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MMeessoo-- mmiiccrroo-- mmééttééoorroollooggiiee

((SSCCAA 44666622))

PPrreemmiièèrree ppaarrttiiee :: mmiiccrroo--mmééttééoorroollooggiiee

UUnniivveerrssiittéé dduu QQuuéébbeecc àà MMoonnttrrééaall EEvvaa MMoonntteeiirroo,, 22000099

Micrométéorologie

EM‐UQÀM Page ‐ 2 -

11.. IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN

11..11.. ÉÉCCHHEELLLLEESS EENN MMÉÉTTÉÉOORROOLLOOGGIIEE

«Tout est une question d’échelle…»

La principale caractéristique de la planète Terre vue de l’espace est son atmosphère où des tourbillons de nuage se déplacent continuellement sur une planète bleue. Pour le météorologiste, l’échelle planétaire s’est la plus grande échelle à laquelle des phénomènes météorologiques ont lieu.

On accepte actuellement l’existence de quatre échelles de phénomènes météorologiques : échelle globale ou planétaire, échelle synoptique, mésoéchelle et microéchelle. Les phénomènes associés à ces échelles ne sont pas indépendants. Chacun est influencé par tous les autres.

Souvent un phénomène d’une certaine échelle est fortement influencé par des caractéristiques topographiques de même ordre de grandeur. Par exemple, la météorologie à la mésoéchelle (régional) est fortement influencée par la proximité d’un lac.

L’échelle globale, aussi connue comme échelle planétaire, englobe les phénomènes atmosphériques de plus grande échelle. En générale, les phénomènes et caractéristiques atmosphériques de dimensions supérieures à quelques milliers de kilomètres sont considérés comme des phénomènes d’échelle planétaire. Les alizés, les vents d’ouest, les ondes de Rossby et les courants jets, ainsi que des régions atmosphériques telles que les tropiques, les latitudes moyennes, les régions polaires et la couche d’ozone sont des exemples de caractéristiques météorologiques d’échelle planétaire.

L’échelle suivante (en termes de dimensions) est l’échelle synoptique ou continentale. Cette échelle englobe des éléments du temps tels que les systèmes de haute et basse pression, les masses d’air et leurs frontières ou fronts, des éléments qu’on trouve dans les cartes météorologiques. Les dimensions horizontales des phénomènes synoptiques sont de l’ordre d’un millier de kilomètres (de l’ordre de grandeur d’un continent) et, verticalement ils s’étendent de la surface jusqu’à la basse stratosphère.

La mésoéchelle, aussi connue par échelle locale, contient les éléments atmosphériques dont les dimensions horizontales varient entre quelques kilomètres et la centaine de kilomètres (la taille d’une ville ou d’une région métropolitaine). Les lignes de grain et autres tempêtes convectives, les brises de mer et de terre, et d’autres écoulements orographiques comme les vents de montagne et de vallée.

Finalement, la plus petite échelle météorologique, la microéchelle, inclut les processus

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atmosphériques de dimensions inférieures à quelques kilomètres. Cette échelle concerne un champ cultivé, une colline, un petit parc arborisé. En météorologie, on ne parle pas beaucoup de cette échelle, mais c’est à cette échelle qui nous modifions, volontaire ou involontairement, dans le temps.

Donc, les phénomènes atmosphériques décrivent une très grande gamme d’échelles (en temps et en espace) et un même système d’équations doit pouvoir décrire l’ensemble de ces échelles. Par exemple, il doit permettre de décrire l’évolution de la fumée de cigarette ou bien un front atmosphérique. Il est évident qu’on ne peut étudier en même temps l’ensemble des mouvements de l’atmosphère.

Selon le problème traité, les processus qui dominent diffèrent et des modélisations appropriées doivent être utilisées. On est ainsi amené à définir plusieurs échelles caractérisées par leurs dimensions horizontales (L) et les échelles temporelles (t) associées (tableau 1.1).

Figure 1.1 : Échelles météorologiques. Crédits : Dominique Lambert //sup.upstlse.fr/uved/Ozone/BasesScientifiques/projet/site/html/VentGeo_1.html#EchelleMeteo

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Tableau 1.1 : Échelles de temps (t) et d’espace (L) des échelles météorologiques.

Micro-échelle ou échelle turbulente

Méso-échelle ou échelle régionale

Échelle synoptique ou échelle planétaire

L ≤ 2 km 2 ≤ L ≤ 2000 km ≥ 2000km

T Moins de 10 minutes De quelques minutes à quelques jours

Environ 10 jour et plus

Phénomènes turbulence, convection, diffusion de polluants d'une usine dans une ville ou d'un site industriel se situant dans ce domaine

brises, fronts, transport de polluants provenant d'un site urbain ou industriel, ou encore à l'échelle d'une région, d'un pays à un autre se situant dans ce domaine

circulation des cyclones et anticyclones des régions tempérées, les ondes planétaires; la pollution de la stratosphère

D’autres cours, comme dynamique de l’atmosphère, étudient les phénomènes atmosphériques aux échelles planétaire et synoptique. Dans ce cours on abordera essentiellement la mésoéchelle et la microéchelle.

Chaque échelle peut être, selon les auteurs, subdivisée en plusieurs sous-échelles, différentiées selon les phénomènes physiques prépondérants comme montre la figure 1.2.

Dans la première partie de ce cours nous étudions la portion du spectre météorologique dont les échelles spatiales variant entre 2 mm et 2 km et les échelles de temps entre quelques secondes à quelques heures.

Comme nous avons déjà noté ces échelles sont reliées : nous verrons que l’énergie cinétique est transférée (en cascade) des grandes échelles vers les plus petites jusqu’à se dissiper moléculairement par frottement.

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Figure 1.2 – ordre de grandeur des échelles spatiales et temporelles micro et méso. (D’après Orlanski, 1975)

11..22.. CCAARRAACCTTÉÉRRIISSTTIIQQUUEESS DDEE LLAA CCOOUUCCHHEE LLIIMMIITTEE

La mécanique des fluides et la thermodynamique nous permettent de déduire les équations qui régissent le comportement de l’air atmosphérique. Celui-ci est un mélange de gaz qui, aux pressions et températures caractéristiques de notre planète, peuvent être considérés comme des gaz parfaits. Traditionnellement on défini un gaz qui on appelle l’air sec, constitué par les gaz dont la température critique est au-dessous des températures planétaires et dont la proportion est constante dans l’espace et dans le temps. L’air humide est défini comme le mélange de l’air sec et de la vapeur d’eau. Nous introduirons dans l’annexe 1.A (sections 1.A.1 et 1.A.2) les principales grandeurs qui décrivent le contenu de vapeur d’eau de l’air.

