Mathématiques Enoncés de devoirs...9 MPSI Compilation de devoirs Avril 2020 9 Corrigé Exercice 1 1) P(3) = 0 . 2) La méthode telle que vous la connaissez conduit à chercher Qsous

Mathématiques

Enoncés de devoirs

SZ, Lycée Jean Bart

Le présent document est une compilation de devoirs donnés en MPSI depuis l'année 2014 au Lycée Jean Bart. Sonbut est de fournir su�samment de matière et de variété pour faire un tour d'horizon, aussi exhaustif que possible, duprogramme de Sup.

Une partie de ces sujets, l'immense majorité en fait, est le fruit d'un travail en collaboration avec mes collèguesdirects (présents et passés !), et je tiens donc à remercier chaleureusement : Pierre B, Cathy et Bernard L, Richard R,Sylvain H, Laurent V et Ludovic P.

Par ailleurs, l'inspiration provient aussi de sujets de Concours, et d'énoncés trouvés sur les sites d'autres MPSI.Je tiens notamment à remercier David Delaunay pour la richesse des documents qu'il a mis en ligne.

Dunkerque, le 10 avril 2020

Table des matières

1 Devoirs en temps libre 71.1 DM � Equations, logique (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 DM � Trigonométrie, complexes (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 DM � Trigonométrie, sommes, complexes (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 DM � Fonctions, sommes, complexes (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 DM � Complexes, fonctions, sommes, applications (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 DM � Suites, nombres réels, équas di�s (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 DM � Suites, densité (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8 DM � Matrices, probabilités (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9 DM � Dénombrement, groupe symétrique (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.10 DM � Entiers de Gauss, continuité et dérivabilité, indicatrice d'une partie (2018) . . . . . . . . . . . . 52Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.11 DM � Algèbre linéaire, polynômes et fractions rationnelles, DL (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.12 DM � DL, limites, matrices (2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.13 DM � Intégrales, complexes, fonctions (2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 MPSI � Compilation de devoirs � Avril 2020 4

1.14 DM (Halloween) � Complexes, sommes, applications, fonctions, trigonométrie, limites (2017) . . . . . . 81Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2 Devoirs surveillés 992.1 DS � Logique, sommes, récurrences (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.2 DS � Complexes, sommes, trigo � Formule de Vandermonde / Valeur exacte de cos(π/10) (2018) . . . 106Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3 DS � Sommes, trigonométrie, fonctions, complexes (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.4 DS � Applications, dérivées n-èmes, complexes / Méthode de Cardan, transformation de Tschirnhauspour les équations de degré 3 (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.5 DS5 � Equas di�s, intégrales � Valeur exacte de ζ(2) via les intégrales de Wallis (méthode de Matsuoka)(2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.6 DS � Suites, intégrales, matrices / Valeur exacte de ζ(2) via un lemme de Riemann et Lebesgue(Concours blanc 1, 2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.7 DS � Suites, probabilités, matrices, groupes � Formule de Stirling (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.8 DS � Matrices, groupe symétrique, continuité � Résolution d'une équation fonctionnelle / Etude d'ungroupe diédral, en pensant à Evariste (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2.9 DS � Probabilités, DL, arithmétique � Dé�nition, étude et DL à tout ordre de la fonction argsh (2018) 196Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.10 DS � Calculs de sommes, logique, récurrences (2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

2.11 DS � Complexes, fonctions, dérivées n-èmes (2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

2.12 DS � Fonctions, applications, calcul intégral � Intégrales de Wallis / Formule de Stirling (2017) . . . . 224Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2.13 DS � Equations di�érentielles, intégrales � Résolution d'une EDL d'ordre 3 (2017) . . . . . . . . . . . . 240Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

2.14 Micro DS (prépa au CB1, 2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259


2.15 DS � Intégrales, calcul matriciel, suites, groupes (Concours blanc 1, 2017) . . . . . . . . . . . . . . . . 263Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

2.16 DS � Suites, probabilités, calcul matriciel, continuité (2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

2.17 DS � Groupe symétrique, continuité, dérivabilité, arithmétique � Etude de A6 // Codage RSA (2017) . 292Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

2.18 DS � Polynômes, fractions rationnelles, algèbre linéaire, DL � DL de arcsinus // Polynômes interpola-teurs de Lagrange et calcul intégral (2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

2.19 DS � Algèbre linéaire, polynômes, fractions rationnelles � Interpolation polynomiale, courbes B-splines(2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

2.20 DS � Algèbre linéaire, sommes de Riemann, calcul intégral � Exemple de diagonalisation // Méthodede Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

2.21 DS � Espaces euclidiens, séries � Règle d'Abel // Groupes des similitudes d'un espace euclidien (2017) 356Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

2.22 DS � Séries, espaces euclidiens � Réseau d'entiers // Critère de condensation de Cauchy (2017) . . . . 362Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

2.23 DS � Algèbre linéaire, polynômes, calcul intégral � Une fonction dé�nie par une intégrale // Polynômesde Bernstein (Concours blanc 2, 2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Corrigé (du pb1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

2.24 DS � Probas, analyse, algèbre linéaire, arithmétique � Polynômes de Bernstein et théorème de Stone-Weierstrass // Entiers sommes de deux carrés (Concours blanc 2, épreuve spéci�que, 2017) . . . . . . . 376Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

2.25 DS � Sommes, logique, ensembles, récurrences (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

2.26 DS � Sommes, complexes, trigonométrie, applications, dérivées n-èmes (2016) . . . . . . . . . . . . . . 393Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

2.27 DS � Equations di�érentielles, calcul intégral � Résolution d'une EDL3 // Calcul de ζ(2) . . . . . . . . 400Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

2.28 DS � Suites, intégrales, et suites d'intégrales � Irrationnalité de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

2.29 DS � Calcul intégral, suites, complexes, équas di�s, suites, groupes � Calculs de primitives et d'inté-grales, études de fonctions, suites � Etude d'une suite d'intégrales // Etude d'une SRL3 et d'une EDL3(Concours blanc 1, 2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416


Corrigé (du pb2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.30 DS � Calcul matriciel, nombres complexes, structures algébriques � Dé�nition matricielle du corps des

nombres complexes (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

2.31 DS � Groupes, permutations, continuité, limites � Théorème de Lagrange sur les groupes �nis //Simplicité de A5 (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

2.32 DS � Algèbre linéaire, polynômes � Etude des symétries dans un espace vectoriel (2016) . . . . . . . . 457Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

2.33 DS � Polynômes, algèbre linéaire, espaces euclidiens � Un problème d'algèbre inspiré d'un sujet d'E3a(2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

2.34 DS � Algèbre linéairé, polynômes, calcul intégral, suite � Méthode d'intégration numériques // Endo-morphismes dont le noyau et l'image sont supplémentaires (Concours blanc 2, 2016) . . . . . . . . . . 480Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Corrigé (du pb1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

2.35 DS � Arithmétique, probabilités, algèbre linéaire � Un résultat sur l'indicatrice d'Euler (Concours blanc2, 2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

2.36 Concours blanc 1, 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

2.37 Concours blanc 2 (2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

2.38 DS � Algèbre linéaire � Endomorphismes cycliques // Origines de la diagonalisation (2015) . . . . . . 537Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

2.39 DS � Arithmétique, algèbre linéaire � Anneau des entiers de Gauss // Hyperplans dans Mn (K)(Concours blanc 2, épreuve spéci�que, 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553



2.42 DS � Espaces vectoriels de dimension �nie, applications linéaires, matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 582Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

2.43 DS � Sommes, trigonométrie, complexes, fonctions usuelles, calcul intégral // Constante de Catalan(2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

Chapitre 1

Devoirs en temps libre

Les énoncés suivants sont ceux de devoirs non surveillés, ce qui explique les di�érences de longueurs entre cessujets.


1.1 DM � Equations, logique (2018)

Enoncé

Exercice 1 � (Equations). Soit P le polynôme de la variable complexe z dé�ni par

P (z) = z3 − (3 + 4i) z2 − 3 (1− 4i) z + 9

1) Calculer P (3).

2) Montrer que P (z) peut se mettre sous la forme (z − 3)Q (z) où Q est un polynôme du second degré que l'ondéterminera (à l'aide de la méthode d'identi�cation, ou d'une autre méthode de votre choix).

3) On pose z = Z + 2i et Q (z) = Q1 (Z).

Déterminer le polynôme Q1, puis résoudre dans C l'équation Q1 (Z) = 0.

4) Déduire des questions précédentes les solutions dans C de l'équation Q(z) = 0, puis celles de P (z) = 0.

Exercice 2 � (Fonctions et inéquations).

1) Etablir que : ∀ x ∈ R, ex > x+ 1. Interprétation graphique ?

2) Etablir que : ∀ x > −1, ln (1 + x) 6 x. Interprétation graphique ?

3) Etablir que : ∀ x > 0, ex > 1 + x+ x2

2.

Exercice 3 � (Logique). Soient P et Q deux assertions logiques. On dé�nit l'opérateur logique NOR par P ∨Qet on le notera par

P ↓ Q ≡ P ∨Q

1. Donner la table de vérité de P ↓ Q.

2. Si A [respectivement B] est l'ensemble des éléments qui véri�ent l'assertion P [respectivement l'assertion Q].Quel est l'ensemble des éléments qui véri�ent P ↓ Q ? (on pourra s'aider d'un dessin).

3. Montrer que P peut s'exprimer uniquement en fonction de P et du symbole ↓.

4. En déduire (P ∧Q) puis (P ∨Q) uniquement en fonction de P , Q et du symbole ↓.

5. Exprimer (P ⇒ Q) uniquement en fonction de P , Q et du symbole ↓.

Exercice 4 � (Récurrence). Tout au long de cet exercice, x désigne un réel di�érent −1.

