Math financier Chapitre 3

Mathématiques Financières - Chapitre 3 Année universitaire 2012-2013

1

1

Chapitre 3:

Annuités et rentes

3.1 Les annuités

3.2 Les rentes perpétuelles

3.3 L’amortissement d’un emprunt

3.4 L’actualisation et le cours de change

3.5 L’actualisation et l’inflation

3.6 Le choix de placement et l’impôt

2

3.1 Les annuités

Dans plusieurs cas, les cash-flows futurs sont d’un

même montant:

• obligation avec coupon annuel de 500 dhs;

• emprunt remboursé à raison de 1 000 dhs par

mois;

• épargne constituée de versements mensuels de

500 dhs…

3

Une annuité constante est une séquence de cash-

flows identiques, qui peuvent être des

remboursements d’un emprunt ou la perception de

revenus.

Un cash-flow perçu ou versé au début de la période

est appelé annuité immédiate.

Un cash-flow perçu ou versé en fin de période est

appelé annuité ordinaire.

Un emprunt bancaire est généralement remboursé

par annuités ordinaires.

4

Valeur future d’une annuité constante

Vous voulez épargner 1 000 dhs par an sur les trois

prochaines années. Si le taux d’intérêt annuel est de

10%, combien allez-vous obtenir à la fin de ces

trois années?

VF = 1000 1.1 + 1000 1.12 + 1000 1.13

VF = 1000 (1.1 + 1.12 + 1.13) = 3641 dhs

On peut réaliser ce calcul avec une calculatrice

financière en utilisant les touches n, i et PMT.

5

Nombre

d’années, nTaux

d’intérêt, i

Paiement,

PMT

BEG/END

6

Avant d’utiliser la touche PMT, il faudrait spécifier

s’il s’agit d’une annuité immédiate ou ordinaire.

Dans notre exemple, on place 1 000 dhs au début

de chaque année, il s’agit donc d’une annuité

immédiate.

Dépendamment de la calculatrice, on utilise la

touche BEG/END (ou BGN) pour sélectionner ou

basculer dans le mode BEGIN.

En introduisant les valeurs de n = 3, i = 10 et PMT

= –1000 , on obtient le résultat 3641 en appuyant

sur la touche FV.


2

7

Dans le cas d’une annuité ordinaire, le résultat est

tout autre:

VF = 1000 + 1000 1.1 + 1000 1.12

VF = 1000 (1 + 1.1 + 1.12) = 3310 dhs

0 1 2 3

1000 1000 1000

Temps

Annuité immédiate

1000 1000 1000Annuité ordinaire

8

Dans le cas d’une annuité immédiate, l’intérêt est

versé sur une période supplémentaire (la première

année).

Un placement par annuités immédiates a une VF

égale à (1 + i) fois la VF d’un placement par

annuités ordinaires. En effet, on a:

3641 = 3310 1.1

De manière générale, la VF d’une annuité ordinaire

de 1 dh est donnée par:

1 1n

iVF

i

(1)

9

Ce résultat peut être prouvé comme suit. On a:

2 1

1 1 1 1n

VF i i i

On a aussi:

2

2 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

n

n

n

i VF VF i i i

i i i

i

D’où:

1 1

1 1

n

n iiVF i VF

i

10

Dans notre exemple, on obtient:

3

1 0.1 1 0.3311000 1000 3310 dhs

0.1 0.1VF

Valeur actuelle d’une annuité constante

Souvent, on a plutôt besoin de calculer la VA d’une

annuité, et non pas la VF.

Combien faudrait-il placer aujourd’hui pour

pouvoir retirer 1 000 dhs par an les trois prochaines

années, si le taux d’intérêt annuel est 10%?

