Math-F-112 � Module S

Mathématiques

2017�2018

Informations au lecteur

Le présent document fait partie du syllabus pour le cours Math-F-112 (Math-F-1112) pour l'année 2017�2018. Il reprend essentiellement les notes de cours de Nicolas Richard qui donnait le cours précédemment.Le cours se décline en di�érents modules, chacun suivi par une sélection de sections :

Module T (60h) BIOL1, CHIM1, GEOG1, GEOL1, INFO1, IRBI1, SCIE1

Module S (30h) BIOL1, CHIM1, IRBI1, SCIE1 + Autres années 1

Module SI (30h) INFO1

Le syllabus se découpe donc en fascicules, chacun couvrant l'un des modules du cours. Chaque fasciculecontient la table des matières et un index pour l'ensemble des modules T, S et SI. Le numéro de chaquepage est pré�xé par le nom du module, a�n de savoir à quel fascicule il correspond.

Quand un terme est introduit, il est en général indiqué en italique et rappelé dans la marge. Parexemple : l'italique est une forme d'écriture qui consiste à pencher les caractères par rapport à leur italiqueforme normale. Ce sont ces termes qui forment l'index, en �n de document.

Une version électronique de ce document est disponible (au format PDF), et présente deux avantagesnon-négligeables :

� il est � cherchable �, c'est-à-dire que par exemple grâce au raccourci clavier bien connu Control-f,il est possible de chercher dans le texte du document ; et

� il est � cliquable �, en ce sens que les références internes sont des liens hypertextes permettant dese déplacer dans le document par un clic de souris.

(Cette version contient accessoirement des passages en couleur.)La version papier du document présente quant à elle tous les avantages du papier, comme par

exemple :� il s'emporte facilement, partout,� il est simple à annoter, commenter, surligner, etc.En�n, une version électronique partagée est également disponible. Cette version présente l'intérêt

d'être annotable de sorte que tout le monde puisse voir �si vous le souhaitez� les annotations que vousy ferez. C'est un outil potentiellement utile pour l'étude collective et partagée. Les détails sur cet outilseront donnés durant les premiers cours.

Notons en�n que le présent document sou�re d'un problème. Chacun le sait : il su�t que des ex-plications manquent pour que les mathématiques paraissent insurmontables. Il est intéressant de savoirque le même e�et peut être obtenu en donnant trop d'explications. Noyer le poisson dans le �ot des dé-tails est particulièrement néfaste pour la compréhension. Le juste milieu, l'équilibre, dépend de chaqueapprenant et est complexe à déterminer. Par ailleurs, un syllabus s'adressant à tous les étudiants, ilest impossible de s'adapter à la situation de chacun. C'est pourquoi le lecteur est invité à avoir unelecture particulièrement active. Si des informations semblent manquer ou si des informations semblentcontradictoires, les enseignants sont là pour répondre aux questions.

Le présent fascicule concerne le module S.

1. Les sections � Autres années � correspondent aux étudiants qui ont déjà suivi la première partie du cours en BA1,et peuvent suivre la seconde partie du cours en option (dont GEOL2, GEOG2, GEOG3).

S-3

Table des matières

Module S

I Analyse vectorielle S-71 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-7

1.1 Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-91.2 Opérateurs di�érentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-9

1.2.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-101.2.2 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-101.2.3 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-10

1.3 Composée des opérateurs di�érentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-112 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-11

2.1 Reparamétrisation et orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-122.2 Courbes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-122.3 Intégration d'un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-122.4 Intégrale d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-13

2.4.1 Travail d'une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-133 Intégrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-14

3.1 Reparamétrisation et orientation des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-143.2 Intégrale d'un champ scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-153.3 Intégrale d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-15

4 Théorèmes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-154.1 Théorème de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-154.2 Théorème du rotationnel ou de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-164.3 Théorème de la divergence ou d'Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-164.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-16

Index S-17

S-4

Chapitre I

Analyse vectorielle

1 Champs de vecteurs

Dé�nition I.1. Un champ de vecteurs sur A ⊂ Rn est une application f : A→ Rn. On notera souvent champ devecteurs

f1, . . . , fn les di�érentes composantes de f , c'est-à-dire f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)). Un champ scalairechamp scalairesur A est une application F : A→ R.

