Mathmatiques: Aire d'une ellipse (par plusieurs mthodes) -
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http://www.daskoo.org/382-aire-d-une-ellipse-par-plusieurs-methodes.cours[19/10/2014
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Chemin : Daskoo > Cours > Mathmatiques > Aire d'une
ellipse (par plusieurs mthodes)
Aire d'une ellipse (parplusieurs mthodes)
Dernire version du 29.04.2008 03h43
Nous allons montrer que l'aire d'une ellipse de demi-grand axe
et de demi-petit axe () n'est autre que .
On retrouve d'ailleurs comme cas particulier que l'aire d'un
disque de rayon est ,puisqu'un cercle n'est rien d'autre qu'une
ellipse avec .
Dfinition d'une transformation gomtrique bien utile :
l'affinit.
Soit une droite . L'affinit orthogonale d'axe et de rapport est
la transformation
du plan qui tout point fait correspondre le point tel que et
si , vrifie .Il est clair que l'image d'une figure du plan ayant
une certaine aire est une figure d'airemultiplie par (si l'on pose
que est l'axe des x, alors la transformation s'crit :
On peut imaginer que toute surface contient des petits
rectangles de dimensions
; l'image d'une telle surface contiendra les petits rectangles
correspondants de
dimensions , donc d'aire multiplie par le facteur .Or l'quation
d'un cercle de rayon et de centre (dans un repre orthonormal)
est
, ou ;l'quation d'une ellipse de demi-grand axe et de demi-petit
axe ( ) est
Or par l'affinit d'axe et de rapport , c'est--dire la
transformation dfinieanalytiquement par
[modifier]Premire approche
[modifier ]Affinit orthogonale d'axe D et de rapport k
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Le cercle d'quation
se transforme en ellipse d'quation (en effet, en substituant
et
, on obtient l'quation de l'ellipse (satisfaite par le point
).
Il est clair que l'aire de l'ellipse est fois celle, , du
cercle, soit
.
Nous allons en profiter pour dcouvrir " la main" les changements
de variables dans lesintgrales !L'quation de l'ellipse peut
s'crire
.Une demi-ellipse (contenue dans le plan ) admet donc comme
quation :
Sa courbe reprsentative est :
L'aire colorie sur ce graphique n'est autre que (la fonction
tant positive) :
Pour valuer (je veux dire, calculer exactement, quand mme !)
cette intgrale, faisons lechangement de variable suivant :
Comme varie de , varie de .Ecrivons la drive de par rapport la
variable , sous la forme :
ce qui nous donne formellement (ici, notre propos n'est pas de
construire en toute rigueur lathorie du changement de variable en
intgration) :
A prsent, l'aire de la demi-ellipse, jusqu' maintenant note ,
s'crit
[modifier]Deuxime approche : calcul intgral
