M1 Physique Fondamentale

Magistère 2ème année 2014-2015

Matière Condensée

Recueil de TD - Partie II

Structure de bandes électroniques dugraphène.

100 milliards de transistors sur un disque deSilicium (diamètre 20cm)

http ://hebergement.u-psud.fr/m1matcond/

2

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

7 TD - Blocage de Coulomb

Nous allons voir qu'à basse température et pour des structures métalliques assez petites, ilest possible de contrôler le transport électron par électron dans un circuit électronique. Lastructure décrite ci-dessous est à la base de beaucoup de circuits utilisés actuellement enphysique mésoscopique. Elle peut servir de base à la fabrication des bits quantiques (qbits)utilisés en informatique quantique. En métrologie, des circuits reposant sur ce transistor à 1électron permettent de dénir le standard de fréquence.

7.1 Jonction tunnel

L'outil de base dans ces circuits est la jonction tunnel. Elle est constituée d'une ne coucheisolante (quelques Angstroms) entre deux électrodes métalliques. On modélise une telle jonctionpar une capacité (Ct) en parallèle avec une resistance Rt qui traduit le fait que les électronspeuvent franchir la ne barrière isolante par eet tunnel. Au contraire dans une capacitéstandard, les électrons ne peuvent pas passer d'une électrode à l'autre (limite Rt → ∞) car lacouche isolante est beaucoup plus épaisse (de l'ordre du micron).La théorie du transport quantique permet de montrer que le régime tunnel, où le passage decourant se fait électron par électron, est atteint si Rt est faible mais plus grande que le quantumde résistance RQ.

1. Grâce à une analyse dimensionnelle, fabriquez le quantum de résistance RQ à partirdes constantes fondamentales e et h.

2. Evaluez numériquement RQ. Dans la suite, on supposera que Rt ≫ RQ.

3. Evaluez la capacité Ct = ϵ0ϵrS/d d'une jonction tunnel dont les électrodes sont séparéesde d = 0.3 nm et ont une surface S = 100 nm x 50 nm, le diélectrique étant de l'alumine(Al2O3, ϵr = 10). On rappelle ϵ0 = 8.85× 10−12 F.m−1.

7.2 Transistor à un électron

On considère le dispositif suivant à 3 électrodes qui permet de faire circuler un courant dansun îlot. La 'tension de grille' Vg sert de tension de commande pour faciliter ou non le passagedu courant, c'est pour cela que l'on parle de 'transistor'. Ce transistor est dit à un électron caril permet de contrôler le nombre d'électrons dans l'îlot 'un par un'. Le transistor à un électronest la brique de base de l'électronique quantique étudiée en physique mésoscopique.A l'équilibre, pour Vg = V = 0, à température nulle, l'îlot est neutre ; il contient N0 électronsdont la charge est compensée par les ions du réseau. On va calculer l'énergie totale du systèmeen fonction de n, le nombre d'électrons en excès sur l'îlot. Pour simplier, on choisira desbarrières tunnel identiques et des sources de potentiel symétriques pour les parties métalliquesà gauche et à droite de l'îlot. On choisira V ≥ 0.

3

Le transistor à 1 électron Image vue en miscroscopie électronique à balayage

7.2.1 Energie du système

Dans cette partie, on ne considère que les états d'équilibre du système, correspondant à lasituation de "blocage de Coulomb", pour lesquels aucun courant ne circule à travers l'îlot.

1. On note Vi le potentiel de l'îlot. Exprimez QL, QR et Qg en fonction des capacités et despotentiels V , Vg et Vi.

2. On rappelle que l'énergie totale d'un circuit formé d'un ensemble de condensateurs est

E =∑

j

Q2j

2Cj− QjVj où Qj est la charge du condensateur j et Vj la valeur de la source

de potentiel (V/2, −V/2 ou Vg) reliée à l'armature de ce condensateur (le premier termeest l'énergie stockée par le condensateur et le second est le travail pour porter la chargeQj au potentiel Vj). Montrer que l'énergie totale du système peut s'écrire

E =C

2V 2i − Ct

4V 2 −

CgV2g

2

où l'on a introduit la capacité C = Cg + 2Ct.

3. Exprimer la charge Q = −QL − QR − Qg portée par l'îlot en fonction de n et −e, puisen fonction de C, Cg, Vi et Vg. En déduire l'expression Vi = (CgVg − ne)/C.

4. Montrer que l'énergie du système peut s'écrire sous la forme : E(n) = EC(n − q)2 + E0

où q = CgVg/e et E0 est un terme indépendant de n qu'on déterminera. Pour quellesvaleurs de Vg, E(n)− E0 est-elle minimale ?

5. Tracer E(n)−E0 en fonction de Vg pour n = 0,±1. En déduire comment varie la chargesur l'îlot en fonction de la tension appliquée.

6. Tracer alors Q(Vg) à T = 0. Schématisez son évolution lorsque la température augmente.Vers quelle limite tend cette courbe à haute température ?

7. Déterminer la température caractéristique Tq au-dessus de laquelle les eets de quanti-cations disparaissent. En supposant Cg ≃ Ct et en utilisant la valeur numérique de Ct

calculée à la question 3) de la partie 1, évaluer Tq.

7.2.2 Courant tunnel et oscillations de conductance.

On suppose le système à T ≪ Tq. Dans un tel circuit, la masse (une électrode métallique detaille macroscopique) est un réservoir d'électrons de potentiel électrochimique µ0. L'îlot peut

4

Figure 1 Evolution des énergies caractéristiques de l'îlot en fonction de la tension de grilleVg

échanger des électrons avec celle-ci via les jonctions tunnel et se trouve donc dans une situationgrand canonique.On appelle µL (resp. µR) le potentiel électrochimique de l'électrode de gauche (resp. droite).On a alors µL(R) = µ0 + (−) eV

2et µL − µR = eV (cf g.1). Pour qu'un courant s'établisse, un

électron doit passer par eet tunnel de l'électrode gauche vers l'îlot puis de l'îlot vers l'électrodedroite.

1. Que vaut le potentiel électrochimique, µ, de l'îlot à V = 0 ? Expliquez que, quelque soitla tension V , celui-ci reste inchangé.

2. La probabilité que l'îlot soit dans un état d'énergie E(n) à n particules est dans lecadre de la statistique grand canonique P (n) ∝ exp(−(E(n) − nµ0)/kT ). En notantµ(n) = E(n) − E(n − 1), déterminer la condition sur µ(n) pour que les états à n etn − 1 électrons dans l'îlot soient équiprobables. Dans ce cas l'îlot se comporte commeune résistance ohmique : la caractéristique I(V) est linéaire.

3. Dans le cas où cette condition n'est pas remplie, quelle énergie doit-on fournir pour passerde n− 1 à n électrons dans l'îlot ?

