math 3 t2

MATHMATIQUES3me anne de lenseignement secondaire

Centre National Pdagogique

Section : Mathmatiques

TOME 2

Hikma SmidaProfesseur universitaire

Ridha Ben Saad Inspecteur

Njiba MhamdiInspectrice

Lela Ben Youssef Professeur du secondaire

Imne GhedamsiAssistante universitaire

Ali Bji Hammas Inspecteur

Bchir LabidiInspecteur

Belhassen DehmanProfesseur universitaire

Khdija Ben MessaoudInspectrice principale

Ali RahmouniInspecteur principal

Evaluateurs

REPUBLIQUE TUNISIENNEMINISTERE DE LEDUCATION

Madame Khdija BEN MESSAOUD, Messieurs Abdennebi ACHOUR,Belhassen DEHMAN et Ali RAHMOUNI ont valu ce manuel. Nousremercions tous les membres de cette quipe pour leurs critiques, leursconseils pertinents et leurs modifications judicieuses.

Messieurs Taoufik CHARRADA, Ali AZIZI, Nebil MZIOU et Mourad ARBIont lu ce manuel. Nous remercions tous les membres de cette quipe pourleurs remarques judicieuses.

Monsieur Abderrazek BERREZIGUE a contribu l'laboration des figuresproposes dans ce manuel. Nous remercions Monsieur BERREZIGUE poursa gentillesse et sa disponibilit.

La mise en page de ce manuel est l'uvre de l'quipe d'dition du CNP. Nousremercions tous les membres de cette quipe pour leur grande comptence etleur patience.

Les auteurs

Remerciements

TOUS DROIT RSRVS AU CENTRE NATIONAL PDAGOGIQUE

Ce manuel comprend onze chapitres. Chaque chapitre comprend six rubriques.

Pour commencer

Cette rubrique vise permettre aux lves de consolider leurs acquis antrieurs.

Cours Cette rubrique comprend : des activits visant permettre aux lves de dvelopper leur capacit chercher, exprimenter, modliser, conjecturer et dmontrer, les rsultats du cours retenir.

QCM - Vrai ou fauxLa rubrique QCM vise permettre llve de faire sa propre valuation.La rubrique Vrai ou faux vise lapprentissage progressif des rgles logiques.Mobiliser ses comptencesCette rubrique est consacre la rsolution de problmes, pour la plupartintgratifs, dans des situations mathmatiques ou en rapport avec lenvi-ronnement.

Exercices et problmes Cette rubrique comprend deux parties. Une partie qui comporte des exercices et problmes visant permettre auxlves de mobiliser leurs comptences de faon autonome. Une partie Avec lordinateur, qui vise permettre aux lves dutiliser unlogiciel numrique ou gomtrique pour chercher, exprimenter ou contrlerun rsultat.

Math-cultureCette rubrique propose des lments dhistoire des mathmatiques et deslments sur la contribution des mathmatiques la comprhension desphnomnes.

3

Prface

Chapitre 1

Chapitre 2

Sommaire

Chapitre 3

Chapitre 4

Chapitre 5

Chapitre 6

Chapitre 7

Chapitre 8

Chapitre 9

Chapitre 10

Chapitre 11

Produit scalaire dans le plan

Angles orients

Trigonomtrie

Rotations

Nombres complexes

Dnombrement

Divisibilit dans

Nombres premiers

Vecteurs de l'espace

Produit scalaire et produit vectoriel dans l'espace

Equations de droites et de plans.Equation d'une sphre

5

25

49

70

91

109

126

143

156

176

197

Produit scalairedans le plan

Chap

itre

1

" Jaimais et jaime encore les mathmatiques pour elles-mmescomme nadmettant pas lhypocrisie et le vague, mes deux btesdaversion. "

Stendhal

6Chapitre 1 Produit scalaire dans le plan

Activit 1

Activit 2

Activit 3

Pour commencer

Dans la figure ci-contre, ABCD est un carr de ct a, BECD est un paralllogramme et H est le projet orthogonal de E sur la droite (DC).1. Calculer en fonction de a les rels .

2. Calculer cos et cos .

3. Calculer cos et cos .

Dans la figure ci-contre, ABCD est un rectangle EFD estun triangle quilatral et E, D et C sont aligns.

Dterminer le signe de cos , cos et cos .

Dans la figure ci-contre, ABCD est un carr, I et J sont les milieux respectifs des segments [CD] et [BC].Montrer que les droites (AI) et (DJ) sont perpendiculaires.

Pour tout vecteur , .

Consquence

Activit 2Soit ABC un triangle quilatral de ct 4 et de centre G.On dsigne par I le milieu du ct [AC].Calculer les produits scalaires ci-dessous.

;

.

Activit 1

Soit et deux vecteurs non nuls.Soit O, A et B des points tels que et . Soit O', A' et B' des points tels que et .Montrer que = .

1. Produit scalaire1. 1 Dfinition

Cours

7

Soit O un point du plan et et deux vecteurs. On dsigne par A et B les points tels que et .

On appelle produit scalaire de et et on note , le rel ainsi dfini , si et sont non nuls. , si ou est nul.

Dfinition

8Activit 1

1. 2 Proprits du produit scalaire

Pour tous vecteurs et , .

Soit et deux vecteurs et O, A et B trois points tels que . Montrer la proprit ci-dessous.

Proprit

Activit 2

Soit et deux vecteurs et O, A et B trois points tels que .On se propose de montrer que pour tout rel , . Soit un rel et C le point tel que .1. On suppose que les vecteurs et sont non nuls et que est strictement positif.

Justifier que cos =cos . Conclure.2. On suppose que les vecteurs et sont non nuls et que est strictement ngatif.

Montrer que ). Conclure.3. En dduire que pour tous vecteurs et et tout rel , on a .4. Montrer que pour tous vecteurs et et tous rels et , on a

.

BC

Activit 3

Pour tous vecteurs et et pour tous rels et , .

On considre un paralllogramme OACB.On note =. 1. On dsigne par H le projet orthogonal de B sur (OA).

a. Exprimer OH et BH l'aide de OB et .b. Exprimer AH l'aide de OB, OA et .

2. Montrer que AB2 = OA2 + OB2 _ 2OA.OB cos.3. Montrer que OC2 = OA2 + AC2 + 2OA.AC cos.4. Montrer que OC2 + AB2 = 2(OA2 + AC2). On a donc obtenu les proprits ci-dessous.

Proprits

,

9Pour tous vecteurs et , on a

Activit 4

Soit , et trois vecteurs de mme norme.

Soit O, A, B et C quatre points tels que .

On suppose que , et .

Calculer puis comparer .

Le rsultat qu'on vient de trouver est une proprit du produit scalaire valable pour tous

vecteurs , et .

Proprits

.

.

.

Soit , et trois vecteurs tels que . = 2 , . =1 et . = 0,5.1. Calculer .2. Calculer .

Pour tous vecteurs , et , .

Activit 5

Soit et deux vecteurs.Soit O, A et B trois points tels que .On suppose que OA = 2, OB = 3 et .

Calculer .

Activit 6

Proprit

Activit 7

Soit M un point du plan. Montrer que la somme des carrs des distances de M deux sommetsopposs dun rectangle est gale la somme des carrs des distancesde M aux deux autres sommets.

Soit et deux vecteurs non nuls.Soit O, A et B trois points tels que . On dsigne par H le projet orthogonal de B sur (OA).Montrer que . .

Activit 1

1. 4 Produit scalaire et projection orthogonale

10

Soit et deux vecteurs non nuls et O, A et B des points tels .

Si H est le projet orthogonal de B sur la droite (AO), alors .

Proprit

Activit 1

Activit 2

1. 3 Vecteurs orthogonaux

Dans la figure ci-contre , ABCD et BCHE sont des carrs. Calculer .

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul et on note .

Soit A et B deux points distincts.1. Dterminer et reprsenter lensemble des points M du plan tel que . 2. Dterminer et reprsenter lensemble des points M du plan tel que .

Dfinition

Consquence

Deux droites sont perpendiculaires, si et seulement si, le produit scalaire de leurs vecteursdirecteurs est nul.

Activit 3

Activit 1

Activit 2

Soit ABCD un carr de ct 3, I le milieu de [DC] et G le point dintersection de [BD] et [AI].1. a. Calculer AI, GB, GD, GA et GI.

b. En dduire . .2. a. Calculer et .

b. En dduire une valeur approche 10-2 prs en radians de et .

Soit et deux vecteurs non nuls.Soit O, A et B trois points tels que .1. Montrer que .2. Donner une condition ncessaire et suffisante portant sur pour que O, A et B soient

aligns.

1. 5 Vecteurs colinaires

Pour tous vecteurs et , (Ingalit de Cauchy-Schwarz).

, si et seulement si, les vecteurs et sont colinaires.

Soit A et B deux points tels que AB = 5.Soit M un point du plan n'appartenant pas (AB) et H son projet orthogonal sur (AB).Construire M dans chacun des cas ci-dessous.

a. ; b. .

11

Proprit

Activit 2

Soit et deux vecteurs non nuls.On dsigne par O, A, B et C quatre points tels que et .On dsigne par H et K les projets orthogonaux respectifs de B et C sur la droite (OA).Montrer que . .

Activit 3

Activit 1

Soit A et B deux points distincts.1. Dterminer lensemble des points M du plan tel que .

2. Dterminer lensemble des points M du plan tel que .

Dans lensemble des vecteurs du plan muni dune base orthonorme ,on considre les vecteurs .1. Exprimer laide de x et y chacun des rels .2. Exprimer laide de x, y, x' et y'.

Activit 2

Soit ABCD un carr de ct a >1 et E le point lintrieur du carr tel que EAB est untriangle quilatral. On dsigne par I et J les points des segments respectifs [AB] et [AD] tels que AI = AJ = 1.1. Dterminer les coordonnes des points A, B, C, D et E dans le repre . 2. Calculer en fonction de a, les rels .