1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel N :1

1 + x=

[N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 x

N+1

1 + x

2) Déduire de la question précédente la limite lorsque N tend vers +∞ de SN =N∑k=0

(−1)k

k + 1.


Corrigé

Exercice 1 � 1) P (3) = 0 .

2) La méthode telle que vous la connaissez conduit à chercher Q sous la forme Q (z) = az2+ bz+ c, puis à développer(z − 3)Q(z), et en�n à identi�er l'expression obtenue avec le polynôme P (z). On en déduit un système de troiséquations à trois inconnues (a, b et c) dont la résolution donne les coe�cients du polynôme recherché.

Voici à présent une méthode pour �identi�er plus vite� : le terme de plus haut degré de P est z3. Ceci entraînenécessairement a = 1. A l'opposé, le terme constant de P est +9, ce qui entraîne cette fois que c = −3. Ce quinous conduit à chercher Q sous la forme : Q (z) = z2 + bz − 3, et il n'y a plus qu'une seule inconnue à déterminer.Explicitement :

(z − 3)Q (z) = (z − 3)(z2 + bz − 3

)= z3 + z2 (b− 3) + z (−3− 3b) + 9

Par identi�cation de cette expression avec le polynôme P , on en déduit les deux équations :

b− 3 = −3− 4i et −3− 3b = −3 + 12i

Et ces deux équations donnent : b = −4i. Conclusion : ∀ z ∈ C, P (z) = (z − 3)(z2 − 4iz − 3

).

Remarque : �l'autre méthode� à laquelle il était fait allusion dans l'énoncé était celle de division euclidienne, dontnous avons brièvement parlé la semaine dernière, et que nous verrons en tous les cas dans le courant de cette année

(au début du second semestre).

3) Comme le suggère l'énoncé, on pose z = Z + 2i dans le polynôme Q, et on obtient alors :

Q(z) = Q1 (Z) = (Z + 2i)2 − 4i (Z + 2i)− 3 d'où Q1 (Z) = Z2 + 1 .

L'équation Q1 (Z) = 0 a donc exactement deux solutions dans C : ±i .

4) En revenant à la variable initiale, on déduit de la question précédente que l'équation Q (z) = 0 a exactement deuxsolutions dans C : i et 3i. A l'aide de cette observation et de la question 2, on peut conclure que l'équation P (z) = 0possède exactement trois solutions dans C : 3, i et 3i .

Exercice 2� 1) On pose : ∀x ∈ R, f(x) = ex−x−1. La fonction f est dérivable sur R et : ∀x ∈ R, f ′(x) = ex−1.

Puisque ex > 1 (resp. 6 1) sur R+ (resp. sur R−), on peut a�rmerque f ′ est positive sur R+, négative sur R−.Donc f est décroissante sur R− et croissante sur R+ ; elle admetdonc un minimum en 0.

Comme f(0) = 0, on en déduit que f est positive sur R. Ainsi :∀x ∈ R, ex − x− 1 > 0 d'où ∀x ∈ R, ex > x+ 1 .Interprétation graphique : la courbe représentative de la fonctionexponentielle est située au-dessus de la droite d'équation y = x+1.

2) On pose : ∀x > −1, f(x) = ln (1 + x)− x. La fonction f est dérivable sur ]− 1;+∞ [ et :

∀x > −1, f ′(x) = 11 + x

− 1 = − x1 + x

.


La dérivée f ′ est du signe opposé à x ; elle est donc positive sur ]− 1; 0],et négative sur [0;+∞ [ .

Donc f est croissante sur ]− 1; 0] et décroissante sur [0;+∞ [ ; elle admetà ce titre un maximum en 0. Comme f(0) = 0, on en déduit que f estnégative sur ]− 1;+∞ [ .

Ainsi : ∀x > −1, ln (1 + x)− x 6 0.

D'où ∀x > −1, ln (1 + x) 6 x .

Interp. graphique : la courbe représentative de la fonction x 7−→ ln(1+x)est située en-dessous de la droite d'équation y = x− 1.

3) On pose : ∀x ∈ R+, f(x) = ex − 1− x−x2

2. La fonction f est dérivable sur R+ et : ∀x ∈ R+, f ′(x) = ex − x− 1.

Or on sait d'après le 1) que f est positive sur R+.Donc f est croissante sur R+ ; elle admet donc un minimum en 0. Commef(0) = 0, on en déduit que f est positive sur R+.

Ainsi : ∀x ∈ R+, ex − 1− x−x2

2> 0 d'où ∀x ∈ R+, ex > 1 + x+

x2

2.

Interprétation graphique : sur R+, la courbe représentative de la fonction

exponentielle est située au-dessus de la parabole d'équation y = 1+x+x2

2.

On peut en outre déduire (ce n'était pas demandé dans l'énoncé) de l'étudeprécédente que sur R−, la courbe représentative de la fonction exponentielle

est située en-dessous de la parabole d'équation y = 1 + x+x2

2.

Exercice 3 � Pour commencer, on peut observer que P ↓ Q, dé�ni comme la proposition P ∨Q, est logiquementéquivalent à P ∧Q (c'est une des deux lois de De Morgan).

1) Ci-contre, la table de vérité de P ↓ Q.

2) Si A [respectivement B] est l'ensemble des éléments qui véri�entl'assertion P [respectivement l'assertion Q], alors l'ensemble des élé-

ments qui véri�ent P ↓ Q est A ∪B = A ∩B .

P Q P Q P ↓ Q ≡ P ∧QV

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V V

F

V

F F

F

F

V

3) Par dé�nition de l'opérateur NOR, on a pour toute proposition mathématique P : (P ↓ P ) ≡(P ∧ P

)d'où :

(P ↓ P ) ≡ P .

4) Soient P et Q deux assertions mathématiques. On a :

ä d'une part : (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q) ≡ (P ↓ Q) ∧ (P ↓ Q) ≡ (P ↓ Q) ≡ P ∧Q ≡ P ∨Q ≡ P ∨Q ;

ä et d'autre part : (P ↓ P ) ↓ (Q ↓ Q) ≡ (P ↓ P ) ∧ (Q ↓ Q) ≡(P ∧ P

)∧(Q ∧Q

)≡ P ∧Q

Conclusion : P ∧Q ≡ (P ↓ P ) ↓ (Q ↓ Q) et P ∨Q ≡ (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q) .

5) Puisque : [P =⇒ Q] ≡ P ∨Q, on déduit des questions 3 et 4 que :

[P =⇒ Q] ≡ [(P ↓ P ) ↓ Q] ↓ [(P ↓ P ) ↓ Q]


Exercice 4 � 1) Pour N entier naturel, on note P(N) la propriété :1

1 + x=

[N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 x

N+1

1 + x.

Initialisation. Pour N = 0, on a :[N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 x

N+1

1 + x=

[0∑

k=0

(−1)k xk]+ (−1)1 x

1

1 + x= 1− x

1 + x=

1

1 + x

Donc la propriété P(0) est vraie.

Hérédité. Supposons la propriété P(N) pour un certain entier naturel N , et montrons que P(N + 1) l'est. On a :[N+1∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+2 x

N+2

1 + x=

[N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 xN+1 + (−1)N+2 x

N+2

1 + x

⇐⇒

[N+1∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+2 x

N+2

1 + x=

1

1 + x− (−1)N+1 x

N+1

1 + x+ (−1)N+1 xN+1 + (−1)N+2 x

N+2

1 + x

⇐⇒

[N+1∑k=0

(−1)k xk]+(−1)N+2 x

N+2

1 + x=

1

1 + x+(−1)N+2 xN+1 + (−1)N+1 xN+1 + (−1)N+1 xN+2 + (−1)N+2 xN+2

1 + x

⇐⇒

[N+1∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+2 x

N+2

1 + x=

1

1 + x+

(−1)N+1(−xN+1 + xN+1 + xN+2 − xN+2

)1 + x

⇐⇒

[N+1∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+2 x

N+2

1 + x=

1

1 + x

Ce qui prouve que la propriété P(N + 1) est vraie, et établit l'hérédité de la propriété.

Conclusion. ∀N ∈ N, ∀x ∈ R, x 6= −1, 11 + x

=

[N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 x

N+1

1 + x

2) Soit N un entier naturel arbitraire. D'après la question précédente :

1

1 + x=

[N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 x

N+1

1 + x

En intégrant terme à terme cette relation sur l'intervalle [0; 1] on obtient :∫ 10

1

1 + xdx =

∫ 10

([N∑k=0

(−1)k xk]+ (−1)N+1 x

N+1

1 + x

)dx

⇐⇒ [ln(1 + x)]10 =∫ 10

[N∑k=0

(−1)k xk]dx+

∫ 10

(−1)N+1 xN+1

1 + xdx (par linéarité de l'intégrale)

⇐⇒ ln 2 =

[N∑k=0

(−1)k∫ 10xkdx

]+ (−1)N+1

∫ 10

xN+1

1 + xdx (par linéarité de l'intégrale, bis)

⇐⇒ ln 2 =

[N∑k=0

(−1)k[xk+1

k + 1

]10

]+ (−1)N+1

∫ 10

xN+1

1 + xdx


⇐⇒ ln 2 =

[N∑k=0

(−1)k

k + 1

]+ (−1)N+1

∫ 10

xN+1

1 + xdx

D'où :

[N∑k=0

(−1)k

k + 1

]= ln 2− (−1)N+1 aN (♠) en ayant posé : aN =

∫ 10

xN+1

1 + xdx.

