Mécanique des fluides1ère partie

Olivier LOUISNARD

Centre Poudres et ProcédésBureau 1C6 – tel 30 62

Email : louisnar@enstimac.fr

Plan du cours

C1 Généralités. Définitions. Forces sur un fluide 1 - 4C2 Hydrostatique 4C3 Equations de conservation 2 et 3C4 Mouvement d’un fluide 5

Cas du fluide parfait incompressible 6C5 Forces exercées par un fluide sur une structure 3 et 5C6 Pertes et gains de charge. Pompes et turbines 6

Séance decours

Chapitrepoly

Cours connexes

PrérequisAnalyse vectorielleMécaniqueThermodynamique

En parallèlePhénomènes de transfertsThermodynamique et procédésMécanique des milieux continus

SuiteMécanique des fluides 2ème partieTransferts convectifs(Option énergétique)

Prérequis

Mécanique

Thermodynamique

Mathématiques

€

g dSS

∫∫ , g dVV

∫∫∫ ,∂

∂x,

∂

∂y, Δ, grad, rot, div

€

F∑ =dP

dtLoi de la dynamique

€

Δ U + K( ) = W + Q Premier principe (= conservation de l’énergie)

Qu’est-ce qu’un fluide ?

• pas de forme propre• s’écoule si on lui applique une force• prend la forme du récipient

Limite solide / fluide parfois floue :

• dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes)

• états semi-ordonnés (ou « indécis »)(liquides vitreux, cristaux liquides, colloides)

• dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)

Les molécules interagissent (peu pour les gaz)Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres.Pas d’ordre comme dans un solide (ou peu)

Quelques fluides

Monophasiqueseau, air, huile, métaux fondus

Multiphasiques• aérosols (brouillard)• émulsions (lait, vinaigrette, anisette...)• suspensions (pâtes, boues)• liquides à bulles (surface de l’océan, fluides de refroidissement)

« Complexes »• magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques)• polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...)• milieux granulaires (sable, poudres)

Ferrofluides

Lait Liquide à bulles

Cristaux liquides

Description d’un fluide

Macroscopique : celle qui nous intéresse• à notre échelle• milieu continu (?)

Microscopique• atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres• Liquide = fort encombrement / interactions forte• Gaz = faible encombrement / interaction faible

On cherche à représenter ce que l’on voit :description macroscopique

Analogie

Echelle macro(la notre)

Méso

Echelle micro€

ρ x( ) =N i∑

ε=

dN

dx

€

ρ x( )

€

x

€

ε =dx

Echelle mésoscopique

€

ε =dV

(x,y,z)

Hypothèse de milieu continu

Echelle macroscopique€

V

Echelle microscopique

€

mi

€

vi

Masse volumique (kg/m3)

€

ρ x,y,z, t( ) =mi∑

ε=

dM

dVChamp de vitesses

€

v x, y,z, t( ) =mivi∑mi∑

=dP

ρ dV

ρ et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, zPas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)

€

ε =dV(x,y,z)

Masse volumique ρx,y,z kg/m3)

mi

Vitesse vx,y,z

Comment définir une densité ρ et une vitesse v variant continument / x,y,z ?

Grandeurs volumiques

Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)

grandeurs globales

€

M(t), P(t), K(t),U t( )grandeurs locales

€

ρ x, y,z, t( ), v x,y,z, t( ), u x,y,z, t( )

€

dV

€

V

G(t) grandeur extensive contenue dans V

€

g(x,y,z, t) =dG

dVOn définit : soit

€

G t( ) = g dVV

∫∫∫ g grandeur volumique (G/m3)

Masse de fluide dans V

€

M t( ) = ρ dVV

∫∫∫Quantité de mouvement de V

€

P t( ) = ρv dVV

∫∫∫Energie cinétique de V

€

K t( ) = 12 ρv 2 dV

V

∫∫∫Energie interne de V

€

U t( ) = ρu dVV

∫∫∫

Masse volumique

ρx,y,z en kg/m3

En général différente d’un point à un autre

Varie avec la température (même pour un liquide)Varie avec la pression (peu pour un liquide)

Eau 1000 kg/m3

Mercure 13000 kg/m3

Air 1.3 kg /m3

Une approximation bien utile : le fluide incompressibleρ = ρ constant par rapport à t et x,y,zConditions de validité : plus tard

Masse de fluide dans V

€

M t( ) = ρ dVV

∫∫∫ = ρV

Forces exercées sur un fluide

€

dV

€

V

€

dS

€

S

Forces volumiquesexercées sur chaque élément de volume dV(poids, forces d’inertie, magnétiques, ...)