Soit une base orthonorme de lensemble des vecteurs du plan.

Pour tous vecteurs et de composantes respectives (x, y) et (x', y'), .

x

x

1. 6 Expression analytique du produit scalaire dans une base orthonorme

Thorme

12

Dans la figure ci-contre, AB = 1 et ABC est un triangle rectangle en Atel que AC = 2 AB. On dsigne par A' et K les milieux respectifs de [BC] et [AC] et par H, I et J les projets orthogonaux respectifs de A sur(BC), de H sur (AB) et de H sur (AC). 1. Dterminer les coordonnes des points A, B, C, K et A' dans

le repre .2. Dterminer une quation de la droite (AH). 3. Dterminer les coordonnes du point H puis des points I et J.4. Calculer et en dduire les positions relatives des droites (AA') et (IJ).

I J

Activit 3

2. Lignes de niveau

Activit 1

Activit 2

Soit A et B deux points du plan et soit f lapplication du plan dans dfinie par

1. Dterminer lensemble des points M du plan vrifiant f(M) = 0.2. On suppose que AB = 2.

a. Placer le point H de la droite (AB) tel que .b. Montrer que lensemble des points M du plan tels que f(M) = 1.5 est la droite

perpendiculaire (AB) passant par le point H.

Soit A et B deux points du plan, et g lapplication du plan dans dfinie parg(M) = .

1. Dterminer lensemble des points M du plan tels que g(M) = 0.2. Soit I le milieu de [AB].

a. Montrer que g(M) = IM2 IA2.b. Dterminer lensemble des points M du plan tels que = 12.

Activit 3

Soient A et B deux points du plan, I le milieu de [AB], k un rel et (F) lensemble des pointsM du plan tels que MA2 MB2 = k.1. Dterminer (F) lorsque k = 0. 2. Montrer que pour tout point M du plan, on a .3. Dterminer (F) lorsque k = _2 et AB = 2.

Soit A et B deux points du plan, I le milieu de [AB] et h lapplication du plan dans dfiniepar h (M) = MA2 + MB2.1. Montrer que pour tout point M du plan, on a h(M) = .2. Dterminer et construire lensemble des points M du plan tels que h(M) = AB2.

Activit 4

13

Dans le plan muni dun repre orthonorm, on considre les points A(-1, 2) et B(2, 3).On se propose de dterminer lensemble des points M du plan tel que MA2 3MB2 = _2.1. Montrer que MA2 3MB2 = .2. On dsigne par G le barycentre des points pondrs (A, 1) et (B, ), par G' le barycentre

des points pondrs (A, 1) et (B, ).a. Montrer que . . .b. En dduire lensemble des points M du plan tel que MA2 3MB2 = _2.

Activit 5

3

Activit 1 (Les hauteurs dun triangle)

3. Produit scalaire et configurations

Activit 2 (Thorme de la mdiane)

Activit 3

Soient A, B, C et H quatre points du plan. 1. Montrer que .2. Montrer que les trois hauteurs dun triangle sont concourantes.

On considre un triangle ABC et on dsigne par A' le milieu du segment [BC].1. a. Montrer que .

b. En dduire que .

2. Soit un triangle ABC tel que AC = 2 , BC = 4 , AA' = 1.5 et K est le pied de la hauteur issue de B.a. Calculer AK , BK et AB.b. Donner une valeur approche en radians 10-1 prs de .

On considre un triangle ABC et on dsigne par H le pied de la hauteur issue de A et par A' le milieu de [BC].1. Vrifier que . 2. En dduire que .

14

Activit 4

Dans la figure ci-contre, ABCD est un carr et APQR est un rectangle tel que P est sur le ct [AB], R est sur lect [AD] et AP = DR. Montrer que (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.

Soit ABCD un carr de ct 6, I et J les points dfinis respectivement par .

On dsigne par K le point dintersection des droites (ID) et (JC). 1. a. Faire une figure.

b. Montrer que les droites (ID) et (JC) sont perpendiculaires. 2. a. En utilisant un produit scalaire, montrer que .

b. Calculer DK. 3. Soit L le projet orthogonal de A sur la droite (DI).

a. Calculer IL, puis LK. b. En dduire une construction dun carr de ct .

Activit 5

Soit O et A deux points du plan tels que OA = 1.Soit f lapplication du plan dans lui-mme qui tout point M du plan associe le point M' telque .1. Dterminer f(O) et f(A).2. Montrer que pour tout point M du plan, le point M' appartient (OA).3. Que peut-on dire de limage dun point de (OA) ?4. Montrer que pour tout point M, le vecteurs sont orthogonaux.5. En dduire la nature de f.

Activit 6 (Projection orthogonale)

15

On dsigne par A', B' et C' les milieux respectifs des cts [BC], [AC] et [BA], par P, Q et Rles pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C,par U, V et W les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].On se propose de montrer que les points A', B', C', P, Q,R, U, V et W sont situs sur un mme cercle appel cercledEuler.On dsigne par I le milieu de [OH].1. a. Calculer .

b. Montrer que U et A appartiennent au cercle C 'de centre I et de rayon et que U et A sont diamtralement opposs sur C '.

c. Calculer et en dduire que P appartient au cercle C '.

2. Procder de mme que dans 1. pour montrer que V, B' et Q appartiennent C ' et que W, C et R appartiennent C'.

II. Cercle dEuler

r

Soit un triangle ABC. On dsigne par C son cercle circonscrit, de centre O et de rayon r, etpar G son centre de gravit.

Soit H le point tel que .On se propose de montrer que O, H et G sont situs sur une mme droite appele droite dEuler.1. a. Calculer et .

b. En dduire que H est l'orthocentre du triangle ABC.2. Montrer que et en dduire que les points O, H et G sont aligns.

I. Droite dEuler

Situation 1 Droite et cercle dEuler

Mobiliser ses comptences

Situation 2 Astrode

Dans le plan rapport un repre orthonorm , on dsigne par C le cercle de centre Oet de rayon 1. Soit M un point de C et P et Q les projets orthogonaux de M respectivementsur et .1. Montrer que PQ = 1 et que .2. On dsigne par M le projet orthogonal de M sur (QP).

Lorsque M dcrit le cercle C, le point M' dcrit une courbe appele astrode.

16

AH BC

PU PA'

On dsigne par (x, y) les coordonnes de M.Montrer que M' a pour coordonnes (x3, y3).

Situation 3 Puissance dun point par rapport un cercle

A. Puissance dun point par rapport un cercle

SoitC un cercle de centre O, de rayon R et M un point nappartenant pas C.1. Une droite passant par M rencontre C en A et B.On se propose de montrer que . On dsigne par E le point diamtralement oppos A dans C.

a. Faire un dessin dans les deux cas de figure suivants. M extrieur C ; M intrieur C.

b. Montrer que .2. Une droite passant par M rencontre C en C et D.

Montrer que dans les deux cas de figure ci-dessous, .

B. Application

Soit un cercle C et les points A, B, C et D de C tels que les droites (AB) et (CD) soient perpendiculaires. On dsigne par M le point dintersection des droites (AB) et (CD).Montrer que la mdiane [MI] issue de M dans le triangle MAC est perpendiculaire la droite (BD).

Le rel MO2 - R2 est appel puissance du point M par rapport au cercleC.

17

Situation 4 Points cocycliques

Soit deux droites (AB) et (CD) se coupant en M tel que .Soit C le cercle passant par A, B et C.La droite (CD) recoupe C en D.1. Montrer que D et D sont confondues.2. Enoncer une condition ncessaire et suffisante pour que quatre points A, B, C et D soient

cocycliques, cest--dire ils appartiennent un mme cercle.

QCM - VRAI - FAUX

Cocher la rponse exacte.1. On considre un triangle quilatral ABC de ct a. Le rel est gal

2. Dans le plan muni dun repre orthonorm , on considre un point H appartenant la droite (OI) et un point K appartenant la droite (OJ). Le rel est gal

3. Dans la figure ci-contre, est un repre orthonorm, Aest un point de la droite . Tout point M de la droite vrifie

0 a.

HK2 OH x OK 0.

6 5 -6.

4. Dans la figure ci-contre, A, B et C sont trois points tels que AB = 2, AC = 3, H et K sont les projets orthogonaux respectifsde A et B sur . Le rel est gal

Rpondre par vrai ou faux en justifiant la rponse.1. Si les vecteurs et sont orthogonaux alors .2. Dans une base orthonorme , on considre un vecteur de composantes (1, 2).

Alors il existe un unique vecteur vrifiant . = 0.3. Pour que . = xx + yy il faut que et soient de composantes

(x, y) et (x, y) dans une base orthonorme.4. Si les vecteurs et sont orthogonaux et les vecteurs et sont orthogonaux

alors les vecteurs et sont orthogonaux.5. Pour que deux vecteurs et soient colinaires il suffit que .

18

VRAI - FAUX

QCM

I JOO O

.

Dans la figure ci-dessous, ABCDE est un pentagonergulier de centre O.

1. Calculer en fonction de OA, , .

2. Calculer en fonction de AB,

, , , .

Exercice 6

Exercices et Problmes

19

Exercice 1Soit , et trois vecteurs. On se propose de montrer que .1. a. Montrer en utilisant la rgle du paralllogramme que

b. En dduire que

2. Utiliser la rgle du paralllogramme pour montrer que

3. En dduire que .

Exercice 2

Exercice 3

On considre un triangle ABC rectangle en A et on dsigne par H le pied de la hauteur issue de A.1. Vrifier que .2. En dduire que AH2 = HB.HC.

Montrer que dans tout triangle, la somme des carrs descts est gale aux de la somme des carrs des mdianes.

Soit un triangle ABC.1. Montrer que . 2. En dduire que .

Exercice 4

Exercice 5

On considre un triangle ABC et on dsigne par H lepied de la hauteur issue de A.

On note AH = h, AB =c, AC = b et BC = a.1. a. Montrer que .b. En dduire que .2. Montrer que .

