Mesures par voie optique de champs cinématiques …theses.univ-poitiers.fr/4902/2008-Hedan-Stephen-These.pdf · L'étude présentée dans ce mémoire a été réalisée au Laboratoire

THESE Pour l’obtention du grade de

Docteur de l’Université de Poitiers Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées

(Diplôme national – Arrêté du 7 août 2006)

Ecole Doctorale : Sciences Pour l’Ingénieur & Aéronautique Secteur de recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces

Présentée par :

Stéphen HEDAN

___________________________

Mesures par voie optique de champs cinématiques pour l'étude du comportement de plaques élastiques fissurées et chargées en mode I :

Formulation des déplacements 2D par confrontation numérique/expérience en statique.

Analyse des effets 3D en dynamique. ___________________________

Directeurs de thèse : Mario COTTRON

Valéry VALLE

Date de soutenance : 02 Décembre 2008 Devant la commission d’examen

JURY M. A. VAUTRIN, Professeur, Ecole des Mines, Saint-Etienne Président Mme. S. POMMIER, Professeure, LMT, ENS de Cachan Rapporteur M. J.L. LATAILLADE, Professeur, LAMEFIP, ENSAM de Talence Rapporteur M. M. COTTRON, Professeur, LMS, Université de Poitiers Examinateur M. F. DUBOIS, Professeur, 3MSGC, Université de Limoges Examinateur M. L. HUMBERT, Chef de Travaux, LMSSMat, Ecole Centrale de Paris Examinateur M. N. MOËS, Professeur, GeM, Ecole Centrale de Nantes Examinateur M. V. VALLE, Professeur, LMS, Université de Poitiers Examinateur

- 3 -

Choisissez un travail que vous aimez et

vous n'aurez pas à travailler

un seul jour de votre vie.

Confucius

Remerciements.

- 5 -

Remerciements.

L'étude présentée dans ce mémoire a été réalisée au Laboratoire de Mécanique des

Solides de l’Université de Poitiers (U.M.R. 6610) dirigé par Monsieur le Professeur

O. Bonneau.

Je tiens à remercier Monsieur le Professeur Fabrice Brémand pour m'avoir permis

d'entreprendre et de mener à bien cette recherche au sein de l'équipe Photomécanique et

Rhéologie ainsi que pour son aide sur les simulations numériques par éléments finis.

Je suis particulièrement sensible à l'attention que m'ont portée Madame la Professeure

Sylvie Pommier et Monsieur le Professeur Jean-Luc Lataillade en acceptant de juger ce

mémoire.

Je remercie vivement Messieurs les Professeurs Frédéric Dubois, Nicolas Moës, Alain

Vautrin et Monsieur Laurent Humbert pour l'intérêt qu'ils ont porté à mon travail en acceptant

de participer au jury.

Je remercie également Monsieur le Professeur Mario Cottron pour avoir codirigé cette

thèse, pour sa grande disponibilité, pour sa bonne humeur et par la rapidité de ces réponses

aux nombreuses sollicitations que j'ai pu faire au cours de ces trois années.

Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance et toute ma sympathie à Monsieur le

Professeur Valéry Valle. Ses connaissances, explications et analyses ont très largement

contribué à l'orientation et l'évolution permanente de cette étude. Son recul dans les domaines

aussi variés que la mécanique, l'électronique, l'expérimental, la programmation, … et les

nombreuses discussions que nous avons eues, m'ont permis de mener à bien ces travaux. Je

t'adresse un grand merci pour ta confiance et l'aide que tu m'as apportée pour la recherche et

pour les enseignements.

Je tiens à remercier les autres membres de l'équipe et plus particulièrement

P. Doumalin pour les réalisations rapides de mes éprouvettes ainsi que pour son aide à

Remerciements.

- 6 -

concilier enseignement et recherche et J.C. Dupré pour nos conversations scientifiques et

"rugbalistiques".

Je souhaite également saluer les anciens doctorants de l'équipe Octavian, Eric et plus

particulièrement Kossi pour nos nombreuses discussions "mathématiques" qui m'ont permis

de faire avancer mes travaux, ainsi que les informaticiens Franck et Mathieu, l'électronicien

Sébastien, les amis Arnaud, Ghina ..., les "sportifs" Tony, Eric D., pour leur disponibilité.

Je remercie très chaleureusement Arnaud qui, depuis 7 ans déjà, me supporte, m'aide

dans les moments délicats et aussi pour nos nombreuses discussions parfois même tard le soir,

que nous avons pu avoir et qui m'ont permis d'avancer au fil des années.

Je ne saurais terminer ces remerciements sans saluer ma famille : ma belle-sœur

Sylvie, mes "beaux-parents" Marie-France et Jacques, mes frères Ludovic et Erwan et surtout

mes parents Michelle et Yves qui ont toujours cru en moi, qui ont accepté et soutenu mes

choix professionnels. La dernière personne que je tiens à remercier et qui tient une place

essentielle tant personnellement que dans l'aboutissement de cette thèse, est Elodie, MERCI à

toi…

Tables des matières.

- 7 -

Table des matières.

TABLE DES MATIERES. ......................................................................7

INTRODUCTION. .............................................................................13

1 MECANIQUE DE LA RUPTURE 2D ET METHODES OPTIQUES MISE EN

ŒUVRE EN FISSURATION. ...............................................................21

1.1 Introduction............................................................................................ 21

1.2 Théorie de la rupture et mode de fissuration. ............................................ 23

1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.................... 24

1.4 Facteur d'Intensité des Contraintes (KI)..................................................... 30

1.4.1 Approche statique...................................................................................................... 31

1.4.2 Approche dynamique. ................................................................................................ 32

1.4.3 Discussion................................................................................................................. 35

1.5 Approche énergétique. ............................................................................ 35

1.5.1 Théorie de Griffith et taux de restitution d'énergie (G). ................................................. 35

1.5.2 Intégrale J de Rice..................................................................................................... 37

1.6 Discussion. ............................................................................................. 40

1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture. ..................... 41

1.7.1 Méthodes optiques basées sur les interférences. .......................................................... 41

1.7.2 Méthodes optiques basées sur la variation du relief en pointe de fissure......................... 47

1.7.3 Méthodes optiques par suivi de motifs. ........................................................................ 50

1.7.4 Méthodes optiques basées sur la variation d'indice optique............................................ 54

1.8 Synthèse des méthodes optiques en mécanique de la rupture..................... 55

2 FISSURES STATIONNAIRES : ANALYSE DES CHAMPS DE

DEPLACEMENTS PLANS....................................................................61


- 8 -

2.1 Introduction............................................................................................ 61

2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique. ...................................... 62

2.2.1 Approches numériques et couplage numérique/expérimental......................................... 62

2.2.2 Approches expérimentales.......................................................................................... 64

2.3 Méthode optique choisie pour l'étude de fissures stationnaires. ................... 67

2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan. ................ 68

2.4.1 Détermination des caractéristiques mécaniques des matériaux. ..................................... 70

2.4.2 Montage expérimental................................................................................................ 73

2.4.3 Présence de nodules sur les cartographies de phase. .................................................... 74

2.4.4 Etude des champs de déplacements expérimentaux et théoriques ux et uy. ..................... 77

2.4.5 Discussion et conclusions. .......................................................................................... 80

2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan. ..................... 80

2.5.1 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque infinie. ....................................... 80

2.5.2 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque finie........................................... 85

2.6 Calcul de l'intégrale J............................................................................... 88

2.6.1 Gradients de déplacements de la formulation d'Arakawa. .............................................. 88

2.6.2 Nouvelles formulations de ux et uy............................................................................... 89

2.6.3 Calcul de l'intégrale J pour le PSM4. ............................................................................ 94

2.7 Influence des effets de bords dans la modélisation numérique. ................. 104

2.7.1 Calcul du facteur d'intensité des contraintes numériques KI_num.................................... 105

2.7.2 Calcul des deux critères norm_x et norm_y. ................................................................. 106

2.8 Etude des sept variables des formulations proposées ux et uy.................... 108

2.8.1 Influence de l'épaisseur (h) sur les sept variables. ...................................................... 108

2.8.2 Influence de la longueur de fissure (a) sur les sept variables. ...................................... 112

2.8.3 Conclusions............................................................................................................. 115

2.9 Conclusion générale. ............................................................................. 115

3 PROPAGATION DE FISSURES : ETUDE DES DEPLACEMENTS HORS-

PLAN. ........................................................................................... 119

3.1 Introduction.......................................................................................... 119


- 9 -

3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique. ............................. 120

3.2.1 Approches numériques............................................................................................. 120

3.2.2 Approches expérimentales........................................................................................ 122

3.2.3 Conclusion. ............................................................................................................. 125

3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.......... 125

3.3.1 La méthode MPC ("Modulated Phase Correlation"). ..................................................... 126

3.3.2 Caméra ultra-rapide. ................................................................................................ 128

3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique. ............................. 129

3.4.1 Approche théorique. ................................................................................................ 130

3.4.2 Moyens expérimentaux. ........................................................................................... 132

3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de

propagation de fissure..................................................................................... 134

3.5.1 Montage expérimental.............................................................................................. 134

3.5.2 Les différents problèmes rencontrés. ......................................................................... 135

3.5.3 Résultats expérimentaux. ......................................................................................... 140

3.5.4 Formulation tridimensionnelle du déplacement hors-plan............................................. 147

3.6 Etendue de la zone tridimensionnelle. ..................................................... 159

3.6.1 Etendue de la zone 3D pour les cas expérimentaux. ................................................... 160

3.6.2 Etude de la zone 3D en fonction du chargement () et de la vitesse (V). ...................... 161

3.6.3 Normalisation des déplacements hors-plan théorique et expérimentaux........................ 163

3.6.4 Conclusion. ............................................................................................................. 164

3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture. ................................................ 164

3.7.1 Principe. ................................................................................................................. 166

3.7.2 Avantages et inconvénients. ..................................................................................... 167

3.7.3 Résultats................................................................................................................. 168

3.7.4 Analyse................................................................................................................... 170

3.7.5 Conclusion. ............................................................................................................. 171

3.8 Conclusion générale. ............................................................................. 171

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES. ................................................. 173

ANNEXE. ....................................................................................... 177


- 10 -

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES.................................................. 181

LISTE DES ILLUSTRATIONS............................................................ 189

PUBLICATIONS.............................................................................. 195

- 11 -

INTRODUCTION.

Introduction.

- 13 -

Introduction.

Aujourd'hui la réalité des marchés impose aux industriels de concevoir des ouvrages, des

structures, des machines de plus en plus grandes, de plus en plus hautes, de plus en plus

légères, de plus en plus performantes et ces conceptions doivent être réalisées le plus

rapidement possible. Pour répondre à ces exigences, les entrepreneurs de ces ouvrages ou

machines demandent aux fabricants de matériaux de satisfaire leurs besoins. C'est pour cela

qu'une multitude de nouveaux matériaux sont créés (ex : composites, matériaux bio,

alliages…). Toutefois, ces matériaux comme tous les autres, sont fabriqués avec des

micro-défauts (cavités) à l'échelle microscopique, qui une fois sollicités provoquent des

concentrations de contraintes préjudiciables sur la stabilité de la structure et peuvent faire

apparaître des défauts macroscopiques non pris en compte par la mécanique des milieux

continus. Pour appréhender ces problèmes, les mécaniciens ont entrepris l'étude de ces défauts

au travers d'une discipline, en développant la mécanique de la rupture. D'autres défauts

(ex : soudure), pouvant apparaître lors de la réalisation d'ouvrages, ainsi que le milieu ambiant

peuvent entraîner la ruine d'une structure. Les récents accidents survenus à une fête foraine,

où le bras d'une machine à sensation constitué d'un seul élément et supportant une nacelle à

son extrémité, s'est littéralement fissuré en deux, montrent la nécessité de prendre en compte

tous ces phénomènes dans la conception et dans la réalisation de tels ouvrages.

Les sollicitations extérieures (mécaniques, climatiques), les vibrations (séismes), les produits

chimiques, les UV, etc. sont autant d'éléments pouvant réduire la durée de vie d'un ouvrage.

La température aussi joue un rôle non négligeable lors des processus de fissuration. Par

exemple, on constate régulièrement des ruptures brutales à basses températures. Si la rupture

est brutale (fragile), la théorie de l'élasticité peut être appliquée, et une petite zone de

plasticité apparaît restant confinée en pointe de fissure. A l'opposée, pour de fortes

températures, la rupture entraîne des déformations plastiques non négligeables, dans une zone

autour de la pointe de fissure, on parle alors de rupture ductile. La mécanique de la rupture

linéaire est l'étude de structures élastiques à comportement fragile (sans plasticité), ayant des

fissures macroscopiques et soumises à un chargement donné, afin de prédire les risques de

rupture et de mieux comprendre les phénomènes de fissuration. Nous aborderons deux

problèmes différents, l'un se rapportant à des conditions statiques dans le cas d'une plaque

mince présentant une fissure stationnaire et l'autre traitant de la dynamique lorsqu'il y aura

propagation d'une fissure dans un milieu fini.

Introduction.

- 14 -

Les développements en mécanique de la rupture bidimensionnelle fournissent des solutions

asymptotiques des contraintes (xx, yy, xy) et du déplacement hors-plan (uz) et des

paramètres. Le facteur d'intensité des contraintes (K) et l'intégrale J de Rice sont deux

paramètres largement utilisés pour prédire le risque de rupture d'une structure. Ces deux

quantités s'obtiennent à partir de donnés numériques (ex : Eléments finis) ou expérimentales

issues, de la photoélasticimétrie ou de la méthode des caustiques et plus récemment à partir de

champs cinématiques, essentiellement par des mesures de champs de déplacements. Pour les

déplacements dans le plan (ux, uy), les solutions théoriques sont connues et ne sont pas

asymptotiques. Dans l'approche bidimensionnelle du problème de la mécanique de la rupture,

l'épaisseur (h) de la structure est négligée ainsi que toutes les grandeurs mécaniques suivant

cette dimension. Cette hypothèse a permis d'exprimer analytiquement le problème d'une

structure fissurée. Toutefois, la non-présence d'effets tridimensionnels au cœur d'une

structure, induite par cette condition, a largement été contredite par de nombreux essais

expérimentaux proche de la singularité géométrique.

L'étude des problèmes tridimensionnels de fissuration peut être mise en œuvre

expérimentalement en utilisant les méthodes optiques, car elles sont sans contact, non

destructives... Des expérimentations sur des fissures stationnaires et utilisant l'interférométrie

ou la méthode des caustiques ont montré le caractère tridimensionnel proche de la singularité

par comparaison des résultats expérimentaux et des formulations 2D. Parallèlement, des

études numériques et volumiques ont aussi souligné le caractère 3D. Sur la surface libre de la

structure, une zone dite "3D" égale à la demi-épaisseur de la plaque, a été observée. Proche de

la pointe de fissure, l'évolution des reliefs est considérablement modifiée entre la théorie

bidimensionnelle et les essais. Ainsi, l'expression du déplacement hors-plan 2D ne peut être

appliquée pour des fissures stationnaires et donc une approche bidimensionnelle du problème

de fissuration ne suffit pas pour visualiser le comportement mécanique dans une zone

confinée en pointe de fissure.

Naturellement, un certain nombre de questions se pose. Si les déplacements hors-plan sont

modifiés, qu'en est-il des champs de déplacements dans le plan ? Peut-on dimensionner la

zone 3D à partir de champs cinématiques dans le plan ? Pouvons-nous étendre l'étude

expérimentale du déplacement hors-plan proche de la fissure, lors de propagation de fissure ?

Les formulations 2D du déplacement hors-plan sont-elles valides en dynamique ? Des effets

autres, que les effets présents en statique, modifient-ils les champs cinématiques lors de

Introduction.

- 15 -

propagation de fissures ? La zone 3D évolue-t-elle en fonction de la vitesse de propagation de

la fissure (V) ?

Actuellement, il devient nécessaire de répondre à ces questions pour permettre de valider les

conditions aux limites des modèles numériques 3D pour des fissures stationnaires, et pour

voir si une approche bidimensionnelle des modélisations numériques, très largement utilisée

actuellement pour simuler des propagations de fissures, est suffisante pour étudier le

comportement mécanique en pointe de fissure.

Ce mémoire présente deux approches expérimentales différentes pour l'étude des problèmes

de fissurations en statique et en dynamique pour des plaques fissurées ayant un comportement

élastique (nous négligeons la zone plastique confinée en pointe de fissure), sollicitées en

mode I de chargement (écartement des lèvres de la fissure dans le plan de la plaque).

Concernant la partie statique et s'appuyant sur les précédents travaux qui ont permis de

dimensionner une zone 3D à partir de méthodes optiques (interférométrie) [1], nous

étudierons les champs de déplacements dans le plan d'une plaque fissurée. Parallèlement à ces

travaux expérimentaux, la validité d'un modèle numérique tridimensionnel par éléments finis

est étendue. Ces études expérimentales et numériques permettent, de développer deux

formulations empiriques pour chacun des déplacements dans le plan, de mettre en évidence

l'apparition d'effets de bord non négligeables lorsque la fissure n'est pas assez avancée dans la

plaque, et de montrer la triaxialité du problème de rupture à partir de l'intégrale J. Ce travail

expérimental a été mené sur deux polymères fragiles différents.

Pour la partie se rapportant à la dynamique, nous voulons étendre, à partir des données

expérimentales de déplacements hors-plan, l'étude du comportement mécanique réalisée sur

des fissures stationnaires. Pour cela, nous propageons une fissure dans une plaque sollicitée en

mode I par l'impact d'une lame. Les écarts constatés entre la solution 2D et les résultats

expérimentaux définissent une zone, appelée "zone 3D" rendant compte des effets 3D et des

effets transitoires. La modification du chargement extérieur fait varier la vitesse de

propagation (V), ainsi une étude de cette zone 3D est réalisée pour différentes valeurs de V.

La principale difficulté réside dans l'obtention de données expérimentales des déplacements

hors-plan proche de la pointe de fissure lors de sa propagation.

Ce mémoire est articulé en trois chapitres. Dans le premier, une présentation non-exhaustive

de la mécanique de la rupture bidimensionnelle et des méthodes optiques utilisées dans ce

domaine est effectuée. Ce chapitre se divise en plusieurs parties dans lesquelles nous

Introduction.

- 16 -

présenterons les différents modes de chargement, les différentes formes d'éprouvettes

normalisées, les formulations théoriques des champs de contraintes et de déplacements.

Ensuite, nous définirons les deux paramètres cités précédemment que sont le facteur

d'intensité des contraintes en mode I noté KI et l'intégrale J de Rice. La septième partie du

chapitre 1 porte sur les méthodes optiques utilisées pour extraire des grandeurs mécaniques

proches de la pointe de fissure. Nous présentons les méthodes optiques mettant à profit le

phénomène d'interférence, basées sur la variation de relief en pointe de fissure, s'appuyant sur

le suivi de motifs et celles basées sur la variation d'indice optique du matériau analysé. Dans

la dernière partie, une conclusion sera faite sur les avantages et les inconvénients, sans

toutefois choisir les méthodes optiques utilisées dans la suite des études expérimentales.

Il est à noter que seul le principe de chacune des méthodes est abordé, aucuns résultats de

travaux numériques et expérimentaux en fissuration statique et dynamique ne seront présentés

car une étude de l'art sera entreprise au début des chapitres (chapitre 2 et 3). Cette démarche

permettra d'extraire les résultats importants des travaux antérieurs servant de référence pour

les études menées dans ce mémoire.

Dans le deuxième chapitre, l'étude du comportement de plaques présentant une fissure

stationnaire sera analysée. Dans les huit parties, nous commencerons d'abord par une étude de

l'art des différents résultats expérimentaux et numériques. Le choix de la méthode des grilles

pour obtenir les champs déplacements dans le plan est présenté. Puis suivra une étude

expérimentale des champs de déplacements dans le plan, dans laquelle nous présenterons des

essais sur des plaques en polyuréthane et polyméthacrylate de méthyle. Comme dans la

littérature, des écarts entre les solutions théoriques 2D et les résultats expérimentaux

apparaissent et deux formulations empiriques des déplacements basées sur le principe de

superposition sont alors proposées. Ces expressions, dont les écarts sont minimisés entre les

données expérimentales et ces nouvelles expressions permettent de décrire les champs de

déplacements dans le plan. Le domaine de validité de ces expressions va être entendu au

calcul des gradients. Ces derniers sont comparés aux gradients de déplacements numériques,.

Cette démarche permettra de calculer l'intégrale J de Rice à partir de données expérimentales.

Les champs numériques sont obtenus en réalisant une modification géométrique du modèle

numérique 3D, actuellement utilisé au Laboratoire de Mécanique des Solides de Poitiers, pour

tenir compte des conditions aux limites expérimentales, non prise en compte dans les

précédentes simulations. A partir de ces différents essais expérimentaux et numériques, la

triaxialité du problème de fissuration sera présentée en comparant les valeurs des différentes

Introduction.

- 17 -

intégrales J. Les formulations proposées comportent sept variables à identifier et nous

choisissons d'étudier, à partir de champs numériques, l'évolution des sept variables en

modifiant deux variables géométriques du modèle numérique (l'épaisseur et la longueur de

fissure).

Pour l'étude du comportement mécanique lors de propagation de fissure, sept parties

composent le chapitre 3, dans lesquelles différents aspects seront abordés. Nous relatons les

travaux antérieurs liés aux problèmes de fissuration en dynamique. Pour cela, nous rappelons

les différents résultats présentés dans le domaine expérimental à partir de méthodes optiques

et dans le domaine numérique. Ainsi, nous constatons que la réalisation d'essais

expérimentaux, permettant d'extraire des champs cinématiques lors d'événements dynamiques

à haute vitesse de propagation, peut s'avérer extrêmement compliquée. Puis, nous présentons

le montage expérimental retenu, les différents résultats de champs de déplacements hors-plan

obtenus pour différentes vitesses de propagation de fissure (V). Comme en statique, nous

proposons une expression dont les écarts sont minimisés par rapport aux déplacements

hors-plan expérimentaux. Une étude de sensibilité de la formulation 3D du déplacement

hors-plan est entreprise car lors de l'extraction des champs de déplacements, différentes

hypothèses expérimentales sont imposées et nous en dénombrons quatre. Pour réaliser cette

étude de sensibilité, nous rajoutons au relief imposé un bruit permettant la modélisation de ces

différentes hypothèses. Cela nous permet de définir les limites maximales de chacune des

hypothèses dans le but d'identifier physiquement et précisément les trois constantes (c1, c2 et

c3) de la formulation 3D en fonction de (V), la contrainte appliquée () et des caractéristiques

géométriques et mécaniques. La zone des effets 3D sera dimensionnée en fonction de la

vitesse (V) et du chargement extérieur (), et la forme du relief en pointe de fissure sera

étudiée. Après rupture des plaques, deux nouvelles surfaces sont créées, et une étude

post-mortem des faciès de rupture sera effectuée. Pour cela, nous disposons au sein du

laboratoire d'un interféromètre confocal en lumière blanche permettant de réaliser une

topographie du relief sur de petits échantillons. Une comparaison est alors faite entre la

rugosité calculée, l'aire développée générée par la création de la nouvelle surface et le

chargement extérieur appliqué ().

CHAPITRE 1 : Mécanique de la rupture 2D et méthodes optiques mise en œuvre en fissuration.

- 19 -

CHAPITRE 1 :

Mécanique de la rupture 2D et méthodes

optiques mise en œuvre en fissuration.


- 21 -

1 Mécanique de la rupture 2D et méthodes


1.1 Introduction.

La présence d'une fissure dans un milieu est caractérisée par une discontinuité géométrique de

ce dernier. La mécanique des milieux continus pour un solide soumis à des sollicitations

extérieures, prenant en compte des conditions aux limites spécifiques dues à la fissure,

constitue la mécanique de la rupture. Les relations de la mécanique d'une part (équations

d'équilibre, de compatibilité, loi de comportement, caractéristiques géométriques et

mécaniques du milieu étudié), et les conditions aux limites relatives à la fissure d'autre part

suffisent théoriquement à déterminer les champs cinématiques entourant la fissure. Pourtant,

même dans le meilleur des cas (comportement élastique + géométrie simple), il s'avère

difficile d'obtenir des expressions mathématiques concordant avec les conditions mécaniques

et géométriques exprimées précédemment.

Pour étudier le comportement mécanique d'une plaque fissurée dans une zone entourant la

pointe de fissure, différentes approches existent : soit à partir de relations théoriques, d'études

expérimentales ou encore d'études numériques. Nous savons que l'approche théorique des

grandeurs cinématiques en pointe de fissure n'est pas valide, dans une zone confinée en pointe

de fissure, car elle considère qu'une plaque fissurée soumise à un chargement extérieur

conduit à une contrainte infinie en pointe de fissure. Autrement dit, la plaque fissurée n'admet

aucun chargement extérieur sinon il y a propagation de la fissure. C'est pour cela que des

études tridimensionnelles numériques et expérimentales ont été entreprises, pour valider les

hypothèses établies pour obtenir ces relations theéoriques 2D. L'approche expérimentale en

mécanique de la rupture se réduit à l'utilisation presque systématiquement des méthodes

optiques. Toutefois, les réseaux de Bragg [2] et les barres d'Hopkinson sont aussi largement

utilisés pour étudier le comportement mécanique proche de la pointe de fissure. Lors d'un

essai mécanique de fissuration, la mesure de la longueur d'onde au sein de la fibre de Bragg

permet de déterminer l'écart de déformation en comparaison avec un état de référence. Le

grand intérêt de cette méthode est son caractère tridimensionnel de la réponse optique

enregistrée (indice de réfraction). Néanmoins, les propriétés mécaniques (élasticité, limite à la

rupture) de la fibre de Bragg doivent être relativement proches de celles du matériau étudié,

pour caractériser correctement les effets mécaniques du milieu environnant. Le moulage

1.1 Introduction.

- 22 -

d'éprouvettes incluant des réseaux de Bragg au sein de la structure à analyser, est une

technique difficile et non maîtrisée dans notre laboratoire. De plus, les déformations non

homogènes entourant la fibre sont difficilement appréhendables, c'est pourquoi nous

choisissons de ne pas présenter les travaux en mécanique de la rupture avec inclusion de

réseaux de Bragg dans le milieu étudié. Pour ce qui est de la mise en œuvre des barres

d'Hopkinson [3] [4], cette méthode permet de calculer la déformation moyenne tεx , la

vitesse de déformation moyenne tx et la contrainte moyenne tx d'un échantillon au

cours d'une sollicitation, à partir de deux jauges de déformation placées en amont et en aval

de l'échantillon, ce qui en fait une technique parfaitement bien adaptée au mesure en

dynamique rapide à haute vitesse de déformation. Lors d'un essai de compression en

dynamique, un projectile impact une première barre dite "barre incidente", ce qui produit deux

ondes. La première se propage dans le projectile et l'autre dans la barre incidente permettant

de déterminer la déformation (i(t)) au niveau de la jauge 1 placée sur cette même barre. La

seconde onde ayant atteint l'échantillon se divise en deux nouvelles ondes appelées "onde de

transmission" et "onde de réflexion" L'onde de transmission atteint la barre de transmission et

passe sur la jauge 2 en donnant la déformation (t(t)). L'onde de réflexion passe par la jauge 1

et donne la déformation (r(t)).

Barre incidente Barre transmissionProjectile

V

Echantillon Jauge 1 Jauge 2

x

figure 1.1 : Schéma d'une barre d'Hopkinson en compression.

Avec la détermination de ces grandeurs, le calcul du (KI) et de la ténacité du matériau (KIc)

sont possibles [5]. Mais cette méthode donne une mesure ponctuelle et non une mesure de

champs de ces grandeurs mécaniques, c'est pour cela que dans la suite de ce chapitre, nous ne

présenterons pas cette méthode expérimentale pourtant largement utilisée en mécanique de la

rupture [6].

Dans les paragraphes de ce chapitre, nous présentons d'abord les développements de la

mécanique de la rupture 2D, puis le principe des différentes méthodes optiques et les

grandeurs cinématiques déduites.


- 23 -

1.2 Théorie de la rupture et mode de fissuration.

Dans le but de clarifier et d'exprimer les formulations théoriques bidimensionnelles incluant

chaque mode de chargement, nous allons d'abord présenter les différentes sollicitations d'une

plaque fissurée. Une fissure sera schématisée par deux surfaces planes appelées lèvres

supérieure et inférieure. Elles se coupent en une courbe appelée front de fissure. Nous

limiterons l'étude aux plaques élastiques dont l'un des côtés est fissuré (SEN pour Single Edge

Notch en anglais). Dans notre cas, les lèvres de la fissure sont toujours considérées comme

perpendiculaires à la surface libre de la plaque.

Un système de coordonnées orthonormées direct (O, x , y , z ) est centré en pointe de fissure,

d'axe z tangent au front de fissure, l'axe x se situe dans le prolongement de la fissure. Le plan

passant par les axes x et z sera appelé ligament. Pour plus de simplicité dans la mise en

équation, un système de coordonnées cylindriques (r,, z ) est considéré où r est la distance au

front de fissure et la coordonnée angulaire prise à partir de l'axe x (figure 1.2).

h

W

L x

z

y

r

figure 1.2 : Représentation d'une éprouvette fissurée d'épaisseur (h) et sollicitée en mode I.

En fonction du chargement extérieur, tout problème de fissuration peut être ramené à trois

mouvements élémentaires définissant trois modes de fissuration.

1.3 Les solutions analytiques des contraintes et des déplacements.

- 24 -

0u

),(uu

),(uu

z

yy

xx

yx

yx

MODE I MODE II MODE III

figure 1.3 : Différents modes de chargement d'une éprouvette fissurée.

Le mode I (mode d'ouverture) caractérise un déplacement des surfaces perpendiculaires au

plan de la fissure, le mode II (mode de glissement dans le plan) une direction des

déplacements normale au front de fissure et le mode III (mode de glissement anti-plan) un

chargement tangent au front de fissure. Toutefois des combinaisons de ces modes sont

possibles, on parlera alors de mode mixte. Pour chacun de ces trois modes, dans le cadre de la

mécanique de la rupture bidimensionnelle, des expressions analytiques asymptotiques des

contraintes et des déplacements valables près de la pointe de fissure existent.


Considérons une plaque fissurée de dimensions infinies, la détermination du vecteur

déplacement u

et du tenseur des contraintes σ se simplifie en un problème plan si le

chargement est indépendant de z . Le déplacement u

et le tenseur σ peuvent s'exprimer en se

plaçant dans le cas de l'élasticité plane, par les deux approches connues sous le nom de

déformations planes (DP) et de contraintes planes (CP). Les conditions supplémentaires

ajoutées dans le cas de (DP) sont :

(1.1)


- 25 -

0zzyzxz

0xy

y

(CP)0

(DP)0

yyxxzzyzxz

RotRot t

Dans le cas des (CP), l'approche suppose que le tenseur (σ ) ne dépend que de x et y et se

simplifie par :

(1.2)

En négligeant les forces volumiques, en tenant compte de la loi de Hooke (=E) et en faisant

l'hypothèse des petites perturbations (HPP), les équations d'équilibre se simplifient et

conduisent aux expressions suivantes :

(1.3)

(1.4)

où est le coefficient de Poisson

En mécanique de la rupture, l'hypothèse des contraintes planes est très largement utilisée pour

caractériser les grandeurs cinématiques pour des plaques fissurées de faible épaisseur (h). Les

équations d'équilibre sont vérifiées par l'intermédiaire d'un tenseur de fonction de contraintes

( ) :

(1.5)

Avec :

),(A00

000

000

yx

La fonction (A) est appelée fonction d'Airy et permet d'exprimer les contraintes sous la forme

suivante :

2

2

xxA

σy

;

2

2

yyA

σx

,

yx

A

σ2

xy

Westergaard [7] a résolu le problème symétrique d'une plaque infinie fissurée, chargée

hydrostatiquement en développant la fonction d'Airy (A) l'aide d'une fonction complexe (Z).


- 26 -

ZZ ImyReA

'ImyReσ yy ZZ

(1.6)

où Zz

Z

d

d; Z

z

Z

d

d; '

d

dZ

z

Z

Comme la fonction est analytique sur le domaine considéré, les dérivées peuvent être

déterminées et les expressions des contraintes sont de la forme suivante :

'ImyReσ xx ZZ

(1.7)

'Reyσ xy Z

Westergaard a proposé la fonction suivante dans le cas d'un chargement bi-axial constant

(k=1, voir figure 1.4) d'une fissure de longueur (2a) contenue dans une plaque infinie sous

chargement.

(1.8)

Les coordonnées (x) (y) sont liées au repère d'étude de la plaque suivante :

2a

kσσxxx

σσyyy

x

y

u

w

M

r

O

figure 1.4 : Plaque fissurée, milieu bidimensionnel infini en mode mixte.

iyxwaw

σwZ

22


- 27 -

u2

K

u2

aπσ

2au

σa

a2auua

u)σ(aZ I

2220u

2

3cos

2cos

2sin

2

K),(σ

2

3sin

2sin1

2cos

2

K),(σ

2

3sin

2sin1

2cos

2

K),(σ

Ixy

Iyy

Ixx

θθθ

πrθr

θθθ

πrθr

θθθ

πrθr

2

cos1

2

2sin

2

K,u 2I

yθθr

θrdWestergaar

2

sin1

1

2cos

2

K,u 2I

xθθr

θrdWestergaar

La fonction ainsi proposée est une solution du problème. Afin de simplifier le champ de

contraintes proche de la pointe de fissure, le terme (w) de l'équation (1.8) est remplacé par

(a+u) avec u=rei, où (r,) sont les coordonnées cylindriques centrées en pointe de fissure

(point O). En substituant la variable (u) dans l'équation (1.8), la fonction (Z) s'écrit au

voisinage de la pointe de fissure lorsque |u|0 :

(1.9)

Le terme (KI), appelée Facteur d'Intensité des contraintes (FIC), est fonction uniquement du

chargement extérieur () et de la demie longueur de la fissure (a) et sera présenté

ultérieurement. En tenant compte de la forme de (u) en coordonnées polaires et du

comportement élastique, les contraintes et les déplacements en pointe de fissure peuvent être

exprimés :

(1.10)

(1.11)

(1.12)

où =E/(2(1+)) représente le module de cisaillement, (E) le module d'Young et le

coefficient de Poisson.

Il est à noter la présence de la singularité en r-1/2 pour les champs de contraintes et en r1/2 pour

les champs de déplacements. D'autres approches comme celle Eftis et al [8] ont été

développées sur ce type de problème en considérant un chargement bi-axial quelconque k


- 28 -

2

3cos

2cos

2sin

2

K),(σ

2

3sin

2sin1

2cos

2

K),(σ

σk12

3sin

2sin1

2cos

2

K),(σ

Ixy

Iyy

Ixx

θθθ

πrθr

θθθ

πrθr

θθθ

πrθr

(figure 1.4). Cela conduit à une autre fonction complexe Z, que celle proposé par

Westergaard. Les champs de contraintes se trouvent ainsi modifiés :

(1.13)

En considérant une loi de comportement élastique, les expressions de champs de déplacement

dans le plan peuvent être obtenues :

(1.14)

(1.15)

On peut noter que l'on retrouve les solutions de Westergaard lorsque k=1. Si k=0 les

conditions de sollicitations en mode I peuvent être appliquées pour un milieu infini. En 1977,

Eftis et al [9] ont démontré que les conditions aux limites imposées pour obtenir les

expressions des déplacements (1.14) (1.15) étaient seulement valables pour k=1. Ils ont alors

développé une autre formulation complexe Z et ont obtenu les relations de déplacements

suivantes :

(1.16)

(1.17)

avec

(CP)

ν1

ν3

(DP)4ν3κ

acos8

σ1κk1

2sin1-κ

2

1

2cos

2

K,u 2I

x

θr

θθrθr

θr

θθrθr sin

8

σκ-3k1

2cos1κ

2

1

2sin

2

K,u 2I

y

cosk1

E2sin

1

1

2cos

2

Ku 2I

2D-x rr

sink1

E2cos

1

2

2sin

2

Ku 2I

2D-y rr


- 29 -

(CP)E

σa

(DP)E

)νσa(1

2

1)a(κ

2E

ν)σ(1)u(

2

0x r

Avec cette solution (1.16), cela revient à un déplacement ux non nul en pointe de fissure. Pour

exemple, lorsqu'une plaque de dimensions infinies est soumise à un chargement uniaxial

(k=0), le déplacement proche de la pointe de fissure s'écrit :

(1.18)

Nous traçons sur la figure suivante l'évolution des déplacements ux selon les formulations

(1.11) (1.14) et (1.16) pour (r, =0°) :

r [mm]

dépl

acem

ent [

mm

]

équation (1.16)

équation (1.11)

équation (1.14)

figure 1.5 : Déplacement ux selon les formulations (1.11), (1.14) et (1.16).

avec KI = 17,9631 MPamm, E = 2825 MPa et = 0,4

Sur la figure 1.5, l'équation (1.11) représente les déplacements pour un chargement bi-axial.

Entre les équations (1.14) (1.16), seule la fonction Z change. Toutefois l'écart constaté entre

ces deux équations s'apparente à un déplacement de solide rigide.

Pour la suite de notre travail, nous considérerons toujours les équations théoriques d'Eftis

(1.14) (1.15) pour représenter les champs de déplacements (ux et uy) d'une éprouvette fissurée

et sollicitée en mode I de rupture (k=0). Concernant le déplacement hors-plan uz-2D de la

surface libre d'une plaque de dimensions semi infinies avec une épaisseur (h) et pour un


- 30 -

cte2π

1

2cos

E

hνK

dzE

)σν(σdz),,(ε)2/h,(u

I

h/2

0

yyxx2/h

0

zz2-z

r

θ

zθrzr,θD

chargement uniaxial (k=0), nous obtenons la relation suivante en considérant un

comportement élastique et un état de contraintes planes (CP) :

(1.19)

avec 2

hσ

E

νcte

où la coordonnée (z) est définie à partir du repère d'étude centré en fond de fissure.

En raison de la symétrie du problème, nous obtenons une expression de uz-2D identique au

signe près sur l'autre surface libre et dans la suite des travaux nous choisissons toujours un

déplacement positif.