Observons à présent que pour tout x dans [0; 1], on a : 1 + x > 1. Il découle de cette remarquable observation que :

∀x ∈ [0; 1] , 0 6 xN+1

1 + x6 xN+1. En intégrant cet encadrement sur [0; 1], on obtient alors :

0 6∫ 10

xN+1

1 + xdx 6

∫ 10xN+1 dx d'où : 0 6 aN 6

1

N + 2

On déduit de cet encadrement et du théorème des gendarmes que : limN−→+∞ aN = 0 (♣) .

Conclusion. D'après (♠) et (♣) : limN−→+∞

[N∑k=0

(−1)k

k + 1

]= ln 2 .

Remarque. Plus tard dans l'année (sans doute au mois de juin), nous interprèterons cette conclusion en disant que

la série de terme général(−1)k

k + 1est convergente, et a pour somme ln 2, et nous écrirons �simplement� :

+∞∑k=0

(−1)k

k + 1= ln 2.


1.2 DM � Trigonométrie, complexes (2018)

Enoncé

Exercice 1. Résoudre dans R l'équation

cos(x) + cos(4x) + cos(7x) = 0

Exercice 2. On commence par rappeller les formules d'Euler :

∀ θ ∈ R, cos (θ) = eiθ + e−iθ

2et ∀ θ ∈ R, sin (θ) = e

iθ − e−iθ

2i

Ces deux formules sont des conséquences directes de l'identité :

∀ θ ∈ R, eiθ = cos (θ) + i sin (θ)

1) Soit θ ∈ R. Montrer qu'il existe deux réels R et α que l'on précisera tels que :

1 + eiθ = Reiθ/2 cos (α)

2) Soient n ∈ N, et θ ∈ ] 0; 2π [ . Calculer les sommes

C =n∑

k=0

(n

k

)cos (kθ) et S =

n∑k=0

(n

k

)sin (kθ)

Indication : sans que ce soit une obligation, on pourra calculer C + iS. Et pour vous donner une idée du résultat 1,on doit obtenir : ∀n ∈ N, ∀ θ ∈ ] 0; 2π [ , C = 2n cos (nθ/2) cosn (θ/2).

Exercice 3. On pose ω = cos(π9

).

1) Soit a un réel. Exprimer cos (3a) en fonction de cos(a).

2) Montrer que ω est racine d'un polynôme de degré 3 à coe�cients entiers relatifs.

3) Question subsidiaire 2 � Etablir que ω est irrationnel.

1. L'intérêt étant la méthode pour y parvenir, plus que le résultat en lui-même.2. A cette époque de l'année, cette question est très di�cile à traiter si vous n'avez jamais fait d'arithmétique.


Corrigé

Exercice 1. Résoudre dans R l'équation

(E) : cos(x) + cos(4x) + cos(7x) = 0

Pour tout réel x, on a : cos(x) + cos(7x) = 2 cos(3x) cos(4x). 3 On en déduit que pour tout réel x :

x est solution de (E)

⇐⇒ cos(4x) + 2 cos(3x) cos(4x) = 0⇐⇒ cos(4x) (1 + 2 cos(3x)) = 0

⇐⇒ (cos(4x) = 0) ∨(cos(3x) = −1

2

)⇐⇒

(x =

π

8

[π4

])∨(x = ±2π

9

[2π

3

])Conclusion. L'ensemble des solutions de l'équation cos(x)+cos(4x)+cos(7x) = 0 est :{π

8+ k

π

4/ k ∈ Z

}∪{2π

9+

2kπ

3/ k ∈ Z

}∪{−2π

9+

2kπ

3/ k ∈ Z

}Exercice 2. 1/ Soit θ ∈ R. On a : 1 + eiθ = eiθ/2

(e−iθ/2 + eiθ/2

). D'où : ∀ θ ∈ R, 1 + eiθ = 2eiθ/2 cos

(θ

2

).

2/ Soient n ∈ N, et θ ∈ ] 0; 2π [ . Calculons C + iS, comme le suggère l'énoncé.

C + iS =n∑

k=0

(n

k

)cos (kθ) + i

n∑k=0

(n

k

)sin (kθ)

⇐⇒ C + iS =n∑

k=0

(n

k

)[cos (kθ) + i sin (kθ)]

⇐⇒ C + iS =n∑

k=0

(n

k

)ei kθ

⇐⇒ C + iS =n∑

k=0

(n

k

)(ei θ)k× 1n−k

D'après la formule du binôme de Newton : C + iS =(1 + ei θ

)n.

On en déduit, grâce à la question précédente, que : C + iS = 2neinθ/2 cosn(θ

2

).

En identi�ant les parties réelles et imaginaires des deux termes de cette égalité, il vient :

n∑k=0

(n

k

)cos (kθ) = 2n cos

(nθ

2

)cosn

(θ

2

)et

n∑k=0

(n

k

)sin (kθ) = 2n sin

(nθ

2

)cosn

(θ

2

)

Exercice 3. On pose ω = cos(π9

).

1/ Soit a un réel. On a :

cos(3a) = cos(2a+ a) = cos(2a) cos(a)− sin(2a) sin(a) =(2 cos2 a− 1

)cos(a)− 2 sin2(a)︸︷︷︸

=1−cos2(a)

cos(a)

= 2 cos3 a− cos(a)− 2 cos(a) + 2 cos3(a)

Conclusion : ∀ a ∈ R, cos(3a) = 4 cos3(a)− 3 cos(a) .

3. Il su�t d'appliquer la formule : cos p+ cos q = 2 cos(p+ q

2

)cos(p− q

2

).


ä Méthode alternative. On peut également traiter cette question avec les méthodes récemment vues dans le cours.

On commence par observer que : cos(3a) = Re(ei3a)

(par dé�nition de la notation eix)

Or : ei3a =(eia)3

(c'est l'écriture �avec des exponentielles� de la formule de Moivre)

Autrement écrit : ei3a = (cos(a) + i sin(a))3

D'où : ei3a = cos3(a) + 3i cos2(a) sin(a)− 3 cos(a) sin2(a)− i sin3(a) (binôme de Newton pour développer (a+ b)3)

On déduit de cette dernière ligne et de l'observation faite au départ que : cos(3a) = cos3(a)− 3 cos(a) sin2(a).

D'après la relation fondamentale de la trigo, on a : cos(3a) = cos3(a)− 3 cos(a)(1− cos2(a)).

On retrouve ainsi (ouf !) la relation : cos(3a) = 4 cos3(a)− 3 cos(a)

2/ On applique la formule précédente avec a = π/9. On obtient alors : cos(π3

)= 4 cos3

(π9

)− 3 cos

(π9

).

Autrement écrit :1

2= 4ω3 − 3ω. Par suite : 8ω3 − 6ω − 1 = 0.

Conclusion : cos(π9

)est solution de l'équation 8X3 − 6X − 1 = 0 .

3/ Question subsidiaire 4 � Etablir que ω est irrationnel.

Je vous propose de revenir sur cette question dans quelques semaines, lorsque nous aborderons le chapitre d'arithmé-

tique. En attendant, pour ceux d'entre vous qui ont déjà quelques notions sur ce thème, voici une piste pour montrer

l'irrationnalité de ω.

On utilise un raisonnement par l'absurde 5, en supposant donc que ω est rationnel. Sous cette hypothèse, il existe deuxentiers p et q, premiers entre eux, tels que ω = p/q. On remplace ω par p/q dans l'équation de la question 2, onmultiplie l'égalité obtenue par q3 pour ne plus avoir de dénominateur, et en�n on utilise astucieusement le lemme deGauss pour conclure. . .

4. A cette époque de l'année, cette question est très di�cile à traiter si vous n'avez jamais fait d'arithmétique.5. C'est presque un incontournable lorsque l'on veut prouver qu'un nombre est irrationnel.


1.3 DM � Trigonométrie, sommes, complexes (2018)

Enoncé

Exercice 1 � (Have sum more fun !) Soit n un entier naturel non nul.Calculer les sommes (les deux questions sont complètement indépendantes) :

Sn =n∑

k=0

(−1)k(2n+ 1

k

)et Un =

2n∑k=0

(−1)k k.

Exercice 2 � (Une propriété de Un) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Etablir que :

∑ω∈Un

|ω − 1| = 2 cotan( π2n

)(rappel : cotanθ =

cos θ

sin θ)

Exercice 3 � (Pour en finir avec la linéarisation). Le but de cet exercice est d'établir des for-

mules générales de linéarisation de cosN (θ) et sinN (θ) pour tout entier naturel N .

1/ Le cas �cos / N pair� � Linéarisation de cos2n (θ). Soient n un entier naturel non nul, et θ un réelquelconque.

a/ Etablir que :

2n∑k=n+1

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

n−1∑k=0

(2n

k

)e−2i(n−k)θ

b/ Montrer que :

cos2n (θ) =1

22n

((2n

n

)+ 2

n−1∑k=0

(2n

k

)cos (2 (n− k) θ)

)2/ Le cas �sin / N impair� � Linéarisation de sin2n+1 (θ). Soient n un entier naturel non nul, et θ un réel

quelconque. En s'inspirant de la question précédente, établir que :

sin2n+1 (θ) =

(−14

)n n∑k=0

(2n+ 1

k

)sin ((2n− 2k + 1) θ)

Exercice 4 � (Pour en finir avec la délinéarisation). Soient n un entier naturel, et θ un réel.Etablir que :

cos (2nθ) =n∑

p=0

(2n2p

)(−1)p cos2(n−p)(θ)

p∑j=0

(p

j

)(−1)j cos2j(θ)


Corrigé

Exercice 1 � (Have sum more fun !) Soit n un entier naturel non nul.

ä Calcul de Sn =n∑

k=0

(−1)k(2n+ 1

k

).

D'après la relation de Pascal, on a pour tout entier naturel k :

(2n+ 1

k

)=

(2n

k

)+

(2n

k − 1

).

Il s'ensuit que : Sn =

(n∑

k=0

(−1)k(2n

k

))+

(n∑

k=0

(−1)k(

2n

k − 1

))(♠).

