MEMOIRE DE MAGISTER - CORE

UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA BOUMERDES

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

MEMOIRE DE MAGISTER

Spécialité : Génie Civil

Option : Sol Structure Matériaux

Présentée Par

HAMMOUN Bilal

Ingénieur U.M.B.B.

_________________________________________

ANALYSE DE L’ADAPTATION DES SOLS AVEC LA PRISE

EN COMPTE DE L’AFFAIBLISSEMENT CYCLIQUE

_________________________________________

Soutenue le 13 juillet 2011 devant la commission d'examen composée de :

Pr. BOUAFIA Ali Professeur USD Blida Président

Pr. MELBOUCI Bachir Professeur UMM Tizi-Ouzou Examinateur

Dr. BELAKROUF Ali M.C / A UMB Boumerdès Examinateur

Dr. HAMADOUCHE Ameziane M.C /A UMB Boumerdès Directeur

REMERCIEMENTS

Je remercie en premier ALLAH le tout puissant et miséricordieux.

Je voudrais exprimer ma sincère gratitude et ma vive reconnaissance à mon directeur

de mémoire Monsieur A. HAMADOUCHE, Maitre de conférences (A) à l’Université de

Boumerdès. Je lui adresse mes plus vifs remerciements pour l’aide et l’attention qu’il a porté

à ce travail et pour la confiance qu’il m’a accordée en me laissant un large champ d’initiative.

Ses qualités scientifiques et humaines m’ont profondément marqué.

Je remercie très sincèrement Monsieur A.BOUAFIA, Professeur à l’Université de

Blida, d’avoir accepté de présider la commission d’examen de ma thèse. Ses idées et ses

conseils m’ont été d’une aide précieuse.

Je remercie vivement Monsieur A. BELAKROUF, Maitre de conférences (A), Chef de

Département de Génie Civil de l’Université de Boumerdès, d’avoir accepté de juger cette

thèse.

Je tiens également à remercier Monsieur B. MELBOUCI, Professeur à l’Université de

Tizi-Ouzou d’avoir accepté d’être examinateur. Je lui suis reconnaissant de participer au jury.

Je remercie tous les enseignant(e)s du département de génie civil de l’Université de

Boumerdès.

Je remercie mes collègues du groupe B.E.T. ATRIUM (Blida) et tout particulièrement

à Monsieur A.FERDJANI pour les discussions fructueuses et le soutien moral qu’il m’a

apporté.

Je tiens tout aussi à remercier tout le groupe du C.G.S d’Alger et du C.T.C de Chlef, et

plus particulièrement à Monsieur A.MEBARKI ainsi qu’à Monsieur M.LOUNICI pour l’aide

et le soutien moral qu’ils m’ont apporté.

Je tiens à remercier tous mes proches, parents et amis.

الملخص

هذا هو ةشا خاص لأنيا حرحةط ارحةاطا وثقا ي ح .نيار ححح كاانا كحكاا ي كااناا الحرة الانظرات الحد أو

الكدة غر كحدودة ، كث حلك حثةرناكج ححك كعقد لوكع ذلك، .لححك لةسط كشاا اسحقرار الحرة ي إطار ةرناكج

هذه على اكن ، وهذه النظرات غر قادرة على الحنةؤاتالح ححدث على سة الكثا ي أسس الياا الةحر والطرق

.الياا ، ولو لححك دون الحد الأقصى للحكول

ةدرجات كحفاوح كع تحقطلنكاذج اهذه ال .لوصف سلوك الحرة ححت الححك الدوري تهناك عدد اةر كن النكاذج اقحرح

كن اقد اون الاسحرحا والسلوك الدوري الحعب ،اتالكساك الكحولد للكاه ي ضغطالالسكات الياك لسلوك الحرة كث

وكع ذلك ، .العناصر الكحدودة كن أج ح الكشاا الحدود ةرناكج حساة عحكد على طرق ا ي كالكناسب إدراجي

نظر .ة ةاهظ االعكل ، كان حقم كدى اسحجاة ةن الحرة إلا لعدد كحدود كن الدورات، لأن الحالف الحسللكشاا

وي .ثاةح حدود ةن حراوحك لحكولات عشوائ حعرضكةد لدراس سلوك الياا على الكدى الطو الحاف ه

وي هذا الساق ، نقحرح .الاهحكام وشيدت نحائج يعال وكقنع للغا السنوات الأخرة ، وجدت هذه النظر الكاد كن

حؤخذ ي الاعحةار هذه الأخرة .حياحدهور ي صلاةال ي حالت الأحرة كع الأخذ ةعن الاعحةار اكحدادا لنظر الحاف

أخذ ح حلسحا الكادة الحقق القانون السلوك الالاسحوةلا عادلاعحةرناها ك ، والحوهك كرنسلوك ةإدخا قانون

لحسةان.لحدهور ي اا

.الطرقاتكقةول ةشا ثاةت ، ال، والعناصر الكحدود كثال الحاف ، الحدهور ، ال اللدون ، :مفتاحيةكلمات ال

ABSTRACT

A problem of considerable importance in geotechnical engineering is that of the

prediction of the behaviour of soils under repeated loading. The necessity of understanding the

response of soil under earthquake conditions has long been appreciated, but more recently the

problems of offshore technology have accentuated the need for adequate descriptions of this

aspect of soil behaviour. Highway engineering have also been interested in the response of soil

and pavement materials to repeated loads of the type caused by rolling vehicles. Recently,

several sophisticated constitutive models have been proposed for the prediction of the

behaviour of soils under cyclic loading. These models capture to varying degrees the important

features of soils behaviour such as pore pressure generation, cyclic weakening, fatigue and

degradation characteristic and cyclic hysterisis, etc. , and can conceivably be incorporated in

finite element codes for solution of boundary value problem. However, for a practical problem,

the response of a soil structure can be evaluated for only a very limited number of cycles due to

constraints on computing costs. The prediction of long-time behaviour of soils subjected to a

set of loads fluctuating arbitrarily within the given bounds is of a great practical importance. In

this context, especially methods based on the shakedown theory have found an increasing

attention. The theory stipulates that, if an elastic-plastic body subjected to different loads

varying in any possible way between prescribed limits may undergo failure due to incremental

collapse or to alternating plasticity even if static collapse conditions are not attained. Both

occurrences can be characterized by the fact that the total plastic work increase without limit in

time, and can be described by the term inadaptation. To avoid such kind of failure, called

incremental and cyclic collapses, respectively, the plastic deformations developed in the first

stage of the loading history may lead to a system of residual stress which, superimposed on the

stresses corresponding to any combination of the varying loads, form a safe stress distribution

lying in the nine-dimensional stress space inside the yield surface. In this case the plastic

energy dissipated ceases and the body is said to shakedown.

This work deal with the development of an analysis tools which takes account of the

permanent strains and the cyclic weakening that occur in pavement structures, then an

extension of the static shakedown theorem is proposed.

Key Words: Plasticity, Shakedown, Cyclic weakening, Optimization, Equilibrium finite

element method, Pavement.

RESUME

Les théorèmes limites ou d’effondrement occupent une place distincte dans la

littérature de la mécanique des sols. Cela est particulièrement dû au fait qu’ils sont étroitement

liés à la solution des problèmes de stabilité du sol sous un simple programme de chargement.

Cependant, pour un programme de chargement complexe dont la durée est illimitée tels que

ceux qui se produisent par exemple dans les fondations des structures marines et les

chaussées, ces théorèmes sont incapables de prédire la sécurité de ces structures, même pour

un chargement inférieur à la charge limite.

Un nombre considérable de modèles est proposé pour décrire le comportement du sol

sous sollicitations cycliques. Ces modèles capturent avec des degrés variables les traits

importants du comportement du sol tels que la génération des pressions interstitielles, la

fatigue cyclique et le comportement hystérétique et peuvent convenablement être incorporés

dans un code d’éléments finis pour la solution des problèmes aux limites. Cependant, pour les

problèmes pratiques, la réponse d’une structure de sol peut être évaluée seulement pour un

nombre limité de cycles, vu le coût de calcul prohibitif. La théorie de l’adaptation est une

alternative pour l’étude du comportement des structures à long terme soumises à des

chargements quelconques variant entre des bornes fixes. Durant ces dernières années cette

théorie a trouvé une attention plus soutenue vu ses résultats très convaincants et son efficacité.

C’est dans ce contexte, que nous proposons une extension du théorème d’adaptation aux cas

des sols avec la prise en compte de la dégradation de la rigidité. Cette dernière est prise en

compte par l’introduction d’une loi de comportement élastique fictive, que nous avons

considéré équivalente à la loi de comportement élastoplastique du matériau réel qui tient

compte explicitement de la dégradation.

Mots clés : Plasticité, Adaptation, Dégradation, Optimisation, Elément finis statiquement

admissible, Chaussées.

SOMMAIRE

Sommaire

1

SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE

1. INTRODUCTION 7

2. MOTIVATION 8

3. CONTENU DU RAPPORT 10

CHAPITRE 1

COMPORTEMENT ELASTO-PLASTIQUE 12

1.1. GENERALITE 12

1.2. DEFORMATIONS REVERSIBLES ET IRREVERSIBLES 12

1.3. SURFACE DE CHARGE 13

1.4. POTENTIEL PLASTIQUE, REGLE D’ECOULEMENT 16

1.5. MULTIPLICATEUR DE PLASTICITE 17

1.6. CRITERES DE PLASTICITE 21

1.6.1. Critère de Tresca 21

1.6.2. Critère de Von mises 22

1.6.3. Critère de Coulomb 23

1.7. ECROUISSAGE 24

1.7.1. Écrouissage isotrope 26

1.7.2. Écrouissage cinématique 27

1.7.3. Écrouissage cinématique et isotrope combiné 28

1.8. DEFORMATION TOTALE 28

1.9. CONCLUSION 30

CHAPITRE 2

BASES DE LA THEORIE D'ADAPTATION 31

2.1. INTRODUCTION 31

2.2. HYPOTHESES DE BASE 33

2.3. ENONCE DU THEOREME STATIQUE DE MELAN 37

2.4. COEFFICIENT DE SECURITE A L’ADAPTATION 40

2.5. THEOREME CINEMATIQUE DE KOITER 41

2.6. CONCLUSION 42

Sommaire

2

CHAPITRE 3

EXTENSION DU THEOREME STATIQUE D’ADAPTATION

AVEC LA PRISE EN COMPTE DE LA DEGRADATION

43

3.1. INTRODUCTION. 43

3.2. DEGRADATION CYCLIQUE DES SOLS 43

3.3. ÉVALUATION DE LA DEGRADATION CYCLIQUE DE LA RIGIDITE 48

3.4. BASES THEORIQUES 49

3.5. MODÈLES DE FATIGUE POUR LA DÉGRADATION CYCLIQUE DES

SOLS

51

51

3.5.1. Modèle de Prévost 52

3.5.2. Modèle de Cuellar, Bazant, et Krizek 53

3.5.3. Modèle de Martin, Finn, et Seed 54

3.5.4. Modèle d’Idriss 55

3.6. EXTENSION DU THEOREME STATIQUE D’ADAPTATION AVEC LA

PRISE EN COMPTE DE LA DEGRADATION

56

3.7. CONCLUSION

62

CHAPITRE 4

ETUDE NUMERIQUE DE L’ADAPTATION 63


4.2. DOMAINE DE CHARGEMENT 63

4.3. FORMULATION ELEMENTS FINIS 65

4.3.1. Principe du minimum de l’énergie complémentaire totale 65

4.3.2. Fonction de contrainte d’Airy 66

4.3.3. Continuité des contraintes inter-éléments 68

4.3.4. Approximation de la fonction d’Airy par les polynômes d’Hermite 69

4.3.5. Prise en compte des conditions aux limites par les multiplicateurs Lagrange 70

4.3.6. Calcul de la réponse purement élastique 72

4.3.7. Calcul de la réponse plastique 73

4.3.8. Facteur de charge à l’adaptation 74

4.4. CONCLUSION 75

Sommaire

3

CHAPITRE 5

EXPLOITATION NUMERIQUE 7


5.2. EXPLOITATION NUMERIQUE 77

5.3. ETUDE D’UN MODELE MONOCOUCHE 8

5.3.1. Etude de l’influence de la cohésion sur la charge limite 80

5.3.2. Etude de l’influence de l’angle de frottement interne sur la charge limite 82

5.3.3. Etude de l’influence du maillage sur le facteur de charge 83

a) Etude l’influence de la région de L1 (sous la charge de pression) 83

b) Etude l’influence de la région de L2 85

c) Etude l’influence des points tests 86

5.4. ETUDE D’UN MODELE BICOUCHE 88

5.4.1. Etude de l’influence du module d’Young sur la charge limite d’adaptation. 89

5.4.2. Etude de l’influence de l’épaisseur de la couche d’asphalte sur la charge limite

d’adaptation.

