MÉMOIRE ANALYSE NUMERIQUE DU …eprints.univ-batna2.dz/835/1/gha DEMAGH Laid.pdf · La mémoire de ma mère A mon père. A ma femme et mon enfant. A mes ... l’Université de Batna

RPUBLIQUE ALGRIENNE DMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Universit de Batna Institut de Gnie Civil, dHydraulique et dArchitecture

Dpartement de Gnie Civil

MMOIRE

prsent pour lobtention du diplme :

Magistre en Gnie Civil

OPTION : Mcanique des sols

Thme :

ANALYSE NUMERIQUE DU COMPORTEMENT DUNE SEMELLE FILANTE REPOSANT SUR UN SABLE

EN PENTE RENFORCE PAR DES PIEUX

Prsent par :

DEMAGH Laid

Soutenue le : 17 /06 /2012

Devant le jury compos de :

Mr MESSAST .S MC (classe A) Prsident universit de SKIKDA

Mr ABBECHE .K Professeur Rapporteur universit de BATNA

Mr HAMMOUD.F MC (classe A) Examinateur universit de BATNA

Mr HIJEB .M MC (classe A) Examinateur universit de SKIKDA

Ddicace

Je ddie ce travail :

La mmoire de ma mre

A mon pre.

A ma femme et mon enfant.

A mes frres et mes surs.

A toute ma famille.

A tous ceux qui me sont chers.

REMERCIEMENTS

Ce travail a t effectu sous la direction de monsieur ABBECHE Khelifa, Professeur

lUniversit de Batna, a qui je tiens tmoigner ma reconnaissance, pour sa contribution

au dveloppement et la prsentation des ides dcrites dans ce travail. Mes plus vifs

remerciements et ma profonde gratitude pour toute la confiance quil ma tmoigne, les

encouragements, les conseils scientifiques qui mont permis de finaliser cette thse.

Je remercie chaleureusement Monsieur MESSAST Salah Matre de Confrences,

lUniversit de Skikda, prsident du jury, pour mavoir fait lhonneur de prsider le jury

de ma thse.

Mes remerciements vont de mme aux autres membres de jury examinateurs pour l'intrt

qu'ils ont port mon travail en participant au jury de ma thse. Il sagit, en loccurrence

de :

Monsieur HAMMOUD Farid, Matre de Confrences, lUniversit de Batna

Monsieur HIJEB Mustafa, Matre de Confrences, lUniversit de Skikda

J'exprime toute ma reconnaissance Monsieur DEMAGH Rafik, Matre de Confrences,

lUniversit de Batna pour son aide prcieuse durant llaboration de ce travail, la

pertinence de ses remarques et pour sa disponibilit sans faille.

Que Monsieur BENOUDJIT Djamel, Matre de Confrences, dpartement

dElectrotechnique lUniversit de Constantine, soit aussi bien remerci pour son appui

moral et son encouragement.

Mes remerciements sadressent enfin tous les enseignants et tous mes collgues du

dpartement de Gnie Civil, de lUniversit de Batna, pour leurs encouragements.

RESUME & MOTS-CLS

Rsum Ce travail prsente les rsultats dune analyse numrique du

comportement d'une semelle filante reposant sur un sable en pente renforce par

des pieux. Les paramtres utiliss dans la prsente tude sont, la longueur du

pieu, la position de la range de pieux et la position de la semelle par rapport

la crte de la pente, ainsi que langle de frottement du sol. Dans un premier lieu

on a tudi la capacit portante pour le cas sans renforcement, les rsultats

obtenus ont t compars avec ceux du cas avec renforcement. Ltude a fait

lobjet dune analyse de leffet de chaque paramtre sur la capacit portante.

Les rsultats obtenus indiquent que lutilisation dune range de pieux pour

stabiliser une pente a un effet significatif dans lamlioration de la capacit

portante de la semelle filante. Cette amlioration de la portance est

proportionnelle a la longueur des pieux, ainsi que la meilleur position de la

range de pieux qui donne la valeur maximum de la portance est la crte de la

pente.

Mots-Cls Pieu, Stabilit Des Pentes, Semelles Filantes, Elments Finis

Abstract This works presents the results of a numerical analysis of the

behaviour of a strip footing supported on a row of piles stabilized earth slope. The

parameters varied in the study include the length of the pile, and location of pile

row, and location of the footing relative to the slope crest, and the angle of friction of soil.

Initially the bearing capacity of non-stabilized cases were determined and then compared

with those of stabilized slopes. The results were then analyzed to study the effect of

each parameter. The results indicate that stabilizing earth slope using a row of piles has a

significant effect in improving the bearing capacity of the strip footing. This improvement in

bearing capacity increases when pile length increases, and best the position of row

piles which gives the maximum value of the bearing capacity is the crest of the

slope.

Keywords: Pile, Stabilized Sand Slope, Strip Footing, Finite Element Analysis

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TABLE DES MATIERES

Notations & Symboles

Listes des Figures

Introduction Gnrale 1. Problmatique....................... 01

2. Objectif...... 02

3. Structure du mmoire............ 02

Chapitre Un

Synthse Bibliographique Sur le Comportement Des

Fondations Superficielles

1. Introduction........... 04

1.1 Dfinition dune fondation ............ 05

1.2 Fondations superficielles ....................................................................................... 05

1.3 Types des fondations superficielles 05

1.4 Ractions dappuis de la semelle filante 07

1.5 Phnomne de rupture ........... 09

1.5.1 Types de rupture dune fondation superficielle 09

1.6 Philosophies de conception des fondations .. 13

1.6.1 Mthode de contrainte admissible.... 13

1.6.2 Mthode dtat limite... 14

1.7 Conclusion ..................................... 15

Table des Matires

Chapitre Deux

Mthodes De Calcul De La Capacit Portante

2. Introduction. 16

2.1 Dfinition de la Capacit Portante... 17

2.2 Mthodes de Calcul de la Capacit Portante....... 17

2.2.1 Thorie de Rankine (1857). .. 17

2.2.2 Thorie de Prandtl (1920)...... 19

2.2.3 Thorie de Terzaghi (1943)... 22

2.2.3.1 Relation Pour Ppq(c=0, =0, q 0, 0). 26

2.2.3.2 Relation Pour Ppc(c 0, q 0, 0, =0).................. 28

2.2.3.3 Relation Pour Pp(c=0, q = 0, 0, 0) 31

2.2.3.4 Capacit Portante .... 33

2.2.3.5 Thorie de la Capacit Portante de Terzaghi Dans le cas dune Rupture par Cisaillement locale..

34

2.2.4 Thorie de Meyerhof (1951) ..... 36

2.3 Expression des facteurs de la portance N, Nc, Nq. 37

2.3.1 Facteurs de portance daprs Meyerhof (1963). 37

2.3.2 Facteurs de portance daprs J.B Hansen (1970)................... 38

2.4 Charge Verticale Excentre .... 41

2.5 Charge Centre Incline.......... 41

2.6 Semelle sur une Pente . ................... 42

2.6.1 Semelle sur la Pente dun talus.......... 42

2.6.2 Semelle sur la Crte dune Pente .. 44

2.6.2.1 Solutions de Meyerhof.. 44

2.6.2.2 Les Solutions de Hansen (1970) & Vesic (1975) ... 48

2.6.2.3 Solution par LEquilibre limite et LAnalyse Limite .................. 48

2.6.2.4 Mthode des Contraintes.. 50

2.6.2.5 Relation Empirique Base sur LEssai en Centrifugeuse. 50

2.7 Mthodes Numriques .... 53

2.7.1 Modlisation des Fondations Superficielles (P.Mesta & M.Prat). 53

2.7.2 Modlisation du Sol et de la Fondation sans Structures 54

2.7.2.1 Cas dune Fondation a la Gomtrie Complexe... 54

2.7.2.2 Cas dune Fondation Rigide................. 55

2.7.2.3 Cas dune Fondation Souple. 55

2.7.3 Modlisation du Sol, de la Fondation, et des Structures 55

Table des Matires

2.7.4 Influence de ltat Initial des Contraintes..

56

2.7.5 Conseils pour la Ralisation des Maillages de Fondation Superficielle 56

2.7.6 Comportement des Sols et Modlisation des Fondations Superficielles... 58

2.8 Solutions Numriques existantes. 58

2.8.1 Griffiths (1982).. 58

2.8.2 Borst et Vermeer (1984) 59

2.8.3 Manoharan (1995). 59

2.8.4 Frydman (1997). 59

2.8.5 Hans.L.Erickson et Andrew Drescher (2001) 60

2.8.6 R.S.Merifield, S.W.Sloan et H.S.Y (1998) 61

2.8.7 J.S.Shiau, A.V.Lyamin, et S.W.Slaon (2003) 62

2.9 Conclusion... 62

Chapitre Trois

Gnralits Sur la Stabilit des Pentes

3. Introduction. 63

3.1 Dfinition .... 63

3.2 Aspect Gnral des Glissements.......... 64

3.3 Causes de Glissements .... 65

3.4 Types de Glissements ..... 65

3.4.1 Glissements Rotationnels .. 65

3.4.2 Glissements Translationnels...... 66

3.5 Types de Rupture .... 66

3.5.1 Talus en Dblais et Talus en Remblais sur Sols non Compressibles 66

3.5.2 Talus en Remblais sur Sols Compressibles .. 67

3.6 Analyse de la Stabilit .... 67

3.7 Mthode DAnalyse de la Stabilit des Talus.. 68

3.7.1 Rupture Plane... ..... 69

3.7.2 Mthode de Fellenius (Rupture Circulaire)... 73

3.7.3 Mthode des Tranches de Bishop.. 75

3.7.4 Mthode du Cercle de Frottement. 76

3.7.5 LAnalyse Limite... 78

3.8 Conclusion... 83

Table des Matires

Chapitre Quatre

Aperu Bibliographique sur le Renforcement des

Pentes Par des Pieux

4. Introduction. 84

4.1 Lanalyse de la Stabilit des Talus Renforce par des Pieux 4.1.1 LAnalyse Limite ..

85 86

4.2 Mthodes Utilises pour la Dtermination de la Pression du Sol Agissant sur les Pieux

89

4.2.1 Mthode dITO et de MATSUI.. 89

4.2.2 Analyse Dcouple. 91

4.2.2.1 Mthode de Pression ..... 91

4.2.2.2 Mthode de Dplacement . 92

4.2.3 Analyse Couple .... 92

4.2.4 Mthodes Empirique de Broms...... 93

4.2.5 Analyse Numrique en 3D (Pan et al) 93

4.2.6 Mthode de Rduction de la Rsistance au Cisaillement ..... 93

4.3 Linfluence des Pieux sur le Coefficient de Scurit de la Pente. 94

4.4 Conclusion ... 96

Chapitre Cinq

Prsentation de lOutil Numrique Utilis (PLAXIS)