4. En déduire à quelle condition sur µ(n) et V un électron peut passer de l'électrode degauche vers l'îlot. De même, donner la condition pour qu'un électron puisse passer de l'îlotvers l'électrode droite. En déduire qu'un courant ne peut s'établir que si µL ≤ µ(n) ≤ µR.

5. Pour un nombre n d'électrons donné, quel paramètre expérimental permet de contrôlerµ(n) ? Montrer que l'écart entre niveaux µ(n)− µ(n− 1) est indépendant de n. En vousappuyant sur le schéma de la gure 1 , pour une tension V xée, montrer alors qu'enfaisant varier la tension de grille Vg un courant peut s'établir ou non : c'est le blocage deCoulomb. Comparer à la courbe expérimentale de la gure 2.

6. Si la tension Vg est xée, comment varie le courant en fonction de V ? Dessinez qualitati-vement la caractéristique courant-tension I(V ) pour quelques valeurs de Vg et compareraux courbes expérimentales de la gure 3.

Vous pourrez trouver une présentation de ce système sur le site :http : //iramis.cea.fr/ComScience/Phases/phases09/p9article2.html

5

Figure 2 Oscillations périodiques de laconductance en fonction de la tension de lagrille Vg à T=35mK

Figure 3 Caractéristiques courant-tensionI(V ) pour les maximum (a) et minimum (b)de conductance de la gure 2.

6

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

8 TD - Instabilité de Peierls

On considère une chaîne innie de N atomes identiques et pour chaque atome n une seuleorbitale atomique ϕn(r) (état |ϕn⟩). La chaîne est distordue avec des distances inter-atomiquesvalant alternativement a1 et a2 (a1 + a2 = 2a et a1 > a2).

On suppose que les états |ϕn⟩ forment une base orthonormée et que les seuls éléments dematrice non nuls sont :

⟨ϕ2m |H|ϕ2m+1⟩ = ⟨ϕ2m+1 |H|ϕ2m⟩ = −t(1− η),

⟨ϕ2m |H|ϕ2m−1⟩ = ⟨ϕ2m−1 |H|ϕ2m⟩ = −t(1 + η),

⟨ϕ2m |H|ϕ2m⟩ = ⟨ϕ2m+1 |H|ϕ2m+1⟩ = ⟨ϕ2m−1 |H|ϕ2m−1⟩ = ε0

Le paramètre η est petit et proportionnel à a1 − a2. On supposera η > 0. Pour simplier, onchoisira l'origine des énergies telle que ε0 = 0.

1. Justier qualitativement l'écriture des éléments matriciels ci-dessus. Déterminer la pre-mière zone de Brillouin ?

2. On écrit la fonction d'onde électronique sous la forme : |Ψ⟩ =∑m

(αm |ϕ2m⟩+ βm |ϕ2m+1⟩).

Pour un vecteur de Bloch k donné, trouver αm/α0 et βm/β0.

3. Ecrire les équations vériées par α0 et β0. Déterminer la relation de dispersion ε(k) et latracer.

4. Les atomes étant toujours supposés monovalents, déduire où se trouve maintenant leniveau de Fermi. Le système est-il isolant ou conducteur ?

5. Donner l'expression de l'énergie de l'état fondamental E1 sous forme d'une intégrale.Calculer E1 pour η petit en utilisant l'équivalence

∫ π2

0dx√

1− (1− α2)sin2x ≈ 1 +α2

2

[ln(4α

)− 1

2

]valable pour α petit.

6. On note E0 l'énergie de la chaîne non distordue (a1 = a2 = a). Quel est le signe deE1 − E0 ? Conclure.

7. Le matériau KCP (de formule K2[Pt(CN)4]Br0.3 3H2O) présente la structure et laconductivité représentées ci-dessous. Justier pourquoi KCP peut-être modélisé par uneapproche de 'liaisons fortes' à une dimension. Quelle est l'orbitale modélisée par |ϕn⟩ ?Interpréter qualitativement l'allure de la courbe de conductivité (log de la conductivitéen fonction de 1/T). Le matériau est-il isolant ou conducteur en dessous de 150K ? Ques'est-il passé à T=150 K?

7

8

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

9 TD - Approximation des liaisons fortes - Réseau carré

à deux dimensions

On considère un réseau carré d'atomes identiques de paramètre a, avec une orbitale par atomeϕm,n(r) pour l'atome en (m,n)(état |ϕm,n⟩). On suppose que les |ϕm,n⟩ forment une base ortho-normée et que les seuls éléments matriciels non nuls sont :

⟨ϕm,n |H|ϕm,n±1⟩ = ⟨ϕm,n |H|ϕm±1,n⟩ = −t, ⟨ϕm,n |H|ϕm,n⟩ = ε0

où t est réel positif. Pour simplier, on choisira l'origine des énergies telle que ε0 = 0 et onécrit la fonction d'onde électronique sous la forme : |Ψ⟩ =

∑m,n

cm,n |ϕm,n⟩

1. Pour un état de vecteur d'onde de Bloch k = (kx, ky), quelle est la relation entre lescoecients cm,n ?

2. Etablir la relation de dispersion et la tracer le long des axes de symétrie et des bords dela première zone de Brillouin.

3. Dans le plan (kx, ky), tracer les lignes d'énergie constante pour ε proche du minimum,puis pour ε proche du maximum, enn pour ε = 0.

4. Calculer la masse eective des électrons en bord de bande puis donner la densité d'étatsen bord de bande.

5. Tracer schématiquement la densité d'états g(ε) sachant que g(ε) = 2πg0ln

(16tε

)pour |ε|

petit avec g0, la densité d'états en bord de bande calculée dans la question précédente.

6. Où se trouve le niveau de Fermi si les atomes sont monovalents ? Combien faut-il d'élec-trons par atome pour que la bande soit complètement remplie ?

7. Un exemple : les supraconducteurs à haute température critique présentent une structurelamellaire formée par l'empilement de plans conducteurs CuO2 très faiblement couplés :l'électron de valence du cuivre est sur l'orbitale dx2−y2 et ceux de l'oxygène sur les orbitales2p. On peut montrer que l'hybridation entre l'orbitale d du cuivre et l'orbitale p del'oxygène permet de se ramener à notre modèle carré, avec une orbitale eective résultantde l'hybridation p−d. Le matériau devrait-il être isolant ou conducteur si il y a un électronpar atome ?