1.4 Facteur d'Intensité des Contraintes (KI).

Dans le paragraphe précédent, l'étude de la fissuration est établie pour des éprouvettes de

dimensions infinies ou semi-infinies. Mais lors de comparaison entre les solutions théoriques

et des résultats expérimentaux, des écarts importants ont été constatés car expérimentalement

l'hypothèse de plaques infinies est difficilement réalisable. Dans le but de normaliser les

études en mécanique de la rupture, des éprouvettes standards ont été développées pour des

dimensions finies, contenant des fissures "traversantes" dans l'épaisseur et ayant des

géométries simples. Ci-dessous, nous présentons trois géométries d'éprouvettes normalisées

les plus utilisées en fissuration pour une mode I de chargement.

Compact Tensile (CT)

Double Edge Notch (DEN)

Single Edge Notch (SEN)

figure 1.6 : Eprouvettes normalisées pour un mode I de chargement.


- 31 -

W

a.YπaσK I

3

tadaI 2W

πasin10,37

W

a2,020,752

2W

πacos

2W

πa2tan

.Wh

FK

1.4.1 Approche statique.

Le facteur d'intensité des contraintes donne physiquement une mesure de l'intensité de la

singularité. Ce facteur caractérise à lui seul l'état mécanique à l'extrémité du front de fissure.

Sa connaissance est donc suffisante pour décrire entièrement l'état de contraintes et le champ

de déplacements au fond de fissure. C'est pourquoi l'un des axes importants de la mécanique

de la rupture est la détermination des facteurs d'intensité des contraintes. Pour des éprouvettes

à géométries simples, de dimensions finies et sollicités en mode I, on a l'habitude d'utiliser la

formulation suivante:

(1.20)

Cela revient à reprendre la formulation de Westergaard (1.9) pondérée par un facteur

multiplicatif (Y) qui est une fonction de forme dépendant de la géométrie de l'éprouvette et de

la longueur de la fissure. Dans la littérature pour une éprouvette SEN sollicitée en mode I, une

autre solution de (Y) [10] existe, mais en plus d'être fonction des paramètres précédents, elle

est aussi fonction de la limite d'élasticité (e) du matériau étudié. Les expressions de Y les

plus souvent utilisées sont celles de Labbens [11] et celle de Tada et al [12] :

(1.21)

(1.22)

Ces deux formulations (1.21) (1.22) étant différentes, il est intéressant de les comparer et de

définir une géométrie (longueur de fissure) où le choix de l'une des deux formulations

n'influence pas ou peu la valeur des déplacements. Pour cela, nous définissons un critère

empirique (Ratio) (1.23) à partir des deux expressions de KI précédentes. Ce critère est basé

sur la valeur moyenne ( IK ) des deux expressions (1.21) (1.22), ce qui permet de calculer

l'erreur commise.

432

labbensI W

a53,85

W

a38,48

W

a18,40

W

a0,411,99a

Wh

FK

1.4 Facteur d'intensité des contraintes (KI).

- 32 -

(1.23)

avec :

2

KKK

tadaIlabbensII

Nous pouvons alors tracer en fonction de (a), l'évolution de l'équation (1.23) pour une des

géométries des éprouvettes testées dans la suite de notre étude.

a[mm]

Rat

io [

%]

figure 1.7 : Rapport entre l'expression de Labbens et l'expression de Tada.

D'après la figure précédente, quand la fissure est proche de a40 mm, le choix entre les deux

expressions de KI n'a pas d'influence sur les valeurs des déplacements. L'évolution du critère

(Ratio) en fonction de (a) permet de définir la valeur maximale du critère qui peut être

évaluée à 1,5%. Ainsi le choix de l'une des deux expressions affecte peu les champs

théoriques lorsque a < 110 mm.

La détermination théorique du facteur d'intensité des contraintes est essentielle car c'est un

paramètre faisant partie intégrante du processus de rupture fragile, qui intervient dans un

critère d'initiation et de propagation de fissure.

1.4.2 Approche dynamique.

Aucun des termes présents dans les équations (1.21) (1.22) ne tient compte des aspects

dynamiques liés à la propagation de fissure. Cela revient à dire que les champs de contraintes

et de déplacements sont les mêmes que ce soit pour une longueur de fissure (a) stationnaire

égale à une longueur de fissure a(t) (t = variable de temps) lors d'une propagation de fissure.

100.K

K-KRatio

I

labbensItadaI


- 33 -

Vf.KK IId

2

222

21

22221

1

14Vf

211

1EC2

L 12

EC2

T

2/1zz

0xI x2limK

Toutefois, des études [13] ont mis en évidence la présence d'effets transitoires directement liés

à la vitesse de propagation (V). Différents travaux ont alors permis de prendre en compte les

effets dynamiques dans le calcul empirique du facteur d'intensité des contraintes.

1.4.2.1 Terme correctif de Beinert et al [14].

Cette approche consiste à multiplier le facteur d'intensité des contraintes par un terme

correctif f(V) tenant compte du caractère dynamique de l'expérience. Le facteur d'intensité des

contraintes dynamiques (d-FIC) peut être déterminé analytiquement :

(1.24)

Pour obtenir la forme de f(V), les auteurs [14] ont fait une série d'essais pour différents

matériaux et différentes vitesses de propagation de la fissure. En utilisant la méthode des

caustiques (§ 1.7.2.2), les diamètres de celle-ci ont pu être analysés conduisant à une

comparaison, entre le FIC statique et dynamique. Des divergences apparaissent, le KId

dynamique est toujours inférieur à KI statique et peut s'écrire sous la forme :

(1.25)

avec

2/1

2L

2

1C

V1

et

2/1

2T

2

2C

V1

où CL et CT sont respectivement les célérités des ondes longitudinales et transversales.

A partir des équations de Navier, les expressions pour obtenir CL et CT sont les suivantes :

(1.26)

1.4.2.2 Terme correctif de Nilsson [15].

Dans son étude, Nilsson définit le FIC à partir du champ de contraintes tridimensionnel en

fond de fissure.

(1.27)

1.4 Facteur d'intensité des contraintes (KI).

- 34 -

22

22

11Idynox

22/122

2

2112/11

IIdx

cos2

1cosB.

2

1

2cos

1

2

2cos

2VBK,u

θrθrc

θr

θrθr

222

22

111Idynox

22/122

2

112/111

IIdy

sin2

1sinB.

2

1

2sin

1

2

2sin

2VBK,u

θrθrc

θr

θrθr

Suivant le problème plan choisi et selon les conditions aux limites imposées, différentes

expressions de KId peuvent être formulées. Tout d'abord, nous présentons les conditions aux

limites imposées dans les travaux de Nilsson :

(1) Pour y = L/2 : uy = uyo et xy=0

(2) Pour y = L/2 : uy = uyo et ux=0

avec xy la contrainte de cisaillement et uyo le déplacement constant induit par le chargement

extérieur suivant l'axe de chargement.

Nous limitons les expressions du d-FIC au cas d'un état de contraintes planes (CP).

(1.28)

(1.29)

1.4.2.3 Terme correctif d'Arakawa et al [16].

Dans le but d'étudier les d-FIC, à partir des mesures expérimentales dans le plan (moiré

interférométrique § 1.7.1.3), les auteurs [16] ont réalisé deux essais pour obtenir les deux

champs de déplacements plan (suivant l'axe x

(ligament) et suivant l'axe y

de chargement).

Pour tenir compte de la propagation de fissure, les relations théoriques bidimensionnelles ont

été modifiées :

(1.30)

(1.31)

2/1

21

22

212

21yId

41

41

L

4.E.uK)1(

2/1

221

22221

2

2/1

yId1

14

L

2.

-1

-1.E.uK)2(


- 35 -

2/1

nommaxyy R

a21

où 22

221

22

I14

1VB

, yxe j

jijr et dyn

ox représente la contrainte éloignée

Pour obtenir les champs de déplacements dans le plan lors de propagation de fissure, cette

approche permet de tenir compte de la vitesse (V) et ne se limite pas à une simple

proportionnalité entre le FIC statique et le FIC dynamique.

1.4.3 Discussion.

Dans la suite de nos travaux, nous choisissons d'utiliser l'expression de Labbens KIlabbens pour

calculer les FIC empiriques en statique. En dynamique, nous multiplierons ce terme par la

correction (F(V)) de Beinert et al [14] car ce terme permet d'exprimer directement la valeur

du d-FIC au contraire des travaux de Nilsson et Arakawa où la détermination d'un champ

cinématique est nécessaire.

1.5 Approche énergétique.

Parallèlement à ces travaux analytiques en mécanique en rupture, des développements visant à

modifier l'approche du problème de fissuration ont été réalisés. C'est dans cette optique que

des approches énergétiques ont été élaborées. Ainsi des paramètres nouveaux, caractérisant un

milieu fissuré, ont été mis en évidence.

1.5.1 Théorie de Griffith et taux de restitution d'énergie (G).

Les premiers travaux sont l'œuvre d'Inglis [17] qui en supposant un milieu bidimensionnel et

en utilisant la théorie de l'élasticité exprima analytiquement la contrainte maximale (yy)max

(équation (1.32)) suivant la direction de chargement (nom). Pour cela, il a considéré une

plaque incluant un trou elliptique, soumise à un chargement uniformément réparti à l'infini et

perpendiculaire au grand axe.

(1.32)

avec (a) : la longueur du demi grand axe de l'ellipse, R : le rayon de courbure au point

considéré.


- 36 -

Si (b) est la longueur du demi petit axe, R prend une valeur minimale à cet endroit et vaut

b²/a. Dans un trou circulaire (R=a), maxyy est égale à 3nom. Il est à noter que dans le cas

d'une fissure, si l'on se place en pointe de fissure R0, la contrainte devient infinie,

autrement dit la plaque fissurée ne supporte aucun chargement extérieur.

En se basant sur les travaux d'Inglis, Griffith [18] a été le premier à étudier la rupture d'un

point de vue énergétique, et ces travaux ont permis d'éliminer la notion de contrainte infinie

en pointe de fissure. Lorsqu'une plaque est chargée, les faces de la fissure le sont aussi. Le

chargement tend à ouvrir et à croître la fissure, mais le matériau oppose une résistance et la

fissure reste en équilibre. Si la pression croît, l'équilibre peut être rompu, et la fissure peut

avancer de façon instable. Pour un milieu fragile idéal, l'énergie totale (E) du milieu s'écrit

sous la forme suivante :

(1.33)

avec : (W) l'énergie de déformation du milieu et (Wext) le travail des forces appliquées, (dWS)

énergie dissipée dans la séparation et (Wcin) l'énergie cinétique.

Pour un processus adiabatique (pas d'échange de chaleur), (W) correspond également à

l'énergie interne et dépend uniquement du tenseur des déformations ( ). Pour un milieu

bidimensionnel, les quantités précédentes sont normalisées par rapport à l'unité d'épaisseur,

l'énergie (dWS) s'écrit :

(1.34)

avec () l'énergie de création d'une surface libre. Le chiffre deux provient du nombre de

surfaces créées.

Avant la propagation d'une fissure, il y a équilibre pour un système soumis à des sollicitations

extérieures et présentant une fissure de surface (S). D'après (1.33), la fissure se propagera de

façon instable si l'énergie cinématique dWcin > 0, ainsi nous obtenons l'expression suivante :

(1.35)

0dWdWdWdWdE cinSext

daγ2dWS

02WWda

dext


- 37 -

2/1*

r a

E

Ainsi, nous pouvons introduire le paramètre (G) appelé taux de restitution d'énergie

(1.36)

Dans las cas où (G=2), il n'y a pas augmentation de l'énergie cinétique (Wcin), on parle de

rupture contrôlée et de croissance stable de la fissure [19]. Lorsque le taux de restitution

d'énergie (G) est supérieur à (2), une partie de l'énergie sert à créer de nouvelles surfaces (i.e.

propagation d'une fissure). La propagation instable peut intervenir lorsque l'excès d'énergie

((G-2)da) est transformée en entièrement énergie cinétique. Toutefois, une partie de cette

énergie est consommée par l'augmentation de l'énergie extérieure (Wext).

Suivant les travaux d'Inglis, Griffith a calculé l'énergie de déformation (W) dans le cas de la

plaque élastique infinie (épaisseur unitaire) comportant un défaut elliptique de longueur (2a) :

(1.37)

avec E*=E/(1-²) pour un état de déformations planes (DP) et E*=E en contraintes planes

(CP).

En utilisant les expressions mathématiques (1.34), (1.35) et (1.36), un critère de rupture (r) a

pu être formulé, valide pour une plaque présentant un faible rayon de courbure, autrement dit

une fissure :

(1.38)

Ce critère a été vérifié expérimentalement sur des matériaux purement élastiques tels que le

verre. Un terme correctif a été apporté pour des matériaux ductiles présentant une zone ductile

en pointe de fissure (énergie de déformation plastique) [20].

1.5.2 Intégrale J de Rice.

Dans le cas de la rupture ductile, le travail fourni par le chargement extérieur n'est pas

seulement utiliser pour propager la fissure, mais une partie de cette énergie est stockée ou

dissipée. Proposée par Rice [21] l'intégrale J permet d'estimer l'énergie dissipée dans le

domaine adjacent à la fissure.

2WWda

dG ext

*

2nom

2

E

a-W


- 38 -

*

2I

E

KGJ

ijij

W

Dans une première approche, la plaque est considérée comme homogène, de dimension deux

avec un comportement purement élastique. En supposant que les forces massiques soient

négligeables, le chargement extérieur (P) induit seul sur l'énergie stockée ou dissipée. De ce

fait, l'intégrale de contour J s'écrit de la façon suivante :

(1.39)

avec (W()) : la densité d'énergie de déformation, (T(n)) : le vecteur contrainte, (ui) : le

vecteur déplacement et (ds) : l'élément de contour.

Dans l'expression (1.39), on peut observer que les deux termes (1.40) (1.41) sont égaux et de

signe opposés, ce qui met en évidence l'indépendance de l'intégrale J vis-à-vis du contour

d'intégration. On peut donc écrire l'intégrale J sous la forme suivante :

(1.40)

(1.41)

A partir des champs asymptotiques de contraintes ou de déplacements, nous obtenons pour un

état de contraintes planes ou de déformations planes, la relation suivante qui n'est autre que le

taux de restitution d'énergie (G).

(1.42)

D'autres formes de contours, ont été utilisées pour déterminer le paramètre (J) pour des

matériaux fragiles [10] ou ductiles [22] [23] [24] comme le contour rectangulaire

(figure 1.8b). Pour les matériaux élasto-plastique écrouissable, Hutchinson, Rice et

Rosengreen (HRR) ont montré que l'intégrale J permet de caractériser les champs de

contraintes et de déformations dans une enclave plastique.

dsx

unTdyWJ i

x

u

xds

x

u.nT i

ijj

i


- 39 -

H1V2H2V1 J-J-JJJ

xyxy

xxyy2yy

yyxx2xx

2-1

E-1

E

n

y

b)

H2

V1 V2

H1

n

y

a)

x

figure 1.8 : a) Contour d'intégration circulaire. b) Contour d'intégration rectangulaire.

Le contour rectangulaire est divisé en lignes verticales (V1, V2) et en lignes horizontales (H1

et H2), cela permet de décomposer l'intégrale J et ainsi d'obtenir la relation suivante :

(1.43)

avec :

La détermination de l'intégrale J requiert les composantes des gradients (xx et uy/x), les

composantes des contraintes (xx, yy et xy) et l'énergie de déformation (W). Pour un

matériau à déformation élastique linéaire et pour un état de contraintes planes (CP), les

composantes des contraintes s'écrivent de la forme suivante :

(1.44)

H2

xxxyy

yyH2

H1

xxxyy

yyH1

V2

yxyxxxxV2

V1

yxyxxxxV1

dxεσx

uσJ

dxεσx

uσJ

dyx

uσεσWdyJ

dyx

uσεσWdyJ

1.6 Discussion.

- 40 -

2xyyyxx

2yy

2xx 2

12

E2

1W

1

1,

1

221 kk

r

θ

θθ

ry

r

θ

θθ

rx

r

θ

θθ

ry

r

θ

θθ

rx

yyyyy

yyyyx

xxxxy

xxxxx

cosusin

uuF

sinucos

uuF

cosusin

uuF

sinucos

uuF

L'énergie de déformation (W) peut être calculée à partir de la relation suivante :

(1.45)

En substituant les équations (1.43), (1.44), (1.45) dans (1.39), nous pouvons exprimer

l'intégrale, en fonction des gradients de déplacements (ux/x, uy/x, ux/y et uy/y)

(1.46)

avec:

Le calcul des gradients de déplacements est réalisé au moyen des équations suivantes [9] :

(1.47)

Pour calculer l'intégrale J pour différents contours (), des mesures de gradients de

déplacements sont nécessaires en dérivant les champs de déplacements suivant les deux

directions (x et y).

1.6 Discussion.

Il est difficile de fournir une expression analytique pour les champs asymptotiques dans un

milieu fini tridimensionnel à l'échelle macroscopique. Pour cela, des développements

théoriques et énergétiques ont permis de définir des critères et d'obtenir des formulations

mathématiques bidimensionnelles des champs de contraintes et de déplacements. Cela

implique la formulation d'hypothèses non représentatives des conditions expérimentales

xkk

yk

dyx

uu

xx

uu

yx

uu2

dx

u

y

u

x

u

y

u

y

u

x

u

x

u

y

u

ν14

EJ

yy1

yx2

xx

yxyxyxxy1


- 41 -

imposées. Les premiers développements réalisés par Westergaard [7] permettent d'obtenir des

équations empiriques des champs cinématiques pour un état plan et pour un milieu infini

soumis à un chargement bi-axial. D'autres expressions pour des sollicitations uni-axiales ont

été proposées, notamment par Eftis [9]. L'approche énergétique relie des paramètres

intrinsèques de la mécanique de la rupture (KI et J) pouvant être déterminés à partir de

grandeurs cinématiques, et notamment en utilisant les champs de déplacements. Le facteur

d'intensité des contraintes (KI) permet de définir l'état de contraintes en pointe de fissure et

peut être déterminé empiriquement pour des géométries d'éprouvettes et des sollicitations

mécaniques simples. L'intégrale J de Rice est obtenue à partir des approches énergétiques et

permet de dimensionner l'énergie dissipée dans le milieu adjacent. Son grand avantage est

qu'elle est indépendante du contour d'intégration ().

Dans ce chapitre, la présence de plasticité même confinée en pointe de fissure n'a pas été

abordée, où l'existence de cette zone conduit à des contraintes bornées en pointe de fissure.

Cette zone étant très faible, elle sera négligée pour le reste de notre étude. Dans l'étude de la

mécanique de la rupture 2D, l'épaisseur du milieu étudié est systématiquement négligée. Cette

hypothèse peut être étudiée en réalisant des essais expérimentaux à partir de méthodes

optiques. Ces méthodes permettent d'extraire pour la plus part des champs cinématiques qui

seront confrontés aux résultats théoriques bidimensionnels.

Dans les paragraphes suivants, l'étude expérimentale tridimensionnelle par voie optique de

plaques minces fissurées en statique et en dynamique permet d'étudier l'influence de

l'épaisseur sur les champs cinématiques. Ainsi, l'importance de ce paramètre sera évaluée.

Pour cela, nous présentons le principe des différentes méthodes optiques pouvant être utilisées

en mécanique de la rupture.

1.7 Les méthodes optiques utilisées en mécanique de la rupture.

Nous avons séparé les différentes méthodes en quatre groupes : les méthodes basées sur les

interférences, celles s'appuyant sur le suivi de motifs, celles nécessitant une variation de relief

de la surface et les méthodes mettant à profit la variation de l'indice optique du matériau.

1.7.1 Méthodes optiques basées sur les interférences.

1.7.1.1 Le phénomène d'interférences.

Le phénomène d'interférences apparaît lorsque l'intensité de la superposition de deux ou

plusieurs ondes n'est pas égale à la somme de leurs intensités. Ce phénomène, connu depuis

longtemps, étonne toujours par le fait que deux sources interférentes peuvent donner de


- 42 -

l'obscurité, d'où le nom de "paradoxe de l'interférence". Expérimentalement depuis le 19ième

siècle, différents travaux sur les interférences lumineuses ont permis de réaliser des mesures

précises grâce à une multitude d'interféromètres (Fizeau (1853), Michelson (1881), Rayleigh

(1881), Mach-Zenden (1882), Fabry et Pérot (1899)). L'interférométrie est basée sur le

phénomène provoqué par la superposition de deux ondes lumineuses et cohérentes dont nous

allons présenter un exemple : l'interféromètre de Michelson.

1.7.1.2 L'interférométrie de Michelson.

Cet interféromètre permet de mesurer la variation de relief avec une amplitude de l'ordre de

quelques micromètres. Pour cela (voir figure 1.9a), une source primaire (monochromatique)

(S) est divisée à l'entrée en deux ondes (de même pulsation) par une lame semi réfléchissante

inclinée à 45 degrés. L'une des ondes, appelée faisceau objet, se réfléchit sur la surface de

l'objet et la seconde, appelée faisceau de référence, est réfléchie par un miroir (M). Puis les

deux faisceaux retraversent la lame. Des interférences apparaissent, du fait du chemin optique

différent entre la lame/objet et la lame/miroir, puis elles sont enregistrées par la caméra (C).

Miroir (M)LASER (S) = 514.5 nm

Caméra (C)

r

x

y

Lame semi-réfléchissante

Eprouvette SEN Fissure

a) b)

Interférogramme

Fissure

Pointe de fissure

3,8 mm

Faisceau objet

Faisceau de référence

y

x

figure 1.9 : a) Principe de l'interféromètre de Michelson. b) Interférogramme obtenu en

pointe de fissure [1].

Cela permet d'étudier les variations d'épaisseur de la plaque analysée car les interférences ou

franges visualisées sont directement liées au relief par l'équation suivante :


- 43 -

2

nλΔuz

sin2.

2

,,u

yxyxz

(1.48)

avec n : l'ordre de franges, : la longueur d'onde.

Pour une source lumineuse émettant dans le vert ( = 514,5 nm), on obtient à chaque

interfrange un déplacement hors-plan uz de 0,257 m. Expérimentalement, l'état de la surface

et la réflexion influent fortement sur le contraste entre les franges sombres et claires. C'est

pour cela, qu'un dépôt d'aluminium par vaporisation sous vide est réalisé à la surface des

éprouvettes, l'épaisseur de ce dépôt n'excédant pas 50 nm.

Dans la nécessité d'entreprendre des mesures de champs en statique, l'interférométrie de

Michelson permet d'obtenir automatiquement le déplacement hors-plan à une constante près.

L'information mécanique contenue dans la phase (x,y) qui peut être extraite

automatiquement en utilisant des techniques quasi-hétérodynes (i.e. décalage de phase). Ces

techniques consistent, à l'aide d'au minimum trois images d'un même réseau de franges mais

déphasées les unes par rapport au autres, à déterminer la phase de ce réseau. La nécessité

d'acquérir plusieurs images réside dans le fait quand chaque pixel de l'interférogramme

enregistré, l'expression mathématique de l'intensité lumineuse I(x,y) est généralement écrite

sous la forme mathématique suivante :

(1.49)

où I(x,y), A(x,y), B(x,y) et (x,y) désignent respectivement au point de coordonnée (x,y)

(figure 1.9), la valeur de l'intensité lumineuse du pixel en niveau de gris, l'amplitude de

modulation, le fond continu et la fonction de phase.

Ainsi en enregistrant plusieurs images du même état mécanique, toutes les inconnues de

l'équation (1.49) peuvent être obtenues. La résolution a été évaluée au 45ème d'interfranges

(i.e. 6 nm) [25]. L'information de déplacement est alors contenue dans la phase (x,y) et par

une relation optico-géométrique, nous pouvons avoir accès au relief uz(x,y) en tout point (x,y)

de l'image.

(1.50)

yx,Byx,cos.yx,Ayx,I


- 44 -

avec = angle d'incidence du faisceau objet sur la surface de l'éprouvette ( =/2).

En dynamique, cette méthode n'est pas plus difficile, à mettre en œuvre au premier abord.

Toutefois, l'extraction de la phase (x,y) à partir des méthodes quasi-hétérodyne ne peut être

utilisée car elle nécessite la prise de trois images, au minimum du même instant mécanique.

Ceci s'avère impossible en mécanique de la rupture dynamique car la fissure progresse.

Aujourd'hui, des techniques moins précises que les techniques quasi-hétérodyne sont

développées permettant de déterminer la phase (x,y) à partir d'une seule image, ce qui permet

de s'affranchir du caractère dynamique des essais, nous pouvons citer Robin et al [26] [30],

Takeda et al [27], Gseisat et al [28], Servin et al [29], Surrel [31]. Ces différents algorithmes

peuvent influencer la précision de mesure. Cette méthode optique convient parfaitement à la

détermination du relief proche de la pointe de fissure en mécanique de la rupture dont

l'amplitude est de l'ordre de quelques micromètres [32] [33].

1.7.1.3 Le moiré interférométrique.

1.7.1.3.1 Le principe de moiré.

Le principe de moiré consiste à superposer deux réseaux de traits dont les pas (p1 et p2) sont

voisins. Lorsque l'on superpose ces deux réseaux, on voit apparaître en général un troisième

réseau dont le pas est plus important, on parle de moiré ou de moiré visible [34].

figure 1.10 : Principe du moiré.


- 45 -

Npu

21

21

pp

p.pi

En considérant le phénomène de moiré comme étant dû à un décalage du second réseau par

rapport au premier, nous pouvons calculer l'interfrange (i) de moiré visible à partir des pas p1

et p2 des deux réseaux :

(1.51)

L'application de la méthode de moiré consiste à coller, sur l'objet à étudier et sur la surface de

référence, un réseau de pas p. Au repos, nous observons une teinte plate, c'est-à-dire

uniforme. Lorsque l'éprouvette est chargée, nous voyons apparaître le phénomène de moiré.

Le déplacement (u) d'un point résultant du chargement est donc obtenu en fonction de l'ordre

de frange N par la relation suivante :

(1.52)

1.7.1.3.2 Application à la mécanique de la rupture.

Basée sur le principe de moiré, le moiré interférométrique est une technique permettant

d'extraire le déplacement autour de la pointe de fissure dans une direction à partir d'un réseau.

Pour cela, un réseau de franges, de fréquence f=1/p (avec p = pas du réseau), est déposé par

réplication ou par métallisation du réseau sur la surface libre de l'éprouvette. A l'état initial,

compte tenu de la symétrie, les deux faisceaux incidents (faisceau 1 et 2) correspondants se

superposent parfaitement, ne laissant voir qu'une teinte uniforme.

Ordre de franges N

Lentille

Faisceau incident 1

Réseau

Faisceau incident 2

P

P

Franges d'interférences

figure 1.11 : Principe du moiré interférométrique.


- 46 -

y,xavec4

p.u

ii

Après chargement, et donc déformation de l'éprouvette et du réseau, les deux faisceaux vont

interférer dans le plan image de la lentille et former des franges d'interférences. Quand l'objet

se déforme, une différence de marche va être introduite entre les deux rayons diffractés en un

point donné. Soit u

le vecteur déplacement, 1 la variation de la phase du 1er rayon

diffracté et 2 la variation de la phase du 2nd rayon diffracté, le déplacement suivant la

direction (i) s'exprime alors par :

(1.53)

avec 12

Les zones observées sont de l'ordre de 300 mm². Le pas du réseau peut être de plusieurs

milliers de lignes/mm. Pour un faisceau incident incliné à 45°, l'ordre 1 de diffraction normal

à la surface correspond à la relation suivante :

(1.54)

avec () la longueur d'onde du faisceau et (p) le pas du réseau matérialisé.

Pour une source lumineuse de longueur d'onde ( = 514,5 nm), on obtient p = 727 nm, soit

une fréquence de traits de 1400 traits.mm-1. Ainsi pour une variation de phase de 2 et en

utilisant la formule (1.53), le déplacement u est de 363 nm.

Son utilisation s'avère intéressante lors d'étude de comportement en pointe de fissure car elle

permet de déterminer des déplacements de très petite amplitude, mais la densité des réseaux

en fait une méthode sensible aux vibrations et la création de tels réseaux est difficile. Un

déplacement de quelques micromètres crée un figure de franges extrêmement serrées ce qui

limite spatialement le champ d'étude, ainsi le champ de mesure maximal est directement lié à

la densité de franges générée par le montage.

Avec cette méthode nous obtenons le champ de déplacements uniquement suivant une

direction [35]. Pour obtenir le déplacement suivant l'autre direction, une deuxième éprouvette

doit être faite avec un réseau répliqué ou déposé suivant l'autre direction. Expérimentalement

cette méthode peut s'avérer difficile à utiliser et nécessite d'avoir des réseaux maîtres avec une

p

λπ/4sin


- 47 -

,...2,1,0

2

p.σσ

2E

νh

,...2,1,02

p.σσ

2E

νhu

nn

yy

u

mm

xx

yyxxz

yyxxz

grande densité de franges en plus d'un moyen de vaporisation ou de réplication. En

dynamique, l'utilisation de cette méthode optique peut être envisagée [16]. Comme pour

l'interférométrie de Michelson, des techniques d'extraction de phases à une seule image sont

nécessaires pour obtenir la grandeur mécanique.

1.7.2 Méthodes optiques basées sur la variation du relief en pointe de fissure.

Dans ce paragraphe, nous présenterons deux méthodes (la méthode CGS et la méthode des

caustiques) permettant de faire des mesures sur la surface libre des éprouvettes, autrement dit

nous présentons le principe de ces méthodes pour une configuration en réflexion. Toutefois

celles-ci peuvent être utilisées en transmission, mais les phénomènes tridimensionnels

présents en pointe de fissure sont difficilement visualisables. Dans le paragraphe § 1.7.2.2,

nous présentons le cas d'une caustique obtenue en réflexion avec dépôt d'aluminium pour

rendre l'éprouvette opaque.

1.7.2.1 La méthode CGS.

Une autre méthode basée sur les interférences est la méthode CGS (pour Coherent Gradient

Sensor) qui permet l'étude des déformations pour les matériaux transparent ou opaque. Elle

est basée sur les interférences créées lors de l'application d'un chargement extérieur. Cette

technique peut être utilisée en transmission ou en réflexion. Sur la figure 1.12, nous

présentons la méthode mise en œuvre en réflexion. Lorsque l'éprouvette est soumise à un

chargement, une diminution d'épaisseur est engendrée, les faisceaux lumineux proches de la

pointe de fissure sont déviés créant ainsi des interférences. Pour un état de contraintes planes

et un matériau purement élastique, ces interférences sont liées directement aux gradients des

contraintes et aux gradients du déplacement hors-plan et s'écrivent sous la forme suivante.

(1.55)

avec , la distance entre les deux réseaux et (m), (n) respectivement les ordres de franges

suivant les directions x et y (voir figure 1.12).


- 48 -

Réseau R1

Réseau R2

Réseau R1

Réseau R2

= distance entre les 2 réseaux

x''

y''

x'

y'

y

x

Lame semi-réflechissante

Faisceau Eprouvette

Plan image

Lentille L2 Filtre plan

Lentille L1

figure 1.12 : Schéma du montage expérimental CGS en réflexion.

Cette technique permet d'extraire les facteurs d'intensité des contraintes à partir des relations

précédentes (1.55), (1.13) en statique [36] [37] et en dynamique [37] [38] [39] [40]. C'est une

technique difficile à mettre en œuvre, qui nécessite des réseaux de traits R1 et R2 avec une

densité important (40 traits.mm-1), moins élevée toutefois que celle nécessaire pour la mise en

œuvre du moiré interférométrique (1400 traits.mm-1). L'hypothèse d'un comportement

purement élastique du matériau limite considérable son utilisation, ainsi les matériaux élasto-

plastique ne peuvent être étudiés seulement dans la partie élastique.

Comme pour les méthodes précédentes basées sur les interférences, l'extraction de

l'information mécanique peut être faite automatiquement en utilisant les méthodes quasi-

hétérodynes (i.e. décalage de phase) pour les cas statiques [41] ou par des méthodes moins

précises basées sur l'extraction de phase à partir d'une seule image pour l'étude de propagation

de fissure.

1.7.2.2 Les caustiques.

Le phénomène de caustiques n'apparaît qu'en présence d'une singularité, ce qui en fait une

méthode parfaitement adaptée à l'étude de la fissure. Les fondements théoriques comme les

exploitations expérimentales de la méthode des caustiques ont été principalement développées

par Theocaris [42] et Kalthoff [43] C'est une méthode facile à mettre en œuvre, et qui ne

requiert pas de gros dispositif expérimental. La source lumineuse peut-être de nature

différente et les conditions d'éclairement quelconques. Il existe trois arrangements de base

permettant d'obtenir une caustique, à partir d'un milieu fissuré : l'étude en transmission, ou en


- 49 -

réflexion de matériaux transparents et ou en réflexion de matériaux opaques. Les formulations

du phénomène des caustiques et la mise en équation sont complexes, mais le traitement

informatique rend cette technique plus abordable.

Concernant l'aspect optique du phénomène, la caustique est définie comme l'enveloppe d'un

système de rayons lumineux réfléchis ou réfractés par une surface convexe.

Champ lumineux

I

Surface caustiqueCaustiques

Plan image

O

z0

z0 =57 mm z0 =128 mm z0 =203 mm

Caustiques obtenues expérimentalement avec une plaque en PMMA (arrangement optique en transmission avec dépôt d'aluminium sur la surface).

Zone d'ombre

Plan image

z0

Concentration lumineuse

Concentration lumineuse

Fissure

b)

a)

figure 1.13 : a) Principe physique de la formation des caustiques [1]. b) Exemples de

caustiques obtenues en transmission.

Son utilisation en mécanique de la rupture concerne l'étude statique, quasi-statique ou

dynamique de la propagation de fissure. Manogg [44] fut l'un des premiers à utiliser cette

méthode en mécanique de la rupture. Il a mis en évidence que le phénomène de caustique était

sensible au gradient de contraintes dans le cas de plaques transparentes ou opaques fissurées

ce qui modifie les propriétés optiques du matériau (l'indice de réfraction). La zone d'étude se

trouvant confinée à proximité de la pointe de fissure, cette méthode ne permet donc pas de

réaliser des mesures de champs cinématiques. Indiquons que cette méthode, qui met à profit

un gradient de contraintes, offre une image facilement exploitable (couronne lumineuse

fortement lumineuse (figure 1.13b) là où les méthodes basées sur l'exploitation rend parfois

difficile l'extraction de l'information mécanique en raison d'une forte densité de franges à cet

endroit.. Après obtention des caustiques pour une éprouvette SEN et en relation avec les


- 50 -

..h

ED

17,33

2.2K

0

2/5

2/5I

z

relations bidimensionnelles, la détermination du FIC (KI) est directement proportionnelle au

diamètre (D) de caustiques (1.56).

(1.56)

avec z0 : la distance du plan image (i.e. distance entre la plaque et le plan image).

Cette expression est obtenue à partir d'une hypothèse forte qui est un état de contraintes

planes (CP). Ainsi, le déplacement hors-plan est exprimé à partir de la relation (1.19) et la

condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une caustique est donnée par l'annulation

du Jacobien J [45].

En statique pour l'étude de plaque fissurée, nous pouvons citer Rosakis et al [46] pour l'étude

des matériaux fragiles et Pop [47] pour les matériaux ductiles. Dans le cas de la mécanique de

la rupture dynamique, nous pouvons citer les travaux de Beinert et al [14], Rosakis [48],

Suzuki et al [49], Sohier [50], Arakawa et al [51] qui par la méthode des caustiques

déterminent les d-FIC.

1.7.3 Méthodes optiques par suivi de motifs.

1.7.3.1 La corrélation d'images numériques.

La méthode de corrélation d'images numériques est basée sur la mesure du degré de similitude

entre deux motifs. La démarche expérimentale consiste donc à enregistrer séparément l'état

initial et l'état déformé. Un calcul du produit de corrélation entre les deux images donne accès

à la mesure du déplacement entre celles-ci. Le calcul du degré de similitude nécessite un

motif naturellement présent (des aspérités) à la surface de l'éprouvette. Si ce n'est pas le cas, il

est possible de créer ce motif aléatoire à partir de projection de peinture et/ou de poudre. La

valeur est connue au pixel entier près, en conséquence pour obtenir une précision au subpixel,

la technique la plus largement utilisée est l'interpolation du pic de corrélation. Cela donne la

position de ce pic au 10ième de pixel près [52] [53]. Les déformations peuvent être calculées

par différences finies à partir des champs de déplacements. Cette méthode optique est très

largement utilisée dans les domaines de la mécanique, en statique ou en dynamique. Son

utilisation dans le calcul de déplacement ou de déformation est aujourd'hui très répandue.

Nous pouvons citer, en mécanique de la rupture statique, les travaux de Yoneyama et al [54]

et Abanto-Bueno et al [55] en mode mixte, Sutton et al [10] et Sun et al [56] en mode I. De


- 51 -

plus, des essais en dynamique lors de propagation de fissure utilisent la corrélation d'images

numériques, par exemple les travaux de Chao et al [57] et Kirugulige et al [58].

Pointe de fissure

Mouchetis déposé sur la surface Vecteur déplacement dans le plan

Zone d'étude

41 mm

figure 1.14 : a) Mouchetis déposé sur la surface d'une éprouvette en polycarbonate (taille du

grain 50-100 m). b) Vecteur déplacement associé pour un chargement F = 1010 N.

Avec cette méthode, nous avons accès au vecteur déplacement plan entre deux états

mécaniques, ainsi les déformations (xx, yy, xy) et les gradients de déplacements (Fxx, Fyy, Fxy,

Fyx) peuvent être déterminés. L'inconvénient de cette méthode est la résolution spatiale car le

degré de similitude est déterminé sur la fenêtre d'étude et l'incrément entre deux calculs est

généralement la taille de la fenêtre. Si l'amplitude des déplacements est de l'ordre de 0,1 mm

avec une résolution de l'ordre du dixième de pixels, la taille du grain du mouchetis doit être

égale à 10 m, ce qui oblige l'utilisation d'une caméra à haute résolution. Pour une zone

d'étude de 10 x 10 mm² et pour une résolution spatiale de 2,5 m.pixel-1 (1 grain = 4 pixels),

la taille du capteur de la caméra doit être 4000 x 4000 pixels². Le plus souvent quatre grains

sont visibles sur la fenêtre d'étude, ce qui donne une taille de 16 x 16 pixels² pour cette

fenêtre.

1.7.3.2 La méthode des grilles.

La méthode des grilles est une méthode optique géométrique permettant l'extraction des

déplacements suivant les deux directions du plan.