5. Introduction............................. 97

5.1 Prsentation du Code PLAXIS ... 97

5.2 Conventions de Signe ..... 98

5.3 Le Type de Modle ..... 99

5.4 Les Elments .. 100

5.5 Les Modles de Comportements Utiliss dans PLAXIS .... 100

5.5.1 Introduction ... 100

5.5.2 Modle Elastique Linaire 101

5.5.3 Modle de MOHR-COULOMB 102

5.5.3.1 Module dYOUNG .. 103

5.5.3.2 Coefficient de POISSON.. 104

5.5.3.3 Angle de Frottement .... 104

5.5.3.4 LAngle de Dilatance 105

5.5.3.5 Autres Paramtres de Raideur ..... 105

Table des Matires

5.6 Modle pour les Roches Fractures (Jointed Rock Modle) .. 106

5.7 Modle de Sol avec Ecrouissage (Hardening Soil Modle) ........... 106

5.8 Modle pour les Sols Mou (Soft Soil Modle) ... 106

5.9 Modle pour les Sols Mou avec Fluage .. 106

5.10 Modle Dfini par lUtilisateur .... 106

5.11 Conclusion. 106

Chapitre Six

Prsentation et Interprtation Des Rsultats Obtenus

6. Introduction. 108

6.1 Procdure de la Simulation.. 109

6.1.1 Prsentation du cas Etudi. 109

6.1.2 Caractristiques des Matriaux.. 109

6.1.3 Etude Paramtrique.... 110

6.1.4 Maillage et Conditions aux Limites... 110

6.1.5 Gnration des Contraintes Initiales.. 113

6.1.6 Phases de Calcul........ 114

6.2 Calcul de LInfluence des Diffrents Paramtres.... 115

6.2.1 LEffet de la Longueur du Pieu sur la Portance de la Fondation... 116

6.2.2 LEffet de la Position de la Range des Pieux .. 120

6.3 Rsultats Relatifs a la Position de la Semelle par Rapport a la Crte du Talus... 123

6.3.1 Cas Pour la Pente Sans Renforcement... 123

6.3.2 Cas Pour la Pente Avec Renforcement. 125

6.4 Comparaison des Rsultats Obtenus Avec Ceux de la Littrature.. 128

Conclusion Gnrale

1. Travail Accompli..... 132

2. Suggestions & Perspectives. 133

Annexe

Rfrences Bibliographiques

Liste Des Figures

Liste des Figures

Chapitre Un



Figure 1.1 Types de Fondations Superficielles 06 Figure 1.2 Ractions dAppuis de la Semelle Rigide.. 07 Figure 1.3 Ractions dAppuis de la Semelle Souple.. 07 Figure 1.4 Semelle Rigide (Variabilit du Sol)... 08 Figure 1.5 Semelle Souple (Variabilit du Sol)... 08 Figure 1.6 Semelle Souple .. 08 Figure 1.7 Rupture par un Cisaillement Gnral .... 09 Figure 1.8 Rupture par un Cisaillement Local 11 Figure 1.9 Rupture par un Poinonnement . 11 Figure 1.10 Nature de la Rupture en Fonction de la Densit Relative.. 12 Figure 1.11 Mcanisme de Rupture dune Fondation (Modle Rduit) 13

Chapitre Deux

Mthodes De Calcul De La Capacit portante

Figure 2.1 Courbes chargement-tassement dune Fondation Superficielle ... 17 Figure 2.2 Equilibre de Rankine.. 18 Figure 2.3 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)... 20 Figure 2.4 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)... 21 Figure 2.5 Model utilis par Terzaghi pour la Dtermination des facteurs de portance 23 Figure 2.6 Courbes chargement-tassement dune Semelle sur un Sable dense C1, et

un Sable lche C2 (Terzaghi, 1943)... 23

Figure 2.7 Facteurs de la portance de Terzaghi... 24 Figure 2.8 Surface de rupture dun Sol sous une Charge ultime dune semelle

filante rigide daprs Terzaghi... 25

Figure 2.9

Force passive sur la face bc ... Dtermination de Ppq ( 0, = 0, q 0, c = 0).

26 27

Figure 2.11 Dtermination de Ppc ( 0, = 0, q 0, c 0) 30

Figure 2.12 Dtermination de Pp ( 0, 0, q = 0, c 0). 32 Figure 2.13 Surface de rupture modifie dun sol supporte une fondation

superficielle sous une charge ultime.. 34

Liste Des Figures

Figure 2.14 line de glissement pour une semelle Filante Rugueuse.. 36 Figure 2.15 Le facteur N trouv pour des semelles filantes en fonction de langle de

frottement pour le sable et pour la sous-surface de la semelle (Hansen et Christensen, 1969)..

39

Figure 2.16 Facteurs de portance de Hansen. 39 Figure 2.17 Zones plastiques dun sol prs d'une semelle sous une charge incline. 42 Figure 2.18 Nature de la zone plastique sous une semelle filante rugueuse implante

sur une pente dun talus.. 43

Figure 2.19 Variation du facteur Ncq pour un sol purement cohsif selon Meyerhof (semelle sur pente).

44

Figure 2.20 Variation du facteur Nq pour un sol granulaire selon Meyerhof (semelle sur pente).

44

Figure 2.21 semelle filante sur une pente.. 45 Figure 2.22 Variation du facteur Ncq pour un sol purement cohsif selon Meyerhof

(semelle sur pente). 45

Figure 2.23 Facteur Nq pour un sol granulaire (semelle sur une pente) (Meyerhof)... 46

Figure 2.24 Courbe charge-tassement pour une semelle filante repose sur une pente (rsultats dun essai pour un model B = 76.2 mm, Cu = 27.5 kN / m

2, b/B = 0, Df /B=0)..

47

Figure 2.25 Les zones de rupture pour les cas Df /B > 0 et b/B > 0. 50 Figure 2.26 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0). 51 Figure 2.27 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0.5). 51 Figure 2.28 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=1). 51 Figure 2.29 Semelle au Bord dun Talus... 52 Fifure 2.30 Dimensions conseilles pour le maillage dune fondation superficielle 57

Chapitre Trois

Gnralits Sur la Stabilit des Pentes

Figure 3.1 Illustration d'un glissement de terrain 64 Figure 3.2 Glissements rotationnels & Glissements translationnels 66 Figure 3.3 Analyse de stabilit des pentes... 68 Figure 3.4 Rupture circulaire... 74 Figure 3.5 Une tranche i.. 75 Figure 3.6 Forces agissant sur la tranche n.. 76 Figure 3.7 Mthode du cercle de Frottement... 77 Figure 3.8 Mcanisme de Rupture dun Talus. 80

Liste Des Figures

Chapitre Quatre

Aperu Bibliographique Sur le Renforcement Des

Pentes Par des Pieux

Figure 4.1 Talus Renforc Par des Pieux. 87 Figure 4.2 tat de dformation plastique dun sol autour des pieux (Ito et Matsui).. 90

Chapitre Cinq

Prsentation de loutil numrique utilis (PLAXIS)

Figure 5.1 Systme de coordonnes et dfinition des composantes de contrainte positives.. 98 Figure 5.2 Exemples de problmes en dformations plane et axisymtrique.. 99 Figure 5.3 Position des nuds et des points de contrainte dans les lments de sol... 100 Figure 5.4 Courbe intrinsque du modle de Mohr-Coulomb. 102 Figure 5.5 Surface de rupture dans lespace des contraintes principales pour un sol

sans cohsion.. 103

Figure 5.6 Dfinition du module 50 % de la rupture 104

Chapitre Six

Prsentation et Interprtation des Rsultats Obtenus

Figure 6.1 Les paramtres gomtriques 109 Figure 6.2 Maillage adopt.. 111 Figure 6.3 Conditions aux limites 111 Figure 6.4 Application du chargement gravitaire.. 113 Figure 6.5 Gnration des contraintes initiales avant lapplication de la charge... 114 Figure 6.6 Dformation du massif du sol aprs gnration des contraintes initiales 114 Figure 6.7 Application du chargement 115 Figure 6.8 Activation des Pieux. 115 Figure 6.9 Variation du BCI en fonction de h/B (=35). 117 Figure 6.10 Variation du BCI en fonction de h/B (=38). 118

Liste Des Figures

Figure 6.11 Variation du BCI en fonction de h/B (=42). 118 Figure 6.12 Mcanisme de rupture (b/B=1 sans renforcement).. 119 Figure 6.13 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=1).. 119 Figure 6.14 Mcanisme de rupture (b/B=1 (b/B=1 h/B=1,5)... 119 Figure 6.15 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=2).. 119 Figure 6.16 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=3).. 120 Figure 6.17 Mcanisme de rupture (b/B=1 h/B=4).. 120 Figure 6.18 Variation du BCI en fonction de d/B (=35). 122 Figure 6.19 Variation du BCI en fonction de d/B (=38). 122 Figure 6.20 Variation du BCI en fonction de d/B (=42). 123 Figure 6.21 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par

rapport la crte du talus b/B (sans renforcement).. 124

Figure 6.22 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (avec renforcement).

126

Figure 6.23 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (=35).

127

Figure 6.24 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (=38).

127

Figure 6.25 Variation de la portance en fonction de la position de la semelle par rapport la crte du talus b/B (=42)

128

Figure 6.26 Variation du BCI en fonction de h/B (=42 b/B=0)... 129 Figure 6.27 Variation du BCI en fonction de h/B (=42 b/B=0)... 129 Figure 6.28 Variation du BCI en fonction de h/B (=42 b/B=1)... 130 Figure 6.29 Variation du BCI en fonction de d/B (=42 b/B=0)... 130 Figure 6.30 Variation du BCI en fonction de d/B (=42 b/B=1)... 131

LISTE DES TABLEAUX

Chapitre Un



1 .1 Valeurs estimes de la capacit portante dune fondation ou pression

admissible (daprs BS 8004) .. 15

Chapitre Deux

Mthodes De Calcul De La Capacit Portante

2.1 Les facteurs de la capacit portante selon Terzaghi .... 33

2.2

Les facteurs de la capacit portante modifis selon Terzaghi .....