9

10

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

10 TD - Electrons presque libres

L'objectif de ce TD est de comprendre les eets d'un potentiel périodique sur un gaz d'électronslibres. On considére le modèle de Kronig-Penney [R. de L. Kronig, W.G Penney, Proc. Roy.Soc. (London),A130, 499 (1931)], qui est un modèle simple pour décrire la structure de bandesdes métaux ou des semiconducteurs. Il considère que les électrons sont placés dans un puitsde potentiel périodique, avec une barrière de potentiel entre les puits très faible, qui justied'utiliser le modèle des électrons presque libres. Le modèle en lui-même correspond à la limiteextrême qui est une barrière de Dirac, d'extension spatiale nulle et de hauteur innie.

10.1 Modèle de Kronig-Penney

On considère un électron, d'énergie ε, plongé dans un puits de potentiel périodique, de périodea, constitué par un peigne de Dirac :

V (x) = aV0∑n∈Z

δ(x− na).

On utilise l'approximation des électrons presque libres qui se justie ici par un couplage fortentre les puits. On écrit la fonction d'onde sous la forme :

Ψk(x) = u(x)eikx =

(∑n∈Z

uneingx

)eikx

avec g = 2π/a en développant la fonction u(x) en série de Fourier. La fonction d'onde Ψ(x)est une fonction de Bloch. De la même manière, le potentiel V (x) étant périodique, on peutécrire :

V (x) =∑m∈Z

vmeimgx

avec

vm =1

a

∫ +a2

−a2

V (x)e−imgxdx

1. Trouver la relation entre vm et V0 ∀m.

2. Ecrire le système linéaire homogène vérié par les coecients un.

3. En déduire que les valeurs propres, ε, du Hamiltonien vérient :

V0∑n∈Z

1

ε− ~22m

(k + ng)2= 1

On pourra poser S =∑

n∈Z un.

4. Reécrire cette équation aux valeurs propres sous la forme :

cos ka = F (Ka),

(K =

√2mε

~

)11

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

F(X)

X

où F est une fonction que l'on déterminera. On utilisera la relation suivante :

∑n∈Z

1

K2 − (k + ng)2=

π

gK

sin 2πKg

cos 2πkg

− cos 2πKg

On introduira le paramètre α = mV0a2

~2 . Quelle est la dimension de α ?

5. La fonction F(X) est représentée sur la gure ci-dessus pour α = 5. Montrer qu'il existeun ensemble discret de solutions εi(k) telles que ε1(k) < ε2(k) < . . ., avec alternance enénergie de bandes permises et de bandes interdites. Discuter la parité des fonctions εi(k).

6. Donner numériquement la valeur de la largeur de la première bande permise puis lalargeur de la première bande interdite pour α = 5 et a = 5 nm.

7. En dérivant l'expression cos ka = F (Ka) par rapport à k, déterminer l'expression de ladérivée dεi

dk(k). En déduire la valeur de cette dérivée en k = 0 et en k = ±π

a. Tracer alors

schématiquement la structure de bandes.

Ce modèle simple permet donc d'expliquer comment le spectre d'énergie d'un gaz d'électronslibres ε=~2k2/2m, soumis à un potentiel périodique, acquiert une structure des bandes d'éner-gie, avec des zones interdites entre deux bandes successives. C'est typiquement le cas desélectrons dans le solides, où le potentiel périodique est dû au réseau ionique. Le remplissagedes bandes est déterminé par la position du niveau de Fermi, et les bandes peuvent être rem-plies ou semi-remplies ou vides. Ceci détermine les propriétés du solide en question, isolant oumétallique.

Ce modèle a aussi connu un grand succès dans l'ingénierie des semiconducteurs et en parti-culier dans les 'superréseaux' réalisés depuis les années 1980. Un superréseau est formé par larépétition ABABAB... du sandwich AB formés de deux couches de semiconducteurs diérentsA et B. Les progrès de la croissance cristalline moderne (épitaxie par jets moléculaires) per-mettent de réaliser de tels sandwichs AB d'épaisseur contrôlée à la monocouche atomique près.Le modèle que nous avons étudié ici correspond à la limite où l'épaisseur de B est très faible

12

devant celle de A. On va montrer à présent comment les bandes se forment en considérant cesuperréseau dans la limite d'épaisseur B très faible, en utilisant des arguments qualitatifs etaucun calcul.

10.2 Approche qualitative (facultatif)

On considère un matériau A dans lequel la masse eective des électrons est la masse desélectrons libresm et où l'approximation des électrons libres s'applique. On note a0, le paramètrede maille de ce matériau de structure supposée cubique simple.

1. Rappeler le réseau réciproque et la première zone de Brillouin. Représenter la relation dedispersion dans cette première zone de Brillouin selon la direction kx. On se contenterade représenter la bande d'énergie la plus basse.

2. On suppose maintenant que le système est constitué par l'empilement périodique depériode a (a = Na0 avec N de quelques unités) de tranches de ce matériau A (selon ladirection x). L'interface entre les tranches de ce matériau est constituée par le matériauB d'épaisseur très faible. Déterminer la nouvelle zone de Brillouin.

3. En déduire qualitativement la nouvelle structure de bandes en utilisant le théorème deBloch. En particulier, expliquer pourquoi, il apparaît des zones interdites en bord de zoneet au centre de zone.

13

14

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

11 TD - Phénomènes de transport

11.1 Conductivité électrique

Nous allons étudier l'évolution de la conductivité électrique avec la température dans deux casparticuliers : un métal et le graphène. On se place dans le cadre de la théorie de Boltzmannpour les phénomènes de transport. On rappelle que, dans un espace de dimension d :

σ = e2τ

∫dε g(ε)

v2

d

(−df

0(ε)

dε

)(11.1)

11.1.1 Conductivité d'un métal

1. En déduire que σ = e2τ g(εF )v2Fddans la limite des basses températures.

2. Retrouver simplement qu'à 2D, on a g(ε) = ne

εFoù ne est la densité électronique. Retrouver

l'expression de la conductivité électrique de Drude dans ce cas particulier.

3. En réalité, le temps de collision dépend de la température. À très basse température, letemps de collision, τ , est dominé par les eets des impuretés et est donc indépendant dela température. À plus haute température, les collisions dues aux vibrations de réseaudominent. Alors, suivant le nombre de modes de vibration excités, on a τ ∝ T−5 pourT ≪ θD et τ ∝ T−1 pour T ≫ θD, où θD est une température caractéristique desphonons. Interpréter la gure 1 (θD(Na)=158 K).

11.1.2 Conductivité du graphène

Le graphène est un matériau bidimensionnel avec une relation de dispersion linéaire déniepar :

ε+(−→k ) = εF + ~vF k, si ε > εF (11.2)

ε−(−→k ) = εF − ~vF k, si ε < εF (11.3)

où vF ≈ 106 m.s−1 est la vitesse de Fermi et k =∥∥∥−→k ∥∥∥ est la norme du vecteur d'onde

−→k = (kx, ky).