En observant que

(2n

−1

)= 0, on a :

n∑k=0

(−1)k(

2n

k − 1

)=

n∑k=1

(−1)k(

2n

k − 1

). Le changement d'indice K = k − 1

permet alors d'écrire :n∑

k=1

(−1)k(

2n

k − 1

)=

n−1∑k=0

(−1)k+1(2n

k

).

On en déduit, avec (♠), que : Sn =n∑

k=0

(−1)k(2n

k

)+

n−1∑k=0

(−1)k+1(2n

k

). D'où, en sortant le terme de rang n de la

première somme : Sn = (−1)n(2n

n

)+

n−1∑k=0

(−1)k[(

2n

k

)−(2n

k

)].

Conclusion. ∀n ∈ N,n∑

k=0

(−1)k(2n+ 1

k

)= (−1)n

(2n

n

).

ä Calcul de Un =2n∑k=0

(−1)k k.

L'idée est de séparer la somme suivant les termes de rang pair et ceux de rang impair. On a :

Un =2n∑k=0

(−1)k k =2n∑

k=0, k pair

(−1)k k +2n∑

k=0, k impair

(−1)k k =2n∑

k=0, k pair

k −2n∑

k=0, k impair

k

Les entiers pairs entre 0 et 2n sont tous ceux de l'ensemble : {2k / k ∈ [[ 0, n ]]}.

Les entiers impairs entre 0 et 2n sont tous ceux de l'ensemble : {2k + 1 / k ∈ [[ 0, n− 1 ]]}.

Par suite : Un =n∑

k=0

2k −n−1∑k=0

(2k + 1) = 2n∑

k=0

k − 2n−1∑k=0

k︸︷︷︸=2n

−n−1∑k=0

1︸︷︷︸=n

.

Conclusion. ∀n ∈ N,2n∑k=0

(−1)k k = n .


Exercice 2 � (Une propriété de Un) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Etablir que :

∑ω∈Un

|ω − 1| = 2 cotan( π2n

)(rappel : cotanθ =

cos θ

sin θ)

On a :∑ω∈Un

|ω − 1| =n−1∑k=0

∣∣∣e2i kπ/n − 1∣∣∣ = n−1∑k=0

∣∣∣ei kπ/n∣∣∣× ∣∣∣ei kπ/n − e−i kπ/n∣∣∣ = n−1∑k=0

|2i| ×∣∣∣∣sin(kπn

)∣∣∣∣D'où :

∑ω∈Un

|ω − 1| = 2n−1∑k=0

∣∣∣∣sin(kπn)∣∣∣∣.

Or pour tout k ∈ [[ 0, n− 1 ]], on a : kπn∈ [0, π]. D'où : sin

(kπ

n

)> 0.

On en déduit que :∑ω∈Un

|ω − 1| = 2n−1∑k=0

sin

(kπ

n

)(♠).

On retrouve alors un calcul de somme classique :

n−1∑k=0

sin

(kπ

n

)= Im

(n−1∑k=0

eikπ/n)

= Im

(1− einπ/n

1− eiπ/n

)= Im

(2

eiπ/2n(e−iπ/2n − eiπ/2n

))

Im

(2e−iπ/2n

−2i sin(π/2n)

)= Im

(ie−iπ/2n

sin(π/2n)

)=

cos(π/2n)

sin(π/2n)

Conclusion. ∀n ∈ N,∑ω∈Un

|ω − 1| = 2cotan( π2n

)

Exercice 3 � (Pour en finir avec la linéarisation). Le but de cet exercice est d'établir des for-

mules générales de linéarisation de cosN (θ) et sinN (θ) pour tout entier naturel N .

1/ Le cas �cos / N pair� � Linéarisation de cos2n (θ). Soient n un entier naturel non nul, et θ un réelquelconque.

a/ Par symétrie des coe�cients binomiaux, on a :2n∑

k=n+1

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

2n∑k=n+1

(2n

2n− k

)e2i(n−k)θ.

Cette observation faite, on procède au changement d'indice : K = 2n− k. Lorsque k varie de (n+ 1) à 2n, K prendtoutes les valeurs entières comprises entre 0 et n− 1. On en déduit que :

2n∑k=n+1

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

n−1∑K=0

(2n

K

)e2i(n−2n+K)θ =

n−1∑K=0

(2n

K

)e−2i(n−K)θ

D'où : Conclusion.2n∑

k=n+1

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

n−1∑k=0

(2n

k

)e−2i(n−k)θ .


b/ On a : cos2n (θ) =

(eiθ + e−iθ

2

)2n=

1

22n

(eiθ + e−iθ

)2n(♠)

D'après la formule du binôme de Newton :(eiθ + e−iθ

)2n=

2n∑k=0

(2n

k

)ei(2n−k)θe−ikθ =

2n∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ (♣)

On décompose cette somme en �trois morceaux� :

2n∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

n−1∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ +

(2n

n

)+

2n∑k=n+1

(2n

k

)e2i(n−k)θ

D'après la question précédente :2n∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

n−1∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ +

(2n

n

)+

n−1∑k=0

(2n

k

)e−2i(n−k)θ

D'où :2n∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

(2n

n

)+

n−1∑k=0

(2n

k

)(e2i(n−k)θ + e−2i(n−k)θ

)

Par conséquent :2n∑k=0

(2n

k

)e2i(n−k)θ =

(2n

n

)+ 2

n−1∑k=0

(2n

k

)cos (2 (n− k) θ) (♥)

D'après (♠), (♣) et (♥), on a : cos2n (θ) = 122n

((2n

n

)+ 2

n−1∑k=0

(2n

k

)cos (2 (n− k) θ)

)

2/ Le cas �sin / N impair� � Linéarisation de sin2n+1 (θ).

On a : sin2n+1 (θ) =

(eiθ − e−iθ

2i

)2n+1=

1

22n+1i2n+1

(eiθ − e−iθ

)2n+1.

On peut observer que :1

i2n+1=

1

i2n × i=

1

(−1)n × i=

(−1)n

i. Donc : sin2n+1 (θ) =

(−1)n

22n+1i

(eiθ − e−iθ

)2n+1(♠)

D'après la formule du binôme de Newton :(eiθ − e−iθ

)2n+1=

2n+1∑k=0

(−1)k(2n+ 1

k

)ei(2n+1−k)θe−ikθ =

2n+1∑k=0

(−1)k(2n+ 1

k

)ei(2n−2k+1)θ (♣)

On décompose cette somme en �deux morceaux� :

2n+1∑k=0

(2n+ 1

k

)ei(2n−2k+1)θ =

n∑k=0

(2n+ 1

k

)(−1)kei(2n−2k+1)θ +

2n+1∑k=n+1

(2n+ 1

k

)(−1)kei(2n−2k+1)θ

Comme dans la question précédente, on procède à un changement d'indice (K = 2n+ 1− k) pour obtenir :

2n+1∑k=0

(2n+ 1

k

)ei(2n−2k+1)θ =

n∑k=0

(2n+ 1

k

)(−1)kei(2n−2k+1)θ +

n∑k=0

(2n+ 1

k

)(−1)2n+1−ke−i(2n−2k+1)θ

Il reste à observer que (−1)2n+1−k = −(−1)k pour obtenir :

2n+1∑k=0

(2n+ 1

k

)ei(2n−2k+1)θ =

n∑k=0

(2n+ 1

k

)(−1)k

[ei(2n−2k+1)θ − e−i(2n−2k+1)θ

]


Par conséquent :2n+1∑k=0

(2n+ 1

k

)ei(2n−2k+1)θ = 2i

n∑k=0

(2n+ 1

k

)(−1)k sin ((2n− 2k + 1) θ) (♥)

D'après (♠), (♣) et (♥), on a : sin2n+1 (θ) =(−14

)n n∑k=0

(2n+ 1

k

)(−1)k sin ((2n− 2k + 1) θ)

Exercice 4 � (Pour en finir avec la délinéarisation). Soient n un entier naturel, et θ un réel.

On a : cos (2nθ) = Re(e2niθ

)= Re

[(cos(θ) + i sin(θ))2n

](♠).

D'après la formule du binôme de Newton : (cos(θ) + i sin(θ))2n =2n∑k=0

(2n

k

)ik sink(θ) cos2n−k(θ)

On peut alors judicieusement observer que ik est un réel si et seulement si k est pair pour a�rmer que :

Re[(cos(θ) + i sin(θ))2n

]=

2n∑k=0, k pair

(2n

k

)ik sink(θ) cos2n−k(θ)

Par suite : Re[(cos(θ) + i sin(θ))2n

]=

n∑k=0

(2n

2k

)i2k sin2k(θ) cos2(n−k)(θ)

D'où : Re[(cos(θ) + i sin(θ))2n

]=

n∑k=0

(2n

2k

)(−1)k cos2(n−k)(θ)

(1− cos2(θ)

)kUne ultime application de la formule du binôme de Newton permet de conclure avec (♠) que :

cos (2nθ) =

n∑k=0

(2n2k

)(−1)k cos2(n−k)(θ)

k∑j=0

(k

j

)(−1)j cos2j(θ)


1.4 DM � Fonctions, sommes, complexes (2018)

Enoncé

Exercice 1 � (Démarrage en douceur. . . ) Calculer les intégrales (les deux questions sont complète-ment indépendantes) :

I =

∫ π0

sin4(t) dt et J =∫ π/20

cos2018(t) sin(t) dt.

Exercice 2 � (Système) Déterminer tous les couples de nombres complexes (a, b) tels que :ab = 2

a3 + b3 = 9

Exercice 3 � (Deux nouvelles sommes) Soit n un entier naturel arbitraire.

