m at h é m at i q u e s p r é - c a l c u l 1 2 e a n n é e (4 0 S )

Examen de préparation final Corrigé

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 3 de 28

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l 1 2 e a n n é e

Examen de préparation final Corrigé

Nom : ____________________________________

Numéro d’étudiant : ________________________

Fréquente actuellement une école : q Non q Oui

Numéro de téléphone : ______________________

Adresse : _________________________________

__________________________________________

__________________________________________

Instructions

L’examen final sera pondéré comme suit :Modules 1 à 8 : 100 %Temps imparti : 3 heures

Remarque : Tu as le droit d’apporter les fournitures suivantes à l’examen : des stylos et des crayons (2 ou 3 de chaque), du papier brouillon, une règle, une calculatrice scientifique et ta fiche-ressource de l’examen final. Cette fiche ressource doit être remise avec l’examen.

Montre tous les calculs et toutes les formules utilisées. N’arrondis aucune valeur avant d’effectuer tes calculs, mais arrondis tes réponses finales à la précision demandée. Mentionne les unités lorsqu’elles sont nécessaires. Indique clairement ta réponse finale.

Pour le correcteur

Date : _______________________________

Note finale : _______ /100 = ________ %

Commentaire : Corrigé

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e4 de 28

Principes généraux de notationn Les concepts appris en 12e année valent 1 point chacun. Les concepts appris

antérieurement (à moins qu’ils aient été enseignés de nouveau dans le cadre du programme d’études comme la valeur absolue ou les inverses) valent 0,5 point chacun.

n Certaines erreurs ne sont déduites qu’une fois (p. ex., l’omission des flèches directionnelles sur les graphiques).

n Une erreur dans le cours de la réponse n’entraîne pas la perte de tous les points pour ce qui suit (p. ex., si une erreur arithmétique est faite à la première ligne, il est toujours possible pour l’élève de recevoir la quasi-totalité des points).

n Un grand nombre d’erreurs de communication font l’objet d’une déduction de 0,5 point, mais 0,5 point est le maximum que l’on peut déduire pour une erreur de communication dans tout l’examen.

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 5 de 28

Nom :

Réponds à toutes les questions du mieux que tu peux. Montre tout ton travail.

Questions à réponse construite (100 points)

1. Étant donné que f xx

( )=1

et g(x) = x3 + 6x − 3, détermine :

(2 1 point = 2 points) (Module 2, Leçon 5)a) f(f(x)) Réponse :

f f x

x

( )( )= 11

b) g(f(-2)) Réponse :

g f g-212

18

( )( )=

=

�

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e6 de 28

2. Divise, en utilisant la division longue ou la division synthétique, et écris la réponse sous la forme d’une équation correspondant à l’algorithme de la division utilisé. (3 points) (Module 4, Leçon 2)

(-x3 − 4x2 + 7x + 4) ¸ (x + 3) Réponse :

- -

-

- - -

1 4 7 4

3 3 30

1 1 10 26

-3

(1 point pour la préparation)

(1 point pour la division)

∴ − + + = − +( ) +( )−- -x x x x x x3 2 24 7 4 10 3 26 (1 point pour l’énoncé de la division)

ou - -x x x x x x

x3 2 24 7 4 3 10 26

3− + +( ) ÷ +( ) = − + −

+

3. Réécris 212

513

2log log logx x+ − +( ) sous la forme d’un logarithme unique. (3 points)

(Module 7, Leçon 2) Réponse :

2 1

25 1

32log log logx x+ − +( )

log log log

log

x x

xx

2 3

2

3

5 2

52

+ − +( )

+

(1 point pour la loi du logarithme d’un produit)(1 point pour la loi du logarithme d’un quotient)(1 point pour la loi du logarithme d’une puissance)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 7 de 28

Nom :

4. Étant donné le graphique de f(x) ci-dessous, trace les fonctions suivantes.

�

�

�

�

��

����

�

���

�

�

������

a) y = f(x − 2) (1 point) (Module 2, Leçon 1) Réponse :

�

�

�

�

��

�

���

�

�

�����

������������

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e8 de 28

b) y = |f(x)| + 2 (1 point) (Module 2, Leçon 5) Réponse :

�

�

�

�

��

�

��

��

������

�

��������������

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 9 de 28

Nom :

5. En utilisant le tracé de f(x) ci-dessous, trace le graphique des transformations demandées. Exprime chaque transformation algébriquement ou par des mots.

