-
Site de sujets corrigs
CIBLE PRINCIPALE Premire TerminaleSERIE Srie F1-2-3-4-C-DMATIERE
MathmatiquesTITRE Annales de 6 sujets type Bac-non CorrigRESUME DU
SUJET Thme abord :
Nombres Complexes Fonction lnSimilitudeArithmtiquesSuite
numrique
Terminale S juin 2007
1. Exercice 1
4 pointsPour chacune des questions de ce QCM une seule, des
trois propositions A, B ou C est exacte. Le candidat indiquera sur
sa copie le numro de la question et la lettre correspondant la
rponse choisie. Aucune justification nest demande. Une rponse
exacte rapporte 0,5 point. Une rponse inexacte enlve 0,25 point.
Labsence de rponse napporte ni nenlve aucun point. Si le total est
ngatif la note de lexercice est ramene 0.Une urne contient 8 boules
indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.1. On
tire au hasard simultanment 3 boules de lurne.a. La probabilit de
tirer 3 boules noires est :
A B C156
1120
13
b. La probabilit de tirer 3 boules de lamme couleur est :A B
C1156
11120
1624
2. On tire au hasard une boule dans lurne, on note sa couleur,
on la remet dans lurne ; on procde ainsi 5 tirages successifs et
deux deux indpendants.a. La probabilit dobtenir 5 fois une boule
noire est :
A B C3 33 5
8 8
338
515
b. La probabilit dobtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est
:A B C
3 25 38 8
5 32 38 8
3 25 310
8 8
3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette
urne. On note : R1 lvnement : La premire boule tire est rouge ; N1
lvnement : La premire boule tire est noire ; R2 lvnement : La
deuxime boule tire est rouge ; N2 lvnement : La deuxime boule tire
est noire .
-
a. La probabilit conditionnelle R 21 RP est :A B C58
47
514
b. La probabilit de lvnement 1 2R N est :A B C1649
1564
1556
c. La probabilit de tirer une boule rouge au deuxime tirage est
:A B C58
57
328
d. La probabilit de tirer une boule rouge au premier tirage
sachant quon a obtenu une boule noire au second tirage est :
A B C1556
38
57
2. Exercice 2
5 pointsI. Restitution organise de connaissances1. Dmontrer qu
un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z z .2.
Dmontrer quun nombre complexe z est rel si et seulement si z z .3.
Dmontrer que pour tout nombre complexe z, on a lgalit : 2zz z .Le
plan complexe est rapport a un repre orthonorm direct ( ; , )O u v
orthonorm direct . On se propose de dmontrer, laide des nombres
complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux deux
distincts, daffixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle
circonscrit est situ lorigine O, a pour orthocentre le point H
daffixe a +b +c.II. tude dun cas particulierOn pose : a = 3 + i, b
= 1 + 3i, 5 5c i .1. Vrifier que O est le centre du cercle
circonscrit au triangle ABC.2. Placer les points A, B, C et le
point H daffixe a + b + c, puis vrifier graphiquement que le point
H est lorthocentre du triangle ABC.III. tude du cas generalABC est
un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c
sont les affixes respectives des points A, B, C.1. Justifier le
fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si
et seulement si : aa bb cc .1. On pose w bc bc .a. En utilisant la
caractrisation dun nombre imaginaire pur tablie dans le I.,
dmontrer que w est imaginaire pur.b. Verifier lgalit : b c b c w et
justifier que : 2
b c wb c b c
.
c. En dduire que le nombre complexe b cb c
est imaginaire pur.
2. Soit H le point daffixe a + b + c.a. Exprimer en fonction de
a, b et c les affixes des vecteurs AH
et CB
.
b. Prouver que , ,2CB AH k k
. (On admet de mme que , ,2CA BH k k
.
c. Que reprsente le point H pour le triangle ABC ?
-
3. Exercice 2
5 pointsLe plan complexe est rapport un repre orthonormal direct
( ; , )O u v . Lunit graphique est 2 cm.Le but de cet exercice est
dtudier la similitude plane indirecte f dcriture complexe :
' 2 2 2 2z i z i ,et den donner deux dcompositions.I.
