Bille dans un entonnoir : Rapport final

Meric Kucukbas et Mouhamad Badji

23 mai 2015

Table des matières

I Introduction 2

1 Introduction générale 4

2 Rappels sur l’étude théorique initiale 52.1 Caractéristiques mécaniques du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Problèmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Hypotheses inhérentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Étude du mouvement de la bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Étude Lagrangienne du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5.1 Détérmination de l’énergie cinétique de la bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2 Determination de l’energie potentielle de la bille . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.3 Resolution de l’equation d’Euler Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Discussion générale du mouvement de la bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Discussion primaire au vue des résultats précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Discussion graphique de la nature du mouvement de la bille . . . . . . . . . . . . . . 8

II l’expérimentation 10

3 Les objectifs de l’expérimentation 11

4 Le problème à 2 corps et son implication en pratique 12

5 Mise en pratique de l’expérience 135.1 Outils et matériels utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Logiciels et utilisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Acquisition et traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.1 Acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.2 Observations, erreurs et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3.3 Traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4 Résultats et interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.4.1 Interprétation du moment cinétique selon z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4.2 Interprétation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

Première partie

Introduction

2

3

Chapitre 1

Introduction générale

Cette étude réalisée par Méric Kucukbas et Mouhamad Badji, étudiants en 3e année delicence de physique à l’université Paris VII Denis Diderot, est un projet de physique expérimentalqui est un cours à part entière. Cette étude, qui comme son nom l’indique, est l’étude de latrajectoire des mouvements d’une bille sur une surface non plane qui est symétrique par rapportà son axe de révolution ou autrement dit, un entonnoir. Quels sont les aspects scientifiques d’unetelle étude qui paraissent être pour le profane, un simple cas de mécanique du solide tout auplus, un cas farfelu de la physique pour amuser la galerie ?

Loin de nous, l’idée de vous faire perdre votre temps, lecteurs émérites. En effet, vous allezdécouvrir que cette idée si absurde d’observer une bille rouler sur un entonnoir décrit en réalité,la véritable mécanique céleste des corps massifs qui constituent notre univers.Effectivement,nous nous sommes intéressés à ce cas si anodin de par son application au mécanisme qui régitl’univers tout entier : la gravité et la relativité générale. Effectivement, l’ensemble de l’univers etdes corps massifs qui le constituent sont soumis à une force universelle : La gravité mise en avanthistoriquement par Isaac Newton et reprise par Albert Einstein sous le concept de relativitégénérale. Il ont stipulé respectivement que les corps ayant une masse propre s’attire selon une loiqui est inversement proportionnelle au carré de la distance séparant ces 2 corps, puis dans uneoptique plus récente, Einstein a considéré que les corps massifs provoquent une courbure del’espace temps de par la création d’un potentiel gravitationnel du à leur masse (un cas parexemple qui explique le phénomène de la déviation de la lumière à l’approche d’un corps massifcomme une étoile).En fait, dans le cadre de notre étude, nous avons adapté le cadre de l’observation interplanétaire àun cas que tout le monde peut réaliser plus ou moins aisément chez lui en prenant un ensemblede matériel rudimentaire comme une bille et un entonnoir. La forme de l’entonnoir détermine ceque l’on appelle le potentiel gravitationnel effectif,la dite courbure de l’espace temps qui estinversement proportionnel à la distance par rapport au centre de gravité du corps massif. La bille,quant à elle n’est rien d’autre que le corps plus léger qui se déplace dans cette espace dont lacontrainte majeure est ce fameux potentiel. On peut notamment selon certaines conditionsinitiales faire l’analogie de la Terre se déplaçant autour du soleil avec une belle orbite elliptique.

Ce rapport s’adresse à nos professeurs, afin qu’il puisse avoir une trace écrite de nos travaux maisaussi et nous l’espérons, à nos collègues de Licence qui sont intéressés par notre travail. Nousavons réalisé ce document LATEX dans une optique altruiste : notre étude et la façon dont nousavons présenté le sujet d’étude a été compilé de façon à ce qu’il soit compréhensible à noscongénères mais aussi à des amateurs de mécanique céleste et de physique en général.

