Mathématiques – Mécanique Session : 1 sessionstephane.basnary.free.fr/.../ISIP_15_16_eval.pdfDeux annexes (ANNEXE n 1 page n 15 et ANNEXE n 2 page n 16) Un formulaire de mathématiques

Identifiant Candidat : Année : 2015 – 2016

EiCNAM – ISIP Module : Mathématiques – MécaniqueSession : 1ière session

Mathématiques – Mécanique

Session : 1ière session

Thème:

Lois de Probabilités, Statistiques descriptives,Résistance des matériaux, Dynamique des fluides.

Durée : 4 H

Calculatrice de type collège autorisée

Les documents suivants sont joints au sujet :

➢ Deux annexes (ANNEXE n°1 page n°15 et ANNEXE n°2 page n°16)➢ Un formulaire de mathématiques (page n°17 et suivantes)

Le candidat répondra directement sur le sujet en indiquant son identifiant sur chaque pageLe sujet ne doit pas être désagrafé

Notes à l'attention des candidats :Consignes communes– Tous les exercices sont indépendants.– La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.– Les détails de calculs devront clairement apparaître sur la copie.

Consignes spécifiques à la mécanique– Documents autorisés : notes de cours personnelles, guide du dessinateur, guide du calcul. – La couleur rouge, sauf mention dans le texte, est exclusivement réservée à la correction.– Un résultat numérique sans unité (lorsqu'elle est nécessaire) sera considéré comme invalide.– La théorie utilisée, le cheminement du raisonnement et les explications nécessaires doivent apparaître clairement, avec des schémas si nécessaires.– Les tracés peuvent être effectués au crayon, de façon lisible.– En cas de donnée incorrecte ou manquante, le candidat justifie sa rectification ou son choix, de façon à aboutir à une résolution complète.

M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°1/19

Identifiant Candidat : Mise en situation professionnelle

Les canettes de soda.

Ce type d'emballage est devenu incontournable, au point qu'il rivalise avec d'autres conditionnements (verre, plastique, complexes) dans les produits liquides destinés à l'alimentation.

Ses caractéristiques se sont standardisées principalement autour du contenu de 33 centilitres, avec des dimensions (hauteur et diamètre) elles aussi « figées ».

Mais pourquoi ces dimensions pour ce contenu ? Est-ce bien optimisé ?A la mise en rayon ces canettes sont présentées pour le mise en vente en packs de six (6),

filmées. Les packs sont regroupés en cartons de dix (10) pour le transport. Ce carton (caisse américaine) est ensuite palettisé. Le carton de 10 packs pourrait-il être manutentionné par le vide ?

Le matériau qui constitue les canettes est, pour l'essentiel, soit de l'acier ou de l'aluminium, tous deux facilement recyclables. Il est donc intéressant de les récupérer.

Votre rôle dans la société ECOCAN vous amène à vous intéresser à tous les stades de vie de ce produit.

Le tableau ci-dessous résume l'ensemble du sujet.

EXERCICE Thème Mathématiques Mécanique1 Dimensionnement 6 points2 Conditionnement 9 points3 Dégustation 6 points4 Compactage 8 points

5 Compactage : étude de marché 7 points

6 Recyclage : Tir 8 points7 Recyclage : R & D 6 points

Total : 25 points Total : 25 points


Identifiant Candidat : EXERCICE n°1: (6 points) Dimensionnement

Une canette de soda de trente-trois centilitres (33 cl) sera modélisée par un cylindre de diamètre d, de rayon r de hauteur h et de volume V, conformément au schéma ci-contre. L'objectif final pour ECOCAN est de minimiser la surface S du patron (S = Sr + 2 Sd) de la canette de 33 cl, afin optimiser la quantité d'aluminium à utiliser pour sa production. 1. Dimensionnement grossier.

a) Estimer, en cm, les dimensions d'une canette de soda de 33 cl puis déterminer son volume V en cm3 arrondi à l'unité.

