Mercredi 9 mai 2012 Inspection de lEducation nationale Saint-André de lEure 09/05/20121La résolution de problèmes au cycle 2

Mercredi 9 mai 2012Inspection de l’Education nationale

Saint-André de l’Eure

09/05/2012 1La résolution de problèmes au cycle 2

QUELQUES DÉFINITIONS

«Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donnent les psychologues, toute application dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse, et de vérification pour produire une solution» (Gérard Vergnaud)

«Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions et d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a que dans un rapport sujet / situation où la solution n’est pas disponible d’emblée mais est possible à construire». (Jean Brun)

En d’autres termes, une réponse non disponible immédiatement, qui nécessite la construction d’une représentation mentale, un cheminement permettant de coordonner des actions pour parvenir à la réponse .«Résoudre un problème exige une grande part d’intuition, d’imagination, de combat avec soi-même» (D.Dacunha Castelle, Science et Avenir)09/05/2012 2La résolution de problèmes au cycle 2

Qu'est ce qu'un problème?La conception des élèves


La conception des élèves:*« Il faut faire des opérations, calculer, trouver un résultat, écrire la réponse en faisant une phrase ... »* « On a répondu quand on a utilisé tous les chiffres »* « Le plus dur, c'est de trouver LA bonne opération » ...

CP CE1 Nombres et calculs

Résoudre des problèmes simples à une opération.

Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de regroupements.

Géométrie Grandeurs et mesures

Résoudre des problèmes de vie courante.

Résoudre des problèmes de longueur et de masse.

Organisation et gestion de données Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples.

Utiliser un tableau, un graphique. Organiser les informations d’un énoncé.

Ce que disent les programmes :


Er le socle commun :


– la compréhension de l’énoncé (y compris le jeu symbolique, scolaire, qui consiste à s’emparer d’un problème ; devenir élève de ce point de vue est essentiel);

– la diversité des formes de présentation (variété des habillages) ;

– la progressivité de l’élaboration de procédures plus efficaces et de l’automatisation des procédures utilisées.

L’apprentissage suppose d’être attentif à différents points :


COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?

En variant les catégories de problèmes

Première classification: à partir des formes d’énoncés

►Deuxième classification: à partir des notions mathématiques

►Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques


Un problème pour apprendre à chercher

(un problème ouvert)

Un problème pour apprendre

(situation-problème)

Un problème d’application et de

réinvestissement d’une notion connue

Un problème de transfert

A partir des objectifs pédagogiques



Des problèmes pour chercherLe rallye-Math du Cantal

Evaluations nationales CE1 – Mai 2011 Circ Nat Ecart

090 Calcul Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplicationApprocher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements

Problème faisant intervenir la soustractionXavier a 225 images de fleurs et d’animaux en tout. Il a 112 images d’animaux. Combien a-t-il d’images de fleurs ?

48.7% 48.8% -0.1%


Problème faisant intervenir la multiplicationUn club de ping-pong achète 12 boîtes de 4 balles. Combien de

balles a-t-il achetées ?

51.1% 51.2% -0.1%


Problème faisant intervenir la divisionTrois enfants se partagent en part égale 75 images. Combien d’images auront-ils chacun ?

20.5% 21.1% -0.6%


1. Recherche de l’état final connaissant la transformation positive et l’étatinitial.« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes amaintenant Léo ? »

2. Recherche de l’état final connaissant la transformation négative et l’étatinitial.« Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes amaintenant Léo ? »

3. Recherche de l’état initial connaissant la transformation positive et l’étatfinal.« Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9billes. Combien de billes avait Léo ? »

4. Recherche de l’état initial connaissant la transformation négative et l’étatfinal.« Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3billes. Combien avait- il de billes ? »

Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs


5. Recherche de la transformation positive connaissant l’état initial et l’étatfinal.« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant9 billes. Combien de billes Juliette a–t–elle données à Léo ? »

6. Recherche de la transformation négative connaissant l’état initial et l’état final.« Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a4 billes. Combien de billes Léo a– t –il données à Juliette ? »

7. Recherche de la composée de deux états.« Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Julietteensemble? »

8. Recherche d’un état connaissant un second état et la composée des deux états.« Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a– t–ilde billes ? »


9. Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison positive.« Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliettea–t–elle ? »

10. Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison négative.« Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliettea–t–elle ? »

11. Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison positive.« Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliettea–t–elle ? »

12. Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison négative.« Léo a 9 billes. . Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliettea–t–elle ? »


13. Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états.« Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a–t–elle de plus queLéo ? »

14. Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états.« Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a–t–elle de moinsque Léo ? »


Types d’écrits :

· Les écrits de référence· Les écrits de recherche et de travail· Les rédactions de solutions

La place de l’écrit


Les caractéristiques de l'énoncé de problème


Une des particularités de l'énoncé écrit de problème mathématique est que c'est un écrit exclusivement scolaire et sans auteur.

