M2 MN91Zhi-Qiang FENGUFR Science et TechnologiesUniversit dEvry Val dEssonneMcanique non linaire TABLES DES MATIERES INTRODUCTION Chapitre 1 : CONCEPTS ELEMENTAIRES1.1 Principales proprits des matriaux 1.2 Connaissance et utilisation des matriaux1.3 Les grandes classes de matriaux 1.4 Mthodes exprimentale - types d'essais1.5 Les grandes classes de comportement 1.6 Formulation des lois de comportement1.7 Choix des lois de comportement1.8 Comportement viscolastique1.9 Viscolasticit linaire 1.10 Modles rhologiques viscoplastiques Chapitre 2 : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE 1D 2.1 Plasticit uniaxiale2.1.1 Modle rhologique patin-ressort2.1.2 Modle de Prager Ecrouissage cinmatique 2.1.3 criture gnrale des quations de l'lastoplasticit uniaxiale2.1.4 Modle de Taylor Ecrouissage isotrope 2.2 Viscoplasticit uniaxiale2.3 Quelques modles classiques en viscoplasticit 1 Chapitre 3 : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE 3D3.1 Critres de plasticit 3.1.1 Exemple d'un treillis mtallique3.1.2 Les outils disponibles3.1.3 Critres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique3.1.4 Critres faisant intervenir la pression hydrostatique3.1.5 Critres anisotropes3.2 Cadre gnral de la formulation des lois de comportement 3.2.1 Dcomposition de la dformation3.2.2 Critres3.2.3 Lois dcoulement3.2.4 Lois dcrouissage3.3 Formulation des lois de comportement viscoplastique 3.3.1 Ecriture gnrale 3.3.2 Exemple : Modle de Norton gnralis (loi dOdqvist) 3.3.3 De la viscoplasticit la plasticit 3.4 Formulation des lois de comportement plastique 3.4.1 Formulation gnrale 2.4.2 Principe du travail maximal3.5 Directions dcoulement associes aux critres courants3.5.1 Critre de von Mises3.5.2 Critre de Tresca3.5.3 Critre de Drcker-Prager3.6 Quelques lois particulires en plasticit 3.6.1 Lois de Prandtl-Reuss 3.6.2 Lois de Prager 3.6.3 Ecoulement vitesse de dformation totale impose REFERENCES 2 Chapitre 4 : MODELISATION EN PETITES ET GRANDES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4.1 Introduction 4.2 Modles de petites dformations lastoplastiques 4.2.1 Petites dformations lastoplastiques 4.2.2 Calcul du multiplicateur plastique thorique4.2.3 Calcul de la matrice tangente thorique4.2.4 Intgration des lois de comportement 4.2.4.1 Calcul de 4.2.4.2Calcul de la matrice tangente consistante 4.2.5 Programmation en C++4.3 Modles de grandes dformations lastoplastiques 4.3.1 Description des grandes transformations 4.3.2 Intgration des lois de comportement en grandes transformations 4.4 Exemples numriques REFERENCES Chapitre 5 : MODELISATION DE LA MISE EN FORME DES MATERIAUX EN GRANDES DEFORMATIONS RIGIDE-VISCOPLASTIQUES 5.1Introduction 5.2Hypothses et loi de comportement 5.3Principe variationnel 5.4Discrtisation et formulation des lments finis 5.5Applications numriques 5.5.1 Forgeage d'un lopin axisymtrique 5.5.2 Forgeage d'un disque axisymtrique 5.6 Approche analytique relative au forgeage d'un lopin axisymtrique 5.7 Conclusion REFERENCES 3 Chapitre 6 : MODELISATION DES PROBLEMES DE CONTACT AVEC FROTTEMENT 6.1Introduction 6.2Lois de contact et de frottement 6.3Algorithme local 6.4Algorithme global 6.5Exemples numriques6.6Conclusion REFERENCES Chapitre 7 : MODELISATION DES GRANDES DEFORMATIONS HYPERELASTIQUES 7.1Introduction 7.2Cas dtude : Cube en compression dans un container rigide 7.3Travaux Pratiques sur ANSYS 7.4Publications 4 5Chapitre 1 : CONCEPTS ELEMENTAIRES1.1Principales proprits des matriauxOndistingueplusieurstypesdepropritsdesmatriauxselonleurutilisation.Danslecasdudveloppementdesordinateurs,cesontessentiellementlespropritsphysiquesquisontencause.Danslecasdudveloppementdesmoteursdavions,cesontlespropritsmcaniquesetchimiquesquisontdterminantes.Lesprincipalespropritsdesmatriauxseregroupent donc en :Proprits mcaniques- modules d'lasticit, - limite d'lasticit, crouissage, ductilit. - viscosit, vitesse de fluage, amortissement - charge la rupture, rsistance la fatigue, l'usure, Proprits physiques - conductibilit lectrique, aimantation, - conductibilit thermique, chaleur spcifique, - temprature et chaleur latente de transformation,- nergie de surface, de liaison, - transparence.Proprits chimiques- rsistance la corrosion, l'oxydation, - stabilit, diagrammes d'quilibre.Engnral,lechoixd'unmatriaupouruneapplicationdonneestlaconsquencedepropritsadaptesdansunouplusieursdesdomainesindiqus(parexemplel'aluminiumestparfoisutilisdanslesculassesautomobilesmalgrsafaibletemprature de fusion, en raison de son faible poids et de sa bonne conductibilit thermique).Ilest aussiorient pard'autresconsidrations,cesontlesperformancesdumatriau,aurangdesquellesvontseclasserdeslmentstechnologiquesetconomiques,enmmetempsquedescaractristiquesmoinsfacilementmesurablescommel'aspect(fondamentaldanslebtiment pour les lments de faade, pour les carrosseries automobiles,... ) :disponibilit, reproductibilit, fiabilit, usinabilit, aptitude la mise en forme, soudabilit, absence de nocivit, possibilit de recyclage, cot, aspect, bonne caractrisation. 1.2 Connaissance et utilisation des matriaux La bonne connaissance des matriaux et leur bonne utilisation font intervenir trois domaines d'activit. 1.Ledveloppementdumatriaului-mme(cesecteurtantabsentdanslecasdesgomatriaux).Lsejouentl'volution du matriau, la dcouverte de nouvelles microstructures, qui concourent l'amlioration des performancesintrinsques. 2.Lacaractrisationdespropritsd'emploi.Cepointapourbutd'apporterunemeilleureconnaissanced'unmatriauexistant,(mcanismesphysiquesquiprovoquentouaccompagnentladformation,effetsmcaniquesmacroscopiques), donc de rduire les incertitudes et d'augmenter la fiabilit des modles utiliss. 3.Le travail sur les modles numriques permet d'amliorer la reprsentation des pices, structures ou domaines calculs(paramliorationdesalgorithmes,quiautorisentletraitementdemodlesnumriquesplusimportants,parexemple3D au lieu de 2D). La Mcanique des Matriaux Solides est consacre uniquement l'tude des proprits mcaniques des matriaux (point2). Le point (1) est le domaine des mtallurgistes et des chimistes. Le point (3) est celui de la Mcanique des Structures.1.3 Les grandes classes de matriauxIl est important de souligner que la modlisation numrique par lments finis nont pas une application rduite un seulematriaux, mais que les thories tudis peuvent tre utilises dans des domaines industriels trs divers. Les modles qui serontconsidrs sappliquent aux :mtaux,cramiques, polymres, composites, bois, bton, sols (sableset roches),biomatriaux (os, tissus).1.4 Mthodes exprimentale - types d'essais Ilexistedenombreuxessaisquipermettentdecaractriserlespropritsmcaniquesdesmatriaux.Certainssontnormaliss :AFNOR- Association Franaise de NORmalisationISO - International Standardisation Organisation6ASTM - American Society for Testing and MaterialsEssai d'crouissage : Un essai de traction ( > 0) ou de compression ( < 0) ralis vitesse de dformation constante sur unmatriaureldonnedesrsultatsentermesd'effortsetdedplacement,quel'onchercheensuiteconvertirenunecourbecontrainte - dformation ( en fonction de ). Dans le cas des mtaux et des matriaux composites par exemple, les