1. Représenter la relation de dispersion. Calculer la densité d'état ρ(ε) et montrer qu'elleest proportionnelle à |ε− εF |. (On notera S = L2 la surface du système).

2. En négligeant la variation du potentiel chimique en fonction de la température, montrerqu'à température nie :

−df0(ε)

dε=

β

4ch2(

β(ε−εF )2

) .En déduire la conductivité du graphène en fonction de la température sachant que :

∞∫0

dxx

ch2x= ln 2.

15

Figure 1 Evolution de la résistivité avec la température pour des échantillons de sodium.D'après D.K.C. MacDonald et K. Mendelssohn, Proc. Roy. Soc. A, vol. 202, p.523 (1950)

Comparer la dépendance en température de la conductivité du graphène avec celle d'unmétal.

11.2 Conductivité thermique

Dans cet exercice, nous allons déterminer la conductivité thermique d'un métal. Lors de l'ap-plication d'un gradient de température à un système isolé, il apparaît un transport de chaleurdont les porteurs sont les électrons. Nous allons déterminer la conductivité thermique d'unsystème en fonction de ses propriétés électroniques. Pour ce faire, nous allons considérer le mo-dèle simpliste de Drude. L'approche plus réaliste consiste à utiliser les équations de transporthors équilibre de Boltzmann mais les calculs y sont beaucoup plus complexes.Dans le modèle de Drude, le transfert d'énergie au sein du système est assuré uniquement parles collisions que subissent les électrons. L'électron échange ainsi de l'énergie avec le réseau.On suppose de plus qu'il s'écoule un temps τ entre deux collisions.Pour simplier, on considère une barre métallique isolée de section S, très faible par rapportà sa longueur, soumise à un gradient de température selon cette direction principale x. Labarre étant isolée, il n'y a pas de courant électrique dans le régime permanent considéré ici.Il apparaît par contre un courant de chaleur, de sens opposé au gradient de température,régi, pour de faibles gradients, par

−→jQ = −κ

−→∇T (loi de Fourier), κ est appelée conductivité

thermique.

1. Rappeler la valeur de la vitesse quadratique moyenne v d'un électron (à une dimension) enfonction de la température en supposant que l'électron se comporte comme une particuleclassique.

16

2. Calculer la variation d'énergie que subit un électron de vitesse v entre les instants t ett+ τ où l'électron a subi une collision, en fonction de v, τ , c sa chaleur spécique et dugradient de température.

3. Soit n la densité d'électrons. Déterminer le nombre d'électrons, n+, traversant la sectionS pendant une durée τ en venant de la gauche et le nombre d'électrons, n−, la traversantpendant la durée τ en venant de la droite.

4. Exprimer alors la quantité de chaleur Q = Sτ−→jQ.

−→x qui passe à travers une section S

pendant de le temps τ . En déduire l'expression de la densité de courant de chaleur−→jQ et

l'expression de la conductivité thermique, κ1D, pour un système unidimensionnel.

5. En supposant une répartition isotrope des vitesses, en déduire que la conductivité ther-mique dans un système tridimensionnel s'écrit : κ = 1

3v2τcv =

13vlecv où cv est la chaleur

spécique molaire et le est le libre parcours moyen.

6. Dans le cadre de la physique statistique classique du modèle de Drude, établir une pre-mière approximation de la loi de Wiedemann-Franz liant les conductivités électriqueσ = ne2τ

met thermique :

κ

σ=

3

2

(kBe

)2

T = LT (11.4)

où L est appelé nombre de Lorentz.

7. Pour le cuivre, on a, à T=0°C, σ = 6.45 ×107Ω−1.m−1 et κ = 385 W.m−1.K−1. Conclu-sion ?Remarque : Il est fortuit que cette approche classique rende aussi bien compte desobservations expérimentales. En réalité, le modèle de Drude surestime d'un facteur 100la chaleur spécique électronique et sous-estime d'un facteur 100 la vitesse des électrons,si bien que ces deux "erreurs" se compensent.

8. En utilisant le modèle de Boltzmann, la formule précédente, κ = 13v2τcv, reste valable

mais v doit être remplacée par la vitesse de Fermi, vF et la chaleur spécique est lachaleur spécique du gaz d'électrons : cv = π2

2nekB

TTF

pour un gaz d'électrons libres oùne est la densité électronique et TF est la température de Fermi. En déduire que la loide Wiedemann-Franz s'écrit :

κ

σ=π2

3

(kBe

)2

T = LT (11.5)

et qu'elle est vériée pour le cuivre.

17

18

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

12 TD - Semiconducteur I

Régimes intrinsèque et extrinsèque

Le premier bon transistor années 90 : 1011 transistors Extrait de la tableà jonctions (Bell Labs, 1950) occupent un disque de périodique des éléments

diamètre 20 cm

On se propose de rendre compte de l'évolution de la résistivité des semi-conducteurs en fonc-tion de la température et de mettre en évidence le rôle des impuretés, fondamental pour lesapplications de ces matériaux.

Notations :

εc : énergie du bas de la bande de conduction (BC) εv : énergie du haut de la bande de valence (BV) εg = εc − εv : énergie de gap m : masse de l'électron e : charge élémentaire (e>0) mc : masse eective en bas de la bande de conduction mt : masse eective des trous dans la bande de valence

N0 =1√2

(m

πβ~2

)3/2; Nc = N0

(mc

m

)3/2; Nt = N0

(mt

m

)3/2 µe et µt : mobilités des électrons et des trous

On rappelle que pour un semi-conducteur, intrinsèque ou extrinsèque, les densités nc d'électronset nt de trous sont données par

nc(T ) = Nc exp [−β(εc − µ)]

nt(T ) = Nt exp [−β(µ− εv)](12.1)

où µ(T ) est le potentiel chimique des électrons.

19

12.1 Cas d'un semi-conducteur pur (semi-conducteur intrinsèque)

1. Dans le cas intrinsèque, quelle relation existe entre les densités de porteurs nc(T ) etnt(T ) ? En notant ni la densité d'électrons nc dans ce cas intrinsèque, en déduire uneexpression de ni en fonction de Nc, Nt et εg.

2. En comparant l'expression générale (12.1) de nc(T ) et celle de ni trouvée en 1), calculerle potentiel chimique µ(T ). Que vaut l'énergie de Fermi ?

3. Quelle est la valeur de ni à température ambiante pour les semi-conducteurs de la tablesuivante. Comparer l'ordre de grandeur trouvé au cas d'un métal bon conducteur commele cuivre où 1 électron par atome participe à la conduction.

matériau εg (eV) mc/m mt/mSi 1.12 1.13 0.55Ge 0.67 0.55 0.29InSb 0.16 0.015 0.20

Table 1 Caractéristiques de quelques semiconducteurs.

