MATHÉMATIQUESMATHÉMATIQUESSERIE SCIENCES ET SERIE SCIENCES ET

TECHNOLOGIES DE LA GESTIONTECHNOLOGIES DE LA GESTION

Statistique et Statistique et ProbabilitésProbabilités

Statistique et probabilitésStatistique et probabilités Des programmes identiques en 1Des programmes identiques en 1èreère et en Terminale pour et en Terminale pour

toutes les spécialitéstoutes les spécialités.

Introduction des probabilités en s’appuyant sur des Introduction des probabilités en s’appuyant sur des simulationssimulations

« Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité, en s’appuyant sur les notions de fluctuation d’échantillonnage et de simulation abordées dans la partie statistique du programme de la classe de seconde pour souligner les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. »

La calculatrice et le tableurLa calculatrice et le tableur : des outils à privilégier« L’usage de la calculatrice ou d’un tableur permet d’enrichir le

champ des épreuves aléatoires simulées. »

STATISTIQUESTATISTIQUE

Niveau premièreNiveau première

Étude de séries de données à une variable Histogrammes, diagrammes en boîte, diagrammes en secteurs ou en bâtons. Tendance centrale - moyenne ( notamment à partir de

sous population) - médiane Dispersion : - quartiles, déciles - intervalle interquartile,intervalle interdécile. - écart type Rédiger l’interprétation d’un résultat ou d’un graphique

Tableaux croisés d’effectifs Étude fréquentielle, notion de fréquence de A sachant B

Caractéristiques de Caractéristiques de positionposition et de dispersionet de dispersion

Moyenne + écart type(Sensibles aux valeurs extrêmes)

ou

Médiane + écart interquartile

Dans un lycée, on a relevé

les pointures de trois groupes d’élèves :

Pour le groupe 1 : (15 élèves) 36_ 38_38_3838_39_39_39_39_40_40_41_4343_ 43_45_46

Pour le groupe 2 : (16 élèves) 35,5_36_36_3636_37_37_37.5_38_38_38_38_3939_41_41_42_42

La médiane n’est pas toujours une valeur de la série.La médiane n’est pas toujours une valeur de la série.

Les quartiles sont des Les quartiles sont des valeursvaleurs de la série de la série..

Calcul de la médiane et des quartilesCalcul de la médiane et des quartiles.

•Pour le groupe 3 : (16 élèves) 35,5_36_36_3636_37_37_37.5_37,5_38_38_38_3939_41_41_42_42

MédianeMédiane = 37,7537,75

Exemple de calcul de Q3Exemple de calcul de Q3:

Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des données y soient inférieures ou égales

36 38 38 38 39 39 39 39 40 40 41 43 43 45 46

0,75×15 = 11,25

Le troisième quartile est la 12ème valeur

Q3 = 43

  Calcul à la mainAvec la

calculatriceAvec un tableur

Quartile 1 36 36,5 36,5

Médiane 38 38 38

Quartile 3 39 40 39,5

Comparons ces valeurs à celles données par la calculatrice et celles trouvées sur tableur:

35,5 36 36 36 37 37 37.5 38 38 38 38 39 41 41 42 42

Diagrammes en boîtes calculatrice site académique Euler (n°63) tableur

35,5 36 38 39 42 43 46

min Q1 me Q3 max

Série 1

Série 2

Moyenne et écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes

Tableau des salaires en euro des employés d’une entreprise au 31 -12- 02

A 898,93 F 1474,16 K 1665,49 Q 898,93 V 1 303,36

B 1883,54 G 1295,06 L 898,93 R 1 303,66 W 2 057,93

C 2 295,9 H 827,93 M 898,93 S 1 491,54 X 898,93

D 898,93 I 1146,08 N 947,2 T 898,93 Y 1 200,51

E 1099,44 J 1303,75 P 4 106,25 U 1 007,13 Z 1 303,36

Le salaire médian : 1 200,51 € écart interquartile : 574,9 €le salaire moyen : 1 360,18 € s = 678,96 €

si on ne tient pas compte des salaires extrêmes :

Le salaire médian : 1200,51 € écart interquartile : 574.9 € le salaire moyen = 1263,92 € s = 389,39 €

la moyenne et l’écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes

Tableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielleTableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielle

Effectifs Familles

traditionnellesFamilles

monoparentalesFamilles

recomposées.Total

Moins de 30ans 712 197 92 1 001

De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344

De 40 à 49 ans 2 460 656 255 3 371

Plus de 50 ans 842 229 35 1 106

Total 6 474 1 640 708 8 822

Répartition des familles (en milliers) selon l’âge de la femmeEn bleu les marges.

Fréquence conjointeFréquence conjointe : :

Fréquence des familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans

 Familles

traditionnellesFamilles

monoparentalesFamilles

recomposéesTotal

Moins de 30 ans 712 197 92 1 001

De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344

De 40 à 49 ans 2 46O 656 255 3 371

Plus de 50 ans 842 229 35 1 106

Total 6 474 1 640 708 8 822

656 / 8 822 soit 8%

Les familles monoparentales où la femme a un âge compris entre 40 et 49 ans représentent 8% des familles.