35

2.3

Facteurs de portance selon Hansen...

40

2.4

Les facteurs de la capacit portante selon Saran, Seed et Handra ..

49

2.5

Comparaison des capacits portante calcules dune semelle filante sur la crte dun talus (Bakir et al., 1994)...

53

2.6

Facteurs de la capacit portante N pour une fondation circulaire ..

60

2.7

Facteurs de la capacit portante Nc pour une fondation circulaire

61

Liste Des Tableaux

Chapitre Six

Prsentation et Interprtation Des Rsultats Obtenus

6.1 Programme de simulation pour ltude paramtrique.. 112

6.2

La Portance (en KPa) pour les dfrentes longueurs des pieux...

117

6. 3

La Portance (en KPa) pour les dfrentes positions de la range de pieux.

121

6.4

Valeurs de la Portance (en KPa) pour les dfrentes positions de la semelle par rapport la crte .

124

6.5

Valeurs de la Portance (en KPa) pour les dfrentes positions de la semelle par rapport la crte (avec renforcement).

125

INTRODUCTION GENERALE

1. Problmatique

Il y a plusieurs situations o des fondations sont construites sur des surfaces

de terrain en pente ou ct d'une crte de pente. Quand une semelle est

ralise sur une pente, sa capacit portante peut tre sensiblement rduite,

selon la position de la semelle par rapport la pente. Par consquent il nest

pas possible d'utiliser une fondation superficielle, et l'utilisation des types non

conomiques (des pieux ou des caissons) devienne la seule solution approprie

du problme. Dailleurs, sur des annes, la stabilisation des terrains en pente

a devenue lun des sujets les plus intressants pour la recherche scientifique,

en mcanique des sols. Plusieurs, techniques ont t suggres pour amliorer

la stabilit des terrains en pentes, et dici lamlioration de la capacit

portante. Parmi ces techniques on trouve, la modification de la gomtrie de la

surface en pente, traitement chimique, lutilisation des sols renforcs ou

linstallation des structures de soutnement comme les murs ou les pieux. De

nombreuses tudes sur le renforcement pentes, ont t ralises pour amliorer la

capacit portante des semelles. Huang et al. [15], Mandal et al. [21], Selva

durai et al. [24], Sawicki et al. [25], Yoo C [30] et Zornberg et al. [32].Ces

auteures ont dmontr que non seulement la stabilit de la pente quest peut

tre augmente, mais galement la capacit portante et le tassement de la

Introduction Gnrale

2

semelle peuvent tre aussi amliors par l'inclusion des renforts (couches de

geogrilles, ou de gotextile. Par consquent, l'utilisation des pieux pour

stabiliser les terrains en pente, a t considre comme l'une des techniques

importantes pour le renforcement des pentes dans les dernires dcennies. Ces

pieux, qui peuvent tre inclus au niveau de la crte ou dans la pente elle-mme

agissent en tant que lments de rsistance. Plusieurs tudes ont rapport la

russite de l'utilisation des pieux a f in d 'amliorer la stabilit des pentes

Ausilio, et al. [1], Chen et al. [6], De Beer et Walays [10],Hassiotis et al. [13]

Hong et Han [14], , H u l l et Poulos [16], Lee et al. [20], Poulos [23] et

Viggiani [26].

2. Objectif

Force est de constater que la plupart des tudes concernant la stabilisation des

pentes ont vis l'analyse de l a s tab i l i t de la pente elle-mme (amlioration

des coefficients de scurit vis--vis des glissements). Cependant, les tudes

faites pour l'amlioration de la capacit portante d'une semelle construite sur

une pente renforce par une range de pieux sont rares. Par consquent le but

de cette analyse est de comprendre le comportement d'une semelle filante

soutenue par une couche de sable en pente stabilise par une range de pieux.

Donc L'objectif principal de ce travail est de dterminer et tablir la relation

entre les paramtres variables d'une range de pieux et la portance de la semelle.

En outre, pour dcouvrir le meilleur endroit de la range de pieux qui donne la

meilleure amlioration de la capacit portante de la semelle.

Structure du Mmoire

Le prsent mmoire est constitu de six chapitres prsents comme suit :

Le premier chapitre prsentera un certain nombre de connaissances de base sur la

dfinition des fondations superficielles, leur fonctionnement et les diffrents mcanismes

de rupture.

Introduction Gnrale

3

Le deuxime chapitre sera consacr la prsentation des diffrentes mthodes de calcul

de la capacit portante des fondations superficielles.

Le troisime chapitre fera, en premier lieu, lobjet de laspect gnral et les causes des

glissements des terrains, suivi des types de glissements. En second lieu, sera discut les

mthodes danalyse de la stabilit des talus.

Le quatrime chapitre concernera le renforcement des pentes par des pieux

Il sera utile daborder, dans le cinquime chapitre loutil numrique qui sera utilis.

Le sixime chapitre cur de ce mmoire, prsentera les rsultats obtenus par une analyse

numrique du comportement dune semelle filante supporte par un sable en pente

renforc par une range de pieux.

Finalement, sur la base des rsultats obtenus, ce travail sera cltur par une conclusion

o il sera mentionn les perspectives quant sa continuation ultrieure.

Chapitre Un

Synthse Bibliographique Sur le

Comportement Des Fondations

Superficielles

1. Introduction

Des temps immmoriaux, les sols ont t utiliss pour soutenir des fondations ou

excuter des constructions, travers les ges et depuis que les structures ont

commenc monter au-dessus de la terre, les projeteurs et les concepteurs ont admis

le besoin d'tablir des fondations consistantes, et stables, pour que les constructions

rsistent mieux aux forces de la nature. Avant que les mthodes scientifiques n'aient

pas t identifies comme les mieux adaptes la solution des problmes de gnie

civil, des normes ouvrages ont t construits pendant ces temps, et ont rests en

service. Par consquent les travaux de fondations sont dvelopps, essentiellement,

comme un art s'appuyant sur des pratiques et des usages issus de ralisations

antrieures satisfaisantes.

Durant ces dernires annes, des amliorations considrables ont t ralises dans

la connaissance des proprits physiques des sols et dans l'valuation de la validit

des thories sur le comportement des sols, ainsi les mthodes d'tudes et de

ralisations ont subi dimportants changements. Bien que l'exprience reste toujours le

critre essentiel, les mthodes rationnelles d'tude ont largement dpasses les rgles

empiriques.

Dans ce chapitre, en premier lieu, il sera question de donner la dfinition et les types

des fondations superficielles, il sera ensuite de parler de ractions dappuis de la

semelle filante, enfin les types de ruptures de ces fondations seront discuts.

Chapitre Un : Synthse Bibliographique sur le Comportement des Fondations Superficielles

5

1.1 Dfinition dune fondation

Dans son sens le plus strict, la fondation est l'lment qui sert de support

l'ouvrage et ses charges : elle comprend la couche superficielle de l'corce terrestre et

la partie de l'difice destine reporter les efforts sur le sol. Il existe deux grands types

de transmission des charges des constructions aux couches des sols sous-jacentes : par

fondation superficielle et par fondation profonde.

1.2 Fondations superficielles

Les fondations superficielles sont, par dfinition, des fondations qui reposent sur le sol

ou qui ny sont que faiblement encastres. Les charges quelles transmettent ne

sollicitent que les couches superficielles et peu profondes elles ont leur base situe au-

dessus dune profondeur que lon peut dfinir comme le niveau au-dessous duquel, en

sol homogne, la rsistance sous la base de la fondation naugmente plus (profondeur

critique): ce sont les semelles, radiers, etc. Les fondations superficielles travaillent

essentiellement grce la rsistance du sol sous la base.

Les lments gomtriques qui dfinissent une fondation superficielle sont :

B, la largeur de la fondation

L, la longueur de la fondation

D, lencastrement qui est la profondeur de la base de fondation.

Une fondation est dite superficielle si D < 1,5. B

Si D > 5B la fondation est dite profonde

Si 1,5 B < D < 5 B la fondation est semi profonde

Pour les fondations superficielles, la fondation est appele :

Radier : si la surface totale du btiment est la fondation

Semelle : si seule une partie de la surface du btiment correspond la fondation

De plus pour une semelle si :

L/B > 10 il sagit dune semelle filante (le problme peut tre considrer comme

bidimensionnel)

1.3 Types de fondations superficielles

On distingue trois types de fondations superficielles


6

a) Les semelles isoles

Ce type de fondation est mis en uvre dans le cadre dun difice prsente des

descentes de charges concentres (poteaux, longrines sous murs). Les semelles isoles,

dont les dimensions en plan B et L sont toutes deux au plus de quelques mtres; cette

catgorie inclut les semelles carres (B/L = 1) et les semelles circulaires

(de diamtre B).

b) Les radiers ou dallage

Les radiers ou dallage ont des dimensions B et L importante, cette catgorie inclut

les radiers gnraux.

c) Les semelles filantes

La semelle filante est une semelle continue rectiligne portant un mur ou une range

de piliers. Son rle est de rpartir les charges qui lui sont appliques sur une plus

grande surface que ne le ferait le mur quelle soutient, afin de ne pas senfoncer dans le

sol. Les fondations filantes ont gnralement une largeur B, et une longueur L

(L/ B > 10)

Semelle filante Semelle isole

Radier (ou dallage)

Figure 1.1 Types de fondations superficielles


7

1.4 Ractions dappuis de la semelle filante

a) Uniformit du sol

Semelle rigide dans ce cas, on peut dire que la force portante en tout point de

la semelle est substantiellement la mme. Cependant, cette raction ne sera uniforme

que si le centre de la semelle concide avec le centre des charges des colonnes.

Figure 1.2 raction dappui de la semelle rigide

Semelle souple dans ce cas, la force portante sera plus grande en dessous des

colonnes quentre deux colonnes successives. La pression nest donc ni uniforme ni

linaire.

Figure 1.3 raction dappui de la semelle souple

b) Variabilit du sol

Si le sol est variable sous la semelle filante, la force portante aura alors un

comportement diffrent du prcdent.

Deux cas qui se prsentent de nouveau nous :

Semelle rigide dans ce cas, la semelle tendra rgler uniformment la force

portante mais, lendroit o le sol est plus souple, la force sera moindre. Pour garder


8

lquilibre vertical des forces, la force portante va donc augmenter de chaque cot de la

section moins porteuse du sol.

En rsum, la semelle tend dcharger la partie du sol moins rigide et transfrer les

charges sur les sections plus rigides.