4. Sachant que pour le germanium à la température ambiante, µe = 3600 cm2/Vs et µt =1800 cm2/Vs, quel est l'ordre de grandeur de la conductivité à température ambiante ?Comparer à la conductivité d'un bon métal.

5. La mobilité des porteurs dépend de la température. A haute température, on supposeraqu'elle est limitée par les phonons et µe,t(T ) ∝ T−3/2. Donner alors l'expression dela conductivité, puis de la résistivité du semi-conducteur intrinsèque en fonction de latempérature.

6. Proposer une méthode expérimentale (réalisable en TP) pour déterminer le gap du semi-conducteur, basée sur le résultat précédent. En connaissez-vous une autre (égalementréalisable en TP) ?

12.2 Cas d'un semi-conducteur contenant des impuretés (semi-conducteur extrinsèque)

Pour les applications, on utilise généralement des semi-conducteurs "dopés p" ou "dopés n".Un matériau de type n a été dopé uniquement avec des atomes donneurs d'électrons, enconcentration Nd. Leur niveau d'énergie est noté εd et la densité de donneurs eectivementionisés est nd(T ). Un matériau de type p a été dopé uniquement avec des atomes accepteursd'électrons, en concentration Na. Leur niveau d'énergie est noté εa et la densité d'accepteurseectivement ionisés est na(T ).

1. Parmi l'arsenic As et le gallium Ga, que doit-on choisir pour doper le germanium Gerespectivement n ou p ? A quel type de dopage correspond l'antimoine Sb ?

2. Sachant que pour As, on a εc−εd = 12.7 meV, et pour Ga, on a εa−εv = 10.8 meV, tracerschématiquement la structure de bandes dans chaque cas (dopage n ou p), en indiquantles positions de εc, εv, et εa ou εd. Le germanium ainsi dopé est-il conducteur ou isolantà température ambiante ?

3. Trouver pour chaque type de dopage la relation entre nc et nt faisant intervenir nd ouna.

20

Figure 1 Résistivité du germaniumen fonction de 1/T , pour diérentesconcentrations d'antimoine : pour lescourbes 1 à 29, la densité d'atomesdonneurs varie de 5.3 × 1020 m−3 à9.5 × 1023 m−3 (gure extraite de So-lid State Physics, Ashcroft and Mer-min, d'après H. J. Fritzsche, J. Phys.Chem. Solids 6, 69 (1958))

4. On se place dans toute la suite dans le cas du dopage de type n (le cas du dopagep se traite de manière équivalente). En supposant que tous les donneurs sont ioniséset que Nd >> nt, que vaut la densité d'électrons nc ? A quel régime de températurecette situation correspond-elle ? On appelle ce régime, le régime extrinsèque du semi-conducteur. Donner alors l'expression de la résistivité sachant qu'à ces températures lamobilité des porteurs est dominée par les impuretés µe,t ∝ T 3/2 ?

5. Pour un semi-conducteur de germanium dopé n, tracer parallèlement l'allure des deuxcourbes suivantes : ln(ρ) et ln(n) en fonction de 1/T . Faire apparaître les régimes intrin-sèque et extrinsèque, ainsi qu'un troisième régime que l'on commentera. Interpréter lagure 1.

6. Tracer l'allure de µ(T ).

21

22

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

13 TD - Semiconducteur II

Application du régime extrinsèque : la jonction pn

De nos jours la moitié de la recherche industrielle en matériaux concerne des composants pourla micro-électronique. Ici, on examine très qualitativement le fonctionnement d'une jonctionpn, dont les applications sont très nombreuses : diodes (utilisation pour le redressement etla stabilisation de tensions (par exemple, pour produire des tensions continues à partir dusecteur), photodétecteurs (cellules solaires par exemple..), diodes électroluminescentes (LEDen anglais), etc..), transistors bipolaires dont une application est l'amplication (chaîne hi-,par exemple..), etc...

Figure 1 Schéma d'une jonction pn

On considère deux semi-conducteurs homogènes formés à partir du même composé (typique-ment, du silicium ou du germanium). L'un est dopé p (P) et l'autre est dopé n (N).a) Dans un premier temps, on considère que ces deux matériaux sont inniment éloignés.Représenter schématiquement les niveaux εc, εv, εd ou εa, et µ pour les deux semi-conducteurssupposés dans leur régime extrinsèque (tous les dopants sont ionisés et kBT ≪ εc − εv).

b) On considère à présent une jonction pn réalisée à partir des deux matériaux précédents.S'agissant du même matériau, il y a échange d'électrons entre la partie N et la partie P ; àl'équilibre, le potentiel chimique a donc la même valeur dans toute la jonction. Les bandesd'énergie se raccordent dans une zone dont l'épaisseur est de l'ordre de 100 Å à 1 µm. Onnote εPc et εPv (resp. εNc et εNv ) les énergies du bas de la bande conduction et du haut dela bande de valence pour le semi-conducteur dopé p (resp. dopé n). En supposant que cesniveaux sont peu aectés loin de l'interface, tracer qualitativement la variation de εc et εv enfonction de x. Discuter les valeurs des densités de porteurs nP,N

c et nP,Nt (électrons et trous)

de part et d'autre de la jonction. On rappelle que les impuretés sont complètement ioniséset on note Nd et Na les concentrations de donneurs et d'accepteurs du côté N et P.

23

c) On rappelle l'expression de la densité d'électrons dans la bande de conduction d'un semi-conducteur :

nc = Nc exp

(µ− εckBT

)Loin de la zone de raccordement, en déduire les énergies εNc et εPc en fonction de µ, des concen-trations en impuretés Na, Nd, du produit n2

i = ncnt caractéristique du semi-conducteurutilisé et de NC et kBT . En déduire la diérence εPc − εNc en fonction de Na et Nd et n2

i .d) L'échange d'électrons entre la partie N et la partie P génère une diérence de potentielélectrique entre la partie N et la partie P. Rappeler de manière générale quel est l'eet del'application d'un potentiel électrique homogène sur les niveaux d'énergie électronique. Endéduire que le décalage des bandes à l'interface correspond à une diérence de potentielélectrique ∆φ = φN − φP de part et d'autre de la jonction. Donner son ordre de grandeurpour du silicium (ni = 3.3× 1015 m−3) avec Na = Nd = 1024 m−3.

e) En déduire qu'il existe un champ électrique au niveau de la jonction. Dans quel sens est-ildirigé ? Donner son ordre de grandeur pour une zone de raccordement de 100 nm. Montrerqualitativement que cette zone est vide de charges libres. On la nomme la zone de charged'espace .

f) Des électrons dans la bande de conduction C (resp. des trous dans la bande de valence V)peuvent franchir la barrière de potentiel et passer de N à P (resp. de P à N). Ce phénomènecrée un courant I0P→N dont on donnera l'expression en fonction de la diérence de potentiel∆φ, de la température et d'une constante I0 que l'on ne cherchera pas à determiner. Uncourant I0N→P est aussi établi par les électrons qui, entrants dans la zone de déplétion, sontattirés de P a N, de sorte que le courant total à l'équilibre est I0tot=I

0P→N+ I0N→P = 0.

