Maths 3

� Benoît BAUDELET� Philippe CLOSE� René JANSSENS

Corrigé et notes méthodologiques

3Le Maths 3 - Corrigé et notes méthodologiques propose les solutions à tous les problèmes du manuel et du cahier d’exercices de 3e année.

La c’est également :

Le Maths 3 – Manuel comporte deux parties.La première regroupe les activités et exercices. La deuxième propose : la théorie, qui comporte des exposés succincts, suivis de « Questions pour apprendre » ; des « Comment faire ? » pratiques ; des anecdotes historiques ; des index qui facilitent l’utilisation du manuel.

Le Maths 3 – Cahier d’exercices contient un coffre à outils des principales notions étudiées au premier degré ; les activités et exercices du manuel qui sont à compléter ; les solutions des exercices S’entraîner proposés dans le manuel ; pour les élèves de la FESeC, 5 tâches d’intégration, compor-tant aussi bien les activités et la théorie que les exercices à compléter.

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MAT3COISBN 978-2-8041-0142-8www.deboeck.com

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Corrigé00page 5 noirvert

��Tabledesmatières

Thème 1 ANGLES PARTICULIERS

1. Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Angles à côtés parallèles ou perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Triangle rectangle et cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. Triangle rectangle et médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Thème 2 FIGURES ISOMÉTRIQUES

1. Isométries et figures superposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. Triangles isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Thème 3 AUTOUR DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

1. Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362. Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474. Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585. Distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Thème 4 PUISSANCES

1. Puissances d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672. Calcul de puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Thème 5 FONCTIONS (généralités)

1. Introduction et fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Thème 6 POLYNÔMES ET FONCTIONS POLYNÔMES

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962. Opérations avec des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Thème 7 AUTOUR DU THÉORÈME DE THALÈS

1. Propriétés des proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092. Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113. Configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154. Coordonnées du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175. Réciproques et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Thème 8 FIGURES SEMBLABLES

1. Agrandissements, réductions et figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252. Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Thème 9 TRIGONOMÉTRIE DU TRIANGLE RECTANGLE

1. Nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472. Utilisation des nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Table des matières � V�

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Thème 10 FACTORISATION ET FRACTIONS ALGÉBRIQUES

1. Factorisation d’expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582. Équations d’un degré plus grand que 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633. Division d’un polynôme par x − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684. Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Thème 11 FONCTIONS f : x → mx + p – ÉQUATIONS DE DROITE (1re partie)

1. Fonctions linéaires et fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832. Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913. Droites parallèles – Droites perpendiculaires – Milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Thème 12 ÉQUATIONS À UNE INCONNUE

1. Résolution – Interprétation graphique – Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Thème 13 ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES – ÉQUATIONS DE DROITE (2e partie)

1. Équations du premier degré à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2172. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Thème 14 INÉQUATIONS À UNE INCONNUE

1. Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432. Résolution d’inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2473. Systèmes d’inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

TÂCHES D’INTÉGRATION (FESeC)

1. Proportions et pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

2. Propriétés des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

3. Problèmes de géométrie analytique à propos de figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

4. Propriétés de figures démontrées de plusieurs façons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5. Approximer un nuage de points par une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

�

VI � Table des matières


��Remarquespréliminaires

Le programme de la FESeC est réparti en trois domaines :1. Grandeurs, nombres, algèbre et fonctions.2. Géométrie et trigonométrie.3. Traitement de données.

Problèmes relatifs à la vie sociale, économique et culturelle.

«Dans ce programme, à chaque chapitre est associée une liste de tâches classées selon trois axes decompétences :1. Expliciter les savoirs et les procédures qui sont présentés le plus souvent sous la forme d’une

« synthèse » (voir les « Comment faire ? » dans le Manuel, partie théorique).2. Appliquer une procédure c’est-à-dire

• organiser un calcul en choisissant les règles et en les appliquant dans un certain ordre;• réaliser un graphique, un diagramme ou un tableau qui éclaire ou résume une situation;• construire une figure qui requiert d’organiser des étapes et de mettre en œuvre plusieurs

techniques. (voir les exercices « S’exercer » dans le Manuel, partie Activités et exercices)3. Résoudre un problème qui consiste à modéliser une situation par un traitement mathématique.