La rgle du sinus

On considre un quadrilatre ABCD.

1. a. Montrer que .

b. Montrer que .

2. En dduire que

Exercice 7

.

.

.

.

Soit un triangle ABC rectangle et isocle en A. On dsigne par M et N deux points du plan tels que

On dsigne par I le milieu du segment [BN].1. Vrifier que .2. a. Montrer que .b. En dduire que la droite (AI) porte une hauteur du triangle AMC.

Exercice 8

.

Dans le plan muni dun repre orthonorm, on considre les points A(-2, 2), B(4, 0) et C(-1, 2).1. a. Calculer , AB et AC. b. En dduire une valeur approche en radians lunitprs de .2. Dterminer une valeur approche en radians lunitprs de chacun des angles et .

Exercice 11

20

Soit C un cercle de centre O et de rayon r et soit [AB]un diamtre de C . 1. Placer un point M sur C sachant que .2. Placer un point N sur C sachant que

.

Exercice 9

Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle, A', B' etC' sont les projets orthogonaux respectifs de A, B et Csur la droite .

On dsigne par K le point dintersection de la perpen-diculaire (AC) passant par B' et la perpendiculaire (AB) passant par C '.1. a. Montrer que . b. Montrer que .2. En dduire que les droites (A'K) et (BC) sont perpendiculaires.

Exercice 10

1. Montrer que MA2 + MB2 + MC2 +MD2 = 4R2.2. Montrer que AD2 + BC2 = AC2 +BD2 = 4R2.3. Montrer que les droites (MI) et (BC) sont perpendiculairesIndication : On pourrait considrer un repre orthonorm

; poser A(a, b) et C(c, d) puis dterminer les coordonnes des points B, D et M.

Exercice 12

Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle et A' est le pied de la hauteur issue de A.

On dsigne par D le point dintersection de la perpen-diculaire (AC) passant par A' et la perpendiculaire (BC) passant par C.On dsigne par E le point dintersection de la perpen-diculaire (AB) passant par A' et la perpendiculaire (BC) passant par B.On dsigne par H le point dintersection de la droite(ED) et la droite (AA').Montrer que H est lorthocentre du triangle ABC.Indication : On pourrait considrer un repre orthonorm

; poser A(0, a), B(b, 0) et C(c, 0).

Exercice 13

Soit A, B, C et D quatre points dun cercle de centre O et derayon R tels que les droites(AB) et (CD) sont perpendi-culaires et scantes en M.On dsigne par I le milieu de[AD].

Soit k un rel, A et B deux points tels que AB = 6.On dsigne par lensemble des points M du plan telque .1. Reprsenter graphiquement 0 , 6 , 12 , 6 et 42. 2. Que reprsente lensemble des points M du plan telque . ?

Exercice 14

21

Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieudu segment [AB].On dsigne par lensemble des points M du plan telque .1. Montrer que . 2. En dduire que est un cercle dont on dterminera lecentre et le rayon.

Exercice 15

Dans le plan muni dun repre orthonorm, on considreles points I(1, 0) et I' (-1, 0).On dsigne par E lensemble des points M du plan telque .

On dsigne par G le barycentre des points pondrs (I, 1) et (I', -4).1. Montrer que MI2 - 4MI' 2 = _3MG2 + GI2 _ 4GI' 2

.

2. Montrer que E est lensemble des points M du plantel que .

3. En dduire que E est un cercle dont on dterminera lecentre et le rayon.

Exercice 16

Soit A, B et C trois points distincts du plan.On se propose de dterminer lensemble E des points Mdu plan tel que . On dsigne par I le milieu du segment [AB].1. Montrer que E est lensemble des points M du plantel que MC2 = 4MI2.2. On dsigne par G le barycentre des points pondrs(I, 4) et (C, -1).Montrer que E est un cercle dont on dterminera lecentre et le rayon.

Exercice 17

Exercice 18

1. a. Montrer que . b. Calculer . En dduire la position relative des droites (FC) et (BE). 2. Montrer que FC = BE. 3. a. Quelle est la nature du triangle IOO ?b. Soit J le milieu de [EF]. Montrer que OIOJ est un carr.

Exercice 19

Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle tel queest aigu, AD = AB et (AD) (AB), AE = AC

et (AE) (AC).

1. Comparer et . 2. En dduire que (BE) (CD) et que BE = CD. 3. Soit M le milieu de [DE]. Montrer que .4. Calculer et en dduire la position relativedes droites (AM) et (BC).

Soit ABC un triangle et I le milieu du ct [BC]. Onconstruit les carrs ACDE et ABGF de centres respectifsO et O comme lindique la figure ci-aprs.

22

Exercice 21

Exercice 22

Soit O et A deux points du plan tels que OA=1. Soit g lapplication du plan dans lui-mme qui toutpoint M du plan associe le point M' tel que

.

1. Dterminer g(O) et g(A).2. Que peut-on dire de limage dun point de (OA) ?3. Montrer que pour tout point M du plan, le milieu H

du segment [MM'] appartient (OA).4. Montrer que pour tout point M, les vecteurs

sont orthogonaux.

5. En dduire la nature de g.

Dans la figure ci-dessous, E, C, F et D sont quatrepoints dun mme cercle tels que ED = b, EC = a, FC = d et CD = r.

1. a. Montrer que

b. En dduire que 2 (ab cd) cos = a2 + b2 c2 d2.2. Montrer que laire A du quadrilatre ECFD est

donne par = 4A .

3. On dsigne par , le demi-primtre du quadrilatre ECFD.Etablir la formule de Brahmagupta,

.

4. Retrouver la formule de Hron ; laire A ' dun triangle de cts a, b, c et de demi-primtre p est .

Formule de Brahmagupta Exercice 20Dans la figure ci-dessous, langle est droit, OE = OF = r, A un point de [OE] et B un point de[OF] tels que OA = OB = r.

1. Montrer que la mdiane issue de O du triangle AOF est la hauteur relative au ct [BE] du triangle BOE. 2. Soit I le milieu de [AF] et H le projet orthogonalde O sur (BE). Exprimer laide de r et r le produit scalaire .3. Soit J le milieu de [BE]. Exprimer cos en fonction de r et r.

EOFet Hron

.

A

A '

23

Squence 1

Soit A, B et C trois points distincts du plan et H le projet orthogonal de C sur (AB).On suppose que le plan est muni dun repre orthonorm. A laide dun logiciel de gomtrie, on vrifie en faisant varier les points A, B et C que la valeur de est la mme si on utilise l'une des formules suivantes :

Avec lordinateur

,

,

.

Squence 2

ABCD est un carr et I est le milieu du ct [AB].

L'objectif de cette squence est d'utiliser CABRI pour mettre une conjectureconcernant l'angle lorsque le ct du carr varie.

Construire un carr ABCD. Construire I le milieu du ct [AB] et tracer les segments[DI] et [DB]. Mesurer langle . Faire varier le ct du carr et observer les valeurs de . Que peut-on conjecturer ?

Dmontrer cette conjecture en calculant de deux manires le produit scalaire

24

Math - culture

Mat

h -

cult

ure

Les lignes de niveau

Pour reprsenter le relief dune rgion, on relie tous les points de mme altitude. La courbeainsi obtenue est appele ligne de niveau. A chaque point M dune carte gographique, onpeut associer sa pression H(M). Tous les points M ayant la mme pression, par exemple1016, constituent la ligne de niveau H1016 de la fonction H.Les isobares, les isothermes, les parallles et les mridiens sont des lignes de niveau.

Le produit scalaire

Au XIXme sicle, le mathmaticien allemand Grassman(1809-1877), tudiant les phnomnes des mares,dveloppe le calcul vectoriel et dfinit le produit scalairequil appelle produit linaire. "Il sagit du produitalgbrique dun vecteur et de la projection du secondvecteur sur le premier".Cest Hamilton qui en 1853, le nomme produit scalairecar scalaire vient du mot latin scala qui signifie mesure etle produit scalaire de deux vecteurs est en effet unnombre. Le produit scalaire se rvle trs utile, aussi bien enphysique pour le calcul du travail d'une force qu'engomtrie lmentaire pour dmontrer des proprits surles angles et les distances.

Angles orients

Chap

itre

2

" En mathmatique, il ny a pas de vrit inaccessible. "

Hilbert

26

Chapitre 2 Angles orients

Activit 1

Activit 2

Pour commencer

Dans la figure ci-contre, EFGHK est un pentagone rgulierinscrit dans un cercle C de centre O et de rayon 1, A est un point et est une droite.

1. a. Calculer la longueur de l'arc qui contient le point F.En dduire la longueur de l'arc qui ne contient pas F.

b. Donner une mesure de chacun des angles gomtriques

On considre un triangle quilatral ABC de ct 4 et on dsigne par Ile centre du cercle C inscrit dans le triangle. On note par H, L et K lespoints de contact.1. Calculer le rayon de C.2. a. Donner une mesure de larc qui contient K.

b. Donner une mesure de larc qui ne contient pas H.c. Donner une mesure de larc qui contient L.

2. Soit S la symtrie daxe et t la translation de vecteur On dsigne parE', F',G', Het K' les images respectives des points E, F, G, H et K par la symtrie S .M, N, P, Q et R les images respectives des points E, F, G, H et K par la translation t.a. Calculer la longueur de larc qui contient F', puis celle de larc qui contient N.

Comparer les valeurs obtenues la longueur de larc qui contient le point F.b. Soit O' limage de O par S. Donner une mesure de chacun des angles gomtriques

C

C

Tout arc orient dtermine un unique arc gomtrique appel arc gomtrique associ

Vocabulaire

Activit 1

Soit (A, B) un couple de points distincts dun cercle orient C. Alors, il y a deux arcs de cercle dorigine A et dextrmit B. Un et un seul de ces arcs est orient conformment lorientation du cercle.On lappelle arc orient dorigine A et dextrmit B et on le note . On convient que le couple (A, A) dtermine un arc orient dont lorigine et lextrmitsont confondues. On le note .

