SCA4622 Météorologie dynamique Julie M. Thériaultweb2.sca.uqam.ca/~eva/SCA4622/NotesDeCours/SCA4622_Notes...2 ﬂuide ainsi que le concept des "champs continus". Les propriétés

SCA4622Météorologie dynamique

Julie M. Thériault

Université du Québec à MontréalHiver 2016

Table des matières

Introduction 1

1 Revue mathématique 41.1 Manipulation de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Addition, soustraction et multiplication de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Dérivée de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Opérateur nabla (∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Approximation d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Dérivée totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Cinématique de champs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Les forces 192.1 Forces fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Force de gradient de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Force gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Forces apparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Force centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Force de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Équations Navier-Stokes 333.1 Distribution de la masse dans l’atmosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Équation hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Équation hypsométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Référentiel inertiel et référentiel en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Équations du mouvement en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Équilibre géostrophique et hydrostatique (3.39) . . . . . . . . . . . . . . . 48

i

3.2.4 Vent agéostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.5 Nombre de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Applications de l’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.1 Coordonnée verticale de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2 Vent géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 Vent thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.4 Écoulement courbé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.5 Vent géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.6 Vent cyclostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.7 Vent gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.1 Analyse de l’équation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Le tourbillon 864.1 Théorème de la circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.1 Changement de circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Définition du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Équation du tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1 Analyse à l’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.2 Cas particulier pour un fluide hydrostatique et homogène . . . . . . . . . . 101

5 Théorie quasi-géostrophique 1065.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2 Suppositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Équation du tourbillon géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1 Analyse de l’advection du tourbillon relatif et planétaire . . . . . . . . . . 1145.4 Équation quasi-géostrophique des tendances du géopotentiel . . . . . . . . . . . . 1175.5 Équation quasi-géostrophique omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

ii

Introduction

La dynamique de l’atmosphère relève de la mécanique des fluides appliquée à l’air at-

mosphérique. Cette discipline combine deux sciences : la thermodynamique, qui étudie la

chaleur et les transferts d’énergie, et la dynamique, qui étudie les mouvements ainsi que

leurs causes. Le chapitre 1 fait le rappel sur les outils mathématiques qui seront utiles pour

étudier la dynamique de l’atmosphère aux latitudes moyennes.

L’air est un mélange de gaz et de particules en suspension (solides ou liquides - les

aérosols). Dans ce cours, nous considérons que l’air est formé d’un mélange de gaz idéaux

en proportions constantes, ce qui est une bonne approximation dans le cas de la troposphère,

région de l’atmosphère où ont lieu les phénomènes que nous étudions.

Nous savons tous intuitivement ce qu’est un fluide. Un fluide circule. Il épouse la forme

de son contenant. Il se déforme sous l’action des forces qui s’exercent sur lui. Nous savons

également que l’air atmosphérique ainsi que l’eau sont des fluides.

Le terme fluide englobe les gaz et les liquides. Malgré la grande différence de densité

entre l’eau et l’air, nous verrons que leur mouvement est décrit par les mêmes équations.

La différence essentielle entre les deux réside dans leur compressibilité. Les équations sont

plus complexes pour un gaz à cause de sa haute compressibilité.

La dynamique des fluides est évidemment l’étude du mouvement de ceux-ci. Nous ap-

pliquons les mêmes lois de la physique que celles de la dynamique des solides. En effet, les

principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie doivent

se vérifier en tout temps. Mais les conséquences de l’application de ces lois aux fluides sont

différentes.

L’application de la loi de Newton (qui, à l’origine, s’applique à un corps solide) re-

quiert l’introduction d’un modèle théorique de fluide appelé "parcelle" ou "élément" de

1

2

fluide ainsi que le concept des "champs continus". Les propriétés du fluide seront reliées à

l’élément de fluide. Cet élément doit satisfaire les conditions suivantes :

1. Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules, afin que les pro-

priétés moyennes soient bien définies.

2. Assez petit pour que les propriétés soient uniformes dans la parcelle afin d’y associer

des valeurs bien définies de pression, densité, température, vitesse, humidité, . . .

3. Soit identifiable pendant au moins un certain intervalle de temps.

La loi de Newton met en rapport le mouvement d’un corps et les forces qui agissent sur

lui. Cette loi est valide seulement dans un système de référence inertiel. Un référentiel en

rotation est non inertiel. La loi de Newton doit donc être modifiée afin de tenir compte de

l’accélération du système de référence, en additionnant les forces virtuelles de Coriolis et

centrifuge. Le chapitre 2 fait un rappel des forces fondamentales et apparentes appliquées

sur une parcelle d’air. Le début du chapitre 3 introduit le référentiel utilisé en météorologie

et l’expression des équations de base dans un référentiel non-inertiel.

Les équations qui décrivent l’évolution de la vitesse d’un fluide géophysique n’ont

pas de solution analytique, ce qui nous oblige à recourir aux solutions numériques, solu-

tions toujours approximatives. L’analyse dimensionnelle (chapitre 3) permet l’estimation

d’ordre de grandeur de chaque terme des équations qui gouvernent le mouvement dans

l’étude d’un phénomène précis. Le but du cours est d’étudier la formation et l’évolution

des systèmes météorologiques sur l’échelle synoptique aux latitudes moyennes. À la fin du

chapitre 3, les équations de conservation de la masse et de l’énergie seront développées

afin d’obtenir un système d’équations complet.

Une des signatures les plus impressionnantes de l’atmosphère terrestre vue de l’espace

est le caractère tourbillonnaire de son mouvement rendu visible par les nuages. Le concept

de tourbillon s’avère le plus utile dans l’analyse des systèmes météorologiques. Il est étroi-

tement lié à la divergence horizontale. Le chapitre 4 introduit les notions de circulation et

de tourbillon du champ de vitesse.

L’atmosphère qui enveloppe la Terre a une épaisseur moyenne de 100 km. Les phéno-

mènes qui nous intéressent en météorologie tels la formation d’un nuage ou d’une tornade,

ont une échelle de grandeur bien plus petite. Cependant, la compréhension de ces phéno-

mènes ne peut se faire sans étudier les phénomènes appartenant à une échelle supérieure.

3

Par exemple, si nous nous intéressons aux nuages ou à la formation de la précipitation, il

nous faut connaître la dynamique à grande échelle qui est à l’origine des mécanismes de

formation du nuage et comprendre comment les deux interagissent. Afin de pouvoir étudier

tous ces phénomènes en même temps, nous devons avoir recourt aux modèles numériques

complets. En revanche, il est possible de combiner les notions acquises précédemment

afin de développer la théorie quasi-géostrophique. Cette théorie est introduite dans le cha-pitre 5. Elle permet de développer un modèle conceptuel simplifié du comportement de

l’atmosphère sur l’échelle synoptique aux latitudes moyennes. À partir de la théorie quasi-

géostrophique, on verra, par exemple, (1) pourquoi une dépression à la surface est en aval

d’un creux en altitude et (2) le mécanisme principal responsable de la propagations des

dépressions à la surface.

Chapitre 1

Revue mathématique

Afin d’étudier le mouvement de l’air dans l’atmosphère, il est nécessaire de connaître

les notions de base de manipulation de vecteur.

Il existe deux façons de décrire une quantité physique. La première est un scalaire qui

définit la quantité physique en terme de grandeur (ou norme) seulement (Ex : volume, aire,

etc.). La deuxième est un vecteur qui défini en terme de grandeur et d’orientation (Ex :

vitesse, accélération, etc.)

On considère un vecteur ~A “ Axı ` Ay ` Azk où ı, , k sont des vecteurs unitaires et

Ax, Ay, Az sont les composantes de ~A en x, y, z respectivement.

- y

6z

x

~A

Az

Ay

Ax

La grandeur du vecteur ~A est donnée par :

| ~A| “`

A2x ` A

2y ` A

2z

˘12

4

CHAPITRE 1. REVUE MATHÉMATIQUE 5

1.1 Manipulation de vecteurs

1.1.1 Addition, soustraction et multiplication de vecteurs

On considère un deuxième vecteur ~B “ Bxı`By `Bzk.

-~B

— Addition : ~A` ~B “ pAx `Bxqı` pAy `Byq` pAz `Bzqk

~A

-~B

3

— Soustraction : ~A´ ~B “ pAx ´Bxqı` pAy ´Byq` pAz ´Bzqk

~A

~B

6

— Multiplication par un scalaire f : f ~A “ fAxı ` fAy ` fAzk. Le vecteur f ~A pointe

dans la même direction que ~A mais a une grandeur multipliée par f : f ¨ | ~A|.

f ~A

~A

— Produit scalaire : ~A ¨ ~B. Représente la projection du vecteur ~B sur le vecteur ~A mul-

tiplié par la grandeur de ~A.

~B

-~Aα

Par définition : ~A ¨ ~B “ | ~A|| ~B| cospαq où α est l’angle entre les vecteurs ~A et ~B.

— Produit vectoriel : ~Aˆ ~B

Représente un vecteur normal à la surface du parallélogramme créé par la projection

des vecteurs | ~A| et | ~B|.

~B-~A

?~Aˆ ~B

6~B ˆ ~A

α


Le produit vectoriel à une grandeur et une orientation. On peut le calculer avec la

méthode du déterminant où le vecteur résultant est toujours perpendiculaire au plan

associé aux vecteurs ~A et ~B.

~Aˆ ~B “

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Donc, le produit vectoriel est ~A ˆ ~B “ | ~A|| ~B| sinpαqn où n est un vecteur normal à

la surface du parallélogramme et α est l’angle entre les vecteurs ~A et ~B. La grandeur

du produit vectoriel est donnée par :

| ~Aˆ ~B| “ | ~A|| ~B| sinpαq

1.1.2 Dérivée de vecteurs

Il est possible de dériver un vecteur. On considère le vecteur vitesse suivant : ~V “ uı `

v` wk. Il est possible de le dériver :

d~v

dt“du

dtı`

dv

dt`

dw

dtk ` u

dı

dt` v

d

dt` w

dk

dt(1.1)

1.1.3 Opérateur nabla (∇)

L’opérateur nabla (∇) est souvent utilisé en dynamique des fluides.

Par définition :

∇ “B

Bxı`

B

By`

B

Bzk

‚ Gradient

L’opérateur nabla permet de calculer le gradient d’une fonction scalaire, par exemple

F . Son résultat est un vecteur :

∇F “ BFBx

ı`BF

By`

BF

Bzk

Le gradient pointe vers les valeurs maximales du champ étudié.


‚ Divergence

L’opérateur nabla permet de calculer la divergence d’un champ vectoriel, par exemple :~V “ uı` v` wk. Son résultat est un scalaire :

∇ ¨ ~v “ BuBx`Bv

By`Bw

Bz

— Le champ est divergent si ∇ ¨ ~v ą 0. Il représente la tendance d’un champ de

vecteur à s’éloigner d’un point de référence.

— Le champ est convergent si ∇ ¨ ~v ă 0. Il représente la tendance d’un champ de

vecteur à se rapprocher d’un point de référence.

‚ Rotationnel

L’opérateur nabla permet de calculer le rotationnel d’un champ vectoriel, par exemple :

~v “ uı ` v ` wk. Le rotationnel représente la rotation d’un vecteur. Son résultat est

un vecteur :

∇ˆ ~v “

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k

BBx BBy BBz

u v w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ “ˆ

Bw

By´Bv

Bz

˙

i´

ˆ

Bu

Bz´Bw

Bx

˙

j `

ˆ

Bv

Bx´Bu

By

˙

k

‚ Terme d’advection

L’opérateur nabla permet de calculer le terme d’advection en combinant le vecteur ~v

avec le gradientd’un champ scalaire, par exemple F :

~v ¨∇F “ uBF

Bx` v

BF

By` w

BF

Bz

‚ Laplacien

L’opérateur nabla permet de calculer le laplacien d’un champ vectoriel. Le lapla-

cien représente la divergence du gradient d’un champ scalaire, par exemple F . Son

résultat est un scalaire :

∇ ¨∇F “ ∇2F “B2F

Bx2`B2F

By2`B2F

Bz2


Exemple : Voici les isolignes de hauteur (m) associées à une montagne.

∇Z

∇Z

∇Z

∇Z

0 100

200 x

y

— On voit que Z Ò vers le centre.

— Plan horizontal (x-y) : ∇Z “ BZBxi`

BZ

Byj.

1. ∇Z “ 0 au centre car c’est un maximum.

2. ∇Z pointe vers le plus grand taux de changement.

3. Le Laplacien ∇ ¨∇Z représente le taux de changement du gradient.

4. ∇2Z ă 0 représente un maximum

5. ∇2Z ą 0 représente un minimum

1.2 Série de Taylor

Il s’avère parfois très utile de pouvoir estimer une fonction par une série polynomiale

comme le propose la série de Taylor. De façon générale, la série de Taylor d’une fonction

continue fpxq autour du point x “ x0 est donnée par :

fpxq “ fpx0q ` f1px0qpx´ x0q `

f2px0q

2!px´ x0q

2` ...`

fnpx0q

n!px´ x0q

n

La série de Taylor est souvent utilisée pour une valeur de px´x0q très petite. Dans un tel

cas, on peut négliger les termes de dérivée d’ordres supérieurs à 1. On obtient alors :

fpxq » fpx0q ` f1px0qpx´ x0q

1.3 Approximation d’une dérivée

Même si l’atmosphère est un fluide continu, les observations de ses caractéristiques sont

seulement disponibles en des points discrets dans le temps et dans l’espace. La méthode

utilisée pour approximer une dérivée est celle des différences finies (au centre).


Si on considère un premier point x1 “ x0 ´ ∆x et un deuxième point x2 “ x0 ` ∆x, on

peut estimer leurs valeurs fpx1q et fpx2q en utilisant la série de Taylor :

rx1

fpx1q

rx0 rx2

fpx2q

-∆x

-∆x

La série de Taylor autour de x0 est évaluée à x1 et x2, respectivement :

fpx1q “ fpx0 ´∆xq “ fpx0q ` f1px0qp´∆xq `

f2px0q

2!p´∆xq2 ` ...`

fnpx0q

n!p´∆xqn (1.2)

fpx2q “ fpx0 `∆xq “ fpx0q ` f1px0qp∆xq `

f2px0q

2!p∆xq2 ` ...`

fnpx0q

n!p∆xqn (1.3)

Si on soustrait (1.2) à (1.3), on obtient :

fpx2q´fpx1q “ fpx0`∆xq´fpx0´∆xq “ 2f1

px0qp∆xq`2f

3

px0q

3!p∆xq3` ...`

fnpx0q

n!p∆xqn

Puis, on isole la dérivée et on néglige les termes d’ordre supérieur (car ∆x est très petit) :

f1

px0q »fpx0 `∆xq ´ fpx0 ´∆xq

2∆x(1.4)

Donc, on a besoin de la valeur de la fonction en 2 points et la distance entre ces points.

1.4 Dérivée totale

L’atmosphère est en constante évolution et ses caractéristiques sont constamment su-

jettes à des changements dans le temps et dans l’espace. Par exemple, que veut-on dire

quand on affirme que la température a changé durant la dernière heure ?

1. La température d’une même parcelle d’air qui passe près du thermomètre varie en se

déplaçant dans l’espace. Ñ T change avec la parcelle d’air en mouvement.

2. La température d’une première parcelle d’air en contact avec le thermomètre est plus

froide que celle d’une deuxième parcelle qui était là et qui a été remplacée par le

transport de la première. Ñ T change à un point géographique fixe.


Ces façons d’interpréter les changements de température sont différentes l’une de l’autre.

Supposons une masse d’air Arctique qui se déplace vers Montréal en hiver :

X Montréal

Masse d’air Arctique

4 PM 2 PM Tp

Tp TM

Mathématiquement, supposons Q “ Qpx, y, z, tq, sa différentielle sera

dQ “

ˆ

BQ

Bx

˙

y,z,t

dx`

ˆ

BQ

By

˙

x,z,t

dy `

ˆ

BQ

Bz

˙

x,y,t

dz `

ˆ

BQ

Bt

˙

x,y,z

dt (1.5)

Dérivons par rapport au temps :

dQ

dt“

ˆ

BQ

Bx

˙

y,z,t

dx

dt`

ˆ

BQ

By

˙

x,z,t

dy

dt`

ˆ

BQ

Bz

˙

x,y,t

dz

dt`

ˆ

BQ

Bt

˙

x,y,z

dt

dt(1.6)

Si u “dx

dt, v “

dy

dtet w “

dz

dt:

dQ

dt“BQ

Bt` u

BQ

Bx` v

BQ

By` w

BQ

Bz(1.7)

On peut réécrire (1.7) sous forme vectorielle :

dQ

dt“BQ

Bt` ~v ¨∇Q (1.8)

où ~v “ uı` v` wk.

‚ Taux lagrangien (changement de Q suivant l’écoulement) :dQ

dt

‚ Taux eulérien (changement de Q en un point géographique fixe) :BQ

Bt

‚ Advection (transport de Q par le mouvement de l’air ~V ) : ~v ¨∇Q

On peut réécrire (1.8) en fonction du taux eulérien :

BQ

Bt“dQ

dt´ ~v ¨∇Q (1.9)


Schématiquement, on obtient :

Q0 `∆Q

Q0

Q0 ´∆Q

?

∇Q 6~vr BQBt

Voici une illustration de la différence entre la dérivée totale et la dérivée partielle pour le

cas d’un système météorologique idéalisé. Considérons un champ de pression à la surface

au temps t :

L998

X

1000

1008

-

x (vers l’est)t = 0

L996

X

1000

1008

t = t + ∆t

La pression au point X au temps t=0 est de p “ 1008 hPa. Supposons que la dépression se

creuse en se déplaçant vers l’est, quelle sera la pression au point X à t`∆t ? Le changement

de pression au point X (fixe) sera ÑBp

Bt“ ´12 hPa/∆t.

Si la dérivée totale est le changement de pression centrale de la dépression. Ce chan-

gement de pression est généralement associé avec un changement d’intensité du système

météorologique.

Ñ La dépression s’est creusée de 2 hPa :dp

dt“ ´2 hPa/∆t.

Si la dépression ne s’était pas creusée, le changement de pression local aurait été seule-

ment dû à l’advection et le changement de pression aurait été de -10 hPa/∆t (car le terme

d’advection est négatif). Vu que la dépression s’approche de X, il y a un transport de valeur

minimum de pression en ce point.


1.5 Analyse dimensionnelle

Il est très utile d’estimer l’ordre de grandeur des termes physiques d’une équation afin

de déterminer leurs importances relatives. L’analyse dimensionnelle sera très utile pour

simplifier les équations qui décrivent les fluides.

Par exemple, soit une piscine olympique. On se demande en combien de temps il est

possible de la remplir. Pour faire une approximation raisonnable, on doit connaître certaines

caractéristiques physiques importantes :

— Volume de la piscine : V » 3000 m3

— Débit disponible : D » 10 m3h´1

— Fuite dans la piscine : F » 0.001 m3h´1

— Évaporation : E » 0.00001 m3h´1

Les deux derniers paramètres (F et E) sont difficiles à estimer mais leurs valeurs sont

essentiellement très petites. En effet, on voit que 0.001 m3h´1 et 0.00001 m3h´1 sont très

petits comparé à taux de remplissage de la piscine (D). F et E sont donc négligeables

par rapport au taux de l’écoulement de l’eau. On obtient ainsi une valeur estimée pour le

temps : t “V

F ` E `D»V

D.

Un raisonnement semblable peut être appliqué pour le mouvement dans l’atmosphère :

pour chaque phénomène météorologique, on peut définir un ordre de grandeur typique qui

permettra de faire une analyse à l’échelle des équations de Navier-Stokes pour des systèmes

météorologiques sur l’échelle synoptique afin de simplifier les équations.

1.6 Cinématique de champs vectoriels

Il est possible de décrire le comportement d’un fluide dans le plan horizontal. Considé-

rons un plan xy et les composantes de la vitesse u et v. Il existe quatre dérivées de upx, yq

et vpx, yq dans le plan xy :Bu

Bx,Bu

By,Bv

Bx,Bv

By. La valeur du champ continu à px, yq “ p0, 0q est

estimée à l’aide de la série de Taylor (section 1.2, p.8) :

upx, yq “ u0 `

ˆ

Bu

Bx

˙

0

x`

ˆ

Bu

By

˙

0

y ` ... (1.10a)

vpx, yq “ v0 `

ˆ

Bv

Bx

˙

0

x`

ˆ

Bv

By

˙

0

y ` ... (1.10b)


On obtient 4 combinaisons possibles de ces dérivées qui ont une signification physique :

δ “Bu

Bx`Bv

By(1.11a)

ζ “Bv

Bx´Bu

By(1.11b)

D1 “Bu

Bx´Bv

By(1.11c)

D2 “Bv

Bx`Bu

By(1.11d)

Il est possible d’étudier le comportement d’un fluide de façon simplifiée. On considère

u0 “ v0 “ 0. À l’aide des équations (1.11), on peut réécrire les équations (1.10) comme

suit :

upx, yq “1

2pδx`D1x´ ζy `D2yq (1.12a)

vpx, yq “1

2pζx`D2x` δy ´D1yq (1.12b)

‚ Divergence pure (1.11a) : δ “ 1 et ζ “ D1 “ D2 “ 0

On a que u “1

2x et v “

1

2y.

6y

- x

6

?

-

x “ 0, y ą 0 Ñ v ą 0

x “ 0, y ă 0 Ñ v ă 0

y “ 0, x ą 0 Ñ u ă 0

y “ 0, x ă 0 Ñ u ą 0

L’aire de la parcelle d’air change dans un champ purement divergent.

6y

- x

6

?

-

t = 0

t > 0


Problème à faire en exercice :

1. Démontrer que1

A

dA

dt“ δ où A est l’aire de la parcelle d’air et δ est la divergence.

Expliquer clairement votre raisonnement.

2. Montrer à l’aide d’un dessin l’impact de la divergence pure sur une parcelle d’air.

Que se passe-t-il si δ “ ´1 ? Les lignes convergent vers un point.

‚ Tourbillon pur (1.11b) : ζ “ 1 et δ “ D1 “ D2 “ 0

On a que u “ ´1

2y et v “

1

2x.

