Mathématiques appliquées à la topographie - niveau 1itpvilledeliege.wifeo.com/documents/Math-topo-niv-1_1.pdf · Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1 5 4. Exercices

VILLE DE LIEGE INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS Enseignement de promotion sociale

Mathématiques appliquées à la

topographie - niveau 1

Notes de cours provisoires

Jean-Luc Becker

Trigonométrie plane

Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1

3

1. Nombres trigonométriques des angles aigus Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.

1.1. Définitions On appelle SINUS d’un angle aigu α le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse, COSINUS de cet angle α le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, TANGENTE le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle, et COTANGENTE le rapport entre le côté adjacent à l’angle et le côté opposé à l’angle. En résumé :

sin cosα α α= = =

coté opposé coté adjacent coté opposécoté adjacenthypotenuse hypotenuse

tg

On peut facilement montrer à l’aide des triangles semblables que ces nombres sont indépendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dépendent donc que de l’angle α ( ou de son amplitude ) et son appelés nombres trigonométriques de l’angle aigu α. Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc

sin $ cos $ $ sin $ cos $ $C ca

C ba

tg C cb

ba

B ca

tg B bc

= = = = = =B

1.2. Propriétés En observant les définitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :

( ) ( )sin $ cos $ cos $ sin $ cos $ cos $B C B C B C= = °− = = °−90 90

Le théorème de Pythagore a une conséquence remarquable appelée relation fondamentale de la trigonométrie. En effet, on a

( ) ( )

AB AC BCABBC

ACBC

ABBC

ACBC

² ² ²²²

²²

sin cos

+ =

+ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+ =

1

1

1

2 2

2 2α α

ce que les mathématiciens écrivent souvent sin² cos²α α+ = 1

A

B

C α


4

2. Unités de mesure des angles 2.1. Le degré Le degré est par définition la nonantième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour mesure 180°. Le degré est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes : 1° = 60’, 1’ = 60’’, donc 1° = 3600’’. Notons cependant qu’en pratique, on utilise de moins en mois les degrés-minutes-secondes au profit des degrés décimaux. 2.2. Le grade Le grade est par définition la centième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour mesure 200 g. Le grade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autres unités du système international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilisé en topométrie : le décimilligrade ( dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de grade :

1 dmg = 110000

g g g= =−10 0 00014 ,

2.3. Relation entre les unités La relation entre ces deux unité découle d'une simple règle de trois. En effet, on a

100 g = 90° ⇔ 1 g = 0,9° ⇔ 1° = 109

g

3. Formulaire 3.1. Triangles rectangles $ $ $

s in $ c o s $

s in $ c o s $

$ c o t $

$ c o t $

A B C g

B ba

C

C ca

B

t g B bc

g C

t g C cb

g B

a b c

+ + + =

= =

= =

= =

= =

= +

2 0 0

2 2 2

3.2. Triangles quelconques $ $ $

sin $ sin $ sin $

cos $

cos $

cos $

A B C ga

Ab

Bc

C

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

+ + =

= =

= + −

= + −

= + −

200

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

A

B

C

a

b

c

A

B C a

b c


5

4. Exercices 1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan horizontal α passant par le pied d’une tour. De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de l’horizontale passant par O et le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même horizontale. Calculer la hauteur de la tour.

55g

11g

5,00

H ?

2/ Un observateur est à 30 m du pied d’une tour verticale de 25 m de hauteur. On demande sous quel angle il voit la tour, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé horizontal.

?

25,0

0

30,00

1,50


6

3/ Deux observateurs, distants de 1750 m sur une horizontale, mesurent au même instant les angles d’élévation d’un point remarquable d’un nuage, lorsque celui-ci traverse le plan vertical de la base d’observation; ils trouvent 80 g et 93 g. Quelle est la hauteur du nuage, si celui-ci passe entre les deux observateurs ?

80g 93g

1750

4/ Une personne placée au bord d’une rivière voit dans une direction perpendiculaire à la rivière, un arbre planté sur la rive opposée sous un angle de 53 g; elle recule de 50 m et cet angle n’est plus que de 20 g. Quelle est la hauteur de l’arbre et la largeur de la rivière?

50,00

53g

20g

?

?


7

5/ Sur un terrain horizontal, on observe une tour sous un angle d’élévation de 78,6434 g. En reculant de 37,84 mètres, on observe alors la tour sous un angle d'élévation de 31,3733 g. Quelle est la hauteur de la tour sachant que l’observation a été faite à 1,55 m du sol?

37,84

78,6

434g

31,3

733g

?

1,55

6/ Un bateau quitte son embarcadère pour prendre le large. Sachant que sa plus haute structure est 42 mètres au dessus du niveau de l’eau et que le rayon de la terre est de 6378 km, à quelle distance du rivage le paquebot disparaîtra-t-il à l’horizon ?

?

42 m

6378

km


8

7/ Du sommet S d’une colline de hauteur H, on observe deux points X et Y dans la plaine. Déterminer la distance d entre les points X et Y sachant que les lignes de visée SX et SY forment respectivement des angles α et β avec l’horizontale en S et que SX et SY forment une angle γ. Calculer la distance d sachant que α = 28,5741 g, β = 26,2957 g, γ = 73,2051 g et H = 290 m.

8/ Un géomètre se trouve sur le bord d’une rivière à 63 m du pied d’un pylône d’un pont suspendu et observe le sommet de ce pylône sous un angle d'élévation de 44,5254 g par rapport à l’horizontale. Un pylône identique, situé sur l’autre rive, est vu sous un angle d'élévation de 12,6298 g. Calculer la portée du pont sachant que l’écart entre les deux pylônes se voit sous un angle horizontal de 84,6377 g.


9

9/ Deux observateurs au sol sont situés dans l’axe d’un couloir aérien à une distance de 1 km l’un de l’autre. A l’approche d’un avion, ces observateurs notent au même moment l’angle d’élévation de l’avion par rapport à l’horizon ( l’avion n’est pas entre les observateurs). L’observateur le plus proche de l’avion mesure 62,2875 g tandis que l’autre 34 g. Sachant que l’avion passe au-dessus du premier observateur 8 secondes plus tard, calculer sa vitesse horaire et son altitude.

34g

62,2875g

1 km

10/ D’un point P d’une plaine, on vise les sommets A et B de deux collines. La colline de sommet A est située au Nord-Ouest de P, a une altitude de 250 mètres et est vue sous un angle d'élévation de 70,4833 g. La colline de sommet B est située au nord-est de P, a une altitude de 525 mètres et est vue sous un angle d'élévation de 73,7133 g. Quelle est la distance horizontale entre A et B (estimée d’après une carte) et la distance réelle entre A et B ?


10

11/ On observe au NO une antenne de radio. Après avoir progressé vers le NE sur 3055 m, on observe l’antenne plein ouest sous un angle d'élévation de 8,6403 g. Quelle est la hauteur de l’antenne si elle est vue à 1,4 m du sol ?

12/ On observe un réservoir sphérique depuis une base AB longue de 53 m. Les visées horizontales tangentes à ce réservoir issues de A forment avec AB des angles de 33,6313 g et de 63,3547 g; celles issues de B des angles de 43,8206 g et de 79,4406 g. Quel est le volume de ce réservoir ?

33,6313g

63,3547g43

,820

6g

79,4

406g

53,00A B

C


11

13/ Un randonneur marchant vers le nord observe, devant lui, une colline sous un angle d’élévation a. En se déplaçant vers l’est , sur une distance d, cette même colline est vue sous un angle d’élévation b. Déterminer en fonction de a, b, et d la hauteur h de la colline. Calculer h avec les mesures indiquées sur la figure ci-dessous.

14/ Un observateur situé sur la plaine en une station A mesure l’angle d’élévation d’un pic montagneux apparaissant dans la direction sud-est (18,5544 g). Il gravit ensuite une colline située à l’est-nord-est de la station A. Du sommet de cette colline, de hauteur 168 m au dessus de la plaine, le pic montagneux apparaît cette fois au sud sous un angle d’élévation 13,2159 g. Calculer la hauteur du pic montagneux.

15/ Une station d’observation repère un ballon sonde au nord-est selon un angle d’élévation a au-dessus de l’horizon. Dix minutes plus tard, le ballon est observé plein Nord selon un angle


12

d’élévation b. On constate par d’autres mesures que le ballon a une vitesse ascensionnelle de 6 km/h. On demande la vitesse horizontale du ballon (supposée constante) sachant qu’il se meut sous l’effet d’un vent d’Est. (valeurs numérique des angles: a = 11 g et b= 24 g).

16/ Un capitaine de navire observe dans la direction faisant un angle de 24 g avec la direction de son cap, un rocher de hauteur h1 surmonté d’une tour de hauteur h2. Il mesure l’angle d’élévation du sommet de la tour et trouve 9,7897 g. Après avoir parcouru 1200 m, il mesure une nouvelle fois l’angle d’élévation du sommet de la tour (24,9664 g) ainsi que celui de son pied (21,2566 g). Calculer les hauteurs h1 et h2 .

17/ Un paratonnerre de longueur connue p est placé sur un édifice. D’un point situé à une distance d du pied de l’édifice et à une hauteur h au-dessus du sol, on voit le paratonnerre sous un


13

angle a. Calculer la hauteur de l’édifice, sachant que p = 3 m, d = 36,92 m, h = 1,50 m et a = 3,5470 g.


