Mathématiques Stage n°

C.F.A du bâtiment Ermont

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Présentation

Quelle différence peut-on trouver entre 1 litre de plomb, 1 litre d’eau et 1 litre de liège ?

Que se passe-t-il si l’on met le plomb et le liège dans l’eau ?

Pourquoi l’huile est toujours au dessus du vinaigre quand on laisse reposer une vinaigrette ? Quel rapport y a-t-il entre la flottaison d’un bateau, l’envol d’une montgolfière et le comportement des bulles dans de l’eau ?

Première partie :

Regardons de plus près la première question : quelle différence peut-on trouver entre 1 litre de plomb, 1 litre d’eau et 1 litre de liège ?

La vie de tous les jours nous a appris depuis longtemps que sur une balance, il y a une nette différence entre eux :

1 litre de plomb a une masse un peu supérieure à 11 kg (environ) 1 litre d’eau a une masse de 1 kg 1 litre de liège a une masse de 250 g, c’est à dire 0,25 kg (environ)

Définition :

On appelle masse volumique la masse d’une matière pour un volume donné.

La masse volumique est souvent symbolisée par la lettre ρ (prononcez « rho ») et se calcule par la formule :

ρ = où M est la masse de l’objet et V son volume.

L’unité de la masse volumique ρ est déterminée par les unités employées pour M et V : ce peut être des kg/L, des kg/m3, des tonnes/m3, etc.

Pour reprendre nos exemples précédents, on peut écrire leur masse volumique :

Pour le liège : ρ = 0,25 kg/L (environ) Pour l’eau : ρ = 1 kg/L Pour le plomb : ρ = 11 kg/L (environ)

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Deuxième partie :

Regardons à présent la seconde question : que se passe-t-il si l’on met le plomb et le liège dans l’eau ?

C’est sans grande surprise : le liège flotte, le plomb coule.

On pourrait recommencer avec d’autres matières pour se rendre compte que c’est toujours la même chose :

Un objet ayant une masse volumique supérieure à celle de l’eau (c'est-à-dire supérieure à 1 kg/L) va couler dans l’eau.

Un objet ayant une masse volumique inférieure à celle de l’eau (c'est-à-dire inférieure à 1 kg/L) va flotter dans l’eau.

Exercice :

En vous aidant du tableau récapitulatif de la page15, cochez les bonnes réponses ci-dessous :

a) On plonge une bille d’aluminium dans de l’eau. Que va-t-il se passer ?

Elle flotte.

Elle coule.

b) On plonge une bille de lithium dans de l’eau. Que va-t-il se passer ?

Elle flotte.

Elle coule.

c) On plonge une bille de pierre ponce dans de l’eau. Que va-t-il se passer ?

Elle flotte.

Elle coule.

d) On plonge une bille d’ébène dans de l’eau. Que va-t-il se passer ?

Elle flotte.

Elle coule.

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Troisième partie :

Regardons maintenant les dernières questions :

Pourquoi l’huile est toujours au dessus du vinaigre quand on laisse reposer une vinaigrette ? Quel rapport y a-t-il entre la flottaison d’un bateau, l’envol d’une montgolfière et le comportment des bulles dans de l’eau ?

Petite remarque physique : en sciences, les liquides et les gaz peuvent être regroupés sous un même nom : on les appelle des fluides.

Répondons aux questions …

Quand on met ensemble de l’huile et du vinaigre, pour des raisons d’antipathie chimique, ils ne se mélangent pas. Comme ce sont deux fluides, le plus « léger » d’entre eux (l’huile) va remonter et « flotter » sur le vinaigre. En d’autres termes, le fluide qui aura la masse volumique la plus petite va flotter sur l’autre.

Quand on considère la flottaison d’un bateau, c’est pareil : sa masse volumique totale (nous reviendrons sur ce point) est plus petite que celle de l’eau dans laquelle il flotte.Pour les bulles qui remontent à la surface de l’eau, c’est encore pareil : les bulles ont une masse volumique plus petite que celle de l’eau, elles remontent donc à la surface pour « flotter ».

Enfin, le cas de deux fluides gazeux est identique : celui qui aura la plus petite masse volumique remontera et l’autre restera en dessous. C’est ainsi que fonctionne une montgolfière : on chauffe de l’air dans le ballon, celui-ci acquiert alors une masse volumique plus petite (l’air chaud « tient plus de place ») que celle de l’air environnant. Le ballon aura donc tendance à « flotter » dans l’air environnant, et donc à décoller du sol.

Remarque : en règle générale, les gaz chauds remontent, comme c’est le cas pour l’air.

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Problème :

On veut fabriquer une barque en béton armé. Sa forme est basique, c’est celle d’une boite rectangulaire toute simple. Voici quelques données qui vont nous être nécessaires :

La longueur de cette « barque » est de L = 2,50 m.

Sa largeur est de l = 1 m.

Sa hauteur est également de h = 1 m.

L’épaisseur des parois est de e = 10 cm.

La masse volumique ρ du béton armé de cette barque est de ρ = 3 kg/L.

La masse volumique ρ de l’eau douce est de ρ = 1 kg/L.

La masse volumique ρ de l’eau de mer est de ρ = 1,06 kg/L.

Enfin, et pour rappel : 1 m3 = 1000 L.

1) Indiquer rapidement les cotes sur le schéma ci-dessus.

