1) Cinématique du point 2) Dérivation vectorielle

1) Cinématique du point1) Cinématique du point

1/16

2) Dérivation vectorielle2) Dérivation vectorielle

zr

yr

xr

OM

y

z

1) Cinématique du point1) Cinématique du point1-1) Point mobile par rapport à un repère R :

OM Fonctions du temps

2/16

yxx

Soit le point M défini par ses trois coordonnées :

Rtz

ty

tx

M

=)(

)(

)(

(cartésiennes par exemple)

On définit le vecteur position OM : ztzytyxtxOMrrr

)()()( ++=

Cinématique du solide

Dérivation vectorielle

Cinématique Cinématique du pointdu point

zr

yr

xr

OM

y

z

1-2) Trajectoire du point M :

Trajectoire du point M

3/16

yxx

Le lieu de l’espace décrit par M quand t varie est appelé

la trajectoiredu point M.




1-3) Vitesse du point M par rapport à un repère R :

RRM OM

dt

dV

//

=

Dérivation du vecteur position

4/16

Vecteur position : Cette barre signifie que l’on

L’une des trois méthodes que

nous utiliserons.

il s’agit d’une vitesse instantanéeet qui peut évoluer dans le temps.

O doit être un point fixedans R.




Vecteur position :- le point O est l’origine du repère R.- le point M est le point dont on calcule la vitesse.

Cette barre signifie que l’on dérive par rapport à R et non pas que le résultat sera écrit dans R.

1-4) Accélération du point M par rapport à un repère R :

=

=ΓR

RMRM Vdt

d

///

R

OMdt

d

/2

2

Dérivation du vecteur vitesse

5/16

Seule méthode que nous utiliserons. Dérivée seconde du vecteur position.

il s’agit d’une accélération instantanée.

Rdt /

O doit être un point fixe dans R.

Rdt

/

Dérivation vectorielle par rapport au repère R.




Dérivée première du vecteur vitesse.

zr

yr

xr

O

2) Dérivation vectorielle2) Dérivation vectorielle2-1) Dérivation d’un vecteur mobile par rapport à un repère R :

Soit le repère R : ( )zyxORrrr

,,,

Soit le vecteur U de composantes :

tz

ty

tx

U

=)(

)(

)(

U est écrit dansR

6/16

yxR

tz )(

=

R

Udt

d

/

zdt

tdzy

dt

tdyx

dt

tdx rrr ×+×+× )()()(

=×+×+× ztzytyxtxr

&r

&r

& )()()(=

Rtz

ty

tx

)(

)(

)(

&

&

&

Dérivation vectorielle par rapport au repère R.

Cinématique du point


Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle

Vecteur écrit dans R.

zr

yrx

rO

2-2) Changement de repère de

Soient deux repères :

Soit le vecteur U écrit dans R1 :

)(

)(

)()()( 111 ty

tx

ztzytyxtxU

=×+×+×= rrr

dérivation d’un vecteur mobile :

( )zyxORrrr

,,, ( )1111 ,,, zyxORrrr

et

O1

1xr

1yr

1zr

7/16

Vecteur écrit dans R1.

1)(

)()()()( 111

Rtz

tyztzytyxtxU

=×+×+×=

=

R

Udt

d

/

×

×+

×+RRR dt

tzdtz

dt

tydty

dt

txdtx

/

1

/

1

/

1 )()(

)()(

)()(

rrr

[ ]111 )()()( ztzytyxtxr

&r

&r

& ×+×+× 1/ R

Udt

d

V




Dérivation par rapport à R1.On va utiliser : (f x g)’= f’ x g + f x g’

VUdt

dU

dt

d

RR

+

=

1//

avec :

×

×+

×=RRR dt

tzdtz

dt

tydty

dt

txdtxV

/

1

/

1

/

1 )()(

)()(

)()(

rrr

Plaçons-nous dans le cas particulier où la position du repère R1

par rapport au repère R est définie par le seul angle αααα :

