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بسم الله الرحمان الرحيم
2
éme bac biof Année scolaire 2020/2021
Pr. Rachid Boumkehla
Résumé
Le condensateur est un dipôle constitué de deux armatures conductrices
séparées par un isolant, chaque condensateur est caractérisé par sa capacité C en
Farad (F).
Relation charge – tension :
La charge q d’un condensateur, est liée à la tension 𝐔𝐂 par la relation :
Charge électrique et intensité du courant :
L’intensité du courant i(t) traversant un condensateur est la variation de la charge q au cours du temps t.
Cdudqi = = C.
dt dt
Remarque : dans le cas d’un courant constant la relation devient :
CC.uqI = =
Δt Δt
Energie électrique stockée dans un condensateur :
L’énergie 𝐄𝐞 stockée dans un condensateur, est donnée par : e C
1 1E = C.u ² = .q²
2 2C.
Association des condensateurs :
Association en série Association en dérivation
éq 1 2 n
1 1 1 1= + + .......
C C C C
1
n
i
i
1 1=
C C
Le montage en série sert à faire diminuer
la capacité du condensateur
Céq=C1+C2+C3+………..+Cn
n
i
i=1
C = C
Le montage en parallèle sert à faire
augmenter la capacité du condensateur.
Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension :
Le dipôle RC est l’association en série d’un
conducteur ohmique de résistance R et d’un condensateur
de capacité C.
La constante de temps τ pour un dipôle RC
définit par : τ =RC. Donc
. U I T
τ = R . C TI U
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Interrupteur en position 1 :
Charge du condensateur
Interrupteur en position 2 :
Décharge du condensateur
Loi d’additivité des tensions : C Ru + u = E
L’équation vérifiée par la tension uC :
CC
duRC. + u = E
dt
L’équation vérifiée par la charge q :
dqRC. + q = EC
dt
Les conditions initiales :
uC(t=0)=0 ; q(t=0)=0 ; uR(t=0)=E et
i(t=0)=E/R
Expression de la :
tension uC : -t
τCu (t) = E.(1-e )
charge q: -t
τq(t) = CE.(1- e )
Tension uR(t) :
-t
τRu (t) = E.e
L’intensité du courant : -t
τE
i(t) = .eR
Régime permanant : C
u ( ) = E ;
q( ) = EC ; i( ) = 0 et R
u ( ) = 0
Loi d’additivité des tensions : C Ru + u = 0
L’équation vérifiée par la tension uC :
CC
duRC. + u = 0
dt
L’équation vérifiée par la charge q :
dqRC. + q = 0
dt
Les conditions initiales :
uC(t=0)=E ; q(t=0)=EC ; uR(t=0)= -E et
i(t=0)=-E/R
Expression de la :
tension uC : -t
τCu (t) = E.e
charge q: -t
τq(t) = CE.e
Tension uR(t) :
-t
τRu (t) = -E.e
L’intensité du courant : -t
τE
i(t) = - .eR
Régime permanant : C
u ( ) = 0 ; q( ) = 0 ;
E
i( ) = -R
et R
u ( ) = -E
Exercice 1 :
Données E=12V, C=120μF.
Le condensateur est initialement déchargé.
A la date t=0s, on ferme l’interrupteur K.
1- En utilisant la convention récepteur,
représenter par des flèches sur la fig1, les tensions
uc aux bornes du condensateur et uR aux bornes du
dipôle ohmique.
2- En appliquant la loi d’additivité de tension,
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établir une relation entre E, uR et uc .Etablir l’équation différentielle à la quelle obéit la tension uc.
3- Vérifier que uc=E (1 –e-t/
) avec τ =RC est solution de l’équation différentielle déjà trouvée.
4- On s’intéresse à la constante de temps τ du dipôle RC. a. A l’aide de la courbe uc=f(t) de la fig2, Déterminer la valeur de la constante de temps τ. b. En déduire la valeur de la résistance R. 5- Calculer l’énergie électrique emmagasinée Ee par le condensateur à la fin de la charge.