........................................................................................................................................................b) En déduire le volume V en centilitres de la canette puis commenter le résultat obtenu.

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........................................................................................................................................................ 2. Dimensionnement théorique. Exprimer, en fonction de r et/ou h, les expression suivantes :

a) La surface Sd d'un des deux disques de rayon r.

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b) La surface Sr de la partie rectangulaire du patron.

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c) Le volume V du cylindre et la surface S de l'ensemble du patron.

........................................................................................................................................................ 3. Dimensionnement optimum. On rappelle que r et h sont exprimés en centimètres. La contrainte

d'optimisation est V = 33 cl. A l'aide des résultats de la question 2.c),a) Convertir 33 cl en cm3 puis donner une relation entre r et h satisfaisant la contrainte V = 33 cl.

........................................................................................................................................................b) Exprimer alors la surface S comme une fonction S (r) de la seule variable r.

........................................................................................................................................................c) Étudier rapidement la fonction S. En déduire la valeur de r puis de h satisfaisant la contrainte.

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h

Sd

d

r

Sr

Sd

V

Identifiant Candidat : EXERCICE n°2: (9 points) Conditionnement

Les canettes de soda sont filmées par packs de six canettes puis mise en caisses américaines comportant dix packs (60 canettes au final par caisse).

Le concepteur de la chaîne de palettisation a prévu, sur les conseils d'ECOCAN, de manipuler ces caisses par un robot utilisant un préhenseur à vide, et c'est la solution qu'il présente.

Le vide est assuré par l'air comprimé qui passe dans un composant qui fonctionne suivant le principe de Venturi, conformément au schéma ci-dessous.

Les données numériques sont les suivantes :➢ Le générateur de vide est alimenté par un débit d’air Qv = 10 L/min sous une pression pA = 5

bars.➢ L’aire de la section SA est de 50 mm2 et l’aire de la section SB de la buse B vaut 0,2 mm2,➢ Masse volumique de l’air : ρ = 1,3 kg/m3,➢ Surface de contact de la ventouse : S = 0,08 m2.

L'air dans cette application sera supposé incompressible de sorte que les débits volumiques en A et B seront pris égaux. 1. Calculer, dans les unités du SI, les vitesses d’écoulement de l’air vA et vB.

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........................................................................................................................................................ 2. Déterminer la pression pB dans la buse en Pa puis en bar. Vous expliciterez clairement votre

démarche.

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Identifiant Candidat : 3. En quoi l'hypothèse d'incompressibilité paraît-elle ici recevable ? Commenter.

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........................................................................................................................................................ 4. Commenter la valeur de pression trouvée à la question 2..

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........................................................................................................................................................ 5. Quelle relation littérale permet de relier la force préhension de la ventouse (F), la surface de

contact de la ventouse (S), la pression de la ventouse pB et la pression atmosphérique (patmosphérique) ?

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........................................................................................................................................................ 6. Calculer cet effort (F) de préhension et en déduire la masse de l’objet que ce système permet de

soulever.

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........................................................................................................................................................ 7. Commenter le résultat obtenu.

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Identifiant Candidat : EXERCICE n°3: (6 points) Dégustation

Lorsqu'une canette est stockée dans une chambre froide, un réfrigérateur ou bien une glacière, on peut supposer que l'ensemble contenu/contenant atteint la température de stockage TS au bout d'un certain temps. Très souvent, cette température de stockage TS est trop fraiche pour une dégustation immédiate de la canette. Il faut attendre un certain temps tD avant que la canette atteigne une température de dégustation TD plus conforme aux papilles gustatives.

ECOCAN se propose d'étudier en fonction du temps t l'évolution de la température T d'une canette sortie d'un réfrigérateur (température de stockage TS) et laissée à l'air ambiant (température TA), puis de déterminer le temps d'attente tD avant dégustation.

A partir de l'instant t = 0 de sortie du réfrigérateur, on suppose que la température T du système contenu/contenant de la canette vérifie l'équation différentielle suivante :

(E) : T ' (t) + b × T (t) = ddans laquelle :➢ T (en degré Kelvin) est une fonction de la variable t et T ' est la fonction dérivée de T,➢ t (en seconde) est le temps et b et d sont des constantes inconnues pour l'instant.