(voir les problèmes, les applications géométriques et les problèmes de construction dans le Manuel,partie Activités et exercices). »

(Extrait du programme 2009 du 2e degré de la FESeC)

Compétences transversales à développer«On mettra l’accent sur les aspects suivants :

1. Comprendre un message• extraire d’un énoncé les données et le but à atteindre;• analyser la structure globale d’un texte mathématique et, en particulier, y distinguer l’essentiel de

l’accessoire.

2. Traiter, argumenter, raisonner• traduire une information d’un langage à un autre, par exemple passer du langage courant au

langage graphique ou algébrique et réciproquement;• observer, comparer, formuler une hypothèse par induction, argumenter, construire une chaîne

déductive et la justifier.

3. Communiquer• maîtriser le vocabulaire, les tournures et le symbolisme nécessaires pour expliquer et rédiger une

démonstration;• rédiger et présenter clairement des arguments et des conclusions;• produire un dessin, un graphique ou un tableau qui éclairent ou résument une situation.

4. Appliquer• étendre une règle, un énoncé ou une propriété à un domaine plus large, par exemple étendre à

l’espace une propriété de plan;• utiliser certains résultats pour traiter des questions issues d’autres branches (physique, sciences

économiques...).

Remarques préliminaires � III�

�


5. Généraliser, structurer, synthétiser• reconnaître une propriété commune à des situations différentes;• émettre des généralisations et en contrôler la validité. »

(Extrait du Programme du 2e degré de la Communauté française).

Les contenus intègrent une partie des compétences terminales dont l’acquisition se poursuit autroisième degré :

Savoir, connaître, définir

Les grands théorèmes de la géométrie classique relatifs aux rapports de longueurs, aux angles, auxaires et aux figures en général.Les symétries, les translations, les rotations, les homothéties de figures du plan.

Calculer, déterminer un élément géométrique

Déterminer une longueur, un angle, une relation entre points, droites, (plans), une propriété defigure, par une méthode routinière.

Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

Choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de :– déterminer des éléments d’une figure,– dégager de nouvelles propriétés géométriques,– résoudre des problèmes de construction.

Représenter, modéliser

Effectuer des tracés de figures générales ou leurs cas particuliers, à la main, aux instruments,éventuellement à l’aide de logiciels, en vue d’éclairer une recherche.

Démontrer

Organiser les étapes d’une construction et les justifier.Dans un énoncé (propriété, théorème, . . .) distinguer l’hypothèse (les données) et la thèse.Rédiger une démonstration en faisant apparaître les étapes, les liens logiques, les théorèmes utilesau moyen de phrases complètement formulées.

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La rédaction d’un corrigé d’exercices est une vaste entreprise tant pour l’encodeur,le dessinateur et le metteur en pages (que nous remercions chaleureusement) que pour lesauteurs.Ces derniers n’ont pas voulu donner des solutions ne comportant qu’une suite de calculset de réponses. Ils ont tenu à rédiger des stratégies de résolution, des justifications, desvariantes ainsi que de nombreux conseils, fruits de leurs expériences.Merci à tous ceux qui voudraient contribuer à améliorer ce corrigé en transmettant leursremarques à

De Boeck ÉducationFond Jean Pâques, 4

B-1348 [email protected]

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IV � Remarques préliminaires

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Act

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ces

Corrige03page 35 noirvert

��AutourduthéorèmedePythagore

THÈME� �

� �3

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Ce thème contient deux éléments essentiels du cours de troisième :

• en géométrie, le théorème de Pythagore est un des éléments «autour desquelss’organise la géométrie » ;

• l’aspect numérique du théorème fait découvrir de nouveaux nombres et permetd’étendre les connaissances des élèves à l’ensemble des nombres réels.