prouvettessontdescylindresmunisengnraldettesd'amarragefiletesoudesplaquesdesectionrectangulaire.Pourlesroches(etpourlesmtauxengrandesdformations).lesexpriencessontralisessurdescylindres,quisontcomprimsentrelesplateaux d'une presse. Pour le cas de la compression simple, il faut porter une grande attention aux conditions aux limites, enautorisantlemeilleurglissementpossiblesurlesappuis,fautedequoisedveloppentdansl'prouvettedeschampsdecontrainte et de dformation complexes (mise en tonneau de l'chantillon). Les courbes obtenues l'aide de cet essai ont typiquement l'allure indique en Figure 1.1 lorsque le comportement du matriauobserv est indpendant de la vitesse (comportement de plasticit indpendante du temps). Figure 1.1: Schma d'un essai de traction simpleLecomportementfaitapparatreunepartielinaire(lasticit)suivied'unepartienonlinaire,aucoursdelaquellelapentediminue dans le diagramme dformation-contrainte, au point de devenir ventuellement ngative. Re dsigne la limite d'lasticit ou limite de proportionnalit,R0.2 dsigne la limite d'lasticit conventionnelle, qui correspond une dformation inlastique de 0.2%, Rm dsigne la rsistance la traction, Ah dsigne l'allongement obtenu la contrainte maximale, Ar dsigne l'allongement la rupture. Quoique d'apparence simple, il s'agit en fait d'un essai dont l'interprtation peut devenir dlicat, puisque la diminution de penteobservepeutrecouvrerdesphnomnesphysiquestrsdiffrents,etsurtoutquelepassagedespentesngativesestengnral li au fait que le champ de dformation n'est plus uniforme (phnomne de striction). Lafigure1.2quantellemontrel'alluredescourbesobtenueslorsquelematriautestestsensiblelavitessededformation. Les courbes exprimentales sont situes entre deux courbes thoriques limites correspondant l'une une vitessededformationinfinie(comprendre:grande)etl'autreunevitessenulle(comprendre:faible).Cettedernirecourbeestimportante, puisqu'elle reprsente la rponse du matriau durant les transformations quasi-statiques et dcrit son comportementlongterme.Ils'agitdel'ensembledespoints()reprsentantlestatsparlesquelspasselematriaupendantqueladformation augmente vitesse quasiment nulle (succession d'tats d'quilibre limite). Figure 1.2: Rponse d'un matriau viscoplastique en traction simpleEssai de fluage: (dformation continue sous contrainte constante)Lorsqu'uneprouvetteestsoumiseunetractionsimple(essaimonodimensionnelsousunecontrainteetunedformation), si, partir d'un certain tat, la contrainte est maintenue constante, la dformation restera constante (absence dedformations diffres dans le temps) s'il n'y a aucune viscosit. En fait, dans le cas d'un matriau rel (conu par lhomme ouexistant dj dans la nature), des dformations diffres (phnomne de viscosit) seront alors observes de faon peu prssystmatique, tel point qu'il faut admettre que tous les matriaux rels prsentent ce phnomne de viscosit, pourvu qu'unepriode de temps suffisamment grande soit considre. Ainsi. si une prouvette cylindrique d'une roche saline d'une dizaine de=l/l0=F/SReRmR0.20.2%Ah Ar=07centimtresestsoumiseunepressionaxialed'unedizainedeMPa,pressionmaintenueconstante,etquesahauteurestmesure au bout d'une journe. puis une journe plus tard avec une prcision absolue de 1 mm, alors, temprature ambiante,aucunevariationdelongueurneseradtecte.Ilnefautpasendduirequelesrochessalinestempratureambianteneprsentent pas de viscosit. car, en augmentant la prcision de la mesure ou en attendant plus longtemps (un mois de fluage parexemple), il est possible d'observer des dformations diffres. Essai de relaxation: (diminution des contraintes sous dformation constante)Uneautremaniredecaractriserlaviscositd'unmatriauestdelesoumettreunessaiderelaxation,danslequelladformationdel'prouvetteestmaintenueconstanteaprsuneprdformationinitiale.Pluslecomportementdumatriauprsenteunecomposantevisqueuseimportante,etpluslacontraintechuterapidement,pouratteindreventuellementunevaleur nulle. Cet essai est essentiellement ralis sur les mtaux et les polymres. Essai triaxial. Certains matriaux ne peuvent pas tre tests simplement en traction, en raison de leur trs faible rsistance, oude leur forte sensibilit aux dcentrages des lignes d'amarrage (bton, cramique). Ils sont alors tests en compression, ou enflexion. La compression uniaxiale sur des cylindres a dj t dcrite, mais il est parfois ncessaire d'avoir recours un modedesollicitationolesbordslatrauxsontcontenus(essaitriaxial):l'chantillonestsoumislatralementunepressionhydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matriaux pulvrulents (argiles, sables). Essai de flexion: Il est ralis sur des barrettes, avec 3 ou 4 points d'appuis.Flexion 3 points Flexion 4 pointsFigure 1.3 : Schma dessais de flexionLessaideflexion4pointspermetdebnficierd'unezonecentraledanslaquellelemomentestuniforme.Lessaideflexion est essentiellement utilis avec des matriaux fragiles, dont le comportement sera lastique. La plastification, associeaufaitquelecomportemententractionetencompressionpeuttrediffrent,conduitdesredistributionsdecontraintescomplexes dans l'prouvette, si bien que le dpouillement de l'essai lui-mme ncessite un calcul des structures. Dans un mme ordre d'ide, il existe galement des essais de flexion rotatives dans lesquels une prouvette en rotation,encastre une extrmit, subit un effort perpendiculaire son axe, si bien que les points de la surface extrieure voient leurtat de contrainte passer alternativement de la traction la compressions. Ces essais sont utiliss pour dterminer la limite defatigue, sollicitation en dessous de laquelle le matriau rsistera un chargement rpt. Essaidetorsion :Ralissurprouvettepleine,cetessaiestessentiellementutilishautetempraturepourconnatrel'aptitude la mise en forme des mtaux. L'avantage de ce type dessai est d'viter la striction. Par contre, il est d'interprtationdifficile,danslamesureol'tatdecontrainteetdformationn'estpasuniforme.Ilestpossiblederemdiercedernierinconvnient, en adoptant comme prouvettes des tubes minces. qui peuvent tre instruments localement, l'aide de jauges oud'extensomtres. Essaideduret:Largementemploycommemoyendecontrle,ilmesurelarsistancelapntrationd'indenteursdediverses formes, par exemple une bille d'acier de gros diamtre (10 mm) dans le cas de l'essai Brinel, ou une pyramide diamant base carre, l'angle entre les faces opposes tant de 136 pour l'essai Vickers. Une relation empirique indique que, dans lesaciers doux, la duret Vickers (force/dimension de l'empreinte) est de l'ordre de 3 fois la rsistance la traction. EssaiCharpy:Ilpermetdecaractrisersurunbarreauentailllepassaged'unmodederuptureductile,accompagndedformation inlastique, donc forte nergie, un mode de rupture fragile, prsent plus basse temprature, qui ne met en jeuque des nergies faibles.Essais complexes : Outre les essais de traction-torsion sur tube, il existe dautres moyens de gnrer destats decontraintesmultiaxiales contrls dans des prouvettes. Cest le cas dessais de traction-pression interne sur tube, ou encoredessaissurdes prouvettes cruciformes.1.5 Les grandes classes de comportementL'allure qualitative de la rponse des matriaux quelques essais simples permet de les ranger dans des classes bien dfinies.Cescomportements"debase",quipeuventtrereprsentspardessystmesmcaniqueslmentaires,sontl'lasticit,laplasticit et la viscosit. Les lments les plus courants sont, en Figure.1.4: 8