14

Trigonométrie sphérique


15

1. Mesure des arcs de cercle 1.1. Unités

x grades(ou degrés ouradians)d'angle

x grades

radians)d'arc

(ou degrés ou

On définit chacune des unités de mesure des arcs de cercle suivantes comme étant l’arc intercepté par l’unité de mesure des angles correspondante. Ainsi, un degré d’arc est un arc intercepté par un angle au centre de 1°; un radian d’arc est un arc intercepté par un angle au centre de 1 radian et un grade d’arc est un arc intercepté par un angle au centre de 1 grade. Rappelons que le radian est par définition la mesure de l’angle au centre interceptant un arc de longueur égale au rayon du cercle.

Avec de telles définitions, on peut affirmer que tout arc de cercle a pour mesure la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte. Remarquons bien que ces définitions donnent des mesures des arcs indépendantes du rayon du cercle, au contraire de leur longueur. 1.2. Longueur d’un arc de mesure connue

Une règle de trois évidente donne immédiatement la longueur d’un arc de cercle de rayon R et de mesure connue:

L a R ,

a R ,

L a R a R ,

gr

gr

=°°

= =

3602

4002

22

.

.

. .

π

π

ππ

si a est exprimé en degré s

L = si a est exprimé en grades

si a est exprimé en radians.

2. Définitions Soit une sphère de centre 0. Coupons-la par trois plans passant par son centre; ces plans déterminent sur la sphère des arcs de grands cercles AB, BC, CA qui permettent la définition suivante: On appelle triangle sphérique, un triangle tracé sur la sphère au moyen d’arcs de grands cercles inférieurs à un demi-cercle. L’importante restriction finale va de soi, si l’on veut conserver la figure triangulaire habituelle.

a


16

Les arcs de grands cercles formant le triangle sphérique ABC en sont les côtés : on représente leurs mesures par a, b, c suivant qu’ils sont opposés aux sommets A, B ou C. Les angles du triangle sphérique sont des angles formés par des arcs de grands cercles, c’est-à-dire des angles obtenus en traçant des tangentes à ces arcs, dans les plans qui les contiennent, par les sommets du triangle. Les plans passant par le centre de la sphère déterminent un trièdre central OABC. Les faces angulaires de ce trièdre sont des angles au centre ayant la même mesure que les côtés du triangle. Les rectilignes des dièdres du trièdre central sont égaux aux angles correspondants du triangle sphérique.

Par le centre de la sphère, traçons des perpendiculaires aux faces du trièdre central situées, par rapport à ces faces, du même côté que les arêtes opposées. Ces perpendiculaires percent la sphère aux points A’, B’ et C’. Ces points sont chacun pôle d’un des arcs de grands cercles BC, AC et AB. Le triangle sphérique A’B’C’ est appelé triangle sphérique polaire du triangle ABC.

3. Relations géométriques La correspondance établie entre les faces angulaires du trièdre et les côtés du triangle d’une part, les rectilignes des dièdres et les angles du triangle d’autre part, permettent d’énoncer les relations suivantes :

1. La somme des côtés d’un triangle sphérique est inférieure à un grand cercle. 2. Chaque côté d’un triangle sphérique est inférieur à la somme des deux autres. 3. La somme des angles d’un triangle sphérique est comprise entre deux et six droits. 4. L’excès de la somme de deux angles sur le troisième est inférieure à deux droits.

Enfin, les relations existant entre les faces ou les rectilignes d’un trièdre et les rectilignes ou les faces du trièdre supplémentaire donnent l’énoncé suivant : chaque angle d’un triangle sphérique est le supplément du côté opposé dans le triangle polaire.

De plus, on sait que (2E, l’excès sphérique, valant la somme des angles moins 180°), l’aire d’un triangle sphérique quelconque est à l’aire du triangle trirectangle comme son excès sphérique est à un droit. Si E est exprimé en degrés, l’aire du triangle vaut

T E R=°90

2π

A

B

C O

c

a

b


17

4. Relations trigonométriques 4.1. Relations fondamentales

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

$

)

)

4.2. Relations aux sinus

sin Asin a

b

sin Csin c

sin p sin(p - a) sin(p - b) sin(p - c)) ) )

= = =sinsin sin sin sin

Ba b c

2

4.3. Lois des cotangentes Partons de la première formule du groupe fondamental et remplaçons-y cos c par sa valeur tirée de la troisième :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A )

cos a = cos b (cos a cos b + sin a sin b cos C) + sin b sin c cos A

cos a = cos a cos² b + sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A

cos a - cos a cos² b = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A

cos a (1 - cos² b) = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A

cos a sin² b = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A

) )

) )

) )

) )

) )

Divisons par sin b sin a,

cossin

sin cos cos sinsin

cosaa

b b C ca

A= +) )

Remplaçons sinsin

ca

par sinsin

)

)CA

, nous obtenons cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A) ) )

.

En procédant par analogie, nous obtenons les lois des cotangentes :

cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A

cotg a sin c = cos c cos B + sin B cotg A

cotg b sin a = cos a cos C + sin C cotg B

cotg b sin c = cos c cos A + sin A cotg B

cotg c sin a = cos a cos B + sin B cotg C

cotg c sin b = cos b cos A + sin A cotg C

) ) )

) ) )

) ) )

) ) )

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18

4.4. Relations entre trois angles et un côté Considérons le triangle ABC et son triangle polaire A’B’C’. D ‘après la géométrie A’ = π - a et a’ = π - A, B’ = π - b et b’ = π - B, C’ = π - c et c’ = π - C. Appliquons la formule fondamentale au triangle polaire A’B’C’ :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A′ ′ ′ ′ ′ ′)

ou

cos( = cos( cos( + sin ( sin ( cos (π π π π π π− − − − − −) ) ) ) )A B C B C a) ) ) ) ) )

ou - cos A = cos B cos C - sin B sin C cos a

) ) ) ) )

ou enfin cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

4.5. Triangles rectangles 4.5.1 Formulaire Si on remplace A par 90°, sin A = 1 et cos A = 0

) ), les formules précédentes prennent des

expressions plus simples connues sous le nom de formules des triangles rectangles :

cos a = cos b cos c cos a = cotg B cotg C

sin b = sin a sin B cos B = cos b sin C

sin c = sin a sin C cos C = cos c sin B

tg b = tg a cos C

tg c = tg a cos B

tg b = sin c tg B

tg c = sin b tg C

) )

) ) )

) ) )

)

)

)

)

4.5.2 Nature des éléments En multipliants les deux membres de la formule cos a = cos b cos c par cos a, on obtient

cos a = cos a cos b cos c2 . Le premier membre étant positif, le second membre doit contenir trois facteurs positifs ou deux négatifs et un positif. Les côtés d'un triangle sphérique rectangle sont donc tous inférieurs à un quadrant ou l'un est inférieur à un quadrant et les deux autre supérieurs à un quadrant. En conclusion : dans un triangle sphérique rectangle, le nombre de côtés obtus est toujours pair.


19

De plus les formules tg b = sin c tg B et tg c = sin b tg C) )

montrent que tg b et tgB$ sont de

même signe, comme tg c et tgC$ . On en conclut que : dans un triangle sphérique rectangle, chaque côté de l'angle droit est de même nature que l'angle qui lui est opposé.

5. Exercices 1. Calculer la vraie grandeur d'un angle projeté sur un plan horizontal suivant un angle de 107 g si

ses côtés font avec ce même plan des angles respectifs de 86 g et 29 g. 2. Calculer la projection d'un angle de 79 g sur un plan horizontal si ses côtés font avec ce même

plan des angles respectifs de 26 g et 69 g. 3. Calculer la distance qui sépare Rio de Janeiro (23°27'S; 42°10'W) et le Cap de Bonne Espérance

(34°32'S; 18°30'E) si le globe terrestre est supposé sphérique et de rayon 6378 km. 4. Calculer les angles dièdres d'un tétraèdre régulier. 5. On considère sur le globe terrestre supposé sphérique le point A de coordonnées géographiques

49° E et 38° N et un point B de coordonnées géographiques 143° E et 65° S. Calculer le gisement de BA en B ( gisBA = angle entre la direction Nord en B et l'arc BA, compté positivement depuis cette direction Nord; rayon terrestre = 6380 km) et la longitude du point D, point d'intersection de l'arc de grand cercle AB avec l'équateur.

6. On donne sur le globe terrestre supposé sphérique (rayon : 6380 km) deux points de même latitude 33,7° Nord et de longitude 7,9° Est (A) et 121,8° Est (B). Calculer la différence entre la distance de A à B sur l'arc de grand cercle qui les unit et la distance entre ces mêmes points sur leur parallèle.


20

Géométrie analytique


21

1. Repères du plan

Un repère du plan est constitué 1/ d'un point de référence ( arbitrairement choisi ) appelé origine du repère et souvent noté O; 2/ d'un ensemble de deux vecteurs non nuls et non alignés ( )r re e1 2, souvent appelé base du repère. Nous noterons un tel repère { }O e e; ,r r

1 2 .

Si les vecteurs de la base sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal; si les vecteurs de la base sont de même longueur, le repère dit normé; si les vecteurs de la base sont à la fois perpendiculaires et normés, le repère sera dit orthonormé. Considérons alors un point P quelconque du plan et projetons le sur l'axe ( )O e, r 1 en P' et sur l'axe ( )O e, r 2 en P". On a alors les égalités suivantes :

OP OP OPOP x e y e

= +

= +

' "r r

1 2

Cette décomposition de OP suivant les vecteurs de la base est unique. A tout point du plan, on peut donc faire correspondre un et un seul couple de nombres réels et réciproquement. Ce couple (x,y) est appelé coordonnées du point P, qui se note P(x,y) :

P x y OP x e y e( , ) ⇔ = +r r

1 2

La première coordonnée est appelée abscisse de P et la seconde ordonnée de P. La droite déterminée par O et le vecteur re1 est un axe ( voir 2.1.) et s'appelle l'axe des abscisses. Il est souvent noté X. La droite déterminée par O et le vecteur re2 est un axe ( voir 2.1.) et s'appelle l'axe des ordonnées. Il est souvent noté Y. Avec ces notations, il nous arrivera parfois de parler du repère XOY pour le repère { }O e e; ,r r

1 2 .