Restitution organise de connaissancesOn rappelle que lcriture
complexe dune similitude plane directe autre quune translation est
de la forme z= az + b, o a et b sont des nombres complexes avec 1a
.Dterminer en fonction de a et de b laffixe du centre dune telle
similitude plane directe.II. Premire dcomposition de fSoit g la
similitude plane directe dcriture complexe : ' 2 2 2 2z i z i .1.
Prciser les lments caractristiques de g . (centre, rapport,
angle).2. Dterminer une rflexion s telle que f g s .III.Deuxime
dcomposition de f1. Montrer que f admet un unique point invariant
not . Dterminer laffixe de .2. Soit D la droite dquation : y = x +
2.Montrer que pour tout point N appartenant D, le point f(N)
appartient aussi D.3. Soit la rflexion daxe D et k la
transformation dfinie par : k f .a. Donner lcriture complexe de
.Indication : on pourra poser 'z az b et utiliser deux points
invariants par pour dterminer les nombres complexes a et b.b. En
dduire que lcriture complexe de k est : ' 2 2 2 2z z .c. Donner la
nature de la transformation k et prciser ses lments
caractristiques.4. Dduire de ce qui prcde une criture de la
similitude indirecte f comme compose dune rflexion et dune
homothtie.
4. Exercice 3
4 pointsDans un plan muni dun repre orthonormal ( ; , )O i j
, on dsigne par C la courbe reprsentative dune
fonction f dfinie et drivable sur un intervalle I de , f et f ne
sannulant pas sur lintervalle I.On note M un point de C dabscisse x
et dordonne y f x .On dsigne par T la tangente la courbe C au point
M.On rappelle quune quation de T est de la forme : 'Y f x X x f x
.I. Question prliminaire1. Montrer que T coupe laxe des abscisses
en un point H dont labscisse XT vrifie :
'T
f xX x
f x .
2. Montrer que T coupe laxe des ordonnes en un point K dont
lordonne YT vrifie : 'TY f x xf x .
II. k dsigne un rel fix non nul. On cherche determiner les
fonctions f pour lesquelles la diffrence Tx Xest constante, et gale
k, pour tout nombre rel x (Proprit 1).1. Dmontrer que f vrifie la
proprit 1 si et seulement si f vrifie lquation diffrentielle :
1'y yk
.
2. En dduire la famille des fonctions vrifiant la proprit 1 et
dterminer pour 12
k la fonction f de cette
famille qui vrifie de plus la condition : f (0) = 1.III. k
dsigne un rel fix non nul. On cherche dterminer les fonctions f
pour lesquelles la diffrence Ty Y est constante et gale k, pour
tout nombre rel x appartenant lintervalle I 0 ; (Proprit 2).1.
Dmontrer que f vrifie la condition pose si et seulement si f vrifie
lquation diffrentielle :
-
' kyx
.
2. En dduire la famille des fonctions vrifiant la proprit 2 et
dterminer pour 12
k la fonction f de cette
famille qui vrifie la condition : f (1) = 0.
5. Exercice 4
7 pointsLe but de lexercice est demontrer que lquation (E) :
1xe
x , admet une unique solution dans lensemble
des nombres rels, et de construire une suite qui converge vers
cette unique solution.I. Existence et unicit de la solutionOn note
f la fonction dfinie sur par : xf x x e .1. Dmonter que x est
solution de l quation (E) si et seulement si f (x) = 0.2. tude du
signe de la fonction f.a. Etudier le sens de variations de la
fonction f sur .b. En dduire que lquation (E) possde une unique
solution sur , note .
c. Dmontrer que appartient lintervalle 1 ;12
.
d. tudier le signe de f sur lintervalle 0 ; .II. Deuxime
approcheOn note g la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 1] par :
1
1 xxg xe
.
1. Dmontrer que lquation f (x) = 0 est quivalente lquation g (x)
= x.2. En dduire que est lunique rel vrifiant : g .3. Calculer 'g x
et en dduire que la fonction g est croissante sur lintervalle 0 ;
.III. Construction dune suite de rels ayant pour limite On considre
la suite (un) dfinie par : u0 = 0 et, pour tout entier naturel n,
par : 1n nu g u .1. Dmontrer par rcurrence que, pour tout entier
naturel n : 10 n nu u .2. En dduire que la suite (un) est
convergente. On note l sa limite.3. Justifier lgalit : g l l . En
dduire la valeur de l.4. laide de la calculatrice, dterminer une
valeur approche de u4 arrondie la sixime dcimale.
