Chapitre 5

INTRODUCTION

L'ALGBRE LINAIRE

1 La structure d'espace vectoriel

1.1 Dnition intuitive des vecteurs du plan et de l'espace

Intuitivement, un vecteur est ce qu'il y a de commun entre deux couples de points (A,B) et (A, B)lorsque ABBA est paralllogramme :

A

B B

A

On dit alors que les couples (A,B) et (A, B) reprsentent le mme vecteur ~u, que l'on dessine d'uneche allant du premier point du couple vers le second :

A

B B

A

~u ~u

Nous ne connaissons donc intuitivement un vecteur ~u que par l'interface d'un couple de points(A,B) qui le reprsente.

En retour, tout couple de points (A,B) reprsente un vecteur ~u, et :

Proprit Pour tout vecteur ~u et tout point A, il existe un point B et un seul tel que le couple(A,B) reprsente ~u.

B~u

A

Notation. Le vecteur reprsent par un couple de points (A,B) est notAB .

La proprit ci-dessus peut donc aussi s'noncer :

Pour tout vecteur ~u et tout point A, il existe un point B et un seul tel que : ~u =AB .

Addition vectorielle L'addition des vecteurs se laisse dnir par la clbre relation de Chasles :

AB ++++

BC =

AC .

Cela dnit bien l'addition ~u++++ ~v de n'importe quels vecteurs ~u,~v, car d'un point A choisi arbitraire-ment, il existe en vertu de la proprit ci-dessus un unique point B tel que ~u =

AB, puis de mme un

unique point C tel que ~v =BC, d'o : ~u++++ ~v =

AB ++++

BC =

AC .

~u

A

B

C~u+~v

~v

1

Multiplication d'un vecteur par un rel Le produit k.~u d'un rel k et d'un vecteur ~u se laissedcrire de la faon suivante :

Si ~u n'est reprsent par aucun couple de points de la forme (P, P ), on se donne une droite gradue(D) non parallle ~u (c'est--dire ne contenant aucun couple de points reprsentant ~u ), dans laquelleO est le point correspondant la graduation 0 et A celui correspondant la graduation 1. Soit Bl'unique point tel que ~u =

AB et la droite (AB).

Pour tout rel k, soit A le point de (D) correspondant la graduation k et la droite parallle passant par A. k.~u est alors le vecteur

AB o B est l'intersection des droites (OB) et :

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

O

B

B

AAA

B

~u32~u

45~u

(D)

Si ~u est reprsent par un couple de points de la forme (P, P ), alors ~u = k.~u pour tout rel k.

Base canonique et coordonnes d'un vecteur Alors que tout ce qui prcde vaut indiremment

pour les vecteurs du plan ou ceux de l'espace, nous devons distinguer ici les deux cas.

Dans le plan, on a coutume de choisir une fois pour toutes deux vecteurs~, ~ reprsents par deuxcts adjacents (O, I), (O, J) d'un carr, et d'adopter comme unit de longueur : OI = OJ = 1.On appelle base canonique le couple (~,~ ) de ces vecteurs. Il est intuitivement clair que tout vecteur~u du plan peut s'crire sous la forme ~u = x.~++++ y.~ pour un unique couple de rels (x, y) :

x.~

y.~

O I

J

~

~

~u

On dit alors que (x, y) sont les coordonnes du vecteur ~u dans la base (~,~ ). On se convainc facilementque pour tout kR, les coordonnes du vecteur k.~u dans la base (~,~ ) sont (kx, ky), et que pour toutvecteur ~v de coordonnes (x, y) dans la base (~,~ ), celles du vecteur ~u++++ ~v sont (x+x, y+y).

Dans l'espace, on procde de faon analogue partir d'un cube unit, dont on choisit une fois pour

toutes trois artes adjacentes (O, I), (O, J), (O,K) reprsentant trois vecteurs ~, ~, ~k, et on appellebase canonique le triplet (~,~,~k ). L aussi, il est intuitivement clair que tout vecteur ~u de l'espace peuts'crire sous la forme ~u = (x.~++++ y.~ )++++ z.~k pour un unique triplet de rels (x, y, z) :

O I

J

K

~

~~k

~u

x.~

y.~

z.~k

On dit alors que (x, y, z) sont les coordonnes du vecteur ~u dans la base (~,~,~k ).