90

CONCLUSION GENERALE 91

REFERENCES 94

ANNEXES 97

Notations

4

F Fonctions de charge ou fonction d’écoulement

Tenseur des contraintes

Limite d’élasticité en traction simple

s Déviateur des contraintes

1, 2, 3 Contraintes principales

Limite d’élasticité en cession simple

L’ensemble des paramètres cachés

Paramètres d’écrouissage isotrope

Tenseur d’écrouissage cinématique

Vitesse des déformations totales

Vitesse des déformations élastiques

Vitesse des déformations plastiques

Potentiel plastique

Multiplicateur de plasticité

Module d’écrouissage

Tenseur d’élasticité

( )

Matrice de flexibilité

Matrice de rigidité plastique

Matrice de rigidité élastoplastique

( )

Matrice de flexibilité élastoplastique

p Contrainte moyenne

q Contrainte déviatorique

v Déformation volumique

d Déformation déviatorique

NOTATIONS

Notations

5

Angle de frottement interne

Cohésion

F Forces de volume

T Tractions de surface

Déplacements imposés

u Déplacement

u Déplacement qui résulte des forces de volume

u Déplacement qui résulte des déformations plastiques

Déformation élastique résiduelle

Déformation élastique résiduelle indépendante du temps

Contrainte résiduelle au champ d’auto-contrainte

Contrainte résiduelle indépendante du temps

Contrainte élastique

( ) État de contrainte de sécurité

( ) État de contrainte admissible

L'énergie de déformation élastique fictive

К Paramètre de fatigue

Indice de dégradation

oefficient d’amortissement

Modules sécants de cisaillement pour nième et 1ère cycle

Module de Young pour nième et 1ère cycle

[ ]

Matrice de souplesse fictive

Matrice de rigidité fictive

Matrice de souplesse du corps élastique fictif

Enveloppe convexe du domaine D

D Domaine de chargement

Notations

6

c L’énergie complémentaire

U Energie de déformation

V* Potentiel des forces extérieures

( , , ) Système de coordonnées rectangulaires

( , ) Fonction de contrainte d’ ir

( , , ) Fonctions de forme

Coefficients de fonctions de contraintes au nœuds de l’élément

f Matrice de flexibilité élémentaire

Facteur de charge à l’adaptation

Facteur de charge charge limite P charge appliquée P

L Lagrangien

Un être mathématique, avec un indice représente un vecteur (par exemple ui),

avec deux indices ou plus représente un tenseur (par exemple ij tenseur d’ordre 2,

Eijkl tenseur d’ordre 4).


Introduction Générale

7


1. INTRODUCTION

Le premier instrument de calcul de l’ingénieur pour évaluer la résistance des structures

fut la théorie d’élasticité, qui a été amenée à un grand degré de perfection par un siècle et

demi de recherches. Le reproche que peut faire l’ingénieur à l’analyse élastique, qu’elle est

incapable de prendre en compte les propriétés anélastique des matériaux en calcul des

structures.

Pour l’étude d’un problème d’évolution élastoplastique ou viscoplastique on est amené

alors à faire un calcul pas à pas. Cette démarche n’est pas possible si le trajet de chargement

n’est pas exactement connu sur un intervalle infini. En plus le coût du calcul est prohibitif.

Cette carence a ouvert la voie à un nouveau théorème : celui de l’analyse limite, basé

généralement sur l’hypothèse simplifiée d’un chargement proportionnel. Or, ce mode de

chargement peut être lui-même considéré dans la pratique plus comme une hypothèse

commode de calcul que comme la réalité. Les charges appliquées sont très souvent répétitifs

et d’une manière indépendante les unes des autres, cette observation est à l’origine du

développement du concept de l’adaptation plastique.

Si une structure élastoplastique est soumise a programme de chargement au delà de son

domaine d’élastique durant un très grand nombre de cycles deux cas se présente : 1) soit la

structure s’adapte ou bien 2) elle ne s’adapte pas.

Si la structure s’adapte le travail dissipé plastiquement dans toute la structure est fini,

les déformations plastiques tendent vers une limite, la réponse en contraintes tend vers une

réponse purement élastique. Au contraire si elle ne s’adapte pas deux modes de ruine sont

possibles : la ruine par déformation plastique progressive (rochet) qui correspond à une

accumulation démesurée de la déformation plastique mettant l’ouvrage en péril; ou la ruine

par déformation plastique alternée (fatigue cyclique) qui entame à la longue l’endurance

locale du matériau.


8

2. MOTIVATION

Depuis longtemps on a observé que des matériaux et des structures, chaussées, rails

ferroviaire, fondations marines, peuvent se rompre si on leur applique de façon répétée un

grand nombre de sollicitations. Même Dans le cas où l’amplitude de la sollicitation reste

inférieure à la limite de résistance instantanée. L’une des principales causes d’amorçage de la

fissuration est la fatigue des matériaux et structures.

Les premières études au laboratoire ont été réalisées par WWööhhlleerr en 1852. L’expérience de

base, permettant de mettre en évidence le comportement à la fatigue d’un matériau consiste à

soumettre une éprouvette du matériau à des sollicitations répétées, toutes identiques, et à

déterminer le nombre de répétitions entraînant la rupture. La courbe représentative du nombre

de répétitions de charges jusqu’à la rupture, en fonction de l’amplitude de la contrainte (ou

déformation) appliquée est appelée ccoouurrbbee ddee WWööhhlleerr qui présente deux inconvénient

majeure:

Si on répète plusieurs fois le même essai de fatigue sur des éprouvettes identiques, le

nombre de cycle à la rupture est très ddiissppeerrsséé. Ainsi pour les métaux, l’étendue des durées de

vie constatées, pour une même amplitude de sollicitation appliquée, en répétant l’essai sur une

centaine d’éprouvettes identiques est telle qu’il peut y avoir un rapport de 1 a 10 entre la plus

faible et la plus forte durée de vie.

Les sollicitations de fatigue considérées sont toutes identiques. Ce cas ne se produit

pratiquement jamais dans la réalité. L’amplitude des sollicitations est le plus souvent

distribuée au hasard. Pour combler cette carence Miner a proposé une loi qu’on appelle llooii ddee

ccuummuull ddeess ddoommmmaaggeess. Si cette loi donne des résultats acceptables pour le cas de deux

séquences de chargent répétés. Pour les cas d’un grand nombre de séquences de nombreux

résultats expérimentaux montrent que cette loi d’additivité des dommages n’est pas exacte.

Pour l’étude de la fatigue multiaxiales des pièces et structures soumises à des chargements

complexes et d’amplitude variable il faut donc une méthode de dimensionnement sophistiquée

qui dépasse les méthodes de dimensionnement usuelles qui reposent sur des démarches trop

simplistes.


9

La théorie de l’adaptation plastique (mieux connue sous le terme anglais de

"sshhaakkeeddoowwnn") étudie les conditions de ruine d’une structure élastoplastique soumise à des

charges variables entre des bornes qui sont fixes, d’une manière indépendante les unes des

autres.

Si la structure s’adapte (eellaassttiicc sshhaakkeeddoowwnn) la fatigue peut survenir après un très grand

nombre de cycles de sollicitations sans aucun signe extérieur de dommage, alors même que la

structure travaille dans le domaine élastique : on parle alors de fatigue à grand nombre de

cycle (ffaattiigguuee ppoollyyccyycclliiqquuee). Au contraire si elle ne s’adapte pas deux modes de ruine sont

possibles :

- la ruine par déformation plastique alternée (ffaattiigguuee oolliiggooccyycclliiqquuee / ppllaassttiicc sshhaakkeeddoowwnn) ;

- la ruine par déformation plastique progressive (rroocchheett // rraattcchheettttiinngg) qui correspond à une

accumulation démesurée de la déformation plastique mettant la structure en péril.

Ces dernières années cette méthode a connu un développement rapide et elle s’est

imposée comme un outil de dimensionnement puissant et efficace des structures contre la

fatigue. Le critère de fatigue multiaxiale de DDaanngg VVaann [5] ainsi que la méthode d’analyse

simplifiée des structures inélastiques mise au point par ZZaarrkkaa eett IInngglleebbeerrtt [28] les plus

appliqués dans l’industrie automobile, ferroviaire et aéronautique repose sur le théorème

statique de MMeellaann de la théorie le de l’adaptation. Si ce dernier a fait l’objet de plusieurs

études et applications en mécanique des structures en revanches ses applications en

mécanique des sols se font rares et se résument à quelques applications numériques.

C’est dans ce contexte que nous présentons dans ce présent travail, l’extension du

théorème statique d’adaptation avec la prise en compte de dégradation de la rigidité. Cette

dernière est prise en compte par l’introduction d’une matrice d’élasticité fictive réduite. Elle

est déduite directement de la matrice élastoplastique du matériau qui tient compte

explicitement de la dégradation.


10

3. CONTENU DU RAPPORT

Dans le premier chapitre, nous donnons un aperçu sur le comportement

élastoplastique des sols.

Dans le deuxième chapitre, nous exposons la théorie de l’adaptation. Celle-ci permet

de résumer l’information utile à l’ingénieur au calcul d’un seul paramètre : le coefficient de

sécurité à l’adaptation. De plus, cette théorie apporte un certain nombre d’informations

qualitatives : le travail dissipé plastiquement dans toute la structure est fini, les déformations

plastiques tendent vers une limite.

Un chargement cyclique répété a long terme affecte la loi de comportement du sol,

réduit sa limite de résistance et engendre l’accumulation des pressions interstitielles en

condition non drainée. Ce qui entraine la dégradation cyclique du sol (réduction de la rigidité,

liquéfaction, développement des mécanismes de rupture…etc.). Dans Le troisième nous

proposons une extension du théorème statique d’adaptation aux cas des sols avec la prise en

compte de la dégradation cyclique de la rigidité.

Nous présentons dans le quantième chapitre la méthode des éléments finis

statiquement admissibles de type équilibre. Cette méthode est utilisée pour le calcul de la

réponse purement élastique ainsi que pour la détermination du champ de contrainte résiduelle.

La procédure numérique est basée sur le couplage de la méthode des éléments finis avec un

processus itératif d’optimisation utilisant la méthode du Lagrangien augmenté. Le facteur de

charge est la fonction objective à optimiser sous contraintes d’inégalités qui dérivent du

critère d’écoulement.

Le cinquième chapitre est consacré à l’application de l’approche proposée. Le

problème considéré est un massif de sol un bicouche, soumis à une charge verticale répartie

uniformément sous condition de déformation plane. Le sol est modélisé comme un matériau

élastique parfaitement plastique obéissant au critère de Mohr Coulomb avec une loi

d’écoulement associée. Les exemples que nous allons considérer se classent dans deux séries

dont chacune a un but différent.


11

Dans la première série nous examinons l’influence de certaines propriétés matérielles

(angle de frottement, cohésion), sur la charge limite à l’adaptation.

Nous considérons dans deuxième série le cas d’un bicouche. Nous étudions l’influence

de la rigidité relative, de la cohésion relative et de l’épaisseur sur la charge limite à

l’adaptation.

La comparaison des résultats obtenus est faite par rapport à ceux obtenus par la théorie

d’analyse limite.

COMPORTEMENT ELASTO-PLASTIQUE

CHAPITRE 1

CHAPITRE I Comportement élasto-plastique

12

ELASTOPLASTICITE

1.1. GENERALITE

Pour pouvoir étudier les modèles élastoplastiques et les programmer par la méthode des

éléments finis, nous présenterons brièvement dans les paragraphes suivants des généralités sur

l’élastoplasticité.

Les études plus rigoureuses et plus détaillées sont présentées dans Mandel (1966) [13],

Katchanov (1975) [11], Salençon (1974) [24], Salençon et Halphen (1980) [25].

1.2. DEFORMATIONS REVERSIBLES ET IRREVERSIBLES

Considérons une sollicitation uniaxiale sur un corps ayant un comportement

élastoplastique écrouissable (Figure 1.1). L’effet du temps est supposé négligeable.

Le comportement du matériau jusqu’au point A est élastique linéaire. En déchargeant on

revient au point de départ 0, toutes les déformations sont réversibles. En continuant le

chargement jusqu’au point B et en déchargeant des déformations irréversibles (dites

déformations plastiques εp) apparaissent. Dans ce cas la déformation totale est la somme de

déformation élastique εe et plastique εp

ε ε ε

Le point A, (le point au delà duquel on a des déformations plastiques) est appelé le

seuil de plasticité initial. Le point B est appelé le seuil de plasticité actuel.


13

0

εp εe

Figure 1.1 – Déformations réversibles et irréversibles –

1. 3. SURFACE DE CHARGE

Dans le cas de la sollicitation multiaxiale, le seuil de plasticité est remplacé par une

fonction scalaire F. D’une façon générale on peut l’écrire sous la forme :

( )

avec :

: Tenseur des contraintes

R : L’ensemble des paramètres « cachés » ou d’écrouissage, qui peuvent être soit des

grandeurs scalaires α, soit des grandeurs tensorielles αij. Les paramètres

d’écrouissage sont fonction des déformations plastiques.

La fonction F = 0 est représentée par une surface dans l’espace des contraintes appelée

surface de charge, fonction de charge ou encore fonction d’écoulement.

Pour F < 0, on est dans le domaine d’élasticité et les déformations sont uniquement

élastiques.


14

1

F < 0 ( )

Domaine

élastique

3

2

Figure 1.2 Surface de charge

Pour F = 0, les déformations élastiques peuvent être éventuellement accompagnées de

déformations plastiques.

F > 0, est un état de contraintes physiquement impossible.

Quand l’expression de la surface de charge ne contient pas de paramètres d’écrouissage,

la plasticité est dite parfaite.

Cas de charge ou décharge

Pour un état de contrainte tel que ( ) on peut avoir deux cas possibles.

1ère cas

( )

( )


15

Ceci est le cas de la décharge, c’est-a-dire que est dirigé vers l’intérieur du domaine

d’élasticité actuel (Figure.1.3.b), alors :

ε ε

1 1

2 2

F = 0 F = 0

3 3

Figure 1.3.a – Cas de charge – Figure 1.3.b – Cas de décharge –

2ème Cas

( )

( ) Condition de consistance ou équation de comptabilité (1.4.b)

(

)

Dans ce cas l’incrément de contrainte est dirigé vers l’extérieur du domaine

d’élasticité actuel (Figure 1.3.a), et il y a apparition de déformations plastiques. Pour un

modèle écrouissable le domaine d’élasticité se déplace.


16

La vitesse des déformations est due d’une part à la vitesse des déformations élastiques et

d’autre part a la vitesse des déformations plastiques.

ε ε ε

On remarque que le signe détermine le cas de charge ou de décharge et par conséquent

l’existence de déformation plastique.

Quand ( ) se trouve dans le plane tangent à la surface de charge.