1. Arcs orients1. 1 Orientation d'un cercle

1. 2 Mesures algbriques d'un arc orient

Cours

Dfinition

27

On admet quil ny a que deux orientations possiblessur un cercle donn.Orienter un cercle, c'est choisir l'une des deuxorientations.Nous conviendrons qu'un cercle est orient dans lesens direct s'il est orient dans le sens contraire desaiguilles d'une montre et qu'il est orient dans lesens indirect s'il est orient dans le sens des aiguillesd'une montre.

Un cercle trigonomtrique est un cercle de rayon 1, orient dans le sens direct.

Soit A, B et E trois points distincts appartenant un cercle C de rayon 1.On dsigne par L la longueur de larc gomtrique dextrmits A et B quicontient E. On considre un point mobile M qui se dplace sur le cercle C toujoursdans le mme sens.

cercle orient dans le sens direct cercle orient dans le sens indirect

C

C

1. On suppose que M se dplace dans le sens contraire des aiguilles dune montre.Dterminer x dans chacun des cas ci-dessous.Le mobile M sarrte en B ds son premier passage par B.Le mobile M sarrte en B, son deuxime passage par B.Le mobile M sarrte en B, son nime passage par B (n 1).

2. On suppose que M se dplace dans le sens des aiguilles dune montre.Dterminer x dans chacun des cas ci-dessous.

Le mobile M sarrte en B ds son premier passage par B.Le mobile M sarrte en B, son deuxime passage par B.Le mobile M sarrte en B, son nime passage par B.

Soit C un cercle orient de rayon 1, (A,B) un couple de points distincts de C et L la longueurde larc gomtrique associ On appelle mesure algbrique de larc orient et on note mes tout rel de la formeL + 2k , k .

On convient que mes = 2k , k .

28

Dfinition

Lactivit prcdente nous a permis de constater que pour partir de A et s'arrter en B, le mobileM peut faire n tours complets sur le cercle avant de sarrter en B. Il est donc lgitime dedonner la dfinition ci-dessous.

Les proprits ci-dessous dcoulent aisment de la dfinition prcdente.

Consquences

Notation

Soit C un cercle orient de rayon 1 et A et B deux points de C. Si x et y sont deux mesures de , alors x y = 2 k , k . L'arc orient possde une unique mesure dans [0, 2[, qui est la longueur de larc

gomtrique associ. Pour tout point M de C et tout rel x, il existe un unique point N de C tel que

mes

Lgalit x y = 2 k, k , est note x y [2]. On lit "x est congru y modulo 2".

On se propose de mesurer le trajet parcouru par le mobile M, lorsqu'il part de A pour s'arrter en B.On convient que la mesure algbrique x du trajet parcouru est gale : La longueur du trajet parcouru, si M se dplace dans le sens contraire des aiguilles dune montre. Loppos de la longueur du trajet parcouru, si M se dplace dans le sens des aiguilles dune

montre.

Activit 2

29

Pour tous points A, B et C dun cercle orient C de rayon 1, on a

Activit 1

Activit 2

Proprits (admises)

Dans la figure ci-contre, C est un cercle trigonomtrique de centre O, OAB est un trianglequilatral.Les points A' et B' sont les symtriques respectifs des points A et Bpar rapport O.1. Pour chacun des arcs orients , dterminer la mesure

qui appartient [0, 2[.2. Soit K le point de C tel que mes

Ecrire la division euclidienne de 37 par 4. Donner la mesure de qui appartient [0, 2[ et placer le point K.

3. Placer le point N de C tel que mes

1. 3 Proprits des arcs orients

Soit C un cercle trigonomtrique et (A, B) un couple de points de C tels que mes

1. Faire une figure.2. Placer sur C le point D tel que mes et le point D' tel que

3. En dsigne par L1, L2, L3, L4 et L5 les mesures repectives qui appartiennent [0, 2[ des arcs .

a. Comparer L1 + L2 et L3.b. Comparer L1 + L4 et L5.

(Relation de Chasles)..

Dans la figure ci-contre, C est le cercle trigonomtrique de centre O.Les points B, D sont diamtralement opposs, le triangle AOB estrectangle en O et le triangle ODE est quilatral.Pour chacun des arcs orients ci-dessous, donner la mesure quiappartient [0, 2[.

C

C

Activit 3

30

Dans la figure ci-contre, EFGHK est un pentagone rgulier inscrit dans le cercle trigonomtrique C de centre O, A est un point et est une droite. 1. Pour chacun des arcs orients , dterminer

la mesure qui appartient [0, 2[. 2. Soit S la symtrie daxe .

On dsigne par C ' limage du cercle C par S et par E', F', G', H' et K' les images respectives des points E, F, G, H et K par S.

a. Donner la mesure de qui appartient [0, 2[ et la comparer la mesure de qui appartient [0, 2[.

b. Reprendre la question pour chacun des arcs orients 3. Soit t la translation de vecteur , MNPQR limage du pentagone EFGHK par cette

translation.a. Donner la mesure de qui appartient [0, 2[ et la comparer la mesure de qui

appartient [0, 2[.b. Reprendre la question pour chacun des arcs orients

Que remarque-t-on ?

Thorme (admis)

Toute symtrie axiale transforme les mesures des arcs orients en leurs opposs.Toute translation conserve les mesures des arcs orients.

2. Angles orients2. 1 Dfinition d'un angle orient

On dit que le plan est orient si tous les cercles du plan sont orients dans le mme sens.

On convient que le plan est orient dans le sens direct si tous les cercles du plan sont orientsdans le sens direct.On convient que le plan est orient dans le sens indirect si tous les cercles du plan sont orientsdans le sens indirect.

C

Activit 1

31

Proprits

Dans le plan orient dans le sens direct, O et I sont deux points distincts. On considre deux vecteurs non nuls et ondsigne par E et F les points du plan tels que

Le cercle trigonomtrique C de centre O coupe les demi-droites [OE) et [OF) respectivement en A et B. Le cercle trigonomtrique C ' de centre I coupe les demi-droites[IG) et [IH) respectivement en C et D. Montrer que les arcs orients ont le mme ensemblede mesures.

Soit O un point du plan orient dans le sens direct et Cle cercle trigonomtrique de centre O. Soit un couple de vecteurs non nuls.On dsigne par E et F les points tels que et par A et B les points dintersection respectifs du cercle Cet des demi-droites[OE) et [OF).On appelle mesure de langle orient toute mesure de larc orient

Dfinition

Les proprits ci-dessous dcoulent de la dfinition prcdente.

Soit deux vecteurs non nuls . Pour tous rels strictement positifs a et b, les angles orients ont les

mmes mesures. Si est une mesure de alors toute mesure de est de la forme + 2k , k . Toute mesure de est de la forme 2k , k . Toute mesure de est de la forme + 2k , k .

Une mesure de langle orient est note On note et on lit est congru modulo 2.

C

C

Le plan est orient dans le sens direct.

Activit 2

Activit 3

32

Le plan tant orient dans le sens direct, on considre un triangle quilatralOLK de ct 1. On dsigne par D le symtrique de K par rapport O et par F le symtrique de O par rapport L.Pour chacun des angles orients ci-dessous, dterminer la mesure quiappartient [0, 2[,

Soit A et B deux points distincts du plan orient dans le sens direct.Dans cette activit, on se propose de dterminer lensemble des points M du plan tels que

Soit C le cercle trigonomtrique de centre A et B' le point dintersection de C et de la demi-droite [AB).1. a. Construire le point D tel que AD = 1 et

b. Soit M un point de la demi-droite [AD) prive de A. Dterminer

2. Soit M un point du plan tel que On note M' le point dintersection deC et de la demi-droite [AM).Montrer que M' et D sont confondus.

3. En dduire que M appartient [AD).4. Soit N un point du plan tel que

Que peut-on dire des vecteurs Proprits (admises)

Soit un vecteur non nul et un rel. Il existe un unique vecteur unitaire tel que

Soit trois vecteurs non nuls. Alors, si et seulement si, sont colinaires et de mme sens.

2. 2 Vecteurs colinaires - Vecteurs orthogonaux

Activit 1

Soit deux vecteurs non nuls.Le plan est orient dans le sens direct.

1. Montrer que , si et seulement si, sont colinaires et de mme sens.

2. Montrer que , si et seulement si, sont colinaires et de sens opposs.

Proprits

Soit deux vecteurs non nuls., si et seulement si, sont colinaires et de mme sens., si et seulement si, sont colinaires et de sens opposs.

Proprit

Soit deux vecteurs non nuls.sont orthogonaux, si et seulement si,

Activit 2

Activit 3

Soit A et B deux points distincts du plan orient dans le sens direct.1. Dterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que 2. Dterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que

Soit O un point du plan orient dans le sens direct, C le cercle trigonomtrique de centre O etA un point du plan distinct de O. On dsigne par C et D les points de C tels que

Soit M un point du plan distinct de O.

Montrer que les vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si,

Activit 4

Soit A, B, C et D quatre points distincts du plan orient dans le sens direct.1. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallles, si et seulement si,

2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, si et seulement si,


33


34

2. 3 Mesure principale dun angle orientActivit 1

Activit 2

Activit 3

1. Soit deux vecteurs non nuls tels que

Ecrire la division euclidienne de 128 par 3. En dduire que est une mesure de qui appartient ] , ].

2. Utiliser un procd analogue pour dterminer dans chacun des cas ci-dessous une mesure dequi appartient ] , ].

Soit deux vecteurs non nuls. On se propose de montrer que admet une uniquemesure dans lintervalle ] , ].1. Montrer que si y et z sont deux mesures de qui appartiennent ] , ] alors y = z.2. On dsigne par x la mesure de qui appartient [0, 2[.

Montrer que si x appartient ], 2], alors x 2 est une mesure de qui appartient ] , ].

