Maths re S - Decitre...2 Justifier que MI2 = MΩ2 – IΩ2 et IA2 = AΩ2 – IΩ2. En déduire que TMA.TMB = MΩ2 – R2 3 À tout point M du plan on associe le nombre réel ( ) =

ObjectiffBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBABBBABBBABBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCAAACAAACAAACAAACCCCCCCCCAAACAAACAAACAAAAAACAAACAAACAAACCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Maths

Philippe ANGOTEnseignant agrégé de mathématiques

François DUBOISEnseignant agrégé de mathématiques

SSSSSSSSSre

objectif_bac_Maths_1re_S_titre.indd 1 15/03/2017 18:339782017012856-P001-006_MA.indd 1 07/04/2017 15:49

M O D E D ’ E M P L O I

Ce livre reprend à la base toutes les notions du programme de Première S et les met en œuvre à travers des exercices simples qu’il est indispensable de maîtriser. Il vous permet-tra ainsi d’assimiler parfaitement le cours et de savoir l’appliquer dans des exercices de difficulté variée.Chacun des quatorze chapitres comporte cinq grandes parties :

Chaque méthode correspond à une compétence clé qu’il faut maîtriser. Elle est illustrée par un exercice type, corrigé et commenté.

I.S.B.N. 978-2-01-701285-6 © HACHETTE LIVRE 2017, 58, rue Jean Bleuzen, CS 70007, 92178 Vanves Cedexwww.hachette-education.com

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

Conception graphique Couverture : Stéphanie BenoitIntérieur : Françoise Bouvard

Composition, schémas et mise en pagesSoftOffice

LE COURS

LES MÉTHODES

227

11

MÉTHODESCOURS CORRIGÉSEXERCICES

Produit scalaire dans le plan

Or RAC · RAB = AB × AB = a2, car C se projette orthogonalement en B sur (AB).

Donc RAC · ZBA= – a2.b) O étant le milieu de [AC], on a ROC = 1

2 RAC d’où :

ROC · RAD = 1 2 RAC · RAD = 1

2 RAC · RAD ;

or RAC · RAD = AD × AD = a2 car C se projette orthogonalement en D sur (AD).

D’où ROC · RAD = 1 2 a2.

c) On a AAI = 1 3 RAD et RAD = RBC, donc AAI = 1

3 RBC d’une part.

D’autre part, ROB = 1 2 RDB = – 1

2 RBD.

Alors AAI · ROB = 1 3 RBC · – 1

2 RBD = – 1

6 RBC · RBD d’après les règles opératoires sur

le produit scalaire.

Or RBC · RBD = a2, d’où AAI · ROB = – 1 6 a2.

d) Ici, il est difficile d’utiliser la méthode par projection et l’angle des vecteurs (RCI ; RDB) n’a pas une valeur remarquable.Décomposons alors les vecteurs RCI et RDB à l’aide de la relation de Chasles en ne faisant intervenir que des vecteurs colinéaires ou orthogonaux entre eux.

On a RCI = RCD + RDI = RCD + 2 3 RDA et RDB = RDA + RAB.

Les propriétés du produit scalaire donnent :

RCI · RDB = R CD + 2 3 RDA · (RDA + RAB)

= RCD · RDA + RCD · RAB + 2 3 RDA · RDA + 2

3 RDA · RAB

= 0 – CD × AB + 2 3 DA2 + 0

(car RCD et RDA sont orthogonaux, RCD et RAB sont colinéaires de sens contraires et RDA et RAB sont orthogonaux).

Comme CD = AB = DA = a, on en déduit RCI · RDB = – a2 + 2 3 a2

soit RCI · RDB = – 1 3 a2.

On cherche à faire apparaître des vecteurs que l’on sait colinéaires ou orthogonaux.

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228

11

MÉTHODESCOURS CORRIGÉSEXERCICES


2° Ici, on transforme les carrés de longueurs en carrés scalaires puis on utilise la relation de Chasles.Pour tout point M du plan :

MA2 + MC2 = RMA2 + YMC2

= (YMB + ZBA)2 + (YMD + RDC)2

= RMB2 + ZBA2 + 2RMB · ZBA + YMD2 + RDC2 + 2YMD · RDC

= MB2 + BA2 + MD2 + DC2 + 2YMB · ZBA – 2YMD · ZBA

(car RDC = – ZBA)

= MB2 + MD2 + 2a2 + 2(YMB – YMD) · ZBA

= MB2 + MD2 + 2a2 + 2RDB · ZBA

= MB2 + MD2 + 2a2 – 2AB × BA (car D se projette en A sur (AB))

= MB2 + MD2 + 2a2 – 2a2

= MB2 + MD2.