Dans la couche limite l’écoulement est turbulent. Dans l’atmosphère la turbulence est d’origine thermique et dynamique. La turbulence thermique est provoquée par l’instabilité qui dépend de la stratification de masse dans l’atmosphère. Nous ferons un rappel des conditions de stabilité statique de l’atmosphère dans l’annexe 1.A.

Dans une situation d’instabilité dynamique ou thermique (ou les deux) le comportement de l’atmosphère est aléatoire et le mouvement moyen doit être décrit statistiquement. La turbulence est décrite par des grandeurs statistiques que nous définirons et interpréterons physiquement.

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11..22..11 VVaappeeuurr dd''eeaauu eett sseess eeffffeettss tthheerrmmooddyynnaammiiqquueess

Au contraire des autres constituants de l’atmosphère, l’eau apparaît dans notre atmosphère dans les trois phases : solide, liquide et gazeuse. La météorologie étudie les transformations d’énergie essentiellement des transformations d’énergie potentielle en énergie cinétique macroscopique qui sont à l’origine des mouvements atmosphériques. Les changements de phase de l’eau sont des manifestations de la transformation d’énergie potentielle en énergie cinétique macroscopique et microscopique et vice-versa. L’annexe 1.A résume les concepts de thermodynamique de l’atmosphère essentiels à la compréhension de ce cours.

11..22..22 AAttmmoosspphhèèrree eenn mmoouuvveemmeenntt

Une atmosphère au repos est une atmosphère hypothétique. En effet, nos observations nous montrent une atmosphère toujours en mouvement. Quelles sont les forces responsables de ce mouvement ?

• Les forces de gradient de pression. Le réchauffement différentiel de la planète, ainsi que la distribution des océans et des continents et les surfaces non homogènes, provoquent des variations de pression qui font déplacer les grandes masses d’air.

• La force de gravité, puisque l'atmosphère est dans le champ gravitationnel terrestre.

• La rotation de la Terre crée une force d’inertie, la force de Coriolis, qui est responsable de la déviation des masses d’air dans un référentiel planétaire.

• Les forces dues à la viscosité et au cisaillement du vent, qu’on nomme force de frottement moléculaire.

Selon l’importance relative de ces forces on peut diviser verticalement l’atmosphère en plusieurs régions :

• Couche limite atmosphérique : où les effets de la surface se font sentir en moins d’une heure.

• Couche laminaire ou micro couche : où les échanges sont moléculaires (épaisseur ~1 mm)

• Couche de surface : où la force de Coriolis est négligeable (épaisseur ~ 0.1h, h est la hauteur de la couche limite atmosphérique).

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• Couche d’Ekman : où les forces de gradient de pression, de frottement et de Coriolis sont de même ordre de grandeur (le sommet, h, coïncide avec le sommet de la couche limite et est variable dans le temps et dans l'espace).

• Atmosphère libre : où les effets de surface sont négligeable (équilibre géostrophique).

11..22..33 TTyyppeess dd''ééccoouulleemmeenntt

Les études d’écoulement tout près d’une paroi solide montrent que l’on peut avoir deux types d’écoulements :

• Écoulement laminaire où on peut suivre une particule de fluide et prévoir sa position ultérieure.

• Écoulement turbulent où la trajectoire d’une particule de fluide semble plutôt aléatoire.

La turbulence apparaît quand les effets de viscosité sont importants, c’est-à-dire, tout près d’une frontière comme le sol ou l’eau, n’emporte où quand il y a des grands cisaillements du vent.

Dans l’atmosphère, tout près du sol, il y a un grand cisaillement vertical du vent. Le vent tombe à zéro en contact avec une surface de vitesse nulle.

Un autre générateur de turbulence est le réchauffement du sol qui provoque des mouvements ascendants des masses d’air. Le refroidissement radiatif du sommet des nuages peut aussi générer de la turbulence.

11..22..44 ÉÉppaaiisssseeuurr eett ssttrruuccttuurree ddee llaa ccoouucchhee lliimmiittee

Une des caractéristiques de la couche limite c’est la turbulence. Le déplacement vertical des tourbillons (qui caractérisent la turbulence) défini la limite supérieure de la couche limite.

La couche limite atmosphérique est définie comme la couche atmosphérique où les effets de surface se font sentir. Son épaisseur dépend des transports turbulents de chaleur, humidité, polluants, quantité de mouvement, etc. C'est-à-dire, la hauteur de la couche limite dépend de l’intensité de la turbulence.

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11..22..55 TTrraannssppoorrttss ttuurrbbuulleennttss

La turbulence peut être visualisée comme la superposition de mouvements irréguliers de l’air appelés tourbillons. Les tourbillons ont des tailles et des durées très différentes. On a donc un spectre de turbulence. La majorité de la turbulence dans la couche limite est causée par le cisaillement du vent et par le réchauffement du sol. La rugosité du terrain et les obstacles sont aussi à l’origine de la turbulence.

Nous aurons l’occasion de constater que le transport turbulent est de plusieurs ordres de grandeur plus efficace que le transport moléculaire.

C’est la turbulence qui permet à la couche limite de répondre rapidement aux forces de surface. Le fait que la turbulence soit rare dans l’atmosphère au-dessus de la couche limite explique pourquoi il n’y a pas de réponse rapide de cette couche aux changements de surface.

11..22..66 ÉÉvvoolluuttiioonn ddee llaa CCLLAA

Deux propriétés essentielles déterminent l’évolution de l’état de la couche limite atmosphérique :

Le rayonnement solaire est essentiellement absorbé par le sol et non par les basses couches atmosphériques;

Le sol a une meilleure conductivité thermique que l’atmosphère.

Ces éléments permettent de comprendre l’évolution typique de la CLA pendant la journée, reliée à l’évolution de la stabilité thermique.

Au-dessus de la surface terrestre solide (continents), dans des conditions de subsidence, la couche limite a une structure bien définie qui évolue avec le cycle diurne :

Jour : Dès le lever du soleil, le sol est chauffé par le rayonnement solaire. Des thermiques (masses d’air chaudes ascendantes) vont contribuer à homogénéiser la CLA et on s’approche d’une situation adiabatique dans une bonne partie de la CLA : on parle de couche de mélange ou couche convective.

