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Examen Blanc type Diplôme National du Brevet

SESSION FEVRIER 2017

Collège Henri Bosco

Vitrolles

Épreuve de

MATHÉMATIQUES

SÉRIE GÉNÉRALE

Durée de l'épreuve : 2h00

Le candidat répond sur une copie modèle Éducation Nationale.

Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.

Dès qu'il vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.

Exercice n°1 7,5 points Exercice n°2 9 points Exercice n°3 3,5 points Exercice n°4 9 points Exercice n°5 9 points Exercice n°6 7 points Maîtrise de la langue 5 points

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

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Exercice n°1

Cinq affirmations sont données ci-dessous :

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.

AFFIRMATION 1 : Le nombre !!− !

!× !! est égal à − !

!"

!!− !

!× !!= !"

!"− !

!"× !!

= !"!"× !!

= !"!"

Donc cette affirmation est fausse.

AFFIRMATION 2 : L’expression développée de 3𝑥 + 5 ! est égale à 3𝑥! + 30𝑥 + 25.

3𝑥 + 5 ! = 3𝑥 ! + 2×3𝑥×5 + 5! IR n°1 avec 𝑎 = 3𝑥 et 𝑏 = 5 = 9𝑥! + 30𝑥 + 25 Donc cette affirmation est fausse.

AFFIRMATION 3 :

Les droites (AB) et (FG)

de la figure ci-contre sont parallèles.

D’une part, !"!"= !",!

!",!= 0,625

D’autre part, !"!"= !"!!"

!"= !!",!!!"

!"= !",!

!"= 0,625

Les points B, E, F d’une part, et A, E, G d’autre part, sont alignés dans le même ordre et !"

!"= !"

!".

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles. Donc cette affirmation est vraie.

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AFFIRMATION 4 : 𝑓 est une fonction définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 3

L'image de -5 est -22.

𝑓 −5 = (−5)! + 3 = 25 + 3 = 28

L’image de -5 est 28 donc cette affirmation est fausse.

AFFIRMATION 5 :

L’écriture scientifique de !×!"!×!,!× !"!! !

!×!"!×! est 4×10!.

!×!"!×!,!× !"!! !

!×!"!×! = !×!,!

!×!× !"

!× !"!! !

!"!

= !,!

!"× !"

!×!"!!

!"!

= 0,04× !"

!!

!"!

= 0,04×10!!!! = 0,04×10!! = 4×10!!×10!! = 4×10!!

L’écriture scientifique de !×!"!×!,!× !"!! !

!×!"!×! est 4×10!! donc cette affirmation

est fausse.

Exercice n°2 : les macarons

PARTIE A :

Pour cuire des macarons (petites pâtisseries), la température du four doit être impérativement de 150°. Depuis quelques temps, le responsable de la boutique n'est pas satisfait de la cuisson de ses pâtisseries. Il a donc décidé de vérifier la fiabilité de son four en prenant la température à l'aide d'une sonde.

Voici la courbe représentant l'évolution de la température de son four en fonction du temps.

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1. La température du four est-elle proportionnelle au temps ? Justifier.

La représentation graphique de la température en fonction du temps n’est pas une droite donc la température n’est pas proportionnelle au temps.

2. Quelle est la température atteinte au bout de 3 minutes ?

A(3 ; 72) appartient à la courbe donc au bout de 3 minutes la température est d’environ 72°C.

3. De combien de degrés Celsius la température a-t-elle augmenté entre la deuxième et la septième minute ?

B(2 ; 50) appartient à la courbe donc au bout de 2 minutes la température est d’environ 50°C.

C(7 ; 140) appartient à la courbe donc au bout de 7 minutes la température est d’environ 140°C.

Entre la deuxième et la septième minute la température a augmenté d’environ 90°C.

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4. Au bout de combien de temps, la température de 150° nécessaire à la cuisson des macarons est-elle atteinte ?

D(8 ; 150) appartient à la courbe donc c’est au bout de 8 minutes que la température de 150°C est atteinte.

5. Passé ce temps, que peut-on dire de la température du four ? Expliquer pourquoi le responsable n'est pas satisfait de la cuisson de ses macarons.

Après 8 minutes on constate que la température du four varie autour des 150°C mais pour cuire des macarons, la température du four doit être impérativement de 150°C donc le responsable n’est pas satisfait.

