té♠tqs srèts èr ♥♥é

r♥t ♥r

♦t♦r

♣tr

tr s ♠té♠tqs

♦♠♠♥t ♦t ♦♥ ♣♣r♥r s ♠té♠tqs ♥② é♠♠♥t ♣s ♥ ré♣♦♥s ♥q ♠s ♦qqs ♣sts q rst ♥ s♦♥t ♣s ♣r♦♣rs ① ♠té♠tqs ♠s s ♣♦r t♦ts s s♣♥s

r s ①rs s ♠té♠tqs s♦♥t strts t s st très ♠♣♦rt♥t s ♠rsr s ♦ts s é♥t♦♥s s é♠♦♥strt♦♥s ♣♦r s s ♣♣r♦♣rr t s tstr s♦♠ê♠ ♦♠♥r s♠té♠tqs t ♥ ♣s s ssr ♦♠♥r t♥q ♣s ♣♦r st r s ①rs♥ ♥ tr♦ t♦♦rs ♥s ♦rs ♥s s rs ♥s s ♥♥s ①♠♥ss ①rs ♦♥t êtr ♣ré♣rés st à r q ♦♥ ♦t ♣ssr ♥ rt♥ t♠♣s à rr s♦t♦♥♠s ♥st ♣s ♥éssr tr♦r t♦♦rs st ♣r ♦♥tr ①trê♠♥t t r s rrrs t

s ♦♠♣r♥r st ♣♦rq♦ s ①rs ♦♥t êtr stés trs s ér♥ts s♦t♦♥str♦és ♦♥t êtr ♦♠♣rés t ♦rrés ♦rs st sé ♥ sé♥s ♦rs ♠str s♦♥t ♥ ♠♣ t sé♥s ♥ r♦♣s ♣srstr♥ts ♥s♥♥t ré ♦r♥t q s♠♥ st s ①♦s à trtr ♣♦r s♠♥s♥t s ①rs ♦♥t t♦s ♦r été ♣ré♣rés ♥t sé♥ ♦♥sst à str t ♦rrrs s♦t♦♥s tr♦és à ré♣♦♥r ① é♥ts qst♦♥s sr ♦rs t à ♣♣r♦♦♥r rt♥s ♣♦♥ts ♦rs

♣♣r♥r s♦♥ ♦rs ♥ ♠té♠tqs ♣♣r♥r ♦rs st s♦♥t s②♥♦♥②♠ ♦♠♣r♥r♥ t ♦rsq ♦♥ ♥ ♦♠♣rs ♦♥ ♣t r♦♥strr t♦t ♦rs ♠ê♠ s ♦♥ t♦t ♦é s♦r♠s tr♦♥♦♠étrqs s♦♥t ♥ ①♥t ①♠♣ s ♦♥ ♥ ♦♠♣rs ♦r♠ ♦reix = cosx+ i sinx ♦♥ ♣t t♦ts s rtr♦r ♠♥t st ♦♥ rr q ♦♥ ♦ ♣♣r♥r ♣r ÷r ♠♥èr ♣s s♠♣ ♦♠♣r♥r s♦♥ ♦rs st s♦rtr sé♥ ♥ ②♥t t♦t ♦♠♣rs P♦r t êtr ♦♥♥tré ♣♥♥t ♦rs s ♠té♠tqs♦♠♠ t♦ts s s♣♥s ♣♥sé ♠♥♥t ♦♣ ♦♥♥trt♦♥ r ét♥t ♦r♥ ♦r♣s ♠♥ q ♦♥s♦♠♠ ♣s ♦rs ♦♥ ♣t ♦♥sérr q ♦♥♥trt♦♥ ♥ ♦rs st ♥s♣♦rt st ♣s ♠♣♦rt♥t ♦♠♣r♥r ♣♥♥t ♦rs q ♣r♥r s ♥♦ts ♦♥ s ♦♥ ♦♠♠♥ às s♥tr é♣ssé ♦♥ ss ♣r♥r s ♥♦ts ♣♦r s ♦♥♥trr sr q t ♦ ♣r♦ ♥ ♣♦rrt♦♦rs s♦t ré♣érr s ♥♦ts ♥ ♠r s♦t rr ♣♦② s♦t tr♦r ♥ r❯♥ ♣r♥♣ ♠♣♦rt♥t ♥ ♠s r♦r q t ♦ ♣r♦ ♦♥ ♥ r♦t q q ♦♥ ♦♠♣r♥ ♣s éstr à ♣♦sr s qst♦♥s ♥ ♦rs ♦rsq ♦♥ ♦♠♠♥ à ♥ ♣s ♦♠♣r♥r♦rsq ♦rs st ♥ ♦♠♣rs ♦♥ ♣t ♣ssr rt♠♥t ① ①rs t♦t ç♦♥ ♦♥ rr ♥s♥t s ①♦s r ② t♦♦rs s ♣♦♥ts q ♦♥ ♠ ss♠és ♦ ♦és ♦ù ♠♣♦rt♥ rs ①♦s tr♠♥t t r s ①♦s st è♠ ♠ét♦ ♣s ♣♦r ♣♣r♥r s♦♥ ♦rs

rr à ♣srs st ♥ ♦♥♥ ♠♥èr s ♠♦tr à trr é♠♥t ♦♥ tr à ♦ ♦♥ ♥♦s ♣s r rs s trs ♦♥ ♣t ♠♥r ré ♦r♥sr s ♥ô♠s tr♦sè♠ ♠ét♦ ♣s ♣♦r ♣♣r♥r s♦♥ ♦rs st rr à ♥ ♠r ♦♥ t♦t ♦♠♣rs ♦♥ tr♦ qq♥ q ♥ r♥ ♦♠♣rs t ♦♥ ①♣q t♦t t ré♣r♦q♠♥t st ♥①r q sr t♥t é♥éq à ♥ qà tr s ♣s réq♥t t♦t♦s st q♥ ♦♥ ♥ ♣s t♦t ♦♠♣rs ♠s ♣s r♥ ♥♦♥ ♣s ♠ttr à ①♦ tr♦s st ♦rs ①♥t r ♥ s♦♥t s♦♥t ♣s s ♠ê♠ ♦ss sr sqs s ♥s t s trst♥t ♠ê♠ ♣♦r ♣ré♣rr s ①♦s ♥t s sé♥s ♠① st s r à ♣srs ♦r ç♠♦tê♠ s ♦♥ ♣♥s ♥ ♣s ♦r s♦♥ ♣♦r ② rrr st ①♥t ①♣qr s s♦t♦♥s q ♦♥ tr♦és à ss ♠rs t ♣r ♦♥tr ♥ t ♠s r♦r q ♦♥ st tr♦♣ ♥ ♣♦r trr trs ①♣ér♥ ♠♦♥tr q s♦♥t ♥ ét♥t très ♦rt sss♦ ♥ ét♥t très ♣♦r ♣s r♥ é♥é s ①

♥trr s ♥s♥♥ts t s♦r q s ♥s♥♥ts s♦♥t ♥ é♥ér r① q ♦♥ ♣♦ss qst♦♥s s♥ q ♦♥ s♥térss r ♦♥♥ ♥ rt♦r sr ♠♥èr ♦♥t r ♦rs strç ç ♠t Pr ♦t♦♥ ♥ ♠té♠t♥ ♠ ♣rr ♠té♠tqs ♦♥ s ♦♥ ♥♦♥♥ ♦s♦♥ sr ♥trss tr♦♣ ♣têtr♦♥ ♥ ♣s éstr à ♣♦sr s qst♦♥s ♥ ♦rs ♥ t s r♠♥t ♦♥ st tr♦♣ t♠ ♦♥ ♣t ♣ssr♦r ♥s♥♥t à ♥ ♦rs ♦ t♥tr tr♦r ♥s s♦♥ r ♦rs s rs ♦rs ♥♦②r ♥ ♠ t

♣tr

♥ ♠té♠tq

♥ ♠té♠tqs ♣rès ♥ rs♦♥♥♠♥t ♦ ♥ ♦♥ s ♣♦s ♣rsq t♦♦rs ① qst♦♥s

t♦♥ ♥ tsé t♦ts s ②♣♦tèss ♣r♦è♠

♥ ♣♦rrt♦♥ ♣s ♠é♦rr rs♦♥♥♠♥t ♦ ♥ s♣♣r♠♥t ♥ s ②♣♦tèss ♣s ♠♦st♠♥t ♥ ♣♦rrt ♦♥ ♣s r♦r♠r rt♥s ②♣♦tèss ♠♥èr ♠♦♥s rstrt♣♦r ♦t♥r ♥ rs♦♥♥♠♥t ♣s é♥ér

rr s♦♥t q ①è♠ qst♦♥ t ♥ ré♣♦♥s ♣♦st ♠s q ♥ s♦t ♣s à ♦r très r♥s é♦♣♣♠♥ts ♠té♠tqs ♦♥t é♦é tt s♦♥ qst♦♥ q st t♦t à t♦♥♠♥t

①♠♣

s ♠étrs ♥ tr♥ rt♥ s ♦♣♥t ♥ ♥ s ♣♦♥t ♥tr r r♦♥srt

st r ♠s ②♣♦tès q tr♥ st rt♥ st ♥t ♣sq s ♠étrs t♦t tr♥s ♦♣♥t ♥tr r r♦♥srt tt ②♣♦tès s♣r ♣t ♠ê♠ ♥♦s ♥r ♥ rrr ♣r ①♠♣ ♦♥ ♣♦rrt rr ♦♥t♠♣s à tsr P②t♦r

♦rsq ♦♥ rés♦ ♥ ①r t q ♦♥ é♦r à ♥ q ♥ s ②♣♦tèss ♥ sr à r♥ ② ① s r

♦♥ sst tr♦♠♣é ②♣♦tès ♥tsé étt ♥éssr t ♦ rs♦♥♥♠♥t st ① st s ♣s ♣r♦

♦♥♣tr ①r sst tr♦♠♣é ♦ ♦rs ré à ♥♦s ♥r ♦rrr rr

s ♦ts ♠té♠tqs

s ♦ts ♠té♠tqs s♦♥t strts ♦♥ ♥ ♣t ♣s s t♦r Pr♦s ♦♥ ♣t s r♣rés♥tr ♣r ♥ss♥ ♣r ①♠♣ ♥ é♦♠étr ♠s t t♦♦rs r tt♥t♦♥ r s ss♥s ♣♥t êtr tr♦♠♣rs ♣r ①♠♣ s ♦♥ ss♥ ♥ tr♥ s♥s r tt♥t♦♥ ♦♥ t♦ts s ♥s t♦♠r sr ♥ tr♥♣rtr ♥ tr♥ rt♥ ♦ s♦è ♣rès ♦♥ s ss♥ ♦♥ rsq tsr ♥ ♣r♦♣rété tr♥ ss♥é q ♥st ♣s ♥ ②♣♦tès ♣r♦è♠ s ♥♦tr tr♥ s♠ rt♥ sr ss♥♦♥ ♣♦rrt t♥tr é♠♦♥trr q ① ♠étrs s ♦♣♥t ♥tr ♥ ôté q ♥st r q♣♦r s tr♥s rt♥s ét♥t t s ss♥s s♦♥t s♦♥t ♥ ♣rés ♣♦r s rr s ♦ts ♠té♠tqs

②♣s ♦ts ♠té♠tqs ♦♥ ♣r♥ ♠♦t ♦t ♥ ♥ s♥s ss♠♠♥t r ② ♦♣♦ts ♠té♠tqs r♠♥t ♦♣ P♦r s② rtr♦r ♦♥ s ss ♥ ér♥ts t②♣s sttrès ♠♣♦rt♥t ♦rsq ♦♥ r à ♥ é♥♦♥é ♠té♠tq s♦r t②♣r ♥ s ♦ts ♦♥t st qst♦♥ ♥ ♣rtr ♦rsq ♦♥ ♦♠♣r ① ♦ts s s♦♥t t♦♦rs ♠ê♠ t②♣ r q

♦♥t♦♥ x2 sr R st é à ♥s♠ s rés ♣♦sts ♥ ♣s s♥s t r q ♦♥t♦♥ x2 stà r ♥s s rés ♣♦sts❱♦ s t②♣s ♦ts s ♣s ♦r♥ts q ♦♥ tr♦r ♥s ♦rs

♦♠rs st s t②♣ s♠♣ st à r q ♥ é♣♥ ♥ tr t②♣ ② ♣srs t②♣s ♥♦♠rs ♠s ♦♥ ♣t t♦♦rs ♦♠♣rr ① ♥♦♠rs s ♥trs ♥trs s ♥trs

rts q s♦♥t s ♥trs ①qs ♦♥ ♦t rs ♦♣♣♦sés s rt♦♥♥s q s①♣r♠♥t♣r s rt♦♥s ♥tr ♥trs rts s rés s ♦♠♣①s

♥s♠s ♥ sr à ♥♦ qst♦♥ ♥s ♣tr s♥t st ♥ t②♣ ♦♠♣① ♥♥s♠ st t♦♦rs ♥ ♥s♠ qq ♦s ♣r ①♠♣ ♥ ♥s♠ ♥♦♠rs ♦ ♥♥s♠ ♦♥t♦♥s ♦r ♠ê♠ ♥ ♥s♠ ♥s♠s♥ ♦♥♥t éà ♣srs ♥s♠s ♥s♠ s ♥trs ♥trs st ♥♦té N s rts ♥♦té Z srt♦♥♥s ♥♦té Q s rés ♥♦té R s ♦♠♣①s ♥♦té C s ♥s♠s s♦♥t t♦♦rs s ♥s♠s qq♦s ♥s♠ ♥♦♠rs ♥s♠ ♦♥t♦♥s ♥s♠ ♥s♠s t

♦♥t♦♥s ♦ ♣♣t♦♥s ♥s ♦rs s ① tr♠s ♦♥t♦♥ t ♣♣t♦♥ s♦♥t s②♥♦♥②♠s❯♥ tr t②♣ ♦♠♣① ♥ ♦♥t♦♥ st t♦♦rs é♥ sr ♥ ♥s♠ ♣♣é ♥s♠ é♣rt

♦ ♦♠♥ é♥t♦♥ t à rs ♥s ♥ ♥s♠ ♣♣é ♥s♠ rré ♥ ♥♦t f : X → Y q s t ♦♥t♦♥ f é♥ sr ♥s♠ X à rs ♥s ♥s♠ Y ♥ tss q f st X ♥s Y s ①♠♣s ♦♥t♦♥s s♦♥t ♦♥t♦♥ t♦r sr s ♥trs ♥trs à rs ♥s s ♥trs♥trs ♦♥t♦♥ x2 sr s rés ♦♥t♦♥ ♦s♥s sr s rés ♦♥t♦♥ ①♣♦♥♥t sr s♦♠♣①s t