6y

- x

-

?6

x = 0, y > 0 Ñ u < 0

x = 0, y < 0 Ñ u > 0

y = 0, x > 0 Ñ v > 0

y = 0, x < 0 Ñ v < 0

Que se passe-t-il si ζ “ ´1 ? Rotation dans le sens opposé.

‚ Déformation étirement (1.11c) : D1 “ 1 et δ “ ζ “ D2 “ 0

On a que u “1

2x et v “ ´

1

2y.

6y

- x

?

6

-

x = 0, y > 0 Ñ v < 0

x = 0, y < 0 Ñ v > 0

y = 0, x > 0 Ñ u > 0

y = 0, x < 0 Ñ u < 0

L’écoulement se dilate le long de l’axe x et se contracte le long de l’axe y, c’est-à-

dire que le fluide s’étire le long de l’axe x et rétrécit le long de l’axe y.


6y

- x

?

6

-

Aire de la parcelle ne change pas car δ = 0.

t = 0

t > 0

Quelle est la différence entre confluence et convergence ? Le trafic qui monte sur une

bretelle de l’autoroute par une rampe est confluent mais ne converge pas, à moins

qu’il y ait un accident.

‚ Déformation cisaillement (1.11d) : D2 “ 1 et δ “ ζ “ D1 “ 0

On a que u “1

2y et v “

1

2x.

6y

- x

-

?6

x = 0, y > 0 Ñ u > 0

x = 0, y < 0 Ñ u < 0

y = 0, x > 0 Ñ v > 0

y = 0, x < 0 Ñ v < 0

En général, le terme déformation totale comprend le terme de déformation étirement

et le terme de déformation cisaillement. Étant donné qu’il est difficile de faire la

différence entre la déformation due à l’étirement et celle due au cisaillement, on

considère seulement la déformation totale D.

— Grandeur : D “`

D21 `D

22

˘12

— Orientation : θ “1

2tan´1

ˆ

D2

D1

˙


Exemple 1-1 : Calculer le Laplacien au centre de cette montagne. Supposer que les iso-

lignes hauteurs (m) sont espacées de 50 m et que le cercle du centre est 100 m de diamètre.

2001000

r∇2= ?

-6y

x


Exemple 1-2 : Considérer qu’un vent du sud de 10 km¨h´1 enregistré au point A. La

température diminue vers le nord de 5 ˝C/100 km. Quel sera le changement de température

au point A en supposant que la température d’une parcelle d’air ne varie pas dans le temps ?

10˝C

5˝C

0˝C

?

∇T 6~vr A

Si la température de la parcelle d’air ne varie pas dans le tempsˆ

dT

dt“ 0

˙

, le change-

ment de température en un point fixe est seulement dû à l’advection de température :BT

Bt“ ´~v ¨∇T

On développe en composante :BT

Bt“ ú

BT

Bx´ v

BT

By

S’il fait froid au nord et chaud au sud, la température diminue SEULEMENT en y :BT

Bx“ 0. Le gradient devient : ∇T “ BT

Byj.

Le vent horizontal est ~v “ ui` vj. Si le vent souffle SEULEMENT du sud : ~v “ vj.

Le terme d’advection sera : ´~v ¨∇T “ ´vj ¨ BTByj “ ´v

BT

By.

Si v = 10 km h´1 etBT

By“ ´5˝C/100 km, on obtient

BT

Bt“ ú

BT

Bx´ v

BT

By= - (10 km h´1)(- 5 ˝C/100 km) = 0.5 ˝C/h.

Donc, la température va augmenter à un taux de 0.5 ˝C/h.


Question : Si le vent provient du Nord-ouest, quel sera le changement de température au

point A ?

Chapitre 2

Forces fondamentales et apparentes

Étant donné que l’atmosphère terrestre est un fluide, ses mouvements sont gouvernés

par les lois de la physique. Une de ces lois est la deuxième loi de Newton : La somme des

forces appliquées sur un objet est égale à la variation de sa quantité de mouvement

ÿ

~F “ md~v

dt“ m~a (2.1)

Par contre, cette loi est seulement valide dans un système de coordonnées au repos (ré-

férentiel inertiel). Le système de coordonnées le plus pratique pour étudier le mouvement

de l’air dans l’atmosphère est selon la latitude pxq, la longitude pyq et l’altitude pzq.

6

- Équateur

Pôle nordö

*AAK

xz

y

Comme la Terre tourne sur elle-même et autour du soleil, ce système de coordonnées est

continuellement en accélération. Par exemple, à un endroit fixe sur la surface de la Terre

lorsqu’on regarde vers l’est, cette direction change constamment parce que la Terre tourne.

Alors, le système de coordonnées tourne aussi.

La deuxième loi de Newton peut seulement être appliquée sur un objet dans un réfé-

rentiel inertiel. Pour appliquer la deuxième loi de Newton sur la Terre, il faut faire une

19

CHAPITRE 2. LES FORCES 20

correction pour la rotation de la Terre. Il faut donc définir deux catégories de forces afin

d’appliquer la deuxième loi de Newton sur un objet sur la Terre :

— Forces fondamentales : Forces qui s’appliquent sur un objet même s’il n’y a pas de

rotation.

— Forces apparentes : Forces causées par la rotation de la Terre.

2.1 Forces fondamentales

On est plus familier avec les forces de gravité et de frottement parce qu’elles se mani-

festent dans la vie de tous les jours. Par contre, la force de gradient de pression est plus

difficile à observer.

2.1.1 Force de gradient de pression

La pression appliquée sur les côtés d’une parcelle d’air provient du mouvement molé-

culaire aléatoire de l’air. [Rappel : La pression est une force appliquée sur une unité de

surface (Unités : Nm´2 “ Pa).] À chaque fois qu’une molécule frappe un côté, il y a un

transfert de quantité de mouvement. La somme des transferts de quantité de mouvement

est égale à la force appliquée sur l’élément fluide (deuxième loi de Newton).

Supposons que la parcelle d’air est un cube de volume V “ δxδyδz et de masse M “ ρV ,

où ρ est la densité du fluide étudié. La pression au centre du cube est p0 “ ppx0, y0, z0q.

-

6

?

pB pA

AB

δx

δy

δzrp0FxAFxB

- x6z

y

p0 “ ppx0, y0, z0q

Volume = V = δxδyδzMasse = Vρ

Comme la pression est un champ continu, il est possible de l’évaluer sur les cotés A et

B de la parcelle en utilisant la série de Taylor (on néglige les termes d’ordres supérieurs).


On obtient :

pA “ p0 `Bp

Bx

δx

2

pB “ p0 ´Bp

Bx

δx

2

Si Fx “ř

ppx Ä ) où px est la pression selon x et A est l’aire de la surface où sa normale

est || à x , on obtient que

Fx “ ´FxA ` FxB

Fx “ ´pAδyδz ` pBδyδz “ p´pA ` pBqδyδz

Fx “ ´Bp

Bx

δx

2δyδz ´

Bp

Bx

δx

2δyδz

Fx “ ´Bp

Bxδxδyδz “ ´

Bp

Bx

M

ρ

On répète les mêmes étapes pour la composante y et z pour obtenir la forme générale :

~agp “~Fgpm

“ ´1

ρ∇p (2.2)

2.1.2 Force gravitationnelle

D’après la loi universelle gravitationnelle de Newton, deux corps de masses M et m

s’attirent en raison de l’existence d’une force proportionnelle à leur masse et inversement

proportionnelle à la distance séparant leur centre de masse.

&%'$qM

eqm

@@a

~r

Forme générale :~Fg “ ´

GMm

r2

~r

r(2.3)

où G est la constante gravitationnelle (G “ 6, 67ˆ 10´11 m3kg´1s´2), M , la masse de la

Terre (M “ 5, 9742 ˆ 1024 kg), m, la masse de la parcelle d’air et |~r|, la distance entre les

deux masses.


Alors, l’accélération gravitationnelle est :

~ag “ ´~Fgm“ ´

GM

r2

~r

r

Si le rayon de la Terre, a, est 6371 km et la distance entre une parcelle d’air et la surface

de la Terre, z, est » 10 km, l’accélération gravitationnelle devient :

~g˚ “ ´GM

pa` zq2~r

r» ´

GM

a2

~r

r» ´9.8 m/s2 k

2.1.3 Force de frottement

La force de friction agit généralement dans le sens opposé au mouvement. Par exemple,

si on fait glisser un livre sur une table, il va décélérer graduellement. Ceci est dû à la force

de friction entre le livre et la table. Le livre ne continuera pas à glisser sur la table parce

que la force de friction agit dans le sens opposé au mouvement.

Ce concept est un peu plus complexe pour une parcelle d’air. Un fluide est un ensemble

de molécules. La friction interne entre les différentes molécules engendre une résistance à

l’écoulement du fluide. Donc, si on a un fluide, l’atmosphère par exemple, qui se déplace,

sa vitesse va diminuer près de la surface de la Terre à cause du frottement.

- ~v-

-

6z

2.2 Forces apparentes

D’après la première loi de Newton : Un corps au repos ou en mouvement rectiligne

uniforme ne changera pas d’état, à moins qu’une force ne soit appliquée sur le corps. Au-

trement dit, une masse en mouvement uniforme par rapport à un système de coordonnées

fixe (référence inertiel) dans l’espace restera uniforme si aucune force n’est appliquée sur

cette masse.


Si on considère que le système de coordonnées est lié à la surface de la Terre par la

latitude et la longitude, x et y respectivement, il est clair que ce système est en mouvement

en raison de la rotation de la Terre sur elle-même. Ainsi, il est seulement possible de décrire

le mouvement de l’air par rapport à notre système de référence px, y, zq si on corrige pour

la rotation du système de coordonnées [valider la 2ième loi de Newton].

On peut utiliser l’exemple d’une balle qui tombe dans un ascenseur au repos et en mou-

vement :

A

B

A

A

B

Dans le scénario A, l’observateur 1 et 2 voient la même chose car l’ascenseur est au

repos. Dans le scénario B, l’ascenseur descends à la même vitesse que la balle. Donc, l’ob-

servateur A voit que la balle est au repos tandis que l’observateur B voit la balle tomber. Par

conséquent, les 2 forces apparentes (la force centrifuge et Coriolis) doivent être définies.

2.2.1 Force centrifuge

Chaque objet terrestre se trouve à une certaine distance de l’axe de rotation de la Terre.

Sa vitesse dépend de cette distance constante. On peut alors comparer cet objet à une balle

au bout d’une corde dont l’accélération est donnée par :

~aCP “ ~ω ˆ p~ω ˆ ~rq “ ´ω2~r (2.4)

où ~ω est la vitesse angulaire de rotation de la balle et ~r “ rr est la distance entre l’axe de

rotation et la balle.

6ö ~ω

|~r|-r

~Fcp

-~Fcg

uLe lien entre la vitesse de rotation (~ω)et la vitesse tangente est ~v “ ~ω ˆ ~r

6ö ~ω

-~R

~v


On voit bien d’après le dessin que la vitesse de la balle change constamment d’orien-

tation. Donc, il y a une accélération uniforme orientée vers l’axe de rotation causée par la

force de la corde qui tire sur la balle : c’est l’accélération centripète.

Si on observe la situation à partir d’un point sur la balle, on a l’impression que la balle

est stationnaire, même si une force est appliquée dessus. Pour appliquer la deuxième loi

de Newton sur la balle en mouvement (qui correspond à un objet sur la Terre en rotation),

une force apparente qui équilibre exactement la force centripète doit être appliquée sur la

balle : c’est la force centrifuge. Celle-ci est dirigée vers l’extérieur.

On peut déduire que la force centrifuge par unité de masse (accélération) associée à un

objet à la surface de la Terre est donnée par :

~aCF “ ´~Ωˆ p~Ωˆ ~rq “ Ω2~r (2.5)

où Ω est vitesse de rotation de la Terre (Ω “ 7.292 ˆ 10´5 s´1) et ~R est le vecteur position

par rapport à l’axe de rotation.

6

- Équateur

Pôle nord

ö ~Ω

a

φ

~g˚

-

-RΩ2 ~R

Ω2 ~R

~g

Sphère et la surface de la Terre

R = a cosφ où a : rayon de la Terre

et φ est la latitude

~g˚ pointe vers le centre

Ω2 ~R est la force centrifuge

~g = ~g˚ + Ω2 ~R

où ~g˚ est l’accélération gravitationnelle

@@I xzy

On remarque la force centrifuge a une composante selon k (l’accélération gravitation-

nelle est seulement en k et que la force centrifuge est en j et k), donc la force centrifuge

pointe dans la direction opposé de la force de gravité ce qui définit la force de gravité

effective :

~g “ ~g˚ ` Ω2 ~R (2.6)

Comme la Terre n’est pas exactement ronde, la gravité effective ne pointe pas nécessaire-

ment vers le centre de la Terre (sauf aux pôles et à l’équateur). La composante de la force


centrifuge sur la force de gravité est l’effet de la rotation de la Terre sur un objet au repos

par rapport au référentiel de la Terre en rotation.

2.2.2 Force de Coriolis

Pour appliquer la deuxième loi de Newton d’un objet en mouvement dans le référentiel

de la Terre en rotation, on doit définir la force de Coriolis. Le développement de la force

de Coriolis ce fait en 2 étapes :

1. Augmentation de la force centrifuge pour un objet en mouvement zonale (latitude

constante).

2. Application de la loi de la conservation de la quantité de mouvement angulaire en

l’absence d’une force externe (mouvement méridional, latitude constante).

Étape 1

Considérons une rondelle de hockey qui glisse sur une surface lisse à une vitesse u (vers

l’est). À cette latitude, la force centrifuge par unité de masse agissant sur la rondelle va être

augmentée car, en plus de la rotation de la Terre, la rondelle se déplace vers l’est :

~a “ pΩ` ωrondelleq2 ~R

“

´

Ωù

R

¯2~R

“ Ω2 ~Rloomoon

1

ù2 ~R

R2loomoon

2

` 2Ωu~R

Rloomoon

3

(2.7)

où ~v “ ~ω ˆ ~r. Alors, u = R ωrondelle.

‚ Terme 1 : accélération centrifuge incluse dans l’accélération gravitationnelle effec-

tive.

‚ Terme 2 : accélération causée par la déviation dirigée vers l’extérieur (perpendicu-

laire à l’axe de rotation). Afin de le comparer avec le terme 2, on peut le ré-écrire :

u2 ~R

R2“pωrondelleRq

2RR

R2“ ω2

rondelleRR “ ωrondellepωrondelleRqR “ ωrondelleuR

Alors, parce que u „ 10ms ăă ΩR (ΩR » 330 ms´1 à Montréal). On peut donc

négliger ce terme.


‚ Terme 3 : accélération causée par la déviation dirigée vers l’extérieur (perpendicu-

laire à l’axe de rotation). Ce terme est un excès de la force centrifuge. Il représente

l’accélération de Coriolis résultant d’un mouvement relatif parallèle aux cercles de

latitudes. On peut le ré-écrire :

2Ωu~R

R“ 2ΩuR

où l’accélération de Coriolis pointe dans la direction R. Supposons un plan tangent

à la surface de la Terre (‹) :

@@

@@

@@I

y

z

- R

@@@

φ‹ φ

On voit que la force de Coriolis a deux composantes : une verticale pzq et une hori-

zontale pyq. On a que

R “ ´ sinφj ` cosφk

Donc, la composante méridionale et vertical de l’accélération de Coriolis sont :

dv

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

CO

“ ´2Ωu sinφ (2.8a)

dw

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

CO

“ 2Ωu cosφ (2.8b)

où φ correspond à la latitude.

Étape 2

Rappel : Le moment angulaire par unité de masse est ~L “ ~Rˆ~v. En l’absence du moment

angulaire externe, il doit être conservé ~Li “ ~Lf .

6~L

-~R

b ~v


Pour démontrer l’effet de Coriolis lorsqu’un objet se déplace selon une longitude constante,

considérons une rondelle de hockey se déplaçant vers l’équateur (en y). Ce déplacement

méridional est aussi associé à une augmentation de la distance avec l’axe de rotation de la

Terre. Afin de conserver son moment angulaire, une rotation contraire se développe. Il y

aura par conséquent une modification de la vitesse pour ralentir la vitesse de la rondelle par

rapport à la Terre. Le moment angulaire est orienté vers le pôle nord car l’angle entre ~R et

~v est 90˝.

Li “ Lf (2.9)

ΩR2“

ˆ

Ω`δu

R ` δR

˙

pR ` δRq2 (2.10)

où δu “ ΩrondellepR ` δRq est la variation zonale de la rondelle à R + δR pour conserver la

quantité de mouvement lors de son déplacement méridional. Un déplacement méridional

engendre une variation de la distance entre la rondelle et l’axe de rotation (δR). On cherche

alors la grandeur de δR car son orientation n’a pas changée.

6

- Équateur

ö ~Ω

-RR

-RRδR

@@@R´δy

@@I xzy

On développe l’équation :

ΩR2“

ˆ

Ω`δu

R ` δR

˙

`

R2` 2RδR ` δR2

˘

(2.11)

Comme δR est très petit, le terme δR2 de (2.11) peut être négligé :

ΩR2“

ˆ

Ω`δu

R ` δR

˙

`

R2` 2RδR

˘

“ ΩR2` 2ΩRδR `

R2δu

R ` δR

2ΩRδR “ ´Rδu


On obtient finalement :

δu “ ´2ΩδR (2.12)

R peut varier si un parcelle se déplace selon y et z seulement car un déplacement selon x

est toujours à la même latitude. Donc, si Ω est constant et R change, il y aura un variation de

la vitesse zonale puq. D’après un point initiale à la surface de la Terre (‹), on peut écrire que

δR = δRy + δRz. Trouvons δRy et δRz. [Note : Il faut le voir en 2 étapes : 1) déplacement

vers le sud et 2) déplacement vers le haut.]

@@

@@

@@I

y

z

‹R -Rφ ‚

φR+δR - RδRy δRz

δz-δy

δ R = δRy + δRz

cosφ “δR

δzÑ δRz “ δz cosφ

sinφ “δR

δyÑ δRy “ δy sinφ

La variation de vitesse zonale, δu aura donc 2 termes. On obtient que

δu “ ´2Ωp´δy sinφ` δz cosφq “ 2Ωδy sinφ´ 2Ωδz cosφ

On divise ensuite par δt et on prend la limite lorsque δtÑ 0 :

du

dt“ 2Ω sinφ

dy

dt´ 2Ω cosφ

dz

dt

Avecdy

dt“ v et

dz

dt“ w, on obtient :

du

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

CO

“ 2Ω sinφv ´ 2Ω cosφw (2.13)

On peut maintenant définir le paramètre de Coriolis : f “ 2Ω sinφ et combiner l’accélé-

ration de Coriolis méridionale et avec l’altitude :

du

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

CO

“ fv ´ 2Ωw cosφ (2.14a)

dv

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

CO

“ ´fu (2.14b)

dw

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

CO

“ 2Ωu cosφ (2.14c)


L’accélération de Coriolis crée une déviation de la trajectoire d’une parcelle d’air en

mouvement. Par exemple, dans l’hémisphère nord :

— un déplacement vers l’est pu ą 0q engendre une accélération vers le sud.

— un déplacement vers le nord pv ą 0q engendre une accélération vers l’est.

Un objet en déplacement dans un plan horizontal dans l’hémisphère nord sera dévié vers la

droite (f > 0 car φ>0) tandis qu’un objet en déplacement dans l’hémisphère sud sera dévié

vers la gauche (f < 0 car φ<0). La force de Coriolis va seulement changer la direction d’un

objet. Elle ne peut pas initier un mouvement. Elle n’a donc pas d’impact sur un objet au

repos.

On remarque aussi que le paramètre Coriolis est de 0 à l’équateur (sin 0˝ “ 0), mais pas

la force de Coriolis. On garde les accélérationsdu

dtetdw

dtqui y sont maximum. Par contre

sur une échelle synoptique où la vitesse du vent est de 10 m s´1 à l’horizontal et de 0.01 m

s´1 à la verticale, on peut l’estimer comme nulle et maximum au pôles.

Il nous faut développer la vitesse de rotation de la Terre en ses composantes afin d’écrire

l’accélération de Coriolis sous forme vectorielle. Voici un plan tangent à la surface de la

Terre :

@@

@@Ij

k

6

Ω

φφφ

i

@@

On remarque que la vitesse de rotation de la Terre n’a pas de composante selon i car elle

est perpendiculaire à celui-ci. Elle possède donc une composante selon et k :

Ωy “ Ω cosφ (2.15a)

Ωz “ Ω sinφ (2.15b)

Vu que l’accélération de Coriolis à un effet sur une composante perpendiculaire à la vitesse,

on peut appliquer le produit vectoriel entre la vitesse angulaire de la Terre et la vitesse de

la parcelle d’air :

~aCO “ ´2~Ωˆ ~v “

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k

0 Ω cosφ Ω sinφ

u v w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (2.16)

“ ´2Ω”

p´v sinφ` w cosφq ı` u sinφ´ u cosφkı

(2.17)


Donc, on obtient la forme vectorielle de l’accélération de Coriolis :

d~v

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

co

“ ´2~Ωˆ ~v (2.18)

où ~Ω “ Ω cosφj ` Ω sinφk et ~v “ ui` vj ` wk.


Exemple 2-1 (Problème 2.2 de Martin) : Un joueur de baseball tire une balle vers le nord

sur une distance horizontal de 75 m en 2 s. Sur quelle distance et dans quelle direction la

balle sera déviée à cause de la rotation de la Terre ? Supposer que la partie de baseball se

joue à 30˝N.


Exemple 2-2 (Problème 2.4 de Martin) : En prenant le train se dirigeant vers l’est pour

se rendre au travail, un passager a décidé de vérifier son poids : 542 N ; en retournant à la

maison, il a vérifié encore son poids dans le train en mouvement : 543 N. Il a parcouru la

distance de 50 km pour arriver au travail (et 50 km pour revenir). Combien de temps prend

le trajet pour aller au travail à une latitude de 40˝S ?