�

�

�

�

��

����

�

���

�

�

a) -y f x= ( )12

(2 points) (Module 3, Leçon 1)

Réponse :

�

�

�

�

��

��������

��

�

�

�

������

�������

������

� ������

Algébriquement :

x y x y, ,( ) →

- 1

2ou

Réflexion par rapport à l’axe des x.Compression verticale par 2.

(1 point pour l’expression de la transformation) (1 point pour le graphique)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e10 de 28

b) y = f(-2x) (2 points) (Module 3, Leçon 2) Réponse :

�

�

�

�

��

������

���

�

�

���������

Algébriquement :

x y x y, ,( ) →

-2

ou

Réflexion par rapport à l’axe des y.Compression horizontale par 2.

(1 point pour l’expression de la transformation) (1 point pour le graphique)

c) y = f -1(x) (2 points) (Module 3, Leçon 3) Réponse :

y -1

Algébriquement : (x, y) → (y, x)ou

Réflexion par rapport à la droite y = x.

(1 point pour l’expression de la transformation) (1 point pour le graphique)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 11 de 28

Nom :

6. Écris et simplifie le cinquième terme du développement de (x + 1)8. (2 points) (Module 1, Leçon 5)

Réponse :

t x

x

54 4

4

8

41

70

=

( )

=

n = 8 k = 4 t5 = 8C4(x)4(1)4

t5 = 70x4

(0,5 point pour 8C4) (0,5 point pour les facteurs conséquents) (1 point pour la réponse conséquente)

7. Un cours d’anglais de 12e année compte 9 garçons et 11 filles. De combien de façons peut-on choisir 5 élèves pour un projet en groupe si le groupe doit être composé de 3 filles et 2 garçons? (2 points) (Module 1, Leçon 4)

Réponse : Le groupe doit avoir 3 filles et 2 garçons.

92

113

5940

59409 2 11 3

=

× =

ou

C C

Il y a 5 940 combinaisons possibles pour le groupe de ce projet.

(0,5 point pour 9C2) (0,5 point pour 11C3) (1 point pour la multiplication)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e12 de 28

8. Convertis 1265° en radian. Écris la réponse exacte. (1 point) (Module 5, Leçon 1) Réponse :

1265180

1265180

25336

°( )

=

=

π π

π

9. Tu sais que sin .α π απ

= < <- et27

32

Tu sais aussi que P(b) est dans le quadrant IV et

que cos .β =45

Trouve sin (a + b). (3 points) (Module 6, Leçon 4)

Réponse :

Étant donné que - et P est situé dans sin ,α π απ

α= < < ( )27

32

lle quadrant III.

-

∴ <

+ =

+ =

cossin cos

cos

c

α

α α

α

01

27

1

2 2

22

oos

cos

2 45493 5

7

α

α

=

= -

Étant donné que et que P est situé dans le quadcos β β= ( )45

rrant IV, sin β

β β

β

β

<

+ =

+

=

=

0

145

1

925

2 2

22

2

.

sin cos

sin

sin

siin

sin sin cos cos sin

β

α β α β α β

=

+( ) = +

-

35

- - -

=

+

27

45

3 57

35

-

-

= +

=+

835

9 535

8 9 535

(0,5 point pour la valeur)(0,5 point pour avoir donné le signe correspondant au quadrant III)

(0,5 point pour la valeur)(0,5 point pour avoir donné le signe correspondant au quadrant IV)(1 point pour la solution)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 13 de 28

Nom :

10. Soit la fonction f(x) = -(x − 1)(x + 3)(x − 7),a) détermine le comportement à l’infini de la fonction. (1 point) (Module 4, Leçon 1) Réponse : Le graphique se dirige vers le haut à gauche et vers le bas à droite. Autrement dit, le

graphique commence dans le quadrant II et termine dans le quadrant IV.