L'interprétation (mathématique) d'un champ de vecteurs est la suivante : f(x) représente un vecteurbasé en x.

Dans ce chapitre, nous utiliserons pour les champs de vecteurs une notation consistante avec le chapitreXVI (fonctions à valeurs vectorielles) du Module T, et non les notations utilisées souvent en physique

comme la notation en gras (f) ou avec une �èche (−→f ), et utilisées dans le chapitre VII du Module T.

Exemple. Si f : R2 → R2 : (x, y) 7→ (x, y) on peut représenter la situation comme suit

y

x

En réalité cela devrait ressembler plutôt à ceci, mais c'est moins joli :

S-5

S-6 CHAPITRE I. ANALYSE VECTORIELLE

y

x

(Dans les exemples suivants, la longueur de chaque vecteur sera régulièrement di�érente de ce qu'elledevrait être a�n d'obtenir des images plus parlantes.)

Exemple. Si f : R2 → R2 : (x, y) 7→ (−y, x) on peut représenter la situation comme suit

y

x

Remarque. En sciences, un champ de vecteurs (ou un champ scalaire) est l'expression mathématiqued'une propriété de l'espace permettant d'étudier un certain phénomène.L'exemple de champ de vecteurs le plus parlant pour le lecteur est sans doute le champ de la pesanteur(ou de la gravitation terrestre) : on ne �voit� pas le champ de la pesanteur, mais si on place une massem à un endroit donné, elle sera attirée par la Terre, et ce avec une force proportionnelle à cette masseet au champ de la pesanteur −→g en ce point 1 : −→F = m−→g .Le champ de la pesanteur est variable dans l'espace : plus on s'éloigne du centre de la Terre, plus lechamp est faible, il y a aussi des irrégularités localement due par exemple à des galeries etc.A tout point de l'espace on peut donc associer ce vecteur −→g (x, y, z) nous permettant de calculer la forcede gravitation exercée sur une masse placée en ce point. C'est donc une propriété de l'espace, permettantd'étudier les mouvements des masses sous l'e�et de la gravitation terrestre. En langage mathématique,on a a�aire à une fonction appliquant tout point de l'espace (ou de la portion d'espace considérée)(x, y, z) sur le vecteur −→g (x, y, z).

Quelques autres exemples de champs de vecteurs sont les champs électro-magnétiques, servant àdécrire les forces agissant sur les particules chargées, le champ des vitesses dans un milieu continu, ouencore les champs de forces en général.

Quelques exemples de champs scalaires : le champ des températures dans une portion d'espace(associant à chaque point la température en ce point, important en thermodynamique notamment), le

1. Nous réutilisons ici les notations des physiciens ou des ingénieurs pour désigner les champs de vecteurs

1. CHAMPS DE VECTEURS S-7

champ des pressions (associant à chaque point la pression en ce point, important pour modéliser lesphénomènes météorologiques notamment).

1.1 Potentiels

Dans certains cas, les champs de vecteurs peuvent être écrits comme le gradient d'un certain champscalaire, appelé �potentiel�. Dans ce cas on dira que le champ �dérive d'un potentiel�. On parle aussi de�champ de gradient�, le gradient d'une fonction scalaire dé�nissant un nouveau champ.De manière générale, une classe d'exemples de champ de vecteurs est donnée par le gradient des fonctionslisses :

Exemple. Si F : Rn → R est une application di�érentiable, le gradient ∇F est un champ de vecteurs :au point (a, b, c) on associe le gradient ∇F(a,b,c) en ce point. Ci-dessous, nous représentons le champ devecteur gradient en plus des courbes de niveau (ces deux sont perpendiculaires) pour deux fonctions Fdonnées.

y

x

y

x

F : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y2 F : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + cos(y)

Exercice. Véri�er expérimentalement pour quelques valeurs de (x, y) que le gradient en ce point este�ectivement donné par la �èche qui se trouve sur le dessin.