1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : T ' (t) + b × T (t) = 0.

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........................................................................................................................................................ 2. Déterminer une solution particulière constante de (E). En déduire une relation entre b, d et TA.

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........................................................................................................................................................ 3. En déduire la solution générale de (E).

........................................................................................................................................................ 4. Après avoir énoncé la (ou les) condition(s) initiale(s) vérifiée(s) par la température T de la

canette, déterminer alors l'expression de la fonction solution T (t) uniquement en fonction de TS, TA, b et de la variable t.

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Identifiant Candidat : 5. Temps d'attente tD avant dégustation.

a) Déterminer l'expression littérale de la solution de l'équation T (t) = TD.

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........................................................................................................................................................b) Faire l'application numérique en utilisant les valeurs suivantes TS = 277 °K, TA = 293 °K,

TD = 283 °K et b = 3 × 10 – 3 SI et d = b × TA . Arrondir à la seconde près.

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........................................................................................................................................................c) Dans les mêmes conditions que la question précédente, quelle nouvelle valeur de b faudrait-il

pour diminuer par deux le temps d'attente tD avant dégustation.

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Identifiant Candidat : EXERCICE n°4: (8 points) Compactage

Dans cette partie, on se référera aux figures de l'ANNEXE page n°15.Ces canettes vides représentent un potentiel de matière récupérable.

Cependant, une fois vides leur densité est très faible, ce qui grève le coût de leur transport. Qui plus est, en site isolé comme en montagne par exemple, elles encombrent rapidement les rares poubelles destinées à leur collecte.

ECOCAN vous suggère de les compacter sur place et vous vient l'idée de mettre à disposition du public, sur place, un mécanisme manuel et robuste qui permette à tous de le faire facilement sans sauter à pieds joints dessus !

Votre dispositif se veut ludique, manipulable par tous y compris un enfant, et très simple. Conformément au schéma ci-contre, Il comporte un socle sur lequel sera posée verticalement la canette. Du socle part une glissière faite de deux colonnes et d'une navette qui sert d'enclume pour écraser la canette. Pour obtenir un effort d'écrasement efficace il est démultiplié par un levier et une biellette de raccordement. 1. Analyse fonctionnelle du dispositif. Sur la figure n°1 de l'ANNEXE n°1 page n°15, entourer en

couleur chaque pièce avec le code suivant : ➢ Rotation : rouge, orange ou jaune ➢ Translation : bleu ➢ Fixe : vert

2. Établir, sur la figure n°2 de l'ANNEXE n°1 page n°15 le schéma cinématique minimum du dispositif, en respectant la symbolique des liaisons. Le code couleur utilisé pour la représentation sera le même qu'à la question précédente.

3. Étude statique. Le bras de levier est horizontal. L'effort, exercé par la main, est supposé appliqué à son extrémité et verticalement pour une efficacité maximum. Cet effort est indiqué d'une intensité de 10 daN.a) Commenter cette valeur.

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........................................................................................................................................................b) En étudiant graphiquement sur l'ANNEXE n°2 page n°16 la situation du bras de levier donner

sur ce document la valeur de la force exercée sur la biellette qui sera considérée comme en compression pure.

c) La force de compression de la biellette est supposée égale à 150 daN. La longueur de la biellette est de 240 mm, en tube d'acier type S235.Proposer un diamètre convenable en le justifiant complètement.

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Identifiant Candidat : EXERCICE n°5: (7 points) Compactage : étude de marché

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.Les résultats seront arrondis à 10 – 3 près.

Partie A. Probabilité de compactagePour étudier la faisabilité de la mise en place d'un processus de compactage pour les canettes de

soda, ECOCAN réalise un sondage sur un ensemble de consommateurs de canettes de soda.Les résultats du sondage sont les suivants :➢ 60% des canettes sont consommées par un homme et ceux-ci sont prêts à 85% à compacter

leurs canettes consommées.➢ Parmi les consommatrices, 95% sont prêtes à compacter leurs canettes consommées.