4

Chapitre 2

Rappels sur l’étude théorique initiale

Nous rappelons les concepts et la partie théorique entreprise au tout début de ce projetexpérimental. Il est parmi ces calculs, certains qui sont fastidieux mais nécessaire pour avoir uncap, un objectif des divers tâches à réaliser.On désire étudier les mouvements possibles d’une bille (M) de masse m sous l’action du champde pesanteur ~g , à l’intérieur de différentes formes d’entonnoir fixe que l’on suppose solidaired’un réferentiel R(O,~ex ,~ey ,~ez)supposé galiléen.Expérience N°1 :Considérons un entonnoir fixe dans un laboratoire supposée solidaire d’un réferentiel galiléen etsoumis au champ de pesanteur ~g .Sa surface intérieure est un paraboloïde de révolution (P), d’axeverticale Oz, de sommet O et dont l’équation en coordonnées cylindriques (ρ,θ, z) est : ρ2−az = 0Une bille (M) de masse m, de rayon r négligeable par rapport aux dimensions de l’entonnoir estplacé au contact de la surface de (P) avec une vitesse initiale ~Vo de son centre de masse G et sansvitesse de rotation propre initiale. Il vient par conséquent que les forces agissant sur la bille sont :– Le poids ~P– La réaction normale du support ~R exercée par (P) sur (M)

2.1 Caractéristiques mécaniques du systeme

En considérant comme il est suggéré que la bille est une particule, la configuration dusystème est complétement décrite par ses trois coordonnées ρ,θ et z mais étant donné que lescoordonnées de (M) sont liées par la condition : ρ2 −az = 0, il y a donc 3−1 = 2 degrés de libertétant que la bille se meut sur (P).

2.2 Problèmatique

Il apparaît donc ici clairement que la problèmatique est l’étude en elle même desmouvements de la bille dans la contrainte considérée ρ2 −az = 0 . Tout ce qui suit n’est qu’unpréambule au lourd spectre calculatoire qui vont par la suite nous aider à considérer les aspectsexpérimentaux de l’étude à savoir les dimensions ou plutôt le rapport des dimensions que l’on sedoit de considérer pour rapporter en tant que physiciens expérimentateur, l’étude que l’on veutmener. Hormis les détails de l’expérience, ces calculs à venir nous permettront tout autant demettre en exergue d’autres phénomènes comme la vitesse d’échappement de la bille, ou bien lecas limite ou la bille tombe complètement dans le puits de potentiel.

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2.3 Hypotheses inhérentes

Voici donc les hypothèses qui nous permettront d’infirmer ou confirmer ce que l’on aconsidérée jusqu’à maintenant que de façon intuitive mais aussi de faciliter le problème qui estlourd en lui même.On suppose que :

1. La surface de l’entonnoir est parfaitement lisse donc il n’y a prise en compte d’aucune forcedissipative d’énergie telle qu’une ou plusieurs forces de frottement.

2. La bille est assimilée à un point matériel : son centre de masse G décrit une courbe sur unesurface pratiquement confondu avec (P) et l’énérgie cinétique de la bille (M) sera pratique-ment confondue avec l’énérgie cinétique de son centre de masse G

3. La bille ne roule pas sur (P) et glisse donc sans frottement au cours du temps :– ~MGext (bi l l e) =~0– ~HG =~0– ~f =~0où ~MGext (bi l le) est le moment des forces extérieures qui agissent sur (M), ~HG est le mo-ment angulaire du centre de masse G et ~f est la ou les forces de frottements qui ne sont pasconsidérées.

2.4 Étude du mouvement de la bille

2.5 Étude Lagrangienne du mouvement

Nous choisirons pour notre étude et par la facilité de l’étude énergétique du systèmel’approche Lagrangienne pour étudier le mouvement de la bille et nous prendrons pourparamètre de configuration θ et ρ car z est lié à ρ. Il nous faut donc dés à présent trouverl’expression la plus simple et cohérente possible de l’énergie cinétique et potentielle de la bille(M) qui se déplace sur (P) afin d’utiliser par la suite les équations d’Euler-Lagrange.

2.5.1 Détérmination de l’énergie cinétique de la bille

On sait que :| ~VM |2 = ρ2 +ρ2θ2 + z2 (2.1)

avec z = 2ρρa d’où T(ρ, ρ,θ, θ) = m(1+ 4ρ2

a2 )ρ2 +mρ2θ2 avec T qui est quadratique en ρ et θ

2.5.2 Determination de l’energie potentielle de la bille

La réaction ~R de (P) sur (M) ne travaillant pas (~f =~0), il existe un potentiel de l’ensemble desforces réelles, c’est celui de la gravité d’où V = mg z + cste ⇔ V = 2m g

aρ2 + cste.