Dé�nition I.2. De manière générale, si f : A ⊂ Rn → Rn, on dit que f dérive d'un potentiel s'il existe dérive d'unpotentiel

un champ scalaire F : A ⊂ Rn → R tel que f = ∇F .

Exemple. Si F (x, y, z) = GmM√x2+y2+z2

(où G,m et M sont des constantes) alors

∇F = −GmM√x2 + y2 + z2

3 (x, y, z)

est exactement la force du champ gravitationnel provoquée par un objet ponctuel de masse M placé enl'origine (0, 0, 0) sur un objet ponctuel de masse m placé en (x, y, z), en prenant G la constante gravi-tationnelle universelle. La force de gravitation, vue comme champ de vecteurs, dérive donc d'un potentiel.

1.2 Opérateurs di�érentiels

Les opérateurs di�érentiels permettent de traduire mathématiquement la manière dont les champs va-rient. Typiquement, un certain nombre de lois régissant les phénomènes étudiés en sciences s'exprimerontsous forme d'équations di�érentielles faisant intervenir un ou plusieurs opérateurs di�érentiels appliquésà un ou plusieurs champs. Les opérateurs que l'on rencontre le plus souvent dans ces lois sont le gradient(que l'on a déjà vu), la divergence, le rotationnel et le laplacien. Ces opérateurs, appliqués à des champsde vecteurs ou scalaires, permettent d'obtenir de nouveaux champs (scalaires ou de vecteurs, selon le cas).

Rappelons d'abord que la matrice jacobienne d'un champ de vecteurs f de composantes (f1, . . . , fn)matricejacobienne

S-8 CHAPITRE I. ANALYSE VECTORIELLE

est donnée par ∂f1∂x1

. . . ∂f1∂xn...

. . .∂fn∂x1

∂fn∂xn

.

1.2.1 Divergence

Dé�nition I.3. La divergence d'un champ de vecteurs f : A ⊂ Rn → Rn est donnée par le champdivergencescalaire dé�ni par

div f =∂f1∂x1

+∂f2∂x2

+ . . .+∂fn∂xn

La divergence est parfois notée ∇ · f .

Exemple. La divergence du champ de vecteurs � tournant � f(x, y) = (−y, x) est nulle. La divergence duchamp de vecteurs � sortant � f(x, y) = (x, y) vaut 2 en chaque point. La divergence de f(x, y) = (x3, y3)est le champ scalaire dont la valeur au point (x, y) est 3(x2 + y2).

Remarque (*). En notant ∇ = ( ∂∂x1 , . . . ,∂∂xn

), ceci ressemble à un vecteur donné en composantes.Dans ce cas, le � produit scalaire � de ce � vecteur � avec le vecteur f = (f1, . . . , fn), donne la divergence ;ceci explique la notation ∇ · f pour la divergence (la notation · est fréquemment utilisée pour noter leproduit scalaire).

1.2.2 Rotationnel

La notion de rotationnel telle que nous allons la dé�nir n'a de sens que dans l'espace ou, par extension,dans le plan vu comme une partie de l'espace.

Dé�nition I.4. Le rotationnel d'un champ de vecteurs f : A ⊂ R3 → R3 est donné par le champ derotationnelvecteurs dé�ni par

rot f =

(∂f3∂x2− ∂f2∂x3

,∂f1∂x3− ∂f3∂x1

,∂f2∂x1− ∂f1∂x2

)Le rotationnel est parfois encore noté ∇× f , en référence au produit vectoriel introduit dans

La dé�nition suivante d'un rotationnel dans le plan est parfois utilisée :

Dé�nition I.5. Le rotationnel d'un champ de vecteurs f : A ⊂ R2 → R2 du plan est donné par lerotationnelchamp scalaire dé�ni par

rot f =∂f2∂x1− ∂f1∂x2

.