Figure 1.4: Les "briques de base" pour la reprsentation des comportements1.Leressortquisymbolisel'lasticitlinaireparfaite,pourlaquelleladformationestentirementrversiblelorsd'une dcharge, et o il existe une relation biunivoque entre les paramtres de charge et de dformation (fig.1.4a).2.L'amortisseur,quischmatiselaviscosit,linaire(fig.1.4b)ounon(fig.1.4c).Laviscositestditepures'ilexisteune relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linaire, le modle correspond la loi de Newton. 3.Le patin, qui modlise l'apparition de dformations permanentes lorsque la charge est suffisante (fig.1.4d). Si le seuild'apparition de la dformation permanente n'volue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait.Si, de plus, la dformation avant coulement est nglige, le modle est rigide-parfaitement plastique. Ces lments peuvent tre combins entre eux pour former des modles rhologiques. Ceux-ci reprsentent des systmesmcaniquesquiservent desupport dansla dfinitiondesmodles.Ilnefautenaucuncasleuraccorderuntropgrandcrditpourcequiconcernelareprsentationdesphnomnesphysiquesquisontlabasedesdformations.Larponsedecessystmes peut tre juge dans 3 plans diffrents, qui permettent d'illustrer le comportement lors d'essais de type: -crouissage, ou augmentation monotone de la charge ou de la dformation, (plan ); -fluage, ou maintien de la charge (plan t-) ; -relaxation, ou maintien de la dformation (plan t-). Les rponses de modles classiques sont reportes dans ces 3 plans pour les cas :(a)du solide lastique, = E , (b)du solide viscolastique (modle de Voigt), qui comporte un ressort et un amortisseur en parallle, = + H ,(c)dusolidelastique-parfaitementplastique,(modledeSaint-Venant),constituparunressortlinaireetunpatinensrie; lorsque le module E tend vers l'infini, le modle devient rigide-parfaitement plastique, (d)dusolidelastique-plastiquecrouissable,(modledeSaint-Venantgnralis),quidonneunecourbedetractionlinaire par morceaux, (e)du solide lastique-parfaitement viscoplastique, (modle de Norton), form par un amortisseur non linaire, ou modledeBingham-Norton,quicomporteunressortlinaireensrieavecunamortisseuretunpatinsitusenparallle;lorsqueleseuildupatintendverszro,etquel'amortisseurestchoisilinaire,cederniermodledgnreenunmodle de fluide visqueux, modle de Maxwell, comportant un ressort et un amortisseur en srie,= /E + /,(f)du solide lastique-viscoplastique crouissable, qui reprsente le schma le plus complexe. 1.6 Formulation des lois de comportement Les modles rhologiques qui sont dcrits dans le paragraphe prcdent illustrent les diffrents comportements qui vonttreconsidrsdanslasuiteducours.L'utilisationdquationsdecetypefaitinterveniruncertainnombredhypothsesimplicites.Exceptlecasdellasticit,lensembledesmodlesconsidrsprcdemmentsexprimentsousformediffrentielle, si bien que la rponse actuelle dpend de la sollicitation actuelle et de son histoire (proprit dhrdit). Il y adeux manires de prendre en compte cette histoire, la premire consiste la dcrire par une dpendance fonctionnelle entre lesvariables,lasecondefaitlhypothsequilestpossibledereprsenterleffetdelhistoiredansdesvariablesinternes,qui concentrent les informations importantes quidfinissentltat dumatriau.Sauf quelquescasexceptionnelscommecelui(a)(b)(c)(d)9delaviscolasticitlinaire,lasecondemthodedetravailproduitdesmodlesdontlamodlisationnumriqueestplussimple. Les autres hypothses importantes qui sont classiquement utilises pour lcriture de modles de comportement sont :1.Le principe de ltat local, qui considre que le comportement en un point ne dpend que des variables dfinies en cepoint, et non pas du voisinage ;2.Le principe de simplicit matrielle, qui suppose que seul intervient dans les quations de comportement le premiergradient de la transformation ;3.Leprincipedobjectivit,quitraduitlindpendancedelaloidecomportementvis--visdelobservateur,etquiimplique que le temps ne peut pas intervenir explicitement dans les relations de comportement.Danslecasdesmatriauxhomognesetisotropes,l'ensembledeceshypothsessersumeparuneexpressionentrelescontraintes et les dformations du type :( ) ) ( ) ( tt 0 |p| = H vp vp= yc) vp < 0 |p| = H vp vp= yLe cas (a) correspond lintrieur du domaine dlasticit (|p| < y) ou un tat de dcharge lastique (|p| = yet| p| 0),les deux autres cas de lcoulement (|p| = yet| p| = 0). En posant = max(x,0), les trois cas peuvent se rsumer parune seule expression :x) ( x = signeyvp