PARTIE B : Une nouvelle boutique a ouvert à Paris. Elle vend exclusivement des macarons. L'extrait de tableur ci-dessous indique le nombre de macarons vendus cette semaine. 1. Quelle formule doit être saisie dans la case I2 pour calculer le nombre total de macarons vendus cette semaine ? Dans la cellule I2, on doit saisir la formule : =SOMME (B2:H2) 2. Calculer le nombre moyen de macarons vendus par jour. Arrondir le résultat à l'unité. !"#!!"#!!"#!!"#!!"#!!"#!!"#

!= ! !"#

!≈ 321

La boutique vend en moyenne 321 macarons par jour.

3. Calculer le nombre médian de macarons.

On range les 7 données dans l’ordre croissant : 204 ; 240 ; 310 ; 318 ; 324 ; 386 ; 468 On a sept données : on constitue deux groupes de 3 données et la médiane est la 4ème donnée. La 4ème donnée est 318.

Le nombre médian de macarons est égal à 318.

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4. Calculer la différence entre le nombre de macarons vendus le dimanche et ceux vendus le jeudi. A quel terme statistique correspond cette valeur ? 468 − 204 = 264 La différence entre le nombre de macarons vendus le dimanche et ceux vendus le jeudi est égale à 264. Cette valeur correspond à l’étendue de la série. Exercice n°3 : Lors d'un jeu télévisé, Arthur étudiant en mathématiques a remporté 168 points et en a perdu 12. 1. Décomposer 168 et 180 en produits de facteurs premiers 168 = 2×84 = 2×2×42 = 2×2×2×21 = 2×2×2×3×7 = 2!×3×7

180 = 3×60 = 3×5×12 = 3×5×2×2×3 = 2×2×3×3×5 = 2!×3!×5 2. Exprimer la proportion de points remportés par Arthur sous la forme d'une fraction irréductible.

Nombre de points remportés : 168 Nombre total de points : 168 + 12 = 180

Proportion de points remportés : !"#!"#

= !×!×!×!×!!×!×!×!×!

= !×!!×!

= !"!"

Exercice n°4 : LE GAZON

La figure PRC présente un terrain appartenant à une commune.

Les points P, A et R sont alignés.

Les points P, S et C sont alignés.

Il est prévu d'aménager sur ce terrain :

− Une « zone de jeux pour enfants » sur la partie PAS

− Un « skatepark » sur la partie RASC.

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On connaît les dimensions suivantes :

PA = 30 m AR = 10 m AS = 18 m

Document 1

Le sac de 5 kg de mélange de graines pour gazon coûte 13,90€.

Document 2

Document 3

Un sac de 5 kg de mélange de graines pour gazon permet de couvrir une surface d'environ 140m²

1. Quel budget doit prévoir cette commune pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la zone de jeu pour enfants.

Il faut déterminer l’aire de la zone de jeu.

A!"# =!"×!"

!= !"×!"

!= 270 m!

Il faut déterminer le nombre de sacs de gazon nécessaires.

Un sac de 5 kg de mélange de graines pour gazon permet de couvrir une surface d'environ 140m²

!"#!"#

≈ 1,9 Il faut donc acheter 2 sacs.

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Le sac de 5 kg de mélange de graines pour gazon coûte 13,90€.

2×13,90 = 27,8

Il faut un budget de 27,80 € pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la zone de jeu pour enfants.

2. Calculer l'aire du skatepark.

Il faut déterminer l’aire totale du terrain mais pour cela il faut connaître RC.

On sait que (𝐴𝑆) ⊥ (𝑃𝑅) et que (𝑅𝐶) ⊥ (𝑃𝑅) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (𝐴𝑆) et (𝑅𝐶) sont parallèles. De plus, les droites (𝐴𝑅) et (𝑆𝐶) sont sécantes en P.

D’après le théorème de Thalès, on a !"!"= !"

!"= !"

!"

!"!"= !"

!"

!"!"!!"

= !"!"

RC×30 = 40×18

RC = !"×!"!"

RC = 24 m

𝐴!"# =!"×!"

!= !"×!"

!= 480 𝑚!

A!"#$ = 𝐴!"# − 𝐴!"# = 480 − 270 = 210 𝑚!

L’aire du skatepark est égale à 210 𝑚!.

