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MATRICE D’INERTIE…Ce Qu’Il Faut Connaître
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20/8/2015 MATRICE DINERTIEce quil faut connatre
http://scienc.industrielles.free.fr/dynamique/matrice%20d'inertie.htm#A 1/6
MATRICE DINERTIEce quil faut connatreCasolesolideadmetunplandesymtriematrielleCasolesolideadmetdeuxplansdesymtriematrielleCasolesolideprsenteunesymtriedervolutionCasolesolideprsenteunepaisseurngligeable(plaquemince)MomentdinertieparrapportunaxequelconqueThormedeHuygensgnralisMomentsprincipauxdinertieetrepreprincipaldinertieMatricesdinertiedequelquessolidescourantsLamassemseulenepermetpasdecaractriser ladifficultmettreunsolideenmouvement.Danslecas particulier o ce mouvement est une translation, la masse suffit, mais pour des mouvements pluscomplexes,larpartitiondecettemassesurlesolideestretenir.Deux quantits scalaires: lemoment dinertie et leproduit dinertie, caractrisent cette rpartition autourdunaxe.CesdeuxquantitssexprimentenKg.metnousallonsdtaillerleursproprits.OprateurdinertieOnpeutsynthtiserlesnotionsprsentesplushautdansunoprateurquiestloprateurlinairedinertie.
Appliquunvecteur constantdans ,sonexpressionestlasuivante:
Cetoprateurestlinaire,doncreprsentableparunematrice(voircoursdemaths).Dansnosapplications,levecteurs seralevecteurrotationdusolideparrapportunrepreR.
Lamatricedinertiedusolide(S)aupointO,relativementlabase ,sobtientendisposantencolonneslestransformsdesvecteursdelabaseparloprateurdinertie.enintgrantsurtoutlesolide:
Lescomposantesdelamatricedinertiesonttraditionnellementnotes:
avec:
A:momentdinertiedusolideparrapport
B:momentdinertiedusolideparrapport
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C:momentdinertiedusolideparrapport
D:produitdinertieparrapportauplan
E:produitdinertieparrapportauplan
F:produitdinertieparrapportauplanNousallonspasserenrevuequelquescasparticuliersdesymtrierencontrsdanslesproblmes.Casolesolideadmetunplandesymtriematrielle[hautdepage]Pestplandesymtriematrielledenormale pourlesolide.Onpeutalorssparerlintgralesur(S),enunesommedintgralessur(S1)et(S2).
Casolesolideadmetdeuxplansdesymtriematrielle[hautdepage]Comptetenudursultatprcdent,siSadmetdeuxplansdesymtrieorthogonauxdenormales,parexemple,
et ,alors:
touslesproduitsdinertiesontnuls
Casolesolideprsenteunesymtriedervolution[hautdepage]Unsolidedervolutiondaxe ,parexemple,admetaumoinsdeuxplansdesymtrieperpendiculaires,donclesproduitsdinertiesontnuls.
Lesaxes et jouentlemmerledupointdevuegomtriqueetdupointdevuedelarpartitiondesmasses,parconsquentlesmomentsdinertieAetBsontgaux
cequiestvraipourtoutebasecontenant .
Dautrepartdanscecas:
Ona:
et
Parconsquent:
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lecalculdeCneseferadoncpasdirectement.Casolesolideprsenteune
paisseurngligeable(plaquemince)[hautdepage]Silpaisseursuivant estngligeabledevantlesautresdimensionsalorsDoncE=D=0etC=A+Bparconsquent
Gnralisationdesrsultats
Momentdinertieparrapportunaxequelconque[hautdepage]
LemomentdinertieIDdunsolideSparrapportunedroite(A,D)devecteurunitaire ,sobtientpar:
ThormedeHuygensgnralis[hautdepage]LepassagedunematricedinertiedfinieenG,centredinertiedeS,lamatricedinertieenAscrit:
a,b,ctantlescoordonnesdeGdanslerepreliausolideS.
Momentsprincipauxdinertieetrepreprincipaldinertie[hautdepage]Lamatricedinertieestsymtriquedoncdiagonalisable.Lesmomentsprincipauxsontlesvaleurspropresdelamatricediagonaliseetlabasedurepreprincipalcorrespondauvecteurspropresassocis.Exemples:
icilabase estprincipaledinertie
ici estaxeprincipaldinertie
Matrice dinertie de quelques solides courants
tige rectiligne,homogne,dediamtrengligeableetdelongueur2L.
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Omilieudelatige
anneau de rayon R.Ocentredelanneau
disque de rayon ROcentredelanneau
sphre pleine de rayon ROcentredelasphre
O
O
O
O
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plaque rectangulaire dpaisseur ngligeableOcentredelaplaque
cylindre de rayon R et de longueur HOcentredelabase
cne plein de longueur HOsommetducne
O
2a
2b
O
O
R
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