ou encore :yvpf avec signef = = x x) ( La nature du modle a maintenant compltement chang, puisque le point reprsentatif de ltat de contrainte courant peut setrouver dans la zone f > 0, et que la vitesse dcoulement est maintenant rgie par le temps : elle peut tre non nulle sans quil yait dincrment de contrainte ou de dformation. Ceci explique quen figure 2.4b la courbe de traction ne soit plus unique (pluslavitesseestgrande,pluslacontrainteseraleve,etpluslacourbedetractionserahaute),etque,lorsdunedcharge,lepoint de fonctionnement ne pntre pas immdiatement dans le domaine dlasticit. On peut donc avoir un coulement positif contrainte dcroissante. Par ailleurs,il est possible de simuler des expriences de fluage ou de relaxation.HypyE16a. Dformation viscoplastique enfonction du tempsEn fluage (Fig.2.5), en supposant quon applique un chelon de contrainte (de 0 0 > y) partir dun tat de rfrence otoutes les dformation sont nulles, le modle prvoit que la dformation viscoplastique est exponentielle en fonction du tempst, avec un temps caractristique tf = /H : = fy 0vptt1HexpLa figure 2.5b montre, dans le plan contrainte-dformation viscoplastique, les volutions respectives de la contrainte interne xet du seuil x + y. Lorsque ce dernier rejoint la contrainte applique 0, la vitesse de dformation viscoplastique sannule.Enrelaxation,larponseunchelondedformation(de00telqueE 0>y)faitcettefoisinterveniruntempscaractristique de relaxation H Etr+=: +++ + = r0fyttE HH EEtt1H EEexp expFigure 2.5: Fluage avec le modle de BinghamLafigure2.6amontreletrajetparcouruparlepointreprsentatifdel'tatdecontrainteaucoursdelarelaxation(pente-Epuisque0 Evp= + / ). La figure 2.6b reprsente quant elle le trajet caractristique au cours d'une exprience d'effacement.En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer aprs dcharge une vitesse d'coulement ngative (point A) ounulle (point B), mais en aucun cas on ne pourra ramener la dformation viscoplastique zro, sauf dans le cas particulier o lacontrainte y est nulle. Il n'y a alors plus de seuil initial, et on conoit bien qu'il n'est plus ncessaire dans ce cas de dfinir unedcomposition de la dformation: on retrouve d'ailleurs le modle de Kelvin-Voigt, donc une approche viscolastique. a. Relaxationb. Effacement (CD)Figure 2.6: Fonctionnement du modle de Bingham dformation impose2.3 Quelques modles classiques en viscoplasticit Dansl'exempleprcdent,lavitessededformationviscoplastiqueestproportionnelleunecertainecontrainteefficace,diffrenceentrelacontrainteappliqueetleseuil,quireprsenteladistanceentrelepointdefonctionnementactueletlafrontiredudomained'lasticit,quin'estriend'autrequelavaleurdelafonctionfaupointdefonctionnementcourant.Larelation linaire peut tre remplace par une forme plus gnrale, en introduisant une fonction de viscosit qui fournit alorsen traction simple :vp = (f)Pourunmodlequicomporteraitlafoisdel'crouissageisotropeetcinmatique,cetterelations'inversesouslaformesuivante, toujours en traction simple: =y + x + R +1( vp) = y + x + R + vb. Evolution dans le plan contrainte-dformation viscoplastiquevpHy 0 txvp0yHvp0y-EHvp0yABCD17Lacourbedetractionestdtermineparl'volutionduseuil,exactementcommedanslecasd'unmodledeplasticit(autraversdexetR),maisgalementparlafonctiondeviscosit,quipilotelavaleurdelacontraintevisqueusev.Pourdesraisons physiques videntes, on considre que (0) = 0, et on suppose galement que est une fonction monotone croissante.Dans le cas o v s'annule, le modle reproduit un comportement plastique indpendant du temps. Par ailleurs, plus la vitessede sollicitation augmente, et plus la contrainte atteinte pour une dformation donne sera leve. Danslecadred'unmodleviscoplastique,iladoncdeuxpossibilitspourintroduiredel'crouissage.Onconservelespossibilitsd'actionsurdesvariablesdetypexetR.etonpeutgalementjouersurlaformedelacontraintevisqueuse.Onappelleclassiquementmodlescrouissageadditifceuxquijouentsurlesvariablesdetypeplasticitetmodlescrouissagemultiplicatifceuxquijouentsurlacontraintevisqueuse,uneapprocheolesdeuxmcanismessontprsentstant bien entendu galement envisageable. Par ailleurs, contrairement au cas de la plasticit, on peut ici considrer un modledanslequelledomained'lasticitserduitl'origine( =0),etquinepossdepasd'crouissage.Ainsilemodlelepluscourant est-il le modle de Norton (avec deux coefficients matriau K et n) : ) ( = signeKnvp

