27/09/07

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Huitième cours

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Rappel du dernier cours

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

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Rappel du dernier cours

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

• Annuité simple constante de début de période

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Rappel du dernier cours

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

• Annuité simple constante de début de période

• Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de période

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Rappel du dernier cours

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de fin de période

• Annuité simple constante de début de période

• Valeur actuelle d’une annuité simple constante de début de période

• Valeur accumulée d’une annuité simple constante de début de période

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Rappel du dernier cours

Nous avons ainsi vu quatre formules:

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Rappel du dernier cours

Nous avons ainsi vu quatre formules:

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Rappel du dernier cours

Nous avons ainsi vu quatre formules:

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Rappel du dernier cours

Nous avons ainsi vu quatre formules:

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Ces différentes valeurs sont représentées dans le diagramme suivant:

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Ce dernier diagramme nous permet de relier ces différentes valeurs.

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Rappel du dernier cours

Nous avons les formules:

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Rappel du dernier cours

Nous avons les formules:

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Rappel du dernier cours

Nous avons les formules:

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Rappel du dernier cours

Nous avons les formules:

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Il est parfois nécessaire de connaitre la valeur d’une

annuité à d’autres moments qu’à t = 0 et t = n.

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La bonne stratégie est d’utiliser ce que nous avons

développé jusqu’à maintenant pour exprimer ces valeurs.

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Annuité différée:

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

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Annuité différée:

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci

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Annuité différée:

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation avant le premier paiement de celle-ci

• Valeur d’une annuité plusieurs périodes de capitalisation après le dernier paiement de celle-ci

• Valeur d’une annuité à un paiement de celle-ci

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Premier cas:

Déterminons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$ dont le début est différé de m périodes.

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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La valeur de cette annuité à t = 0 est donnée par la formule:

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Exemple 1:

Yvan Sankrédi a fait l’achat d’une chaine de magasins au montant de 20 000 000$. Il financecet achat en faisant un prêt au même montant, prêt qu’il remboursera par 30 versements annuels égaux au montant de R dollars. Il commencera ces versements dans quatre ans. Le taux effectif du prêt est de 7% par année.

Quel est le paiement annuel R fait par Yvan?

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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Nous avons bien une annuité simple constante. La période de paiement est la même que la période de capitalisation de l’intérêt.

Le taux d’intérêt est de 7% par période de capitalisation.

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

ou encore

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Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons

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Deuxième cas:

Déterminons la valeur accumulée m périodes après le dernier paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$. Nous supposons que le montant accumulé au moment du dernier paiement est investi dans un placement rémunéré au même taux d’intérêt que l’annuité.

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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La valeur de cette annuité à t = m + n est donnée par la formule:

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Exemple 2:

Anastasia déposera dans un compte de banque 100$ par mois pendant 15 ans. Elle fait ces versements à la fin de chaque mois et le taux d’intérêt auquel ce compte est rémunéré est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6% par année capitalisé mensuellement. Si elle compte retirercomplètement le capital accumulé 4 ans après le dernier versement, quel montant retirera-t-elle?

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Exemple 2: (suite)

Le taux d’intérêt par mois est

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Exemple 2: (suite)

Le taux d’intérêt par mois est

Il y aura 15 x 12 = 180 versements dans le compte debanque. Ensuite Anastasia retire son capital 4 x 12 = 48périodes plus tard.

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 228 périodes de capitalisation est

ou encore

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Peu importe que nous utilisions la première ou la seconde équation, nous obtenons que le capital accumulé est

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Exemple 3:

Barnabé emprunte 50000$ qu’il remboursera enfaisant 32 versements trimestriels: les 8 premiers paiements sont au montant de R dollars, les 16 suivants sont au montant de 0.9R dollars et les 8 derniers au montant de (R + 1000) dollars. Les paiements sont faits à la fin de chaque trimestre, le premier est fait trois mois après le prêt. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminer R.

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Exemple 3: (suite)

Le taux d’intérêt par trimestre est

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

Nous obtenons alors que

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Mais nous aurions aussi pu écrire cette équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 sous la forme

Nous obtenons aussi alors que

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Troisième cas:

Déterminons la valeur au me paiement d’une annuité simple constante de fin de période consistant en n paiements de 1$.

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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La valeur de cette annuité à t = m est donnée par la formule:

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Rente perpétuelle:

Une annuité pour laquelle les paiements ne s’arrêtent jamais est une rente perpétuelle. Les paiements sont faits à la fin de chaque période.

Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il n’y a pas de valeur accumulée parce qu’il n’y a pas de dernier paiement.

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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Rente perpétuelle: (suite)

Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par

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Rente perpétuelle: (suite)

Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires d’obtenir que

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Interprétation:

Nous pouvons interpréter la formule

au moyen de rentes perpétuelles.

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Interprétation: (suite)

Une annuité de fin de période consistant en des paiements de 1$ peut être vu comme une rente perpétuelle auquel nous soustrayons une rente perpétuelle différée de n périodes.