- 52 -

yxyx xx ,2

p,u

yxyx yy ,2

p,u

yxyxyx

yxyxyxyx

yly

xlx

,B,sincosp

cos

,sincosp

cos.,A,I

_

_

y

px

py

x

figure 1.15 : Paramètres principaux définissant une grille (p=50 m).

L'intensité lumineuse reflétée en un point de coordonnée (x,y) par la surface contenant la

grille est donnée par l'équation suivante :

(1.57)

où A(x,y), B(x,y) représentent respectivement l'amplitude de modulation et le fond continu, px,

py le pas du réseau de grille suivant les deux directions (x et y).

L'information mécanique de déplacements est contenue dans les phases l_x(x,y) et

l_y(x,y).Comme pour la corrélation d'images numériques, il faut prendre deux images (état

chargé (l) et état non-chargé (0)) pour pouvoir extraire l'information mécanique. En calculant

les phases de chaque point avant et après chargement puis en les soustrayant, nous pouvons

extraire les déplacements ux et uy :

(1.58)

(1.59)

avec x(x,y) = l_x(x,y) - 0_x(x,y) et y(x,y) = l_y(x,y) - 0_y(x,y).


- 53 -

Le premier avantage de cette méthode optique est sa bonne résolution en déplacement allant

du 20ième [25] jusqu'au 100ième de pas [31]. Le second avantage est la faible taille de la zone

non démodulée dû à la singularité géométrique, qui est égale au pas du réseau. Néanmoins, la

réalisation des réseaux de grille à la surface de l'éprouvette peut s'avérer compliquée. Dans la

littérature, différentes techniques existent : les méthodes séquentielles, la photolithographie et

la vaporisation sous vide.

Les méthodes séquentielles consistent à graver des lignes régulièrement espacées, soit

directement à la surface étudiée (ex : métal) ou soit sur une fine couche de PMMA

préalablement déposée. Le pas ainsi généré est de très bonne qualité et peut varier d'une

dizaine de nanomètres à quelques dizaines de micromètres. Cette méthode est limitée

spatialement ( 104 m²) et le temps de réalisation des grilles est très important.

La photolithographie consiste à illuminer un réseau préalablement déposée à la surface de

l'éprouvette, elle-même recouverte d'une résine photosensible. Le pas ainsi obtenu est de

l'ordre de 0,5 m sur une surface de 1 cm². Des variantes de cette technique existent ne

nécessitant plus l'utilisation d'un réseau maître [59]. Dans ce cas, cette technique est appelée

"photolithographie interférentielle directe", les réseaux sont générés par les interférences

lumineuse entre deux sources cohérentes.

La troisième technique pour générer des grilles à la surface d'une éprouvette consiste à

vaporiser une fine couche d'aluminium au travers d'un réseau maître. Ainsi des plots

indépendants les uns des autres sont créés. Jusqu'à présent la zone d'étude était limitée à

3,3 mm² avec des pas allant de 13 à 82 m [60]. L'étendue de ce réseau est trop petite pour

étudier le comportement mécanique en pointe de fissure et dans la zone entourant la fissure.

Aujourd'hui, il est possible de réaliser des plots sur de grandes surfaces (150 x 150 mm²) avec

l'utilisation de réseaux maîtres, provenant de GranulotShop [61] référencés N°47101/1,

N°42801, N°43051 et certifié ISO 3310-1 : 2000. Ces réseaux sont déviés de leur utilisation

première. En effet, ce sont des tamis permettant de séparer des particules d'une taille 25 m.

Le pas des trois réseaux disponibles au laboratoire, est respectivement de 50, 125 et 190 m.

Le dépôt sous vide d'aluminium, pour obtenir des plots constituant une grille, présente

l'avantage d'être extrêmement rapide à réaliser et à mettre en œuvre. Toutefois l'erreur sur la

phase démodulée est très fortement liée à la "qualité" (i.e. périodicité, contraste, …) des plots

créés.


- 54 -

2sin1I

2xy2

yyxx2

m 22

Très peu de développements ont été entrepris couplant cette méthode à l'étude de plaques

fissurées. Les travaux de Ritter [62] consistent à calculer les champs de déplacements et de

déformations à partir de cette méthode optique. Les travaux d'Avril et al [63] consistent à

localiser la présence de fissures macroscopiques dans une poutre de béton armé en vue de les

réparer avec un matériau composite. L'extraction des déplacements fait apparaître des

discontinuités dans les champs cinématiques caractérisant la présence de fissure.

Actuellement, cette méthode fait l'objet de recherches au sein du GDR 2519 dans le groupe de

travail "Métrologie". On y étudie par exemple l'analyse de la phase obtenue à partir de grilles,

en comparant différents algorithmes d'extraction de phase.

En extrayant la phase, nous pouvons exprimer l'information mécanique contenue dans celle-

ci. Dans la littérature, différents algorithmes d'extraction de phase à partir d'une seule image

existent [27] [28] [29] [31] [26] [30].

1.7.4 Méthodes optiques basées sur la variation d'indice optique.

1.7.4.1 La photoélasticité.

Les matériaux transparents, isotropes au repos ont la propriété à devenir biréfringents

lorsqu'ils sont soumis à des contraintes. Lorsqu'une éprouvette biréfringente est placée dans

un polariscope circulaire constitué d'un polariseur et d'un analyseur circulaire, l'intensité du

rayonnement est de la forme [34]:

(1.60)

où est proportionnel à la différence de contraintes principales 1 et 2.

Les interférences créés en lumière blanche sont appelées isochromes (lignes d'égal

cisaillement maxi m=1-2 = cst). En utilisant la loi de Hooke et celle de Maxwell, m s'écrit

de la façon suivante :

(1.61)

où m=N./(C.e)


- 55 -

avec : N = ordre de la frange isochromatique

= longueur d'onde

C = constante photoélastique.

e = épaisseur du modèle biréfringent.

Pour obtenir la constante photoélastique, un essai de traction est réalisé avec un polariscope

rectiligne en plaçant le polariseur à /4 de la direction de traction [34]. Pendant les années 50,

Post [64] utilisa la photoélasticité pour étudier le comportement mécanique (i.e. les

concentrations de contraintes) en pointe de fissure en statique puis en dynamique [65]. Cette

technique fut largement utilisée pour déterminer les FIC en pointe de fissure [66] suivant le

mode de chargement de l'éprouvette et le mode d'analyse en statique [67] ou en dynamique

[68]. L'inconvénient, à utiliser cette méthode, est la forte densité des franges qui apparaissent

proche de la singularité dû aux gradients des contraintes. Pour s'affranchir de cela, des études

ont été entreprises au sein du laboratoire pour déterminer les FIC à partir de données

éloignées du fond de fissure [69]. Un autre inconvénient à cette méthode est l'intégration dans

l'épaisseur du phénomène mécanique (zz = xz = zx = yz = zy = 0) donc, les phénomènes

tridimensionnels présents en pointe de fissure sont alors difficilement visualisables.

Dans ce paragraphe, la méthode CGS en transmission et la méthode des caustiques en

transmission auraient pu être évoquées mais les phénomènes tridimensionnels présents en

pointe de fissure sont difficilement exploitables.

1.8 Synthèse des méthodes optiques en mécanique de la rupture.

Dans le tableau suivant, nous récapitulons les grandeurs cinématiques accessibles par les

méthodes optiques citées précédemment. De plus, nous rappelons les avantages et les

inconvénients de chacune d'entre elles. Ces méthodes optiques se limitent aux grandeurs

mécaniques surfaciques (2D), aucune méthode de mesures volumiques [70]

(photoélasticimétrie 3D et corrélation volumique) n'est présentée. Mais, une comparaison de

ces champs expérimentaux par rapport aux données théoriques bidimensionnelles permet de

quantifier l'influence de l'épaisseur des modèles. Pour cela, nous pouvons comparer les

champs, minimiser les écarts entre les résultats expérimentaux et les solutions théoriques pour

extraire le facteur d'intensité des contraintes ou alors calculer l'intégrale J à partir des champs

expérimentaux de déplacements.

1.8 Synthèse des les méthodes optiques en mécanique de la rupture.

- 56 -

Méthodes

optiques

Grandeurs

mesurées Avantages Résolution

Résolution

spatiale Inconvénients

Interférométrie

de Michelson uz

- Chp théo.

asympt.

- PAS hyp.

(CP) ou (DP)

- Facilité

d'utilisation

- Peu

consommatrice

d'énergie lumineuse

Statique 6 nm

Dynamique

12,5 nm

Statique 1

pixel

Dynamique

32 pixels

- Dépôt alu. surface

libre

- Densité franges en

pointe

Moiré

interférométrique ux et uy

- Bonne résolution

spatiale

- Consommatrice

d'énergie

Statique 16

nm

Dynamique

37 nm

Statique 1

pixel

Dynamique

32 pixels

- 1 composante dépl.

- Densité du réseau


pointe

Méthode CGS x

u z

ou

y

u z

- Bonne résolution

spatiale

- Consommatrice

d'énergie

Statique

p/45/ rad et

dynamique

p/20/ rad

Statique et

dynamique

./p rad

- Pb plan


pointe

Corrélation ux et uy - Dépl. plan

Statique et

dynamique

1/10 pixel

Statique et

dynamique

32 pixels

- Réalisation

mouchetis.

- Discontinuité géo.

Méthode des

grilles ux et uy

- Dépl. plan

- mesure proche

fissure

Statique et

dynamique

1/20 pixel

Statique et

dynamique 32

pixels

- Dépôt alu. surface

libre.

- Réseau de grilles

caustiques KI

- Mesure à

proximité de la

pointe de fissure

0,25 % ponctuelle

- Pb plan.

- Pas mesure de

champ

photoélasticité (1-2)

- Différences de

contraintes

principales

Statique

0,02% et

dynamique

0,04%

Statique 1

pixel

Dynamique

32 pixels

- Pb plan.


pointe

tableau 1.1 : Avantages et inconvénients des différentes méthodes optiques.

Les valeurs de résolution de la corrélation et de la méthode des grilles n'ont pas la même unité

que la grandeur mesurée, car elles sont liées au grandissement utilisé. Concernant les

résolutions de la méthode des caustiques et de la photoélasticité, elles sont exprimées en

pourcentage de la grandeur mesurée. Parmi toutes celles citées précédemment, aucune n'est

idéale pour étudier le comportement mécanique proche de la pointe de fissure, pour des

fissures stationnaires et lors de propagation de fissure. Toutefois, un choix de méthodes


- 57 -

optiques doit être fait par rapport aux travaux existants dans la littérature, aux moyens

expérimentaux et d'analyses d'images existant au laboratoire et aux études antérieurs

présentées dans les prochains chapitres. Ce choix difficile sera discuté après les deux études

de l'art respectives faites en statique et en dynamique.

Nous avons présenté succinctement la mécanique de la rupture élastique linéaire

bidimensionnelle et les différentes méthodes optiques, les deux prochains chapitres vont

permettre d'étudier l'influence de l'épaisseur, négligée dans les expressions analytiques

bidimensionnelles, pour des fissures stationnaires (chapitre 2) et lors de propagation de

fissures (chapitre 3). Ces études permettront de quantifier la modification des champs de

déplacements lorsqu'une structure fissurée de dimensions finies est chargée en mode I. Dans

le chapitre 2, nous étudierons les champs de déplacements plans en comparant la théorie,

l'expérimental et le numérique. Pour le chapitre 3, l'étude menée consiste à dimensionner la

zone des effets 3D proche de la pointe de fissure lors de propagation. Cette zone est définit

comme l'étendue des écarts en la théorie bidimensionnelle et les résultats expérimentaux.

CHAPITRE 2 : Etude des fissures stationnaires.

- 59 -

CHAPITRE 2 :

Fissures stationnaires : Analyse des champs

de déplacements plans.

Tenter d'imposer d'une manière exclusive une certaine conception

de la recherche limitera l'aptitude de la science à s'adapter

à un avenir que personne n'est en mesure de prévoir.

Pierre Joliot

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=tenter�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=imposer�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=maniere�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=exclusive�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=certaine�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=conception�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=recherche�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=limitera�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=aptitude�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=science�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=adapter�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=avenir�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=personne�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=mesure�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=prevoir�


- 61 -

2 Fissures stationnaires : Analyse des

champs de déplacements plans.

2.1 Introduction.

Les travaux de Laurent Humbert dans le cadre de sa thèse [1] avaient mis en évidence, en

utilisant l'interférométrie de Michelson comme Rosakis [46] auparavant par la méthode des

caustiques, une zone dite "tridimensionnelle" entourant la pointe de fissure. Une comparaison

entre les déplacements hors-plan expérimentaux et la théorie bidimensionnelle fait état d'une

solution singulière inadaptée au voisinage de la pointe de fissure et a permis de dimensionner

une zone tridimensionnelle ou zone 3D. Ce décrochement est lié au caractère tridimensionnel

présent proche d'une singularité géométrique non prise en compte dans les expressions

mathématiques des déplacements des solutions théoriques bidimensionnelles précédemment

présentés. Cette étude a été menée seulement sur la comparaison de déplacement hors-plan.

Autrement dit, si la théorie bidimensionnelle ne rend pas compte de la réalité des

déplacements hors-plan, qu'en est-il pour les expressions des déplacements dans le plan ?

Beaucoup de travaux traitent de la mécanique de la rupture statique, mais peu portent sur

l'extraction de champs de déplacements dans le plan lors d'un même essai [10]. Néanmoins

des travaux basés sur le moiré interférométrique ont mis en évidence que des différences

existaient entre les données expérimentales des déplacements et la solution bidimensionnelle

correspondante [35] mais aucune zone 3D n'a pu être montrée. Nous montrons que

contrairement au déplacement hors-plan, une simple comparaison des déplacements ne permet

pas de dimensionner la zone 3D. Le calcul des paramètres intrinsèques de la mécanique de la

rupture que sont KI et l'intégrale J de Rice peut-être abordé, mais la détermination de cette

dernière nécessite les deux champs de déplacements dans le plan entourant la pointe de fissure

et plus exactement les gradients de ces champs. L'obtention de ces gradients à partir de

données expérimentales est difficilement réalisable en raison de la présence de bruit dans les

données expérimentales, c'est pour cela que parallèlement à ces travaux une étude numérique

3D a été mise en œuvre, basée sur les modèles tridimensionnels de plaques semi infinies

caractérisant un cylindre de matière centré en pointe de fissure. Dans ce chapitre, nous

analysons le comportement proche de la pointe de fissure à partir de mesures expérimentales

obtenues à la surface libre sur des matériaux fragiles pour des sollicitations en mode I. Cette

étude va permettre de comparer ces résultats avec la théorie bidimensionnelle, valider le

2.2 Etat de l'art en mécanique de la rupture statique.

- 62 -

zθrzθr

zθrzθr

,,σ,,σ

,,σ,,T

yyxx

zz3D

programme éléments finis et calculer les paramètres KI et l'intégrale J. Si les effets

tridimensionnels présents en pointe de fissure perturbent les déplacements dans le plan, ils

modifient aussi les valeurs de ces paramètres.


Dans ce paragraphe, nous limiterons nos rappels aux travaux traitant de la fissuration statique

réalisés en mode I sur des matériaux fragiles par des modélisations numériques et/ou des

essais expérimentaux.

2.2.1 Approches numériques et couplage numérique/expérimental.

2.2.1.1 Maillage explicite de la fissure.

Les premières études numériques de la zone tridimensionnelle entourant la pointe de fissure

sont ceux de Nakamura et Parks [71] qui par la modélisation d'un cylindre, permettaient de

visualiser l'état de contraintes proche de la pointe de fissure. La modélisation

tridimensionnelle est constituée d'un cylindre de rayon (r) centré en pointe de fissure avec

seulement une demi-épaisseur du cylindre de matière maillée (figure 2.13). Le fait de ne

modéliser qu'une partie de l'éprouvette nécessitait d'appliquer le chargement (forces nodales)

sur les nœuds extérieurs du maillage. Le modèle présentait un comportement élastique

isotrope et un front de fissure rectiligne. Par une analyse des champs de contraintes, les

auteurs ont défini un critère de triaxialité T3D décrivant l'étendue de la zone tridimensionnelle

et s'exprimant sous la forme suivante :

(2.1)

avec 0 T3D(r,, z) 1. Pour un état de (CP), zz = 0 donc T3D(r,, z) = 0. En déformations

planes (DP), zz = (xx+yy) ainsi T3D(r,, z) = 1.

D'autres développements ont été effectués permettant de modéliser un front de fissure

parabolique plus proche du cas expérimental [72] [1]. Cette dernière approche a permis de

comparer les champs de déplacements hors-plan numérique et théorique et de conclure qu'un

champ de contrainte tridimensionnel existait proche de la pointe de fissure (R=r/h0,5).


- 63 -

2.2.1.2 Intégrale G-théta.

Cette technique numérique développée par Parks [73] et par Hellen [74] a pour but de

déterminer la direction potentielle de propagation de la fissure qui maximise la valeur du taux

de restitution d'énergie (G) par une extension virtuelle. Cet algorithme a été implanté par

Dubois [75] dans le code CASTEM 2000 sous le nom de G-théta. Le but de son étude était de

redéfinir l'intégrale J de Rice en tenant compte de l'évolution temporelle de la pointe de

fissure et d'obtenir des champs mécaniques lors de la propagation d'une fissure.

2.2.1.3 Modification des fonctions de forme.

Cette technique nécessite le couplage de champs cinématiques expérimentaux et d'une

approche "pseudo-éléments finis". Les déplacements obtenus expérimentalement sont

considérés comme conditions aux limites du problème [76]. En employant des fonctions

d'interpolation "particulières" tenant compte de la singularité géométrique, les champs de

déplacements sont obtenus dans la zone entourant la singularité. Cette approche permet de

s'affranchir de la singularité géométrique et du bruit de mesure généré par une étude

expérimentale. A partir des champs numériques, les paramètres intrinsèques de la mécanique

de la rupture comme K et l'intégrale J peuvent être déterminés. Une identification des

propriétés mécaniques, par exemple la loi d'endommagement [77] du matériau analysé peut

être effectuée.

2.2.1.4 Intégrale d'interaction.

L'intégrale d'interaction est une technique alternative permettant d'extraire les facteurs

d'intensité des contraintes d'un champ de déplacements, car la première possibilité consiste à

minimiser les écarts entre des champs mesurés et les solutions asymptotiques. Très largement

utilisé dans le cadre de simulation numérique [78], cette technique a été récemment utilisée

pour extraire séparément les facteurs d'intensité de contraintes à partir des champs

expérimentaux (u), d'un champ de contraintes (), des champs auxiliaires (uaux), (aux) et d'un

champ d'extension virtuelle (q) [79]. Cette technique ne fait intervenir que les gradients des

déplacements dont la mesure est entachée de bruit [80]. En conséquence, un bruit conséquent

peut être obtenu sur la valeur des FIC. Pour réduire la valeur du bruit, les auteurs ont choisi un

champ d'extension virtuelle (q) peu contraint afin de réduire la sensibilité au bruit.


- 64 -

2.2.2 Approches expérimentales.

2.2.2.1 Mesures directes (Les caustiques).

L'approche de la mécanique de la rupture par la méthode des caustiques a permis de mettre en

évidence en statique un champ de contraintes tridimensionnelles entourant la pointe de

fissure (Rosakis et al [46]: R0,5). Après analyse des résultats publiés, nous constatons que

pour une plaque en Polyméthacrylate de méthyle (PMMA) fissurée, la zone 3D se situe plus

proche de R0,25. Pour obtenir ces résultats, les auteurs ont extrait le Facteur d'Intensité des

Contraintes Kexp à partir du diamètre de la caustique généré et de la relation (1.59), qui est

alors comparé avec les valeurs issues de la relation (1.20).

2.2.2.2 Mesures de champ dans le plan.

2.2.2.2.1 La Corrélation d'Images Numériques (CIN).

Cette technique permet l'obtention directement des champs de déplacements dans le plan

(ux et uy) dans une zone entourant la pointe de fissure lors d'un même essai. La CIN est très

sensible à la présence de discontinuité géométrique car le motif aléatoire présent

naturellement, ou par ajout de peinture, n'est pas conservé du fait de la présence de la

singularité géométrique. Ainsi l'extraction des déplacements dans la région proche de la

fissure n'est possible qu'en diminuant la taille de la zone d'étude. De plus, nous avons accès à

une valeur des déplacements sur la zone d'étude, et l'incrément de calcul entre deux zones est

très souvent égal à la taille de la zone elle-même (généralement la taille de la zone : 16x16 ou

32x32 pixels² et donc l'incrément est de 16 ou 32 pixels), ce qui entraîne une diminution de la

résolution spatiale. A partir des données expérimentales et des relations théoriques, les deux

paramètres KI et J peuvent être directement calculés. Concernant KI, il faut minimiser les

écarts entre les données expérimentales et les expressions théoriques [54] [55]. Le calcul de

l'intégrale J de contours est réalisable, mais au préalable il faut dériver les champs de

déplacements [10]. Sutton et al avaient conclu que l'intégrale J expérimentale était égale à

20% du calcul de l'intégrale J théorique (1.42). Dans le cas de faibles déplacements, le calcul

des gradients est impossible mais des formulations empiriques, caractérisant les déplacements

expérimentaux, peuvent être utilisées.


- 65 -

a

λ3

_ e12

.sinεC.a..sin.ε),(ur

Arakawayθ

θrθr

2.2.2.2.2 Moiré interférométrique.

En utilisant le moiré interférométrique sur une plaque fissurée, Arakawa et al [35] ont pu

extraire le champ de déplacements (uy(r,)) autour de la pointe traduisant les déplacements

suivant l'axe de sollicitation (traction). Les éprouvettes étaient des éprouvettes SEN sollicitées

en mode I de chargement. Les matériaux analysés sont des matériaux fragiles (ex : PMMA) et

des matériaux ductiles (ex : aciers). En comparant les résultats des déplacements avec

l'expression bidimensionnelle uy-2D (1.12), des écarts sont apparus. Les auteurs ont alors

formulé une expression du champ de déplacements dans la zone proche de la singularité

(uy_Arakawa(r,)).

(2.2)

où E

1.

h.W

Fε' est le champ de déformation d'une éprouvette non fissurée dû à un chargement

extérieur (traction), (a) la longueur de fissure [mm], C et des constantes à minimiser.

Cette formulation est une expression empirique basée sur le principe de superposition de

Murakami [81], qui consiste à découpler le problème de singularité des champs mécaniques,

en un champ correspondant à une éprouvette non fissurée, sollicitée en traction (figure 2.1a)

additionné au champ d'une éprouvette dont seules les lèvres de la fissures sont chargées

(figure 2.1b). Cette approche permet d'utiliser dans l'expression empirique deux termes

distincts. Le premier terme ('.r.sin) caractérise les déplacements engendrés par une plaque

soumise à de la traction simple et le second terme

a

λ3 e1

2.sinεC.a.

rθ

de l'expression

(2.2) tenant compte de la modification des déplacements engendrée par la présence de la

singularité.


- 66 -

= +

a) b)

F

F F

F

W

a

figure 2.1 : Principe de superposition [81]

Ces travaux ont permis d'affirmer que la théorie bidimensionnelle n'était pas adaptée pour

caractériser le champ de déplacements suivant l'axe de chargement. L'étude expérimentale

menée ne vérifie pas les conditions de plaques infinies (géométrie de l'éprouvette

200 x 40 mm², la longueur de la fissure a=6 mm), contrairement aux hypothèses permettant

d'obtenir l'expression théorique (1.12). De plus, la méthode optique choisie permet d'extraire

qu'une seule composante du déplacement dans le plan lors d'un essai, donc seul le calcul

direct de KI peut être entrepris car le calcul de l'intégrale J nécessitent les deux composantes

des déplacements dans le plan.

2.2.2.3 Mesures de déplacement hors-plan.

Ces travaux basés sur la mesure de déplacement hors-plan permettent de dimensionner

directement la zone tridimensionnelle en comparant les résultats expérimentaux et la

formulation théorique (1.19). Les travaux d'Humbert et al [33] ont confirmé la présence de

cette zone 3D dont l'étendue n'excède pas R=r/h=0,5, soit la demie-épaisseur de la plaque

dans la direction du front de fissure. Pour recaler les données expérimentales, les auteurs ont

fait l'hypothèse d'un état de contraintes planes dans la zone 0,5<R<0,8. Dans la zone 3D,

l'utilisation de l'hypothèse des contraintes planes s'avère erronée pour caractériser le champ de

contraintes, ainsi des développements [32] [33] [82] de formulations empiriques (2.3) (2.4) du

déplacement hors-plan ont été faits pour caractériser le déplacement proche de la pointe de

fissure. Nous constatons que cette zone reste constante indépendamment du chargement

extérieur appliqué. Pour représenter les résultats expérimentaux obtenus, une formulation


- 67 -

0,h

he,2avec

2π

1ce12

cos,2bE

hνKh,/u

12

I3Dstat

RdhR

RE

RRθ

RθaEθrR

i

i

212

12

2226a15a

2

4

2π

5

622

1313a

1

22

111a

Iz_Pfaff

ee29

7

ππ31

6e

πa

2cos.

e54

11.ea1.

e11

E

hνK,u

nr

nrnrnr

nrnrnr

nrnr

nn rθr

tridimensionnelle u3Dstat(R,) tenant compte de la zone 3D en pointe de fissure a été

développée (2.3).

(2.3)

où b, c sont des constantes inconnues et a() une fonction inconnue de .

Dans cette expression, on peut reconnaître le terme de l'expression bidimensionnelle (1.19)

auquel est ajouté un terme permettant de caractériser la zone 3D. Précédemment, une autre

expression avait été développée à partir de la mesure de relief obtenue par une méthode

interférométrique (interféromètre de Twyman-Green) [32]. Cette expression fait apparaître six

variables à minimiser.

(2.4)

avec h

2πr

rn et a1=1,07473, a2=0,130624, a3=3,025, a4=1,05335, a5=0,7258 et a6=0,7172.

Pour obtenir les valeurs des constantes ai (i=1 à 6) de la formulation (2.4), les champs

numériques des déplacements hors-plan obtenus à partir du modèle de Nakamura et Parks

[71] sont utilisés pour minimiser les écarts avec l'expression précédente.

2.3 Méthode optique choisie pour l'étude de fissures stationnaires.

Jusqu'à présent aucune méthode optique donnant accès à des mesures dans le plan n'a pu être

mise en œuvre pour déterminer l'étendue de la zone tridimensionnelle. Différentes méthodes

optiques ont été appliquées à la mécanique de la rupture pour des fissures statiques, mais peu

2.4 Etude expérimentale des champs de déplacements dans le plan.

- 68 -

d'entre elles donnent accès directement aux champs de déplacements dans le plan lors d'un

même essai (excepté la corrélation et la méthode des grilles). Toutefois l'utilisation de la

corrélation dans le cadre de la mécanique de la rupture peut s'avérer difficile si l'amplitude des

déplacements est faible car la taille du grain doit être petite et le système d'enregistrement doit

avoir une grande résolution (§ 1.7.3.1).

Nous avons donc choisi un motif structuré (i.e. grilles), dont le principe a été présenté

précédemment dans ce mémoire (§ 1.7.3.2). La limitation spatiale des grilles, de l'ordre de

quelques millimètres carrés, ne permettait pas d'entreprendre des études macroscopiques. Au

sein du laboratoire, nous maîtrisons maintenant l'élaboration de grille de grande surface par

vaporisation sous vide (150 x 150 mm² avec un pas fixe compris entre 50 et 175 m),

permettant l'étude des déplacements dans une zone de dimensions suffisantes entourant la

pointe.

Concernant le processus d'extraction de l'information mécanique, nous avons choisi la

méthode MPC (en anglais pour : Modulated Phase Correlation) qui permet d'extraire la phase

d'un réseau de grille en chacun point de l'image (i.e. une précision du 20ième de pas

(6,25.10-3 mm pour une grille avec un pas de 125 m)). Nous aurions pu utiliser d'autres

méthodes pour extraire les champs de déplacements, comme par exemple la méthode 'Npas'

[83] [84] où la technique de corrélation même si le motif est structuré. Les travaux de

Doumalin [85] sur l'utilisation de la technique de corrélation sur des grilles simulées montrent

que cette technique est quatre fois moins précise que pour un mouchetis aléatoire numérique

(précision de 1.10-2 mm pour une grille de pas p = 125 m et un grandissement

= 25 m.pixel-1).

Par l'utilisation de la méthode des grilles permettant de déterminer les champs de

déplacements dans le plan sur la surface libre de la plaque, nous pouvons directement calculer

les FIC sur tout le champ d'étude à partir des relations (1.14) (1.15) et en dérivant les champs

obtenus, nous avons accès aux valeurs de l'intégrale J. Ainsi, si le caractère tridimensionnel en

pointe de fissure perturbe les champs de déplacements, les facteurs d'intensité des contraintes

et l'intégrale J ne seront pas constants, comme le prédit la théorie 2D.


Pour extraire l'information mécanique des déplacements à partir d'une image de grille, il faut

d'abord extraire la phase des images. Pour cela, nous utilisons la méthode MPC [26] [30]

basée sur le principe de corrélation entre des franges réelles et des franges virtuelles, qui sera

présentée ultérieurement (§ 3.3.1). En modifiant l'expression mathématique pour pouvoir


- 69 -

γξγξγξ

γξγξγξγξ

l

l

,B,sincosp

cos

,sincosp

cos.,A,f

_

_

B,p

cos.,p

cos.A,f __

ll

l'adapter à l'analyse des grilles, nous sommes en mesure d'extraire les phases (l_x(x,y),

l_ y(x,y)) suivant les deux directions x et y et pour chaque état de chargement (l).

2,5 mm

1,75

mm

l

l

y

x

Zone d'étude

figure 2.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de grille.

Définie sur une zone d'étude de dimensions (l, l.), l'expression mathématique des grilles

virtuelles (1.20) s'écrit sous la forme suivante :

(2.5)

avec : l_(,), l_(,) les phases contenant l'information mécanique, p, p le pas de la grille

suivant et .

Cette expression dépend de huit variables A(,), B(,), p, p, , , l_(,) et l_(,). Sur

la zone d'étude, l'amplitude de modulation A(,) et le fond continu B(,) sont considérés

comme constants. Les champs de déplacements dans le plan peuvent être extraits à partir des

phases l_(,) et l_(,), sachant qu'expérimentalement p = p = p. Si les axes de la caméra

sont confondus avec les axes de la grille et si les rotations restent négligeables lors de l'essai

(HPP), l'expression (2.5) se simplifie et s'exprime de la façon suivante :

(2.6)


- 70 -

Après extraction des phases, nous pouvons calculer les déplacements avec les équations

mathématiques (1.58) (1.59).

Nous résumons, à l'aide du synoptique suivant les différentes étapes aboutissant à l'extraction

des champs de déplacements expérimentaux dans la zone proche de la pointe de fissure.

Matériau élastique à comportement

fragile

Taillage éprouvette

PSM4 et PMMA

Réalisation d'une fissure

Dépôt de la grille sur la surface par

vaporisation

Sollicitation mode I + Acquisition image autour de la fissure

Caméra CCD (1600 x 1200 pixels²)

ou (3072 x 2048 pixels²)

Démodulation

MPC

l_x(x,y) et l_y(x,y)

l_x(xf,yf) =0 et l_y(xf,yf) =0

en pointe de fissure (xf,yf)

ux(x,y) et uy(x,y)

),(_0

),(_

.2π

p),(u yx

iyx

ilyxi avec i=x,y

p= 125 ou 50 m

figure 2.3 : Organigramme pour obtenir les déplacements expérimentaux ux et uy.

Dans cet organigramme nous présentons, à partir d'une plaque fissurée, l'ordre chronologique

permettant l'obtention des champs de déplacements dans le plan (ux et uy). Nous étudions deux

matériaux ayant un comportement fragile, le polyuréthane (PSM4) et le PMMA. Le PMMA

étant plus rigide que le PSM4, l'amplitude des déplacements sera moins importante que pour

le PSM4.

2.4.1 Détermination des caractéristiques mécaniques des matériaux.

Pour les deux matériaux employés, les caractéristiques mécaniques ont été obtenues en

utilisant une méthode optique développée au sein du laboratoire de Mécanique des Solides : le

suivi de marqueurs [86]. Selon cette technique, on réalise quatre marqueurs sur la surface de

l'éprouvette normalisée (figure 2.4) et taillée dans la même plaque que les éprouvettes

fissurées. Pour chaque état de charge, ces marqueurs sont enregistrés par la caméra CCD.


- 71 -

Zone d'étude enregistrée par la caméra CCD.

4 marqueurs

Fenêtre de calcul

x

y

150

105

20

10

figure 2.4 : Principe du suivi de marqueurs.

Un logiciel Deftac spécialement étudié pour le suivi de marqueurs a été développé au sein de

l'équipe photomécanique de rhéologie, notamment par Valle et Dupré [87] et il permet de

suivre la position des taches au cours du chargement. Les déformations sont considérées

homogènes sur la base de mesure (5x5 mm) qui est délimitée par les taches. Les déformations

associées (xx, yy, xy) sont calculées à partir de la théorie des grandes déformations appliquée

à un parallélogramme élémentaire (déformable) dont les milieux des côtes correspondent aux

taches. Le logiciel offre la possibilité d'entourer initialement chacune des taches d'une fenêtre

de calcul qui se déplace avec la tache. C'est une méthode de mise en œuvre facile sur

n'importe quelles surfaces et convenant sur tous types de matériaux. Cette méthode optique

donne une précision sur les déformations de l'ordre de 2.10-4. Nous obtenons pour le PMMA

et pour le PSM4 aux courbes contraintes-déformations suivantes :


- 72 -

σ

εE yy

yy

xx

ε

εν

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Déformation

Con

trai

nte

(MP

a)

-yy -xx -yy

-xx

Con

trai

nte

(MP

a)

Déformation

a) b)

figure 2.5 : a) courbe contraintes-déformations pour le PMMA. b) courbe contrainte-

déformation pour le PSM4.

La courbe de la figure 2.5b a été obtenue par Germaneau [70] dont les travaux portaient sur

l'étude de la réponse tridimensionnelle d'une structure soumise à un chargement.

Dans la partie linéaire des courbes, nous pouvons déterminer les caractéristiques mécaniques

(E, ) du matériau étudié, en utilisant les relations suivantes :

(2.7)

(2.8)

Les caractéristiques mécaniques (E, ) des deux matériaux sont présentées dans le tableau 2.1.

Caractéristiques mécaniques E [MPa]

PMMA 2825 25 0,4 0,04

PSM4 3 0,4 0,46 0,04

tableau 2.1: Caractéristiques mécaniques (E, ) du PMMA et du PSM4.


- 73 -

2.4.2 Montage expérimental.

2.4.2.1 Montage expérimental pour le PMMA.

Pour l'étude des déplacements à partir de la méthode des grilles sur une plaque fissurée en

PMMA, le chargement (figure 1.3) est réalisé par une machine de traction INSTRON

(10 kN maxi). La caméra CCD utilisée est une caméra de marque DALSA modèle

DS-13-06M03 dont le capteur est de 3072 x 2048 pixels² (figure 2.6). Le pas du réseau de la

grille est de 50 m. La zone analysée (38,33 x 25,56 mm²) de l'éprouvette est centrée en

pointe de fissure (i.e. un grandissement = 0,01248 mm.pixel-1).

Caméra CCD

Eprouvette fissurée + grille

P

P

figure 2.6 : Montage expérimental pour le PMMA.

2.4.2.2 Montage expérimental pour le PSM4.

Pour le PSM4 moins rigide que le PMMA, l'amplitude des déplacements est plus grande.

Nous utiliserons alors une machine de traction de plus faible capacité (500 N maxi)

développée entièrement au laboratoire avec une caméra de 1600 x 1200 pixels² de marque

Marlin modèle : F501B. Le pas du réseau de la grille est de 125 m. La zone étudiée est de

1000 x 1000 pixels² correspondant à 30,5 x 30,5 mm² (i.e. un grandissement

= 0,0305 mm.pixel-1).


- 74 -

Grille (p =125 m) 30.5 mm

Caméra CCD

P

P

figure 2.7 : Montage expérimental pour le PSM4.

2.4.3 Présence de nodules sur les cartographies de phase.

Pour les deux montages expérimentaux, les axes principaux de la grille sont confondus avec

les axes de la caméra et la direction du chargement se fait suivant un axe principal (vertical).

De plus entre l'état chargé (l) et l'état non-chargé (0), la caméra est fixe donc la pointe de

fissure s'est déplacée spatialement par rapport à la grille CCD. Un repère de coordonnées (r,,

z) est centré en pointe de fissure pour les deux états de charge. Après démodulation avec une

zone d'étude de largeur (l = l = 32 pixels) (figure 2.2), nous constatons la présence de

"nodules" sur les cartographies de phase (figure 2.8) traduisant un comportement non

homogène, ce qui ne peut être représentatif du comportement d'une plaque fissurée.

Nodules

a) b)

r

y

x

figure 2.8 : a) Cartographie de phase x(r,) présentant des nodules. b) Extraction d'une

ligne de phase comportant des nodules.


- 75 -

Pour obtenir cette cartographie de phase, nous avons soustrait le champ de phase à l'état non

chargé (état 0) notée 0_x(x,y)) à la phase (l_x(x,y)) à l'instant de chargement (l). Sur la figure

suivante, nous avons extrait un profil de phase (ligne noire) où l'on remarque ces nodules

("vagues"). En aucun cas, une éprouvette en PMMA avec un comportement purement

élastique ne peut avoir un tel comportement local même si le milieu est fissuré. De ce fait, la

présence des ces nodules est obligatoirement engendrée lors de l'acquisition de la grille

déformée au cours du chargement.

Si des nodules apparaissent dans les cartographies de phase, c'est qu'ils apparaissent

physiquement lors de l'enregistrement des images. Plusieurs possibilités peuvent être la cause

de ces défauts, à savoir l'orientation de la grille par rapport à la grille de la CCD et les

problèmes de distorsion de champ liés au montage optique. En confondant les axes de la grille

expérimentale avec les axes de la caméra CCD, nous suspections, lors de la numérisation, la

présence d'un effet de moiré provoqué par les interférences entre les deux grilles (physique et

CCD). Pour examiner cet effet, nous réalisons deux tests en faisant varier l'orientation de la

grille (16 et 45 degrés), et en appliquant un mouvement de solide rigide à l'éprouvette. Pour

les doutes émis sur la distorsion du champ, ceux-ci peuvent être liés à l'utilisation de trois

bagues allonges, de longueurs respectives 8, 12 et 27,5 mm devant l'objectif de 28 mm. Pour

évaluer l'influence de ces bagues, nous choisissons de recaler manuellement la pointe de

fissure au même pixel pour les différents états de charge. Le tableau suivant récapitule les

différents paramètres modifiés et indique la pertinence ou non de nodules sur les

cartographies de phase dans ces nouvelles conditions.