O re1

re2

P

P'

P"

O re1

re2


22

En procédant de la même manière avec un vecteur (libre ou lié) quelconque, on peut définir la notion de coordonnées d'un vecteur rv :

r r r rv v v v v e v e( , )1 2 1 1 2 2⇔ = +

On démontre alors le résultat suivant :

M x x y yA B A B( , )+ +2 2

Les coordonnées du milieu d'un segment sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnes des extrémités du segment.

O re1

re2 v e1 1

r

v e2 2r

rv

O re1

re2

( )A x yA A,

( )B x yB B,

xA xB

yA

yB M


23

2. Equations vectorielles, paramétriques et cartésiennes de la droite du plan 2.1. Notion d'équation d'une droite On appelle équation d'une droite toute condition nécessaire et suffisante pour qu'un point du plan appartienne à cette droite. 2.2. Equation vectorielle

Soit d une droite quelconque et A et B deux points distincts sur d. Soit enfin P un point quelconque du plan. On a alors les équivalences suivantes : P d AP est par

k AP k

∈ ⇔

⇔

⇔ ∃ ∈ℜ =

allèle à AB le vecteur AP est multiple du vecteur AB AB:

On en déduit donc que AP k = AB est une équation vectorielle de la droite d = AB. Vocabulaire : 1/ k est appelé paramètre réel. 2/ AB est appelé vecteur directeur de la droite d = AB. Remarque : une droite possède de nombreuses équations vectorielles puisqu'elle possède de nombreux vecteurs directeurs : n'importe quel vecteur déterminé par deux points distincts quelconques de la droite. 2.3. Equations paramétriques

Munissons le plan d'un repère { }O e e; ,r r1 2 et

désignons par (x,y) les coordonnées de P , par ( )x yA A, les coordonnées de A et par ( )v v1 2, les

coordonnées du vecteur directeur AB . On a alors les équivalences suivantes :

AP k OP OA k OP OA k

=

− =

= +

ABABAB

( )( ) ( )

xe y e x e y e k v e v e

xe y e x kv e y kv eA A

A A

r r r r r r

r r r r1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

+ = + + +

+ = + + +

ce qui donne le système d'équations suivant

P

A

B

d

O re1

re2

( )A x yA A,

( )P x y,

B ( )AB v v1 2,


24

x x kvy y kv

A

A

= +

= +⎧⎨⎩

1

2

appelé système d'équations paramétriques de la droite d. Le couple ( )v v1 2, , coordonnées du vecteur directeur, s'appelle un couple de paramètres

directeurs de la droite. 2.4. Equations cartésiennes Pour obtenir une équation cartésienne de la droite d, il suffit d'éliminer le paramètre k du système d'équations paramétriques de d. On sait que ( )v v1 2, sont les coordonnées d'un vecteur directeur de d, donc que v1 2 et v ne sont pas nuls tous les deux en même temps ( sinon la droite n'a plus de direction ?! ) Dès lors, trois cas sont possibles : 1/ v1 2 et v sont non nuls : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :

( ) ( ) ( )x x kvy y kv

k x xv

k y yv

x xv

y yv

v x x v y yA

A

A

A

A AA A

− =

− =⎧⎨⎩

⇔

=−

=−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔−

=−

⇔ − = −1

2

1

2

1 22 1 *

⇔ − = −

⇔ − − + =

v x v x v y v Yv x v y v x v y

A A

A A

2 2 1 1

2 1 2 1 0;

c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a (=v2) et b (= -v1) ne sont pas nuls. Remarquons que le vecteur directeur rv (v1,v2) peut aussi s'écrire rv (-b,a). 2/ v1 0= : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :

x xy y kv

x xA

AA

=

= +⎧⎨⎩

⇔ =2

;

c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a = 1, b = 0. Remarquons que dans ce cas la droite est parallèle à l'axe Y puisque son vecteur directeur rv a pour coordonnées (0, v2). Remarquons qu'un autre vecteur directeur de la droite d est alors (0,1) = (-b,a). 3/ v2 0= : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :

x x kvy y

y yA

AA

= +=

⎧⎨⎩

⇔ =1 ;

c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a = 0, b = 1. Remarquons que dans ce cas la droite est parallèle à l'axe X puisque son vecteur directeur rv a pour coordonnées (v2,0). Remarquons qu'un autre vecteur directeur de la droite d est alors (-1,0) = (-b,a). Conclusions : Tout droite du plan admet pour équation cartésienne une équation de la forme ax + by + c = 0 , où a et b ne sont pas simultanément nuls.


25

Si l'équation d'une droite est ax + by + c = 0, cette droite admet comme vecteur directeur le vecteur de coordonnées (-b,a). Remarques :

1/ En (*), l'équation obtenue peut aussi s'écrire : ( )y y vv

x xA A− = −2

1. Nous reviendrons plus loin

sur cette formulation.

3. Coefficient de direction et coefficient angulaire, perpendicularité, distances 3.1. Définition : Considérons une droite d d'équation ax + by + c = 0. Remarquons d'abord que, dans cette équation, b diffère de 0 si et seulement si la droite n'est pas parallèle à l'axe Y. Dès lors, si b≠0,

l'équation de la droite s'écrit : by ax c y ab

x cb

= − − ⇔ = − − .

Le coefficient de x dans l'équation d'une droite résolue par rapport à y s'appelle coefficient de direction de la droite. On le note souvent m :

m ab

= −

3.2. Interprétation graphique En vertu d'un résultat du paragraphe 2.4., la

droite d'équation ax + by + c = 0 admet comme vecteur directeur (-b,a). Puisque b≠0, elle admet

aussi comme vecteur directeur ( )1 1, ,−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

ab

m . Ceci

explique l'appellation de m, puisque c'est sa valeur qui mesure la "croissance" ou "décroissance" de la droite. En particulier, on obtient les trois cas suivant, selon le signe de m :

X O

Y

re1

re2

X O

Y

re

re2

1

m m>0

X O

Y

re

re2

m<0

X O

Y

re1

re2

m=0


26

Si le repère est orthonormé, on voit facilement que m vaut la tangente trigonométrique de l'angle qui applique la partie positive de l'axe x sur la droite : m = tg α. Dans ce cas le coefficient de direction s'appelle coefficient angulaire.

3.3. Propriétés 3.3.1. Coefficient de direction d'une droite dont on connaît deux points :

Soit deux points du plan muni d'un repère { }O e e; ,r r1 2 : ( )P x y1 1 1,

et ( )P x y2 2 2, . Un vecteur directeur de la droite est

( ) ( )P P OP OP x e y e x e y e

x x e y y e1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2

2 1 1 2 1 2

= − = + − −

= − + −

r r r r

r r

Les coordonnées de P P1 2 sont donc ( )x2 − −x y y1 2 1, . En prenant le vecteur directeur d'abscisse 1, on déduit que

m y yx x

=−−

2 1

2 1

3.3.2. Equation de la droite passant par un point donné et de coefficient de direction donné

Le plan étant muni d'un repère { }O e e; ,r r1 2 , soit

une droite d dont on connaît un point P(xP,yP) et le coefficient de direction m. A la première remarque du paragraphe 2.4., on a établit qu'une équation cartésienne de la droite d

est ( )y y vv

x xA A− = −2

1 où ( )x yA A, désignait les

coordonnées d'un point de d et ( )v v1 2, celles d'un vecteur directeur de d. Avec les notations du présent paragraphe, cette équation s'écrit

( )y y vv

x xP P− = −2

1.

De plus, puisque ( )v v1 2, est un vecteur directeur, le rapport vv

2

1 est égal au coefficient de

direction m. L'écriture définitive de l'équation de d est donc

X O

Y

re1

re2 α

X O

Y

re1

re2

X O

Y

re1

re2 ( )P x y1 1 1,

( )P x y2 2 2,

P(xP,yP)


27

( )y y m x xP P− = −

3.3.3. Condition de parallélisme : Deux droites, non parallèles à l'axe Y, sont parallèles entre elles si et seulement si elles ont même coefficient de direction. En effet : si on désigne par m1 le coefficient de direction de la première droite d1 et par m2 celui de la deuxième droite d2, elles admettent pour vecteurs directeurs respectifs ( ) ( )r rv m et v m1 1 2 21 1, , . Alors

( ) ( )d d v v r v r v m r mr

m r mm m1 2 1 2 1 2 1 2

1 21 21 1

1 1⇔ ⇔ ∃ ∈ℜ = ⇔ = ⇔

==

⎧⎨⎩

⇔ =r r r r: , ,

..

3.4. Conditions de perpendicularité de deux droites (repaire ORTHONORME) Si deux droites ne sont pas parallèles à l'axe Y, désignons par md le coefficient angulaire de d et md' le coefficient angulaire de d'. Alors

d ⊥ d' ⇔ md md' = -1 3.5. Distance entre deux points Soit un repère orthonormé { }O e e; ,r r

1 2 et deux points ( ) ( )A x y et B x yA A B B, , .Alors,

dist(A,B) = =AB AB AB.