Figure 1.4 Semelle rigide

Semelle souple dans ce cas, il y a nouveau deux cas

Soit la partie plus souple se trouve entre deux colonnes. La semelle subit alors cet

endroit une lgre dformation vers le haut, qui rduira la force portante et

laugmentera aux extrmits de cette zone moins porteuse ;

Figure 1.5 Semelle souple

Soit la section plus souple se trouve sous une colonne. Alors la force portante la plus

importante, qui devrait avoir lieu sous cette colonne si le sol avait t uniforme, se voit

rduites par le sol mou, ce qui conduit une meilleure homognit des ractions

dappuis de la semelle.


9

1.5 Phnomne de rupture

1.5.1 Types de rupture dune fondation superficielle

La figure 1.2 montre une semelle superficielle de largeur B ancre une profondeur Df

par rapport a la surface du sol (un sable dense ou une argile raide). Si on applique une

charge q = Q/A (A = aire de la fondation) dune faon progressive sur cette fondation,

alors la semelle subie un tassement qui croit avec lintensit de la charge. Quand q

devient gale a qu pour un tassement S = Su, le sol soutenant la fondation subit

soudainement une rupture par cisaillement. La surface de rupture dans le sol est

indique dans la figure. 1.2a, et la courbe (chargement -tassement) est montre dans la

figure. 1.2b. Ce type de rupture s'appelle rupture par cisaillement gnral, et qu est la

capacit portante. Notons que, dans ce type de rupture, la valeur maximale q = qu est

clairement dfinie sur la courbe chargement-tassement.

(a)

(b)

Figure 1.7 rupture par un cisaillement gnrale

Charge (q)

Tassem

ent (s)


10

Si la fondation montre dans la figure 1.7a est soutenue par un sable moyennement

dense ou une argile dune consistance moyenne (figure 1.8a), la courbe chargement-

tassement prend la forme indique sur la figure 1.8b. Notons que la valeur de q croit

avec le tassement jusqu' q = qu, qui est appele habituellement la premire charge de

rupture. A ce moment, la surface de rupture dveloppe dans le sol serait comme celle

montre (par des lignes continues) dans la figure. 1.8a. Si on augmente la charge

applique sur la fondation, la courbe chargement-tassement devient irrgulire avec

des sautillements, est la surface de rupture se prolonge suivant la courbe reprsente en

trait discontinu dans la Figure. 1.8b. Quand q devient gal qu (capacit portante), la

surface de rupture atteint la surface du sol. Au-del, la courbe chargement-tassement

prend presque une forme linaire, mais aucun pic nest observ. Ce type de rupture

appel rupture par cisaillement locale.

La figure 1.9a montre la mme fondation repose sur un sable lche ou une argile

molle. Pour ce cas, la courbe chargement-tassement aura lallure de la courbe de la

figure. 1.9b. le pic nest pas bien observ. La capacit portante, qu, est dfinie au point

o s /q devient grand, puis il reste presque constant. Ce type de rupture dans le sol

appel rupture par poinonnement. Dans ce cas, la surface de rupture natteint jamais

la surface du sol.

(a)


11

(b)

Figure 1.8 rupture par un cisaillement local

(a)

(b)

Figure 1.9 rupture par poinonnement

Tassem

ent (s)

Charge (q)

Tassem

ent (s)

Charge (q)


12

La nature de la rupture dans le sol la charge ultime est en fonction de plusieurs

facteurs tels que la rsistance et la compressibilit relative du sol, lancrage de la

fondation (Df) par rapport la largeur de la fondation (B), et le rapport largeur-

longueur (B/L) de la fondation. Ceci a t clairement expliqu par Vesic qui a ralis

des essais dans le laboratoire (un sable). Le rsum des rsultats de Vesic est montr

sous une forme lgrement diffrente sur la figure. 1.10. Dans cette figure, Dr, est la

densit relative du sable, R, le rayon hydraulique de la fondation, qui est dfini par :

R= A/P

Avec A = surface de la fondation = BL

P = primtre de la fondation = 2(B + L)

Ainsi R= BL / 2(B+L)

Pour une fondation carre, B = L, donc R=B/4

De la figure. 1.10 il peut voir que, quand Df /R environ 18, la rupture par

poinonnement se produise dans tous les cas, indpendamment de la densit relative

du sable

Figure 1.10 Nature de la rupture en fonction de la densit relative Dr et Df /R.

Densit relative Dr (%)

Dr /R

Poinonnement

Cisaillement Local

Cisaillement Gnrale


13

Figure 1.11 Mcanisme de rupture dune fondation (modle rduit)

I : tat lastique

III : tat dquilibre passif de Rankine

II : zone de cisaillement radial

(Spirale logarithmique assurant la transition entre les zones I et III)

1.6 Philosophies de conception des fondations

1.6.1 Mthode de contrainte admissible (utilisation du facteur de

scurit)

Le facteur de scurit FS est de lordre de 2 3 au plus, il est employ pour

sassurer que les charges des fondations sont de manire significative moins que

la rsistance au cisaillement du sol de support et que les tassements ne sont pas

excessifs.

La valeur relativement leve du facteur singulier de la scurit tient compte de

* Incertitudes en conditions de charge et des variations dfavorables de charge

* Incertitudes en tats de sol et en paramtres

*Consquences de rupture, incertitudes dans les mthodes d'analyse


14

1.6.2 Mthode dtat limite (utilisation du facteur partiel de

scurit)

Vise s'assurer que toutes les conditions d'excution appropries sont satisfaites dans

toutes les circonstances imaginables:

- tat Limite ultime : Concern par l'effondrement et le dommage majeur.

- tat Limite D'utilit : Concern par l'utilit et le dommage mineur.

Les exemples des tats de limites incluent:

- Rupture par cisaillement

- Rupture par glissement

- Rupture par renversement

- Tassement ou soulvement excessifs

- Rupture de la structure de l'lment de fondation

Il convient de noter que la portance admissible des fondations superficielles presque

est toujours commande par des critres de tassement et trs rarement par des critres

de rupture par cisaillement. Cependant, en ce qui concerne la scurit contre la rupture

de cisaillement, la charge structurale permise sur une fondation est calcule par la

mthode contrainte admissible. Lors dune tude prliminaire ou du contrle dun

calcul, il est utile de connatre les ordres de grandeur de la capacit portante admissible

pour des roches ou des sols types. Il y a une gamme des mthodes empiriques bases

sur des rsultats d'essai in situ.

Le tableau 1.1 fournit de telles valeurs ; naturellement, celles-ci doivent tre prises

avec prudence.


15

Tableau 1.1 - Valeurs estimes de la capacit portante ou pression admissible d'une fondation (d'aprs le BS 8004)

Conclusion

Comme toute construction, les fondations superficielles sont sujettes des dsordres

qui sont dus gnralement aux dformations, lassise est le plus souvent en cause, soit

par son htrognit, soit par suite des travaux, cet effet ltude de la capacit

portante cest avr primordiale.

Chapitre Deux

Mthodes De Calcul De La Capacit portante

2. INTRODUCTION

Lun des sujets les plus importants dans le domaine de la gotechnique est lestimation de

la capacit portante des fondations superficielles. Dans un premier temps, lingnieur

gotechnicien, cherchera fonder son ouvrage superficiellement, pour des raisons de cot

videntes Il devra, alors, se proccuper en tout premier lieu de la capacit portante de sa

fondation, cest--dire vrifier que les couches de sol superficielles peuvent effectivement

supporter la charge transmise, il doit alors sassurer que son tassement sous les charges

de fonctionnement prvues (courantes ou exceptionnelles) est dans des limites admissibles.

Capacit portante et tassement sont ainsi les deux lments fondamentaux quil y a lieu de

considrer systmatiquement lors du calcul des fondations superficielles. Pour ces raisons,

de nombreux auteurs ont rsolu le problme de la capacit portante en faisant des

hypothses diffrentes sur la rugosit de la semelle et la forme de la zone en quilibre

limite, c'est--dire sur lallure des surfaces de glissement, bien que les valeurs numriques

soient parfois assez diffrentes. Prandtl et Reissner ont prsent les premires solutions

analytiques pour la capacit portante des fondations superficielles. Terzaghi a propos la

formule gnrale de la capacit portante dune semelle filante soumise une charge

verticale centre. La charge limite est dtermine en superposant trois tats de rsistance :

la rsistance du sol pulvrulent sous le niveau de la semelle, laction des terres situes au-

dessus du niveau de la fondation et laction de la cohsion (Mthode de superposition de

Terzaghi).

Chapitre Deux : Mthodes de Calcul de la Capacit Portante

17

Dans ce chapitre, nous donnerons dabord une dfinition de la capacit portante, ensuite

en parlera des mthodes de calcul de la capacit portante.

2.1 Dfinition de la capacit portante

Les notions de capacit portante et de tassement sont clairement illustres par la

(Figure 2.1) qui reprsente une courbe typique obtenue lors du chargement dune

fondation superficielle. La largeur de la fondation est note B et la profondeur o est situe

sa base est note D. Appliquons une charge monotone croissante, dune manire quasi

statique, une fondation pose une profondeur D donne et relevons les tassements s

obtenus en fonction de la charge applique Q.

Figure 2.1 Courbe chargement-tassement dune fondation superficielle

Au dbut du chargement, le comportement est sensiblement linaire, cest--dire que le

tassement crot proportionnellement la charge applique. Puis le tassement nest plus

proportionnel (on peut dire quil y a cration et propagation de zones de sol plastifies sous

la fondation). partir dune certaine charge Ql, il y a poinonnement du sol ou tout du

moins un tassement qui nest plus contrl. Le sol nest pas capable de supporter une

charge suprieure (on peut dire que lon a atteint lcoulement plastique libre). Cette

charge Ql est la capacit portante de la fondation (on parle aussi souvent de charge limite,

de charge de rupture ou encore de charge ultime).

2.2 Mthodes de calcul de la capacit portante

2.2.1Thorie de Rankine (1857)

Pour Rankine le problme se ramne ltude de lquilibre, sous lextrmit de la

fondation, entre un coin actif sous la demi-semelle et un coin passif lextrieur

(I et II de la figure 2 .2).


18

Le principe de la mthode de Rankine consiste calculer les forces de pousse et de bute

partir dune approximation de ltat des contraintes dans le sol au contact dun cran.