11

La réponse à cette question est la VA des trois cash-

flows futurs:

2 3

1000 1000 1000

1.1 1.1 1.1VA

2 3

1 1 11000 2486.85 dhs

1.1 1.1 1.1VA

12

Année

Montant

en début

d'année

Multiplié

par Montant

en fin d'année

Montant après

retrait de 1000 dhs

1 2486.85 1.1 2735.54 1735.54

2 1735.54 1.1 1909.09 909.09

3 909.09 1.1 1000.00 0.00

Tableau 3.1 : Placement de 2 486.85 dhs

De manière générale, la VA d’une annuité de 1 dh

est donnée par:

1 1n

iVA

i

(2)


3

13

Le calcul de la VA de notre exemple peut être fait

sur une calculatrice financière en introduisant les

valeurs de n = 3, i = 10 et PMT = 1000. On obtient

le résultat – 2486.85 en appuyant sur la touche PV.

Exercice 3.1:

Démontrer la formule (2) de la VA d’une annuité de

1dh.

14

Achat d’une rente

Une personne de 65 ans envisage l’achat d’une

rente auprès d’une compagnie d’assurances. La

compagnie exige le paiement immédiat d’une prime

de 100 000 dhs, en contrepartie de quoi elle versera

10 000 dhs/année pour tout le reste de la vie de la

personne.

15

1. Si l’espérance de vie de cette personne est 15 ans

et si les Sicav monétaires rapportent 8% par an, est-

ce que l’achat de cette rente est intéressant?

2. Quelle est le taux d’intérêt implicite proposé par

la compagnie?

3. À partir de quel nombre d’années de vie restante

l’achat de cette rente devient-il intéressant?

16

1. Nous allons calculer la VAN de cette rente.

En supposant des annuités ordinaires, celles-ci sont

au nombre de 15: la première à l’âge de 66 ans et la

dernière à 80 ans.

L’investissement initial est 100 000 dhs.

Le taux d’actualisation à utiliser est 8%.

La VAN de la rente est donnée par:

15

1 1.08VAN 10 000 100 000

0.08

85 594.79 100 000 14 405.21 dhs

17

Cette rente ne constitue donc pas un achat

intéressant.

On peut obtenir 10 000 dhs/année en plaçant

seulement 85 594.79 dhs dans les Sicav monétaires.

2. Nous allons maintenant calculer le TIR, i.e. le

taux d’intérêt pour lequel la VAN s’annule:

15

15

1 1VAN 10 000 100 000 0

1 1 10

i

i

i i

18

Pour trouver le taux i qui résout cette équation, on

compose, dans une calculatrice financière: n = 15,

PV = –100 000, PMT = 10 000 et FV = 0, et on

appuie sur i ou IRR. Le résultat est: 5.56%.

Comme le TIR est inférieur au taux des Sicav, alors

l’achat de la rente n’est pas intéressant.

3. Méthode du délai de récupération des 100 000

dhs avec des versements annuels de 10 000 dhs:

1 1.08VAN 10 000 100 000 0

0.08

n


4

19

1

1 1.08 0.8

1.08 0.2 5

ln1.08 ln 5

ln 520.91

ln1.08

n

n

n

n

Il faut donc attendre de vivre jusqu’à 86 ans pour

que l’achat devienne rentable.

Si la personne vit jusqu’à 86 ans, alors le TIR sera

de 8%.

20

Prêt immobilier

Vous envisagez l’achat d’une maison au prix de 1

million de dirhams. Une première banque vous

propose un prêt immobilier sur 30 ans, à

rembourser en 360 mensualités, au taux annuel de

12%.

Une deuxième banque vous propose un prêt sur 25

ans avec des mensualités de 11 000 dhs.

Quel prêt devriez-vous choisir?

21

Nous allons calculer la mensualité, notée m, dans le

cas du premier prêt.

Les cash-flows associés à ce prêt sont:

• la perception de 1 000 000 dhs immédiatement, et

• le versement de 360 mensualités de m dhs.

