7/22/2019 Mathmatiques Srie S Spcialit

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SP

CIALIT

BACCALAURAT GNRAL

SESSION 2014

MATHMATIQUES

Srie S

PREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014

Dure de lpreuve : 4 heures Coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPCIALIT

Les calculatrices lectroniques de poche sont autorises,conformment la rglementation en vigueur.

Le sujet est compos de 4 exercices indpendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un rsultat prcdemment donn dans le texte pour

aborder les questions suivantes, condition de lindiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non

fructueuse, quil aura dveloppe.

Il est rappel que la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises

en compte dans lapprciation des copies.

Avant de composer, le candidat sassurera que le sujet comporte bien 6 pages

numrotes de 1/6 6/6.

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EXERCICE 1 (5 points)

Commun tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni dun repre orthonorm, on dsigne par C1la courbe reprsentative de lafonctionf1dfinie sur R par :

f1(x)= x+ ex

1. Justifier queC1passe par le point Ade coordonnes (0,1).

2. Dterminer le tableau de variation de la fonction f1. On prcisera les limites de f1en +et en.

Partie B

Lobjet de cette partie est dtudier la suite(In)dfinie sur Npar :In=

1

0

x+ enx

dx.

1. Dans le plan muni dun repre orthonormO; ,

, pour tout entier natureln,onnote

Cnla courbe reprsentative de la fonction fndfinie sur R par fn(x)= x+ enx.Sur le graphique ci-dessous on a trac la courbeCnpour plusieurs valeurs de lentiernetla droiteDdquation x= 1.

O

A

D

C1

C2

C3

C4

C6

C15

C60

a. Interprter gomtriquement lintgraleIn.

b. En utilisant cette interprtation, formuler une conjecture sur le sens de variation de

la suite (In) et sa limite ventuelle. On prcisera les lments sur lesquels on sappuiepour conjecturer.

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2. Dmontrer que pour tout entier naturelnsuprieur ou gal 1,

In+

1In=

1

0

e(n+1)x1 exdx.

En dduire le signe deIn+1 Inpuis dmontrer que la suite(In)est convergente.

3. Dterminer lexpression deInen fonction de net dterminer la limite de la suite (In).

EXERCICE 2 (5 points)

Commun tous les candidats

Les parties A et B peuvent tre traites indpendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dpistage de diverses maladies. Sonservicede communication met en avant les caractristiques suivantes :

la probabilit quune personne malade prsente un test positif est 0,99 ; la probabilit quune personne saine prsente un test positif est 0,001.

1. Pour une maladie qui vient dapparatre, le laboratoire labore un nouveau test. Une tudestatistique permet destimer que le pourcentage de personnes malades parmi la popula-tion dune mtropole est gal 0,1%. On choisit au hasard une personne dans cette popu-lation et on lui fait subir le test.On noteMlvnement la personne choisie est malade et Tlvnement le test estpositif .

a. Traduire lnonc sous la forme dun arbre pondr.

b. Dmontrer que la probabilitP(T) de lvnement Test gale 1,989103.c. Laffirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la rponse.

Affirmation : Si le test est positif, il y a moins dune chance sur deux que la personnesoit malade .

2. Le laboratoire dcide de commercialiser un test ds lors que la probabilit quune per-sonne teste positivement soit malade est suprieure ou gale 0,95. On dsigne parxlaproportion de personnes atteintes dune certaine maladie dans la population. partir de quelle valeur dexle laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

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Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en trs grande quantit, le comprim dun

mdicament.1. Un comprim est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la

masse en milligrammes dun comprim pris au hasard dans la production peut tre mo-dlise par une variable alatoire Xqui suit la loi normale N(,2) de moyenne = 900et dcart-type = 7.

a. Calculer la probabilit quun comprim prlev au hasard soit conforme. On arron-dira 102.

b. Dterminer lentier positifhtel que P(900hX 900+h) 0,99 103 prs.2. La chaine de production a t rgle dans le but dobtenir au moins 97% de comprims

conformes. Afin dvaluer lefficacit des rglages, on effectue un contrle en prlevantun chantillon de 1000 comprims dans la production. La taille de la production est sup-pose suffisamment grande pour que ce prlvement puisse tre assimil 1000 tiragessuccessifs avec remise.Le contrle effectu a permis de dnombrer 53 comprims non conformes sur lchan-tillon prlev.Ce contrle remet-il en question les rglages faits par le laboratoire? On pourra utiliser unintervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

EXERCICE 3 (5 points)

Commun tous les candidats

On dsigne par (E) lquation z4+4z2+16= 0 dinconnue complexez.

1. Rsoudre dans ClquationZ2+4Z+16= 0.crire les solutions de cette quation sous une forme exponentielle.

2. On dsigne par ale nombre complexe dont le module est gal 2 et dont un argument est

gal

3 .Calculer a2 sous forme algbrique.En dduire les solutions dans Cde lquationz2 =2+2i

3. On crira les solutions sous

forme algbrique.

3. Restitution organise de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z= x+ iyo x Ret y R, leconjugu dezest le nombre complexezdfini parz= x iy.Dmontrer que : Pour tous nombres complexesz1etz2, z1z2 = z1 z2. Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nuln, zn

= zn

.

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4. Dmontrer que sizest une solution de lquation (E) alors son conjuguzest galementune solution de (E).En dduire les solutions dans Cde lquation (E). On admettra que (E) admet au plus

quatre solutions.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour llevage de ses poissons. Tous les ans lamme priode :

il vide le bassin B et vend tous les poissons quil contenait et transfre tous les poissons

du bassin A dans le bassin B ; la vente de chaque poisson permet lachat de deux petits poissons destins au bassin A.

Par ailleurs, le pisciculteur achte en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissonspour le bassin B.

Pour tout entier naturel suprieur ou gal 1, on note respectivementanet bnles effectifsde poissons des bassins A et B au bout denannes. En dbut de premire anne, le nombre depoissons du bassin A esta0 = 200 et celui du bassin B est b0 = 100.

1. Justifier quea1 = 400 et b1 = 300 puis calculera2et b2.

2. OndsigneparAet Bles matrices telles queA=

0 21 0

etB=

200100

et pour tout entier

natureln, on poseXn= anbn

.

a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, Xn+1 =AXn+B.

b. Dterminer les relsxet ytels que

x

y

=A

x

y

+B.

c. Pour tout entier natureln, on pose Yn= an+400bn+

300

.

Dmontrer que pour tout entier natureln, Yn+1 =AYn.

3. Pour tout entier naturel n, on poseZn=Y2n.a. Dmontrer que pour tout entier naturel n, Zn+1= A2Zn. En dduire que pour tout

entier naturel n,Zn+1 = 2Zn.b. On admet que cette relation de rcurrence permet de conclure que pour tout entier

natureln,Y2n= 2nY0.

En dduire que Y2n+1 = 2nY1puis dmontrer que pour tout entier naturel n,

a2n= 6002n400 et a2n+1 = 8002n400.

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4. Le bassin A a une capacit limite 10000 poissons.

a. On donne lalgorithme suivant.

Variables : a,pet nsont des entiers naturels.Initialisation : Demander lutilisateur la valeur dep.Traitement : Sipest pair

Affecter nla valeurp

2Affecter ala valeur 6002n400.

Sinon

Affecter nla valeurp1

2Affecter ala valeur 8002n400.

Fin de Si.

Sortie : Affichera.Que fait cet algorithme ? Justifier la rponse.

b. crire un algorithme qui affiche le nombre dannes pendant lesquelles le piscicul-teur pourra utiliser le bassin A.

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