Soient les événements suivants :➢ H : la canette est consommée par un homme,➢ C : la canette sera compactée.

1. Construire intégralement l'arbre de probabilité associé à ce sondage.

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........................................................................................................................................................ 2. En déduire la probabilité P ( C ).

........................................................................................................................................................ 3. Calculer les probabilités conditionnelles suivantes :

a) La probabilité que la canette a été consommée par une femme sachant que la canette sera compactée.

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........................................................................................................................................................b) La probabilité que la canette a été consommée par un homme sachant que la canette ne sera

pas compactée.

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Identifiant Candidat : Partie B. Canettes non compactées dans un lot

Dans cette partie, on admet que la probabilité de compactage d'une canette consommée au hasard est 0,9. On s'intéresse désormais à la variable aléatoire N donnant le nombre de canettes non compactées sur un échantillon de cinquante canettes. 1. On suppose que N suit une loi binomiale.

a) Déterminer les paramètres de cette loi.

........................................................................................................................................................b) Déterminer les probabilités P ( N = 0 ) et P ( N 2 ).

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........................................................................................................................................................ 2. On admet que la loi suivie par la variable aléatoire N peut être approchée par une loi de Poisson.

a) Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson.

........................................................................................................................................................b) Soit Z la variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ déterminé à la question

précédente, déterminer les probabilités P ( Z = 0 ) et P ( Z 2 ).

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Identifiant Candidat : EXERCICE n°6: (8 points) Recyclage : tir

Les canettes écrasées sont ensuite collectées dans un conteneur qui comporte une ouverture circulaire pour les y insérer. ECOCAN étudie la possibilité de jeter la canette, l'opérateur étant éloigné du conteneur.

Vous estimez que le lanceur est situé à une distance L = 3 m du conteneur et lance à la main sa canette qu'il vient de compacter.

Le trou du conteneur a son axe à une hauteur hL = 1,5 m du sol et son diamètre est de d = 240 mm. Le départ du lancé est supposé s'effectuer à la hauteur de h0 = 1 m. 1. Tir rectiligne. En supposant un tir tendu (donc en ligne droite, ce qui suppose un lanceur très

vigoureux !), donner en degré arrondi à l'unité l'angle β de départ nécessaire par rapport à l'horizontale pour passer au milieu du trou.

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........................................................................................................................................................ 2. Tir courbe. On suppose désormais que la canette est un point matériel et on néglige les

frottements dans l'étude de son mouvement. a) En plaçant le repère ( O, x, y ) à l'origine du tir, déterminer les expressions littérales des

équations horaires x(t) et y(t) du mouvement de la canette. On notera α angle de départ par rapport à l'horizontale et v0 la vitesse initiale, de coordonnées (v0 × cos α ; v0 × sin α). α et v0

seront considérés comme des paramètres.

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Identifiant Candidat :

b) En déduire l'expression littérale y(x) de l'équation parabolique de la trajectoire de la canette.

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........................................................................................................................................................ 3. Un lanceur effectue un tir courbe avec α = 45 degrés.

a) Déduire de la question 2.b) la nouvelle expression de y(x).

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........................................................................................................................................................b) Déterminer alors l'expression littérale de la vitesse v0 qui satisfait un tir pleinement réussi

(passant au milieu du trou).

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........................................................................................................................................................c) Faire l'application numérique et convertir en km/h. On prendra g = 10 m s – 2.

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........................................................................................................................................................d) Commenter la valeur obtenue.

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Identifiant Candidat : EXERCICE n°7: (6 points) Recyclage : R & D

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.Les résultats seront arrondis à 10 – 3 près.

ECOCAN a pour but de trouver des partenariats nationaux avec les centres de déchèterie afin d'implanter sur site à la fois le dispositif de compactage de canette et le conteneur dédié à la récupération. Au sein de cette entreprise, vous serez à même d'étudier l'efficacité de compactage et l'évolution de la masse de canettes recyclées.