3. Conclure.

Soit deux vecteurs non nuls. Alors langle orient admet une unique mesure dans lintervalle ] , ], appele mesure principale de .

Dfinition

Soit I un point du plan orient dans le sens direct. Placer sur le cercle trigonomtrique decentre I, les points F, G et H tels que 1.Donner les mesures principales de 2. Donner les mesures des angles gomtriques Que remarque-t-on ?

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre trois points non aligns I, F et G tels que Si L est la mesure de qui appartient [0, 2[ et est la mesure principale de , alors

la mesure principale deest gale a.

la mesure principale deest gale a.




Proprits

;

.

35

2. 4 Proprits des angles orientsLa proprit ci-dessous dcoule de la relation de Chasles sur les mesures des arcs orients.

Pour tous vecteurs non nuls ,

(Relation de Chasles).

Activit 1

Activit 3

Activit 4

Activit 2 (Angles cts perpendiculaires)

Dans le plan orient dans le sens direct, on considreun triangle quilatral AED. On suppose de plus que(EA) est perpendiculaire (EB) etDonner la mesure principale de chacun des angles orients

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre quatre pointsE, I, J et K tels que les droites (KI) et (KJ) sont respectivementperpendiculaires aux droites (EI) et (EJ).Montrer que

Utiliser la relation de Chasles pour montrer la proprit ci-dessous.Proprit

Pour tous vecteurs non nuls

, si et seulement si, .

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre trois points A, B et C tels que

Soit D un point distinct de A tels que les droites (AD) et (AB) sontperpendiculaires et E un point tel que

Montrer que les droites (AE) et (AC) sont perpendiculaires.

PropritLe plan est orient dans le sens direct.


36

Proprits

Pour tous vecteurs non nuls ,

Pour tous vecteurs non nuls et tous rels non nuls a et b,

Activit 5

En utilisant la relation de Chasles, tablir les proprits suivantes.

Activit 6

Activit 7

Activit 8

Activit 9

Soit trois vecteurs non nuls tels que et

Dterminer les mesures principales des angles orients

Soit [BC] un segment et un A un point de la mdiatrice de [BC].Montrer que .

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre un triangle ABC.1. Utiliser la relation de Chasles pour calculer la somme

2. On suppose que le triangle ABC est isocle en A, montrer que

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre un quadrilatre PQRS.

1. Calculer la somme 2. On suppose que PQRS est un paralllogramme, montrer que




.

37

Activit 10

Activit 1

Activit 2

Dans le plan orient dans le sens direct, le triangle ABD est quilatralet le triangle BCD est isocle rectangle en C.Donner la mesure principale des angles

3. Cercle et angles3. 1 Angles inscrits et angles au centre

Dfinition

On dit quun angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient ce cercle etses cts recoupent ce cercle ; lun des cts pouvant tre tangent au cercle.

Le plan est orient dans le sens direct.Dans la figure ci-contre A, B et C sont trois points dun cercleC de centre O.On se propose de montrer que 1. En remarquant que le triangle OAC est isocle en O, montrer que

2. En dduire que

3. Montrer de mme que4. Conclure.

Le plan est orient dans le sens direct.Dans la figure ci-contre la droite (AT) est tangente au cercleC en A.On se propose de montrer que

C

C

Activit 3

38

1. Soit I le milieu de [AB]. En remarquant que les droites (OA) et (OI) sont respectivement perpendiculaires aux droites (AT) et (AB), comparer

2. Conclure.

Thorme

SoitC un cercle de centre O dans le plan orient dans le sens direct. Pour tous points distincts A, B et M du cercle C, Si la droite (AT) est tangente au cercleC en A, alors

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre un cercleC de centre O. Soit A, N, B et M quatre points distincts deC tels que et N et M soient diamtralement opposs.Dterminer la mesure principale de l'angle orient

Proprits (admises)

Dans le plan orient dans le sens direct , soit A, B, M et N quatre points distincts dun cercle. Si M et N appartiennent larc orient , alors.

Si M appartient larc orient et N appartient larc orient , alors

3. 2 Ensemble des points M tels que

Activit 1

Dans le plan orient dans le sens direct, on considre deux points distincts A et B et un rel tel que k , k .1. Soit un point T tel que

a. Montrer quil existe un unique cercle C passant par A et B et tangent (AT) en A.

b. Soit M un point de larc orient distinct de A et B. Dterminer

C

C

C

39

2. Soit N un point du plan tel que

Soit C ' le cercle circonscrit au triangle NAB et O' son centre.

a. Dterminer

b. En dduire que (AT) est tangente C ' en A.c. O se trouve alors le point N ?

3. Dterminer lensemble des points M tels que

Thorme

Soit A et B deux points distincts du plan orient dans le sens direct, k , k et T un point du plan tel que Il existeun unique cercle C passant par A et B et tangent (AT) en A. Lensemble des points M tels que est lun des deux arcs orients ou priv des points A et B.

Activit 2

Activit 3

Activit 1

Soit A et B deux points distincts du plan orient dans le sens direct. Construire dans chacun

des cas suivants lensemble des points M du plan tels que

Le plan est orient dans le sens direct. Dans la figure ci-contre ABCest un triangle inscrit dans le cercle C et H est son orthocentre.

1. Montrer que

2. Soit H' le symtrique de H par rapport (BC).Comparer

3. En dduire que H' est un point de C.

4. Base orthonorme directe

Soit une base orthonorme du plan orient dans le sens direct telle que

C

C

40

1. Montrer que chacun des couples de vecteurs ci-dessous est une base orthonorme du plan

2. Calculer la mesure principale de chacun des angles orients

Activit 2

Activit 3

Activit 4

Soit un vecteur tel que

1. Montrer quil existe un unique vecteur

2. Montrer quil existe un unique vecteur

Dfinition

On dit quune base du plan est orthonorme directe si

On dit quune base du plan est orthonorme indirecte si

Dfinition

Soit deux vecteurs non nuls , et soit le vecteur vrifiant

Soit A et B deux points distincts du plan orient dans le sens direct.

1. Dterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que .

2. Dterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que

On appelle dterminant de et on note dt le rel . On convient que si lun des vecteurs est nul, leur dterminant est nul.

Soit deux vecteurs non nuls.Montrer que dt = 0, si et seulement si, les vecteurs sont colinaires.





41

Activit 5

Activit 6

Activit 7

Soit une base orthonorme directe.Montrer que dt = 1.

Soit une base orthonorme indirecte.Montrer que dt = 1.

1. Dans la figure ci-contre, ABCD est un paralllogramme,

tel que AB = 5 et AD = 2.

Calculer

2. Dans la figure ci-contre, EFGH est un paralllogramme, tel que

Calculer

Dans la figure ci-contre ABC est un triangle tel que

1. Exprimer l'aide de AB et AC.

2. Que remarque-t-on ?





Situation 2

Situation 1 La droite de Simpson

42

Le plan est orient dans le sens direct.1. Dans la figure ci-contre,C est le cercle circonscrit au triangle ABC,

M est un point de C et I, J et K sont les projets orthogonaux deM sur les cts du triangle ABC.On se propose de montrer que les points I , J et K sont aligns.a. Montrer que les points I, K, M et A appartiennent un mme

cercle.b. En dduire quec. Montrer

d. En dduire que les points I , J et K sont aligns.

2. Dans la figure ci-contre, N est un point dont les projets orthogonaux I, J et K sur les cts du triangle ABC sont aligns.a. Montrer que b. En dduire que N est un point de C, cercle circonscrit au

triangle ABC.3. Conclure.

Le plan est orient dans le sens direct.Soit C un cercle de centre O et de rayon r et soit A et B deux points diamtralement opposssur C.

1. Pour tout point M de C, distinct de A et de B, on construit le point Q tel que MABQ soitun paralllogramme.Dterminer lensemble dcrit par le milieu I du segment [MQ], puis lensemble dcrit par le centre de gravit G du triangle BQM lorsque M dcrit C priv des points A et B.

2. On note N le symtrique de A par rapport M et P le point dintersection des droites (ON)et (BM).Dterminer lensemble dcrit par le point N lorsque M dcrit C priv des points A et B.

3. On considre les cercles circonscrits aux triangles OBP et MNP.a. Pourquoi ces cercles ne sont pas tangents en P ?b. On note K lautre point commun ces deux cercles.

Montrer que le point K est un point de C.

C

C

QCM - VRAI - FAUX

.

Cocher la rponse exacte.Le plan est orient dans le sens direct.1. Soit deux vecteurs non nuls tels que

Alors la mesure principale de est

2. Soit deux vecteurs non nuls tels queAlors admet une mesure dans

3. Soit trois vecteurs non nuls tels que et

0

[, 2] [9, 10]

[, 0] [0, ].

[4, 5].

4. ABC est un triangle isocle de sommet A tel que la mesure principale de est gale Alors la mesure principale de est

Rpondre par vrai ou faux en justifiant la rponse.

43

VRAI - FAUX

QCM

La mesure principale de appartient

Le plan est orient dans le sens direct.. Soit trois vecteurs non nuls.

1. Si alors les vecteurs sont colinaires de mme sens.

2. Si sont orthogonaux, alors les vecteurs sont orthogonaux.

5. Soit A, B et M trois points distincts tels que . Alors

3. Si les mesures principales respectives de et de appartiennent ], 0],alors la mesure prin cipale de appartient ], 0],

4. Si la mesure principale de appartient ]0, ,], alors une mesure deappartient ](2k 1), 2k], k .

5. Soit A, B et C trois points distincts et A', B' et C' leurs images respectives par une homothtie. Alors

A, B et M sont aligns M appartient au cercle de diamtre [AB]


44

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 4

Exercice 3

Exercice 5

Le plan est orient dans le sens direct.Soit C un cercle trigonomtrique, M et N deux pointsde C et une mesure de larc orient .Trouver, dans chacun des cas suivants, la mesure delarc orient qui appartient [0, 2[.