1.4. POTENTIEL PLASTIQUE, REGLE D’ECOULEMENT

Soit ε la vitesse de déformation plastique correspondant à un état de contrainte de

façon générale, l’équation d’écoulement plastique ou bien règle d’écoulement peut être écrite

sous la forme :

ε

( )

G est le potentiel plastique.

0 est le multiplicateur de plasticité qui est un certain facteur scalaire.

: définit les directions des déformations plastiques, celles-ci étant normales à la

surface.

( ) La figure (1.4) montre un cas particulier de la construction de la surface

G à partir des directions des déformations plastiques (Palmer 1966) [19].

Le potentiel plastique est dit associé quand la surface de charge et le potentiel plastique

sont définis par la même équation (F = G). On dit alors que le matériau satisfait la condition

de normalité. Pour un matériau qui obéit au principe du travail maximal (Hill, 1950) [10],


17

la surface de charge est convexe, et les déformations plastiques sont dirigées suivant la

normale extérieure à la surface de charge.

ε

Pour les matériaux non standards l’équation du potentiel plastique est différente de celle

de la surface de charge et le potentiel plastique est dit non associé.

ε incrément de déformation plastique

ε

ε

ε

Surface de charge

Figure 1.4 – Construction de la surface G (Palmer, 1966) –

1.5. MULTIPLICATEUR DE PLASTICITE

Module d’écrouissage H

L’équation de comptabilité (1.4.b) peut être détaillée de la manière suivante :


18

(

)

d’où

(

)

en posant :

( )

on obtient :

(

)

H est appelé le module d’écrouissage, est le multiplicateur de plasticité.

si est contenu dans le plan tangent à la surface de charge (chargements neutres).

Cette condition est nécessaire pour assurer le passage contenu des déformations plastiques

aux déformations élastiques.

En utilisant les équations (1.6) et (1.10), l’écoulement est défini de la manière suivante :

ε

(

)

Prenons avec , l’équation (1.10) s’écrit :


19

(

ε )

ε

et en tenant compte de l’équation (1.6)

(

ε )

Dans le cas de la plasticité parfaite F est seulement fonction de , donc

En tenant compte de la définition du tenseur d’élasticité :

ε

On peut obtenir une autre équation pour car l’équation (1.5) s’écrit :

ε ε

où encore, en prenant compte de l’équation (1.9) :

(

)

(

)

ε (

)

ε

En combinant les équations (1.17), (1.10), (1.6) on obtient :

(

)

ε

(

)

(

)


20

1.5.1. LES CAS PARTICULIERS DE

Utilisant les paramètres, p contrainte moyenne, q contraintes déviatorique, εv

déformation volumique, εd déformation déviatorique, l’équation (1.11) devient :

avec F = F (p, q, R)

Le module d’écrouissage donné par l’équation (1.14) s’écrit alors :

(

)

Le taux des déformations plastiques s’écrit :

1.5.2. SOMMET DES SURFACES DE CHARGE

Quand il y a plusieurs surfaces de charge, l’écriture des relations en vitesse devient plus

compliquée.

Dans les cas de deux surfaces de charge F1 ( , R1) = 0 et F2 ( , R2) = 0, on admet

que l’écoulement au point A (Figure.1.5), quand les deux surfaces sont actives, est une

combinaison linéaire des écoulements à gauche et à droite du sommet :


21

ε

G1 = cte et G2 = cte étant les équations des potentiels plastiques de part et d’autre du sommet.

et sont des scalaires non négatifs déterminés de manière identique à celle qui a

était exposée précédemment.

La vitesse de déformation totale s’écrit :

ε ε ε

ε

avec :

ε ( )

ε

( ) ε

( )

q

F1 = 0 A

F2 = 0

p

Figure 1.5 – l’écoulement au sommet de deux surfaces de charge –

1.6. CRITERES DE PLASTICITE

Il existe plusieurs critères de plasticité, qui ont été proposés, initialement développés pour

les métaux et ont été utilisés pour les sols.

1.6.1. CRITERE DE TRESCA

Ce critère fut introduit par H. Tresca (1864, 1867, 1868) à la suite d’expériences sur le

plomb. La fonction de charge correspondante s’écrit :


22

( ) { | }

0 : la limite d’élasticité en traction simple.

Dans l’espace R3 des contraintes principales { 1 2 3}, le domaine d’élasticité du matériau

est un prisme hexagonal régulier d’axe (1, 1, 1) (Figure 1.6.a).

(a) (b) (c)

Figure 1.6 – Représentations du critère de Tresca : (a) dans l’espace des contraintes

principales, (b) dans le plan déviatorique, (c) état plan de contrainte 3 = 0. –

1.6.2. CRITERE DE VON MISES

Le critère de Von Mises (1913), comme le critère de Tresca, valable pour les matériaux

isotropes. Il est également indépendant de la composante sphérique du tenseur des contraintes.

La fonction de charge ne dépend donc que de du tenseur déviatorique et a la forme

suivante :

( ) (

)

sij : contrainte déviatorique.

k : la limite d’élasticité en cession simple.


23

Dans l’espace R3 des contraintes principales { 1, 2, 3}, le domaine d’élasticité du matériau

est un cylindre circulaire droit, d’axe (1, 1, 1), et de rayon √ (Figure 1.7.a)

(a) (b) (c)

Figure 1.7 – Représentations du critère de Von Mises : (a) dans l’espace des contraintes


1.6.3. CRITERE DE COULOMB

Pour les sols et les matériaux frottant on adopte souvent, dans l’hypothèse d’isotropie le

critère de résistance de Coulomb. Il est commode, pour cette présentation, de se référer au

critère de Tresca en remarquant que celui-ci possède deux propriétés importantes :

il ne porte que sur les contraintes principales extrêmes;

seule la déférence entre ces contraintes principales extrêmes intervient dans l’expression de

la fonction de charge, ce qui revient à borner cette déférence.

Ainsi, en ordonnant les contraintes principales, notées alors 1, 2 3, avec : 1 2 3 la

fonction de charge s’écrit :

( )

Le critère de Coulomb conserve la première des propriétés ci-dessus. En revanche les

deux contraintes principales extrêmes y interviennent explicitement : la constante σ0 de

(l’équation 1.26) y est remplacée par une expression linéaire en 1 3) sous la forme :


24

( )

et fait donc intervenir deux constantes caractéristiques du matériau : C la cohésion et l’angle

de frottement interne. Cette expression est bien celle d’un critère de matériau isotrope.

(a) (b) (c)

Figure 1.8 – Représentations du critère de Coulomb: (a) dans l’espace des contraintes


La figure (1.8.a) représente, dans l’espace des contraintes principales, le domaine délimité

par le critère de Coulomb (l’équation 1.27). C’est une pyramide hexagonale qui admet les

trois plans bissecteurs des axes comme plans de symétrie et l’axe (1,1,1) comme axe de

symétrie ternaire, et dont les faces sont respectivement parallèles aux axes 1 2 3.

1.7. ECROUISSAGE

Soit situé sur la surface de charge, ( , R) (point A, Figure 1.9).

L’accroissement infiniment petit des contraintes tel que ( ) provoque des

déformations plastiques.

L’évolution des déformations plastiques dans le cas des matériaux écrouissable conduit à

un changement de limite élastique (dit écrouissage). La surface de charge se dilate et se

déplace au fur et à mesure que se développe l’écrouissage.


25

1

Surface de charge actuelle

A

2

3 Surface de charge initiale

( )

Figure 1.9 – Ecrouissage –

Lorsque l’écrouissage est positif la courbe des contraintes-déformations ne présente pas

un pic (Fig. 1.10.a) (H > 0).

L’écrouissage est dit négatif quand sous un certain chemin de sollicitation, le matériau

présente un ramollissement au delà d’un certain pic (Fig. 1.10.b) (H < 0). Alors

( ) en charge comme en décharge, et dans ce cas le signe de ( ) ne

suffit plus pour déterminer si l’on est en charge ou en décharge. Quand H = 0 le matériau est

parfaitement plastique (Fig. 1.10.c).


26

(a) (b)

ε

(c)

Figure 1.10 a)Ecrouissage positif, b) Ecrouissage négatif, c) Matériau paritairement plastique.

1.7.1. ECROUISSAGE ISOTROPE

Si la surface de charge pendant l’écrouissage se dilate d’une manière identique dans

toutes les directions en restant homothétique à elle-même, on dit que l’écrouissage est

isotrope (Figure 1.11). Dans ce cas, l’effet de Bauschinger est négligé et les paramètres

d’écrouissage sont caractérisés par une grandeur scalaire « α ».

Si on considère une fonction de charge de type Von Mises, cette dernière s’écrit :

( ) ( ) (

)


27

2

1

Figure 1.11 – Ecrouissage isotrope –

1.7.2. ECROUISSAGE CINEMATIQUE

Si la surface de charge lors de la déformation plastique se translate dans l’espace des

contraintes, l’écrouissage est dit cinématique (ou écrouissage de translation). Dans ce cas la

limite élastique augmente dans le sens du chemin de contrainte (OM), mais elle diminue dans

le sens inverse (OM’), (voir Figure 1.12). Les paramètres d’écrouissage sont caractérisés par

une grandeur tensorielle « R = α ».

M

0

M’

Figure 1.12 – Ecrouissage cinématique –


28

La fonction de charge de type Von Mises, dans le cas de l’écrouissage cinématique

s’écrit :

( ) ( α ) [

( α )( α )]

1.7.3. ECROUISSAGE CINEMATIQUE ET ISOTROPE COMBINE

Les modèle élastiques parfaitement plastiques ou à écrouissage isotrope se révèlent

inefficaces pour d’écrire le comportement des sols sous chargement cyclique, une

modélisation réaliste nécessite la prise en compte d’un écrouissage cinématique et isotrope

combiné. La fonction de charge de type Von Mises s’écrit alors :

( ) ( α α ) [

( α )( α )]

1.8. DEFORMATIONS TOTALES

Matrice de rigidité élastoplastique

L’équation d’écoulement peut s’écrire sous la forme :

ε

F = 0

α = 1 pour = 0 (1.32)

α = 0 sinon


29

L’équation (1.16). En tenant compte des équations (1.18) et (1.31), l’équation (1.16)

devient :

ε α

(

)

(

)

ε

en posant :

(

)

(

)

ε

on trouve :

ε

: étant la matrice de rigidité élastoplastique.

–

L’équation (1.36) est équivalente à :

ε (

)

avec :

(

)

( )

(

)


30

1.9. CONCLUSION

Le modèle du comportement élastoplastique repose sur la définition de :

• Une ou plusieurs surfaces de charge (F) qui séparent dans l'espace des contraintes les états

élastiques et les états plastiques. Ainsi tout état de contrainte situé strictement à l'intérieur de

cette surface est purement élastique ε εe).

• Une règle d'écoulement qui dérive généralement d'un ou plusieurs potentiels plastiques (G)

et permet de définir la direction de la vitesse de déformation plastique. Lorsque le potentiel

plastique est confondu avec la surface de charge (F = G) on dit que le matériau est standard

ou associé.

• Une règle d'évolution des variables d'écrouissage. Cette règle permet de refléter l'histoire du

matériau et détermine l'amplitude de l'incrément de déformation plastique. Cette règle permet

également de modifier la surface de charge selon différents mode: Mode homothétique : on

parle alors d'écrouissage isotrope, Mode de translation : on parle alors d'écrouissage

cinématique. Certains types de lois font appel à plusieurs modes d'écrouissage.

BASES DE LA THEORIE D’ADAPTATION

CHAPITRE 2

CHAPITRE II Base de la théorie d’adaptation

31

BASE DE LA THEORIE D’ADAPTATION

2.1. INTRODUCTION

La théorie de l’adaptation plastique (mieux connue sous le terme anglais de "shakedown")

étudie les conditions de ruine d’une structure élastoplastique soumise à des charges variables

entre des bornes qui sont fixes, d’une manière indépendante les unes des autres. Si la structure

s’adapte le travail dissipé plastiquement dans toute la structure est fini, les déformations

plastiques tendent vers une limite, et la réponse en contraintes tend vers une réponse purement

élastique (Figure 2.1.b). Au contraire si elle ne s’adapte pas deux modes de ruine sont

possibles :

le rochet ou ruine par déformation plastique progressive qui correspond à une accumulation

démesurée de la déformation plastique mettant l’ouvrage en péril (Figure 2.1.d);

la fatigue plastique ou la ruine par déformation plastique alternée qui entame à la longue

l’endurance locale du matériau (Figure 2.1.c).

Depuis les travaux originaux de Bleich [3] et Melan [15], [16] dans les années trente, la

théorie de l’adaptation plastique a connu un développement considérable. Sans fournir un

aperçu général et complet de la littérature sur le sujet qui sortirait du cadre de cette thèse, nous

signalons que le théorème statique est donné par Melan [15], [16] et le théorème cinématique

par Koiter [12]. Ils donnent respectivement la borne inférieure et supérieure de la charge

limite d’adaptation.

Ces théorèmes ont fait l’objet de plusieurs études et applications pour le cas des structures

métalliques. Cependant leurs applications pour le cas des sols restent difficiles et se font rares.

En effet Le comportement du sol est beaucoup plus complexe dont une modélisation réaliste

nécessite la prise en compte : de la contractante et la dilatance, des déformations volumiques,

d’une loi d’écoulement non associée, et de l’énergie dissipée au cours des cycles. Dans ce qui

suit nous rappelons le théorème statique et cinématique de la théorie d'adaptation qui sont

basés sur les hypothèses suivantes :

petites déformations,

évolution quasi-statique,

comportement élastoplastique parfait,

loi d'écoulement associée.


32

max

min

(a)

max

min

(b)

max

min

(c)

max

min

(d)

Figure 2.1 a) Réponse élastique b) Adaptation c) Plasticité Alternée d) Rupture incrémentale


33

2.2. HYPOTHESES DE BASE

Considérant un corps élastique parfaitement plastique de volume et de surface

rattaché à un système de coordonnées rectangulaires (i = 1, 2, 3)

et soumis à :

des forces de volume : dans ,

des tractions de surface : sur ,

des déplacements imposés : sur .

