ j ≤ p, Ej

⋂(E1 + · · ·+ Ej−1 + Ej+1 + · · ·+ Ep

)= {0}.

PropositionLes sous-espaces Ej , 1 ≤ j ≤ p, sont en somme directe si etseulement si tout vecteur x de F s’écrit de manière unique commex = x1 + · · ·+ xp avec xj ∈ Ej pour 1 ≤ j ≤ p. Si les espaces Eisont de dimension finie et si Ej est une base de Ej , pour 1 ≤ j ≤ p,alors E = ∪p

j=1Ej est une base de F . De plus, F est également dedimension finie et on a l’égalité dim(F ) = dim(E1) + · · ·+ dim(Ep).

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Application linéaire

DéfinitionSoient E ,F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une applicationlinéaire u de E dans F est une application u : E → F qui vérifie1. Pour tous x , y ∈ E , u(x + y) = u(x) + u(y).2. Pour tout α ∈ K et pour tout x ∈ E , u(αx) = αu(x).

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Image et NoyauSoient E ,F deux K-espaces vectoriels et soit u : E → F uneapplication K-linéaire.

Définition1. On appelle image de u, et on note Im(u), le sous-espace

vectoriel u(E ) ⊂ F .2. On appelle noyau de u, et on note Ker(u), le sous-espace

vectoriel u−1(0) ⊂ E .

PropositionI L’application u est injective si et seulement si Ker(u) = {0}.I L’application u est surjective si et seulement si Im(u) = F .

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Soient E un espace vectoriel de dimension finie et E = {e1, . . . , en}une base de E . Soit u : E → F une application K-linéaire. On poseV = {u(e1), . . . , u(en)}.

CorollaireI L’application u est surjective si et seulement si V engendre F .I L’application u est injective si et seulement si V est libre dans

F .I L’application u est bijective si et seulement si V est une base

de F . Dans ce dernier cas, on dit que u est un isomorphismede E sur F , que E et F sont isomorphes et on a alorsdim(E ) = dim(F ).

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Théorème du rang

ThéorèmeSoient E ,F deux K-espaces vectoriels et u : E → F une applicationlinéaire. Si l’espace vectoriel E est de dimention finie, alors

dim(E ) = dim(Im(u)) + dim(Ker(u)).

Application. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d’unespace vectoriel E de dimension finie, alors

dim(F + G) + dim(F ∩ G) = dim(F ) + dim(G).

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ThéorèmeSoit E un espace vectoriel de dimension finie n, et soit F un espacevectoriel. On se donne respectivement E = {e1, . . . , en} une basede E et V = {v1, . . . , vn} une famille de vecteurs de F . Alors, ilexiste une application linéaire u de E dans F , et une seule, telle queu(ei ) = vi pour 1 ≤ i ≤ n. Autrement dit, une application linéaireest entièrement déterminée par la donnée de l’image d’une base.

PropositionSoient E et H deux espaces vectoriels et u une application linéairede E dans H. Soient F ,G deux sous-espaces vectorielssupplémentaires de E . Alors l’application u est entièrementdéterminée par ses restrictions u|F et u|G .

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MAT231 – Algèbre linéaireApplications linéaires, compléments

Applications linéaires, compléments

NotationsSoient E et F deux K espaces vectoriels.

I On note LK(E ,F ) (ou, plus simplement, L(E ,F ) s’il n’y apas d’ambiguïté sur le corps de base), l’ensemble desapplications K-linéaires de E dans F .

I On note LK(E ) l’ensemble des applications K-linéaires de Edans lui-même (endomorphismes de E ).

I On note E ∗ l’ensemble L(E ,K) des applications K-linéairesde E dans K (formes linéaires sur E ). L’ensemble E ∗ s’appellele dual de E .

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Proposition

Les ensembles LK(E ,F ),LK(E ) et E ∗, munis des opérations

(u, v) 7→ u + v , définie par (u + v)(x) := u(x) + v(x),

(λ, v) 7→ λv , définie par (λv)(x) := λv(x),

sont des espaces vectoriels sur K.