2) Calculer le volume total VT de cette barque avec l’air qu’elle contient :

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3) Calculer le volume VB de béton armé nécessaire pour la fabriquer :

4) Calculer la masse M de cette barque

5) Calculer la masse volumique ρ de cette barque :

6) Cocher les bonnes réponses :

La barque flotte dans l’eau douce

La barque coule dans l’eau douce

La barque flotte dans l’eau de mer

La barque coule dans l’eau de mer

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Exercice sans calcul (profitez-en !):

Sur les bateaux amenés à naviguer partout dans le monde, en eau douce comme en eau de mer, on trouve des indications très importantes sur la coque …

Que signifient ces indications et comment les expliquer ?

TD=eau douce tropicale D =eau douce T =eau salée tropicale E = eau salée l'été H =eau salée l'hiver HAN= eau salée l'hiver en atlantique nord B V = bureau Veritas, société de contrôle

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Un dernier mot sur la densité …

Dans le langage courant, on désigne souvent par les mots légers et lourds des objets dont la masse volumique est petite ou grande. Mais il arrive aussi souvent qu’on utilise le mot dense : peu dense, très dense, etc.

La densité d’un corps est une comparaison de sa masse volumique avec celle d’un autre corps de référence :

L’eau pour les liquides et les solides.

L’air pour les gaz.

En terme mathématiques, et si l’on note d la densité d’un corps, et ρ sa masse volumique :

d =

C’est un nombre simple, sans unité. Intéressons-nous au cas des liquides : cela devient très simple puisque ρeau = 1 kg/L.

Un corps qui a une densité plus grande que 1 coulera dans l’eau.

Un corps qui a une densité inférieure à 1 flottera.

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Exercice 1:

La masse volumique de l’eau est ρeau = 1 kg/L.

On rappelle aussi que 1L peut être apparenté à un volume de 1 dm3.

1) Convertir :

1 kg = ____________________ g

1 L = ____________________ cm3

2) Exprimer la masse volumique de l’eau en g/cm3 :

3) On donne le tableau suivant :

Essences forestières Masse en g Volume en cm3 Masse volumique en g/cm3

Chêne rouge 200 308

Noyer noir 640 1015

Pin blanc 1000 2631

Ébène 860 750

Calculer la masse volumique de chacune de ces 4 essences de bois et indiquer vos réponses dans le tableau.

4) On plonge ces 4 morceaux de bois dans de l’eau. Lesquels flottent, lesquels coulent ?

Essences flottantes Essences qui coulent

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Exercice 2:

Une pièce en acier a une masse de 195 g. On sait également que la masse volumique de l’acier 7,8 g/cm3.

Calculer le volume V en cm3 de cette pièce d’acier.

Exercice 3:

Un bloc de bois a une masse de 8,8 kg pour un volume de 11 dm3.

1) Calculer la masse volumique de cette essence de bois.

2) Quelle serait la masse d’une pièce de 19 dm3 du même bois ? Pouvez-vous proposer deux méthodes pour faire ce calcul ?

3) Quel serait le volume d’une pièce du même bois si sa masse vaut 52 kg ? Pouvez-vous proposer deux méthodes pour faire ce calcul ?

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Exercice 4:

La masse volumique du béton est de 2,6 kg/L.

Convertir cette masse volumique en kg/m3 puis en tonne/m3 :

Calculer la masse en kg puis en tonnes d’un bloc de 12 m3.

Exercice 5:

Un tube a un diamètre extérieur de 27 mm, un diamètre intérieur de 20 mm, une hauteur de 80 cm.

Ce tube est fabriqué avec un alliage métallique dont la masse volumique est de 2,4 kg/m3.

Calculer le volume de ce tube, puis sa masse.

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Problème de révision :

On dispose d’un échantillon d’acier (issu d’un morceau de tube). On mesure sa masse m en g et son volume en cm3.

Les résultats donnent : m = 42,9 g et V = 5,5 cm3 .

1) Convertir m en kg et V en m3 :

m = ………………………… kg et V = ………………………… m3

2) Compléter le tableau suivant :

V en cm3 0 1 2 5 5,5 10

M en g

3) V et m sont-ils proportionnels ?

Si oui, combien vaut le coefficient de proportionnalité, et comment l’appelle-t’ on dans ce cas-là ?

4) Écrire une relation mathématique entre m et V :

5) Dans le repère fourni à la page 14, tracer la courbe de m en fonction de V .

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6) Déterminer graphiquement : Pour V =6,5 cm3 => on a m = …………………… g.

Pour m = 62,4 g => on a V = …………………… cm3.

7) Retrouver ces 2 résultats par le calcul : (2 méthodes pour chaque résultat).

Méthode 1 : par la formule : Méthode 2 : avec le tableau :

8) On note désormais = 7,8 g / cm3 la masse volumique de l’acier.

Convertir en : kg / cm3 , en kg / dm3 , en kg / m3 , et enfin en tonnes / m3 .

= ……………………. kg / cm3

= ……………………. kg / dm3

= ……………………. kg / m3

= ……………………. tonnes / m3

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9) Cet échantillon d’acier est schématisé ci-contre : On rappelle que son volume est V = 5,5 cm3 . Écrire une relation mathématique qui donne V en fonction de R, r et h : (R est le rayon extérieur et r le rayon intérieur)

10) Sachant que R = 10,5 mm et que r = 8,5 mm , combien vaut la hauteur h ?

11) Que dire de la flottaison d’un tel objet ? Que faire pour le faire flotter ?

Exemple : pourquoi une péniche ou un pétrolier flottent alors qu’ils sont en acier ?

h

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V en cm 3

M en g

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Quelques exemples de masses volumiques …