♣s ♦ ♣ts s t♣s s♦♥t s sts ♥s ♦ts ♥♦r ♥ ♦s st ♥ t②♣ ♦♠♣①♣r♠étré ♣r t②♣ s ♦ts ♦♥t♥s ♥ t♣ ♥trs ♥ t♣ ♦♥t♦♥s Pr ①♠♣ strs R3 s♦♥t s tr♣ts réss ♦♣s s♦♥t s ♣ts s tr♣ts s♦♥t s ♣ts

ts s♦♥t ♥♦r s s ♦♥t♦♥s ♥ st st ♥ ♦♥t♦♥ sr s ♥trs ♣r ①♠♣ ♥ st(xn) rés st ♥ ♦♥t♦♥ N ♥s R q q ♥tr n ss♦ ♥ ré xn

t♦♥s ♦♥ s rtr♦r é♠♥t ♣tr s♥t s rt♦♥s ♥ s♦♥t ♣s à ♣r♦♣r♠♥t ♣rrs ♦ts ♠té♠tqs ♠s ♣tôt s rqs s ♣♦r ♦♥strr s é♥♦♥és ♠té♠tqss s♦♥t ♣♦rt♥t t②♣és t st rs♦♥ ♣♦r q ♦♥ s ♠♥t♦♥♥ ♣♣rt s rt♦♥s ♥térss♥ts ♥ ♦♠♠♥ç♥t ♣r ♣s ♥térss♥t t♦ts étés♦♥t ♥rs st à r qs ♣♦rt♥t sr ① ♦ts Pr ①♠♣ rt♦♥ ♦rr ≤ ♥tr s♥♦♠rs st ♥r ♣sq ♣r♠t ♦♠♣rr ① ♥♦♠rs ♦t♦s ①st ss s rt♦♥str♥rs ♦ ♣s Pr ①♠♣ éqt♦♥ x2 + y2 + z2 = 1 q é♥t s♣èr ♥té ♥s R3 st ♥rt♦♥ tr♥r ♥tr s ♦♦r♦♥♥és x y t z s ♣♦♥ts R3♦♠♠ s ♦♥t♦♥s s rt♦♥s s♦♥t ♣s s♦♥t sr ♥ ♥s♠ ♣r ①♠♣ rt♦♥ ≤ srs ♥trs ♦ sr s rés rt♦♥ ⊂ sr ♥s♠ s ♣rts N ♣♣rt s rt♦♥s ♥ ♠té♠tqs s♦♥t ♦♠♦è♥s st à r q s ① ♦ts ♦♠♣rés♣r rt♦♥ s♦♥t ♠ê♠ t②♣ ♣r ①♠♣ ♦♥ ért s étés ♥tr ♥♦♠rs ♥tr trs♥tr ♥s♠s ♥tr ♦♥t♦♥s ♠s ç ♥ ♣s s♥s érr ♥ été ♥tr ♥ ♦♥t♦♥ t ♥♥♦♠r ①st t♦t♦s s rt♦♥s étér♦è♥s ♣s ♦♥♥ ét♥t rt♦♥ ♣♣rt♥♥ ∈q ①♣r♠ q♥ ♦t ♣♣rt♥t à ♥ ♥s♠

rr s ♥♦tt♦♥s s ♠té♠tqs ts♥t ♥ s②♠♦q r ♠s ♥ ss ♦♥ st♠♥é à tsr s ♠ê♠s s②♠♦s ♣♦r ♥♦♠♠r s ♦ts ér♥ts Pr ①♠♣ ♦♥ ♥♦t t♦♦rs 0éé♠♥t ♥tr t♦♥ q sss t♦♥ ♥trs rts ♦♠♣①s trs

tr♠ srr st ♠♣r♥té à ♥♦r♠tq t ♣s ♣rtèr♠♥t à ♣r♦r♠♠t♦♥ ♦t ♦ù srrés♥ t ♦♥♥r ♠ê♠ ♥♦♠ à ♣srs ♦♥t♦♥s ♦rsqs ♦♥t s t②♣s ss♠♠♥t ér♥ts ♣♦r étr t♦t♠üté

♠trs ♦♣értrs sr ♥ s♣ ♥ ♠ê♠ ♦♥ ♥♦t ♣rsq t♦♦rs éé♠♥t ♥tr ♠t♣t♦♥♦t♦s ç ♥st ♣s ♣r q ① ♦ts ♣♦rt♥t ♠ê♠ ♥♦♠ qs s♦♥t é① tr 0 R3 stst♥t ♥tr 0 s♦♥t ① ♦ts q ♥♦♥t ♣s ♠ê♠ t②♣ s trs R3 s♦♥t s tr♣ts rés s ♥trs s♦♥t s ♥♦♠rs ♥s ♣rr ♦♥t♦♥ 0 sr s rés q à q x ss♦ r0 t q ♥st é♠♠♥t ♥ ♥ ♥♦♠r ♥ ♥ tr♣t♥ é♥ér ♦♥t①t tst♦♥ ♥ s②♠♦ st à étr♠♥r t②♣ s②♠♦ Pr ①♠♣ s ♦♥st q x st ♥ tr R3 ♦rs ♥s ①♣rss♦♥ x+0 s②♠♦ + és♥ t♦♥ trs t♥♦♥ t♦♥ ♥♦♠rs t s②♠♦ 0 és♥ tr ♥ R3 st à r tr♣t (0, 0, 0) Pr♦♥tr s f st ♥ ♦♥t♦♥ R ♥s R ♦rsq ♦♥ ért f 6= 0 s②♠♦ 0 r♣rés♥t ♦♥t♦♥ ♥

①♠♣

♦♥sér♦♥s é♥♦♥é s x t y s♦♥t s trs R3 ♦rs x.y = 0 ss x = 0 ♦ y = 0 ♦ x.y st ♣r♦t sr x t y Pr é♥t♦♥ x t y s♦♥t s tr♣ts rés ♥ ♥♦s t q x.y st ♣r♦t sr x t y t s s♦♥r q ♣r♦t sr st à rs ♥s R ♦♥ x.y st♥ ♥♦♠r ré Pr ♦♥séq♥t s②♠♦ 0 ♥s été x.y = 0 r♣rés♥t ♥♦♠r 0 Pr ♦♥tr ♠ê♠ s②♠♦ 0 ♥s s ①♣rss♦♥s x = 0 t y = 0 r♣rés♥t tt ♦s tr ♥ ç ♥ ♣t êtr ♥♦♠r 0 r ç ♥ ♣s s♥s ♦♠♣rr ♥ tr ♥ ♥♦♠r

①r ♦♥♥r s t②♣s t♦s s s②♠♦s t ①♣rss♦♥s tsés ♥s s é♥♦♥és s♥ts ♦♥t a t b ① rés s f : [a, b] → R st ♦♥t♥ t s f(a) < 0 t f(b) > 0 ♦rs ①st x0 ∈ [a, b]t q f(x0) = 0

s♦♥t f : R → R s♣♣♦s♦♥s q f st ♣rt♦t ér q f ′(x) = 0 ♣♦r t♦t x t q ①st x0 tq f(x0) = 0 ♦rs f = 0

X st ♥ ♥s♠ ♥trs ♥trs ♦rs X ♠t ♥ ♣s ♣tt éé♠♥t x0 ♦t f : N → N ♥ ♦♥t♦♥ sr s ♥trs ①st ♥ ♥tr n0 t q f(n0) st ♠♥♠♠ st à rt q ♣♦r t♦t n ♦♥ f(n0) ≤ f(n)

∀ǫ > 0, ∃α > 0, ∀x s |x− x0| < α ♦rs |f(x)− f(x0)| < ǫ

①r ♦♥♥r t②♣ q r t ①♣rss♦♥ ♥s é♥♦♥é s♥t

♦t T ♥ t♦♣♦♦ sr ♥ ♥s♠ X ❯♥ ♦♥t♦♥ f : X → X st t ♦♥t♥ ♥ x s ♣♦rt♦t V ∈ T t q f(x) ∈ V ♦♥ f−1(V ) ∈ T

❱♦s ♥③ ♣s s♦♥ s♦r ♣résé♠♥t qst ♥ t♦♣♦♦ ③ s♠♥t q f−1(V ) st é♥♦♠♠ ♥s♠ s x ts q f(x) ∈ V

①r ♦♥♥r t②♣ q r ♥s é♥♦♥é s♥t

♦t x ♥ ♦♥t♦♥ sr h ér ♥ f ①st ♥ ♦♥t♦♥ π sr R q t♥ rs ♥ tt q x(f +R) = x(f) +R.x′(f) +R.π(R) ♣♦r t♦t R t q f +R ∈ h

♦tt♦♥s ss

sqà r♥ss♥ s ♠té♠tqs ♥ts♥t ♥ s②♠♦q s♣é t sér♥t ♥ ♥s♥t r r t♥ ♥ ♥ st ♣s ♥♦♠r ♦r st ♣s r♥ s♦t♦♥ éqt♦♥x2 − x− 1 = 0 ♠s ♥♦♠r ♦r st ♣s r♥ ♦♥t rré st é à ♠ê♠ ♣s ♥ ♥♦tt♦♥ ♠té♠tq ♠♦r♥ ♦♠♠♥é à ♣♣rîtr rs è♠ sè ♦ù ❱èt ♥♥t tst♦♥ ttrs ♣♦r és♥r s ♥♦♥♥s ♦ s ♣r♠ètrs ♥ éqt♦♥ sst à ♣ ♣rès ①é♥s s ♦r♠ t è♠ sè ♦ù ♥t③ t t♦♥ ♥♦t♠♠♥t ♥tr♦s♥t ♥ ♦♥♥ ♣rt s②♠♦q ♠♦r♥ st s♦♥t très t ♣♦r ①♣r♠r ♣résé♠♥t s ♣r♦♣rétés ♠té♠tqs ts s ttrs s ♣ts t♥ t r t ♠ê♠ ér① t ss ♥ rt♥ ♥♦♠r s②♠♦séés à ♦♠♠♥r ♣r s éèrs ∀ ♣♦r t♦t t ∃ ①st

❱rs

❯♥ r st ♥ ♥♦♠ ♥ é♥ér ♥ ♥q ttr q ♦♥ ♦♥♥ à ♥ ♦t ❯♥ r ♦t t♦♦rsêtr ♥tr♦t ♥t êtr tsé t r q ♦t ♦♥ ♥♦♠♠ t q ♥♦♠ ♦♥ ♦♥♥ ❯♥ r é♠♥t ♥ ♣♦rté ♦ ré st ♣♦rt♦♥ t①t ♦ù st é♥ rr ♥ ♣rtq q ♦♥ ♥①♣t ♣s ♥tr♦t♦♥ s rs r st ♦r érr s♥s ss ♦t x ♦t♦s ♣♦r q s②♠♦ ♠té♠tq ♣♣rss♥t ♥s ♥ t①t ♦♥ ♦t ♣♦♦rré♣♦♥r à qst♦♥ q r♣rés♥t s②♠♦ ♦♥ ♥ ♣t ♣s st q st ♥ r q ♥♣s été ♠♣t♠♥t ♦ ①♣t♠♥t ♥tr♦t st à r ♥ r ♦♥t ♦♥ ♥ st ♣s qr♣rés♥t

①♠♣

♥s ♣rs s♦t n ♥ ♥tr s n st ♣r ♦rs ①st ♥ ♥tr k t q n = 2k rn q st ♥tr♦t ét ♣♦rt sr t♦t ♣rs ♦rs q r k ♣♦rt ♥q♠♥t sr ♣rt ♣rs q ♥t ♣rès ♦rs

①♠♣

♦♥sér♦♥s ♣rs s a t b s♦♥t ts q p = ab ♦rs a = 1 ♦ b = 1 q é♥t t q p st♣r♠r ♥ s tr♦s rs a b t p ♥st ①♣t♠♥t ♥tr♦t ♠s ♦♥ ♦t ♥ q srs a t b s♦♥t ♥tr♦ts ♠♣t♠♥t r ♣rs ♣t ♠♥t s ♦♠♣étr ♥ s a t bs♦♥t ① ♥trs ts q p = ab ♦rs r p ♣r ♦♥tr ♠ê♠ s ♦♥ ♦t q r♣rés♥t♥ ♥tr ♥st ♣s ♥tr♦t ♣r ♣rs t ♦t ♦r été é♥ ♥t ♥s t①t qst♦♥ ♣♦rté s rs a t b st ♥ ♣ st ♣♣r♠♠♥t s s♦♥t ♥tr♦ts ♥s ♣rt s ♣rs ♠s ♦♥ s ♠♥t♦♥♥ é♠♥t ♥s ♣rt ♦rs ss t r♦r♠r ♣rs s♥s ♥ ♥r s♥s ♣♦r ♥ trr r q s ♣ss ♦♥t a t b ① ♥trs sp = ab ♦rs a = 1 ♦ b = 1

Pr♦s ♦♥ ♥tr♦t s rs ♣rès r s ♠♦②♥ s ♦t♦♥s ♦ù ♦ ♣♦r Pr ①♠♣ é♥t♦♥ ♥tr ♣r ♣♦rrt sérr n st ♥ ♥tr ♣r s n = 2k ♣♦r ♥ ♥tr k

①r ♥s s é♥♦♥és s♥t ♦♥♥r sttt q r ♥tr♦t ♥s é♥♦♥é ♦♣s t ♦♥♥r ♣♦rté q r ♥tr♦t

n st ♥ ♥tr t q n = 2k ♣♦r ♥ ♥tr k ♦rs n st ♣r

①st ① ♥trs q t r ts q a = bq + r t 0 ≤ r < b

P a t b st ♥tr d t q d s a t b t d′ ≤ d ♣♦r t♦t ♥tr d′ q s a t b

x st ♥ ré ♣♦st ♥♦♥ ♥ ♦rs x = nx′ ♦ù n st ♥ ♥tr t x′ ♥ ré ♣♦st t q x′ < 1

♦♥t I ♥ ♥tr R x0 ∈ I t f ♥ ♦♥t♦♥ I ♥s R ♦♥ t q f st ♦♥t♥ ♥ x0 s♣♦r t♦t ǫ > 0 ①st α > 0 t q ♣♦r t♦t x ∈ I s |x− x0| < α ♦rs |f(x)− f(x0)| < ǫ

rr q ♣♦rté ♥ r é♣ss ♣rs ♦ù st ♥tr♦t ♣r ①♠♣ ♦rsq ♣rsst ♦t f ♥ ♦♥t♦♥ ré st r q ♣♦rté r f ♥ s ♠t ♣s à ♣rs♣sq ♥ t r♥ f ♣r ét ♣♦rté r st ♦rs ♣rr♣ ♦r♥t ♦t♦s t①t ♣t ①♣tr ♥ tr ♣♦rté ♠♦②♥ ①♣rss♦♥ ♥r ♥s tt st♦♥ ♦♥ ♣♣rx ♦ P♦r s s♦♥s é♠♦♥strt♦♥ ♦♥ ♥♦tr G r♦♣ Pr ①♠♣ ♦♥ ♣t r ♥s ♦rs ♦♥ ♥♦tr N ♥s♠ s ♥trs ♥trs ♦♥ ♥tr♦t ♥♦♠ N t ♦♥ ♥ ♥q ①♣t♠♥t ♣♦rté t♦t ♦rs ♥ rè é♥ér ♥ s②♠♦ ♥tr♦t ♥s♥ é♥t♦♥ ♣♦r ♣♦rté t♦t rst ♦rs