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PropositionSoient E ,F et G des espaces vectoriels sur K.La composition des applications, (u, v) 7→ v ◦ u, définit uneapplication de LK(E ,F )× LK(F ,G) dans LK(E ,G).En particulier, la composition des applications linéaires est une loiinterne sur LK(E ).

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Applications linéaires élémentaires

Soient E ,F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. SoientE = {e1, . . . en} une base de E et F = {f1, . . . fm} une base de F .

• Pour 1 ≤ j ≤ n, on définit les formes linéaires e∗j : E → K, par

e∗j (ek) := δjk , c’est-à-dire, e∗j (ej) = 1 et e∗j (ek) = 0 si k 6= j .

• Pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n, on définit les applications linéairesUij : E → F , par

Uij(ek) := δjk fi , c’est-à-dire, Uij(ej) = fi et Uij(ek) = 0 si k 6= j .

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Proposition

Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie sur K, debases respectives E = {e1, . . . en} et F = {f1, . . . fm}, oùn = dim(E ) et m = dim(F ).

I L’espace vectoriel E ∗ est de dimension n et la familleE∗ = {e∗j , 1 ≤ j ≤ n} est une base de E ∗ (appelée la baseduale de la base E).

I L’espace vectoriel LK(E ,F ) est de dimension nm et la famille{Uij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} est une base de LK(E ,F ).

I En particulier, l’espace vectoriel LK(E ) est de dimension n2.

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Transposée d’une application linéaire

Définition

Étant donnés deux espaces vectoriels E et F et u une applicationlinéaire de E dans F , on définit une application de F ∗ dans E ∗,notée tu et appelée transposée de l’application u, par la relation

tu(ϕ) := ϕ ◦ u

pour toute forme linéaire ϕ ∈ F ∗.

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PropositionL’application tu est une application linéaire de F ∗ dans E ∗. Pourtous u, v ∈ L(E ,F ) et pour tout λ ∈ K, on a

t(u + v) = tu + tv et t(λu) = λtu.

De plus, si u ∈ L(E ,F ) et v ∈ L(F ,G), alors

t(v ◦ u) = tu ◦ tv .

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F

Définition (bi-dual d’un espace vectoriel)

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On note E ∗∗l’espace dual de l’espace E ∗. Cet espace vectoriel est appelé lebi-dual de E . Si E := {e1, . . . , en} est une base de E , on noteE∗ := {e∗1 , . . . , e∗n} la base duale de E et on noteE∗∗ := {e∗∗1 , . . . , e∗∗n } la base duale de E∗.

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F

Proposition et Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. L’applicationc : E → E ∗∗ définie par

c(x)(ϕ) := ϕ(x) pour tous x ∈ E , ϕ ∈ E ∗

est un isomorphisme linéaire de E sur E ∗∗. On l’appellel’isomorphisme canonique de E sur son bi-dual E ∗∗.

Étant données une base E de E et E∗∗ la base associée de E ∗∗, ona la relation c(ej) = e∗∗j .

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MAT231 – Algèbre linéaireMatrices associées à une application linéaire

Matrices élémentaires

On désigne parMm,n(K) l’ensemble des matrices à m lignes et ncolonnes et à coefficients dans K.

On note Mij la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf lecoefficient de la i-ème ligne, j-ème colonne qui vaut 1. Pour1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, ces matrices sont appelées matricesélémentaires.

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Structure des matrices

I L’ensembleMm,n(K), des matrices à m lignes et n colonneset à coefficients dans K, est un K-espace vectoriel dedimension mn, dont une base est donnée par la famille{Mij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} des matrices élémentaires.

I On définit une application (multiplication des matrices)

Mm,n(K)×Mn,p(K)→Mm,p(K),

(A,B)→ AB.

Voir les notes Calcul matriciel de Bernard Ycart.