Paramètres Présence de nodules

Orientation à 45° de la grille / caméra OUI

Orientation à 16° de la grille / caméra OUI

Recalage spatial de la caméra NON

tableau 2.2: Paramètres modifiés pour éliminer les nodules.

En orientant à 45 degrés la grille réseau par rapport aux axes de la caméra, nous observons

toujours la présence de modules (figure 2.9a), il en est de même pour l'orientation à 16 degrés

(figure 2.9b). La présence de nodules est amplifiée car nous avons seulement appliqué un

mouvement de solide rigide. Lorsque nous recalons spatialement la grille de la caméra par


- 76 -

rapport à la pointe de fissure (i.e. toujours le même point de la CCD en pointe de fissure)

avant acquisition de l'image, on parlera alors de "recalage manuel", les nodules disparaissent

(figure 2.9c). Un plan subsiste qui sera soustrait pour obtenir une symétrie pour le

déplacement ux et une antisymétrie pour les déplacements uy par rapport au front de fissure, la

détermination de ce plan sera présentée ultérieurement, au paragraphe § 3.4.1.

Rot

atio

n de

45

degr

és

Rot

atio

n de

16

degr

és

a)

b)

Rec

alag

e m

anue

l

c)

figure 2.9 : a) Cartographie de phase pour une grille inclinée à 45 degrés. b) Cartographie de

phase pour une grille inclinée à 16 degrés. c) Cartographie de phase pour une grille recalée

spatialement par rapport à la grille CCD.


- 77 -

yxyxyx _xl_xx_ ,,2

p,u 0exp

yxyxyx _yl_yy_ ,,2

p,u 0exp

θrθθr

θrD sinE2

cos1

2

2sin

2

K,u 2I

2y

θr

θθrθrD cos

E2sin

1

1

2cos

2

K,u 2I

2x

Après un "recalage manuel", nous constatons qu'il n'y a plus de nodule, mais un bruit de

mesure subsiste, relativement important par rapport à l'amplitude de la phase. C'est pour cela

que dans le paragraphe suivant, nous ferons une étude des déplacements expérimentaux sur du

PSM4 avec un pas de grille de 125 m, car l'amplitude des déplacements est plus important

que pour le PMMA.

2.4.4 Etude des champs de déplacements expérimentaux et théoriques ux et uy.

Maintenant que nous avons des cartographies de phases sans nodules, l'étude du

comportement mécanique d'une plaque fissurée peut être faite. Nous rappelons les relations

optico-géométriques (1.58) (1.59) permettant d'obtenir les champs de déplacements

expérimentaux (ux_exp, uy_exp) à partir des champs de phases.

RAPPELS :

(1.58)

(1.59)

Pour les données expérimentales, nous faisons un changement de repère pour passer en

coordonnées cylindriques (r,) centrées en pointe de fissure, pour pouvoir comparer les

résultats expérimentaux et les formulations théoriques (1.14) (1.15). Nous rappelons les

équations des déplacements obtenues pour un état de contraintes planes (CP) à partir des

champs de contraintes.

RAPPELS :

(1.14)

(1.15)

Les données géométriques de l'éprouvette et les caractéristiques mécaniques du matériau,

déterminées à partir de suivi de marqueurs, sont présentées dans le tableau 2.3.


- 78 -

Matériau Mod. d'Young

E [MPa]

Coef.

Poisson

Longueur fissure

a [mm]

Largeur

W [mm]

KI

[MPamm]

Epaisseur

h [mm]

PSM4 3 0,4 0,46 0,04 9 0,02 40 0,02 0,30305

0,00187 6 0,02

tableau 2.3: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PSM4.

Nous traçons les champs de déplacements ux et uy théoriques et expérimentaux obtenus

(figure 2.10).

30,5

mm

30

,5 m

m

30,5 mm

Déplacements expérimentaux

r

x

y

30,5 mm

r

x

y

ux-2D(r,)

uy-2D(r,)

30,5

mm

30

,5 m

m

30,5 mm

Déplacements théoriques

r

x

y

30,5 mm

r

x

y

uy_exp(r,)

ux exp(r,) [mm]

[mm]

figure 2.10 : Champs de déplacements théoriques et expérimentaux ux et uy.

En comparant les champs théoriques et expérimentaux (figure 2.10), nous pouvons constater

que les résultats diffèrent en ce qui concerne les deux composantes planes du déplacement.

Dans les deux cas, l'amplitude des déplacements n'est pas conservée. Pour mieux visualiser

les écarts entre les résultats expérimentaux et les déplacements théoriques (figure 2.11 et


- 79 -

figure 2.12), nous avons choisi d'extraire les valeurs des déplacements autour de la pointe de

fissure pour des angles définis ( = 0, 45, 90 et 135 °).

figure 2.11 : Déplacements théoriques et expérimentaux ux pour différents angles .

figure 2.12 : Déplacements théoriques et expérimentaux uy pour différents angles .

2.5 Etude numérique des champs de déplacements dans le plan.

- 80 -

2.4.5 Discussion et conclusions.

Nous pouvons mieux constater les écarts entre la solution bidimensionnelle et les données

expérimentales sur la figure 2.11 et la figure 2.12. Ces écarts peuvent être de nature différente,

une solution théorique développée pour des plaques infinies faisant l'hypothèse d'un état de

contraintes planes alors que expérimentalement ce n'est généralement jamais le cas, des effets

tridimensionnels présents pouvant aussi modifier les déplacements dans le plan, ou une

extrémité de fissure insuffisamment éloignée d'un bord de l'éprouvette entraînant des effets de

bord.

La question que nous sommes en droit de nous poser, est que si la théorie bidimensionnelle

n'exprime pas les champs de déplacements proche de la pointe de fissure, qu'en est-il des

valeurs des facteurs d'intensité des contraintes KI ou de l'intégrale J de contour?

Le calcul expérimental direct de KI est difficilement envisageable car le bruit de mesure

perturbe la minimisation. Mais cela devient presque impossible pour les valeurs de l'intégrale

J car elles nécessitent de calculer le produit de gradients de déplacements. Donc deux

possibilités nous sont offertes pour obtenir ces deux paramètres à partir des données

expérimentales : d'une part filtrer les données (§ 2.2.2.2.1), d'autre part interpoler les

déplacements (§ 2.2.2.2.2) par des formulations appropriées permettant de dériver ces

déplacements et ainsi de calculer l'intégrale J. En raison de l'amplitude du bruit, nous avons

choisi de ne pas filtrer les données, même si le nombre de points de mesure est important

(106 points).

Nous avons basé nos formulations empiriques sur la formulation existante (2.2) et sur les

résultats expérimentaux et numériques. L'étude numérique proposée est basée sur une

modélisation développée lors de travaux antérieurs au sein du laboratoire [88] ce qui permet

de comparer les résultats numériques et expérimentaux, et ainsi de valider les champs de

déplacements et d'étendre les formulations proposées au calcul des gradients de déplacements,

nécessaires pour l'intégrale J


2.5.1 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque infinie.

Cette étude consiste à reprendre un programme éléments finis développé initialement pour

comparer les déplacements hors-plan numériques et ceux obtenus par interférométrie et ainsi

valider les conditions aux limites et la loi de comportement [88]. Les phénomènes liés à la

présence d'une fissure dans un milieu nécessitent de réaliser un maillage adapté en pointe de


- 81 -

fissure. La modélisation choisie s'appuie sur celle développée par Nakamura et Parks [71]

pour l'étude de plaque élastique mince fissurée (sollicité en mode I). La modélisation se

schématise par l'extraction d'une zone entourant la pointe de fissure d'une plaque d'épaisseur

(h). Le maillage modélise la zone proche de la pointe de fissure par un cylindre de rayon (r)

égal à la longueur de fissure (r = a) (figure 2.13). Pour une analyse par éléments finis, on

remarque que seul un quart de l'éprouvette à réellement besoin d'être modélisée (figure 2.17).

En effet, si nous considérons un chargement uniaxial (=P/S avec S=W.h) perpendiculaire à

la surface fissurée, le problème est symétrique par rapport aux plans de la fissure et du

ligament ( y

=0). Il y aussi une symétrie par rapport au plan médian de la plaque ( z

=0). Le

modèle peut tenir compte d'un front de fissure parabolique mis en évidence par les travaux de

Bazant et Estenssoro [72]. En analysant la forme du front de fissure expérimental, nous avons

choisi un front de fissure rectiligne utilisé par Nakamura et Parks. Pour une étude numérique,

les paramètres nécessaires pour analyser le comportement mécanique en pointe de fissure

sont : E, , KI et la contrainte appliquée (tableau 2.3.). Une bonne concordance entre les

résultats expérimentaux et les simulations numériques a permis de valider le programme

éléments finis (maillage, conditions aux limites et loi de comportement). Les mesures

expérimentales du déplacement hors-plan avait été réalisées sur une plaque fissurée avec les

dimensions suivantes : la longueur L = 270 mm, la largeur W = 190 mm, l'épaisseur h = 6 mm

et pour une longueur de fissure a=62 mm [88].

Front de fissure rectiligne

Lèvre supérieure de la fissure

Surface libre

Ligament (Plig)

x

z

y

rmax

(Pcyl)

figure 2.13 : Représentation et maillage du quart de cylindre.

Le maillage de la zone entourant la pointe de fissure est constitué d'héxaèdres trilinéaires à

huit nœuds. On construit un maillage rayonnant proche de la pointe de fissure (figure 2.17).


- 82 -

0

dzd.rsin.,,rσcos.,,rσ

dzd.rsin.,,rσcos.,,rσ

0

f

f

felem

maxmaxyymaxxy

elem

maxmaxxymaxxx

elem2

elem1

elem zz

zz

La taille des éléments augmente lorsque l'on s'éloigne de la pointe de fissure. Il en de même

dans l'épaisseur de la plaque lorsque l'on s'éloigne de la surface libre. Cela se justifie par des

variations importantes des grandeurs cinématiques près de la surface libre et de forts gradients

de déplacements présents en pointe. Cette modélisation impose des conditions aux limites

proches des conditions expérimentales.

2.5.1.1 Conditions aux limites.

Sur le plan ligament (Plig) et le plan médian (z=0), les symétries imposées par le chargement

et la forme de l'éprouvette induisent les conditions suivantes pour les déplacements :

(2.9)

où uy et uz sont les composantes cartésiennes du déplacement dans le repère de la

figure 2.17.

Une condition aux limites supplémentaire suivant x

doit être apportée. Nous considérons,

comme la solution bidimensionnelle, que le déplacement ux_num en pointe de fissure est nul

(ux_num = 0 au point (x, y, z) = (0,0,0)).

Pour les conditions aux limites de chargement, nous rappelons que pour les éléments finis, le

chargement surfacique extérieur est toujours exprimé par des forces nodales appliquées aux

nœuds. L'opérateur fsur implantée dans CAST3M permet alors d'appliquer les forces nodales

élémentaires relatives à la contrainte appliquée () sur la surface extérieure du cylindre. Pour

calculer ces forces nodales, nous considérons chacun des éléments de surface (i.e. des

quadrilatères qua4) du cylindre extérieur (Pcyl). Avec la normale extérieure n

[cos sin 0] à (Pcyl) en tout point, l'effort élémentaire est obtenu de la façon suivante :

(2.10)

avec les contraintes xx, yy, xy égales aux expressions (1.10) pou r=rmax.

med

lig

P),,(M,0)M(u

P),,(M,0)M(u

zyx

zyx

z

y


- 83 -

2.5.1.2 Déplacements ux_num et uy_num de la surface libre.

Nous pouvons maintenant extraire les champs de déplacements numériques et les comparer

aux données expérimentales. Pour cela nous définissons une zone commune de

18 x 18 mm² sur les champs numériques et expérimentaux. Sur la figure 2.14, nous présentons

les résultats numériques et expérimentaux obtenus en considérant dans le modèle numérique

une loi de comportement purement élastique, sans plasticité présente au confinement de la

pointe de fissure.

ux exp(r,) ux num(r,)

uy exp(r,) uy num(r,)

[mm]

[mm]

18 mm

18 m

m

18 mm 18 mm

Déplacements expérimentaux Déplacements numériques

r

x

y

18 mm 18 mm

r

x

y

r

x

y

r

x

y

figure 2.14 : Champs de déplacements expérimentaux et champs de déplacements

numériques pour une modélisation de plaque infinie.

Comme pour la comparaison entre les données expérimentales et les formulations

bidimensionnelles, nous extrayons les deux champs de déplacements suivant les mêmes

angles .


- 84 -

figure 2.15 : Evolution des déplacements ux expérimentaux, théoriques et numériques pour

une plaque infinie.

figure 2.16 : Evolution des déplacements de uy expérimentaux, théoriques et numériques

pour une plaque infinie.


- 85 -

Nous constatons que les déplacements suivant ux sont différents entre la solution 2D et les

résultats numériques. Au contraire de uy, où les écarts sont très faibles. Pour les résultats

expérimentaux, les champs numériques ne sont pas égaux. Des divergences non négligeables

apparaissent. Nous savons que ce programme donne de bons résultats pour les déplacements

hors-plan lorsque la plaque a des dimensions importantes (160 x 270 mm²) et une fissure plus

avancée dans la plaque (60 < a < 64 mm). Pour nos études expérimentales, nous ne pouvons

pas étudier de plaques aussi grandes car nous sommes limités par la taille de l'enceinte de la

machine de vaporisation sous vide, ainsi que par les dimensions de la grille maîtresse. Ainsi

lors de sollicitation mécanique, des effets de structures non négligeables sont créés lors de

l'étude expérimentale et qui ne sont pas pris en compte lors de la modélisation numérique.

Ceci peut expliquer les écarts constatés entre les déplacements numériques et expérimentaux.

De plus la longueur de fissure est de 9 mm et des effets de bord sont présents, qui influencent

les champs de contraintes et de déplacements loin de la zone singulière. C'est dans le but de

réaliser une modélisation tenant compte des effets de structure et des effets de bord que nous

avons choisi de modéliser la plaque "entière". Comme pour la modélisation de la plaque

infinie, seul un quart de l'éprouvette a été modélisée du fait des symétries de chargement.

2.5.2 Etude numérique pour une modélisation 3D de plaque finie.

Les progrès informatiques et la géométrie de la plaque, nous permettent de modéliser

entièrement la plaque. Pour modéliser l'éprouvette "entière", nous sommes partis de la

modélisation du cylindre de matière entourant la fissure auquel nous avons ajouté le "reste" de

la plaque. Ainsi sur la figure 2.17, nous retrouvons le cylindre de la figure 2.13 sur l'ensemble

de la plaque.

(1)

(2)

x

z

yW

a

L/2h/2

Ligament

Surface libre

Surface fissurée

r

θ

Eprouvette SEN

Front de fissure

figure 2.17 : Représentation et maillage du quart de l'éprouvette.


- 86 -

2.5.2.1 Conditions aux limites.

Nous avons appliqué les mêmes conditions aux limites sur les déplacements que

précédemment, pour la modélisation 3D de la plaque infinie (§ 2.5.1.1), seule la condition aux

limites de chargement est modifiée. Le chargement n'a plus lieu aux nœuds extérieurs du

cylindre, mais directement sur la surface de chargement. Nous utilisons toujours l'opérateur

fsur pour appliquer les forces nodales élémentaires équivalentes à la contrainte appliquée ().

2.5.2.2 Résultats de l'étude numérique.

Pour chacun des déplacements ux_num et uy_num, nous extrayons les isovaleurs en chacun des

nœuds et nous les comparons avec les données expérimentales figure 2.18.



[mm]

[mm]

30,5 mm

30,5 m

m

30,5 mm 30,5 mm

Déplacements expérimentaux Déplacements numériques

r

x

y

30,5 mm 30,5 mm

r

x

y

r

x

y

r

x

y

figure 2.18 : Champs de déplacements expérimentaux et numériques sur la surface libre.


- 87 -

Les évolutions de ux et uy sont également représentées suivant quatre orientations angulaires

(=0, 45, 90 et 135 °)

figure 2.19 : Evolutions de ux pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.

figure 2.20 : Evolutions de uy pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.

2.6 Calcul de l'intégrale J.

- 88 -

Nous pouvons constater que les déplacements sont nuls en pointe de fissure et que les données

numériques et expérimentales sont très proches. Les déplacements évoluent de façon

monotone, quelque soit l'angle . En modélisant entièrement la plaque, nous avons pris en

compte, la présence des effets de structure et la présence des effets de bord. Ces effets jouent

un rôle important dans la forme et dans l'amplitude des champs de déplacements. Maintenant

que le programme d'éléments finis permet de prendre en compte les effets engendrés par la

présence d'une fissure et par la présence des effets de structures, nous allons déterminer les

paramètres caractérisant la mécanique de la rupture. En comparant les données numériques

aux données théoriques, KI peut alors être déterminé. La valeur des FIC est directement liée

aux conditions limites imposées dans le modèle numérique et aux solutions théoriques (1.11)

(1.12). Par exemple, si un autre nœud du front de fissure est bloqué, un mouvement de solide

rigide est alors ajouté modifiant les champs de déplacements. Si les champs de déplacements

sont modifiés alors le calcul des facteurs d'intensité des contraintes est erroné. Contrairement

à cela, l'intégrale J, qui fait appel aux gradients de déplacements aura une valeur inchangée.


A partir des résultats numériques et des données expérimentales, nous ne pouvons pas

comparer directement les gradients nécessaires au calcul de l'intégrale J de contour. Comme le

montrent les courbes de la figure 2.20, les données sont entachées de bruit ne permettant pas

l'extraction directe des gradients. Dans la littérature, l'équation (2.2), minimisée à partir des

données expérimentales, permet de caractériser le champ de déplacements suivant l'axe de

chargement, mais en aucun cas elle ne permet de calculer à elle seule l'intégrale J. Une

comparaison entre les gradients numériques numF et ceux calculées à partir de l'expression

d'Arakawa (Fyx_Arakawa, Fyy_Arakawa) permettrait d'étendre le domaine de validité de cette relation

au calcul des gradients de déplacements pour la détermination de l'intégrale J.

2.6.1 Gradients de déplacements de la formulation d'Arakawa.

Après résolution du problème avec les éléments finis, la procédure Grad de CAST3M permet

d'extraire les valeurs des gradients de déplacements ou de température, en chacun des nœuds

du maillage. Dans le but d'étendre au calcul des gradients la formulation empirique

d'Arakawa, nous minimisons l'expression (2.2) par rapport au champ de déplacement

numérique uy_num et nous obtenons ainsi les valeurs des constantes (C = 2,25 et =5,755).

Ensuite, il vient les gradients de déplacements au moyen des équations suivantes [9]

(équations (1.47)).


- 89 -

Pour une meilleure visualisation des écarts entre les différents gradients, nous avons choisi

d'extraire les résultats suivant deux angles ; =+45° et =+160°.

figure 2.21 : Extraction des gradients de déplacements numériques et de la formulation

d'Arakawa.

En amont de la pointe de fissure =+45°, les gradients sont sensiblement égaux mais lorsque

augmente, des différences non négligeables apparaissent conduisant même à une pente

inversée. Les gradients de déplacements obtenus par la formulation d'Arakawa ne représentent

pas au mieux les gradients numériques (ex : =+160°). Donc la formulation d'Arakawa

permet de caractériser le champ de déplacement suivant l'axe de chargement, mais pas de

façon assez précise pour le calcul des gradients Fyx et Fyy. Dans ce cas, nous nous sommes

orientés vers le développement de deux formulations (ux et uy,) permettant d'exprimer à la fois

les déplacements suivant les deux directions et le calcul du tenseur gradient F . Comme la

formulation empirique d'Arakawa (2.2), citée précédemment, les formulations proposées sont

basées sur le principe de superposition et sur les développements d'Arakawa.

2.6.2 Nouvelles formulations de ux et uy.

2.6.2.1 Expressions mathématiques de ux et uy.

En analysant les résultats des gradients et la figure 2.21, la formulation d'Arakawa est adaptée

pour représenter les gradients numériques lorsque -140°<<140°. Pour les déplacements

suivant l'axe x, le principe de superposition [81] est utilisé pour exprimer la relation de la

manière suivante :


- 90 -

xrx

xx θθrθr a-

e-1.εa.).(Gcos..εν.,u

yry

yy θθrθr a-

e-1.εa.).(Gsin..ε,u

(2.11)

où x, x, sont des constants, )(G θx est une fonction de θ .

Pour le déplacement ux, les deux termes suivants correspondent au principe de superposition.

Le terme ( θr cos..εν. ) caractérise les déplacements perpendiculaires au chargement en

coordonnées cylindriques sans présence de fissure et le second terme

xrx

x θa

-

e-1.εa.).(G correspond aux déplacements induits par le chargement des lèvres

de la fissure suivant l'axe x.

(2.12)

où y y sont des constants, )(G θx est une fonction de θ .

Pour le déplacement uy, l'expression d'Arakawa a peu évolué. Le premier terme n'a pas

changé et correspond toujours aux déplacements relatifs à une plaque non fissurée soumise à

de la traction dans le domaine élastique. Le second terme a été modifié et une constante y a

été ajoutée par rapport à l'expression d'Arakawa.

Chacune des expressions développées fait intervenir une fonction de (Gx() et Gy()). Une

étude de ces deux fonctions est menée pour leur donner une expression mathématique et

simplifier les relations (2.11) et (2.12).

2.6.2.2 Etude des termes Gx() et Gy().

Dans cette partie, nous avons choisi une expression mathématique pour chacun des deux

termes. En aucun cas, nous ne pouvons donner une signification physique précise qui

exigerait du reste un nombre important d'expérimentations avec différents types de matériaux,

pour différentes longueurs de fissure. Pour obtenir, les fonctions Gx() et Gy(), nous avons

minimisé les expressions (2.11) et (2.12) par rapport aux déplacements numériques. Ainsi,

nous obtenons les tracés suivants des fonctions de :


- 91 -

figure 2.22 : Evolution de Gx() dans l'intervalle ]- , [.

figure 2.23 : Evolution de Gy() dans l'intervalle ]- , [.

La fonction

2

3cos.

2cos. 21 xx CC minimise bien les données obtenues pour Gx() avec

C1x et C2x égales à des constantes. La fonction

2sin. 3

yC exprime bien les résultats obtenus

en privilégiant l'intervalle ]- 3/4, 3/4[. C1x, C2x, Cy sont des constantes à minimiser.

L'expression mathématique proposée du terme Gy() est identique à celle obtenue par

Arakawa. Ainsi, les formulations du déplacement dans le plan peuvent s'exprimer de la façon

suivante :

(2.13)

xrx

xxxθ

Cθ

Cθrθr a-

21 e-1ε'..a2

3cos.

2cos..cosν.ε'.,u


- 92 -

(2.14)

Pour obtenir l'ensemble des sept constantes x, y, x, y, C1x, C2x et Cy, un programme C++ a

été développé permettant de minimiser les écarts entre les expressions proposées et les

résultats numériques.

2.6.2.3 Etude des formulations ux et uy sur les déplacements numériques.

Après minimisation des écarts entre les champs de déplacements numériques et les

formulations proposées, nous obtenons les valeurs des sept constantes (tableau 2.4).

Déplacements Valeurs de constantes

C1x C2x x x Horizontal

ux 7.95 4.6 0.105 0.545

Cy y y Vertical

uy 3.1 1.62 0.63

tableau 2.4 : Valeurs des constantes intervenant dans les formulations proposées ux et uy.

A partir de ces constantes, nous pouvons tracer les champs de déplacements ux, uy et les

comparer aux champs numériques.

yry

yyθ

Cθrθr a-

3 e-1ε'..a2

sin..sinε'.,u


- 93 -



[mm]

[mm]

30,5 mm

30,5 m

m

30,5 mm 30,5 mm

Déplacements issus des formulations proposées Déplacements numériques

r

x

y

30,5 mm 30,5 mm

r

x

y

r

x

y

r

x

y

figure 2.24 : champs de déplacements (ux et uy) obtenus à partir des formulations proposées

et des simulations numériques.

Nous constatons que les champs numériques et ceux obtenus à partir des formulations sont

sensiblement identiques. Il est important de s'intéresser au développement de ces formulations

empiriques pour le calcul de gradients de déplacements nécessaires à la détermination de

l'intégrale J.

2.6.2.4 Gradients de déplacements des formulations proposées ux et uy.

Les gradients des formulations proposées sont calculés à partir des expressions (1.47) et sont

comparés aux gradients de déplacements numériques obtenus à partir de la procédure Grad

implantée dans le logiciel CAST3M. Nous traçons leurs évolutions suivant = 45 et

160 degrés.


- 94 -

figure 2.25 : Profils des gradients numériques, des gradients des formulations proposées et

des gradients de la formulation d'Arakawa.

La formulation proposée suivant x est adaptée pour représenter les gradients de déplacement

où peu d'écarts sont constatés avec les gradients de déplacements numériques. Contrairement

à la formulation d'Arakawa qui ne caractérise pas assez bien les gradients numériques à

l'arrière de la fissure, l'expression proposée (uy) représente mieux les gradients de

déplacements sur tout le champ (figure 2.25).

Les nouvelles formulations proposées, basées sur le principe de superposition et sur la

formulation d'Arakawa, permettent de caractériser les champs de déplacements comportant

des effets de structures et des effets de bord, et s'adaptent aussi au calcul des gradients de

déplacements.

2.6.3 Calcul de l'intégrale J pour le PSM4.

Le but des formulations développées est de calculer l'intégrale J de contour à partir des

données expérimentales bruitées. Cette étude a permis d'étendre le domaine de validité des

formulations empiriques, pour calculer les déplacements mais surtout les gradients de


- 95 -

E

KJG

2I

theo

déplacement. Avec les gradients, nous pouvons calculer l'intégrale J pour différents contours

circulaires de rayon (r). Le facteur d'intensité des contraintes KI apparaît comme un paramètre

intrinsèque de la rupture fragile et il est directement relié au taux de restitution d'énergie (G)

(§ 1.5.2).

RAPPELS

(1.42)

Nous pouvons tracer l'évolution de l'intégrale J à partir de la relation précédente (Jtheo) que

nous comparons à celle obtenue à partir des gradients numériques (Jnum) de CAST3M, à celle

issue des gradients des formulations proposées interpolées sur les déplacements numériques

(Jint/num) ainsi qu'à celle déterminée par exploitation des déplacements expérimentaux (Jint/exp)

obtenus pour différents contours ().

2.6.3.1 Essai sur le PSM4.

Nous minimisons les écarts entre les formulations proposées et les données expérimentales

(figure 2.10), ainsi les valeurs des sept variables seront déterminées (tableau 2.5) pour un état

de charge de 9,53 N.



ux 7,2 3,85 0,1 0,68

Cy y y Vertical

uy 3,0 1,3 0,73

tableau 2.5 : Valeurs des sept variables pour le PSM4 et un chargement de 9,53 N.

En comparant les valeurs des 14 variables obtenues (tableau 2.4 et tableau 2.5) et en

minimisant d'une part les écarts entre les données numériques et les formulations et d'autre

part les écarts entre les résultats expérimentaux et les formulations, nous constatons que les

valeurs des variables sont assez proches les unes des autres. Le bruit de mesure expérimental

perturbe peu le processus de minimisation, mais des écarts sont constatés qui peuvent être dû

aux caractéristiques mécaniques (E, ) du modèle numérique, pouvant être légèrement


- 96 -

différentes des caractéristiques expérimentales. Les valeurs des différentes intégrales J sont

tracées en fonction du rayon r.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jtheo

Jnum

Jint/num

Jint/expZone 3D

Ecart In

tégr

ale

J [M

Pa.

mm

]

r [mm]

figure 2.26 : Calcul des différentes intégrales J pour le PSM4.

Les valeurs des intégrales J sont faibles (<3,2.10-2 N/mm²). Une différence non négligeable

apparaît entre la solution théorique Jtheo (1.42) et le calcul des autres intégrales Jnum, Jint/exp et

Jint/num. Les effets de structures pris en compte dans l'essai expérimental et dans la

modélisation éléments finis, modifient considérablement ( 50 %) les valeurs de J. Les écarts

quoique très faibles, entre Jnum et Jint/num sont dus aux formulations proposées qui ne s'adaptent

pas parfaitement aux gradients de déplacements, mais cela reste faible devant les écarts avec

la solution théorique. Les formulations proposées sont donc bien adaptées pour caractériser

les déplacements, les gradients de déplacements et le calcul de l'intégrale J qui en découle.

Les écarts entre Jint/num et Jint/exp sont liés aux écarts entre les valeurs des gradients de

déplacement, toutefois cela reste très largement acceptable. Lorsque r<1,5 mm (R 0,25), les

intégrales Jnum, Jint/exp et Jint/num diminuent traduisant la présence d'effets 3D. L'écart

(figure 2.26) avec les valeurs théoriques de Jtheo peut être dû aussi aux effets de bord non pris

en compte dans la solution bidimensionnelle.

Le calcul de l'intégrale J, à partir de données expérimentales bruitées, peut être réalisé à partir

des deux expressions des déplacements (2.13) (2.14) et de l'expression des gradients de

déplacements (1.47), cependant l'amplitude des déplacements est relativement importante.

Dans le but de vérifier si nos formulations proposées sont adaptées au calcul de l'intégrale J

sur d'autres matériaux, nous allons maintenant étudier un matériau fragile, plus rigide, comme

le PMMA dont l'amplitude des déplacements est plus faible pour un même chargement. Le

rapport signal sur bruit de mesure sera donc plus important.


- 97 -

2.6.3.2 Essais sur le PMMA.

Le chargement extérieur est toujours en mode I, nous rappelons les caractéristiques

mécaniques du matériau obtenues à partir du suivi de marqueurs et présentons dans le tableau

2.6 les dimensions de l'éprouvette. Nous avons enregistré le réseau déformé pour deux états

de charge P1 = 498,5 N et P2 = 1255 N (KI1 = 7,135150,0329 MPamm et

KI2 = 17,96310,0462 MPamm.).

Matériau Mod. d'Young E

[MPa]

Coef.

Poisson

Longueur fissure

a [mm]

Largeur

W [mm]

Epaisseur h

[mm]

PMMA 2825 25 0,4 0.04 7 0,02 60 0,02 6,61 0,02

tableau 2.6: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PMMA.

2.6.3.2.1 Interpolation sur les données numériques.

Nous présentons les résultats des valeurs des sept variables des formulations proposées dont

nous avons minimisé les écarts avec les résultats des déplacements numériques pour les deux

états de charge.



ux 6,0 3,0 0,22 0,55

Cy y y Vertical

uy 3,6 1,335 0,595

tableau 2.7 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N.



ux 6,6 3,2 0,2 0,55

Cy y y Vertical

uy 3,6 1,335 0,595

tableau 2.8 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N.


- 98 -

Théoriquement les valeurs de sept variables devraient être égales pour les deux états de

charge car la différence entre les deux essais est seulement due à une modification du

chargement et comme nous utilisons un matériau purement élastique, les effets de structures

sont identiques pour les deux états de charge. Dans la simulation numérique par éléments

finis, il n'y a pas de bruit pouvant perturber la minimisation et ainsi modifier les valeurs des

variables. Pour les deux états de charge, les valeurs des variables de l'expression uy sont

identiques traduisant une expression bien appropriée. Concernant ux des écarts sont apparus

pouvant aller jusqu'à 10% ce qui reste largement acceptable. Cela provient certainement du

coefficient de Poisson () qui n'apparaît pas explicitement dans le second terme de

l'expression de ux, ce qui modifie directement les valeurs de C1x et C2x.

2.6.3.2.2 Interpolation sur les données expérimentales.

Les valeurs des 14 variables après minimisation pour les deux états de charge des champs de

déplacements expérimentaux obtenus après extraction des phases l_x(x,y) et l_y(x,y) sont

données dans les tableaux suivants.



ux 4,0 1,75 0,31 0,625

Cy y y Vertical

uy 2,75 1,79 0,4

tableau 2.9 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N.



ux 11,7 4,6 0,1 0,475

Cy y y Vertical

uy 3,0 1,7 0,6

tableau 2.10 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N.

Entre les 14 valeurs obtenues à partir des données expérimentales et pour les deux

chargements, on constate que les quatre variables de ux sont éloignés. Cela s'explique en


- 99 -

visualisant la figure 2.29 et la figure 2.31, où l'amplitude du bruit est de l'ordre de l'amplitude

du signal. La minimisation par moindre carrés s'avère alors délicate. Les valeurs Cy et y,

sont-elles sensiblement égales au contraire de y.

2.6.3.2.3 Résultats.

Pour les deux chargements, les champs théoriques (ux_2D, uy_2D), les champs numériques

(ux_num, uy_num), les champs interpolés sur les déplacements numériques (ux_int-num, uy_int-num), les

champs expérimentaux (ux_exp, uy_exp) et les champs interpolés sur les déplacements

expérimentaux (ux_ int-exp, uy_int-exp) peuvent être tracés en fonction r et .

Dépl. théo. Dépl. num. Dépl. int/num. Dépl. int/exp. Dépl. exp.

figure 2.27 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N.


- 100 -

Dépl. int/exp. Dépl. exp. Dépl. int/num. Dépl. num. Dépl. théo.

figure 2.28 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P2 = 1255 N.

Comme pour le PSM4, nous avons choisi d'extraire des profils de déplacements pour les

angles suivants : = 0°, 45°, 90°, 135°.


- 101 -

figure 2.29 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N.

figure 2.30 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N.


- 102 -

figure 2.31 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P2 = 1255 N.

figure 2.32 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P2 = 1255 N.

Après minimisation des écarts avec les données expérimentales bruitées, les formulations

proposées représentent relativement bien les champs de déplacements. La multitude de points


- 103 -

(2.106 points) de calcul pour déterminer les valeurs de sept variables permet de s'affranchir

du bruit. Le calcul des différentes intégrales J est maintenant possible, pour cela il faut

déterminer les gradients de déplacements. Sur la figure suivante, nous présentons les résultats

des intégrales J relatives aux deux chargements (P1 = 498,5 N et

P2 = 1255 N).

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Jtheo

Jnum

Jint/num

Jint/exp

Zone 3D r [mm]

Inté

gral

e J

[N/m

m]

Chargement P1

Chargement P2

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Inté

gral

e J

[N/m

m]

r [mm] Zone 3D

Chargement P1 Chargement P2 a) b)

Décrochement

figure 2.33 : a) Calcul des intégrales J pour le chargement P1=498,5N. b) Calcul des

intégrales J pour le chargement P2=1255N.

2.6.3.3 Discussion.

Cette étude sur un matériau plus rigide comme le PMMA a permis d'étendre le domaine de

validité des formulations proposées. De plus sur la figure précédente, nous pouvons constater

que l'intégrale J (Jint/num) calculée à partir des formulations correspond assez bien à l'intégrale

J (Jnum), donc les formulations proposées permettent de caractériser les champs de

déplacements et les gradients de déplacements proches de la zone singulière. La présence du

bruit lors du calcul des champs de phase n'est pas préjudiciable au calcul de Jint/exp, sauf pour

le chargement à P1 = 498,5 N où un décrochement entre Jnum et Jint/exp est très largement

visible (figure 2.33a). Autrement dit, le calcul de l'intégrale J à partir des champs extraits pour

ce chargement est difficilement envisageable car le rapport signal/bruit est très important.

Le bruit de mesure a une importance non négligeable sur les valeurs des 14 variables, ce qui

rend impossible une identification physique des sept variables à partir des données

expérimentales du PMMA pour de faibles états de chargement.

Pour l'essai avec un chargement P2 = 1255 N (figure 2.33b), nous constatons que pour

r > 1,5 mm (R 0,25), les différentes intégrales J sont sensiblement égales. Lorsque

2.7 Influence des effets de bords dans la modélisation numérique.

- 104 -

r < 1,5 mm, nous remarquons une divergence entre Jtheo et les autres intégrales J traduisant la

présence d'effets tridimensionnels en pointe de fissure, ce qui définie la zone 3D.

Dans les prochaines parties de ce chapitre, nous réalisons deux études à partir des champs

numériques de déplacements. Ces études consistent à définir d'une part les dimensions

géométries optimales pour l'étude des champs cinématiques à partir de la modélisation de

plaque infinie et d'autre part, une première étude d'indentification physique des variables des

deux formulations proposées en fonction de l'épaisseur (h) et de la longueur des fissure (a) des

modèles numériques.

Précédemment, nous avons conclu qu'une fissure non assez avancée dans l'éprouvette faisait

apparaître des effets de bord. Par cette étude numérique (§ 2.7) nous allons définir la longueur

de fissure à prendre en compte pour pouvoir simuler le comportement mécanique d'une

plaque par le modèle numérique cylindrique (figure 2.13). Il faut rester prudent sur la valeur

de (a) obtenue car elle est directement liée aux dimensions géométriques imposées (L et W) et

aux caractéristiques mécaniques (E et ).

Une identification physique des sept variables intervenant dans les deux équations proposées,

à partir de résultats expérimentaux serait coûteuse en temps, car il faudrait faire varier

différents paramètres comme la longueur de fissure (a), les dimensions géométriques des

éprouvettes (L, W, et h) et les caractéristiques mécaniques des matériaux (E et ). Toutefois,

nous disposons d'un outil numérique adapté pour caractériser les champs de déplacements.

Dans l'étude proposée dans la partie 2.8, nous choisissons de simuler différents modèles en

faisant varier les deux paramètres suivants (h et a).

2.7 Influence des effets de bords dans la modélisation numérique.

Pour étudier l'influence des effets de bords sur la modélisation, nous simulons une plaque

finie (pf) de dimensions 150 x 150 mm², avec les valeurs de E et du tableau 2.3. Pour

comparer l'influence de structure sur les champs de déplacements dans le plan, nous simulons

des plaques avec des longueurs de fissure (a) différentes, puis nous extrayons du programme

éléments finis la valeur du FIC KI_num. Nous prenons la valeur de KI_num et le chargement

comme paramètres d'entrée de la simulation de plaque infinie (pi). Puis, nous définissons deux

critères (un pour chaque déplacement) pour minimiser les effets de bord présents dans les

déplacements ux et uy. Pour mieux comprendre le principe, un récapitulatif de la démarche est

présenté sur la figure suivante.

CHAPITRE 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements plans.