Calculer les sommes suivantes (les deux questions sont complètement indépendantes) :

A =n∑

k=0

(2n

2k

)et B =

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

).

Exercice 4 � (Etude de fonction) On considère la fonction f dé�nie en posant f (x) =ln (1 + x)

x.

1/ Déterminer l'ensemble de dé�nition D de f .

2/ Justi�er soigneusement que f admet une limite �nie ℓ en 0, que l'on déterminera.

A partir de maintenant 6 on notera f la fonction dé�nie par : f(x) =

{f(x) si x ∈ Dℓ si x = 0

. 7

On notera également D′ = D⋃{0}.

3/ Calculer f ′ (x) sur D. 8.

4/ Etudier les variations de f . On dressera son tableau de variation. (on pourra utiliser la fonction auxiliaire dé�niepar k (x) = x− (1 + x) ln (1 + x))

6. Et jusqu'à la �n de cet exercice.7. La nouvelle fonction f ainsi obtenue est appelée prolongement par continuité de la fonction f en 0.8. Un peu plus tard cette année, nous pourrons montrer que f est également dérivable en 0, et que : f ′(0) = −1/2.


Corrigé

Exercice 1 � (Démarrage en douceur. . . )

1/ Calculer I =∫ π0

sin4(t) dt. Pour tout réel t, on a : sin4(t) =

(ei t − e−i t

2i

)4=

1

16

(e4i t − 4e2i t + 6− 4e−2i t + e−4i t

)=

1

16(2 cos(4t)− 8 cos(2t) + 6) = 1

8(cos(4t)− 4 cos(2t) + 3)

Il s'ensuit que : I =1

8

∫ π0

cos(4t)− 4 cos(2t) + 3 dt = 18

∫ π0

cos(4t) dt−∫ π0

4 cos(2t) dt+ 3∫ π0

dt︸︷︷︸=π

D'où : I =1

8

[sin(4t)

4

]π0︸︷︷︸

=0

− [2 sin(2t)]π0︸︷︷︸=0

+3π

. Finalement : I = 3π8 .

2/ Calculer J =∫ π/20

cos2018(t) sin(t) dt. J = − 12019

[cos2019(t)

]π/20

d'où : J =1

2019

Exercice 2 � (Système) Déterminer tous les couples de nombres complexes (a, b) tels que :

(S)

ab = 2

a3 + b3 = 9

Si un couple (a, b) est solution du système, alors 9 :

a3b3 = 8

a3 + b3 = 9

On connaît ainsi la somme et le produit de a3 et b3 ; on peut alors a�rmer que ces deux complexes sont solutions del'équation X2 − 9X + 8 = 0. 10 Les racines de cette équation du second degré possède comme racines 1 et 8. 11

On en déduit que :

a3 = 1

b3 = 8∨

a3 = 8

b3 = 1soit encore :

a = 1, j, ou j̄

b = 2, 2j, ou 2̄j∨

a = 2, 2j, ou 2̄j

b = 1, j, ou j̄

En résumé, on a établi que pour un couple (a, b) de nombres complexes :

[(a, b) est solution du système] =⇒

a = 1, j, ou j̄

b = 2, 2j, ou 2̄j∨

a = 2, 2j, ou 2̄j

b = 1, j, ou j̄

Mais, quitte à insister lourdement, on n'a ici qu'une implication, et pas une équivalence. Les couples solutions dusystème sont donc à rechercher parmi les 18 couples candidats (obtenus en donnant à a et b toutes les valeurs autoriséespar les équations précédentes).

Finalement, l'équation ab = 2 permet de conclure et d'a�rmer que le système (S) possède exactement 6 couplessolutions : (1, 2) , (j, 2̄j) , (̄j, 2j) , (2, 1) , (2̄j, j) , (2j, j̄).

9. Attention ! On a seulement une implication ici.10. On utilise ici la propriété suivant laquelle deux complexes z1 et z2 sont solutions de l'équation X

2 − SX + P = 0, où S = z1 + z2 etP = z1z2.11. 1 est racine évidente, et le produit des racines vaut �c/a�, càd 8 dans le cas présent.


Exercice 3 � (Deux nouvelles sommes) Soit n un entier naturel arbitraire. Calculer les sommes sui-

vantes (les deux questions sont complètement indépendantes) :

A =n∑

k=0

(2n

2k

)et B =

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

).

ä D'une part : 22n = (1 + 1)2n =2n∑k=0

(2n

k

).

Cette somme peut �se casser en deux�, et s'écrire comme la somme des termes de rang pair et celle des termes de rang

impair :n∑

k=0

(2n

k

)=

n∑k=0

(2n

2k

)+

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

)En d'autres termes : A+B = 22n (♠)

ä Par ailleurs, lorsque n est non nul : 0 = 02n = (1 + (−1))2n =2n∑k=0

(−1)k(2n

k

).

Cette somme peut �se casser en deux�, et s'écrire comme la somme des termes de rang pair et celle des termes de rang

impair :n∑

k=0

(−1)k(2n

k

)=

n∑k=0

(−1)2k(2n

2k

)+

n−1∑k=0

(−1)2k+1(

2n

2k + 1

)=

n∑k=0

(2n

2k

)−

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

)En d'autres termes : A−B = 0 (♣)

ä D'après (♠) et (♣), on a :

A+B = 22n

A−B = 0.

La résolution aisée de ce système permet de conclure que : A = B = 22n−1.

Conclusion. Pour tout n ∈ N∗n∑

k=0

(2n

2k

)= 22n−1 et

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

)= 22n−1

ä Dans le cas 12 où n = 0, on a : A =0∑

k=0

(0

2k

)=

(0

0

)= 1 et B =

−1∑k=0

(0

2k + 1

)= 0.

Exercice 4 � (Etude de fonction) On considère la fonction f dé�nie en posant f (x) =ln (1 + x)

x.

1/ Le réel f(x) est dé�ni si et seulement si le réel ln(1 + x) l'est, et que x est non nul. On en déduit que :

D = ]− 1, 0 [ ∪ ] 0,+∞ [ .

2/ Pour tout réel x > −1, on a : ln(1 + x) = x+ xε(x) avec limx→0

ε(x) = 0.

Il s'ensuit que pour tout réel x non nul et strictement supérieur à −1, on a : f(x) = x+ xε(x)x

= 1 + ε(x) avec

limx→0

ε(x) = 0.

On en déduit que : limx→0

f(x) = 1 .

3/ Sur D, la fonction f est dérivable en tant que quotient et composée de fonctions dérivables dont le dénominateurne s'annule pas. On peut donc calculer sa dérivée, ce que l'on s'empresse de faire avec enthousiasme :

∀x ∈ D, f ′(x) =

x

1 + x− ln(1 + x)

x2soit : ∀x ∈ D, f ′(x) = x− (1 + x) ln(1 + x)

x2 (1 + x)

12. Extrême, et assez peu intéressant.


4/ Il résulte de la question précédente que le signe de f ′ est celui de son numérateur, puisque son dénominateur eststrictement positif sur D. Or le signe de ce numérateur est violemment non trivial, et on se propose donc de l'étudierde plus près.

A cette �n, on pose : ∀x ∈ D′, k(x) = x− (1 + x) ln (1 + x). La fonction k est dérivable sur D′, et :

∀x ∈ D′, k′(x) = 1− ln(1 + x)− 1 soit : ∀x ∈ D′, k′(x) = − ln(1 + x)

On en déduit que pour un réel x de D′ :

[k′(x) > 0]⇐⇒ [ln(1 + x) 6 0]⇐⇒ [x 6 0]Il s'ensuit que k′ est positive sur ]− 1, 0], et négative sur [0,+∞ [ .La fonction k est donc croissante sur ]− 1, 0], et décroissante sur [0,+∞ [ . Elle admet donc un maximum en 0, quivaut 13 : k(0) = 0.

On en déduit que la fonction k est négative sur D′.

Par suite, la fonction f est décroissante sur D. En outre : limx→−1+

f(x) = +∞ et limx→+∞

f(x) = 0. 14

On en déduit le tableau de variation de f :

x

f ′(x)

f(x)

−1 0 +∞−

+∞

1

0

13. Cela tombe vraiment très bien. . .14. La première de ces deux limites est usuelle, et la seconde provient du critère des croissances comparées.


1.5 DM � Complexes, fonctions, sommes, applications (2018)

Enoncé

Exercice 1 � (Applications). Soient E, F et G trois ensembles ; f ∈ FE et g ∈ GF deux applications.Etablir que :

[(g o f) injective ∧ f surjective] =⇒ [g injective]

Exercice 2 � (Equation complexe). Soit α un réel non multiple de π. Résoudre dans C l'équation :

(E) :

(z − 1z + 1

)n+

(z + 1

z − 1

)n= 2 cos (α)

�� Problème � Valeur exacte de ζ(2) ��

On a établi en début d'année que la somme des inverses des entiers naturels

1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞, tandis que la somme des inverses des carrés des entiers naturels

1 +1

4+

1

9+ · · ·+ 1

n2

admet elle une limite �nie lorsque n tend vers +∞. On a même montré que cette limite est comprise entre 1 et 2,sans pouvoir néanmoins la préciser.

L'objectif principal de ce problème est de combler cette lacune, et de déterminer donc : limn→+∞

(n∑

k=1

1

k2

). 15

La réalisation de cet objectif passe par plusieurs étapes.

La première consiste à étudier quelques propriétés de la fonction cotangente (après l'avoir dé�nie) : c'est l'objectif de

la partie 1, constituée de questions d'Analyse (càd portant sur les fonctions).

La seconde (partie 2) consiste à déterminer les racines d'un polynôme à coe�cients complexes, ou à résoudre une

équation dans C (notamment en utilisant les racines N -èmes de l'unité).La troisième (partie 3) consiste à utiliser une relation existant entre les racines et les coe�cients d'un polynôme pour

obtenir une identité décisive au regard l'objectif du problème.