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On désigne parMn(K) l’ensemble des matrices carrées à n ligneset n colonnes, et à coefficients dans K.

C’est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau (noncommutatif) pour la multiplication des matrices.

Voir les notes Calcul matriciel de Bernard Ycart.

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Matrices associées à une application linéaireSoient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. SoientE = {e1, . . . , en} et F = {f1, . . . , fm} des bases respectivement deE et F , où n = dim(E ) et m = dim(F ).

DéfinitionOn appelle matrice associée à l’application linaire u : E → F ,relativement aux bases E et F , la matrice dont les colonnes sontles coordonnées des vecteurs u(ej), 1 ≤ j ≤ n, dans la base F ,c’est-à-dire la matrice, notée MEF (u), telle queMEF (u) =

(mij(u)

)1≤i≤m,1≤j≤n où les coefficients mij sont définis

par

u(ej) =m∑

i=1mij(u)fi pour tout j , 1 ≤ j ≤ n.

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Théorème

L’application

MEF : LK(E ,F ) → Mm,n(K)

MEF : u 7→ MEF (u)

est une application linéaire bijective (un isomorphisme linéaire) deLK(E ,F ) dansMm,n(K). De plus, avec les notations duTransparent 30,

MEF (Uij) = Mij .

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Écriture matriciellePropositionSoit x ∈ E un vecteur qui s’écrit x = x1e1 + · · ·+ xnen dans labase E ; on note XE le vecteur colonne des coordonnées de x dansla base E .

Le vecteur u(x) s’écrit u(x) = y1f1 + . . .+ ymfm dans la base F ;on note YF le vecteur colonne des coordonnées de u(x) dans labase F .

On a la relation,y1...ym

= MEF (u)

x1...xn

, càd YF = MEF (u)XE .

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PropositionSoient E ,F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie etE ,F et G des bases de E ,F et G respectivement. Soientu : E → F et v : F → G des applications linéaires. Alors

MEG (v ◦ u) = MFG (v) MEF (u)

où le produit dans le second membre est le produit des matrices.En particulier, MEE est un isomorphisme de l’anneau LK(E ) desendomorphismes de E dans l’anneauMn(K) des matrices carréesd’ordre n = dim(E ).

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PropositionSoit u : E → F une application linéaire entre deux espacesvectoriels de dimension finie, et soit tu : F ∗ → E ∗ sa transposée.Alors,

MF∗E∗ (tu) = t(MEF (u)

),

où, dans le second membre, tM désigne la matrice transposée de lamatrice M.

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MAT231 – Algèbre linéaireChangements de base

Changements de bases

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soient E et E ′deux bases de E .

Définition

On appelle matrice de passage de la base E à la base E ′ et on notePE ′E , la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteursde la base E ′ dans la base E .

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PropriétéLa matrice PE ′E est la matrice ME ′E (iE ) de l’application identité iE ,

(E , E ′)→ (E , E) , x 7→ x

de E dans lui-même, relativement aux bases E ′ et E .

Proposition

La matrice PE ′E est inversible et (PE ′E )−1 = PEE ′ .

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Coordonnées d’un vecteur relativement à deux basesdifférentes

Proposition

Soit x ∈ E un vecteur dont les coordonnées dans la base E sontdonnées par le vecteur colonne XE et dont les coordonnées dans labase E ′ sont données par le vecteur colonne XE ′ . Alors,XE = PE ′E XE ′ et XE ′ = PEE ′XE .

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Matrices d’une application linéaire relativement à deuxpaires de bases

Proposition

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soitu ∈ L(E ,F ) une application linéaire. On se donne deux bases E etE ′ de l’espace vectoriel E et deux bases F et F ′ de l’espacevectoriel F . Alors

ME ′F ′(u) = PFF ′MEF (u)PE ′E .

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Le diagramme commutatif

(E , E ′)ME′F′ (u)−−−−→

u(F ,F ′)

PE′E

yiE iFxPFF′

(E , E)u−−−−→

MEF (u)(F ,F)

traduit les égalités

u = iF ◦ u ◦ iE et ME ′F ′(u) = PFF ′MEF (u)PE ′E .