Ces charges varient arbitrairement et indépendamment l'une de l'autre entre des limites

connues.

La condition d'équilibre d'une distribution de contraintes avec les forces de volume

et des tractions de surface sur est exprimée par le principe des travaux virtuels :

∫

∫

∫

( )

Les déplacements dans le corps réel peuvent être exprimés comme la somme de deux

contributions

( )

où est la réponse en déplacement qui résulte des forces de volume, des tractions de surface

et des déplacements imposés et est la réponse en déplacement qui résulte des déformations

plastiques. Il vient donc :

( )

( )


34

Sous l’hypothèse des petites déformations, un champ de déformation compatible peut être

dérivé de la relation linéaire suivante :

( ) ( )

En tenant compte de l’équation (2.2), on peut écrire :

( )

avec

(

) ( )

(

) ( )

est le champ de déformations élastiques qui résulte des forces de volume, des tractions de

surface et des déplacements imposés et est le champ de déformations résiduelles qui

résulte des déformations plastiques, défini par :

( )

où et

sont, respectivement, les champs de déformations plastiques et élastiques

résiduelles actuelles. Finalement la déformation totale a pour expression :

( )

La part élastique de la déformation est liée aux contraintes par la loi de Hooke :

( )

( )


35

Le champ de contraintes qui a pour expression,

( )

doit satisfaire les équations d’équilibre suivantes :

( )

( )

Comme le champ de contraintes résiduelles est un champ d’auto – contraintes, le système

d’équations suivant est vérifié :

( )

( )

( )

( )

La déformation plastique est donnée par la loi de normalité :

( )

avec


36

où est le multiplicateur plastique donné par la condition de consistance ; ( ) est le

critère de plasticité représenté par une surface convexe dans l'espace des contraintes et le

point (.) exprime la dérivée temporelle des quantités considérées.

On suppose que le matériau obéit au principe de HILL [10], qui stipule que :

(a) si est une vitesse de déformation plastique non nulle, se produisant pour un état de

contrainte quelconque et ( )

un état de contrainte de sécurité, alors le corps

satisfait la relation de convexité suivante (Figure. 2.2) :

( ( ))

( )

Pour tout ( )

appartenant au domaine défini par l'inégalité ( ( )) ;

(b) par contre, pour un état de contraintes admissibles ( )

défini par ( ( )) , on a :

( ( ))

( )

Figure 2.2 – Convexité de la surface d’écoulement et loi de normalité –


37

2.3. ENONCE DU THEOREME STATIQUE DE MELAN

Le théorème peut être énoncé comme suit :

1. Une structure élastoplastique s'adapte sous des sollicitations variables répétées, c'est-à-

dire que son comportement, après un certain nombre de cycles de charges initiales, devient

purement élastique s'il existe une distribution de contraintes résiduelles indépendante du

temps telle que sa superposition avec les contraintes purement élastiques constitue un état

de contraintes sûr (2.13) et ne viole pas le critère d'écoulement en tout point de la structure,

sous les différentes combinaisons possibles de charges à l'intérieur des limites prescrites :

[

( ) ( )] ( )

( ) ( )

2. Par contre, si on ne peut trouver une distribution de contraintes résiduelles indépendante

du temps, constituant avec les contraintes élastiques un état de contraintes admissibles

( ( )) sous la combinaison de charges possibles, alors la structure ne s'adapte pas.

Pour la démonstration de ce théorème (critère de Melan), on considère l'énergie de

déformation élastique fictive correspondant aux contraintes auto-équilibrées ( ) où

est le champ de contraintes résiduelles actuelles à chaque étape du programme de chargement

et est un champ de contraintes résiduelles indépendant du temps pour lequel le critère de

Melan est satisfait.

L'énergie de déformation élastique fictive de forme quadratique est définie par :

∫ ( )

( ) ( )

∫ ( )

(

) ( )


38

La dérivée de par rapport au temps donne :

∫ ( )

∫ ( )

( )

En tenant compte de l’équation (2.7) l’équation (2.19) devient :

∫ ( )

(

) ( )

Le champ de contraintes résiduelles ( ) est auto – équilibré et la vitesse de

déformations ( ) est cinématiquement admissible, car elle est la différence entre deux

vitesses de déformations cinématiquement admissible. Le principe des travaux virtuels

permet alors d’écrire

∫ ( )

( ) ( )

et l’équation (2.20) devient :

∫ ( )

( )

En tenant compte que et que

( ) avec l’état de contraintes

actuelles et ( )

l’état de contraintes de sécurité. On obtient finalement :

∫ ( ( ))

( )

La quantité est une fonctionnelle positive et toujours décroissante en raison de

l'inégalité (2.13). Pour qu’elle ne devienne pas négative, il faut qu’à un moment donné :


39

∫ ( ( ))

( )

La dernière équation est satisfaite si l’une des deux alternatives suivantes a lieu :

( ) ( ( )) à (

)

( )

Le cas où ( ) est orthogonal à

est exclu car

( ) est supposé strictement à

l’intérieur du domaine élastique convexe (Figure.2.2). Comme ( ) ( ( ))

implique que , on constate que les deux alternatives (a) et (b) entraînent le

comportement élastique de la structure quand , ce qui est appelé adaptation.

Figure 2.3 – Adaptation et rupture incrémentale –

Rupture incrémentale

Adaptation

Nombre de cycles

Déf

orm

ati

on

pla

stiq

ue


40

2.4. COEFFICIENT DE SECURITE A L'ADAPTATION

La valeur de la déformation plastique totale qui peut apparaître avant que la structure

atteigne son état d'adaptation, n'a pas été donnée par le critère et la démonstration de Melan.

Il a été suggéré par KOITER [12] que l'évaluation du travail plastique, accompli sur la

structure est un critère convenable pour estimer les déformations plastiques totales. Il peut

être démontré que l'énergie totale dissipée est bornée en utilisant l'équation (2.14). Pour cela,

on considère un coefficient de sécurité contre la défaillance de la structure due à

l'inadaptation, tel que l'état de contrainte ( )

soit à l'intérieur du domaine élastique et

constitue un état admissible, c'est-à-dire que :

( ( )) ( )

avec ( )

( ) comme état de contrainte admissible. Le principe du travail

plastique maximal (équation (2.14)) montre que :

( ( ))

( )

D'où l'on déduit :

∫

∫ (

( ))

( )

L'intégration par rapport au temps de l'inégalité précédente conduit à l'inégalité

suivante

[ ( ) ( )]

∫

( )

Cette inégalité implique que l'énergie totale dissipée est bornée.


41

2.5. THEOREME CINEMATIQUE DE KOITER

Le deuxième théorème cinématique d’adaptation est attribué à Koiter [12]. Il repose sur la

définition d’une vitesse de déformation plastique admissible ( ) sur un cycle d’intervalle

. Elle est caractérisée par l’intégrale suivante :

∫

( )

( )

∫

( ) ( )

qui constitue un champ de déformation cinématiquement admissible.

1. Une structure élastoplastique ne s'adapte pas s’il existe une vitesse de déformation

plastique admissible ( ) dans l’intervalle du temps et pour toute combinaison de

charges extérieures ( ) ( ) à l’intérieur des limites prescrites l’inégalité suivante est

strictement vérifiée :

∫ ∫

( ) ( ) ∫ ∫

( ) ( )

∫ ∫

( ) ( ) ∫ ∫

( ) ( )

2. Autrement, l’adaptation aura lieu si pour toutes vitesses de déformations plastiques

admissibles possibles ( ) durant le programme du chargement dans l’intervalle du temps

l’inégalité suivante est satisfaite :

∫ ∫

( ) ( ) ∫ ∫

( ) ( )

∫ ∫

( ) ( ) ∫ ∫

( ) ( )

où ( ) est le tenseur de contraintes associé à la déformation plastique (Figure. 2.2)


42

2.6. CONCLUSION

Partant du problème d’évolution en élastoplasticité qu’on ne peut espérer résoudre

exactement dans tout les cas pratiques d’une part à cause de sa complexité, d’autre part à

cause d’une mauvaise connaissance des données de ce problème, la théorie de l’adaptation

permet de résumer l’information utile à l’ingénieur au calcul d’un seul paramètre : le

coefficient de sécurité à l’adaptation. L’intérêt pratique de cette théorie est indéniable comme

le prouvent les ouvrages construits selon la théorie des charges limites.

De plus, la théorie de l’adaptation apporte un certain nombre d’informations

qualitatives : le travail dissipé plastiquement dans toute la structure est fini, les déformations

plastiques tendent vers une limite, la réponse en contraintes tend, dans le cas quasi-statique,

vers une réponse purement élastique.

EXTENSION DU THEOREME STATIQUE D’ADAPTATION

AVEC LA PRISE EN COMPTE DE LA DEGRADATION

CHAPITRE 3

CHAPITRE III Extension du théorème statique d’adaptation avec la prise en compte de la dégradation

43

DEGRADATION DES SOLS SOUS CHARGEMENT CYCLIQUE

3.1. INTRODUCTION

Les structures de génie civil telles que les chaussées, les fondations marines, les

fondations pour machines vibrantes…..etc., sont soumises à des sollicitations cycliques.

Cependant l’application de telles sollicitations à long terme entraînera la dégradation des

propriétés mécaniques du sol qui se traduit par la modification de loi de comportement et la

diminution de la résistance ultime.

L’étude de la dégradation, qui constitue l’objet du présent chapitre, apparait comme une

étape essentielle de la fiabilité des structures.

On expose au départ quelques résultats expérimentaux qui mettent en évidence la

dégradation des sols. Ensuite on présentera quelques modèles, les plus utilisées, basés soit sur

la théorie élastoplastique ou endochronique. A la fin du chapitre on donnera l’extension du

théorème statique de l’adaptation au cas des sols avec dégradation.

3.2. DEGRADATION CYCLIQUE DES SOLS

L’enregistrement d’une courbe contrainte - déformation d’un élément de sol est

reproduit aux Figures 3.1.a et 3.1.b pour un cycle de contraintes fermé. Un cycle fermé n’est

pas nécessairement centré autour de l’origine mais pour simplification on le supposera centré

à l’origine.

Les Figures 3.1.a et 3.1.b montrent que pour un cycle fermé, le comportement du sol est

caractérisé par une boucle appelée boucle d'hystérésis, dont la surface et l’inclinaison

dépendent de l’amplitude de la déformation au cours du cycle ainsi que du nombre de cycles.

Plus l’amplitude de la déformation est grande et le nombre de cycles est élevé, plus l’aire

de la boucle est importante et plus celle-ci est inclinée sur l’horizontale.


44

Figure 3.1. Courbe contrainte - déformation sous un chargement cyclique

Figure 3.2 – Boucle d’hystérésis, effort-déformation cyclique –


45

Les extrémités des boucles, correspondant à des cycles d’amplitudes différentes, sont

situées sur la courbe de premier chargement passant par l’origine Figure 3.2. Il est commode

et classique de définir cette boucle à l’aide de deux paramètres :

le module sécant Gs qui est la pente de la droite joignant les extrémités de la boucle (ou

l’origine à une extrémité dans le cas d’un cycle centré à l’origine).

le coefficient d’amortissement , qui est une mesure de l’aire de la boucle. Il caractérise

l’énergie dissipée par le matériau lors d’un cycle.

La dépendance de ces deux paramètres de la déformation cyclique est mise en évidence

sur la Figure 3.3. La valeur maximale Gmax du module est la pente de la tangente à l’origine à

la courbe du premier chargement.

Figure 3.3 Variation de G et avec la déformation

Pour une étude approfondie de la dégradation des sols sous chargement cyclique.

Plusieurs essais en cisaillement triaxial, sous condition de déformation contrôlée, ont été

réalisés sur des échantillons d’argiles.


46

Le module de Young sécant déterminé pour le premier cycle, pour des niveaux de

déformation différents, suivant la procédure montrée sur la Figure 3.4 est utilisé comme une

valeur de référence.

Figure 3.4. Réduction de la rigidité avec l'augmentation de déformation

La variation de la valeur du module de Young sécant E10 relatif au 10ème

cycle

(normalisé par rapport à E1) en fonction de l’amplitude de la déformation de cisaillement 10

(normalisée par rapport à la déformation à la rupture f, obtenue sous chargement monotone)

est montrée sur la Figure 3.5.a.

Une courbe similaire, relative à la variation du module sécant E100, est montrée sur la

Figure 3.5.b.


47

(a) Nombre de cycle = 10 (b) Nombre de cycle = 100

Figure 3.5. (a) ;(b) L’essai triaxial cyclique pour un sol cohérent

Le module sécant est affecté par l’augmentation de l’amplitude des cycles de chargement en

déformation. La réduction est plus marquée quand le nombre de cycles est élevé (N = 100).

La Figure 3.5.c est plus explicite. Elle montre sur le même graphe, les variations des

modules sécants normalisés en fonction de l’amplitude de déformation normalisée, pour

N = 1, N= 10, N= 50 et N= 10.


48

Figure 3.5.c. Réduction de module d’Young en fonction l'augmentation de déformation

pour 10 et 100 cycles

3.3. ÉVALUATION DE LA DEGRADATION CYCLIQUE DE LA RIGIDITE

La dégradation de la rigidité peut être exprimée quantitativement en terme d'indice de

dégradation δD définie par :

a) Déformation contrôlée


49

avec

: module de Young (de cisaillement) sécant relatif au premier cycle.

: module de Young (de cisaillement) sécant relatif au nième cycle.

: amplitude de la contrainte axiale (de cisaillement) relatif au 1ère

cycle.

: amplitude de la contrainte axiale (de cisaillement) relatif au nième cycle.

b) Contrainte contrôlée

: amplitude de la déformation axiale relative au premier cycle.