La dernière (partie 4) permet, à l'aide des parties 1 et 3, de déterminer en�n la valeur exacte de ζ(2).

Partie 1 - Etude de la fonction cotangente

On note D l'ensemble des réels x tels que sin(x) 6= 0. Pour tout réel x ∈ D, on appelle cotangente de x le réel

cotan(x) =cos(x)

sin(x)

1/ Quel est l'ensemble de dé�nition D de la fonction cotan ?

2/ Etablir que la fonction cotan est π-périodique, et qu'elle est impaire.

3/ Justi�er brièvement que la fonction cotan est dérivable sur l'intervalle ] 0, π [ , et calculer sa dérivée.

4/ En déduire le tableau de variation de la fonction cotan sur ] 0, π [ , en précisant ses limites aux bornes.

15. Cette limite est notée ζ(2) (ζ est la 6ème lettre de l'alphabet grec, et se lit �dzêta�) ; c'est l'image de 2 par la fonction ζ de Riemann,l'une des plus célèbres fonctions de l'Analyse moderne. Bernhard Riemann (1826-1866) fut un mathématicien allemand dont la contributionà l'Analyse a été fondamentale. L'énoncé le plus célèbre lié à son nom est celui d'une conjecture (�Hypothèse de Riemann�) portant sur lafonction ζ dont il est question dans ce problème. La preuve de cette conjecture fait l'objet d'un �prix du millénaire�, et est récompenséed'un million de dollars US.


5/ Montrer que pour tout réel x ∈]0,π

2

[, on a : cotan (π − x) = −cotan (x)

6/ Montrer que pour tout réel x ∈]0,π

2

[, on a : cotan2(x) 6 1

x26 cotan2(x) + 1

Partie 2 - Résolution d'une équation dans C

Les questions de cette partie sont indépendantes.

A partir de maintenant et jusqu'à la �n du problème, n désigne un entier naturel non nul.

Pour tout nombre complexe z, on pose :

P (z) = (z + i)2n+1 − (z − i)2n+1

7/ Résoudre dans C l'équation 16 (E) : P (z) = 08/ Etablir que les solutions de l'équation précédente sont deux à deux opposées.

9/ Etablir que pour tout complexe z on a :

P (z) = cn∑

k=0

bk (−1)k z2(n−k)

où c et b0, b1, . . . , bn sont des complexes non nuls à déterminer.

Partie 3 - Utilisation des relations coefficients/racines

Pour tout nombre complexe z, on pose : R(z) =n∏

k=1

(z − cotan2

(kπ

2n+ 1

)).

10/ Pour tout entier k compris entre 1 et n, on note : xk = cotan

(kπ

2n+ 1

).

Justi�er que les réels x21, x22, . . . , x

2n sont deux à deux distincts.

Lorsque nous aurons étudié plus en détails les propriétés des polynômes, nous pourrons déduire de tout ce qui

précède que le polynôme R possède exactement n racines réelles qui sont les réels x2k (avec k ∈ [[ 1, n ]]), et que cepolynôme peut également s'écrire :

∀ z ∈ C, R(z) =n∑

k=0

(2n+ 1

2k + 1

)zn−k(−1)k

De plus, lorsqu'un polynôme P = anXn + an−1X

n−1 + · · · + a1X + a0 admet n racines, nous montrerons que lasomme de ses racines est égale à : −an−1

an. 17

11/ Déduire de ce qui précède que :n∑

k=1

cotan2(

kπ

2n+ 1

)=n(2n− 1)

3

Partie 4 - Conclusion

12/ Etablir que :

n (2n− 1)π2

3 (2n+ 1)26

n∑k=1

1

k26 n (2n− 1)π

2

3 (2n+ 1)2+

nπ2

(2n+ 1)2

13/ En déduire la limite : limn→+∞

(n∑

k=1

1

k2

).

16. On montrera que les solutions sont les réels xk = cotan

(kπ

2n+ 1

)avec k ∈ [[ 1, 2n ]].

17. Cette formule, temporairement admise, généralise celle que vous connaissez déjà pour les polynômes de degré 2. Explicitement,

lorsque le polynôme aX2 + bX + c admet deux racines z1 et z2, on a : z1 + z2 = −b

a.


Corrigé

Oups !


1.6 DM � Suites, nombres réels, équas di�s (2018)

Enoncé

Exercice 1 � Equation di�érentielle Déterminer toutes les fonctions f de classe C 1 sur [0, 1] et à valeursréelles telles que

∀x ∈ R, f ′(x) + f(x) +∫ 10f(t) dt = 0

Exercice 2 � Nombres réels Etablir qu'entre deux nombres rationnels, il existe une in�nité de nombres irra-tionnels (et réciproquement).

Exercice 3� Bornes supérieures (et inférieures). Soient C etD deux parties de R, que l'on suppose majorées.

1/ Etablir que : [C ⊂ D] =⇒ [supC 6 supD].

2/ a/ Justi�er l'existence de sup (C ∪D).

b/ Déduire de la question précédente que max (supC, supD) 6 sup (C ∪D).

c/ Etablir que : sup (C ∪D) 6 max (supC, supD). Conclure.

3/ On pose : C +D = {c+ d / (c, d) ∈ C ×D}.

a/ Justi�er l'existence de sup (C +D).

b/ Etablir que : sup (C +D) = supC + supD.

Problème 1 � Familles d'intégrales

Pour un réel x et un entier naturel non nul k, on pose : Ik (x) =∫ x0

dt

chk (t)

L'objectif de ce problème est d'étudier quelques propriétés de Ik (x) en fonction des variations de x et de k.

Partie I � Intégrales

1/ Calculer la dérivée sur R de la fonction th =shch

(en donner deux expressions di�érentes).

2/ Pour tout réel x, calculer I1 (x) (on pourra e�ectuer le changement de variable u = et).

3/ Pour tout réel x, calculer I2 (x).

a/ Soit x un réel �xé. Etablir une relation de récurrence entre Ik+2(x) et Ik(x)

(on pourra observer que1

chk+2 (t)=

1

chk (t)× 1

ch2 (t)).

b/ En déduire les valeurs de I3 (x) et I4 (x).


Partie II � Etude de la fonction x 7→ Ik (x)

Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul �xé ; et on étudie la fonction Ik de la variable réellex

Ik : R // R

x � //∫ x0

dt

chk (t)

4/ Justi�er que la fonction Ik est dérivable sur R, et préciser l'expression de I ′k (x) pour tout réel x.

5/ Déduire de la question précédente le sens de variation de Ik, et son développement limité à l'ordre 1 en 0.

Partie III � Etude d'une suite

Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul �xé ; et on considère la suite (un)n∈N dé�nie enposant

∀ n ∈ N, un = Ik (n)

6/ Démontrer que la suite (un)n∈N est monotone.

7/ Etablir que pour tout réel t on a :1

ch (t)6 2e−t ; en déduire la convergence de (un)n∈N.

Partie IV � �Wallis style�

Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul �xé.

8/ Etablir que Ik (x) admet une limite �nie lorsque x tend vers +∞.

9/ Dans cette question ci-dessous, on pose : Jk = limx−→+∞ Ik (x) soit encore : Jk = limx−→+∞

∫ x0

dt

chk (t).

a/ Calculer J1 et J2.

b/ Calculer Jk pour tout entier naturel non nul k.


Corrigé

Exercice 1 � Equation di�érentielle Déterminer toutes les fonctions f de classe C 1 sur [0, 1] et à valeurs

réelles telles que : ∀x ∈ R, f ′(x) + f(x) +∫ 10f(t) dt = 0

ä Soit f une fonction solution du problème. Alors f est solution d'une équation di�érentielle de la forme : y′+y = C,

où C = −∫ 10f(t) dt est une constante réelle. La solution générale de cette équation di�érentielle est particulièrement

facile à obtenir, et on en déduit que ∀x ∈ R, f(x) = C + λe−x, avec C et λ réels.

A ce point du raisonnement, on a donc établi que :

[f est solution du problème] =⇒[∃(C, λ ∈ R2

), ∀x ∈ R, f(x) = C + λe−x

]ä Reste donc à étudier la réciproque de l'implication précédente, et à déterminer à quelle condition sur C et λ lafonction f est e�ectivement solution du problème.

Supposons donc que : ∀x ∈ R, f(x) = C + λe−x. Alors f est dérivable sur R (théorèmes généraux) et on a :

∀x ∈ R, f ′(x) = −λe−x. En outre :∫ 10f(t) dt =

∫ 10C + λe−t dt = C + λ

[−e−t

]10= C + λ

(1− e−1

).

On déduit de ces calculs que :

∀x ∈ R, f ′(x) + f(x) +∫ 10f(t) dt = 0

⇐⇒ ∀x ∈ R, −λe−x + C + λe−x + C + λ(1− e−1

)= 0

⇐⇒ 2C + λ(1− e−1

)= 0⇐⇒ C = e

−1 − 12

λ

Conclusion. L'ensemble des fonctions f de classe C 1 sur [0, 1] et à valeurs réelles telles que

∀x ∈ R, f ′(x) + f(x) +∫ 10f(t) dt = 0

est l'ensemble des fonctions f telles que :

∃λ ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = e−1 − 12

λ+ λe−x

Exercice 2 � Nombres réels.Etablir qu'entre deux nombres rationnels, il existe une in�nité de nombres irra-tionnels (et réciproquement).

ä Soient x et y deux rationnels (distincts, évidemment). SNALG, on peut supposer x < y. Notons c = (x + y)/2 lemilieu du segment [x, y]. Le nombre c est rationnel (c'est la moyenne de deux rationnels).