La VA des mensualités est donnée par:

360

1 1 iVA m

i

22

La mensualité m est donc donnée par:

360

1 1

im VA

i

De manière générale, l’annuité constante m d’un

emprunt VA remboursable sur n périodes au taux i

est donnée par:

1 1n

im VA

i

23

Dans notre exemple, le taux d’intérêt à utiliser est le

taux proportionnel 1% (taux mensuel) et la VA est le

montant du prêt. La mensualité m est donc égale à:

360

0.011 000 000 10 286.13 dhs

1 1.01m

Cette mensualité est plus petite que celle du

deuxième prêt (11 000 dhs). Le deuxième prêt

cependant ne porte que sur 25 ans.

Calculons le taux d’intérêt associé à ce prêt.

24

Le deuxième prêt comprend 300 mensualités de

11 000 dhs. Il s’agit donc de calculer le TIR avec

les données suivantes: n = 300, PV = 1 000 000,

FV = 0 et PMT = –11 000.

On obtient comme résultat: 1.05%, soit un taux

annuel de 12.6%.

Comme ce taux est supérieur à 12%, alors le

premier prêt sur 30 ans est plus intéressant.


5

25

3.2 Les rentes perpétuelles

Une rente perpétuelle est un contrat ou un titre qui

rapporte un montant fixe à chaque période, et ce

jusqu’à l’infini.

On peut citer comme exemples:

• les actions de préférence (preferred stocks) aux

États-Unis;

• les actions à dividende prioritaire en France.

Ces actions versent un dividende régulier et ne sont

jamais remboursées.

26

La VF d’une rente perpétuelle est infinie. Sa VA est

par contre finie et facilement calculable.

Quelle est la VA d’une rente perpétuelle de 100

dhs/an, si le taux d’actualisation est 10%?

La réponse est 1 000 dhs.

Intuition: si vous placez 1 000 dhs dans un compte

qui rapporte 10% par an, alors vous pouvez retirer

100 dhs après la première année. Le nouveau solde

après ce retrait est 1 000 dhs. Vous pouvez

continuer ce processus à l’infini.

27

De manière générale, pour un taux d’intérêt i, la VA

d’une rente perpétuelle correspondant au versement

régulier d’un même cash-flow CF (à l’infini) est

donnée par:

Rente perpétuelleCF

VAi

1 1lim

n

n

iVA CF

i

Cette valeur est obtenue en calculant la limite

suivante:

28

Actions à dividende prioritaire (ADP)

Le marché monétaire offre actuellement un taux de

rendement annuel de 8%.

Les ADP d’une entreprise versent un dividende

annuel de 10 dhs. Le cours de ces ADP est

actuellement de 100 dhs.

Devriez-vous acheter ces ADP?

La réponse consiste à calculer le taux de rendement

de ces ADP et à le comparer au rendement du

marché.

29

Le rendement d’une action est donné par le rapport:

dividende annuelRendement annuel de l'action

cours de l'action

Dans notre exemple, ce rendement est de 10%, ce

qui est supérieur au rendement du marché.

Une analyse plus complète cependant intégrerait le

risque associé à chaque actif.

30

Rente croissante (growth annuity)

Une rente croissante est une séquence de

versements réguliers qui croissent à un taux

constant.

Si on note par CF1 le premier cash-flow et si le taux

de croissance du cash-flow est g, i.e.

CFt + 1 = (1 + g) CFt

alors la VA d’une rente croissante à l’infini est:

1Rente croissanteCF

VAi g


6

31

Exemple:

Si le revenu de la première année est 1 000 dhs, le

taux d’intérêt est de 9% et le taux de croissance est

de 4%, alors la VA de l’annuité croissante est:

1 00020 000 dhs

0.09 0.04VA

32

Exercice 3.2:Une entreprise verse un dividende croissant de 3%

par année. Le prochain dividende, qui s’élève à 10

dhs, sera versé dans un an. Le taux de rendement

des autres placements possibles est de 10%. Quel

est le prix maximal auquel vous accepteriez

d’acheter cette action?

33

3.3 L’amortissement d’un emprunt

Les crédits à la consommation, les prêts

immobiliers et d’autres emprunts sont remboursés

par annuités constantes.

Chaque annuité comprend des intérêts sur le

montant restant, en plus d’une part de

remboursement du capital.

