Mesure et gestion des risques d’assurance - NetAnswer · valorisation vs gestion du risque. 26 juin 2008 Congrès de l’Institut des Actuaires Page 15. 3Li it t ll3. Limites conceptuelles

Mesure et gestion des risques d’d’assuranceAnalyse critique des futurs référentiels prudentiel et d’information financièreet d information financière

Congrès annuel de l’Institut des Actuaires26 juin 2008

Pierre THERONDth d@ i t i [email protected] http://www.pierretherond.fr

C t tContexte

L’environnement de l’assurance en Europe se transformepradicalement.

Les nouveaux standards prudentiels et d’information financière ontLes nouveaux standards prudentiels et d information financière ontpour objectif de conduire les assureurs à mieux identifier, analyser etgérer les risques auxquels ils sont soumis.

Le travail effectué a pour objectif d’analyser ces changements,d’identifier leurs limites et d’anticiper leurs conséquences sur lagestion effective d’une société d’assurance.

26 juin 2008 Congrès de l’Institut des Actuaires Page 2

O i ti d l thèOrganisation de la thèse

Partie 1 : Nouvelles approches comptable, prudentielle et pp p pfinancière des risques en assurance

Chapitre 1 : Traitement spécifique du risque : aspects théoriques

Chapitre 2 : Traitement spécifique du risque : aspects pratiques

Chapitre 3 : Incidence sur la gestion technique d’un assureur

Partie 2 : Modélisations avancées en assurance

Chapitre 4 : Limites opérationnelles : la prise en compte des extrêmes

Chapitre 5 : Prise en compte de la dépendance


Chapitre 6 : Techniques de simulation

S iSommaire

1. Nouveaux référentiels prudentiel et d’information financièred information financière

2. Incidence sur la gestion technique

3. Limites conceptuelles

4. Limites opérationnelles du modèle interne


1 N éfé ti l1. Nouveaux référentiels

1. Présentation MCEV Solvabilité 2 IFRS phase 2

Objectifs Valorisation économique

(transactions) Information financière

Contrôle prudentiel Information financière

Valeur de la compagnie Provisions techniques Information

fournie

Valeur de la compagnie Rentabilité des affaires en portefeuille (et des

affaires nouvelles)

Provisions techniques Exigence de fonds

propres

Provisions techniques, Capitaux propres

(variation des éléments d'actifs et de passifs)

Niveau d'application

Social puis consolidé Social puis consolidé Consolidé

Current Exit Value :

Valorisation des

engagements d'assurance

Espérance complétée de la valeur de l'ensemble

des options et des garanties financières

Espérance + marge pour risque

Current Exit Value : montant qui serait exigé

en contrepartie du transfert de

l'engagement sur un marché (espérance + marge pour risque + marge pour service) marge pour service)

Valorisation des risques

Risques valorisés à travers les cash-flows futurs et les options &

garanties

marge pour risque explicite (CoC ou VaR) au

niveau du portefeuille +

capital de solvabilité (SCR) qui doit contrôler

le risque global de la

marge pour risque, au niveau du portefeuille, qui correspond à une

prime de risque normalement disponible

sur les marchés


le risque global de la compagnie

sur les marchés

Actualisation Taux sans risque Taux sans risque Taux sans risque

1 N éfé ti l1. Nouveaux référentiels

2. Traitement du risqueq

Traitement différencié par nature du risque :

Risques financiers : valeur de marché ou du portefeuille decouverture.

Risques non-financiers : Best Estimate + marge pour risqueli itexplicite.

Divergences ?Divergences ?

Notion de marge pour risque

Hypothèses entity-specific


Hypothèses entity specific

Primes futures

S iSommaire






2 I id l ti t h i2. Incidence sur la gestion technique

1. Modélisation de la société d’assurance

Assureur non-vie à 2 branches (sinistralité log-normale etdépendance modélisée par une copule de Franck)

Portefeuille financier à composer parmi un actif sans risque et unactif dont le cours suit le modèle de Merton (1976) :

L0 le niveau des provisions pour sinistres en 0 ;

E0 le niveau des fonds propres en 0.


E0 le niveau des fonds propres en 0.


2. Critère d’allocation optimale d’actifp

Provision « économique » :

Fonds propres « économiques » :

Maximisation du rendement des fonds propres investis :

Sous l’hypothèse d’indépendance entre rendements financiers etSous l hypothèse d indépendance entre rendements financiers etsinistralité :



3. Cadre prudentiel Solvabilité 1p

L’exigence minimale de fonds propres (EMS) est indépendantede la composition du portefeuille d’actifs.