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Corollaire

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit u ∈ L(E )un endomorphisme de E . Si E et E ′ sont deux bases de E , il existeune matrice P ∈Mn(K), inversible, telle que ME ′E ′ (u) = P−1MEEP.La matrice P est donnée par P = PE ′E .

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Le diagramme commutatif

(E , E ′)ME′E′ (u)−−−−→

u(E , E ′)

PE′E

yiE iExPEE′

(E , E)u−−−−→

MEE (u)(E , E)

traduit les égalités

u = iE ◦ u ◦ iE et ME ′E ′ (u) = (PE ′E )−1MEE (u)PE ′E .

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MAT231 – Algèbre linéaireRéduction des endomorphismes, I

Réduction des endomorphismes, I

Analyse raisonnéeSoit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K. Soit uun endomorphisme de E . On veut trouver une base de E danslaquelle la matrice de l’endomorphisme soit la plus simple possible,c’est-à-dire une matrice diagonale ou une matrice triangulairesupérieure (ou inférieure), formes qui permettent par exemple derésoudre simplement les systèmes linéaires.

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Valeurs propres – Vecteurs propresSoit E un K-espace vectoriel de dimension n.

Définition

Soit u ∈ L(E ). Le scalaire λ ∈ K est appelé valeur propre del’endomorphisme u s’il existe un vecteur x ∈ E tel que x 6= 0 etu(x) = λx . Le vecteur x est dit vecteur propre de u associé à lavaleur propre λ.

Définition

Si λ est valeur propre de u, le sous-espace vectorielEλ := Ker(u − λiE ) de E s’appelle l’espace propre de u associé àla valeur propre λ (il est, par définition, non réduit à {0}).

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Proposition

Soit u ∈ L(E ). Si λ1, . . . , λp sont des valeurs propres de u deux àdeux distinctes, alors les espaces propres associés, Eλ1 , . . . ,Eλp ,sont en somme directe, c’est-à-dire, pour tout j , 1 ≤ j ≤ p,

Eλj

⋂(Eλ1 + · · ·+ Eλj−1 + Eλj+1 + · · ·+ Eλp

)= {0}.

Corollaire

Si u ∈ L(E ) et si dim(E ) = n alors u possède au plus n valeurspropres distinctes dans K.

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Endomorphisme diagonalisableSoit E un K-espace vectoriel de dimension n.

Théorème et Définition

Soit u ∈ L(E ) un endomorphisme de E . Les trois assertionssuivantes sont équivalentes.1. Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.2. Les espaces propres Eλ1 , . . . ,Eλp correspondant aux valeurs

propres distinctes de u vérifient E = Eλ1 ⊕ · · · ⊕ Eλp .3. Il existe une base E de E telle que la matrice MEE (u) de u

dans cette base soit diagonale.

Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u est diagonalisable.

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Corollaire

Soit u un endomorphisme de E qui admet n valeurs propresdistinctes dans K. Alors, l’endomorphisme u est diagonalisable.

RemarqueTous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. Ainsi, dansR2, les endomorphismes donnés dans la base canonique par(

0 −1−1 0

)et ( 1 1

0 1 ) ne sont pas diagonalisables. Le premier n’a pasde valeur propre dans R. Le second admet 1 comme seule valeurpropre et n’admet pas de base formée de vecteurs propres.

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Endomorphisme trigonalisableThéorème et Définition

Soit u ∈ L(E ) un endomorphisme de E . Les deux assertionssuivantes sont équivalentes.1. Il existe une base E = {e1, . . . , en} de E telle que les

sous-espaces vectoriels V1 := Vect(e1), V2 := Vect(e1, e2),. . . , Vn := Vect(e1, . . . , en) soient stables par u, c’est-à-direu(Vj) ⊂ Vj pour 1 ≤ j ≤ n.