À RETENIR

• Pour calculer certains produits scalaires ou pour démontrer des égalités faisant intervenir des longueurs, il est parfois nécessaire d’utiliser les propriétés opéra-toires du produit scalaire.• On calcule de la même manière avec l’addition et le produit scalaire de vecteurs qu’avec l’addition et la multiplication de réels (développement, factorisation, iden-tités remarquables…).• Dans les démonstration de relations, on est souvent amenés à écrire le carré d’une distance comme un carré scalaire de vecteurs, pour pouvoir ensuite d’uti-liser les opérations de calcul vectoriel.

3 Démontrer l’orthogonalité de deux droites

Soit ABC un triangle équilatéral, M et N les points tels que :

IAM = 23

RAB et YBN = 15

TBC.

Montrer que les droites (CM) et (AN) sont orthogonales.

Il ne faut pas confondre la relation de Chasles, avec les vecteurs AB

+ BC

= AC

, et l’inégalité triangulaire sur les distances AB + BC AC.

EXERCICE TYPE

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221

11Produit scalaire dans le plan

MÉTHODES EXERCICES CORRIGÉSCOURS

O

αA

B

eu

ev

α

OA

B

eu

ev

tu. tv . 0 (0 < a , p

2) tu. tv , 0 (

p

2 , a < p)

α

OA

B

eu

ev

tu. tv = 0 (a = p

2)

E. Cas particuliers

Si tu et tv sont colinéaires et de même sens :

tu. tv = i tu i 3 i tv i.Si tu et tv sont colinéaires et de sens contraires :

tu. tv = – i tu i 3 i tv i.

Vecteurs orthogonaux2

Des vecteurs tu et tv sont dits « orthogonaux » si, et seulement si, tu.tv = 0.

Les vecteurs tu et tv sont orthogonaux dans les cas suivants :1) tu = r0 ou tv = r0 ;2) tu ≠ r0 et tv ≠ r0, et les droites (OA) et (OB) perpendiculaires.

v

u AO

B

014/004

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11

220



O AH

B

eu

ev

tu. tv = 0

C. Expression du produit scalaire à l’aide des normes et d’un angle

Soit ru et rv deux vecteurs non nuls du plan et O, A, B trois points du plan tels que ru = ROA et rv = ROB. On a :ru · rv = uuruuu × uurvuu × cos α, où α est une mesure de l’angle kAOB,uuruuu = OA et uurvuu = OB.

O

αA

B

eu

ev

Plus généralement, on peut écrire :ru · rv = uuruuu × uurvuu × cos(ru ; rv), où (ru ; rv) est une mesure de l’angle orienté des vecteurs ru et rv.

D. Signe du produit scalaire

TOA · TOB . 0 si l’angle kAOB est aigu

(en radians, 0 < a , p2

; en degrés, 0 < a , 90).

TOA · TOB , 0 si l’angle kAOB est obtus

(en radians, p2

, a < p ; en degrés, 90 , a < 180).

TOA · TOB = 0 si l’angle kAOB est droit.

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Un cours clair et structuré, avec tout ce qu’il faut savoir

À retenir : le résumé de la méthode à mettre en œuvre pour résoudre l’exercice

Intitulé de la méthode à acquérir

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LES EXERCICES

EXERCICES-BILANS

233


EXERCICESCOURS MÉTHODES CORRIGÉS

3° En déduire 2MA2 + 3MB2 = 5MG2 + 30.4° Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : 2MA2 + 3MB2 = 50.

Corrigé p. 240

11 30 min Soit un cercle # de centre Ω et de rayon R.Soit M un point quelconque du plan. Une droite passant par M coupe le cercle # en deux points A et B.

1° I désignant le milieu de [AB] , démontrer que le produit scalaire TMA.TMB est égal à MI2– IA2 .

2° Justifier que MI2 = MΩ2 – IΩ2 et IA2 = AΩ2 – IΩ2.En déduire que TMA.TMB = MΩ2 – R2

3° À tout point M du plan on associe le nombre réel f (M) = TMA.TMB précédemment défini (et donc indépendant de la droite passant par M et coupant le cercle # en A et B.)Déterminer et construire :

a) L’ensemble (E) des points M tels que f (M) = R2.

b) L’ensemble (F) des points M tels que f (M) = 0.