Terminale S juin 2007
6. Exercice 1
3 pointsLespace est muni du repre orthonormal ( ; , , )O i j
k
. Soient (P) et (P) les plans dquations respectives
2 1 0x y z et 0x y z . Soit A le point de coordonnes (0 ; 1 ;
1).1. Dmontrer que les plans (P) et (P) sont perpendiculaires.
2. Soit (d) la droite dont une reprsentation paramtrique est
:
1313
x t
y
z t
o t est un nombre rel.
Dmontrer que les plans (P) et (P) se coupent selon la droite
(d).
3. Calculer la distance du point A chacun des plans (P) et
(P).4. En dduire la distance du point A la droite (d).
-
7. Exercice 2
3 points1. Restitution organise de connaissancesDmontrer la
formule dintgration par parties en utilisant la formule de
drivation dun produit de deux fonctions drivables, drives continues
sur un intervalle [a ; b].2. Soient les deux intgrales dfinies
par
0sinxI e xdx
et 0 cos
xj e xdx
.a. Dmontrer que I J et que 1I J e .b. En dduire les valeurs
exactes de I et de J.
8. Exercice 3 (non spcialistes)
5 pointsPartie AOn considre lquation : (E) 3 24 13 4 13 0z i z i
z i o z est un nombre complexe.1. Dmontrer que le nombre complexe i
est solution de cette quation.2. Dterminer les nombres rels a, b et
c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
3 2 24 13 4 13z i z i z i z i az bz c .3. En dduire les
solutions de lquation (E).Partie BDans le plan complexe, rapport au
repre orthonormal direct ( ; , )O u v , on dsigne par A, B et C les
points daffixes respectives i, 2 + 3i et 2 3i.1. Soit r la rotation
de centre B et dangle
4 . Dterminer laffixe du point A, image du point A par la
rotation r.2. Dmontrer que les points A, B et C sont aligns et
dterminer lcriture complexe de lhomothtie de centre B qui
transforme C en A.
9. Exercice 3 (spcialistes)
5 pointsLa figure est propose en annexe 1. Elle sera complte
tout au long de lexercice.Dans le plan complexe, rapport au repre
orthonormal direct ( ; , )O u v , on considre les points A, B et C,
daffixes respectives 5 + 6i, 7 2i et 3 2i. On admet que le point F,
daffixe 2 + i est le centre du cercle circonscrit au triangle
ABC.1. Soit H le point daffixe 5. Dterminer les lments
caractristiques de la similitude directe de centre Aqui transforme
le point C en le point H.2. a. tant donn des nombres complexes z et
z, on note M le point daffixe z et M le point daffixe z. Soient a
et b des nombres complexes.Soit s la transformation dcriture
complexe 'z az b qui, au point M, associe le point M. Dterminer a
et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est
alors la nature de s ?b. En dduire laffixe du point E, symtrique du
point H par rapport la droite (AC).c. Vrifier que le point E est un
point du cercle .3. Soit I le milieu du segment [AC]. Dterminer
laffixe du point G, image du point I par lhomothtie de centre B et
de rapport 2
3.
Dmontrer que les points H, G et F sont aligns.
10. Exercice 4
4 pointsCet exercice est un questionnaire choix multiples. Pour
chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera
sur la feuille la rponse choisie sans justification. Il sera
attribu un point si la rponse est exacte, zro sinon. Dans certaines
questions, les rsultats proposs ont t arrondis 103 prs.
-
1. Un reprsentant de commerce propose un produit la vente. Une
tude statistique a permis dtablir que, chaque fois quil rencontre
un client, la probabilit quil vende son produit est gale 0,2. Il
voit cinq clients par matine en moyenne. La probabilit quil ait
vendu exactement deux produits dans une matine est gale :
a. 0,4 b. 0,04 c. 0,1024 d. 0,2048
2. Dans une classe, les garons reprsentent le quart de
leffectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup,
alors que seulement un garon sur dix la eu du premier coup. On
interroge un lve (garon ou fille) au hasard. La probabilit quil ait
eu son permis du premier coup est gale :
a. 0,043 b. 0,275 c. 0,217 d. 0,033
3. Dans la classe de la question 2, on interroge un lve au
hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La
probabilit que cet lve soit un garon est gale :
a. 0,100 b. 0,091 c. 0,111 d. 0,25
4. Un tireur sur cible sentrane sur une cible circulaire
comportant trois zones dlimites par des cercles concentriques, de
rayons respectifs 10, 20 et 30 centimtres.On admet que la
probabilit datteindre une zone est proportionnelle laire de cette
zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilit
datteindre la zone la plus loigne du centre est gale :
a. 59
b. 914
c. 47
d. 13
11. Exercice 5
5 points
On considre la fonction f dfinie sur lintervalle 1 ; par : ln
11
xf x x
x
.