( ) ( ) ( )dist A B x x y yB A B A, = − + −2 2

O X

Y

re1

re2

( )A x yA A,

( )B x yB B,


28

3.6. Distance d'un point à une droite Soit un repère orthonormé { }O e e; ,r r

1 2 , un

point ( )P x yp p, et une droite d d'équation

ax + by + c = 0. Un vecteur directeur de d est (-b,a). Un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à d passant par P est donc (a,b). Le vecteur

( )rna b

a b=

+

,2 2

est donc perpendiculaire à d et de

norme 1. Alors, ( )dist P d PQ n, .=r , où Q est un point

quelconque de d.

On a donc

( ) ( ) ( )dist P d

x x y y a b

a b

ax ax by by

a bq P q P Q P Q P,

, . ,=

− −

+=

− + −

+2 2 2 2

Or le point Q est sur d, donc ses coordonnées vérifient l'équation de d : ax by c ax by cQ Q Q Q+ + = ⇔ + = −0 ; et donc

( )dist P dax by c

a bP P, =+ +

+2 2

4. Systèmes de coordonnées cartésiennes et polaires 4.1. Transformation de coordonnées d'un système à l'autre 4.1.1. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires mathématiques Le point P est repéré par ses coordonnées cartésiennes (ou rectangulaires) : ( )P x yP P, . Les coordonnées polaires mathématiques sont, dans l'ordre, le rayon polaire ρ et l’angle polaire (ou argument) θ : ( )P ρ θ, . En convention polaire mathématique, les angles tournent positivement en sens trigonométrique (inverse horaire); leur zéro est sur l’axe des abscisses et ils sont généralement exprimés en radians, unité du système international.

θρP

X

Les formules de transformation sont les suivantes :

xy

P

P

==

⎧⎨⎩

ρ θρ θ

cossin et

ρ

θ

= +

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x y

tg yx

P P

P

P

² ²

xP

yP

O X

Y

re1

re2 ( )P x yp p,

Q

d

rn


29

Il faut cependant remarquer que la relation tg yx

P

Pθ = ne suffit pas à elle seule pour déterminer de

manière univoque l'angle θ, il demeure en effet une imprécision quant au quadrant. 4.1.2. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires topographiques Le point P est repéré par ses coordonnées cartésiennes (ou rectangulaires) : ( )P x yP P, . Les coordonnées polaires topographiques sont la distance horizontale Dh et le gisement G : En convention polaire topographique, les angles tournent positivement en sens horaire ; leur zéro est sur l’axe des ordonnées et ils sont toujours exprimés en grades (symbole gon) : cela vient des choix technologiques sur les appareils de topométrie.

DhP

X

G

Les formules de transformation sont les suivantes :

x D Gy D G

P h

P h

=

=⎧⎨⎩

sincos et

D x y

tg G xy

h P P

P

P

= +

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

² ²

Ici aussi, il faut remarquer que la relation tg G xy

P

P= ne suffit pas à elle seule pour déterminer de

manière univoque l'angle G, il demeure en effet une imprécision quant au quadrant. 4.2. Changement de repère cartésien dans le plan 4.2.1. Changement d'origine Soit un repère { }O e e; ,r r

1 2 , ou encore XOY. Si nous lui faisons subir une translation de son origine O à une nouvelle origine O', nous obtenons un nouveau repère X'O'Y'. Soit alors un point P dont les coordonnées sont (x,y) dans XOY et (x',y') dans X'O'Y'. Cherchons le lien qui unit ces coordonnées. Désignons par ( )x yO O' ', les coordonnées de O' dans XOY.

P

X

Y

O

O' X'

Y'

Alors, il vient successivement

OP OO O P= +' '

( ) ( )x e y e x e y e x e y ex e y e x x e y y e

O O

O O

r r r r r r

r r r r1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

+ = + + +

+ = + + +' '

' '

' '

' '' '

Adoptons les notations matricielles suivantes :

xP

yP


30

Xxy=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , X

xy

'''

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , X

xyO

O

O'

'

'=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ,

la dernière relation s'écrit X X XO= +' '

4.2.2. Rotation de repère Faisons à présent subir à notre repère XOY une rotation d'angle G (convention topographiques). Nous obtenons un nouveau repère X'OY' de même origine que XOY. De plus, les coordonnées de re

1

'

sont (cos G, -sin G) et celles de re2' (sin G, cos G). Il

vient alors

P

X

Y

O

X'

Y'G

( ) ( )( ) ( )

OP x e y e x e y ex e y e x G e G e y G e G e

x e y e x G y G e x G y G e

= + = +

+ = − + +

+ = + + − +

r r r r

r r r r r r

r r r r

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

' '' cos sin ' sin cos

'cos 'sin 'sin 'cos

' '

Adoptons les notations matricielles suivantes :

Xxy=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , X

xy

'''

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , R

G GG GG =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sinsin cos

,

la dernière relation s'écrit

XG GG G

X R XG=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

cos sinsin cos

' '

La matrice RG GG GG =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos sinsin cos

s'appelle la matrice de rotation relative à l'angle G. Elle possède

quelques propriétés remarquables :

• ( )dtm RG GG G

G GG =−

= + =cos sinsin cos

cos² sin² 1

• ( )Rdtm R

G GG G

G GG G

RG

GG

− =−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1 1 cos sin

sin coscos sinsin cos

~~

4.2.3. Rotation et changement d'origine Pour passer du repère XOY au repère X'O'Y', on peut d'abord changer d'origine (repère X"O"Y"), puis effectuer la rotation d'angle G autour de O" = O'. En vertu de ce qui précède, il vient alors

X X X X XO O= + = +" '" " X R XG" '= ,

donc X X R XO G= +' '

P

X

Y

O

X'

Y'Y"

X"O"=O'

G

ou encore


31

xy

xy

G GG G

xy

O

O

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟'

'

cos sinsin cos

''

En vertu des propriétés de la matrice de rotation, l'inversion de cette formule est très aisée : ( ) ( )X X R X R X X X X R X X R X XO G G O O OG G

= + ⇔ = − ⇔ = − = −−' ' '

~'' ' ' 1 ,

ou encore xy

G GG G

xy

xy

O

O

''

cos sinsin cos

'

'

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4.2.4. Changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité) Considérons à présent deux repères XOY et X'O'Y' d'unités différentes. Désignons par k le rapport entre la mesure d'une longueur quelconque |PQ| dans le repère X'O'Y' et le repère XOY, ce que nous noterons

kdd

PQ

PQ=

'

Si nous prenons successivement comme vecteur PQ les vecteur unitaire de X'O'Y', il vient

P

X

Y

O

X'O'

Q

ke

e e

e

e e= = = =

r

r r

r

r r1

1 1

2

2 2

1 1' '

' '

' '

' '; dont on déduit que r re e

k1 21' '= = et donc que r re

ke1 1

1' = et r rek

e2 21' = ,

puisque les vecteurs r re et e1 1' d'une part et les vecteurs r re et e2 2

' sont parallèles. Il vient alors

OP OO O P= +' ' x e y e x e y e x e y e

x e y e x e y e xk

e yk

e

x e y e xk

x e yk

y e

O O

O O

O O

r r r r r r

r r r r r r

r r r r

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 1

+ = + + +

+ = + + +

+ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

' '' '

' '

' '

' '

' '

' '

ou encore avec nos notations habituelles

( )X Xk

X X k X XO O= + ⇔ = −' '' '1

Si nous appliquons cette dernière relation au point O, origine du repère XOY, il vient ( )X k X kXO O O

'' '= − = −0

Dans cette relation, il ne faut pas confondre XO' donnant les coordonnées de O dans X'O'Y', avec

XO' donnant les coordonnées de O' dans XOY.


32

4.2.5. Rotation et changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité) Pour ce faire, on effectue d'abord un changement d'origine avec changement d'unité du repère XOY au repère provisoire X"O"Y", puis une simple rotation du repère de X"O"Y" en X'O'Y'. Cela donne successivement

X Xk

X Xk

XO O= + = +" '" "1 1 ,

XG GG G

X R XG"cos sinsin cos

' '=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ,

X Xk

XO= +' "1 , donc

P

X

Y

O

X'

Y'Y"

X"O"=O'

G

Q

X Xk

R X

xy

xy k

G GG G

xy

O G

O

O

= +

⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

'

'

'

'

cos sinsin cos

''

1

1

Cette relation s'inverse facilement :

( ) ( )X Xk

R Xk

R X X X R X k X X X kR X X X k R X XO G G O G O G O G O= + ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +' ' '

~

'

~ '' ' ' ' '1 1

X kR X X

xy

kG GG G

xy

xy

G O

O

O

'

''

cos sinsin cos

~ '

'

'

= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

qui développée rend les relations de Helmert vues au cours de topographie.