La suite de terme général un = c+

√2

nconverge vers c. Il existe donc un entier n0 tel que : c < c+

√2

n< y. Puisque

la suite (un) est décroissante, on en déduit que : ∀n ∈ N, [n > n0] =⇒ [c < un < y].

Puisqu'en outre chacun des réels un est irrationnel, on en déduit qu'il existe entre c et y, et donc a fortiori entre x ety, une in�nité de nombres irrationnels : les nombres un, pour tout entier n > n0.

Conclusion. Entre deux rationnels, il existe une in�nité d'irrationnels .


ä Soient x et y deux irrationnels (distincts, évidemment). SNALG, on peut supposer x < y. Puisque Q est densedans R, il existe un rationnel c tel que x < c < y.La suite de terme général un = c+

1

nconverge vers c. Il existe donc un entier n0 tel que : c < c+

1

n< y. Puisque la

suite (un) est décroissante, on en déduit que : ∀n ∈ N, [n > n0] =⇒ [c < un < y].Puisqu'en outre chacun des réels un est rationnel (c'est la somme de deux rationnels), on en déduit qu'il existe entrec et y, et donc a fortiori entre x et y, une in�nité de nombres rationnels : les nombres un, pour tout entier n > n0.Conclusion. Entre deux irrationnels, il existe une in�nité de rationnels .

Exercice 3� Bornes supérieures (et inférieures). Soient C et D deux parties de R, que l'on suppose majorées(et non vides).

Soient C et D deux parties non vides et majorées de R. D'après la propriété de la borne supérieure, supC et supDexistent.

1/ Si C ⊂ D. Alors pour tout c ∈ C on a c ∈ D, donc c 6 supD. Il s'ensuit que supD est un majorant de C, doncsupC 6 supD . 18

2/ a/ Puisque C et D sont non vides et majorées, alors C ∪D l'est également (par exemple par max (supC, supD)).D'après la propriété de la borne supérieure, on peut a�rmer que sup(C ∪D) existe.

b/ Puisque C ⊂ (C ∪ D) et D ⊂ (C ∪ D), on a déjà supC 6 sup(C ∪ D) et sup(D) 6 sup(C ∪ D). Par suite :max (supC, supD) 6 sup(C ∪D).c/ Réciproquement, soit x ∈ C ∪D. Alors x 6 supC (si x ∈ C) ou x 6 supD (si x ∈ D).Donc x 6 max (supC, supD).Il s'ensuit que max (supC, supD) est un majorant de C ∪D, d'où : sup(C ∪D) 6 max (supC, supD).

On en déduit �nalement que : sup (C ∪D) = max (supC, supD) .

3/ a/ Soit x un élément de C + D ; il existe un couple (c, d) de C × D tel que x = c + d. Puisque c 6 supC etd 6 supD, on a : x 6 supC + supD. Ce raisonnement tenant pour un élément arbitraire de C +D, on en déduit quesupC + supD est un majorant de C +D ; d'où sup (C +D) 6 supC + supD (♠) .Il s'ensuit en particulier que C + D est une partie non vide et majorée de R, ce qui justi�e l'existence de sa bornesupérieure.

b/ Soient c et d deux éléments quelconques de C et D respectivement. On a : c = (c+ d) − d. En particulier :c 6 sup (C +D)− d.On en déduit que pour tout d ∈ D, sup (C +D)− d est un majorant de C.D'où : supC 6 sup (C +D)− d pour tout d ∈ D. D'où : ∀ d ∈ D, d 6 sup (C +D)− supC.Par suite sup (C +D)− supC est un majorant de D, donc : supD 6 sup (C +D)− supC.D'où supC + supD 6 sup (C +D) (♣)

Conclusion : on déduit de (♠) et de (♣) que : sup (C +D) = supC + supD

Problème 1 � Familles d'intégrales

Pour un réel x et un entier naturel non nul k, on pose : Ik (x) =

∫ x0

dt

chk (t)L'objectif de ce problème est d'étudier quelques propriétés de Ik (x) en fonction des variations de x et de k.

Partie I � Intégrales

1/ La fonction th =shch

est dérivable sur R (théorèmes généraux) et : th′ =ch2 − sh2

ch2. Il s'ensuit que th′ = 1 − th2,

ou th′ =1

ch2. 19

18. La ré�exion puissante derrière ce raisonnement est qu'un majorant quelconque est supérieur ou égal au plus petit d'entre eux.19. La seconde formule provenant de la seule formule de trigo hyperbolique que vous ayez à connaître : ch2 − sh2 = 1.


2/ Pour tout réel x, I1(x) =∫ x0

dtch (t)

=

∫ x0

2dtet + e−t

. En e�ectuant le changement de variable u = et dans cette

intégrale, on obtient : ∀ x ∈ R, I1(x) =∫ ex1

2

u+ 1u

duu

=

∫ ex1

2duu2 + 1

= [2 arctan (u)]ex

1 .

Conclusion : ∀ x ∈ R, I1(x) = 2 arctan (ex)−π

2.

3/ Comme th est la primitive de la fonction 1/ch2 s'annulant en 0 : ∀ x ∈ R, I2(x) = th(x) .

3-a/ Soit k un entier naturel non nul arbitraire : ∀ x ∈ R, Ik+2(x) =∫ x0

dt

chk+2t=

∫ x0

1

chkt× 1ch2t

dt. On pose alors :

u(t) = th t et v(t) = 1/chkt, d'où u′(t) = 1/ch2t et v′(t) = −k sh t/chk+1t

D'après les théorèmes généraux, les fonctions u et v sont de classe C 1 sur R, et il est légitime d'appliquer la formuled'intégration par parties au calcul de Ik+2(x) :

∀ x ∈ R, Ik+2(x) =[th t× 1

chk t

]x0

+ k

∫ x0

th t sh t

chk+1tdt =

sh x

chk+1 x+ k

∫ x0

sh2 t

chk+2tdt

sh x

chk+1 x+ k

∫ x0

1

chktdt− k

∫ x0

1

chk+2tdt =

sh x

chk+1 x+ kIk(x)− kIk+2(x)

En résumé : ∀ x ∈ R, Ik+2(x) =sh x

chk+1 x+ kIk(x)− kIk+2(x) d'où la

Conclusion : ∀ k ∈ N∗, ∀ x ∈ R, Ik+2(x) =1

k + 1

(sh x

chk+1 x+ kIk(x)

)

3-b/ D'après la question précédente : ∀ x ∈ R, I3(x) =1

2

(sh x

ch2 x+ I1(x)

). D'où, à l'aide du résultat obtenu dans la

question 2 : ∀ x ∈ R, I3(x) =1

2

[sh x

ch2 x+ 2arctan (ex)− π

2

].

De même : ∀ x ∈ R, I4(x) =1

3

(sh x

ch3 x+ 2I2(x)

). D'où, grâce au 2) : ∀ x ∈ R, I4(x) =

1

3

[sh x

ch3 x+ 2th (x)

].

Partie II � Etude de la fonction x 7→ Ik (x)

4/ La fonction Ik est la primitive sur R de la fonction 1/chk s'annulant en 0. 20 Elle est donc dérivable sur R et

∀ x ∈ R, I ′k(x) =1

chk(x).

5/ D'après ce qui précède, la fonction Ik est dérivable en 0, et elle admet donc un DL à l'ordre 1 en 0. Puisqu'il est par

ailleurs clair que Ik(0) = 0 et Ik′(0) = 1, on en déduit que le DL à l'ordre 1 en 0 de Ik est : ∀x ∈ R, Ik(x) = x+ xε(x)

(avec limx→0

ε(x) = 0).

Partie III � Etude d'une suite

6/ On a : ∀ n ∈ N, un+1 − un = Ik (n+ 1) − Ik (n) =∫ n+1n

dt

chk (t). Par positivité de l'intégrale, cette dernière est

positive d'où l'on déduit que : la suite (un)n∈N est croissante .

20. L'existence de Ik est assurée par la continuité sur R de la fonction 1/chk.


7/ Par dé�nition de la fonction ch : ∀ t ∈ R, ch(t) = et + e−t

2d'où en particulier : ∀ t ∈ R, ch(t) > e

t

2puis en passant

aux inverses ∀ t ∈ R−,1

ch (t)6 2e−t .

Grâce à cette majoration, on a : ∀ n ∈ N, Ik(n) 6∫ n0

2ke−kt dt c'est-à-dire ∀ n ∈ N, Ik(n) 62k

k

(1− e−kn

)6 2

k

k.

Par conséquent, lorsque k est un entier naturel non nul �xé, la suite de terme général Ik(n) est croissante et majorée,donc elle est convergente .

Partie IV � �Wallis style�

8/ Un entier naturel strictement positif k étant choisi, la fonction x 7−→ Ik(x) est croissante sur R (question 5) etmajorée par 2k/k d'après les calculs de la question précédente. Donc la fonction Ik admet une limite �nie en +∞ .

9/ a/ D'après la question 2 : ∀ x ∈ R, I1(x) = 2 arctan (ex) −π

2. D'où lim

x−→+∞ I1 (x) = 2 limx−→+∞ arctan (ex) − π

2, et

puisque la fonction arctangente a pour limite π/2 en +∞ : J1 =π

2.