Partie A. Recherche : efficacité de compactageLe compacteur est muni d'un dispositif permettant de mesurer en cm l'épaisseur e de la canette

une fois compactée. Des tests préliminaires réalisés au sein d' ECOCAN ont permis d'établir la série statistique ci-dessous :

Épaisseur e [ 0,5 ; 0,6[[ 0,6 ; 0,7[[ 0,7 ; 0,8[[ 0,8 ; 0,9[[ 0,9 ; 1,0[[ 1,0 ; 1,1[[ 1,1 ; 1,2[[ 1,2 ; 1,3[Effectif n 2 8 18 26 24 14 6 2

1. Déterminer la taille N, la moyenne me et l'écart-type σe de l'échantillon étudié.

........................................................................................................................................................ 2. On considère désormais la variable aléatoire X, qui a tout échantillon de N canettes compressées

de taille N, associe l'épaisseur moyenne des canettes compressées. On considère que X suit une loi normale de moyenne m = 0,89 et d'écart-type σ = 0,015.Déterminer la valeur h telle que P ( m – h X m + h ) = 0,90.L'intervalle [ m – h ; m + h ] est appelé intervalle de confiance à 90%.

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........................................................................................................................................................ 3. L'entreprise souhaite mettre sur le marché une nouvelle version du compacteur qui réduit

significativement l'efficacité de compactage. Dans les mêmes conditions de test qu'avec l'ancien compacteur, on mesure sur un nouvel échantillon de N canettes compressées avec le nouveau compacteur une nouvelle épaisseur moyenne e' = 0,87.a) Indiquer si oui ou non la valeur e' appartient à l'intervalle de confiance trouvé à la question 2..

........................................................................................................................................................b) En déduire si oui ou non le nouveau compacteur réduit significativement l'efficacité de

compactage. Tout élément de justification sera pris en compte.

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Identifiant Candidat : Partie B. Développement : masse recyclée

Suite à l'implantation de conteneurs dédiés à la récupération de canettes, ECOCAN étudie l'évolution de la masse de canettes recyclées sur les premiers mois de mise en place du dispositif. Les résultats sont présentés par la série A du tableau ci-dessous (Les données du premier mois ne sont pas présentées à cause de la mise en place du dispositif. L'unité de masse est arbitraire) :

Série AMois t 2 3 4 5 6 7

Masse m 2,41 3,17 3,51 4,54 5,59 6,65

Série BMois t 2 3 4 5 6 7

z = ln m

1. En utilisant uniquement les données du septième mois, donner une estimation de la masse de canettes recyclées au 8ième mois.

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........................................................................................................................................................ 2. A l'aide de la calculatrice, donner les coefficients a, b et r de la droite de régression linéaire de la

série de données A( x = t ; y = m ).

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........................................................................................................................................................ 3. A l'aide de la calculatrice, compléter la ligne du tableau associée à z = ln m et donner les

coefficients a, b et r de la droite de régression linéaire de la série de données B( x = t ; z = ln m ).

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........................................................................................................................................................ 4. En utilisant la série de données A ou B la plus pertinente, déterminer la masse de canettes

recyclées au 8ième mois. Justifier la série de données utilisée.

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Identifiant Candidat : ANNEXE n°1

EXERCICE n° 4: Question 1.

Figure n°1 : Analyse fonctionnelle du dispositif

EXERCICE n° 4: Question 2.

Figure n°2 : Schéma cinématique minimum du dispositif


Identifiant Candidat : ANNEXE n°2

EXERCICE n° 4: Question 3.b) Étude

Graphique

Échelle des forces : 2 cm pour 10 daN


Identifiant Candidat : FORMULAIRE : Fonction

Dérivées, primitives, calcul intégral

É quations différentielles


Identifiant Candidat : FORMULAIRE : Loi de probabilités


Identifiant Candidat :