Forces surfaciques ou « de contact »exercées sur chaque élément de surface dS(pression, frottement visqueux)

Forces de pression: approche intuitive

S

Fp1

Fp2

• Fp = Fp1+ Fp2

• Fp1 et Fp2 orthogonales à S1, S2

• Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de VS2

S1

h

Liquide en équilibre mécanique

P=mg

Equilibre: Fp + mg = 0• Fp vers le haut•

Fp

€

Fp = mg = ρVg = ρhSg

donc Fp proportionnelle à S n1

n2

• on écrit

Fp1= -p1 n1S1

Fp2= -p2 n2S2

Origine microscopiqueGaz Liquide

Forces de répulsion de Van der Waals

Système subissant la pression

Echange de quantité de mouvement avec les molécules

Fpn

dS

n

dS

Fp= - p n dS

V

S

Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S

Force de pression

dFp= -p n dS

€

∫∫Sfermée

n dS = 0,Remarque importante : en vertu du théorème de la normale

on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p :

€

∫∫S

Fp = -(p-p0).n dS

€

∫∫S

dFpFp =

ndS

ndS

découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n

Fp =

€

∫∫S

-p.n dS

A retenir

Forces volumiques

Poids :

€

∫∫∫V

P = ρg dVV

€

∫∫∫V

Fie+Fic = -ρ(ae+ac) dV

Forces électromagnétiques :(pour info : plasmas, magma, ferrofluides)

Obtenues de la même façon.Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique)

somme des poids élémentaires dm.g = ρdVg de toutes les particules fluides dV

dV

ρgdVForces d’inertie :

(en référentiel nongaliléen)

somme des forces d’inertie élémentaires -dm.(ae+ac) = -ρdV.(ae+ac) de toutes les particules fluides dV

-ρdV.(ae+ac)

Attention !a priori ρx,y,z)

Hydrostatique : équation globale

Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non)

Equilibre entre :

V

S dS

n

Forces volumiques

€

∫∫∫V

P = ρg dV

P

Forces de pression

Fp =

€

∫∫S

-p.n dS

Fp

€

∫∫S

-p.n dS +

€

∫∫∫V

ρg dV = 0 A retenirFp+ P = 0

Hydrostatique : équation globale

• La résultante des forces de pression est toujours dirigée vers le hautc’est la poussée d’Archimède !

• Equation peu pratique pour calculer le champ de pressionIl faut la réécrire sous forme « locale » = exprimée en tout pointgrâce à des opérateurs d’analyse vectorielle.

Hydrostatique :équation locale

€

∫∫S

-p.n dS +

V

€

∫∫∫ρg dV = 0

€

∫∫∫ρg dV = 0, vrai quel que soit V

€

∫∫∫-grad p dV +

V

Donc :

V

grad p = ρg A retenirL’intégrande doit être nul, soit€

∫∫S

-p.n dS =

€

∫∫∫-grad p dV

V

Or (formule de Green):

Hydrostatique :équation locale

grad p = ρg

• Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos

• Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air

• Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g

• La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g(c’est le problème du plongeur)

• La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)

Hydrostatique en référentiel non galiléen

Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R

• une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal)• miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial)• expériences en gravité 0 (ae = g)

Fp+ P + Fie= 0

Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement La force de Coriolis est nulle car le fluide est immobile

€

∫∫S

-p.n dS + ρg - ae)dV = 0

€

∫∫∫V

Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g ae

€

∫∫∫V

Fie ρae dV Fic

Hydrostatique en référentiel non galiléen

Sous forme locale : grad p = ρ g ae)

Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à gae

€

∫∫S

-p.n dS + ρg ae) dV = 0

€

∫∫∫V

Sous forme globale :

Fluideimmobile

VS

Corpsétranger

Force d’Archimède

• Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression.• On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide• Solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...

Fp= ?

Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi.L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= ρfluideVg

Fluideimmobile

VS

Fluideen équilibre

On remplace par du fluide Fp

ρfluideVg

VS

Corpsétranger

Force d’Archimède

Fp= ρfluideVg

Pcorps= ρcorpsVg

Pcorps+ Fp = (ρcorpsρfluide)Vg ≠ Le corps n’est pas en équilibre :• ρcorps ρfluide : il descend• ρcorps ρfluide : il monte

V

Le corps est pourtant plus dense ρcorps > ρfluide

Bateau en alu

V

Le corps est moins denseρfluide> ρcorps

Iceberg

Force d’Archimède

On peut généraliser le raisonnement au cas où un objet partiellement immergé.

On retiendra : Fp= ρfluideVimmergé g

Dans ce cas l’équilibre est possible :

Vimmergé

Vimmergé < Vcorps

Vimmergé

mais Vcorps < Vimmergé

Pcorps+ Fp = (ρcorpsVcorpsρfluideVimmergé ) g = 0

On définit la densité d’un corps

d = ρcorps/ ρeau si solide ou liquide

d = ρcorps / ρair(20°C,1 atm) si gaz

Densité

Moment des forces de pression

V

S

A

dSn

M

ndS

M

Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.

dFp= pn dS

€

∫∫S

MA(Fp) = AM dFp

AM

Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp

€

∫∫S

MA(Fp) = AM pn dSsoit

En particulier, on peut définir le centre de poussée C sur le volume VC’est le point C tel que MC(Fp) = 0

Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p :

€

∫∫S

MA(Fp) = AM (p-p0) n dS

Rappel sur les unités

Masse volumique ρ, unité SI : kg / m3

Pression p :

• unité SI : N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal)• 1 bar = 100 kPa• 1 torr = 1 mm Hg•.1 psi = 1 pound / square inch

Pression atmosphérique :

1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi

Exercices d’applicationde l’hydrostatique

• Intégration de l’équation de l’hydrostatique

- dans un liquide incompressible- dans l’atmosphère- dans en liquide en référentiel non galiléen

• Mesure de la densité avec un tube en U

• Force de pression et moment sur une paroi de bassin

Principes de conservation

La nature conserve plusieurs grandeurs :

• la masse• la quantité de mouvement• l’énergie

« Rien ne se perd, rien ne se crée » 

Bilan d’une grandeur G dans un volume V

V

Principe de conservation

€

dG

dt=

G =

Habitants d’un paysDe l’argentMasseQuantité de mouvementEnergieCharge électrique

Flux entrant de G

e(t)

Production de G

+ R+(t)

Flux sortant de G

- s(t)

Destruction de G

- R-(t)

Bilans pour un fluideSystème = Volume de fluide V FIXE

On veut calculer

V

S

Se

Ss

= Se + Ss

€

e t( )

quantité de G qui entre dans V par sa frontière Se

= FLUX

quantité de G qui sort de V

par sa frontière Ss

€

− s t( )

Comment G(t) varie ?

• limité par S • contenant une certaine quantité G• traversé par du fluide transportant G

€

G t( ) = g dVV

∫∫∫Rappel :

Deux sortes de flux

Flux = mouvement d’une grandeur à travers une surface• convectif = transporté par le fluide (à cause de v)• diffusif = causé par un gradient

Diffusif(du chaud vers le froid)

Convectif(forcé par le mouvement du fluide)

Exemple pour un flux d’énergie :

vdt

Pendant dt, le fluide balayeun petit volume d2V

d2V

Flux convectif

V

S

dSn

SeSs

= Se + Ss

v

dS

n

d2V = dS vdt cos = v.n dS dt

v

Quantité d2G passant par dSpendant dt ?

d2G = quantité de G dans ce volume= gd2V = g v.n dS dt

Par Ss tout entier il sort donc pendant dt

€

∫∫Ss

g v.n dS dGs = dt

Par Se tout entier il rentre donc pendant dt

€

∫∫Se

g v.n dS dGe = - dt

v

n

Flux convectif (suite)

Pendant dt, la variation de G dans V est donc :

dG = dGe - dGs -

-

V

S

dSn

SeSs

= Se + Ss

v

vn €

∫∫S

g v.n dS = - dt

La contribution du mouvement du fluide à la variation de G est donc :

€

dG

dt

€

∫∫S

g v.n dS = -

€

∫∫Se

g v.n dS = - dt

Ce qui rentre

v.n < 0

v.n > 0

Ce qui sort

€

∫∫Ss

g v.n dS dt

Bilan pour un fluide

Le bilan de G dans un volume V est donc:

V

S

dSn

v

vn

€

d

dt=

d

dtG

€

∫∫∫g dV

V

€

∫∫S

g v.n dS = -

e(t) - s(t)