2.5.3 Resolution de l’equation d’Euler Lagrange

On rappelle que le Lagrangien du système considérée est L = T −V tel que :

L = m(1+ 4ρ2

a2)ρ2 +mρ2θ2 −2m

g

aρ2

6

Les équations du mouvement sont déterminées par les équations d’Euler Lagrange qui pour lacoordonnée généralisée qα sont :

d

d t(δL

δqα)− δL

δqα= 0 (2.2)

On obtient donc deux équations pour les deux différents paramètres θ et ρ qui sont les suivantes :– Pour ρ :

(a2 +4ρ2)ρ+4ρρ2 −a2ρθ2 +2ρag = 0

– Pour θ :ρθ+2ρθ = 0

Quantitées conservées et discussions

– Puisque δLδt = 0, on a T +V = Em où Em est l’énergie mécanique du système considérée et donc :

Em = T +V = m(1+ 4ρ2

a2)ρ2 +mρ2θ2 +2m

g

aρ2

– Puisque δLδθ

= 0, on a δLδθ

= cste et par conséquent, on remarque que le moment angulaire selon

z est constant avec ~Hz = mρ2θ. De cette dernière constatation, on remarque que comme lemoment angulaire selon z par rapport à O est constant quelque soit le temps t considérée,alors il advient que la bille ne peut se déplacer que sur une trajectoire plane.

2.6 Discussion générale du mouvement de la bille

On rappelle que l’on a de par la mise en équation du problème la relation suivante : Hz = mρ2θ⇔θ = Hz

mρ2 et on rappelle aussi que l’totale du système Ema été définie de telle sorte que :

2Em = m(1+ 4ρ2

a2)ρ2 +mρ2θ2 +2m

g

aρ2

en remplacant l’expression de θ que l’on vient de trouver, il vient :

Em = 1

2mρ2(1+ 4ρ2

a2)+ H 2

z

2mρ2+ mgρ2

a

On peut réécrire cette expression en faisant apparaître deux termes clés dans l’étude ultérieuredu mouvement de façon à ce que :

Em = 1

2mρ2G(p) +Epe f f

où G(p)= Grandeur positive sans dimension = 1+ 4ρ2

a2

et Epe f f = Énergie potentielle effective (cf. Annexe)= H 2z

2mρ2 + mgρ2

a

2.7 Discussion primaire au vue des résultats précédents

Nous allons pour quelques lignes nous tourner sur la forme qu’a notre Énergie potentielleeffective. On remarque que cette énergie est dépendante à la fois d’un terme proportionnelle à ρ2

mais aussi d’un terme en 1ρ2 qui va nous donner certaines caractéristiques interéssantes selon les

plages de ρ où l’on va se situer. En effet selon les cas limites c’est à dire pour [ρ→+∞] et [ρ→ 0],on a la prédominance d’un terme vis à vis de l’autre.

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Epe f f passe par un minimum lorsque (dEpe f f

dρ ) = 0 et on en déduit donc d’après la formule

précédente que pour ρ = ρmi n avec ρmi n = (aH 2

z2m2g

)14

2.8 Discussion graphique de la nature du mouvement de la bille

Pour qu’il y ait mouvement de la bille, il faut que l’énergie totale Em soit supérieur ou égalà la valeur minimale de l’énergie potentielle effective pour ρ = ρmi n . En effet, nous avionsprécédemment obtenu que :

Em = 1

2mρ2G(p) +Epe f f

où G(p) est une constante positive du mouvement et par conséquent, le mouvement existelorsque cette valeur de G(p) est définie.

8

Pour une valeur fixée de Em , on remarque donc que ρ va varier entre deux valeurs extrémales quel’on nommera ρmi n et ρmax . La trajectoire de (M) sur (P) sera donc situé entre deux cerclescentrés sur l’axe de révolution de (P) tel que ces 2 cercles auront pour rayon respectif ρmi n etρmax . Ces deux valeurs seront pour une valeur de Em fixe d’après les formules déduitesprécédemment :