Cap math CP

ARP « J'apprends les maths CP

L'énoncé est le plussouvent sous la formenarrative Cap math CP

Les caractéristiques de l'énoncé de problème


C'est un texte pour faire-faire, qui attend une ou plusieurs réponses et qui a donc une partie injonctive:-sous la forme d'une question explicite: Nicolas a-t-il assez d'argent pour acheter ce livre?-sous la forme d'une question semi-implicite: Quelle est la somme dépensée?-sous la forme d'une question implicite: Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?-sous la forme d'un ordre (à l'impératif): Range ces animaux du plus lourd au plus léger.Calcule le prix des 3 ballonsTrace un carré à l'intérieur du rectangle.

Classification à partir des énoncés : en fonction de la présentation des donnéesÉnoncés sous forme d’un texte écritUne partie des informations présentées sous forme organisée (tableau, diagramme, …)Énoncés qui associent texte et image (photo, BD, dessin…), l’illustration est source ou non d’informations pour résoudre le problèmeÉnoncés associant texte et document authentique (publicité, extrait de tarif…)Autres formes : informations données oralement Conséquences pour l’élève: stratégies de lecture diverses

CATÉGORIES DE PROBLÈMES




Difficultés de lecture

-Faire des tris de textes pour apprendre à identifier un énoncé de problème-Donner un énoncé avec des phrases dans le désordre et demander de reconstituer l’énoncé.-Donner des morceaux de différents énoncés mélangés et demander de reconstituer les différents énoncés.-Donner des énoncés « à trous » qu' ’il faut compléter (avec ou sans propositions de réponses).- Faire, de temps en temps, « une vraie séance de lecture » à partir d’un énoncé de problème qu’on résout ensuite.- De façon plus générale, faire pour chaque problème un « petit travail » en amont sur les difficultés que le maître aura repérées a priori dans l’énoncé- Travail plus ponctuel sur un point particulier (travail concernant la partie informative et la partie injonctive d’un énoncé, l’utilisation des phrases interrogatives dans les énoncés de problèmes, l’utilisation des pronoms, etc.) (Faire entourer la (ou les ) questions, la tâche à accomplir.)- Résolution de problèmes dont les énoncés comportent peu ou pas de « français »

Comment venir en aide aux élèves en difficultés?



Support image:Ce matin, le marchand avait 21 ballons.Regarde sur le dessin lenombre de ballons qu'il lui reste à midi?

Combien de ballons a-t-il vendus?

Texte long:Ce matin, en arrivant à la Saint-Urbain,Benjamin a vu un marchand de ballons, ilavait 21 ballons attachés au bout depetites ficelles. Quand Benjamin estreparti, après avoir fait des tours demanège, il est repassé devant lemarchand qui n'avait plus que 12 ballonsdans la main.Combien de ballons ont été vendus?

Texte court:Ce matin, le marchand avait 21 ballons.A midi, il lui en reste encore 12.Combien en a-t-il vendus?



Travail sur les consignes:• Travailler sur les significations différentes que peut prendre un même verbeselon qu’on est en mathématiques ou pas (Exemple : comparer)• Etudier les différentes formes que peut prendre une consigne :Calculer la somme d’argent …Calcule la somme d’argent …Tu calculeras la somme d’argent …Quelle est la somme d’argent ?Combien a-t-il dépensé? Quel est le montant de la dépense? ( → calculer)Quel est le côté le plus long ? (→ citer)PolysémieLexique_des_problemes_numeriques.doc• Faire une liste des verbes utilisés dans les consignes en mathématiques (parexemple en consultant les exercices déjà faits en classe) et les regrouper enfonction de leur signification.Calculer, ajouter, … on me demande de calculerTracer, dessiner, reproduire, … on me demande de faire un dessin, une figureExpliquer, dire pourquoi, … on me demande de donner une explication


Comment venir en aide aux élèves en difficultés?Difficultés de représentation de la situation et de conceptualisation:

*Jouer la situation, la mettre en scène.

*La raconter avec ses mots, comme une histoire, à un camarade.

*Manipuler avec les objets qui correspondent à l'énoncé.

*Manipuler avec des jetons.

Il faut cependant se convaincre que ce n’est pas la manipulation d’un matériel qui constitue l’activité mathématique, mais les questions qu’elle suggère.