Le plan est orient dans le sens direct.Soit trois vecteur non nuls tels que

Dterminer les mesures principales des angles

Le plan est orient dans le sens direct.Dans la figure ci-contre, ABC est un trianglerectangle en A tel que et H est le pied de la hauteur issue de A.Dterminer les mesures principales des angles orients

Dans la figure ci-contre, ACD estun triangle quilatral et EAD etABC sont deux triangles rectanglesisocles.

Dans la figure ci-contre, ABDest un triangle rectangle isocleet BCD est un triangle isocle enD tel que les droites (AB) et(CD) sont parallles.

Exercice 6Le plan est orient dans le sens direct.Soit ABCDEFGH un octogone rgulier inscrit dans un cercle trigonomtrique de centre O.1. Dterminer les mesures principales de chacun desangles orients suivants

2. Dterminer les mesures principales de chacun desangles orients suivants.

Exercice 7Le plan est orient dans le sens direct.Soit trois points A, B et C du plan et une droite .1. a. Construire les points A', B' et C' symtriquesrespectifs des points A, B et C par rapport .b. Comparer

2. On suppose que est une base orthonorme directe. Que peut-on dire de

3. a. Citer deux bases orthonormes directes.b. Citer deux bases orthonormes indirectes.

4. Calculer

.

Exercice 8Le plan est orient dans le sens direct.Soit A, B et C trois points distincts. Soit O et O' deuxpoints du plan et t la translation de vecteur .1.a. Construire les points A', B' et C' images respectivesde A, B et C par t.b. Comparer2. On suppose que est une base orthonormedirecte. Que peut-on dire de

Dterminer les mesures principales des angles

1. Dterminer les mesures principales des angles orients



45

Exercice 9

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Le plan est orient dans le sens direct.ABCD est un carr de centre I et de ct a.1. Donner les mesures principales des angles orients

2. Calculer en fonction de a les dterminants

Le plan est orient dans le sens direct.ABCD est un paralllogramme tel que la mesureprincipale de est gale .Dterminer les mesures principales de chacun desangles orients

Le plan est orient dans le sens direct.On considre un cercle C de centre O et un point A deC.

1. Placer le point M de C tel que

Pour tout entier naturel n, on considre le point Mn de

C tel que

2. Placer les points M0, M1, M2 et M10. 3. Pour quelles valeurs de n, les vecteurssont-ils colinaires ?4. Pour quelles valeurs de n, les vecteurssont-ils orthogonaux ?

Le plan est orient dans le sens direct. On considrele triangle ABC rectangle en B et tel que

On suppose de plus que les droites (AC) et (NC) sontperpendiculaires et que AB =AM et CB = CN.

2. Reprendre la question 1. lorsque

Le plan est orient dans le sens direct.1. Montrer que deux hauteurs dun triangle sont perpen-diculaires si et seulement si le triangle est rectangle.On considre trois droites D, D' et D'' concourantes enun point H.2. On suppose que D et D' sont perpendiculaires et onconsidre un point A de D distinct de H.Construire un triangle de sommet A dont les hauteurssont les droites D, D' et D''.3. On suppose que les droites D, D' et D'' sont deux deux non perpendiculaires, soit A un point de D distinctde H.Construire un triangle de sommet A dont les hauteurssont les droites D, D' et D''.

Le plan est orient dans le sens direct.A et B sont deux points distincts.Construire lensemble des points M du plan tels que.

Le plan est orient dans le sens direct.Soit EFG un triangle et C son cercle circonscrit.1. Dterminer et construire lensemble des points Mdu plan tels que 2. Dterminer et construire lensemble des points M

du plan tels que

1. a. Dterminer

b. En dduire que les points M, B et N sont aligns.

46

Exercice 16 Exercice 18

Exercice 19

Exercice 17

Le plan est orient dans le sens direct.Soit C un cercle de diamtre [AB ] et M un point de Cdistinct de A et B. Soit D la tangente C en M et D' ladroite parallle (AM) passant par O. Les droites D et D' se coupent en N.1. Montrer que 2. En dduire que N appartient au cercle passant parO, M et B.3. Montrer que la droite (BN) est la tangente C en B.

Le plan est orient dans le sens direct.Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle inscritdans le cercle C et H est son orthocentre. Les points A,B et C sont les symtriques de H respectivement parrapport aux droites (BC), (AC) et (AB).1. Montrer que les points A', B' et C' sont des points deC.

2. a. Montrer que

b. En dduire la bissectrice de langle .

3. Dterminer les bissectrices des angles

4. On dsigne par A'', B'' et C'' les pieds des hauteursdu triangle ABC issues respectivement de A, B et C.Dterminer le centre du cercle inscrit au triangleA" B'' C''.

Le plan est orient dans le sens direct.Soit ABC un triangle isocle de sommet principal A etC son cercle circonscrit de centre O.On considre un point M de C distinct de A et B ; laperpendiculaire (AM) passant par C coupe (BM) en I.1. a. Montrer que

b. En dduire que

2. Montrer que

3. a. Soit N un point du cercle de centre A et de rayonAB distinct de B et de C.Montrer que

b. En dduire que AI = AB.

Le plan est orient dans le sens direct.Soit C un cercle de centre O et A , B deux points de Cnon diamtralement opposs. On dsigne par lamesure principale de langle orient Soit Mun point de C distinct de A et de B.1. a. On suppose que M est un point de Montrer

que

b. On suppose que M est point de Montrer que

2. On dsigne par I le centre du cercle inscrit dans letriangle AMB.

Exprimer en fonction de .

3. Dterminer lensemble dcrit par le point I lorsque Mdcrit C priv des points A et B.

4. a. Construire cet ensemble lorsque

b. Construire cet ensemble lorsque

C

D

D

47

Droite de SimpsonOn considre un triangle ABC inscrit dans un cercle C, et M un point du plan.On dsigne par A', B' et C' les projets orthogonaux du point M respectivement sur les droites (BC), (AC) et(AB).On se propose dans cette squence, dtudier les positions des points A', B' et C' lorsque M varie.

Partie A.1. Construire un triangle ABC et son cercle circonscrit.2. Placer un point M et construire ses projets orthogonaux A', B' et C' respectivement sur les droites (BC),

(AC) et (AB).3. En faisant varier le point M, observer les variations de la figure. On pourra mettre en vidence des positions

des configurations particulires. M est confondu avec lun des points A, B ou C. Un des points A', B', C' est confondu avec un des points A, B, C.

4. Quelle conjecture peut-on formuler sur la position de M pour que les points A', B' et C' soient aligns ?

Avec lordinateur

Partie B1. On suppose que C' B.

a) Justifier que les points M, B, A' et C' sont situs sur un mme cercle que lon dterminera.b) En dduire que

2. Justifier de mme les points M, C, Bet A sont cocycliques. En dduire que

En dduire une preuve de la conjecture faite dans la partie A.

48

Math - culture

Mat

h -

cult

ure

Les plerins tournent autour de la Kaba dans le senstrigonomtrique.

Un joueur de football sapprte chouter le ballon en se dplaant le long de laligne de touche. Pour maximaliser langle de tir , il faut maximaliser langle et parsuite minimiser la distance OA avec la contrainte que le cercle de centre O et derayon OA rencontre la ligne.

Trigonomtrie

Chap

itre

3

" Il n'y a pas de voie royale pour accder au temple de lagomtrie. "

Euclide

50

Chapitre 3 Trigonomtrie

Activit 1

Activit 2

Activit 3

Pour commencer

Dans le plan muni dun repre orthonorm direct , ona reprsent le dcagone rgulier ABCDEFGHIJ.

1. Donner la mesure principale de chacun des angles

.

2. Donner une valeur approche 0.001 prs, par dfaut, des coordonnes de chacun dessommets du dcagone.

3. Donner une valeur approche 0.001 prs, par dfaut, de laire de la partie colore.

1. Construire dans le plan muni dun repre orthonorm direct , un octogone rgulierABCDEFGH tel que A ( ).

2. Donner une valeur approche 0.001 prs, par dfaut, des coordonnes de chacun dessommets de ABCDEFGH.

2. Donner une valeur approche 0.001 prs, par dfaut, de laire de loctogone.

Mesure en radian de 0

cos

sin

Recopier puis complter le tableau ci-dessous.

6

4

3

234

23

56

Activit 2

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .Soit un rel et M le point du cercle trigonomtrique de centre O tel que

On appelle cosinus de , et on note cos, labscisse de M.On appelle sinus de , et on note sin, lordonne de M.Pour tout entier k et tout rel ,

1. Cosinus et sinus d'un rel

Cours

Dfinition

51

Activit 1

Le plan est muni dun repre orthonorm direct et C est le cercle trigonomtrique decentre O.1. Construire dans chacun des cas ci-dessous le point M du cercle C.

2. Dterminer, dans chacun des cas ci-dessus, les coordonnes cartsiennes du point M.

Le plan est muni dun repre orthonorm direct et Cest le cercle trigonomtrique de centre O.En utilisant la figure ci-contre, tablir les proprits ci-dessous.

Pour tout rel , on a

Proprits

52

Activit 3

Activit 4

Le plan est muni dun repre orthonorm direct , onconsidre lhexagone rgulier de ct 1, inscrit dans le cercletrigonomtrique de centre O. Calculer le cosinus et le sinus de chacun des rels O 0, 5

0, 5

1

1

Utiliser la calculatrice (en mode radians) pour trouver une valeur approche 10-1 prs, ducosinus et sinus de chacun des rels 2.3 ; 1.5 ; 12.4 ; 0.2 ; 0.4.

Activit 5

Activit 6

Le plan est muni dun repre orthonorm direct et C est le cercle trigonomtrique decentre O.1 a. Reprsenter lensemble des points M deC tel que

b. Reprsenter lensemble des points M deC tel que

c. Reprsenter lensemble des points M deC tel que et cos 0.