La courbe C reprsentative de f est donne sur le document de
lannexe 2 que lon compltera et que lon rendra avec la copie.
Partie A : tude de certaines proprits de la courbe C1. On note f
la fonction drive de f. Calculer 'f x pour tout x de lintervalle 1
; .2. Pour tout x de lintervalle 1 ; , on pose 21 1 ln 1N x x x
.Vrifier que lon dfinit ainsi une fonction strictement croissante
sur 1 ; .Calculer 0N . En dduire les variations de f.3. Soit D la
droite dquation y = x. Calculer les coordonnes du point
dintersection de la courbe C et de la droite D.
Partie B : tude dune suite rcurrente dfinie partir de la
fonction f1. Dmontrer que si 0 ; 4x , alors 0 ; 4f x .
2. On considre la suite (un) dfinie par : 0
1
4
n n
uu f u
pour tout n de .
a. Sur le graphique de lannexe 2, en utilisant la courbe C et la
droite D, placer les points de C dabscisses u0, u1, u2 et u3.b.
Dmontrer que pour tout n de on a : 0 ; 4nu .c. tudier lamonotonie
de la suite (un).d. Dmontrer que la suite (un) est convergente. On
dsigne par l sa limite.e. Utiliser la partie A pour donner la
valeur de l.
ANNEXE 1Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit
complter et rendre avec la copie
-
Exercice 3
C
A
B
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
ANNEXE 2 complter et rendre avec la copie
Exercice 5
-
DC
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
-2 -1 0 5Terminale S septembre 2007
12. Exercice 1
6 pointsLes trois parties de cet exercice sont indpendantes.
Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher
de couleur moire, blanche ou rouge. On sait de plus quil y a au
moins deux boules de chaque couleur dans lurne. On tire au hasard
simultanment 2 boules dans lurne et on note leur couleur.Soit
lvnement G : obtenir deux boules de mme couleur .Partie AOn suppose
que lurne contient 3 boules noires et 7 boules blanches. Calculer
la probabilit de lvnement G.Partie BOn note n, b et r le nombre de
boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans
lurne.1. On note , ,g n b r la probabilit en fonction de n, b et r
de lvnement G.
Dmontrer que 1, , 1 1 1210
g n b r n n b b r r .
2. Le but de cette question est de dterminer n, b et r de sorte
que la probabilit , ,g n b r soit minimale. Lespace est muni dun
repre orthonormal ( ; , , )O i j k
. Soient les points N, B et R de coordonnes
respectives 15 ; 0 ; 0 , 0 ;15 ; 0 et 0 ; 0 ;15 et soit M le
point de coordonnes ; ;n b r .On pourra se reporter la figure
ci-dessous.a. Justifier quune quation du plan NBR est 15 0x y z .b.
En dduire que le point M est un point du plan NBR .
c. Dmontrer que 21, , 15210g n b r OM .
-
d. Soit H le projet orthogonal du point O sur le plan NBR .
Dterminer les coordonnes du point H.e. En dduire les valeurs de n,
b et r afin que le probabilit , ,g n b r soit minimale. Justifier
que cette
probabilit minimale est gale 27.
Partie COn suppose que les nombres de boules de chaque couleur
ont t choisis par lorganisateur dun jeu, de telle
sorte que la probabilit de lvnement G soit gale 27.
Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire
simultanment au hasard deux boules de lurne. Dans tous les cas, il
perd sa mise de dpart. Sil obtient deux boules de mme couleur, il
reoit k fois le montant de sa mise, avec k nombre dcimal
strictement suprieur 1. Sinon il ne reoit rien.On note X la
variable alatoire gale au gain algbrique du joueur.1. Calculer
lesprance E X de la variable X en fonction de x et k.2. Dterminer
la valeur de k pour laquelle le jeu est quitable.
jk
i
R
B
N
O
13. Exercice 2
5 pointsPartie A
1. Dterminer le complexe tel que 2
1 1 3
4 3
i i
i i
.