♥ttrs ♥ ♠té♠tq ♣ré♦t ♥♦♠rss ♠♥èrs ♥tr♦r s rs♥♦t♠♠♥t ♣r tst♦♥ s q♥ttrs ∀ t ∃ q♥ttr ∀ ♥tr♦t ♥♦♠ ♥ ♦t q♦♥q ♦ é♥érq ♦ rtrr st à r ♥ ♦tsr q ♦♥ ♥ t ♥ ②♣♦tès srt ♦♥ à ①♣r♠r ♥ ♣r♦♣rété q sr ♣♦r t♦t♦t q♥ttr ∀ ♥♦♠r① trs ♣s ♦r♥t ét♥t s r êtr s♦♥t s♦t ♦ s♦♥t ♣♦r ♥tr♦r ♣srs ♥♦♠s q s♦♥t s rét♦♥s ♣♦r q q s♦t ♦ qs q s♦♥t

①♠♣

♦t n ♥ ♥tr ♥tr s n st ♣r ♦rs n+1 st ♠♣r ♥s tt ♣rs ♦♥ ♦♠♠♥ ♣r ♥tr♦r ♥ ♦t ♦♥t ♦♥ t q st ♥ ♥tr ♥tr q ♦♥ ♣♣r n ♣rt t②♣ ♦t♦♥ ♥ t ♥ ②♣♦tès sr t ♦t rst ♣rs ①♣r♠ ♥ ♣r♦♣rété ♦t ♣♣én ♠ê♠ é♥♦♥é ♣♦rrt sérr ♣s s②♠♦q♠♥t ∀n ∈ N, s n ♣r ♦rs n+ 1 ♠♣r

q♥ttr ∃ srt à ♥tr♦r ♥♦♠ ♥ ♦t ♦♥t ♦♥ r♠ ①st♥ Pr ①♠♣ ①st♥ ♥tr n t q n st é à s♦♠♠ ss srs q ♦♥ ♣t érr ss ∃n ∈ N, n =

∑

d|n

d 6=n

d

♦♠♠s t ♣r♦ts

s♥∑

♣r♠t ①♣r♠r ♥ s♦♠♠ ♥ ♥♦♠r étr♠♥é tr♠s t♦s ♠ê♠ ♦r♠ qtr♠ é♣♥ ♥ ♣r♠ètr ♣♣é ♥ s♦♠♠t♦♥ ♣♦r q ♦♥ ①♣t ♥s♠ s rs♣♦sss ♦r♠ ♣s é♥ér st ♦♥

∑

i∈I

xi

♦ù I st ♥ ♥s♠ t s xi s♦♥t s ♥♦♠rs ♦♥ t q s♦♠♠ st ♥①é ♣r I

♠rq

♥ s♦♠♠t♦♥ st ♥ r ♥tr♦t ♣r s♥ s♦♠♠ ♣♦rté tt r st♠té à ①♣rss♦♥ s♦s s♥ s♦♠♠

♦♠♠ ♥s s ♣rtr ♦ù I st ♦♥ ♣r ♥ s♦♠♠ Pr ♦♥♥t♦♥ s♦♠♠ st é à 0 éé♠♥t ♥tr t♦♥rès s♦♥t I st ♥s♠ s ♥trs ♦♠♣rs ♥tr 1 t n ♣♦r ♥ r n ①é ♥s s ♦♥ ért

∑

1≤i≤n

xi =n∑

i=1

xi

♥s s ♣rtr ♦ù ♦♥ ♦s ♥ r n ♣s ♣tt q 1 ♣r ①♠♣ s n = 0 ♦♥ rà ♥ s♦♠♠ ♦♥t r st ♦♥ 0

①♠♣

s♦♠♠ 1 + 2 + · · · + n sérr∑n

k=1 k s♥ s♦♠♠ ♥tr♦t ♥ r r k♥♦♠♠é ♥ s♦♠♠t♦♥ t ♥q t♦ts s rs ♣rss ♣r tt r t♦ts s rs♦♠♣rss ♥tr 1 t n

①♠♣∑n

i=0 2i ♥tr♦t ♥ s♦♠♠t♦♥ i q ♣r♥ t♦ts s rs ♥tèrs ♦♠♣rss ♥tr 0 ♥s

t n ♥s ♥ é♦♣♣♥t ♦♥ ♦t♥t ♦♥

n∑

i=0

2i = 20 + 21 + . . . 2n

r s♦♠♠ ♥ é♣♥ ♣s ♥♦♠ q ♦♥ ♦s ♣♦r ♥ s♦♠♠t♦♥ tr♠♥t t∑n

k=02k =

∑n

i=02i =

∑n

α=02α

Pr♦t ♥ ♣t ♠ê♠ ①♣r♠r ♥ ♣r♦t ♥ ♥♦♠r étr♠♥é trs ♠♦②♥ s②♠♦∏

①r ♥s ♥ s ①♣rss♦♥s s♥ts r q st ♥ s♦♠♠t♦♥ t réérr ♠ê♠ ①♣rss♦♥ ♥ ♥♥t ♥♦♠ ♥ s♦♠♠t♦♥

∑k

i=1ik

∏

1≤k≤n k

①r q♦ st é s♦♠♠∑p

n=11

♥♠♥t r ❯♥ ♦♣ért♦♥ très ♦r♥t sr s s♦♠♠s ♥①és st ♥♠♥t r Pr ①♠♣ ♦♥ ts ♣♦r ré♥♠ér♦tr

∑n+1

i=1xi =

∑n

j=0xj+1

①r ♥ ♥♦t Sn =∑n

k=1k ♦♥trr ♣r ♥♠♥t r k ♥ n + 1 − k q

Sn = n(n+ 1)− Sn

♦♠♠ ♠t♥①é P♦r r s s♦♠♠s s♦♠♠s ♦♥ st ♠♥é à ♠♥♣r s s♦♠♠s ♣srs ♥s s♦♠♠t♦♥

①♠♣

∑

0≤i≤n

0≤j≤p

2i+j =n∑

i=0

p∑

j=0

2i+j

=n∑

i=0

2ip∑

j=0

2j

=n∑

i=0

2i(2p+1 − 1)

= (2p+1 − 1)n∑

i=1

2i

= (2p+1 − 1)(2n+1 − 1)

①r ♦♥t f(x) =∑n

i=0aix

i t g(x) =∑p

j=0bjx

j ① ♦♥t♦♥s ♣♦②♥♦♠s rf(x)g(x)

s é♥♦♥és ♠té♠tqs

s é♥♦♥és ♣r♥t ♦ts ♠té♠tqs s ♥trs s rés s ♦♥t♦♥s s trs t ①♣r♠♥ts ♣r♦♣rétés s ♦ts Pr ①♠♣ p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r st ♥ é♥♦♥é ①♣r♠♥t ♥ ♣r♦♣rété ♦t ♥♦♠♠é p

①r rr ♥ r♥çs s é♥♦♥és

∃k ∈ N, n = 2k

∀n, p ∈ N, s ∃k, l ∈ N t q n = 2k t p = 2l ♦rs ∃m ∈ N t q n+ p = 2m

∀a, b, c ∈ C, ∃z ∈ C t q az2 + bz + c = 0

①r rr ç♦♥ ♦♠♣èt♠♥t ♦r♠ s é♥♦♥és s♥ts

rré s♦♠♠ ① ♥♦♠rs st é à s♦♠♠ s rrés s ① ♥♦♠rs ♠♥té ♦ r ♣r♦t

s♥s s♦♠♠ ① ♥s st s♦♠♠ s ♣r♦ts s♥s ♥ ♣r ♦s♥s tr

♥ ♦♥t♦♥ ér sr ♥ ♥tr ♣r♥ ♠ê♠ r ♥ ① ♣♦♥ts st♥ts t♥tr ♦rs s éré s♥♥ ♥tr s ① ♣♦♥ts

♥ t q♥ st rés t♥ rs ♥ ♣♦♥t s ♣♦r t♦t ♥tr ♦rt ♦♥t♥♥t ♣♦♥t ♣r♥ t♦ts ss rs ♥s t ♥tr à ♣rtr ♥ rt♥ r♥

t♦t st ré à rs ♥s ♥ ♥tr r♠é ♦♥ ♣t ①trr ♥ s♦sst ♦♥r♥t

①r ♥ é♥t rt♦♥ ≤ sr N2 ♥ ♣♦s♥t q (x, y) ≤ (x′, y′) s x = x′ t y ≤ y′ r s s♣r♦♣rétés s♥ts s♦♥t rs

∀x, y ∈ N (x, y) ≤ (x, y)

∀x, y, x′, y′ ∈ N s (x, y) ≤ (x′, y′) t (x′, y′) ≤ (x, y) ♦rs x = x′ t y = y′

∀x, y, x′, y′, x′′, y′′ ∈ N s (x, y) ≤ (x′, y′) t (x′, y′) ≤ (x′′, y′′) ♦rs (x, y) ≤ (x′′, y′′)

∀x, y, x′, y′ s♦t (x, y) ≤ (x′, y′) s♦t (x′, y′) ≤ (x, y)

é♥t♦♥s

s é♥t♦♥s s♦♥t s é♥♦♥és ♥ ♣ ♣rtrs ♣sqs ♥ s♦♥t ♥ r ♥ ① ♠s sr♥t à ♥tr♦r ♥♦s ♥♦t♦♥s t ♥♦tt♦♥s s ♥♦t♦♥s t ♥♦tt♦♥s sr♦♥t ♥st tsés ♥s s té♦rè♠s t sé♥t♦♥s q s♥t♦♠♠ s ♦ts ♠té♠tqs s♦♥t strts ♦♥ ♥ ♣t ♣s s é♥r ♥ s ♠♦♥tr♥t P♦r é♥r ♥♦t ♠té♠tq ♦♥ ss♥t♠♥t ♠ét♦s t♦t ♦r ♦♥ ♣t s r à ♥tt♦♥ ♣r ①♠♣ ♦♥ ♥ ♣s é♥r s ♥♦♠rs ♥trs ♥ s

♥s♠s ♥s ♦rs ♦♥ s r à é q♦♥ ♥ ♦t♦s tt ♠ét♦ tt♥t r♣♠♥t ss♠ts ♥ ♣rt ♦♥ s t ♣r♦s s és sss ♦ ♦♥trt♦rs tr ♣rt q♥ s ♦ts♥♥♥t ♣s ♦♠♣qés t r ♦♥♥r ♥ é♥t♦♥ ♣rés s♥♦♥ ♦♥ ♥ ♣t ♣s trr

①è♠ ♠ét♦ q st ♠ss♠♥t tsé ♥ ♠té♠tq ♦♥sst ♦♥ à str s ♣r♦♣rétés

♦t q ♦♥ é♥t tr♠♥t t ♦♥ ért très ♣résé♠♥t ♦♠♠♥t ♦t ♣t êtr tséqs rt♦♥s ♥trt♥t s trs ♦ts éà é♥s t

①♠♣

♥ ♣♣ ♥♦♠r ♦♠♣♦sé ♥ ♥tr q ♣t sérr ♦♠♠ ♣r♦t ① ♥trs ér♥ts

♥♦t♦♥ ♥tr♦t st ♥♦♠r ♦♠♣♦sé q st r♠♥t ♥qé ♣r ♠s ♥ tq ♠♦t ♦♠♣♦sé ♥② ♣s ♥♦tt♦♥ ss♦é ♥ ♣t ♦r♠r ♠ê♠ é♥t♦♥ ç♦♥♣s s②♠♦q ❯♥ ♥♦♠r ♥tr n st t ♦♠♣♦sé s ①st ① ♥trs a t b ts q a 6= 1, b 6= 1 t n = ab

s ♥♦♠s q ♦♥ ♦♥♥ ① ♦ts ♥♦♥t ♥ ♠♣♦rt♥ q ♦♠♣t st ♥♦t♦♥ ♥tr♦t

①♠♣

❯♥ ♦r♠t♦♥ strt♠♥t éq♥t à ♣réé♥t t ♥♦r ♣s s②♠♦q st α ∈ N st♦♠♣♦sé ss ∃n, p ∈ N, n 6= 1, p 6= 1 t α = np

①r

❱ é♥t♦♥ ♥♦♠r ♦♠♣♦sé 0 st ♦♠♣♦sé t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6

♥♦♠r π st ♦♠♣♦sé t 3√8

♦t n ♥ ♥♦♠r ♥tr ♥♦♠r n! st ♦♠♣♦sé

❯♥ ♦s q♥ ♥♦t♦♥ st é♥ ♦♥ ♣t tsr ♥s trs é♥t♦♥s

①♠♣

❱♦ ♣r ①♠♣ é♥t♦♥ ♥♦♠r ♣r♠r ts♥t ♥♦t♦♥ ♥♦♠r ♦♠♣♦sé q ♥t êtr♥tr♦t ❯♥ ♥♦♠r ♥tr st ♣r♠r s st ér♥t t ♥st ♣s ♦♠♣♦sé

①r rr é♥t♦♥ ♥♦♠r ♣r♠r ♠♥èr ♦♠♣èt♠♥t s②♠♦q

①r 0 st ♣r♠r t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6

❯♥ é♥t♦♥ ♣t é♠♥t ♥tr♦r ♥ ♥♦tt♦♥ t ♠ê♠ ♣srs ♣♦r ♥♦t♦♥ ♥tr♦t q♣♦rr ♥st êtr tsr ♥s s ♦r♠t♦♥s s②♠♦qs