Em = 1

2mρ2G(p) +Epe f f

⇔Em = Epe f f

⇔1

2mρ2G(p) = 0

9

Deuxième partie

l’expérimentation

10

Chapitre 3

Les objectifs de l’expérimentation

Les objectifs de l’expérimentation sont de façon générale, le moyen par excellence, pour lescientifique de reproduire une infinité de fois, dans la mesure du possible, ce que la nature réalisespontanément à d’autres échelles, et d’en tirer des lois générales voire universelles. C’est danscette optique qu’il casse l’empirisme de l’observation pour une participation active et se doit desinger au mieux la spontanéité de la Nature. Nous nous devons d’avoir une problématique afin decibler et de la résoudre en confirmant ou infirmant une hypothèse initiale. Ici, la question qui arégi ce semestre de travail fut le suivant : Quelles analogies peuvent être mis en place entre notredispositif expérimental et la mécanique céleste ? Selon les conditions initiales, positions etvitesses, peut on prédire le mouvement de la bille tout comme on arrive à déterminer celui descorps célestes ?Nous allons porter successivement notre développement pour commencer sur le problème à 2corps et ce qu’elle implique en pratique, pour passer ensuite à la mise en pratique de notreexpérience, à savoir les logiciels utilisés, le matériel et sa dispostion. Ensuite nous allonsdistinguer l’acquisition et le traitement de données en faisant une parenthèse sur les incertitudeset erreurs sur les mesures. Enfin, nous allons interpréter les résultats pour conclure à la réponse,nous l’espérons de la problématique suscitée. Nous vous souhaitons autant de plaisir à lire cetravail que nous en avons eu à le réaliser.

11

Chapitre 4

Le problème à 2 corps et son implication enpratique

Le problème à 2 corps ramené à celui d’un objet se mouvant dans un potentiel gravitationnelparticulier nous laisse présager que le mouvement de la bille dans l’entonnoir est une bonneanalogie à la condition que :– si on considère que φ(z) est le potentiel du puits gravitationnel et qu’il dépende de la variable

z, c’est à dire qu’il existe une relation entre la variable z et la valeur du potentiel (champvectoriel) et que φ(z) = α

|z| (avec α une constante dépendant des caractéristiques del’attracteur...), nous devrions en conséquence avoir une forme d’entonnoir de la sorte qu’ilreprésente le puits gravitationnel en chaque point de l’espace. Il nous faudrait donc unentonnoir de surface de révolution hyperbolique.

– il n’existe pas de forces dissipatives ce qui laisse les trajectoires, sauf cas extrêmes(échappement, chute dans le puits gravitationnel qu’il faut voir comme une collision a l’échelledes corps massifs), fermées donc confrontables au cas réel.

– Et que la bille ne permette pas le glissement sans quoi cela entraine aussi une perte d’énergie.– L’acquisition vidéo est parfaitement centrée sur l’axe de révolution de l’entonnoir, il n’existerait

dans le cas bien évidemment utopique aucune erreur sur les différentes mesures.Les objectifs idéalisées sont ceux que j’ai précédemment cités malheureusement le cas utopiquen’est pas réalisable. Cependant toute expérimentation, toute mesure implique nécessairementdes erreurs (cf. Observations, erreurs et incertitudes)

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Chapitre 5

Mise en pratique de l’expérience

5.1 Outils et matériels utilisés

Voici la liste du matériel que nous avons utilisé afin de réaliser notre projet expérimental.Vous remarquerez à bien des égards que c’est malgré une lourde introduction calculatoire, uneexpérience réalisable chez soi et n’importe où :

– Entonnoir en verre à surface lisse, et plane de diamètre sur son bord supérieur de 30 cm, surson bord intérieur de 3 cm, ayant un angle d’un bord à l’autre de 60r. Cet entonnoir est agré-menté de son support que nous avons fabriqué avec l’aide de Alexandre Di Palma, un supertechnicien mécanicien de notre université.De plus, pour des raisons de faire apparaitre cor-rectement la bille en jouant sur les contrastes, nous avons recouvert la surface extérieure del’entonnoir avec une feuille homogène de papier blanc.Cet entonnoir, comme vous l’avez remarqué n’est pas hyperbolique comme dans le cas dis-cuté sur le problème à 2 corps cependant pour des raisons techniques et de contraintes ma-térielles, nous n’avons pu obtenir d’entonnoir à surface hyperbolique.

– Nous avons pris comme bille des billes en acier inoxydable de différents diamètres dont lamasse se calcule grâce à une relation simple de masse volumique :

Mbi l l e = ρaci er ×Vbi l l e

– Connaissant le volume de la bille qui est sphérique, on a Vaci er = 43πr 3

– Et la masse volumique de l’acier d’après un ouvrage de physique serait deρaci er = 8010kg .m−3

– Un support de fixation de la caméra– Quatre Ampoules à fil de Tungstène afin d’avoir une source de lumière "continue". En ef-

fet, la fréquence de captation des images par l’appareil photo est nettement supérieure àla fréquence alternative d’émission de lumière des lampes halogènes du laboratoire. C’estpourquoi avant chaque acquisition, nous éteignons les lumières puis éclairions indirecte-ment l’entonnoir afin d’une part, enlever cet effet de battement lumineux néfaste, et de pluséviter les reflets/ombres de la bille qui faussait l’acquisition des résultats.