1.2.3 Laplacien

Un certain nombre de champs étudiés en sciences dérivent d'un potentiel scalaire. Considérer la diver-gence d'un tel champ revient à considérer la divergence du gradient du potentiel. De ce fait la composéede ces deux opérations, gradient et divergence, se rencontre souvent et est de ce fait identi�ée commeun nouvel opérateur di�érentiel : le laplacien.

Le laplacien d'un champ scalaire F : Rn → R est donné par le champ scalaire dé�ni parlaplacien

∆F := div(∇F ) = ∂2F

∂x21+ · · ·+ ∂

2F

∂x2n

2. INTÉGRALES CURVILIGNES S-9

1.3 Composée des opérateurs di�érentiels

Résultat I.6. Si F est un champ scalaire et f est un champ de vecteurs, tous deux de classe C2. Alorson a les propriétés suivantes :

rot∇F = 0 div rot f = 0 div∇F = ∆F.

Si F,G sont des champs scalaires di�érentiables, alors :

∇(FG) = (∇F )G+ F (∇G).

Les égalités ci-dessus et bien d'autres encore se prouvent simplement en écrivant la dé�nition dechacun des opérateurs. Ceci est laissé en exercice au lecteur.

2 Intégrales curvilignes

Rappelons qu'une courbe paramétrée dans Rn est une application continue dé�nie sur un intervalle, et àvaleurs dans Rn. Dans cette section nous nous intéressons uniquement aux courbes paramétrées dé�niessur un intervalle fermé et borné, c'est-à-dire aux paramétrisations de la forme γ : [a, b] → Rn. Noussupposerons par ailleurs que γ est dérivable et que cette dérivée est continue sur ]a, b[, sauf éventuellementen un nombre �ni de points. Dans cette situation, nous dirons que γ est C1 par morceaux . C1 par morceaux

Exemple. Voici un exemple de courbe a priori C1 par morceaux.

On discerne des points où la courbe n'admet pas de tangente, ce qui pourrait indiquer qu'elle n'y estpas dérivable. En réalité une telle image pourrait très bien résulter d'une courbe C∞. Par exemple si onconsidère l'exemple explicite γ(t) = (t2, t3) avec t ∈ [−1, 1], nous obtenons l'image suivante :

y

x

γ

Le point anguleux se trouve en (0, 0), c'est-à-dire t = 0. Or un calcul montre que γ est clairementdérivable en t = 0. Par contre cette dérivée est nulle, ce qui empêche de déterminer un vecteur tangentau sens du chapitre XIV section 2.2 du Module T (le vecteur tangent devient en fait nul : γ′(0) = (0, 0)).

S-10 CHAPITRE I. ANALYSE VECTORIELLE

2.1 Reparamétrisation et orientation

Rappelons qu'une reparamétrisation de γ : [a, b] → Rn est une courbe paramétrée η : [c, d] → Rn tellequ'il existe une bijection continue α : [c, d] → [a, b] avec γ ◦ α = η. L'idée est de parcourir la mêmecourbe (le même ensemble de Rn) à vitesse di�érente.

Remarque (*). D'après le résultat page 92 du syllabus du module T, α est strictement monotone eton en déduit qu'il existe deux types de re-paramétrisations : celles pour lesquelles l'application α estcroissante, et celles pour lesquelles elle est décroissante. Dans le premier cas, on dit que la reparamé-trisation préserve l'orientation, dans le second cas qu'elle change l'orientation puisque le domaine estpréserve

l'orientation parcouru dans l'autre sens.

2.2 Courbes simples

Dé�nition I.7. Une courbe γ : [a, b]→ Rn est ditefermée� fermée si γ(a) = γ(b) ;

simple � simple si γ est une application injective sur ]a, b[.

Remarque (*). Une courbe simple est donc une courbe qui ne s'auto-intersecte pas, en d'autres termesla trajectoire ne se recoupe pas (sauf éventuellement si la courbe est fermée, auquel cas le seul point derecoupement est le point de départ qui est identique au point d'arrivée).

Résultat I.8 (Théorème de Jordan, version imprécise.). Toute courbe γ : [a, b] → R2 femée et simpledu plan délimite deux régions, l'une bornée et l'autre non.