- 105 -

Modélisation 3D plaque finie (pf)

Calcul de G et KI num

Chps déplacement (ux-pf, uy-pf)

a, F,

Modélisation 3D plaque infinie (pi)

KI num,

Chps déplacement (ux-pi, uy-pi)

CALCUL DES DEUX CRITERES

Données d'entrée

Données d'entrée

Comparaison des effets de bord

figure 2.34 : Organigramme pour le calcul des deux critères.

Pour visualiser la même zone sur les deux simulations, nous modifions le maillage de la

plaque finie (plaque "entière"). Auparavant un maillage rayonnant était utilisé en pointe de

fissure de rayon égal à la longueur de fissure (a) (figure 2.17). Dans cette partie, nous

choisissons un maillage rayonnant constant de rayon égal à (r = 1,5 x h) centré en pointe de

fissure pour avoir les nœuds des deux maillages (pf et pi) aux mêmes coordonnées spatiales.

Ceci nous permettra de faire des calculs directement aux nœuds du maillage sans faire

d'interpolation sur les déplacements. Nous simulons des modèles avec des fissures de

longueur différente (9 < a < 141 mm). Pour la modélisation de la plaque infinie, un cylindre

de rayon (r = 1,5 x h) est généré (figure 2.13).

2.7.1 Calcul du facteur d'intensité des contraintes numériques KI_num.

Dans Cast3M, la procédure G_théta [75] permet de calculer le taux de restitution d'énergie G

en chaque nœud des lignes constituant le front de fissure et une moyenne Gmoy est calculée sur

le front de fissure. Cette procédure requiert deux objets en entrée qui sont les éléments

constituant les lèvres et le front de fissure. Il faut préciser le nombre de couches d'éléments

autour de la fissure qui se déplace pour simuler une propagation de fissure. Les travaux

d'Humbert [1] ont mis en évidence que le nombre de couches choisi ne modifie que très peu le

résultat de Gmoy, donc nous choisissons le nombre de couche égal à 1. Le calcul de KI_num,

pour un état de contraintes, s'écrit de la façon suivante :

2.8 Etude des sept variables des formulations ux et uy.

- 106 -

1/2moyI_num .EGK

(2.15)

Nous présentons les valeurs KI_num et de KI-2D (équation (1.21)) obtenus pour un chargement

extérieur constant (F = 30 N) et pour des modélisations de plaques finies.

a [mm] 10 12 20 30 40 42 44 46

KI_2D

[MPamm] 0,21455 0,23779 0,327 0,4444 0,5804 0,6108 0,64259 0,67583

KI_num

[MPamm] 0,22874 0,25503 0,36182 0,50621 0,6742 0,71189 0,74948 0,78993

a [mm] 50 60 72 90 102 120 138 /

KI_2D

[MPamm] 0,74735 0,96407 1,33068 2,2589 3,28995 5,837 10,2023012 /

KI_num

[MPamm] 0,87587 1,1206 1,5037 2,4537 3,6401 8,0514 33,377 /

tableau 2.11 : Tableau récapitulatif des KI_num obtenu pour des plaques finies.

Les écarts entre KI_num et de KI-2D deviennent importants (> 10%) lorsque la fissure est assez

avancée dans le modèle. A partir des différents KI_num obtenus en fonction de la longueur de

fissure, nous modélisons le maillage rayonnant caractérisant une plaque infinie et les

paramètres d'entrée qui sont : la contrainte appliquée () et le FIC (KI-num) obtenu à partir de

la formulation (2.15) qui tient compte des effets de bord. Du fait du grand nombre d'essais,

aucun champ de déplacements ne sera présenté pour les plaques finies et infinies. Pour

quantifier la présence des effets de bord dans les champs extraits de la modélisation

numérique, nous définissons deux critères (norm_x (équation (2.16)) et norm_y (équation

(2.17))) dépendant des déplacements (ux et uy) des plaques finies et infinies et s'écrivant sous

les expressions mathématiques (2.16) (2.17).

2.7.2 Calcul des deux critères norm_x et norm_y.

Ces deux critères sont basés sur les i valeurs de déplacements extraits en chacun de 2702

nœuds (xi,yi) placées aux mêmes coordonnées entre les modélisations des plaques finies et

infinies. Les deux critères sont normalisés par rapport KI-num et s'écrivent sous la forme

suivante :


- 107 -

(2.16)

(2.17)

où ux-pf(xi,yi), ux-pi(xi,yi) représentent respectivement les déplacements suivant x de la plaque

finie et de la plaque infinie, et uy-pf(xi,yi), uy-pi(xi,yi) les déplacements suivant y de la plaque

finie et de la plaque infinie.

A partir des champs de déplacements et KI_num, nous traçons les deux critères en fonction de

(a) (

figure 2.35).

0.1

1

10

100

0 25 50 75 100 125 150

norm_x [mm³/N²]

a 0.1

1

10

100

0 25 50 75 100 125 150

norm_y [mm³/N²]

aminimum minimum a[mm] a[mm]

[mm5/N²] [mm5/N²]

figure 2.35 : Evolution de deux critères en fonction de (a).

En analysant la figure précédente, nous constatons que les effets de bord sont présents dans la

plaque finie et jouent un rôle important sur la valeur des champs de déplacements lorsque la

fissure est peu ou très avancée. L'influence des effets de bord sur les champs de déplacements

est identique suivant les deux directions. Lorsque que la longueur de la fissure augmente, les

effets de bord diminuent car les normes diminuent jusqu'à une limite (a = 42 mm). Les

normes augmentent ensuite par accroissement de la longueur de fissure trop proche de la

tranche opposée. Pour mieux visualiser les valeurs des deux critères, nous les rapportons dans

le tableau 2.12.

2702

1

2

I_num

pixpfx_x K

,u,unorm

i

iiii yxyx

2702

1

2

I_num

piypfyy_ K

,u,unorm

i

iiii yxyx


- 108 -

a [mm] 10 12 20 30 40 42 44 46

a/W 0,0667 0,08 0,1333 0,2 0,2667 0,28 0,2933 0,3067

norm_x

[mm5/N²] 22,813507 2,777551 1,197248 0,577663 0,39815 0,381601 0,387073 0,396123

norm_y

[mm5/N²] 2,274838 1,694626 0,721954 0,382436 0,28668 0,27847 0,280873 0,283098

a [mm] 50 60 72 90 102 120 138

a/W 0,333 0,4 0,48 0,6 0,68 0,8 0,92

norm_x

[mm5/N²] 0,383012 0,479496 0,569271 0,706308 0,990914 2,600046 17,941576

norm_y

[mm5/N²] 0,291506 0,332315 0,377599 0,447578 0,590166 1,443406 9,845916

tableau 2.12 : Tableau des valeurs de norm_x et norm_y.

Avec les résultats présentés pour visualiser "seulement" les effets 3D présents et pour

minimiser l'influence des effets de bord dans une modélisation, (a) doit être égale à 42 mm

soit un rapport (a/W) de 0,28. Il faut rester prudent sur la valeur de ce rapport car les effets de

bord sont aussi liés aux caractéristiques du matériau et notamment à =0,46. Dans nos études

expérimentales sur le PSM4 et le PMMA, nos rapports (a/W) sont de 0,225 et 0,117..

2.8 Etude des sept variables des formulations proposées ux et uy.

Après minimisation par la méthode des moindres carrés, des écarts entre les déplacements

numériques et les formulations proposées, l'évolution des sept variables est tracée en fonction

de la grandeur physique analysée, puis une identification de certaines de ces variables sera

proposée permettant ainsi de paramétrer leur évolution.

2.8.1 Influence de l'épaisseur (h) sur les sept variables.

Pour modéliser les différentes éprouvettes, nous imposons : L = 62 mm, W = 60 mm,

a = 7 mm, E = 2825 MPa, KI = 17,96 MPamm, = 0,4 et 0,5 h 15 mm. Nous obtenons

différents champs de déplacements numériques et nous minimisons les écarts avec les

formulations proposées (2.13) (2.14) (§ 2.6.2.2). Sur la figure 2.36, nous présentons

l'évolution des sept variables en fonction de (h) ainsi que les valeurs des écarts au carré

(norme_x et nome_y) obtenus pour 2406 points de mesures.


- 109 -

Variables de ux Variables de uy Ecarts de ux et uy [mm²]

h [mm] h [mm]

h [mm]

h [mm]

h [mm]

h [mm]h [mm]

h [mm] h [mm]

C2x

C2x=C1x/2

x

Cy

C1x

x

y

norme_y

norme_x

y

figure 2.36 : Evolutions des sept variables en fonction de l'épaisseur (h).

Sur le tracé de (C2x), deux types de valeurs sont tracés : les valeurs obtenues par minimisation

(carré plein) et le rapport C1x/2 (carré vide). Nous constatons que les valeurs sont relativement

proches. Une dérivée numérique est présente car l'évolution des variables x, C1x, C2x n'est pas

continue. Il en est de même pour les valeurs de (norme_x). L'évolution de x en fonction de


- 110 -

(h) n'est pas significative, c'est pour cela que l'on considérera x comme constant par rapport à

(h) (x = 0,545 ; trait pointillé sur la figure 2.36). Pour la variable x et hormis les résultats

pour h < 4 mm, nous choisissons une évolution linéaire de cette variable

(x=0,0312.h).

Pour les variables (Cy, y et y) de uy, peu d'évolutions sont à noter donc nous imposons Cy et

y constants par rapport à (h) (Cy = 3,65 et y = 0,59). A partir des variables imposées, nous

minimisons les écarts et traçons sur la figure suivante les valeurs des sept variables (triangles)

et leurs normes obtenues.


- 111 -


h [mm]

h [mm]

h [mm]

h [mm]

h [mm]

h [mm]h [mm]

h [mm] h [mm]

C2x C2x=C1x/2

x

Cy C1x

x

y

norme_y

norme_x

y

Cp1x Cpy

Cp2x

Cp2x=Cp1x/2

norme_yp

norme_xp

py

py

px

px

figure 2.37 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction de l'épaisseur (h).

En choisissant d'imposer quatre variables, nous constatons que C1x et C2x ont une évolution

continue en fonction de (h) et tendent vers une singularité lorsque h0. Les écarts au carré

(norme_x) de la formulation ux ont peu varié.


- 112 -

Pour les variables de uy, seul la variable y n'est pas imposée et l'on peut s'apercevoir qu'elle

peut être approchée par une fonction linéaire. Les valeurs des écarts au carré (norme_y) ont

peu varié, mise à part lorsque h 3mm.

2.8.2 Influence de la longueur de fissure (a) sur les sept variables.

Nous venons de montrer que certaines variables étaient plus ou moins sensibles à l'épaisseur

(h) du modèle. Pour savoir si la longueur de fissure (a) a une influence sur à les sept variables,

nous avons simulé plusieurs éprouvettes en faisant varier la longueur de la fissure

(10 a 120 mm). Les caractéristiques mécaniques des modèles sont celles du PSM4

(tableau 2.3) et les dimensions géométriques sont 150 x 150 mm² pour une épaisseur de h=6

mm. A partir des champs de déplacements numériques, nous minimisons les écarts pour

obtenir les valeurs des sept variables. Comme pour la figure 2.36 et la figure 2.37, l'évolution

des variables est tracée, mais cette fois-ci en fonction de (a).


- 113 -


a [mm] a [mm]

a [mm]

a [mm]

a [mm]

a [mm]a [mm]

a [mm] a [mm]

C2x

C2x=C1x/2

x

Cy C1x

x

y

norme_y

norme_x

y

figure 2.38 : Evolutions des sept variables en fonction de la longueur de fissure (a).

Pour les variables de ux et en fonction de (a) une évolution croissante pour C1x et C2x et une

décroissante pour x sont à noter. Pour la dernière variable (x), les valeurs obtenues peuvent

être approchées par une fonction linéaire (x = 5,961.10-4.a+0,5451). Concernant les variables

de uy, l'évolution de y est constante et est égale à 0,59. Cy présente une asymptote verticale


- 114 -

lorsque (a) est grand. Les écarts au carré (norme_x et norme_y) entre les déplacements

numériques et les formulations proposées (ux et uy) sont plus importants que pour l'étude faite

en fonction de l'épaisseur (h).


a [mm]

a [mm]

a [mm]

a [mm]

a [mm]

a [mm]a [mm]

a [mm] a [mm]

C2x

C2x=C1x/2

x

Cy C1x

x y

norme_y

norme_x

y

Cp1x Cpy

Cp2x

Cp2x=Cp1x/2

norme_yp

norme_xp

py

py px

px

figure 2.39 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction (a).


- 115 -

En imposant des variables pour l'étude en fonction de(a), nous constatons que C1x et C2x ont

une évolution non continue et les écarts au carré (norme_x) de la formulation ux ont peu varié

sauf pour a=10 mm où l'écart a plus que doublé.

En choisissant y constant, l'évolution de Cy a été peu modifiée et présente toujours une

singularité. Pour y aucune tendance significative n'apparaît en fonction de (a). Pour les écarts

au carré (norme_y) peu de différences sont apparues en fixant y.

2.8.3 Conclusions.

Cette étude s'inscrit dans une démarche d'identification physique des sept variables des

équations proposées, ainsi nous pouvons conclure que certaines variables ont une évolution

linéaire ou pas d'évolution en fonction des deux variables géométriques (h, a) des modèles

numériques. Pour réaliser une identification physique complète de ces variables, il faudrait

faire au minimum sept modèles en faisant varier une caractéristique géométrique ou

mécanique des modèles numériques, soit un total de 77 simulations numériques, car quatre

paramètres géométriques (L, W, h, a) et trois caractéristiques mécaniques (, E, ) peuvent

modifier les champs de déplacements.

2.9 Conclusion générale.

Le but de cette partie est de mettre en évidence la présence d'effets 3D par des mesures dans

le plan. Pour cela, nous avons comparé les données expérimentales à la théorie

bidimensionnelle et nous nous sommes aperçus que des divergences non négligeables

existaient. Nous avons développé une méthode de mesure des déplacements dans le plan

initialement limité spatialement. Avec l'utilisation de grilles de tamisage et une machine de

vaporisation sous vide, nous pouvons maintenant élaborer des grilles de grandes dimensions

(150 x 150 mm²). Nous appliquons cette méthode optique sur des plaques fissurées pour

extraire les champs de déplacements proche de la pointe de fissure. Pour comparer les

résultats expérimentaux avec la théorie bidimensionnelle, nous avons choisi deux matériaux

différents avec un comportement fragile (PSM4 et PMMA). Parallèlement à ces travaux

expérimentaux, un modèle numérique par éléments finis d'une plaque entière est réalisé pour

tenir compte des effets de bord présents dans notre étude expérimentale. Les premiers champs

de déplacements expérimentaux obtenus à partir d'une méthode d'extraction de phase à une

seule image (MPC) présentent des nodules, traduisant un comportement non homogène mais

non-représentatif du comportement d'une plaque fissurée. Les recherches ont permis

d'éliminer les nodules en recalant spatialement la pointe de fissure toujours sur le même pixel


- 116 -

de la grille CCD. Après comparaison des déplacements expérimentaux, numériques et

théoriques, nous nous apercevons que les résultats sont proches. Le calcul de l'intégrale J est

possible à partir des dérivées des résultats expérimentaux mais le bruit de mesure

expérimental nous incite à développer deux formulations basées sur l'expression d'Arakawa et

sur le principe de superposition. Les champs de déplacements des deux formulations

proposées sont obtenus en minimisant les écarts avec les données expérimentales. Le calcul

des différentes intégrales J montrent une zone de décrochement dite "zone tridimensionnelle"

correspondant à la même étendue (R0,25) que celle obtenue à partir des champs de

déplacement hors-plan. Les deux modèles numériques, pour des plaques semi-infinies et pour

des plaques finies, nous permet de définir l'influence des effets de bord dans les champs de

déplacements et ainsi de dimensionner une plaque où les effets de bord seront moins

influents. Avec les caractéristiques géométriques imposées dans les modèles numériques, la

longueur de fissure où les effets de bords sont les plus faibles est de 42 mm soit (a/W) = 0,28.

La dernière partie de ce chapitre traite d'une première étude sur l'identification physique des

paramètres des deux formulations proposées. Pour cela, nous avons simulé différentes

géométries d'éprouvettes pour deux matériaux, puis nous avons minimisé les écarts entre les

formulations proposées et les champs de déplacements numériques. Cette première étude

d'indentification physique doit être poursuivie en étudiant tous les paramètres géométriques et

mécaniques, ainsi une signification physique des variables pourra être fournie.

CHAPITRE 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.

- 117 -

CHAPITRE 3 :

Propagation de fissures : Etude des

déplacements hors-plan.

Une fois qu'on a goûté au futur

on ne peut pas revenir en arrière

Paul Auster

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=fois�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=goute�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=futur�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=peut�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=revenir�

http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=arriere�


- 119 -

3 Propagation de fissures : Etude des

déplacements hors-plan.

3.1 Introduction.

Au sein de l'équipe, le comportement mécanique de plaques fissurées fragiles ou ductiles lors

d'essais statiques a largement été étudiée par des mesures de champs (interférométrie de

Michelson, photoélasticimétrie, caustiques, granularité "speckle"). Nous souhaitons étendre

nos études aux fissures en dynamique. Une première étude réalisée par Sohier [50] en 1993

portait sur l'étude des Facteurs d'Intensité des Contraintes en dynamique (d-FIC), avant et

pendant le branchement des fissures sur des matériaux fragiles (ex : polymères, verre) en

utilisant la méthode des caustiques. Dans cette partie, nous nous proposons d'étudier le

comportement tridimensionnel en pointe de fissure lors de propagation de fissure sur des

plaques élastiques fragiles soumises à un chargement extérieur constant. Des mesures

expérimentales de déplacement hors-plan ont déjà été réalisées sur des fissures stationnaires

car l'expression de la théorie bidimensionnelle fait état d'une solution singulière inadaptée au

voisinage de la pointe de fissure, et ainsi les écarts entre ces deux solutions sont directement

l'étendue de la zone 3D. Il est vraisemblable qu'une même constatation soit faite lors de

propagation de fissures Le caractère dynamique des essais fait apparaître des effets

transitoires jouant un rôle non négligeable et s'ajoutant aux effets tridimensionnels toujours

présents. Il est donc nécessaire de mesurer des champs cinématiques nous permettant de

comparer ces résultats expérimentaux à la théorie bidimensionnelle et ainsi définir la zone de

décrochement appelée "zone des effets tridimensionnels et transitoires". Actuellement des

travaux numériques, basés sur la mécanique de la rupture dynamique, émergent dont les plus

connus font appel à la Méthode des Eléments Finis étendues (en anglais : XFEM pour

eXtented Finite Element Method) [89]. Ces développements reposent actuellement

essentiellement sur une approche bidimensionnelle pour caractériser une propagation de

fissure. Les effets tridimensionnels et transitoires présents ne peuvent être mis en avant. Ce

chapitre va s'articuler suivant différents aspects permettant de fournir un état de l'art des

avancées numériques réalisées ces dernières années et des méthodes optiques utilisées en

mécanique de la rupture élastique dynamique. Nous nous limiterons aux études en dynamique

couplant méthodes optiques et plaques présentant une propagation de fissure. Puis, nous

développerons les moyens techniques mis en œuvre pour obtenir des champs expérimentaux

3.2 Etude de l'art en mécanique de la rupture dynamique.

- 120 -

proches de la pointe de fissure lors de sa propagation. Les résultats des essais expérimentaux

seront présentés pour différentes vitesses de propagation et une formulation basée sur trois

constantes sera développée. Une analyse des résultats en fonction de la vitesse de propagation

(V) et du chargement appliqué () sera entreprise permettant d'évaluer l'évolution de la zone

tridimensionnelle. Une étude de sensibilité de la formulation empirique des déplacements

hors-plan sera réalisée permettant de valider les hypothèses expérimentales imposées pour

obtenir les champs de déplacements hors-plan expérimentaux. Enfin, une analyse post-

mortem de la surface créée lors de la propagation de fissure sera faite pour corréler les

résultats obtenus à partir des champs cinématiques à ceux fournis par cette topographie.


Dans ce paragraphe, nous relatons les travaux permettant d'étudier les phénomènes

dynamiques lors de propagation de fissure. Pour ce travail, nous limiterons notre présentation

aux études de propagation de fissure sur différents matériaux utilisant des méthodes optiques

ou des simulations numériques. Nous ne ferons pas état des travaux s'intéressant aux

propagations de fissure sous sollicitations cycliques (fatigue). Les méthodes optiques déjà

présentées antérieurement, comme les caustiques, les méthodes interférentielles ou la

photoélasticimétrie ont été largement utilisées pour ce type d'investigation en dynamique. Les

simulations numériques en mécanique de la rupture dynamique sont assez récentes. Les

premières études permettent de propager des fissures, de définir des critères de propagation ou

de simuler la direction et la vitesse de la fissure. Une comparaison entre les directions de

propagation obtenues numériquement et expérimentalement a permis aux auteurs d'extraire

des grandeurs mécaniques des modèles numériques , comme la contrainte équivalente de

Von Mises.

3.2.1 Approches numériques.

Le couplage mécanique de la rupture dynamique et simulation numérique date de la fin des

années 1990. Les problèmes rencontrés sont difficiles à appréhender par des simulations de

fissures stationnaires car la géométrie évolue perpétuellement au cours du temps. Il faut

nécessairement vérifier les problèmes théoriques fondamentaux (vérification des équations de

conservation de l'énergie, de quantité de mouvement et de masse). Dans certains cas,

l'historique (problèmes transitoires, existences de phénomènes irréversibles …) est nécessaire

pour procéder à des opérations de projection des champs d'une discrétisation à l'autre.

Autrement dit lors de propagation de fissure de type fragile (i.e. avec une plasticité confinée


- 121 -

très proche de la pointe de fissure), les résultats de champs cinématiques sont différents pour

une fissure de longueur (a(t)) par rapport à une fissure stationnaire de même longueur, en

raison principalement des effets transitoires. C'est pour ces raisons que des développements

numériques ont été entrepris par la Méthode des Eléments Finis (MEF). Nous nous limiterons

à la méthode des éléments finis étendus (X-FEM) [89] [90], actuellement l'une des plus

utilisées. Il s'agit de l'extension de la MEF qui utilise la méthode de partition de l'unité des

fonctions de forme éléments finis dans le but d'enrichir l'approximation. Ainsi, les

discontinuités (fissure) ne sont pas maillées explicitement mais sont prises en compte grâce à

des fonctions d'interpolation étendues, ainsi le maillage n'a plus qu'à se conformer aux

surfaces physiques de discontinuités. Les développements entrepris dans ces différentes

approches concernent essentiellement un milieu essentiellement bidimensionnel donc

négligeant les effets tridimensionnels. Actuellement des comparaisons entre les mesures de

champ de déplacements plans et des champs numériques permettent de calculer les FIC au

cours d'un essai de fissuration. Les premiers travaux de X-FEM en 3D apparaissent depuis

peu [91], autorisent des comparaisons entre les données expérimentales et les simulations.

A notre connaissance, l'un des seuls logiciels commerciaux permettant de traiter du problème

de propagation de fissure en 3D en utilisant la X-FEM est le Code ASTER. Nous avons donc

entrepris de réaliser, par ce code, la modélisation d'une plaque élastique soumise à un

chargement extérieur pour simuler une propagation de fissure.

3.2.1.1 Propagation de fissure avec le logiciel Code ASTER.

Pour modéliser la propagation de fissure avec le logiciel commercial Code ASTER [92], il

faut d'abord modéliser la plaque entière avec le logiciel GMSH, puis réaliser le programme

sous EFICAS. Pour cela, nous définissons au préalable la fissure "virtuelle" avec la procédure

DEFI_FISS_XFEM. Puis nous modifions le modèle en introduisant des éléments finis

spécifiques pouvant être traversés par une fissure, grâce à la procédure

MODI_MODELE_XFEM. L'ensemble des procédures précédentes nécessite de calculer

l'évolution mécanique en utilisant la fonction STAT_NON_LINE. Celle-ci calcule l'évolution

mécanique d'une structure en considérant une situation non linéaire. La non-linéarité est liée

soit au comportement du matériau (par exemple : plastique), soit à la géométrie (par exemple :

grands déplacements). Dans le code de calcul, la procédure PROPA_XFEM permet de

propager une fissure à partir de la loi de Paris. Cette dernière a été développée pour une

rupture par fatigue. Au cours de la phase de propagation, la longueur de la fissure (a) croît au

cours du temps, donc à chaque cycle. La vitesse de propagation de la fissure (da/dN) (N étant


- 122 -

2

221

22

2221

max

max

3/2o

1/2

max

max

3/2o

1/2

Id

βββ1

β1β4β.

δ

D

chλ3z

2π2

)V(f.δ

D

chλ3z

2π2)(K

t

tt

mIKC

dN

d

a

le nombre de cycles) est fonction d'une part, de l'amplitude de la sollicitation = max - min

qui est constante pendant l'essai et d'autre part, de la taille de fissure (a). Il en résulte une

augmentation de cette vitesse, au cours de l'essai, puisque la fissure a une taille croissante au

cours du temps. Paris et Erdogan [93] ont montré que cette vitesse est fonction de la variation

du FIC KI = (a)1/2 et l'expression suivante est communément appelée Loi de Paris.

(3.1)

Pour les polymères, la constante (m) est de l'ordre de 4 [94], tandis que (C) est une

caractéristique qui évolue avec la température. Si cette relation permet de présenter

simplement des résultats, elle ne précise pas l'influence des paramètres intrinsèques ou

extrinsèques sur la propagation. Elle ne décrit pas non plus le comportement de la fissure au

moment de la rupture ou au seuil de non propagation.

3.2.1.2 Conclusion.

La loi de Paris ne représente pas le problème expérimental exposé ultérieurement et la

procédure PROPA_XFEM est actuellement en cours de développement. Des problèmes de

convergences sont apparus en pointe de fissure ne permettant pas actuellement l'étude de

propagation de fissure en modélisation 3D.

3.2.2 Approches expérimentales.

3.2.2.1 Méthode des caustiques.

Les premiers travaux utilisant la méthode des caustiques en mécanique de la rupture

dynamique datent de 1978 [95]. Comme pour les fissures stationnaires, des auteurs [96] [97]

ont étudié les caustiques pour exprimer le facteur d'intensité des contraintes dynamiques lors

de propagation de fissure (3.2).

(3.2)

avec () le grandissement et (c) la constante de la contrainte optique [m².N-1].


- 123 -

Le terme f(V) est identique à l'expression (1.25) (§ 1.4.2.1, page 33) pour tenir compte du

caractère dynamique des essais. Le terme max est un paramètre à minimiser permettant de

s'approcher au mieux de la caustique expérimentale. L'expression (3.2) permet de déterminer

le facteur d'intensité des contraintes dynamique. Les données expérimentales du FIC sont

comparées aux résultats extraits de la théorie bidimensionnelle, modifiée pour tenir compte de

la vitesse de propagation de fissure (V) [98] [51]. Les auteurs concluent que KI(t) ne dépend

pas seulement de (V) mais aussi de l'accélération ( a ). Lorsque la fissure accélère, la valeur de

KI(t) est plus faible que lorsque la fissure décélère pour une même vitesse (V).

Une étude au sein de l'équipe photomécanique et Rhéologie de Poitiers a été réalisée par

Sohier [50] concernant l'étude des d-FIC et de la vitesse de propagation de la fissure à l'instant

de branchement sur différents matériaux fragiles et pour différentes vitesses de propagation

(V) allant jusqu'à V1550 m.s-1. Mais à ces vitesses, la caustique générée est floue donc

difficilement analysable.

3.2.2.2 La méthode CGS (Coherent Gradient Sensing).

La méthode CGS a été très largement utilisée pour des ruptures dynamiques et pour différents

matériaux, nous pouvons citer les travaux de Pandolfi et al sur l'acier [39], ceux de

Lambros et al sur les matériaux composites [38] ou sur les bi-matériaux [99], ou encore ceux

de Kitey et al sur les résines d'époxy avec inclusion d'un cylindre de verre [40]. Ces études

ont pu être réalisées avec des caméras ultra-rapides (2.105 à 2.106 im.s-1). Une étude a été

effectuée sur une plaque de PMMA par Tippur et al [100] et en analysant les courbes fournies

par les auteurs, nous constatons que la zone de décrochement, entre la théorie

bidimensionnelle et les données expérimentales, est proche de R = r/h 0,8. Les auteurs ont

ainsi mis en évidence le caractère transitoire créé lors de la propagation d'une fissure. Pour

plus de simplicité et pour ne pas faire de distinction entre les études faites en statique et en

dynamique, nous appelons la zone des écarts entre la solution bidimensionnelle et les données

expérimentales : zone tridimensionnelle ou zone 3D bien que des effets transitoires soient

aussi présents en dynamique. Nous remarquons que cette zone 3D évolue lors d'un essai avec

une propagation de fissure par rapport au cas statique (R 0,25 ou R 0,5 suivant les

auteurs).

3.2.2.3 Interférométrie de Michelson.

Ces travaux réalisés par Washabaugh et al [13] [37] ont été entrepris pour obtenir des mesures

de champ proche de la pointe de fissure en dynamique sur une éprouvette en PMMA. Ils ont


- 124 -

mis en évidence que la surface libre de l'éprouvette pas parfaitement plane, entachait de façon

significative la mesure du relief. Pour prendre en compte cette réalité, les auteurs ont choisi de

soustraire le relief correspondant au premier interférogramme (relief initial) aux reliefs. Ces

reliefs nécessitent quelques précisions concernant leurs particularités.

3.2.2.3.1 Particularités du premier interférogramme.

Cet interférogramme doit seulement représenter la non-planéité de la surface de l'éprouvette et

non le comportement mécanique d'une plaque fissurée. En aucun cas, la fissure ne doit être

présente dans le champ optique. Le caractère dynamique de l'expérience ajouté à la présence

d'une zone 3D en amont nécessite qu'il soit enregistré quelques instants avant son passage.

3.2.2.3.2 Particularités des autres interférogrammes.

Concernant les autres interférogrammes, la présence de la fissure dans le champ optique est

obligatoire, ainsi le phénomène dynamique et la non-planéité de la plaque sont enregistrés. Si

le système d'acquisition des images utilise plusieurs caméras, comme la caméra rapide de type

Cranz-Schardin (plusieurs systèmes d'acquisitions indépendants les uns des autres)

(figure 3.1), une zone commune avec le premier interférogramme est indispensable pour

pouvoir soustraire la non-planéité de la plaque et ainsi obtenir la variation de relief engendrée

par le passage de la fissure.

figure 3.1 : La caméra Cranz-Schardin du L.M.S de Poitiers.


- 125 -

3.2.2.4 Moiré interférométrique.

Le moiré interférométrique permet d'avoir accès à un seul déplacement lors d'un essai.

Arakawa et al [35] ont réalisé deux essais pour obtenir les champs de déplacements (ux et uy)

dans une zone entourant la pointe de fissure sur un alliage d'aluminium et sur un polymère. A

partir des résultats de champs de déplacements, les auteurs ont pu calculer les d-FIC en

fonction du contour d'intégration de l'intégrale J.

3.2.2.5 Corrélation d'images numériques.

Cette méthode ne nécessite la prise que de deux images correspondant à un état non chargé et

chargé. Son utilisation lors de phénomène dynamique est envisageable. En analysant les

résultats publiés par Kirugulige et al [58] couplant cette technique et l'étude de fissuration

dynamique, les auteurs ont pu extraire les facteurs d'intensité des contraintes à partir des

champs de déplacements suivant la direction de chargement (mode I). Les auteurs, comme

Zhou et al [101], font mention d'une vitesse de propagation de la fissure constante au cours du

temps.

3.2.3 Conclusion.

Pour étudier et comparer les phénomènes tridimensionnels et transitoires présents lors de

propagation de fissure dans la zone singulière, les travaux précédents ont montré la nécessité

de corriger les expressions théoriques 2D statiques pour tenir compte des phénomènes

dynamiques. De plus, le caractère transitoire a été présenté et a permis de montrer que la zone

de décrochement entre les données expérimentales et la théorie bidimensionnelle était plus

grande (R 0,8) que pour des essais statiques. Les mesures de déplacement hors-plan ont mis

en évidence que la non-planéité de la surface libre était perturbante pour ces mesures

nécessitant de soustraire le relief du 1er interférogramme aux autres reliefs.

3.3 Méthode optique choisie pour l'étude lors de propagation de fissure.

Ce choix est conforté par la théorie bidimensionnelle qui fait état d'un champ de déplacement

hors-plan asymptotique (équation (1.19)) en pointe de fissure. Les écarts entre les données

expérimentales et l'expression théorique seront plus facilement visualisables et analysables.

Ces écarts représentent directement les effets tridimensionnels entourant la pointe de fissure

couplés à des effets transitoires liés à la vitesse de propagation de la fissure (V). La

propagation de la fissure (V) impose de mettre en œuvre une technique d'extraction de phase à

partir d'une seule image car le caractère dynamique empêche les techniques quasi-hétérodynes


- 126 -

yxyxyxyx ,B,cos.,A,I

,B,cos.,A,f

d'être utilisées puisqu'elles nécessitent la prise de trois images au minimum du même instant

(t). Au sein du laboratoire, l'extraction de phase à partir d'une seule image de franges est

possible depuis les travaux menés par Eric Robin [25]. Cette technique, (MPC pour

Modulated Phase Correlation) [26] dont le premier principe était de corréler des franges

simulées et des franges réelles, sera présentée dans le paragraphe suivant. La MPC a été

depuis étendue à l'étude de grilles réelles. C'est cette technique et son extension qui ont

précédemment été utilisées dans ce mémoire pour l'exploitation des mesures par grilles en

statique. L'interférométrie de Michelson est la méthode optique qui permet de réaliser des

mesures de relief à partir de franges. Pour enregistrer plusieurs images lors d'une propagation,

un matériel spécifique a été développé [102], avec la même architecture que celle de la Cranz-

Schardin, et permet des acquisitions d'images avec une fréquence élevée et un temps

d'intégration faible.

3.3.1 La méthode MPC ("Modulated Phase Correlation").

Cette méthode a été développée pour l'étude de réseaux de franges expérimentaux. Le

principe de cette méthode consiste à minimiser une fonction "coût". Cette dernière est

composée d'un modèle nous permettant d'approcher le réseau de franges. En photomécanique,

une image de franges est généralement représentée par l'expression mathématique suivante :

(3.3)

où I(x,y), A(x,y), B(x,y) et (x,y) désignent respectivement au point de coordonnée (x,y), la

valeur de l'intensité lumineuse du pixel en niveau de gris, l'amplitude de modulation, le fond

continu et la fonction de phase.

Les fonctions A(x,y), B(x,y) et (x,y) sont difficilement exprimables de façon analytique à

partir de réseaux de franges expérimentales, c'est pour cela que l'étude est réalisée sur une

fenêtre d'étude. Une fonction de voisinage noté f(,) est alors utilisée :

(3.4)

L'expression (3.3) devient donc la fonction (3.4) des variables et définies dans un repère

de la fenêtre et ayant comme origine son centre (le point (x,y)).


- 127 -

B,cos.A,f

Øαsin-yαcos-xp

2,

flx

flx

fhy

fhy

2,f-,I,,,,C pBA

6,5

mm

l

l

y

Zone d'étude

x

figure 3.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de franges.

La fenêtre d'étude "scanne" l'ensemble du réseau de franges réelles dans le but de traiter

entièrement l'image expérimentale. Des hypothèses sont faites sur la fenêtre d'étude, à savoir

les fonctions A(,), B(,) constantes et le réseau de franges composé de franges parallèles et

orientables. Finalement le modèle mathématique de la MPC pour des franges parallèles

s'exprime par la relation suivante :

(3.5)

avec :

(3.6)

où (p) est le pas du réseau de franges, Ø le déphasage entre le motif et le point de coordonnée

(x,y) et l'inclinaison des franges.

La détermination des paramètres A, B, p, et consiste à minimiser la fonction de

corrélation C utilisée pour des images numérisées.

(3.7)

où lf et hf représentent respectivement la largeur et la hauteur de la fenêtre d'étude.


- 128 -

Le processus de démodulation se divise en deux parties : tout d'abord la recherche des

différentes variables (A, B, p, , ) minimisant au mieux la fonction de corrélation et ensuite

la seconde étape consiste à obtenir le champ de phase correctement orienté.

3.3.2 Caméra ultra-rapide.

C'est un matériel spécifique, financé par le XII Contrat Plan Etat Région (CPER), entièrement

développé et réalisé au sein du Laboratoire de Mécanique des Solides par Valéry Valle [102].

Comme le montre la figure suivante, cette caméra est basée sur l'architecture d'une caméra

Cranz-Schardin (autant d'objectifs que de prise de vue), c'est-à-dire six rangées de quatre

caméras chacune. Actuellement 12 images sont utilisées. Cette caméra ne nécessite pas d'arc

électrique à haute tension (15 kV) pour générer une source lumineuse de forte puissance lors

de l'acquisition des images.

Caractéristiques

Fréquence d'acquisition 1.106 im.s-1

Temps d'exposition (t) 150 ns

a) b)

figure 3.3 : a) Prototype de la caméra. b) Caractéristiques de la caméra.

Le principe de fonctionnement (figure 3.4) de ce prototype de caméra se caractérise par 12

caméras dites "indépendantes", plus 12 intensifieurs de lumière et objectifs placés en amont

permettant de visualiser une zone commune d'étendue suffisante. Le déclenchement des 12

caméras se fait successivement, dans nos études, avec un intervalle constant (t). Lors de

l'acquisition des images, une synchronisation est nécessaire entre les intensifieurs et les

caméras, permettant ainsi d'augmenter le niveau de gris de l'image lors de l'enregistrement.

Chaque caméra est constituée d'un capteur CCD de 640 x 480 pixels² et lors d'un essai,

chacune enregistre une image. Les caractéristiques sont rappelées dans la figure 3.3b. Le

temps d'exposition minimal d'une caméra est de 150 ns du fait de la présence d'intensifieurs.

Un compromis est nécessaire entre temps d'exposition et intensité lumineuse en niveaux de


- 129 -

gris (contraste de l'image). Plus on diminue le temps d'exposition de la caméra, plus

l'amplitude des niveaux de gris est faible.

PC

OSCILLOSCOPE

A B Voie:

GENERATEUR Basse Fréquence

MAIN OUT EXT TRIGGER

SYNCHRO INTENSIFIEUR

OUT IN

TRIGGER CAMERA

Alim 4,5V

EprouvetteSEN

CAMERA

CCD Ultra rapide

Photomultiplicateur (PM)

figure 3.4 : Principe de fonctionnement des caméras et des intensifieurs.