Corrigé p. 241

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232

11 Produit scalaire dans le plan


8 20 min Soit ABC un triangle équilatéral. Soit k un réel, 0 , k , 1.Soit le point M du segment [AB] tel que UBM = kRBA. Soit le point N du segment [BC] tel que TBN = kUBC.Déterminer la valeur de k telle que les droites (AN) et (CM) soient orthogonales.

Indications : Cet exercice diffère des précédents, puisque l’on ne demande pas de prouver que deux droites sont orthogonales. On calculera le produit scalaire TAN.ICM que l’on exprimera à l’aide de k et de a, mesure des côtés du triangle. On traduira l’orthogonalité des droites (AN) et (CM) par une équation d’inconnue k.

Corrigé p. 238

Exercices-bilans

9 20 min ABC est un triangle, rectangle en A.A se projette orthogonalement sur (BC) en H.H se projette orthogonalement en K sur (AC) et en L sur (AB).I est le milieu de [BC].Le but de l’exercice est de montrer que les droites (AI) et (KL) sont orthogonales. On pourra suivre la démarche suivante.

1° Montrer que ZAI. RKL = 12

(RAB. EAL – TAC. RAK ).

2° Traduire, par le produit scalaire, l’orthogonalité de (AH) et (BC) et en déduire que RAB. TAH – TAC. TAH = 0.3° Démontrer que (AI) et (KL) sont des droites orthogonales, après avoir justifié les égalités :

RAB. EAL = RAB. TAH et TAC. TAK = TAC. TAH.

Corrigé p. 239

10 25 min Soit A et B deux points du plan tels que AB = 5.

1° Soit G le point tel que 2TGA + 3TGB = 0.Montrer que, pour tout point M du plan :2MA2 + 3MB2 = 5MG2 + 2GA2 + 3GB2.

2° a) Exprimer les vecteurs TGA et TGB en fonction du vecteur RAB.b) En déduire les distances GA et GB.

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231



3 15 min Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.Soit D le milieu du côté [BC ] et K le milieu du segment [AD ]. On donne AD = 3.Calculer les produits scalaires suivants :a) RAB · RKD ; b) RAB · RKC ;c) RAB · RBK.

Corrigé p. 235

4 10 min Soit ABCD un parallélogramme.Démontrer que BD2 + AC2 = 2(AB2 + BC2).

Corrigé p. 236

5 15 min Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.Démontrer les égalités suivantes :

1° AB2 = RBC · RBH

2° AH2 = – RHB · RHC

Corrigé p. 236

6 15 min Soit ABC un triangle équilatéral, M et N les points tels que :

UBM = 14

RBA et YCN = 57

RCB.

Montrer que les droites (AN) et (CM) sont orthogonales.

Corrigé p. 237

7 15 min Soit un carré ABCD ; soit k un réel, 0 , k , 1.M est le point du segment [AB] tel que UAM = kRAB.N est le point du segment [BC] tel que UBN = kUBC.Montrer que les droites (DM) et (AN) sont orthogonales.

Corrigé p. 237

C

BA

K

D

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230

11 Produit scalaire dans le plan


Exercices d’entraînement

1 20 min Calculer, en choisissant une méthode adaptée, le produit scalaire RAB · RAC dans chacun des cas suivants :

1° ABCD est un carré de côté de côté a, (a 0).

2° A(– 3 ; 4), B(– 1 ; 5) et C(2 ; – 6) dans un repère orthonormé.

3° ABC est un triangle tel que AB = 4, BC = 3 et AC = 6.

4° ABDC est un parallélogramme avec BC = 5 et AD = 8.

5° BCD est un triangle équilatéral de centre de gravité A et de côté a, (a 0).

Corrigé p. 234

2 10 min Sur la figure ci-dessous, on a tracé deux cercles de centre O et de rayons respectifs 2 et 3.

1° Calculer les produits scalaires suivants :a) ROC · ROD ; b) ROC · ROE ; c) ROC · ROB ; d) ROA · ROB.

2° Donner les coordonnées des points A, B, C, D et E dans le repère orthonormé (O ; I, J).En déduire les produits scalaires ROA · RAC ; RCA · RCD et RBE · RBA .

x

y

O

A

CEJ

I

D

B

60°

Corrigé p. 235

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LES CORRIGÉS11

241

COURS MÉTHODES EXERCICES CORRIGÉS


A G B

015/01511 Énoncé p. 233

A

Ω

M

BI

1° Par la relation de Chasles :

TMA = TMI + ZIA et TMB = TMI + ZIB.