2. Il existe une base E de E telle que la matrice MEE (u) de udans cette base soit triangulaire supérieure.

Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u est trigonalisable. Lescoefficients diagonaux de la matrice MEE (u) sont les valeurs propresde u dans K.

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RemarqueI Tout endomorphisme diagonalisable est en particulier

trigonalisable.I L’endomorphisme ( 1 1

0 1 ) est trigonalisable mais nondiagonalisable.

I On montrera ultérieurement que tout endomorphisme sur unC-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.

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DéfinitionSoit M une matrice carrée n × n, à coefficients dans K. Soit uMl’endomorphisme de Kn dont la matrice associée relativement à labase canonique de Kn est M. On dit que la matrice M estdiagonalisable (resp. trigonalisable) si l’endomorphisme uMcorrespondant est diagonalisable (resp. trigonalisable).

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Hypothèse (T)On dira que le corps K possède la propriété (T) si, pour toutK-espace vectoriel E de dimension finie, tout endomorphisme u deE possède au moins une valeur propre c’est-à-dire, s’il existe aumoins un élément λ ∈ K tel que Ker(u − λiE ) 6= {0}.

Théorème

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K quipossède la propriété (T). Alors, tout endomorphisme u de E esttrigonalisable.

Remarque. On montrera ultérieurement que le corps C possède lapropriété (T) mais que le corps R ne la possède pas.

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MAT231 – Algèbre linéaireGroupe des permutations

Groupe des permutationsCette section est nécessaire pour introduire la notion dedéterminant.

I Pour n ∈ N•, on désigne par N•n l’ensemble {1, 2, . . . , n}.I On désigne par Sn le groupe des permutations, c’est-à-dire le

groupe des bijections de N•n dans lui-même. Notons que legroupe Sn a n! éléments.

I On peut expliciter une permutation σ ∈ Sn, c’est-à-dire unebijection σ : N•n → N•n, par un tableau

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

).

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I On note σ ◦ τ ou στ la composition des deux permutations σet τ ; on note ι la permutation identité.

I On appelle transposition une permutation τ qui échange deuxindices et qui laisse les autres inchangés. Autrement dit, unepermutation τ est de la forme τ = τij où

τij(i) = j , τij(j) = i , et τij(k) = k, pour k 6= i , k 6= j .

Pour toute transposition τ , on a τ2 = ι.

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Théorème

Pour n ≥ 2, l’ensemble des transpositions de Sn engendre Sn,c’est-à-dire, toute permutation peut s’écrire comme produit detranspositions.

Remarque. La décomposition d’une permutation en produit detranspositions n’est pas unique en général. Remarquons égalementque pour n ≥ 3, le groupe S3 n’est pas commutatif.

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Signature

Définition

Soit n ≥ 2 et soit σ ∈ Sn. Le nombre ε(σ) défini par

ε(σ) =∏

1≤i<j≤n

σ(i)− σ(j)i − j

s’appelle la signature de la permutation σ.

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Théorème

Pour σ ∈ Sn, la signature ε(σ) est égale à (−1)N , où N est lenombre d’inversions de σ, c’est-à-dire le nombre d’éléments del’ensemble {(i , j) ∈ N•n × N•n | i < j et σ(i) > σ(j)}.La signature ε est un homomorphisme surjectif du groupe Sn sur legroupe multiplicatif Γ = {−1, 1}.

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Définition

Les permutations telles que ε(σ) = 1 forment un sous-groupe deSn appelé le groupe alterné et noté An. Les éléments de An sontappelés permutations paires ; les élements de Sn \ An sont appeléspermutations impaires.

Attention. Les permutations impaires ne forment pas unsous-groupe.

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MAT231 – Algèbre linéaireFormes multi-linéaires

Formes multi-linéaires

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit p ∈ N•.