: amplitude de la déformation axiale relative au nième cycle. 3.4. BASES THEORIQUES

L’étude de la dégradation des caractéristiques mécaniques (Fatigue) des sols sous

chargement cyclique nécessite la détermination :

1 d’une relation qui donne l'accroissement du paramètre de fatigue К par cycle. Donc

une loi d’évolution de К, fonction de la rature du cycle de chargement et de la valeur

actuelle de К.


50

2 un ensemble de relations qui décrivent la variation des caractéristiques de sol avec

l’accroissement du paramètre К.

En supposant que le paramètre К tient compte de l’histoire de chargement et qu’il croit

d’une manière monotone. Alors la première relation peut se mettre sous la forme suivante :

selon le chargement appliqué : contrainte généralisée ou déformation généralisée

Généralement La fonction n’est pas définie d’une manière explicite, elle est

souvent déterminée à partir de l’expression donnant l’accroissement du paramètre de fatigue

К en fonction du nombre de cycles : sous amplitude de contrainte constante ou

amplitude de déformation constante.

Une fois la fonction est déterminée, il reste à indiquer comment la réponse du sol

sous chargement monotone ou cyclique évolue avec l’accroissement de paramètre К.

Dans les modèles les plus simples cette variation des propriétés du sol est donnée sous

forme d’une relation entre contrainte-déformation

En plus, une relation doit être donnée pour la résistance ultime sous chargement

cyclique, en fonction de la résistance initiale et la valeur du paramètre de fatigue К.


51

Dans les modèles plus élaborés, la variable d’état К est introduite comme un paramètre

dans le modèle qui décrit le comportement du sol, qui peut être un modèle élastoplastique

avec écrouissage ou un modèle endochronique construit en dehors du cadre de la théorie de

l’élastoplasticité.

3.5. MODÈLES DE FATIGUE POUR LA DÉGRADATION CYCLIQUE DES SOLS

Les modèles de fatigue développés pour la prise en compte de la dégradation des sols se

distinguent :

1 Par le modèle adopté pour la prédiction de la réponse de sol (sable, argile, drainé,

non drainé…etc.).

2 La manière dont la variable d’état К (paramètre de fatigue К) est liée aux

paramètres observables du modèle.

Si le paramètre de fatigue К est lié aux paramètres observables du modèle on peut

l’identifier soit :

à la déformation volumique plastique (en condition drainé),

à l’accumulation de la pression interstitielle (en condition non drainé).

Dans ce cas la fonction peut être déterminée par le contrôle de cette

variable (la déformation volumique plastique au la pression interstitielle) en réalisant

un certain nombre d’essais.

Dans le cas ou le paramètre К n’est pas lié aux variables observables du modèle,

la fonction est déterminée par une procédure plus complexe.


52

Dans les modèles de fatigue complexes, tel que le modèle de Prévost le paramètre de

fatigue К fait partie des paramètres du modèle. La dégradation est prise en compte

implicitement.

3.5.1. Modèle de Prévost

C’est un modèle élastoplastique avec écrouissage isotrope et cinématique combiné, écrit

en contrainte effective. La fonction de charge est dérivée du critère de Von-Mises.

Il introduit un ensemble de surface de charge fm, de rayon . Un module plastique Hm

est attaché à chacune des surfaces de charge fm.

et Hm sont fonctions du paramètre К. Ce dernier est directement lié au rétrécissement des

surfaces de charge de la manière suivante :

= la valeur de dans le cas d’un chargement monotone.

= la résistance au cisaillement déterminée dans le cas d’un chargement monotone

appliqué d’une manière lente.

La valeur initiale de К est prise égale à zéro.

Dans le cas d’un chargement cyclique en déformation contrôlée, l’accroissement de

К est donnée par :

[ ]

où A est une fonction donnée et D une constante.

La fonction est donnée par :


53

√ (

) [ √(

)]

avec C = 8 D eD

Le modèle a été appliqué pour l’étude du comportement cyclique des argiles saturées. Il

conduit à des prévisions en bon accord avec les résultats expérimentaux.

3.5.2. Modèle de Cuellar, Bazant, et Krizek

C’est un modèle endochronique à deux paramètres К1et К2. Ces derniers gouvernent

les déformations déviatorique et volumique en condition drainée.

Dans le cas d’un cisaillement simple, l’accroissement par cycle de ces

paramètres est donné par :

où q : est une constante positive.

La déformation volumique v est liée au paramètre de fatigue К2 par la relation :

et l’incrément de déformation déviatorique est lié au paramètre de fatigue К1 par la relation

empirique :

| |

où G est le module de cisaillement et a, r, X, Z sont des constantes.


54

Si l’accroissement de К1 en chaque cycle est négligé, l'équation peut être intégrée

pour donner une relation entre les contraintes et les déformations en cisaillement simple en

condition drainé

(

)

avec

L’inconvénient de ce modèle, c’est qu’il contient un grand nombre de constantes

empiriques.

3.5.3. Modèle de Martin, Finn, et Seed

C’est un modèle qui permet l’étude du comportement des sables en conditions drainée

et non drainée. A partir des essais en cisaillement simple réalisés sur un sable en condition

drainée. Ils ont proposé pour les fonctions , les équations suivantes :

(

)

(

)

avec

pour un sable en silice.

b = 7.


55

a est une constante qui dépend de la densité relative (pour Dr = 45% = 1.87). La fonction est obtenue en dérivant К par rapport à N N). Remarque : Les constantes et sont indépendantes de la contrainte verticale effective. Par

conséquent le modèle peut prévoir le comportement non-drainé du sol (d’après Martin et al.).

3.5.4. Modèle d’Idriss

C’est un modèle développé pour l’étude des argiles molles en condition de chargement

non-drainée.

Expression du modèle à la forme suivante :

avec G : est le module de cisaillement.

la fonction qui définie la relation contrainte-déformation est donnée par la relation :

( )

Le paramètre К n’est pas lié à une variable observable.


56

3.6. EXTENSION DU THEOREME STATIQUE D’ADAPTATION AVEC LA PRISE EN

COMPTE DE LA DEGRADATION

3.6.1. Hypothèses et définitions

Dans ce qui suit, on propose une généralisation du théorème d’adaptation statique de

Melan aux cas des matériaux avec affaiblissement cyclique. La dégradation est prise en

compte dans la loi de comportement en considérant un matériau fictif élastique dont la matrice

de rigidité élastique est égale à la matrice de rigidité élastoplastique

du matériau

dégradé comme il est montré sur la Figure 3.6.

Toutes les relations développées au chapitre 2 restent valable il suffit juste de remplacer la

matrice de rigidité du matériau réel (respectivement la matrice de souplesse [

]

) par

la matrice de rigidité du matériau fictif (respectivement la matrice de souplesse

fictive [ ]

).

Ti Ti ST ST

σ p σ(e) (e)

V V

Ui Ui

Su Su Corps élastoplastique Corps purement élastique

Figure 3.6. Corps élastique et élastoplastique


57

On appelle un champ de contrainte σ

statiquement en sécurité s’il satisfait les équations

d’équilibre et les conditions aux limites et la condition stricte de plasticité

(σ )

On appelle un champ de contrainte σ licite s’il satisfait les équations d’équilibre dans le

volume et les conditions aux limites sur la frontière et la condition de plasticité

(σ )

Dans cette étude on considère que :

- les déformations restent petites après dégradation

- le matériau est stable au sens de Drucker et que la règle de normalité est vérifiée

- l’affaiblissement cyclique (la dégradation) se produit sous un régime d’écrouissage positif

on exclu donc l’écrouissage négatif se produit proche de la rupture dans le domaine des

grandes déformations.

3.6.2. Enoncé du théorème : Condition suffisante de l’adaptation

L’adaptation aura lieu pour un programme de chargement donné à un ou plusieurs

paramètres, s’il existe un champ de contrainte résiduelle indépendant du temps, tel que

σ σ

avec σ représente la réponse élastique pour toutes les combinaisons de charges

possibles.


58

3.6.3. Démonstration

Pour la démonstration du théorème, considérons la fonctionnelle W(t) suivante de

forme quadratique définie positive :

∫ ( )

où [ ] représente la matrice de souplesse du corps élastique fictif donnée par la relation par

(voir chapitre 1.) :

(

)

(

)

[( )

σ

σ ]

La matrice de souplesse est définie positive étant donné que la matrice Ee

ijkl est définie

positive [25] et que la quantité [

] l’est aussi dans le cas d’écrouissage positif (voir

annexe C). Pour donner a nôtre travail un aspect plus général, plus bas on démontre que la

matrice de rigidité ( )

est définie positive.

La dérivée de W(t) par rapport au temps nous donne

∫ ( )

En tenant compte de

( )

l’équation (3.25) devient :

∫ ( )


59

La déformation totale la somme des trois termes suivants:

après substitution de

par sa valeur découle

∫ ( )

(

)

Le champ de contraintes résiduelles ( ) est champ auto-équilibré et la vitesse de

déformation ( ) est cinématiquement admissible, car elle est la différence entre deux

vitesses de déformations cinématiquement admissibles. Le principe des travaux virtuels

permet alors d’écrire:

∫ ( )

( )

et l’expression (3.28) devient

∫ ( )

Comme

σ

σ σ σ

où σ est l’état de contrainte actuelle licite et σ

l’état de contrainte sécurité. On obtient

finalement:

∫ (σ σ

)

L’inégalité (3.32) dérive du principe du travaille plastique maximale de Hill donné par


60

(σ σ

)

La fonctionnelle W(t) (Eq.(3.22)) est positive et toujours décroissante en raison de l’inégalité

(3.32). Pour qu’elle ne devienne pas négative il faut qu’à un moment donné :

∫ (σ σ

)

La dernière équation est satisfaite si l’une des deux alternatives suivantes a lieu :

( ) à (

)

Comme (σ ) (σ ) implique que

, on constate que les deux alternatives

(a) et (b) entraînent le comportement élastique de la structure quand , donc

l’adaptation.

3.6.4. Le défini positivité de la matrice

Les relations contrainte-déformation pour un matériau élastoplastique est données par :

σ

(

)

Nous tenons compte de l’équation du chapitre 1 l’équation devient :

σ

[

(

σ

) ( σ

)

(

σ )

(

σ

)]

Posons , l’équation devient :


61

σ [

]

Multiplions les deux membres par puis effectuons une légère modification du second

membre en ajoutant et en retranchant la même expression

[

]

[

]

[

]


62

3.7. CONCLUSION

Un chargement cyclique répété a long terme affecte la loi de comportement du sol, réduit

sa limite de résistance et engendre l’accumulation des pressions interstitielles en condition

non-drainée. Ce qui entraîne la dégradation cyclique du sol. Cette dernière peut être prise en

compte par l’introduction d’une variable d’état ou paramètre de mémoire appelé aussi

paramètre de fatigue К.

Sous le vocable dégradation cyclique on peut entendre :

Fiabilité du sol sous chargement cyclique : le paramètre К peut-être identifié à la reduction

de la rigidité avec l’accroissement du nombre de cycles.

Appréhension du comportement des sols sous chargements cycliques : le paramètre К est

identifié aux mécanismes de rupture (déformation plastique volumique, déformation plastique

déviatorique).

Liquéfaction du sol : le paramètre К est identifié à l’accumulation des pressions

interstitielles.

Notre travail est une contribution à l’étude de la fiabilité des sols sous sollicitations

cycliques. C’est dans ce cadre que nous proposons une extension du théorème statique

d’adaptation au cas des sols avec la prise en compte de la dégradation (telle qu’elle est définir

ci-dessus).

ETUDE NUMERIQUE DE L’ADAPTATION

CHAPITRE 4

CHAPITRE IV Etude numérique de l’adaptation

63

ETUDE NUMERIQUE DE L’ADAPTATION

4.1. INTRODUCTION

L’application du théorème statique d'adaptation revient à construire un champ de

contraintes résiduelles paramétriques. En altérant ce dernier de telle façon qu’on maximise le

facteur de charge , tout en veillant à ce que le critère ne soit pas violé. La résolution de ce

problème demande :

La solution du problème du corps de référence purement élastique correspondant aux

mêmes chargements et aux mêmes conditions aux limites que le problème posé ;

La construction d'un champ de contraintes résiduelles indépendant du temps.

Construire une famille de paramètres appropriés, de champs de contraintes auto-

équilibrées est le problème central de la théorie de l'adaptation. Il sera construit au moyen de

la technique des éléments finis en jonction avec un processus d’optimisation non linéaire.

L’utilisation de la méthode des éléments finis permet l'application de la méthode pour une

large variété de formes et de charges. Pour la résolution du problème d'optimisation non-

linéaire sous contraintes on utilise la méthode dite de Lagrangien augmenté [20].

4.2. DOMAINE DE CHARGEMENT

On suppose que chaque charge, symboliquement notée , peut varier à l’intérieur d’un

intervalle donné.

, - ,

-

(4.1)

, - ,

-


64

On note le domaine de toutes les charges extérieures possibles par D défini par :

{ ∑

⁄ , -} ( )

où les (i = 1,..., n) sont les n charges généralisées indépendantes (ex. : les forces de volume,

les tractions de surface, les déplacements imposés, variation de température ou la

combinaison de ces charges) et les sont les multiplicateurs de charges avec respectivement

et

les bornes supérieure et inférieure correspondantes.

Le domaine D a la propriété de convexité c'est-à-dire que pour tous et appartenant à

D, toutes les valeurs de définies par :

( ) , - ( )

appartiennent aussi à D. L’enveloppe convexe du domaine D est définie par

{ ∑

} ( )

Chaque élément de peut s'écrire comme :

∑

( )

où

∑

( )

avec et les , les points de , sont les points anguleux de D. Le cas

bidimensionnel est montré sur la Figure 4.1.