Comme I est le milieu du segment [AB], alors ZIB = – ZIA.

Donc, TMB = TMI – ZIA.

On obtient en remplaçant :

TMA.TMB = (TMI + ZIA). (TMI – ZIA)

TMA.TMB = TMI 2– ZIA 2

TMA.TMB = MI2– IA2.

2° I étant le milieu de la corde [AB] du cercle #, la droite (I Ω) est orthogonale à la droite (AB).

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11

240

COURS MÉTHODES EXERCICES CORRIGÉS


10 Énoncé p. 236 1° 2MA2 + 3MB2 = 2TMA2 + 3TMB2

= 2 (IMG + RGA)2 + 3 (IMG + RGB)2

= 2YMG2 + 4UMG. TGA + 2RGA2 + 3YMG2 + 6YMG. TGB + 3RGB2

= 5YMG2 + 2IMG. (2TGA + 3RGB) + 2RGA2 + 3RGB2

= 5YMG2 + 2RGA2 + 3RGB2, car 2TGA + 3TGB = r0.

D’où 2MA2 + 3MB2 = 5MG2 + 2GA2 + 3GB2.

2° a) On a : 2RGA + 3TGB = t0, d’où 2RGA + 3RGA + 3RAB = t0,

c’est-à-dire : 5TGA + 3RAB = t0,

d’où : TGA = – 35

TAB.

De même : 2TGB + 2RBA + 3TGB = t0,

c’est-à-dire : 5TGB + 2RBA = t0,

d’où : TGB = 25

TAB.

b) On obtient alors, en terme de distances :

GA = 35

AB = 3 et GB = 25

AB = 2.

3° 2MA2 + 3MB2 = 5MG2 + 2GA2 + 3GB2

= 5MG2 + 2 32 + 3 22

= 5MG2 + 30.Donc, pour tout point M du plan : 2MA2 + 3MB2 = 5MG2 + 30.

4° 2MA2 + 3MB2 = 50 si, et seulement si, 5MG2 + 30 = 50,

c’est-à-dire : 5MG2 = 50 – 30, soit : MG2 = 4.

2MA2 + 3MB2 = 50 si, et seulement si, MG = 2 (puisque MG 0).

L’ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayon 2.

(On peut remarquer que B appartient à ce cercle ; en effet : BG = 25

et AB = 2.)

On décompose les vecteurs MA

et MB

à l’aide de la relation de Chasles, car, avec les distances, on a MA MG + GA et MB MG + GB.

Le cercle de centre G et de rayon 2 est l’ensemble des points M du plan tels que GM = 2.

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Des exercices progressifs (3 niveaux de difficulté) et minutés pour bien s’entraîner

De nombreuses aides (rappels de cours, conseils, pièges à éviter…) complètent utilement les corrigés détaillés

Pour revoir les notions abordées dans le chapitre

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4

S O M M A I R E

1 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Méthodes : 1. Utiliser les propriétés de la valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Étudier le sens de variation des fonctions u + k et λu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Étudier le sens de variation des fonctions u + k et 1u

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Le second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Méthodes : 1. Résoudre une équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Factoriser et étudier le signe d’un polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Utiliser la forme la mieux adaptée pour résoudre un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Dérivation en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Méthodes : 1. Calculer le nombre dérivé d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2. Déterminer graphiquement un nombre dévié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Déterminer l’équation d’une tangente à une courbe de fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Dérivées de fonctions : techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Méthodes : 1. Utiliser la formule de dérivation de u + v et de λu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2. Utiliser la formule de dérivation de uv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3. Utiliser la formule de dérivation de 1v

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Utiliser la formule de dérivation de uv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Dérivées de fonctions : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Méthodes : 1. Déterminer les variations d’une fonction polynôme et ses extremums éventuels . . . . . . . . . . . . 78 2. Déterminer les variations d’une fonction rationnelle et ses extremums éventuels . . . . . . . . . . . 80 3. Résoudre un problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Suites numériques : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Méthodes : 1. Calculer les premiers termes d’une suite et illustrer graphiquement le mode de génération . . 99 2. Étudier le sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