+ flux diffusifs + création - disparition

+ R+(t) - R-(t)

VTube de courant :

Bilans sur un tube de courant

Objectif : avoir des équations plus simples sans ni

€

∫∫S

€

∫∫∫V

Le prix à payer : faire des hypothèses simplificatrices

S = Se + Ss + Slat

Ss

nv.n > 0

v

Sen

v.n < 0 v

v

v

v

vv

€

∫∫S

g v.n dS =

€

∫∫Se

g v.n dS +

€

∫∫Ss

g v.n dS +

€

∫∫Slat

g v.n dS

Slat

Slat

v.n = 0n

Hypothèsessupplémentaires ?

Bilan sur un tube de courant

Hypothèse : g uniforme sur Se et Ss (justifié pour des écoulements en conduite)

= ge

€

∫∫Se

g v.n dS

€

∫∫Se

v.n dS = - geveSe = gs

€

∫∫Ss

g v.n dS

€

∫∫Ss

v.n dS = + gsvsSs

V

Slat

Slat

Le bilan sur la grandeur g devient :

€

d

dtG

= geveSe - gsvsSs +

€

R+ t( ) − R− t( )

Ss

vsSs =

€

∫∫Ss

v.n dS

n v.n > 0v

v

vSe

veSe = -

€

∫∫Se

v.n dS

n

v.n < 0

vvv

On définit les vitesses moyennes > 0 ve et vs en entrée et en sortie :

Approximation écoulement piston

Justification tube de courant

Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent

vS =

€

∫∫S

v.n dS

On définit une vitesse moyenne v sur la section, par :

Récapitulatif : bilan de G

Dans un volume V :

V

S

dSn

v

vn

Sur un tube de courant :

€

d

dtG

= geveSe - gsvsSs +

€

R+ t( ) − R− t( )

€

d

dt=

d

dtG

€

∫∫∫g dV

V

€

∫∫S

g v.n dS + = -

€

R+ t( ) − R− t( )

Vn

vv

nv SsSe

v

vv

Bilan de matière

• G = M masse• g = ρmasse volumique• R+ - R- = 0 ni production, ni destruction,

ni flux diffusifs (pour un fluide homogène)

€ M

€

∫∫S

ρ v.n dS = -

€

d

dt=

d

dt

€

∫∫∫ρ dV

V

Général :

€

d

dtM

ρeveSe - ρsvsSs

Me Ms

Tube decourant : M = ρvS débit massique

(noté aussi q)

Conservation de la quantité de mouvement

Choc

P1=m1v1

P2=m2v2

P’1=m1v’1

P’2=m2v’2

P1+ P2 = P’1+ P’2

P’2 P2 = P’1 P1 = F 1/2 Δt

Variation de QDM de 2 :

Echange de QDM <=> force :

ΔP2 = F 1/2 Δt

Une force « produit » de la quantité de mouvement.

€

dP

dt= F

Bilan de quantité de mouvement

• G = P quantité de mouvement• g = ρvdensité de quantité de mouvement• R+ - R- = Fext loi de la dynamique

€

∫∫S

ρv (v.n) dS = -

€

d

dt=

d

dtP

€

∫∫∫ρv dV

V

€

+ Fext∑

Tube decourant :

€

d

dt ρeve(veSe) - ρsvs (vsSs)

Meve Msvs

P

€

+ Fext∑ Equations vectorielles

Conservation de l ’énergie

Pour un système fermé (qui n’échange pas de matière) :

U1, K1 U2, K2

Q

W

Δ(U+K) = (U2+K2) (U1+K1) = W + QJoule

€

d U + K( )dt

= ˙ W + ˙ Q

Pendant un temps dt :

€

Q = ˙ Q dt

W = ˙ W dt

€

˙ Q , ˙ W puissances (en Watt)

Bilan d’énergie

• G = U+K énergie interne + cinétique• g = ρ u + v2/2)densité d’énergie interne + cinétique

€

∫∫S

ρ u + v2/2) (v.n) dS = -

€

d

dt=

d

dt(U+K)

ρ u + v2/2) dV

€

∫∫∫V

€

+ ˙ W + ˙ Q

€

˙ Q Le calcul de relève du cours de transfert thermique

Tube decourant :

ρe (ue + ve2/2) (veSe) - ρe (us + vs

2/2) (vsSs)