Exercice 2 :
Pour déterminer la capacité d’un condensateur on réalise le montage de la figure 1 qui est formé des
éléments suivants :
Un générateur idéal de tension de
force électromotrice E=12V .
Un conducteur ohmique de résistance R=1KΩ.
Un condensateur déchargé de capacité
C et un interrupteur K et des fils de
connexion.
A l’instant t=0 on ferme l’interrupteur K
et on suit par un dispositif convenable les
variations de la tension appliquée aux
bornes du condensateur en fonction du temps et on obtient la figure 2.
1- Représenter sur la figure 1 dans la convention de récepteur les tensions 𝒖C et 𝒖𝑹.
2- Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur.
3- Trouver les expressions de A et τ pour que l’expression
t-τ
cu (t) = A.(1-e ) soit
solution de l’équation différentielle.
4- Déduire les expressions de la charge q et l’intensité du courant i en fonction de temps de
paramètres de circuit.
5- Par l’analyse dimensionnelle montrer que τ a une dimension du temps.
6- Trouver graphiquement τ et montrer que C=1mF.
7- Calculer l’énergie électrique Ee stockée dans le condensateur dans le régime permanent.
Exercice 3
I- Etude de la charge d'un condensateur par un générateur idéal du courant :
Pour déterminer la capacité d’un condensateur, on utilise le montage représenté sur le figure 1 . Le générateur est un générateur de courant : il débit un courant d’intensité constant I =200mA.
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Le système d’acquisition permet d’obtenir les variations de la tension uc en fonction de temps (figure 2)
1- Démontrer que : 0c
Iu (t) = .t
C.
2- En exploitant la figure 2 trouver la valeur de la capacité C du condensateur ?
3- Calculer l’énergie emmagasinée par le condensateur à t=6s.
II- Etude de la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension descendant :
Lorsque la tension aux borne du condensateur prend la valeur U0=9V, on bascule l’interrupteur à la position
2 a un instant choisi comme une nouvelle origine des dates t=0 .Le condensateur se décharge alors dans la
résistance R.
1.Etablir l’équation différentielle qui régit les variations de la charge qA de l’armature A du condensateur
en fonction du temps.
2.Montrer que cette équation différentielle admet une solution de la forme qA = K.e−λ.t
et exprimer
littéralement les constantes K et λ en fonction de Q, R et C.
On prendra comme condition initiale qA = Q.
3.Déduire l’expression de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction du temps.
4.Déterminer la valeur qu’il faut donner à R pour que uC = 1,0 V à t = 1,0 s
Exercice 4
Un générateur de tension de f.e.m. E=12 ; Deux conducteurs ohmiques de résistance r = 20 Ω et R ;
Un condensateur de capacité C initialement déchargé ;
A un instant de date t = 0 , on ferme
l’interrupteur K .
Un système d’acquisition informatisé permet
de tracer la courbe d’évolution de la tension uC
(t) . La droite (T) représente la tangente à la
courbe à la date t=0. (figure 2).
1- Etablir l’équation différentielle vérifiée
par uC (t).
2- Trouver les expressions de A et de , pour que
t-τ
cu (t) = A.(1-e ) soit solution de cette
équation différentielle.
3- L’intensité du courant électrique s’écrit sous forme t
-τ
0i(t) = I .e Trouver l’expression de I0
en fonction de E, r et R.
4- En exploitant la courbe de la figure 2 : Trouver la valeur de la résistance R et la capacité C.
Exercice 5 :
I) On réalise le montage électrique représenté dans la figure 1
qui est constitué d’u générateur idéal de tension continue de
force électromotrice E=14V, d’un condensateur de capacité C
non chargé, conducteur ohmique (D1) de résistance R et d’un
interrupteur K.
A la date t =0, on met l’interrupteur à la position 1, un courant
électrique passe alors dans le circuit, son intensité i varie au
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cours du temps (figure 2).
1- Montrer que l’équation différentielle que vérifie l’intensité du courant s’écrit sous la forme :
di 1+ i = 0
dt R.C .