À proximité du sol, dans la couche limite de surface, le gradient de la température potentielle, θ, est décroissant et la turbulence est intense. En haut de la couche de mélange, l’inversion thermique détermine la couche d’entraînement (la limite entre la couche de mélange et de l’atmosphère libre). Les thermiques ascendants qui viennent de la couche de mélange peuvent en effet dépasser légèrement la zone d’inversion avant de replonger dans la couche de mélange, provoquant l’entraînement de masses d’air de l’atmosphère libre dans la CLA.

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Dans le cas particulier d'une couche limite humide, dont le mélange amène à la formation de nuages par mélange vertical de toute la couche, on distingue deux sous-couches dans la couche de mélange : la couche nuageuse et la couche sous-nuageuse.

En cours de journée, la couche convective va croître par l’effet d’entraînement et détruire la couche résiduelle nocturne.

Nuit : Pendant la nuit, une inversion de température se développe à la surface, du fait du refroidissement du sol (qui perd de l’énergie par rayonnement thermique) et des couches atmosphériques : la couche stable qui se forme à la proximité du sol est souvent appelé couche limite nocturne (NBL pour nocturnal boundary layer en anglais). La concentration de polluants et d’humidité au niveau du sol est donc favorisée. Au dessus de cette couche, la couche de mélange de la journée précédente devient une couche résiduelle, en générale neutre, qui contient les polluants et l’humidité mélangés la veille.

Au-dessus des océans la hauteur de la couche limite varie très lentement dans l’espace et dans le temps. La température des océans varie très peu au cours de la journée à cause de la grande capacité calorifique de l’eau ce qui a comme conséquence que les variations dans la couche limite océanique sont aussi lentes. La variation de la hauteur de la couche limite au-dessus des océans est provoquée par des phénomènes à l’échelle synoptique comme le déplacement des masses d’air dont la température est différente de l’eau océanique. Ces masses d’air changent graduellement de température et d’humidité au fur et à mesure qu’elles se déplacent. Quand l’équilibre est atteint, la couche limite a varié moins de 10% en 1 000 km. Il y a des exceptions à ce fait quand les masses d’air atteignent les frontières des courants océaniques.

En général, la couche limite tend à être plus mince dans une région de haute pression (subsidence) que dans une région de basse pression (mouvement ascendant). Dans les régions de basse pression il est difficile de définir la hauteur de la couche limite. On utilise souvent la base des nuages comme limite supérieure de la couche limite.

11..22..66..11 CCoouucchhee vviissqquueeuussee

Immédiatement en contact avec le sol, on rencontre la couche visqueuse souvent dénommée, à tort, couche laminaire. Les forces de viscosité y sont prépondérantes mais la turbulence peut affecter toute la couche jusqu'à la surface. Sur un sol très rugueux, cette couche peut ne pas se former. Sur une surface lisse (neige, glace, eau), par vent faible, la couche visqueuse peut atteindre une épaisseur de l'ordre de 1 cm.

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11..22..66..22 CCoouucchhee ddee ssuurrffaaccee

Au dessus de la couche visqueuse et sur une épaisseur qui peut atteindre 100 m, se développe la couche de surface ou couche de Prandt. C'est une région où, en première approximation, les flux verticaux de quantité de mouvement horizontal, ou de toute autre propriété scalaire transférable, sont constantes (leur variation n'excède pas 10% de la valeur des flux à la surface).

La structure du vent y est essentiellement déterminée par le frottement et la stratification thermique de la couche. La force de Coriolis, qui traduit l'effet de rotation de la Terre sur le déplacement d'une particule d'air, est négligeable devant le frottement qui est du à la présence de la surface. En première approximation, la direction du vent reste invariante sous toute l'épaisseur de cette couche.

11..22..66..33 CCoouucchhee ddee mmééllaannggee

La turbulence dans la couche de mélange est généralement générée par la convection, quoique une couche bien mélangée peut aussi se former dans une région de vents forts. Les sources de convection sont :

Réchauffement du sol

Refroidissement radiatif au sommet du nuage

Lors des jours ensoleillés la couche de mélange est formée à cause du réchauffement du sol. Environ 1/2 heure après le lever du soleil la couche de mélange commence à s’épaissir. Cette couche est caractérisée par un vigoureux mélange dans une situation thermiquement instable. L’épaisseur est maximale à la fin de l’après-midi. 11..22..66..44 CCoouucchhee rrééssiidduueellllee

En absence d’advection d’air froid les thermiques perdent en intensité vers le coucher du soleil. La couche résultante c’est la couche résiduelle où les caractéristiques sont les mêmes que celles de la couche de mélange. Cette couche est de stabilité neutre. La turbulence est isotrope et les panaches polluants ont une tendance à prendre une forme conique.

Certains polluants non-passifs peuvent réagir entre eux durant la nuit formant des polluants secondaires et même des particules précipitantes qui retombent à la surface.

S’il y a assez d’accumulation d’humidité on peut avoir de la pluie ou du brouillard. La couche résiduelle n’a pas un contact direct avec le sol.

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11..22..66..55 CCoouucchhee lliimmiittee ssttaabbllee

11..22..66..55..AA CCoouucchhee lliimmiittee ssttaabbllee nnooccttuurrnnee

La couche limite stable est caractérisée par un profil de température stable, souvent par une inversion de température. Elle se forme souvent après le coucher du soleil, à cause du refroidissement de la surface due aux pertes radiatives. La force de flottabilité contribue à supprimer la turbulence et les échanges entre la surface et l'atmosphère se réalisent dans une couche mince proche de la surface. La turbulence est de plus faible intensité que dans la couche limite instable ou neutre. À cause de la stabilité, des ondes de gravité coexistent avec la turbulence, ce qui complique l'interprétation des observations. Les effets radiatifs sont de grande importance dans l'établissement de la structure de la couche limite stable nocturne. La hauteur de la couche limite stable peut être définie comme la hauteur au dessus de laquelle les flux turbulents sont négligeables. La formation de la couche limite stable est souvent associée à la formation du jet de nuit, une augmentation de la vitesse du vent juste au-dessus de la couche limite stable nocturne. L'épaisseur de la couche stable augmente lentement durant la nuit. 11..22..66..55..BB CCoouucchhee lliimmiittee ssttaabbllee ddiiuurrnnee

Nous pouvons avoir une situation de stabilité même pendant le jour s’il y a de l’advection d’air chaud sur une surface froide.