Définition

On dit que l’application ϕ de E × · · · × E︸︷︷︸p

(p exemplaires de E )

dans K est une forme p-linéaire sur E si, pour tout j tel que1 ≤ j ≤ p, et pour tous vecteurs y1, . . . , yp ∈ E , les applicationspartielles

x 7→ ϕ(y1, . . . , yj−1, x , yj+1, . . . yp)

sont des formes linéaires de E dans K. Si p = 2, on dira que ϕ estbilinéaire. On notera Lp(E ,K) l’ensemble des formes p-linéairessur E .

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Étant données ϕ ∈ Lp(E ,K) une forme p-linéaire sur E et σ ∈ Spune permutation, on définit une forme p-linéaire sur E , notée σ∗ϕ,par la formule

σ∗ϕ(x1, . . . , xp) := ϕ(xσ(1), . . . , xσ(p)).

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DéfinitionOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ ∈ Lp(E ,K), est symétrique siσ∗ϕ = ϕ pour tout σ ∈ Sp. On désigne par Sp(E ,K) l’ensembledes formes p-linéaires symétriques sur E .

DéfinitionOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ ∈ Lp(E ,K), est anti-symétriquesi σ∗ϕ = ε(σ)ϕ pour tout σ ∈ Sp. On désigne par Ap(E ,K)l’ensemble des formes p-linéaires anti-symétriques sur E .

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DéfinitionOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ ∈ Lp(E ,K), est alternée siϕ(x1, . . . , xp) = 0 chaque fois qu’il existe deux indices distincts i etj tels que xi = xj .

PropriétéUne forme p-linéaire ϕ sur E est alternée si et seulement si elle estanti-symétrique (rappelons que nous supposons ici queK = R ou C).

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Exemples

• Pour p = 1, on retrouve la notion de forme linéaire.• Dans R2, l’application

((x1, y1), (x2, y2)

)7→ x1x2 + y1y2 définit

une application bilinéaire symétrique.• Dans R2, l’application

((x1, y1), (x2, y2)

)7→ x1y2 − x2y1 définit

une application bilinéaire anti-symétrique.• Si ϕ1, . . . , ϕp sont des formes linéaires sur E , l’application(x1, . . . , xp) 7→ ϕ1(x1) · · ·ϕp(xp) définit une application p-linéaireque l’on note ϕ1 · · ·ϕp.

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Théorème

Soit E un K-espace vectoriel et soit p ∈ N•.1. Les ensembles Lp(E ,K),Sp(E ,K) et Ap(E ,K), munis des

opérations naturelles, sont des espaces vectoriels sur K.2. Pour qu’une forme p-linéaire ϕ sur E soit symétrique, il faut

et il suffit que τ∗ϕ = ϕ pour toute transposition τ ∈ Sp.3. Pour qu’une forme p-linéaire ϕ sur E soit anti-symétrique, il

faut et il suffit que τ∗ϕ = −ϕ pour toute transpositionτ ∈ Sp.

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Remarques• Si E est de dimension finie n, on peut montrer que Lp(E ,K) estde dimension finie.• Si ϕ ∈ Lp(E ,K) alors ϕ(x1, . . . , xp) = 0 si l’un des vecteurs xjest nul.

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Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.


Soit ϕ ∈ Lp(E ,K) une forme p-linéaire sur E . Alors

S(ϕ) :=∑σ∈Sp

σ∗ϕ et A(ϕ) :=∑σ∈Sp

ε(σ)σ∗ϕ

sont des formes p-linéaires sur E . De plus,1. la forme S(ϕ) est symétrique, on dit que c’est la symétrisée

de ϕ ;2. la forme A(ϕ) est anti-symétrique, on dit que c’est

l’anti-symétrisée de ϕ.

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MAT231 – Algèbre linéaireDéterminant

Déterminant

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soitE = {e1, . . . , en} une base de E .

On désigne par E∗ = {e∗1 , . . . , e∗n} la base duale de E ∗.

