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Méthodes de prévision (STT-3220). Section 5 Processus linéaires, représentation de Wold et processus inversibles Version: 11 décembre 2008. Processus linéaires. - PowerPoint PPT Presentation
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Méthodes de prévision (STT-3220)
Section 5
Processus linéaires,
représentation de Wold et
processus inversibles
Version: 11 décembre 2008
STT-3220; Méthodes de prévision2
Processus linéaires
On va introduire la classe des modèles linéaires. Comme on va le voir, ces processus s’écrivent comme une somme infinie de bruit blanc faibles. On dit également que ces processus admettent une représentation
On va voir que les processus linéaires sont toujours stationnaires au sens large, sous une condition sur les coefficients de la somme infinie.
MA
STT-3220; Méthodes de prévision3
Processus linéaires (suite)
On va poursuivre par la suite en présentant le Théorème de représentation de Wold: essentiellement, ce théorème dit que si un processus est SSL, alors nécessairement il est linéaire.
Autrement dit: SSL implique une certaine représentation . MA
STT-3220; Méthodes de prévision4
Processus inversibles
On va également présenter les processus inversibles.
Essentiellement, quand on dispose d’un processus inversible, on peut exprimer Zt en fonction de son passé Zt-1, Zt-2, …
Avec nos connaissances sur les processus linéaires et inversibles, nous allons par la suite présenter les modèles ARMA.
STT-3220; Méthodes de prévision5
Définition d’un processus linéaire
Définition: Le processus est un processus linéaire s’il admet une représentation de la forme:
où et j sont des paramètres réels avec la condition et est .
tZ
taZj
jtjt
,0
0j
j ta 2,0 aBB
STT-3220; Méthodes de prévision6
Remarques
Habituellement on pose . Ainsi quand un processus est linéaire on peut
écrire: La condition
entraîne que le membre de droite de l’équation précédente converge en moyenne quadratique.
10
2211 tttt aaaZ
0jj
STT-3220; Méthodes de prévision7
Résultat important: Un processus linéaire avec est SSL.
La moyenne est indépendante de t:
La variance est finie:
j
0j
jtjt aEZE
0
22
0
2
jja
jjtjjtjt aVaVZV
STT-3220; Méthodes de prévision8
Fct de covariance est indépendante du temps:
Or
On trouve ainsi que:
0 0
,,
j lltjktlj
ltljktjtkt
aaE
aaCovZZCov
sinon.0
,si2 ltjktaaE a
ltjkt
.
,
,,
0
2
0 0
k
aaEZZCov
llkla
j lltjktljtkt
STT-3220; Méthodes de prévision9
En résumé…
Un processus linéaire est toujours SSL avec:
On trouve que:
La fct d’autocorrélation est:
.0,0
2
kkj
jkja
.00
222
j
jaZ
0
2
0
0j j
j jkjkk
STT-3220; Méthodes de prévision10
Exemple: processus MA(1) On rappelle que: Donc
Pour k = 0:
Pour k = 1:
Pour k = 2 ainsi que pour :
1 ttt aaZ .2,0;;1 10 kk
2222
21
20
2
0
22 10 aaj ja
2
2312012
0 121
a
aj jja
.0
2 2413022
0 22
aj jja
2k
STT-3220; Méthodes de prévision11
On vient de montrer pour un MA(1):
On rappelle que:
Ainsi pour k = 0: , Aussi, pour k = 1: Et pour on trouve que . C’est la fonction d’autocorrélation qu’on avait
trouvé pour un MA(1).
.2,0;1;10 222 kkaa
0
2
0
0j j
j jkjkk
10 21011
2k 0k
STT-3220; Méthodes de prévision12
Représentation de Wold
Soit un processus que l’on suppose SSL. Wold a montré que Zt peut toujours s’écrire sous
la forme: Zt = Xt + Yt,
Le processus Xt est purement déterministe. Exemple: Xt = X, où X est une variable aléatoire; (déterministe peut être aléatoire).
Le processus Yt est purement non-déterministe.
tZ
STT-3220; Méthodes de prévision13
Représentation de Wold (suite) Tout processus SSL purement non-
déterministe admet une représentation de la forme:
Dans la représentation, , et est un bruit blanc .
De plus, at est non-corrélé avec le passé de Z, i.e., at est non-corrélé avec Zt-1, Zt-2, …,
On peut donc penser à une sorte d’équivalence entre SSL et représentation en terme d’un BB.
tZ
taZj jtjt ,0
0j
j ta 2,0 aBB
STT-3220; Méthodes de prévision14
Processus inversibles
Considérons le processus que l’on présume linéaire. Le processus est inversible s’il admet la représentation:
Les j sont des paramètres réels satisfaisant la relation et est .
tZ tZ
taZ
taZZZ
tj jtj
tttt
,
,
1
2211
1j j ta 2,0 aBB
STT-3220; Méthodes de prévision15
Un processus inversible suggère que nous pourrons prédire les observations futures avec un nombre fini d’observations
On remarque la condition suivante: Cette condition nous assure la convergence en moyenne quadratique.
Puisque alors . Donc on devrait avoir que j est négligeable
pour j > J, disons. On peut ainsi approximer un processus linéaire
par un processus linéaire fini.
1j j
1j j .,0 jj
STT-3220; Méthodes de prévision16
Prévisions dans le processus linéaire
Si la condition est satisfaite, le processus ci-dessus s’approxime par:
Le terme at est non-corrélé avec le passé. Ayant Zt-1, Zt-2,…,Zt-J à notre disposition, une prévision serait:
1j j
tj jtjt aZZ 1
t
J
jjtjt aZZ
1
0ˆ1
J
jjtjt ZZ
STT-3220; Méthodes de prévision17
En résumé…
Pour le processus , deux représentations importantes sont obtenues, pour un processus SSL purement non-déterministe et inversible:
1) Représentation en terme d’un bruit blanc:
2) Représentation en terme des valeurs passées:
tZ
tj jtjt aZZ 1
taZj jtjt ,0
0j
j
1j j