Chapitre 3

Dérivation des équations de Navier-Stokes

sur l’échelle synoptique

3.1 Distribution de la masse dans l’atmosphère

3.1.1 Équation hydrostatique

Sur l’échelle synoptique, une parcelle d’air ne subit aucune accélération verticale. Il y

a un équilibre entre la force de gravité et de gradient de pression. On appelle l’équilibre

hydrostatique.

p0 + ∆p

∆p

p0 - ∆p

6Z6

~GP

?~g

x

Composante verticale de la force de gradient de pression ~Fgp :

~Fgp “ ´1

ρ

Bp

Bzk (3.1)

Force de gravité ~Fg :~Fg “ ´gk (3.2)

33

CHAPITRE 3. ÉQUATIONS NAVIER-STOKES 34

Si la force de gravité et la force de gradient de pression sont en équilibre, on obtient

que :

´1

ρ

Bp

Bz´ g “ 0 (3.3)

Donc, l’équilibre hydrostatique est

Bp

Bz“ ´ρg (3.4)

L’équation hydrostatique est valide seulement lorsque ∆z (profondeur)ăă∆y (largeur).

Par exemple, pour un système synoptique où ∆z „ 10 km (hauteur de l’atmosphère) et

∆y „ 1000 km, l’équation hydrostatique est valable. On y reviendra plus tard dans le cours.

3.1.2 Équation hypsométrique

L’atmosphère est considérée comme un gaz parfait :

p “ ρRT (3.5)

et sur l’échelle synoptique, elle est en équilibre hydrostatique :

Bp

Bz“ ´ρg

On combine (3.4) et (3.5) pour obtenir

Bp

p“ ´

g

RTBz (3.6)

On intègre entre les surfaces de pression p1 et p2 de hauteurs z1 et z2 :ż p2

p1

TvB ln p “ ´g

R

ż z2

z1

Bz

où g et R sont des constantes que nous pouvons sortir de l’intégrale. On peut écrire

l’équation de cette façon :şp2p1TvB ln p

şp2p1B ln p

ż p2

p1

B ln p “ ´g

R

ż z2

z1

Bz

où nous pouvons définir la température virtuelle moyenne dans cette couche d’air :


xTvy “

şp2p1TvB ln p

şp2p1B ln p

(3.7)

Donc, on obtient l’équation hypsométrique :

∆z “ pz2 ´ z1q “RdxTvy

gln

ˆ

p1

p2

˙

(3.8)

La température virtuelle de la colonne d’air influence la hauteur des surfaces de pres-

sions. Si T Ò, ∆z Ó. C’est logique, car l’air chaud est moins dense que l’air froid, donc la

colonne d’air doit être plus épaisse pour garder une masse constante entre deux surfaces de

pression.

Définition : Φ “ gz est le géopotentiel. Il correspond à la hauteur (∆z) requise pour

élever une unité de masse au-dessus du niveau de la mer.

On peut ré-écrire l’équation hydrostatique en terme de Φ :

∆φ “ g∆z “ gpz2 ´ z1q “ RdxTvy ln

ˆ

p1

p2

˙

(3.9)

Nous en reparlerons davantage dans le cours de météorologie synoptique.


Exemple 3-1 : Quelle est la masse de la couche d’air située entre 500 hPa et 1000 hPa ?


3.2 Équation du mouvement

Maintenant que l’on connaît la distribution de la masse dans l’atmosphère, il est possible

d’étudier son comportement grâce aux lois de la conservation de la quantité de mouvement.

3.2.1 Référentiel inertiel et référentiel en rotation

Rappel : Deuxième loi de Newton est la somme des forces appliquées sur un objet est

égale à la variation de la quantité de mouvement :

md~v

dt“ř

forces appliquées sur une parcelle d’air

dans un repère intertiel.

Comme la Terre est en rotation (tourne sur elle-même), le système de coordonnées fixe

à la Terre px, y, zq est en rotation. Il faut alors relier la dérivée lagrangienne d’un vecteur

dans le référentiel inertiel´

~A¯

à celui d’un vecteur dans le référentiel en rotation´

~A¯

. En

générale, le vecteur ~A peut être représenté dans le référentiel en mouvement (’) et inertiel :

Référentiel inertiel (fixe) : ~A “ Axı ` Ay ` Azk et Référentiel en mouvement : ~A “

A1xı1 ` A1y

1 ` A1zk1 :

Fixe

- x

6

z

y

Mouvement

-x16z1

y1

~A

D’après le dessin ci-haut, on remarque que les vecteurs unitaires ne changent pas de di-

rection. Donc, la dérivée totale de ~A par rapport au référentiel inertiel (au repos – référentiel

asbolu) estd ~A

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“dAxdt

ı`dAydt

`dAzdt

k

Par contre, la dérivée totale de ~A par rapport au référentiel absolu représentée dans le réfé-

rentiel en mouvement est

d ~A

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“dA1xdt

ı1 `dA1ydt

1 `dA1zdt

k1 ` A1xdı1

dt` A1y

d1

dt` A1z

dk1

dt


Ces 2 équations ne sont pas les mêmes car l’opérateur dérivée dépend du repère. On peut

alors ré-écrire la dérivée absolue :

d ~A

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“d ~A

dtloomoon

1

À1xdı1

dt` A1y

d1

dt` A1z

dk1

dtloooooooooooooomoooooooooooooon

2

(3.10)

‚ Terme 1 :d ~A

dt“dA1xdt

ı1 `dA1ydt

1 `dA1zdt

k1

Taux de changement de ~A suivant le mouvement relatif dans le système en rotation.

[relatif au référentiel]

‚ Terme 2 :dı1

dt,d1

dt,dk1

dtChangement du vecteur unitaire dû à l’accélération du système de coordonnées px1, y1, z1q.

La dérivée de ces vecteurs unitaires représente le changement de direction de chacun

d’eux dû au mouvement du système de coordonnées. [mouvement du référentiel]

Appliquons ce principe à la Terre en rotation

Il faut se rappeler la définition de vitesse d’un objet tournant à une vitesse de rotation ~Ω à

une distance ~r de l’axe de rotation :

~v “ ~Ωˆ ~r

où ~r est le vecteur position. Les vecteurs unitaires placés à un point sur la Terre tournent à

une vitesse angulaire ~Ω.

Trouvons maintenant le lien entre le vecteur unitaire ı1 etdı1

dt. Supposons une vue du pôle

nord :

HHHHHH

δθ

i

AAAK

i` δi

ö

~Ω

iAAAK

i` δi

δi

δθ

où θ est la longitude. D’après le schéma, on a que |δı1| “ δθ|ı1|. En sachant que Ωδt “ δθ,

on obtient que

|δı1| “ Ωδt|ı1|

.

On divise maintenant par δt et on prend la limite où δtÑ0, on obtient

|dı1|

dt“ Ω|ı1|


Vu que l’angle entre le vecteur Ω et ı1 est 90˝, on peut en déduire la forme vectorielle :dı1

dt“ ~Ωˆ ı1

6

- Équateur

~Ωö6~Ω

~Ωˆ i

i

On peut ensuite répéter ces étapes pour déterminerd1

dtetdk1

dt.

selon j selon k

[pointe vers l’axe de rotation - pôle nord] [pointe vers l’extérieur]

HHHH

HH

δθ

HHHY

j

j ` δj

ö

~Ω

HHHY j

j ` δj?

δj δθ

HHHH

HH

δθ

HHHj

k

*

k ` δk

ö

~Ω

HHHj

k*

k ` δk ?

δkδθ

On aura quedı1

dt“ ~Ωˆ ı1 (3.11a)

d1

dt“ ~Ωˆ 1 (3.11b)

dk1

dt“ ~Ωˆ k1 (3.11c)

On peut donc écrire que :

A1xdı1

dt“ A1xp~Ωˆ ı

1q “ ~Ωˆ pA1xı

1q (3.12a)

A1yd1

dt“ A1yp

~Ωˆ 1q “ ~Ωˆ pA1y q (3.12b)

A1zdk1

dt“ A1zp~Ωˆ k

1q “ ~Ωˆ pA1zk1q (3.12c)

Et on obtient :

A1xdı1

dt` A1y

d1

dt` A1z

dk1

dt“ ~Ωˆ pA1xı

1` A1y

1` A1zk

1q

“ ~Ωˆ ~A

(3.13)


où ~A est représenté dans le référentiel en mouvement (’).

Remplaçons (3.10) dans (3.13), et on obtient la relation entre la dérivée totale d’un

vecteur dans un référentiel inertiel et la dérivée totale d’un vecteur dans un référentiel en

rotation à une vitesse angulaire ~Ω :

d ~A

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“d ~A

dt` ~Ωˆ ~A (3.14)

Avec cette relation, il est possible de déterminer l’accélération d’une parcelle d’air par

rapport à un référentiel en rotation,d~v

dt. Pour ce faire, nous allons appliquer la formule de

changement de repère à 2 reprises :

1. On l’applique au vecteur position (~R) afin de déterminer la relation entre la vitesse

absolue (va) et relative (v) :6ö ~Ω

-~R

*z1

AAK

y1

d~R

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“d~R

dt` ~Ωˆ ~R

~va “ ~v ` ~Ωˆ ~R (3.15)

Donc, la vitesse d’une parcelle à la surface de la Terre (p.r. au centre de la Terre), p~vaq,

est égale à la vitesse relative de la parcelle p~vq (par rapport au système en rotation ) et

celle associée à la rotation de la Terre (système de coordonnées)´

~Ωˆ ~R¯

.

2. On l’applique à la vitesse absolue. Alors, on remplace ~va and (3.14) :

d~vadt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“d~vadt` ~Ωˆ ~va

“

ˆ

d

dt

´

~v ` ~Ωˆ ~R¯

˙

`

´

~Ωˆ´

~v ` ~Ωˆ ~R¯¯

“

ˆ

d~v

dt

˙

`

˜

~Ωˆd~R

dt

¸

`

´

~Ωˆ ~v¯

`

”

~Ωˆ´

~Ωˆ ~R¯ı

(3.16)

On trouve finalement l’accélération Lagrangienne dans un référentiel inertiel :

d~vadt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“d~v

dt` 2~Ωˆ ~v ´ Ω2 ~R (3.17)

oùˆ

d~v

dt

˙

est l’accélération de la parcelle d’air par rapport au référentiel en rotation,´

2~Ωˆ ~v¯

est l’accélération due à la force de Coriolis set´

Ω2 ~R¯

est l’accélération centripète associé

au repère en rotation.


Rappelons nous les lois de Newton : la somme des forces appliquées sur une parcelle

d’air est égale à la variation de sa quantité de mouvement. Cette loi est seulement valide

dans un référentiel intertiel. L’accélération d’une parcelle d’air par rapport au référentiel

absolu (Ex : centre de la Terre) est :

d~vadt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“ ´1

ρ~∇p` ~g˚ ` ~Ff (3.18)

où le côté droit de l’équation est la somme des forces réelles.

En météorologie, on travaille dans un référentiel fixe à la surface de la Terre. Celle-ci

doit être ajustée pour un référentiel en rotation. Alors, :

d~vadt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

“d~v

dt` 2~Ωˆ ~v ´ Ω2 ~R “ ´

1

ρ~∇p` ~g˚ ` ~Ff (3.19)

où, de la gauche vers la droite, on a l’accélération dans le référentiel au repos, l’accélération

dans le référentiel en rotation, accélérations apparentes (Coriolis et centrifuge) et les 3

derniers termes sont les forces réelles.

Donc, on obtient une équation de l’accélération d’une parcelle d’air dans un référentiel

en rotation :d~v

dt“ ´

1

ρ~∇p` ~g ` ~Ff ´ 2~Ωˆ ~v (3.20)

où :

‚ Force par unité de masse du gradient de pression : ´1

ρ~∇p

‚ Force par unité de masse de gravité effective : g “ ~g˚ ` Ω2 ~R

‚ Force par unité de masse de Friction : ~Ff‚ Force par unité de masse de Coriolis : ´2~Ωˆ ~v

L’équation (3.20) est un résultat important. Par contre, il est très difficile à analyser sous

cette forme. Étant donné que la Terre est sphérique, il est plus pratique de réécrire cette

équation en coordonnées sphériques.


3.2.2 Équations du mouvement en coordonnées sphériques

Il est de coutume de travailler dans un système de coordonnées x, y et z pointant vers

l’est, le nord et le haut, respectivement. Donc, la vitesse est ~v “ uı ` v ` wk. Un petit

déplacement selon la latitude φ, la longitude λ et l’altitude z, engendre des changements

selon x, y et z suivant :

Selon x : On peut déduire que δx “ Rδλ :

HHHH

HH

δλ δx

R

λ : longitudeR : position par rapport à l’axe de rotationδλR “ δxÑ pa` zq cosφδλ “ δx

où a : rayon de la Terre et z est l’altitude de la parcelle

Selon y : on obtient la composante vitesse selon y :

HHHH

HH

δφ δy

a` z

φ : latitudea : rayon de la Terreδφpa` zq “ δy

Vu que z < 10 km et que le rayon de la Terre est 6371 km, on peut supposer que (a + z) „

a. Alors, on obtientdx

dt“ a cosφ

dλ

dt“ u

dy

dt“ a

dφ

dt“ v

dz

dt“ w

L’orientation des vecteur de i, j et k dépends de la position de la parcelle d’air par rapport

à la surface de la Terre. En suivant le déplacement d’une parcelle d’air, l’orientation de ces

vecteurs unitaires changeront. Donc,

d~v

dt“du

dtı`

dv

dt`

dw

dtk ` u

dı

dt` v

d

dt` w

dk

dt(3.21)

Par exemple, le vecteur unitaire suit la longitude. On remarque sur le globe que les longi-

tudes convergent vers les pôles. Ceci implique que la direction de change avec sa position

à la surface de la Terre.


Déterminons la variation des vecteurs unitaires selon leur positions par rapport à la sur-

face de la Terre qui est sphérique :

˜

dı

dt,d

dt,dk

dt

¸

. Commençons avecdı

dt:

dı

dt“Bı

Bt` u

Bı

Bx` v

Bı

By` w

Bı

Bz(3.22)

—Bı

Bt“ 0, car il n’y a pas de changement local dans la direction des coordonnées (c’est-

à-dire que pour n’importe quel endroit, l’est pointe toujours vers l’est).

—Bı

Bx‰ 0, car ı change lorsqu’on se déplace le long d’un cercle de latitude.

—Bı

By“ 0, car ı ne change pas lorsqu’on se déplace sur l’axe nord-sud le long d’une

ligne de même longitude.

—Bı

Bz“ 0, car ı ne change pas lorsqu’on se déplace en hauteur (selon z).

On déduit que :dı

dt“ u

Bı

Bx(3.23)

HHHHHH

ouest

est

δλ δx

i

AAAK

i` δi

öPN~Ω

iAAAK

i` δi

δi

δλ

D’après le dessin, on voit que δx “ a cosφδλ et que |δı| “ |ı|δλ “ δλ comme |ı| “ 1.

Ainsi :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

δı

δx

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“δλ

a cosφ ¨ δλ“

1

a cosφ(3.24)

où δı est dirigé selon l’axe de rotation. Il faut donc exprimer δı en terme des composantes

λ, φ, z pour déterminer sa direction.6

-φ Équateur

~Ωö

@@@Ij

k

δi φφ

i @@@@I

j

k

@@ -|i| cosφk

|i| sinφj

φ


D’après le dessin, on voit que δı a des composantes en et k. On trouve donc :

δı

δx“

´

sinφ´ cosφk¯

a cosφ(3.25)

On prend la limite quand δxÑ 0 et δiÑ 0, on obtient alors que :

dı

dt“

u

a cosφ

´

sinφ´ cosφk¯

(3.26)

Continuons avecd

dt:

d

dt“B

Bt` u

B

Bx` v

B

By` w

B

Bz(3.27)

—B

Bt“ 0, car il n’y a pas de changement dans la direction des coordonnées (c’est-à-dire

que pour n’importe quel endroit, le nord pointe toujours vers le nord).

—B

Bx‰ 0, car change lorsqu’on se déplace sur un cercle de même latitude. ( converge

vers les pôles)

—B

By‰ 0, car change lorsqu’on se déplace sur une même longitude.

—B

Bz“ 0, car ne change pas lorsqu’on se déplace en hauteur (selon z).

L’équation se réduit à :d

dt“ u

B

Bx` v

B

By(3.28)

Pour déterminer la variation de i selon x, tracer une une ligne en partant d’un point à la

surface de la Terre vers les pôles suivant j jusqu’à l’axe de rotation (β) :

6

- Équateur

~Ωö

@@@

@@

β

φ

a

a cosφ

φ

φ

β Ña cosφ

β“ sinφ

β “a

tanφ

HHHHHH

δλ δx

HHHY j

j ` δj

ö

~Ω

ouestβ

est

HHHYj

j ` δj?

δj δλ


On voit que δx “ βδλ, et que |δ| “ ||δλ. Vu que δx “a

tanφδλ, on obtient :

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

δ

δx

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“tanφ

a(3.29)

où est dirigé dans la direction î. On prend la limite quand δxÑ 0, on trouve :

δ

δx“ ´

tanφ

aı (3.30)

Déterminons maintenant la variation de j selon y en dessinant le la variation de j en se

déplaçant vers le pôle nord :

6

- Équateur

~Ωö

@@@I

j

AAAK

j ` δj

δφ

δy

a

@@@@Ij ` δj

δj

AAAAAAK

jδφ

On voit que δy “ aδφ et que |δ| “ ||δφ “ δφ. Ainsi :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

δ

δy

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

a(3.31)

où est dirigé dans la direction ´k. On prend la limite quand δy Ñ 0, on trouve que :

δ

δy“ ´

1

ak (3.32)

Donc, on obtient que :d

dt“ú tanφ

aı´

v

ak (3.33)

On applique finalement un raisonnement semblable à la composantedk

dt:

dk

dt“Bk

Bt` u

Bk

Bx` v

Bk

By` w

Bk

Bz(3.34)

—Bk

Bt“ 0, car il n’y a pas de changement dans la direction des coordonnées (c’est-à-

dire que pour n’importe quel endroit, l’altitude ne change pas de direction).

—Bk

Bx‰ 0, car k car en se déplaçant sur un cercle de latitude il change de direction.


—Bk

By‰ 0, car k car en se déplaçant méridionalement il change de direction.

—Bk

Bz“ 0, car k car l’altitude ne change pas de direction.

On en déduit que :dk

dt“ u

Bk

Bx` v

Bk

By(3.35)

On remarque si la parcelle se déplace en est-ouest et nord-sud, la direction de k changera :

6

- Équateur

~Ωö

k

φ

a

Développons la composante selon i et j :

Déplacement selon i

HHHH

HH

δλ δx

HHHj

k

*

k ` δk

ö

~Ω

ouesta

est

HHHjk

*k ` δk 6δkδλ

Déplacement selon i

HHHH

HH

δφ δy

HHHj

k

*

k ` δk

ö

~Ω

Equ.a

Pôle N.

HHHjk

*k ` δk 6δkδφ

Noter qu’on utilise a dans les 2 cas car on a besoin du rayon de la Terre et non de la

distance selon l’axe de rotation. On voit que δx “ aδλ et que |δk| “ |k|δλ “ δλ comme

|k| “ 1. Ainsi :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

δk

δx

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

a(3.36)

où δk est en i. On trouve queδk

δx“

1

aı. De la même façon, on obtient que

δk

δy“

1

a. On

prend la limite quand δxÑ 0 et δy Ñ 0 et on obtient que :

dk

dt“u

aı`

v

a (3.37)


Maintenant que nous avons développé chacune des composantes de l’accélération en

coordonnées sphériques, (3.26), (3.33) et (3.37), on obtient :d~v

dt“

ˆ

du

dtúv tanφ

aùw

a

˙

ı

`

ˆ

dv

dtù2 tanφ

a`vw

a

˙

`

ˆ

dw

dtú2 ` v2

a

˙

k (3.38)

On a développé l’accélération d’une parcelle dans un référentiel en rotation (accélération

relative) :d~v

dt“ ´

1

ρ~∇p` ~g ´ 2~Ωˆ ~v ` ~Ff

Il est alors possible d’obtenir l’accélération d’une parcelle d’air en coordonnées sphériques

qui prend en compte l’effet de la courbure de la Terre :ˆ

du

dtúv tanφ

aùw

a

˙

ı`

ˆ

dv

dtù2 tanφ

a`vw

a

˙

`

ˆ

dw

dtú2 ` v2

a

˙

k “ ´1

ρ~∇p`~g` ~Ff´2~Ωˆ~v

En développant l’équation en ses composante selon i, j et k :du

dtúv tanφ

aùw

a“ ´

1

ρ

Bp

Bx` 2Ωv sinφ´ 2Ωw cosφ` Ffx (3.39a)

dv

dtù2 tanφ

a`vw

a“ ´

1

ρ

Bp

By´ 2Ωu sinφ` Ffy (3.39b)

dw

dtú2 ` v2

a“ ´

1

ρ

Bp

Bz´ g ` 2Ωu cosφ` Ffz (3.39c)

Les termes en1

aviennent de l’effet de courbure de la planète. Ce sont les termes de cour-

bure. Par exemple, si une parcelle d’air se déplace vers l’est (ou l’ouest) à partir d’une

latitude φ0, à cause de la courbure de la Terre, elle sera déplacée au sud de cette latitude :

Pôle Nordφ0 `∆φ

φ0

φ0 ´∆φ-u ą 0

Equateur

dv

dt9´

u2 tanφ

a

Pour u ą 0 et u ă 0 Ñdv

dtă 0

Donc, à cause de la courbure de la Terre, elle subira une accélération vers le sud.

On remarque que ces équations sont compliquées. On remarque que l’accélération La-

grangienne peut être développée en ses composantes et que ces équations sont non-linéaires.

Par contre, il est possible de les simplifier en appliquant l’analyse dimensionnelle pour des

phénomènes météo en particulier.


3.2.3 Équilibre géostrophique et hydrostatique (3.39)

Afin de simplifier les équations du mouvement, on doit définir des ordres de grandeur

pour le type de système que nous voulons étudier. Dans le cours de dynamique de l’atmo-

sphère, nous l’appliquons aux systèmes météorologiques sur l’échelle synoptique. Donc,

on fait une analyse dimensionnelle de l’équation du mouvement sur cette échelle.