On peut le gnraliser pour en faire un modle seuil sans crouissage, ou rintroduire x et R aux cts de y, ce qui conduit un modle crouissage additif (Chaboche). ) ( ) ( x signeKR xou signeKnyvpnyvp = = Il. v a galement une grande libert pour choisir d'autres formes que la fonction puissance, ainsi un sinus hyperbolique dans lemodle de Sellars et Teggart (loi sans crouissage, coefficients A et K) : ) ( = signeKsh Avp

Pour obtenir des lois crouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction ne dpend pas uniquement de f, ainsi la loide Lemaitre (coefficients matriau K, m et n) : ( ) ) ( = signeKmpnvp

18Chapitre 3 : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE 3D3.1 Critres de plasticitLa description des modles utiliser sous chargement uniaxial a mis en vidence un domaine d'lasticit, dans l'espacedes contraintes et des variables d'crouissage, pour lequel il n'y a pas d'coulement plastique ou viscoplastique. La trace de cedomainesurl'axedelacontrainteselimiteunsegmentdedroite,quipeutsubirunetranslationouuneextension(ilpeutmmeparfoisselimiterunpoint).Parailleurscertainsmodlessontcapablesdereprsenterunecontraintemaximalesupportableparlematriau.Afindepouvoiraborderl'tudedeschargementsmultiaxiaux,ilestncessairedesedonnerlesmoyens de dfinir de telles limites en tridimensionnel. Comme dans le chapitre prcdent, on se propose d'illustrer la thoriequi va tre dveloppe l'aide d'un modle rhologique, constitu d'un assemblage de barres formant un treillis mtallique. Onpassera ensuite en revue les outils disponibles pour crire ces modles dans le cas de milieux continus, enfin on montrera lesprincipales classes de critres. De mme que pour les lois d'coulement qui on t cites prcdemment, le choix de tel ou telcritre va dpendre du matriau tudi. 3.1.1 Exemple d'un treillis mtallique Le systme de barres articules illustr en figure 3.la permet de se reprsenter partir d'un exemple simple la significationdudomained'lasticitetdelachargederuinepourunmilieucontinu.Ilestconstitudetroisbarrescomposesdummematriau, lastique (E) parfaitement plastique (y), de mme section S, et diffrant simplement par leur longueur. il sagit d'unsystme deux paramtres de chargement, Pl et P2, mais les rsultats sont exprims (Fig.3.1b) en grandeurs adimensionnelles :F1 = Pl/(Sy) ;F2 = P2/(Sy)SiseulelachargePlestnonnulle,l'crituredesquationsd'quilibreetdel'lasticitpermetdemontrerquelaplastification apparatra en premier lieu dans la barre (3), pour une force globale telle que F1 = F1e, = 5/4. A partir decette limite, seules les barres (1) et (2) continuent de se charger, jusqu' atteindre elles-mmes leur tat limite pour F1= F1 =2. Dans le cas o seule la charge P2 est non nulle, la barre (3) ne joue aucun rle, et les barres (1) et (2) se plastifient enmme temps. Il n'y a pas de "recours" aprs l'apparition de la plasticit, donc le premier coulement plastique concideavec la ruine de la structure selon ce mode de chargement, pour une force telle que: 3 F F F2 e 2 2== =En cas de charges combines, le domaine d'lasticit dans le plan F1 = F2 se construit par superposition (il est illustren trait fin sur la figure 3.1b), tandis qu'il faut trouver les mcanismes de ruine qui seront actifs pour prvoir la formedudomainedechargelimite(tracentraitsgrassurlafigure3.1b).Lesdeuxsegmentsdedroiteverticauxcorrespondentunmcanismedanslequellabarre(3)nejoueaucunrle,etquientranelesdeuxautresbarresl'horizontale; ceux qui sont inclins sont prvus en supposant qu'une barre latrale (par exemple (2)) reste inactive, etque les deux autres se plastifient. a. Gomtrie du systme b. Domaine d'lasticit et charge de ruine dans le plan F1-F2Figure 3.1: Rponse en lasticit et rupture d'un systme rticul3.1.2 Les outils disponibles Le cas du chargement uniaxial tudi jusqu' prsent fait apparatre un domaine d'lasticit au travers de deux valeurs decontrainte,l'uneentraction,l'autreencompression,pourlesquellesseproduitl'coulementplastique.AinsidanslecasdumodledePrager,ledomained'lasticitinitialestlesegment[-y,y],etsapositionpourunedformationplastiqueest[-y+x, y+x], avec x = Hp. Il est dcrit par la fonction de charge f (dfinie de 2 dans ). Pour dfinir ce mme domaine enprsence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient une fonction du tenseur de contrainte et du tenseur x (de 12 dans) telle que si f(, x) < 0, l'tat de contraintes est lastique,si f(,x)= 0,lepoint de fonctionnementestsurlafrontire,lacondition f(, x) > 0 dfinissant l'extrieur du domaine. Dans le cas gnral, l'ensemble de dpart contiendra les contraintes ettoutes les variables d'crouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc dfinir f(, AI). On va dans un premier temps limiter laP1P2L (1) 60 60 (2)F1F211(3)19prsentationladfinitiondudomained'lasticitinitial,pourlequelonsupposeraquelesvariablesAIsontnulles,sibienqu'on se contentera d'crire les restrictions des fonctions f dans l'espace des contraintes. L'exprience montre que, pour la plupart des matriaux, le domaine d'lasticit initial est convexe (c'est en particulier vrai pourlesmtauxquisedformentparglissementcristallographique).Lafonctiondechargedoitdoncelle-mmetreconvexeen, ce qui implique, pour tout rel compris entre 0 et 1, et pour un couple (1, 2) quelconque de la frontire :f (1 + (1-) 2) f (1) + (1-) f (2)Commedanslecasdel'tudedutenseurd'lasticit,ilfauticiencorerespecterlessymtriesmatrielles.Ceciimpliqueenparticulierdanslecasd'unmatriauisotropequefsoitunefonctionsymtriquedesseulescontraintesprincipales,oubienencore, ce qui est quivalent, des invariants du tenseur des contraintes dont la dfinition provient du polynme caractristique: Il = trace() = iiI2 = (1/2) trace()2 = (1/2) ij jiI3 = (1/3) trace()3 = (1/3) ij jk kiDanslesmatriauxmtalliquesonobservegnralementlincompressibilitplastique(pii=0)etindpendanceducomportement vis--vis de la pression hydrostatique. Ceci amne considrer comme variable critique faire figurer dans ladfinitionducritrenonplusletenseurdecontrainteslui-mme,maissondviateursdfinienenlevant lapressionhydrostatique (h) : s = (I1/3) I ;sij = ij hij.Les invariants de s sont :Jl = trace(s) = 0 J2 = (1/2) trace(s)2 = (1/2) sij sjiJ3 = (1/3) trace(s)3 = (1/3) sij sjk skiOn peut crire plus explicitement :( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2 2 2 221 323 222 1 266161zx yz xy xx zz zz yy yy xxJ + + + + + = + + =Ilestcommode,envuederaliserlescomparaisonsaveclesrsultatsexprimentaux,dedisposerd'expressionsdescritresdanslesquelleslesvaleursdefsonthomognesdescontraintes,c'estcequiamneparexempleutiliserlaplacedeJ2l'invariantJ (contraintequivalenteausens de Von-Mises:J=2 eqJ 3 = ),quipeutgalements'exprimerenfonctiondescontraintes principales, ou de la contrainte dans le cas d'un tat de traction simple. La valeur J est rapprocher de celle de la contrainte de cisaillement octadral. Les plans octadraux sont ceux dont le vecteurnormal est de type (1,1,1), (-1,1,1) et permutation circulaire dans l'espace des contraintes principales. Il est ais de montrer quele vecteur contrainte valu sur le plan (1,1,1) partir des valeurs de 1, 2, 3 a pour composantes normale et tangentielle: J ) 3 / 2 ( ; I ) 3 / 1 (oct 1 oct= = LavaleurdeJdfinitdonclecisaillementdanslesplansoctadraux.Lesremarquesprcdentesindiquentqueleplandenormale (1,1,1) va tre un plan privilgi pour la reprsentation des critres. En effet, tous les points reprsentant des tats decontraintequinediffrentqueparuntenseursphrique(doncquisontquivalentsvis--visd'uncritrequinefaitpasintervenir la pression hydrostatique) s'y projettent sur le mme point. La figure 3.2 montre ce plan, dans lequel les projectionsdes axes principaux des angles de 2/3, et qui a comme quation 1+ 2 + 3 = -I1/3.Figure 3.2: Dfinition du plan dviateurTSdsignelespointsquipeuventseramenerlatractionsimple,CSceuxquipeuventseramenerlacompressionsimple(par exemple un chargement biaxial, car un tat oles seules contraintes non nulles sont 1 = 2 = est quivalent 3 = - ,CI un tat de cisaillement.3.1.3 Critres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique CritredeVonMises :DanslecritredevonMises,onconsidrequeleseuildeplasticitestlilnergielastiquedecisaillement. Cela revient ngliger linfluence du troisime invariant. Dans la mesure o latracedutenseur descontraintes1 23TSCSCITrescaMises20n'intervient pas, le critre le plus simple est celui qui n'utilise que le second invariant du dviateur des contraintes, ou encore J.Cecicorrespondunesphredansl'espacedestenseursssymtriques(expressionquadratiquedescomposantessij,quisonttoutes quivalentes), soit, si y est la limite d'lasticit en traction, la fonction de charge est dfinie par :f() = J - yCritredeTresca :Leseuildeplasticitnestpluslilnergielastiquedecisaillementmaislacontraintedecisaillement.L'expressionducritredeTrescafaitintervenirlescisaillementsmaximumsdanschaqueplanprincipal,reprsents par les quantits (i - j). La spcificit du critre de Tresca est de ne retenir que le plus grand d'entre eux. Le faitde rajouter une pression chaque terme de la diagonale ne modifie pas, comme prvu, la valeur du critre. Contrairement aucas prcdent, cette expression ne dfinit en gnral pas une surface rgulire (discontinuit de la normale, points anguleux): f() = max(i - j)- yComparaison des critres de Tresca et von Mises Comme il n'est bien entendu pas question de se placer dans l'espace des 6 (ou 9) composantes du tenseur des contraintes, il fautsersoudrenevisualiserlesfrontiresdudomained'lasticitquedansdessous-espacesdeuxoutroisdimensions.Lesreprsentations les plus courantes s'effectuent: dansleplantraction-cisaillement(Fig.3.3a),lorsqueseuleslescomposantes=11et=12sontnonnulles;lesexpressions des critres se rduisent alors : ovon Mises :f(, ) = (2 + 32)0.5 - yoTresca :f(, ) = (2 + 42)0.5 - ydans le plan des contraintes principales (1, 2) (Fig.3.3b), lorsque la troisime contrainte principale 3 est nulle: ovon Mises :f(1, 2) = (12 + 22 - 12)0.5 - yoTresca :f(1, 2) = 2 - ysi 0 1 2f(1, 2) = 1 - ysi 0 2 1f(1, 2) = 1 - 2 - ysi 2 0 1(symtriepar rapport l'axe 1= 2)dansleplandviateur(Fig.3.2),lecritredevonMisesestreprsentparuncercle,cequiestcohrentavecsoninterprtation par le cisaillement octadral, le critre de Tresca par un hexagone; dans l'espace des contraintes principales, chacun de ces critres est reprsent par un cylindre de gnratrice (1,1,1),qui sappuie sur les courbes dfinies ci-dessus dans le plan dviateur. a. En traction-cisaillement (von Mises : m = y/ 3 ,Tresca: t = y/2) b. En traction biaxialeFigure 3.3: Comparaisons des critres de Tresca et de von Mises3.1.4 Critres faisant intervenir la pression hydrostatique Cescritressontncessairespourreprsenterladformationplastiquedesmatriauxpulvrulents,dessolsouenprsenced'endommagementdumatriau.Ilsexprimentlefaitqu'unecontraintehydrostatiquedecompressionrendplusdifficileladformationplastique.Unedesconsquencesdeleurformulationestqu'ilsintroduisentunedissymtrietraction-compression. 1112mtyy21yyTrescaMises21CritredeDrcker-Prager :C'estuneextensionducritredevonMises,combinaisonlinairedudeuximeinvariantdudviateur et de la trace du tenseur des contraintes. C'est toujours un cercle dans le plan dviateur, mais qui dpend de 1altitudesur la trisectrice des axes 1, 2, 3 de contraintes principales (Fig.3.4a): = 1IJ ) ( f1 yLalimited'lasticitentractionrestey,etlalimited'lasticitencompressionest- y/(l-2).Lecoefficientdpenddumatriau, il est bien entendu compris entre 0 et 0.5, et on retrouve le critre de von Mises pour = 0 (Fig.3.4b). a. Dans l'espace des contraintes principalesb. Dans le plan Il JFigure 3.4: Reprsentation du critre de Drcker-PragerCritre de Mohr-Coulomb Il est apparent au critre de Tresca, faisant intervenir comme lui le cisaillement maximum, mais en mme temps la contrainte"moyenne", reprsente par le centre du cercle de Mohr correspondant au cisaillement maximum, soit: f() = 1 - 3 + (1 + 3) sin - 2Ccos (avec 3 2 1)Ce critre est sous-tendu par la notion de frottement, et suppose que le cisaillement maximal que peut subir le matriau (Tt enfigure3.5a)estd'autantplusgrandquelacontraintenormaledecompressionestleve.Lalimiteadmissibleconstitueunecourbe intrinsque dans le plan de Mohr. La formule nonce ci-dessus- est obtenue avec une rgle de frottement linaire: | Tt | < - tan() Tn + CLaconstanteCestlacohsion,correspondantlacontraintedecisaillementquipeuttresupporteparlematriausouscontraintemoyennenulle.L'angledsignelefrottementinternedumatriau.SiCestnuletnonnul,lematriauestditpulvrulent. Si est nul et C non nul, comme dans le cas du critre de Tresca, le matriau est purement cohrent. Dans le plan dviateur, on obtient un hexagone irrgulier : ) sin 3 /( ) sin cos ( 6 2 ), sin 3 /( ) sin cos ( 6 2 = + = p C CS et p C TSa. Dans le plan de Mohr b. Dans le plan dviateurFigure 3.5: Reprsentation du critre de Mohr-CoulombCritres "ferms" Les deux critres prcdents prvoient que le matriau devient infiniment rsistant en compression triaxiale. Ce comportementn'est en gnral pas vrifi sur les matriaux rels qui sont sensibles la pression hydrostatique. Pour permettre de simuler parexemple des oprations de compaction, on a recours des modles "ferms", dans lesquels on dfinit la courbe limite en deuxparties, le raccord s'effectuant pour une valeur critique ngative de la pression hydrostatique. On retiendra par exemple le capmodel,quifermeparuneellipselecritredeDrcker-Prager,oulemodledeCam-clay(utilispourlesargiles),dontlacourbe limite est dfinie par deux ellipses dans le plan (Il - J). I1123Jf 2 > 3,lafonction de charge scrit : f() = |1- 3| - y, si bien que, pour lensemble des tats de contrainte qui vrifient cette ingalit,la vitesse de dformation plastique possde les mmes composantes, le matriau ne se dforme pas selon laxe 2 (dformationdu type cisaillement) : = 1 0 00 0 00 0 1p