Si f est la contrainte exerce par le sol sur lcran, la force de pousse ou de bute par unit

de longueur de lcran a pour expression :

F = f dz (2.1)

Cette mthode repose sur lhypothse simplificatrice fondamentale suivante :

La prsence de discontinuits, provoques par la prsence de murs ou dcrans la surface

dun massif de sol, ne modifie pas la rpartition des contraintes verticales dans le sol.

Ainsi, sur un plan parallle la surface du massif de sol, la contrainte reste verticale et

gale zcos ( : angle dinclinaison de la surface du sol par rapport lhorizontale).

Figure.2.2 Equilibre de Rankine

La plus grande force qui puisse sappliquer avant la rupture contre le coin II passif, est

gale a la bute, soit :

Pp=qs H kp+'/2 H2kp+2c'Hkp (2.2)

Avec

H=B/2 tg(/2+/2) = B/2kp (2.3)

Ainsi

Pp = qs B/2 kp

3/2+ '/8 B2 kp2+ c' Bkp (2.4)


19

Cette bute doit tre gale a la pouss

Pa=Qu /B H/ kp + '/2 H2/kp -2c'H1/kp (2.5)

Lexpression qui donne la charge maximale que supportera la semelle ou capacit portante

Qu /B =Pa /H kp- '/2 H +2c'kp (2.6

) En remplaant : H=B/2kp

Qu /B =2Pa /B kp - '/4 Bkp +2C'kp (2.7)

A la limite de lquilibre Pa=Pp

Qu /B = B /4 (kp5/2 - kp1/2) + 2 C'(kp3/2 + kp1/2) + 'Dkp2 (2.8)

Qui scrit sous la forme condense :

qu= Qu/B = B '/2N+ C'Nc+DNq (2.9)

Avec

N=1/2(kp

5/2 - kp1/2) (2.10)

Nq=kp

2 (2.11)

Nc= 2(kp

3/2 +kp1/2) (2.12)

N, Nq, et Nc sont les facteurs de surface, de profondeur et de cohsion respectivement

2.2.2 Thorie de Prandtl (1920)

Le problme bidimensionnel dun sol pulvrulent non pesant, dangle de frottement interne

et charg normalement sa surface par deux rpartitions uniformes tel que:

(P = qu et q = D), a t rsolu pour la premire fois par Prandtl (1920).

Prandtl (1920) a donn son mcanisme de rupture le plus accept et le plus utilis ensuite

par les autres auteurs. Daprs Prandtl le mcanisme de rupture sous la fondation, suppos

base lisse prsente un systme de lignes de glissement rpartis sur trois zones distinctes:


20

La zone I en quilibre de pousse de Rankine.

La zone II en quilibre de Prandtl, cette zone est appele saut de Prandtl

La zone III en quilibre de butte de Rankine.

Figure.2.3 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)

Dans la zone I et III, la famille de lignes de glissement est forme bien de droites.

Dans la zone II, une famille de lignes de glissement est constitue de courbes. Il s'agit de

lignes de glissement appartenant cette mme famille et qui sont homothtiques entre

elles et forment des spirales logarithmiques. Lautre famille des lignes de glissement est

forme de droites, faisant un angle de avec la normale aux points dintersection avec les

spirales, et ayant toutes un point de rebroussement lintersection des deux surcharges.

Il est noter que les spirales logarithmiques peuvent scrire sous la forme, en

coordonnes polaires, de :

= 0 etg (2.13)

Le problme se ramne donc l'tude de l'quilibre du bloc (SAB) en crivant que le

moment en S de l'ensemble des forces est nul.


21

Figure.2.4 Mcanisme de rupture dune fondation de base lisse (Prandtl 1920)

On notera q1 et q2 les intensits des contraintes critiques qui agissent respectivement sur les

rayons polaires AO et Ae. L'quilibre de pousse et de butte de Rankine dans un milieu

non pesant donne :

=24

.1

tgqq u et )24(..2

+= tgDq (2.14)

On peut traduire l'quilibre du bloc AOe en crivant que le moment en A de l'ensemble des

forces appliques est nul.

Soit, 0tan...2

tan...2 21

= qAeAeqAOAO (2.15)

On a alors, tgeAe

AO = (2.16)

Donc, q1 et q2 sont lies par la relation suivante dans l'quilibre de Prandtl

tgtg eeAe

AO

q

q .22

21 ==

= (2.17)

Puisque l'angle que font AO et Ae est gal /2


22

Donc finalement on a:

tgu etgDq.2 .

24..

+= Cest--dire tgq etgN.2 .

24

+= (2.18)

Cette formule est quelque fois appele formule de Prandtl Caquot, car ces deux auteurs l'on

publie, indpendamment l'un de l'autre vers [1920].

2.2.3 Thorie de Terzaghi (1943)

Les quations dveloppes par Terzaghi (1943) ont t utilises pendant longtemps et

continuent tre employes par des ingnieurs. Son dveloppement est inspir partir des

tudes de Rankine (1857), Prandtl (1920), et Reissner (1924). Le modle bidimensionnel

utilis par Terzaghi (figure 2.5) se prsentait en une semelle filante avec une largeur de 2B

(plus tard, les auteurs ont utiliss une largeur B au lieu de 2B) et une profondeur dencrage

de la base de la semelle par rapport la surface du sol de Df.

Terzaghi a galement utilis une semelle base rugueuse et une semelle base lisse, dont

la courbe de chargement-tassement est reprsente sur la figure2.6. Le bloc abd se dplace

verticalement vers le bas, le bloc ade caractris par la courbe spirale (de) est considr en

tat de rupture par cisaillement le long de cette courbe, et le bloc aef est considr tre dans

un tat dquilibre plastique de Rankine.

Lquation exprime par Terzaghi qui sert la dtermination de la capacit portante scrit

QD =2B(cNc+Df Nq+BN) rupture par cisaillement gnrale (2.14)

Q`D =2B (2/3cN'c+BN' q +BN') rupture par cisaillement locale (2.15)

Avec QD = charge de rupture de la semelle filante

C = la cohsion du sol

= poids volumique du sol

Nc, N', c Nq, N' q, N , N' facteurs de la portance


23

La diffrence entre les deux formes de rupture (cisaillement gnrale et cisaillement locale)

est illustre dans la figure 2.6, o la rupture par un cisaillement gnrale est reprsente par

la ligne continue. Le tassement pour les sols mous ou lches est plus grand que les sols

denses, pour cette raison Terzaghi a propos de rduire les valeurs des facteurs de

portance pour les sols lches.

Figure.2.5 Model utilis par Terzaghi pour la dtermination des facteurs de portance

Figure 2.6 Courbe chargement-tassement dune semelle sur un sable dense C1, et un sable lche C2 (Terzaghi, 1943).

Charge

Tassem

ent


24

Figure 2.7 Facteurs de la portance de Terzaghi

En 1948, Terzaghi a propos une thorie bien-conue pour la dtermination de la portance

d'une semelle filante rigide soutenue par un sol homogne profond. La surface de rupture

sous la charge ultime qu, est montre sur la figure 2.8. Daprs cette figure, la surface de

rupture sous la fondation peut tre divise en trois zones principales:

- La zone abc : C'est une zone lastique triangulaire situe au-dessous de la semelle.

L'inclination des faces ac et bc est = (langle de frottement interne du sol).

- La zone bcf : Cette zone est la zone de cisaillement radial du Prandtl.

- La zone bfg : Cette zone est la zone passive de Rankine. Les lignes de glissement dans

cette zone font un angle de (45 - /2) avec l'horizontal.

La zone de cisaillement radial de Prandtl et la zone passive de Rankine sont galement

situes la gauche de la zone triangulaire lastique abc; mais, elles ne sont pas montres

dans la figure. 2.8. La ligne cf est un arc d'une spirale logarithmique, dfini par l'quation :

r = r0

e tag (2.19)

Les lignes fb et fg sont des lignes droites. La ligne fg s'tend jusqu' la surface du sol.

Terzaghi a suppos que le sol situ au-dessus de la semelle est remplac par une surcharge

q = Df (2.20)


25

Figure 2.8 Surface de rupture du sol sous une charge ultime dune semelle filante rigide (daprs Terzaghi)

La rsistance au cisaillement du sol est donne par :

= 'tag + c (2.21)

Avec ' : la contrainte normale effective

C : la cohsion

La portance, qu, de la semelle peut tre dtermine en considrant les faces ac et bc du

triangulaire abc, et en dterminant les forces passives sur chaque face qui provoque la

rupture. Il est noter que la force passive Pp est en fonction de la surcharge q = Df, la

cohsion c, le poids volumique , et langle de frottement interne du sol . Ainsi, en se

rfrant la figure 2.9, la force passive Pp sur la facette bc par unit de longueur de la

semelle, est :

Pp = Ppq+ Ppc + Pp (2.22)

Avec Ppq, Ppc et Pp : composantes de la force passive dues respectivement q,c,et

Il est important de noter que les directions des forces Ppq, Ppc, et Pp sont vertical, puisque

la face bc fait un angle avec l'horizontal, et Ppq, Ppc, et Pp doivent faire un angle avec

la normale trac de bc. Afin d'obtenir Ppq, Ppc, et Pp, la mthode de superposition peut tre

utilise.