5. Le cercle 5.1. Définitions On appelle cercle l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé centre du cercle. La distance constante est appelée rayon du cercle. 5.2. Equation cartésienne Soit un repère orthonormé { }O e e; ,r r

1 2 un cercle

de rayon r et de centre ( )C x yC C, . On a alors les équivalences suivantes :

( )( )

( ) ( )( ) ( )

P x y cercledist P C r

x x y y r

x x y y r

C C

C C

,,

∈

⇔ =

⇔ − + − =

⇔ − + − =

2 2

2 2 2

L'équation générale d'un cercle est donc

( ) ( )x x y y rC C− + − =2 2 2

O X

Y

re1

re2

( )C x yC C,

P(x,y)


33

Si on développe cette dernière équation, on obtient ( ) ( )x x y y r x x x x y y y y r x y x x y y x y rC C C C C C C C C C− + − = ⇔ − + + − + = ⇔ + − − + + − =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0c'est-à-dire une équation de la forme

x y ax by c2 2 0+ + + + = Examinons sous quelles conditions une équation de cette forme est l'équation d'un cercle :

x y ax by c x a x y b y c

x a a y b b c x a y b a b c

x a y b a b c

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 22

22

0

2 4 2 40

2 2 4 4

2 24

4

+ + + + = ⇔ + + + + =

⇔ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− + = ⇔ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= + −

⇔ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+ −

Dès lors,

• si a b c2 2 4 0+ − > , l'équation x y ax by c2 2 0+ + + + = est celle d'un cercle de centre − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a b2 2

,

et de rayon a b c2 2 42

+ − ;

• si a b c2 2 4 0+ − = , l'équation x y ax by c2 2 0+ + + + = est celle du point de coordonnées − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

a b2 2

, ;

• si a b c2 2 4 0+ − < , l'équation x y ax by c2 2 0+ + + + = est impossible.

6. L'ellipse 6.1. Définition On appelle ellipse le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante. 6.2. Equation

P ( x , y )

F ’ ( - c , 0 ) F ( c , 0 )

Y

X

Afin d’établir l’équation canonique de l’ellipse, notons 2a la constante donnée et F et F’ les deux foyers. Nous définissons alors notre repère orthonormé comme suit : origine au milieu du segment [F,F’], axe des abscisses passant par les deux foyers F et F’. L’axe des ordonnées est alors automatiquement déterminé. Nous désignerons par (c,0) les coordonnées du foyer F , celles du foyer F’ étant alors (-c,0).

Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à l’ellipse ⇔ + =PF PF a' 2


34

[ ][ ] ( )

⇔ − + + + + =

⇔ − + + + + + − + + + =

⇔ − + + + = − − −

⇔ − + + + = − − −

⇒ − + + + = − − −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x c y x c y a

x c y x c y x c y x c y a

x c y x c y a x y c

x c y x c y a x y c

x c y x c y a x y c

a

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 4

2 4 2 2 2

2

2

( )

⇔ − + + − + + + + +

= + + + − − − + + +

⇔ − − − + + + =

⇔ − − − + + + =

⇔ − −

x c x c x y xcy c y x y xcy c y ya c x y a c a x a y c x c y x y

a a c a x a y c x c y x ya a c a x a y c x c y x y

c a x a y

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 24 4 4 4 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 00

( ) ( )2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

0

1

+ − =

⇔ − + = −

a a c

a c x a y a a c ( )

Posons b a c2 2 2= − , ce qui est licite car 2c = ⎜FF’⎜ < 2a sinon le lieu est vide puisque dans le triangle PFF’ le côté FF’ est inférieur à la somme des deux autres côtés. L’équation (1) s’écrit alors

xa

yb

2

2

2

2 1 2+ = ( )

Pour que (2) soit l’équation de l’ellipse, il faut prouver qu’en (a), on a équivalence; c’est-à-dire que si un point P(x,y) vérifie (2), alors on a 2 0 22 2 2 2 2 2 2 2a c x y x y a c− − − ≥ ⇔ + ≤ − .

Or si un point P(x,y) vérifie (2) on a xa

et yb

ya c

2

2

2

2

2

2 21 1≤ =−

≤ donc

x a et y a c2 2 2 2 2≤ ≤ − et donc l’inégalité recherchée en additionnant membre à membre ces deux relations. CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de l’ellipse s’écrit

xa

yb

12

2

2

2+ =

6.3. Etude de la courbe L’équation de l’ellipse peut s’écrire

( )y b xa

y ba

a x y ba

a x2 22

22

2

22 2 2 21= − ⇔ = − ⇔ = ± −

Pour tracer le graphique de l’ellipse, il suffit d’étudier la fonction positive ci-dessus, l’autre partie du graphique s’obtenant par symétrie par rapport à l’axe X.

Etudions donc la fonction y ba

a x= −2 2 .

Domaine : [ - a , a ] Zéros : - a et a Pas d’asymptotes

Dérivée première : ′ =−

−y b

ax

a x2 2

x - a 0 a


35

- x + + 0 - - a x2 2− 0 + + + 0

y‘ + ∞ + 0 - - ∞ y tangente verticale max = b tangente verticale

Dérivée seconde : ( )

′′ =−

−<y ab

a x2 2 30 sur ] - a , a [

Remarque : si on avait fait passer l’axe Y et non l’axe X par les deux foyers , on aurait obtenu pour

équation de l’ellipse xb

ya

2

2

2

2 1+ = et le graphique ci dessus à droite.

On voit de suite qu'une ellipse possède deux axes de symétrie orthogonaux; l'un passant par les foyers et l'autre par la médiatrice du segment les reliant. Les points d'intersection des axes de symétrie avec l'ellipse sont appelés sommets de l'ellipse.

7. L’HYPERBOLE 7.1. Définition On appelle hyperbole le lieu des points du plan dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers est égale à une constante . 7.2. Equation

P ( x , y )

F ’ ( - c , 0 ) F ( c , 0 )

Y

X

Afin d’établir l’équation canonique de l’hyperbole, notons 2a la constante donnée et F et F’ les deux foyers. Nous définissons alors notre repère orthonormé comme suit : origine au milieu du segment [F,F’], axe des abscisses passant par les deux foyers F et F’. L’axe des ordonnées est


36

alors automatiquement déterminé. Nous désignerons par (c,0) les coordonnées du foyer F , celles du foyer F’ étant alors (-c,0). Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à l’hyperbole ⇔ − =PF PF a' 2

[ ][ ] ( )

⇔ − + − + + =

⇔ − + + + + − − + + + =

⇔ − + + + = + + −

⇔ − + + + = + + −

⇒ − + + + = + + −

⇔ − +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x c y x c y a

x c y x c y x c y x c y a

x c y x c y x y c a

x c y x c y x y c a

x c y x c y x y c a

bx c x

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2

2

2 4

2 2 2 2 4

2

2

2

( )

c x y xcy c y x y xcy c y yx y c a x y c x a x c y a y a ca c x a x a y a c

a c x a x a y a c

c a x a y a a c

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2

2 24 2 2 4 2 4 4

4 4 4 4 4 00

0 3

+ − + + + + +

= + + + + + − + − −

⇔ + − − − =

⇔ + − − − =

⇔ − − + − = ( )

Posons b c a2 2 2= − , ce qui est licite car 2c = ⎜FF’⎜ > 2a sinon le lieu est vide puisque dans le triangle PFF’ le côté FF’ est supérieur à la différence des deux autres côtés. L’équation (3) s’écrit alors

xa

yb

2

2

2

2 1 4− = ( )

Pour que (4) soit l’équation de l’hyperbole, il faut prouver qu’en (b), on a équivalence; c’est-à-dire que si un point P(x,y) vérifie (4), alors on a x y c a x y a c a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0 2+ + − ≥ ⇔ + ≥ − = − .

Or si un point P(x,y) vérifie (4) on a xa

yb

2

2

2

21 1= + ≥ donc x y x a a b2 2 2 2 2 2+ ≥ ≥ ≥ − .

CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de l’hyperbole s’écrit xa

yb

12

2

2

2− =

7.3. Etude de la courbe L’équation de l’hyperbole peut s’écrire

( )y b xa

y ba

x a y ba

x a2 22

22

2

22 2 2 21= − ⇔ = − ⇔ = ± −

Pour tracer le graphique de l’hyperbole, il suffit d’étudier la fonction positive ci-dessus, l’autre partie du graphique s’obtenant par symétrie par rapport à l’axe X.

Etudions donc la fonction y ba

x a= −2 2 .

Domaine : ] - ∞ , - a [ ∪ ] a , + ∞ [; zéros : - a et a Asymptotes : pas de verticales

ANV : m ba

x ax

ba

xx

bax x± →±∞ →±∞=

−= = ±lim lim

2 2


37

p ba

x a x ba

ax a x

x x± →±∞ →±∞= − =−

−lim lim2 2

2

2 2m

m

= −+

=→±∞abx xxlim 1 0

Il y a donc deux asymptotes obliques; l’une en +∞ d'équation y =ba

xet l’autre en −∞

d'équation y ba

x= − .

Dérivée première : ′ =−

y ba

xx a2 2

x - a a x - - + +

x a2 2− + 0 0 + y’ - - ∞ + ∞ + y tangente

verticale tangente

verticale

Dérivée seconde : ( )

′′ =−

−<y ab

x a2 2 30 sur ] - ∞ , - a [ ∪ ] a , + ∞ [

Remarque : si on avait fait passer l’axe Y et non l’axe X par les deux foyers, on aurait obtenu

pour équation de l’hyperbole ya

xb

2

2

2

2 1− = et le graphique ci dessus à droite.

On voit de suite qu'une hyperbole possède deux axes de symétrie orthogonaux; l'un passant par les foyers et l'autre par la médiatrice du segment les reliant. Les points d'intersection de l'axe des foyers avec l'hyperbole sont appelés sommets de l'hyperbole.

8. LA PARABOLE 8.1. Définition On appelle parabole le lieu des points du plan équidistants d’un point fixe appelé foyer et d’une droite fixe appelée directrice.


38

8.2. Equation

P(x,y)

F(p /2,0 )

d

x = -p /2

Afin d’établir l’équation canonique de la parabole, nommons F le foyer et d la directrice. Nous définissons alors notre repère orthonormé comme suit : origine au milieu du segment issu de F perpendiculaire à d et limitée à celle-ci, axe des abscisses passant par le foyer F (et donc perpendiculaire à d), l’abscisse de F étant positive et désignée par p/2. L’axe des ordonnées est alors automatiquement déterminé. Les coordonnées du foyer F sont alors (p/2,0) et l’équation de la directrice x = -p/2.

Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a alors les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à la parabole

⇔ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = +

⇔ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = + +

⇔ − + + = + +

⇔ =

x p y x p

x p y x px p

x px p y x px p

y px

2 2

2 4

4 42

22

22 2

2

22

2 22

2

CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de la parabole s’écrit y px2 2=

8.3. Etude de la courbe L’équation de la parabole peut s’écrire y px= ± 2 . Domaine : [ 0 , +∞ [ Zéros : 0 Pas d'asymptotes

y ppx

'= >2

0 sur ] 0 , +∞ [ : fonction

strictement croissante ( décroissante) tangente verticale en 0

( )

y p

px"= −

<2

320 sur ] 0 , +∞ [

On voit de suite qu'une parabole possède un axe de symétrie passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice. Le point d'intersection de l'axe avec la parabole est appelé sommet de la parabole.


39

8.4. Autre forme de l'équation Si on avait fait passer l'axe Y et non l'axe X par le foyer, on aurait obtenu pour équation de

la parabole x py y xp

² ²= ⇔ =2

2. Si de plus on effectue un changement d'origine du repère, défini par

des relations du type x x x'= + 0 et y y y'= + 0 , on obtient tous calculs faits une équation du type y ax bx c= + +² . On retrouve la forme de l'équation de la parabole bien connue des étudiants du secondaire supérieur. Rappelons en les conclusions : • Si a > 0, la parabole est de concavité positive; si a < 0, la parabole est de concavité négative.

• La parabole admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l'axe Y d'équation x ba

=−2

.

• Les coordonnées du sommet sont − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ba a2 4

, ∆ , où ∆ = −b ac² 4 .

10

10

x2 x 6

55 x

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

10987654321

123456789

10

20

0

x2 x 1

55 x5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

123456789

1011121314151617181920

9. Exercices Enoncés Réponses 1. On donne les droites a : 3x + 2y = 6, b : x - 2y + 6 = 0, c : 2x - y - 4 =

0. Représenter chacune de ces droites et calculer les coordonnées des sommets du triangle que ces droites déterminent.

(0;3), (2;0), 143

163

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. On donne les droites a : 5x + 2y -10 = 0, b : 3x + 4y - 12 = 0, c : 3x - 4y - 12 = 0. Représenter chacune de ces droites et calculer les coordonnées des sommets du triangle que ces droites déterminent.

87

157

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, 3213

1513

; −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

et (4;0)

3. On donne les points A(3;0) et B(0;-2). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= −23

2

4. On donne les points A(3;-1) et B(0;2). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= − + 2

5. On donne les points A(4;3) et B(-3;4). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= − +17

257

6. On donne les points A(4;7) et B(1;-5). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= −4 9


40

7. On donne les points A(1;2), B(3;4) et C(0;-2). Déterminer le point commun à AB et à la droite d : x + 1 = 0; le point commun à AC et à la droite d' : y = 3; le point commun à BC et à la droite d" : y + x = 0.

(-1;0), 54

3;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, 23

23

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8. On donne le triangle ABC avec A(-3;0), B(0;4) et C(6;0).Déterminer les coordonnées des milieux des cotés. Ecrire les équations des médianes. Calculer les coordonnées du centre de gravité.

C' ;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

2 ,B' ;32

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, A'(3;2)

AA' : y x= +13

1

BB' : y x= − +83

4

CC' : y x= − +415

85

G 1 43

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9. On donne les points A(2;1) et B(-3;2) et la droite d : x - 3y + 1 = 0. Ecrire l'équation de la droite a passant par A et parallèle à l'axe X; b passant par B et parallèle à l'axe Y; c passant par O et parallèle à AB; e passant par A et parallèle à d; f passant par B et parallèle à d.

a : y = 1 b: x = -3

c : y x= −15

e : x - 3y + 1 = 0

f : x - 3y + 9 = 0 10. On donne le triangle ABC avec A(3,1), B(-4,2) et C(-2,-3). Ecrire

l'équation de chacune des droites passant par un sommet de ce triangle et parallèle au côté opposé.

Par A : y x=−

+52

172

Par B : y x= +45

265

Par C : y x=−

−1

7237

11. On considère les points A(2,3) et B(-4,-1). Déterminer l'équation de la droite a passant par A et parallèle à OB; de la droite b passant par B et parallèle à OA; de la droite d passant par O et parallèle à AB. Déterminer les coordonnées des sommets du triangle dont les côtés sont portés par les droites a, b et d.

a : y x= +14

52

b et d (-6;-4)

b : y x= +32

5 b et a : (-2;2)

d : y x=23

a et d : (6;4)

12. On donne les droites a : x + y = 0, b : x - 2y = 0, c : y = 2x et le point A(1,-3). Par A on mène les droites a' et b' respectivement parallèles aux droites a et b; sur a' on marque le point B d'abscisse -2. Par B on mène la droite c' parallèle à la droite c et on note C son point commun avec b'. Calculer les coordonnées de B et C.

B(-2;0) C(-5;-6)

13. On considère le quadrilatère ABCD avec A(3,2), B(-5,4), C(-3,-4) et D(2,-3). On désigne par P le point commun à AB et CD et par Q le point commun à AD et BC. Démontrer que les droites AC et PQ sont parallèles et que BD passe par le milieu de [PQ].

P 413

23

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Q − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

443

;

m m ACAC PQ= = ⇒1 ...

milieu de [PQ] : 203

233

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

,

solution de l'équation de BD : y = - x - 1

14. On donne les points A(1,2) et B(-2,1). Démontrer que les droites OA et OB sont perpendiculaires.

mOA = 2, mmOB

OA=−

=−1

21

15. On donne les points A(1,2), B(1,- 5). Ecrire les équations des hauteurs du triangle OAB et calculer les coordonnées de leur point commun.

h y xA: = +15

95

h y xB: = − −12

92

h yO: = 0 H(-9;0)


41

16. On donne le point A(-1,- 2) et la droite d : 2x + 3y = 0. La droite

comprenant A et parallèle à d coupe Ox en B. La droite comprenant A et perpendiculaire à d coupe Oy en D. Déterminer les coordonnées des sommets du rectangle ABCD.

B(-4;0)

D 0 12

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 32

;

17. On considère le triangle ABC avec A(7,4), B(2,-3) et C(-5,2). Ecrire les équations des médiatrices du triangle ABC. Vérifier par le calcul que ces médiatrices sont concourantes en un point M. Vérifier par le calcul que le point M est équidistant des points A, B et C. Que peut-on en conclure ?

18.On donne les points A(-3, 3), B(-2, -1) et C(2, 1). Déterminer les coordonnées des milieux des côtés et du centre de gravité du triangle ABC. Déterminer les équations des côtés et des médianes du triangle ABC. Déterminer les équations des hauteurs et les coordonnées de l orthocentre du triangle ABC. Déterminer les équations des médiatrices et les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

B'(-½;2) A'(0;0) C' −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

52

1;

G(-1;1) AB : y = -4x - 9

AC : y x= − +25

95

BC : y x=12

AA' : y = -x BB' : y = 2x + 3 CC' : y = 1

h y xA: = − −2 3 h y xB: = +52

4

h y xC: = +14

12

H −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

149

19

;

mé d y xAC: = +52

134

mé d y xBC: = −2

mé d y xAB: = +14

138

centre −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

138

139

;

19. On donne les droites a : x - 2y - 1 = 0, b : 7x + y + 8 = 0, c : x + y - 4 = 0. On note T le triangle déterminé par ces trois droites. Déterminer les sommets de T. Déterminer ensuite le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit de T.

sommets (-1;-1) (3;1) (-2;6) G(0;2)

H 23

23

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

centre −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

83

;

20. Déterminer l'équation des droites situées à une distance 1 de la droite d : 3x - 4y + 6 = O.

3x - 4y + 1 = 0 3x - 4y + 11 = 0

21. Déterminer les points d'abscisse 1 situés à la même distance de d et de d'. En déduire les équations des bissectrices des angles déterminés par d : x + y - 1 = 0 et par d' : x - y + 1 = O.

(1;1) y = 1 x = 0

22. Déterminer les points d'abscisse 1 situés à la même distance de d et de d'. En déduire les équations des bissectrices des angles déterminés par d : 2x + y - 2 = O et par d' : x + 2y - 3 = O.

(1;2) et 1 23

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y = x +1

y x= − +53


42

23. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² = 9 (0;0) 3 24. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² + 2x -

2y - 4 = 0 (-1;1) 6

25. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² + x - 3y = 0 −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

32

; 102

26. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² -2x + 4y - 20 = 0

(1;-2) 5

27. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 2x² + 2y² + 2x + 2y -3 = 0

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

12

; 2

28. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 4(x² + y²) - 4x + 12y + 9 = 0

12

32

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

29. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 4(x² + y²) - x + 2y - 5 = 0

18

14

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

858

30. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 3 x² + 3y² - 5x + 7 y - 1 = 0

56

76

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

866

31. Déterminer k pour que le cercle d'équation x² + y² - 2x + 4y + k = 0 passe par le point (4,3); ait 4 comme rayon; soit tangent à l'axe X; soit tangent à l'axe Y.

k = -29 k = -11 k = 1 k = 4

32. Déterminer k pour que le cercle d'équation x² + y² - 2kx + 2(k-1)y = 0 passe par le point (4,3); ait 5 comme rayon; soit tangent à l'axe X; soit tangent à l'axe Y.

k =192

k = 4 ou -3

k = 0 k = 1 33.Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la

droite d'équations x² + y² = 65 et 3x + y - 25 = 0. (8;1) et (7;4)

34. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + x + 3y - 4 = 0 et x + y - 1 = 0.