Pour faire une analyse dimensionnelle, nous devons premièrement définir les dimensions

caractéristiques des systèmes métrologiques sur l’échelle synoptique :

‚ Vitesse du vent horizontal : U „ 10 m s´1

‚ Vitesse du vent vertical : W „ 0.01 m s´1

‚ Longueur : distance entre le centre de 2 systèmes météorologiques L „ 106 m.

‚ Fluctuations horizontales de pression : Différence entre la valeur centrale d’une dé-

pression et d’une anticyclone : ∆p=4 000 Pa (ou kg s´2 m´1), donc,δp

ρ„ 103 m2s´2

‚ Densité de l’air à la surface : ρ „ 1 kg m3

‚ Temps :L

U„ 105 s (ou 1 jour)

‚ Paramètre de Coriolis : f0 „ 2Ω sinφ0 „ 2Ω cosφ0 „ 10´4s´1 où φ0 “ 45˝ [Latitudes

moyennes]

‚ Profondeur : H „ 104 m

‚ Pression à la surface : p0=105 kg m´1 s´2

‚ Coefficient de viscosité cinématique :ν » 1.5ˆ 10´5 m2s´1

‚ Rayon de la Terre : a „ 7000km „ 107

Deuxièmement, on remarquedu

dtetdv

dtsont similaires et que celle verticale,

dw

dt, est dif-

férente. Alors, on va appliquer l’analyse dimensionnelle en 2 étapes.

Étape 1 : Analyse dimensionnelle verticale :

Selon z :dw

dt

u2 ` v2

a

1

ρ

Bp

Bzg 2Ωu cosφ Ffy

Éq. aux dimensions :UW

L

U2

a

p0

ρHg f0U

νW

H2

Ordre de grandeur : 10´7 10´5 10 10 10´3 10´15

On obtient alors l’équation hydrostatique qui est l’équilibre entre la force de gravité et la

force de gradient de pression :

0 “ ´1

ρ

Bp

Bz´ g


Étape 2 : Analyse dimensionnelle horizontale :

Selon x :du

dt

uv tanφ

a

uw

a

1

ρ

Bp

Bx2Ωv sinφ 2Ωw cosφ Ffx

Selon y :dv

dt

u2 tanφ

a

vw

a

1

ρ

Bp

By2Ωu cosφ Ffy

Éq. aux dimensions :U2

L

U2

a

UW

a

δp

ρLf0U f0W

νU

H2

Ordre de grandeur : 10´4 10´5 10´8 10´3 10´3 10´6 10´12

Au premier ordre, on remarque que l’accélération de Coriolis et celle associée au gradient

de pression horizontal ont le même ordre de grandeur („10´3). On peut alors simplifier

l’équation du mouvement horizontal et obtenir l’équilibre géostrophique :

0 “ ´1

ρ

Bp

Bx` fv (3.40a)

0 “ ´1

ρ

Bp

By´ fu (3.40b)

On peut alors définir le vent géostrophique :

vg “1

fρ

Bp

Bx(3.41a)

ug “´1

fρ

Bp

By(3.41b)

Et sous forme vectorielle :

~vg “1

fρk ˆ∇p (3.42)

Remarques :

i. L’équilibre géostrophique démontre l’importance de la force de Coriolis et de la force

du gradient de pression.

ii. Le vent est géostrophique lorsque le vent n’accélère pas. C’est-à-dire que si le vent

change de vitesse ou de direction, il n’est plus géostrophique.

iii. |~vg| est inversement proportionnel au paramètre de Coriolis f .


iv. Si on connait le gradient de pression horizontal, il est possible de calculer le vent

géostrophique. ~vg est toujours parallèle aux isobares avec les plus grandes valeurs à sa

droite.

Équilibre géostrophique

L H

p0 - ∆ p p0 p0 + ∆ p

~GP

-~CO

6

~vg

Déséquilibre géostrophique - frottement La force de frottement diminue la vitesse

L H

p0 - ∆ p p0 p0 + ∆ p

~GP

-~CO

@@I

~v

du vent et engendre une diminution de la force de Coriolis sans changer la force de

gradient de pression. Le vent n’est plus géostrophique.

v. À l’équateur, le vent géostrophique serait beaucoup trop fort p8q d’après (3.42) parce

que f “ 0. L’équilibre n’est plus valide :

— L’échelle de pression utilisée est fausse.

— L’ordre de grandeur de temps est faux.

La variation horizontale de pression dans les tropiques est beaucoup plus petite qu’aux

latitudes moyennes. Aux latitudes moyennes, les forces dominantes sont les forces de

Coriolis et de gradient de pression.


3.2.4 Vent agéostrophique

L’équilibre géostrophique implique que le vent n’accélère pas. Pour connaitre l’accélé-

ration de la vitesse du vent, on doit appliquer l’analyse dimensionnelle au deuxième ordre.

Pour ce faire, nous allons considérer le deuxième plus grand terme de l’analyse dimension-

nelle horizontale (ordre de grandeur > 10´4). L’accélération du vent apparait dans l’analyse

dimensionnelle au deuxième ordre :

du

dt“ ´

1

ρ

Bp

Bx` fv (3.43a)

dv

dt“ ´

1

ρ

Bp

Bx´ fu (3.43b)

On remarque que l’équilibre géostrophique n’est plus valide lorsqu’il y a accélération

du vent. Dans un tel cas, le vent à une composante agéostrophique. On définit alors le vent

réel de cette façon :

~v “ ~vg ` ~vag (3.44)

où ~vg est le vent géostrophique et ~vag, le vent agéostrophique.

Dérivons le vent agéostrohpique. Premièrement, on écrit l’équation de la quantité de

mouvement sur l’échelle synoptique :

d~v

dt“ ´

1

ρ∇zp´ fk ˆ ~v

d~v

dt“ ´

1

ρ∇zp´ fk ˆ p~vg ` ~vagq

Par définition le vent géostrophique est

~vg “1

fρk ˆ∇zp

Multiplions de chaque côté par kˆ afin d’isoler le gradient de pression horizontal :

fk ˆ ~vg “ ´1

ρ∇zp

On obtient qued~v

dt“ ´fk ˆ ~va (3.45)

En appliquant l’identité vectorielle kˆ de chaque côté de l’égalité, on obtient le vent

agéostrophique :

~va “1

fk ˆ

d~v

dt(3.46)


Exemple d’un coeur de courant jet :

- - - - --6 d~v

dt

~va

?d~vdt

~va@@R~v

~v

Entrée Sortie

3.2.5 Nombre de Rossby

Comment savoir si l’atmosphère est à l’équilibre géostrophique ? Physiquement, on a

vu que l’équilibre géostrophique suppose une accélération du vent négligeable. Donc, si

on compare l’ordre de grandeur de l’accélération du vent avec l’ordre de grandeur du para-

mètre de Coriolis, on obtient de l’information sur la validité de l’équilibre géostrophique.

Par exemple, si l’accélération est plus importante que la force de Coriolis, l’écoulement

n’est pas géostrophique. Ceci nous amène à définir le nombre de Rossby :

Ro “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d~V

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

|fk ˆ ~V |„U2L

foU„

U

foL(3.47)

— Pour un petit Ro (Ro ăă 0, 1), le vent horizontal est approximativement géostro-

phique, car la force de Coriolis est 10 fois plus importante que l’accélération du

vent.

— Pour un grand Ro (Ro ą 0, 1), le vent horizontal n’est pas géostrophique, car l’accé-

lération du vent est plus importante que la force de Coriolis.


Exemple 3-3 Comparer le terme de la courbure de la Terre u2 tanφa et la force de Coriolis

pour un projectile envoyé vers l’est à une vitesse de 1000 m/s sur une latitude de 45oN.

Quelle sera la déviation associée à son déplacement vers l’est d’une distance de 1000 km

causé par ces 2 termes ? Est-ce qu’il est possible de négliger le terme de courbure de la

Terre ? Pourquoi ?


Exemple 3-4 Le vent géostrophique est

~vg “1

ρfk ˆ∇p

a) Développer en ses composantes.

b) Calculer le gradient de pression horizontal si la densité de l’air est 1 kg/m3 et que le

vent géostrophique souffle à 20 m/s vers le nord-est. Supposer que φ “ 45˝.

c) À l’aide d’un schéma, montrer la direction du vent géostrophique par rapport aux

isobares et la direction du gradient de pression.


3.3 Applications de l’équation du mouvement

3.3.1 Coordonnée verticale de pression

Il est parfois plus simple d’utiliser la pression comme coordonnée verticale, car elle per-

met d’éliminer la densité dans les équations du mouvement. Ce changement de coordonnée

verticale va nous permettre d’analyser le changement de hauteur du géopotentiel sur une

surface de pression constante.

- x

*y

6z

p0 `∆p

p0z constant

p constant

On cherche à représenter un champ de hauteurs géopotentielles sur une surface de

pression constante. Appliquons la différentielle de pression sur une surface de pression

constante :

pdpqp “

ˆ

Bp

Bx

˙

y,z

dxp `

ˆ

Bp

By

˙

x,z

dyp `

ˆ

Bp

Bz

˙

x,y

dzp “ 0 (3.48)

Cette expression est nulle car on analyse une surface de pression constante. Les indices

indiquent les variables qui sont gardées constantes.

Vu que la hauteur du géopotentiel varie en x et y sur une surface de pression constante,

on peut développer dzp :ˆ

Bp

Bx

˙

y,z

dxp `

ˆ

Bp

By

˙

x,z

dyp `

ˆ

Bp

Bz

˙

x,y

«

ˆ

Bz

Bx

˙

y,p

dxp `

ˆ

Bz

By

˙

x,p

dyp

ff

“ 0

Les termes en dxp et dyp sont maintenant combinés :«

ˆ

Bp

Bx

˙

y,z

`

ˆ

Bp

Bz

˙

x,y

ˆ

Bz

Bx

˙

y,p

ff

dxp `

«

ˆ

Bp

By

˙

x,z

`

ˆ

Bp

Bz

˙

x,y

ˆ

Bz

By

˙

x,p

ff

dyp “ 0

On obtient alors queˆ

Bp

Bz

˙

x,y

ˆ

Bz

By

˙

x,p

“ ´

ˆ

Bp

By

˙

x,z

etˆ

Bp

Bz

˙

x,y

ˆ

Bz

Bx

˙

y,p

“ ´

ˆ

Bp

Bx

˙

y,z


Il est à noter qu’on ne peut pas annuler les Bz car ils ne sont pas égaux. Supposer que

∆p

∆x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z0

`∆p

∆zA

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x0

∆zB∆x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

p0

“ 0

- x

6

z

p0 ` 2∆p

p0 `∆p

p0

p0 ´∆p

z0

x0

ÒÓ

∆zBÒÓ

∆zA

Ð Ñ∆x

En utilisant l’équation hydrostatique, on obtient que

´ρg

ˆ

Bz

Bx

˙

y,p

“ ´

ˆ

Bp

Bx

˙

y,z

et ´ ρg

ˆ

Bz

By

˙

x,p

“ ´

ˆ

Bp

By

˙

x,z

Donc, on en déduit que la variation de pression sur une hauteur constante a la même ten-

dance que la variation de hauteur sur une surface de pression.

´1

ρ

ˆ

Bp

Bx

˙

y,z

“ ´g

ˆ

Bz

Bx

˙

y,p

“ ´

ˆ

BΦ

Bx

˙

y,p

(3.49a)

´1

ρ

ˆ

Bp

By

˙

x,z

“ ´g

ˆ

Bz

By

˙

x,p

“ ´

ˆ

BΦ

By

˙

x,p

(3.49b)

3.3.2 Vent géostrophique

L’équation du mouvement horizontal sans friction sur une hauteur constante est :

d~v

dt“ ´

1

ρ∇zp´ fk ˆ ~v (3.50)

où seules les forces de gradient de pression (par unité de masse) et de Coriolis (par unité

de masse) sont présentes.

On peut alors ré-écrire l’accélération causée par la force de gradient de pression hori-

zontal :~Fgp “ ´∇pΦ (3.51)


On voit que la force de gradient de pression en coordonnées verticales de ne dépend plus

de la densité. Ceci simplifie énormément les équations et est la raison principale d’adopter

un tel système de coordonnées. On peut alors réécrire (3.50) :

d~v

dt“ ´∇pΦ´ fk ˆ ~v (3.52)

En supposant une accélération nulle, on obtient le vent géostrophique sur une surface de

pression consante :

~vg “1

fk ˆ∇pΦ (3.53)

Il est beaucoup plus facile d’estimer le vent géostrophique sur une carte météorologique

en coordonnée de pression, car on a les lignes de géopotentiel et on n’a plus besoin de

connaître la densité. Alors, le vent géostrophique est parallèle aux géoptentiels (Φ) et sa

grandeur est proportionnelle au gradient de géopotentiel et inversement proportionnelle à

f comme pour le vent géostrohpique sur une hauteur constante.

3.3.3 Vent thermique

Il existe deux principaux équilibres dans l’atmosphère à l’échelle synoptique : l’équi-

libre géostrophique (force de Coriolis en équilibre avec force de gradient de pression) pour

un mouvement horizontal et l’équilibre hydrostatique pour un mouvement vertical. Com-

binons ces deux équilibres :

p0 = 1000 hPa(((

(((((((

(((((((

(((((((

(((((( p = 500 hPa

p = 300 hPa

6

Hauteur

6

?

Nord (Froid)

∆zNord

6

?

Équateur (Chaud)

∆zSud X

jxa


— L’air chaud occupe plus d’espace que l’air froid. Donc, une colonne d’air chaud sera

plus épaisse qu’une colonne d’air froid.

— Sur la figure, la distance entre la surface de 1000 hPa and 800 hPa devrait être plus

grande à l’équateur qu’aux pôles. Donc, la surface de pression descend vers les pôles.

Même chose entre la surface de 800 hPa et 500 hPa : la pente devrait être encore plus

accentuée. La même logique peut être appliquée aux surfaces géopotentielles.

— On voit que la force gradient de pression augmente en altitude (pente de la surface

de pression plus accentuée) ce qui fait augmenter la grandeur du vent géostrophique.

On en déduit qu’il y a un lien entre le cisaillement du vent géostrophique et le gradient

de température. Dérivons ce lien de manière mathématique.

On sait que le vent géostrophique sur une surface de pression constante est :

~vg “1

fk ˆ∇pΦ

Dérivons-le par rapport à p, on trouve :

B ~vgBp

“1

fk ˆ∇p

BΦ

Bp(3.54)

On remarque qu’on peut ré-écrire l’équation hydrostatique en terme de Φ :

Bp

Bz“ ´ρg ùñ Bp “ ´ρBΦ ùñ ´

RT

p“BΦ

Bp

On remplace dans (3.68) et on obtient que

B ~vgBp

“ ´R

fpk ˆ∇pT (3.55)

Par définition, le vent thermique est le cisaillement vertical du vent géostrophique :

~vT ” ~vg2 ´ ~vg1 (3.56)

Alors on doit intégrer (3.55) entre le niveau de pression 1 et 2 :ż vg2

vg1

B ~vg “ ´

ż p2

p1

R

fk ˆ∇pTB ln p

~vT “ ~vg2 ´ ~vg1 “R

flnp1

p2k ˆ∇T

(3.57)


Et dans ses composantes :

uT “ ´R

fln

ˆ

p1

p2

˙ˆ

BT

By

˙

(3.58a)

vT “R

fln

ˆ

p1

p2

˙ˆ

BT

Bx

˙

(3.58b)

On remarque que le vent thermique, cisaillement vertical du vent géostrophique est pro-

portionnel à la température moyenne de la couche d’air. D’après la relation hypsométrique,

il est relié à l’épaisseur de cette couche. Il souffle toujours parallèlement aux isobares.

Advection de température

L’advection de température est le transport horizontal de masse d’air dans le temps qui

mène à un changement de température à un endroit donné. Il y a advection de température

lorsque le vent souffle à travers les isobares :FROID

CHAUD

6

y-

~VT

@@@R

~vgsfc ~vghaut

-~vT

@@@I

~vgsfc ~vghaut

mA

mB1) Si on connaît la direction du vent thermique, on peut déterminer le signe de l’advec-

tion de température géostrophique dans une colonne d’air.

A- Le vent géostrophique tourne dans le sens anti-horaire en altitude, causant une advec-

tion froide de température.

B- Le vent géostrophique tourne dans le sens horaire en altitude, causant une advection

chaude de température.

2) On peut estimer l’advection de température p´~vg ¨∇T q en utilisant la direction du

vent moyen : ~vg´moy “1

2

`

~vg´haut ` ~vg´bas˘

.


Définitions :

i. Atmosphère barotrope : La densité ne varie pas sur un niveau pression donné et il n’y

a pas de gradient de température. dépend seulement de la pression.

Ñ ∇T = 0 et le vent thermique est 0.

ii. Atmosphère équivalente-barotrope : La densité ne varie pas avec la pression et il y a

une gradient de température. Les isothermes et isobares sont parallèles. Il n’y a pas

d’advection de température.

Ñ ∇T ‰ 0 et le vent thermique ( ‰ 0) est perpendiculaire au gradient de température.

(cisaillement du vent vertical)

6

y- x

p0 ´∆p

p0

ρ0 ´∆ρ

ρ0

iii. Atmosphère barocline : La densité dépend de la pression et de la température. Les

isothermes et les isobares se croisent. Il y a advection de température.

Ñ ∇T ‰ 0 et le vent thermique ‰ 0 mais il y a un cisaillement vertical de la direction

du vent géostrophique. (cisaillement du vent vertical)

6

y- x

p0 ´∆p

p0

AA

AA

AA

ρ0 ´∆ρ

AA

AA

AA

ρ0

ö


Exemple 3-5 La température moyenne de la couche d’air 750 hPa et 500 hPa décroît

vers l’est à un taux de 3˝C par 100 km. Calculer le vent géostrophique à 500 hPa si le vent

géostrophique à 750 hPa est 20 m/s vers le sud-est. Supposer f “ 10´4s´1.


Exemple 3-6 À partir de l’équilibre du vent thermique, expliquer pourquoi les vent do-

minants vont vers l’est dans l’hémisphère nord. Est-ce que c’est dans la même direction

dans l’hémisphère sud ?

1) Comme la Terre n’est pas réchauffée également par le soleil, il y a un gradient de

température entre les pôles et l’équateur.

∇HT “ ´

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

BT

By

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

j

FROID

CHAUD

6

y

T0 ´∆T

T0

T0 `∆T

2) L’air chaud occupe plus d’espace que l’air froid. Donc, une colonne d’air chaud sera

plus épaisse qu’une colonne d’air froid. En effet, sur la figure, la distance entre les surfaces

de 1000 hPa et 500 hPa est plus grande à l’équateur qu’aux pôles. Donc, la hauteur de

surface de pression diminue vers les pôles. C’est la même chose entre les surfaces de 500

hPa et 300 hPa avec une pente encore plus accentuée.

p0 = 1000 hPa((((

(((((((

(((((((

(((((((

((((( p = 500 hPa

p = 300 hPa

6

Hauteur

6

?

Nord (Froid)

∆ZNord

6

?

Équateur (Chaud)

∆ZEq X

jxa


3) Ce gradient de température engendre un gradient de hauteurs géopotentielles,

∇pz “ ´

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bz

By

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

j

ce qui engendre un vent géostrophique zonal :

~vg “g

f

ˆ

´Bz

Byi`

Bz

Bxj

˙

“ |ug |i

Ouest Est x-

6

Z

-

-

-

et ce gradient de température implique que la variation de hauteur est plus grande en

altitude qu’à la surface. Alors,

ug|300hPa ą ug|1000hPa

4) Ainsi, le vecteur résultant ug|haut ´ ug|bas sera dirigé vers l’est (provient de l’ouest).

C’est pourquoi le vent dominant dans l’atmosphère souffle de l’ouest vers l’est.

FROID

CHAUD

6

y

ă T0 ´∆T ą

ă T0 ą

ă T0 `∆T ą

-ug|haut

- ug|bas

-uT

Si le vent géostrophique à la surface est beaucoup plus petit qu’en altitude, les vents

dominants vont de l’ouest vers l’est. Dans l’hémisphère sud, le paramètre de Coriolis est

négatif car (φ ă 0) et le gradient de température est inversé. Alors, le vecteur cisaillement

du vent vertical est dirigé dans la même direction que dans l’hémisphère nord.


3.3.4 Écoulement courbé

En réalité, l’utilisation de l’équilibre géostrophique n’est pas toujours réellement appli-

cable, car il suppose un écoulement linéaire. Or, autour des anticyclones et des dépressions,

l’écoulement est courbé : une accélération centripète est introduite avec la force du gradient

de pression. D’après (3.20), l’accélération du vent horizontal est donné par :

d~v

dt“ ´∇zΦ´ fk ˆ ~v

Coordonnées naturelles

Il est plus simple d’utiliser les coordonnées naturelles pour l’étude de l’accélération du

vent dans les courbes. Dans le système de coordonnées naturelles, s suit l’écoulement, n

Φ0

Φ0-∆Φ

6

-

n

s

6

-

n

s

r–R <0 r+R >0

est normal à l’écoulement et à la gauche de s, et k est vertical. ~V “ V s où V “dl

dtdans la

direction de s. L’accélération du vent suivant l’écoulement est donnée par :

d~V

dt“dV

dts` V

ds

dt(3.59)

Le termeds

dt“ds

dl

dl

dt, alors δψR “ δl et δψ|s| “ |δs|.

HHHHHH

δψ δl

R

s

AAAK

s` δs

sAAAK

s` δs

δs

δψ

On isole δψ pour obtenir|δs|

δl“

1

Ret pointe dans la direction normale à l’écoulement.Alors,

ds

dt“ds

dl

dl

dt“n

RV


et l’accélération devientd~V

dt“dV

dts`

V 2

Rn (3.60)

oùdV

dts est l’accélération d’une parcelle d’air selon l’écoulement et

V 2

Rn est l’accélération

centripète due à la courbure de l’écoulement.