La répartition de l’annuité entre intérêts et

remboursement du capital est variable, puisqu’à

chaque paiement de l’annuité, une partie du capital

a déjà été remboursée.

34

Comme le montant restant est de plus en plus

faible, alors la part des intérêts dans l’annuité est de

plus en plus faible.

Exemple:

Considérons un emprunt de 100 000 dhs, au taux

annuel de 9%, qui sera remboursé en trois annuités

constantes.

Si note par VA le montant de l’emprunt, alors

l’annuité constante A est donnée par:

1 1n

iA VA

i

35

Quelle est la part de l’intérêt et du capital remboursé

dans la première annuité?

Comme le taux d’intérêt est de 9%, alors les intérêts

de 9% du montant initial: 0.09100 000 = 9 000dhs.

Le remboursement du capital est donc 30 505.48dhs.

Le capital restant après paiement de cette annuité est

100 000 – 30 505.48 = 69 494.52 dhs.

3

0.09100 000 39 505.48 dhs

1 1.09A

36


dans la deuxième annuité?


de 9% du montant restant à rembourser sont de:

0.0969 494.52 = 6 254.51 dhs.


Le capital restant après paiement de cette annuité est

69 494.52 – 33 250.97 = 36 243.55 dhs.


7

37


dans la troisième annuité?


de 9% du montant restant à rembourser sont de:

0.0936 243.55 = 3 261.92 dhs.


Le dernier paiement n’est en fait que le

remboursement du capital restant plus intérêts:

36 243.55 (1 + 0.09) = 39 505.48 dhs.

38

La démarche qui consiste à rembourser progressi-

vement un emprunt s’appelle amortissement d’un

emprunt.

Le tableau d’amortissement (Tableau 3.2) montre

comment la part des intérêts diminue et celle du

remboursement du capital augmente avec le

paiement des annuités.

39

Année Montant

initial

Annuité dont

intérêts

capital

remboursé

Montant

final

1 100,000.00 39,505.48 9,000.00 30,505.48 69,494.52

2 69,494.52 39,505.48 6,254.51 33,250.97 36,243.55

3 36,243.55 39,505.48 3,261.92 36,243.55 0.00

Total 118,516.44 18,516.43 100,000.00

Tableau 3.2 : Tableau d’amortissement

40

Exercice 3.3:Vous envisagez d’emprunter 10 000 dhs au taux

annuel de 12%, à rembourser en 12 mensualités

égales de 888.50 dhs chacune.

Le prêteur vous dit, qu’en réalité, vous ne

supporterez qu’un taux de 6.62%, puisque:

888.5012 – 10 000 = 10 662 – 10 000 = 662 dhs

et

662/10 000 = 0.0662 = 6.62%.

Comment allez-vous montrer au prêteur que son

raisonnement est erroné?

41

3.4 L’actualisation et le cours de change

Exemple:

On veut placer 100 000 dhs pendant un an et on a le

choix entre des obligations en dirhams, au taux

annuel de 10%, et des obligations en dollars, au

taux annuel de 7%.

Quel est le meilleur investissement?

La réponse dépend du taux de change dirham/dollar

dans un an.

42

• Si le dirham vaut aujourd’hui 0.1175 dollars, alors

les 100 000 dhs valent aujourd’hui 11 750 dollars.

• Si on investit dans les obligations en dollars, alors

on aura 12 572.50 dollars (i.e. 11 750 1.07).

• Si on investit dans les obligations en dirhams,

alors on aura 110 000 dhs (i.e. 100 000 1.1).

• Quel sera le montant le plus élevé?


8

43

• Si le dirham perd durant l’année 5% de sa valeur

par rapport au dollar, alors il ne vaudra que

0.111625 dollars dans un an, soit 0.1175(1 – 0.05).

• Les obligations en dollars auront une valeur de

112 631.58 dhs.

• Ce montant dépasse le rendement des obligations

en dirhams de 2 631.58 dhs.