La dfinition de la normale pose un problme pour les tats de contrainte correspondant aux points singuliers. Par exemple, entractionsimple,1 > 2 = 3 =0,lecritresexprimeindiffremmentf()=|1- 3|-y,ouf()=|1- 2|-y.Ilestalorsclassique de dfinir deux multiplicateurs plastiques, se rfrant chacun une forme du critre. + = 0 0 00 1 00 0 11 0 00 0 00 0 1p

Si ces deux multiplicateurs sont choisi gaux, le modle redonne la mme forme que le critre de von Mises en traction simple.Par contre, ds que ltat de contrainte sloigne de lgalit stricte entre les composantes 2 et 3, cest lun des deux rgimesde type cisaillement qui prend le dessus.3.5.3 Critre de Drcker-Prager La fonction de charge s'crit: = 1IJ f1 y) (, si bien que la normale possde une composante sphrique. La dformationplastique value avec un tel critre est accompagne dune augmentation de volume quelque soit le chargement appliqu : = + =

13 tarce1 J 23p) ( I;sn3.6 Quelques lois particulires en plasticit3.6.1 Lois de Prandtl-Reuss28CestlaloiobtenuenutilisantlecritredeVonMisesetunergledcrouissageisotrope.Lafonctiondechargeestdonc : f(, R) = J() - y- R(p)Lcrouissage isotrope est dcrit par la fonction R(p), qui peut tre dfinie point par point, par une fonction puissance ouune fonction exponentielle, comme on la vu dans le chapitre sur la plasticit uniaxiale. La courbe dcrite par (y + R(p)) estdonc la courbe dcrouissage. Le module plastique peut tre valu comme la pente cette courbe : H = dR/dpQuelle soit la forme choisie pour R, la condition de cohrence permet de trouver le multiplicateur plastique ( p

= ) :Hp p H pdpdRR RRf f0 f= = = = =+ =

: n: n : n : n :La loi de Prandtl-Reuss permet de dterminer la direction et lintensit de lcoulement plastique :J 23avecHfpsn n: nn == = =

Dans le cas particulier de traction simple, cette expression gnrale se rduit bien la forme uniaxiale habituelle :p11 1111 ppHsigneHsignenHn = = = ==

) () (3.6.2 Lois de PragerCest la loi obtenu en utilisant le critre de Von Mises et une rgle dcrouissage cinmatique linaire. Il faut pour celaintroduire une variable dcrouissage x, associe la dformation plastique : x = (2/3)Hp. Cette variable est dviatorique. Lafonction de charge est donc :f(, x) = J( x) - yavecx) (s : x) (s x) ( = 23JLa condition de cohrence scrit :J 23avec 0 soit 0f f0 fx sn x : n : n : , xx:= = =+ =

On obtient donc :Ho d H H32H32p= = = = =

: n: ' , n : n : n x : n : nLemultiplicateurplastiquealemmeexpressionformellequedanslecasdelcrouissageisotrope.Ilfautnanmoinsnoter que la dfinition de n est modifie, et que H est constant. 3.6.3 Ecoulement vitesse de dformation totale imposeLemultiplicateurplastiquepeuttreexprimgalementenfonctiondelavitessededformationtotale (enutilisant ) ( : Dp = ) : n : D : n: D : n+= H

Sous chargement uniaxial, la fonction de charge et la condition de cohrence scrivent : pyH = = = x , xIlestnoterquelemultiplicateurplastiqueestindtermindanslecasdunmatriaulastique-parfaitementplastique(H=0) charg en vitesse de contrainte impose. Cela est li au fait que, le module plastique tant nul, il existe une infinit depositions quivalentes en dformation plastique pour un tat de contrainte admissible donn. Dans ce cas, on impose la vitessede dformation totale pour que on puisse dterminer le multiplicateur plastique : n : D : n: D : n =