On peut maintenant simplifier l’équation pour faciliter l’analyse du vent :

‚ Force de Coriolis en coordonnées naturelles :

Étant donné que l’écoulement suit s et que la force de Coriolis est à 90˝ (perpen-

diculaire à droite) de l’écoulement, on aura que ~Fco va pointer dans la direction de

ń :~Fco “ ´fk ˆ ~V “ ´fV n (3.61)

‚ Force de gradient de pression en coordonnées naturelles :

Étant donné que la force de gradient de pression peut varier dans les deux directions :

~Fgp “ ´∇Φ “ ´

ˆ

BΦ

Bss`

BΦ

Bnn

˙

(3.62)

En utilisant (3.61) et (3.62), on obtient l’accélération en coordonnées naturelles :

d~V

dt“dV

dts`

V 2

Rn “ ´

ˆ

BΦ

Bss`

BΦ

Bnn

˙

´ fV n (3.63)

En faisant correspondre les termes selon s de (3.63), on trouve l’accélération du vent

parallèle à l’écoulement :dV

dt“ ´

BΦ

Bs(3.64)

et en faisant correspondre les termes selon n de (3.63), on trouve l’accélération du vent

perpendiculaire à l’écoulement :

V 2

R` fV “ ´

BΦ

Bn(3.65)

Note : Pour un cas particulier où l’écoulement est parallèle au isohypsesˆ

BΦ

Bs“ 0

˙

et

que la vitesse du vent est constante selon l’écoulementˆ

dV

dt“ 0

˙

, on peut étudier le vent

en se référant seulement au changement normal à l’écoulement (3.65).


Donc, dépendamment de la contribution relative des trois forces normales à l’écoule-

ment (force de Coriolis, force de gradient de pression, force centrifuge), trois types de

vents différents peuvent décrire la situation.

3.3.5 Vent géostrophique

Étant donné que le vent géostrophique n’accélère pas et qu’il souffle seulement en ligne

droite, l’accélération centrifuge est nulle : RÑ 8 ùñV 2

R“ 0.

(3.65) devient :

fV “ ´BΦ

Bn

où la force de gradient de pression et la force de Coriolis sont en équilibre. C’est l’équilibre

géostrophique.

Vg “ ´1

f

BΦ

Bn(3.66)

On voit que le vent dépend du gradient du géopotentiel normal à l’écoulement.

Φ0

Φ0-∆Φ6

-

n

s-Vg

3.3.6 Vent cyclostrophique

À petite échelle horizontale, en basse latitude (près de l’équateur), la force de Coriolis

à une très petite influence sur l’équilibre du vent : f “ 0 ùñ fV “ 0. L’équation (3.65)

devient :V 2

R“ ´

BΦ

Bn

où la force centrifuge et la force de gradient de pression sont en équilibre. C’est l’équi-

libre cyclostrophique.

V “

ˆ

´RBΦ

Bn

˙12

(3.67)


Pour avoir une solution physique (V ą 0), il faut une racine carrée réelle donc ´RBΦ

Bną

0.

6

V

L -

CENGP

n

?

V

L --CENGP

n

R ą 0 etBΦ

Bnă 0 R ă 0 et

BΦ

Bną 0

Un écoulement cyclostrophique est associé à une force centrifuge beaucoup plus impor-

tante que la force de Coriolis. Si on fait le ratio des deux forces, on obtient le nombre de

Rossby (voir section 3.2.5, p.52) :

Ro “

ˆ

V 2

R

˙

fV“

V

Rf

Exemple : Tornade

V “ 100 m/s, R “ 1000 m et f » 10´4 s´1, Ro “100 m/s

10´4 s´1 ¨ 1000 m= 103

Donc, le vent associé aux tornades est en équilibre cyclostophique (grand nombre de

Rossby), ce qui implique qu’elles peuvent tourner autant dans le sens horaire que dans le

sens anti-horaire. Par contre, en pratique, les parcelles d’air associées aux tornades arrivent

de systèmes convectifs avec un tourbillon positif. Il y a donc un vortex positif de généré

(sens anti-horaire).

3.3.7 Vent gradient

Lorsqu’aucune force ne peut être négligée, la force de gradient de pression, la force de

Coriolis et la force centrifuge sont en équilibre. On a que :

V 2

R` fV `

BΦ

Bn“ 0 (3.68)


Vent gradient :

V “ ´fR

2˘

ˆ

f2R2

4´R

BΦ

Bn

˙12

(3.69)

La direction de V va dépendre de la direction de R. Encore une fois, pour avoir une

solution physique (V ą 0), il faut une racine carrée réelle doncf2R2

4´R

BΦ

Bną 0.

Tableau 1 : Possibilités pour le vent gradient

R ą 0 R ă 0

BΦ

Bną 0 ` 1.a

Impossible

´ 1.b

Impossible

` 2.a

Possible´ 2.b

Impossible

BΦ

Bnă 0 ` 3.a

Possible´ 3.b

Impossible

` 4.a

Possible´ 4.b

Possible

Cas 1)BΦ

Bną 0 et R ą 0

D’après (3.69), on a que V “ ´fR

2loomoon

ă0

˘

ˆ

f2R2

4loomoon

ą0

´RBΦ

Bnloomoon

ă0

˙12

ùñfR

2ą

ˆ

f2R2

4´R

BΦ

Bn

˙12

Donc, pour 1.a) et 1.b), pour avoir une solution mathématiquef2R2

4´ R

BΦ

Bną 0. La

solution donnera toujours un V ă 0 car R > 0. Ce ne sont pas des solutions physiques.

Cas 2)BΦ

Bną 0 et R ă 0

D’après (3.69), on a que V “ ´fR

2loomoon

ą0

˘

ˆ

f2R2

4loomoon

ą0

´RBΦ

Bnloomoon

ą0

˙12

ùñfR

2ă

ˆ

f2R2

4´R

BΦ

Bn

˙12

‚ Pour 2.b) où ´?, V ă 0. Ce n’est pas une solution physique.

‚ Pour 2.a) où ´?, V ą 0. C’est une solution physique.


Raisonnement :

— V tourne dans le sens horaire car R ă 0. (On peut donc définir la direction de

n)

— ~Fgp est dirigée vers l’intérieur carBΦ

Bną 0.

— ~Fco est dirigée vers l’intérieur à droite du vent (hémisphère nord).

— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fco et ~Fgp.

ùñ Dépression anormale : pas observée dans la nature

?

V

L -- CEN

GPnCo

Cas 3)BΦ

Bnă 0 et R ą 0

D’après (3.69), on a : V “ ´fR

2loomoon

ă0

˘

ˆ

f2R2

4loomoon

ą0

´RBΦ

Bnloomoon

ą0

˙12

ùñfR

2ă

ˆ

f2R2

4´R

BΦ

Bn

˙12

‚ Pour 3.b) où ´?, V ă 0. Ce n’est pas une solution physique.

‚ Pour 3.a) où `?, V ą 0. C’est une solution physique.

Raisonnement :

— V tourne dans le sens anti-horaire car R ą 0. (On peut donc définir la direction

de n)

— ~Fgp est dirigée vers l’intérieur carBΦ

Bnă 0.

— ~Fco est dirigée vers l’extérieur à droite du vent (hémisphère nord).

— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fgp.

ùñ Dépression normale.6

V

L -

-CENGP

n

Co


Cas 4)BΦ

Bnă 0 et R ă 0

D’après (3.69), on a que : V “ ´fR

2loomoon

ą0

˘

ˆ

f2R2

4loomoon

ą0

´RBΦ

Bnloomoon

ă0

˙12

Pour avoir une solution

mathématique, une contrainte s’applique :f2R2

4´ R

BΦ

Bną 0. En supposant que la

contrainte est respectée,

‚ Pour 4.a) où `?, on a que V ě ´fR

2. C’est une solution physique.

Schématiquement :


n)

— ~Fgp est dirigée vers l’extérieur carBΦ

Bnă 0.


— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fco.

Il faut faire attention à l’importance relative des termes.

On peut les réarranger et les multiplier par V : 2V 2

Rě ´fV . On voit bien que ~Fcen

est deux fois plus importante que ~Fco. Donc, ~Fcen doit être plus grande que ~Fgp.

ùñ Anticyclone anormal. ùñ Anticyclone normal.

?

V

H --

- GPCo

n

CEN

?

V

H --- GPCo

n

CEN

‚ Pour 4.b) où ´?, on a que V ď ´fR

2. C’est une solution physique.

Raisonnement :


n)

— ~Fgp est dirigée vers l’extérieur carBΦ

Bnă 0.


— ~Fcen est dirigée vers l’extérieur pour équilibrer ~Fco.

Au contraire, pour V ď ´fR

2, ~Fgp doit être plus grande que ~Fcen.


Conséquences :

i. Contrainte sur l’équilibre des forces autour d’un système de haute pression :f2R2

4´R

BΦ

Bną 0 (3.70)

On obtient une contrainte sur le gradient de pression d’un anticyclone qui dépend

de sa position et de son rayon de courbure. Dans un anticyclone, le gradient de

pression a une limite à son intensité. C’est pourquoi un anticyclone est associé

à des vents calmes. Par contre, pour une dépression, il n’y a pas de contrainte.

On peut donc observer des vents beaucoup plus forts, dus à un grand gradient de

pression.

ii. Si on inclut le vent géostrophique en coordonnées naturelles (3.53) dans l’équi-

libre du vent gradient (3.68), on obtient :V 2

R` fV ´ fVg “ 0 (3.71)

Et on peut ainsi obtenir le vent agéostrophique :

Va “ V ´ Vg “ ´1

f

V 2

R(3.72)

On voit que le vent agéostrophique dépend de la force centrifuge. Ceci explique

pourquoi il y a une accélération du vent dans des régions de fortes courbures.

— Pour un R ă 0 (circulation horaire), on aura que V ą Vg : Vent super-

géostrophique.

— Pour un R ą 0 (circulation anti-horaire), on aura que V ă Vg : Vent sous-

géostrophique.

Φ0

Φ0-∆Φ

Φ0+∆Φ

rR <0

rR >0

-

-

JJJ

-

-

JJ

Explique les zones de convergence et divergence en altitude (p < 500 hPa) et donc le

mouvement des vents verticaux qui influencent le temps qu’il fait.


Exemple 3-7 Calculer le vent géostrophique (m/s) pour un gradient de pression de 1

kPa/103km. Comparer avec toutes les possibilités de vitesse de vent gradient pour le même

gradient de pression et pour un rayon de courbure de ˘500 km. Suppoer que ρ=1 kg m´3

et f=10´4 s´1.


3.4 Conservation de la masse

Dérivation de l’équation de continuité : Considérons un bassin d’eau où l’eau y rentre

et s’écoule à cause d’une fuite. Pour estimer le taux de remplissage du bassin, il faut avoir

une idée du taux de l’eau qui entre et du taux de la fuite (eau qui sort). On peut écrire la

variation de l’eau dans le bassin comme étant :

Bmeau

Bt“ Flux entrant´ Flux sortant

Représentation mathématique : On considère un cube infinitésimal, fixe dans l’espace, et

où l’air s’écoule à travers le cube. On peut dériver en série de Taylor afin de déterminer

- -

δx

δy

δzrρuEntrée Sortieρu = le flux d’air au centre du cube selon xρ = densité de l’airu = vitesse de l’air

le flux de masse à l’entrée du cube :„

ρu´B

Bxρuδx

2

δyδz et à la sortie„

ρu`B

Bxρuδx

2

δyδz

Le taux d’accumulation de masse à l’intérieur du cube est la différence entre ce qui entre

et ce qui sort du cube :

BMx

Bt“

„

ρu´B

Bxρuδx

2

δyδz ´

„

ρu`B

Bxρuδx

2

δyδz

Alors,BMx

Bt“ ´

B

Bxpρuqδxδyδz

On peut faire les mêmes suppositions selon y et z, respectivement,

BMy

Bt“ ´

B

Bypρuqδxδxδz

etBMz

Bt“ ´

B

Bzpρuqδxδxδy


Le taux net d’accumulation de masse dans le cube est

BM

Bt“ ´

„

Bpρuq

Bx`Bpρvq

By`Bpρwq

Bz

δxδyδz

Si le cube a un volume δxδyδz, l’équation de continuité sous forme de divergence de la

masse :Bρ

Bt“ ´

ˆ

Bpρuq

Bx`Bpρvq

By`Bpρwq

Bz

˙

“ ´∇ ¨ pρ~vq (3.73)

En développant le terme de droite de (3.73), on trouve :

∇ ¨´

ρ~V¯

“ ρ∇ ¨ ~V ` ~V ¨∇ρ (3.74)

En insérant (3.74) dans (3.73), on obtient :

Bρ

Bt` ρ∇ ¨ ~V ` ~V ¨∇ρ “ 0 (3.75)

On obtient finalement l’équation de continuité sous forme de la divergence de la masse :

1

ρ

dρ

dt`∇ ¨ ~V “ 0 (3.76)

Implications :

i. Un fluide ou une parcelle d’air qui ne change pas de densité lors de son mouvementˆ

dρ

dt“ 0

˙

est un fluide incompressible. On voit bien qu’un fluide incompressible est

non-divergent´

∇ ¨ ~V “ 0¯

. L’idéal serait de ne pas avoir à faire de supposition sur la

compressibilité.

ii. L’atmosphère est un fluide compressible. Lorsqu’il y a un mouvement vertical, la com-

pressibilité associée avec la variation de ρ doit être prise en compte.


-

6

?

∇ ¨ ÝÑV <0

Volume = V = ∆x∆y∆z

∆x

∆y

∆z

Volume’ = V’ = ∆x1∆y1∆z1∆x1

∆y1

∆z1

V’ <V

∆x1 <∆x

∆y1 <∆y

∆z1 <∆z

ρ augmente

Considérons la figure ci-haut où par définition le bas et le haut du cube ont des niveaux

de pression p et p`∆p. Le volume de cette parcelle d’air devient alors

δV “´δxδyδp

ρg(3.77)

où on a utilisé l’équation hydrostatique pδp “ ´ρgδzq.

Vu que la masse de la parcelle ne change pas durant son déplacement pδM “ 0q, on peut

adopter la forme lagrangienne de la masse : δM “ ρδV “´δxδyδp

g. On obtient :

dδM

dt“ 0

“d

dt

ˆ

´δxδyδp

g

˙

“1

δxδyδp¨

ˆ

dpδxq

dtδyδp`

dpδyq

dtδxδp`

dpδpq

dtδxδy

˙

(3.78)

Sachant que,dpδxq

dt“ δu,

dpδyq

dt“ δv et

dpδpq

dt“ δω, (3.78) devient :

δu

δx`δv

δy`δω

δp“ 0 (3.79)

Si on prend la limite Ñ 0, on obtient la forme isobarique de l’équation de continuité :

Bu

Bx`Bv

By`Bω

Bp“ 0 (3.80)

Sachant que ∇ ¨ ~Vh “Bu

Bx`Bv

By, On peut réarranger (3.80) :

∇ ¨ ~Vh “ ´Bω

Bp(3.81)


Supposons qu’une convergence horizontale réduise l’aire horizontale d’une parcelle

d’air confinée entre 2 surfaces de pression constante. Dans ce cas, la masse du volume

matériel ne change pas (car les surfaces de pression ne changent pas). La masse totale par

unité d’aire contenue dans la parcelle d’air est constante car l’atmosphère est hydrosta-

tique. La colonne d’air doit donc s’étirer verticalement pour compenser la réduction de

l’aire horizontale. Donc, le volume se comporte comme étant incompressible. On compare

avec l’équation en coordonnées cartésiennes :

-

∇ ¨ ÝÑV <0

Aire = A = ∆x∆y

∆x

∆y

∆p et ∆z

A

Aire = A’ = ∆x1∆y1∆x1

∆y1

∆p et ∆z1

A1

A’ <A

∆p is constant

∆z >∆z1

La vitesse verticale en utilisant l’altitude en coordonnées verticales est

w “dz

dt

La vitesse verticale en utilisant la pression en coordonnées verticales est

ω “dp

dt“Bp

Bt`ÝÑV ¨∇p` wdp

dz

Si on applique une analyse à l’échelle, le changement de pression vertical est un ordre de

grandeur plus grand que le changement de pression horizontal. Alors, on peut supposer que

ω „ wdp

dz„ ´gρw

Des valeurs typiques de vitesse verticale sur l’échelle synoptique sont w = 0.01 m/s = 1

cm/s et ω = 0.1 Pa/s = 1 µbar/s.


3.4.1 Analyse de l’équation de continuité

On peut intégrer l’équation de continuité (3.81) de la surface à un niveau de pression p :

ż ωh

ωs

Bω “ ´

ż ph

ps

δ ¨ Bp

On obtient :

ωppq “ ωs ´

ż ph

ps

δ ¨ Bp (3.82)

En connaissant la vitesse verticale à la surface, il est possible de l’estimer à tous les

niveaux. De façon générale cependant, la vitesse verticale est nulle à la surface (ωs “ 0).

Par exemple, supposons une situation où on a de la divergence (δ ą 0) en altitude et de la

convergence (δ ă 0) à la surface et que ω=0 à la surface et au sommet de l’atmosphère : In-

6

-

-

ωtop „ 0

ωsfc “ 0

tuitivement, on voit que la masse est conservée et donc, qu’il y a un mouvement ascendant.

De façon plus rigoureuse, on peut arriver au même résultat avec l’équation de continuité.

On suppose que la divergence varie linéairement avec la pression. Ceci implique que δ »

0 à p » 500 hPa. Vu que la divergence varie linéairement avec la pression, le profil vertical

de vitesse verticale (omega) aura un maximum au milieu de l’atmosphère. En supposant

que ω » 0 à la surface et à la tropopause.

? -

– +0δ

δ „0Ñ p „ 500 hPa

p

psfc

ptop

? -

p

– +0ω

ωmax Ñ p „ 500 hPa

Donc, de la convergence à la surface est associée à une dépression alors que de la diver-

gence à la surface est associée à un anticyclone.


Ex : Démontrer que l’équation de continuité pour un fluide de densité variable peut être

écrite sous cette forme :1

V

dV

dt“Bu

Bx`Bv

By`Bw

Bz

où V est le volume de la parcelle de fluide.


3.5 Conservation de l’énergie

L’énergie thermique est étudiée à partir de la 1ère loi de thermodynamique où

∆q “ cv∆T ` p∆α (3.83)

où ∆q est le changement de chaleur dans une parcelle d’air. Ce ∆q d’une parcelle d’air est

répartie dans l’énergie interne (cv∆T - volume constant) et dans le travail accompli sur l’air

environnante (p∆α).

On cherche a développer une équation qui représente le changement de température

local :

1) Éq. d’état : pα = RT, on fait la différentielle : αdp` pdα “ RdT - Rappel : cv+R = cp,

travail extern pour changer volume et énergie interne.

2) On remplace dans (4.1) : ∆q “ cv∆T `RdT ´ αdp

3) On divise par ∆T , et on prend la limite où ∆t tends vers 0 :

dq

dt“ cv

dT

dt`R

dT

dt´ α

dp

dt(3.84)

En sachant que cp “ cv ` R, on peut réécrire l’équation de la première loi de la thermo-

dynamique en coordonnées de pression :

9q “ cpdT

dt´ α

dp

dt(3.85)

En développantdT

dten coordonnées de pression verticale :

dT

dt“BT

Bt` u

BT

Bx` v

BT

By` ω

BT

Bp(3.86)

où ω “dp

dt, on obtient que

9q “ cp

ˆ

BT

Bt` u

BT

Bx` v

BT

By` ω

BT

Bp

˙

´ αω (3.87)

Puis, en réarrangeant les termes, on obtient :

BT

Bt“ ´~v ¨∇hT

loomoon

1

`

ˆ

α

cp´BT

Bp

˙

ωlooooooomooooooon

2

`9q

cploomoon

3

(3.88)


‚ Terme 1 : Advection de température horizontale : ´~V ¨∇hT

Advection chaude de T Advection froide de T

10˝C 5˝C 0˝C

∇T

-~v

´~v ¨∇hT “ ´|~v||∇hT | cosα

“ ´|~v||∇hT | cosp180˝q

ą 0

ñBT

Btą 0

10˝C 5˝C 0˝C

∇T

~v

´~V ¨∇hT “ ´|~v||∇hT | cosα

“ ´|~v||∇hT | cosp0˝q

ă 0

ñBT

Btă 0

Remarque : L’advection de température est seulement causée par le vent horizontal.

‚ Terme 2 :ˆ

α

cp´BT

Bp

˙

ω

où σp “

ˆ

α

cp´BT

Bp

˙

est la stabilité statique. Elle dépend de la variation de T avec

l’altitude par rapport au changement de température verticale suivant l’adiabatique

sèche.

La variation de température causée par le mouvement vertical de l’air dépend de la

stabilité statique de l’atmosphère qui est toujours calculée par rapport au gradient

de température vertical de l’adiabatique sèche (Γd). Afin de l’analyser en détail, on

analyse des 2 composantes séparément :ˆ

α

cp´BT

Bp

˙

ω “α

cpω

loomoon

A

´BT

Bpω

loomoon

B

A. Changement adiabatique de température :α

cpω

Correspond à de l’expansion et de la compression adiabatique de l’air associées

au mouvement vertical de l’air. Le termeα

cpest le gradient de température verti-

cale adiabatique sec (Γd). Dérivons-le.

Le gradient de température vertical suivant l’adiabatique sèche est déterminé en

supposant qu’aucune chaleur n’est ajoutée au système, soit ∆q = 0. C’est un


processus adiabatique (aucun transfère de chaleur externe – changement de tem-

pérature seulement dû au travail accompli).

dq

dt“ cp

dT

dt´ α

dp

dt

0 “ cpd lnT

dt´R

d ln p

dt

Si on intègre entre T et θ et entre p et p0 :ż θ

TcpdplnT q “

ż p0

pRdpln pq (3.89)

On obtient la température potentielle :

θ “ T

ˆ

p0

p

˙Rcp

(3.90)

On peut alors dériver la température potentielle par rapport à z :

B ln θ

dz“B lnT

dz`R

cp

ˆ

B ln p0

Bz´B ln p

Bz

˙

(3.91)

Étant donné que p0 est une constante, elle se réduit à :

1

θ

Bθ

Bz“

1

T

BT

Bz´

R

cpp

Bp

Bz

À l’aide de l’équation de l’équilibre hydrostatique et de l’équation des gaz par-

faits, on trouve :T

θ

Bθ

Bz“BT

Bz`g

cp

Si la température potentielle ne varie pas avec l’altitudeˆ

Bθ

Bz“ 0

˙

, le taux de

changement de la température dans une atmosphère “sèche” est

´BT

Bz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d

“g

cp“ Γd “ 9.8˝C ¨ km´1 (3.92)

On peut aussi représenter Γd en terme de variation avec la pression à l’aide de

l’équation hydrostatique :BT

Bp

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d

“α

cp(3.93)

B. Advection de température verticale : ´BT

Bpω

Ici ´BT

Bpest la variation de température de l’air environnent.