Ainsi donc– le théorème de Pythagore est démontré (utilisation des aires de figures);– la réciproque est démontrée (utilisation des triangles isométriques) et sert à caractériser

un triangle rectangle;– la racine carrée d’un nombre positif permet d’étendre les propriétés des opérations;– le calcul des radicaux (limité à des cas numériques simples) permet de simplifier des

écritures et d’utiliser les propriétés des opérations mais c’est surtout l’occasion de traiterdes problèmes concernant la construction de segments de longueur irrationnelle etle calcul de distance dans le plan et dans l’espace;

– enfin les relations métriques dans un triangle rectangle sont vues en relation avec lethéorème de Pythagore. On en donnera plus tard (thème 8) des démonstrations baséessur les triangles semblables.

Extrait des compétences terminales (en géométrie)

Savoir, connaître, définirLes grands théorèmes de la géométrie classique relatifs aux rapports de longueurs [...] auxaires et aux figures en général.

Calculer, déterminer un élément géométriqueDéterminer une longueur, [...] une propriété de figure, par une méthode routinière.

Appliquer, analyser, résoudre des problèmesChoisir des propriétés, organiser une démarche en vue de :– déterminer des éléments d’une figure,– dégager de nouvelles propriétés géométriques,– résoudre des problèmes de construction.

Représenter, modéliserEffectuer des tracés de figures générales ou de leurs cas particuliers, à la main, auxinstruments, éventuellement à l’aide de logiciels, en vue d’éclairer une recherche.

DémontrerOrganiser les étapes d’une construction et les justifier.Dans un énoncé (propriété, définition, théorème, ...), distinguer l’hypothèse et la thèse.Rédiger une démonstration en faisant apparaître les étapes, les liens logiques, les théorèmesutilisés au moyen de phrases complètement formulées.

� 35

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� �

�

L’importante égalité de Pythagore est approchée de diverses manières (Activités 1 - 4 ).Après des observations de figures, l’élève est souvent capable de rédiger l’énoncé duthéorème.

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FESeC : – la caractérisation d’un triangle rectangle par la propriété de la médianerelative à l’hypoténuse est traitée dans le thème 1 : angles particuliers.

– l’étude des relations métriques dans les triangles rectangles se retrouvedans la tâche 4.

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1. Théorème de Pythagore�

Découvrir

�S’exercer

1 a) • Il semble que a = 5.

• a2 = 25 et 25 = 16 + 9c.-à-d. 52 = 42 + 32. 3

4

a

b) • Il semble que a = 17.

• a2 = 172 = 289et 289 = 225 + 64c.-à-d. 172 = 152 + 82.

8

15

a

Échelle : 0,5

�

�36 � Thème 3 • Autour du théorème de Pythagore

�

Act

ivit

és e

t ex

erci

ces


2 a)

Y X

Z

3

4 5

1

3

2

b) Aire ( C1) = 9 cm2, Aire ( C2) = 16 cm2, Aire ( C3) = 25 cm2.

c) Aire ( C3) = Aire ( C1) + Aire ( C2).

3 Il semblerait que, dans un triangle rectangle, lecarré de l’hypoténuse est égal à la sommedes carrés des côtés de l’angle droit.

Autrement dit,

l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égaleà la somme des aires des carrés construits sur lescôtés de l’angle droit.

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�

Certains diront que le premier énoncén’est pas rigoureux et qu’il faudrait dire : lecarré de la longueur de l’hypoténuse d’untriangle rectangle est égale à la somme descarrés des longueurs des deux côtés del’angle droit. Si l’on privilégie un énoncéplus bref, il ne faudra jamais perdre de vueque l’on parle de longueurs.