11..22..77 CCaarraaccttéérriissttiiqquuee dd’’uunn mmoouuvveemmeenntt ttuurrbbuulleenntt

Il n'y a pas une définition de la turbulence. Physiquement l'écoulement turbulent est facilement identifiable et peut être décrit selon ses propriétés :

• caractère aléatoire de la distribution spatiale et temporelle;

• augmentation de la diffusion des propriétés du fluide (diffusivité turbulente);

• un spectre de taille (fréquence) de tourbillons dont la distribution prend également un caractère aléatoire;

• dissipation d’énergie cinétique. Il faut donc une source d’énergie pour maintenir la turbulence;

• importance primordiale des termes non linéaire.

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Mathématiquement le mieux qu'on puisse dire c'est que la turbulence est un état d'écoulement dans lequel les vitesses instantanées fluctuent aléatoirement. Ainsi, seule analyse du comportement moyen du mouvement est possible. L’écoulement turbulent sera caractérisé par ses propriétés statistiques.

11..22..77..11 DDiiffffiiccuullttééss àà pprréévvooiirr

Les variables qui décrivent l’écoulement turbulent subissent des fluctuations irrégulières et abruptes dans l’espace et dans le temps. Chaque fois que l’on répète une expérience en régime turbulent, on obtient des résultats différents. Ce fait est dû à des phénomènes non linéaires qui prennent beaucoup d’importance. Les petites perturbations des conditions initiales peuvent être amplifiées (les effets non linéaires) et changer complètement l’écoulement. C’est le bien connu « effet papillon ». Les équations qui décrivent le mouvement ne sont pas prévisibles à cause de la nature du phénomène lui-même ou par ignorance des conditions initiales précises, dépendant si on est partisan de Heisenberg ou d’Einstein !

11..22..88 AAnnaallooggiiee eennttrree llee mmoouuvveemmeenntt mmoollééccuullaaiirree eett llee mmoouuvveemmeenntt ttuurrbbuulleenntt

Les équations qui décrivent le comportement d’un fluide en régime non turbulent sont les équations de Navier-Stokes. Ces équations ne décrivent pas l’état de mouvement de chaque molécule. Elles décrivent le comportement de certaines quantités physiques ou mécaniques comme la vitesse, la densité, la température en supposant que ces grandeurs varient de façon continue d’un point à l’autre du fluide. Comment définir des quantités dans un point sans tomber dans le domaine moléculaire? Pour ce faire nous devons admettre l’hypothèse de la continuité de la matière. C’est-à-dire qu’à chaque point du fluide il est possible d’associer une vitesse, une densité, une température, etc.

Ces propriétés macroscopiques sont définies par les moyennes sur une grande quantité de molécules. Considérons par exemple la vitesse. Les molécules ont des vitesses très grandes associées à leur mouvement brownien, mais ces mouvements ne provoquent pas nécessairement le déplacement macroscopique d’un gaz. La vitesse de celui-ci est définie comme la vitesse moyenne d’un grand nombre de molécules. De façon analogue, la température est proportionnelle à l’énergie cinétique moyenne du mouvement brownien des molécules. La viscosité et la pression sont le résultat moyen de l'échange de quantité de mouvement de beaucoup de molécules. Aucune de ces moyennes n’est significative pour un petit nombre de molécules. Une particule de fluide doit donc être assez grande pour contenir un grand nombre de molécules, mais elle doit effectivement être un point du point de vue

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macroscopique.

Cependant, une particule de fluide est un système ouvert. Les molécules se déplacent d’une particule de fluide à une autre. Cet échange de molécules entre particules est représenté dans les équations macroscopiques par des propriétés que l’on attribue aux fluides comme la viscosité ou la conductivité thermique.

Pour que l’hypothèse de continuité soit valide, il faut que les molécules interagissent les une avec les autres de telle façon que, si λm est le parcours libre moyen de celles-ci, λm << L où L est la dimension caractéristique de la particule de fluide.

On peut faire l’étude des écoulements turbulents de façon analogue sauf qu’il faut considérer une échelle L plus grande. Cette fois-ci se sont les « écoulements de volume » qui constituent nos « molécules », et dont les propriétés doivent être moyennées (donc on doit considérer plusieurs tourbillons) de façon à éliminer les fluctuations. Dans ce cas il semble approprié d’utiliser les équations de Navier-Stokes mais avec une approche « statistique » pour décrire les propriétés moyennes de l’écoulement. 11..22..88..11 DDééffiinniittiioonn eett iinntteerrpprrééttaattiioonn ddee qquueellqquueess qquuaannttiittééss ssttaattiissttiiqquueess

L’analyse harmonique d’un enregistrement de vitesse, V(t), suggère que la turbulence résulte de la superposition de mouvements oscillatoires, plus ou moins irréguliers, d’amplitude, de phase et de longueur d’onde différentes. En d’autres termes, la turbulence résulte de l’interaction de tourbillons de tailles différentes (Taylor). Nous sommes donc amenés à considérer une limite inférieure et une limite supérieure de la taille des tourbillons ou de sa longueur d’onde. C’est ainsi que, par exemple, dans l’atmosphère, la turbulence couvre tout un intervalle de longueurs d’onde qui s’étend du domaine visqueux (quelques millimètres) jusqu’au tourbillon planétaire dont la dimension est de l’ordre de 107 m. « La turbulence atmosphérique peut être illustrée par la présence de tourbillons au sein d’un écoulement. La turbulence est ainsi constituée de mouvements parfaitement aléatoires balayant un large spectre d’échelles spatiales et temporelles. (F. Jourdain, 2008)».

Les tourbillons d’une certaine taille (longueur d’onde) ont une certaine quantité d’énergie cinétique. Nous pouvons construire un spectre de turbulence en fonction de la longueur d’onde en analysant la contribution de chaque longueur d’onde à l’énergie cinétique turbulente totale.

L’analyse spectrale de la vitesse du vent dans la couche limite turbulente permet de mettre en évidence plusieurs échelles temporelles de fluctuation. La figure 1.3 montre un spectre de densité de puissance représentatif de la vitesse horizontale du vent à 100 mètres au-dessus du sol d’après Van der Hoven. Il s'agit d'une représentation statistique de la répétitivité des

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fluctuations de puissance du vent en ce point.