2- La solution de cette équation différentielle s’écrit sous la forme -λti(t) = A.e . Déterminer l’expression
de chacune des deux constantes A et λ en fonction des paramètres du circuit.
3- Déterminer la valeur de la résistance R et la capacité C.
4- Nommer les deux régimes 1 et 2.
II) Lorsque la tension aux bornes du condensateur prend la
valeur uC=U0, on place l’interrupteur en position 2 a un
instant choisi comme une nouvelle origine des dates t=0.
La courbe de la figure 3 représente les variations de ln(uC)
en fonction du temps ( uC est exprimée en V).
1- Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension
uc.
2- Sachant que la solution de l’équation différentielle est
de la forme : - t
C 0u (t) = U .e ou α est une constante
positive. Déterminer l’expression α.
3- Trouver la valeur de U0 et celle de R’.
4- Déterminer la date t1 ou l’énergie emmagasinée par le condensateur est égale à 37% de sa valeur à
t=0.
Exercice 6 :
La minuterie d’éclairage est utilisée dans les immeubles pour économiser l’énergie électrique. La
minuterie est un appareil qui permet la commande automatique pour éteindre les lampes des escaliers
et des couloirs après une durée réglable au préalable. Cet exercice vise à étudier le principe de
fonctionnement de la minuterie.
La figure 1 représente une partie d’un
montage simplifié de la minuterie
d’éclairage constitué de :
Générateur idéal de tension de
force électromotrice E.
un interrupteur K.
un condensateur de capacité C
un bouton poussoir P qui joue le
rôle d’un interrupteur
un composant électronique qui permet d’allumer la lampe L tant que la tension uC aux bornes du
condensateur est inférieure ou égale à une tension limite US.
On admet que l’intensité du courant électrique à l’entrée du composant électronique reste nulle à tout
instant.
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I- Étude du dipôle RC :
A l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur K et on laisse le bouton P ouvert , et le condensateur se charge
à l’aide du générateur .On visualise la tension uC aux bornes du condensateur à l’aide d’une interface
informatique.
1- Montrer que la tension uC vérifie l’équation différentielle suivante : C
c
duu + RC. = E
dt.
2- Déterminer les expressions de A et pour que
l’équation horaire
t-τ
cu (t) = A.(1-e ) soit
une solution de cette équation différentielle.
3- Montrer que la constante est homogène à un temps.
4- La figure 2 représente la variation de la tension uC(t).
Déterminer graphiquement les valeurs de A et τ , et
en déduire la résistance R sachant que la capacité du
condensateur est C = 220 μF.
II- Détermination de la durée de fonctionnement :
La durée nécessaire à un habitant de l’immeuble au seuil de son appartement est ∆t = 80 s .
1- Soit t S l’instant où la tension uC prend la valeur US , déterminer l’expression de tS en fonction
de E , τ et US .
2- Sachant que US 15 V , montrer que la lampe L s’éteint avant que l’habitant atteigne son
appartement .
3- Calculer la valeur limite RS de la résistance du conducteur ohmique qui permettra à l’habitant
d’atteindre son appartement avant que la lampe ne s’éteigne (C, E et US restent constants).
Exercice 7 :
Les chaines électroniques HiFi contiennent des bobines et des condensateurs, cet exercice vise à
déterminer la capacité d’un condensateur.
On réalise un montage qui permet de charger un condensateur par un
générateur de force électromotrice E et décharger dans un conducteur
ohmique de résistance R=2KΩ.Reproduire le montage expérimental.
1- Montrer que l’équation différentielle vérifier par la tension
uC(t), s’écrit sous la forme : Cc
duu + . = 0
dtτ ; en précisant
l’expression de τ.
2- Par analyse dimensionnelle montrer que τ est un temps.
3- Vérifie que l’équation uC(t)=E.e-t/τ
est une solution de l’équation différentielle. 4- Un programme approprié permet de tracer ln(uC)=f(t).
a. Montrer que : 1
cln(u ) = - .t + ln(E)τ
.
b. Déterminer les valeurs de E et τ.
c. Déduire la valeur de la capacité C.
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