Me (ue + ve2/2) Ms (us + vs

2/2)

€

d

dt(U+K)

€

+ ˙ W + ˙ Q

• R+ - R- = premier principe de la thermo

€

˙ W + ˙ Q

Poids :

€

∫∫∫V

ρg dV

€

∫∫S

-pn dS Pression :

Frottement visqueux : frottement fluide / fluideadhérence fluide aux solidesdissipation d’énergie

Forces extérieures

h

y

x

Viscosité : expérience de Couette

U0

v

t1 0

v

t2 > t1

v

t

Constatations expérimentales :

• vx = U0 sur la plaque supérieure• vx = 0 sur la plaque inférieure

Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide = viscosité dynamique

Ffluide / plaque

€

SU0

h= S

dvx

dy• Ffluide / plaque avec S surface mouillée

€

vx y( ) = U0

y

h• profil linéaire de vx au bout d’un temps assez grand

Frottement visqueux

vvv

h

V0t1 0 t2 > t1 t v

y

Ffluide / plaque

Conclusions :• le fluide adhère aux parois• les couches de fortes vitesse entraînent celles de faible vitesse

==> frottement entre les couches fluides• la force / u. de surface est proportionnelle au gradient de vitesse• elle s’exerce tangentiellement à la surface• transfert de quantité de mouvement des fortes v vers les faibles v• v varie comme ρh2/ transfert diffusif (idem chaleur)

= / ρ viscosité cinématique en m2/s.

F

Viscosité

• homogène à kg.m-1.s-1 = Pa.s = Pl (Poiseuille)on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo)Eau : 10-3 Pa.s = 1 cPoAir : 1.85 10-5 Pa.s

• augmente avec T pour un gazindépendant de p pour un gazdiminue avec T pour un liquide (cf. huile dans poële)augmente avec p pour un liquide

Contrainte visqueuse

Contrainte = force / u. de surface

V

S

dS n

n dS

Question : peut-on exprimer v en fonction de n ?

On a donc p = -pnExprimé facilement en fonction de n

x

y

z

ex

v

dFv= v dS

v = force visqueuse / u. de surface

dFp= -pn dS

p = force de pression / u. de surface

€

vv = = . n

€

xx σ xy σ xz

σ yx σ yy σ yz

σ zx σ zy σ zz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥.

nx

ny

nz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Oui sous forme tensorielle xx

yx

zx

On montrera (MDF II):

€

v = η grad v +Tgrad v

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ Pour les fluides

dits « newtonien »

€

∫∫S

ρv (v.n) dS + = -

QDM transportéepar le fluide

rentrant - sortant

€

d

dt

€

∫∫∫ρv dV

VVariation de QDM

du fluidedans le volume V

€

∫∫∫V

ρg dV

Poids

€

∫∫S

-pn dS +

Pression

€

∫∫S

n dS

€

v

Frottementvisqueux

Bilan de quantité de mouvement

Equations locales

Objectif : remplacer le bilan sur un volume V par des relations différentielles valables en chaque point du fluide

Moyens :

• théorèmes

• passage à la limite V 0

€

∫∫S

€

∫∫∫V

Intérêt : • calcul analytique ou numérique de solutions d’écoulement

€

∂ ρ u + v 2 /2( )[ ]

∂t+ div u + v 2 /2( )ρv[ ] = ρg.v − div pv( )+ div σ v .v( )Energie

Les équations locales

Système complet ? 1 équation vectorielle 2 équations scalaires

1 inconnue vectorielle3 inconnues scalaires

€

ρ p u

€

v

€

ρ masse volumique

Il manque une équation d’état :

€

u p,T( ) ρ p,T( )

€

∂ρ∂t

+ div ρv( ) = 0Massepression

€

p

énergie interne

€

uvitesse

€

v

€

∂ ρv( )∂t

+ div ρv⊗ v( ) = ρg − grad p + div σ v( )QDM

+ 2 équations scalaires

€

T+ 1 inconnue scalaire

Quelques équations d’état

€

ρ =Mp

RT, u = cvTGaz parfait : (compresseurs, turbines à gaz)

GP isotherme :

€

p

ρ= Cte, u = Cte

(rare)

GP isentropique :

€

p

ρ γ= Cte, u =

M

γ −1

p

ρ(acoustique, ondes de chocs,écoulements gazeux en général)

Liquide compressible :