La première crête, de période de 100 h, correspond à la vitesse du vent associée au passage des systèmes synoptiques. La crête suivante, à 24 h, montre la variation de la vitesse du vent associée aux variations diurnes. La troisième crête est l’énergie cinétique associée à la turbulence de la micro échelle, de période de 10 s à 10 minutes.

Figure 1.3 : Spectre d’énergie cinétique dans l’atmosphère. Intensité relative des diverses échelles de mouvement atmosphérique.

L’existence d’un intervalle de fréquences où l’énergie cinétique est presque nulle sépare nettement deux régimes distincts. À droite le régime turbulent, à gauche le régime moyen. La plupart des analyses de turbulence supposent cette séparation. Les phénomènes à la mésoéchelle, comme la formation des nuages convectifs, orages, etc. sont difficiles à décrire.

Pour le traitement statistique de la turbulence, on sépare les variables instantanées, en une partie moyenne et une fluctuation qui représente l’écart de la moyenne.

___

'u u u= +

où u est la vitesse mesurée à un instant donné, __

u est la vitesse moyenne et 'u représente la différence entre la vitesse mesurée et la vitesse moyenne. Mais comment définir la vitesse moyenne? Nous considérons trois types de moyennes : moyenne temporelle, moyenne spatiale et moyenne d’ensemble.

Moyenne temporelle

Ce type de moyenne s’applique à un point dans l’espace et est définie par : 1

0

1A (s) ( , )Nt

iA i s

N

−

== ∑

(1.1a)

ou

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0

1 (s) ( , ) t pA A t s dt

p= ∫

(1.1b)

où p est la période d’intégration, t= iΔt et s une variable spatiale.

Moyenne spatiale

S’applique à un instant t donné et est définie par : 1

0

1 ( ) ( , )NS

jA t A t j

N

−

== ∑

(1.2a)

ou

1 (t)= ( , ) S

A A t s dsS ∫∫

(1.2b)

où s = jΔs dans le cas discret et S est le domaine spatiale où les mesures ont été prises.

Moyenne d’ensemble

La moyenne d’ensemble est le résultat moyen d’un certain nombre d’expériences réalisées en conditions « identiques »

1

0

1 ( , ) ( , )Ne

ii

A t s A t sN

−

== ∑

(1.3)

La variance est une mesure statistique de la dispersion des données autour de la moyenne.

( )1 22

0

1 variance biaiséeN

A ii

A AN

σ−

== −∑

(1.4a)

La variance non-biaisée est définie comme :

( )1 22

0

11

N

A ii

A AN

σ−

== −

−∑

(1.4b)

L’écart type est la racine carrée de la variance

( )1/ 2 1/ 22 2

A iA A aσ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′= − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (1.5)

où a’ est la fluctuation autour de A.

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11..22..99 IInntteerrpprrééttaattiioonn pphhyyssiiqquuee ddee cceerrttaaiinneess ggrraannddeeuurrss pphhyyssiiqquueess

11..22..99..11 MMooyyeennnnee

La séparation du mouvement en écoulement moyen et écoulement fluctuant est un filtrage qui élimine les longueurs d’onde inférieures à uTλ = où T est la période d’intégration dans le calcul de la moyenne temporelle. T doit être suffisamment petit par rapport à la durée des fluctuations n’appartenant pas au domaine de la turbulence étudiée de façon à satisfaire aux conditions de Reynolds. Ce choix est délicat et suppose que l’écoulement résulte de la superposition d’un mouvement lentement variable dans le temps et d’un mouvement irrégulier qui fluctue autour de la moyenne. En outre, les intervalles de fréquences de ces deux mouvements doivent être nettement séparés.

11..22..99..22 VVaarriiaannccee eett ééccaarrtt ttyyppee

Supposons la décomposition du vent instantané, ___

'u u u= + , qui est un vecteur dont les composantes sont :

, , U u u V v v W w w′ ′ ′= + = + = +

Les variances de ces trois variables sont :

( ) ( )2 2 2 2 2 2v w

1 dt , , t Tu t

u u u u u u u v wT

σ σ σ+′ ′ ′ ′ ′= = = − − = =∫

et sont une mesure de la dispersion des données (mesures instantanées de U) autour de leur moyenne.

Plus σ est élevé plus l’amplitude des fluctuations est grande et plus l’énergie cinétique associée à ses fluctuations est élevée. Donc, σ , l’écart-type, ou 2σ la variance peuvent être une mesure de l’intensité de la turbulence.

L’intensité de la turbulence, proche du sol est quelques fois donnée par :

MIM

σ=

(1.6)

avec

( ) ( )

1/ 2 1/ 22 2 2 2 2 2M et u v wM U V W σ σ σ σ= + + = + +

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11..22..99..33 CCoovvaarriiaannccee

La covariance entre deux variables indique le degré de dépendance entre ces deux variables. Considérons le température potentielle θ et la vitesse verticale w . 'wθ′ est la covariance entre ces deux grandeurs.

Dans la couche limite, en conditions d’instabilité, on peut vérifier qu’une fluctuation de vitesse verticale 'w < 0 est accompagnée d’une fluctuation de température 'θ négative.

Dans le cas d’une couche stable ∂θ∂z

> 0⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ dans la couche limite stable nocturne on aura une

situation où 0 0 et 0 0ω θ ω θ′ ′ ′ ′< ⇒ > > ⇒ <

Dans le cas stable 0θ ω′ ′ < , les deux grandeurs varient de façon opposée.

Quand deux grandeurs A et B sont complètement indépendantes, leur covariance 0a b′ ′ = .

Dans le cas particulier où une des grandeurs de la corrélation est une fluctuation de vitesse, la corrélation représente le flux de la grandeur corrélée avec la vitesse verticale. Le flux d’une grandeur scalaire a est la quantité de a que traverse l’unité de surface par unité de temps.

11..22..99..44 CCooeeffffiicciieenntt ddee ccoorrrrééllaattiioonn lliinnééaaiirree Souvent, il est préférable de travailler avec des grandeurs normalisées (facilité de comparaison). On peut définir une corrélation normalisée par l’expression :

ABA B

a brσ σ

′ ′=

(1.7)

rAB est le coefficient de corrélation linéaire qui prend des valeurs entre -1 et +1. Deux variables parfaitement corrélés ont une valeur 1r = (positivement ou négativement

corrélées).