b) détermine les abscisses et l’ordonnée à l’origine. (2 points) (Module 4, Leçon 1) Réponse : Abscisses à l’origine = {1, -3, 7} (1 point) Ordonnée à l’origine = -21 (1 point)

c) trace le graphique de la fonction. (2 points) (Module 4, Leçon 4) Réponse :

�

� ��� � � �

�

���

����

(0,5 point pour l’ordonnée à l’origine conséquente)(0,5 point pour les abscisses à l’origine conséquentes)(0,5 point pour la forme correcte)(0,5 point pour le comportement à l’infini conséquent)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e14 de 28

11. Trace la fonction g(x) = 9 − 3x et détermine son image, son abscisse à l’origine et l’équation de l’asymptote. (4 points) (Module 7, Leçon 1)

Réponse :

�

�

�

�

�

�

L’image est ]-∞, 9[ (0,5 point)Abscisse à l’origine : 2 (1 point) 0 = 9 − 3x

3x = 9 3x = 32

x = 2L’équation de l’asymptote : y = 9 (0,5 point)Graphique (0,5 point pour l’asymptote horizontale) (0,5 point pour la forme) (1 point pour l’abscisse)

12. Trace la fonction f(x) = log3 x − 2. (1 point) (Module 7, Leçon 4) Réponse :

�

�

��� � � ��� ��

��

��

��

�

�

(0,5 point pour le comportement asymptotique)(0,5 point pour la forme)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 15 de 28

Nom :

13. Trace le graphique de la fonction suivante en utilisant des transformations. Indique le domaine et l’image de la fonction. (3 points) (Module 8, Leçon 1)

g x x( )= +�2 4

Réponse :

�

�

� � � �

�

�

�

�

� ������

Le domaine est {x|x ≥ 0}. L’image est {y|y ≥ 4}. (0,5 point pour le domaine) (0,5 point pour l’image) (0,5 point pour la forme correcte de la

fonction racine) (0,5 point pour la translation verticale) (0,5 point pour l’étirement vertical) (0,5 point pour un point sur le graphique

autre que l’ordonnée)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e16 de 28

14. Étant donné le graphique de f(x) ci-dessous, trace le graphique de f x( ). (2 points)

(Module 8, Leçon 2)

�

�

�

�

��

��

�

�

�

����

Réponse :

�

�

�

�

��

��

�

�

�

����

�

�

�

(0,5 point pour les points invariants)(0,5 point pour le domaine restreint)(0,5 point pour f x f x( ) > ( ) lorsque 0 < f(x) < 1)(0,5 point pour le point à l’extrémité à (-1, -2))

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 17 de 28

Nom :

15. Résous algébriquement l’équation radicale suivante. Vérifie ta réponse pour identifier d’éventuelles racines étrangères. (2 points) (Module 8, Leçon 3)

0

12

2 1= +( ) −x

Réponse :

012

2 1

112

2

2 2

4 2

4 2

2

2 2

= +( ) −

+ = +( )

( ) = +( )( )= +

− =

=

x

x

x

x

x

x

Vérification :

Membre de gauche Membre de droite0 1

22 2 1

12

4 1

12

2 1

1 1

+( ) −

−

( )−

−

Membre de gauche = membre de droite

x = 2 est donc une solution.

(0,5 point pour avoir isolé la racine carrée) (0,5 point pour avoir élevé les deux côtés au carré) (0,5 point pour la solution) (0,5 point pour la recherche d’éventuelles racines

étrangères)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e18 de 28

16. Trace le graphique de la fonction suivante. Détermine si le graphique devrait avoir un point de discontinuité ou une asymptote verticale. (3 points) (Module 8, Leçon 5)

y

xx

=−4

1

Réponse : Il n’y a pas de point de discontinuité puisqu’il n’y a aucun facteur du numérateur et du

dénominateur qui est identique. Valeur non permise à x = 1. La valeur non permise à x = 1 représente une asymptote verticale. Équation de l’asymptote horizontale à y = 4. Trouve les points de chaque côté de x = 1.

x

y

=

=( )−

=

2

4 22 18

Point : (2, 8)

x

y

=

=⋅

−

=

0

4 00 10

Point : (0, 0)