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Déterminant associé à une base d’un espace vectoriel


L’application de En dans K qui au n-uplet de vecteurs (x1, . . . , xn)associe

∏nj=1 e∗j (xj) est une forme n-linéaire sur E . Son

anti-symétrisée

(x1, . . . , xn) 7→∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1e∗j (σ(xj)),

est notée DetE et appelée le déterminant associé à la base E . Ellevérifie DetE(e1, . . . , en) = 1. Il en résulte en particulier queAn(E ,K) 6= {0}.

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Exemples• Dimension 2.• Dimension 3.

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Théorème

Avec les notations précédentes,1. Si p > n, on a Ap(E ,K) = {0}.2. L’espace vectoriel An(E ,K) est de dimension 1 et admet pour

base {DetE}. Si ϕ ∈ An(E ,K), on a

ϕ = ϕ(e1, . . . , en) DetE .

De plus, DetE est le seul élément de An(E ,K) qui prend lavaleur 1 sur le n-uplet {e1, . . . , en}.

3. Soit X := {x1, . . . , xn} ∈ En un n-uplet de vecteurs. On a,

DetE(X ) =∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1e∗j (xσ(j)) =

∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1e∗σ(j)(xj).

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Soit X = (x1, . . . , xn) un n-uplet de vecteurs de E .

DéfinitionOn dit que DetE(X ) := DetE(x1, . . . , xn) est le déterminant dun-uplet X dans la base E .

Proposition

Soit E un espace vectoriel de dimension n.1. Si E et F sont des bases de E alors DetE(F) est inversible

dans K et (DetE(F))−1 = DetF (E).2. Soit E une base de E et soit F un n-uplet de vecteurs. Alors,F est une base de E si et seulement si DetE(F) 6= 0.

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MAT231 – Algèbre linéaireDéterminant d’un endomorphisme

Déterminant d’un endomorphisme

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1.

Théorème et Définition

Soit u un endomorphisme de E . Il existe un unique scalaire, appelédéterminant de u, et noté Det(u), tel que pour toutϕ ∈ An(E ,K), et tous x1, . . . , xn ∈ E , on ait

ϕ(u(x1), . . . , u(xn)) = Det(u)ϕ(x1, . . . , xn).

Ce scalaire est donné, dans une base E = {e1, . . . , en} de E , par

Det(u) = DetE(u(e1), . . . , u(en)).

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Remarque. La première formule du Transparent 79 montre que ledéterminant d’un endomorphisme ne dépend pas du choix d’unebase particulière. La deuxième formule donne un moyen de calculerle déterminant.

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Théorème

Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1.1. On a Det(iE ) = 1.2. Pour λ ∈ K et u ∈ L(E ), on a Det(λu) = λnDet(u).3. Pour u, v ∈ L(E ), on a Det(v ◦ u) = Det(v)Det(u) et

Det(tu) = Det(u) où tu ∈ L(E ∗) est l’endomorphismetransposé de u.

4. Un endomorphisme u de E est inversible si et seulement si sondéterminant est non nul et alors, Det(u−1) = (Det(u))−1.

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Déterminant d’une matrice carrée

Définition

Soit A = (aij) ∈Mn(K) une matrice carrée sur le corps K. Onappelle déterminant de la matrice A, et on note Det(A) ou encore|aij |, le déterminant du n-uplet des vecteurs colonnes de A dans labase canonique de Kn.

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Proposition

Étant donnée une matrice carrée A = (aij) ∈Mn(K), on a

Det(A) =∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1ajσ(j) =

∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1aσ(j)j

et, en particulier, Det(tA) = Det(A) où tA désigne la matricetransposée.

Proposition

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et E une base de E .Si u ∈ L(E ) et si A := MEE (u) est la matrice de u dans la base E ,alors Det(u) = Det(A).

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Propriétés

Soient A,B ∈Mn(K) et λ ∈ K. Le déterminant d’une matricecarrée possède les propriétés suivantes.

I Si on effectue une permutation σ sur les vecteurs colonnes deA et si on appelle C la matrice ainsi obtenue, on aDet(C) = ε(σ)Det(A).

I Le déterminant de A dépend linéairement de chacun desvecteurs colonnes de A.