La principale difficulté d'utilisation de cette caméra ultra-rapide est la synchronisation du

déclenchement des caméras et des intensifieurs pour des vitesses d'acquisition aussi

importantes et des temps d'exposition aussi faibles. De plus la vitesse de propagation de la

fissure du matériau étudié peut atteindre 700 m.s-1, ce qui rend l'acquisition des images assez

difficile. Pour synchroniser le début de l'acquisition de la caméra et le passage de la fissure

dans le champ optique, un dépôt de peinture d'argent est réalisé sur la surface libre de

l'éprouvette. Lors d'un essai, la fissure rompt le dépôt entraînant le déclenchement et la

synchronisation des caméras et des intensifieurs.

3.4 Obtention des déplacements hors-plan en dynamique.

L'utilisation d'un interféromètre de Michelson ne permet pas d'obtenir directement le

déplacement hors-plan, mais un relief relatif. Humbert, lors de ses travaux en statique [1],

considérait que les données expérimentales étaient égales à la théorie bidimensionnelle

lorsque 0,5 < R < 0,8, puis cela a été validé par la modélisation numérique. Mais, l'étendue de


- 130 -

2sinα

λ.

2π

,,,,u exp

tyxtyx

tyxftyxtyx ,,,,u,,U expz

tyxgyxtyxf oyx u,.p.p,,

cette zone n'a jamais été vérifiée en dynamique. Nous avons donc choisi de formaliser

l'obtention du déplacement hors-plan absolu à partir de la connaissance des reliefs relatifs.

Nous présenterons alors les moyens expérimentaux mis en œuvre pour obtenir un champ de

déplacement hors-plan absolu lors d'une propagation de fissure.

3.4.1 Approche théorique.

L'utilisation de la MPC sur des interférogrammes permet d'obtenir des cartographies de phase

(x,y,t). A partir de la relation optico-géométrique, nous pouvons avoir accès au relief relatif

uexp(x,y,t) en tout point (x,y) de l'image.

(3.8)

où est la longueur d'onde (=514,5 nm) et l'angle d'incidence du faisceau lumineux sur la

surface étudiée (= /2).

Ce relief appelé aussi "relief relatif" ne correspond pas au déplacement hors-plan absolu car la

surface de la plaque étudiée n'est pas parfaitement plane [13] et nous n'avons pas

connaissance de la phase à l'origine de la plaque. Pour connaître la phase à l'origine c'est-à-

dire pour passer d'un système de coordonnées relatives à un système de coordonnées absolues,

il faut connaître la position et l'orientation du miroir de référence.

Le changement de système de coordonnées est obtenu en utilisant la relation mathématique

suivante :

(3.9)

où Uz(x,y,t) est le déplacement hors-plan absolu, uexp(x,y,t) le relief relatif et f(x,y,t) une

fonction de forme qui peut être développée par :

(3.10)

Le terme (px.x+py.y) correspond à l'orientation du miroir de référence, considéré comme plan.

g(x,y) est une fonction de forme quelconque liée à la non-planéité de la surface libre de

l'éprouvette étudiée sans présence de fissure.


- 131 -

tyxhtyx

tyxgyxtyxtyx

oexp

oyxexpz

u,,,u

u,.p.p,,u,,U

0uet0,,U oooz ttyx

0,,,u

0u,,,u,,U

oexp

ooexpoz

yxhtyx

tyxhtyxtyx

tyxhtyxtyx oexpz u,,,u,,U

uo(t) est le déplacement hors-plan absolu en un point de l'image permettant de recaler le relief

relatif uexp(x,y,t). Finalement en substituant l'équation (3.9) dans (3.10), nous obtenons la

relation suivante caractérisant le déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,t) :

(3.11)

où h(x,y) est une fonction de forme indépendante du temps (t) et regroupant les variations de

relief de la surface de l'éprouvette et l'orientation du miroir de référence.

Pour prendre en compte la non-planéité de la surface, nous avons vu précédemment

(§ 3.2.2.3) qu'il fallait soustraire le déplacement hors-plan absolu initial Uz(x,y,to).

Considérons maintenant uexp(x,y,to) le relief relatif correspondant au relief du 1er

interférogramme (i.e. le relief lorsque la fissure n'est pas encore présente dans le champ de la

caméra) et uexp(x,y,t) le relief relatif quand la fissure est maintenant présente. A t = to, nous

imposons deux conditions correspondant à un déplacement hors plan Uz(x,y,to) = 0 et un

déplacement hors-plan absolu en un point uo(to)=0, ainsi nous pouvons écrire :

(3.12)

A t = to, le déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,to) s'écrit alors :

(3.13)

Lors du passage de la fissure dans le chemin optique à l'instant (t), le champ de déplacement

hors-plan absolu s'écrit sous la forme suivante :

(3.14)

En substituant (3.13) dans l'équation (3.14), le champ de déplacement hors-plan absolu

Uz(x,y,t) (3.15), durant une propagation de fissure, consiste à une constante uo près, à

soustraire du relief relatif uexp(x,y,t) à l'instant t le relief relatif initial uexp(x,y,to).


- 132 -

ttyxtyxtyx ooexpexpz u,,u,,u,,U

2

n)(uo

tt

(3.15)

3.4.2 Moyens expérimentaux.

Pour obtenir le déplacement hors-plan absolu dans une zone entourant la pointe de fissure,

nous utiliserons un interféromètre de Michelson avec la méthode MPC, ainsi nous obtenons

les reliefs relatifs uexp(x,y,t). Pour la détermination du déplacement hors-plan absolu uo(t) en

un point, nous choisissons de placer un photomultiplicateur (PM) dans le chemin optique

[103] (figure 3.6 et figure 3.7). Ce type de matériel capte la variation d'intensité lumineuse

induite par les interférences lors de la propagation de fissure. En synchronisant l'acquisition

du photomultiplicateur et le déclenchement successif des caméras, nous pouvons extraire le

déplacement hors-plan absolu uo(t) en un point. En comptant le nombre de franges n(t), nous

calculons par l'emploi de la relation 2.14 le relief absolu uo(t).

(3.16)

Cette relation est identique à l'expression (3.8) car l'angle incidence , entre le faisceau

lumineux et le photomultiplicateur, est égal à 90°. Pour une évolution de 2 de phase (),

correspondant à un passage d'une frange devant le photomultiplicateur, le déplacement hors-

plan est égal à la longueur d'onde ().

Pour accéder au nombre de franges, nous visualisons le signal du photomultiplicateur sur un

oscilloscope (figure 3.5) puis nous comptons manuellement le nombre de franges n(t) pour

chaque déclenchement des caméras. Nous considérons qu'à chaque pic du signal une frange

passe devant le photomultiplicateur.


- 133 -

Pic correspondant aux déclenchements des

caméras

Signal enregistré par le photomultiplicateur

t [ms]

Inte

nsit

é lu

min

euse

figure 3.5 : signaux du photomultiplicateur et du déclenchement des caméras.

En analysant le signal du photomultiplicateur, nous remarquons qu'entre les temps de

déclenchement des caméras 3 et 8 la densité du signal est très importante traduisant une

grande densité des franges et le comptage des franges peut s'avérer difficile. Ainsi, l'erreur

commise sur la valeur uo(t) peut-être de 1 frange.

Le nombre de franges, entre les temps 0 et 2, est de 3 franges correspondant à un déplacement

hors-plan uo(t) de 0,772 mm (pour =514,5 nm).

Au bilan, pour obtenir le champ de déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,t), nous avons besoin

de l'expression (3.15), de deux champs de déplacement à deux instants différents et du

déplacement hors-plan absolu uo(t) en un point de l'image. Expérimentalement avec un

interféromètre de Michelson, une caméra ultra-rapide et un photomultiplicateur, nous pouvons

obtenir expérimentalement le déplacement hors-plan absolu Uz(x,y,t) pour chaque instant (t).

Un tableau suivant synthétise les besoins et les moyens mis en œuvre pour obtenir un champ

de déplacements hors-plan lors de la propagation de fissure.

Moyens expérimentaux Moyens numériques Relations mathématiques

uexp(x,y,t) Interféromètre de Michelson

+ Caméra CCD ultra-rapide

MPC

2sinα

λ.

2π

,, tyx

uexp(x,y,to) Interféromètre de Michelson

+ Caméra CCD ultra-rapide

MPC

2sinα

λ.

2π

o,, tyx

uo(t) Photomultiplicateur 2

n

t

tableau 3.1: Tableau récapitulatif des besoins et des moyens pour le déplacement hors-plan.


- 134 -

Une étude comparative de cette expression (3.15) avec la théorie bidimensionnelle permet de

définir les écarts et de visualiser l'étendue de la zone 3D en fonction de la vitesse V et du

chargement . Les données expérimentales nécessaires au calcul des champs expérimentaux

des déplacements hors-plan nécessitent un montage expérimental approprié donc nous allons

présenter les différents organes et leur implantation.

3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de

propagation de fissure.

3.5.1 Montage expérimental.

Pour mettre en œuvre des essais de fissuration en dynamique, le montage expérimental s'avère

lourd en moyens (matériels) et une photographie du montage peut paraître d'une lecture

complexe. Sur la figure 3.6, nous présentons le montage expérimental.

Laser 5W

Caméra CCD ultra-rapide

Plaque SEN

Photomultiplicateur

Chargement

figure 3.6 : Montage expérimental pour l'étude en dynamique.

Pour mieux visualiser l'implantation des différents organes sur le montage expérimental, une

modélisation sous SolidWorks a faite (figure 3.7). Tous les organes utilisés y figurent à

savoir : le photomultiplicateur, l'interféromètre de Michelson, le laser, ainsi que tous les autres

composants et leurs dispositions sur le montage.


- 135 -

figure 3.7: Schématisation numérique du montage expérimental.

Pour réaliser un essai de fissuration en dynamique, nous utilisons le dispositif suivant.

L'éprouvette est sollicitée en mode I par le biais de deux vérins hydrauliques actionnés par

une pompe. Une énergie de déformation (W) est générée au sein de la plaque étudiée. Pour

initier la propagation, une énergie supplémentaire (Wa) est apportée par l'impact d'une lame

de cutter en contact avec une pré-fissure d'une longueur de 1 mm, préalablement réalisée dans

l'épaisseur de l'éprouvette. L'ajout de l'énergie (Wa) à l'énergie de déformation (W) est

suffisant pour initier et propager la fissure. Pour un meilleur contraste des franges, la plaque

est recouverte d'une fine couche d'aluminium d'une épaisseur de 50 nm. La réalisation de

mesures de champ de déplacements en dynamique lors de propagation de fissure s'avère

énormément complexe, nécessitant la mise au point et l'optimisation de chacun des éléments

constitutifs de la chaîne expérimentale. Ce travail préalable conduit à réaliser un grand

nombre d'essais permettant de rendre beaucoup plus fiable le processus expérimental

développé. Nous indiquons l'évolution de certains éléments constituant le montage

expérimental ayant contribué à diminuer le nombre d'échecs au cours des tests.

3.5.2 Les différents problèmes rencontrés.

Les différents problèmes, pour obtenir des images analysables par MPC et représentatives du

phénomène physique de propagation, sont de nature diverses mais sont parfois dépendants les

uns des autres.

Le premier problème rencontré est un manque de puissance lumineuse. Nous avons

utilisé un laser Argon de puissance 1W insuffisante pour obtenir des images

exploitables (contraste) par la MPC. Donc pour obtenir plus de contraste, nous avons

augmenté le temps d'intégration de la caméra, mais lors du temps de pose, la fissure se

3.5 Etude expérimentale des champs de déplacement hors-plan lors de propagation de fissure.

- 136 -

propage. Deux phénomènes apparaissent et se concentrent autour de la fissure : une

zone floue et un dédoublement des franges. Si la MPC est utilisée sur ce type d'image

(figure 3.8), la phase ne peut pas être extraite dans la zone floue, car les franges sont

insuffisamment définies et à l'endroit du "dédoublement de franges", une phase est

obtenue qui n'est pas représentative du relief relatif en pointe de fissure car résultant

d'un temps d'intégration trop important.

0

5

10

15

20

25

30

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

Dédoublement des franges

Inte

nsit

é lu

min

euse

pixels

Ligne de mesure

figure 3.8 : Présence de dédoublement de franges sur l'interférogramme pour V = 540 m.s-1.

Solution : Nous avons changé le laser pour un laser de 5W continu, permettant ainsi de

diminuer le temps d'intégration de la caméra et ainsi d'obtenir les images suivantes

(figure 3.9). La zone entourant la pointe de fissure n'est plus floue pour des faibles vitesses,

l'étendue des niveaux de gris est plus importante et il n'y a plus de dédoublement de franges.

Une zone floue subsiste toutefois dans une faible zone confinée à la pointe de fissure.


- 137 -

fissure

pointe

a) b)

figure 3.9 : a) Interférogramme pour une vitesse de propagation de 220 m.s-1.

b) Interférogramme pour une vitesse de propagation de 480 m.s-1.

Le second problème est aussi dû à l'utilisation du laser Argon 1W. Pour optimiser le

contraste des images, le champ optique analysé à la surface de l'éprouvette était de

20 x 20 mm². Lors d'un chargement en mode I, la propagation de fissure est

théoriquement perpendiculaire au chargement mais expérimentalement cela n'est pas

toujours vérifié, ayant pour conséquence une fissure déviée et ne passant sur le chemin

optique. Les images enregistrées sont alors inexploitables. L'écart maximum admissible

ne doit pas dépasser 5 mm pour rendre possible l'exploitation de l'image recueillie.

L'augmentation du champ d'étude nécessite le recours à une source lumineuse plus

puissante, l'emploi d'un laser 5W continu ayant ainsi permis de diminuer le nombre

d'échecs.

Le troisième problème est de corréler l'acquisition des images et le passage de la

fissure. Pour cela, le déclenchement des caméras était réalisé par un "interrupteur"

élaboré avec de la laque argentée sur la face opposée au dépôt d'aluminium.

L'acquisition des images intervient lorsqu'il y a rupture de "l'interrupteur" générant un

front descendant sur la tension électrique (figure 3.4).


- 138 -

interrupteur

fissure

Alimentation électrique

30 mm

figure 3.10 : Interrupteur en argent peint à la surface de la plaque.

Pour un souci de répétabilité des essais et pour visualiser la même zone de la plaque, le début

du déclenchement des caméras a toujours lieu pour une longueur de fissure identique

(a = 30 mm). Cette longueur est choisie arbitrairement. Néanmoins dans cette zone, la vitesse

de propagation de la fissure est considérée comme constante.

Le quatrième problème concerne l'emplacement du photomultiplicateur sur le chemin

optique, car son encombrement ne permet pas de le placer dans le chemin optique sans

qu'une partie des franges ne soit cachée et donc inexploitable.

Détecteur intensité lumineuse

figure 3.11 : Le photomultiplicateur.

Solution : Nous avons choisi de placer un petit miroir à 45 degrés qui renvoie le faisceau

d'interférence sur le photomultiplicateur placé perpendiculairement au chemin lumineux

(figure 3.7). Cette configuration provoque l'apparition d'une zone sombre, correspondant au

petit miroir, sur les interférogrammes (figure 3.12). Après analyse du signal enregistré par le


- 139 -

photomultiplicateur, nous avons accès au déplacement hors-plan absolu uo(t), en ce point de

l'image.

Petit miroir

figure 3.12 : Visualisation du petit miroir sur un interférogramme.

Le dernier problème expérimental, survenu sur l'étude du comportement mécanique en

pointe de fissure lors de sa propagation est le système de déclenchement de la fissure.

Nous nous sommes aperçus que pour un chargement extérieur () de faible amplitude,

nous étions dans l'incapacité d'initier et de propager la fissure, car l'énergie apportée Wa

était insuffisante au moyen du système initial de sollicitation par ressort (figure 3.13a).

Solution : Pour y remédier, nous avons préféré l'emploi d'un canon à air comprimé propulsant

un cylindre de laiton qui vient impacter une lame de cutter en contact avec la pré-fissure

(figure 3.13b).

a

b

figure 3.13 : a) système de déclenchement à ressort, b) système de déclenchement à air

comprimé.


- 140 -

Cette partie a permis de présenter les principales difficultés survenues au cours des essais de

propagations de fissure et les différentes solutions permettant d'y remédier. Les solutions

apportées permettent de s'affranchie, partiellement voire complètement, des problèmes

initialement rencontrés. La répétabilité des essais ainsi obtenue autorise donc la multiplication

des tests en vue d'accéder aux déplacements hors-plan en cours de propagation.

3.5.3 Résultats expérimentaux.

Le but est d'étudier le déplacement hors-plan, dans une zone proche et entourant une fissure

pour différentes vitesses de propagation (V). Pour déterminer la vitesse moyenne (V), nous

analysons le déplacement de la pointe de fissure entre deux interférogrammes et pour chaque

chargement () (figure 3.14). Nous présentons cinq essais pour différentes vitesses (200 m.s-1

à 690 m.s-1), correspondant à des chargements différents réalisés sur des éprouvettes en

PMMA, sollicitées en mode I, ainsi qu'un essai pour une fissure stationnaire sur une même

éprouvette.

figure 3.14 : Vitesse de propagation de fissure V en fonction du chargement .

Les dimensions géométriques et les caractéristiques mécaniques des plaques sont : une

longueur L = 290 0,4mm, une largeur W = 190 0,4mm, une épaisseur h = 6 0,2 mm, un

module d'Young E = 3000 25 MPa et un coefficient de Poisson = 0,35 0.04.

Expérimentalement, la vitesse (V) tend vers une limite, la vitesse de Rayleigh du matériau

(Vmax 700 m.s-1). Sachant que la vitesse est liée au chargement, si nous appliquons un

chargement > max, la vitesse de propagation ne croît plus et il y a alors branchement du

matériau. Dans les travaux suivants, nous appliquerons toujours un chargement < max et les

phénomènes de branchement ne seront pas étudiés dans ce mémoire.


- 141 -

3.5.3.1 Champ de déplacements hors-plan relatif.

Le tableau suivant récapitule les valeurs des données expérimentales : le chargement constant

appliqué (), la vitesse de propagation, (V) les fréquences d'acquisition (f) et le temps

d'exposition (t) de la caméra ultra-rapide, pour chacun des essais.

Essai [MPa] V [m.s-1] f [kHz] t [ns]

0 0,750 0 / /

1 1,570 220 100 200

2 3,140 430 100 200

3 3,925 480 100 200

4 5,495 540 250 320

5 7,851 690 125 320

tableau 3.2: tableau récapitulatif des données expérimentales des 5 essais.

Nous présentons ici deux successions d'interférogrammes relatifs à deux états de chargement.

a)

b)

Zones blanches = Zones non calculées

R=r/h=1

R=r/h=1

Fissure

t=0 s t=80 s t=90 s t=100 s

t=100 s t=90 s t=80 s t=0 s

xy

r

x

y

r

x

y

r

figure 3.15 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=220 m.s-1.

b) Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes.


- 142 -

t=0 s t=60 s t=70 s t=90 s t= 80 s a)

b)

t=0 s t=60 s t=70 s t= 80 s t=90 s

Zones blanches =Zones non calculées

FissureR=r/h=1

x

y

r x

y

r x

y

r

x

y

r

figure 3.16 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=480 m.s-1.

b) Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes.

Sur ces deux figures, le premier interférogramme (t = 0 s) correspond à la non planéité de la

plaque, c'est-à-dire au relief relatif uexp (x,y,to). Les autres cartographies correspondent aux

reliefs relatifs uexp (x,y,t) avec présence de la fissure au cours de l'événement dynamique. Les

cartographies de phases sont obtenues par la méthode MPC pour chacun des

interférogrammes. Les zones blanches (figure 3.15b et figure 3.16b) correspondent aux zones

non démodulées par la MPC. Cela peut s'expliquer soit par un contraste des franges

insuffisant, soit par une densité de franges trop importante. Toutefois nous obtenons plus de

150 000 points de mesures par image. A partir des cartographies de phases (figure 3.15b et

figure 3.16b) et la relation (3.8), nous pouvons calculer le déplacement hors-plan absolu

Uz(x,y,t) en tout point. Nous extrayons sur la figure 3.17 et sur la figure 3.18 les déplacements

absolus Uz(x,y,t) pour les deux vitesses (V=220 et V=480 m.s-1) aux instants t= 90 et 60 s et

pour les angles =0, 45, 90, 135° pour visualiser la forme et la valeur du déplacement

absolu uo(t).


- 143 -

figure 3.17 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=90 s et V=220 m.s-1.

figure 3.18 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=60 s et V=480 m.s-1.

Nous observons que Uz(x,y,t) est borné en pointe de fissure. En aucun cas, un champ

asymptotique n'est présent en pointe de fissure comme le prédit la théorie bidimensionnelle.

Maintenant que nous pouvons extraire des déplacements hors-plan absolus dans une zone

entourant la pointe de fissure, nous allons comparer ces données expérimentales à la théorie

bidimensionnelle, modifiée pour tenir compte du caractère dynamique des essais.

3.5.3.2 Comparaison des données expérimentales à la théorie bidimensionnelle.

Connaissant les longueurs de fissures (a), le chargement appliqué (F), la vitesse de

propagation (V) et les dimensions géométriques (h, W) correspondant à chaque

interférogramme et en utilisant la relation (1.19), nous sommes en mesure d'exprimer un relief

théorique uz-2D(R,,t) en coordonnées cylindriques centrées en pointe de fissure. En comparant

les résultats expérimentaux et les déplacements théoriques pour chacun des essais, nous nous


- 144 -

sommes aperçus que nous avons deux comportements différents en fonction de la vitesse de

propagation (V), un comportement où les écarts entre les résultats sont confinés en pointe et

un comportement où la zone des écarts est plus étendue. Nous illustrons nos propos par un

exemple pour chaque cas, toutefois, les autres essais seront présentés en annexe.

3.5.3.2.1 Décrochement confiné en pointe de fissure.

Les résultats suivant montrent les déplacements hors-plan absolus expérimentaux et la

solution théorique bidimensionnelle U2D(R,,t) correspondant à chaque interférogramme pour

les différents instants t (t = 80, 90, 100 s) et pour une vitesse de propagation V = 220 m.s-1.

Pour une meilleure visualisation des déplacements hors-plan, nous avons extrait les données

suivant des angles prédéfinis ( = 0°, 45°, 90° et 135 °).

figure 3.19 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux et théoriques pour l'essai 1

(V = 220 m.s-1).

Nous constatons que l'évolution des déplacements est faible entre deux instants (t). L'écart,

entre la théorie bidimensionnelle et les données expérimentales, est confiné en pointe de

fissure (R = 0,5). Lorsque R > 0,5, la théorie bidimensionnelle corrigée tenant compte du

phénomène dynamique est adaptée pour caractériser le champ de déplacement hors-plan en

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.0100.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Uz_exp(0°)Uz_2D(0°)

R=r/h

[mm]

= 0°

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.0100.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Uz_exp(45°)Uz_exp(-45°)Uz_2D(45°)

[mm]

R=r/h

= 45°

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Uz_exp(90°)Uz_exp(-90°)Uz_2D(90°)UoU

[mm]

R=r/h

= 90°

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Uz_exp(135°)Uz_exp(-135°)Uz_2D(135°)Uo

[mm]

R=r/h

= 135°

t croissant

t croissant t croissant

t croissant


- 145 -

pointe de fissure. Lorsque nous sommes à l'arrière de la fissure ( = 135°), nous observons

un mouvement hors-plan relatif à un déplacement des lèvres de la fissure caractéristique d'un

léger mode III. A partir de cette analyse, nous constatons que pour de faibles vitesses de

propagation V, la zone de décrochement entre la théorie bidimensionnelle et les données

expérimentales est confinée en pointe de fissure.

3.5.3.2.2 Décrochement loin de la pointe de fissure.

Les résultats suivant montrent les déplacements hors-plan absolus expérimentaux et la

solution théorique bidimensionnelle U2D(R,,t) correspondant à chaque interférogramme

(t = 60, 70, 80, 90 s, pour une vitesse constante V = 480 m s-1.


(V = 480 m.s-1).

L'écart, entre la théorie bidimensionnelle et les données expérimentales, n'est plus confiné en

pointe de fissure (R>0,5) [104]. Lorsque R > 0,5, la théorie bidimensionnelle corrigée n'est

pas adaptée pour caractériser le champ de déplacement hors-plan en pointe de fissure, pour

V = 480 m.s-1. Cette zone de décrochement demeure dans un champ éloigné (R > 2).

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Uz_exp(0°)Uz_2D(0°)

[mm]

R=r/h

= 0°

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Uz_exp(45°)Uz_exp(-45°)Uz_2D(45°)

[mm]

R=r/h

= 45°

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4


[mm]

R=r/h

= 90°

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4


[mm]

R=r/h

= 135°t croissant

t croissant

t croissant

t croissant


- 146 -

Grâce aux données expérimentales obtenues pour les différentes vitesses de propagation, une

étude des facteurs d'intensité des contraintes expérimentaux KId-2D est faite. Cette dernière

permet de définir une zone d'effets tridimensionnels. Elle est semblable aux travaux de

Rosakis et al [46] dont le but est d'extraire les FIC à partir des diamètres des caustiques. Nous

extrayons un champ de déplacement hors-plan pour chacune des vitesses de propagation et

nous calculons les d-FIC (KId) correspondants, notés dans le tableau suivant.

Essai [MPa] V [m.s-1] KId [MPamm]

0 0,750 0 22,11

1 1,570 220 30

2 3,140 430 57,89

3 3,925 480 71,18

4 5,495 540 72,88

5 7,851 690 105,96

tableau 3.3 : Tableau récapitulatif des vitesses V et des d-FIC associés.

3.5.3.3 Facteur d'intensité des contraintes obtenu à partir de la théorie

bidimensionnelle.

A partir de la relation théorique (1.19) et des données expérimentales, nous pouvons extraire

KI-2D (3.17).

(3.17)

Théoriquement pour obtenir des champs cinématiques, le FIC est considéré comme constant.

Nous choisissons d'extraire les d-FIC pour =0° (front de fissure). Les résultats obtenus pour

les différentes vitesses de propagation sont les suivants :

R

RR

2.

2cos

1.

hν

.E0,U0,K z

2DId


- 147 -

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

V=0 m/s

V=220 m/s

V=430 m/s

V=480 m/s

V=540 m/s

V=690 m/s

R=r/h

[MPamm]

figure 3.21 : Valeurs de KId-2D pour chacun des essais en fonction R et = 0°.

Nous constatons l'évolution des différents d-FIC en fonction de (R). Pour un essai comportant

une fissure stationnaire (V = 0 m.s-1), le décrochement, entre le FIC calculé empiriquement

(KI = 22,11 MPamm) et le KId-2D extrait, se situe proche de R = 0,25. Lorsque R > 0,25,

KId-2D est proche de la valeur imposée. Pour V = 220 m.s-1, le décrochement est proche de

R = 0,5. Au dessus de cette valeur, la valeur du KId-2D est proche de 30 MPamm.

Pour des vitesses de propagation supérieures, la zone de décrochement avec la théorie

bidimensionnelle augmente (R > 1) et n'est plus observable puisque la taille de la zone d'étude

n'est pas assez importante, donc la zone tridimensionnelle augmente de façon significative

avec la vitesse de propagation (V). La théorie bidimensionnelle ne peut être représentative du

déplacement hors-plan lors de propagation de fissure. Dans le but de définir la zone de

décrochement (zone 3D) entre la théorie et les données expérimentale, nous choisissons

d'utiliser une formulation 3D minimisée à partir des données expérimentales et permettant de

caractériser les déplacements hors-plan en pointe de fissure. Cette formulation est basée sur

les développements déjà entrepris pour des études en mécanique de la rupture élastique avec

une éprouvette présentant une fissure stationnaire. Cette formulation considère que loin de la

fissure, un champ théorique bidimensionnel est applicable.

3.5.4 Formulation tridimensionnelle du déplacement hors-plan.

3.5.4.1 Expression théorique.

Il existe différentes formulations pour représenter le champ de déplacement en pointe de

fissure [82]. La première, développée par Pfaff et al [32] (équation (2.4)), pour des matériaux

fragiles, fait intervenir six constantes à minimiser. La seconde utilisée par Humbert et al [33]

nécessite deux constantes et une fonction de (équation (2.3)). Dans un but d'optimiser le


- 148 -

TermenouveauR

θθR

2

1.

2cos

E

hKν,U Id

3D

R

θR

R

RTermenouveau

2

1.

2cosce

c1

cec

E

hKν 3

1

12Id

nombre de paramètres, une nouvelle formulation a été développée, basée sur celle existante

d'Humbert. Cette expression fait intervenir seulement trois constantes à minimiser sur tout le

champ. La solution suivante permet de caractériser le champ de déplacements en pointe de

fissure pour des fissures stationnaires ou dynamiques. La vitesse de propagation (V) est prise

en compte par KId (1.24).

(3.18)

avec :

(3.19)

La première partie de l'expression (3.18) est la formulation bidimensionnelle à laquelle on lui

ajoute un terme (nouveau Terme). Pour mieux comprendre l'influence de chacun des termes

des expressions (3.18) (3.19), nous divisons ces expressions en trois termes.

R

Rterme

1

12

c1

cec1

,

R

θterme

2

1.

2cos2 ,

R

θRterme

2

1.

2cos

ce3 3 .

Le terme (terme2) correspond à la solution bidimensionnelle et devient prédominant par

rapport aux deux autres termes lorsque l'on s'éloigne de la pointe de fissure (figure 3.22). Le

terme (terme1) permet de borner le déplacement hors-plan en pointe de fissure et devient nul

lorsque R devient grand. Le terme (terme3) annule l'asymptote induite par la solution

bidimensionnelle en pointe de fissure et permet de relier les deux termes précédents pour

obtenir une expression du déplacement hors-plan continue et monotone. Pour mieux visualiser

le comportement de ces termes en fonction de R, nous traçons leur évolution en fonction de

(R, = 0°) (figure 3.22) pour c1, c2 et c3 respectivement égaux à 1,52, 0,41 et 0,64.


- 149 -

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

R=r/h

RRθ

R

R

2

1ce12

cosc1

cec 3

1

12

terme 3terme 1

terme 2

figure 3.22: Comportement des trois termes de la formulation 3D en fonction de (R, = 0°).

A partir des relations (3.18) et (3.19), nous obtenons la formulation 3D suivante pour

représenter le déplacement hors-plan en pointe de fissure :

(3.20)

où c1, c2 et c3 sont des constantes inconnues.

Lors de la minimisation des écarts entre la formulation 3D et les données expérimentales,

certaines hypothèses expérimentales sont établies, comme la localisation de la pointe de

fissure sur les interférogrammes, ou le grandissement obtenu à partir d'une repère par les

différentes caméras. Nous avons toujours considéré un mode I de chargement mais

expérimentalement, une propagation non perpendiculaire au chargement (i.e. inclinaison du

front de fissure dans le plan image) peut apparaître, due par exemple à des défauts inclus dans

l'éprouvette qui favorise le passage de la fissure à des endroits spécifiques. Une erreur sur le

comptage du numéro de franges (uo(t)) a pour conséquence un mauvais recalage des données

expérimentales et entraîne des erreurs. Dans le paragraphe suivant, aucune comparaison sera

faite sur les erreurs pouvant être dues aux variations du module d'Young (E) et du coefficient

de Poisson ().

3.5.4.2 Etude de sensibilité de la formulation 3D.

Pour évaluer l'influence de ces hypothèses sur les résultats expérimentaux, un champ "non-

perturbé" (noté U3Dimp) est simulé en utilisant la relation (3.20) pour E = 3000 MPa, = 0,35 ,

R

Rθ

R

RθR

2

1ce12

cosc1

cec

E

hKν,U 3

1

12Id

3D


- 150 -

n

n

n

n

1

23Dcal3Dimpsd

13Dcal3Dimp

SeUU1

1

UU1

Se

KId = 72,88 MPamm, c1_imp = 1,52, c2_imp = 0,41 et c3_imp = 0,64. Nous minimisons les écarts

entre le champ "non-perturbé" et les champs "perturbés" (notés U3Dcal) en tenant compte des

hypothèses énoncées précédemment. Après minimisation, nous obtenons les valeurs de trois

constantes notées c1_cal, c2_cal, c3_ cal. Le tableau suivant récapitule les différentes hypothèses

expérimentales et les bornes choisies. Pour simplifier le problème de localisation de la pointe

de fissure, nous l'avons divisé en quatre parties, avec une pointe de fissure : soit en amont, soit

en aval, soit à 45 degrés ou soit à 90 degrés de sa position réelle. Pour le comptage manuel de

uo(t), différents cas seront étudiés avec une erreur maximale de 10 franges. L'inclinaison du

font de fissure et l'erreur sur le grandissement sont respectivement de 20 degrés et de 25%

du grandissement imposé.

Bornes choisies Hypothèses expérimentales

Valeurs

imposées Min Max

Avant 0 1 20

Arrière 0 1 20

à 45° 0 1 20

Translation dans le plan de la pointe de fissure

[pixel]

à 90° 0 1 20

Translation verticale de la pointe de fissure [mm] 0 -2,57 10-3 2,57 10-3

Inclinaison du front de fissure [degré] 0 0,1 20

Grandissement [mm.pixel-1] 0,05625 0,0421875 0,0703125

tableau 3.4 : Tableau récapitulatif des paramètres modifiés pour l'étude de sensibilité.

Après minimisation, nous comparons les résultats de c1_cal, c2_cal, c3_cal avec les valeurs

imposées de c1_imp, c2_imp, c3_imp. Il est possible de déterminer l'erreur systématique (Se) (i.e.

justesse) et l'écart-type sd entre le champ imposé et le champ obtenu à partir c1_imp, c2_imp,

c3_imp. La fidélité u ( sdσ.2u ) est déterminée avec un intervalle de confiance de 95%

(3.21).

(3.21)

où n est le nombre de points de mesure (640 x 480 points²).


- 151 -

3.5.4.2.1 Erreur sur la localisation de la pointe de fissure dans le plan.

Pour étudier l'influence de l'erreur commise sur la localisation de la pointe de fissure, nous

avons imposé des déplacements de pixel entier (de 1 à 20 pixels) de la pointe de fissure. Sur

les figures suivantes (figure 3.23, figure 3.24, figure 3.26 et figure 3.25), nous avons tracé sur

le graphique noté (a), les valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal (i.e. points) et de c1_imp, c2_ imp, c3_ imp

(i.e. traits en pointillé). Sur les graphiques notés (b), nous avons tracé l'erreur de mesure en

déplacement, c'est-à-dire la justesse et la fidélité entre le champ imposé et le champ obtenu

après minimisation.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 5 10 15 20déplacement [pixel]

c1_c

al, c

2_ca

l, c3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0 5 10 15 20

erre

ur [

mm

]

déplacement [pixel]

b)

figure 3.23 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en amont de la pointe. b) erreur de

mesure en déplacement (justesse + fidélité).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


c1_c

al, c

2_ca

l, c3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0 5 10 15 20

erre

ur [

mm

]


b)

figure 3.24 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en aval de la pointe. b) erreur de



- 152 -

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


c1_c

al, c

2_ca

l, c 3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal

-0.0005

-0.0004-0.0003

-0.0002-0.0001

0.0000

0.00010.0002

0.00030.0004

0.0005


erre

ur [

mm

]

b)

figure 3.25 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position à 45 degrés de la pointe. b) erreur de


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


c1_c

al, c

2_ca

l, c 3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0 5 10 15 20

erre

ur [

mm

]


b)



Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Les valeurs de c2_cal, c3_cal des configurations

précédentes restent proche des valeurs imposées, même lorsque l'on s'éloigne de la

vraie position de la pointe de fissure. La position de la pointe de fissure dans le plan

n'influence pas les termes c2_cal, c3_cal. Pour c1_cal lorsque l'écart entre la position vraie et

la position imposée est perpendiculaire au front de fissure une petite variation est à

noter. Un décrochement de cette valeur apparaît pour une localisation en amont ou à

45 degrés de la pointe de fissure, supérieure à 10 pixels. Pour le cas où la fissure est en

aval, la valeur de c1_cal varie rapidement lorsque l'on s'écarte de la position puis reste

constante (c1_cal = 1,6).

Justesse et fidélité : La valeur de la justesse est toujours proche de 0. Pour la fidélité,

la valeur augmente plus on s'éloigne de la pointe de fissure jusqu'à atteindre

4 10-4 mm pour un écart de 20 pixels entre la position imposée et la vraie position.


- 153 -

3.5.4.2.2 Erreur sur la détermination de uo(t).

Pour étudier la sensibilité des paramètres c1_cal, c2_cal et c3_cal, nous avons ajouté au

déplacement hors-plan simulé (c1_imp, c2_imp et c3_imp,) une constante (B), en millimètre

(-2,5725 10-3 mm < B < 2,5725 10-3 mm), correspondant à une erreur de comptage de franges

de 10 franges.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003

décalage [mm]

c1_c

al, c

2_ca

l, c 3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

-0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003décalage [mm]

erre

ur [

mm

]

b)

figure 3.27 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une erreur de uo(t). b) erreur de mesure en déplacement

(justesse + fidélité).

Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Nous constatons que les valeurs varient très vite en

fonction du décalage imposé. Les constantes c1, c2 et c3 sont donc très sensibles au

numérotage des franges.

Justesse et fidélité : Si nous voulons avoir une erreur inférieure au micromètre, il faut

déterminer le nombre de franges à 2 franges près.

3.5.4.2.3 Inclinaison du front de fissure.

Pour étudier la sensibilité des paramètres c1_cal, c2_cal et c3_cal pour une inclinaison du front de

fissure, nous avons imposé une rotation (0 < [degrés] < 20) par rapport au champ imposé,

correspondant à la présence d'une propagation de fissure non perpendiculaire au chargement.


- 154 -

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 5 10 15 20rotation [degrés]

c1_c

al, c

2_ca

l, c 3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal

-0.0015

-0.0010

-0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0 5 10 15 20rotation [degrés]

erre

ur [

mm

]

b)

figure 3.28 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une inclinaison du front de fissure. b) erreur de mesure

en déplacement (justesse + fidélité).

Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Les valeurs de c2_cal, c3_cal pour des configurations

précédentes, elles restent proche des valeurs imposées, même lorsque une grande

rotation est appliquée au front de fissure. L'inclinaison du front de fissure dans le plan

image n'influence pas les termes c2_cal, c3_cal. Concernant c1_cal, une modification de la

valeur apparaît pour une rotation supérieure à 10 degrés.