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5

7 Suites arithmétiques – Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Méthodes : 1. Reconnaître si une suite est arithmétique, géométrique, ou n’est ni arithmétique,

ni géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2. Déterminer le terme général d’une suite arithmétique en connaissant deux termes

de la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3. Calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4. Calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5. Traduire des situations concrètes de variations à taux constant par des suites

géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8 Approche de la notion de limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Méthodes : 1. Pour une suite convergente, détermination d’un entier naturel n à partir duquel tous

les termes de la suite approchent la limite, à une précision donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2. Pour une suite tendant vers + , détermination d’un entier naturel n à partir duquel

tous les termes de la suite sont supérieurs à un nombre réel A fixé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9 Vecteurs et droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Méthodes : 1. Étudier la colinéarité de deux vecteurs dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2. Établir une équation cartésienne de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3. Déterminer un vecteur directeur d’une droite définie par une équation cartésienne

et construire une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4. Exprimer un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Méthodes : 1. Utiliser les angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2. Effectuer une conversion entre degré et radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3. Déterminer la mesure principale d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4. Résoudre des équations du type cos x = cos a ou sin x = sin a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11 Produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Méthodes : 1. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 2. Utiliser les propriétés pour calculer un produit scalaire ou pour démontrer une relation . . . 226 3. Démontrer l’orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

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12 Applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Méthodes : 1. Déterminer une équation de droite à l’aide d’un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2. Déterminer une équation de cercle dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 3. Calculer des angles et des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4. Transformer des expressions trigonométriques en utilisant les formules d’addition

et de duplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13 Statistique descriptive – Analyse de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Méthodes : 1. Utiliser la calculatrice pour déterminer la variance et l’écart type d’une série statistique . . . 276 2. Calculer l’écart interquartile et construire un diagramme en boîte d’une série statistique

dans le cas d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 3. Calculer l’écart interquartile et construire un diagramme en boîte d’une série statistique

dans le cas d’une variable continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

14 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Méthodes : 1. Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 2. Calculer des probabilités lors de la répétition d’épreuves identiques et indépendantes . . . . 299 3. Reconnaître et appliquer la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4. Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision à partir d’une fréquence . . 303Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

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1CHAPITRE

7

Courbe d’une fonction1

Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On appelle courbe de f, dans un repère (O ; I ; J) du plan, l’ensemble des points M de coordonnées (x ; f (x)), x [ D.

Remarque :Soit M(x ; y). L’égalité y = f (x), avec x [ D, caractérise l’appartenance de M à la courbe # de f.Cette égalité se nomme : équation de la courbe #.

Interprétation graphique d’équations et d’inéquations

Soit # et #’ les courbes respectives de deux fonctions f et g.

Les solutions de l’équation f (x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de # et #’.

Les solutions de l’inéquation f(x) . g(x) sont les abscisses des points de # situés strictement « au-dessus » de #’.

Sens de variation d’une fonction2

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Si, pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 , x2 :• f (x1) < f (x2), alors on dit que f est croissante sur I ;• f (x1) , f (x2), alors on dit que f est strictement croissante sur I ;• f (x1) > f (x2), alors on dit que f est décroissante sur I ;• f (x1) . f (x2), alors on dit que f est strictement décroissante sur I.

Une fonction définie sur une intervalle I est dite monotone sur I si elle est crois-sante sur I ou si elle est décroissante sur I.

Il existe des fonctions non monotones sur un intervalle.

Une fonction f est dite constante sur un intervalle I, s’il existe un réel c tel que, pour tout x de I, f(x) = c.

Étude de fonctions

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8

Étude de fonctions


Fonctions de références3

Les variations des fonctions affines, carrée, inverse et polynôme du second degré sont connues depuis la classe de Seconde. Deux autres fonctions de références viennent s’ajouter en Première.

A. La fonction racine carrée

On appelle fonction racine carrée la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :

f (x) = 1x.

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + [.Autrement dit, pour tous réels x1 et x2 de [0 ; + [, x1 , x2 entraîne 3x1 , 3x2.

a. Tableau de variation

x 0 +

f (x) = 1x

0

b. Courbe représentativeDans un repère orthogonal (O ; I, J), la courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole dont l’axe est l’axe des abscisses

O I

J

y = 1x

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Documents

Maths re S - Decitre...2 Justifier que MI2 = MΩ2 – IΩ2 et IA2 = AΩ2 – IΩ2. En déduire que TMA.TMB = MΩ2 – R2 3 À tout point M du plan on associe le nombre réel ( ) =