Le critère devient :

Existence d’une unique solution non triviale si et seulement si :Existence d une unique solution non-triviale si et seulement si :




Probabilité de ruine enfonction de ω

Provision « économique » en fonction de ω




L’exigence minimale de fonds propres (SCR) dépend de lacomposition du portefeuille d’actifs :

( ) 1 20 1 1 1 2

0 0inf 0 Pr ω 1 ω 0,5%

S SE A A

E L

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎪ ⎪≥ + − ≤ ≤⎨ ⎢ ⎥ ⎬+⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭




L’allocation optimale maximise :


S iSommaire






3 Li it t ll3. Limites conceptuelles

Les principales limites conceptuelles des nouveaux référentielsp p pprudentiels et d’informations financières proviennent de l’utilisation desméthodes de valorisation issues de la finance de marché aux contratsd’d’assurance :

absence de prix observables ;

comportement des assurés (rachat, primes futures, conversion enrente, etc.) ;

t t d l’ (dé i i d ti )comportement de l’assureur (décisions de gestion) ;

valorisation vs gestion du risque.



1. Futures décisions de gestiong

La valorisation de contrats à long terme nécessite de modéliser lesfutures décisions de gestion de l’assureur. Notamment :

gestion des actifs financiers (allocations stratégiques, réalisationsdes plus-ou-moins values latentes),

gestion de la PB (dotation et incorporation).

En pratique, deux sociétés identiques mais qui anticipent une gestiondifférente vont donner deux valeurs différentes à leurs engagements.



1. Futures décisions de gestiongExemple : gestion d’actifs d’un contrat d’épargne en euros

Distribution empirique de la revalorisation l'épargne au terme



2. Valorisation vs gestiongExemple : contrat d’épargne en euros

Densité empirique de la valeur actuelle des prestations futures


Sans couverture Avec couverture

S iSommaire






4 Li it é ti ll d dèl i t4. Limites opérationnelles du modèle interne

La calcul du capital de solvabilité (SCR) n’est pas simple :p ( ) p p

l’assureur n’observe pas directement la variable d’intérêt (lerésultat),

le quantile à estimer est d’un ordre très élevé (99,5 %).

En pratique, le SCR pourra être déterminé à partir :

d’une formule standard (cf QIS 3) oud une formule standard (cf. QIS 3), ou

d’un modèle interne.



La modélisation directe du résultat de la compagnie n’est pas possible:p g p p

nombre de données disponibles restreint,

absence d’observations dans la queue de distribution,

observations pas nécessairement homogènes.

Il s’avère donc nécessaire de bâtir un modèle interne sur :Il s avère donc nécessaire de bâtir un modèle interne sur :

la modélisation des variables de base qui induisent un risque surla solvabilité de l’assureur : sinistralité, rendement financier, etc., ,

la modélisation de leurs interactions ;

les techniques de Monte Carlo qui permette de simuler des


réalisations.


1. Typologie des risques opérationnelsyp g q p

La mise en place d’un modèle interne expose l’assureur aux risques :

de modèle des variables de base et de leurs interactions. Lesmodèles usuels (d’actif comme de passif) tendent à sous-estimerles queues de distribution ;

d’ ti ti d èt d i bl d bd’estimation des paramètres des variables de base ;

de simulation.

Par ailleurs, que l’on travaille sur des données réellement observéesou simulées, l’estimation d’un quantile extrême fait apparaître un


nouveau risque d’estimation.


1. Typologie des risques opérationnelsyp g q p



2. Estimation d’un quantile élevéq

Plusieurs approches sont envisageables :

estimation empirique naturelle : X estimateur naturel duestimation empirique naturelle : Xk,n estimateur naturel du quantile d’ordre 1 – (k – 1) / n ;

méthodes bootstrap (classique, percentile, BCa, etc.) ;p ( q , p , , ) ;

théorie des valeurs extrêmes.

La dernière approche donne les meilleurs résultats.




La théorie des valeurs extrêmes propose principalement deuxapproches :

méthodes semi-paramétrique : estimateurs de Pickands (1975) etde Hill (1975) (théorème taubérien)

ajustement Pareto Généralisé (théorème de Pickands-Balkema-de Haari).






3. Robustesse du SCR

Considérons un modèle interne simplifié (inspiré de Deelstra etJanssen (1998)) dans lequel :

les prestations sont distribués selon une loi log-normale et sontpayées en fin d’année ;

le rendement financier des actifs est gaussien.

prestations et rendement financier sont supposés indépendants.

Notons a0 le montant de l’actif initial dont doit disposer l’assureur pour


Notons a0 le montant de l actif initial dont doit disposer l assureur pour être solvable en fin d’année avec une probabilité de 1 – α.