65

Théorème : L’adaptation peut avoir lieu dans le domaine de chargement D si et seulement si

on a adaptation dans son enveloppe convexe . Sa conséquence est que, pour un domaine de

variation de charges donné, s’il y a adaptation pour les points anguleux du domaine , alors

il y a adaptation pour tous les points du domaine (voir MORELLE & NGUYEN [17]).

4.3. FORMULATION ELEMENTS FINIS

4.3.1. Principe du minimum de l’énergie complémentaire totale

Pour le calcul de la réponse élastique on utilise la méthode des éléments finis statiquement

admissible, basée sur le principe du minimum de l’énergie complémentaire. L’énergie

complémentaire d’une structure est donnée par la somme de l’énergie complémentaire de

déformation (U*) et du potentiel des forces extérieures (V

*). En négligeant les forces de

volume est définie par :

= U* + V

* ( )

∫

( ) ∫

( )

Figure 4.1 – domaine de variation des charges –

<

<


66

où est la frontière sur laquelle les déplacements sont imposés, et représente les

tractions de surface correspondantes. Cette fonctionnelle est minimale à l’équilibre, c'est-à-

dire que :

Uc = U* + V

* = 0, ( )

et

2

Uc = 2

U* +

2

V* ≥ 0 (4.10)

Dans ce qui suit on considère que les déplacements imposés sur la frontières sont

nuls et l’expression de se réduit à :

∫

( )

( )

Dans le cas des problèmes plans le champ de contrainte dépend uniquement de et ,

l’intégration sur le volume peut être remplacée par une intégration sur la surface dans le

plan , on obtient alors :

∫

( )

( )

où t représente l’épaisseur ( )

4.3.2. Fonction de contrainte d’Airy

La formulation des éléments s’effectue à partir d’hypothèses sur les champs de contraintes.

Il est nécessaire de choisir ces champs de manière à ce qu’ils vérifient les équations

différentielles d’équilibre. Une solution pratique pour définir des champs de contraintes

admissibles consiste en l’utilisation de fonctions potentielles, ou fonctions de contraintes. Ces

fonctions sont des expressions qui dérivées selon certaines règles, donnent des composantes

de contraintes qui vérifient automatiquement les conditions d’équilibre. L’état de contrainte

plane ou de déformation plane n’admet qu’une seule de ces fonctions, appelée fonction de


67

contrainte d’Airy notée ( ), dont la définition est la suivante :

, - [ ] ( )

avec

( ⁄ )

( ⁄ ) ( )

( ⁄ )

La discrétisation consiste à découper la structure (domaine ) en éléments finis (sous

domaines ) de forme géométrique simple. Dans chaque élément, on définit une

approximation de la fonction de contrainte d’Airy par :

( ) ( )

où et désignent respectivement les vecteurs de fonctions de forme et de coefficients de

fonctions de contraintes aux nœuds de l’élément. Le vecteur contrainte donné par l’équation

(4.13) peut s’écrire :

[

] ( ) ( )

où représente le vecteur des dérivées secondes de . En tenant compte de l’équation (4.16)

l’expression de l’énergie complémentaire (4.12) devient :

( ) ( )

avec

∫ ( )

( )

( )


68

avec matrice de flexibilité élémentaire. L’énergie complémentaire totale est donnée

par :

∑

( )

où la matrice de flexibilité et le vecteur sont obtenus par la superposition de toutes les

matrices de flexibilités élémentaire et de tous les vecteurs élémentaires .

4.3.3. Continuité des contraintes inter-éléments

La continuité des contraintes normales et de cisaillement inter-éléments doit être assurée

pour que le principe du minimum de l’énergie complémentaire totale soit valide.

, ⁄ - , ⁄ - ( )

, ⁄ - , ⁄ - ( )

La nécessité de satisfaire les conditions d’équilibre inter-élément qui exigent la continuité

de et de ses dérivées d’un élément à l’autre, est assurée par l’utilisation des polynômes

d’interpolation bicubique d’Hermite.

Figure 4.2 – Continuité des contraintes –

A B


69

4.3.4. Approximation de la fonction d’Airy par les polynômes d’Hermite

L’approximation de la fonction de contrainte d’Airy ( ) est de la forme

(GALLAGHER & DHALLA [6] ) :

( ) ∑∑

( )

où, les paramètres inconnus sont au nombre de 16. Ces derniers sont remplacés par les

paramètres . Lesquels permettent une identification mécanique. Ils sont donnés par la

valeur de la fonction , sa dérivée première, et et sa dérivée seconde aux points

nodaux de chaque élément.

( ) 0, - [ ] [ ]

[ ]

1 * + ( )

avec

, - , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

[ ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

[ ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

[ ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

Les fonctions de forme sont données par les polynômes d’Hermite suivants:

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

)


70

Le vecteur contient tous les paramètres de fonctions de contraintes aux nœuds :

* + *

+ ( )

Les nombres 1, 2, 3, 4, sont relatifs aux nœuds i, j, k et l respectivement (voir Figure 4.3).

4.3.5. Prise en compte des conditions aux limites par les multiplicateurs de Lagrange

En tenant compte de (4.13) et (4.14) les équations d’équilibre sur la frontières où des

tractions de surface sont prescrites sont données par :

sur ( )

On va expliquer l’implémentation des conditions aux limites statique sur un exemple.

Considérons un élément (i-j-k-l) lequel est soumis le long de son côté (i-j) à une contrainte

normale ( ) et à une contrainte de cisaillement ( ), comme il est montré sur

la (Figure 4.3). En tout point de ce côté on a :

( ) ( )

Figure 4.3 – Cas d’un chargement appliqué sur la frontière –

a

y

x l

j

b

i

k

( )

( )


71

En intégrons deux fois l’équation (4.26) et en évaluant les constantes d’intégration en

fonctions des valeurs de et aux extrémités du côté (i-j) (c’est à dire ( ) ( ) ( )

( ), il résulte :

∫ ( )

( ) ( )

( )

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

L’évaluation des contraintes de cisaillements aux extrémités du côté (i-j) donne les deux

conditions de contraintes suivantes :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Une troisième condition s’ajoute en intégrant la contrainte de cisaillement le long du coté (i-j):

( ) ( ) ∫ ( )

( )

L’ensemble des équations qui proviennent des conditions aux limites constituent un

système d’équations de contraintes, qui peut se mettre sous forme matricielle suivante :

( )

avec m = nombre d’équations de contraintes, n = le nombre de paramètres inconnus (degrés

de liberté), et le vecteur des charges extérieures résultant à partir de l’intégration des

tractions de surface.


72

4.3.6. Calcul de la réponse purement élastique

L’addition des contraintes d’optimisation avec les multiplicateurs de Lagrange

( ) à la fonctionnelle de l’énergie complémentaire totale donne une fonction

de , à optimiser :

( )

( ) ( )

La variation de l’equation. (4.32) par rapport a et conduit à un système d’équations

linéaires :

(

) . / . / ( )

On remarque que la partition inférieure est tout simplement constituée des équations de

contraintes. Si n’est pas singulière, on pourra résoudre ces équations directement par

partition. La partition supérieure nous donne :

* + , - , - * + ( )

et de la partition inférieure on obtient :

* + , - * + ( )

En réarrangeant les équations (4.34) et (4.35) on obtient

* + , - , - * + , - * + ( )

* + (, - , - , - ) (* +) ( )

La substitution de * + dans l’équation (4.34) nous permet de déterminer les paramètres de

la solution purement élastique * +. Ces paramètres sont utilisés par la suite pour la

détermination des contraintes purement élastique.


73

4.3.7. Calcul de la réponse plastique : Détermination du champ de contrainte résiduelle

Le champ de contraintes résiduelles vérifié les équations d’équilibre homogènes :

( )

( )

En tenant compte de l’équation (4.25) l’équation (4.39) peut s’écrire :

sur ( )

En rapprochant (4.16) et (4.40), il résulte :

*(

) (

) +

( )

Par sommation sur tous les éléments, on obtient un système d’équations de contraintes :

( )

Les éléments du vecteur ne sont pas linéairement indépendants. On applique alors une

procédure d’élimination de Gauss-Jordan pour déterminer le vecteur dont les éléments

sont linéairement indépendants. L’équation (4.42) est alors équivalente à :

( )

Le vecteur représente les paramètres de la solution plastique, qui sont utilisés pour le

calcul des contraintes résiduelles.


74

4.3.8. Facteur de charge à l’adaptation

Le facteur de charge à l’adaptation , est déterminé par la solution du problème

d’optimisation

( )

avec comme fonction objective soumise aux contraintes d’inégalités :

F ( ) = F ( (P) + ) < 0 P D ( )

représentés par le critère de plasticité F ( ) testé en différents points. Le lagrangien associé

en absence de contraintes d’égalités est donnée par :

( ) ( ) ∑ . ( ) ( )/

( )

où ( ) représente la fonction objective, ( ) les contraintes d’inégalité et les sont les

multiplicateurs de Kuhn Tucker (pour plus de détails voir annexe B).

Pour combler les carences de la méthode de Lagrange, et pour avoir une meilleure

convergence on a utilise la méthode du Lagrangien augmenté. Cette technique combine

l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange généralisés et des paramètres de pénalité

( ). Le Lagrangien augmenté est donné par :

( ) ( ) ∑. ( )/

∑( ( ))

( )

qui dans nôtre cas prendra la forme suivante :

( ) ∑ ( )

∑( ( ))

∑( ( ))

( )


75

avec m le nombre de contrainte d’inégalités égale au nombre de points tests, r le nombre de

contraintes active ( ) et n le nombre de contrainte non active ( ) .

Pour le calcul de la charge limite de l’adaptation on a utilisé le critère de Mohr- Coulomb,

qui est le mieux adapté pour l’étude du comportement rhéologique des sols. La contrainte

d’inégalité est donnée par :

( ) .

/ .

/ ( )

où est l’angle de frottement et C la cohésion.

4.4. CONCLUSION

Les théorèmes énergétiques sont à la base de la méthode des éléments finis. Plusieurs

solutions sont envisageables selon que la méthode est construite à partir de la formulation

déplacements virtuels ou forces virtuelles, et que la résolution est effectuée en déplacements

ou forces inconnus. Une solution exacte est en général impossible à construire et des

approximations sont nécessaires. Elles portent soit sur le champ de déplacement, soit sur le

champ de contraintes.

Pour l’étude de l’adaptation plastique on a utilisé des éléments finis statiquement

admissible en couplage avec la programmation mathématique non-linéaire. L’utilisation de la

méthode des pénalités seule présente des difficultés numériques et l’utilisation de la méthode

de Lagrangien seule présente des problèmes de convergence. Pour combler cette carence on a

utilisé la méthode du lagrangien augmenté qui combine l’utilisation des multiplicateurs de

Lagrange et des coefficients de pénalité.

La nécessité de satisfaire les conditions d’équilibre inter-élément qui exige la continuité

de la fonction d’Airy ( ) et de ses dérivées d’un élément à l’autre, est assurée par

l’utilisation des polynômes d’interpolation bicubique d’Hermite.

EXPLOITATION NUMERIQUE

CHAPITRE 5

CHAPITRE V Exploitation Numérique

76

EXPLOITATION NUMERIQUE

5.1. INTRODUCTION

La mise en œuvre numérique a été réalisée dans un code de calcul en éléments

finis, développé initialement par WEICHERT& GROSS-WEEGE [27] pour l'étude

des plaques et coques, puis modifié par HANS GIESE [9] pour le calcul élastique

parfaitement plastique des sols.

Les exemples que nous allons considérer se classent en deux séries dont chacune

a un but différent:

1) La première série d’exemples porte sur l’étude d’un massif de sol (homogène et

isotrope), nous examinons l’influence de certaines propriétés matérielles (angle de

frottement, cohésion), sur le facteur de charge de l’adaptation et analyse limite. Nous

étudions dans cette série aussi l’effet du maillage sur le facteur de charge.

2) Nous considérons dans la deuxième série le cas d’une bicouche. Nous étudions

l’influence du module de Young ainsi que l’épaisseur de la couche, et de la cohésion

et sur la charge limite à l’adaptation.

NOTA : L’intégration numérique de l’approche développée au chapitre 3 dans le

code à l’adaptation dépasse le cadre de ce travail. En effet le programme est très

complexe, toute la partie plasticité du programme repose sur la théorie de

l’optimisation mathématique. Par ailleurs tout cette partie a été développée,

programmée, et intégrée dans le code de calcul par des spécialistes de l’optimisation

[20]. Pour contourner cette difficulté nous avons utilisé une procédure numérique

simplifiée pour effectuer nos calculs.


77

5.2. EXPLOITATION NUMERIQUE

Dans la première série d'exemples nous considérons le problème de la capacité

portante d'un massif de sol. Ce problème même dans le cas le plus simple est

intéressant à plusieurs titres. En effet, c'est un problème pratique, il se pose lorsqu'il

s'agit de réaliser des ouvrages de natures différentes telles que les routes et les voies

ferrées...

Figure 5.1 – massif de sols sous chargement cyclique –

Le massif de sol considéré est schématisé sur la Figure 5.1 (les dimensions sont en

inches), il est soumis à une charge verticale répartie uniformément, sous condition de

déformation plane.

Le sol est modélisé comme un matériau élastique parfaitement plastique obéissant

au critère de Mohr–Coulomb avec une loi d’écoulement associée. L’analyse présentée

se limite au cas des sols secs. Tous les éléments sont constitués du même matériau. Le

facteur de charge est calculé deux fois, dans le premier cas pour un

chargement proportionnel, analyse limite, et dans le deuxième cas pour une charge qui

varie entre 0 et une charge maximale fixe, analyse d’adaptation. La validation est faite


78

par la comparaison des résultats obtenus par la théorie d’adaptation à ceux obtenus

par la théorie d’analyse limite.