�

�

�

�

��

��

�

�

��

���

�

�

�

������

�����

�����

(1 point pour l’asymptote verticale)(1 point pour l’asymptote horizontale correcte)(0,5 point pour le graphique à droite de l’asymptote, avec un point)(0,5 point pour le graphique à gauche de l’asymptote, avec un point)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 19 de 28

Nom :

17. Trace le graphique de la fonction suivante. Détermine si le graphique devrait avoir un point de discontinuité ou une asymptote verticale. (5 points) (Module 8, Leçon 5)

y

xx x

=+

− −

14 52

Réponse :

y

xx x

=+

+( ) −( )1

1 5

Valeurs non permises à x = -1 et x = +5. Étant donné que x + 1 est aussi présent dans le numérateur, il y a un point de

discontinuité à x = -1. La valeur de y lorsque x = -1 est :

y =( )−

=

11 5

16

-

-

(1 point pour la simplification)

\ le point de discontinuité est - -116

, .

x = 5 est l’asymptote verticale. L’asymptote horizontale est y = 0, car le degré du dénominateur est supérieur à celui du

dénominateur.

Trace le graphique de yx

=−1

5 avec un trou à - -1

16

, .

Points de chaque côté de l’asymptote verticale : Lorsque x = 6, y = 1 Lorsque x = 4, y = 11

(1 point pour l’asymptote verticale) (1 point pour l’asymptote horizontale)

(1 point pour le trou à - -116

,

comme point de discontinuité)

(0,5 point pour le graphique à droite de l’asymptote verticale)

(0,5 point pour le graphique à gauche de l’asymptote verticale)

�

�

�

�

��

��

�

�

�

�����

�����

� �

��

�

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e20 de 28

18. Résous log .2 64 x (2 points) (Module 7, Leçon 2)

Réponse :

2 64

2 2

12

6

12

12 6

( ) =

=

=

=

x

x

x

x

�

(0,5 point pour la forme exponentielle)(1 point pour la base 2 dans l’équation exponentielle)(0,5 point pour la solution)

19. Résous l’équation exponentielle. Arrondis la réponse finale au millième près. (3 points) (Module 7, Leçon 5) e3x+2 = 5x+1

Réponse :

ln ln

ln ln

ln ln

ln ln

e

x e x

x x

x x

x x3 2 15

3 2 1 5

3 2 5 5

3 5 5 2

+ +=

+( ) = +( )

+ = +

− = −

xx

x

x

x

3 5 5 2

5 23 50 280 866

0 281

−( ) = −

=−

−

=

=

ln ln

lnln

, ...

,

-

-

(0,5 point pour l’utilisation des logarithmes des deux côtés)(1 point pour la loi du logarithme d’une puissance)(0,5 point pour le rassemblement de termes semblables)(0,5 point pour avoir isolé x)(0,5 point pour la solution)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 21 de 28

Nom :

20. Résous les équations suivantes. Écris ta réponse sous forme d’une valeur exacte si possible, sinon arrondis au centième près.a) 5(3x) = ex–1 (3 points) (Module 7, Leçon 5) Réponse :

ln ln

ln ln ( )ln

ln ln ln ln

ln l

5 3

5 3 1

5 3

3

1⋅( )= ( )+ = −

+ = −

−

−x xe

x x e

x x e e

x x nn ln ln

(ln ) ln

lnln

,,

e e

x

x

x

= −

− = −

=−

−

=

-

-

-

-

5

3 1 1 5

1 53 1

2 609 437 9120 0098 612 28826 46

-x= ,

(0,5 point pour l’utilisation des logarithmes des deux côtés)

(1 point pour la loi du logarithme d’une puissance)(1 point pour la loi du logarithme d’un produit)

(0,5 point pour le rassemblement de termes semblables)

(0,5 point pour avoir isolé x)

(0,5 point pour l’évaluation correcte du quotient des logarithmes)

b) log2 (x − 4) + log2 (x − 3) = 1 (3 points) (Module 7, Leçon 6) Réponse :

log ( )( )

( )( )

2

2 1

2

4 3 1

7 12 2

7 10 0

5 2 0

2

x x

x x

x x

x x

x x

− − =

− + =

− + =

− − =

= = 55

2

5

x

x

=

∴ =

est une racine étrangère

(1 point pour avoir écrit sous la forme d’un seul logarithme)