• Si le dirham ne perd que 2% de sa valeur, alors les

obligations en dollars paieront 109 183.67 dhs. Ce

qui est de 816.33 dhs inférieur à la valeur des

obligations en dirhams.

44

Quel est le cours de change à un an qui égalise les

deux placements?

Il s’agit de diviser 12 572.50 dollars par 110 000

dhs pour obtenir environ 0.11430 dollars/dirham.

Ce qui équivaut à une dépréciation du dirham

d’environ 2.73%.

45

Exercice 3.4:Le cours de change actuel est de 0.1464 dinars

tunisiens pour un dirham et les taux d’intérêt

annuels sur les marchés monétaires marocain et

tunisien sont 6% et 4%, respectivement.

Vous voulez placer 25 000 dhs et vous anticipez une

dépréciation de 3% du dirham par rapport au dinar

tunisien d’ici un an.

1. Sur quel marché devriez-vous faire votre

placement?

2. À quel cours de change seriez-vous indifférent

entre les deux marchés?

46

Calcul de la VAN avec plusieurs devises

Règle importante: dans tout calcul financier, les

cash-flows et les taux d’intérêt doivent être

exprimés dans une même devise.

Par exemple, pour calculer la VA de cash-flows en

euros, on doit utiliser les taux d’intérêt sur l’euro.

47

Vous avez à choisir entre deux investissements, l’unau Maroc et l’autre en Espagne.

Dans les deux cas, l’investissement initial est de20 000 dhs.

Le projet marocain vous rapportera 8 000 dhs paran, alors que le projet espagnol 875 euros par an.

Le taux d’intérêt sur le dirham est 7% et le tauxd’intérêt sur l’euro est 4%.

Le cours de change actuel est 0.1175 euros pour undirham.

Lequel des projets présente la plus grande VANpour les cinq prochaines années?

48

Calculons la VAN du projet marocain:

n i VA VF PMT Résultat

5 7 ? 0 8 000 dhs VA = 32 801.58 dhs

En soustrayant l’investissement initial, on obtient

une VAN de +12 801.58 dhs.


9

49

La VAN du projet espagnol est donnée par:


5 4 ? 0 875 euros VA = 3 895.34 euros

La VA des cash-flows espagnols est donnée en

euros. Au cours de change actuel, elle équivaut

33 151.83 dhs.

En soustrayant l’investissement initial, on obtient

une VAN de +13 151.83 dhs.

Le projet espagnol est donc plus rentable.

50

Si on avait utilisé le taux d’intérêt sur le dirham (i.e.

7%), on aurait obtenu une VAN pour le projet

espagnol de +10 533.36 dhs. On aurait alors opté,

par erreur, pour le projet marocain.

51

3.5 L’actualisation et l’inflation

Dans l’Exercice 1.1, on avait calculé que si, à l’âgede 20 ans, on place 1 000 dhs dans un compted’épargne au taux annuel de 8% pendant 45 ans,alors la VF sera 31 920.45 dhs.

Mais que valent les 31 920.45 dhs dans 45 ans, entermes de pouvoir d’achat? Valent-ils plus ou moinsque 1 000 dhs aujourd’hui?

Si le niveau général des prix a augmenté de 8% paran, alors, en réalité, on n’a gagné aucun intérêt.

52

On distingue entre:

• le taux d’intérêt nominal: le taux d’intérêtexprimé en unités monétaires; et

• le taux d’intérêt réel: taux d’intérêt nominalcorrigé de l’inflation (variation du pouvoir d’achat).

Dans l’exemple précédent, si le taux d’inflation estde 8% par an et le taux d’intérêt nominal est de 8%,alors le taux d’intérêt réel est nul.

L’inflation est généralement mesurée avec l’Indicedes Prix à la Consommation (IPC).

53

Si le taux d’intérêt nominal est de 8% et si le tauxde variation de l’IPC est de 5% par an, quel seraalors le taux d’intérêt réel?

• Si on place 100 dhs, on aura 108 dhs après un an.

• Un panier de biens qui coûte 100 dhs aujourd’huicoûtera 105 dhs dans un an.