4 a) On montre que XYZW est un carré.

Les angles aigus d’un triangle rectangle étant complémentaires (propriété étudiée en Deuxième),

WXQ + XWQ = 90°.

Comme les quatre triangles sont isométriques, WXQ = ZWP et,

dès lors, XWZ = XWQ + ZWP = 90°.

De même, WXY = XYZ = YZW = 90°.

Puisque XW = XY = YZ = WZ, le quadrilatère XYZW a quatre angles droits et ses côtés de mêmelongueur; il s’agit donc d’un carré.

1. Théorème de Pythagore � 37

�

�


b) On montre que MNPQ est un carré.

• Puisque les quatre triangles sont isométriques, on obtient successivement, en soustrayantmembre à membre :

WP = ZN = YM = XQ

WQ = ZP = YN = XM

WP − WQ = ZN − ZP = YM − YN = XQ − XM

c.− à − d. QP = PN = MN = MQ .

• Puisque XMY = YNZ = ZPW = WQX = 90°, les quatre angles du quadrilatère MNQP sontdroits.Dès lors, MNPQ est un carré.

c) Aire ( XYZW) = XW2

= a2

Aire ( MNPQ) = MN2

= (c − b)2

Aire (� XQW) =XQ . QX

2=

bc

2·

X Y

ZW

M

N

P

Q

a

cb

Puisque l’aire du carré XYZW est égale à la sommede l’aire du carré MNPQ et des aires des quatre tri-angles isométriques, on en déduit que

Aire ( XYZW) = Aire ( MNPQ) + 4 . Aire (� XQW)

a2 = (c − b)2 + 4 .bc

2

a2 = c2 − 2bc + b2 + 2bc

a2 = c2 + b2.

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1. Théorème de Pythagore�

Découvrir�

S’exercer

� �

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Dans les exercices 67 à 78, nous avons évité de présenter des situations qui aboutiraient à une racinecarrée d’un nombre non carré parfait. De tels exercices n’apparaîtront qu’après avoir abordé la notionde racines carrées, c’est-à-dire à partir de l’exercice 94.

�� 67 ©1 AC

2= AB

2+ BC

2.

©2 AB2

= AX2

+ XB2.

AC2

= AX2

+ XC2

(la médiane relative à la based’un triangle isocèle est aussi la hauteur issue dusommet).

©3 AB2

= AC2

+ CB2

(le triangle ABC est rectanglepuisqu’il est inscrit dans un demi-cercle dont lediamètre est un côté du triangle).

�

�38 � Thème 3 • Autour du théorème de Pythagore

�

Act

ivit

és e

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erci

ces


�� 68 Les longueurs x, y et z sont positives.

©1 x2 = 42 + 32.

D’où x2 = 16 + 9 ou x2 = 25 ou x = 5.

©2 y2 = 52 + 122.

D’où y2 = 25 + 144 ou y2 = 169 ou y = 13.

©3 172 = z2 + 152.

D’où z2 = 289 − 225 ou z2 = 64 ou z = 8.

�� 69 a) Vrai, car x2 = (2a)2 + (2b)2

ou x2 = 4a2 + 4b2

ou x2 = 4(a2 + b2)

ou x2 = 4c2 = (2c)2 et x = 2c(théorème de Pythagore dans le triangle SRT).

2b

b

x

S'

R T'T

S

2aa

c

b) Vrai, car x = 2c (voir a))et le périmètre est 2a + 2b + 2c ou 2(a + b + c).

c) Faux, l’aire est multipliée par 4.

�� 70

YO

Z1

X

Z2

8

8

8,5

a) Deux positions sont possibles pour le point Z :Z1 et Z2 qui sont symétriques l’un de l’autre parrapport à la droite XY.

b) Les triangles XZ1Y et XZ2Y sont rectangles(respectivement en Z1 et Z2) puisqu’ils sont inscrits

dans des demi-cercles dont le diamètre est uncôté de chaque triangle.

c) On a donc : XY2

= XZ12

+ Z1Y2

(idem pour Z2Y)

289 = 64 + Z1Y2

Z1Y2

= 289 − 64

Z1Y2

= 225

Z1Y = 15.

