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Mathématiques Troisièmes DST 3

Durée : 2h. Calculatrice autorisée. Total sur 40 points 4 points sur la présentation/rédaction.

Exercice.1 [ 2 points ]

Soit6 3 4

1 2 2,5A

. Pour calculer A, Armand tapé sur sa calculatrice la suite de touches suivante :

6 + 3 × 4 1 + 2 × 2 , 5 =.

1. Combien Armand trouve-t-il avec sa calculatrice ?

2. Effectuer ce calcul « à la main » en détaillant les différentes étapes.

3. Qu’aurait dû taper Armand pour trouver le bon résultat ?

Exercice.2 [ 4 points ] Tous les calculs et toute trace de recherche, même non aboutie, devront figurer sur la copie.

On considère le programme de calcul :

1. a. Montrer que si le nombre de départ est 1, on obtient 3 comme résultat final.

b. Lorsque le nombre de départ est ( 3) , quel est le résultat final ?

c. Lorsque le nombre de départ est noté x, quel est alors le résultat final en fonction de x ?

2. On considère l’expression 2 2( 1)P x x . Développer et réduire l’expression P.

3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?


Jean va au marché. Il dispose de 57,30€. Il achète un rôti de 1,6 kg à 15€ le kilo, un sac de 2,5 kg de pommes de terre à 2,90€ le

sac, une salade à 1,20€, un morceau de fromage et 4 éclairs au chocolat à 1 ,90€ pièce. Après cela, il lui manque 13,60€ pour

s’acheter une chemise qui coûte 31€. Combien pèse le morceau de fromage sachant qu’il est à 14€ le kg ?


1. Calculer A et mettre sous forme d’une fraction irréductible de7 2 27

A15 75 12

2. Calculer B et donner l’écriture scientifique de6 2 2

7

25 10 (3 10 )B

2 45 10


Voici une figure à main levée d’un quadrilatère.1. Pourquoi peut-on affirmer que MOEL est un losange ?

2. Chris dit que c’est un carré mais Olivia prétend lecontraire.Qui a raison ? Le démontrer..

Choisir un nombreAjouter 1Calculer le carré du résultat obtenuLui soustraire le carré du nombre de départEcrire le résultat final

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Pour protéger le bord de son talus de 6 mètres de haut et de 20 mètres de long, M. Tino construit un mur en béton

armé dont la forme est un prisme droit à base triangulaire.

On donne ci-dessous une coupe transversale de ce talus ( les proportions ne sont pas respectées )

Le triangle de base, ABC, est rectangle en B avec BC = 2 m et AB = 6 m.

Les points A,U et C sont alignés ainsi que les points A,T et B.

Afin d’évacuer les eaux d’infiltration, il désire placer des tubes cylindriques perpendiculairement au talus à 2 m du

sol. Sur la figure, l’un de ces tubes est représenté par [UT].

1. a. Calculer la longueur exacte UT en mètres.

b. Donner la valeur approchée par excès au cm de UT.

2. Montrer que le volume de béton nécessaire pour réaliser ce mur est 120 m3.

3. Sachant que la masse volumique de ce béton est 2,5 t/m3, quelle est la masse totale du béton utilisé ?




Corrigé du DST 3 - Décembre 2012

Exercice.1

1. A la calculatrice, Armand trouve : 23.

2.6 3 4

A1 2 2,5

,

6 12A

1 5

,

18A

6 ,

3 6A

1 6

, A 3 . En effectuant « à la main » le calcul, on obtient : A=3

3. Il manque des parenthèse pour que le calcul tapé donne le résultat correct : « ( 6 + 3 x 4 ) (1 + 2 x 2,5 ) = »

Exercice.2

1. a. 11

21 2 4 4 (1) 4 1 3

élever soustraireau lecarré du

ajouter carré nombrededépart

. Lorsque le nombre de départ est 1, le résultat obtenu est 3.

b.1

23 2 4 4 ( 3) 4 9 5



. Lorsque le nombre de départ est -3, le résultat obtenu

est -5.

c. En notant x le nombre de départ, le programme de calcul donne :

1

2 21 1 1 ²



x x x x x L’expression littérale obtenue est 2( 1) ²P x x .

2. Développons 2( 1) ²P x x

On a : 2( ) 2( )(1) (1)² ²P x x x , puis : ² 2 1 ²P x x x , soit finalement : 2 1P x .

3. Trouver le nombre de départ pour lequel le programme de calcul donne 15 cela revient à résoudre 15P ,

c’est-à-dire, en utilisant la forme développée de P : 2 1 15x , qui donne : 2 15 1x , puis : 2 14x , ou

encore :14

2x , soit finalement : 7x . Le nombre de départ cherché est : 7.

Exercice.3

En tenant compte des différentes informations, la dépense effectuée est : 1,6 15€ 2,9€ 1,2€ 14€ 4 1,9€x .