Par exemple,

x

y

r(t) = 1 + cos(2t)

x

y

γ : R → R : t 7→ (t, t2) x

y

Le cercle délimite un disque Cette courbe n'est pas simple :elle délimite deux régions duplan

Cette courbe n'est pas fermée,elle délimite deux régions in�-nies.

Dé�nition I.9. Une courbe simple fermée est dite orientée positivement si la région bornée qu'elleorientéepositivement

délimite se trouve � à gauche � en parcourant la courbe. Sinon elle est dite orientée négativement.

2.3 Intégration d'un champ scalaire

Dé�nition I.10. L'intégrale curviligne d'une fonction f : Rn → R le long d'une courbe paramétrée γintégralecurviligne

est donnée par �C

f ds :=

� ba

f(γ(t))‖γ′(t)‖ dt

Remarque (*). Ceci généralise la dé�nition de longueur de courbe vue précédemment (voir chapitreXIV, section 2.5 page 140 du syllabus du Module T).

Le résultat suivant indique qu'on peut parcourir l'image de γ à n'importe quelle vitesse et dansn'importe quel sens sans modi�er la valeur de l'intégrale dé�nie ci-dessus.

Résultat I.11. L'intégrale curviligne d'une fonction ne dépend pas de la paramétrisation de la courbe.

Démonstration. On considère une reparamétrisation η := γ ◦ α d'une courbe γ : [a, b] → Rn, où α :[c, d] 7→ [a, b] est une bijection continue. Pour ne pas compliquer la preuve, nous supposerons de plusque α est en fait dérivable.

2. INTÉGRALES CURVILIGNES S-11

Supposons α(c) = a et α(d) = b dans un premier temps. Dans ce cas, α est strictement croissante.Alors par la formule du changement de variable, en posant t = α(s), on obtient :

� ba

f(γ(t))‖γ′(t)‖dt =� dc

f(γ(α(s)))‖γ′(α(s))‖α′(s) ds.

Comme α′(s) > 0, on a ‖γ′(α(s))‖α′(s) = ‖γ′(α(s))α′(s)‖ = ‖η′(s)‖, dès lors l'intégrale vaut� ba

f(γ(t))‖γ′(t)‖ dt =� dc

f(η(s))‖η′(s)‖ ds

ce que nous voulions démontrer !Dans le cas où α(c) = b et α(d) = a, alors α est décroissante, donc α′(s) < 0, et on obtient

successivement :� ba

f(γ(t))‖γ′(t)‖ dt =� cd

f(γ(α(s)))‖γ′(α(s))‖α′(s) ds

=

� dc

f(γ(α(s)))‖γ′(α(s))α′(s)‖ ds

=

� dc

f(η(s))‖η′(s)‖ds

comme précédemment. On notera que pour � rentrer � α′(s) � dans � ‖γ′(α(s))α′(s)‖, nous avons dûéchanger les bornes d'intégrations a�n de tenir compte du signe négatif de α′(s).

2.4 Intégrale d'un champ de vecteurs

Soit f : C ⊂ Rn → Rn où C = =γ est l'image d'une courbe γ : [a, b] → Rn (toujours supposée C1 parmorceaux).

Dé�nition I.12. �C

f · dl :=� ba

f(γ(t)) · γ′(t) dt.

Remarque (*). Cette fois, l'intégrale�Cf · dl dépend de l'orientation de γ, mais n'est pas modi�ée

par une reparamétrisation préservant l'orientation.

Les notations dl et γ′(t) dt s'appellent élément de longueur .élément delongueur

2.4.1 Travail d'une force

Si f est un champ de vecteurs représentant un champ de forces, alors l'intégrale

τ =

�C

f · ds

est appelée le travail de la force f le long de la courbe γ. C'est � l'énergie � gagnée (τ > 0) ou perdue travail(τ < 0), en parcourant la courbe γ, grâce à (ou à cause de) la force f .