Sol (, , c)


26

2.2.3.1 Relation pour Ppq ( 0, = 0, q 0, c = 0)

Considrons le bloc bcfj du sol montr dans la figure 2.9 (galement montre dans la

figure 2.10). Pour ce cas le centre de la spirale logarithmique, se trouve au point b. Les

forces par unit de longueur du coin bcfj des la surcharge q s sont montres dans la

figure 2.10a, et sont :

1. Ppq

2. Surcharge, q

3. La force passive de Rankine, Pp(1)

4. La force de frottement rsistante le long de larc cf, F

La force passive de Rankine, Pp(1), est exprime comme :

Pp(1) = qKp Hd = q Hd tg

2 (45 + /2) (2.23)

Avec : Hd = f j

Kp= tg

2 (45 + /2): coefficient de pression passive du sol

Selon les proprits d'une spirale logarithmique qui est dfinie par l'quation r = r0

e tag,

la ligne radiale napporte quel point fait un angle avec la normale. Par consquent, la

ligne d'action de la force de frottement F passe par le point b, qui reprsente le centre de la

spirale logarithmique (comme montre dans la figure 2.10a). En exprimant le moment par

rapport au point b, et en considrant la stabilit du coin abc :

Figure 2.9 Forces passives sur la face bc


27

(a)

(b)

Figure 2.10 Dtermination de Ppq ( 0, = 0, q 0, c = 0)

PQP

4

B=

( )bjq

2

bj+ ( ) 21

dp

Hp (2.24)

De lquation (2.20)

bf = 1r = tan

24

3

0

er (2.25)

Comme bj

=2

45cos1

r (2.26)

Et

=2

45sin1

rH d (2.27)


28

En combine les quations (2.21),(2.23)et (2.26),(2.27)

22

45tan2

45sin

22

45cos

4

2221

221

+

+

=

qrqr

Bppq (2.28)

Ou bien

=2

45cos4

221

qr

Bppq (2.29)

Maintenant, en combine les quations, (2.24) et (2.28)

=pqp =

+

245cos4 2

tan24

32

qBe (2.30)

En considre la stabilit du coin lastique abc sous la fondation comme montr sur

la figure 2.10b

( ) pqq PBq 21 = (2.31)

Avec qq : la charge par unit de surface sur la fondation, ou

qpq

q qNe

qB

Pq =

+==

245cos2

2

2

tan24

32

(2.32)

Nq

2.2.3.2 Relation pour Ppc ( 0, = 0, q 0, c 0)

La figure 2.11 montre la forme du coin bcfj (se rfrer galement la figure 2.9). Comme

dans le cas de Ppq, le centre de l'arc de la spirale logarithmique se trouve au point b. Les

forces agissant sur le coin sont dues la cohsion c sont montres galement dans la figure

2.11, et sont :


29

1. La force Passive, Ppc

2. La force du cohsion, C = c(b c 1)

3. La force passive de Rankine due a la cohsion

( )

+==2

45tan222

ddpp cHHKcP (2.33)

4. La force de cohsion par unit du surface le long de larc cf, c.

On considre le moment des forces par rapport au point b :

( ) cppc M

r

PB

p +

=

22

45sin

4

1

2

(2.34)

Avec Mc est le moment du a la cohsion c le long de larc cf

Mc ( )2021tan2 rrc =

(2.35)

Donc

( )20211

tan222

45sin

245tan2

4rr

cr

cHB

p dpc

+

+=

(2.36)

(a)


30

(b)

Figure 2.11 Dtermination de Ppc ( 0, = 0, q 0, c 0)

Les relations pour Hd, r0, et r1 en termes de B et sont donns dans les quations (2.24) et

(2.25) respectivement, en combine les quations (2.27),(2.26) et (2.35)

( ) ( ) cos2

1245tan245sin 2 =+ (2.37)

Considrant lquilibre du coin abc (figure 2.11b)

( ) pcc PcBq 2sin21 += (2.38)

Avec qc la force par unit de surface de la fondation

( )1cot12

45cos2cot

2

tan24

32

==

+=

qcc NccNe

cq

(2.39)

Nc


31

2.2.3.3 Relation pour Pp ( 0, 0, q = 0, c = 0)

La figure 2.12a montre la forme du coin bcfj. Cest une forme diffrente des formes

montres sur les figures 2.10 et 2.11, le centre de la spirale logarithmique se trouve au

point O et non au point b. Les forces par unit de longueur appliques au coin bcfj sont :

1. La force passive, pp

2. Le poids du coin bcfj, W

3. La rsultante de la force de rsistance de frottement agissant le long de larc cf, F

4. La force passive de Rankine, Pp (3)

La force passive de Rankine, Pp (3) est donn par la relation suivante :

( )

+=2

45tan2

1 23

dp Hp (2.40)

Noter galement que la ligne daction de la force F passe par le point O. Considrant le

moment par rapport au point O :

Pp lp=Wlw+Pp(3)lR (2.41)

Ou ( )[ ]Rpp

p lpWllp 3

1 += (2.42)


32

Figure 2.12 Dtermination de Pp ( 0, 0, q = 0, c = 0)

Considrant la stabilit du coin abc suivant les indications de la figure 2.12, on peut crire

q B = 2Pp - Ww (2.43)

Avec : q : force par unit de surface de la fondation

: Ww : Le poids du coin abc

Cependant tan4

2BWw = (2.44)

Alors

= tan4

21 2B

PB

q py (2.45)

La force passive Pp est exprime sous la forme suivante:

22

22 tan

8

1

2

tan

2

1

2

1pppp kBk

Bkhp =

== (2.46)

Avec Kp : coefficient de la pression passive des terres

Substituant lquation (2.45) dans (2.46)

BNkBBkB

Bq pp 2

1

2

tantan

2

1

2

1tan

4tan

4

11 22

22 =

=

= (2.47)

N


33

2.2.3.4 Capacit portante

La charge ultime par unit de surface de la fondation (c'est--dire, la portance qu) dun sol

avec une cohsion c, un angle de frottement interne , et un poids propre scrire :

qu = qq + qc + q (2.48)

Substituant les relations du qq, qc, et q donn par les quations (2.31), (2.38), et (2.46)

dans lquation (2.47) :

BNqNcNq qcu 21++= (2.49)

Avec Nc Nq et N : facteurs de la capacit portante, avec

+=

245cos2 2

tan24

32

eNq (2.50)

( )1cot = qc NN (2.51)

2

tantan

2

1 2 = pkN (2.52)

Tableau 2.1 Les Facteurs de la capacit portante daprs TERZAGHI

Nc Nq N Nc Nq N Nc Nq N 0 5.70 1.00 0.00 17 14.60 5.54 2.18 34 52.64 36.50 38.04 1 6.00 1.10 0.01 18 15.12 6.04 2.59 35 57.75 41.44 45.41 2 6.30 1.22 0.04 19 16.57 6.70 3.07 36 63.53 47.16 54.36 3 6.62 1.35 0.10 20 17.69 7.44 3.64 37 70.01 53.80 65.27 4 6.97 1.49 0.06 21 18.92 8.26 4.31 38 77.55 61.55 78.61 5 7.34 1.64 0.14 22 20.27 9.19 5.09 39 85.97 70.61 95.03 6 7.73 1.81 0.20 23 21.75 10.23 6.00 40 95.66 81.27 115.31 7 8.15 2.00 0.27 24 23.36 11.40 7.08 41 106.81 93.85 140.51 8 8.60 2.21 0.35 25 25.13 12.72 8.34 42 119.67 108.75 171.99 9 9.09 2.44 0.44 26 27.09 14.21 9.84 43 134.58 126.50 211.56

10 9.61 2.69 0.56 27 29.24 15.90 11.60 44 151.95 147.74 261.60 11 10.16 2.98 0.69 28 31.61 17.81 13.70 45 172.28 173.28 325.34 12 10.76 3.29 0.85 29 34.24 19.98 16.18 46 196.22 204.19 407.11 13 11.41 3.63 1.04 30 37.16 22.46 19.13 47 224.55 241.80 512.84 14 12.11 4.02 1.26 31 40.41 25.28 22.65 48 258.28 287.85 650.87 15 12.86 4.45 1.52 32 44.04 28.52 26.87 49 298.71 344.63 831.99 16 13.68 4.92 1.82 33 48.09 32.23 31.94 50 347.50 415.14 1072.80


34

Terzaghi a propos les formules suivantes pour les semelles carres et circulaires.

qu = 1.3cNc + qNq + 0.4BN (fondation carre; B B) (2.53)

qu = 1.3cNc + qNq + 0.3 BN (fondation circulaire; B B) (2.54)

Plusieurs tudes exprimentales ont t ralises pour estimer la portance des fondations

superficielles, depuis on a conclu que les hypothses de Terzaghi concordent bien.

Cependant, langle que font les faces ac et bc (figure 2.8) avec l'horizontal est plus prs

de 45 + /2, et pas comme propos par Terzaghi. Dans ce cas, la surface de rupture du

sol sera comme montre sur la figure 2.13. La mthode de superposition a t utilise pour

obtenir les facteurs de portance, Nc, Nq et N.

Figure 2.13 Surface de rupture modifie dun sol supporte une fondation superficielle sous la charge ultime

2.2.3.5 Thorie de la capacit portante de Terzaghi dans le cas dune

rupture par cisaillement locale

Il est vident, dans ce qui prcde, que la thorie de portance de Terzaghi a t obtenue

pour la rupture dun sol par un cisaillement gnrale. Cependant, la rupture par un

cisaillement locale, Terzaghi a suggr les relations suivantes :

Fondation superficielle (B/L=0 ; L=longueur de la fondation)

qu = cNc + qNq + B N (2.55)


35

Fondation carre (B = L)

qu = 1.3cNc + qNq + 0.4BN (2.56)

Fondation circulaire (B = diamtre)

qu = 1.3cNc + qNq + 0.3BN (2.57)

Avec Nc, Nq, et N = facteurs modifis de la portance

c = 2c/3 (2.58)

Les facteurs modifis de la portance peuvent tre obtenus par la substitution du par

'= tg-1(0.67tg) dans les quations (2.49), (2.50), et (2.51).Les variations de Nc, Nq, et

Navec sont montres dans le tableau 2.2

Tableau 2.2 Les Facteurs de la capacit portante modifis daprs TERZAGHI

N'c N'q N' N'c N'q N' N'c N'q N' 0 5.70 1.00 0.00 17 10.47 3.13 2.18 34 23.72 11.67 7.22 1 5.90 1.07 0.005 18 10.90 3.36 2.59 35 25.18 12.75 8.35 2 6.10 1.14 0.02 19 11.36 3.61 3.07 36 26.77 13.97 9.41 3 6.30 1.22 0.04 20 11.85 3.88 3.64 37 28.51 15.32 10.90 4 6.51 1.30 0.055 21 12.37 4.17 4.31 38 30.43 16.85 12.75 5 6.74 1.39 0.074 22 12.92 4.48 5.09 39 32.53 18.56 14.71 6 6.97 1.49 0.10 23 13.51 4.82 6.00 40 34.87 20.50 17.22 7 7.22 1.59 0.128 24 14.14 5.20 7.08 41 37.45 22.70 19.75 8 7.47 1.70 0.16 25 14.80 5.60 8.34 42 40.33 25.21 22.50 9 7.74 1.82 0.20 26 15.53 6.05 9.84 43 43.54 28.06 26.25