*Schématiser

Un exemple de mise en œuvre : recherche de l’état initial à partir d’unetransformation positive (cas numéro 3)

Objectif : automatiser l’utilisation de la soustraction pour la résolution d’un problème relevant de cette structure.

• Comprendre la situation

• Dissocier cette situation d’autres déjà rencontrées

• Élaborer une première procédure

• Identifier cette nouvelle catégorie de problème et commencer àconstruire l’association soustraction / nouvelle procédure de résolutionSituation de réinvestissement

• Le passage de la situation à l’énoncé

• Automatiser l’utilisation de la soustraction pour la résolution d’un problème


Problèmes de multiplication et de division au cycle 2

Cadre du socle commun de connaissances et de compétencesDes approches concrètes et pratiques des mathématiques […] aident les élèves àcomprendre les notions abstraites. […] Les mathématiques fournissent des outilspour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. […] La maîtrise des principauxéléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolutionde problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.

Principales compétences attendues à la fin du CE1 (premier palier) dans le champmultiplicatif :– calculer une multiplication ;– diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotientexact est entier) ;– restituer et utiliser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ;– calculer mentalement en utilisant des multiplications simples ;– résoudre des problèmes très simples.


La progressivité des séances d’enseignement se conçoit selon deux axes :

l’identification des catégories de problèmes

et le choix des variables didactiques au sein d’un même type de problèmes.

Différentes catégories de problèmes

Problèmes de multiplication et de division

Les situations proposées dans un contexte de distribution, de partage et de groupement relèvent de problèmes de multiplication et de division.


Deux types de problèmes sont à distinguer dans le cadre de la multiplication :

ceux qui font appel à une addition réitérée

Exemple : il y a 4 élèves. La maîtressedistribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue– t – elle de jetons en tout ?

et ceux qui mettent en jeu un produit de mesures.

Exemple : quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ?


Exemple : la maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a– t –il d’élèves ?

Deux types de problèmes sont à distinguer dans le cadre de la division :

Problèmes de division quotition

Problèmes de division partition

Exemple : la maîtresse a 12 jetons. Elle lesdistribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetonsa chaque élève ?

Nombre d’élèves

Nombre de jetons

1 3

? 12

Nombre d’élèves

Nombre de jetons

1 ?

4 1209/05/2012 28La résolution de problèmes au cycle 2

sont autant de variables qui peuvent moduler le niveau de complexité du problème proposé dans le cadre d’une pédagogie différenciée.

Identification et choix des variables

La taille des nombres

La relation entre les nombres (double, moitié…)

L’habillage de la situation

La présentation de l’énoncé (écrit, oral, dessin, schéma, matériel…)


Objectifs des programmes 2008La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue àconstruire le sens des opérations.C’est le cours préparatoire qui installe le symbolisme (signes des opérations, signe« égal ») et les techniques.

Principales compétences attendues à la fin du cours préparatoire dans le champ multiplicatif :– connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairsinférieurs à 20 ;– connaître la table de multiplication par 2 ;– résoudre des problèmes simples à une opération.

CP : des problèmes de multiplication


Objectifs des programmes 2008La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.10Elle fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens desopérations.

Principales compétences attendues à la fin du cours élémentaire première annéedans le champ multiplicatif :– connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant ;– mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ;– connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des produits ;– connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre ;– diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier) ;– résoudre des problèmes relevant de la multiplication ;– approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage oude groupements.

CE1 : des problèmes de groupements et de partage

pour une approche de la division



Travail sur les procédures et sur les erreurs


La rédaction de la solution

Dans les fichiers,rédiger la réponserevient généralement àcompléter une phrase« à trous »:

Produire un texte complet est une tâche difficile au cycle 2. Par sa brièveté, sastructure et son contenu, l’écrit mathématique peut s’avérer un supportintéressant pour entrer dans un apprentissage progressif de l’écriture.

Au CP : Ecrire la solution d’un problème revient à produire une phrase simple dontla structure est la suivante (exemples tirés de Maths CP, Hachette, 2001, p.90-91): P = GN + GV


La rédaction de la solution

Extraits du fichier MATHCP (Hachette) (page 90)( "Rédiger la solution")


Conclusion

L’apprentissage de la résolution de problèmes doit s’inscrire dans la durée.

Proposer un « parcours résolution de problèmes »

Travailler la typologie des problèmes et donner aux élèves les clés pour les reconnaître, et ce quel que soit leur habillage, c’est leur permettre de s’autoriser à s’engager dans une démarche de recherche.


Merci de votre attention

Documents

Mercredi 9 mai 2012 Inspection de lEducation nationale Saint-André de lEure 09/05/20121La résolution de problèmes au cycle 2