Les propriétés matérielles ainsi que le chargement appliqué sont résumés dans le

tableau 1. Le facteur de charge maximum est calculé par un

processus d’optimisation où est la fonction objective à optimiser sous contraintes

d’inégalités.

Ces dernières dérivent du critère d’écoulement et doivent être vérifiées en des points

tests. Dans notre cas nous avons considéré 45 points tests, qui sont répartis comme il

est montré sur la Figure 5.3.

Le nombre de point tests doit être minimisé étant donné que les contraintes

d’optimisation sont proportionnelles au nombre de points et que le coût de calcul

augmente en conséquence. Pour des raisons de symétrie du chargement et de la

géométrie, nous ne considérons que la moitié de la structure. La Figure (5.2) illustre

les conditions aux limites considérées.

Tableau 1 - Propriétés matérielles et chargement –

N.B: 1 inch = 2.54 cm 1 pis = 6.89 kPa

Matériau

Module

Elastique

(p.s.i)

Coefficient de

Poisson

Cohésion

(p.s.i)

Angle de

Frottement (°)

Chargement

(p.s.i)

Argile

ou

Sable

1000

0.47

2.5 5

10 15 20 25 30

0 5

10 15 20 25 30 35 45

5


79

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Figure 5.2 – Conditions aux limites et chargement –

Figure 5.3 – Répartition des points tests –

14

30

50

P

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

6 40 83

L1 L2 L3


80

5.3. ETUDE D’UN MODELE MONOCOUCHE

5.3.1. Etude de l’influence de la cohésion sur la charge limite

Dans cet étude on garde l’angle de frottement constante et on fait varie la

cohésion C. Les résultants obtenus sont montrés sur les Figure 5.4.a.b et Figure 5.5.

(a)

(b)

Figure 5.4 – (a) (b) –

5 10 15 20 25 30 35

0

5

10

15

20

25

30

= 0

Fa

cte

ur

de

Ch

arg

e

Cohésion C (p.s.i)

Analyse Limite

5 10 15 20 25 30 35

0

5

10

15

20

25

30

= 0

Fa

cte

ur

de

Ch

arg

e

Cohésion C (p.s.i)

Adaptation


81

Figure 5.5 – et –

Une augmentation significative de la charge limite sous chargement proportionnel

(Analyse Limite) ou sous chargement variable (Adaptation) résulte de

l’accroissement de la cohésion.

La relation entre le facteur de charge AD ou AL est linéaire.

La résistance du sol à la rupture est liée non seulement à la valeur maximale des

charges statiques susceptibles d’être appliquées, mais aussi à la répétition de ces

charges. Il découle à partir des résultats obtenus qu’un dimensionnement basé sur

l’analyse limite ne garantit pas la sécurité des structures si les charges variables ou

simplement cycliques.

5 10 15 20 25 30 35

0

20

40

60

80

100

Cohésion C (p.s.i)

F

act

eur

de

Ch

arg

e

= 30°

Analyse Limite

Adaptation


82

5.3.2. Etude de l’influence de l’angle de frottement interne la charge limite

Dans cet exemple on garde la cohésion C constante et on fait varier l’angle de

frottement de 0 à 45°. Les résultants obtenus sont montrés sur les figures 5.6.a et

5.6.b

(a)

(b)

Figure 5.6 – et –

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

5

10

15

20

25

30

Adaptation

Fac

teu

r d

e C

har

ge

Angle de Frottement

C = 5 p.s.i

C = 10 p.s.i

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

10

20

30

40

50

60

70 Analyse Limite

Fac

teu

r d

e C

har

ge

Angle de Frottement

C = 5 p.s.i

C = 10 p.s.i


83

Le rapport entre le facteur de charge AD (C = 10,) et AD (C = 5,) est

toujours a une valeur proche de 2, même constatation pour le facteur de charge

d’analyse limite AL. Ce qui confirme les résultants trouvés dans les Figures 5.4 et 5.5

(c.à.d. le facteur de charge varie linéairement avec l’augmentation de la cohésion du

sol).

Le facteur de charge d’adaptation obéit à la même relation dans le cas 20°,

si dépasse 20° la courbe montre un changement plus ou moins brusque de sa pente.

On comparant les facteurs de charge, pour C = 10 p.i.s, on constate que le

changement du comportement de la courbe se produit dans un intervalle 21.0°,

22.5°. Dans l’intervalle 0°, 21.0°, la courbe a le même comportement dans le cas

d’analyse limite et d’adaptation, se qui peut indiquer que le même mécanisme de

rupture détermine le facteur de charge (AD et AL). Dans l’intervalle > 21° un

autre mécanisme de rupture qui ne se produit pas dans l’analyse limite.

5.3.3. Etude de l’influence du maillage sur le facteur de charge

a) Etude l’influence de la région de L1 (sous la charge de pression)

Le but de cette application est de trouver si la prolongation de la région L1 (le

maillage des éléments 1 ; 4 ; 7), a une influence sur le facteur de charge.

Des calculs avec L1 différent (voire tableau 2) ont été exécutés avec la

cohésion C = 10 p.i.s et = 30°.


84

Tableau 2 – Propriétés géométriques –

Figure 5.7 – Influence de L1 sur le facteur de charge –

Application a

L1 (in) L2 (in) L3 (in)

1.5 43.0 84.5

2.0 43.0 84.0

3.0 43.0 83.0

6.0 43.0 80.0

10.0 43.0 76.0

15.0 43.0 71.0

25.0 43.0 61.0

40.0 43.0 46.0

60.0 43.0 26.0

Application b

L1 (in) L2 (in) L3 (in)

6.0 30.0 93.0

6.0 40.0 83.0

6.0 43.0 80.0

6.0 50.0 73.0

6.0 60.0 63.0

6.0 70.0 53.0

6.0 80.0 43.0

0 10 20 30 40 50 60 70

10

15

20

25

30

35

40C = 10 p.s.i

= 30°

Facte

ur

de C

harg

e

L 1 (in)

Analyse Limite

Adaptation


85

Sur la figure 5.7 on peut constater que AL n’est pas affecté par la variation de

L1 contrairement à AD.

Le facteur de charge d’adaptation AD est égal au facteur de charge d’analyse

limite AL pour des valeurs de L1 petites. Pour les valeurs de L1 inférieures à 10 in

AD décroit, pour croitre ensuite pour des valeurs de L1 supérieurs à 10 in. Pour les

valeurs de L1 > 40 in, AD converge vers une valeur limite.

b) Etude l’influence de la région de L2

(L’influence du maillage des éléments 2 ; 5 ; 8, sur le facteur de charge).

Figure 5.8 – Influence de L2 sur le facteur de charge –

Le Figure 5.8 montre que la variation du facteur de charge d’adaptation pour L2

variant entre 30 in et 80 in est de l’ordre de 10٪ . Par contre le facteur de charge

d’analyse limite AL n’est pas influencé par la variation de L2.

20 30 40 50 60 70 80

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

C = 10 p.s.i

= 30°

Fac

teu

r d

e C

har

ge

L 2 (in)

Analyse Limite

Adaptation


86

c) Etude l’influence des points tests

Dans cet exemple nous étudions l’influence des points tests sur la charge

limite d’adaptation et analyse limite.

Dans les exemples précédents le calcul a été réalisé par 45 points tests, dans le

but d’étudier l’influence de ce paramètre nous considérons 50 points tests qui sont

répartis comme il est montré sur la Figure 5.9.

Figure 5.9 – Répartition les 50 points tests –


87

Figure 5.10 – Influence les points-tests sur le facteur de charge d’adaptation –

Figure 5.11 – Influence les points-tests sur le facteur de charge d’analyse limite –

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28AdaptationC = 10 p.s.i

Fac

teu

r d

e C

har

ge

°

50 points tests

45 points tests

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55Analyse limiteC = 10 p.s.i

Facte

ur

de C

harg

e

°

50 et 45 points tests


88

Le nombre de points tests n’affectent pas le facteur de charge AL. Il est de

même pour AD si 18°. Au-delà de cette valeur l’influence du nombre des points

tests est considérable comme il est montré sur la Figure 5.10.

5.4. ETUDE D’UN MODELE BICOUCHE

Dans cette partie nous étudions l’influence de certains paramètres mécaniques

sur le comportement des sols. Pour cela nous considérons une structure composée de

deux couches et soumise à une pression (P = 5.0 p.s.i) (la première étant une couche

d’asphalte, la seconde est celle d’un sol support) voir Figure 5.12

b B B/b = 0.5

X D Couche d’asphalte(. . E . C) Sol support (°. ° . E°. C°) Z

Figure 5.12 Modèle bicouche


89

5.4.1. Etude de l’influence du module d’Young sur la charge limite d’adaptation

Figure 5.13 Influence et de la rigidité relative et de la cohésion relative sur la

charge limite d’adaptation

Les résultats portés sur la Figure 5.13, montrent qu’une augmentation du module

de Young de la couche d’asphalte à faible cohésion, engendre une diminution de la

charge limite d’adaptation. Nous en déduisons que la charge limite d’adaptation peut

être augmentée par l’introduction d’une couche de sol améliorée soit par le

compactage, soit par le renforcement du sol.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

3

6

9

12

15

18

21

24

Fa

cte

ur

de

Ch

arg

e

Rigidité Relative (E/E

D/ 2B = 1

C/C = 2

C/C = 4

C/C = 6


90

5.4.2. Etude de l’influence de l’épaisseur de la couche (d’asphalte) sur la charge

limite d’adaptation

Figure 5.14 Influence de l’épaisseur de la couche d’asphalte D et de la rigidité

relative (E/E°) sur la charge limite d’adaptation

A partir des résultats représentés par la Figure 5.14, nous pouvons en

conclure que la charge limite d’adaptation augmente avec l’épaisseur de la couche

d’asphalte.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C/C = 2

Fa

cte

ur

de

Ch

arg

e

Rigidité Relative (E/E

D/2B = 0.25

D/2B = 0.50

D/2B = 1.00

CONCLUSION GENERALE

Conclusion Générale

91

CONCLUSION GENERALE

Partant du problème d’évolution en élastoplasticité qu’on ne peut espérer

résoudre exactement dans tout les cas pratiques d’une part à cause de sa complexité,

d’autre part à cause d’une mauvaise connaissance des données de ce problème, la

théorie de l’adaptation permet de résumer l’information utile à l’ingénieur au calcul

d’un seul paramètre : le coefficient de sécurité à l’adaptation. De plus, la théorie de

l’adaptation apporte un certain nombre d’informations qualitatives : le travail dissipé

plastiquement dans toute la structure est fini, les déformations plastiques tendent vers

une limite, la réponse en contraintes tend, dans le cas quasi-statique, vers une réponse

purement élastique.

Un chargement cyclique répété à long terme affecte la loi de comportement du

sol, et entraine la dégradation cyclique du sol. Cette dégradation peut être prise en

compte par l’introduction d’une variable d’état appelée aussi paramètre de fatigue К.

Cette variable est censée reproduire aussi fidèlement que possible l’affaiblissement

cyclique du matériau en fonction de l’histoire de chargement. L’approche

généralement utilisée nécessite :

la détermination d’une loi d’évolution qui donne l’accroissement du paramètre К en

fonction des cycles de chargement ;

l’intégration de cette loi dans un modèle de comportement élastoplastique par

exemple, pour étudier l’influence de l’accroissement du paramètre К sur la réponse du

sol.

Dans cette étude nous avons abordé le problème autrement, en appliquant la

méthode de l’adaptation. La dégradation de la rigidité est due au développement des

déformations plastiques, donc à une dissipation d’énergie. Pour tenir compte de cette

dissipation on a introduit un matériau élastique fictif, dont La loi de comportement est

considéré comme équivalente à la loi de comportement élastoplastique du matériau

réel. La dégradation donc est prise en compte d’une manière implicite dans la loi de

comportement du matériau fictif. En utilisant ce concept d’équivalence nous avons

proposé une extension du théorème statique d’adaptation.


92

L’application du théorème statique d’adaptation consiste à construire un champ

de contraintes résiduelles paramétriques. En altérant ce dernier de telle façon qu’on

maximise le facteur de charges , tout en veillant à ce que le critère ne soit pas violé.

Construire une famille de paramètres appropriés, de champs de contraintes auto-

équilibrées est le problème central de la théorie de l'adaptation. Il sera construit au

moyen de la technique des éléments finis. Cette approche permet l'application de la

méthode pour une large variété de formes et de charges.

Nous avons utilisé dés éléments finis statiquement admissibles pour le calcul de

la réponse purement élastique ainsi que pour la construction du champ de contrainte

résiduelle. L’utilisation de fonctions de contrainte assurent automatiquement

l’équilibre et l’utilisation des polynômes d’Hermite assurent la continuité inter -

élément ce qui conduit à une meilleure estimation de la charge limite d’adaptation.

La procédure numérique est basée sur le couplage de la méthode des éléments

finis avec la programmation mathématique non-linéaire. L’utilisation de la méthode

des pénalités seule présente des difficultés numériques et l’utilisation de la méthode

de Lagrangien seule présente des problèmes de convergence. Pour combler cette

carence on a utilisé la méthode du lagrangien augmenté qui combine l’utilisation des

multiplicateurs de Lagrange et des coefficients de pénalité.

L’approche développée est appliquée à l’étude du comportement des chaussées

sous sollicitations cycliques. Les résultats obtenus sont comparés à ceux obtenus par

la théorie de l’analyse limite. La résolution numérique d’un problème d’adaptation

nécessite :

la solution du problème du corps de référence purement élastique correspondant au

même chargement et aux mêmes conditions aux limites que le problème réel posé ;

la construction d'un champ de contraintes résiduelles indépendant du temps ;

la détermination du multiplicateur de charge à l’adaptation par un processus

d’optimisation.