• En termes de biens de consommation, les 108 dhsvaudront 108/105 = 1.02857 panier.

• Le taux d’intérêt réel est donc 2.857%.

54

De manière générale, nous avons la relationsuivante:

1 taux d'intérêt nominal1 taux d'intérêt réel

1 taux d'inflation

Ce qui peut également s’écrire:

taux d'intérêt réel

taux d'intérêt nominal taux d'inflation

1 taux d'inflation


10

55

Avec les données de notre exemple, cette formuledonne:

0.08 0.05 0.03taux d'intérêt réel 0.02857

1.05 1.05

Avec des taux continus (capitalisation en continu),la formule devient plus simple:

taux d’intérêt réel =

taux d’intérêt nominal – taux d’inflation

56

Inflation et valeurs futures

Revenons à l’Exercice 1.1. Il existe deux méthodes

pour calculer la valeur future des 1 000 dhs en

termes de pouvoir d’achat:

• Première méthode: on calcule la valeur future

réelle en utilisant le taux d’intérêt réel. On a alors:

45 réelle 1 000 1.02857 3 552.41VF

57

• Deuxième méthode: on calcule d’abord la valeur

future nominale:

45 nominale 1 000 1.08 31 920.45VF

On calcule ensuite ce que sera le niveau des prixdans 45 ans.

45Niveau des prix futur 1.05 8.985

58

nominale réelle

Niveau des prix futur

31 920.453 552.64

8.985

VFVF

La valeur future réelle est alors donnée par:

59

Inflation et valeurs actuelles

Vous voulez placer un montant en compte

d’épargne pour pouvoir acheter une voiture dans 4

ans. Le taux d’intérêt est de 8% et la voiture coûte

aujourd’hui 150 000 dhs.

Le montant à placer aujourd’hui pour couvrir le

prix de la voiture dépend du taux d’inflation. Si

celui-ci est de 5% par an, alors le prix de la voiture

dans 4 ans sera:

4150 000 1.05 182 325.94 dhs

60

Il existe deux méthodes pour calculer le montant à

placer aujourd’hui en tenant compte de l’inflation:

• Première méthode: on calcule la valeur actuelle

d’une valeur future réelle de 150 000 dhs en

utilisant le taux d’intérêt réel. On a alors:

4

150 000134 015.75 dhs

1.02857VA

0.08 0.05taux d'intérêt réel 0.02857

1.05

et:


11

61

• Deuxième méthode: on calcule la valeur actuelle

de la valeur future nominale de la voiture, au taux

d’actualisation de 8%:

4

182 325.94 = 134 015.01 dhs

1.08VA

62

Règle importante: dans tout calcul financier, les

cash-flows et les taux d’intérêt doivent être

exprimés dans une même mesure:

• avec des valeurs nominales, on utilise des taux

d’intérêt nominaux; et

• avec des valeurs réelles, on utilise des taux

d’intérêt réels.

63

Exercice 3.5:Vous avez une fille de 10 ans et vous voulez lui

ouvrir un compte d’épargne pour payer ses études

supérieures qu’elle devrait entreprendre à l’âge de

20 ans.

Les frais de scolarité sont actuellement de 60 000

dhs et augmenteront de 5% par an.

1. Si vous placez 30 000 dhs aujourd’hui, au taux

annuel de 8%, cela va-t-il suffire pour couvrir le

coût des études?

2. Combien faudrait-il placer aujourd’hui pour

couvrir les frais de scolarité?

64

Annuités réelles

Supposons maintenant que pour payer les frais de

scolarité futurs de votre fille, qui s’élèvent à 90 000

dhs, vous vouliez épargner un même montant par

année.

Si le taux d’intérêt réel est de 3%, combien devriez-

vous épargner par année?

Le montant annuel à placer est donné par:


10 3 0 90 000 dhs ? PMT = –7 850.75 dhs

65

Attention: Le montant 7 850.75 dhs est exprimé en

valeur réelle, i.e. en dirhams d’aujourd’hui.