2. Pour tout nombre complexe z, on pose 2 1 3 4 3f z z i z i .
Montrer que f z scrit sous la forme z z i . En dduire les solutions
(sous forme algbrique) de lquation 0f z .Partie BLe plan complexe
est rapport un repre orthonorm ( ; , )O u v , unit graphique 5
cm.1. On considre les points A et B daffixes respectives 2a i et 1
2b i . Placer A et B dans le repre et complter la figure au fur et
mesure.
Montrer que b ia , en dduire que le triangle OAB est un triangle
isocle rectangle tel que , 2OA OB
.
2. On considre le point C daffixe 112
c i . Dterminer laffixe du point D tel que le triangle OCD soit
un
triangle isocle rectangle tel que , 2OC OD
.
On pourra conjecturer laffixe de D laide de la figure pour
traiter la question suivante.3. Soit M le milieu du segment [BC].
On appelle OMz et DAz les affixes respectives des vecteurs OM
et DA
.
Prouver que 12
OM
DA
zi
z
.
4. Donner une mesure en radians de ,DA OM .
-
5. Prouver que 12
OM DA .
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments
[CD], [DA] et [AB].On admet que le quadrilatre JKLM est un
paralllogramme ; dmontrer que cest un carr.
14. Exercice 2
5 pointsABC est un triangle quilatral du plan tel que , 2 ,3AB
AC k k
.
Soit t un nombre rel fix et soient les points M, N et P, deux
deux distincts, dfinis par :AM tAB
, BN tBC
, CP tCA
.Le but de lexercice est de dmontrer lexistence dune unique
similitude directe qui transforme les points A, B et C en
respectivement M, N et P, et den prciser les lments
caractristiques.On munit le plan dun repre orthonormal ( ; , )O u v
direct. On note a, b, c, m, n et p les abscisses respectives des
points A, B, C, M, N et P.1. On rappelle que toute similitude
conserve le barycentre.a. Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c
et t.b. En dduire que les deux triangles ABC et MNP ont mme centre
de gravit. On notera G ce centre de gravit.c. On suppose que
existe. Dterminer limage de G par .
2. On considre la rotation r de centre G et dangle 23 .
a. Vrifier que M est le barycentre du systme de points , 1 ; ,A
t B t et en dduire que r M N .On admet de mme que r N P et r P M
.
b. Soit 1 la similitude directe de centre G, de rapport GMGA
et dangle ,GA GM . Montrer quelle transforme les points A, B et
C respectivement en M, N et P.c. Conclure sur lexistence et lunicit
de .15. Exercice 3
5 pointsQuestion de cours : soit I un intervalle de . Soient u
et v deux fonctions continues, drivables sur I telles que les
fonctions drives u et v soient continues sur I.Rappeler et dmontrer
la formule dintgration par parties sur un intervalle [a ; b] de
I.Partie ASoit f une fonction dfinie et drivable sur lintervalle 0
;1 . On note 'f la fonction drive de f. On suppose que 'f est
continue sur lintervalle 0 ;1 .
1. Utiliser la question de cours pour montrer que 1 1
0 01f x dx f xf x dx .
2. En dduire que 1 1
0 01f x f dx xf x dx .
Partie BOn dsigne par ln la fonction logarithme nperien.
Soit f la fonction dfinie sur lintervalle 2 ; 2 par 2ln2
xf xx
et C sa courbe reprsentative dans un
repre orthonormal ( ; , )O i j
dunit graphique 2 cm.1. Dterminer les limites de f aux bornes de
son ensemble de dfinition.2. a. Montrer que pour tout rel x de
lintervalle 2 ; 2 , on a 2
4'4
f xx
.