10 8.02 1.94 0.24 27 16.03 6.54 11.60 44 47.13 31.34 30.40 11 8.32 2.08 0.30 28 17.13 7.07 13.70 45 51.17 35.11 36.00 12 8.63 2.22 0.35 29 18.03 7.66 16.18 46 55.73 39.48 41.70 13 8.96 2.38 0.42 30 18.99 8.31 19.13 47 60.91 44.54 49.30 14 9.31 2.55 0.48 31 20.03 9.03 22.65 48 66.80 50.46 59.25 15 9.67 2.73 0.57 32 21.16 9.82 26.87 49 73.55 57.41 71.45 16 10.06 2.92 0.67 33 22.39 32.23 10.69 50 81.33 65.60 85.75

Vesic suggre une meilleure mthode pour obtenir pour lestimation du Ncet Nq pour

des semelles poses sur un sable sous la forme :

= tg-1(K tg ) (2.59)


36

K=0.67+Dr-0.75D2

r (pour 0 Dr 0.67) (2.60)

Avec Dr = densit relative du sable

2.2.4 Thorie de Meyerhof (1951)

En 1951, Meyerhof a publiait une thorie de la portance qui peut sapplique aux

fondations rugueuses superficielles et profondes. La surface de rupture la charge ultime

sous une semelle superficielle continue suppose par Meyerhof comme indiqu sur la

figure 2.14. Sur cette figure, abc est une zone triangulaire lastique montre sur

la figure 2.6, bcd est une zone de cisaillement radiale avec cd est un arc d'une spirale

logarithmique, et bde est une zone de cisaillement mixte dans laquelle o le cisaillement

varie entre les limites de cisaillement radial et plan, dpendant de la profondeur et la

rugosit de la semelle. Le plan be est appel surface libre quivalente. Les contraintes

normales et de cisaillement dans le plan be sont P0 et 0, respectivement. La mthode de

superposition est utilise pour dterminer la portance, qu, de la semelle filante et exprim

NBNqNcq qcu ...21

.. ++= (2.61)

Avec Nc, Nq, et N facteurs de la capacit portante, B : largeur de la semelle

Fig.2.14 line de glissement pour une semelle filante rugueuse


37

2.3 Expressions des facteurs de portance N, Nc et Nq

Un nombre d'auteurs ont fait des propositions pour les facteurs de portance, comme Caquot

et Krisel (1953), Meyerhof (1963), Hansen et Christensen (1969), Hansen (1970), et

Vesic (1973). La forme de base de l'quation de la capacit portante (Eq. .14), propos par

Terzaghi, a t accepte par la plupart des investigateurs prcdents ; cependant, deux

modifications ont t suggres :

(1) : une analyse utilise un modle modifi par rapport au modle propos par

Terzaghi (figure 2.5)

(2) : une amlioration de la mthode pour inclure un certain nombre de facteurs tels que le

cas dune charge incline, le cas dune semelle rectangulaire plutt qu'une semelle filante.

En outre, des autres tudes ont t entreprises, comme ceux utilisent la mthode des

lments finis, pour tudier la limite inferieure et suprieure des valeurs de la portance

(Ukritchon et al. 2003).

2.3.1 Facteurs de portance daprs Meyerhof (1963)

Meyerhof (1963) dcrire que la portance des semelles filantes est calcule selon la forme

gnrale reprsente par Terzaghi, avec des expressions tablies par Prandtl (1920) pour

Nc, par Reissner (1924) pour Nq et par lui-mme (Meyerhof, 1961) pour une valeur

approche de N, ces coefficients ne tenant pas compte de la rsistance au cisaillement

dans le sol situ au dessus de la base de la fondation.

Les expressions des facteurs de cohsion, profondeur, et de surface sexpriment par :

Nc = ( Nq-1) cot (2.62)

Nq = e

(tan ) tan2 (/2 + /2) (2.63)

N = ( Nq-1) tan (1,4 ) (2.64)

Pour les semelles circulaires et rectangulaires (B x L), des facteurs partiels ont t

proposs, linitiative de Skempton (1951) pour les argiles, par linterpolation entre le cas

des semelles filantes et celui des semelles circulaires ;

Sc = 1+0.2 B/L tan2 (/2 + /2) (2.65)


38

Sq =S = 1 si = 0 (2.66)

Sq =S = 1+0.1 B/L tan

2 (/2 + /2) si = 10 (2.67)

Pour les semelles rectangulaires, une interpolation propose pour rectifier la valeur de

langle de frottement interne, plus forte de 10% dans les ruptures en dformations planes

p que dans les essais triaxiaux t

= p (1.1 -0.1 B/L) t (2.68)

2.3.2 Facteurs de portance daprs J.B Hansen (1970)

Hansen a utilis la mme quation de base que celle de Terzaghi sauf que la largeur de la

semelle est B au lieu de 2B comme utilise par Terzaghi

Qd/B = 1/2 BN + Df Nq+ cNc (2.69)

Avec:

Qd : capacit portante

B : largeur de la semelle

: poids propre de sol

Les facteurs de portance ont pour expressions :

Nq = e

tan tan2 (45 + /2) (2.70)

Nc = (Nq - 1) cot (2.71)

N = 1.5 (Nq - 1) tan (2.72)

(Note: si = 0, Nc = +2)

Hansen et Christensen (1969) ont prsent des courbes de N en fonction de langle de

frottement , entre la base de la fondation et le sable (figure 2.8). Si la base est rugueuse,

= , les valeurs peuvent tre lues de la courbe indique sur la figure 2.8.

L'quation suivante est pour une semelle parfaitement rugueuse


39

N = 1.5 (Nq - 1) cot (2.73)

Les facteurs de la capacit portante de Hansen pour la semelle filante sont prsents en

forme graphique sur la figure 2.16 et tabuls dans le tableau 2.3.

Figure 2.15 Le facteur N trouv pour des semelles filantes en fonction de langle de frottement pour le sable et pour interface (Hansen et Christensen, 1969).

Figure 2.16 Facteurs de portance de Hansen.

Facteurs de la portance

en degrs


40

Tableau 2. 3 facteurs de portance daprs Hansen

(deg)

Nq

Nc

N

(deg)

Nq

Nc

N

0 1.00 5.10 0.00 35 33.30 46.10 33.90

5 1.60 6.50 0.10 36 37.80 50.60 40.10

10 2.50 8.30 0.40 37 42.90 55.60 47.40

15 3.90 11.00 1.20 38 48.90 61.40 56.20

20 6.40 14.80 2.90 39 56.00 67.90 66.80

25 10.70 20.70 6.80 40 64.20 75.30 79.50

30 18.40 30.10 15.1 42 85.40 93.70 114.00

31 20.60 32.70 17.70 44 115.30 118.40 165.6

32 23.20 35.50 20.80 46 158.50 152.10 244.60

33 26.10 38.60 24.40 48 222.30 199.30 368.70

34 29.40 42.20 28.80 50 319.10 266.90 568.60

Pour traiter les cas d'une fondation filante, la charge peut tre excentre, incline, ou tous

les deux. La semelle est habituellement ancre une profondeur D. La semelle a toujours

une longueur L et sa forme peut ne pas tre rectangulaire. Finalement, la base de la semelle

et la surface du sol peut tre incline. L'quation de La capacit portante dune fondation

incline de forme quelconque, encastre dans un massif inclin et soumise une charge

incline selon Hansen, est gale :

Qd /A = BN s d i b g + Df Nq sq dq iq bq gq + cNc sc dc ic bc gc (2.74)

A : surface de la semelle,

S : facteurs de forme,

d : facteurs de profondeur,

i : facteurs d'inclinaison,

b : facteurs d'inclinaison de la base,

g : facteurs dinclinaison du sol.


41

Dans le cas particulier o = 0, Hansen dcrit qu'il est thoriquement plus correct

d'introduire des facteurs additifs, et lquation serra :

Qd /A = ( + 2) su (1 + sac + dac - iac bac - gac) (2.75)

Avec Su, est la rsistance au cisaillement de l'argile non drain. Hansen a dclar que

quand les modifications se produisent un par un, une solution analytique simple ou des

rsultats des expriences peuvent tre employs ; cependant, quand tous les facteurs sont

employs ensemble pour des cas plus compliqus, le rsultat du calcul sera une

approximation.

Toutes les charges agissant au-dessus de la base de la semelle sont reprsentes par une

rsultante, avec une composante verticale V, et une composante horizontale H. Pour le cas

de la charge excentre, la semelle est modifie de sorte que la rsultante intersect la base

un point appel le centre de charge. Si la semelle a une forme irrgulire, une semelle

rectangulaire remplissant les conditions ci-dessus est utilise.

2.4 Charge verticale excentre

Des essais sur modles rduits ont montr en effet qu'en milieu pulvrulent le coin sous la

fondation la rupture garde la mme forme que pour une charge verticale centre, mais

que ses dimensions se rduisent de manire ce que la ligne d'action de la charge et l'axe

de symtrie du coin concident. Dans le cas d'une semelle filante supportant une charge

verticale excentre, Meyerhof a propos d'attribuer cette semelle une largeur fictive, B' =

B - 2e, Avec : e = excentricit de la charge.

QL= qL A = B [(1-2e)

2 B/2 N + (1-2e) Nq+ (1-2e)c Nc] (2.76)

Avec A= surface de la semelle.

2.5 Charge centre incline

L'inclinaison da la charge diminue fortement la capacit portante des fondations.

En 1953, Meyerhof a amlior sa thorie pour la portance sous une charge verticale dans

le cas dune charge incline. Il a galement rsolu le problme de manire approche.

La figure 2.10 montre les zones plastifies dun sol supporte une semelle continue (filante)


42

rugueuse avec une petite inclinaison de la charge. La contrainte de cisaillement du sol, s,

est donne par :

S = C + 'tan (2.77)

Avec

C = cohsion

'= contrainte effective verticale

= angle de frottement

La charge incline fait un angle avec la verticale. sur la figure 2.10, abc est une zone

lastique, bcd est une zone de cisaillement radiale, et bde est une zone de cisaillement

mixte. La contrainte normale et de cisaillement sur la face ea sont p0 et s0, respectivement.

La portance, qu, peut tre exprime par :

qu(v) = qu cos = cNc + p0Nq + BN (2.78)

Avec Nc, Nq,N :facteurs de portance pour une charge incline

: poids du sol

Figure.2.17 Zones plastiques dun sol supporte une semelle sous une charge incline

2.6 Semelle sur une pente

2.6.1 Semelle sur la pente dun talus

En 1957, Meyerhof a propos une solution thorique pour dterminer la portance d'une

semelle superficielle situe sur la pente dun talus. La figure 2.18 montre la zone plastifie


43

dveloppes dans le sol sous une semelle filante rugueuse (largeur = B) implante sur la

pente dun talus.