Et d'après la question 3 : ∀ x ∈ R, I2(x) = th (x). D'où : J2 = 1 .

b/ On a établi dans la question 3-a) que : ∀ k ∈ N∗, ∀ x ∈ R, Ik+2(x) =1

k + 1

(sh x

chk+1 x+ kIk(x)

)(♠) . Un pre-

mier pas pour répondre à la présente question est de passer à la limite lorsque x tend vers +∞ dans cette relation.Pour ce faire, on peut observer que :

∀ k ∈ N∗, ∀ x ∈ R, sh xchk+1 x

= th x× 1chk x

et par suite 21 : ∀ k ∈ N∗, limx−→+∞

sh x

chk+1 x= 0 (♣)

En passant à la limite, on déduit alors de (♣) et (♠) la relation : ∀ k ∈ N∗, Jk+2 =k

k + 1Jk (♥)

Ce qui suggère donc de distinguer deux cas pour l'expression de Jk suivant la parité de k. Explicitement :

ä si k est pair et > 2, alors k = 2k′ pour un certain entier non nul k′ et : J2k′ =2

3× 4

5× · · · × 2k

′ − 22k′ − 1

× J2, soit :

J2k′ = 2k′−1 (k′ − 1)!× 2

k′−1 (k′ − 1)!(2k′ − 1)!

d'où : J2k′ =22k

′−2 [(k′ − 1)!]2

(2k′ − 1)!

ä si k est impair et > 3, alors k = 2k′ + 1 pour un certain entier non nul k′ et : J2k′+1 =1

2× 3

4× · · · × 2k

′ − 12k′

× J1,

soit : J2k′+1 =(2k′ − 1)!

2k′−1 (k′ − 1)!× 1

2k′k′!× π

2d'où : J2k′+1 =

π (2k′ − 1)!22k′k′! (k′ − 1)!

21. Puisque le produit d'une fonction bornée par une fonction tendant vers 0 est une fonction tendant vers 0.


1.7 DM � Suites, densité (2018)

Enoncé

Exercice 1 � On note Q + iQ l'ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sontrationnelles, càd :

Q+ iQ ={a+ i b / (a, b) ∈ Q2

}Montrer que tout nombre complexe est limite d'une suite d'éléments de Q+ iQ. 22

Exercice 2 � Pour tout entier naturel n, on note :

un =1√7

[(2 +√7)n−(2−√7)n]

Etablir que pour tout entier naturel n, le réel un est un entier naturel.

Exercice 3 � (Approximations rationnelles d'un célèbre réel).

Partie A - �Pseudo-réciproque� d'une propriété sur les suites extraites.

Soit (u)n une suite à valeurs dans K, 23 et soit ℓ ∈ K.

1/ Justi�er que si (un)n converge vers ℓ, alors (u2n)n et (u2n+1)n convergent toutes les deux vers ℓ.

2/ Démontrer que, si (u2n)n et (u2n+1)n convergent toutes les deux vers ℓ, alors (un) converge vers ℓ. Faire la synthèsedes deux premières questions.

3/ Donner un exemple de situation où les suites (u2n)n et (u2n+1)n convergent toutes les deux, mais où la suite (un)est divergente. Cet exemple est-il en contradiction avec les deux questions précédentes ?

Partie B - Application.

Pour tout entier naturel n, on pose :

Sn =

n∑k=0

(−1)k

2k + 1

(Sn = 1−

1

3+

1

5− · · ·+ (−1)

n

2n+ 1

)

4/ Etablir que (S2n)n et (S2n+1)n convergent.

5/ Etablir que (Sn)n est convergente.

Partie C - Calcul de la limite de (Sn).

6/ Etablir que pour tout réel x et pour tout entier naturel n on a :1

1 + x2=

n∑k=0

(−1)k x2k + (−1)n+1 x2n+2

1 + x2

7/ En déduire que pour tout n entier naturel on a :π

4=

n∑k=0

(−1)k

2k + 1+ (−1)n+1

∫ 10

x2n+2

1 + x2dx

8/ Déduire de la question précédente la limite de (Sn)n.

22. Ce résultat signi�e que Q+ iQ est dense dans C.23. Avec K = R ou C.


Partie D - Approximations rationnelles de π 24.

9/ A l'aide de la question 7, montrer que : ∀n ∈ N,∣∣∣π4− Sn

∣∣∣ 6 12n+ 3

.

10/ Quelle valeur minimale faut-il donner à n pour que Sn soit une valeur approchée à 10−2 près deπ

4?

Partie E - Programmation en Python.

Puisque Sn est un nombre rationnel (c'est une somme de rationnels), Sn fournit d'après ce qui précède une approxi-mation rationnelle du réel π/4. Le but de cette utlime partie est de déléguer à la machine les (lourds) calculs de Sn,pour obtenir des approximations rationnelles �aussi bonnes qu'on le souhaite� du réel π/4. 25

11/ Ecrire un programme en Python demandant à l'utilisateur de saisir un entier n, et qui retourne la valeur de Sn.

12/ Ecrire un programme en Python demandant à l'utilisateur de saisir un entier n, et qui retourne le numérateur etle dénominateur de Sn.

13/ Ecrire un programme en Python demandant à l'utilisateur de saisir un entier p, et qui retourne le numérateur et

le dénominateur d'une approximation rationnelle à 10−p près deπ

4.

14/ A l'aide du programme précédent, déterminer une approximation rationnelle à 10−8 près deπ

4.

15/ Quelle a été la durée d'exécution de votre programme pour obtenir le résultat de la question précédente ? Donnerune estimation du nombre d'opérations élémentaires exécutées par votre machine pour y parvenir.

24. De π/4 en fait, mais cela ne fait pas une si grosse di�érence.25. Le problème d'approcher π par un rationnel ne date pas vraiment d'hier, et n'a pas été inventé par votre prof de maths pour

vous torturer pendant les vacances. . . Pour vous donner une idée, le premier mathématicien (connu) à s'être penché sur ce problème estArchimède (très probablement dans le cadre de ses recherches sur le mythique problème de la quadrature du cercle).


Corrigé

Exercice 1 � On note Q + iQ l'ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sontrationnelles, càd : Q+ iQ =

{a+ i b / (a, b) ∈ Q2

}Soit z ∈ Q+ iQ. Il existe deux réels x et y tels que : z = x+ i y. Puisque Q est dense dans R, il existe deux suites (xn)net (yn)n de nombres rationnels convergeant vers x et y respectivement. D'après la propriété intitulée �pont R ↔ C�pour les suites, la suite de terme général xn + i yn converge vers z.

Conclusion. Tout nombre complexe est limite d'une suite d'éléments de Q+ iQ.

Exercice 2 � Pour tout entier naturel n, on note : un =1√7

[(2 +√7)n−(2−√7)n]

.

Les réels(2 +√7)et(2−√7), dont les somme et produit sont respectivement égaux à 4 et −3, sont les deux racines

de l'équation x2−4x−3 = 0. Il s'ensuit que un est le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, satisfaisantla relation de récurrence : ∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 + 3un.

De plus, d'après l'énoncé : u0 = 0 et u1 = 2.

Montrons à présent que pour tout entier naturel n, le terme un est dans N, par récurrence double. A cette �n, on noteP (n) l'assertion �un ∈ N�.

ä Initialisation. Puisque u0 = 0 et u1 = 2, les propriétés P (0) et P (1) sont vraies.

ä Hérédité. Supposons les propriétés P (n) et P (n + 1) vraies pour un certain entier naturel n. Alors un et un+1sont entiers naturels, et il s'ensuit que un+2 = 4un+1 + 3un est lui aussi entier naturel. Ce qui assure que la propriétéP (n+ 2) est vraie, établit l'hérédité, et achève la preuve de cette récurrence double pas bien méchante.

Conclusion. ∀n ∈ N, 1√7

[(2 +√7)n−(2−√7)n]∈ N .

Exercice 3 � (Approximations rationnelles d'un célèbre réel).

Partie A - �Pseudo-réciproque� d'une propriété sur les suites extraites.

Soit (u)n une suite à valeurs dans K, 26 et soit ℓ ∈ K.

1/ D'après la propriété fondamentale des suites extraites : si (un)n converge vers ℓ, alors (u2n)n et (u2n+1)n convergenttoutes les deux vers ℓ.

2/ Supposons que (u2n) et (u2n+1) convergent vers ℓ.

Soit ε > 0.

Puisque (u2n) converge vers ℓ : ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, [n > n0] =⇒ [|u2n − ℓ| < ε] (♠)

Puisque (u2n+1) converge vers ℓ : ∃n1 ∈ N, ∀n ∈ N, [n > n1] =⇒ [|u2n+1 − ℓ| < ε] (♣)

Posons n2 = max (2n0, 2n1 + 1). Pour tout entier naturel n > n2, on a :

Ù si n est pair : il existe p ∈ N tel que n = 2p, avec p > n0, et on a donc |un − ℓ| < ε d'après (♠) ;

Ù si n est impair : il existe p ∈ N tel que n = 2p+ 1, avec p > n1, et on a donc |un − ℓ| < ε d'après (♣).

Dans tous les cas, on a établi que :

∀ ε > 0, ∃n2 ∈ N, ∀n ∈ N, [n > n2] =⇒ [|un − ℓ| < ε]

Ce qui signi�e que u converge vers ℓ.

Finalement : [(u2n) et (u2n+1) convergent vers ℓ] =⇒ [(un) converge vers ℓ]

26. Avec K = R ou C.


3/ Dans le cas où un = (−1)n les suites de terme général u2n et u2n+1 convergent toutes les deux, respectivementvers 1 et −1 (bien que la suite de terme général un n'ait pas de limite). Cette situation ne contredit pas la propriétéétablie précédemment, puisque les limites de (u2n) et (u2n+1) sont distinctes.

Partie B - Application.

Pour tout entier naturel n, on pose :

Sn =

n∑k=0

(−1)k

2k + 1

(Sn = 1−

1

3+

1

5− · · ·+ (−1)

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Mathématiques Enoncés de devoirs...9 MPSI Compilation de devoirs Avril 2020 9 Corrigé Exercice 1 1) P(3) = 0 . 2) La méthode telle que vous la connaissez conduit à chercher Qsous