①♠♣

♦t a t b ① ♥trs ♥♦♥ ♥s ♥ ♣♣ ♣s r♥ ♦♠♠♥ sr a t b t ♦♥ ♥♦tpgcd(a, b) ♦ a∧ b ♣s r♥ ♥tr d t q d s a t d s b

tt é♥t♦♥ ♥tr♦t ① ♥♦tt♦♥s ♣♦r ♠ê♠ ♦s

é♦rè♠s

♠♦t té♦rè♠ és♥ ♥ é♥♦♥é ♠té♠tq ♦♥t ♦♥ st q st r r ♦♥ ♥ ♦♥♥t ♠♦♥s♥ é♠♦♥strt♦♥ ①st é♠♥t s é♥♦♥és ♠té♠tqs ♦♥t ♦♥ ♣♥s qs s♦♥t rs ♠s ♦♥t♦♥ ♥ ♦♥♥t ♣s é♠♦♥strt♦♥ s♦♥t s ♦♥trs ♥♥ ①st s é♥♦♥és ♠té♠tqs ♦♥t♦♥ ♣♥s qs s♦♥t rs ♠s q ♥♠♥t sèr♥t ① s♦♥t s rrrs t ♥ ♥ rt♥ s♥s s♦♥t s ♣s ♥térss♥ts ♠♦t té♦rè♠ ♣srs s②♥♦♥②♠s ♣r♦♣♦st♦♥ ♠♠ ♦r♦r ❯♥ ♣r♦♣♦st♦♥ st ♥ é♥♦♥é♣r♦é q ♥ ♠ért ♣s ttr ♥ ♣ ♣♦♠♣① té♦rè♠ s♦t ♣r q é♠♦♥strt♦♥ st tr♦♣ s♦t ♣r q ♣r♦♣♦st♦♥ ♥st ♣s très t ♥ ♣rtq ♣♦r é♠♦♥trr trs té♦rè♠s❯♥ ♠♠ st ♥ réstt ♥tr♠ér q srt ♥s é♠♦♥strt♦♥ ♥ té♦rè♠ ❯♥ ♦r♦r st ♥té♦rè♠ q s ét ♠♥t ♥ tr té♦rè♠

s ér♥ts t②♣s é♥♦♥és ♠té♠tqs

s é♥♦♥és ♠té♠tqs s ♦♥strs♥t ♥ ♦♠♥♥t s é♥♦♥és s♠♣s s ♣r♦♣rétés éé♠♥trs♦♠♠ s ♥étés ♠♦②♥ ♦♥strt♦♥s ♦qs ② ss♥t♠♥t tr♦s t②♣s ♦♥strt♦♥sq t s♦r r♦♥♥îtr

♠♣t♦♥ s♦♥t s é♥♦♥és ♦r♠ s ♦rs

①st♥ é♥♦♥és ♦r♠ ①st t q

q♥ é♥♦♥és ♦r♠ ss

P♦r ♦♠♣r♥r ♥ é♥♦♥é ♠té♠tq t t♦t ♦r ♥ ssr strtr ♦q ♣s é♦♠♣♦sré♥♦♥é ♥ s♦sé♥♦♥és ♣s s♠♣s s sss ♦♥ r♦♠♠♥ ♥ s s♦sé♥♦♥és t♥s st sqà rrr à s é♥♦♥és ♦♥t ♦♥ ♦♠♣r♥ t♦s s tr♠s

♠♣t♦♥s

s ♠♣t♦♥s ♦r♠♥t r♥ ♠♦rté s é♥♦♥és ♠té♠tqs rst ♦♥ rr q s ①st♥ss♦♥t s♦♥t s ♦r♠s ♣rtèrs ♠♣t♦♥s t s éq♥s s♦♥t s ♦♠♥s♦♥s ♠♣t♦♥s

①♠♣

p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r s♣érr ♦ é à ♦rs p st ♠♣r tt ♠♣t♦♥ ①♣r♠ ♥♣r♦♣rété r t♦s s ♥♦♠rs ♣r♠rs ♣s r♥ q tr♠♥t t ♦♥ ♣♦rrt érr tt♠♣t♦♥ P♦r t♦t ♥♦♠r ♥tr p s p st ♣r♠r t s♣érr à ♦rs p st ♠♣r ♥♣ ♣s s②♠♦q♠♥t ∀p ∈ N, s p st ♣r♠r t p ≥ 3 ♦rs p st ♠♣r x t y s♦♥t ① ♥♦♠rs rés ♦rs x2 + y2 st ♥ ♥♦♠r ré ♣♦st ♦ ♥ tt ♠♣t♦♥♣r t♦s s ♥♦♠rs rés ♥ tr ♠♥èr érr srt ♣♦r t♦s x y s x t y s♦♥t s♥♦♠rs rés ♦rs x2 + y2 ≥ 0 ♦ ♠ê♠ ♣♦r t♦s ♥♦♠rs rés x t y x2 + y2 ≥ 0

♦♠♠ ♦♥ ♦t ♥ ♠♣t♦♥ ①♣r♠ ♥ é♥ér ♥ ♣r♦♣rété t♦t ♥ ss ♦ts ♠♣t♠♥t♥ ♠♣t♦♥ ♦♠♠♥ ♣rsq t♦♦rs ♣r ♥ sér ♣♦r t♦t q s①♣r♠ ♣srs♠♥èrs trrs rt ♥é♥ ♥ s p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r s♥ q tt ♠♣t♦♥♦♠♠♥ ♠♣t♠♥t ♣r ♣♦r t♦t p ∈ N s p st ♣r♠r

trrs ♠♣♦ s ts q♦♥q ♦ rtrr s p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r r

trr trrs ♠♣♦ t t♦t ♦t ♥♦♠r ♣r♠r p st t q t

ér♥ts ♠♥èrs érr s ♠♣t♦♥s s ♠♣t♦♥s ♥ sér♥t ♣s t♦♦rs s♦s ♦r♠ s ♦rs ♠s t s♦r s r♦♥♥îtr ♠ré t♦t

①♠♣

s ① ♠♣t♦♥s ♣réé♥ts ♣♥t sérr t♦t ♥♦♠r ♣r♠r s♣érr à st ♠♣r t s♦♠♠ s rrés ① rés st ♣♦st ♦ ♥

st ♦♥♠♥t s♦r r♦♥♥îtr ♣rt s s ②♣♦tèss ♠♣t♦♥ ♣rt ♦rs ♦♥s♦♥ ♠♣t♦♥ Pr♥♦♥s ♣r ①♠♣ té♦rè♠ ③♦t

a t b s♦♥t ① ♥trs t d st ♣ a t b ♦rs ①st ① ♥trs u t v ts qua+ vb = d

♥s t é♥♦♥é s ②♣♦tèss s♦♥t a t b s♦♥t ① ♥trs d st ♣ a t b t ♦♥s♦♥ st ①st ① ♥trs u t v ts q ua + vb = d ♥ ♣t érr ♦♠♣èt♠♥ts②♠♦q♠♥t

∀a, b ∈ N, ∃u, v ∈ N, ua+ vb = pgcd(a, b)

♥ ♣t ss ♥ s r♣♣♥t ♦r èr ♥ér s érrssr ♦♠♣èt♠♥t s②♠♦q ét♥t ♦♥♥és ① ♥trs s ♦♥t ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér à ♦♥ts ♥trs é à r♣ ❱♦ ♣srs trs ♦r♠t♦♥s té♦rè♠ ♦♥t a t b ① ♥tr t d r ♣ ①st ① ♥trs u t v ts q ua+ vb = d t♥t ♦♥♥és ① ♥trs a t b t d r ♣ ①st ① ♥trs u t v ts q ua+ vb = d P♦r t♦s ♥trs a t b ①st s ♥trs u t v ts q ua+ vb = d ♦ù d st ♣ a t b ♦t d ♣ ① ♥trs q♦♥qs a t b ①st ① ♥trs u t v ts q ua+ vb = d d st ♣ s ♥trs a t b ♦rs ①st u t v ts q ua+ vb = d st q d s♦t ♣ a t b ♣♦r q ①st ① ♥trs a t b ts q ua+ vb = d ①st ① ♥trs u t v ts q ua+ vb = d ♣♦r t♦s ♥trs a t b ♦ù d st ♣ a t b ①st♥ ① ♥trs u t v ts q ua + vb = d st ♥éssr ♣♦r q d s♦t ♣ ①♥trs a t b

s ① r♥èrs ♦r♠t♦♥s s♦♥t ♦rrts ♠s très ♠r♦ts ♣sqs s♠♥t ♥rsr s ②♣♦tèss t ♦♥s♦♥ ♦t♦♥s ♣ss q B st ♥éssr ♣♦r A st ♥ ♠♥èr ♦rrt r s A ♦rs B

♠rq

♥st ♣s ♥éssr ♦♠♣r♥r s tr♠s ♥ ♠♣t♦♥ ♣♦r r♦♥♥îtr qs s♦♥t ss②♣♦tèss t q st s ♦♥s♦♥

♦t A ♥ èr ♥ t Ω ♥ ♦rt C ♣♣♦s♦♥s q x ∈ AΩ t f ∈ H(Ω) ♦rsσ(f(x)) = f(σ(x))

té♦rè♠ ♣♣é té♦rè♠ ♣♣t♦♥ s♣tr t q st ♥ s ♦♥♠♥ts té♦r s♣tr st ♥♦♠♣ré♥s ♣♦r q ♥ st ♣s qst ♥ èr ♥ q é♥♦t AΩ ts s strtr s ♦rs st r ♦♥ ♣t érr té♦rè♠ ♣s s②♠♦q♠♥t

∀A èr ♥, ∀Ω ♦rt C, ∀x ∈ AΩ, ∀f ∈ H(Ω), σ(f(x)) = f(σ(x))

s ②♣♦tèss té♦rè♠ s♦♥t ♦♥ A st ♥ èr ♥ Ω st ♥ ♦rt C x st ♥ éé♠♥t Ω f st ♥ éé♠♥t H(Ω)t ♦♥s♦♥ st été σ(f(x)) = f(σ(x))

P♦r ①♣tr s ②♣♦tèss t ♦♥s♦♥ ♥ té♦rè♠ st s♦♥t ♥éssr ♥tr♦r s♥♦tt♦♥s

①♠♣

s ♠étrs ♥ tr♥ s ♦♣♥t ♥ ♥ s ♣♦♥t ♥tr r r♦♥srt té♦rè♠①♣r♠ ♥ ♣r♦♣rété t♦s s tr♥s P♦r ♥ ♥ ér s ②♣♦tèss t ♦♥s♦♥ ♦♥ réérr ♥ ♦♥♥♥t s ♥♦♠s ① ♦ts s♦♥t A B C tr♦s ♣♦♥ts ♣♥ a ♠étr s♠♥t [BC] b ♠étr s♠♥t [AC] t c s♠♥t [AB] ♦rs s tr♦s r♦ts a bt c s ♦♣♥t ♥ ♥ s ♣♦♥t O ♣s ♣♦♥t O st ♥tr r r♦♥srt r ♣ss♥t♣s s tr♦s s♦♠♠ts tr♥ ABC

①r s s♦♥t s ②♣♦tèss t ♦♥s♦♥ s é♥♦♥és s♥t

♦t p ♥ ♥♦♠r ♣r♠r a ♥st ♣s s ♣r p ♦rs ap−1 ≡ 1(p)

♥s ♥ tr♥ rt♥ s♦♠♠ s rrés s ôtés ♥ts à ♥ r♦t st é rré ②♣♦té♥s

♦t ♣♦②♥ô♠ s♦♥ ré ① r♥s ♦♠♣①s

♦rr ♥ s♦sr♦♣ s ♦rr r♦♣

♠♣t♦♥ ss ❯♥ ♠♣t♦♥ st r s q ♦s q s ②♣♦tèss s♦♥t érés ♦♥s♦♥st ss ♦s s ①♠♣s ♠♣t♦♥s sss s♦♥t rs ❯♥ ♠♣t♦♥ st rété ès q ♦♥tr♦ ♥ ①♠♣ ♦ù t♦ts s ②♣♦tèss s♦♥t rs ♠s ♦♥s♦♥ st ss

①♠♣

♣r♥♦♥s ♣r♠r ①♠♣ ♠s ♥ ♦♥t ♥ s ②♣♦tèss s p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r ♦rsp st ♠♣r tt ♠♣t♦♥ st ss r s ♦♥ ♣r♥ p = 2 ♦rs p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r ♠s p♥st ♣s ♠♣r

♠ê♠ s ♦♥ tr♥s♦r♠ ♥ ♣tt ♣ s♦♥ ♠♣t♦♥ ♥ s x t y s♦♥t s ♥♦♠rs ♦♠♣①s

t ♥♦♥ ♣s rés ♦rs x2 + y2 ≥ 0 ♦♥ ♦t♥t ♥ é♥♦♥é ① ♥ t s ♦♥ ♣r♥ x = 0 t y = i♦rs x2 + y2 = 02 + i2 = 0− 1 = −1 ♥st ♣s ♣♦st

♠♣t♦♥ ré♣r♦q t ♦♥tr♣♦sé t r tt♥t♦♥ à ♥ ♣s ♦♥♦♥r s ① ♦♥tr♣♦sé ♥ ♠♣t♦♥ st ♥ tr ♠♣t♦♥ q ♠ê♠ s♥s q ♣r♠èr ♥ ♣rtr s♠♣t♦♥ st r s ♦♥tr♣♦sé st é♠♥t ré♣r♦q ♥ ♠♣t♦♥ ♣r ♦♥tr st ♥♥♦ é♥♦♥é q s♥ t♦t tr ♦s ré♣r♦q ♥ ♠♣t♦♥ r st rr♠♥t r

①♠♣

♣r♥♦♥s ♣r ①♠♣ ♣r♠èr ♠♣t♦♥ s p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r ♣s r♥ q ♦rs pst ♠♣r ré♣r♦q st s p st ♠♣r ♦rs p st ♥ ♥♦♠r ♣r♠r ♣s r♥ q qst s♠♥t ss ♣sq 1 st ♠♣r ♠s ♥st ♣s ♥ ♥♦♠r ♣r♠r s♣érr à ①r tr♦r ♥ tr ♦♥tr①♠♣

♦♥tr♣♦sé st s p ♥st ♣s ♠♣r ♦rs p ♥st ♣s ♥ ♥♦♠r ♣r♠r s♣érr à tr♠♥tt s p st ♣r ♦rs p ♥st ♣s ♥ ♥♦♠r ♣r♠r s♣érr à ♦♥tr♣♦sé ♥ t r♥ trq ♠♣t♦♥ é♣rt