2. Rsoudre dans lintervalle ], ], puis dans lintervalle [0, 2[,

Le plan est muni dun repre orthonorm direct et C est le cercle trigonomtrique decentre O.

1 a. Reprsenter lensemble des points M de C tel que et

b. Reprsenter lensemble des points M de C tel que et

2. Rsoudre dans lintervalle ], ], puis dans lintervalle [0, 2[,

.

Activit 7

53

Activit 8 (Angles associs)

Le plan est rapport un repre orthonorm direct et C est le cercle trigonomtrique de centre O.Dans la figure ci-contre, M est un point du cercle

C tel que , appartenant et

T est le point de coordonnes (1, 0).La tangente au cercleC en M coupe laxe desabscisses en A et la tangente au cercleC en Tcoupe la droite (AM) en D.1. a. Calculer OA et OH en fonction de .

b. En dduire AH et AT en fonction de .

2. a. Montrer que

b. En dduire laire du quadrilatre OTDM.3. Pour quelle valeur de , cette aire est-elle maximale ?

Le plan est rapport un repre orthonorm direct . Dans la figure ci-contre, M est un point du cercle trigonomtriqueC de centre O tel que Les points P, Q ,N et R sont les symtriques respectifs de M par rapport O, laxe des ordonnes, la droite dquation y = x et la droite dquation y = x.

Montrer chacune des formules ci-dessous.

Pour tout rel , on a

Activit 9

Simplifier les expressions suivantes :

Activit 1

Activit 2

Activit 3

Activit 4

54

2. Tangente d'un rel

Le plan est muni dun repre orthonorm direct et M est le point du cercletrigonomtrique de centre O tel que 1. Dterminer les rels de lintervalle ], ] tels que cos = 0.2. En dduire tous les rels tels que cos = 0.

Le plan est muni dun repre orthonorm direct et C est le cercle trigonomtriquede centre O et est un rel tel que , k . Soit M un point du cercleC nappartenant pas laxe des ordonnes tel que et T le point dintersection de la droite (OM) avec la tangente au cercle C en I.1. Calculer . 2. En dduire lordonne de T l'aide de .

On appelle tangente de , le rel not tan et dfini par , pour tout rel

tel que , k .

Dfinition

Montrer les proprits suivantes :

Pour tout rel tel que , k , on a

Dan le plan muni d'un repre orthonorm direct , on considre loctogone rgulier, inscrit dans le cercletrigonomtrique de centre O.Calculer la tangente de chacun des rels

Activit 5

Activit 6

55

Utiliser la calculatrice en mode radians pour rsoudre dans les quations suivantes :

Le plan est muni dun repre orthonorm direct etC est le cercle trigonomtrique decentre O.1. a. Reprsenter lensemble des points M deC tel que

b. Rsoudre dans ,

2. a. Reprsenter lensemble des points M deC tel queb. Rsoudre dans ,



Activit 1

Activit 2

3. Coordonnes polaires

Le plan est muni dun repre orthonorm direct , on considre la droite : y = x.On dsigne par E le point de , dabscisse positive et tel que OE = 2.On dsigne par F le point de , dabscisse ngative et tel que OF = 2.

1. Montrer que

2. Montrer que

3. On considre le point K(2, 1) et on note a. Calculer OK et montrer que

b. Donner les valeurs de cos et sin.

Le plan est muni d'un repre orthonorm direct , Soit M un point du plan distinct de O. On dsigne par m le point de la demi-droite [OM) telque Om =1 et une mesure de langle orient 1. Montrer que2. En dduire que3. Soit un rel r > 0 et appartenant ], ]. Montrer quil existe un unique point M du plan tel que

Activit 3

Activit 4

Activit 5

Activit 6

56

Le plan est muni d'un repre orthonorm direct .

Pour tout point M du plan distinct de O, il existe un unique couple (r,) tel que r > 0, appartient ], ] et Le couple (r, ) appel coordonnes polaires de M, est tel que r = OM et est la mesureprincipale de l'angle orient .

Rciproquement, pour tout couple (r,) tel que r > 0 et appartient ], ], il existe ununique point M du plan tel que M est le point d'intersection du cercle de centre O et de rayon r et de la demi-droite [OA) telleque

Thorme

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .

1. Dans la figure ci-contre ABCDEF est un hexagone rgulier. Donner les coordonnes polaires de chacun des points A,B,C,D, E et F.

2. Dans la figure ci-contre EFGH est un carr et K estle milieu de [FG].Donner les coordonnes polaires des points F, G et K.


Soit H le point dfini par et OH = 2. Donner une quation cartsienne de la droite perpendiculaire (OH) en H.


Reprsenter l'ensemble des points M de coordonnes polaires

Reprsenter l'ensemble des points M de coordonnes polaire (2, ), appartenant ], ].

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .On considre un point M(x, y) distinct de O et on note

On dsigne par (r, ), les coordonnes polaires du point M. Montrer

57

Activit 7

Activit 1

Proprit

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .Soit M un point du plan distinct de O, de coordonnes cartsiennes (x , y) et de coordonnespolaires (r, ). Alors

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .Soit A un point du plan n'appartenant pas laxe des ordonnes. On suppose que OA =1 et onnote

1. Montrer quun point M de coordonnes cartsiennes (x , y) appartient la droite (OA) si etseulement si y = x tan.2. Soit C le point de coordonnes cartsiennes (2, 0).Donner, en fonction de , une quation de la droite parallle (OA) passant par C.4. Cosinus et sinus d'un angle orient

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .Soit deux vecteurs non nuls. On dsigne par respectivement le cosinus et le sinus dune mesure quelconque de langle orient .

Dfinition

Soit un repre orthonorm direct, un vecteur non nul de composantes (a, b) dansla base et M tel que .

1. Soit le vecteur vrifiant

On se propose de dterminer les composantes (x , y) du vecteur . Soit N tel que . a. Montrer que

b. Montrer et que

c. En dduire que x = b et y = a.

2. Soit un vecteur de composantes (a', b') dans la base .Montrer que

N'

58

Activit 2

Activit 3

Activit 4

Le plan est muni dun repre orthonorm direct . Soit deux vecteurs non nuls.

1. Montrer que

2. Montrer que

3. Soit un vecteur non nul tel que

a. Montrer que

b. En dduire que

4. On dsigne par (x , y) et (x', y') les composantes respectives des vecteurs dans labase orthonorme directe .

Donner les expressions de en fonction de x, y, x' et y'.

Proprits

Soit deux vecteurs non nuls, de composantes (x, y) et (x', y') dans une base orthonormedirecte .. Alors

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .On considre les points A(1, 2) ; B(4, 1) ; C(6, 5).1. Donner une valeur approche 10-1 radians prs de la mesure principale de chacun des

angles

2. Montrer que laire du triangle ABC est gale

3. Soit D le point du plan tel que ABCD soit un paralllogramme.

Montrer que laire du paralllogramme ABCD est gale

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .On se propose de montrer quil nexiste pas de triangle quilatral dont les coordonnes dessommets sont toutes entires.On dsigne par ABC un triangle quilatral de ct a.

Activit 1

Activit 2

Activit 3

1. a. Montrer que l'aire du triangle ABC est gale

b. Montrer que l'aire du triangle ABC est gale

2. On suppose que les coordonnes de chacun des points A, B et C sont entires.

a. Montrer que est entier. b. Conclure.

5. Formules de transformation

Le plan est muni dun repre orthonorm direct .On considre les points A et B tels que OA = OB = 1.On dsigne par a et b des mesures respectives des angles orients 1. Donner les composantes des vecteurs 2. Montrer que b a est une mesure de langle orient 3. En dduire les formules suivantes :

4. En remplaant b par b dans les formules prcdentes, montrer que

5. En prenant b = a dans les formules prcdentes, montrer que

cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b ; sin(a b) = sin a cos b sin b cos a

cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b ; sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

cos (2a) = cos2 a sin2 a ; sin(2a) = 2sin a cos a

1. En remarquant que

2. En dduire

3. Calculer

Le plan est rapport un repre orthonorm direct .1. Soit (a, b) un couple de rels tels que a2 + b2 = 1 et A le point du plan de coordonnes

(a, b). On dsigne par une mesure de langle orient Montrer que pour tout rel x, a cosx + b sinx = cos (x ).

2. En dduire que pour tout couple de rels (c, d) (0, 0) et tout rel x,

59

60

Activit 4

Activit 1

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 1 et

1. a. Calculer en fonction de , le primtre du triangle ABC.b. En dduire la valeur de pour laquelle le primtre du

triangle ABC est maximal.2. a. Calculer en fonction de , laire du triangle ABC.

b. En dduire la valeur de pour laquelle laire du triangle ABC est maximale.

6. Lignes trigonomtriques

Le plan est rapport un repre orthonorm direct , on dsigne par C le cercletrigonomtrique de centre O.Soit a et b deux rels de ], ]. On se propose de trouver une condition ncessaire etsuffisante portant sur a et b pour que sin a = sin b.1. a. On suppose que sin a =1.

Enoncer une condition ncessaire et suffisante portant sur a et b pour que sin a = sin b.b. On suppose que sin a = 1.

Enoncer une condition ncessaire et suffisante portant sur a et b pour que sin a = sin b.2. On suppose que sin a est un rel de ]1, 1[.

On dsigne par M et N les points du cercle C tels que

Montrer que sin a = sin b, si et seulement si, M et N sont soit confondus soit symtriques par rapport laxe des ordonnes.

Soit a et b deux rels.sin a = sin b, si et seulement si, a = b + 2k ou a = b + 2k, k .

Soit a et b deux rels.cos a = cos b , si et seulement si, a = b + 2k , ou a = b + 2k k .

Activit 2Soit c et d deux rels.

En utilisant l'galit montrer que cos c = cos d, si et seulement si, c = d + 2k, k .