Si le taux d’inflation est de 5% par an, alors les

montants effectifs à épargner sont donnés dans le

tableau 3.4.

Notons qu’à ce taux d’inflation de 5%, les frais de

scolarité dans 10 ans seront de 146 600.52 dhs.

66

Année

Épargne en valeur

réelle

Coefficient

d'inflation

Épargne en valeur

nominale

1 7,850.75 1.05 8,243.29

2 7,850.75 1,05² 8,655.45

3 7,850.75 1,053

9,088.22

4 7,850.75 1,054

9,542.64

5 7,850.75 1,055

10,019.80

6 7,850.75 1,056

10,520.80

7 7,850.75 1,057

11,046.80

8 7,850.75 1,058

11,559.10

9 7,850.75 1,059

12,179.10

10 7,850.75 1,0510

12,788.00

Tableau 3.4 : Valeur nominale des annuités réelles


12

67

Nous allons maintenant montrer que l’épargne

nominale (colonne de droite du tableau 3.4), permet

réellement d’arriver à un montant futur de 146

600.52 dhs à la fin des 10 années.

Nous devons d’abord déterminer le taux d’intérêt

nominal afin de calculer la VF nominale des cash-

flows.

La relation entre taux nominal et taux réel est:

1 taux d'intérêt nominal1 taux d'intérêt réel

1 taux d'inflation

68

On en déduit donc que:

1 taux d'intérêt nominal

1 taux d'intérêt réel 1 taux d'inflation

Le taux d’intérêt nominal est finalement donné par:

taux d'intérêt nominal

taux d'intérêt réel taux d'inflation

taux d'intérêt réel taux d'inflation

taux d'intérêt nominal 0.03 0.05 0.03 0.05

0.0815

69

Le taux d’intérêt nominal est donc de 8.15% par an.

Dans le tableau 3.5, on présente les valeurs futures

nominales de tous les versements: le premier est

capitalisé sur 9 ans, le deuxième sur 8 ans, …

On note que la somme totale des versements

capitalisés (colonne de droite) donne bien la valeur

future des frais des études, i.e. 146 600.50 dhs.

70

AnnéeÉpargne en

valeur réelle

Épargne en valeur

nominale

Facteur

de capitalisation

Valeur future

nominale

1 7,850.75 8,243.29 x 1,08159

16,685.50

2 7,850.75 8,655.45 x 1,08158

16,199.50

3 7,850.75 9,088.22 x 1,08157

15,727.70

4 7,850.75 9,542.64 x 1,08156

15,269.60

5 7,850.75 10,019.80 x 1,08155

14,824.80

6 7,850.75 10,520.80 x 1,08154

14,393.10

7 7,850.75 11,046.80 x 1,08153

13,973.80

8 7,850.75 11,559.10 x 1,08152

13,566.80

9 7,850.75 12,179.10 x 1,08151

13,171.70

10 7,850.75 12,788.00 x 1 12,788.00

Total 146,600.50

Tableau 3.5 : Valeur future nominale des annuités

réelles

71

3.6 Le choix de placement et l’impôt

L’État prélève de l’impôt sur la plupart des intérêts

gagnés.

Supposons que le taux d’imposition soit de 30% et

qu’il s’applique à tout intérêt perçu.

Si vous placez 1 000 dhs au taux annuel de 8%,

alors la rémunération avant impôt est:

1 0001.08 = 1 080 dhs

La rémunération nette d’impôt ou rémunération

après impôt est la rémunération que vous touchez

après avoir déduit l’impôt.

72

Le taux d’intérêt après impôt est défini par:

taux d'intérêt après impôt

1 taux d'imposition taux d'intérêt avant impôt

Dans notre exemple, on a:

taux d'intérêt après impôt 1 0.3 0.08 0.056

La rémunération nette d’impôt est:

1 0001.056 = 1 056 dhs

Règle importante: on choisit les investissements qui

maximisent la VA des cash-flows après impôt.

Education

Math financier Chapitre 3