€

p = f ρ( ), u = C te(explosions sous-marines,écoulements liquides supersoniques, rare)

Fluide incompressible :

€

ρ =ρ0, u = Cte(hydraulique, presque tousles écoulements liquide + écoulements gaz faible Mach)

BAROTROPESEquation de l’énergie

découplée de M et QDM

= a accélération du fluide

€

v⊗ v =

vxvx vyvx vzvx

vxvy vyvy vzvy

vxvz vyvz vzvz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Autres écritures

€

ρ ∂v

∂t+ v.∇( )v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∂ ρv( )∂t

+ div ρv⊗ v( ) s’écrit aussi

€

ρ ∂v

∂t+ gradv 2 /2 + rot v∧v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ou encore

€

v.∇( )v = vx

∂

∂x+ vy

∂

∂y+ vz

∂

∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

vx

vy

vz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Bilan matière pour unfluide incompressible

ρ( x, y, z, t) = ρ

Général

€

∫∫S

v.n dS = 0

Tube de courant veSe = vsSs

Ve Vs

Equation locale

€

divv = 0V = vS débit volumique

(noté aussi Q)

V

S

dSn

Se Ss

= Se + Ss

v

vn

Ce qui rentre = Ce qui sortAccumulation de masse impossible

Validité fluide incompressible

Correct si :

c vitesse du son dans le fluide

€

v << c Ma << 1( )

€

c 2 =∂p

∂ρ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟s

déduite de l’équation d’état

Exemple pour un gaz parfait:

€

c = γR

MT = 340 m/S à 298 K

• Validité indépendante du caractère gazeux ou liquide• Inutilisable si Ma > 0,3• Inutilisable pour rendre compte de certains phénomènes (acoustique, chocs)• En pratique presque toujours valable dans les liquides

Ma = nombre de Mach

Modèle de fluide parfait

• mouvement non dissipatif

• conservation de l’énergie mécanique

• pas d’adhérence aux parois solides

• pas de création de « rotationnel »

• ouvre de nombreuses simplifications mathématiques

Permet de négliger les frottements visqueux

• du freinage visqueux d’un corps ou d’un fluide (voiture économique !)

• de l’amortissement des ondes (vagues, acoustiques, ...)

Limitations évidentes. Ne rend pas compte :

Validité ?

= Forces d’inertie du fluide

Forces visqueuses

Temps de transport de QDM par diffusion

Temps de transport de QDM par convection=

= Energie cinétique du fluide

Energie dissipée par frottement

€

Re =ρLV

η

Nombre de Reynolds

A retenir !

€

∫∫S

ρv (v.n) dS

€

∫∫S

n dS

€

v

=

Conservation QDM

Classification des écoulements

Permet de classer les régimes d’écoulement

Ecoulementrampant

ou « de Stokes »

€

Re <<1

Effets visqueux

sensibles dans tout

l’écoulement

≠ fluide parfait !

Ecoulementturbulent

€

Re >>>>1

Mouvement désordonné

1 100 - 1000Re

Ecoulementlaminaire

€

Re >>1

Filets fluidesparallèles

Ecoulement rampant (ou de Stokes)

• Re << 1 (inertie négligeable devant frottements visqueux)

• Effets visqueux sensibles dans tout l’écoulement

•Equations linéaires => plusieurs solutions analytiques pratiques(suspensions, milieux poreux)

• Réversible

Ecoulement rampant

Re = 1,5

Ecoulement laminaire

Re = 26

Ecoulement laminaire

Transition laminaire-turbulent

Expérience de ReynoldsC’est Reynolds

Transition laminaire-turbulent

Re = 200

Ecoulement turbulent

Re = 8000

Turbulence

Déstabilisation de l’écoulementEcoulement moyen + fluctuations de vitesse Fluctuations isotropes au coeur de l’écoulementTourbillons d’échelles variéesTransfert d’énergie des grandes échelles vers les petitesLa plus petite échelle (dite de « Kolmogorov ») dissipe l’énergiePresque tous les écoulements industrielsLes transferts massiques / thermiques sont plus efficacesIl existe des modèles numériques (k-ε utiles pour l’ingénieur

MAIS reste encore un problème physique ouvert ...

ALORS QUE • échelle de l’homme• équations de la mécanique classique !