Mouvement ascendant Ñ ω ă 0

A.

6

h

Expansion adiabatique

ùñ ωα

cpă 0

ùñBT

Btă 0

Refroidissement adiabatique de l’air

B.

6

pÓ

-

TÑ

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

6ω ă 0

Advection chaude de TÑBT

Bpą 0

ùñ ´BT

Bpω ą 0

ùñBT

Btą 0

Mouvement descendant Ñ ω ą 0

A.

?h

Compression adiabatique

ùñ ωα

cpą 0

ùñBT

Btą 0

Réchauffement adiabatique de l’air

B.

6

pÓ

-

TÑ

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

?

ω ą 0

Advection froide de TÑBT

Bpą 0

ùñ ´BT

Bpω ă 0

ùñBT

Btă 0

Remarque : L’effet de la compression (expansion) adiabatique est toujours de signe

opposé à l’advection verticale de température.


‚ Terme 3 : Chaleur diabatique :9q

cp

¨ Réchauffement (augmentation de la température) :9q

cpą 0

¨ Refroidissement (diminution de la température) :9q

cpă 0

Le réchauffement adiabatique, 9q est important près de la surface.

Calcul du mouvement vertical

Dans le cas particulier où on a une atmosphère sans dégagement/absorption de cha-

leur diabatique´

9Q “ 0¯

, en état stationnaireˆ

BT

Bt“ 0

˙

et à stratification stable (σp ą 0),

l’équation thermodynamique se réduit à :

´ ~vh ¨∇T´σp

“ ω (3.94)

On voit que le terme d’advection de température au numérateur et le paramètre de sta-

bilité au dénominateur sont tous deux reliés à la vitesse verticale de l’air.

Donc, l’advection chaude de température est reliée à un mouvement vertical ascendant

et l’advection froide, à un mouvement vertical descendant. Ces approximations sont assez

importantes mais représentent bien les phénomènes observés. Par contre, un mouvement

d’air ascendant créé par l’advection chaude de température (terme1) va engendrer un re-

froidissement adiabatique de la température (terme 2). Donc, les termes 1 et 2 agissent l’un

contre l’autre.


Ex : Sur une surface de pression à 850 hPa, le vent souffle du sud-est à une vitesse de 50

km/h. Le gradient de température horizontal est 20 ˝C par 300 km vers le sud. Au même

moment, la température à 800 hPa est -10 ˝C et augmente linéairement de 3 ˝C/50 hPa

jusqu’à 900 hPa. Calculer la vitesse verticale de l’air (Pa/s) sur ce niveau de pression en

considérant des conditions adiabatiques et une température locale constante.


3.6 Résumé

On a maintenant simplifié nos équations valides pour les systèmes météorologiques sur

l’échelle synoptique au latitudes-moyennes. Voici un résumé des équations en coordonnées

cartésiennes avec la pression comme coordonnée verticale :

‚ L’équation du mouvement horizontal sans friction :

du

dt“ fv ´

BΦ

Bx

dv

dt“ ´fu´

BΦ

By

où Φ “ gz, z= hauteur sur une surface de pression p etd

dt“B

Bt` u

B

Bx` v

B

By` ω

B

Bp.

‚ L’équilibre hydrostatique :BΦ

Bp“ ´

1

ρ

‚ L’équation d’état :

p “ ρRT

‚ L’équation de continuité :Bu

Bx`Bv

By`Bω

Bp“ 0

‚ L’équation d’énergie :

BT

Bt“ ú

BT

Bx´ v

BT

By` σpω `

9q

cp

‚ La stabilité statique

σp “α

cp´BT

Bp

Si on connait le taux de réchauffement (refroidissement) diabatique, 9q et les variables

qui décrivent l’écoulement sont : u, v, ω, Φ, ρ, T, on a un système équations complet.

C’est-à-dire qu’on a 6 équations et 6 inconnues. Par contre, ce système ne peut être résolu

analytiquement car il comprend des termes non-linéaires. Certains de ces termes sont des

produits entre variables et leurs dérivées.

Dans un premier temps, nous allons les utiliser afin d’étudier le tourbillon dans l’atmo-

sphère. Dans un deuxième temps, il est possible de réduire ces équations à une seule si

l’inconnue est Φ en appliquant des approximations quasi-géostrophiques.

Chapitre 4

Circulation et tourbillon

L’atmosphère est caractérisée par l’omniprésence de plusieurs variétés de fluides tour-

billonnants. Les plus importants tourbillons dans l’atmosphère aux latitudes moyennes sont

les dépressions (cyclones).La circulation et le tourbillon sont deux quantités primaires dans

la mesure de la rotation dans un fluide. La circulation est une quantité intégrale scalaire qui

donne une mesure macroscopique de la rotation d’un élément fluide. Le tourbillon est un

champ vectoriel qui donne une mesure microscopique de la rotation à un point dans un

fluide. Le changement temporel et le changement de la distribution du tourbillon sont fon-

damentalement reliés au temps de vie des dépressions aux latitudes moyennes.

4.1 Théorème de la circulation

Soit un réservoir d’eau de petit rayon R où l’eau est au repos. Si on applique une vi-

tesse tangentielle au réservoir, que va-t-il arriver ? Rotation et Augmentation du moment

angulaire du fluide. On utilise une rame pour donner une vitesse à l’eau. Si on tourne sur la

moitié de la circonférence, le fluide va tourner moins vite que si on applique la vitesse sur

toute la circonférence. Plus on rame sur une grande distance, plus il y aura de circulation

induite. Ceci implique que la circulation dans un fluide dépend de la vitesse de la rame et

de la distance à laquelle la vitesse est appliquée.

La circulation ΓC autour d’un contour fermé C représentant un élément fluide est défi-

nie comme l’intégrale linéaire autour d’un contour fermé qui correspond à la composante

86

CHAPITRE 4. LE TOURBILLON 87

tangentielle de la vitesse :

ΓC “

¿

C

~v ¨ dl “

¿

C

|~v| cosα ¨ dl (4.1)

où lpsq est le vecteur position entre l’origine et le point spx, y, zq sur le contour C et dl est

la limite de δl “ lps` δsq ´ lpsq quand δsÑ 0.

BBBBBM

~v

((((((

~l(s)hhhhhhh

~l(s + δ s)d~l

Par convention, ΓC ą 0 est une circulation anti-horaire ou cyclonique alors que ΓC ă 0

est une circulation horaire ou anti-cyclonique.

4.1.1 Changement de circulation

S’il y a accélération du vent le contour se déplacera/déformera dans l’écoulement. On

peut le visualiser comme le déplacement d’un collier de perle où les perles sont les éléments

fluides qui forment le contour fermé. Par exemple, en météorologie, le changement de

circulation est associé à l’intensification des anticyclones et des dépressions. Si la vitesse

du vent augmente, il y aura augmentation de la circulation autour des anticyclones et des

dépressions.

Pour étudier le changement d’un contour, on utilise la dérivée lagrangienne (1.7) de la

circulation :dΓCdt

“d

dt

¨

˝

¿

C

~v ¨ d~l

˛

‚“

¿

C

„

d

dt

´

~v ¨ d~l¯

(4.2)

où la partie gauche de (4.2) peut être exprimée comme suit :

d

dt

´

~v ¨ d~l¯

“d~v

dt¨ d~l ` ~v ¨

d~l

dt(4.3)

Comme ~l est le vecteur déplacement,dpd~lq

dt“ ~v. (4.3) devient :

d

dtp~v ¨ d~lq “

d~v

dt¨ d~l ` ~v ¨ d~v (4.4)


Le taux de changement de circulation (4.2) est donc :

dΓCdt

“

¿

C

d~v

dt¨ d~l `

¿

C

~v ¨ d~v

“

¿

C

d~v

dt¨ d~l `

¿

C

1

2d p~v ¨ ~vq (4.5)

Pour un contour fermé

¨

˝

¿

C

1

2d p~v ¨ ~vq “ 0

˛

‚, (4.5) se réduit à :

dΓCdt

“

¿

C

d~v

dt¨ d~l (4.6)

On remarque un lien entre l’accélération du vent et le changement de circulation. Voici 2

applications de cette relation :

1. Théorème de circulation de Kelvin

L’accélération absolue (rappel : référentiel absolu - forces réelles seulement) est seule-

ment causée par la force de gradient de pression et de gravité :

dΓCabsdt

“

¿

C

d~vabsdt

¨ d~l “

¿

C

ˆ

´1

ρ∇p´∇φ

˙

¨ d~l

“ ´

¿

C

∇pρ¨ d~l ´

¿

C

∇φ ¨ d~l (4.7)

où ∇φ “ ´gk est sur un niveau de pression constant et représente la force de gravité. Étant

donné que d~l est parallèle à k, d~l ¨ k “ dz. La partie droite de (4.7) devient :

∇φ ¨ d~l “ ´gdz “ ´dφ

´

¿

C

∇φ ¨ d~l “¿

C

dφ “ 0 (4.8)

car dφ est une différentielle exacte. Ce résultat veut dire qu’aucun travail n’est accompli

par la force de gravité indépendamment du trajet pour un circuit fermé. On trouve donc :

dΓCabsdt

“ ´

¿

C

∇pρ¨ d~l “ ´

¿

C

dp

ρ(4.9)

car ∇p ¨ d~l “ dp (le gradient de pression le long du trajet est la variation de pression).


Cette expression représente le moment angulaire d’un fluide. Si la densité ne dépend pas

uniquement de la pression mais aussi de la température, il y aura un mouvement de l’air

induit. Cette circulation tend à faire diminuer l’énergie potentielle du système.

CAS PARTICULIER : Pour un fluide barotrope, l’équation des gaz parfaits (3.5) implique

que dp “ RTdρ. Alors, (4.9) devient :dΓCabsdt

“ ´

¿

C

dp

ρ

“ ´

¿

C

RTdρ

ρ“ ´

¿

C

RTd ln ρ

“ 0

(4.10)

C’est le théorème de circulation de Kelvin.

2. Théorème de circulation de Bjerknes

Pour étudier le comportement d’un fluide sur la Terre, on doit considérer la circulation

relative. La vitesse le long d’un cercle de latitude sur la Terre sphérique est :

~v “ ~Ωˆ ~R (4.11)

où V “ ΩR sin θ et R “ a cosφ. Vu que les champs sont perpendiculaires, θ “ 90˝ et la

circulation vers l’est causée par la rotation de la Terre est U “ Ωa cosφ.

Si on calcule la circulation le long d’un élément de latitude-longitude :

φ + Δφ

φ - Δφ

λ λ + Δλ

B

C

A

D

En coordonnées sphériques, la longueur zonale de l’élément est dx “ a cosφ ¨ δλ où λ est

la longitude. Comme la circulation zonale n’a pas de composante méridionale (~U et d~l sont

perpendiculaire sur λ), seuls les côtés A et B sont considérés dans le calcul de la circulation

car la Terre tourne selon l’axe de rotation pointant vers le pôle nord :

Γp “

¿

C

~U ¨ d~l “ UApdxqA ´ UBpdxqB (4.12)


On obtient que la variation de la circulation due à la rotation de la Terre avec le temps est :

dΓpdt

“ 2Ω sinφ ¨dA

dt(4.13)

La circulation absolue est la somme de la circulation relative de la Terre et la circulation

causée par la rotation de la Terre. Donc, le changement de la circulation relative est :

dΓreldt

“dΓCabsdt

´dΓpdt

“ ´

¿

C

dp

ρ´ 2Ω sinφ

dA

dt(4.14)

C’est le théorème de circulation de Bjerknes.

On obtient un résultat similaire si on remplace l’accélération sans frottement d’une par-

celle à la surface de la Terre (accélération relative) :

dΓreldt

“

¿

C

d~v

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

rel

¨ d~l

oùd~v

dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

rel

“ ´1

ρ∇p´ fk ˆ ~v

On obtientdΓreldt

“ ´

¿

C

1

ρ∇p ¨ d~l ´

¿

C

fk ˆ ~v ¨ d~l

Le 1er terme est la circulation absolue et le 2ième terme est la contribution de Coriolis (de

la rotation de la Terre).

&%'$

-

6

?

6

?

-

‚ Ω est dirigée vers l’extérieur de la page (cyclonique)

‚ Supposons un écoulement divergent

:

a) L’effet de Coriolis va engendrer un circulation anticyclonique :dΓrel

dt<0

b)dA

dt>0Ñ - 2Ω sinφ

dA

dtÑ

dCrel

dt<0


Exemple 4-1 Brise de mer : a) Dériver le changement de circulation induite associée

avec une brise de mer. b) Supposons que p0 “ 1000 hPa, p1 “ 900 hPa, T 2 ´ T 1 “ 10˝C,

L “ 20 km et h “ 1 km, quelle sera l’accélération du vent causée par cette circulation ? c)

Quelle sera la vitesse du vent induite après 1h ? d) Quelle sera la circulation si l’atmosphère

est barotrope ?

a) Le changement de circulation induite à l’interface Terre-océan peut être étudié avec

le théorème de la circulation. Cette circulation est le résultat d’une atmosphère barocline

où ρ “ ρpp, T q. [faire le dessin]

Durant la journée, la température est plus élevée au-dessus du sol qu’au-dessus de l’eau

(durant l’été), T 1 ă T 2. Dans ce cas, la densité est plus grande au-dessus de l’eau :

ρ2 ă ρ1 ă ρ0.

Pour un fluide barocline où nous pouvons négliger l’effet de Coriolis :

dΓCabsdt

“ ´

¿

C

dp

ρ“ ´

¿

C

RTdp

p“ ´

¿

C

RTd ln p

On peut diviser la surface en quatre côtés, A, B, C et D :

dΓCabsdt

“ ´

¿

C

RTd ln ρ “ ´R

„

pTd ln pqA ` pTd ln pqB ` pTd ln pqC ` pTd ln pqD

La circulation est nulle sur les côtés C et D, car la pression est constante (d ln p “ 0).

Alors :

dΓCabsdt

“ ´

¿

C

RTd ln ρ “ ´R

„

pT2d ln pqA ` pT1d ln pqB

Par définition, l’intégration se fait dans le sens anti-horaire :

dΓCabsdt

“ ´

¿

C

RTd ln ρ “ ´R

„ˆ

T 2 lnp1

p0

˙

A

`

ˆ

T 1 lnp0

p1

˙

B

Donc, la circulation induite est donnée par :dΓCabsdt

“ R lnp0

p1

`

T 2 ´ T 1

˘

où T 2 - T 1> 0, doncdΓCabsdt

ą 0.


b) Avec p0 “ 1000 hPa, p1 “ 900 hPa, T 2 ´ T 1 “ 10˝C, L “ 20 km et h “ 1 km, il est

possible de calculer l’accélération du vent causée par la brise de mer.


4.2 Définition du tourbillon

La circulation est une caractéristique importante d’un fluide. Malheureusement, il n’est

pas évident de mesurer la vitesse tangentielle autour d’un contour d’un nombre discret

d’éléments de fluide. On a vu au chapitre 1 que le tourbillon est une propriété cinématique

d’un fluide. Il représente une mesure microscopique de la rotation d’un fluide. Le tourbillon

est le rotationnel de la vitesse :~T “ ∇ˆ ~v (4.15)

En météorologie dynamique, on est particulièrement intéressé à la rotation d’un fluide dans

un plan horizontal (par exemple : dépressions aux latitudes moyennes, ouragans et tor-

nades), ce qui est relié à la composante verticale du tourbillon. On l’appelle le tourbillon

relatif :

ζ “ k ¨∇ˆ ~v “ Bv

Bx´Bu

By(4.16)

Supposons un élément fluide suivant placé dans un champ donné :

B D

A

C

δy

δx

A : u

B : v +Bv

Bxδx

C : u +Bu

Byδy

D : v

Par convention, on intègre dans le sens anti-horaire et la circulation autour de cet élément

fluide est

ΓC “

¿

C

udx` vdy “ uδx`

ˆ

v `Bv

Bxδx

˙

δy ´

ˆ

u`Bu

Byδy

˙

δx´ vδy “Bv

Bxδxδy ´

Bu

Byδyδx

(4.17)

où A “ δyδx est l’aire de l’élément de fluide.

La circulation est donc donnée par :

ΓC “

ˆ

Bv

Bx´Bu

By

˙

A (4.18)

On peut généraliser (4.18) en faisant la sommation de petits carrés dans un élément

fluide :


A B

- Diviser l’élément fluide en petits carrés.- Analyse la circulation sur chacun des carrés.- La circulation du coté A-B s’annule.- La sommation sur tous les carrés de l’élément fluide,Ñ seulement le contour extérieur de l’élément fluide

contribue à la circulation.

On obtient alors :

ΓC “

¿

C

udx` vdy “

ĳ

A

ˆ

Bv

Bx´Bu

By

˙

dxdy (4.19)

qui correspond au théorème de Stokes :¿

C

~v ¨ d~l “

ĳ

A

p∇ˆ ~vq n ¨ dA (4.20)

A

nSi A est dans le plan horizontal xyp∇ ¨ ~vq ¨ n pointe vers z positif

À partir du théorème de Stokes (4.20), il est aussi possible de déterminer le tourbillon

planétaire :

Tp “ΓpA“

2Ω ¨ A ¨ sinφ

A“ 2Ω sinφ “ f

Tourbillon absolu = tourbillon relatif + tourbillon planétaire :

η “Bv

Bx´Bu

By` f “ ζ ` f


Exercice : Un carré de 800 km de coté est introduit dans un écoulement vers l’ouest

qui diminue en grandeur vers le nord à un taux de 10 ms´1 par 400 km. Quelle sera la

circulation autour du cercle ? Quel sera le tourbillon relatif dans le carré ? Utiliser deux

méthodes pour y arriver.

(Mid-Latitude Atmospheric Dynamics – Jonathan E. Martin, problème 5.5)


4.3 Équation du tourbillon

Comme c’est souvent le cas en météorologie, on est intéressé par le changement tempo-

rel du tourbillonˆ

dζ

dt

˙

. On sait que ζ = BvBx ´

BuBy , alors

Bζ

Bt“B

Bt

ˆ

Bv

Bx´Bu

By

˙

Bζ

Bt“B

Bx

ˆ

Bv

Bt

˙

´B

By

ˆ

Bu

Bt

˙

(4.21)

On utilise l’équation de la quantité de mouvement en coordonnées cartésiennes sans frot-

tementd~v

dt“ ´fk ˆ ~v ´

1

ρ∇p

que nous avons développé en composante eulérienne :

Bu

Bt“ ú

Bu

Bx´ v

Bu

By´ w

Bu

Bz` fv ´

1

ρ

Bp

Bx(4.22a)

Bv

Bt“ ú

Bv

Bx´ v

Bv

By´ w

Bv

Bz´ fu´

1

ρ

Bp

By(4.22b)

pour dériver la variation de tourbillon absolu dans le temps. On peut alors remplacer dans

(4.22) et on obtient :

Bζ

Bt“ ú

Bζ

Bx´ v

Bζ

By´ w

Bζ

Bz´ pζ ` fq

ˆ

Bu

Bx`Bv

By

˙

´

ˆ

Bw

Bx

Bv

Bz´Bw

By

Bu

Bz

˙

´ uBf

Bx

´vBf

By`

1

ρ2

ˆ

Bρ

Bx

Bp

By´Bρ

By

Bp

Bx

˙

(4.23)

Combinons les termes d’advection :

Bζ

Bt` u

Bζ

Bx` v

Bζ

By` w

Bζ

Bz` u

Bf

Bx` v

Bf

By“

´pζ ` fq

ˆ

Bu

Bx`Bv

By

˙

´

ˆ

Bw

Bx

Bv

By´Bw

By

Bu

Bz

˙

`1

ρ2

ˆ

Bρ

Bx

Bp

By´Bρ

By

Bp

Bx

˙

(4.24)

Comme f varie seulement en y, on peut écrire :

df

dt“Bf

Bt` u

Bf

Bx` v

Bf

By` w

Bf

Bz

df

dt“ v

Bf

By(4.25)

On obtient l’équation du tourbillon :

dpζ ` fq

dt“ ´pζ ` fq

ˆ

Bu

Bx`Bv

By

˙

´

ˆ

Bw

Bx

Bv

Bz´Bw

By

Bu

Bz

˙

`1

ρ2

ˆ

Bρ

Bx

Bp

By´Bρ

By

Bp

Bx

˙

(4.26)


‚ Taux de variation lagrangien du tourbillon absolu :dpζ ` fq

dt

‚ Terme de divergence : ´pζ ` fqˆ

Bu

Bx`Bv

By

˙

A. Analogie avec la conservation du moment angulaire (ex : un patineur artistique) :

Le tourbillon dans un fluide est le rapport entre la circulation et l’aire de l’élément

fluide :

— Lorsqu’il y a divergence dans un fluide, l’aire du fluide augmente. Si la cir-

culation est conservée, l’aire augmente à cause de la divergence, le tourbillon

va diminuer.

— Lorsqu’il y a convergence dans un fluide, l’aire du fluide diminue. Si la cir-

culation est conservée, l’aire diminue à cause de la convergence, le tourbillon

va augmenter.

-

-

-

-

-

t = 0 t > 0

A

A’

δ<0ζ>0

ζ’ > > 0

Convergence horizontale : δ < 0

Étirement : A > A’

Le tourbillon relatif augmente dans le temps : ζ<ζ’

Convergence horizontale fait augmenter le

tourbillon relatif :Bζ

Bt= -δζ >0

Augmentation (diminution) du tourbillon

cyclonique (anticyclonique)

B. Force de rappel

t = 0

-

6

?

δ < 0

t > 0

-

6

?L Hémisphère nord

Bζ

Bt> 0


‚ Terme de basculement : ´ˆ

Bw

Bx

Bv

Bz´Bw

By

Bu

Bz

˙

Ce terme est le basculement du tourbillon horizontal dans le plan vertical.