(0,5 point pour la forme exponentielle)

(1 point pour avoir résolu l’équation)

(0,5 point pour avoir rejeté la racine étrangère)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e22 de 28

21. Une culture bactériologique se développe selon la formule y = 1000e0,6t, où t représente le temps en jour.a) Détermine le nombre de bactéries au bout de 7 jours. (1 point) (Module 7, Leçon 7) Réponse : y = 1000e0,6(7)

= 1000e4,2 = 66 686 bactéries

b) Combien de temps sera nécessaire, au centième près, pour que le nombre de bactéries

soit multiplié par trois? (3 points) (Module 7, Leçon 7) Réponse :

3

3

3

3 0 6

30 6

1 83

0 6

0 6

0 6

x xe

e

e

t e

t

t

t

t

=

=

=

= ( )

=

=

,

,

,ln ln

ln , ln

ln,

, jour

(0,5 point pour la substitution)(0,5 point pour le logarithme des deux côtés)(1 point pour la loi du logarithme d’une puissance)(0,5 point pour avoir isolé t)(0,5 point pour l’évaluation)

22. Détermine tous les angles coterminaux avec 2p3

dans le domaine [-2p, 4p]. (2 points)

(Module 5, Leçon 1) Réponse :

23

63

43

23

63

83

π π π

π π π

− =

+ =

�-

Les deux angles coterminaux avec 2p3

dans le domaine [-2p, 4p] sont -4p3

et 8p3

.

23. Écris sous forme générale tous les angles qui sont coterminaux avec -261°. (1 point) (Module 5, Leçon 1)

Réponse :

-261 360° + ( ) ° ∈n n Z,�

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 23 de 28

Nom :

24. Détermine la valeur exacte de chacune des expressions suivantes. Donne les valeurs des angles coterminaux, au besoin. Montre tout ton travail. (2 2 points = 4 points) (Module 5, Leçon 4)

a) -sec23π

Réponse :

sec sec

cos

�

-

-

-

23

43

143

112

2

π π

π

=

=

=

=

(1 point pour l’angle coterminal)(1 point pour la réponse exacte)

ou

sec - -sec

-cos

-

-

23 3

1

3

112

2

π π

π

=

=

=

=

(1 point pour l’angle de référence et le signe approprié de la fonction)(1 point pour la réponse exacte)

b) cot 630°( )

Réponse :

cot cot

cossin

630 270

270270

01

0

°= °

=°

°

=

=

-

(1 point pour l’angle coterminal)(1 point pour la réponse exacte)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e24 de 28

25. Soit la fonction suivante : y x=

−- 1

2 21sin π

Détermine l’amplitude, le déphasage, la période, le domaine, l’image et l’ordonnée à l’origine de la fonction, puis trace son graphique. (6 points) (Module 5, Leçon 6)

Réponse :

Amplitude :

12

Déphasage : aucun

Période : 2

2

2 2

4

ππ

ππ

=

=�

Le domaine est ]- ∞, ∞[. L’image est [-1,5; -0,5]. Ordonnée à l’origine : y = -1

� ����� �����

����

����

����

����

����

(1 point pour la forme sinusoïdale) (0,5 point pour l’amplitude correcte) (1 point pour la période correcte) (0,5 point pour le déphasage) (0,5 point pour le domaine) (1 point pour l’image) (0,5 point pour l’ordonnée à l’origine) (1 point pour le graphique conforme aux propriétés)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 25 de 28

Nom :

26 Écris l’équation du graphique suivant sous la forme d’une fonction cosinus. (2 points) (Module 5, Leçon 6)

�

�

�

�

���

���

����

����

� ����

�� ����

����

�����

������

����

����

�����

�����

�������

��������

�����

������

��� �����

�

����

��

��

� �

� � �

� � � � � � �

Réponse : Voici une réponse possible pour une équation de la forme y = A cos(B(x − c)) + D. Le graphique est celui du cosinus mais : l’amplitude est 3; il n’y a pas de compression ou d’étirement horizontal;

la valeur de C pourrait être -

3p2 , p

2 , 5p2 , etc.;

il y a une translation verticale de 3 unités vers le bas.