Tableau des fréquences conjointes Tableau des fréquences conjointes

  Famillestraditionnelles

Famillesmonoparentales

Famillesrecomposées.

Total

Moins de 30 ans

De 30 à 39 ans

De 40 à 49 ans

8

Plus de 50 ans

Total 100

Fréquences marginalesFréquences marginales

  Famillestraditionnelles

Famillesmonoparentales

Famillesrecomposées

Total

Moins de 30 ans 712 197 92 1 001

De 30 à 39 ans 2 460 558 326 3 344

De 40 à 49 ans 2 460 656 255 3 371

Plus de 50 ans 842 229 35 1 106

Total 6 474 1 640 708 8 822

Exemple : fréquence des familles monoparentales

1 640 / 8 822 = 0,186 soit 18,6%

Les familles monoparentales représentent 18,6% des familles

Fréquences conditionnelles

Dans les familles traditionnelles 11 % des femmes ont moins de 30 ans

 

  FamillesTraditionnelles

FamillesMonoparentales

FamillesRecomposées

Total

Moins de 30 ans A

712 197 92 1 001

De 30 à 39 ans

2 460 558 326 3 344

De 40 à 49 ans

2 460 656 255 3 371

Plus de 50 ans

842 229 35 1 106

Total 6 474 1 640 708 8 822

La fréquence des femmes de moins de 30 ans parmi les familles traditionnelles :

fT (A) = 712 / 6 474 soit 11%

Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes

 

Familles traditionnelles

Familles

monoparentales

Familles recomposées

Moins de 30 ans 11% 12% 13%

De 30 à 39 ans 38% 34% 46%

De 40 à 49 ans 38% 40% 36%

Plus de 50 ans 13% 14% 5%

Total 100% 100% 100%

l’ordre des fréquences conjointes n’est pas le même que celui des fréquences conditionnelles

:Les familles où la femme a moins de 30 ans sont plus nombreuses chez les familles traditionnelles que chez les familles monoparentales pourtantla proportion des familles où la femme a moins de 30 ans est plus petite

chez les traditionnelles .

Niveau terminaleNiveau terminale

Nuage de points, point moyen.

Ajustement affine réalisé : - soit par une méthode graphique

- soit par la méthode des moindres carrés à l’aide de la calculatrice ou du tableur

Séries chronologiques

Comparaison des droites obtenues par la méthode des

moindres carrés et par la méthode de Mayer.

Utilisation d’un tableur(voir fichier dte_mayer.xls)

o

M1

M2

M3

M4

M5

M6

P1

P2

P3 P4

P5

P6

Droite d’ajustement : méthode des moindres carrésun nuage de points Mi (xi ; yi ) et une droite D d’équation

y = ax +b Pi (xi ; axi + b) le point de D de même abscisse xi que le point Mi

La droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yi et celles du modèle : axi + b , soit la quantité: Σ MiPi²

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TECHNOLOGIES DE LA GESTIONTECHNOLOGIES DE LA GESTION

ProbabilitésProbabilités

ProbabilitésProbabilités

Expérimentation et simulation : Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique. Dans

des situations élémentaires, reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues de différents types de tirages aléatoires.

En PremièreEn Première : Épreuves, événements élémentaires ou issues, univers, répartition

de probabilité.

Connaître les symboles , et la notation pour l’événement contraire.A

Calculer la probabilité d’événements : Faire le lien avec les propriétés des fréquences.

Introduire la notion de probabilité en 1ère STG

« Pour étudier une épreuve aléatoire, on a besoin d'un modèle, qui précise d'une part les issues (on les suppose ici en nombre fini), d'autre part la distribution de probabilité entre ces issues. » Daniel Schwartz, « Le Jeu de la science et du hasard, La statistique et le vivant » chez Flammarion

En 1ère STG, il s’agit d’un premier contact avec les probabilités. Cette partie du programme doit constituer un moment important de la formation en classe de première et il est nécessaire que les élèves disposent d’un temps suffisant pour se familiariser avec cette introduction aux probabilités.

IntroduireIntroduire la notion de

probabilité en 1ère STG

Introduction de la notion de probabilité par une approche statistique simulée.

Validation d’un modèle par la confrontation avec une simulation.

Dans la continuité du travail effectué en 2nde, intervient alors :- la notion de fluctuation d’échantillonnage, - l’analyse des trois approches d’un problème : « Réaliser l’expérience », « Utiliser un modèle mathématique », « Simuler l’expérience », - la relative stabilité des fréquences lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

Introduire la notion de probabilité en Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : 1ère STG : Quelques exemplesQuelques exemples

A propos de « pile ou face »A propos de « pile ou face »

1. Approche théoriqueApproche théoriqueOn peut considérer qu'une pièce est parfaite si les deux résultats « pile » et « face » sont équiprobables. On a alors une chance sur deux d'obtenir « pile » et une chance sur deux d'obtenir « face ».