Supposons un cas idéalisé où une augmentation d’un tourbillon cyclonique est asso-

ciée àBu

Bzą 0 et

Bv

Bz“ 0 :

Bu

Bzą 0

6

-

-

-œ

Bw

Byą 0

6

-6

6ö

Cisaillement vertical du vent horizontal :Bu

Bz> 0

Variation du vent vertical horizontalement :

Bw

By> 0. Donc,

Bζ

Bt“Bu

Bz

Bw

By> 0

Augmentation du tourbillon cyclonique

(composante k)

Ce terme est important quand les termes du cisaillement du vent horizontal et de la

vitesse verticale sont grands. Par exemple, il peut servir de mécanisme de formation

des cyclones à l’échelle méso (ex :orages).

‚ Terme solénoïde (ou barocline) :1

ρ2

ˆ

Bρ

Bx

Bp

By´Bρ

By

Bp

Bx

˙

6

y- x

t = 0 - Atmosphère barocline - t > 0 - Atmosphère équivalent barotrope -

p0 ´∆p

p0

AA

AA

AA

ρ0 ´∆ρ

AA

AA

AA

ρ0

p0 ´∆p

p0

ρ0 ´∆ρ

ρ0

Bp

Byă 0 et

Bp

Bx“ 0 ;

Bρ

Bx< 0Ñ

Bζ

Bt> 0

ö

Bp

Byă 0 et

Bρ

By“ 0Ñ

Bζ

Bt= 0

Ce terme n’est généralement pas important à l’échelle synoptique. Il est important pour

la circulation associée à la brise de mer et de Terre. Dans ce cas, le tourbillon n’est pas par

rapport à k mais par rapport à un axe horizontal.


4.3.1 Analyse à l’échelle

Afin de simplifier l’équation du tourbillon, il est utile de lui appliquer une analyse à

l’échelle.

‚ Tourbillon relatif : ζ “Bv

Bx´Bu

By„U

L„ 10´5 s´1

‚ Tourbillon planétaire : f0 “ 10´4 s´1

Le tourbillon planétaire est plus important que le tourbillon relatif par un ordre de

grandeur (10ˆ plus important).

‚ Changement local de tourbillon :Bζ

Bt„U2

L2„ 10´10 s´2

‚ Terme d’advection de tourbillon relatif :

¨ uBζ

Bx, vBζ

By„U2

L2„ 10´10 s´2

¨ wBζ

Bz„WU

HL„ 10´11 s´2

‚ Terme d’advection de tourbillon planétaire : vBf

By„ Uβ „ 10´10 s´2

‚ Terme de divergence : ´pζ ` fqδ „ ´fδ „f0U

L„ 10´9 s´2

‚ Terme de basculement :ˆ

Bw

Bx

Bv

Bz´Bw

By

Bu

Bz

˙

„ 10´11 s´2

‚ Terme solénoïde :1

ρ2

ˆ

Bρ

Bx

Bp

By´Bρ

By

Bp

Bx

˙

„ 10´11 s´2

Note : Certains termes font intervenir une somme de dérivées. Il est possible que ces

dérivées s’annulent entre elles. Ceci résulterait en une valeur encore plus petite que suggère

l’analyse à l’échelle typique.

L’analyse à l’échelle suggère que le changement local de tourbillon et les termes d’ad-

vection du tourbillon et de divergence sont les plus importants. Si l’advection a un ordre de

grandeur de 10´10 s´1 et f0 “ 10´4 s´1, la divergence a un ordre de grandeur de δ „ 10´6

s´1.


Et l’équation du tourbillon absolu (4.26) se réduit à :

Bζ

Bt` u

Bζ

Bx` v

Bζ

By` v

Bf

By“ ´pζ ` fq

ˆ

Bu

Bx`Bv

By

˙

(4.27)

Étant donné quedf

dt“ v

Bf

By, et que η “ ζ ` f , on peut réécrire (4.27) comme suit :

dη

dt“Bη

Bt` ~v ¨∇η “ ´ηδ (4.28)

Résumé : Sur l’échelle synoptique, la rotation dans un fluide dépend de la présence

de divergence dans le fluide. La divergence dans le fluide implique aussi la présence de

mouvements ascendants et descendants associés à l’équation de continuité.


4.3.2 Cas particulier pour un fluide hydrostatique et homogène

Suppositions :

— Homogène : ρ “ constante (incompressible).

— Hydrostatique :Bp

Bz“ ´ρg

— Barotrope : ppρq9ppT q.

Conséquences :

dpζ ` fq

dt“ ´pζ ` fq

ˆ

Bu

Bx`Bv

By

˙

´

ˆ

Bw

Bx

Bv

Bz´Bw

By

Bu

Bz

˙

`1

ρ2

ˆ

Bρ

Bx

Bp

By´Bρ

By

Bp

Bx

˙

— Terme solénoïde = 0 car homogène donc incompressible.

— Terme de basculement = 0, car hydrostatique et homogène. Ainsi u et v sont indé-

pendant de z initialement et vont le rester. (∇T = 0,Bu

Bz“Bv

Bz“ 0)

Le changement de tourbillon absolu (4.26) est donc réduit à :

d

dtpζ ` fq “ ´pζ ` fqδ (4.29)

En utilisant l’équation de continuité en coordonnées cartésiennes pour un fluide incom-

pressible :d

dtpζ ` fq “ pζ ` fq

Bw

Bz(4.30)

La hauteur d’une colonne d’air varie seulement en fonction de la topographie à la surface

ps “ hbpx, yqq et varie dans le temps en altitude ph “ hpx, y, tqq :

h

s h(x,y)

h(x,y,t) z

Étant donné que dans un fluide barotrope, il n’y a pas de cisaillement dans le vent vertical

(∇hT “ 0), on peut écrire :ż h

s

d

dtpζ ` fqdz “

ż h

spζ ` fq

Bw

Bzdz

d

dtpζ ` fqph´ sq “ pζ ` fqpwh ´ wsq (4.31)


où ws “ds

dtet wh “

dh

dtparce que, par définition, w “

dz

dt. En développant (4.31), on

trouve :d

dtpζ ` fqph´ sq “ pζ ` fq

d

dtph´ sq

d

dtlnpζ ` fq “

d

dtlnph´ sq

d

dtlnpζ ` fq ´

d

dtlnph´ sq “

d

dtlnpζ ` fq

ph´ sq“ 0

Si on définit H comme étant la hauteur de la colonne d’air tel que H “ h´s, on obtient :

d

dtlnpζ ` fq

H“ 0 (4.32)

Ainsi en intégrant (4.32), on conclut que l’équation du tourbillon potentiel pour le mo-

dèle d’eau peu profonde est :pζ ` fq

H“ constante (4.33)

Donc, une parcelle d’air en se déplaçant doit conserver le tourbillon potentiel.

Exemple 1 : Tracer la trajectoire d’une parcelle d’air se déplaçant vers le nord en terrain

plat.

En terrain plat, la hauteur du tube vortex ne change pas et le tourbillon absolu doit être

conservé :ζ ` f

H“ cst. Noter que H est constant en terrain plat.

Nord

ζ=0

ζ>0

ζ<0

La trajectoire d’une parcelle se déplaçant initialement vers le nord aura un trajectoire en

oscillation.


Exemple 2 : Quelle est la trajectoire d’un tube vortex passant au-dessus d’une montagne de

l’ouest vers l’est ?

On confine une parcelle d’air (tube vortex, tv) qui s’étire entre la surface et la tropo-

pause. Le sommet de la troposphère s’étend sur une distance horizontale plus grande que

la montagne.

Vent de l’ouest 6

?

H

On applique la conservation du tourbillon potentiel :pζ ` fq

H“ constante où H est la hau-

teur entre la surface et la tropopause.

A. Un vent purement de l’ouest aura un f constant (même latitude) et mouvement rectiligne

sans cisaillement horizontal (ζ=0).

B. À mesure que le tv s’approche de la montagne, HÒ ce qui implique que (f ` ζ) Ò. Vu

que f est constant, ζ Ò.

C. Lorsque le tv monte la montagne, HÓ ce qui implique que (f ` ζ) Ó donc vu que f > 0

étant donné le déplacement vers le nord, ζ ă 0 assez pour compensser l’effet de f.

D. Le tv descends la montagne (HÒ), ce qui implique que (f ` ζ) Ò donc vu que f < 0 étant

donné le déplacement vers le sud, ζ ą 0 assez pour compensser l’effet de f.

E. La hauteur de la troposphère diminue (HÓ), ce qui implique que (f ` ζ) Ó donc, vu que

f > 0 à cause du déplacement vers le nord, ζ ă 0 doit diminuer.

Donc, on remarque que f ne varie pas dans la même direction que ζ. Le concept de la

conservation du tourbillon potentiel explique la formation d’un creux aux pieds des mon-

tagnes associé avec un vent de l’ouest. La trajectoire de la parcelle d’air oscillera.


Exemple 3 : Quelle est la trajectoire d’un tube vortex passant au-dessus d’une montagne de

l’est vers l’ouest ?

On confine une parcelle d’air (tube vortex, tv) s’étirent entre la surface et la tropopause.

Le sommet de la troposphère s’étend sur une distance horizontal plus grande que la mon-

tagne.

Vent de l’est6

?

H

On applique la conservation du tourbillon potentiel :pζ ` fq

H“ constante où H est la hau-

teur entre la surface et la tropopause.

A. Un vent purement de l’est aura un f constant (même latitude) et mouvement rectiligne

sans cisaillement horizontale (ζ=0).

B. À mesure que le tv s’approche de la montagne, HÒ ce qui implique que (f ` ζ) Ò. Vu

que f est constant, ζ Ò.

C. Lorsque le tv monte la montagne, HÓ ce qui implique que (f ` ζ) Ó donc vu que f < 0

étant donné le déplacement vers le sud, ζ ă 0 assez pour compasser l’effet de f.

D. Le tv descends la montagne (HÒ), ce qui implique que (f ` ζ) Ò donc vu que f > 0 étant

donné le déplacement vers le sud, ζ ą 0 assez pour compasser l’effet de f.

E. La hauteur de la troposphère diminue (HÓ), ce qui implique que (f ` ζ) Ó mais vu que f

et ζ agissent dans le même sens, la trajectoire revient a peu près à sa position de départ.

Ceci implique aucune oscillation dans la trajectoire de la parcelle d’air.


Exercice : (Mid-Latitude Atmospheric Dynamics – Jonathan E. Martin, problème 5.9)

Une colonne d’air est initialement au sommet d’une montagne à 5000 m d’altitude à 40˝S,

s’étire à 10 km d’altitude et a un tourbillon relatif de 0. Supposer que cette colonne d’air

est transportée vers l’est jusqu’à une élévation de 1000 m. Quelle sera le tourbillon relatif

si l’écoulement est barotrope ?

Chapitre 5

Théorie quasi-géostrophique

5.1 Introduction

La théorie quasi-géostrophique permet d’analyser et de prévoir le mouvement et l’inten-

sité des systèmes météorologiques aux latitudes moyennes étant donné que l’atmosphère

tente d’être en équilibre géostrophique et hydrostatique. Il est alors possible de réécrire

l’équation thermodynamique, l’équation du tourbillon et l’équation de continuité en termes

de vents géostrophique et agéostrophique en faisant trois suppositions principales.

Ces équations vont permettre de développer des relations entre chacun des processus

observés dans l’atmosphère afin de prédire le changement des hauteurs du géopotentiel et

de diagnostiquer la vitesse verticale de l’air.

106

CHAPITRE 5. THÉORIE QUASI-GÉOSTROPHIQUE 107

5.2 Suppositions

L’approximation quasi-géostrophique est basée sur 3 suppositions principales. Ces sup-

positions sont ensuite appliquées au système d’équations développé pour les systèmes mé-

téorologiques sur l’échelle synoptique.

Rappel :d~v

dt` fk ˆ ~v “ ´∇Φ (5.1)

BΦ

Bp“ ´α “ ´

RT

p(5.2)

∇ ¨ ~v ` BωBp“ 0 (5.3)

ˆ

B

Bt` ~v ¨∇

˙

T ´ σpω “9Q

cp(5.4)

où ω “dp

dtet σp “ ´T

B ln θ

Bp.

La dérivée totale lagrangienne en coordonnées isobariques est :

dQ

dt“

ˆ

BQ

Bt

˙

p

` p~v ¨∇Qqp ` ωBQ

Bp(5.5)

où Q est un champ quelconque.

Premièrement, on a défini que ~v “ ~vg ` ~va et que pour notre système d’équation |~va| ăă

|~vg| i.e. ~v est presque géostrophique. Pour ces systèmes météorologiques, |w| ăă |vH | où

w „ 1 cm/s et vH „ 10 m/s. Alors, l’advection verticale de la quantité de mouvement estˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ωBu

Bp

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

„10´1Pasˆ 10ms

105Pa„ 10´5ms´2.

Comparons la avec l’advection horizontale : uBu

Bxou v

Bv

By„UU

L„

100m2s2

106m„ 10´4ms´2.

On peut alors négliger la composante verticale de l’advection de la quantité de mouvement.

On peut ainsi estimer la dérivée Lagrangienne quasi-géostrophique :du

dt„Bu

Btù

Bu

Bx`vBu

By


Deuxièmement, l’approximation quasi-géostrophique implique une analyse proche des

latitudes moyennes :

6y et φ

φ0, y = 0

cercle de latitude

6

-

10 000 km

φ0

y “ 0

Ceci permet de simplifier le paramètre de Coriolis : f “ 2Ω sinφ en développant en série

de Taylor autour d’une latitude de référence φ0 :

fpyq “ fpy “ 0q ` f 1py “ 0qy

où y = 0 correspond à φ0. On sait que dy “ adφ et y= a(φ - φ0). Alors,

f 1pφ0q “df

dy

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

y“0

“df

dφ

dφ

dy“

1

a

df

dφ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

φ0

“2Ω cosφ0

a“ β

On obtient l’approximation du plan-β aux latitudes moyennes :

fpyq “ f0 ` βy (5.6)

où le paramètre β “2Ω cos Φ0

a“ 1.6ˆ 10´11 m´1s´1 (à 45˝ N).

Comparons l’ordre de grandeur des 2 termes de l’expansion de Taylor :

βy

f0“

2Ω cos Φ0

a

ˆ

y

2Ω sin Φ0

˙

“y

a

si |y| « a = 6731 km. Donc, pour f “ f0 ` βy, on peut dire que le deuxième terme est plus

petit que le premier si |y| « a.

Troisièmement, en gardant βy petit comparé à f0, on obtient que ug “ ´1

f

Bφ

By“ ´

1

f0 ` βy

Bφ

By„

´1

f0

Bφ

By. Donc, le vent géostrophique devient ~vg “

1

f0ˆ∇Φ.

Utilisons la composante x de l’équation de la quantité de mouvement :du

dt“ ´

BΦ

Bx` fv

Si u “ ug ` ua et v “ vg ` va et qu’on néglige ω BuBp , on obtient que

B

Btpug ` uaq ` pug ` uaq

B

Bxpug ` uaq ` pvg ` vaq

B

Bypug ` uaq “ ´

Bφ

Bx` pf0 ` βyqpvg ` vaq


Si |ug| ąą |ua| et |vg| ąą |va|, elle se réduit à

BugBt` ug

BugBx

` vgBugBy

“ ´BΦ

Bx` f0vg ` f0va ` βyvg ` βyva

En utilisant la définition du vent géostrophique sur une latitude constante :

dugdt

“ f0va ` βyvg

De façon similaire, la composante y de l’équation de la quantité de mouvement quasi-

géostrophique devientdvgdt“ ´f0ua ´ βyug

Donc, la dérivée Lagrangienne peut-être estimée comme la dérivée Lagrangienne géostro-

phique :d

dt„dgdt“B

Bt` ug

B

Bx` vg

B

By

En résumé :

1. On définit l’approximation du plan-β aux latitudes moyennes :

fpyq “ f0 ` βy (5.7)

où le paramètre β “2Ω cosφ0

a“ 1.6ˆ 10´11 m´1s´1 (à 45˝ nord).

2. Il est raisonnable d’utiliser une valeur constante du paramètre de Coriolis pour cal-

culer le vent géostrophique car |f0| ą |βy|. On peut écrire le vent géostrophique par

rapport à une latitude de référence φ0 : ~vg “1

f0k ˆ∇Φ.

3. Par définition ~v “ ~vg ` ~va et généralement (1) |~vg| ąą |~va| et |uBu

Bx| ą |ω

Bu

Bp|, il est

possible d’approximer le taux de changement du vent réel suivant une parcelle d’air

comme le taux de changement du vent géostrophique :

d~v

dt»dg~vgdt

“B~vgBt` ug

B~vgBx

` vgB~vgBy

(5.8)

À partir de ces suppositions quasi-géostrophiques, on peut simplifier autres équations.


Conservation de la masse

Vu que le vent géostrophique est défini sur un f0, il est non-divergent [À démontrer].

∇ ¨ ~v “ ∇ ¨ ~va “BuaBx

`BvaBy

L’équation de la conservation de la masse devient :

∇ ¨ ~va `Bω

Bp“ 0 (5.9)

Donc, le mouvement vertical de l’air est déterminé uniquement par la composante agéo-

strophique du vent.

Équation thermodynamique

L’advection horizontale est estimée par sa valeur géostrophique. Par contre, l’advec-

tion verticale n’est pas négligeable et fait partie du terme de réchauffement/refroidissement

adiabatique. Comme la stabilité statique de l’atmosphère est grande à l’échelle synoptique,

le terme adiabatique causé par le mouvement vertical est du même ordre de grandeur que

l’advection de température horizontale, et ce, même si la valeur de la vitesse verticale est

très petite. Alors, on peut écrire l’équation thermodynamique :ˆ

B

Bt` ~vg ¨∇

˙

T ´´

σp

R

¯

ω “9q

cp(5.10)

où σ “ ´RT

p

d ln θ

dpest la stabilité statique, avec θ qui correspond à la température po-

tentielle de l’état de base de la température T . On peut estimer l’ordre de grandeur de la

stabilité statique au milieu de l’atmosphère : σ “ ´RT

p

d ln θ

dp“ 2ˆ 10´6 m2Pa´2s´2.

Il est possible de représenter l’équation thermodynamique en terme de Φ en utilisant

l’équation hydrostatique :BΦ

Bp“ ´α “ ´

RT

p

T “ ´p

R

BΦ

Bp

On peut alors écrire (5.10) en fonction du géopotentiel :

B

Bt

ˆ

´p

R

BΦ

Bp

˙

“ ´~vg ¨∇ˆ

´p

R

BΦ

Bp

˙

`

´

σp

R

¯

ω `9q

cp


Finalement, comme on est en coordonnées isobariques, p est constant sur une surface de

pression constante. On obtient :

B

Bt

ˆ

´BΦ

Bp

˙

“ ´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

` σω `R

pcp9q (5.11)

5.3 Équation du tourbillon géostrophique

Dans la théorie quasi-géostrophique, le vent géostrophique est non-divergent, il est pos-

sible d’écrire le tourbillon géostrophique comme suit :

ζg “BvgBx

´BugBy

“1

f0

ˆ

B2Φ

Bx2`B2Φ

By2

˙

“1

f0∇2Φ

Physiquement, le tourbillon géostrophique est proportionnel à la concavité des géopoten-

tiels. Si les géopotentiels sur une surface de pression constante ont une ouverture vers le

haut, le tourbillon est positif. Donc, il y a une circulation anti-horaire. Au contraire, pour

une courbure convexe, le tourbillon sera négatif et il y aura une circulation horaire. On peut

alors écrire queBζgBt“

1

f0∇2BΦ

Bt

On peut également développer le changement du tourbillon géostrophique dans le temps

en utilisant l’équation du mouvement quasi-géostrophique :

d~vgdt“ ´f0k ˆ

#”va ´ βyk ˆ ~vg (5.12)

où les composantes sont

dugdt

“f0va ` βyvg (5.13a)

dvgdt“´ f0ua ´ βyug (5.13b)

On peut alors écrire que :

d

dt

ˆ

BvgBx

˙

´d

dt

ˆ

BugBy

˙

“´ f0BuaBx

´ f0BvaBy

´ βvg ´ βyBugBx

´ βyBvgBy

“´ f0BuaBx

´ f0BvaBy

´ βvg ´ βy

ˆ

BugBx

`BvgBy

˙


On trouve ainsi la dérivée totale lagrangienne du tourbillon géostrophique :

dζgdt“ ´f0

ˆ

BuaBx

`BvaBy

˙

´ βvg

En utilisant l’équation de continuité,

BζgBt“ ´~vg ¨∇ζg ´ βvg ` f0

Bω

Bp

On peut finalement écrire la tendance du tourbillon géostrophique en terme de Φ :

B

Bt

ˆ

1

f0∇2Φ

˙

“ ´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

` f0Bω

Bp(5.14)

Le changement du tourbillon temporel dépend de l’advection du tourbillon absolu et de

la divergence du vent agéostrophique.

Supposons un train d’onde où la norme du vent géostrophique est constante :

ζgmin ζgmax

A B C D

Φ

Φ´∆Φ

Φ`∆Φ

Regardons le signe de l’advection du tourbillon relatif et planétaire :

A B C D

ug + + + + écoulement vers l’est

vg 0 - 0 + dépend de la position dans l’onde

ζg - 0 + 0

∇ζg 0 + 0 -

∇f “ df

dy+ + + + toujours positif


1) Vu que ug ą 0 et que le ∇ζg “BζgBx

i : B : ´~vg ¨∇ζg <0 et D : ´~vg ¨∇ζg ą 0

Une advection positive (négative) du tourbillon relatif géostrophique fait augmenter (di-

minuer) le tourbillon géostrophique localement.

ÑBζgBt9´ ~vg ¨∇ζg

Ex à D : Une ´~vg ¨∇ζg ą 0 fait augmenter le tourbillon relatif,BζgBtą 0, et introduit une

courbure cyclonique dans les isophypses.

-se propage vers l’estD

Pour un écoulement de l’ouest, ce terme contribue à la propagation de l’onde vers l’est.