– un appareil photo/caméra Nikon à haute résolution et à obturateur globale qui a un nombrede FPS (Frames per second) allant de 1 à 320. Cependant il faut trouver le compromis avecune bonne mise au point et un nombre d’images suffisants pour que les programmes d’ac-quisitions d’images puissent bien repérer la bille à chaque instant. C’est pourquoi de par labonne mise au point, l’appareil prenait 240 FPS. Nous reparlerons du bon nombre d’imagespar seconde à adopter concernant l’enregistrement de la trajectoire de la bille dans la sec-tion "Observations, erreurs et incertitudes". Voici une vue de face du dispositif expérimental :

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et une vue du dessus (c’est à dire ce que voit la caméra) :

vue dessus.jpg

14

5.2 Logiciels et utilisations

Nous avons par ailleurs utiliser très majoritairement deux logiciels, un pour l’acquisition dedonnées et le second pour le traitement :

– Image J, un logiciel gratuit disponible sur internet qui permet de faire de l’acquisition d’imageet de traiter en partie l’image, notamment de repérer à chaque instant un objet en mouve-ment si celui ci a une forme bien particulière. Nous, en l’occurrence, nous traitons des mou-vements d’un point sur ce qui apparait à la caméra comme étant un plan. Effectivement, lacaméra et par son biais, Image J aperçoit la bille se mouvant dans un plan en 2 dimensionsau quelle nous devons ajouter la 3e dimension à savoir la profondeur par une relation simpleà trouver algébriquement.Ce logiciel permet par la suite, selon un référentiel cartésien dont l’origine est le centre de laséquence d’image. Ayant les positions en 2 dimensions de la bille, on pouvait avoir à la foisla profondeur, et par traitement de données et calculs appropriés, toutes les caractéristiquesdu système que l’on a considéré.

– Matlab est un langage de programmation, utilisé surtout à des fins d’analyses numériqueset donc, très bien adapté à notre étude. Il nous a en effet permis avec la position en x eten y de déterminer à la fois la position de la bille selon z, de mesurer la vitesse à chaqueinstant selon les 3 composantes et par voie de conséquence, l’énergie cinétique, potentielle,mécanique... etc.

5.3 Acquisition et traitement de données

5.3.1 Acquisition

Voici la manière avec laquelle nous avons procédé pour obtenir des images à traiter.

1. La première étape fut d’éteindre les lumières "alternatives" et d’éclairer la source de façonindirecte pour éviter des jeux d’ombres biaisant l’acquisition numérique.

2. La seconde étape consiste en l’acquisition elle même. Nous nous devions d’assurer lemeilleur centrage possible entre l’objectif de la caméra, l’axe de révolution de l’entonnoirainsi que de l’horizontalité de chacun pour éviter des distorsions d’images et donc desrésultats faussés.Nous avions à notre disposition des niveaux numériques pourl’horizontalité et des pointeurs laser pour nous assurer de la centralité. Bien évidemment,la bille projeté de la rampe devait arriver sans choc sur la surface de l’entonnoir, plutôt defaçon tangentielle car un choc voudrait dire une perte d’énergie cinétique et donc nouséloignerait de la théorie mis en place. Pour faire jouer les conditions initiales et faire jouerl’hétérogénie de nos résultats, c’est à dire conforter statistiquement la confirmation oul’infirmation de l’hypothèse de départ, nous devions faire plusieurs simulations avec desconditions initiales différentes.

3. Une fois la série d’images acquises, nous procédions au premier traitement de d’images àsavoir sur Image J– Pour obtenir la seule position de la bille, il nous faut soustraire en première étape, le plan

immobile du fond (Background) qui n’est rien d’autre que de l’information nonnécessaire.

– Une fois le Background retiré, nous avons clairement et exclusivement une bille quis’agite à l’écran en nous montrant les prémisses de trajectoires elliptiques non fermées.L’acquisition des positions de x et y ne se calcule pas sans un seuillage de la séquenced’images car le programme ne sait pas ce qu’il doit capturer comme information. En

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vue dessus.jpg

FIGURE 5.1 – blabla

procédant au seuillage, nous donnons l’ordre au programme de ne se soucier que de labille.

– Une fois le seuillage réalisé, la position de la bille est déterminée à chaque instant parl’utilitaire "Analyse Particles". Une fois cette opération réalisée, nous obtenons, untableau de 3 colonnes comportant la position x, y , et le numéro de l’imagecorrespondante. Cette dernière colonne est capitale car elle nous renseigne si leprogramme n’a pas capturé le nombre d’images espérés et donc des disparitions de labille qui peuvent être dus à différents facteurs telle que l’ombre de la bille, son reflet, desproblèmes liées au logiciel d’acquisition lui même.