REFERENCES1.J. Besson, G. Cailletaud, J.L. Chaboche, S. Forest Mcanique non linaire des matriaux Cours IPSI, Paris,16-19septembre 19972.J. Lemaitre, J.L. Chaboche Mcanique des matriaux solides Dunod, 19883.D. Franois, A. Pineau, A. Zaoui Comportement mcanique des matriaux Herms, 19914.G. De Saxc Mcanique des solides dformables Cours DEA, Universit de Lille I, 1997-1998Chapitre 4 : MODELISATION EN PETITES ET GRANDES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4.1 INTRODUCTION Lamodlisationdesprocdsdemiseenformedespicesmcaniquesestdevenueunencessitdanslecontexte industrielactuel.Commecesprocdssonttrscomplexes,il estdifficile,mmeimpossible,delestraiterpardesmthodes analytiques. Depuis que Clough [1] a introduit la mthode des lments finis en 1960, de nombreux problmes de mcanique et degniecivilonttrsolusparcettemthode.Beaucoupdetravauxonttconsacrscedomaine.Nouscitonsen particulierlestravauxdeMaraletKing[2]quiontintroduitlaformulationdeslmentsfinislastoplastiquesenpetites dformations,deHibbittetal.[3],McMeekingetRice[4]quiontintroduitlaformulationduLagrangienactualisdes lmentsfinislastoplastiquesengrandesdformations,deZienkiewiezetOwen[5]quiontintroduitlaformulationdes lmentsfinislasto-viscoplastiques,Plusieurstravauxderecherchesrcents,notammentceuxdeGolinval[6],El Mouatassim[7],Ponthot[8]traitent,entreautres,desproblmesdestructuresetdemiseenformedemtauxenprenanten compte des comportements lastoplastiques ou lasto-viscoplastiques dans le contexte des petites dformations ou des grandes dformations.Engnral,laformulationlastoplastiquedonnedesrsultatsplusprcisquedanslecasdelaformulationrigide-plastiquepourtraiterlesprocdsdemiseenformedesmtaux.Deplus,laformulationlastoplastiquepermetdetraiterle problme de dcharge et de calculer les contraintes rsiduelles et les dformations rsiduelles. Mais cette formulation conduit des calculs complexes, et des difficults numriques. Compte tenu de la dpendance vis vis de l'histoire du chargement, elle requiert un algorithme pas--pas. Sur chaque pas de chargement et pour chaque point d'intgration, il faut effectuer un calcul lastiqueettesterlecritred'coulementplastique.Afindegarantirunebonneprcision,onsouhaiteavoirleminimumde points d'intgration qui se plastifient dans un pas. Par consquent, il faut utiliser des pas assez petits.Les lois de comportement le plus souvent utilises pour la modlisation des solides en grandes dformations, sont des loisdiffrentiellesquirelieletauxdecontraintesautauxdedformations.Cesloisdoiventsatisfaireleprincipede lobjectivit au cours de leur intgration. Nagtegaal et al. [9,10], Hughes et Winget [11] ont propos des schmas dintgration des lois de comportement en grandes dformations qui respectent lobjectivit incrmentale au cours de pas de temps finis. Les techniques dintgration des lois constitutives ont vu la croissance et lutilisation progressive, de manire quasi-unanime,delatechniquederetourradialmiseaupointen1964,danslecadredelathoriedespetitesdformationspar Wilkins[12]etrhabilite,partirde1977,parKriegetKrieg[13].Deplus,danscedomaine,leconceptdelinarisation consistanteintroduitparNagtegaal[9]ettenduparSimoetTaylor[14]apermisdcrire,danslecadredelathoriedes petites et des grandes dformations, des matrices de raideur tangente rellement efficaces. Cechapitreestconsacrlamodlisationnumriquedeproblmesdanslecadredelamcaniquedessolidesen petites et grandes dformations lastoplastiques. Cest un problme assez difficile qui comporte encore ce jour des difficults non rsolues dans la littrature concernant les aspects thorique et numrique. Il sera important de dvelopper un logiciel avec un environnement informatique souple qui permet de : dissocier clairement les non-linarits gomtriques, les non-linarits matrielles, les non-linarits du contact avec frottement [29], modifieraismentlesloisdecomportement,lesdrivesobjectives,lesapproximationscinmatiques,lesschmas dintgration de la loi de comportement. 4.2MODELES DE PETITES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4.2.1Petites dformations lastoplastiques Abassetemprature,oulorsquelesvitessedesollicitationssontrelativementfaibles,lesmatriauxmtalliques prsententdesdformationsanlastiquesindpendantesdutemps,onparlealorsdeplasticit.Untrsgrandnombrede modles existent actuellement qui se basent sur les mmes principes et diffrent seulement sur lcriture de lcrouissage. On saitparailleursquelaloidecomportementlastoplastiquedesgrandesdformationsdpendsfortementdecelledespetites dformations.Ilestdoncbienutilederappelerlesdiffrentsprincipesquirgissentlaplasticitdanslecasdespetites dformations : Dcomposition de la dformation totale Ladformationtotaleestformededeuxcomposantes :unelastique,relielinairementounonautenseurdes contraintes, et lautre anlastique, indpendante de la vitesse des sollicitations : = e + p(1) = D : e(2) o le symbole : dsigne le produit contract sur deux indices : 29 ij = Dijkl (e)klla somme est effectue sur les indices rpts. D dsigne la matrice dlasticit dans le cas de llasticit linaire. dsigne le tenseur dordre 2 des contraintes. dsigne le tenseur dordre 2 des dformations totales. e dsigne le tenseur dordre 2 des dformations lastiques. p dsigne le tenseur dordre 2 des dformations plastiques. Surface de charge Onsupposequilexisteundomaineconvexedanslespacedescontrainteslintrieurduquelilnyapas dcoulement plastique. Lexistence de ce domaine est bien tablie ; de plus, si on applique une dcharge lors dun coulement plastique, on constate que le comportementdevient lastique ; ce qui suggre que la contrainte se trouve constamment sur la surface de charge. Les conditions de lcoulement plastique peuvent tre rsumes par les quations suivantes : Elasticit si f() < 0 ou f= 0et0 :f(4) o f est la fonction de charge et f = 0 reprsente la surface de charge dlimitant le domaine lastique. Dans un cas gnral la surface de charge est reprsente par un ellipsode dans lespace des contraintes (Figure 4.1).f = 0 Domaine lastique Domaine plastique Rx 132Figure 4.1 : Surface de charge en plasticit o R et x reprsentent respectivement le rayon et le centre du domaine lastique. Dans le cas de la plasticit isotrope, on utilise de prfrence le critre de Mises qui scrit : 0 R R R f = = :23) ( : ) (23) , ( x - s x - s x ,(5) ou bien0 R P g2 T =3121 (6) o = s x avec s dviateur du tenseur des contraintes dfini par : ij ij ijtr ) (31 = s(7) La matrice P dans lquation (6) est dfinie par :=2 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1PLoi de normalit Lcoulementplastiquepeuttrergiparuneouplusieurssurfaces,onselimiteicilaprsentationducasdela plasticit associe : une seule surface dcrit la fois le domaine lastique et lcoulement plastique. Le principe de normalit, selonlequellavitessededformationplastiquelorsduncoulementestnormalelasurfacedecharge,estgnralement admis pour un grand nombre de matriaux, mtalliques, notamment. Il scrit dans le cas de la plasticit associe : 30 n ==fp(8) Sionnote = :21) (2Jlesecondinvariantdutenseuret) ( ) ( = 23J J lacontraintequivalenteausensdeVon-Mises on a :xn = ==fJf) ( 23 (9) La loi de normalit sexprime alors sous la forme : (10)

=po ) ( 23J= est le multiplicateur plastique. Ecrouissage On peut dsigner par le terme dcrouissage, lvolution de la surface de charge au cours de lcoulement plastique. Dans la plupart des modles, cette volution peut se prsenter sous trois formes : -Gonflement de la surface (crouissage isotrope) -Translation de la surface (crouissage cinmatique) -Gonflement et translation de la surface (crouissage mixte : isotrope + cinmatique) Le gonflement de la surface de charge peut tre traduit par lvolution du rayon R, auquel on associe, comme variable dcrouissage, la dformation plastique cumule p qui est dfinie par : = d :32) t ( pt0 p p(11)On choisit ici pour R(p) une fonction exponentielle de la forme : R(p) = Rs (Rs R0) e-p (12) oRs,R0et sontdescoefficientscaractristiquesdumatriauventuellementfonctiondelatemprature.Rsreprsentele rayon satur et R0 le rayon initial (Figure 4.2). On notera que si Rs > R0, le matriau durcit au cours dun coulement plastique ; par contre siRs < R0, lcoulement engendre un adoucissement du matriau. Figure 4.2 : Evolution de rayon du domaine lastique La loi dcrouissage cinmatique est dfinie par lvolution du centre x du domaine lastique. Elle lie la position du centre la vitesse de dformation plastique de faon linaire (crouissage cinmatique linaire type Prager):

H Hp3232= = x(13) o H est la pente de lcrouissage cinmatique linaire. Dans le cas de lcrouissage cinmatique non linaire, on introduit une variable interne c qui est lie au centre x du domaine lastique de faon linaire daprs : c x a h32=(14) ohetasontdescoefficientsdumatriaudpendantventuellementdelatemprature.Lvolutiondelavariableinterne scrit dans le cas non linaire : pa 23p hp p x c c = = (15) LepremiertermecorrespondlcrouissagecinmatiquelinairetypePrager ;lesecond,introduitparArmstrong-Frederick [15]etChaboche[16],constituelapartienonlinairedelcrouissagecinmatique.Poura,onretrouvelcrouissage Rp(p) R(p)R R sR00Rsdurcissem adoucissemep31 cinmatiquelinaire.Unenouvellemthodedintgrationnumriquedelaloidcrouissagecinmatiquenonlinaireat propose par De Saxc et al. [17,18]. 4.2.2Calcul du multiplicateur plastique thoriqueLe multiplicateur plastique est calcul laide de la condition de consistance dont lcriture dpend de lcrouissage : 0 R R P gT= =

32 (16) o dpdR' R ; p ' R R = = (17) et P P pTpTppijpij3232:32

= = =(18) Au cours de lcoulement plastique, on a : P R 0 R P gT 2 T233121= = =(19) Donc

P R PT T'32=(20) Il faut dterminer . On utilise alors les dcompositions dviatrices/sphriques des tenseurs de contraintes et de dformations :(21) ij ij ij ij ij h ije s

+ = + = ;avec) (31) (31et ) (31e htr tr tr = = =Loi de Hooke ) (1 ) 2 1 )( 1 (3pij ij ij ijE E

++ += e(22) do) ( ) (1;2 1p p hGEKE = += == e e s (23) nt cisailleme de module :EG ; ilit compressib de module :EK avec +==1 2 1 En utilisant les quations (10), (13) et (23), on obtient : + = = = =

H G G H G H Gp3232) (32) ( e e e x s(24) En introduisant (24) dans (20) on obtient lexpression thorique du multiplicateur plastique : =+ += PR H GP GTTavec) ' (322e

(25) 4.2.3Calcul de la matrice tangente thoriqueLe calcul de la matrice tangente revient trouver la relation liant . Il convient tout dabord dtablir la relation : e A s = .Daprs les quations (23) et (25), on a : + + = = =2) ' (32) ( ) ( R H GP GG G GTpee e e s