11..22..99..55 AAuuttoo ccoorrrrééllaattiioonn lliinnééaaiirree

( ) ( )( ) ( )AA

A A

a x a x xrx x xσ σ

′ ′ + Δ=

+ Δ (1.8)

L’auto corrélation spatiale dépend de la grandeur de x et de sa direction. Des comportements différents donnent de l’information sur la structure de la turbulence. Quand

0 , 1A A

a axσ σ

′ ′Δ = = . Au fur et à mesure que xΔ augmente les fluctuations commencent à être

Micrométéorologie


indépendantes, jusqu’à atteindre une valeur nulle quand xΔ → ∞ .

La courbe d’auto corrélation de la vitesse horizontale u, par exemple, nous donne l’information sur la distance L à l’intérieur de laquelle l’écoulement en un point affecte de façon significative l’écoulement en un autre point. Elle peut être utilisée pour définir l’échelle spatiale de la turbulence.

0 uuL r d x∞

= ∫ (1.9)

La corrélation de la même composante de la vitesse à un point donné, à des instants de temps différents c’est l’auto corrélation temporelle. Cette corrélation dépend évidemment de l’intervalle de temps qui sépare les deux mesures. Elle peut être utilisée pour définir une échelle de temps typique de la turbulence.

0 , où t est le tempsT r dt

∞= ∫ (1.10)

Quand le mouvement turbulent a lieu dans un écoulement avec une vitesse moyenne importante c’est possible que la turbulence soit advectée à travers le point d’observation avant que le patron de turbulence change. L’auto corrélation temporelle est dans ce cas en relation directe avec l’auto corrélation spatiale dans la direction de l’écoulement moyen. La courbe d’auto corrélation est la même quand T = L/U. Cette transformation est appelée hypothèse de Taylor.

11..22..1100 HHyyppootthhèèssee eerrggooddiiqquuee.. HHyyppootthhèèssee ddee TTaayylloorr

En pratique, il est impossible d’obtenir un nombre suffisant de réalisations expérimentales dans les mêmes conditions géophysiques. Donc, pour l’échelle de la couche limite on a en général une seule réalisation (une seule prise de mesures) et on utilise des moyennes spatio-temporelles. Pour que ces moyennes soient représentatives du phénomène en étude, on doit faire appel à une des deux hypothèses : soit à une hypothèse d’homogénéité (dans l’espace) et on mesure alors simultanément des échantillons en divers points, soit on fait appel à une hypothèse de stationnarité (dans le temps) et on enregistre alors des valeurs successives à un seul point.

Dans le premier cas il se peut que la grandeur à mesurer varie lentement avec les coordonnées et dans le deuxième cas qu’elle varie lentement dans le temps. On ne pourra pas prendre un échantillon trop étendu et de ce fait l’estimation sera plus imprécise. Il y a une difficile optimisation de la longueur (dans l’espace ou dans le temps) à faire pour que l’estimation soit à la fois précise et représentative d’un lieu et d’un instant donnés.

De plus, l’estimation d’un paramètre à partir de la moyenne sur un intervalle fini suppose que

Micrométéorologie


le processus est ergodique, c’est-à-dire : (1) quelle que soit la valeur de départ toutes les valeurs qui étaient possibles avant la réalisation de la mesure continuent à pouvoir être atteintes; (2) que le processus ne soit pas périodique.

L’ergodicité d’un processus est admise dans le temps et dans l’espace. Toutefois dans l’espace elle semble intuitive alors que dans le temps elle n’est pas évidente. Ainsi, sous le nom d’hypothèse ergodique on énonce en général l’hypothèse d’ergodicité dans le temps. Sous forme pratique on dira alors : si le processus est ergodique, les espérances mathématiques estimées à l’aide des moyennes dans le temps sont les mêmes que celles estimées à l’aide de moyennes dans l’espace.

11..22..1111 HHyyppootthhèèssee ddee TTaayylloorr

Comme a été noté précédemment, quand la turbulence s’établit dans un écoulement de vitesse moyenne élevée, il est possible que les tourbillons soient advectés à travers le point d’observation sans que ces caractéristiques changent de façon significatives. C’est l’hypothèse de Taylor. Dans ce cas, la variation d'une grandeur A, en suivant le mouvement sera nulle :

0

dA A u Adt t

A u At

∂∂

∂∂

= = + ⋅∇

⇒ = − ⋅∇ (1.11)

où A est une propriété quelconque du tourbillon et u la vitesse moyenne de l’écoulement.

11..22..1122 DDééccoommppoossiittiioonn eett aaxxiioommeess ddee RReeyynnoollddss

À l’avenir, nous considèrerons, comme Reynolds, que certaines quantités macroscopiques mesurables (vitesse, température, etc.) sont exprimées comme la superposition de leurs moyennes et des fluctuations autour de cette moyenne.

Soit ( , )f x t , une fonction dépendant de l’espace et du temps que représente une grandeur mesurable aléatoire

( , ) ( , ) ( , )f x t f x t f x t′= +

où ( , )f x t est la moyenne de la variable ( , )f x t et ( , )f x t′ représente les fluctuations autour de cette moyenne.

Cette approche est utile dans la mesure où la moyenne satisfait certaines propriétés. En effet le traitement théorique est inabordable si la moyenne ne satisfait les axiomes de Reynolds :

Micrométéorologie


Soit ( , )f x t et ( , )g x t deux variables aléatoires et a une constante non aléatoire. L'opérateur moyenne satisfait les axiomes de Reynolds s'il a les propriétés suivantes :

linéarité :

( )( )

f g f g

af a f

+ = +

= (1.12a)

commutativité de la dérivée :

f fx x

∂ ∂∂ ∂

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.12b)

idempotence :

fg = f g (1.12c)

i.e. la moyenne d’une variable est non aléatoire.

Les propriétés i et ii découlent facilement de la décomposition de Reynolds.

Puisque f est non aléatoire f f= avec f =0f f f ′ ′= + ⇒ , d’où

( ) ( )f g f f g g f g′ ′+ = + + + = +

Propriété iii : en posant g=1 f f=

( ) 0f g f g g f g f g f g′ ′= + = + = +

puisque 0g ′ = .

La propriété suivante sera utilisée plus loin :

( )( )fg f f g g

f g f g f g f g

f g f g

′ ′= + +

′ ′ ′ ′= + + +

′ ′= +

La moyenne d’ensemble satisfait les théorèmes de Reynolds. Les moyennes spatiales et temporelles doivent satisfaire à l’hypothèse d’ergocidité, cas d’écoulement homogène et stationnaire.