8/16

par rapport au repère R est définie par le seul angle αααα :

rotation autour de l’axe 1zzrr =

=1xr

=1yr

yxrr αα cossin +−

yxrr αα sincos +

=1zr

zr

yr

xrO

αααα

αααα1xr

1yr

1zzrr =




Calculons la dérivée de chaque vecteur unitaire du repère R1 :

d r dd αr rr d

=1xr

yxrr αα sincos +

yr

xrO

αααα

αααα1xr

1yr

1zzrr =α&

9/16

( ) =

R

xdt

d

/1

r ( ) =×

dt

dx

d

d

R

αα /

1

r ( ) αααα

&rr ×

+R

yxd

d

/

sincos

= ( ) =×+− ααα &rryx cossin

1yr

1yr

&α 11/

1 xzxdt

d

R

rr&

r ∧=

α




Notation qui aura son intérêt par la suite…

111 xzyrrr ∧=

d dd α d

=1yr

yxrr αα cossin +−

yr

xrO

αααα

αααα1xr

1yr

1zzrr =

10/16

=

R

ydt

d

/1r =×

dt

dy

d

d

R

αα /

1r ( ) ααα

α&

rr ×

+−R

yxd

d

/

cossin

= ( ) =×−− ααα &rryx sincos

1xr−

1xr

&α− 11/

1 yzydt

d

R

rr&

r ∧=

α





zzrr =1

yr

xrO

αααα

αααα1xr

1yr

1zzrr =

11/16

=

R

zdt

d

/1r =

R

zdt

d

/

r0

11/

1 zzzdt

d

R

rr&

r ∧=

α





VUdt

dU

dt

d

RR

+

=

1//

avec :

×

×+

×=RRR dt

tzdtz

dt

tydty

dt

txdtxV

/

1

/

1

/

1 )()(

)()(

)()(

rrr

11/

1 xzxdt

d

R

rr&

r ∧=

α 11/

1 yzydt

d

R

rr&

r ∧=

α 11/

1 zzzdt

d

R

rr&

r ∧=

α

12/16

( ) ( ) ( )111111 )()()( zztzyztyxztxVrr

&rr

&rr

& ∧×+∧×+∧×= ααα

[ ]1111 )()()( ztzytyxtxzVrrrr

& ×+×+×∧= α

1)(

)(

)(

Rtz

ty

tx

U

=

Uzr=




UzV ∧= r&α

En utilisant les angles d’Euler

et en généralisant le calcul

( ) UzuzV ∧++= 1r

&r&r

& ϕθψ

kzrr =

θθθθ

1zwrr =

ψψψψ1

3ϕϕϕϕ

précession

Rotationpropre

UzV ∧= r&α

On a donc :

(pour orienter R1 par rapport à R)

précédent on obtient :

13/16

yr

xr

uirr

=ϕϕϕϕ

ψψψψ

1xr

θθθθ2

nutation

VUdt

dU

dt

d

RR

+

=

1//

( ) UzuzUdt

dU

dt

d

RR

∧+++

=

1

// 1

r&

r&r& ϕθψ




( ) UzuzUdt

dU

dt

d

RR

∧+++

=

1

// 1

r&

r&r& ϕθψ

Définition :Définition : on appelle vecteur rotation de R1

par rapport à R le vecteurΩΩΩΩ

1/1zuzRRr

&r&r

& ϕθψ ++=Ω

Ce vecteur rotation caractérise à tout instantl’orientationdu repère Rpar rapport à R c’est-à-dire qu’il précise :

14/16

l’axe instantané autour duquel tourne R1 par rapport à R.

la valeur de la vitesse angulaire instantanée en rad/s (sa norme).

le sens de la rotation (son signe) :

du repère R1 par rapport à R c’est-à-dire qu’il précise :

Nota :Nota : est indépendant d’un quelconque point d’application.RR /1Ω




11 // RRRR Ω−=Ω

On obtient ainsi la formule de changement de repère de dérivation

11

R/RR/R/

UUdt

dU

dt

d Ω∧+

=

Formule de Bour

15/16

Vecteur rotation de R par rapport à R1.

Dérivation par rapport à R.

Dérivation par rapport à R1.




Ce qu’il faut avoir retenu(minimum « vital »…)

Ce qu’est le vecteur position.

Calculer un vecteur vitesse par dérivation du vecteur position.

16/16

Ce qu’est le vecteur rotation.

Calculer un vecteur accélération par dérivation du vecteur vitesse.

Connaître la formule de changement de repère de dérivation ou formule de Bour.

Avoir deux notations différentes pour écrire un vecteur (en colonne) dans une baseet pour dériver un vecteur (position ou vitesse) par rapport à une base.

Pour obtenir le vecteur vitesse

Pour obtenir le vecteur accélération

Documents

1) Cinématique du point 2) Dérivation vectorielle