Figure 2.18 nature de la zone plastique sous une semelle filante rugueuse implante sur la pente dun

talus Dans la figure 2.18, abc est une zone lastique, acd est une zone de cisaillement radiale, et

ade est une zone de cisaillement mixte. Les contraintes normales et de cisaillement sur le

plan ea sont p0 et s0, respectivement. Noter que la pente fait un angle avec l'horizontal.

Les paramtres de rsistance au cisaillement du sol sont c et , et son poids . la portance

peut tre exprime comme :

qu= cNc + p0 Nc+ BN (2.79)

La relation prcdente peut galement tre exprime comme :

qu= cNcq + BNq (2.80)

Avec Ncq, Nq = facteurs de la capacit portante

Pour un sol purement cohsif ( = 0) qu= cNcq

La figure 2.19 montre la variation de Ncq avec langle de la pente et le nombre de la

stabilit de la pente, NS.

Noter que : Ns= H/c (2.81)

Avec H = la hauteur de la pente


44

D'une faon similaire, pour un sol granulaire (c = 0)

qu= BNq (2.82)

La variation de Nq (pour c = 0) est montre dans la figure 2.20.

Figure.2.19 Variation du facteur Ncq pour Figure.2.20 Variation du facteur Nq pour

Un sol purement cohsif selon Meyerhof un sol granulaire selon Meyerhof

(semelle sur pente) (semelle sur pente)

.6.2 Semelle sur la crte dune pente

2.6.2.1 Solution de Meyerhof

La figure 2.21 montre une semelle filante rugueuse de largeur B situe sur une pente dune

hauteur H. Elle est situe une distance b de la crte de la pente. La portance de la

fondation peut tre exprime par :

qu= cNcq + BNq (2.83)


45

Figure 2.21 semelle filante sur une pente

Distance de la semelle de la crte b/B (pour Ns=0) ou b/H (pour Ns > 0)

Figure 2.22 Variation du facteur Ncq pour un sol purement cohsif selon Meyerhof

(semelle sur pente)


46

Meyerhof a dvelopp la variation thorique de Ncq pour un sol purement cohrent ( = 0)

et Nq pour un sol granulaire (c = 0), et ces variations sont montres dans les figures. 2.22

et 2.23. Noter que, pour un sol purement cohrent (figure. 2.22)

qu= cNcq (2.84)

Et pour un sol granulaire : figure. 2.23

qu= BNq (2.85)

Pour les besoins de la pratique, Meyerhof a donn des abaques permettant le calcul de Nq

et Ncq .On constate que tout se passe comme si le terrain de fondation tait horizontal ds

que d/B dpasse une certaine valeur limite :

d/B = 1,5 pour = 25

d/B = 2 pour = 30

d/B = 5 pour = 40

Il est important de noter que, pour la figure. 2.22, le nombre de stabilit NS gal a zro

quand B < H. Si B H la courbe pour le nombre de stabilit rel doit tre utilise.

La courbe charge (q)-tassement (s) obtenue par lauteur pour des essais en laboratoire pour

une argile sature (avec b /B =0, Df /B = 0, cu= 27.5 KN/m2, et B =76.2 mm) sont

montres sur la figure.2.24. Pour la mme fondation, le tassement la charge ultime

diminue avec l'augmentation de langle de la pente .


47

Figure.2.23 Facteur Nq pour un sol granulaire (semelle sur une pente) (Meyerhof)

Figure. 2.24 Courbe charge-tassement pour une semelle filante repose sur une pente (rsultats dun essai pour un model B = 76.2 mm, Cu = 27.5 kN / m

2, b/B = 0, Df /B=0)

Tassem

ent(s) / largeur (b) %

q (KN/m2)


48

2.6.2.2 Les solutions de Hansen (1970) et Vesic (1975)

Pour le cas b = 0 selon la figure. 2.21 (c'est--dire, la semelle est situe sur la crte de la

pente), Hansen a propos la relation suivante pour la portance d'une semelle filante

qu = cNc c + qNq q + 1/2 BN (2.86)

Avec Nc, Nq, N = facteurs de la portance

c ,q, = facteurs de la pente

q = Df (2.87)

Selon Hansen

q = = (1- tag)2 (2.88)

c = Nq q 1/ Nq 1 (pour > 0 (2.89)

c = 1-(2 / +2) (pour = 0) (2.90)

Pour = 0, Vesic a prcis que, avec l'absence du poids d la pente, le facteur N de la

portance a une valeur ngative et peut tre donn comme :

N = -2sin (2.91)

2.6.2.3 Solution par lquilibre limite et lanalyse limite

Saran, Sud, et Handa (1989) ont trouvs une solution pour dterminer la portance dune

semelle filante pose sur une pente (Figure.2.21) en utilisant lapproche d'quilibre limite

et d'analyse limite. Daprs cette thorie, pour une semelle filante

qu = cNc + qNq + 1/2 BN (2.92)

Avec Nc, Nq, N facteurs de la capacit portante

q = Df (2.93)


49

Tableau 2. 4 les facteurs de la capacit portante daprs Saran, Seed et Handa

Angle de frottement du sol, (deg)

facteur

(deg) Df /B b/B

40

35

30

25

20

15

10

30 0 0 25.37 12.41 6.14 3.20 1.26 0.70 0.10 20 0 0 53.48 24.54 11.62 5.61 4.27 1.79 0.45 10 0 0 101.74 43.35 19.65 9.19 4.35 1.96 0.77

N 00 0 0 165.39 66.59 28.98 13.12 6.05 2.74 1.14 30 0 1 60.06 34.03 18.95 10.33 5.45 0.00 20 0 1 85.98 42.49 21.93 11.42 5.89 1.35 10 0 1 125.32 55.15 25.86 12.26 6.05 2.74 00 0 1 165.39 66.59 28.89 13.12 6.05 2.74 30 1 0 91.87 49.43 26.39 25 1 0 115.65 59.12 28.80 20 1 0 143.77 66.00 28.89 15 1 0 165.39 66.59 28.89 30 1 1 131.34 64.37 28.89 25 1 1 151.37 66.59 28.89 20 1 1 166.39 66.59 28.89 30 1 0 12.13 16.42 8.98 7.04 5.00 3.60 20 1 0 12.67 19.48 16.80 12.70 7.40 4.40

Nq 10 1 0 81.30 41.40 22.50 12.70 7.40 4.40 30 1 1 28.31 24.14 22.50 20 1 1 42.25 41.4 22.50 10 1 1 81.30 41.4 22.50 50 0 0 21.68 16.52 12.60 10.00 8.60 7.10 5.50 40 0 0 31.80 22.44 16.64 12.80 10.04 8.00 6.25 30 0 0 44.80 28.72 22.00 16.20 12.20 8.60 6.70 20 0 0 63.20 41.20 28.32 20.60 15.00 11.30 8.76 10 0 0 88.96 55.36 36.50 24.72 17.36 12.61 9.44 50 0 1 38.80 30.40 24.20 19.70 16.42

Nc 40 0 1 48.00 35.40 27.42 21.52 17.28 30 0 1 59.64 41.07 30.92 23.60 17.36 20 0 1 75.12 50.00 35.16 27.72 17.36 10 0 1 95.20 57.25 36.69 24.72 17.36 50 1 0 35.97 28.11 22.38 18.38 15.66 10.00 40 1 0 51.16 37.95 29.42 22.75 17.32 12.16 30 1 0 70.59 50.37 36.20 24.72 17.36 12.16 20 1 0 93.79 57.20 36.20 24.72 17.36 12.16 10 1 0 95.20 57.20 36.20 24.72 17.36 12.16 50 1 1 53.65 42.47 35.00 24.72 40 1 1 67.98 51.61 36.69 24.72 30 1 1 85.38 57.25 36.69 24.72 20 1 1 95.20 57.25 36.69 24.72


50

2.6.2.4 Mthode Des Contraintes (Stress Characteristics Solution)

Daprs l'Eq. (2.29), pour les sols granulaires (c'est--dire, c = 0)

qu = 1/2 BNq (2.94)

Graham, Andrews, et Shields (1988) ont fourni une solution pour le facteur de portance,

Nq, pour une semelle continue pose sur un sol granulaire en pente bas sur la mthode

des contraintes (stress characteristics). La figure 2.25 montre les schmas des zones de

rupture pour une semelle ancre sur une profondeur Df /B, et une semelle loigne de b/B

de la crte du talus, respectivement traite pour cette analyse. Les variations de Nq

obtenues par cette mthode sont montres dans les figures. 2.26, 2.27, et 2.28

.

Figure.2.25 Les zones de rupture pour les cas a) Df /B > 0 b) b/B > 0

2.6.2.5 Relation empirique bas sur l'essai en centrifugeuse

En 1988 Gemperline rapport les rsultats de 215 essais en centrifugeuse sur les semelles

continues situes sur un sable en pente. Bas sur ces 215 essais, Gemperline a propos une

relation de la portance d'une semelle continue exprime par :

qu = 1/2 BN (2.95)


51

Figure.2.26 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0)

Figure.2.27 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=0.5)

Figure.2.28 Thorie de Graham et al. pour les valeurs de Nq (Df /B=1)


52

Shields, Chandler, et Garnier ont normalis les valeurs de Nq proposes par Gemperline

sous la forme suivante

Nq /NqR=[1+0.65(Df/B)]{1-0.8[1-(1-tag)2][2/2+(b/B)2tag]}

x{1-0.33(Df/B)tag[2/2+(b/B)2tag]} (2.96)

Avec NqR gale la valeur de Nq pour une semelle continue (de rfrence) pose sur une

surface plane sans encastrement (c'est--dire, Df /B = 0 et b/B = )

NqR peut tre donne par la relation suivante :

NqR = (10

0.1159-2.389)(10 0.34-0.2logB) (2.97)

O est en degrs et B en inch (1 in.= 2.54 cm)

Figure 2.29 : semelle aux bords dun talus

Bakir et al. (1994) passent en revue les thories traitant du problme des fondations places

au bord dune pente et leurs comparaisons avec des donnes exprimentales : Meyerhof,

Brinch Hansen, Giroud et al. Graham et Hovan (analyse limite), Kusakabe et al. (calcul

la rupture), Salenon et Garnier (calcul la rupture), Narite et Yamaguchi (quilibre

limite). Les facteurs de capacit portante N, obtenus par diffrentes mthodes pour la

semelle filante en bordure de pente reprsente sur l

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