(0;1) et (2:-1)

35. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + 2x - 1 = 0 et x - y - 1 = 0.

(0;-1)

36. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² - 2x + 3y - 3 = 0 et 2x + y + 2 = 0.

(1;-4) et (-1:0)

37. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + 2x + 3y - 7 = 0 et 5x + 4y + 11 = 0

(1;-4) et (-3;1)

38. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + x - 15y + 24 = 0 et x - 2y + 3 = 0.

(3;3) et (1;2)

39. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est l'origine et le rayon 2 x² + y² = 4

40. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(1,-2) et le rayon 5 (x-1)²+(y+2)² = 5

41. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(1,2) et qui passe par (-2,-2)

(x-1)²+(y-2)² = 25

42. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(0,-3) et qui est tangent à la droite d : 3 x + y + 1 = 0

x² + (y+3)² = 1

43. Ecrire l'équation du cercle passant par (0,0), (3,3) et (4,-4) x² + y² -7x + y = 0 44. Ecrire l'équation du cercle passant par (2,0), (5,0) et (2,-4) x² + y² -7x + 4y + 10 = 0 45. Ecrire l'équation des cercles tangents à d : y = x, à l'axe des y et de

rayon est 2 ( ) ( )( )x y− + − + =2 2 2 2

2 2

( ) ( )( )x y+ + + + =2 2 2 22 2


43

46. Ecrire l'équation du cercle tangent à d : x + y + 2 = O, à d' : x - y + 2

= O et comprenant le point A(O, 2) (x-2)² + y² = 8

47. Ecrire l'équation du cercle de diamètre [AB] avec A(-1,3) et B(2;-1). ( )x y−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ − =12

1 254

22

48. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (0,0) et qui est tangent à la droite x + y + 1 = 0

x² + y² = ½

49. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (1,2) et qui est tangent à la droite 2x + y - 8 = 0

(x-1)² + (y-2)² = 165

50. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (-1,0) et qui est tangent à la droite 3x - y + 1 = 0

(x+1)² + y² = 25

51. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (2,-3) et qui est tangent à la droite 2x - 3y + 4 = 0

(x-2)² + (y+3)² = 28913

52.Déterminer les tangentes au cercle de centre (0,0) et de rayon 2 parallèles à la droite y = 0

y = 2 et y = -2

53. Déterminer les tangentes au cercle de centre (1,0) et de rayon 3 parallèles à la droite x - 2y = 0

x y− − − =2 1 3 5 0 et x y− − + =2 1 3 5 0

54. Déterminer les tangentes au cercle de centre (0,2) et de rayon 3 parallèles à la droite x - y = 0

x y− + − =2 3 2 0 et x y− + + =2 3 2 0

55. Déterminer les tangentes au cercle de centre (1,2) et de rayon 1 parallèles à la droite x = 0

x = 0 et x = 2

56. Déterminer les tangentes au cercle de centre (3,-1) et de rayon 4 parallèles à la droite 2x - y = 0

2 7 4 5 0x y− − + = et 2 7 4 5 0x y− − − =

57. Déterminer les tangentes au cercle de centre (4,2) et de rayon 4 parallèles à la droite x + 2y = 0

x y+ − + =2 8 4 5 0 et x y+ − − =2 8 4 5 0

58. On donne le cercle C1 , de centre O(0, 0) et de rayon 5 et le point A(7, 1). Quelle est l'équation du cercle C2 qui a [OA] comme diamètre ? Quels sont les points communs à C1 et à C2 ? Quelles sont les équations des tangentes à C1 issues de A ? Vérifier que ces tangentes sont perpendiculaires.

C x y2

2 272

12

504

: −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

intersection : (3;4) et (4;-3)

tangentes : ( )y x− = − −1 34

7

et ( )y x− = −1 43

7


44

59. On donne deux cercles : C1 de centre (3, 2) et de rayon 652

et C2

de centre (0,0) et comprenant le point 1 32

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. Déterminer des

équations de ces cercles. Quels sont les points A et B communs à ces cercles ? Chercher les points communs aux tangentes à ces cercles en A et en B.

( ) ( )C x y12 23 2 65

4: − + − =

C x y1

2 2 134

: + =

A 1 32

;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 32

;

pour C1 : t y xA: = − −47

1314

t y xB: = − −8 132

intersection − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3952

12

;

pour C2 : t y xA: = +23

136

t y xB: = −23

136

pas d'intersection 60.On donne les points A(5,0), B(-1, O) et C(-2,-7) ainsi que la droite d :

4y + 3x - 15 = 0. Quels sont le centre et le rayon du cercle comprenant A, B et C ? Prouver que d est tangente à ce cercle et chercher le point de contact. Déterminer une équation de la tangente à ce cercle au point diamétralement opposé à ce point de contact.

centre (2;-4), rayon 5 point de contact (5;0) tangente en (-1;-8) : 4y + 3x + 35 = 0

61.On donne le triangle dont les sommets sont A(1,0), B(5,4), C(3,-2). Quelle est la nature de ce triangle ? Déterminer une équation du cercle de diamètre [AC].

triangle rectangle en A (x-2)² + (y+1)² = 2

62.On donne les points A(0,3), B(0,-3), C(5,2). Quels sont le centre et le rayon du cercle comprenant ces points ? Déterminer une équation de la tangente à ce cercle en C. Quel est le point M commun à cette tangente et à l'axe des y ? Vérifier que MC² = MA . MB.

centre (2;0), rayon 13

t y xC: = − +32

192

M 0 192

;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

MC²=325

4 MA =

132

MB =252

63.Ecrire les équations des tangentes issues de O au cercle de centre C(5,3) et de rayon 3.

y = 0 et y x=158

64.Ecrire les équations des tangentes au cercle de centre C(-4,-9) et de rayon 13 en ses points d'abscisses 1 et 8.

en (1;3) : 5x + 12y - 41 = 0 en (1;-21) : 5x - 12y - 257 = 0 en (8;-4) : 12x + 5y - 76 =0 en (8;-14) : 12x - 5y - 166 = 0

65.Ecrire les équations des tangentes au cercle de centre C(1,- 3) et de

rayon 5 et qui ont 34

et −43

comme coefficients de direction. y x= −

34

10 et y x= +34

52

y x= − +43

203

et y x= − −43

10

66. Ecrire l équation de la corde de contact des tangentes parallèles à la droite y = 5x/12 au cercle de centre C(4,-3) et de rayon 13. Ecrire ensuite les équations de ces tangentes.

corde : y x= − +125

335

tangentes : y x= −512

13512

et y x= +512

11312


45

67. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à la parabole

d'équation y² = 2x en son point d'abscisse 2 et d'ordonnée positive. point (2;2) t : x - 2y + 2 = 0 n : 2x + y - 6 = 0

68. Déterminer les équations des tangentes issues du point M(-1; ½ ) à la parabole d'équation y² = 2x. Calculer les coordonnées des points de contact.

t x y1 2 2 1 0: + − = , ( ½ ;-1) t x y2 2 2 0: − + = , (2;2)

69. Quelle est l'équation de l'ellipse dont les sommets ont pour coordonnées (5;0), (-5;0), (3;0) et (-3;0) ?

x y² ²25 9

1+ =

70. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à l'ellipse d'équation 25x² + 16y² = 100 en son point d'abscisse 1 et d'ordonnée négative.

point : −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 5 3

4;

t : ( )y x+ = −5 3

45 312

1

n : ( )y x+ =−

−5 3

44 35

1

71. Déterminer l'équation des tangentes à l'ellipse d'équation 25x² + 16y² = 100 parallèles à la droite d'équation 5x - 4y = 0. Calculer les coordonnées des points de contact.

t : y x= ±54

5 22

; −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 5 2

4;

2 5 24

; −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

72. Quelle est l'équation de l'hyperbole dont les sommets ont pour coordonnées (3;0) et (-3;0) et les foyers (5;0) et (-5;0),?

x y² ²9 16

1− =

73. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à l'hyperbole d'équation 9x² - 16y² + 144 = 0 en son point d'ordonné 5 et d'abscisse négative.

point : −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

163

5;

t : 3x + 5y - 9 = 0 n : 15x - 9y + 125 = 0


46

Applications diverses


47

1/ Soit la limite ABCDE entre les parcelles 52 et 53. Les sommets B, C et D sont repérés par rapport à la base AE : EB' = 46,04 m, BB' = 6,01 m, EC' = 39,26 m, CC' = 7,14 m, ED' = 30,64 m, DD' = 8,12 m, EA = 50,64 m. On demande de remplacer cette limite par la limite AE telle que les superficies des parcelles restent inchangées. Calculer la distance EF.

2/ Soit la parcelle ABCDE ci-contre. On désire la partager en deux lots égaux par une limite PQ perpendiculaire à AE. Calculer les distances d'implantation AP et PQ.


48

3/ A partir de la limite AB et des alignements AX et BY, on demande de déterminer la limite MN parallèle à AB telle que la surface du lot ainsi obtenu soit de 2500 m², sachant que AB = 88,04 m, l'angle XAB = 110 gons, l'angle ABY = 105 gons. Calculer les distances AM et BN.