I Le déterminant de A ne change pas si on ajoute à l’un de sesvecteurs colonnes une combinaison linéaire des autres vecteurscolonnes. Il est nul si un des vecteurs colonnes estcombinaison linéaire des autres vecteurs colonnes.

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Propriétés, suiteI Comme Det(tA) = Det(A), les propriétés ci-dessus sont

également valables pour les vecteurs lignes.I On a Det(In) = 1 (où In désigne la matrice identité d’ordre n),

Det(λA) = λnDet(A) et Det(AB) = Det(A)Det(B).I Si A est une matrice 1× 1 identifiée à un scalaire α, on a

Det(A) = α.I La matrice A est inversible si et seulement si Det(A) 6= 0 et

alors Det(A−1) = (Det(A))−1.

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MAT231 – Algèbre linéaireCalcul des déterminants

Calcul des déterminants

Lemme

Soient n, p, q ∈ N• avec n = p + q. Soient A ∈Mp, B ∈Mq etC ∈Mp,q. On définit une matrice M ∈Mn par

M :=

(A C0 B

).

Alors, Det(M) = Det(A)Det(B).

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Proposition

Soit M ∈Mn une matrice de matrices, triangulaire supérieure,c’est à dire de la forme

M :=

M11 M12 · · · M1m0 M22 · · · M2m...

......

0 0 · · · Mmm

où les Mii , 1 ≤ i ≤ m, sont des matrices carrées. Alors,

Det(M) = Det(M11) · · ·Det(Mmm).

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CorollaireSi

A :=

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

......

0 0 · · · ann

est une matrice triangulaire supérieure de taille n × n, alorsDet(A) = a11 · · · ann.

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Soit A := (aij) une matrice carrée. On désigne par Aij la matriceobtenue à partir de A en supprimant la i-ème ligne et la j-èmecolonne. Alors, pour 1 ≤ i , j ≤ n,

Det(A) =n∑

k=1(−1)k+jakjDet(Akj) =

n∑k=1

(−1)i+kaikDet(Aik).

La première (resp. seconde) égalité est appelée le développementdu déterminant de A suivant la j-ème colonne (resp. suivant lai-ème ligne).

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Définition

Étant donnée une matrice A := (aij), le nombre (−1)i+jDet(Aij)s’appelle le co-facteur du coefficient aij . La transposée de lamatrice des co-facteurs s’appelle la matrice complémentaire de lamatrice A et se note A.

Proposition

Soit A ∈Mn une matrice et soit A sa matrice complémentaire.Alors,

AA = AA = Det(A)In.

En particulier, si Det(A) 6= 0, la matrice A est inversible et soninverse est donnée par la formule

A−1 = (Det(A))−1A.

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MAT231 – Algèbre linéaireRéduction des endomorphismes, II

Réduction des endomorphismes, IISoit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit E une basede E . Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice dans la baseE . Les formules

Det(A− λIn) =∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1(ajσ(j) − λδjσ(j))

=∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1(aσ(j)j − λδσ(j)j)

permettent de définir un polynôme de degré n

PA(X ) :=∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1(ajσ(j)−Xδjσ(j)) =

∑σ∈Sn

ε(σ)n∏

j=1(aσ(j)j−Xδσ(j)j).

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Polynôme caractéristique

Proposition et DéfinitionSoient E ,F deux bases de E et soient A,B les matrices del’endomorphisme u dans ces bases. Alors, PA(X ) = PB(X ). Cepolynôme, noté Pu(X ), s’appelle le polynôme caractéristique del’endomorphisme u.

PropositionLes valeurs propres de l’endomorphisme u ∈ LK(E ) sont lesracines, dans K, du polynôme caractéristique Pu(X ) ∈ K[X ].

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Version Septembre 2009mat231-algebre-lineaire-09_10.tex (7 septembre 2009)

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Documents

MAT231 – Algèbre linéaire - Université Joseph Fourier – 2009-2010