Lorsque la force f dérive d'un potentiel F , nous avons f = ∇F , et donc

τ =

� ba

(∇F )(γ(t)) · γ′(t) dt =� ba

(F (γ(t)))′dt = F (γ(b))− F (γ(a)) (2.1)

c'est-à-dire que le travail ne dépend pas vraiment de la courbe suivie, mais seulement du point de départγ(a) et du point d'arrivée γ(b) (et de F ).

Exemple. La force de gravitation induite par la terre dérive d'un potentiel. Le travail de cette forceentre deux points de hauteurs respective h1 et h2 est mg(h2 − h1) (ceci est en fait une approximationd'ordre 1 pour des hauteurs proches du rayon terrestre).

S-12 CHAPITRE I. ANALYSE VECTORIELLE

3 Intégrales de surface

L'une des applications de l'intégration est d'obtenir l'aire de certaines surfaces du plan. Commentgénéraliser aux surfaces non-planes ? Comme pour la longueur d'une courbe, qui nécessitait d'avoir uneparamétrisation de la courbe, nous aurons besoin de la paramétrisation de la surface qui nous intéresse.

Dé�nition I.13. Une surface paramétrée de l'espace est une application σ : A ⊂ R2 → R3 continue sursurfaceparamétrée

un domaine fermé A, et de classe C1 sur l'intérieur de A, telle que (∂1σ)(u, v) × (∂2σ)(u, v) 6= 0 pourtout (u, v) dans l'intérieur de A.

Remarque (*). � La condition sur les dérivées assure que les vecteurs tangents ne sont pas paral-lèles, c'est-à-dire qu'il y a bien un plan tangent. Cela évite les cas dégénérés tels que σ(u, v) =(u, u, u). Dans ce cas σ paramétrise en réalité une courbe !

� La condition d'injectivité assure qu'un point de la surface n'est jamais visité plus qu'une seule fois.

Exemple. Considérons σ dé�nie par

σ : [0, 2π]× [0, π]→ R3 : (ϕ, θ) 7→ (2 cos(ϕ) sin(θ), 2 sin(ϕ) sin(θ), 2 cos(θ)).

Ceci paramétrise la sphère de rayon 2.

3.1 Reparamétrisation et orientation des surfaces

Tout comme dans le cas des courbes, une même surface peut être paramétrisée de plusieurs façons. Ànouveaux, les paramétrisations tombent en deux classes : celles qui préservent l'orientation, celles qui lachangent.

Pour les courbes, l'orientation est le sens de parcourt. Dans le cas des surfaces, cette notion de � sensde parcourt � n'existe pas, c'est pourquoi nous avons une dé�nition pour le cas des surfaces :

Dé�nition I.14. L'orientation d'une surface S est la donnée d'un champ de vecteur normal unitaire,orientationc'est-à-dire une application continue de ν : S → R3 dont la valeur en chaque point est un vecteur normalà la surface en ce point (càd normal au plan tangent en ce point) et de norme 1.

Il y a donc deux orientations possibles.

Remarque (*). Une surface paramétrée possède une orientation canonique : en chaque point σ(u, v),le vecteur ν(u, v) := (∂1σ)(u,v)×(∂2σ)(u,v)‖(∂1σ)(u,v)×(∂2σ)(u,v)‖ est normal à la surface. Attention, échanger les rôles de u et

v renverse l'orientation 2 !

Remarque (*). Dans le cas des surfaces bordant un solide, par exemple une sphère, le champ devecteur normal extérieur (celui qui pointe hors du solide) est généralement préféré.

Exemple. Dans le cas de la sphère de rayon R > 0, la paramétrisation en coordonnées sphériquesdonnée ci-dessus :

σ : [0, 2π]× [0, π]→ R3 : (ϕ, θ) 7→ (R cos(ϕ) sin(θ), R sin(ϕ) sin(θ), R cos(θ)).

donne une orientation canonique à la sphère, que nous calculons. Il nous faut d'abord les dérivéespartielles :

(∂1σ)(ϕ, θ) = (−R sin(ϕ) sin(θ), R cos(ϕ) sin(θ), 0)(∂2σ)(ϕ, θ) = (R cos(ϕ) cos(θ), R sin(ϕ) cos(θ),−R sin(θ))

ce qui donne le produit vectoriel :

(∂1σ)(ϕ, θ)× (∂2σ)(ϕ, θ)= (−R2 cos(ϕ) sin(θ)2,−R2 sin(ϕ) sin(θ)2,−R2 sin(ϕ)2 sin(θ) cos(θ)−R2 cos(ϕ)2 sin(θ) cos(θ))

= (−R2 cos(ϕ) sin(θ)2,−R2 sin(ϕ) sin(θ)2,−R2 sin(θ) cos(θ)).