�� 71 Puisque le triangle proposé est rectangle,

on a (x + 8)2 = 282 + x2

c.à-d. x2 + 16x + 64 = 784 + x2

16x = 784 − 64

16x = 720

x =720

16

x = 45.

�� 72 Dans le triangle AEG, rectangle en E

AG2

= AE2

+ EG2

(théorème de Pythagore)

AE2

+ (EH2

+ HG2)

(idem dans le triangle EHG rectangle en H)

= 42 + 42 + 72 = 16 + 16 + 49 = 81

AG = 9.� �

�

Les élèves ont été initiés en première et endeuxième à la représentation des solides. Ilssont à même de transposer leurs acquis (àpropos du théorème de Pythagore) à desconfigurations spatiales dans la mesure oùla solution du problème passe par le choix d’un«bon plan » dans lequel on peut appliquer lethéorème en question.

�� 73 a) a = 5 ; b = 13 ; c = d = 13.

b) V = 13

12 . 122

. 5.4 6

V = 120.

�� 74

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Ce 2e critère d’isométrie des trianglesrectangles n’avait pas pu être présenté dans lethème 2 puisque sa démonstration se base surle théorème de Pythagore.

1. Théorème de Pythagore � 39

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�Factorisationet fractions algébriques

THÈME� �

� �10

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«Au deuxième degré, le sens du calcul algébrique apparaît en rapprochant, d’une part,l’apprentissage de techniques de transformation d’expressions et de formules, d’autre part,l’étude des fonctions et de leurs graphiques. Une telle présentation des fonctions et del’algèbre favorise une familiarisation avec les principales fonctions de référence et unematuration progressive des notions nécessaires pour utiliser les réels et aborder l’analyse autroisième degré » .C’est ainsi que, dans le thème 5, les fonctions ont été étudiées entre autre pour introduireles polynômes (thème 6) et les droites (thème 11).Dans ce thème 10, la mise en parallèle d’un polynôme et de la représentation graphiquede la fonction polynôme correspondante donne une signification au calcul algébrique et enparticulier à la factorisation d’expressions algébriques (liée, par exemple, à la recherche desracines d’une fonction).«L’objectif est de– préparer la détermination des zéros et l’étude du signe (voir thème 14) de fonctions

polynômes;– résoudre des équations réductibles au premier degré (point 2)– se donner des outils pour le calcul de fractions algébriques (point 4) » .

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Le programme de la FESeC insiste pour que l’étude des fractions algébriques soit limitéeà des cas simples à une variable.

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1. Factorisation d’expressions algébriques�

Découvrir

�S’exercer

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La 1re activité est très riche. Il faut laisser aux élèves une période d’essai où ils réaliserontdiverses tentatives.La solution proposée ici n’est qu’un exemple de démarche, longue mais efficace.

1 • Graphiquement, on observe que les racines de la fonction représentée sont −2, 1 et 3.

• Calcul des valeurs numériques des six fonctions

158 � Thème 10 • Factorisation et fractions algébriques

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Act

ivit

és e

t ex

erci

ces


pour x = −2 pour x = 1 pour x = 3 Conclusions

f1(x) 15 0 0 fonction à écarter

f2(x) 0 0 0 cette fonction pourrait convenir


f4(x) 15 0 0 fonction à écarter



• Graphiquement, on observe que l’image de 0 est 12.Pour les fonctions candidates, on calcule l’image de 0 :

f2(0) = 12 ;

f3(0) = 6, f3 est à écarter;f5(0) = −12, f5 est à écarter;

f6(0) = 12 .