b. En dduire les variations de f sur lintervalle 2 ; 2 .Partie
C
-
Le courbe C est trace ci-dessous. Hachurer la partie P du plan
constitue des points M(x ; y) tels que : 0 1x et ln 3f x y .En
utilisant la partie A, calculer en cm2 laire de P.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
x
y
16. Exercice 4
4 pointsSoit 0n nv une suite. On considre la suite u dfinie pour
tout entier naturel n par
1vnnu e .Partie APour chacune des questions quatre propositions
sont faites dont une seule est exacte. Pour chaque question donner
sans justification une rponse sur votre copie. Si la rponse est
bonne elle rapporte 0,75 points, si elle est mauvaise elle cote
0,25 points, si vous ne rpondez pas vous gagnez 0 point En cas de
total ngatif votre ardoise est efface !1. a est un rel strictement
positif et ln dsigne la fonction logarithme nperien. Si 0 lnv a ,
alors :
a. 01 1ua
b. 01
1u
a
c. 0 1u a d. 0 1au e
2. Si v est strictement croissante, alors :a. u est strictement
dcroissante et majore par 2 c. u est strictement croissante et
majore par 2
b. u est strictement croissante et minore par 1 d. u est
strictement dcroissante et minore par 1
3. Si v diverge vers alors :a. u converge vers 2 c. u converge
vers 1b. u diverge vers d. u converge vers un rel L tel que 1L
4. Si v est majore par 2, alors :a. u est majore par 21 e c. u
est majore par 21 eb. u est minore par 21 e d. u est minore par 21
e
-
Partie BDmontrer que, pour tout entier naturel n, on a : ln 0n
nu v .
Terminale S septembre 2007
17. Exercice 1
7 pointsOn dsigne par (E) lensemble des fonctions f continues
sur lintervalle 0 ;1 et vrifiant les conditions P1, P2 et P3
suivantes :
P1 : f est strictement croissante sur lintervalle 0 ;1 .P2 : 0
0f et 1 1f .P3 : Pour tout rel x de lintervalle 0 ;1 , f x x .
Dans un repre orthonormal ( ; , )O i j
du plan, on note (C) la courbe reprsentative dune fonction f de
lensemble (E) et (D) la droite dquation y x .
A toute fonction f de (E) on associe le nombre rel 1
0fI x f x dx .
1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous reprsente une
fonction de (E). La dterminer en justifiant llimination des deux
autres.
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Courbe n1 Courbe n2 Courbe n3
b. Montrer que, pour toute fonction f de (E), 0fI .2. Soit h la
fonction dfinie sur lintervalle 0 ;1 par 2 1xh x (on rappelle que
pour tout rel x,
ln 22x xe ).a. Montrer que la fonction h vrifie les conditions
P1 et P2.b. Soit la fonction dfinie sur lintervalle 0 ;1 par 2 1xx
x .Montrer que, pour tout x de 0 ;1 , 0x (on pourra tudier les
variations de sur 0 ;1 ). En dduire que la fonction h appartient
lensemble (E).
c. Montrer que le rel hI associ la fonction h est gal 3 12 ln 2
.
3. Soit P une fonction dfinie sur lintervalle 0 ;1 par 2P x ax
bx c o a, b et c sont trois nombres rels avec 0 1a . On se propose
de dterminer les valeurs des rels a, b et c pour que la fonction
Pappartienne lensemble (E) et que P hI I .a. Montrer que la
fonction P vrifie la proprit P2 si et seulement si, pour tout rel
de lintervalle 0 ;1 , 2 1P x ax a x .
Montrer que toute fonction P dfinie sur 0 ;1 par 2 1P x ax a x
avec 0 1a appartient (E).b. Exprimer en fonction de a le rel PI
associ la fonction P.c. Montrer quil existe une valeur du rel a
pour laquelle P hI I . Quelle est cette valeur ?
-
18. Exercice 2
4 pointsOn considre un cube ABCDEFGH darte de longueur 3.
On choisit le repre orthonormal ( ; , , )D i j k
tel que 13
i DA
, 13
j DC
, 13
k DH
.
EH
A D
G
F
CB
1. a. Donner les coordonnes des points A, C, E.b. Dterminer les
coordonnes du point L barycentre du systme {(C, 2) ; (E, 1)}.c.
Dterminer les coordonnes des vecteurs AE
et DL
.