On applique à présent une diérence de potentiel U = VP − VN entre la zone P et la zone N.

g) Montrer que les électrons doivent franchir une nouvelle barrière de potentiel, que l'on ex-plicitera, pour passer de N vers P et en déduire que IP→N(U) =I0P→N exp(eU/kBT ).

h) Le courant IN→P (U) est toujours dû aux électrons qui, entrant dans la zone de déplétion,sont attirés de P à N. Il ne dépend donc de U que trés faiblement et IN→P (U) ≃I0N→P .Exprimer alors le courant total Itot(U)= IP→N(U)+ IN→P (U) à travers la jonction en fonctionde I0N→P et U et tracer la caractéristique Itot(U) (On notera que I0N→P < 0). A quel composantélectronique correspond la jonction pn ?

24

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud

Matière condensée

14 TD - Supraconductivité

14.1 Quelques aspects thermodynamiques de la transition supracon-ductrice (type I)

Expérimentalement, il existe une excitation magnétique critique Hc(T ) au-delà de laquelle iln'y a plus d'eet Meissner : l'état supraconducteur est alors détruit par le champ magnétiquetrop important. À température nie, pour un supraconducteur de type I l'excitation critiqueHc(T ) est phénoménologiquement décrite par :

Hc(T ) ≃ Hc(T = 0)

[1−

(T

Tc

)2]

(14.1)

En toute rigueur cette expression n'est pas valable à basse température.

14.1.1 Transition en champ magnétique à T=0

On rappelle que la variation de l'énergie de Gibbs par unité de volume est donnée, pour unepetite variation de la température et de l'excitation magnétique, par dG = −SdT − µ0MdH.

1. En considérant une transformation isotherme, montrer que l'énergie de Gibbs G(Ha)d'un matériau supraconducteur soumis à l'excitation Ha s'écrit :

G(Ha) = G(0)− µ0

∫ Ha

0

MdH (14.2)

2. Que vaut l'aimantation du supraconducteur à T = 0, pour Ha < Hc ? En déduire l'ex-pression de l'énergie dans la phase supraconductrice sous champ Gs(Ha).De la même manière donner l'expression de l'énergie pour la phase normale en introdui-sant la susceptibilité de Pauli. Que peut-on dire de son ordre de grandeur par rapport àla susceptibilité du supraconducteur ?

3. On négligera la susceptibilité de la phase normale et on rappelle que la phase supracon-ductrice étant la phase stable à Ha = 0, ∆G = Gn(Ha = 0) − Gs(Ha = 0) > 0. Quereprésente cette quantité ? Tracer Gs et Gn en fonction de Ha.A quel champ,Hc, ces courbes se croisent-elles ? Quelle est la phase la plus stable pourH > Hc ? On donnera l'expression de l'excitation critique Hc en fonction de l'énergie destabilisation de l'état supraconducteur à T = 0.

14.1.2 Diagramme de phase H − T

Tracer la ligne de coexistence de l'état supraconducteur et du métal normal dans le planH − T . L'équilibre thermodynamique entre deux phases requièrt que Gs(T,Hc) = Gn(T,Hc).En considérant une petite transformation le long de la ligne de coexistence pour laquelle unevariation de T , dT , est couplée à une variation de Hc, dHc, déterminer la chaleur latente dela transition L = T (Sn − Ss). Commenter. On considérera en particulier les cas T = 0 et0 < T < Tc.

25

14.1.3 Chaleur spécique

Figure 1 De Solid State Physics, Ashcroft et Mermin, Harcourt, 1976.

La gure 1 donne la chaleur spécique de l'aluminium dans les états supraconducteur et normal.La phase normale est produite en-dessous de Tc en appliquant un léger champ magnétique quidétruit la supraconductivité sans notablement aecter la chaleur spécique.

1. Que mesurerait-on si on étudiait la variation de chaleur spécique en fonction de latempérature, à champ magnétique nul ?Questions facultatives

2. On rappelle que C = T ∂S∂T. Donner l'expression de Cs − Cn en fonction des dérivées de

Ss et Sn et de T .

3. En utilisant le résultat du calcul de la chaleur latente, montrer que :

Cs − Cn = −2Tµ0

(Hc(0)

Tc

)2 [1− 3

( TTc

)2]4. En appliquant cette formule à Tc, calculer la valeur du saut de la chaleur spécique.

Compte tenu du volume molaire de l'aluminium V = 10−5 m3/mol, en déduire sonchamp critique Hc(0).

14.2 Gap supraconducteur et microscopie à eet tunnel

Dans la théorie BCS de la supraconductivité à T = 0, on peut décrire l'ouverture du gapsupraconducteur en remplaçant la relation ε = ~2k2

2mdans l'état normal, par :

ε = εF −√(~2k2

2m− εF

)2+∆2 pour k < kF

et

ε = εF +

√(~2k22m

− εF

)2+∆2 pour k > kF

26

Figure 2 Schéma du microscope à eet tunnel (STM).

1. En étudiant la formule précédente, montrer qu'il n'y a pas d'états dans un intervalled'énergie 2∆ centré autour de εF .

2. En prenant ∆ = 3.5 kBTc, avec Tc ≃ 20 K, comparer ∆ à εF (on utilisera un ordre degrandeur de εF ).

3. La densité d'états dans l'espace des k est inchangée par rapport à la phase normale.Démontrer que la densité d'états en énergie dans la phase supraconductrice s'écrit dansune étape intermédiaire de calcul :

gs(ε) =V

π2

m

~2|ε− εF |√

(ε− εF )2 −∆2k

4. Pour des énergies proches du niveau de Fermi, on remplace k par kF dans la formuleprécédente. En déduire que

gs(ε) =|ε− εF |√

(ε− εF )2 −∆2gn(εF )

5. Tracer cette densité d'états. On admet que le niveau de Fermi reste inchangé par rapportau cas du métal normal et on néglige la variation du potentiel chimique en fonction dela température.

6. A T = 0, quelle est l'énergie minimale à fournir à un électron pour l'exciter ? Quelleserait la gamme de longueur d'onde typique pour induire une telle transition.