4/ Soit la parcelle ABCDE schématisée ci-contre et dont les coordonnées des sommets sont

X Y A : 2109,09 445,66 B : 2186,61 548,32 C : 2511,31 420,70 D : 2312,87 285,09 E : 2280,23 335,70

On demande de diviser cette parcelle en deux lots par une limite PR telle que le gisement de PR soit de 20° et que la superficie du lot ABPR soit de 21000 m². Calculer les distances d'implantation AP et BR.


49

5/ Le terrain ABCD représenté ci-contre est défini par ses quatre côtés : AB = 94,60 m, BC = 60,65 m, CD = 113,54 m, DA = 99,58 m, et par l'angle DAB = 91,675 gons. De plus, on connaît les coordonnées rectangulaires de A (210,10;593,60) et le gisement de AD : 164,920 gons. On désire partager ce terrain en deux lots égaux en superficie par une ligne de séparation EF telle que F soit situé sur CB à 20 m de C. Déterminer les segments d'implantation de E, à savoir AE, EF et ED.

6/ Soit la parcelle ABCE où AB est perpendiculaire à AE et BC à EC. Afin d'aménager le carrefour, une nouvelle limite doit être implantée : un arc de cercle tangent en A à AE et tangent en D à EC. On demande de calculer le rayon du cercle et la surface de l'emprise (partie hachurée). On donne AB = 39,37 m, BC = 16,09 m, EA = 33,69 m et EC = 49,20 m.


50

7/ Soit la parcelle figurée ci-dessous. On demande de calculer les coordonnées de B et de C dans un repère orthonormé d'origine A et d'axe X suivant AD; et de déterminer la limite PQ perpendiculaire à AD de sorte que les deux surfaces ABPQ et PCDQ soient égales en donnant la distance AQ.

8/ On considère la parcelle ABCDE dont les coordonnées des sommets sont A(2109,09;445,66), B(2186,61;548,32), C(2511,31;420,70), D(2312,87;285,09) et E(2280,23;335,70). On désire partager cette parcelle en deux lots par une limite MN telle que M soit au milieu de AB et que la surface du lot MBCN soit de 20000 m². Calculer la distance d'implantation de N sur CD.


51

9/ Soit la parcelle JKLM déterminée par les coordonnées de ses sommets J(969,36;865,02), K(838,97;674,28), L(637,34;732,26) et M(540,88;888,97). On demande de partager cette parcelle en deux lots égaux par une limite SR parallèle à LK. Calculer les distances d'implantation LS et KR.

10/ On donne les coordonnées des points A(100,9;226,48), B(210;273,63) et C(310,10;196,01). On stationne en un point P et on y mesure les angles indiqués. Calculer les coordonnées de P.

11/ Sur le profil en long ci-dessous sont représentées deux routes de pentes respectives 4% et 6%. On place l'origine d'un repère orthonormé au point d'intersection de ces pentes, l'axe Y


52

étant pris vertical. On désire raccorder les deux pentes par un arc de parabole d'axe de symétrie vertical. Cette parabole doit être tangente à chacune des pentes, les abscisses des points de tangences étant symétriques par rapport à l'origine du repère et la distance horizontale du raccordement étant de 600 m. Déterminer l'équation de cette parabole.

12/ Deux tronçons de routes rectilignes doivent être raccordés par un tronçon en arc de cercle de rayon 15 m. On connaît sur le premier tronçon les points A(-12,10) et B(-5,6) et sur le second les points C(13,4) et D(17,5). Calculer les coordonnées du centre E de l'arc de cercle raccordant les deux tronçons et celles du point T, point de raccord entre l'arc de cercle et le tronçon rectiligne.


53

13/ Soit la parcelle ABCD définie par les coordonnées de ses sommets A(210,10;593,60), B(296,47;632,30), C(340,76;590,77), D(262,24;508,76). On demande de la partager en deux lots égaux par une limite EF telle que F soit situé à 20 m de C. Afin d'implanter le point E, on demande la distance AE au cm près.

14/ Soit la parcelle ABCD levée orthogonalement sur la limite AB. On demande de partager cette parcelle en trois lots égaux par les limites MN et PQ parallèles à la limite AD. Déterminer les distances d'implantation AN, AQ DM et DP.


54

15/ Soit une parcelle JKLM déterminée par les coordonnées des sommets J(969,36;965,02), K(838,97;674,28), L(627,34;732,26), M(540,88;888,97). On demande de partager cette parcelle en deux parties par une droite SR telle que SL = RK et que la surface SRKL soit le double de la surface MJRS. Donner la longueur de SL au cm près.


110

Table des matières

TRIGONOMETRIE PLANE ....................................................................................................................................2

1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES AIGUS ........................................................................................3 1.1. DEFINITIONS...................................................................................................................................................3 1.2. PROPRIETES....................................................................................................................................................3

2. UNITES DE MESURE DES ANGLES ........................................................................................................................4 2.1. LE DEGRE .......................................................................................................................................................4 2.2. LE GRADE.......................................................................................................................................................4 2.3. RELATION ENTRE LES UNITES ........................................................................................................................4

3. FORMULAIRE .......................................................................................................................................................4 3.1. TRIANGLES RECTANGLES...............................................................................................................................4 3.2. TRIANGLES QUELCONQUES............................................................................................................................4

4. EXERCICES...........................................................................................................................................................5

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE ........................................................................................................................14

1. MESURE DES ARCS DE CERCLE .........................................................................................................................15 1.1. UNITES .........................................................................................................................................................15 1.2. LONGUEUR D’UN ARC DE MESURE CONNUE.................................................................................................15

2. DEFINITIONS ......................................................................................................................................................15 3. RELATIONS GEOMETRIQUES.............................................................................................................................16 4. RELATIONS TRIGONOMETRIQUES ....................................................................................................................17

4.1. RELATIONS FONDAMENTALES......................................................................................................................17 4.2. RELATIONS AUX SINUS .................................................................................................................................17 4.3. LOIS DES COTANGENTES ..............................................................................................................................17 4.4. RELATIONS ENTRE TROIS ANGLES ET UN COTE ............................................................................................18 4.5. TRIANGLES RECTANGLES .............................................................................................................................18

4.5.1 Formulaire .............................................................................................................................................18 4.5.2 Nature des éléments ...............................................................................................................................18

5. EXERCICES.........................................................................................................................................................19

GEOMETRIE ANALYTIQUE................................................................................................................................20

1. REPERES DU PLAN..............................................................................................................................................21 2. EQUATIONS VECTORIELLES, PARAMETRIQUES ET CARTESIENNES DE LA DROITE DU PLAN .........................23

2.1. NOTION D'EQUATION D'UNE DROITE.............................................................................................................23 2.2. EQUATION VECTORIELLE..............................................................................................................................23 2.3. EQUATIONS PARAMETRIQUES.......................................................................................................................23 2.4. EQUATIONS CARTESIENNES..........................................................................................................................24

3. COEFFICIENT DE DIRECTION ET COEFFICIENT ANGULAIRE, PERPENDICULARITE, DISTANCES ...................25 3.1. DEFINITION : ................................................................................................................................................25 3.2. INTERPRETATION GRAPHIQUE ......................................................................................................................25 3.3. PROPRIETES..................................................................................................................................................26

3.3.1. Coefficient de direction d'une droite dont on connaît deux points : .....................................................26 3.3.2. Equation de la droite passant par un point donné et de coefficient de direction donné........................26 3.3.3. Condition de parallélisme : ...................................................................................................................27

3.4. CONDITIONS DE PERPENDICULARITE DE DEUX DROITES (REPAIRE ORTHONORME) ................................27 3.5. DISTANCE ENTRE DEUX POINTS ...................................................................................................................27 3.6. DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE...........................................................................................................28

4. SYSTEMES DE COORDONNEES CARTESIENNES ET POLAIRES ..........................................................................28


111

4.1. TRANSFORMATION DE COORDONNEES D'UN SYSTEME A L'AUTRE................................................................28 4.1.1. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires mathématiques.......................28 4.1.2. Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires topographiques ......................29

4.2. CHANGEMENT DE REPERE CARTESIEN DANS LE PLAN..................................................................................29 4.2.1. Changement d'origine ...........................................................................................................................29 4.2.2. Rotation de repère.................................................................................................................................30 4.2.3. Rotation et changement d'origine .........................................................................................................30 4.2.4. Changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité) .................................................................31 4.2.5. Rotation et changement d'origine avec changement d'échelle (d'unité)................................................32

5. LE CERCLE .........................................................................................................................................................32 5.1. DEFINITIONS.................................................................................................................................................32 5.2. EQUATION CARTESIENNE .............................................................................................................................32

6. L'ELLIPSE...........................................................................................................................................................33 6.1. DEFINITION ..................................................................................................................................................33 6.2. EQUATION ....................................................................................................................................................33 6.3. ETUDE DE LA COURBE..................................................................................................................................34

7. L’HYPERBOLE................................................................................................................................................35 7.1. DEFINITION ..................................................................................................................................................35 7.2. EQUATION ....................................................................................................................................................35 7.3. ETUDE DE LA COURBE..................................................................................................................................36

8. LA PARABOLE ................................................................................................................................................37 8.1. DEFINITION ..................................................................................................................................................37 8.2. EQUATION ....................................................................................................................................................38 8.3. ETUDE DE LA COURBE..................................................................................................................................38 8.4. AUTRE FORME DE L'EQUATION.....................................................................................................................39

9. EXERCICES.........................................................................................................................................................39

APPLICATIONS DIVERSES .................................................................................................................................46

Documents

Mathématiques appliquées à la topographie - niveau 1itpvilledeliege.wifeo.com/documents/Math-topo-niv-1_1.pdf · Mathématiques appliquées à la topographie niveau 1 5 4. Exercices