2. Contrôle statistiqueContrôle statistiqueSimulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur.

Pile – Face (voir fichier pf.xls)

Introduire la notion de probabilité Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : en 1ère STG : Quelques exemplesQuelques exemples

A propos de désA propos de dés

L’expérience consiste à lancer deux dés « équilibrés » et à considérer la somme des deux faces supérieures. Estimer le nombre de chances de gagner suivant des règles fixées.

1. Approche théorique

Introduction d’arbres ou de tableaux

Définition d’une loi de probabilité

Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : Quelques exemples

Somme obtenue

D’après le tableau ci-dessus ou l’arbre, il se conçoit que « la somme 7 » ait « 6 chances sur 36 » d’être obtenue.

Introduire la notion de probabilité Introduire la notion de probabilité en 1ère STG : en 1ère STG : Quelques exemplesQuelques exemples

2. Contrôle statistiqueContrôle statistiqueSimulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur.

3. Probabilité d’évènementsProbabilité d’évènementsRègle du jeu : « Le joueur gagne si la somme obtenue est un multiple de 3 »Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?

Somme de deux dés(voir fichier somme.xls)

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses issues.

Conditionnement, probabilité, sachant B, de A :

Déterminer P(AB) connaissant PB(A) et P(B).

ProbabilitésProbabilités

Indépendance de deux événements : Caractériser l’indépendance par chacune des égalités :

Démontrer ou utiliser l’indépendance de deux événements.

( ) ( )BP A P A ( ) ( ) ( )P A B P A P B

En TerminaleEn Terminale : :

Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des probabilités et résoudre des problèmes.

Déterminer PB(A) dans des cas simples : expériences aléatoires définies à partir de tableaux croisés d’effectifs, cas de deux tirages successifs.

( )( ) si ( ) 0

( ) B

P A BP A P B

P B

Le personnel d’une entreprise est composé d’hommes et de femmes qui sont cadres ou ouvriers.

Approche de la notion de Approche de la notion de probabilité conditionnelleprobabilité conditionnelle

Fréquences conjointes

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,10 0,30 0,40

Hommes 0,20 0,40 0,60

Total 0,30 0,70 1

Cf

CHfHfC

et

Peut-on calculer les fréquences conditionnelles ?

Hf

CHfCfH

et

Fréquences conditionnelles

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,25 0,75 1

Hommes 0,33 0,67 1

Total 0,30 0,70 1

Fréquences conditionnelles

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,33 0,43 0,40

Hommes 0,67 0,57 0,60

Total 1 1 1

25% des femmes et 33% des hommes sont cadres

33% des cadres et 43% des ouvriers sont des femmes

On dispose d’un tableau de fréquences conditionnelles.

Peut-on calculer les fréquences conjointes ?

0,15 =0,25.x + 0,125.(1x)

0,125x = 0,025 x = 0,2

Fréquences conditionnelles

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,25 0,125 0,15

Hommes 0,75 0,875 0,85

Total 1 1 1

Fréquences conjointes

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,25.x 0,125.(1 x) 0,15

Hommes 0,75.x 0,875 .(1 x) 0,85

Total x 1 x 1,00

x = 0,2

Fréquences conjointes

Cadres Ouvriers Total

Femmes0,25.x=0,05

0,125.(1 x)=0,1

0,15

Hommes0,75.x=0,15

0,875 .(1 x)=0,7

0,85

Total x = 0,2 1 x = 0,8 1,00

Fréquences conjointes

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,030 0,120 0,150

Hommes 0,170 0,680 0,850

Total 0,200 0,800 1

Fréquences conditionnelles

Cadres Ouvriers Total

Femmes 0,150 0,150 0,150

Hommes 0,850 0,850 0,850

Total 1 1 1

fC(F)=f(F) f(F et C) = f(F)f(C)

Effet de structure

Dans un même lycée :

Classe A

 Taille

moyenneEffectif

Garçons 1,75 12

Filles 1,68 28

Total 40

Classe B

 Taille

moyenneEffectif

Garçons 1,73 32

Filles 1,66 8

Total 40

Taille moyenne

70140

6812875112 :A Classe ,

,,x A

72140

661873132 : B Classe ,

,,xB

1,70 1,72

Effet de structureDans un même lycée :

Classe A

 Taille

moyenneEffectif

Garçons 1,75 12

Filles 1,68 28

Total 40

Classe B

 Taille

moyenneFréquence

Garçons 1,73 t

Filles 1,66 1 t

Total 1,72 1

Taille moyenne

701

40

6812875112

A

A

,

,,

x

x

: A Classe

7

6

661772,1

661173172,1

t

t

tt

: B Classe

,

,,

1,70