7. Dans un microscope à eet tunnel (STM), une pointe métallique de taille atomique estapprochée de la surface d'un échantillon métallique ou supraconducteur dont on chercheà déterminer les caractéristiques (cf gure 2). Pour cela, la distance pointe-surface estmaintenue constante, de l'ordre de quelques angströms, an de permettre aux électrons àla surface de sauter sur la pointe par eet tunnel. On applique une diérence de potentielV entre l'échantillon et la pointe de telle manière que l'écart en énergie entre les deuxpotentiels chimiques est eV (−e est la charge de l'électron).

Expérimentalement, dans une expérience STM on mesure la conductance diérentielledI(eV )/dV qui, sous certaines conditions favorables (régime tel que eV << εF , surfaceen bonne condition, témperatures trés basses, ...), est proportionnelle à la densité d'étatsen énergie de l'echantillon supraconducteur :

dI

dV(eV ) ∝ gs(εF − eV ). (14.3)

27

Figure 3 la jonction tunnel pointe-échantillon. L'énergie est le long de l'axe vertical, et lesdensités d'états de l'échantillon et de la pointe sont indiquées le long des axes horizontaux. Lesétats pleins sont indiqués en gris (vert). Sur le schéma, une tension de polarisation négative−V a été appliquée à l'échantillon par rapport à la pointe, ce qui élève son potentiel chimiquede eV par rapport à celui de la pointe.

Figure 4 Dépendance en température de dI/dV mesurée par STM. (a) Jonction entre unéchantillon d'or et une pointe de niobium avec Tc = 9K. (b) Jonction entre une pointe d'iridiumet le supraconducteur Bi2Sr2CaCu2O8−δ avec Tc = 83K. Adapté de Ø. Fisher et al. Rev. Mod.Phys. 79, 353 (2007). (c) Forme "d-wave" du gap supraconducteur dans les supraconducteursà haute température critique.

Cette formule a été obtenu par J. Terso et D. Hamann, Phys. Rev. B 31, 805 (1985) (unedérivation plus accessible est donnée par exemple dans le chapitre 8 du Henrik Bruuset Karsten Flensberg, Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics : AnIntroduction, Oxford Graduate Texts). La mesure de dI(eV )/dV nous donne donc accèsdirectement à la densité d'états électroniques gs(ε).

(a) Comparez dI/dV obtenu par la formule donnée plus haut pour gs(ε) avec la courbeexpérimentale de la gure 4.a (on néglige la variation du potentiel chimique enfonction de la température). Pouvez-vous déterminer le gap ∆ ? La théorie BCS

28

prédit le rapport universel 2∆/kbTc ≃ 3.52, où Tc est la température critique de latransition supraconductrice. Est-ce vérié ici ?

(b) Comparer qualitativement les courbes de STM sur le Niobium, gure 4.a, avec celleobtenue sur le supraconducteur à haute température critique Bi2Sr2CaCu2O8−δ,gure 4.b. Celui-ci présente une symétrie particulière, dite "d-wave" (gure 4.c), quiimplique un gap nul en certains points de l' espace des impulsions (dits n÷uds).

29

30

M1 Physique Fondamentale

Magistère 2ème année 2013-2014

Matière Condensée

Devoirs

32

Devoir n3 : extrait de l'examen du 12 Mars 2013

Données numériques :

Constante de Boltzmann : k = 1, 38× 10−23 J/K. Constante de Planck : h = 6, 62× 10−34 J.s Masse de l'électron : me = 9× 10−31 kg

Ce problème est centré sur l'étude des composés à maille hexagonale qu'ils soient bi-dimensionnels comme le graphène ou qu'ils fassent appel à un empilement de plans de cettenature. La première partie de l'examen de 2013 était consacrée à l'étude structurale. Elle n'estpas reprise ici.Le problème est constitué de 3 parties qui peuvent être abordées indépendamment les unesdes autres et indépendamment de ce qui précède, après lecture) : une étude des bandes élec-troniques du nitrure de bore dans un modèle de liaisons fortes à deux dimensions puis uneapplication au cas du graphène pour lequel certaines propriétés électroniques seront abordées,enn une étude plus poussée de la structure de bandes en "cône".Le nitrure de bore hexagonal (h-BN) a une structure en feuillets. Dans chaque feuillet, lesatomes d'azote notés A et de bore, notés B, sont hybridés sp2, formant ainsi une structurehexagonale en "nid d'abeille" ; les feuillets sont alternés, ainsi au dessus d'un atome de borese trouve un atome d'azote, et inversement. Cet empilement de plans de structure hexagonaleest représenté sur la gure ci-dessous.

Figure 1

Le réseau est décrit par la maille élémentaire (a1, a2, a3). On notera que les vecteurs a1, a2,pris dans le plan d'un feuillet et représentés sur la gure, ne sont pas orthogonaux ; ils font unangle de 60 entre eux. Le vecteur a3 est perpendiculaire aux feuillets, donc perpendiculaireau plan de la gure.Si d désigne le côté d'un hexagone et a = d

√3 la distance entre atomes de même nature dans

un feuillet, les coordonnées des vecteurs de la maille, dans le repère Oxyz, sont :

a1 =a

2

1√30

a2 =a

2

−1√30

; a3 = c

001

La projection de la maille élémentaire sur le plan z = 0 est la zone grisée sur la gure 1. Dansle plan de référence, z = 0, la position des atomes de bore et d'azote dans la maille élémentaire

33

est donnée dans la base (a1, a2, a3) respectivement par :

B1 : (1

3,1

3, 0) ; A1 : (

2

3,2

3, 0)

1 Modèle de liaisons fortes pour le nitrure de bore

On suppose le recouvrement entre orbitales de deux feuillets adjacents susamment faiblepour ne considérer que les propriétés électroniques d'un seul feuillet. On s'intéresse exclusive-ment aux orbitales pz que l'on note respectivement |pBm,n⟩ et |pAm,n⟩ pour les atomes de bore etd'azote du motif (m,n) repéré par sa distance Rm,n = m a1 + n a2 par rapport à une originearbitrairement xée.On fait l'hypothèse que les orbitales d'un atome de bore (resp. azote) n'ont de recouvrementqu'avec ses trois proches voisins azote (resp. bore), comme indiqué sur la gure ci-dessous. Onremarquera qu'un des atomes A appartient au même motif, (m,n), alors que les deux autresappartiennent à des motifs voisins.