2. car nous avons vu dans le module T que si V1 et V2 sont deux vecteurs, V1 × V2 = −V2 × V1

4. THÉORÈMES DE STOKES S-13

La norme vaut R2 sin(θ) (puisque θ ∈ [0, π], le sinus est positif), et donc le vecteur normal unitaire vaut(on divise par la norme) :

(− cos(ϕ) sin(θ),− sin(ϕ) sin(θ),− cos(θ))ce qui est un multiple de σ(ϕ, θ), plus précisément un multiple négatif : c'est donc un champ de vecteurnormal unitaire � intérieur � (le vecteur pointe vers l'intérieur de la sphère).

Exemple. Le graphe de g : A ⊂ R2 → R est une surface qui peut être paramétrée parσ(u, v) = (u, v, g(u, v)).

3.2 Intégrale d'un champ scalaires

Dé�nition I.15. Soit f : S ⊂ R3 → R une fonction scalaire dé�nie sur l'image S = =σ d'une surfacesurface paramétrée σ : A ⊂ R2 → R3 : (u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). On dé�nit l'intégrale de f surS par �

S

f dS :=

�A

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))‖∂1σ × ∂2σ‖ dudv

Remarque (*). Cette dé�nition ne dépend pas de la paramétrisation choisie pour S, en particulier ellene dépend pas d'une orientation de S.

Exemple. Comme précédemment, l'aire de S s'obtient en intégrant la fonction 1. De la sorte, l'aire dugraphe d'une fonction g : A ⊂ R2 → R est donnée par :�

A

1 dS =

�A

‖(1, 0, ∂1g(u, v))× (0, 1, (∂2g)(u, v))‖dudv

=

�A

√((∂1g)(u, v))2 + ((∂2g)(u, v))2 + 1 dudv.

3.3 Intégrale d'un champ de vecteurs

Si f : R3 → R3 est un champ de vecteurs, on dé�nit son intégrale sur une surface paramtrée σ par�S

f · dS :=�A

f(σ(u, v)) · ((∂1σ)(u, v)× (∂2σ)(u, v)) dx dy

On parlera dans ce cas du �ux du champ de vecteurs f au travers de la surface S. Imaginant le �ux du champ devecteurschamp de vecteurs comme le champ des vitesses d'un �uide, l'intégrale ci-dessus donne la tendance que

le �uide a à passer au travers de la surface. Si le �ux est non-nul, c'est que le �uide à tendance à passerd'un côté à l'autre de S (en suivant l'orientation, s'il est positif ; ou dans l'autre sens s'il est négatif). Sile �ux est nul, c'est qu'il y a un équilibre entre ce qui passe dans un sens et ce qui passe dans l'autre.

Remarque (*). Comme pour le travail le long d'une courbe, le �ux au travers d'une surface dépendde l'orientation de cette surface. Dans la dé�nition ci-dessus, l'orientation choisie implicitement estl'orientation induite par la paramétrisation.

4 Théorèmes de Stokes

Les théorèmes que nous allons énoncer ci-dessous sont des variations sur un même thème. Ils peuventtous être vus comme cas particuliers d'un théorème que nous n'énoncerons pas mais connu sous le nom de� Théorème de Stokes �. Ils sont également tous une généralisation d'un théorème que nous connaissonsbien : le théorème fondamental du calcul di�érentiel et intégral (voir T-132 du syllabus du module T).