93

L’approche proposée présente plusieurs points positifs :

simple dans son utilisation,

permettant des calculs peu coûteux,

pouvant convenir à toutes sortes de géométries de la structure et à n’importe quel

type de chargement (arbitraire ou simplement cyclique),

traitant les matériaux non linéaires couramment utilisés par les ingénieurs,

facilité d’analyser les résultats puisqu’elle présente un paramètre de sécurité unique

: le multiplicateur des charges appliquées.

Cependant pour les perspectives de recherches nous proposons :

l’application de la théorie de l’adaptation pour l’étude des fondations marine sous

l’effet de la houle en appliquant le modèle élastoplastique de Prévost,

l’application de la théorie de l’adaptation pour l’étude de l’endommagement des

enrobés bitumineux.

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Boston/ Lancaster, (1990).

ANNEXES

Annexes

97

ANNEXE A

L’approximation de la fonction de contrainte d’Airy ( )est de la forme :

( ) ∑∑[ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ] ( )

Avec

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( ) (

)

où

et

. Les représentent ici les fonctions d'interpolations d’Hermite.

Détermination des équations de contraintes

y

x

(1,2) (2,2)

(2,1) (1,1)

b

a

Figure. A.1

Annexes

98

Côté 11 – 21:

∫ ( )

∫ ∫ ( )

( )

∫ ( )

Côté 21 – 22:

∫ ( )

∫ ∫ ( )

( )

∫ ( )

La répétition de cette opération pour l'ensemble des côtés de l'élément, nous

permet ainsi de déterminer toutes les équations de contraintes.

Dans ce qui suit, on donne les expressions de la fonction d’Airy et des contraintes

Annexes

99

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Annexes

100

[( )]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Annexes

101

[( )]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Annexes

102

[( )]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Annexes

103

ANNEXE B

B.1. La programmation mathématique, un outil pour l'adaptation

Comme évoqué précédemment, la résolution par une approche directe d'un

problème d'adaptation, se rapporte, entre autres, à la résolution d'un problème

d'optimisation. C'est MAIER qui, le premier, fut à l'origine de cette constatation, en

précisant, suite à ses études sur des problèmes discrétisés (MAIER. 1972), qu'un

problème d'adaptation (et d'analyse limite en tant que cas particulier) pouvait être

traité grâce aux méthodes de la programmation mathématique. Cette, branche

particulière des mathématiques appliquées est donc devenue, à partir de ce constat, la

théorie de base des auteurs désireux de développer des algorithmes capables de traiter

des problèmes d'adaptation toujours plus conséquents. On présente donc, dans ce

paragraphe, un bref historique de cette théorie, afin de mettre en évidence son

interaction avec les théories de calculs aux états limites.

B.1.a. Bref historique de la programmation mathématique

Plus précisément, un problème aux états limites, se traduit soit par un problème

de maximisation, si l'étude est abordée d'un point de vue statique (utilisation du

théorème de MELAN), soit par un problème de minimisation, si l'étude est abordée

d'un point de vue cinématique (utilisation du théorème de KOITER). Les problèmes

qui nous intéressent mèneront donc toujours à maximiser ou à minimiser des

fonctionnelles convexes (essentiellement grâce au caractère associé des modèles

considérés) sur un domaine défini par des contraintes d'égalités et d'inégalités. Or,

pour pouvoir étudier des structures complexes, il est nécessaire d'avoir recours aux

méthodes numériques, et en particulier d'utiliser des méthodes de discrétisation. Ces

discrétisations transforment alors un problème d'optimisation dans un espace

fonctionnel, en un problème d'optimisation dans un espace vectoriel de dimension

finie. Dans ce cas, la fonction à optimiser est appelée fonction objectif, et les

contraintes : contraintes d'optimisation. C'est à ce titre que la programmation

mathématique intervient dans notre étude, puisque son objectif est, selon la définition

Annexes

104

de MlNOUX (1983), d'étudier théoriquement les problèmes d'optimisation ainsi que

la conception et la mise en œuvre des algorithmes de résolution. Deux aspects

fondamentaux transparaissent de cette définition :

- l'aspect théorique, qui permet de fournir un cadre de travail représentatif des

problèmes à traiter,

- et l'aspect algorithmique, dont l'objectif est d'offrir des méthodes de résolution pour

les problèmes d'optimisation, adaptées en fonction des spécificités inhérentes à ces

problèmes.

Cette théorie est donc d'importance dans bon nombre d'applications, telles la

recherche opérationnelle, l'analyse numérique, l'automatique, l'économie

mathématique ou encore l'ingénierie. C’est évidemment ce dernier domaine

d'application qui retient notre attention, puisqu'il permet, entre autres, de se concentrer

sur des problèmes de dimensionnement et d'optimisation de structures.

Le terme de programmation linéaire est proposé dès 1949 par DANTZIG, alors

qu'il étudie des problèmes d'optimisation de fonctions linéaires sous contraintes

linéaires, d'un point de vue théorique et algorithmique.

Les algorithmes de résolution des problèmes d'optimisation sans contraintes

sont, en général, itératifs et basés sur une technique de descente, que l'on explicitera

au paragraphe B.2. Concernant les problèmes d'optimisation avec contraintes, le

principe de base est de se ramener à un problème d'optimisation sans contraintes. Pour

ce faire, DAVIES et SWANN (1969) ont distingué deux grandes classes de

méthodes :

- les méthodes basées sur une modification de la fonction à optimiser. Elles

définissent en fait une nouvelle fonction objectif, appelée fonction de pénalité simple

qui prend en compte les contraintes d'optimisation, afin de se ramener à une suite de

problèmes d'optimisation sans contraintes.

- les méthodes qui agissent, non pas sur la fonction objectif, mais directement sur la

méthode de recherche de la solution optimale.

Annexes

105

L'algorithme utilisé pour résoudre nos problèmes d'optimisation, dérivés de nos

problèmes d'adaptation, est un algorithme reposant sur la méthode du Lagrangien

augmenté. Par conséquent, on ne prétend aucunement présenter ici en détail

l'historique de toutes les méthodes de résolution d'un problème d'optimisation,

méthodes issues de la généralisation des fondements évoqués ci-avant. On souhaite

cependant donner un aperçu des méthodes existantes, afin d'expliquer au mieux

l'origine et l'intérêt des méthodes utilisées par notre algorithme d'optimisation.

B.2. Classification des problèmes d'optimisation et méthodes de résolution associées

Pour ce faire, on fournit donc au lecteur une vue générale des différentes classes

de méthodes existantes, en fonction des deux principales classes de problèmes

d'optimisation existants : les problèmes d'optimisation sans contraintes et les

problèmes d'optimisation avec (ou sans) contraintes. Dans ce qui suit, que le problème

soit sans ou avec contraintes, la fonction à optimiser sera supposée deux fois

continûment différentiable.

B.2.a. Problèmes d'optimisation sans contraintes

II existe deux types de méthodes pour aborder cette classe de problèmes : les

méthodes déterministes et les méthodes stochastiques. Dans les deux cas, le problème

à résoudre reste le même, à savoir:

( ) ( )

B.2.b. Problèmes d'optimisation avec contraintes

Le problème à résoudre peut, cette fois-ci, être soumis à deux types de

contraintes: des contraintes d'égalités et des contraintes d'inégalités. Afin de présenter

les principes d'une façon que l'on souhaite la plus générale possible, chacun de ces

deux types est pris en compte dans ce qui suit : les contraintes d'égalités seront

représentées par les fonctions et ai et les contraintes d'inégalités par les fonctions bj.

Annexes

106

Un problème d'optimisation avec contraintes s'énonce donc généralement comme suit

:

{

( )

( )

( )

( )

où :

le vecteur x est toujours un élément de l'espace euclidien Rn,

i, j, r, p, q, n sont des entiers naturels,

la fonction objectif f (x), les contraintes d'égalités et les contraintes d'inégalités

peuvent être des fonctions linéaires ou non.

Tout comme précédemment, il existe plusieurs méthodes pour résoudre un

problème d'optimisation avec contraintes, que l'on peut regrouper en deux grandes

catégories : les Méthodes Primales ou Directes et les Méthodes Duales ou de

Transformation. Les méthodes primales agissent directement sur le problème initial

(primai), sans le modifier. Elles engendrent alors une suite de sous-problèmes et une

séquence de solutions associées. Elles possèdent donc l'avantage de procurer, à

chaque itération, une solution de plus en plus approchée. Elles sont par contre

difficiles à mettre au point et possèdent rarement des propriétés de convergence

globale. Par exemple, dans le cas de contraintes linéaires, l'une des méthodes est celle

du gradient projeté (ROSEN, 1960), qui consiste à adapter les méthodes à direction

de descente, en agissant sur la choix de la direction de descente, afin de les rendre

valables dans le cas de problèmes sous contraintes. De même, lorsque les contraintes

et/ou la fonction objectif sont non linéaires, on peut citer la Méthode du gradient

réduit généralisé, introduite par ABADIE et CARPENTIER (1969). C'est cependant

sur la deuxième classe de méthode que nous allons porter notre attention. En effet, ce

sont ces méthodes de transformation qui sont utilisées dans les algorithmes de notre

logiciel d'optimisation. Elles se scindent encore une fois en trois sous-catégories : les

Méthodes de pénalités, les Méthodes lagrangiennes classiques et la Méthode du

Lagrangien augmenté. Ces trois sous-catégories possèdent le point commun d'agir sur

Annexes

107

le problème initial, afin de ramener son étude à celle d'une suite de problèmes

d'optimisation sans contraintes.

Méthodes de pénalités

Les méthodes de pénalités, initialement proposées par COURANT (1943),

consistent à intégrer les fonctions contraintes dans la fonction objectif, tout en leur

associant une pénalité d'autant plus importante que l'on se rapproche de la solution

(c'est-à-dire que plus la valeur de r est grande dans (B.3), moins la contrainte est

violée). La fonction pénalisée à minimiser peut devenir par exemple :

( ) ∑[ ( )]

( )

où ci englobe toutes les contraintes et où r est le coefficient de pénalité. Le problème

est alors ramené à un problème d'optimisation sans contraintes, qui est résolu par l'un

des algorithmes d'optimisation sans contraintes. Ces méthodes sont en générales

faciles à mettre en œuvre, mais nécessitent, pour être efficaces, des coefficients de

pénalités très grands, ce qui influe négativement sur leur vitesse de convergence.

Méthodes lagrangiennes classiques

Ces méthodes sont basées sur le même principe que les précédentes, à savoir:

remplacer le problème initial par un problème dual constitué d'une suite de sous-

problèmes résolus par des méthodes d'optimisation unidimensionnelle. La fonction

objectif du problème dual est dans ce cas la fonction de Lagrange :

( ) ( ) ∑

( ) ∑

( ) ( )

où les coefficients sont les multiplicateurs de Lagrange, et sont les

multiplicateurs de Kuhn-Tucker. L'utilisation de cette fonction est issue des

Annexes

108

recherches de KUHN et TUCKER (1951) qui ont énoncé des conditions nécessaires

d'optimalité, conditions qui dans le cas de fonctions (objectif et de contraintes)

convexes et continûment différentiables -propriétés que posséderont les fonctions de

notre étude deviennent alors des conditions nécessaires et suffisantes, exprimées par

l'intermédiaire du théorème suivant :

THÉORÈME B.1

Un point est un optimum global du problème d'optimisation sous contraintes (B.2)

tels que :

{ (

)

( )

où les doivent être positifs ou nuls.

Cependant, il a été montré que l'utilisation de cette fonction de Lagrange posait

problème, en particulier dans le cas où les fonctions intervenant dans l'étude étaient

non convexes. Certains auteurs ont donc cherché à l'améliorer et ont ainsi développé

la méthode du Lagrangien augmenté, en rajoutant des termes de pénalités à la fonction

de Lagrange classique. Cette méthode, implémentée dans le logiciel d'optimisation

que nous avons utilisé, est présentée ci-après

Méthodes du Lagrangien augmenté

La méthode dite du Lagrangien augmenté a été introduite dans le but de remédier

aux insuffisances des méthodes de pénalités et des méthodes lagrangiennes classiques.

HESTENES (1969) et POWELL (1969) ont traité le cas des contraintes d'égalités,

puis la méthode a été généralisée au cas des contraintes d'inégalités par

ROCKAFELLAR (1973). La démarche de HESTENES et de POWELL consiste à

remplacer le problème (B.2), dans lequel seules les contraintes ai sont considérées, par

une suite de problèmes sans contraintes minimisant la fonction Lagrangien augmenté

suivante :

Annexes

109

( ) ( ) ∑

( ) ∑

[ ( )] ( )

les sont les multiplicateurs de Lagrange de signe quelconque,

r > 0 est un coefficient de pénalité (utilisé, à l'origine, par les méthodes de

pénalités).

Pour traiter le cas des contraintes d'inégalités, où seules les fonctions bj sont

considérées dans le problème (B.2), ROCKAFELLAR a introduit des variables

appelées variables d'écart, permettant de considérer les contraintes d'inégalités

comme des contraintes d'égalités. Ce détail est explicité ici car cette notion de

variable d'écart est présente dans l'algorithme d'optimisation que nous avons utilisé.

En notant sj (sj ≥ 0) la variable d'écart associée à l'inégalité bj, on obtient alors le

problème suivant :

{

( )

( )

( )

La fonction Lagrangien augmenté associée au problème (B.6) devient alors:

( ) ( ) ∑

( ( ) ) ∑

[ ( ) ] ( )

Annexes

110

ANNEXE C

Le défini positivité de la quantité [

]

Dans l’hypothèse ou le module d’écrouissage H est positif, la quantité donnée

entre crochet est positive pour tout état de chargement actif.

En effet, si on considère le cas particulier d’un matériau isotrope à l’état de

déformation plane, obéissant au critère de plasticité de type Mohr-coulomb

(

) (

) ( )

telles que :

( )

( )

[( ) ( ) ] ( )

On constate que la valeur entre crochet ( ) s’identifie à une valeur positive pour

tout angle de frottement.

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