①♠♣

t ①♠♣ st ♠♣r♥té r té♠tqs ❬+❪ ♦♥sér♦♥s é♥♦♥é s♦t n ♥♥tr s n2 st ♠♣r ♦rs n st ♠♣r ♦rsq ♦♥ à s♣rt q ♥ét♦♥ n st ♠♣r st n st ♣r ♦♥ ♦t q ♦♥tr♣♦sé t é♥♦♥é st s♦t n ♥ ♥tr s n st ♣r ♦rs n2

st ♣r

♠rq♦♥s q ♣♦r t ①♠♣ ré♣r♦q st é♠♥t r s n st ♠♣r ♦rs n2 st♠♣r

♥ ♥ ②♣♦tès st ss ♠♣t♦♥ st r st ♥ ♣r♥♣ ♦q sr ♠♣t♦♥à ♥ ♦r ♥ têt P♦r s♥ ♦♥♥r ♦♥sérr é♥♦♥é s n st ♥ ♠t♣ 4 ♦rs n st ♣r

t é♥♦♥é st r t st ♣♦r ♥♠♣♦rt q n ♥ ♣rtr ♣♦r n = 1 ♣r ①♠♣ ♠s ♥s s n ♥st ♣s ♥ ♠t♣ 4 P♦rt♥t é♥♦♥é s st ♥ ♠t♣ ♦rs st ♣r st rtt r♠rq ♦q ♥ ♦♥séq♥ ♥térss♥t s éé♠♥ts ♥s♠ sts♦♥t t♦tss ♣r♦♣rétés Pr ①♠♣ t♦t éé♠♥t ♥s♠ st ♣r ♥ t t é♥♦♥é t q s x♣♣rt♥t à ♥s♠ ♦rs x st ♣r s x ♣♣rt♥t à ♥s♠ st t♦♦rs ①♣sq ♥s♠ st ♦♥ ♠♣t♦♥ st t♦♦rs r

♥♦♥és ①st♥

s é♥♦♥és ①st♥ ①♣r♠♥t ①st♥ ♥ ♦t ♣♦ssé♥t ♥ rt♥ ♣r♦♣rété

①♠♣

♦♣ért♦♥ t♦♥ sr s ♥trs ♥trs ♠t ♥ éé♠♥t ♥tr tr♠♥t t ①st♥ ♥tr z t q ♣♦r t♦t ♥tr n ♦♥ n+ z = z + n = n q st é♠♠♥t r st ♣r♥r z = 0

s é♥♦♥és ①st♥ ♣r♥♥♥t s♦♥t ♦r♠ ♣♦r t♦t ①st

①♠♣

♦t ♥♦♠r ré ♥♦♥ ♥ ♥ ♥rs st à r ♣♦r t♦t ♥♦♠r ré x s x st ♥♦♥ ♥ ♦rs ①st ♥ ♥♦♠r ré y t q xy = yx = 1

♥ ♦t q♥ é♥♦♥é ①st♥ st s♦♥t ♥ s ♣rtr ♠♣t♦♥

①st♥ t ♥té rr s♦♥t q♥ é♥♦♥é ①st♥ s♦t r♥♦ré ♥ ♥ é♥♦♥é ①st♥ t♥té ❯♥ é♥♦♥é ①st♥ t ♥té s é♦♠♣♦s t♦♦rs ♥ ① é♥♦♥és ♥ ①♣r♠♥t ①st♥tr ♥té

①♠♣

t♦♥ sr s ♥trs ♥trs ♠t ♥ ♥q éé♠♥t ♥tr ♦t ♥♦♠r ré ♥♦♥ ♥♠t ♥ ♥q ♥rs

②♠♦q♠♥t ①st♥ t ♥té s ♥♦t ∃!

t ①♠♣ st ♠♣r♥té à ①♥t r ♦q ♥ sr t ♥é ♦r ❬❪

①♠♣

∃!z ∈ N, ∀n ∈ N, n+ z = z + n = n ∀x ∈ R, s x 6= 0 ♦rs ∃!y ∈ R t q xy = yx = 1

♥té ♥ ♦t s①♣r♠ ♣r ♥ ♠♣t♦♥ s ① ♦ts q♦♥qs sts♦♥t ♣r♦♣rété ♣♦rq ② ♥té ♦rs s s♦♥t é①

①♠♣

♥té é♠♥t ♥tr st s z t z′ s♦♥t ① ♥trs ♥trs ♣♦r t♦♥ ♦rs z = z′ ♦♥ért s②♠♦q♠♥t ①st♥ t ♥té éé♠♥t ♥tr ♦♥ ♦t♥t

∃z ∈ N (∀n ∈ N, n+ z = z + n = n t ∀z′ ∈ N s ∀n ∈ N, n+ z′ = z′ + n = n ♦rs z′ = z)

tr♠♥t t ② ♥ ♥tr z t q z st ♥tr ♣♦r t♦♥ t ♣♦r t♦t z′ s z′ st ♥tr ♣♦rt♦♥ ♦rs z′ = z♥té ♥rs s①♣r♠ s x st ♥ ré ♥♦♥ ♥ t y t y′ s♦♥t ① ♥rss x ♦rs y = y′ ♦♥ é♦♣♣ s②♠♦q♠♥t ①st♥ t ♥té ♥rs sr s rés ♦♥ ♦t♥t

∀x ∈ R, s x 6= 0 ♦rs ∃y ∈ R t q (xy = yx = 1 t ∀y′ ∈ R s xy′ = y′x = 1 ♦rs y′ = y)

①r ♦♥trr s ① ♣r♦♣rétés ♥té

q♥

♠♣t♦♥ ①♣r♠ ♥ sté s A ♦rs B t q à q ♦s q ♦♥ A ♦♥ ♥éssr♠♥tB ss B st ♥éssr ♣♦r A ♥ q ♠ê♠ q♥ ♥ ♠♣t♦♥ st r s ré♣r♦q ♥st ♣s ♦ré♠♥t ♠s rr q ç s♦t s t ♦♥ ♣r ♦rs éq♥ ♦♥ ♥ ♣t ♠s ♦rA s♥s B ♥ B s♥s A❯♥ éq♥ st ♦♥ ♥ ♦♠♥s♦♥ ① ♠♣t♦♥s A ss B st ♥ rét♦♥ ♣♦r As B t s A ♦rs B st à r s B ♦rs A t s A ♦rs B ♥ t é♠♥t A st ♥ ♦♥t♦♥ ♥éssr t ss♥t ♣♦r B

①r ①♣tr ♥ s é♥♦♥és s♥ts ♥ s♥t r♠♥t ♣♣rîtr strtr ♦q é♥♦♥é s ②♣♦tèss t ♦♥s♦♥ ♦ s sss ♦ts ♦♥t st qst♦♥

s ♦♥s ♥ ♦s♥ s♦♥t ♦rt♦♦♥s

s♦♠♠ ① ♥trs st ♣r ès q s ① ♥trs ♦♥t ♠ê♠ ♣rté

♥ ♥ ① ♥trs st ♣r r ♣r♦t st é♠♥t

♦t ♥♦♠r ré ♣♦st ♥ r♥ rré

♠t s s♦♠♠s tr♠s st é♦♠étrq rs♦♥ 0 ≤ ρ < 1 ①st t st 1/(1− ρ)

♠ ♣r ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥t♥ ♥ st ♦♥r♥t st ♥ st ♦♥r♥t t ♠t ♠ st st ♠ ♠t st

❯♥ ♦♥t♦♥ ♦♥t♥ sr ♥ ♥tr t ♣r♥♥t s rs s♥s ér♥ts ① ①tré♠tés ♥tr ♠♦♥s ♥ ③ér♦

♦t ♥♦♠r ♥tr s é♦♠♣♦s ♠♥èr ♥q ♥ ♥ ♣r♦t ♥ ♣ss♥s ♥♦♠rs♣r♠rs

é♠♦♥strt♦♥s

♥①st ♣s t♥q ♥rs é♠♦♥strt♦♥ rs♠♥t ♣♦r s ♠té♠t♥s rsq té♦rè♠ ♥ésst ♥ ♦ ♣srs és q s♦♥t ♣r♦♣rs ♣♦r êtr é♠♦♥tré t ♥② ♣s ♠♦②♥ t♦♠tq ♦t♥r tt ♦ s ésP♦r r ♥ é♠♦♥strt♦♥ t ♦r ♦r s és rs sr q t é♠♦♥trr st à r♣r♦ér à ♥②s ♦q ♦♠♣èt té♦rè♠ ♥ r♣érr qs s♦♥t s ②♣♦tèss q st ♦♥s♦♥ é♦♠♣♦sr s ②♣♦tèss ♥ é♥♦♥és s♠♣s ♥ ts♥t s é♥t♦♥s t ② ♣srs ♦r♠s ♦q rs♦♥♥♠♥t q ♦♥ rtr♦ t q t ♦♥♥îtr

rttr ♥ rs♦♥♥♠♥t

P♦r é♠♦♥trr ♥ ♠♣t♦♥ ♦♥ ♦♠♠♥ ♣r s♣♣♦sr q s ②♣♦tèss s♦♥t résés t ♦♥ rà ♥ ér ♦♥s♦♥ ♦rs rs♦♥♥♠♥t ♦♥ ♣t êtr ♠♥é à é♠♦♥trr ♥ ♦ ♣srsréstts ♥tr♠érs ♦♥t ♦♠♥s♦♥ ♠è♥r réstt ♥ t ♦rsq ♦♥ é♠♦♥tr ♥ réstt♥tr♠ér q st ♥ é♥ér ♥ ♠♣t♦♥ ♦♥ ♣♦s s ②♣♦tèss ♥tr♠érs t ♦♥ é♠♦♥tr ♦♥s♦♥ ♥tr♠ér t♦t ♥st♥t ♦rs ♥ é♠♦♥strt♦♥ ♦♥ ♦♥ ♥ rt♥ ♥♦♠r ②♣♦tèss s té♦rè♠q s♦♥t s ♣♥♥t t♦t rs♦♥♥♠♥t t s réstt ♥tr♠ér q ♥ s♦♥t s q♣♥♥t é♠♦♥strt♦♥ réstt ♥tr♠érPr ①♠♣ ♦rsq ♦♥ t ♥ é♠♦♥strt♦♥ ♣r rérr♥ ② t♦♦rs ① ét♣s ♥tr♠érs é♠♦♥trr q ♣r♦♣rété st r q♥ n = 0 ♣♥♥t q ♦♥ é♠♦♥tr ♦♥ ②♣♦tès s♣♣é♠♥tr q n = 0 Ps é♠♦♥trr q s ♣r♦♣rété st r ♣♦r n st ♣♦r n+ 1 P♥♥t ttét♣ ♦♥ ♥ s♣♣♦s ♣s q n = 0 ♠s ♣r ♦♥tr ♦♥ s♣♣♦s q ♣r♦♣rété st r ♣♦r n♦rsq s ① réstts ♥tr♠érs s♦♥t ♣r♦és ♦♥ ♥ ét ♣r rérr♥ sr n q ♣r♦♣rétést r ♣♦r t♦t n

s♦♥♥♠♥t éqt♦♥♥ ♦

❯tsé ♥ é♥ér ♣♦r é♠♦♥trr ♥ été ♠s ♣s s♠♥t st ♥ st éqt♦♥s ♦tss♥t réstt ré ♥ s éqt♦♥s st sté ♣r ♥ ♦ ♣srs s éqt♦♥s ♣réé♥ts t♣r ♥ ♣r♦♣rété ♦♥♥ ♦ ♣r ♥ ②♣♦tès té♦rè♠

①♠♣

♦♥tr♦♥s ♥té éé♠♥t ♥tr t♦♥ sr s ♥trs s♦♥t ♦♥ z t z′ ① éé♠♥ts♥trs st à r ① ♥trs ts q ♣♦r t♦t ♥tr n ♦♥ z+n = n+ z = n t z′+n = n+ z′ = n♥ ♣rtr ♦♥

z = z + z′ r z′ st ♥tr à r♦t

= z′ r z st ♥tr à

①♠♣

♦♥tr♦♥s q cos(x+ y) = cosx cos y− sinx sin y ♦r♠ ♦r ♥♦s t q eix = cosx+ i sinx♣♦r t♦t ré x ♥ ♦♥ ei(x+y) = cos(x+ y) + i sin(x+ y) ♠s é♠♥t

ei(x+y) = eixeiy ♣r♦♣rété ♥ ♦♥♥ ①♣♦♥♥t

= (cosx+ i sinx)(cos y + i sin y) ♥ ♣♣q♥t ① ♦s ♦r♠ ♦r

= cosx cos y − sinx sin y + i(cosx sin y + sinx cos y) ♥ é♦♣♣♥t t ré♦r♥s♥t ♣r♦t

♦♥ s ① ♥♦♠rs ♦♠♣①s cos(x+y)+i sin(x+y) t cosx cos y−sinx sin y+i(cosx sin y+sinx cos y)s♦♥t é① q ♠♣q q rs ♣rts rés t ♠♥rs s♦♥t és s♦t

cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y

sin(x+ y) = cosx sin y + sinx cos y

①r

é♠♦♥trr q s x y t z s♦♥t s ♥trs rts ts q x+ z = y + z ♦rs x = y

②♣♦tès ♠♥q ♥s é♥♦♥é s♥t s x y t z s♦♥t s rt♦♥♥s ts q xz = yz♦rs x = y

é♠♦♥trr q s♦♠♠ ① ♥trs ♣rs st ♣r t q s♦♠♠ ① ♥trs ♠♣rs st♣r

é♠♦♥trr ♥té ♥rs sr s rés

s♦♥♥♠♥t ♣r s trs①s

trs①s st ♥ ♣r♥♣ ♦q q t q ♥ ♠té♠tqs t♦t é♥♦♥é st s♦t r s♦t ① ♥♣t tsr ♣r♥♣ ♥s ♥ é♠♦♥strt♦♥ ♥ ♦t♥t ♥ ②♣♦tès s♣♣é♠♥tr t ♥ ♦♥sér♥t① s ♦ù tt ②♣♦tès st r ♦ù ②♣♦tès st ss ♦♥ ♣r♥t à é♠♦♥trr ♦♥s♦♥ ♥s s ① s ♦rs st t♦♦rs r t té♦rè♠ st é♠♦♥tré

①♠♣

❱♦ ♥ ①♠♣ rs♦♥♥♠♥t ♣r s ♥ ♠♦♥trr q ♣♦r t♦t ♥tr ♥tr a ♣r♦ta(a2 − 1) st ♥ ♠t♣ ♦t ♦♥ ♥ ♥tr a q♦♥q ♥ ♦♠♠♥ ♣r r♠rqr q ♠♦♥s ♥ s tr♦s ♥trs a a+ 1 ♦ a+ 2 st ♥ ♠t♣ a st ♥ ♠t♣ ♦rs a = 3a′ ♣♦r ♥ rt♥ a′ ♦♥ a(a2 − 1) 3a′(a2 − 1) = 3(a′(a2 − 1))st ♥ ♠t♣ a+1 st ♥ ♠t♣ ♦rs a+1 = 3a′ ♣♦r ♥ rt♥ a′ ♦♥ a = 3a′ − 1 a2 = 9a′

2 − 6a′ +1 ta2 − 1 = 9a′

2 − 6a′ = 3(3a′2 − 2a′) st ♥ ♠t♣ ♦♥ a(a2 − 1) st é♠♥t ♥ ♠t♣

a+2 st ♥ ♠t♣ ♦rs a+2 = 3a′ ♣♦r ♥ rt♥ a′ ♦♥ a = 3a′ − 2 a2 = 9a′2 − 12a′ +4

t a2−1 = 9a′2−12a′+3 = 3(a′

2−4a′+1) st ♥♦r ♥ ♠t♣ ♦♥ a(a2−1) st ♥ ♠t♣ ♦♠♠ ♦♥ st ♦ré♠♥t ♥s ♥ s tr♦s s té♦rè♠ st é♠♦♥tré ♣♦r t♦t a