On peut déterminer la sensibilité du SCR aux paramètres des modèlesd bde base :

Une erreur de 1% sur s conduit à une erreur de sur a0.


Avec une VaR à 99,5 %, lorsque l’erreur sur le paramètre estamplifié d’un facteur 1,82.



Le recours aux techniques de simulation peut engendrer des erreursdu fait (cf. Planchet et T. (2005c)) :

des fluctuations d’échantillonnage liées au nombre limité detirages ;

d’é t l bi i d di éti tid’éventuels biais de discrétisation ;

des approximations utilisées pour inverser les fonctions derépartition ;répartition ;

d’éventuels biais induits par un choix mal approprié dugénérateur de nombres aléatoires (qualité intrinsèque,


dépendance terme à terme, etc.)



L’ dé i d dèl d b b i d i ê


⇒ L’adéquation des modèles de base aux observations doit êtretestée sur les queues de distribution



Ajustement normal du rendement journalier du titre TOTALtitre TOTAL

Les tests (Jarque-BéraLes tests (Jarque Béra, Lilliefors) ne rejettent pas l’ajustement global.

Le modèle gaussien sous-estime de 7,5 % le quantile


d’ordre 0,5 %.



Le modèle de base doit mieux représenter les queues de distribution :

approche non-paramétrique difficilement intelligible ;approche non-paramétrique difficilement intelligible ;

nécessité de trouver un modèle paramétrique qui, sur la base dumême matériel statistique, représente mieux les observations.q , p

Dans notre exemple, une version mono-périodique du modèle deMerton (1976) remplit cet objectif.






Conclusion

Le critère retenu (VaR à 99,5 % à horizon 1 an) est peu robuste.

Nombreux risques inhérents à la construction et l’utilisation d’unNombreux risques inhérents à la construction et l utilisation d unmodèle interne.

Nécessité de mettre en place un processus de validation desp pmodèles internes rigoureux qui, pour autant, ne décourage pasles assureurs.


C l i é é lConclusion générale

Perspectives de recherche :p

Queues de distributions de variables de base ;

Dépendance des phénomènes extrêmes ;Dépendance des phénomènes extrêmes ;

Comportement des assurés ;

F t dé i i d tiFutures décisions de gestion ;

Quantification des risques opérationnels.


P bli ti lié à l thèPublications liées à la thèse

Planchet F., Thérond P.E. (2005c) « Simulation de trajectoires deprocessus continus », Belgian Actuarial Bulletin 5, 1-13.

Planchet F., Thérond P.E. (2006) Pilotage technique d’un régime de rentesviagères, Paris : Economica.g

Planchet F., Thérond P.E. (2007b) « Allocation d’actifs selon le critère demaximisation des fonds propres économiques en assurance non-vie :présentation et mise en oeuvre dans la réglementation française etp g çdans un référentiel de type Solvabilité 2 », Bulletin Français d’Actuariat7 (13), 10-38.

Planchet F Thérond P E Jacquemin J (2005) Modèles financiers enPlanchet F., Thérond P.E., Jacquemin J. (2005) Modèles financiers enassurance. Analyses de risque dynamiques, Paris : Economica.

Thérond P.E., Planchet F. (2007) « Provisions techniques et capital desolvabilité d'une compagnie d'assurance : méthodologie d'utilisation de


solvabilité d une compagnie d assurance : méthodologie d utilisation deValue-at-Risk », Assurances et gestion des risques 74 (4), 533-63.

Bibli hi i i lBibliographie principale

Black F., Scholes M. (1973) « The pricing of options and corporateliabilities », Journal of Political Economy 81 (3), 637-54.

Deelstra G., Janssen J. (1998) « Interaction between asset liabilitymanagement and risk theory », Applied Stochastic Models andmanagement and risk theory », Applied Stochastic Models andData Analysis 14, 295-307.

Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. (1997) Modelling ExtremalEvents for Insurance and Finance Springer Verlag BerlinEvents for Insurance and Finance, Springer Verlag, Berlin.

Frantz C., Chenut X., Walhin J.F. (2003) « Pricing and capitalallocation for unit-linked life insurance contracts with minimumdeath guarantee », Proceedings of the 13th AFIR Colloquium,Maastricht.

Merton R.C. (1976) « Option pricing when underlying stock returns are


( ) p p g y gdiscontinuous », Journal of Financial Economics 3, 125-44.

Documents

Mesure et gestion des risques d’assurance - NetAnswer · valorisation vs gestion du risque. 26 juin 2008 Congrès de l’Institut des Actuaires Page 15. 3Li it t ll3. Limites conceptuelles