S’il y avait 13,6€ en plus de disponible, Jean aurait pu acheter une chemise à 31€, donc on peut écrire :

la dépense réelle + 31€ de dépense fictive = la quantité réelle d’argent disponible + 13,6€ ( ce qui lui manque ), d’où :

1,6 15€ 2,9€ 1,2€ 4 1,9€ 14€x + 31€ = 57,3€ + 13,6€. On obtient l’équation : 35,7 14 31 70,9x , soit :

14 70,9 35,7 31x , puis : 14 4,2x ,4,2

14x , soit finalement : 0,3x . Il a acheté 0,3 kg de fromage.

Exercice.4

7 2 27A

15 75 12

7 2 27A

15 75 12

7 2 3 9A

15 75 3 2 2

7 10 9A

15 10 150

70 9A

15 10

61A

150

6 2 2

7

6 2

25 10 (3 10 )B

2 45 10

5 5 10 3B

2 2(10 )

2 9

7

6 ( 2) 2 7

6 4 7

5

5 10

5B 10 10 10

2

B 2,5 10

B 2,5 10


Exercice.5

1. On sait que le quadrilatère MOEL a ses quatre côtés de même longueur.

On utilise: par définition, un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

On en déduit que : MOEL est un losange.

2. Si le losange était un carré, alors il aurait quatre angles droits. Montrons par exemple que MLE n’est pas un

angle droit. Calculons séparément :

LM² + LE² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32

EM² = 5,6² = 31,36

On constate que LM² + LE² EM² ; dans le triangle MEL, l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, donc ce triangle

n’est pas rectangle, et par conséquent Olivia peut en déduire que le losange MOEL n’est pas un carré : c’est donc

elle qui a raison.

Exercice.6 Le mur de béton

1. a. Calculons la longueur exacte UT en mètres.

On sait que : (TU)(AB) et (BC)(AB)

On utilise : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.

On en déduit que : (TU) // (BC).

On sait que : (BT) et (CU) sont sécantes en A , (TU) // (BC).

On utilise : le théorème de Thalès.

On en déduit que :AT AU UT

AB AC CB , soit en tenant compte des distances connues :

6 2

6 2

AU UT

AC

, ou

encore :4

6 2

AU UT

AC . On utilise :

4

6 2

UT , qui s’écrit aussi :

2

3 2

UT , d’où :

22

3UT , soit :

4

3UT .

Finalement :4

3UT m .

Remarque : on peut dire que le segment [UT] mesure4

3m , ou que la longueur de [UT] est

4

3m , ou que la mesure

de [UT] est4

3m , mais il est incorrect de parler de « la longueur de UT » .

b. A l’aide de la calculatrice, la valeur approchée par excès de UT est 1,34 m.


2. Comme pour tout solide droit, on a : Volume = aire de la base × hauteur. Ici, la base est le triangle ABC et la

« hauteur » du prisme de béton est la longueur du mur c’est-à-dire 20 m.

L’aire d’un triangle rectangle est donné par :'

2

produit des côtés del angledroit, donc l’aire de ABC est égale à :

2 66

2 2

BC BA . Le volume du prisme de béton est donc égal à : 6m² × 20 m = 120 m3.

3. 1 m3 de béton a une masse de 2,5 t donc, en multipliant par 120, on en déduit que : 120 × 1m3 ont une masse

120×2,5 t soit 300 t. Le mur de béton a une masse de 300 t.

Exercice.7 Le silo à grains

Partie 1

1. Le volume d’un cône est donné par :²

3cône

R hV

.

a. Ici :2² (1,2) 1,6 96

3 3 125cône

AB SAV

. A l’aide de la calculatrice, on obtient :

32,413côneV m .

b. La contenance totale du silo est la somme du volume du cylindre et du cône, donc est environ égale à :

10,857 m3 + 2,413 m3, soit 13,27 m3. Or 1 m3 = 1 000 l, donc le silo contient environ 13 270 litres.

Remarque : le contenance exacte est² 96

² 3,456 4,2243 125

AB SAAB AI

( m3 ) , soit

environ 13 270,1 litres arrondi au dixième de litre.

2.

a. Le coefficient de réduction est :1,2

0,751,6

SOk

SA .

b. Pour un agrandissement ou une réduction, si les distances sont multipliées par k, alors les aires sont

multipliées par k² et les volumes par k3. Donc le volume de grains en m3 est :3 96

0,75125

, soit à l’aide de la

calculatrice environ 1,018 m3 arrondi au millième ( soit 1 018 litres arrondi au litre près ).

Partie.2

Remarquons d’abord que B appartient à [HC] donc HC = HB + BC, soit, en tenant compte des distances connues :

HC = 1,6 m + 2,4 m = 4 m.

Calculons séparément :

HM

HN0,8

2

0,4

HB

HC1,6

4

0,4

On constate queHM HB

HN HC

Les droites (NM) et (CB) sont sécantes en H etHM HB

HN HC , donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, on

en déduit que les droites (MB) et (NC) sont parallèles.

Les échelles sont parallèles.


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