2) Vu que vg “ 0 à A et C, que vg ă 0 à B et que vg ą 0 à D : B : ´~vg ¨ ∇f >0 et D :

´~vg ¨∇f ă 0

Une advection positive (négative) du tourbillon planétaire fait augmenter (diminuer) le

tourbillon géostrophique localement.

ÑBζgBt9´ ~vg ¨∇f

Ex à D : Une ´~vg ¨∇f ă 0 fait diminuer le tourbillon relatif,BζgBt

ă 0, et introduit une

courbure anti-cyclonique dans les isophypses.

se propage vers l’ouestD

Pour un écoulement de l’ouest, ce terme contribue à la propagation de l’onde vers

l’ouest.

Les 2 termes d’advection s’opposent.


5.3.1 Analyse de l’advection du tourbillon relatif et planétaire

Afin de comparer les deux termes, on suppose que le champ des hauteurs du géopotentiel

est la somme d’un courant zonal et d’une perturbation :

U “ ´1

f0

BΦ

By(5.15)

Supposons que l’écoulement total est la somme de l’écoulement de base et une perturba-

tion :

Φpx, y, p, tq “ Φ` Φ1px, y, p, tq

On intègre par rapport à y :

´

ż y

0f0UBy “

ż Φpy,pq

ΦppqBΦ

et on obtient un écoulement de base : Φpy, pq “ Φppq ´ f0Uy.

Si la perturbation est un série de minimum et maximum de Φ, on a que Φ1px, y, p, tq “

Φ1pp, tq sin kx cos ly où k “2π

Lxet l “

2π

Lyet Φ1pp, tq est l’amplitude.

L’écoulement total est

Φpx, y, p, tq “ Φppq ´ f0Uy ` Φ1 sin kx cos ly

Regard sur une fenêtre dans le plan horizontal xy

U -

U -

U -

+

Φ Écoulement de base

&%'$

– &%'$

+ =

Φ1 Perturbation

-

-

-

-

-

-

Φ “ Φ` Φ1 Écoulement total

La somme du champ de base et de la perturbation crée une série de creux et de crêtes :

— Écoulement cyclonique + base = creux

— Écoulement anti-cyclonique + base = crête


On cherche à calculer l’advection du tourbillon relatif et l’advection du tourbillon plané-

taire. À partir de l’expression totale de l’écoulement, on peut dériver le vent géostrophique :

Ug “ ´1

f0

BΦ

By“ ´

1

f0

B

ByrΦ` Φ1px, y, p, tqs “ ´

1

f0

B

ByrΦppq ´ f0Uy ` Φ1 sin kx cos lys

Ug “ U `l

f0Φ1 sin kx sin ly

De la même façon, on obtient Vg “ 1f0BΦBx “

kf0

Φ1 cos kx cos ly

et le tourbillon géostrophique :

ζg “1

f0∇2Φ “

1

f0

B2Φ

Bx2`

1

f0

B2Φ

By2“ ´

l2 ` k2

f0Φ1 sin kx cos ly

Tracer le graphique de Φ(x,0) et de ζgpx, 0q sur y = 0.

-

6

1) Calculer l’advection du tourbillon géostrophique.

´~vg ¨∇ζg “ úgBζgBx

´ vgBζgBy

“ ´

ˆ

U `l

f0Φ1 sin kx sin ly

˙ˆ

´kl2 ` k2

f0Φ1 cos kx cos ly

˙

´

ˆ

k

f0Φ1 cos kx cos ly

˙ˆ

`ll2 ` k2

f0Φ1 sin kx sin ly

˙

“ U

ˆ

l2 ` k2

f0

˙

kΦ1 cos kx cos ly

Maximum à x=0 et y=0 et minimum à y=0 et x=Lx2

2) Calculer l’advection du tourbillon planétaire.

´~vg ¨∇f “ ´vgBf

By“ ´βvg

“ ´βk

f0Φ1 cos kx cos ly

3) Comparer ζg avec ´~vg ¨∇ζg et ´~vgβ sur y = 0.


ζg et ´~vg ¨∇ζgˆ

BζgBt

˙

ζg et ´~vg ¨∇fˆ

BζgBt

˙

Φ et ´~vg ¨∇f et ´~vg ¨∇ζg

-

6

-

6

-

6

Remarques :

— ´~vg ¨∇ζg contribue auchangement temporel de tourbillon relatifˆ

BζgBt

˙

. L’onde as-

sociée avecˆ

BζgBt

˙

est à la droite de ζg ce qui implique que ce terme contribue à

propager l’onde vers la droite.

— ´~vgβ contribue au changement temporel de tourbillon relatifˆ

BζgBt

˙

. L’onde asso-

ciée avecˆ

BζgBt

˙

est à la gauche de ζg ce qui implique que ce terme contribue à

propager l’onde vers la gauche.

Lequel de ces termes domine ? Comparons la norme de ces termes :

r “| ´ ~vg ¨∇ζg|| ´ vgβ|

“

U´

l2`k2

f0

¯

k

β kf0

“U

βpl2 ` k2

q

1. Pour pl2 ` k2q ăβ

U:

r<1 et le terme ´βvg domine. Cette condition est valide pour Lx et Ly grand (grande

longueur d’onde) et l’onde devrait se déplacer vers l’ouest.

2. Pour pl2 ` k2q ąβ

U:

r>1 et le terme ´~vg ¨∇ζg domine. Cette onde se propage vers l’est.

3. Pour pl2 ` k2q “β

U:

r=1, les 2 termes sont en équilibre et l’onde ne se propage pas. Un valeur typique

d’onde longue est Lx “ Ly “ L ą 10000 km et d’onde courte L ă 3000 km.

D’après notre analyse, une onde longue se propagera vers l’ouest et une onde courte vers

l’est. Par contre, une onde qui se propage vers l’ouest est rarement observée. En résume,

plus la longueur d’onde, augmente plus sa vitesse de propagation diminue pour devenir

stationnaire.


5.4 Équation quasi-géostrophique des tendances du géopoten-

tiel

Afin de développer une équation de tendance du géopotentiel, l’idée est de combiner

l’équation thermodynamique et l’équation du tourbillon quasi-géostrophique. De cette fa-

çon, il sera possible d’obtenir une équation de variation dans le temps du géopotentiel, ce

qui permettra d’étudier le mouvement des systèmes météorologiques dans l’atmosphère.

A. On faitf2

0

σ

B

Bp[Éq. thermodynamique QG] adiabatique :

´B

Bp

f20

σ

B

Bp

ˆ

BΦ

Bt

˙

“B

Bp

f20

σ

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

`B

Bpf2

0ω (5.16)

B. On fait f0ˆ [Éq. du tourbillon QG] :

∇2

ˆ

BΦ

Bt

˙

“ ´f0~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

` f20Bω

Bp(5.17)

C. On définit la tendance du géopotentiel comme suit : χ “BΦ

Bt. L’équation du tourbillon

sans frottement devient :

∇2χ “ ´f0~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

` f20Bω

Bp(5.18)

Et l’équation thermodynamique (5.16) adiabatique devient :

´B

Bp

f20

σ

B

Bpχ “

B

Bp

f20

σ

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

`B

Bpf2

0ω (5.19)

D. On fait (5.19) ´ (5.18) et on obtient l’équation quasi-géostrophique des tendances du

géopotentiel sans frottement et adiabatique :ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χloooooooooomoooooooooon

1

“ ´B

Bp

f20

σ

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

looooooooooooooomooooooooooooooon

2

´ f0~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

loooooooooooooomoooooooooooooon

3

(5.20)

Si on connait Φ partout à un temps donné, on peut calculer les termes 2 et 3 et résoudre

pour χ. On connait alors la variation de Φ dans le temps et il est possible de le calculer à t

= t+∆t. Cette équation était utilisée dans les années 50-60 pour faire les prévisions météo-

rologiques. C’est une équation pronostique.


‚ Terme 1 : Laplacien de χ en trois dimensions

Supposons que χ a cette forme :

χpx, y, p, tq „ χ0ptq cos

ˆ

πp

p0

˙

sinpkxq cosplyq

où p0 est la pression à la surface, k “2π

Lxet l “

2π

Ly

6z

-χ

p0=1000 hPa

500 hPa

6y- x

j&%'$

+ j&%'$

–

ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ “

ˆ

´k2´ l2 ´

f20

σ

π2

p20

˙

χ0ptq cos

ˆ

πp

p0

˙

sinpkxq cosplyq

ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ “ ´

ˆ

k2` l2 `

f20

σ

π2

p20

˙

χ

Parce que σ > 0, pk2 ` l2q ą 0 etˆ

f20

σ

π2

p20

˙

ą 0,ˆ

∇2 `f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ9´ χ.

Alors, pour

ˆ

∇2 `f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ ą 0 ùñ χ ă 0 ùñBΦ

Btă 0 : Chute des hauteurs du géopotentiel.

ˆ

∇2 `f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ ă 0 ùñ χ ą 0 ùñBΦ

Btą 0 : Augmentation des hauteurs du géo-

potentiel


‚ Terme 2 : Différentiel vertical d’advection de température (ou d’épaisseur)

Pour une advection chaude de température : ´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

9´ ~vg ¨∇T ą 0

Si l’advection de température décroit avec l’altitude, on aura que

´B

Bp

f20

σ

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

ă 0 ùñ

ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ ă 0 ùñ χ ą 0

Analysons Φ sur le niveau de 500 hPa :t = 0

1000 hPa

500 hPa

200 hPa

´ #”v g ¨∇T ą 0

´ #”v g ¨∇T „ 0

t > 0

1000 hPa

500 hPa

200 hPa

´ #”v g ¨∇T ą 0

´ #”v g ¨∇T „ 0

Pour une advection froide de température : ´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

9´ ~vg ¨∇T ă 0

Si l’advection de température augmente avec l’altitude, on aura que :

´B

Bp

f20

σ

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

ą 0 ùñ

ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ ą 0 ùñ χ ă 0


Note : En général, l’atmosphère devient de plus en plus barotrope avec l’altitude.

L’advection de température est plus importante dans la région inférieure de l’atmo-

sphère.

-

x

6z

Φ`∆Φ

Φ

@@

@@

@@

@@@

@@@

@@

@@

@@@

@@@

@@@

@@

@@@

@@

@@

@@@

@@@

@@@

@@@

@@

200 hPa

500 hPa

H L H ´ #”v g ¨∇T ă 0 ´ #”v g ¨∇T ą 0

CRETE CREUX CRETE

— Devient de plus en plus équivalente-barotrope avec la hauteur

— Barocline niveau ą 500 hPa ùñ advection devient plus importante

— L’advection de température chaude fait monter les isohypses :

Ce terme est responsable de l’intensification des creux/crêtes en altitude.


‚ Terme 3 : Advection du tourbillon absolu géostrophique

On peut séparer les termes :

´ f0~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

“ ´f0~vg ¨∇ζg ´ f0~vg ¨∇f

L’interprétation de l’advection du tourbillon absolu géostrophique est similaire à

l’advection de tourbillon absolu.

QQQs

3

-

#”v g

#”v g

#”v g

ζg<0ζg>0

ζg<0

∇ζg>0

-ugBζgBx

<0

-f0 #”v g ¨∇ζg<0 ùñ χ ą 0

∇f>0

-vgBf

By>0

-f0 #”v g ¨∇f>0 ùñ χ ă 0

∇ζg<0

-ugBζgBx

>0

-f0 #”v g ¨∇ζg>0 ùñ χ ă 0

∇f>0

-vgBf

By<0

-f0 #”v g ¨∇f<0 ùñ χ ą 0

Note :

i. On obtient le même résultat avec l’équation du tourbillon parce queBζgBt“

1

f0∇2BΦ

Bt.

ii. L’advection de tourbillon relatif tend à déplacer l’onde vers l’est. L’advection du

tourbillon planétaire tend à déplacer l’onde vers l’ouest. La propagation de l’onde

dépend donc du terme dominant.

iii. ∇ζg “ 0 et vg “ 0 dans l’axe associé à un creux ou à une crête. Ceci implique que

l’advection de tourbillon absolu ne peux changer l’intensité d’une onde, elle peut

seulement la déplacer.

Ce terme est responsable de la propagation des creux/crêtes en altitude.


5.5 Équation quasi-géostrophique omega

A) On faitB

Bp[Éq. tourbillon QG] sans friction :

∇2Bχ

Bp“ f0

B

Bp

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

` f20B2ω

Bp2(5.21)

B) On fait ∇2[Éq. thermodynamique QG] adiabatique :

´∇2Bχ

Bp“ ∇2

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

` σ∇2ω (5.22)

C) On fait (5.21) + (5.22) et on obtient l’équation quasi-géostrophique omega sans frotte-

ment et adiabatique :ˆ

f20

σ

B2

Bp2`∇2

˙

ωloooooooooomoooooooooon

1

“ ´f0

σ

B

Bp

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon

2

´1

σ∇2

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

loooooooooooooomoooooooooooooon

3

(5.23)

On définit ω comme suit ωpx, y, pq „ ω0 sin

ˆ

πp

p0

˙

sinpkxq sinplyq et le terme 1 devient :

ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

ω “ ´

ˆ

k2` l2 `

f20

σ

π2

p20

˙

ω0 sin

ˆ

πp

p0

˙

sinpkxq cosplyq “ ´

ˆ

k2` l2 `

f20

σ

π2

p20

˙

ω

6z

-ω

p0

„500 hPa

6y- x

j&%'$

+ j&%'$

–

Alors,

´

ˆ

k2` l2 `

f20

σ

π2

p20

˙

ω “ ´f0

σ

B

Bp

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

´1

σ∇2

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙


Afin de simplifier l’analyse de l’équation QG ´ ω qualitative, on peut la simplifier en

remplaçant ω „ ´gρw et l’équation hydrostatique :

ˆ

k2` l2 `

f20

σ

π2

p20

˙

ρgw “f0

σ

1

ρg

B

Bz

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

´1

σ∇2

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

Car´

k2 ` l2 ` f20

σπ2

p20

¯

>0 et σ>0 , on peut généraliser la vitesse verticale de l’air :

w9B

Bz

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

´∇2p´~vg ¨∇T q

Donc, on peut utiliser cette équation pour déduire la distribution du mouvement vertical

de l’air dans un système synoptique en développement :

1) Le taux de changement d’advection du tourbillon avec la hauteur. Généralement,

l’advection du tourbillon absolu est petite près de la surface et sa grandeur augmente avec

l’altitude

2) Le laplacien de l’advection géostrophique de température. Lorsqu’un champ d’advec-

tion de température a un minimum/maximum local, le Laplacien aura aussi un minimum

/maximum local.

Voici maintenant la description physique de chacun des termes :

‚ Terme 1 : Note sur la stabilité statique

On remarque que la stabilité statique σ est présente dans l’équation. Elle est gé-

néralement positive. Par contre, sa valeur va influencer l’intensité du mouvement

vertical. Comme dans l’équation de température, une grande stabilité influence la

température plus qu’une petite stabilité. Donc, plus l’atmosphère est stable plus le

mouvement sera petit pour un même forçage synoptique.

L’équation quasi-géostrophique omega est une équation diagnostique qui permet

d’évaluer le mouvement vertical à un temps donné, et non son évolution dans le

temps comme l’équation QG-χ.


‚ Terme 2 : Advection de tourbillon géostrophique absolu différentiel

Considérons un système synoptique en développement :

6

z

- x

-

´ #”v ¨∇ζg ă 0

´ #”v ¨∇ζg „ 0H

?

w ă 0

´ #”v ¨∇ζg ą 0

´ #”v ¨∇ζg „ 0

L

6w ą 0

Pour une onde courte (< 3000 km), l’advection du tourbillon relatif est plus impor-

tante que l’advection du tourbillon planétaire. À 500 hPa, l’advection du tourbillon

absolu est cyclonique (anticyclonique) en aval d’un creux (d’une crête). Vu que ∇p =

0 au centre d’une dépression/anticyclone, l’advection de tourbillon absolu est nulle.

Donc, l’advection du tourbillon relatif augmente avec la hauteur au-dessus d’une dé-

pression et décroît avec la hauteur au-dessus d’un anticyclone.

Pour une longueur d’onde courte,

f0

σ

B

Bz

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

ă 0 au-dessus de H ùñ w ă 0

f0

σ

B

Bz

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

ą 0 au-dessus de L ùñ w ă 0

Ce terme est responsable de l’intensification d’une dépression/anticyclone. Il ex-

plique aussi la position de L/H à la surface.


‚ Terme 3 : Laplacien de l’advection horizontale de température ou l’advection de tem-

pérature

Supposons des systèmes météorologiques en développement :

6

-

y

x

H L

FROID

+

CHAUD

––6A

?B

-

6D?C

-

On doit localiser les régions où il y a cisaillement du vent vertical car ces régions

sont associées avec l’advection de température horizontale dans une couche d’air :

A) Le vent géostrophique tourne dans le sens horaire, donc, il y a transport d’air

chaud.

´∇2p´~vg ¨∇T q ùñ ´∇2pą 0q ùñ ´∇2p´~vg ¨∇T q ą 0 ùñ w ą 0

B) Le vent géostrophique tourne dans le sens anti-horaire, donc, il y a transport d’air

froid.

´∇2p´~vg ¨∇T q ùñ ´∇2pă 0q ùñ ´∇2p´~vg ¨∇T q ă 0 ùñ w ă 0

C) Même raisonnement que pour B.

D) Même raisonnement que pour A.

Ce terme est responsable de la propagation du système météorologique à la surface.


5.6 Résumé

On peut combiner les équations quasi-géostrophique des tendances géopotentielles (5.20)

et quasi-géostrophique omega (5.23) afin d’illustrer l’essentiel de la structure d’une onde

barocline dans l’atmosphère.

Équation pronostique :ˆ

∇2`f2

0

σ

B2

Bp2

˙

χ “ ´B

Bp

f20

σ

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

´ f0~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

Équation diagnostique :ˆ

f20

σ

B2

Bp2`∇2

˙

ω “ ´f0

σ

B

Bp

„

´~vg ¨∇ˆ

1

f0∇2Φ` f

˙

´1

σ∇2

„

´~vg ¨∇ˆ

´BΦ

Bp

˙

L’équation QG-χ

Le géopotentielˆ

descendmonte

˙

9 advection du tourbillon absoluˆ

cycloniqueanticyclonique

˙

+ taux de diminution de l’advection de températureˆ

froidechaude

˙

avec

l’altitude.

L’équation QG-ω

Le mouvement vertical vers leˆ

hautbas

˙

9

augmentation de l’advection du tourbillon absoluˆ

cycloniqueanticyclonique

˙

avec l’alti-

tude

+ advection de températureˆ

chaudefroide

˙

.

Le mouvement vertical de l’air ω est la circulation secondaire produite par un déséqui-

libre géostrophique. Cette circulation contribue à garder le changement de température hy-

drostatique et le changement de tourbillon géostrophique afin de maintenir l’équilibre du

vent thermique. L’advection géostrophique (termes de forçage) tend a détruire l’équilibre

géostrophique.


Chacun des termes a une implication dans la propagation et l’intensification des sys-

tèmes météorologiques en altitude et à la surface :

TABLE 5.1 – Résumé des termes de forçage des l’équations QG-χ et QG-ω

Intensité Propagation

Altitude (QG-χ) -B

Bpr´ #”vg ¨∇T s - #”vg ¨∇pζg ` fq

Surface (QG-ω) -B

Bpr´ #”vg ¨∇pζg ` fqs -∇2r´ #”vg ¨∇T s

‚ ´ #”vg ¨∇pζg ` fq est responsable de la propagation d’un creux. Ce terme ne peut pas

amplifier un creux car vg “ 0 et ∇ζg “ 0 dans l’axe d’un creux (maximum du

tourbillon cyclonique).

‚ -B

Bpr´ #”vg ¨∇T s est responsable de l’intensification du système en altitude. Il ne contri-

bue pas à changer la position du maximum de tourbillon absolu mais bien à faire

diminuer les Φ et à faire augmenter le tourbillon relatif dans l’axe du creux ou de la

crête.

‚ ´ #”vg ¨ ∇pζg ` fq est plus faible à la surface parce que l’écoulement de fond est plus

faible et les systèmes sont circulaires. Vu que ∇p “ 0 au centre de la dépression,#”v g “ 0 et l’advection du tourbillon absolu au centre de la dépression est nulle.

‚ La position de la dépression à la surface est déterminée par l’advection du tourbillon

différentiel et non par l’advection de température. Vu que #”v g “ 0 et l’advection de

température est nulle à cet endroit.

‚ Si l’advection de température est nulle au centre de la dépression, ce terme de forçage

ne peut intensifier le système mais contribue à sa propagation.


Exemple 5-1

Supposer que le géopotentiel est :

Φpx, y, p, tq “ Φpy, pq ` Φ1pp, tq sinpkxq cosplyq

où k “2π

Lxet l “

2π

Lysont des nombres d’onde et Lx et Ly sont les longueurs d’onde et

Φpy, pq “ Φ0ppq´f0Uy où Φppq est une distribution du géopotentiel d’une atmosphère stan-

dard et U est la vitesse constante zonale.

a) Démontrer que ζg “ ´pk2 ` l2qpΦ´ Φqf0.

b) L’advection du tourbillon dans l’équation de tendance du géopotentiel est

´f0rÝÑv g ¨∇ppζg ` fqs

Expliquer ce que signifie la dépendance de ζg sur pk2 ` l2q de a).

c) Considérer le champ de tourbillon relatif à la Figure 1. Tracer Φ associés avec ce

patron de tourbillon relatif.

L 0 L

+12 12 ×10 6 s 1

FIGURE 5.1 – Tourbillon relatif de l’exemple # 5-1.

d) Pour ce géopotentiel, supposer que le vent est constant à 30 m s´1 et que le vent à

x=0 est exactement du sud-est. Déterminer l’échelle de longueur (2∆L) où l’advection du

tourbillon produit une onde stationnaire. Faites les simplifications raisonnables et supposer

une latitude de 45˝N et β = 1.62ˆ10´11s´1m´1.

Documents

SCA4622 Météorologie dynamique Julie M. Thériaultweb2.sca.uqam.ca/~eva/SCA4622/NotesDeCours/SCA4622_Notes...2 ﬂuide ainsi que le concept des "champs continus". Les propriétés