5.3.2 Observations, erreurs et incertitudes

Toute observation étant l’œuvre de l’homme, elle est imparfaite par conséquent. Il est tout demême important de pouvoir nommer et quantifier cette imperfection.

En effet, les erreurs qui interviennent sur x et sur y se répercutent sur toute expression qui y sontliés notamment la variable z, tout comme l’énergie cinétique dépendante de la vitessequadratique de ces 3 variables.

L’erreur sur x et y

Comment estimer l’erreur sur x et y ? Reprenons la vue du dessus du dispositif de l’expérience etessayons d’estimer toutes les erreurs probables de mesure.

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Lors de nos mesures sur Image J, les mesures indiquées sont indiquées en pixels. C’est pourquoiil faut opérer une conversion des pixels au cm afin d’avoir un ordre d’idée des distances et parconséquent, des vitesses et tout ce qui s’y rapportent. Hors comme indiqué sur le schéma, lediamètre inférieur est de 3 cm alors que le diamètre supérieur est de 30 cm et lorsque nousmesurions sur Image J en pixels nous avions respectivement un ratio de 30 pour 289 pixels. Doncsi on doit estimer une erreur sur x, que l’on nommera ∆x, alors :

∆x = Différence entre ratio véritable et mesuré

∆x = 3

30− 30

289= 0.004

Cette erreur présente sur x correspond à la même erreur que sur y notamment de par le fait que leplan de la caméra est bidimensionnel. Donc ∆x =∆y .

L’erreur sur z

Explicitons maintenant la manière de calculer z ainsi que son erreur relative. Reprenons unschéma afin d’améliorer la compréhension générale du problème :

On sait que :

r =√

x2 + y2

De plus, la tangente de l’angle α est égale à rz par conséquent :

z =√

x2 + y2

tan(α)

Nous allons maintenant déterminer l’erreur sur z, ∆z en procédant à la méthode de ladifférentielle logarithmique or on sait que l’erreur pour x2 + y2 est 2∆x

x +2∆yy et la racine de ce

nombre fait que :

∆z

z= 1

2× (2

∆x

x+2

∆y

y) (5.1)

∆z

z= ∆x

x+ ∆y

y(5.2)

∆z

z= 1

2× (2

∆x

x+2

∆y

y)

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∆z

z= ∆x

x+ ∆y

y

On peut donc estimer ∆z à 2 fois l’erreur sur x ou sur y étant donné que c’est la même.Ayant déterminé les erreurs sur les positions x, y et z, il nous reste qu’à déterminer l’erreur surl’appareil photo, c’est à dire la composante temporelle. On sait que l’appareil prend 240 imagespar seconde et que l’erreur relative sur le temps de cette appareil même s’il existait serait moindredevant l’incertitude sur la position or pour des relations de vitesse, qui divise une positionsuccessive à des temps différents. Alors en terme de propagation d’erreurs, cela n’aura aucuneincidence sur les vitesses et grandeurs apparentées.

L’erreur sur les vitesses et énergies

Maintenant que nous avons déterminé erreurs sur positions et temps, il nous reste qu’àdéterminer celle qui s’opère sur les vitesses et énergies (cinétique notamment).Comme je l’ai explicité tout à l’heure, l’erreur sur le temps est moindre devant l’erreur sur lespositions.Donc fondamentalement, l’erreur sur les vitesses est la même que l’erreur sur lespositions et par conséquent :

∆vx =∆vy =∆x

et∆vz =∆z = 2∆x

Maintenant que nous avons traité le cas des vitesses et des positions, nous pouvons discuter deserreurs relatives sur les énergies cinétiques et potentielles de pesanteur qui dépendentdirectement de la position en z pour l’énergie potentielle et des vitesses pour l’énergie cinétique.Rappelons les relations de ces deux entités :

Ec = 1

2mv2 = 1

2m(vx + vy + vz)2

Ep = mg z

Et par conséquent, l’incertitude relative sur l’énergie cinétique est :

∆Ec = 2(∆x +∆y +∆z) = 2×4∆x = 8∆x

et l’erreur sur l’énergie potentielle est égale à l’incertitude sur z car il existe une relation linéaireentre ces deux variables. L’énergie mécanique, étant la somme des énergies traitées auparavant,l’incertitude sur l’énergie mécanique n’est rien d’autre que la somme des incertitudes surl’énergie cinétique et potentielle.