Micrométéorologie


Même si la stricte stationnarité n’existe pas dans l’atmosphère, les variables atmosphériques varient selon un processus « lent » à une certaine échelle (par exemple l’échelle synoptique) que l’on traite de façon déterministe et un processus rapide (turbulent) qui sera traité statistiquement.

Cette décomposition a un sens si les échelles de temps des deux processus sont bien distinctes.

Les principales variables que représente l’écoulement peuvent ainsi se décomposer en :

...

U u u T T T

V v v q q q

W w w p p p etc

ρ ρ ρ

θ θ θ

′ ′ ′= + = + = +

′ ′ ′= + = + = +

′ ′= + = +

Dans les prochains chapitres nous utiliserons la décomposition de Reynolds pour déterminer les équations qui gouvernent l'écoulement atmosphérique moyen dans la couche limite.

Micrométéorologie


AAnnnneexxee 11..AA

11..AA..11 CCaarraaccttéérriissaattiioonn ddee ll’’hhuummiiddiittéé ddaannss ll’’aaiirr

La vapeur l’eau se comporte comme un gaz parfait. L’équation des états d’équilibre des gaz parfaits nous donne la relation entre la pression, la densité et la température quand le gaz est à l’équilibre thermodynamique. L’équation d’état de la vapeur s’écrit

v ve R Tρ= (1.A.1)

où e est la pression de vapeur, vρ la densité et Rv la constante spécifique de la vapeur d’eau (461 J kg-1 K-1).

En sciences de l’atmosphère cette équation est souvent exprimée en fonction de la constante caractéristique de l’air sec dR :

dv

Re Tρε

= (1.A.2)

0,622d vR Rε = =

Dans l’atmosphère, on trouve de la vapeur d’eau en quantité variable. L’état thermodynamique d’une masse donnée d’air humide exige la connaissance de la température, de la pression et d’une grandeur que permet de quantifier la quantité de vapeur d’eau dans le système.

Il y a plusieurs façons de décrire le contenu en vapeur de l’air atmosphérique :

e : pression de la vapeur d’eau

vρ : densité de la vapeur appelé humidité absolue définie par vv

eR T

ρ =

r : le rapport de mélange défini comme la masse de vapeur d’eau par unité de masse d’air sec v

d

r ρρ

=

Des équations d’état

v

v

eR T

ρ =

et

Micrométéorologie


( )d

d

p eR T

ρ−

=,

on obtient

e erp e p

ε ε= ≅−

U : humidité relative qui est le rapport entre la pression partielle de la vapeur dans la particule d’air humide (notre système) et sa valeur d'équilibre à la même température (par rapport à une surface d'eau plane à la température de la particule).

100 100s s

e rUe r

= ≅

Température virtuelle (Tv) : la température de l’air sec qu’aurait la même densité et même pression que l’air humide.

humide d vρ ρ ρ= +

( )1 1

1 1

humided d d

d

p e e p eR T R T R T p

p er rR T p

ρ ε ε

ε εε

⎛ ⎞−= + = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎡ ⎤= − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

[ ]1 0,61 humided

p rR T

ρ = −

( ) [ ]1 0,61 1 0,61

dhumide d

R Tp R T rr

ρ ρ= ≅ +−

d vp R Tρ≅

Micrométéorologie


11..AA..22 SSaattuurraattiioonn eett hhuummiiddiittéé rreellaattiivvee

Selon la théorie cinétique des gaz, l’évaporation a lieu quand les molécules d’un liquide réussissent à surmonter les forces d’attractions et s’échappent de la surface libre du liquide sous forme gazeuse (vapeur). Quelques molécules de vapeur entrent en collision avec la surface libre d’eau et sont intégrées dans le liquide, et ce processus se poursuit jusqu’à l’atteinte d’un état d’équilibre dynamique où le nombre de molécules perdues par le liquide est égal au nombre de molécules capturées dans un intervalle de temps donné. Quand ceci se vérifie on dit que la tension de vapeur est la tension d’équilibre du liquide, aussi appelée pression saturante. Pour une température donnée, il y a une pression de saturation bien définie. La tension saturante augmente rapidement avec la température. La saturation dépend très faiblement de la présence d’autres gaz. En météo on se réfère souvent à l’air saturé ou sous-saturé. C’est un abus de langage qu’on peut utiliser tout en se rappelant du vrai sens de cette expression.

11..AA..33 ÉÉqquuaattiioonn hhyyddrroossttaattiiqquuee eett vvaarriiaattiioonn ddee llaa pprreessssiioonn aavveecc llaa tteemmppéérraattuurree

La pression statique atmosphérique, à un certain niveau, est le poids d’une colonne d’air, qui surmonte ce niveau, de base unitaire et de hauteur infinie. Dans le cas d'une atmosphère à l'équilibre statique, l'équation d'équilibre est la bien connue équation hydrostatique:

dp pgdz RT

ρ ρ= − =

dp g dzp RT

= − (1.A.3)

11..AA..44 PPrrooffiill ddee tteemmppéérraattuurree ddee ll’’eennvviirroonnnneemmeenntt

Les profils verticaux de la température et d’humidité de l’air au dessus d’un point donnée sont obtenus à travers des mesures aérologiques. Des sondages de l’état thermodynamique de l’atmosphère sont réalisés régulièrement à 00Z et 12Z en un grand nombre de stations météorologiques. On peut ainsi déterminer la température virtuelle en fonction de z (ou de p).

11..AA..55 VVaarriiaattiioonn ddee llaa tteemmppéérraattuurree dd’’uunnee ppaarrttiiccuullee,, ddééppllaaccééee vveerrttiiccaalleemmeenntt eett aaddiiaabbaattiiqquueemmeenntt..

Du premier principe de la thermodynamique :

p pdpq c dT RT c dT gdzp

δ = − = +

Micrométéorologie


taux de variation

detempérature

avec z

1

divergencede quantitédechaleur

q dT gc z dz cp p

δδ

= +

si on est en conditions adiabatiques,

9,8 1 K1000 100 mp

dT gdz c

= − ≅ − ≅ −

( ) (0)p

gT z T zc

= − (1.A.4)

où cp ~ 1005 J kg-1 K-1 est le coefficient de chaleur spécifique de l'air.

L'expression (1.A.4) représente le profil de température, en fonction de z, d'une particule d'air en ascension si le processus est adiabatique et l'environnement est en équilibre hydrostatique.