4.1 Théorème de Green

Résultat I.16 (Théorème de Green). Si γ est une courbe paramétrée simple, C1 par morceaux, fermée,orientée positivement et délimitant une région bornée A, alors�

=γf · dl =

�A

(∂f2∂x1− ∂f1∂x2

)dx1 dx2

pour tout champ de vecteurs f .

S-14 CHAPITRE I. ANALYSE VECTORIELLE

Exemple. Prenons comme cas particulier f(x, y) = (0, x) :�=γ

(0, x) · dl =�A

1 ds

En d'autres termes, l'aire enclose par γ (membre de droite) est donnée par le membre de gauche :

� ba

γ1(t)γ′2(t) dt.

Nous constatons donc qu'il su�t de savoir paramétriser le bord pour connaître l'aire de A.

Exemple. Considérons le carré (plein) A = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2, et soit C son bord. Pour intégrerun champ de vecteurs f le long de C (ce qui requiert a priori de paramétriser C), il su�t d'intégrer(∂f2∂x1− ∂f1∂x2

)sur le carré, c'est-à-dire :

� 10

� 10

(∂f2∂x1− ∂f1∂x2

)dx1 dx2.

4.2 Théorème du rotationnel ou de Stokes

Considérons une surface S admettant pour bord 3 une courbe C. Nous dirons que leurs orientations sontcompatibles si, marchant debout sur S (le � haut � étant donné par l'orientation de S), et marchantcompatiblesle long de C (la direction étant donné par l'orientation de C), la surface est laissée sur la gauche dumarcheur.

Dans cette situation, nous avons le théorème :

Résultat I.17 (Théorème de Stokes).�C

f · dl =�S

rot f · dS .

Ceci est une généralisation du théorème de Green dans le cas où S est une surface non-plane.

4.3 Théorème de la divergence ou d'Ostrogradsky

Résultat I.18 (Théorème de la divergence). Soit Ω ⊂ R3 un ouvert bordé par une surface S. Alors�S

f · dS =�

Ω

div f dx1 dx2 dx3.

4.4 Cas particuliers

Remarque (*). Lorsque f est un champ de vecteurs tel que rot f = 0, alors pour toute courbe fermée,nous avons

�Cf = 0. (Le symbole

�indique précisément que C est une courbe fermée). C'est le cas

en particulier d'un champ qui dérive d'un potentiel, comme le champ gravitationnel terrestre, puisquele rotationnel d'un gradient est nul. Donc le travail d'une force dérivant d'un potentiel sur un cheminfermé sera nul par le théorème de Stokes, ce que l'on savait déjà par le résultat vu plus haut (voir (2.1).

Remarque (*). Lorsque f est un champ de vecteurs dont la divergence est nulle, alors le �ux de fau travers de n'importe quelle surface sans bord

Sf = 0. (Le symbole

indique précisément que la

surface n'a pas de bord.)

3. La demi-sphère a un bord : c'est un cercle. De même qu'un disque a un bord : un cercle. Une sphère, quant à elle,n'a pas de bord.

Index

C1 par morceaux, S-11élément de longueur, S-13

champ de vecteurs, S-7champ scalaire, S-7

dériver d'un potentiel, S-9divergence, S-10

fermée, S-12�ux, S-15

in�ni, S-12intégrale

curviligne, S-12italique, S-3

laplacien, S-10

matrice jacobienne, S-9

orientée positivement, S-12orientation

compatible, S-16courbe, S-12surface, S-14

préserveorientation d'une courbe, S-12

rotationnel, S-10

simple, S-12surface paramétrée, S-14

travail, S-13

S-15

Analyse vectorielleChamps de vecteursPotentielsOpérateurs différentielsDivergenceRotationnelLaplacien

Composée des opérateurs différentiels

Intégrales curvilignesReparamétrisation et orientationCourbes simplesIntégration d'un champ scalaireIntégrale d'un champ de vecteursTravail d'une force

Intégrales de surfaceReparamétrisation et orientation des surfacesIntégrale d'un champ scalairesIntégrale d'un champ de vecteurs

Théorèmes de StokesThéorème de GreenThéorème du rotationnel ou de StokesThéorème de la divergence ou d'OstrogradskyCas particuliers

Index