De plus, il est important de souligner qu’un seuillage mal réalisé, un éclairage et donc uncontraste pas assez important ou un centrage raté sur le traitement de données (en effet, pourcentrer le centre de l’entonnoir et avoir un référentiel convenable pour les calculs ultérieurs, il estnécessaire de soustraire à x et y les coordonnées xc et yc du centre de l’entonnoir) peut avoir desconséquences très néfastes sur le traitement de données.

5.3.3 Traitement de données

Nous en venons désormais à la partie du traitement des données. Comme nous l’avions dit enlong et en large plusieurs fois auparavant, nous avons mis en place tout le cadre nous permettantdésormais d’avoir des données avec certaines erreurs et qui nous permettent enfin, après inter-prétations, de répondre à notre problématique.

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Une fois l’acquisition réalisée, nous obtenions un tableau de valeurs qui comportait trois co-lonnes, une pour la coordonnée x, une pour y , et une pour le numéro de l’image correspondante.Après le traitement approprié sur Matlab, nous avions donc par calcul obtenu la coordonnée zmais aussi toutes les énergies qui nous étaient nécessaires d’avoir pour l’étude.

Nous allons donc vous présenter quelques cas remarquables parmi les très nombreux cas as-sez hétérogènes que nous avons réalisé, à travers les différents graphiques de moment cinétique,d’énergie mécanique (où l’on voit parfaitement la somme des énergies cinétique et potentielle),ainsi que les trajectoires en 2 et 3 dimensions.Nous allons pour chacun des cas vous présenter successivement la trajectoire en 2 dimensions,ensuite en 3 dimensions, pour passer à la vitesse de la bille en fonction du temps ainsi qu’au mo-ment cinétique, et finir sur les énergies.

Nous allons en hommage de la section précédente vous montrer des résultats qu’il n’est pasnécessaire de prendre en compte pour l’étude de par leur inexactitude. Nous vous montrons cesrésultats pour vous rendre compte de la difficulté d’avoir un montage expérimental performant etque comme nous l’avions précédemment dit, la moindre erreur sur le montage ou des conditionsexpérimentales peut avoir des conséquences délétères pour l’étude.

Ici, on remarque immédiatement que le seuillage a été mal entrepris car il existe des points quin’ont pas été repéré par l’analyse de particules en vue du pas d’enregistrement. Voyons la suite.

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Pour le moment cinétique, on remarque notamment que la disparité de quelques points sur quelquesslices à entrainer la création de nouveaux points et malheureusement pour nous, le programmede traitement d’images n’est rien d’autre qu’un enfant qui relie des points qui sont pour "lui" nu-mérotés dans un certain ordre quoiqu’ils soient absurdes.

Voici par exemple, un des premiers cas remarquables que nous avons dénoté, qui est celui del’échappement de la bille de l’entonnoir, ce qui dans un cas réel pourrait se comparer à un corpscéleste passant au voisinage d’un autre corps beaucoup plus massif et qui subit une déviation desa trajectoire sans pour autant rester dans le champ gravitationnel du corps supermassif.

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Ayant vu des cas qui se rapporte soit à un extrême soit à une erreur de manipulation, nous allonsdés maintenant vous présenter deux séries de courbes,qui sont normales par leurs aspects et oùla seule différence majeure est la vitesse et l’angle d’entrée sur l’entonnoir pour les deux. Série decourbes n°1 :

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Série de courbes n°2 :

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5.4 Résultats et interprétation

Les résultats scientifiques ne sont que des valeurs inertes si elles ne passent pas par l’œil avisédu savant. En effet, ces courbes sont belles par leur technicité toutefois que nous ont elles ap-prises ? Hormis les 2 premières courbes de chacune des séries qui nous permettent d’avoir unetrace bi voire tridimensionnelle de la trajectoire et de se rendre compte éventuellement que ceuxsont des ellipses que ce ne sont pas les mêmes (on peut aussi voir que ce n’est pas le même lancer,

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ne serait ce que par les différences flagrantes entre les 2 séries de courbes), il nous vient d’inter-préter les résultats.

Interprétation des vitesses

Je voudrai tout d’abord avant d’interpréter mes courbes vous énoncer quelques notions determes que l’on utilise dans les sciences se réferant à l’espace et grosso modo à la mécanique cé-leste.