11..AA..66 CCoonnddiittiioonnss aaddiiaabbaattiiqquueess ((lliimmiittaattiioonnss))

Pour appliquer l’équation hydrostatique la masse d’air en mouvement doit être petite et les mouvements doivent être lents pour qu’on s’approche d’une atmosphère au repos. D’autre part la condition adiabatique exige que le mouvement soit rapide et la masse d’air soit assez grande pour que les échanges avec son environnement soient négligeables. L’hypothèse adiabatique est une approximation qu’il faut toujours valider pour chaque phénomène en étude.

11..AA..77 NNeeuuttrraalliittéé aattmmoosspphhéérriiqquuee

Une atmosphère est statiquement neutre quand le gradient verticale de température est telle que la variation de température de l’air en fonction de z est égale à la variation de température d'une parcelle d’air en déplacement adiabatique.

Les conditions atmosphériques s’approchent des conditions de neutralité quand le ciel est couvert et les vents sont de modérés à forts. Dans ces conditions, la température à la surface n’est pas très différente de la température immédiatement voisine et la radiation est minime à cause de la présence des nuages. Les vents forts mélangent l’air dans les basses couches, donc il n’y a pas de grandes différences de température entre les masses d’air voisines.

Les mouvements verticaux de l’air dans ces conditions ne sont pas causés par la flottabilité des parcelles d’air mais par l’instabilité dynamique et sont des mouvements rapides et de courte trajectoire.

Micrométéorologie


L’état d’équilibre thermique de l’atmosphère selon la définition de la thermodynamique classique n’est jamais atteint. C’est-à-dire une atmosphère isotherme est un état impossible. La grandeur que se conserve dans les déplacements adiabatiques est la température potentielle. Le résultat des mélanges turbulents est donc un profil de température potentielle constant.

11..AA..88 SSttaabbiilliittéé ssttaattiiqquuee ddee ll''aattmmoosspphhèèrree

L’analyse de stabilité statique d’une parcelle d’air est faite en déterminant les forces qui agissent sur la parcelle quand elle se déplace verticalement dans une atmosphère à l'équilibre hydrostatique. La particule subit l’action des forces suivantes :

- force de gradient de pression = p k gz

ρ∂− =

∂ où ρ est la densité de l’air environnant

- force de gravité = ' gρ où 'ρ est la densité de la parcelle déplacée

équation du mouvement

' '

' '

g

F maV V

dwa kdt

pa gz

ρ

ρ ρ

ρ ρ

∑→ =

⇒ =

∂⇒ = − −

∂

dwa g g gdt

ρ ρρ ρ ρρ

′−′ ′= − ⇒ =′

de l’équation des gaz parfaits :

d v

pR T

ρ =

v v v v

v p

T T dTg g ga g z zT T dz c T z

∂θ∂

⎛ ⎞′−= = − Δ + = − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.A.5)

Cette discussion n’a pas tenu compte des effets radiatifs.

L'équation (1.A.5) nous permet de trouver les critères de stabilité (1.A.6) en fonction du gradient de la température potentielle de l'environnement :

Micrométéorologie


v

0 stable par rapport à la convection

0 neutre

0 instablez

v

v

z

z

∂θ∂

∂θ∂

∂θ∂

> ⇒

= ⇒

< ⇒

(1.A.6)

Micrométéorologie


AAnnnneexxee 22..AA :: CCoonnvveeccttiioonn tthheerrmmiiqquuee (Annexe D du cours SCT4003 – Introduction à la géodynamique et la tectonique globale)

22..AA..11 VViissccoossiittéé dd’’uunn fflluuiiddee

Un fluide en mouvement est soumis à des contraintes qui sont induites par les différences de vitesse à l’intérieur du fluide. Ces contraintes tendent à atténuer les différences de vitesses. Il est démontré expérimentalement que pour des nombreux fluides, la contrainte est proportionnelle au gradient de la vitesse. La constante de proportionnalité est une propriété physique du fluide, la viscosité. Si v est la vitesse du fluide, la contrainte T est :

vμ= ∇T (2.A.1)

où μ est la viscosité. La viscosité est mesurée en Pa s (L’unité cgs est 1 poise = 0,1 Pa s). La viscosité de l’eau est de 0,001 Pa s. La viscosité du manteau terrestre est de l’ordre de 1020 Pa s. Le temps nécessaire pour que les régions couvertes par les glaciers remontent à leur niveau d’équilibre est proportionnel à la viscosité. La viscosité du manteau terrestre a pu ainsi être déterminée grâce à l’analyse du rebond post glaciaire.

22..AA..22 NNoommbbrree ddee RRaayylleeiigghh ccrriittiiqquuee

Pour maintenir la convection thermique dans un fluide, il faut que les forces dues aux différences de densité soient supérieures aux forces de viscosité. Le rapport des différentes forces agissant sur le fluide détermine le nombre (sans dimensions) de Rayleigh :

3g TLRa ρακμ

Δ=

(2.A.2)

g est l’accélération due à la gravité, ρ est la densité, α est le coefficient d’expansion thermique du fluide, ΔT est la différence de température entre les surfaces supérieure et inférieure du fluide, L est l’épaisseur de la couche de fluide, κ est la diffusivité thermique, μ est la viscosité.

Une autre interprétation du nombre de Rayleigh est le rapport du temps caractéristique pour le transport de la chaleur par conduction au temps nécessaire pour transporter la chaleur par convection. Lorsque le nombre de Rayleigh est élevé, la convection est donc plus efficace que la conduction pour refroidir le fluide. La convection est possible dès que le nombre de Rayleigh dépasse une valeur critique (600 < Rac < 2 000) qui dépend de la géométrie du

Micrométéorologie


fluide.

Dans la convection de Rayleigh – Bénard (fluide chauffé par le bas), au nombre de Rayleigh critique, la cellule de convection ne développe qu’une seule longueur d’onde proportionnelle à l’épaisseur du fluide. Lorsque Ra augmente, les cellules de convection peuvent se développer avec un nombre croissant de longueurs d’onde. Pour Ra >> Rac la convection est possible à toutes les longueurs d’onde. Cela donne donc lieu à un style de convection chaotique. Le nombre de Rayleigh du mainteau terrestre est probablement supérieure à 106. Dans ce cas, la convection sera chaotique et non pas organisée en cellules de longueur d’onde fixe.

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