L’équation est donc

g x x( ) cos= −

−3

22

π

(0,5 point pour la valeur correcte de A)(1 point pour la valeur correcte de C)(0,5 point pour la valeur correcte de D)

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e26 de 28

27. Résous les équations suivantes pour les intervalles indiqués. Écris tes réponses sous la forme de valeurs exactes lorsque cela est possible, sinon arrondis-les au centième près.a) 2 sin2 q + 3 cos q = 3, où -2p £ q £ 0 (5 points) (Module 6, Leçon 3) Réponse :

2 1 3 3

2 2 3 3 0

2 3 1 0

2

2

2

2

2

−( )+ =

− + − =

+ − =

cos cos

cos cos

cos cos

cos

θ θ

θ θ

θ θ-

θθ θ

θ θ

θ θ

− + =

−( ) −( ) =

= =

3 1 0

2 1 1 0

12

1

cos

cos cos

cos cos

(1 point pour l’identité)(1 point pour la simplification)(1 point pour la factorisation et la solution)

Angles de référence : ou

Réponses finales : -

θπ

θ

θπ

r r= =

=

30

3

-

θ

θπ

=

=

0

53

(0,5 point)

(1,5 point)

b) 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0, où 0 £ x < 2p. (4 points) (Module 6, Leçon 1) Réponse : Remarque : Si les réponses finales sont correctes sans que l’angle de référence soit

donné, la totalité des points sera quand même accordée.

3 1 2 1 013

12

sin sin

sin sin

sin

x x

x x

+( ) +( )=

= =

=

- -

Angle de référence -- et ou1 13

76

116

0 3398

0 3398 2 0 33987

= =

=

= + −

x x

x

π π

π π

,

, , , ,ππ π

π π

611

6

3 48 5 9476

116

,

, ; , ; ;

=

ou

x

(1 point pour la factorisation et la solution)(1 point pour les angles référence)(2 points pour la réponse)

E x a m e n d e p r é p a r a t i o n f i n a l - C o r r i g é 27 de 28

Nom :

28 Explique ce qui différencie une identité trigonométrique d’une équation trigonométrique. (1 point) (Module 6, Leçon 2)

Réponse : Une équation trigonométrique est vraie uniquement pour certaines valeurs de la

variable, alors qu’une identité trigonométrique est vraie pour toutes les valeurs de la variable incluses dans son domaine.

29 Soit l’équation sin cos2 24

x x( )= +

-

π

a) trace les graphiques de y = sin(2x) et y x= +

- cos 2

4π

sur le même système d’axes

ci-dessous. (4 points) (Module 5, Leçon 6 et Module 6, Leçon 5) Réponse : Remarque : Les deux graphiques ressemblent à celui-ci.

����

�� ���

� �

�

���

���

����

����

b) Le graphique que tu as créé dans a) te laisse-t-il penser que l’existence d’une identité est ainsi démontrée? (1 point) (Module 6, Leçon 5)

Réponse : Oui, car les deux graphiques sont identiques dans l’intervalle. Remarque : Non est une réponse acceptée si les graphiques en a) sont différents .

M a t h é m a t i q u e s p r é - c a l c u l , 1 2 e a n n é e28 de 28

30. Prouve l’identité 2

2sin

sinsec .

xx

x (2 points) (Module 6, Leçon 5)

Réponse :

Membre de gauche

Me

=( )

=

=

=

=

22

22

1

sinsin

sinsin cos

cos

sec

xx

xx x

x

x

mmbre de droite

(1 point pour l’identité)(1 point pour la simplification)

31. Prouve l’identité cos 2q + 2 sin2 q = 1. (2 points) (Module 6, Leçon 5) Réponse :

Membre de gauche

Membre de

= +

= − +

=

=

cos sin

sin sin

2 2

1 2 2

1

2

2 2

θ θ

θ θ

ddroite

(1 point pour l’identité)(1 point pour la simplification)

32. Trouve la valeur exacte de tan tan

tan tan.

80 551 80 55

° + °

− ° ⋅ ° (2 points) (Module 6, Leçon 4)

Réponse : tan (80° + 55°) = tan 135° = -1 (1 point pour l’identité) (0,5 point pour la simplification) (0,5 point pour la solution)