Turbulence

« Je suis maintenant un vieil homme. Quand je mourrai, et irai auparadis, j’espère qu’on pourra m’éclairer sur 2 disciplines :

l’électrodynamique quantique, et la turbulence des fluides.

Pour la première, je suis plutôt optimiste ... »

Horace LAMB, physicien, 1932

Ecoulement externe : couche limite

• Dissipation visqueuse : seulement dans la couche limite• Vitesse fluide parfait : seulement dans la couche limite

Fluide parfait utilisable • si on « néglige » la couche limite• si on ne s’intéresse pas à la force de frottement

U0

Plaque solide

Couche limite

Ecoulement fluide parfait

x

€

δ x( ) =x

ρxU0

η

=x

Rex

U0

Même conclusion sicouche limite turbulente

€

Re =ρxU0

η

Couches limites et sillages

Ecoulements interne

Approximation écoulement piston

Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent

Fluide parfait utilisable • si on moyenne le profil de vitesse• si on ne s’intéresse pas aux pertes de charges

Validité fluide parfait

• Ecoulements externes :

Si Re >> 1, valable à l’extérieur de la couche limite (qui est petite)Mais ne rend pas compte de certains phénomènes (trainée)Si Re << 1, à traiter par théorie écoulements rampants

• Ecoulements en conduite :

Fluide parfait applicable (Bernoulli) pour tout ReAvec correction pour pertes de charges

Conservation QDM en fluide parfait

€

ρ ∂v

∂t+ v.∇( )v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= ρg − grad p

€

∫∫S

ρv (v.n) dS + = -

QDM transportéepar le fluide

rentrant - sortant

€

d

dt

€

∫∫∫ρv dV

VVariation de QDM

du fluidedans le volume V

€

∫∫∫V

ρg dV

Poids

€

∫∫S

-pn dS

Pression

Sous forme locale :

Sous forme globale :

Masse

Fluide parfait incompressible

ρ( x, y, z, t) = ρ v=

Equations locales :

€

divv = 0

€

ρ0

∂v

∂t+ gradv 2 /2 + rot v∧v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= ρ 0g − grad pQDM

Une grande simplification est possible :

Loi de Bernoulli

Conditions aux limites

Quelles relations doit-on écrire aux frontières du domaines :

• parois solides• interface avec autre fluide• entrée d’un écoulement (typiquement d’un tuyau)• sortie d’un écoulement (idem)• infiniment loin en amont d’un obstacle

Conditions aux limites

• Paroi solide : normalement v = 0

ATTENTION : en fluide parfait, glissement autoriséon impose seulement : v.n = 0

vn

• Sortie écoulement : p imposé (souvent = patm) et v // n

• Infini amont : écoulement parallèle v = V0

V0

Loi de Bernoulli

v

On suppose régime permanent =>

€

∂v

∂t= 0

On projette la conservation QDM sur la ligne de courant

ρ ( grad v2/2 + rot v v) . dM = (ρg grad p) . dM

De plus, on peut écrire g = grad (gz)

grad (ρ v2/2 + p + ρgz) . dM = 0

1

2

ρ v12/2 + p1 + ρgz1 = ρ v2

2/2 + p2 + ρgz2

Ligne de courant : v // dM

v v

vM

dM

=> (rot v v) . dM = (v dM) . rot v = 0

Loi de Bernoulli

Sous les hypothèses :• Fluide parfait• Fluide incompressible• Régime permanent

La quantité p + ρv2/2 + ρgz est constante le long d’une ligne de courant

Energie potentielle de pression

Energie cinétique Energie potentiellede pesanteur

Conservation de l’énergie mécanique

Il existe une version en compressible

Peut être généralisé en instationnaire dans quelques cas rares (cf. TD)

Deuxième loi de Bernoulli

ρ ( + grad v2/2 + rot v v) = (ρg grad p)

De plus, on peut écrire g = grad (gz)

Applicable aux écoulements irrotationnels rot v = 0 => v = grad

On suppose régime permanent =>

€

∂ gradφ

∂t

grad ( + ρ v2/2 + p + ρgz) = 0 dans tout l’écoulement !

€

∂φ∂t

v v

vM

dM

€

v.∇( )v =

vx

vy

vz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥.

∂∂x

∂∂y

∂∂z

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

vx

vy

vz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= vx

∂

∂x+ vy

∂

∂y+ vz

∂

∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

vx

vy

vz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Masse

« Par unité de temps, il sort autant de matière qu’il en rentre »