(26) 32 do e A e I s= ++ =23) ' ( 21 GR HPGT(27) = + = + + + + + + + = 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 1 10 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1avec31000 3133 22 1133 22 1133 22 11U U s s

(28) De mme + = U e31(29) Introduisant (27) et (29) dans (28) on obtient : + = + = + = + = + =

U AU A U U AU e A U s U s3 313 313 3 31K KK K(30) UUU U I U A GGR HP GGGR HPGT T= ++ = ++ =2 23) ' ( 213) ' ( 21 (31) Remarque := 0 carest un tenseur dviateur.UTP TP En remplaant AU par GU dans (30), on obtient finalement : = + = epG KD U A3(32) La matrice tangente thorique est donc dfinie par : + = U A D3G Kep(33) 4.2.4Intgration des lois de comportement Lintgration des lois de comportement joue un rle trs important dans un code de calcul par lments finis. En effet, elledterminelaprcisiondesrsultats.Deserreurssurlesestimationsdesvariablesunefoiscommisesnesontplus rattrapables,depluslorsquelesestimationsdpendentdelhistoireduchargementceserreurspeuventsepropagerdun incrmentunautre,donnantdesrsultatsquiscartentdeplusenplusdelasolution ;dolimportancedutiliserdes mthodes dintgration stables et prcises. Dans cette tude, on choisit lalgorithme dintgration du type implicite. Onsupposequelondisposedescontraintesetdesvariablesinterneslinstantt (correspondaupasnumron); intgrer la loi de comportement revient, partir de lincrment des dplacements nodaux u estim entre linstant t et t+t, calculerlescontraintesetlesvariablesinterneslinstantt+t(correspondaupasnumron+1)vrifiantlaloide comportement.Considrons un tat plastiquement admissible (pas numro n) en un point de la structure tudie. Les caractristiques de ltat sont : n, np, xn, pn ;g(n, xn, pn) = 0 A partir de u on peut calculer lincrment des dformation : = B u = e + p(34) o B est un oprateur drive de fonctions de forme. Le but est de calculer : n+1, p n+1, x n+1, p n+1 vrifiant : n+1 = n + (35) n+1p = np + n+1 (36) 1 n n 1 nH32x x+ + + = (37) 33 1 1 1 1 1;32+ + + + + = + =nTn n n n nP p p (38) (39)) (1 1 1pn n nG+ + + = e s(40)) (1 1 1pn n n + + + = D(41) 1 1 1 + + + = n n nx sLamthodelapluscourammentutilisepourintgrerlesloisdecomportementplastiqueestsansdoutelamthode ditePrvisionElastiqueRetourRadial(PERR),initialementintroduiteparWilkins[12],KriegetKrieg[13]pourdes modles de comportement parfaitement plastique. La notion doprateur tangent consistant a t introduite par Nagtegaal [9]. Lextension de cette mthode au cas des modles avec crouissage cinmatique non linaire a t ralise par Simo et Taylor [19].Leprincipedecettemthodeconsistecalculerlacontraintefinalecommeprojectiondunecontraintedessaisurla surface de charge finale selon la normale passant par la contrainte dessai (Figure 4.3). gn = 0 Rnxn132gn+1 = 0 nnxRn+1nEn+1 Figure 4.3 : Projection de la contrainte sur la surface de charge La contrainte dessai est calcule en supposant que lincrment de dformation soit entirement lastique : E = n + E = n + D : (42) Les relations (35) (41) sont facilement ralises ds que lon a obtenu le multiplicateur plastique dfini par la condition de consistance la fin du pas : g(n+1, xn+1, pn+1) = 0(43) Remplaant les relations (35) (41), lquation (43) devient une relation non linaire en vrifier : g() = 0(44) 4.2.4.1 calcul de Reprenons lexpression (43) et (38) 0 p R P gn2nTn= =+ + +) (31211 1 1(45) 1 1 1 1 1;32+ + + + + = + =nTn n n n nP p p Il suffit donc de calculer n+1 en fonction de et de grandeurs connues. Calcul de n+1 En utilisant les relations (36), (39) et (41), on a : 34 1 11 1 11 1 1 1 1 132) (32) (32) (+ ++ + ++ + + + + + + = = = = n npn nn n npn nn npn n n n nH G GH GH G x ex ex e x s Posant(connu) npn n EG x e = +) (1 1 132+ + + = n E nH G do + += + H GEn3211(46) Introduisant (46) dans (45) on obtient : 0 ) (31321 2) (122= + + = + nETEp RH GPg(47) o + + + =+21321 32H GPp pETEn n Posant 2321) ( + + = H GPETE La relation (47) devient :0 ) (3231) (21) (2= + = np R g(48) arsolutiondecettequationnonlinaireenestfaiteparlintermdiairedelamthodedeNewton-Raphsonquisuitle schma suivant (Figure 4.4) : = 0Boucle sur les itrations) ( ') ( = ggd = + dd < Fin du calcul de ouinon Figure 4.4 : Mthode de Newton-Raphson pour le calcul de 35 avec : + + + = ) () ( 2) ( '32) (32' ) (3232) ( '21) ( ' n np R p R g(49) 4.2.4.2Calcul de la matrice tangente consistante La relation tangente est obtenue en crivant que le critre et la variation du critre est nulle la fin du pas : 0 R d dg2n= =+3121211 1 1avec+ + + =nTn nP (50) 0 dp RR32d1 n 1 n 1 n= + + +' (51) daprs (38) on a : ) (32321 1 1 + =+ + + d d dpn n n(52) do 0 ) (3232'321 1 1 1= + + + + + d d RR dn n n n (53)

R Rn n320312112 21= = + + (54) do 211 111'32'321'32'321) (++ +++ = = nnTnnnRPd RdRRd(55) avec( ) ) (321 1 1 1 1 1 + = = + + + + + + d d H d d d dn n n n n ns x sdo += + + +) (3232111 1 1d H dHdn n ns(56) Injectant (56) dans (55) il vient :211 1) ' (32'321) (++ ++ = nnTnH RPd Rds(57) (58)) ) ( ( ) (1 1 1 1 1 1 + + + + + + = =n n npn n nd d d G d d G d e e sInjectant (56) et (57) dans (58) on obtient : ++ = = =+ +++ ++'321 3) ' ( 211 1211 11R GR Hw avec d dwPG dn nnTn nne A e I s(59) Par analogie avec la relation (32) on obtient finalement la matrice tangente consistante : dn+1 = Dep dn+1avecU A D3epG K + =(60) La mthode du retour radial est quivalente la mthode implicite pure qui vrifie le critre de la plasticit la fin du pas et garde ses proprits de stabilit inconditionnelle. Lorganigramme gnral de la mthode dintgration est prsent la figure 4.5. 36 Figure 4.5 : Algorithme de calcul lastoplastique Boucle ditration dquilibre i=1, max_iter Calcul du rsidu :Ri = F - BTi dv Rsolution : KTi U = Ri

Boucle sur les lments Boucle sur les points dintgration = BT u E = si xi + Dei

Calcul de (Figure 4.4) Actualisations : + +=2+ H GEn311 ;1 12+ +n n n 3+ = H x x1 1 1 1 1;32+ + + + + = + =nTn n n n nP p p n+1p = np + n+1 ;sn+1 = xn+1 +n+1 n+1 = sn+1 + K ;U A D3G Kep+ =Calcul de la matrice tangente :KTi =BTDepB dv Assemblage Test de convergence : >ligne; Inp>>young>>poisson; Inp>>ligne; Inp>>Rs>>R0>>gamma>>H; Inp>>ligne; for (i=0;i>dstrain[i]; Inp>>ligne; Inp>>nstep; // // D matrix // G=young/(1.0+poisson); K=young/(1.0-2.0*poisson); MATRICE D(6,6); c1=(1.0+poisson)*(1.0-2.0*poisson); cst=young*(1.0-poisson)/c1; cst1=young*poisson/c1; D[0][0]=D[1][1]=D[2][2]=cst; D[0][1]=D[1][0]=D[0][2]=D[2][0]=D[1][2]=D[2][1]=cst1; D[3][3]=D[4][4]=D[5][5]=G/2.0; Out