①r ♦♥trr q s a st ♥ ♥tr q♦♥q ♦rs ♥ s ♥trs a a + 1 ♦ a + 2 st ♥♠t♣

①♠♣

❱♦ ♠♥t♥♥t ♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥ trs①s ♥ ♠♦♥tr q ①st ① ♥♦♠rs rrt♦♥♥s a t b ts q ab st rt♦♥♥ ♥ ♥♦♠r st rrt♦♥♥ s ♥st ♣s rt♦♥♥

♦♥sér♦♥s ♥♦♠r x =√2√2 ♥♦♠r st s♦t rt♦♥♥ s♦t rrt♦♥♥ trs①s

x st rt♦♥♥ ♦rs ♦♥ ♦st a = b =√2 ♦♠♠

√2 st rrt♦♥♥ a t b s♦♥t rrt♦♥♥s t

ab = x st rt♦♥♥ ♣r ②♣♦tès

x st rrt♦♥♥ ♦rs ♦♥ ♦st a = x t b =√2 ♥s s ab = x

√2 = (

√2√2)√2 =

√2√2√2=√

22= 2 st ♦♥ rt♦♥♥ s a st rrt♦♥♥ ♣r ②♣♦tès t b é♠♥t ♣sq b =

√2

♥s s ① s ♦♥ ♥ tr♦é a t b rrt♦♥♥s ts q ab st rt♦♥♥ té♦rè♠ st é♠♦♥tré

①r ♦♥trr q√2 st rrt♦♥♥

s♦♥♥♠♥t ♣r sr ♦ ♣r ♦♥tr♣♦st♦♥

P♦r ♠♦♥trr ♥ ♣r♦♣rété ♦♥ s♣♣♦s ss t ♦♥ ♥ ét ♥ ♦♥trt♦♥ ♦rsq ♣r♦♣rété st♥ ♠♣t♦♥ r♥t à rs♦♥♥r ♣r ♦♥tr♣♦st♦♥ ♦♥ s♣♣♦s q ♦♥s♦♥ ♠♣t♦♥st ss t ♦♥ ♥ ét q ♥ s ②♣♦tèss st ss

s♦♥♥♠♥t ♣r rérr♥

st ♥ ♠ét♦ très ♣ss♥t ♣♦r é♠♦♥trr s ♣r♦♣rétés s ♥trs ❯♥ rs♦♥♥♠♥t ♣r rérr♥ st t♦♦rs ♥ ♣rts ♦♥ ♦♠♠♥ ♣r é♠♦♥trr ♣r♦♣rété ♥s s ♦ù n = 0 ♦ ♣♦rn = 1 ♣s ♦♥ ♣r♦è à ét♣ rérr♥ ♦♥ s♣♣♦s ♣r♦♣rété r ♣♦r n t ♦♥ é♠♦♥tr q♦rs st ss ♣♦r n+ 1

①♠♣

❱♦ ♥ ①♠♣ té♦rè♠ q ♦♥ é♠♦♥tr ♣r sr t ♣r rérr♥ t♦t ♥s♠ ♥♦♥ ♥trs ♥trs ♥ ♣s ♣tt éé♠♥t rt s②♠♦q♠♥t ∀X ⊂ N, s X 6= ∅ ♦rs ∃n0 ∈X t q ∀n ∈ X, n0 ≤ n

Pr ♣♣♦s♦♥s qX s♦t ♥♦♥ t ♥t ♣s ♣s ♣tt éé♠♥t ♥ é♠♦♥trr ♣r rérr♥sr n q ♣♦r t♦t ♥tr n t ♣♦r t♦t p < n p ♥♣♣rt♥t ♣s à X à ♦♥ ét q Xst q ♦♥trt ②♣♦tès

♠rq

st ♥ ♥ ♦♥tr♣♦st♦♥ ♥ é♠♦♥tr q s X ♥ ♣s ♣s ♣tt éé♠♥t♦rs X st q st ♦♥tr♣♦sé té♦rè♠

s s rérr♥ n = 0 ♥② ♥ ♥tr ♥tr p < n ♦♥ t♦t p < n♥♣♣rt♥t ♣s à X ♦♥ ♣♣q ♣r♥♣ q♥ ♠♣t♦♥ st r ès q ♥ ss ②♣♦tèss st ssP♦r ét♣ rérr♥ s♣♣♦s♦♥s q ♣♦r t♦t p < n p 6∈ X ♦rs n 6∈ X s♥♦♥ n srt ♣s ♣tt éé♠♥t X t ♦♥ s♣♣♦sé q ♥② ♥ t ♣s ♦♥ ♣♦r t♦t p < n + 1 ♦♥ p 6∈ X q è rérr♥

♣tr

♥s♠s t ♦♥t♦♥s

ss♥t♠♥t t♦t ♦t ♠té♠tq st s♦t ♥ ♥♦♠r s♦t ♥ ♥s♠ s♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♥s ♣tr ♦♥ sttr à ♦r s ♣r♦♣rétés éé♠♥trs s ① r♥rs

♥s♠s

s ♥♦♠rs s ♥s♠s s♦♥t s ♦ts s ♣s ♣r♠ts s ♠té♠tqs rt♥s s ♦♥sèr♥t♠ê♠ ♦♠♠ ♣s ♣r♠ts q s ♥♦♠rs r é♥t♦♥ ♣rés st ss③ ♦♠♣① t strt t stà s très té♦r s ♥s♠sP♦r ♦rs ♦♥ s ♦♥t♥tr ♥ é♥t♦♥ ♥tt s♥s tr♦♣ rr à r ♥s s éts ♥♥s♠ st ♥ ♦t♦♥ ♥♦♥ ♦r♦♥♥é t s♥s ré♣étt♦♥s ♦ts X st ♥ ♥s♠ t x ♥ ♦t♦♥ ♥♦t x ∈ X ♣♦r x ♣♣rt♥t à X q ♦♥ ♣t r ss x st ♥ éé♠♥t X ❯♥ ♥s♠ st é♥ s ♦♥ st ré♣♦♥r à ♦♣ sûr à qst♦♥ t ♦t x ♣♣rt♥t à ♥s♠ ② ① ♠♥èrs é♥r ♥ ♥s♠

♥ ①t♥s♦♥ ♦♥ ♦♥♥ st ♦♠♣èt ss éé♠♥ts ♦♥ ♥♦t ♦rs s éé♠♥ts ♥tr ♦s 1, 2, 3 st ♥s♠ ♦♥t s éé♠♥ts s♦♥t s ♥♦♠rs t P♦r ♣♦♦r é♥r s ♥s♠s♥♥s tt ♠♥èr ♦♥ ts s ♣♦♥ts ss♣♥s♦♥s 1, 2, 3, . . . st ♥s♠ t♦s s♥trs ♣♦sts

♥ ♦♠♣ré♥s♦♥ ♦♥ ♦♥♥ ♥ ♣r♦♣rété rtérstq q st stst ♣r s éé♠♥ts ♥s♠t s♠♥t ①à ♥s♠ 1, 2, 3 s é♥t ♥ ♦♠♣ré♥s♦♥ ♦♠♠ ♥s♠ s ♥trs♦♠♣rs ♥tr t ♥s q ♦♥ ♥♦t n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 3

té ♥tr ♥s♠s ① ♥s♠s s♦♥t é① s s ♦♥t s ♠ê♠s éé♠♥ts ♦♥ 1, 2, 3 =n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 3 = 3, 1, 2①r rr t♦ts s ♦r♠s ♥ ①t♥s♦♥ ♥s♠ n ∈ N, n2 ≤ 12 t ♥s♠ sté à n ∈ N, n3 ≤ 34 t à n ∈ N, n s 6

♥trs ♥trs s♦♥t s ♥s♠s q ♦♥ tsr ♦♣ ♥s ♦rs n t p s♦♥t s♥trs ♥tr [n, p] st ♣r é♥t♦♥ ♥s♠ k ∈ Z t q n ≤ k ≤ p = n, n + 1, . . . , p Pr①♠♣ ♥s♠ 1, 2, 3 st ♥tr [1, 3] ② ① s ♣rtrs ♥térss♥ts à tt é♥t♦♥ s n = p ♦rs ♥tr [n, p] = [n, n] st s♥t♦♥ ♥s♠ à ♥ s éé♠♥t n

t r ♥ ♣ tt♥t♦♥ s é♥t♦♥s ♥ ♦♠♣ré♥s♦♥ q ♣♥t ♦♥♥r à s ♣r♦①s st♦rq♠♥tst é♦rt s ♣r♦①s q ♠♦té é♦♣♣♠♥t té♦r s ♥s♠s ♥ ♣rtq s é♥t♦♥s ♥♦♠♣ré♥s♦♥ ♥ ♣♦s♥t ♣s ♣r♦è♠ s ♥s s s t♦rs ♦♠♠ éèr ♣r♦① ss ♥s♠ t♦ss ♥s♠s q ♥ s♣♣rt♥♥♥t ♣s à ①♠ê♠

s p < n ♦rs ♥tr [n, p] st ♥s♠

♠rq

♥♦r ♥ ♦s ♦♥ ts ♥ ♥♦tt♦♥ ♦♥♥ ♣r rs [a, b] és♥ t ♥tr r♠és rés ♦♠♣rs ♥tr a t b ♥s ♦rs t s ♠♥t♦♥ ①♣t ♦♥trr tt ♥♦tt♦♥ ♥és♥r q s ♥trs ♥trs

♥s♦♥ ♥ t q♥ ♥s♠ X st ♥s ♦ ♦♥t♥ ♥s ♥ ♥s♠ Y ♥♦tt♦♥ X ⊂ Y q♥t♦t éé♠♥t X st ss éé♠♥t Y ♥ X st ér♥t Y ♦♥ t q ♥s♦♥ st strt

♥♦tt♦♥ X ( Y

①r ♦♥t X Y ♦♥trr q X = Y ss X ⊂ Y t Y ⊂ X

♠rq

♥ ts très réq♠♠♥t tt ♣r♦♣rété ♣♦r ♠♦♥trr q ① ♥s♠s s♦♥t é①

♦♥strt♦♥s éé♠♥trs

♥s♠ ♥s♠ ♥♦té ∅ ♥ ♦♥t♥t ♥ éé♠♥t tr♠♥t t à qst♦♥ x ∈ ∅ ré♣♦♥s st t♦♦rs ♥♦♥ ♥ ♣t é♥r ♥s♠ ♥ ♦♠♣ré♥s♦♥ ♣r ∅ = x, x 6= x①r ♦♥trr q ♥s♠ st ♥s ♥s t♦t ♥s♠

♥t♦♥ ❯♥ ♥s♠ ♦♥t♥♥t ♥ ♥q éé♠♥t st ♣♣é ♥ s♥t♦♥

♦♠♣é♠♥tr ♦t X ♥ ♥s♠ t Y ♥ s♦s♥s♠ X ♦♠♣é♠♥tr Y ♥s X st s♦s♥s♠ X é♥ ♣r Y c = x ∈ X t q x 6∈ Y ♠rq

♥ é♥ ♦♠♣é♠♥tr Y ♥s X ♣♦rt♥t ♥♦tt♦♥ Y c ♥ ♠♥t♦♥♥ ♣s X ♦rsq ♦♥♣r ♦♠♣é♠♥tr ② t♦♦rs ♥ ♥s♠ réér♥t ♠ê♠ s st ssé ♠♣t ♥s ♥♦tt♦♥

é♥♦♥ ♦♥t X t Y ① ♥s♠s♥♦♥ ♦ ré♥♦♥ X t Y st ♥s♠ s ♦ts ♣♣rt♥♥t s♦t à X s♦t à Y X ∪ Y = x, x ∈X ♦ x ∈ Y ①r ♦♥t X t Y ① ♥s♠s ♦♥trr q X t Y s♦♥t ♥s ♥s X ∪ Y t q s Z♦♥t♥t X t Z ♦♥t♥t Y ♦rs Z ♦♥t♥t X ∪ Y

①r ♦♥trr q X ⊂ Y ss X ∪ Y = Y

♦♥t n ♥ ♥tr ♣♦st t X1 Xn s ♥s♠s ré♥♦♥ s Xi st ♥♦té X1 ∪ · · · ∪Xn ♦ ♥♦r⋃n

i=0Xi ♥s s ♣rtr ♦ù n = 0 ré♥♦♥ s Xi st ♥s♠

⋃0

i=1Xi = ∅

♥trst♦♥ ♥trst♦♥ X t Y st ♥s♠ s ♦ts ♣♣rt♥♥t à X t à Y X ∩ Y =x, x ∈ X t x ∈ Y ①r ♦♥trr q X ∩ Y st ♦♥t♥ ♥s X t ♥s Y t q t♦t ♥s♠ ♦♥t♥ ♥s X t♥s Y st ♦♥t♥ ♥s X ∩ Y

①r ♦♥trr q X ⊂ Y ss X ∩ Y = X

♦♥t n ♥ ♥tr ♥♦♥ ♥ t X1 Xn s ♥s♠s ♥trst♦♥ s Xi st ♥♦té X1 ∩ · · · ∩ Xn ♦♥♦r

⋂n

i=0Xi

♥s♠s s♦♥ts X t Y s♦♥t ① ♥s♠s q ♥♦♥t ♥ éé♠♥t ♥ ♦♠♠♥ st à rts q X ∩ Y = ∅ ♦♥ t q X t Y s♦♥t s♦♥ts

♦strt♦♥ ♥ ♥♦t X\Y ♥s♠ s éé♠♥ts X q ♥ s♦♥t ♣s ♥s Y ②♠♦q♠♥t X\Y = x ∈ X, x 6∈ Y ①r ♦♥trr q X\Y ∩ Y = ∅ t X\Y ∪ Y = X ∪ Y

①r ♦♥trr q s Y ⊂ X ♦rs X\Y st ♦♠♣é♠♥tr Y ♥s X

x st ♥ éé♠♥t X ♦rs X\x st ♥s♠ s éé♠♥ts X ér♥ts x ♦♥ ♦ s♦♥ts ♦s t ♦♥ ♥♦t X\x X st ♥ ♥s♠ ♥♦♠rs N Z Q R ♦ C ♥s♠ X\0 sté♠♥t ♥♦té X∗

Prts ❯♥ ♣rt X st ♥ s♦s♥s♠ X st à r ♥ ♥s♠ ♥s ♥s X ♥s♠ t♦ts s ♣rts X st ♥♦té P(X)

①r ♦♥t X ♥ ♥s♠ t Y Y ′ ① ♣rts X

♦♥trr q (Y ∪ Y ′)c = Y c ∩ Y ′c t q (Y ∩ Y ′)c = Y c ∪ Y ′c

♦♥trr q s ♣r♦♣♦st♦♥s s♥ts s♦♥t éq♥ts Y ⊂ Y ′ Y ∩ Y ′ = Y Y ∪ Y ′ = Y ′ Y ∩ Y ′c = ∅ Y c ∪ Y ′ = X

♦♥trr q Y \Y ′ = Y ∩ Y ′c

Prtt♦♥ ♦t X ♥ ♥s♠ ♥♦♥ ♥ ♣rtt♦♥ X st ♥ ♥s♠ ♥♦♥ P ♣rts ♥♦♥s X ① à ① s♦♥ts t ♦♥t ré♥♦♥ st X t♦t ♥tr s A,B ∈ P A 6= B ♦rs A ∩B = ∅ ♣♦r t♦t x ∈ X ①st ♥ A ∈ P t q x ∈ As éé♠♥ts P s♦♥t ♣♣és s sss ♣rtt♦♥

①♠♣

♦♥ ♣r♥ X = N ♦rs ♦♥ ♣t ♣rtt♦♥♥r X ♥ ① sss s ♣rs t s ♠♣rs ♥s s♦♥ P = 2n, n ∈ N, 2n+ 1, n ∈ N Ps é♥ér♠♥t s p st ♥ ♥tr ♥tr ♥♦♥ ♥ ♦♥ ♣t♣rtt♦♥♥r N ♥ p sss s ♠t♣s p rs sssrs s sssrs rs sssrst P = kp, k ∈ N, kp+ 1, k ∈ N, . . . , kp+ p− 1, k ∈ N♥ ♣t ♣r ①♠♣ ♣rtt♦♥♥r ♥s♠ s ♦♥t♦♥s N ♥s N s♦♥ r s ♦♥t♦♥s ♥0 P = f : N → N, f(0) = 0, f : N → N, f(0) = 1, f : N → N, f(0) = 2, . . .