Justesse et fidélité : La valeur moyenne calculée entre les champs imposé et calculé

est proche de 0. L'écart-type croît avec une inclinaison du front de fissure et atteint

1 m pour une rotation de 20 degrés.

3.5.4.2.4 Erreur sur le grandissement.

Pour étudier l'influence du grandissement sur les valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal, nous avons

simulé des champs de déplacement en faisant varier le grandissement

0,0421875 < < 0,703125 (25 %) en sachant que la valeur imposée de imp est de

0,05625 mm.pixel-1.


- 155 -

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0400 0.0450 0.0500 0.0550 0.0600 0.0650 0.0700grandissement [mm/pixel]

c1_c

al, c

2_ca

l, c 3

_cal

a)

c1_imp

c3_imp

c2_imp

c1_cal

c3_cal

c2_cal-0.00020

-0.00015

-0.00010

-0.00005

0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0.00025

0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070

erre

ur [

mm

]

grandissement [mm/pixel]

b)

figure 3.29 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une variation du grandissement. b) erreur de mesure en

déplacement (justesse + fidélité).

Valeurs de c1_cal, c2_cal, c3_cal : Les valeurs de c2_cal et c3_cal ne sont pas sensibles aux

erreurs commises sur le grandissement, au contraire de c1_cal qui s'éloigne de la valeur

imposée lorsque diffère de imp.

Justesse et fidélité : Sur la figure 3.29-b, on peut constater que l'équation développée a

une bonne justesse vis-à-vis du grandissement mais sa fidélité diminue lorsque l'on

s'éloigne du grandissement imposé. Avec une erreur sur le grandissement de 25 %,

l'erreur (justesse + fidélité) commise n'excède pas 2.10-4 mm. Expérimentalement,

l'erreur générée sur le grandissement ne dépasse pas 5 %.

3.5.4.2.5 Conclusions.

Les hypothèses expérimentales choisies influencent peu les valeurs de c1, c2 et c3 par rapport

aux valeurs imposées. Une attention toute particulière doit être faite sur le comptage manuel

de uo(t), paramètre le plus sensible pour la détermination des champs de déplacements hors-

plan expérimentaux. Pour une identification des paramètres c1, c2 et c3 en fonction des

caractéristiques mécaniques, géométriques et expérimentales, la localisation de la pointe de

fissure doit être obtenue à moins de 10 pixels près; l'inclinaison du front de fissure dans le

plan image doit être inférieure à 10 degrés; l'erreur sur le grandissement doit être inférieure à

10% et l'erreur sur le comptage de franges doit être inférieure de 1 frange.

3.5.4.3 Application de la formulation 3D.

Dans notre cas expérimental, nous sommes inférieurs aux valeurs maximales du paragraphe

précédent. Pour la localisation de la fissure sur les interférogrammes, l'écart est de l'ordre de


- 156 -

5 pixels. La rotation du front sur les interférogramme est faible et inférieure à 5 degrés

(figure 3.15 et figure 3.16). Pour le grandissement et le comptage des franges, les erreurs

commises sont respectivement de l'ordre de 3% et inférieure à une frange.

A partir des champs de déplacement hors-plan expérimentaux des six essais, nous pouvons

minimiser les écarts avec la formulation (3.20) par la méthode des moindres carrés et ainsi

obtenir les constantes c1, c2 et c3. Les valeurs des constantes sont données dans le tableau 3.5.

La détermination de c1, c2 et c3 reste toutefois liée au nombre de points de mesures

expérimentales (plus de 150 000 points dans nos différents essais) et au bruit de mesure.

Essais c1 c2 c3

0 10 1,40 9

1 1,512 0,805 1,854

2 0,805 0,634 0,512

3 1,122 0,537 0,585

4 1,40 0,38 0,50

5 1,70 0,40 0,40

tableau 3.5 : valeurs de c1, c2 et c3 obtenus par minimisation pour les différents essais.

Pour l'essai en statique (essai 0), les valeurs de c1, c3 sont très élevées par rapport aux valeurs

obtenues en dynamique. Pour les essais 2, 3, 4 et 5, c1 augmente alors que c2, c3 diminuent par

rapport à la vitesse de propagation (V). Pour l'essai 1, les valeurs de c1, c3 sont différentes

mais la formulation 3D représente bien les données expérimentales (figure 3.30).


- 157 -

figure 3.30 : Evolution de la formulation 3D minimisée par rapport aux données

expérimentales pour V=220 m.s-1.


expérimentales pour V=480 m.s-1.


- 158 -

Pour l'essai 1 (V = 220 m.s-1 et t = 90 s) et l'essai 3 (V = 480 m.s-1 et t = 60 s), nous

extrayons les profils, des déplacements expérimentaux et de la formulation 3D suivant les

différents angles (figure 3.32 et figure 3.33). Nous constatons que la formulation 3D est

adaptée pour caractériser le champ de déplacement en pointe de fissure pour des fissures

stationnaires et dynamiques. De plus, uo(t) est superposée avec la formulation 3D.

figure 3.32 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=220 m.s-1 et t=90 s.

figure 3.33 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=480 m.s-1 et t=60 s.


- 159 -

3.5.4.4 Facteur d'intensité des contraintes obtenu à partir de la formulation 3D.

Comme pour KId-2D, le FIC KId-3D expérimental (équation (3.22)) peut être extrait à partir de la

formulation 3D.

(3.22)

Nous présentons les résultats obtenus à partir de la relation (3.22) pour les différentes vitesses

de propagation.

0

20

40

60

80

100

120

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

V=0 m/s V=220 m/s

V=430 m/s V=480 m/s

V=540 m/s V=690 m/s

R=r/h

KId

[M

Pam

m]

figure 3.34 : Valeurs de KId-3D pour chacun des essais en fonction R et = 0°.

Contrairement à la théorie bidimensionnelle, les valeurs obtenues sont très proches de la

valeur calculée de KId et peuvent être considérées comme constantes. Par exemple pour

V=540 m.s-1, les valeurs de KId-3D sont proches de la valeur KId imposée de 72,88 MPamm

(tableau 3.3). Toutefois il reste de petites variations (<10 %) du bruit de mesure. La

formulation 3D est adaptée pour caractériser le champ de déplacement hors-plan en pointe de

fissure pour des plaques ayant des fissures statiques ou dynamiques.

3.6 Etendue de la zone tridimensionnelle.

Dans les zones expérimentales, définies par 135°< et - <-135° (l'arrière de la

fissure), les données expérimentales ne sont pas assez nombreuses, donc les déplacements

calculés pour la formulation 3D peuvent ne pas refléter le champ de déplacement

Rθ

RRθR

RR

2π.e1.

2cos

1

ec

c1

hν

E0,U0,K

3c1c2

1z3DId


- 160 -

expérimental réel. Toutefois le grand nombre de points de mesure en amont de la fissure

permet de caractériser les déplacements. Pour estimer la taille de la zone 3D, nous

considérons un cercle (cercle délimité par une ligne en pointillé sur la figure 3.35) de rayon

R3D obtenu pour = 0°, ainsi la zone 3D sera maximisée. La ligne continue noire sur la

figure 3.35 (différence entre la zone bleue et la zone du dégradé de couleurs), représente les

limites quand la différence entre la solution 2D U2D(R,,t) et la formulation 3D U3D(R,,t) est

supérieure à un critère, dont la valeur est basée sur une étude issue de la littérature [46], où

Rosakis trace le rapport des FIC expérimentaux et des FIC théoriques. Nous pouvons noter,

pour l'étude réalisée sur du PMMA, que la zone 3D est proche de R 0,25. La figure 3.21

confirme que dans le cas statique, le décrochement se situe proche de cette valeur.

3.6.1 Etendue de la zone 3D pour les cas expérimentaux.

Pour dimensionner la zone 3D en fonction de la vitesse de propagation (V), il faut déterminer

un critère permettant de définir la zone 3D à partir de l'expression 3D et de la relation

bidimensionnelle. Ce critère doit respecter les travaux de Rosakis et al [46] et s'appuie sur les

résultats de la figure 3.21. La valeur de (Crit) est MPa

mm1.10 5 . Elle permet d'avoir une zone

3D limité à R0,25, dans le cas statique. Nous appliquons ce critère à l'ensemble de nos tests

et nous normalisons la formulation 3D par rapport au d-FIC, ainsi l'expression (3.23) est

adimensionnée par rapport à la longueur de fissure (a) et au chargement ().

(3.23)

Nous visualisons sur la figure 3.35, les résultats de l'étendue de la zone 3D en fonction de la

vitesse de propagation (V).

CritK

Uu

Id

D32D-z


- 161 -

V=0 m/s V=220 m/s V=430 m/s V=480 m/s V=540 m/s

R=4 R=4 R=4

R=4 R=4R

R R R

R=0,5 R

Zone 3D délimitée R3D 3DR3D

R3DR 3D

R 3DR 3D

R=4

V=690 m/s

R

R

-0.00019-0,00015-0,00011-7E-005 -3E-005 1E-005 5E-005 9E-005 0,000130,000170,000210,000250,000290,000330,00037

MPamm

R=0,5

R

R 3D

figure 3.35 : Etendue de la zone 3D en fonction de la vitesse de propagation V.

Comme pour les résultats déjà présentés pour les déplacements hors-plan, nous constatons

deux comportements différents. Pour V = 0 et V = 220 m.s-1, la zone 3D est confinée en

pointe de fissure. Pour ces deux vitesses, nous avons zoomé sur la pointe de fissure avec un

grandissement de 8, pour visualiser la zone 3D. Pour les autres vitesses, nous notons que la

zone 3D augmente de façon continue avec la vitesse de propagation V, jusqu'à R 4,5 lorsque

V approche la vitesse de Rayleigh (Vmax 700 m.s-1). Dans ce cas, la solution

bidimensionnelle du déplacement hors-plan ne peut pas être utilisée pour caractériser les

déplacements en pointe de fissure, au contraire des essais 0 et 1 où l'étendue de la zone 3D est

faible.

3.6.2 Etude de la zone 3D en fonction du chargement () et de la vitesse (V).

Ayant obtenu la zone 3D pour plusieurs vitesses de propagation, différentes études peuvent

être entreprises, parmi lesquelles l'influence du chargement et de la vitesse de propagation sur

la zone 3D. Pour cela nous définissons le paramètre R3D caractérisant le rayon de la zone 3D

comme le paramètre étudié.

Zone 3D en fonction du chargement

Nous traçons les valeurs de R3D correspondant aux valeurs du chargement imposé () pour

chacun des essais.


- 162 -

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

R=r/hR=r/h

[MPa]

BA

Seuil de propagation

figure 3.36 : Extraction de R3D fonction du chargement pour les différents essais.

Sur la figure 3.36, nous pouvons remarquer deux zones différentes notés A et B. Dans la zone

A, la fissure est stationnaire (essai 0), R3D est égal à 0,262. Comme le comportement du

matériau est purement élastique et qu'il n'y a pas de propagation de fissure, la zone 3D ne croît

pas et donc R3D reste constant. Dans la seconde zone (zone B), pour une valeur de chargement

supérieure à 1,5 MPa (V 220 m.s-1), R3D augmente en fonction de et peut être approché

par une fonction Logarithmique (en pointillé).

La zone hachurée dite "seuil de propagation de fissure" ou de "transition" correspond à la

zone où la fissure est instable, dont la longueur est difficile à évaluer dynamique. Une autre

étude est effectuée en comparant les valeurs de (R3D) à la vitesse de propagation (V).

0

1

2

3

4

5

6

0 100 200 300 400 500 600 700

R=r/hR=r/h

V [m.s-1]

DC

Tippur et al [78]Tippur et al [100]

figure 3.37 : Extraction de R3D fonction de la vitesse de propagation V pour les différents

essais.


- 163 -

Id

zzn

Id

3D3Dn K

),(U),(U

K

),(U),(U

θRθR

θRθR

Sur la figure 3.37, nous pouvons remarquer deux zones différentes notées C et D. Dans la

zone C (V < 220 m.s-1), aucun essai expérimental ne peut être mené car pour un chargement

inférieur à 1,5 MPa et la fissure initiée par l'impact d'une lame de cutter est stoppée. En

conséquence la détermination de la zone 3D pour des vitesses de propagation V dans cette

zone ne peut pas être faite.

Dans la zone D, pour des vitesses de propagation (V) supérieures à V = 220 m.s-1, l'évolution

de R3D augmente en fonction de V et peut être approchée par une fonction linéaire. Nos

résultats sont proches de ceux obtenus par l'exploitation des données de Tippur et al [100]

(R 0,8 sur la figure 3.37). Proche de la vitesse de Rayleigh (Vmax), le diamètre de la zone 3D

peut atteindre 54 mm pour une épaisseur de plaque égale à 6 mm. L'augmentation de l'étendue

de la zone 3D est due à la présence d'effets transitoires.

3.6.3 Normalisation des déplacements hors-plan théorique et expérimentaux.

Cette étude permet de voir l'influence des effets transitoires sur la forme du déplacement en

pointe de fissure. Pour cela la formulation 3D et les données expérimentales sont normalisées

par rapport à KId et sont respectivement nommées ),(U 3Dn θR et ),(U zn θR .

(3.24)

Les résultats sont tracés pour = 0°.

figure 3.38 : a) Déplacements hors-plan théoriques normalisés. b): Déplacements hors-plan

expérimentaux normalisés.

Nous pouvons constater qu'il y a peu d'écarts entre la solution 2D (notée U2D) et la

formulation 3D (notée V=0 ms-1). Les seules différences sont le déplacement asymptotique

3.7 Etude post-mortem du faciès de rupture.

- 164 -

pour l'un et borné pour l'autre (figure 3.38a) et le décrochement pour R 0,25. Dans ce cas,

les différences sont dues à la présence seule des effets 3D (pas d'effets transitoires). Pour les

différents essais où les données ont été enregistrées, la formulation 3D représente bien les

données expérimentales (figure 3.38a et figure 3.38b). Pour les cas dynamiques, le

comportement du déplacement hors-plan normalisé est modifié. Pour une augmentation de la

vitesse de propagation (V), la valeur maximale du déplacement hors-plan normalisé est de

plus en plus faible. Proche de la vitesse de Rayleigh Vmax, nous pouvons définir le

déplacement hors-plan normalisé comme de l'ordre du quart de la valeur du déplacement

statique.

3.6.4 Conclusion.

Lors de propagation de fissure, nous pouvons constater une augmentation de l'étendue de la

zone 3D qui peut être assimilée à une évolution linéaire. Néanmoins le déplacement hors-plan

normalisé en pointe de fissure quant à lui diminue considérablement lorsque l'on approche de

Vmax. Cela ne peut pas être expliqué par la présence de plasticité car après rupture totale de la

plaque nous constatons que les deux surfaces créées (i.e. faciès de rupture) se superposent.

Cela aussi est dû à la présence d'effets transitoires qui ont pour conséquence d'étendre la zone

3D mais en contrepartie ils diminuent le déplacement hors-plan normalisé en pointe de

fissure.


Sur la figure 3.39, la rugosité du faciès de rupture augmente proportionnellement à la vitesse

de propagation (V). Pour de faibles vitesses, la surface est poli-miroir. Pour 430<V<540 m.s-1,

la surface créée fait apparaître des stries. Pour V > 540 m.s-1, des microcavités et de petites

fissures se forment permettant de consommer plus d'énergie lors de la création de la surface.


- 165 -

0

1

2

3

4

5

6

0 100 200 300 400 500 600 700

R=r/hR=r/h

V [m.s-1]

Poli-miroir

Stries

Microcavités et petites fissures

Tippur et al [78]

Poli-miroir

Stries

Microcavités

Tippur et al [100]


essais et analyse du faciès de rupture.

Selon Griffith, l'énergie totale (E) ne varie pas au cours d'un accroissement de fissure (da)

(§ 1.5.1). Si (WPOT) augmente, l'énergie dissipée par la création de nouvelles surfaces doit

augmenter (i.e. augmentation de l'aire des nouvelles surfaces créées). C'est ainsi que pour

petit, la surface créée est dite "poli miroir" car les surfaces créées n'ont pas besoin de

consommer énormément d'énergie. Pour tendant vers max, la vitesse de propagation V

s'approche de Vmax et la rugosité du faciès de rupture est très importante, ainsi des

microcavités apparaissent. Si > max le phénomène de branchement apparaît, multipliant

ainsi l'aire des nouvelles surfaces créées et ainsi augmentant l'énergie consommée pour la

création de faciès de rupture.

Nous allons maintenant étudier la rugosité des faciès de rupture en fonction du chargement

pour comparer ces résultats aux études précédentes. Une étude topographique a été conduite

pour étudier la rugosité du faciès de rupture créé. Au sein du laboratoire, nous disposons un

microscope confocal interférométrique de marque Taylor Hobson qui permet de réaliser des

mesures de relief sur de petits échantillons (figure 3.40b).


- 166 -

a) b)

Faciès de rupture

Objectif

figure 3.40 : a) Microscope confocal Taylor Hobson. b): Echantillon de PMMA placé devant

l'objectif.

3.7.1 Principe.

Un microscope interférométrique en lumière blanche (figure 3.40a) (aussi appelé

"interféromètre à balayage vertical ou "VSI" pour Vertical Scanning Interferometry) permet

de mesurer la topographie d'une surface avec une grande précision. L'objectif

interférométrique balaie la surface selon la direction verticale (figure 3.41). La caméra

enregistre alors en chaque pixel la succession des intensités lumineuses décalées.

Parallèlement, le système enregistre l'historique de l'altitude (suivant z) de l'objectif. Proche

de la focalisation, chaque pixel "voit" les franges d'interférences. Le système détermine le

maximum de l'amplitude du signal (franges) en prenant le maximum de la courbe "enveloppe"

pour chaque pixel. Ce dernier correspond à une différence de chemin optique nulle. L'altitude

correspondant à ce maximum est l'altitude du point considéré de la surface.

Source de lumière blanche

Mouvement vertical

Chemin optique 1

Lame semi réfléchissante

Miroir de référence

Chemin optique 2

Z(x

,y)

(nm

)

Signal

Intensité lumineuse

Différence de chemin optique =0

Courbe "enveloppe"

Z

figure 3.41 : Principe du microscope interférométrique en lumière blanche.


- 167 -

Les données fournies par le constructeur font mention d'une résolution spatiale de 0,35 m et

d'une résolution verticale de 0,1 Å (10 pm).

3.7.2 Avantages et inconvénients.

La microscopie interférométrique permet de mesurer le relief sur des surfaces réfléchissantes

de manière fiable et rapide. Cependant un objectif interférométrique présente souvent une

ouverture plus petite qu'un objectif classique. De ce fait, les pentes mesurable seront faibles

(22° d'après le constructeur). L'étendue de la zone d'étude pour la mesure topographique

varie en fonction de l'objectif choisi. Par exemple pour des pentes supérieures à 15 degrés,

nous choisissons l'objectif 50x où la zone d'étude se limite à 0,36x0,36 mm² et les pentes

peuvent attendre au maximum 22°. Le tableau 3.6 récapitule les objectifs utilisés et leurs

caractéristiques.

Objectif

microscopique

Champ

[mm x mm]

Pente

[degrés]

Recouvrement

[mm] Nb acquisition

Champ

d'étude

[mm x mm]

Tps total

[min]

20x 0,9 x 0,9 14,5 0,2 4 1,6 x 1,6 16

50x 0,36 x 0,36 22 0,16 49 1,56 x 1,56 196

tableau 3.6 : Caractéristiques des objectifs.

Pour réaliser une étude comparative en fonction du chargement , nous imposons un champ

d'étude sensiblement égal (figure 3.42) pour tous les faciès étudiés. Pour l'objectif 20x, la

zone d'étude est de 1,6 x 1,6 mm² et elle est de 1,56 x 1,56 mm² pour l'objectif 50x. Avec le

logiciel Talymap Gold 4.1, un module permet d'augmenter le champ d'étude en superposant

plusieurs reliefs ayant une zone commune (i.e. recouvrement). Le temps d'acquisition peut

atteindre plusieurs heures.


- 168 -

1,6 mm

15

6

4

5

3

2

1

Objectif 20x Objectif 50x

4 images 49 images

1 2

3 4

7

13

11

12

10

9

8

14

20

18

19

17

16

21

27

25

26

24

23

22

28

34

32

33

31

30

29

35

41

39

40

38

37

36

42

48

46

47

45

44

43

49

Recouvrement

1,56 mm

figure 3.42 : Construction des champs d'étude.

3.7.3 Résultats.

Dans les résultats de déplacements hors-plan de la surface libre, nous n'avons accès qu'à

seulement cinq reliefs pour les essais dynamique. Toutefois, nous avons réalisé d'autres essais

pour des chargements différents. De ce fait, les essais menés font état de chargements non

présentés précédemment dans l'étude de la zone 3D. Avant de "scanner" les surfaces fissurées,

nous avons réalisé une mesure sur la surface libre (figure 3.43).

figure 3.43 : Relief de la surface libre d'une plaque.


- 169 -

Nous pouvons voir que la zone d'étude est de 1,6 x 1,6 mm². L'amplitude du relief (uz) est

faible (-0,05 m < uz < 0,15 m). Les valeurs de la rugosité et de l'aire développée obtenues

pour cette zone seront choisies comme valeurs pour l'essai en statique. Voici les résultats du

relief obtenus pour différents chargements dans une zone proche de la demie-épaisseur

(z = 0) de la plaque et pour une longueur de fissure fixe (a = 40 mm).

=1,57 MPa =3,14 MPa =3,92 MPa

=4,71 MPa =5,49 MPa =6,28 MPa

=7,06 MPa =7,85 MPa =9,42 MPa

Dir

ecti

on d

e pr

opag

atio

n de

la f

issu

re

figure 3.44 : topographies des faciès de rupture.

Sur les topographies de la figure 3.44, les différents reliefs sont comparés au relief de la

surface libre et plusieurs remarques peuvent être notées :

Les points noirs correspondent aux points non calculés car les pentes locales sont

supérieures aux pentes admissibles par les deux objectifs.


- 170 -

1N

0

1M

0,a z

NM

1S

x yyx

100*

Surface

Surface-SurfaceA

ehorizondal

ehorizondaldéveloppéed

Nous pouvons clairement constater que pour un chargement de 1,57 MPa, le relief est

peu prononcé, on parle aussi effet "miroir" du front de la face fissurée (figure 3.37).

Pour un chargement 3,14 < < 5,5 MPa, des stries apparaissent qui sont orientées

perpendiculairement au sens de propagation de la fissure.

Pour des chargements supérieurs à 6 MPa, des îlots et des creux prononcés

apparaissent, traduisant une "forte" rugosité.

3.7.4 Analyse.

La rugosité Sa et l'aire développée Ad en % sont des données pouvant être calculées par le

logiciel dont les formules mathématiques sont exprimées de la façon suivante :

(3.25)

(3.26)

avec N, M, les dimensions de la zone d'étude, zx,y la valeur du relief au point (x,y).

Les surfaces horizontales (Surfacehorizontale) et développées (Surfacedévelopée) correspondent

respectivement à l'aire de la zone analysée et à l'aire du relief développé. Pour la surface libre,

Sa et Ad sont égaux à 0,0126 µm et 0,173 %. Elles peuvent être négligées. Nous traçons les

résultats obtenus pour les différentes topographies.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Air

e dé

velo

ppée

Ad

[%]

[Mpa]

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

8.00E+00

9.00E+00

1.00E+01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rug

osit

é Sa

[µ

m]

[Mpa]

Impacteur à air comprimé

Système à ressort

Air

e dé

velo

ppée

Ad

[%]

Rug

osit

é S a

[m

]

[MPa] [MPa]

figure 3.45 : Aire développée et rugosité du faciès de rupture en fonction de ().

CHAPITRE 3 : Etude lors de propagation de fissures.

- 171 -

Les résultats montrent une augmentation de la rugosité en fonction de . Cependant, cette

évolution n'est pas continue un "décrochement" apparaît pour > 5 MPa et peut s'expliquer

par un changement de phase visible sur la figure 3.44 où des microfissures apparaissent, mais

elles ne sont pas visualisables avec cette mesure surfacique du relief.

Pour un même chargement et un même système de déclenchement, nous pouvons voir de

grands écarts de rugosité et d'aires développées. Plusieurs raisons peuvent expliquer cela :

Pour un chargement élevé, nous pouvons remarquer que des microfissures se forment

traduisant une augmentation de la surface fissurée. Cela n'est pas pris en compte lors de

la mesure.

La indétermination du relief lorsque les pentes sont importantes ne permet pas de

calculer précisément l'aire développée et la rugosité.

La dernière explication est la base de mesure de l'échantillon analysée qui traduit dans

certains cas, un phénomène local et non un phénomène de structure.

3.7.5 Conclusion.

Cette étude a permis de mesurer la topologie des faciès de rupture pour différents états de

chargement et ainsi de montrer un changement de phase du relief de la nouvelle surface créée.

Aucune corrélation n'a pu être obtenue, principalement à cause des topographies parfois

ininterprétables car les fortes pentes, les microcavités ou les microfissures ne sont pas prises

en compte dans la mesure du relief de l'échantillon. Tout ceci perturbe énormément les

résultats.


Dans cette partie, nous avons développé un montage expérimental permettant d'avoir accès au

déplacement hors-plan dans une zone entourant la pointe de fissure lors de sa propagation. Le

calcul direct du déplacement hors-plan absolu est difficilement réalisable. Nous devons

soustraire le relief relatif uexp(x,y,t) au relief initial relatif uexp(x,y,to) correspondant à la non-

planéité de la surface libre de la plaque et ajouter ensuite une constante uo(t) correspondante

au déplacement hors-plan absolu en un point. Cette constante est obtenue par la mise en place

d'un photomultiplicateur (PM) sur le montage expérimental. La dernière difficulté est

l'acquisition des interférogrammes lors de vitesses de propagation élevées (V 700 m.s-1).

Pour cela, un matériel spécifique a été entièrement conçu au laboratoire. La comparaison des

résultats expérimentaux avec la théorie bidimensionnelle montre des divergences évoluant


- 172 -

avec la vitesse de propagation et pouvant être séparées en deux familles distinctes. L'une où

les écarts sont confinés en pointe de fissure et l'autre où les écarts sont loin de la singularité.

Ces écarts entre les valeurs expérimentales et les valeurs empiriques caractérisent la zone des

effets tridimensionnels et des effets transitoires, appelée zone tridimensionnelle ou zone 3D.

Le champ expérimental n'étant pas assez étendu, dans certain cas, pour définir cette zone, une

formulation 3D est proposée permettant de caractériser les déplacements hors-plan. Pour

obtenir ces déplacements hors-plan expérimentaux Uz(x,y,t), des hypothèses sont établies,

concernant la localisation de la fissure sur les images ou le comptage manuel des franges sur

les signaux acquis par le photomultiplicateur. Dans l'étude de sensibilité menée sur

l'expression U3D(R,), nous avons pu déterminer les limites maximales des hypothèses

expérimentales qui ont une grande influence sur les résultats. L'hypothèse expérimentale

prédominante que nous devons vérifier est la constante uo(t) obtenue à partir de l'analyse du

signal du photomultiplicateur. Cette formulation empirique caractérise bien les données

expérimentales pour différentes vitesses de propagation (V). L'expression U3D(R,) permet

d'avoir une valeur des facteurs d'intensité des contraintes dynamiques (KId) constante sur tout

le champ, contrairement aux valeurs déterminées par la minimisation de la solution

bidimensionnelle. L'étude de la zone 3D montre que l'étendue de cette zone évolue de façon

logarithmique par rapport à la contrainte appliquée () et de façon linéaire par rapport à la

vitesse de propagation (V). De plus, l'étude expérimentale montre que le relief normalisé par

rapport au facteur d'intensité des contraintes (KI) diminue en pointe de fissure, et en même

temps la vitesse de propagation de la fissure (V) augmente. L'étude post-mortem du faciès de

rupture à partir d'un interféromètre confocal en lumière blanche permet d'obtenir une mesure

surfacique du relief sur la surface créée. Nous pouvons voir un changement de phase

(5,49 < < 6,28 MPa) du relief du faciès de rupture. Aucune corrélation n'a pu être faite avec

la zone 3D obtenue précédemment, en raison principalement de la présence de microfissures

et aux microcavités qui ne sont pas prises en compte pour ces mesures de surface lorsque

> 6,28 MPa.

Conclusions et perspectives.

- 173 -


Nous rappelons que nos travaux traitent de l'étude du comportement des plaques élastiques

fissurées, sollicitées en mode I, pour des fissures stationnaires et lors de propagations de

fissure. Pour cela, nous avons mis en œuvre, développé et adapté des méthodes optiques pour

obtenir des grandeurs cinématiques dans une zone entourant la pointe de fissure. Ce mémoire

étant constitué de deux parties expérimentales distinctes, nous choisissons de découpler nos

conclusions et nos perspectives relatives aux deux études menées en statique et en dynamique.

Pour l'étude en statique, l'objet est, par des mesures cinématiques dans le plan, d'analyser les

déplacements obtenus et de les comparer avec la théorie bidimensionnelle obtenue en faisant

les hypothèses d'un milieu infini et 2D. Une étude précédente conduite au sein de l'équipe

"photomécanique et rhéologie", avait permis de montrer le caractère tridimensionnel présent

en pointe de fissure par une étude expérimentale et numérique par éléments finis des

déplacements hors-plan. La première difficulté de notre étude était de choisir une méthode

optique adaptée à nos besoins. Par les recherches en cours au GDR 2519 et par notre maîtrise

de la réalisation de grilles pour de grandes surfaces, nous avons choisi la méthode des grilles,

associée à une méthode d'extraction de phase à une seule image (MPC) pour obtenir les deux

champs de déplacements dans le plan. La comparaison des résultats expérimentaux et

numériques obtenus à partir du modèle caractérisant un cylindre de matière entourant la

pointe de fissure, nous a obligé à modifier notre modèle numérique pour tenir compte des

effets de bord présents, l'extrémité de fissure étant insuffisamment éloignée de la tranche de

nos plaques. La bonne concordance entre les nouveaux champs numériques et les résultats

expérimentaux nous permet de valider notre programme éléments finis et de développer de

nouvelles expressions empiriques des déplacements plans, conduisant ainsi à la détermination

de l'intégrale J. Le calcul de cette dernière permet de dimensionner une zone 3D dont

l'étendue est relativement proche des résultats obtenus auparavant, par des mesures de

déplacement hors-plan. Cette étude statique a été effectuée sur deux matériaux (PSM4 et

PMMA) au comportement fragile mais aux caractéristiques mécaniques (E, ) différentes.

Toutefois une attention toute particulière à la loi de comportement ou aux paramètres

mécaniques imposés dans le modèle numérique doit être portée.

La démarche hybride adoptée pourrait être étendue à d'autres matériaux fragiles ou ductiles et

pour des conditions de chargement (mode II, mode III ou mode mixte). Cette extension, qui


- 174 -

nécessiterait de faire évoluer notre programme éléments finis à d'autres configurations,

permettrait de généraliser ou d'adapter les expressions empiriques développées pour traduire

la simultanéité des effets des champs cinématiques (effets 3D mais aussi conditions aux

limites et effets de bord). Les travaux expérimentaux présentés dans ce mémoire et ceux

développés par L. Humbert se limitent à une approche surfacique des problèmes

tridimensionnels. Il serait intéressant de déterminer les champs de déplacements et de

quantifier l'étendue de cette zone 3D au cœur de l'éprouvette. C'est dans ce sens qu'une

nouvelle thèse initiée en 2007 au laboratoire, porte sur les aspects cœur/surface dans les

structures sollicitées mécaniquement et dont l'un des thèmes est de quantifier l'effet

tridimensionnel au sein d'un milieu élastique fissuré par des mesures cinématiques

expérimentales obtenues par corrélation volumique. Une comparaison des déplacements

expérimentaux et des champs cinématiques numériques est envisageable car jusqu'à présent le

modèle numérique était le seul moyen de visualiser ces effets au sein d'un matériau.

Pour l'étude du comportement en cours de propagation de fissure, l'objet est d'étendre en

dynamique les travaux développés en statique au sein du laboratoire se rapportant à l'analyse

des déplacements hors-plan obtenus par mesures interférométriques. Avant d'envisager une

telle extension des travaux expérimentaux, deux moyens doivent être disponibles et maîtrisés :

posséder un système d'acquisition d'images adapté aux phénomènes rapides et transitoires en

dynamique et posséder un programme d'extraction de phase à partir d'une seule image pour

l'exploitation de chacun des interférogrammes au cours de l'événement dynamique. Ces

moyens expérimentaux et numériques ayant été développés et maîtrisés, une étude du

comportement en pointe de fissure lors de sa propagation était envisageable. Concernant le

montage expérimental, nous avons modifié le montage "classique" pour pouvoir acquérir une

information du déplacement hors-plan absolu au cours des essais. Dans cet objectif un

photomultiplicateur (PM) vient compléter la chaîne expérimentale (système de chargement,

dispositif interférométrique, système d'acquisition dynamique). La comparaison des

déplacements hors-plan expérimentaux ainsi obtenus avec ceux issus de la formulation 2D

permet de dimensionner directement la zone 3D. Nous constatons que cette zone évolue en

fonction de la vitesse de propagation (V) impliquant les phénomènes transitoires lors de

l'accroissement de la fissure. Nous constatons aussi que le relief maximal normalisé par

rapport aux facteurs d'intensité des contraintes en pointe de fissure diminue, alors que dans le

même temps la vitesse de propagation de fissure (V) augmente. Nos travaux ont été complétés

par une étude sur le relief du faciès de rupture, qui n'a pas permis de confirmer les résultats


- 175 -

de la rugosité de cette surface créée avec la zone tridimensionnelle. Les écarts de rugosités et

d'aire développée sont induits par l'apparition d'un changement de phase, la création de

microfissures et microcavités qui ne sont pas pris en compte par des mesures surfaciques du

relief, réalisées par le microscope confocal. Lorsque le relief est très prononcé, les limites

physique de l'appareil sont atteintes (pentes 22°) et la topographie du relief présente des

points non calculés, qui sont déterminants dans le calcul de ces deux grandeurs (rugosité et

aire développée).

Ces travaux initiés en dynamique mériteraient d'être complétés par l'étude sur d'autres

matériaux à comportement fragile pour valider les premiers constats faits ici sur l'étendue de

la zone 3D et sur l'influence de la vitesse de propagation sur ce comportement tridimensionnel

Le même type d'études pourrait être conduit sur des matériaux à comportement ductile.

L'investigation du comportement mécanique par des champs de déplacements dans le plan

lors de propagation de fissure permettrait de mettre en évidence l'étendue de la zone 3D à

partir du calcul de l'intégrale J. On adapterait ainsi à des conditions dynamiques d'étude, les

travaux que nous avons développés pour des fissures stationnaires. Toutefois, le choix de la

méthode optique peut s'avérer compliqué car cela nécessiterait soit de modifier notre montage

expérimental pour l'utilisation de la corrélation, soit d'adapter une méthode moins

consommatrice d'énergie lumineuse. Nos travaux expérimentaux présentés dans ce mémoire

indiquent qu'une approche tridimensionnelle du problème de propagation de fissure doit être

prise en compte. Une comparaison entre les données expérimentales et les champs

numériques obtenus avec une modélisation numérique tridimensionnelle (ex : la méthode des

éléments finis étendus (X-FEM)) serait intéressante pour valider les conditions aux limites

et/ou la loi de comportement imposée dans le modèle numérique. Le savoir faire du

laboratoire, la maîtrise des méthodes optiques de mesure et leur exploitation pourrait

avantageusement être mis à profit pour alimenter par nos données expérimentales cette

méthode numérique prometteuse.

Les travaux présentés dans ce mémoire, ainsi que les autres travaux réalisés au Laboratoire de

Mécanique des Solides de Poitiers, mettant à profit les méthodes optiques dans le domaine de

la fissuration statique en mode I, permettent aujourd'hui d'appréhender une multitude de

problèmes en élasticité linéaire ou en élasto-plasticité. Le Laboratoire dispose de la maîtrise

de plusieurs méthodes optiques (méthode des caustiques, méthode des grilles, interférométrie,

corrélation 2D et volumique) pouvant être utilisées spécifiquement dans le but d'extraire une

ou des grandeur(s) mécanique(s) sur les surfaces extérieures ainsi qu'au sein de structures


- 176 -

fissurées et sollicitées. Les développements de montages expérimentaux ont été entrepris dans

le but de comprendre les phénomènes mécaniques proches de la pointe de fissure. La création

de programmes d'éléments finis représentatifs, du comportement linéaire ou non linéaire

présent en pointe de fissure par comparaison de champs cinématiques expérimentaux, a

largement contribué aux formulations mathématiques empiriques des champs de

déplacements 3D. La comparaison surfacique de ces résultats a permis de valider le choix du

maillage, les conditions aux limites et les lois de comportement imposées dans les modèles.

Les comparaisons qui vont être menées avec des mesures à cœur conduiront alors à une

représentation globale et très fine des champs cinématiques d’un milieu fissuré. Nous avons

montré, par nos travaux et l’apport des mesures de champs par voie optique, que ce type

d’étude devait être étendu à la compréhension de la rupture dynamique. La conjugaison du

développement de systèmes d'acquisition plus rapides, de sources plus puissantes et de

moyens numériques mieux appropriés (traitement d'images et éléments finis) ouvre de

nombreuses perspectives pour généraliser aux phénomènes de rupture dynamique les

démarches hybrides successivement développées.

Annexe.

- 177 -

Annexe.

Cette annexe présente les interférogrammes, les résultats des déplacements théoriques,

expérimentaux et de la formulation empirique proposée pour les différentes vitesses de

propagation (V) (V= 430, 540 et 690 m.s-1).

t=0 s t=60 s t=70 s t=80 s

R=r/h=1

x

y

r

xy

r

yx

r

figure 1 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=430 m.s-1.

R=r/h

R=r/h R=r/h

R=r/h

[mm] [mm]

[mm] [mm]

=0° =45°

=90° =135°

figure 2 : Profils des déplacements hors-plan expérimentaux, théoriques et de la formulation

3D proposée pour l'essai 2 (V=430 m.s-1).

Sur la figure 2, nous distinguons la zone de décrochement et la zone où les déplacements de la

formulation 3D et de la théorie bidimensionnelle sont égaux, elle se situe autour de R3.

Annexe.