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PROGRAMME A

- Choisir un nombre

- Multiplier ce nombre par 2

- Soustraire 5

- Calculer le carré du nombre obtenu

- Soustraire 16

- Écrire le résultat obtenu

PROGRAMME B

- Choisir un nombre

- Multiplier ce nombre par 4

- Soustraire 20

- Multiplier par le nombre de départ

- Ajouter 9

- Écrire le résultat obtenu

Exercice n°5

On considère les deux programmes de calculs suivants :

1. Vérifier que si l'on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est -15. Faire apparaître les calculs sur votre copie.

2×2 = 4

4 − 5 = −1

(−1)! = 1

1 − 16 = −15 donc si l'on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est -15.

2. Quel résultat obtient-on avec le programme A si on choisit 3 comme nombre de départ ? Faire apparaître les calculs sur votre copie.

3×2 = 6

6 − 5 = 1

1! = 1

1 − 16 = −15 donc si l'on choisit 3 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est -15.

3. Quelle remarque peut-on faire ?

On remarque que le résultat est le même si l’on applique le programme A au nombre 2 et au nombre 3.

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4. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 3 comme nombre de départ ? Faire apparaître les calculs sur votre copie.

3×4 = 12

12 − 20 = −8

−8×3 = −24

−24 + 9 = −15 donc si l'on choisit 3 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme B est -15.

5. On a utilisé le tableur pour calculer les résultats obtenus par ces deux programmes pour certains nombres choisis. Voici ce qu'on a obtenu :

a) Parmi les quatre formules suivantes, recopier sur votre copie celle qui a été saisie dans la cellule B2 puis qui a été recopiée vers le bas.

Première proposition : =2*A2-5^2-16

Deuxième proposition : =2*(A2-5)^2-16

Troisième proposition : =(2*A2-5)^2-16

Quatrième proposition : =(2*A2)-5^2-16

Dans la cellule B2, on utilise le programme A

donc on a saisi la formule =(2*A2-5)^2-16 (troisième proposition)

b) Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau ?

A la lecture de ce tableau, on peut penser que si l’on applique les deux programmes de calcul au même nombre de départ, les résultats obtenus sont égaux.

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6. Pour n'importe quel nombre de départ, l'expression 𝐴 = 2𝑥 − 5 ! − 16 permet d’obtenir le résultat du programme A.

a) Écrire l’expression qui permet d’obtenir le résultat du programme B.

L'expression B = 4𝑥 − 20 ×𝑥 + 9 permet d’obtenir le résultat du programme B.

b) Montrer la conjecture faite à la question 5)b)

On va développer les deux expressions

A = 2𝑥 − 5 ! − 16

A = 2𝑥 ! − 2×2𝑥×5 + 5! − 16 IR n°2 avec a = 2𝑥 et b = 5

A = 4𝑥! − 20𝑥 + 25 − 16

A = 4𝑥! − 20𝑥 + 9

B = 4𝑥 − 20 ×𝑥 + 9

B = 4𝑥×𝑥 − 20×𝑥 + 9

𝐵 = 4𝑥! − 20𝑥 + 9

Les deux expressions ont la même forme développée donc on peut affirmer que les deux programmes, appliqué à un même nombre, conduisent toujours au même résultat.

Exercice n°6 : Passage piéton :

Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.

Il décide alors de traverser imprudemment la route du point J au point F sans utiliser les passages piétons.

Le passage piéton

est supposé perpendiculaire

au trottoir.

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En moyenne, un piéton met 9 secondes pour parcourir 10 mètres.

Combien de temps Julien a-t-il gagné en traversant sans utiliser le passage piéton ?

• On commence par calculer la distance FK +KJ

𝐹𝐾 + 𝐾𝐽 = 8 + 15 = 23 𝑚

• On calcule le temps mis pour parcourir cette distance FK+KJ

Distance en m 10 23

Temps en s 9 𝑥

𝑥 =23×910

= 20,7 𝑠

Pour traverser normalement, un piéton met 20,7 s.

• On calcule la distance FJ

Le triangle FKJ est rectangle en K donc l’égalité de Pythagore est vérifiée 𝐹𝐽² = 𝐾𝐹² + 𝐾𝐽²

𝐹𝐽² = 8² + 15²

𝐹𝐽² = 64 + 225

𝐹𝐽² = 289

𝐹𝐽 = 289 = 17

• On calcule le temps mis pour parcourir cette distance FJ

Distance en m 10 17

Temps en s 9 𝑦

𝑦 =17×910

= 15,3 𝑠

Pour traverser, Julien met 15,3 s.

• On calcule le gain de temps

20,7 − 15,3 = 5,4

En traversant hors du passage piéton, Julien a gagné 5,4 s.