①r rr t♦ts s ♣rtt♦♥s ♥s♠ 1, 2 ♣s ♥s♠ 1, 2, 3

♦♥t♦♥s

♥ éà t ♥s ♦rs s tr♠s ♦♥t♦♥ t ♣♣t♦♥ s♦♥t s②♥♦♥②♠s❯♥ ♦♥t♦♥ st é♥ ♣r tr♦s ♦ss s♦♥ ♥s♠ é♥t♦♥ ♣♣é é♠♥t s♦♥ ♥s♠ é♣rt

♦ s♠♣♠♥t s♦♥ ♦♠♥ s♦♥ ♥s♠ rré t ♦♥♥é ♣♦r q éé♠♥t x ♥s♠ é♥t♦♥ ♥ ♠ x é♠♥t ♣♣é r ♦♥t♦♥ ♥ x ♥s ♥s♠ rré ♥ tq f st é♥ sr D t à rs ♥s A t ♦♥ ♥♦t f : D → A r f ♥ x st ♥♦té f(x)

①♠♣

♦♥t♦♥ t♦r : N → N q ♣r♥ r n! = n(n − 1) . . . 2 ♣♦r q n ∈ N ♦♥t♦♥rré : R → R q ♣r♥ r x2 ♣♦r q ré x t ♦♥t♦♥ ♥ 0 : R → R q à q ré ss♦ r 0 0(x) = 0 ♣♦r t♦t x ∈ R

s ♥s♠s é♥t♦♥ D t rré A ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥stt s♦♥ t②♣ ♥ ♥♦r♠tq ♦♥ ♣♣ s♥tr ♦♥t♦♥ ❯♥ ♦♥t♦♥ t♦♦rs ♥ t②♣ ♥ étr♠♥é

té ♦♥t♦♥s ① ♦♥t♦♥s f : D → A t f ′ : D′ → A′ s♦♥t és s s ♦♥t ♠ê♠ t②♣st à r s D = D′ t A = A′ t s ♣♦r q x ∈ D s rs x ♣r f t f ′ s♦♥t és st à rf(x) = f ′(x)

♠rq

② s♦♥t ♥ ♠ïté sr ♥s♠ rré ♥ ♦♥t♦♥ Pr ①♠♣ ♦♥t♦♥ ♦s♥s♣têtr s♦t ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ ré à rs ♥s R s♦t ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ ré à rs♥s ♥tr [−1, 1] ♥s s ① s ♦♥ ♣r ♦♥t♦♥ ♦s♥s ♠s st ♥ ①♦♥t♦♥s st♥ts ♥♦r ♥ ①♠♣ srr

♦♥t♦♥ D st ♥s♠ ①st ♥ ♦♥t♦♥ D ♥s A ♣♣é ♦♥t♦♥ tq ♦♥ ♥♦t ss ♣r♦s ∅♠rq

Pr ♦♥tr s A st ♥①st ♥ ♦♥t♦♥ D ♥s A s s D st ss

♠rq

♥ rtr♦ ♠ïté ré ♣réé♠♠♥t ♦♥ ♣r ♦♥t♦♥ ♦rs q♥ rété ♣♦rq ♥s♠ A ② ♥ ♦♥t♦♥ à rs ♥s A t t♦ts s ♦♥t♦♥s s s♦♥t st♥ts

♦♥t♦♥ ♥tté ♦t X ♥ ♥s♠ ♦♥t♦♥ ♥tté sr X st ♦♥t♦♥ IdX : X → X é♥♣r IdX(x) = x ♣♦r t♦t x ∈ X

♠rq

rès s♦♥t ♦♥ ♦ ♠ttr X ♥ ♥ t ♦♥ ♥♦t Id ♥tté sr X

♠rq

❱♦ ♥ tr ①♠♣ ① ♦♥t♦♥s q ♥ èr♥t q ♣r r ♥s♠ rré s♦t X tY ① ♥s♠s ts q X ⊂ Y ♦♠♠ X ⊂ Y ♦♥ ♣t é♥r ♦♥t♦♥ ♥s♦♥ i : X → Y♣r i(x) = x ♣♦r t♦t x ∈ X X t Y s♦♥t é① tt ♦♥t♦♥ st é à ♥tté sr X s① ♦♥t♦♥ ♦♥t ♠ê♠ ♥s♠ é♣rt ♠ê♠ ♥s♠ rré t ♠ê♠ r ♥ t♦t ♣♦♥t ♥s♠ é♣rt s s X 6= Y ♦rs s ① ♦♥t♦♥s s♦♥t ér♥ts

♥s♠ s ♦♥t♦♥s ♥s♠ s ♦♥t♦♥s D ♥s A st ♥♦té AD rs♦♥ tt ♥♦tt♦♥♣♣rîtr ♥tôt

♠rq

D st ② ①t♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ D ♥s A ♦♥t♦♥ ♥s s AD st ♥s♥t♦♥

♦♥strt♦♥s éé♠♥trs

♦♥t f : D → A ♥ ♦♥t♦♥

♠ ♥ ♥s♠ E st ♥ s♦s♥s♠ D ♠ E ♣r f st ♥s♠ s ♠s séé♠♥ts E f(E) = f(x), x ∈ E ♥ ♣rtr ♠ D q st ♥ s♦s♥s♠ ♠ê♠st ♣♣é ♠ f t ♣r♦s ♥♦té im f

♠rq

♥ ts tr♠ ♠ ♣♦r és♥r s♦t ♠ ♥ éé♠♥t D st à r r f♥ t éé♠♥t s♦t ♠ ♥ s♦s♥s♠ D

♠ê♠ ♥♦tt♦♥ f és♥ s♦t ♥ ♦♥t♦♥ D ♥s A s♦t ♥ ♦♥t♦♥ P(D) ♥s P(A)♥ t♦t rr ♦♠♠ st ♦♥t♦♥s ér♥ts ♦♥ rt r ♦♥♥r s ♥♦♠s ér♥ts ♣r①♠♣ f ♣♦r é♥ sr s ♥s♠s

t ♥② ♣s ♦♥s♦♥ ♣♦ss ♥tr s ① s ♦♥ ért f(x) ♦ù x ∈ D ♦♥ ♣r r♠♥t ♣r♠èr t s ♦♥ ért f(x) ♦ù x ⊂ D st s♦♥ ♥s ♥ s♦ é♦♥♦♠ s ♥♦tt♦♥s♦♥ tsr ♦♥ ♠ê♠ ♥♦♠ ♣♦r s ① ♦♥t♦♥s

①r st ♠ ♥s♠

♠ ré♣r♦q B st ♥ s♦s♥s♠ A ♦♥ ♥♦t f−1(B) ♠ ré♣r♦q B st à r s♦s♥s♠ D ♦♥stté s x ∈ D ♦♥t ♠ st ♥s B f−1(B) = x ∈ D, f(x) ∈ B①r ♦t f : D → A ♥ ♦♥t♦♥

♦♥trr q f−1(A) = D

♦t E ♥ s♦s♥s♠ A s ♣t q f−1(E) = ∅ ♦♥trr q s y 6= y′ ∈ A ♦rs f−1(y) ∩ f−1(y′) = ∅

♠rq

t ①r é♠♦♥tr q ♥s♠ f−1(y), y ∈ A q ♦♥ rtré ♥s♠ st ♥♣rtt♦♥ D

①r ♦t f : D → A ♥ ♦♥t♦♥ E ♥ s♦s♥s♠ D t F ♥ s♦s♥s♠ A

♦♥trr q E ⊂ f−1(f(E)) r♦r ♥ ①♠♣ ♦ù ♥s♦♥ st strt

♦♥trr q f(f−1(F )) ⊂ F r♦r ♥ ①♠♣ ♦ù ♥s♦♥ st strt

strt♦♥ E st ♥ s♦s♥s♠ D rstrt♦♥ f à E st ♦♥t♦♥ f |E : E → A é♥♣r f |E(x) = f(x) ♣♦r t♦t x ∈ E

♦♠♣♦st♦♥ ♦♥t f : A→ B t g : B → C ♦♠♣♦sé f t g st ♦♥t♦♥ g f : A→ C é♥♣r g f(x) = g(f(x))

♠rq

tt♥t♦♥ à ♥♦tt♦♥ ♦♠♣♦sé f t g s ♥♦t g f t ♥♦♥ ♣s f g

①r P♦r ♥ s ♦♥t♦♥s f t g R ♥s R s♥ts ♦♥♥r s rs f f(x)g g(x) f g(x) g f(x)

f(x) = −x g(x) = |x| f(x) =

√

|x| g(x) = x2

f(x) = x3 g(x) = 2x+ 1

f(x) = 1/(x2 + 1) g(x) = x2 + 1

①r ♦t f : A→ B ♥ ♦♥t♦♥

♦♥trr q f IdA = IdB f = f

♦♥trr q ♦♠♣♦st♦♥ st ss♦t s g : B → C t h : C → D s♦♥t ① trs ♦♥t♦♥s♦rs h (g f) = (h g) f

tért♦♥ ♦t f : A → A ♥ ♦♥t♦♥ sr A t n ♥ ♥tr ♥tr ♥ é♥t téré n ♦s f ♣rrérr♥ sr n f0 = IdA t fn+1 = f fn①r ♦t♦♥s fn ♦♥t♦♥ sr A é♥ ♣r rérr♥ ♣r f0 = IdA t fn+1 = fn f ♦♥trr q ♣♦r t♦t n ♦♥ f fn = fn+1 ♥ ér q fn = fn ♣♦r t♦t n

Pr♦♣rétés éé♠♥trs s ♦♥t♦♥s

♥t♦♥ ♦t f : D → A ♥ ♦♥t♦♥ ♥ t q f st ♥t s s éé♠♥ts D ♦♥t s ♠s① à ① st♥ts ②♠♦q♠♥t

f : D → A st ♥t ss ∀x, y ∈ D, s x 6= y ♦rs f(x) 6= f(y)

♥ ♣t ♦♥tr♣♦sr t é♥♦♥é t ♦t♥r ♥ é♥t♦♥ éq♥t

f : D → A st ♥t ss ∀x, y ∈ D, s f(x) = f(y) ♦rs x = y

st s♦♥t tt é♥t♦♥ q ♦♥ ts ♥s s é♠♦♥strt♦♥s

①r ♦♥t♦♥ ∅ ♥s N st ♥t

①r

r♦r ♥ ♦♥t♦♥ ♥t f : N → N t q ♣♦r t♦t k ∈ N ♦♥ t f(2k + 1) < 2k + 1

♦t f : N → N ♥ s♣♣♦s q f ér ♣♦r t♦t n ∈ N s n > 0 ♦rs f(n) < n ♦♥trr q f♥st ♣s ♥t

①r ♦t f : D → A ♥ ♦♥t♦♥

♦♥trr q s f st ♥t t E ⊂ D ♦rs ♦♥t♦♥ f |E st ♥t

♦♥trr q s f st ♥t ♦rs ♣♦r t♦t s♦s♥s♠ E D ♦♥ f−1(f(E)) = E

♦♥trr ré♣r♦q s f−1(f(E)) = E ♣♦r t♦t s♦s♥s♠ E D ♦rs f st ♥t

①r ♦♥trr q s s ♦♥t♦♥s f : A→ B t g : B → C s♦♥t ♥ts ♦rs g f st ♥t

①r ♦t f : A→ B ♥ ♦♥t♦♥ ♠♦♥trr q f st ♥t ss ♣♦r t♦ts ♣rts X t Y A ♦♥ f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y )

rt♦♥ ❯♥ ♦♥t♦♥ f : D → A st srt s ♠ D st é à A tr♠♥t t ♣♦r t♦téé♠♥t y A ①st ♥ x ∈ D t q y = f(x) ♥ t ♦rs q f st ♥ srt♦♥ D sr A

①r ♦♥trr éq♥ ♥tr s ① é♥t♦♥s

①r ♦♥t♦♥ ∅ ♥s N st srt

①r ♦♥trr q s s ♦♥t♦♥s f : A→ B t g : B → C s♦♥t srts ♦rs gf st srt

①r

♦♥trr q ♣♦r t♦t n ∈ N∗ st à r ♣♦r t♦t ♥tr ♥tr ♥♦♥ ♥ ①st ♥ ♥q ♥trk t q 2k ≤ n < 2k+1