D’après la 2e loi de Kepler, ou la loi des Aires,qui stipule que :

Soit A(t) l’aire de la surface balayée par le rayon vecteur durant le mouvement, alorscette seconde loi stipule que des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

Nous savons que selon la position de la planète à la périgée (point le plus proximal du foyer at-tracteur de l’orbite elliptique) ou à l’apogée (point le plus distal du foyer attracteur de l’orbiteelliptique), les vitesses changent du tout au tout. En effet, je vous rappelle que notre désir premierici était de montrer que notre entonnoir pouvait servir de bonne approximation à la dynamiquecéleste.D’après la loi des aires, et en absence de frottements (ce qui n’est évidemment pas le cas ici) nousdevrions avoir une vitesse qui passe d’une valeur minimale (apogée) à une valeur maximale (pé-rigée) de façon périodique comme l’aurait fait une sinusoïde. Et c’est bien ce que nous avons avecun petit bémol de décroissance linéaire qui est le fait des frottements des composantes matériellesde la bille ainsi que de l’entonnoir. Les courbes des vitesses confortent notre hypothèse pour l’ins-tant.

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5.4.1 Interprétation du moment cinétique selon z

Loin de moi l’idée de vous paraître hautain par la didactique que j’essaie de dispenser en mêmetemps que l’interprétation scientifique des résultats mais les phénomènes que l’on traite ici nesont pas familier à tous parmi nous et si par malheur, vous lisez ce qui va suivre avec ennui et biennous nous en excusons.

Le moment cinétique d’une particule reflète bien des caractéristiques. Au delà d’être un pro-duit vectoriel entre un vecteur allant d’un point de pivot à un autre point de l’espace et la quantitéde mouvement de ce même objet, il permet de distinguer si un objet se meut sur un plan euclidienplat ou non.Effectivement, considérons un espace en 3 dimensions ou la métrique serait un repère cartésienclassique avec pour repère(O,~x,~y ,~z) et dans cette espace, on considère le plan euclidien xO y . Surce plan et uniquement sur celui ci, se meut une bille allant à la vitesse que vous voulez dans la di-rection que vous voulez. Si vous vous mettez à calculer l’orientation du moment cinétique de cettebille, il sera toujours orienté selon~z si jamais votre objet d’étude se déplace sur un plan. Mais quese passe t-il si jamais c’est votre plan lui même qui tourne à son tour ? Et bien il se passe ce qu’ilse passe à la fois dans notre entonnoir mais aussi au niveau des astres et c’est ce que l’on nommela précession. C’est le fait pour un axe de rotation de changer continuellement d’orientation duà son environnement proche et qui est nommé dans le jargon cosmologiste de "précession de lapérihélie" (rien que ça). Voici un schéma explicatif de ce phénomène :

Mais comment le voit on sur notre graphique ? Et bien c’est le simple fait, pour les 2 courbes repré-sentant le moment cinétique selon z de la bille, d’observer des sinusoïdes qui manque de périodi-cité à vrai dire, brouillées par des effets dissipatifs comme on en a l’habitude de le voir. A nouveau,la précession qui est un fait réel dans nos cieux est mis à plat dans notre entonnoir donc l’analogiede l’entonnoir pour la mise en pratique du problème à 2 corps est pour l’instant confortée.

5.4.2 Interprétation de l’énergie mécanique

Si l’on doit en venir à l’énergie, on remarque que nos courbes subissent toutes des phénomènesdissipatifs du aux frottements de l’entonnoir sur la bille. Cependant, si l’on faisait abstraction decette décroissance qui a un aspect assez linéaire au passage, on pourrait davantage se concentrer

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sur l’énergie cinétique et potentielle, et par conséquent mécanique de la bille. On remarque auniveau physique, qu’un corps massif décrivant une orbite elliptique n’est rien d’autre qu’un oscil-lateur mécanique harmonique (et c’était d’ailleurs avant l’avènement de la mécanique quantiqueet de l’infiniment petit, le meilleur moyen pour avoir une échelle de temps). Qui dit oscillateur har-monique dit énergie mécanique constante et opposition de phase dans la périodicité de l’énergiecinétique et potentielle. Et bien, nos courbes d’énergies décrivent parfaitement ce résultat avec uncertain bruit, du à l’accumulation des erreurs systématiques sur la valeur de l’énergie mécaniquequi provoque une différence d’amplitude minime dans nos résultats. Cependant, à nouveau, celaconfirme l’hypothèse que l’on s’était fixé au départ à savoir que l’entonnoir est une bonne ap-proximation de la dynamique des corps célestes et ce, même si le potentiel effectif de l’entonnoirn’est pas de la même forme que le potentiel gravitationnel qui lui, est, hyperbolique.

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