• Pour tout réel x, 2(x − 1)(x + 2)(x − 3) = 2x3 − 4x2 − 10x + 12.Dès lors f2 et f6 ont comme graphique la courbe donnée.

2 a) −2b) x2 + 0, 6x − 2, 8 = (x + 2) . (x − 1, 4)c) 1,4

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Pour trouver le facteur (x − 1, 4),– certains élèves effectueront la division de

(x2 + 0, 6x − 2, 8) par (x + 2);– d’autres chercheront par tâtonnements le

premier terme (x) et le deuxième terme(1,4).

3 Cahier d’exercices, page 65a) (a + b)(a − b) = a2 − b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

b) 1. 4x2 − 49 = (2x + 7 )(2x − 7 ) 5. 9x4 − 16

25=

(

3x2 +4

5

) (

3x2 − 4

5

)

2. 9x2 + 24x + 16 = ( 3x + 4 )2 6. y2 − 12y + 36 = (y − 6 )2

3. 25y2 − 49 = ( 5y + 7)( 5y − 7) 7. 16z2 + 40z = 25 = ( 4z + 5 )2.

4. z2 − 16z + 64 = (z − 8 )2 8. 9 − 12x3 + 4x6 = ( 3 − 2x3)2

4 a) ©1 − 2 et 2 ©3 − 2 et 2 ©5 − 1, 5

©2 0 et 2 ©4 2 ©6 − 2 , 0 et 2.b) ©1 x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) ©4 x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

©2 x2 − 2x = x(x − 2) ©5 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

©3 4 − x2 = (2 + x)(2 − x) ©6 x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x + 2)(x − 2).

1. Factorisation d’expressions algébriques � 159�

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Les programmes de deuxième signalaient la notion et les formules de factorisation.Comme les programmes du premier degré demandaient de ne pas développer ce sujet, ilserait bon de s’inspirer des formules et de la technique présentées dans l’activité 3 .

5 a) 1) D 5) E

2) E 6) E

3) D 7) C

4) D 8) D

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Cette activité 5 est certes assez longue à réaliser. Mais elleest très riche pour fixer chez les élèves non seulement la notionde factorisation mais aussi la nécessité absolue d’effectuer demultiples vérifications. Ces dernières réactiveront le calcul desproduits remarquables.

6 a) b − a = −(−b + a) = −(a − b).x(a − b) + 3(b − a) = x(a − b) − 3(−b + a)

= x(a − b) − 3(a − b)= (a − b)(x − 3).

b) (b − a)2 = (a − b)2 (les carrés de deux nombres opposés sont égaux).

2(b − a) − (a − b)2 = 2(b − a) − (b − a)2

= (b − a)(2 − (b − a)

)

= (b − a)(2 − b + a).� �

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L’activité 6 évoque une démarche délicate. La notion d’expressions littéralesopposées n’est pas familière aux élèves de troisième.De même, la comparaison des carrés de deux expressions littérales opposées pose desérieux problèmes de calcul ! Il est utile de faire développer (a − b)2 et (b − a)2 pourjustifier que ces expressions sont égales.

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1. Factorisation d’expressions algébriques�

Découvrir�

S’exercer

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Dans les exercices qui suivent, on a prévu troisséries :la première concerne des exercicesd’application directe des formules defactorisation;la deuxième regroupe des exercices présentantune difficulté;la troisième propose des exercices dedépassement car ils requièrent une dextéritéd’exécution plus grande.

�� 301 1re série

1) b(a − b)

2) x(y − 1)

3) u(1 − 3u)

4) 5xy(3x − 5y)

5) 14a2(b + 2c)

6) 5a2(a + 5b)

7) 3a(a − 3b2 + 2)

8) 6xy(2x2y − 3xy2 + 4)

9) 5a2b2(3a2 − 5ab + 7b2)

160 � Thème 10 • Factorisation et fractions algébriques

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Maths 3