Aix-Marseille Universit´ e -Licence MI 1` ere ann´ ee-S2 Alg` ebre Lin´ eaire Partiel n ◦ 3 Aucun document autoris´ e. Calculettes interdites. ——————————————————————————— Tous les espaces vectoriels consid´ er´ es dans la suite sont des espaces vectoriels sur R de dimen- sion finie. Exercice 1 1) Donner la d´ efinition du noyau d’une application lin´ eaire. ´ Enoncer le th´ eor` eme du rang. 2) Soit f : E -→ F une application lin´ eaire. Montrer que f est injective si et seulement si Ker(f )= {0}. 3) Soit f : E -→ F une application lin´ eaire. Montrer que si f est injective alors on a l’in´ egalit´ e dim(E) ≤ dim(F ). Montrer que si f est surjective alors dim(E) ≥ dim(F ). Exercice 2 Soit A = 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 0 0 -1 1 1 -1 . 1. La matrice A est-elle inversible ? 2. De quels espaces vectoriels Ker(A) et Im(A) sont-ils des sous-espaces vectoriels ? 3. Montrer sans calcul que Ker(A) = {0}. 4. D´ eterminer Ker(A). On donnera sa dimension ainsi qu’une base. 5. D´ eterminer le rang de la matrice A ainsi qu’une base de son image. 6. R´ esoudre le syst` eme AX = c avec c = 1 0 0 -1 . Exercice 3 Soit A = 3 2 2 -2 -1 -2 -2 -2 -1 . Notons f : R 3 -→ R 3 l’application lin´ eaire dont la matrice dans la base canonique de R 3 est A. Notons u 1 = 1 -1 0 , u 2 = 1 0 -1 et u 3 = -1 1 1 . 1) Calculer det(A). En d´ eduire que f est un isomorphisme.
![[TS101] Traitement_du_signal_continu - Partiel - 2012](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/55cf8e98550346703b93bcfa/ts101-traitementdusignalcontinu-partiel-2012.jpg)