- 178 -

La figure 3 représente les interférogrammes obtenus pour une vitesse de propagation

V = 540 m.s-1.

t=0 s t=20 s t=24 s

R=r/h=1

rx

y

rx

y


R=r/h

R=r/h R=r/h

R=r/h

[mm] [mm]

[mm] [mm]

=0° =45°

=90° =135°



Sur la figure 4, la zone de décrochement n'est pas directement visible à partir du champ

d'étude expérimental, mais ale développement de la formulation 3D permet de dimensionner

la zone 3D pour V=540 m.s-1.

Annexe.

- 179 -

La figure 5 représente les interférogrammes obtenus pour une vitesse de propagation

V = 690 m.s-1.

t=0 s t=40 s

R=r/h=1

rx

y


R=r/h

R=r/h R=r/h

R=r/h

[mm] [mm]

[mm] [mm]

=0° =45°

=90° =135°



Sur la figure 6, nous présentons les différents résultats pour une vitesse V=690 m.s-1, soit une

vitesse proche de la vitesse de Rayleigh (V700 m.s-1), autrement dit nous sommes proche du

branchement de fissures.

Références bibliographiques.

- 181 -


[1] : HUMBERT, L. Formulation des effets tridimensionnels dans les plaques élastiques

fissurées en mode I à partir de la méthode des éléments finis et de l'interférométrie.

Application à l'exploitation de la méthode des caustiques. PhD thesis, Université de

POITIERS, 2000.

[2] : COLPO, F., HUMBERT, L., AND BOTSIS, J. Characterisation of residual stresses in a single

fibre composite with FBG sensor. Composites Science and Technology 67, 9 (July 2007),

1830–1841.

[3] : GARY, G., AND BAILLY, P. Behaviour of quasi-brittle material at high strain rate:

experiment and modelling. European Journal of Mechanics - A/Solids 17, 3 (1998), 403–420.

[4] : SEGRETI, M., RUSINEK, A., AND KLEPACZKO, J. R. Experimental study on puncture of

PMMA at low and high velocities, effect on the failure mode. Polymer Testing 23, 6 (Sept.

2004), 703–718.

[5] : BOUIX, R., VIOT, P., AND LATAILLADE, J.-L. Polypropylene foam behaviour under

dynamic loadings: Strain rate, density and microstructure effects. International Journal of

Impact Engineering In Press, Corrected Proof (2008).

[6] : BACON, C., FÄRM, J., AND LATAILLADE, J. Dynamic fracture toughness determined from

load-point displacement. Experimental Mechanics 34, 3 (1994), 217–223.

[7] : WESTERGAARD, H. Bearing pressures and cracks. Journal of Applied Mechanics 6

(1939), 49–53.

[8] : EFTIS, J., AND LIEBOWITZ, H. On the modified Westergaard equations for certain plane

crag problems. Int J Fract 8, 4 (1972), 383–392.

[9] : EFTIS, J., SUBRAMONIAN, H., AND LIEBOWITZ, H. Crack border stress and displacement

equations revisited. Eng. Fract. Mech. 9 (1977), 189–210.

[10] : SUTTON, M., TURNER, J., CHAO, Y., BRUCK, H., AND CHAE, T. Experimental

investigations of three-dimensional effects near a crack tip using computer vision. Int J Fract

53, 3 (1992), 201–228.

[11] : LABBENS, R. (1980). Introduction à la mécanique de la rupture p70.

[12] : TADA, H, PARIS P.C. AND IRWIN G.R The stress analysis of cracks Handbook. 2nd edn.

Paris Productions, St. Louis (1985).

[13] : WASHABAUGH, P., AND KNAUSS, W. A reconciliation of dynamic crack velocity and

Rayleigh wave speed in isotropic brittle solids. Int J Fract 65, 2 (1994), 97–114.


- 182 -

[14] : BEINERT, J., AND KALTHOFF, F. Experimental determination dynamic stress intensity

factors by method shadow patterns. Mechanics fracture 7 (1981), 281–330.

[15] : NILSSON, F. Dynamic stress-intensity factors for finite strip problems. Int J Fract 8, 4

(1972), 403–411.

[16] : ARAKAWA, K., DRINNON JR., R., KOSAI, M., AND KOBAYASHI, A. Dynamic fracture

analysis by moiré interferometry. Exp. Mech. 31, 4 (1991), 306–309.

[17] : INGLIS, C. E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners.

Transaction of the Institution of Naval Architects 60 (1913), 219–242.

[18] : GRIFFITH, A. The phenomena of rupture and flow in solids. Tech. rep., Philosophical

Trans. Royal Soc of London, 1920.

[19] : BUI, H. D. Mécanique de la rupture fragile. Edition Masson, 1978.

[20] : OROWAN, E. Fracture and strength of solids. Reports on Progress in Physics 12, 1

(1949), 185–232.

[21] : RICE, J. R. A path independent integral and the approximative analysis of strain

concentration by notches and cracks. Journal of Applied Mechanics (1968), 379–386.

[22] : HUTCHINSON, J. Plastic stress and strain fields at a crack tip. Journal of the Mechanics

and Physics of Solids 16, 5 (Sept. 1968), 337–342.

[23] : HUTCHINSON, J. W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening

material. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 16, 1 (1968), 13–31.

[24] : RICE, J. R., AND ROSENGREN, G. F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-

law hardening material. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 16, 1 (Jan. 1968), 1–

12.

[25]: ROBIN, E. Développement d'une méthode de démodulation de phase à partir d'une seule

image de franges : Application des méthodes optique de champ à la mesure en dynamique.

PhD thesis, Université de POITIERS, 2005.

[26]: ROBIN, E., AND VALLE, V. Phase demodulation from a single fringe pattern based on a

correlation technique. Appl. Opt. 43, 22 (2004), 4355–4361.

[27]: TAKEDA M., INA H., KOBAYASHI S. Fourier-transform method of fringe-pattern analysis

for computer-based topography and interferometry. Journal of the Optical Society of America,

72, 1 (1982), 156–160.

[28]: GDEISAT M. A., BURTON D. R., LALOR M. J. Fringe pattern demodulation with a two

dimensional digital Phase Locked Loop algorithm. Applied Optics, 41 (2002), 5479–5487.


- 183 -

[29] : SERVIN M., MARROQUIN J. L., QUIROGA J. A Regularized quadrature and phase tracking

from a single closed-fringe interferogram. Optics, Image Science and Vision, 21 (2004), 411–

419.

[30] : ROBIN, E., VALLE, V., AND BREMAND, F. Phase demodulation method from a single

fringe pattern based on correlation with a polynomial form. Appl. Opt. 44(34), 34 (2005),

7261–7269.

[31] : SURREL, Y. Design of algorithms for phase measurements by the use of phase stepping.

Appl. Opt. 35, 1 (1996), 51–60.

[32] : PFAFF, R., WASHABAUGH, P., AND KNAUSS, W. Interpretation of Twyman-green

interferograms from static and dynamic fracture experiments. Int J Solids Struct 32, 6-7

(1995), 939–955.

[33] : HUMBERT, L., VALLE, V., AND COTTRON, M. Experimental determination and empirical

representation of out-of-plane displacements in a cracked elastic plate loaded in mode I. Int. J.

Solids Struct. 37, 39 (2000), 5493–5504.

[34] : BRÉMAND, F. Cours de Photomécanique - DEA de mécanique. 2004.

[35] : ARAKAWA, K., AND TAKAHASHI, K. Displacement fields around a crack tip in polymers.

Int. J. Fract. 86, 4 (1997), 289–300.

[36] : TIPPUR, H. V., KRISHNASWAMY, S., AND ROSAKIS, A. J. A coherent gradient sensor for

crack tip deformation measurements: analysis and experimental results. International Journal

of Fracture 48, 3 (Apr. 1991), 193–204.

[37] : WASHABAUGH, P., AND KNAUSS, W. Non-steady, periodic behavior in the dynamic

fracture of PMMA. Int J Fract 59, 2 (1993), 189–197.

[38] : LAMBROS, J., AND ROSAKIS, A. Dynamic crack initiation and growth in thick

unidirectional graphite/epoxy plates. Composites Science and Technology 57, 1 (1997), 55–

65.

[39] : PANDOLFI, A., GUDURU, P. R., ORTIZ, M., AND ROSAKIS, A. J. Three dimensional

cohesive-element analysis and experiments of dynamic fracture in c300 steel. International

Journal of Solids and Structures 37, 27 (2000), 3733–3760.

[40] : KITEY, R., AND TIPPUR, H. Dynamic crack growth past a stiff inclusion: Optical

investigation of inclusion eccentricity and inclusion-matrix adhesion strength. Experimental

Mechanics 48, 1 (Feb. 2008), 37–53.

[41] : MELLO, M., HONG, S., AND ROSAKIS, A. Extension of the Coherent Gradient Sensor

(CGS) to the combined measurement of in-plane and out-of-plane displacement field

gradients. Experimental Mechanics (2008).


- 184 -

[42] : THEOCARIS, P. Local yielding around a crack tip in plexiglas. Journal of Applied

Mechanics 10(4) (1970), 549–564.

[43] : KALTHOFF, J. Shadow optical method of caustics, In Kobayashi AS editor, Handbook on

Experimental Mechanics, Prentice-Hall Inc, Englewood Cliffs, 1987.

[44] : MANOGG, P. Schattenoptische messung der speczifischen bruchenergie wahrend des

bruchvorgangs bei plexiglass. In Proc. Int. Conf Phys. Non-Crystalline Solids (1964), Delft,

Ed., The Netherlands, pp. 481–490.

[45] : BERRY, M., AND C., U. Catastrophe optics: Morphologies of caustics and their

diffraction patterns. Prog. Opt. 18 (1980).

[46] : ROSAKIS, A. J., AND RAVI-CHANDAR, K. On crack-tip stress state: An experimental

evaluation of three-dimensional effects. Int J Solids Struct 22, 2 (1986), 121–134.

[47] : POP, O. Etude numérique et expérimentale de la topographie de la zone plastique à

partir de la méthode des caustiques : Application à un milieu ductile fissuré sollicité en mode

I. PhD thesis, Université de POITIERS, 2004.

[48] : ROSAKIS, A. Analysis of the optical method of caustics for dynamic crack propagation.

Engineering Fracture Mechanics 13, 2 (1980), 331–347.

[49] : SUZUKI, S., AND NAKANE, K. Effect of higher order terms on measurement of dynamic

stress intensity factor with optical methods. In Conference on the Advanced Technology in

Experimental mechanics 93. JSME, ATEM'93 (1993).

[50] : SOHIER, L. Formulation et analyse d'images de caustiques pour des matériaux

optiquement anisotropes sollicités suivant un mode mixte de rupture et application à l'étude

du branchement de polymères et d'un verre. PhD thesis, Université de POITIERS, 1993.

[51] : ARAKAWA, K., NAGOH, D., AND TAKAHASHI, K. Crack velocity and acceleration effects

on the dynamic stress intensity factor in polymers. Int. J. Fract. 83, 4 (1997), 305–313.

[52] : SUTTON, M., WOLTERS, W., PETERS, W., RANSON, W., AND MCNEILL, S. Determination

of displacements using an improved digital correlation method. Image and Vision Computing

1, 3 (1983), 133–139.

[53] : SCHREIER, H. W., BRAASCH, J. R., AND SUTTON, M. A. Systematic errors in digital

image correlation caused by intensity interpolation. Optical Engineering 39, 11 (Nov. 2000),

2915–2921.

[54] : YONEYAMA, S., MORIMOTO, Y., AND TAKASHI, M. Automatic evaluation of mixed-mode

stress intensity factors utilizing digital image correlation. Strain 42, 1 (2006), 21–29.

[55] : ABANTO-BUENO, J., AND LAMBROS, J. An experimental study of mixed mode crack

initiation and growth in functionally graded materials. Exp. Mech. 46, 2 (2006), 179–196.


- 185 -

[56] : SUN, Y., AND PANG, J. Experimental and numerical investigations of near-crack-tip

deformation in a solder alloy. Acta Mater 56, 3 (2008), 537–548.

[57] : CHAO, Y., LUO, P., AND KALTHOFF, J. An experimental study of the deformation fields

around a propagating crack tip. Experimental Mechanics 38, 2 (June 1998), 79–85.

[58] : KIRUGULIGE, M., TIPPUR, H., AND DENNEY, T. Measurement of transient deformations

using digital image correlation method and high-speed photography: Application to dynamic

fracture. Appl. Opt. 46, 22 (2007), 5083–5096.

[59] : MOULART, R., ROTINAT, R., PIERRON, F., AND LERONDEL, G. On the realization of

microscopic grids for local strain measurement by direct interferometric photolithography.

Opt Lasers Eng 45, 12 (2007), 1131–1147.

[60] : ROTINAT, R. Développement d'une méthode optique de mesure directe des déformations

sur tout un champ en statique et en dynamique. PhD thesis, Université de POITIERS, 2000.

[61] : Site web de Ganuloshop : http://www.granuloshop.com/Vitrine/r4.htm#TAXS600.

[62] : RITTER, R. Strain measurement in material testing by optical methods. in local strain

and temperature in non-uniform fields at elevated temperatures. Ziebs J and BressersJ editors,

Woodhead (1996), 1–12.

[63] : AVRIL, S., VAUTRIN, A., HAMELIN, P., AND SURREL, Y. Caractérisation par une méthode

de grille de la fissuration de poutres en béton armé réparées par matériaux composites. In

Photomécanique 2001 (2001).

[64] : POST, D. Photoelastic stress analysis for a edge crack in a tensile field. Proceedings of

SESA (Society for Experimental Stress Analysis) 12 (1954), 99–116.

[65] : WELLS, A., AND POST, D. The dynamic stress distribution surrounding a running crack -

a photoelastic analysis. Proceedings of SESA (Society for Experimental Stress Analysis) 16

(1958), 69–92.

[66] : IRWIN, G. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. J.

Appl. Mech. 24, 3 (1957), 361–364.

[67] : ETHERIDGE, M., AND POST, D. A critical review of methods for determining stress

intensity factors from isochromatic fringe. Exp. Mech. 17 (1977), 248–254.

[68] : KOBAYASHI, A., AND MALL, S. Dynamic fracture toughness of homalite-100. Exp.

Mech. 18, 1 (1978), 11–18.

[69] : COTTRON, M. Contribution à la détermination des facteurs d'intensité des contraintes

en mode mixte, pour un problème plan, à partir des données de la photoélasticité et des

champs de granularité. PhD thesis, Université de POITIERS, 1982.

http://www.granuloshop.com/Vitrine/r4.htm#TAXS600�


- 186 -

[70] : GERMANEAU, A. Développement de techniques de mesure dans le volume :

Photoélasticimétrie 3D par découpage optique et corrélation volumique par tomographie

optique et rayons X. Application à l'étude des effets mécaniques 3D dans les structures et les

biomatériaux. PhD thesis, Université de POITIERS, 2007.

[71] : NAKAMURA, T., AND PARKS, D. M. Three-dimensional stress field near the crack front

of a thin elastic plate. Journal of Applied Mechanics 55 (1988), 805–813.

[72] : BAZANT, Z. P., AND ESTENSSORO, L. F. Surface singularity and crack propagation. Int. J.

Solids Struct. 15 (1978), 405–429.

[73] : PARKS, D. M. A stiffness derivative finite element technique for determination of crack

tip stress intensity factors. International Journal of Fracture 10 (1974), 487–502.

[74] : HELLEN, T.-K. On the method of virtual crack extensions. Int J Num Meth Eng 9

(1975), 187–207.

[75] : DUBOIS, F. Modélisation du comportement mécanique des milieux viscoélastiques

fissurés : Application au matériau bois. PhD thesis, Université de LIMOGES, 1997.

[76] : RETHORE, J., ROUX, S., AND HILD, F. Noise-robust stress intensity factor determination

from kinematic field measurements. Engineering Fracture Mechanics 75, 13 (2008), 3763–

3781.

[77] : HILD, F., RETHORE, J., AND ROUX, S. Progrès récents en corrélations d'images : de la

mesure de champs à l'identification de propriétés mécaniques. In proceeding du 18ième

Congrès Français de Mécanique (2007).

[78] : GOSZ, M., DOLBOW, J., AND B., M. Domain integral formulation for stress intensity

factor computation along curved three-dimensional interface cracks. Int. J. Solids Struct.

35(15) (1998), 1763–1783.

[79] : RETHORE, J., HILD, F., AND ROUX, S. Réduction de la sensibilité au bruit dans

l'identification des facteurs d'intensité des contraintes à partir de mesures de champs

cinématiques. In 8ème colloque national en calcul des structures (2007).

[80] : RÉTHORÉ, J., ROUX, S., AND HILD, F. Noise-robust stress intensity factor determination

from kinematic field measurements. Engineering Fracture Mechanics 75, 13 (Sept. 2008),

3763–3781.

[81] : MURAKAMI, Y. A simple procedure for the accurate determination of stress intensity

factors by finite element method. Engineering Fracture Mechanics 8, 4 (1976), 643–655.

[82] : CHALIVENDRA, V., SHUKLA, A., AND PARAMESWARAN, V. Dynamic out of plane

displacement fields for an inclined crack in graded materials. J Elast 69, 1-3 (2002), 99–119.


- 187 -

[83] : WOLF, T. Analyse systematisherfehlerin der phasenberehnumg. PhD thesis, Université

de Karlsruhe, 1994.

[84] : CREATH, K., AND SCHMIT, J. N-point spatial phase-measurement techniques for non-

destructive testing. Opt Lasers Eng 24, 5-6 (1996), 365–379.

[85] : DOUMALIN, P. Microextensiométrie locale par corrélation d'images numériques.

Application aux études micromécaniques par microscopie électronique à balayage. PhD

thesis, Ecole Polytechnique, 2000.

[86] : BREMAND, F., DUPRE, J.C., AND LAGARDE, A. Mesure de déformations sans contact par

analyse d'images. In proceeding de Photomécanique 1995, 171-177.

[87] : Site web : http://www-lms.univ-poitiers.fr/article288.html.

[88] : HUMBERT, L., VALLE, V., AND COTTRON, M. Lateral surface contraction of an elastic

cracked plate. Three dimensional effects. ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 80, 4 SUPPL. 3

(2000).

[89] : MOËS, N., DOLBOW, J., AND BELYTSCHKO, T. A finite element method for crack growth

without remeshing. Int J Numer Methods Eng 46, 1 (1999), 131–150.

[90] : RETHORE, J., GRAVOUIL, A., AND COMBESCURE, A. A stable numerical scheme for the

finite element simulation of dynamic crack propagation with remeshing. Comput. Methods

Appl. Mech. Eng. 193, 42-44 (2004), 4493–4510.

[91] : GENIAUT, S., MASSIN, P., AND MOËS, N. Contact frottant avec x-fem formulation 3d et

stabilisation. In 8ième Colloque National en Calcul des Structures (Giens, 2007), vol. 2,

pp. 5–9.

[92] : Site web : http://www.code-aster.org/.

[93] : PARIS, P., AND ERDOGAN, F. J. A critical analysis of crack propagation law. Basic

Engng. J 85 (1963), 528–539.

[94] : COMBETTE, P., AND ERNOULT, I. Physique des polymères. II Propriétés mécanique.

Collection Enseignement des Sciences., 2005.

[95] : KALTHOFF, J. F., B. J., AND WINKLER, S. Influence of dynamic effects on crack arrest.

Tech. rep., Institut fur Festkorpermeckanik, 1978.

[96] : ROSAKIS, A. Analysis of the optical method of caustics for dynamic crack propagation.

Engineering Fracture Mechanics 13, 2 (1980), 331–347.

[97] : GEORGIADIS, H. G., AND PAPADOPOULOS, G. A. On the method of dynamic caustics in

crack propagation experiments. International Journal of Fracture 54, 2 (Mar. 1992), R19–

R22.

http://www-lms.univ-poitiers.fr/article288.html�

http://www.code-aster.org/�


- 188 -

[98] : TAKAHASHI, K., AND ARAKAWA, K. Dependence of crack acceleration on the dynamic

stress-intensity factor in polymers. Exp. Mech. 27, 2 (1987), 195–199.

[99] : LAMBROS, J., AND ROSAKIS, A. Dynamic decohesion of bimaterials: experimental

observations and failure criteria. Int J Solids Struct 32, 17-18 (1995), 2677–2702.

[100] : TIPPUR, H., KRISHNASWAMY, S., AND ROSAKIS, A. Optical mapping of crack tip

deformations using the methods of transmission and reflection coherent gradient sensing: a

study of crack tip k-dominance. Int J Fract 52, 2 (1991), 91–117.

[101] : ZHOU, F., MOLINARI, J.-F., AND SHIOYA, T. A rate-dependent cohesive model for

simulating dynamic crack propagation in brittle materials. Eng. Fract. Mech. 72, 9 (2005),

1383–1410.

[102] : VALLE, V, "Intelligente high-speed camera", n°WO 2007/017582A2, (2007).

[103] : HEDAN, S., VALLE, V., AND COTTRON, M. Experimental localisation of the 3D and

transient effects near the crack tip for different crack velocities in brittle materials. C. R. Mec.

335, 4 (2007), 238–244.

[104] : HEDAN, S., POP, O., VALLE, V., AND COTTRON, M. Dynamic optical interferometry

applied to analyse out of plane displacement fields for crack propagation in brittle materials.

In 8th International Conference on Mechanical and Physical Behaviour of Materials under

Dynamic Loading (Dijon, 2006), vol. 134, pp. 597–601.

Liste des illustrations.

- 189 -


Chapitre 1 : Mécanique de la rupture bidimensionnelle et méthodes


Figure :

figure 1.1 : Schéma d'une barre d'Hopkinson en compression................................................. 22

figure 1.2 : Représentation d'une éprouvette fissurée d'épaisseur (h) et sollicitée en mode I.. 23

figure 1.3 : Différents modes de chargement d'une éprouvette fissurée. ................................. 24

figure 1.4 : Plaque fissurée, milieu bidimensionnel infini en mode mixte............................... 26

figure 1.5 : Déplacement ux selon les formulations (1.11), (1.14) et (1.16)............................. 29

figure 1.6 : Eprouvettes normalisées pour un mode I de chargement. ..................................... 30

figure 1.7 : Rapport entre l'expression de Labbens et l'expression de Tada. ........................... 32

figure 1.8 : a) Contour d'intégration circulaire. b) Contour d'intégration rectangulaire. ......... 39

figure 1.9 : a) Principe de l'interféromètre de Michelson. b) Interférogramme obtenu en pointe

de fissure [1]..................................................................................................................... 42

figure 1.10 : Principe du moiré................................................................................................. 44

figure 1.11 : Principe du moiré interférométrique.................................................................... 45

figure 1.12 : Schéma du montage expérimental CGS en réflexion. ......................................... 48

figure 1.13 : a) Principe physique de la formation des caustiques [1]. b) Exemples de

caustiques obtenues en transmission. ............................................................................... 49

figure 1.14 : a) Mouchetis déposé sur la surface d'une éprouvette en polycarbonate (taille du

grain 50-100 m). b) Vecteur déplacement associé pour un chargement F = 1010 N. ... 51

figure 1.15 : Paramètres principaux définissant une grille (p=50 m)..................................... 52

Tableau :

tableau 1.1 : Avantages et inconvénients des différentes méthodes optiques. ......................... 56


Chapitre 2 : Fissures stationnaires : Analyse des champs de déplacements

plans.

Figure :

figure 2.1 : Principe de superposition [81] ............................................................................... 66

figure 2.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de grille. ........................................ 69

figure 2.3 : Organigramme pour obtenir les déplacements expérimentaux ux et uy. ................ 70

figure 2.4 : Principe du suivi de marqueurs. ............................................................................ 71

figure 2.5 : a) courbe contraintes-déformations pour le PMMA. b) courbe contrainte-

déformation pour le PSM4. .............................................................................................. 72

figure 2.6 : Montage expérimental pour le PMMA.................................................................. 73

figure 2.7 : Montage expérimental pour le PSM4.................................................................... 74

figure 2.8 : a) Cartographie de phase x(r,) présentant des nodules. b) Extraction d'une

ligne de phase comportant des nodules. ........................................................................... 74

figure 2.9 : a) Cartographie de phase pour une grille inclinée à 45 degrés. b) Cartographie de

phase pour une grille inclinée à 16 degrés. c) Cartographie de phase pour une grille

recalée spatialement par rapport à la grille CCD. ............................................................ 76

figure 2.10 : Champs de déplacements théoriques et expérimentaux ux et uy.......................... 78

figure 2.11 : Déplacements théoriques et expérimentaux ux pour différents angles . ............ 79

figure 2.12 : Déplacements théoriques et expérimentaux uy pour différents angles . ............ 79

figure 2.13 : Représentation et maillage du quart de cylindre. ................................................ 81

figure 2.14 : Champs de déplacements expérimentaux et champs de déplacements numériques

pour une modélisation de plaque infinie. ......................................................................... 83

figure 2.15 : Evolution des déplacements ux expérimentaux, théoriques et numériques pour

une plaque infinie. ............................................................................................................ 84

figure 2.16 : Evolution des déplacements de uy expérimentaux, théoriques et numériques pour

une plaque infinie. ............................................................................................................ 84

figure 2.17 : Représentation et maillage du quart de l'éprouvette............................................ 85

figure 2.18 : Champs de déplacements expérimentaux et numériques sur la surface libre...... 86

figure 2.19 : Evolutions de ux pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.... 87

figure 2.20 : Evolutions de uy pour les résultats expérimentaux, numériques et théoriques.... 87


- 191 -

figure 2.21 : Extraction des gradients de déplacements numériques et de la formulation

d'Arakawa......................................................................................................................... 89

figure 2.22 : Evolution de Gx() dans l'intervalle ]- , [. ....................................................... 91

figure 2.23 : Evolution de Gy() dans l'intervalle ]- , [. ....................................................... 91

figure 2.24 : champs de déplacements (ux et uy) obtenus à partir des formulations proposées et

des simulations numériques. ............................................................................................ 93

figure 2.25 : Profils des gradients numériques, des gradients des formulations proposées et des

gradients de la formulation d'Arakawa............................................................................. 94

figure 2.26 : Calcul des différentes intégrales J pour le PSM4. ............................................... 96

figure 2.27 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N............. 99

figure 2.28 : Champs de déplacements (ux, uy) pour le PMMA et pour P2 = 1255 N............ 100

figure 2.29 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N............... 101

figure 2.30 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P1 = 498,5 N............... 101

figure 2.31 : Evolution des déplacements ux pour le PMMA et pour P2 = 1255 N................ 102

figure 2.32 : Evolution des déplacements uy pour le PMMA et pour P2 = 1255 N................ 102

figure 2.33 : a) Calcul des intégrales J pour le chargement P1=498,5N. b) Calcul des intégrales

J pour le chargement P2=1255N..................................................................................... 103

figure 2.34 : Organigramme pour le calcul des deux critères. ............................................... 105

figure 2.35 : Evolution de deux critères en fonction de (a).................................................... 107

figure 2.36 : Evolutions des sept variables en fonction de l'épaisseur (h). ............................ 109

figure 2.37 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction de l'épaisseur (h). ........ 111

figure 2.38 : Evolutions des sept variables en fonction de la longueur de fissure (a)............ 113

figure 2.39 : Evolutions paramétrées des sept variables en fonction (a)................................ 114

Tableau :

tableau 2.1: Caractéristiques mécaniques (E, ) du PMMA et du PSM4. ............................... 72

tableau 2.2: Paramètres modifiés pour éliminer les nodules. ................................................... 75

tableau 2.3: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PSM4.............. 78

tableau 2.4 : Valeurs des constantes intervenant dans les formulations proposées ux et uy. .... 92

tableau 2.5 : Valeurs des sept variables pour le PSM4 et un chargement de 9,53 N. .............. 95

tableau 2.6: Caractéristiques mécaniques et géométriques de l'éprouvette en PMMA............ 97

tableau 2.7 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N. .......... 97

tableau 2.8 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N. ........... 97


tableau 2.9 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 498,5 N. .......... 98

tableau 2.10 : Valeurs des sept variables pour le PMMA et un chargement de 1255 N. ......... 98

tableau 2.11 : Tableau récapitulatif des KI_num obtenu pour des plaques finies. .................... 106

tableau 2.12 : Tableau des valeurs de norm_x et norm_y......................................................... 108

Chapitre 3 : Propagation de fissures : Etude des déplacements hors-plan.

Figure :

figure 3.1 : La caméra Cranz-Schardin du L.M.S de Poitiers. ............................................... 124

figure 3.2 : Définition de la zone d'étude pour une image de franges.................................... 127

figure 3.3 : a) Prototype de la caméra. b) Caractéristiques de la caméra. .............................. 128

figure 3.4 : Principe de fonctionnement des caméras et des intensifieurs.............................. 129

figure 3.5 : signaux du photomultiplicateur et du déclenchement des caméras. .................... 133

figure 3.6 : Montage expérimental pour l'étude en dynamique.............................................. 134

figure 3.7: Schématisation numérique du montage expérimental. ......................................... 135

figure 3.8 : Présence de dédoublement de franges sur l'interférogramme pour V = 540 m.s-1.

........................................................................................................................................ 136

figure 3.9 : a) Interférogramme pour une vitesse de propagation de 220 m.s-1. b)

Interférogramme pour une vitesse de propagation de 480 m.s-1. ................................... 137

figure 3.10 : Interrupteur en argent peint à la surface de la plaque........................................ 138

figure 3.11 : Le photomultiplicateur. ..................................................................................... 138

figure 3.12 : Visualisation du petit miroir sur un interférogramme. ...................................... 139

figure 3.13 : a) système de déclenchement à ressort, b) système de déclenchement à air

comprimé........................................................................................................................ 139

figure 3.14 : Vitesse de propagation de fissure V en fonction du chargement . .................. 140

figure 3.15 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=220 m.s-1. b)

Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes. .................. 141

figure 3.16 : a) Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=480 m.s-1. b)

Champs de phase (x,y,t) correspondant aux différents interférogrammes. .................. 142

figure 3.17 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=90 s et V=220 m.s-1.143

figure 3.18 : Profils du déplacement hors-plan absolu Uz(x,y) pour t=60 s et V=480 m.s-1.143


(V = 220 m.s-1). .............................................................................................................. 144


- 193 -


(V = 480 m.s-1). .............................................................................................................. 145

figure 3.21 : Valeurs de KId-2D pour chacun des essais en fonction R et = 0°..................... 147

figure 3.22: Comportement des trois termes de la formulation 3D en fonction de (R, = 0°).

........................................................................................................................................ 149

figure 3.23 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en amont de la pointe. b) erreur de mesure

en déplacement (justesse + fidélité). .............................................................................. 151

figure 3.24 : a) c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une position en aval de la pointe. b) erreur de

mesure en déplacement (justesse + fidélité)................................................................... 151





figure 3.27 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une erreur de uo(t). b) erreur de mesure en déplacement

(justesse + fidélité). ........................................................................................................ 153

figure 3.28 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une inclinaison du front de fissure. b) erreur de mesure en

déplacement (justesse + fidélité). ................................................................................... 154

figure 3.29 : c1_cal, c2_cal, c3_cal pour une variation du grandissement. b) erreur de mesure en

déplacement (justesse + fidélité). ................................................................................... 155


expérimentales pour V=220 m.s-1. ................................................................................. 157


expérimentales pour V=480 m.s-1. ................................................................................. 157

figure 3.32 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=220 m.s-1 et t=90 s. ....... 158

figure 3.33 : Formulation 3D et données expérimentales pour V=480 m.s-1 et t=60 s. ....... 158

figure 3.34 : Valeurs de KId-3D pour chacun des essais en fonction R et = 0°..................... 159

figure 3.35 : Etendue de la zone 3D en fonction de la vitesse de propagation V................... 161

figure 3.36 : Extraction de R3D fonction du chargement pour les différents essais. ........... 162


essais............................................................................................................................... 162

figure 3.38 : a) Déplacements hors-plan théoriques normalisés. b): Déplacements hors-plan

expérimentaux normalisés.............................................................................................. 163



essais et analyse du faciès de rupture. ............................................................................ 165

figure 3.40 : a) Microscope confocal Taylor Hobson. b): Echantillon de PMMA placé devant

l'objectif.......................................................................................................................... 166

figure 3.41 : Principe du microscope interférométrique en lumière blanche. ........................ 166

figure 3.42 : Construction des champs d'étude....................................................................... 168

figure 3.43 : Relief de la surface libre d'une plaque............................................................... 168

figure 3.44 : topographies des faciès de rupture..................................................................... 169

figure 3.45 : Aire développée et rugosité du faciès de rupture en fonction de ()................. 170

Tableau :

tableau 3.1: Tableau récapitulatif des besoins et des moyens pour le déplacement hors-plan.

........................................................................................................................................ 133

tableau 3.2: tableau récapitulatif des données expérimentales des 5 essais. .......................... 141

tableau 3.3 : Tableau récapitulatif des vitesses V et des d-FIC associés. .............................. 146

tableau 3.4 : Tableau récapitulatif des paramètres modifiés pour l'étude de sensibilité. ....... 150

tableau 3.5 : valeurs de c1, c2 et c3 obtenus par minimisation pour les différents essais........ 156

tableau 3.6 : Caractéristiques des objectifs. ........................................................................... 167

ANNEXE :

Figure :

figure 1 : Interférogrammes enregistrés par la caméra ultra-rapide pour V=430 m.s-1.......... 177


3D proposée pour l'essai 2 (V=430 m.s-1). ..................................................................... 177







Publications.

- 195 -

Publications.

Article dans une revue internationale : HEDAN, S., POP O., VALLE, V., COTTRON, M. « Dynamic optical interferometry applied to analyse out-of-plane displacement fields for crack propagation in brittle materials », Journal de Physique IV, 134, pp 597-601, (2006). HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Localisation expérimentale des effets 3D et transitoires en pointe de fissure pour différentes vitesses de propagation sur des matériaux fragiles », C.R. de Mécanique, 335(4), pp 238-244, (2007). HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Revisited in-plane displacements formulation for finite plate under mode I from grids method and finite element analysis. », Accepté pour publication Experimental Mechanics. HEDAN, S., POP O., VALLE, V., COTTRON, M. « FE and experimental investigation with shadow optical method for measuring plastic zone in a ductile cracked plate. », Accepté pour publication Strain.

Communications dans un congrès international avec publications des actes : HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Experimental study of the out-of-plane displacement fields for different crack propagation velocities », 13th International Conference on Experimental Mechanics, Alexandroupolis (Greece), 1-6 July 2007. HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M., BREMAND, F. « Out-of-plane displacement measurement near the crack tip during a crack propagation: Validation of a 3D formulation for a specimen in PMMA loaded in mode I », 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM) session GAMM, Zurich (Swiss), 16-20 July 2007.

Communications dans un congrès national avec publications des actes : HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Mesure du déplacement hors-plan en pointe de fissure lors de sa propagation : Validation d’une formulation 3D pour une plaque en PMMA sollicitée en mode I », 18ème Congrès Français de Mécanique, Août 2007, Grenoble.

Conférence invitée : HEDAN, S., VALLE, V., COTTRON, M. « Interférométrie dynamique pour l’étude de la propagation de fissures sur des matériaux fragiles. Etendue de la zone des effets tridimensionnels et transitoires en pointe de fissure », MESUREXPO, colloque ASTELAB : session Extensiométrie, 25-27 Septembre 2007.

Mesures par voie optique de champs cinématiques pour l'étude du comportement de plaques élastiques fissurées et chargées en mode I : Formulation des déplacements 2D

par confrontation numérique/expérience en statique. Analyse des effets 3D en dynamique.

Résumé : Ce mémoire porte sur l'étude des champs de déplacements expérimentaux dans les plaques élastiques fissurées, chargées en mode I. L'extraction des déplacements expérimentaux est réalisée à partir d'une méthode d'extraction de phase à une seule image. La première partie de ce mémoire, concerne l'étude des champs de déplacements entourant la pointe de fissure pour des fissures stationnaires. La méthode des grilles est utilisée pour déterminer les champs de déplacements dans le plan sur la surface libre. Parallèlement aux essais expérimentaux, une modélisation par éléments finis est réalisée pour valider les conditions aux limites numériques et les formulations empiriques proposées. Ces formulations caractérisent les déplacements dans le plan et les gradients de déplacements nécessaires au calcul de l'intégrale J. La seconde partie de ce mémoire porte sur l'étude des effets 3D et transitoires par confrontation de la formulation théorique et des résultats expérimentaux des déplacements hors-plan. L'accès aux déplacements hors-plan absolus par interférométrie de Michelson n'est pas direct, l'utilisation d'un photomultiplicateur et la soustraction d'un relief initial est nécessaire. La zone de décrochement évoluant avec la vitesse de propagation (V) nous incite à développer une formulation empirique du déplacement minimisée par rapport aux données expérimentales. Mots clés : Rupture ; Méthode des grilles ; Déplacements plans ; Eléments finis ; Intégrale J; Propagation de fissure dynamique ; Interférométrie de Michelson ; Déplacement hors-plan ; Effets tridimensionnels et transitoires ; Facteur d'Intensité de contraintes. Optical measurement of kinematic fields for the behaviour study of elastic plates loaded

in mode I: Formulation of two-dimensional displacements by confrontation numerical/experimental in static. Analysis of the 3D effects in dynamics

Abstract: This work concerns the study of the experimental displacement fields in the elastic cracked plates, loaded in mode I. The experimental displacement extraction is realised from a method of extraction from in the single picture. The first part of this memory, concerns the study of the displacements fields in the vicinity of the crack tip for stationary cracks. The grids method is used to determine the in-plan displacement fields on the free surface. At the same time as experimental tries, a finite element model is making to validate numerical conditions in the borders and displacement empirical formulations. These formulations characterize in plan displacements and gradients displacements necessary for the J-integral calculation. The second part of this memory concerns the study of the 3D and transient effects by confrontation of the theoretical formulation and the experimental data of the out-of-plane displacement for a propagating crack. The determination of the absolute out-of-plane displacements by Michelson interferometer is not directly, the purpose of a photomultiplier and the subtraction of an initial relief is necessary. The detachment zone according to the crack propagation velocity (V) we incite to develop an empirical formulation of out-of-plane displacements with minimised from the experimental results. Keywords: Fracture mechanics; Grids method; In-plane displacements; J-integral; Finite element analysis; Dynamic crack propagation; Michelson interferometer; Out-of-plane displacement; 3D and transient effects; Stress intensity factor.

Documents

Mesures par voie optique de champs cinématiques …theses.univ-poitiers.fr/4902/2008-Hedan-Stephen-These.pdf · L'étude présentée dans ce mémoire a été réalisée au Laboratoire