♥ é♥t ♦♥t♦♥ log2 : N∗ → N ♣r log2(n) = k t q 2k ≤ n < 2k+1 ♦♥trr q log2 stsrt

①r ♦t f : X → Y ♥ ♦♥t♦♥

♦t♦♥s f ′ ♦♥t♦♥ Y → P(X) é♥ ♣r f ′(y) = f−1(y) ♣♦r q y ∈ Y ♦♥trr q s fst srt ♦rs f ′ st ♥t

q ♦♥t♦♥ sr f ♦♥t♦♥ f−1 : P(Y ) → P(X) st ♥t

q ♦♥t♦♥ sr f ♦♥t♦♥ f−1 : P(Y ) → P(X) st srt

t♦♥ ❯♥ ♦♥t♦♥ q st à ♦s ♥t t srt st ♥ t♦♥

é♦rè♠❯♥ ♦♥t♦♥ f : A→ B st t ss ①st ♥ ♦♥t♦♥ ϕ : B → A t q ϕf = IdA t f ϕ = IdB ♥s s ♦♥t♦♥ ϕ st ♥q♠♥t étr♠♥é ♣r f q s♥ q s ψ : B → A st ♥ ♦♥t♦♥t q ψ f = IdA t f ψ = IdB ♦rs ψ = ϕ ♥ ♥♦t f−1 t ♦♥ ♣♣ ♥rs f ♦♣trs ♣♣♥t é♠♥t f−1 ♦♥t♦♥ ré♣r♦q f ♦♥t♦♥ f−1 st t B ♥s At s♦♥ ♥rs st f st à r q (f−1)−1 = f ♣s g : B → C st é♠♥t t ♦rs g f st t t ♥rs g f st f−1 g−1

♠rq

❯♥ ♦s ♣s t ç ♥st ♣s r♥èr ♦♥ ts ♠ê♠ ♥♦tt♦♥ ♣♦r ① ♦ss ér♥ts sB0 st ♥ s♦s♥s♠ B ♦rs f−1(B0) és♥ ♠ ré♣r♦q B0 q st ♥ s♦s♥s♠ A y és♥ ♥ éé♠♥t B ♦rs f−1(y) és♥ ♥téé♥t y ♦t♥ ♣r ♦♥t♦♥ ♥rs f ♠rq♦♥s q ♦♥ ♥ s♦♥ ♥ ②♣♦tès ♣rtèr sr f ♣♦r é♥r f−1(B0) ♦rsq f−1(y) ♥st é♥ q s f st t

tt♥t♦♥ à tr♠♥♦♦ ♥ ♣ ♣rtèr ♦rs st réq♥t ♣♣r ♦♥t♦♥ ré♣r♦q q ♦♥ ♣♣ ♦♥t♦♥ ♥rs tr ♣rt ♦rsq f st ♥ ♦♥t♦♥ ré q ♥ s♥♥♣s ♦♥t♦♥ 1/f st s♦♥t ♣♣é ♦♥t♦♥ ♥rs f tt tr♠♥♦♦ ♦r♥t ♥s trs♦♥t①ts ♥ sr ♣s tsé ♥s ♦rs ♦ù ♦♥ s♥ t♥r à q st é♥ sss

♠rq

❯♥ ♥s♠ q♦♥q X st t♦♦rs ♥ t♦♥ ♠ê♠ ♣sq ♦♥t♦♥ IdX st ♥t♦♥ X sr X

①r st ♦♥t♦♥ ♥rs IdX

é♦rè♠♦t f : A→ B ♥ ♦♥t♦♥ ♥t ♥♦t♦♥s B0 = f(A) ♠ ♣r f A t s♦t f0 : A→ B0 ♦♥t♦♥é♥ ♣r f0(x) = f(x) ♣♦r t♦t x ∈ A ♦rs f0 st t♥ ♣rtr s A st ♥♦♥ ①st ♥ ♦♥t♦♥ srt g : B → A t q g f = IdA

Pr ♣r♠èr ♣rt té♦rè♠ st ♠♠ét ♥t à s♦♥ ♦♥ r♠rq q ♦♠♠ f st ♥t♣♦r t♦t y ∈ B ② ♣s ♥ x ∈ A t q f(x) = y ♥ ♦st ♥ x0 ∈ A t ♦♥ é♥t g : B → A ♣rg(y) = x t q f(x) = y s ② ♥ ♥ x0 s♥♦♥ ♥ ♦♥ g(f(x)) = x ♣♦r t♦t x ∈ A ♣s g stsrt ♣sq ♣♦r t♦t x ∈ A ② ♥ y ∈ B t q g(y) = x st ♣r♥r y = f(x)

♠rq

♥ ♣♣q très s♦♥t té♦rè♠ s♦s ♦r♠ s♥t s f : A→ B st ♥t ♦rs ♦♥ t qf st ♥ t♦♥ ♥tr A t f(A) ♥ t♦t rr ♥ st ♣s ♠ê♠ ♦♥t♦♥ f ♣sqs♥♦♥t ♣s ♠ê♠ ♥s♠ rré ♠s ss ♦♥ ts ♠ê♠ ♥♦♠ ♣♦r ① ♦ts ♣s trèsér♥ts

①r P♦rq♦ t ②♣♦tèss A 6= ∅ ♥s è♠ ♣rt té♦rè♠

é♦rè♠♦t f : A→ B ♥ srt♦♥ ①st ♥ ♦♥t♦♥ ♥t g : B → A t q f g = IdB

Pr ♦♠♠ f st srt ♣♦r q y ∈ B ♥s♠ f−1(y) = x ∈ A t q f(x) = y st ♥♦♥ ♦t xy ♥ éé♠♥t t ♥s♠ é♥ss♦♥s g : B → A ♣r g(y) = xy ♦rs f g(y) = f(xy) s ♣ré♥t♦♥ xy ∈ f−1(y) ♦♥ f(xy) = y t ♦♥ ♠♦♥tré q f g(y) = y ♣♦r t♦t y ∈ B ♣s s y 6= y′ ♦rs f−1(y) ∩ f−1(y′) = ∅ ♦♥ xy 6= xy′ q ♠♦♥tr q g st ♥t

♦rsq ①st ♥ t♦♥ ♥tr ① ♥s♠s A t B ♦♥ t q A t B s♦♥t ♥ t♦♥ ♦ qs s♦♥téq♣♦t♥ts té♦rè♠ s♥t rés♠ qqs ♣r♦♣rétés ts s ♦♥t♦♥s

é♦rè♠♦♥t f : A→ B t g : B → C ① ♦♥t♦♥s f st t ♦rs g f st ♥t rs♣ srt t ss g st ♥t rs♣ srtt g st t ♦rs g f st ♥t rs♣ srt t ss f st ♥t rs♣ srtt

①r P♦r ♥ s ♦♥t♦♥s s♥ts r s st ♥t srt t♦ t♥s s ♦ù ♦♥t♦♥ st t ♦♥ ♦♥♥r s ♦♥t♦♥ ♥rs

f1 : N → N

x 7→ 0f2 : N → N

x 7→ xf3 : N → Z

x 7→ xf4 : N → N

x 7→ x+ 1f5 : Z → Z

x 7→ x+ 1f6 : Z → Z

x 7→ −x

f7 : Z → Z

x 7→ |x|f8 : Z → N

x 7→ |x|f9 : Z → Z

x 7→ 2xf10 : Q → Q

x 7→ 2xf11 : Q∗ → Q∗

x 7→ 1/x

f12 : Q → Q+

x 7→ x2f13 : Q+ → Q+

x 7→ x2f14 : R → R+

x 7→ x2f15 : R+ → R+

x 7→ x2f16 : R → R

x 7→ x3

f17 : R → R

x 7→ sinxf18 : R → [−1, 1]

x 7→ sinxf19 : [−π/2, π/2] → R

x 7→ sinxf20 : [−π/2, π/2] → [−1, 1]

x 7→ sinx

①r P♦r ♥ s ♦♥t♦♥s s♥ts r s st ♥t srt t♦ t♥s s ♦ù ♦♥t♦♥ st t ♦♥ ♦♥♥r s ♦♥t♦♥ ♥rs

f : N → N é♥ ♣r f(n) = n/2 s n st ♣r f(n) = (n− 1)/2 s n st ♠♣r

f : Z → N é♥ ♣r f(n) = 2n s n ≥ 0 f(n) = −2n− 1 s n < 0

f : N → N é♥ ♣r f(n) = n s n st ♥ ♠t♣ f(n) = n+ 1 s n st ♦r♠ 3k + 1 f(n) = n− 1 s n st ♦r♠ 3k + 2

f : N2 → N é♥ ♣r f(n, p) = (n+ p)(n+ p+ 1)/2 + p

f : N → N é♥ ♣r f(0) = 0 s 10k ≤ n < 10k+1 ♦rs f(n) = b1 + b210 + · · · + bk10

k−1 + b010k ♦ù s bi s♦♥t s rs értr

n ♥ s st à r q n = b0 + b110 + · · ·+ bk10k

♦♥strt♦♥s ♥s♠s t ♦♥t♦♥s é♦rè♠ X1 t X2 s♦♥t ① ♥s♠s ♥ t♦♥ t Y1 t Y2 s♦♥t ① trs ♥s♠s ♥ t♦♥ ♦rs

Pr♦t X1 × Y1 st ♥ t♦♥ X2 × Y2 ♣♦r t♦t ♥tr ♥tr k Xk1 st ♥ t♦♥ Xk

2

Prts P(X1) st ♥ t♦♥ P(X2)

♦♥t♦♥s Y X1

1 st ♥ t♦♥ Y X2

2

Pr ♥ ♥ ♠♦♥tr q r♥èr ♣r♦♣rété ♦♥t♦♥s s trs s♦♥t ssés ♥ ①r ♦t ϕ : X1 → X2

♥ t♦♥ t ψ : Y1 → Y2 ♥ tr t♦♥ s ① ①st♥t ♣r ②♣♦tès ♦t ♠♥t♥♥t f ∈ Y X1

1

♥ ♦♥t♦♥ X1 ♥s Y1 ♦rs ψ f ϕ−1 st ♥ ♦♥t♦♥ X2 ♥s Y2 st à r ♥ éé♠♥t Y X2

2

♦t♦♥s Φ : Y X1

1 → Y X2

2 ♦♥t♦♥ é♥ ♣r Ψ(f) = ψ f ϕ−1 ♥ é♥t ♠ê♠ Ψ′ : Y X2

2 → Y X1

1 ♣rΨ′(g) = ψ−1 g ϕ s ♦rs ♦♥ Ψ′(Ψ(f)) = Ψ′(ψ f ϕ−1) = ψ−1 ψ f ϕ−1 ϕ = f t ♠ê♠Ψ(Ψ′(g)) = g ♦♥t♦♥ Ψ′ st ♦♥ ♥rs Ψ q st ♦♥ ♥ t♦♥

♦♥t♦♥s rtérstqs ♦t E ♥ ♥s♠ ♥♦♥ ♦t ♣rt F E étr♠♥ ♥ ♥q♦♥t♦♥ χF : E → 0, 1 ♣♣é ♦♥t♦♥ rtérstq F ♥s E t é♥ ♣r χF (x) = 1 s x ∈ F 0 s♥♦♥

①r

st ♦♥t♦♥ rtérstq ♥s♠ ♥s♠ E t♦t ♥tr

♣♣♦s♦♥s q E = N st ♥s♠ s ♥trs ♥trs st ♦♥t♦♥ rtérstq ♥s♠ s ♥trs ♣rs ♥s♠ s rrés ♣rts

♦♥t F t G ① s♦s♥s♠s E t χF χG rs ♦♥t♦♥s rtérstqs s s♦♥t ♥♦♥t♦♥ χF t χG s ♦♥t♦♥s rtérstqs F c F ∪G F ∩G

é♣r♦q♠♥t ét♥t ♦♥♥é ♥ ♦♥t♦♥ χ : E → 0, 1 étr♠♥ ♥ ♥q ♣rt Eχ E é♥ ♣r Eχ = x ∈ E t q χ(x) = 1 Pr ♦♥séq♥t s ♦♥ ♥♦t D ♥s♠ 0, 1 ② ♥t♦♥ DE ♥s♠ s ♦♥t♦♥s E ♥s D ♥s P(E)

Pr♦t rtés♥ ♦♥t X1 Xn s ♥s♠s ♣r♦t rtés♥ s Xi ♥♦té X1 × · · · ×Xn st♥s♠ s ♦♥t♦♥s c : [1, n] → X1 ∪ · · · ∪ Xn ts q ♣♦r i = 1, . . . , n ♦♥ t c(i) ∈ Xi ❯♥ t♦♥t♦♥ st ♣♣é ♥ n♣t s c(i) = xi ♣♦r i = 1, . . . , n n♣t c st ♥♦té (x1, . . . , xn)

♠rq

♥ s Xi st ♥①st ♥ ♦♥t♦♥ c t q c(i) ∈ Xi ♦♥ ♣r♦t rtés♥ X1×Xn

st

♠rq

n = 0 é♥t♦♥ ♦♥t♦♥♥ t♦♦rs ♣r♦t rtés♥ ♥s♠ st ♥s♠ s ♦♥t♦♥s [1, 0] ♥s ♥s♠ r ré♥♦♥ s Xi st ♥s♠ ♠s ♦♠♠ [1, 0] st é♠♥t♥s♠ ♣r♦t rtés♥ st rét à ♥q ♦♥t♦♥ ∅ ♥s ∅ tt ♥q ♦♥t♦♥ st♥♦té ()

n = 2 s éé♠♥ts ♣r♦ts rtés♥ X1 ×X2 s♦♥t ♣♣és s ♦♣s n = 3 s♦♥t s tr♣ts X1 = · · · = Xn = X ♣r♦t rtés♥ X1 × . . . Xn st ♥♦té Xn

①r ♦♥t n t p ① ♥trs ♥trs

♦♥trr q [1, n]× [1, p] st ♥ t♦♥ [1, np]

♥ ♥♦t [1, n] + [1, p] ♥s♠ 0 × [1, n] ∪ 1 × [1, p] ♦♥trr q [1, n] + [1, p] st ♥ t♦♥ [1, n+ p]

♦♥t♦♥s ♣srs rs ♣r♦t rtés♥ st ♥ ♦♣ért♦♥ très tsé ♠♦♥s ♠♣t♠♥t r ♣r♠t é♥r s ♦♥t♦♥s ♣srs rs ❯♥ ♦♥t♦♥ ♣srs rsst s♠♣♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♥ sr ♥ ♣r♦t rtés♥ ♥s♠s Pr ①♠♣ ♥ ♦♥t♦♥ ①r rés st ♥ ♦♥t♦♥ é♥ sr R2

♠rq

s ♦♣ért♦♥s ♦♠♠ t♦♥ sr s ♥trs ♦ ♣r♦t sr trs s♦♥t s ♦♥t♦♥s ① rs t♦♥ sr s ♥trs st é♥ sr N2 ♣r♦t sr trs R2 st é♥sr (R2)2

♦♥t♦♥s srts t ♣rtt♦♥s ♦♥t f : X → Y ♥ ♦♥t♦♥ srt ♦rs ♥s♠ s♠s ré♣r♦qs s éé♠♥ts Y ♦r♠ ♥ ♣rtt♦♥ X f−1(y), y ∈ Y