Figure 2

On a donc :

⟨pm,n|pm′,n′⟩ = δmm′ δnn′ quels que soient les atomes, B ou A

⟨pBm,n | H | pBm′,n′⟩ = εB si Rm,n = Rm′,n′

⟨pAm,n | H | pAm′,n′⟩ = εA si Rm,n = Rm′,n′

⟨pBm,n | H | pAm′,n′⟩ = −t si Bm,n et Am′,n′ sont proches voisins

⟨pAm,n | H | pBm′,n′⟩ = −t si Am,n et Bm′,n′ sont proches voisins

= 0 sinon

La présence de deux atomes dans le motif nous conduit à chercher une fonction de Bloch,d'énergie ε(k) sous la forme :

ψk =∑

noeuds (m,n)

cm,n |pBm,n⟩+ dm,n |pAm,n⟩

34

1. Montrer que les deux atomes A proches voisins d'un atome Bm,n du motif centré sur Rm,n

et appartenant aux mailles voisines se déduisent de l'atome Am,n par une translation devecteur −a1 et −a2. Procéder de même pour les proches voisins de Am,n. En déduire unerelation entre les composantes correspondant à ces voisins dans ψk.

2. En projetant l'équation Hψk = ε(k) ψk sur |pBm,n⟩ et |pAm,n⟩ pour un motif (m,n) donné,montrer que l'équation donnant ε(k) s'écrit :[

εA − ε(k)] [εB − ε(k)

]− t2 |f(k)|2 = 0

avecf(k) = 1 + eik·a1 + eik·a2

3. En déduire l'expression de ε(k) en fonction de εB, εA et f(k). On montrera qu'il existedeux solutions qui dénissent deux bandes d'énergie distinctes.

4. On admet que f(k) peut s'annuler en un point de la zone de Brillouin, noté K. Montrerque le gap entre les deux bandes d'énergie vaut εB − εA, εB > εA.

5. Sachant que chaque atome B ou A du motif cède un électron pz, justier que l'on estau demi-remplissage. Que peut-on dire de la bande d'énergie inférieure, de la banded'énergie supérieure ? Sachant que εB − εA vaut 5.97 eV, le nitrure de bore est-il unmétal, un semi-conducteur, un isolant ? Quelle est sa couleur ?

2 Le cas du graphène

Le graphène a la même structure que le feuillet de nitrure de bore étudié dans la partieprécédente. Les atomes B et A sont remplacés tous deux par du carbone. Le motif contienttoujours deux atomes, de carbone, non équivalents. On peut donc appliquer tous les résultatsqui précèdent en posant simplement εA = εC et εB = εC .

1. Montrer que la relation de dispersion s'écrit :

ε(k) = εC ± t |f(k)|

2. La structure de bande est représentée sur la gure 3 ci-dessous, où l'énergie est en axevertical et k est dans le plan horizontal.

Figure 3

On s'intéresse à la structure de bande autour du point K. Justier que c'est elle qui piloteles propriétés physiques.

35

3. On admet, dans un premier temps, que la relation de dispersion autour des points K estlinéaire. On s'intéresse à un de ces points et par un changement d'origine des énergies,prise au niveau de Fermi, et d'origine des k, prise au point K, cette relation s'écrit, pourles valeurs utiles :

ε(k) = ±~vF |k| ou vF est la vitesse de Fermi

(a) Donner sans démonstration la densité d'états par unité de surface, g(k), dans l'es-pace des k qui est ici de dimension 2.

(b) Calculer la densité d'états en énergie et la représenter. On prendra en compte lesdeux branches d'énergie autour du point K et on exprimera cette densité d'états enfonction de |ε|, ~ et vF .

(c) Donner l'expression intégrale du nombre d'électrons par unité de surface à la tem-pérature T en fonction de la densité d'états g(ε) ; justier que l'on puisse utiliserl'expression établie au voisinage du point K et étendre l'intégrale jusqu'à l'inni.

(d) Calculer la densité d'électrons, n(T ), dans la bande supérieure à la température T .On donne : ∫ +∞

0

x

1 + exdx =

π2

12

En utilisant une vitesse de Fermi standard, calculer n à température ambiante.

3 Zone de Brillouin autour du point K

On propose d'établir la linéarité de la relation de dispersion au voisinage du point K. Lesvecteurs de maille du réseau réciproque 2D sont notés (a∗1, a

∗2). Les vecteurs a∗1, a

∗2 sont

donnés dans le repère Oxyz par

a∗1 =

√3

2kD

√310

; a∗2 =

√3

2kD

−√3

10

On montrera que kD = 4π

3a.

1. Représenter le réseau réciproque et justier la forme de la première zone de Brillouinci-dessous. On pourra se contenter d'examiner les 3 arêtes supérieures de l'hexagone.

2. Donner les coordonnées de K dans le repère (Γ, a∗1, a∗2). On pose K =

−→ΓK

3. Calculer f(k) au point K. Pour conduire ce calcul, il est préférable d'utiliser les bases(a1, a2) et (a∗1, a

∗2). On rappelle que 1 + j + j2 = 0 avec j = e

2iπ3 .

36

4. Développer f(k) au voisinage du point K. On posera q = k− K et on montrera dans unpremier temps, en développant les exponentielles (∥q∥ petit), que

f(k) = iq ·(eiK ·a1 a1 + eiK ·a2 a2

)que l'on explicitera ensuite en coordonnées cartésiennes.Montrer alors que l'on trouve bien la structure de bandes en cônes appelés cônes de Diracautour du point K (voir gure).

5. En déduire la valeur de la vitesse de Fermi. On donne t = 3 eV.

6. Sachant que le graphène est constitué d'un seul feuillet, suggérer une expérience permet-tant de détecter cette densité d'états.

7. On revient à l'expression générale de l'énergie en fonction de k, toujours pour le graphène.

(a) Trouver la valeur de k pour laquelle la valeur de l'énergie est minimum dans labande inférieure, ou maximum dans la bande supérieure. En déduire la largeur desdeux bandes.

(b) La densité d'états en énergie représentée ci-dessous présente des divergences pourε = ±t. A quelles zones de la représentation ε(k) de la gure 3 peut-on les attribuer ?

Le graphène fait l'objet de toutes les attentions depuis les expériences capitales réalisées sur ce nouveau matériau

il y a moins de dix ans et qui ont valu le Prix Nobel de physique 2010 à Andre Geim et Kostya Novoselov de

l'Université de Manchester. Cristal bidimensionnel d'un seul plan atomique de carbone, le graphène possède

des propriétés extraordinaires, notamment électriques (plus conducteur que le cuivre) et mécaniques (100 à

300 fois plus résistant à la rupture que l'acier) ; il est de plus imperméable à tous les gaz. Le projet Graphène

a été retenu le 28 janvier 2013 par la Commission européenne comme l'un des deux premiers "FET (Future

and Emerging Technologies) Flagships" lancés à ce jour : d'une ampleur sans précédent, ces projets phare

européens de recherche devraient bénécier chacun d'une dotation d'un milliard d'euros au cours des dix

prochaines années. L'objectif de ce projet est de développer les applications du graphène, et plus largement de

la famille des matériaux bidimensionnels.

37