2. Soit ,a b un couple de rels. On note M le point de la droite
AE tel que AM aAE
et N le point de la droite DL tel que DN bDL
.
a. Montrer que le vecteur MN
est orthogonal aux vecteurs AE
et DL
si et seulement si le couple ,a b
vrifie le systme 2 13 0
a ba b
.
b. En dduire quil existe un seul point 0M de AE et un seul point
0N de DL tels que la droite 0 0M Nest orthogonale aux droites AE et
DL .c. Dterminer les coordonnes des points 0M et 0N puis calculer
la distance 0 0M N .19. Exercice 3
4 pointsLa vgtation dun pays imaginaire est compose initialement
de trois types de plantes : 40 % de type A, 41 % de type B et 19 %
de type C.On admet quau dbut de chaque anne :- chaque plante de
type A disparat et elle est remplace par une et une seule nouvelle
plante de type A, B ou C.- chaque plante de type B disparat et elle
est remplace par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou
C.- chaque plante de type C disparat et elle est remplace par une
et une seule nouvelle plante de type C.La probabilit quune plante
de type A soit remplace par une plante de mme type est 0,6 et celle
quelle le soit par une plante de type B est 0,3.La probabilit quune
plante de type B soit remplace par une plante de mme type est 0,6
et celle quelle le soit par une plante de type A est 0,3.Au dbut de
chaque anne, on choisit au hasard une plante dans la vgtation et on
relve son type.Pour tout entier naturel n non nul, on note :
- An lvnement la plante choisie la n-ime anne est de type A ,-
Bn lvnement la plante choisie la n-ime anne est de type B ,- Cn
lvnement la plante choisie la n-ime anne est de type C .
On dsigne par pn, qn et rn les probabilits respectives des
vnements An, Bn et Cn. Compte tenu de la composition initiale de la
vgtation (anne 0), on pose 0 0,40p , 0 0,41q et 0 0,19r .
-
1. Recopier sur la copie et complter larbre pondr ci-contre, en
remplaant chaque point dinterro-gation par la probabilit
correspondante. Aucune justification nest demande pour cette
question.2. a. Montrer que 1 0,363p puis calculer 1qet 1r .b.
Montrer que, pour tout entier naturel n non
nul : 11
0,6 0,30,3 0,6
n n n
n n n
p p qq p q
.
3. On dfinit les suites (Sn) et (Dn) sur par :n n nS p q et n n
nD p q .
a. Montrer que (Sn) est une suite gomtrique dont on prcisera la
raison. On admet que (Dn) est une suite gomtrique de raison 0,3.b.
Dterminer les limites des suites (Sn) et (Dn).c. En dduire les
limites des suites (pn), (qn) et (rn).Interprter le rsultat.
Dbut de l'anne 1
Dbut de l'anne 0
? C
?
C
?
B
? A
?
C
?
B
?
C
? B
? A
?
A
20. Exercice 4
5 pointsPour cet exercice, les figures correspondant aux parties
A et B sont fournies ci-dessous. Le plan complexe est rapport un
repre orthonormal direct ( ; , )O u v . On considre un triangle OAB
et une similitude directe de centre O, de rapport et dangle .Soit :
- les points A et B images respectives des points A et B par la
similitude ;- les points I, milieu du segment [AB] et J, milieu du
segment [AB] ;- le point M milieu du segment [AA] ;- le point H,
projet orthogonal du point O sur la droite (AB) et le point H image
du point H par .
Partie A : Etude dun exempleDans cette partie, le point A a pour
affixe 6 4i , le point B a pour affixe 2 4i , et le point H a donc
pour affixe 4i .
La similitude est la similitude directe de centre O, de rapport
12et dangle
2 .
1. Dterminer les affixes des points A, B et H.2. Montrer que la
droite (IJ) est perpendiculaire la droite (HH).
-
A BH
v
uO
Partie B : Etude du cas gnral1. a. Montrer que H est le projet
orthogonal du point O sur la droite (AB).b. Montrer que 1
2MI AB
. On admet que 1 ' '2
MJ A B
.
c. En dduire que 'MJ OHM I OH
et que , , ' 2 ,MI M J OH OH k k .2. On appelle s la similitude
directe qui transforme M en O et I en H. On note K limage du point
J par la similitude s.a. Montrer que 'OK OH , puis que , ' 0 2 ,OK
OH k k .b. En dduire que le point H est limage du point J par la
similitude s.3. Montrer que , ' , 2 ,IJ HH MI OH k k . Montrer que
la droite (IJ) est perpendiculaire la droite (HH).
M
J
IH'
H
B'
A'
BA
O