Proprit

Proprit

61

Activit 3

Activit 1

Soit a et b deux rels de

On se propose de trouver une condition ncessaire et suffisante portant sur a et b pour quetan a = tan b.Dans le plan muni dun repre orthonorm direct , on dsigne par C le cercletrigonomtrique de centre O et on note M et N deux points de C tels que

Montrer que tana = tanb, si et seulement si, M et N sont confondus.

Soit a et b deux rels de

tana = tanb, si et seulement si, a = b + k , k .

Soit un rel de [ 1, 1].x0 est solution de lquation sin x = , si et seulement si, x0 a est solution de lquation sin(x + a) = .

7. Equations sin(x + a) = . Inquations sin(x + a) .

Dans les quations suivantes, x est linconnue relle.

1. Dterminer les solutions dans de lquation (E0).2. a. Montrer que a est solution de (E0) si et seulement si est solution de (E1).

b. En dduire les solutions dans de (E1).

Activit 2

Dans les quations suivantes, x est linconnue relle.

Proprit

Proprit

62

1. Dterminer les solutions dans de l'quation (E0).2. a. Montrer que a est solution de (E0) si et seulement si est solution de (E1).


1. Rsoudre dans l'inquation (E1).2. a. Montrer que a est solution de (E0) si et seulement si est solution de (E1).


Soit un rel de [ 1, 1].x0 est solution de lquation sin x = , si et seulement si, x0 a est solution de lquation cos(x + a) = .

Activit 3

Dans les inquations suivantes, x est linconnue relle.

Proprit


Situation 2

Situation 1

63

On considre un triangle ABC isocle en A tel que BC = a etLa bissectrice de langle coupe [AC] en D.1. Montrer que les triangles ABD et BCD sont isocles.

En dduire que AD = BC = a.

2. a. Montrer que

b. En dduire que

3. Montrer que

4. Calculer

5. Calculer les longueurs des cts du pentagone rgulier et du dcagone rgulier inscritsdans un cercle de rayon 2.

Soit un rel .1. Dans le plan muni d'un repre orthonorm direct ,

on dsigne par C le cercle trigonomtrique de centre O.On dsigne par A et B les points de C tels que

Dterminer les coordonnes polaires du point A. 2. Montrer quune quation de est (cos)x + (sin)y = 1.

3. On suppose que est un rel de

a. Calculer les coordonnes des points dintersection E et F de respectivement avec laxedes abscisses et laxe des ordonnes.

b. Montrer que l'aire du triangle OEF est gale 1, si et seulement si,

QCM - VRAI - FAUX

Cocher la rponse exacte.

1. Soit a un rel.

6.

.

Rpondre par vrai ou faux en justifiant la rponse.VRAI - FAUX

QCM

1. Pour que x soit une solution de lquation il suffit que soit une solution de lquation cosx =1.

4. Dans la figure ci-contre, est un repre orthonorm direct.Les coordonnes polaires de M sont

0.

2. Dans la figure ci-contre, on a reprsent dans un repre orthonorm direct le cercle trigonomtrique de centre O. Alors est congru modulo 2

3. Dans le plan muni dun repre orthonorm direct, on considre des points A, B et C tels que et AB = AC = 1.

5. Soit x un rel. cos x sin x =

2.

4.

3. Pour que les coordonnes cartsiennes de M soient (1, 1) il faut que les coordonnes polairesde M soient

5. Dans le plan muni dun repre orthonorm direct on considre un point An'appartenant pas la droite (OJ).Si (en radians), alors la droite (OA) a pour quation y = (tan) x.

64


65

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 5Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . 1. Reprsenter sur le cercle trigonomtrique, lensembledes points M tels que

2. Rsoudre dans lintervalle ], ], puis dans lintervalle ]0, 2],

Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . 1. Reprsenter sur le cercle trigonomtrique, lensembledes points M tels que


Exercice 3Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . 1. Reprsenter sur le cercle trigonomtrique, lensembledes points M tels que


Exercice 4Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . 1. Reprsenter lensemble des points M de coordonnespolaires (r, ).

Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . Dterminer et reprsenter lensemble des points M de

coordonnes polaires

2. Dterminer et reprsenter lensemble des points Mde coordonnes polaires (4, ), ], ].

Exercice 6

Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . Dterminer les coordonnes polaires du point M dfinipar ses coordonnes cartsiennes.

Exercice 7Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . On considre le carr OABC de centre S tel que lescoordonnes cartsiennes respectives de A et C sont

1. Faire une figure.2.Dterminer les coordonnes polaires de chacun despoints A, C, B et S.

Exercice 8Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . On considre les points A, B, C, D, E, F et G de coordon-nes polaires respectives

1. Placer les points A, B, C, D, E, F et G.2. Dterminer les coordonnes cartsiennes des pointsA, B, C, D, E, F et G.3. Montrer que ces points se trouvent sur un mmecercle dont on dterminera le centre et le rayon.

66

Exercice 9Le plan est muni d'un repre orthonorm direct .

Soit A le point de coordonnes polaires et les

points B et C tels que

1. Placer les points A , B et C dans le repre .2. Dterminer les coordonnes polaires de chacun despoints B et C.

Exercice 10Le plan est muni d'un repre orthonorm direct .

Soit M le point de coordonnes polaires

Dterminer les coordonnes polaires de chacun despoints ci-dessous.a. E le symtrique de M par rapport laxe b. F le symtrique de M par rapport laxe c. G le symtrique de M par rapport au point O.

Exercice 14Le plan est muni d'un repre orthonorm direct ,on dsigne par ABCD un losange tel que la mesureprincipale de est obtus

et

1. Calculer .

2. En dduire .

Exercice 11Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . Soit S et T les points de coordonnes polaires

respectives (3, 0) et

Soit E le point tel que OSET est un losange.1. Dterminer les coordonnes polaires du point E.2. Calculer laire du losange OSET.

Exercice 12Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . 1. Placer les points A et B de coordonnes polaires

respectives

2. Dterminer une mesure de l'angle orient3. Dterminer les coordonnes cartsiennes des pointsA et B.4. Calculer la distance AB.

Exercice 13Le plan est muni d'un repre orthonorm direct . On considre les points A, B et C de coordonnes

polaires respectives

1. a. Dterminer les coordonnes cartsiennes de chacundes points A, B et C.b. En dduire une valeur approche 10-2 prs de lamesure principale de langle orient 2. Calculer laire du triangle ABC.

Exercice 15Lensemble des vecteurs du plan est muni dune baseorthonorme directe. On considre trois vecteurs

tels que

Calculer le cosinus et le sinus de chacun des anglesorients ci-dessous.

Exercice 16Dans le plan muni dun repre orthonorm direct, onconsidre le triangle ABC tel que AB = 5, AC = 4 et

Calculer

Exercice 17Dans la figure ci-contre ABCD estun quadrilatre dont les diagonales(AC) et (BD) se coupent en O. On dsigne par la mesure enradians dun des angles form par les deux diagonales.1. Montrer que laire S du quadri-latre ABCD est donne par,

2. Dterminer les mesures 10-1 radians prs, desangles forms par les diagonales dun rectangle delongueur 8 et de largeur 6.

67

Exercice 18Soit x un rel.1. Montrer que

2. Rsoudre dans l'quation

Exercice 191. Vrifier que pour tout rel x, (cosx sinx)2 =1sin2x.2. Soit x un rel appartenant

a. Calculer sin2x.b. En dduire x.

Exercice 20Soit x un rel appartenant ] , ].1. Dterminer x sachant que

2. Dterminer x sachant que

Exercice 21Rsoudre dans [0, 2[, chacune des quationsci-dessous.

c. cosx = cos3x d. 2cos2x + 3cosx 2 = 0.

Exercice 22Rsoudre dans ], ], chacune des quationsci-dessous.

Exercice 23

Rsoudre dans puis dans , chacune des

quations ci-dessous.

Exercice 24Rsoudre dans [0, 2[ puis dans , chacune des inquations ci-dessous.

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Rsoudre dans ] , ] puis dans , chacune des inquations ci-dessous.

On considre

1. Calculer A(x) + B(x) et A(x) B(x).2. En dduire A(x) et B(x).

Dans la figure ci-contre ABCDA'B'C'D' est un cubed'arte 1, et M est un point de la diagonale [BD'].

On note

1. Montrer que le triangle AMC est isocle en M et en

dduire que

2. Montrer qu est maximale lorsque M est le

projet orthogonal de A sur (BD').3. En dduire que la valeur maximale de vrifie

Trouver cette valeur.

68

On considre lquation sin x + cos x = k , o k est un rel donn.On se propose dans cette squence, dillustrer et de prouver une rsolution gomtrique de cette quation laide du logiciel cabri.

Partie A1. Aprs avoir montr les axes, tracer le cercle trigonomtrique C et placer un point variable K sur laxe des

ordonnes ( on notera k son ordonne).2. Tracer la droite Dk parallle (AB) et passant par K o A(1, 0) et B( 0, 1).

Dk coupe ventuellement C en deux points M1 et M2.

3. Mesurer .4. Dterminer les coordonnes de chacun des points K, M1 et M2 puis laide de la calculatrice, calculer

et comparer le rsultat lordonne de K, en faisant varier K sur laxe des ordonnes.

5. Justifier quun rel x0 est solution de lquation sinx + cosx = k, si et seulement si, le point M0 du cercletrigonomtrique associ x0 est un point de la droite Dk.

Partie BOn se propose de vrifier dans cette partie que lquation sinx + cosx = k est quivalente

1. Placer le point N sur C tel que (N est limage de M1 par la rotation de centre O etd'angle

2. Dterminer les coordonnes (xN, yN) de N, puis laide de la calculatrice, calculer et comparer lersultat lordonne de K, en faisant varier K sur laxe des ordonnes.

Avec lordinateur

69

Math - culture

Mat

h -

cult

ure

Lune des tches de la trigonomtrie fut donc ltablisse-ment de tables permettant le passage de la mesure desangles celle des arcs et des cordes de cercles.Al Khawarizmi (IXme Xme sicle) fut le premier math-maticien arabe fournir les tables des sinus, amlioresplus tard

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