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1.2 Dnition formelle des vecteurs du plan et de l'espace

Au lyce, pour exprimer qu'un vecteur ~u du plan a pour coordonnes (x, y) dans la base canonique(~,~ ), autrement dit que (x, y) est l'unique couple de rels tel que : ~u = x.~++++ y.~ , on se contented'crire : ~u(x, y). C'est un peu court. l'universit, pour exprimer le mme chose, il faut au moinscrire : ~u = (x, y), mme si vous en avez t dissuad coups de rgles antrieurement. Mais pourquoidonc ?

Parce que, dsormais, nous avons besoin d'une dnition formelle des vecteurs du plan, an de

dmontrer rigoureusement le moindre fait les concernant. Et l'on choisit de dnir un vecteur du

plan directement comme le couple (x, y) de ses coordonnes dans la base canonique (~,~ ). D'un pointde vue philosophique, il peut paratre choquant de dnir une notion d'essence gomtrique par une

donne numrique. Toutefois, le philosophe peut admettre que le couple (x, y) des coordonnes d'unvecteur ~u prcise univoquement ce vecteur ~u et qu'il peut donc bien lui servir de nom. Ds lors,tout ce que le philosophe peut reprocher au mathmaticien, c'est de confondre l'objet avec son nom.

Philosophiquement, c'est grave. Mathmatiquement, c'est trs pratique. Tellement que nous allons

faire comme a, en laissant le philosophe nous taxer d'ultranominalisme et traduire chacune de nos

expressions le vecteur (x, y) par le vecteur dont les coordonnes sont (x, y) .

Dnition On appelle vecteur du plan un couple de rels (x, y). L'ensemble des vecteurs du planest donc R2. On dnit l'addition vectorielle ++++ par :

(x, y)++++ (x, y) = (x+ x, y + y)

et la multiplication externe . entre un rel k et un vecteur (x, y) par :

k.(x, y) = (kx, ky).

L'ensemble des vecteurs du plan, muni de ces deux oprations, est alors appel espace vectoriel R2.

Remarque. L'addition vectorielle est dite interne car elle ne s'applique qu' des vecteurs de R2 ; on lanote ++++ pour la distinguer de l'addition + des rels. Par opposition, la multiplication dnie ci-dessusest dite externe car elle s'applique un rel et un vecteur de R2 ; on la note par un point pour ladistinguer de la multiplication des rels (qui, elle, est note sans point).

Les vecteurs de la base (~,~ ) sont par dnition les vecteurs~ df= (1, 0),~ df= (0, 1). Ainsi, lorsqu'unvecteur ~u a pour coordonnes (x, y) dans cette base, on a bien le droit d'crire :

~u = x.~++++ y.~ df= x.(1, 0)++++ y.(0, 1) df= (x, 0)++++ (0, y) df= (x, y).

l'aide de la dnition formelle ci-dessus de l'espace vectoriel R2, on peut enn dmontrerrigoureusement des proprits de ses oprations, par exemple l'associativit de l'addition ++++ :

Proposition On a pour tous vecteurs ~u, ~v, ~w de R2 :

~u++++ (~v++++ ~w) = (~u++++ ~v)++++ ~w.

Dmonstration. On a ~u = (x, y), ~v = (x, y) et ~w = (x, y) pour certains rels x, y, x, y, x, y.Il s'ensuit :

~u++++ (~v++++ ~w) = (x, y)++++ ((x, y)++++ (x, y)) = (x, y)++++ (x+x, y+y) = (x+x+x, y+y+y)

(~u++++ ~v)++++ ~w = ((x, y)++++ ((x, y))++++ (x, y) = (x+x, y+y)++++ (x, y) = (x+x+x, y+y+y)

donc ~u++++ (~v++++ ~w) = (~u++++ ~v)++++ ~w.Cette proprit d'associativit permet de noter simplement ~u++++ ~v++++ ~w sans prciser l'ordre danslequel sont eectues les deux additions de cette somme, savoir (~u++++ ~v)++++ ~w ou ~u++++ (~v++++ ~w), puisquecela n'inue pas sur la valeur de la somme. De mme, l'associativit entrane pour quatre termes :

~u1 ++++ ((~u2 ++++ ~u3)++++ ~u4) = ~u1 ++++ (~u2 ++++ (~u3 ++++ ~u4)) = (~u1 ++++ ~u2)++++ (~u3 ++++ ~u4) =

((~u1 ++++ ~u2)++++ ~u3)++++ ~u4 = ((~u1 ++++ (~u2 ++++ ~u3))++++ ~u4

de sorte que toutes les faons d'organiser les additions d'une somme de quatre termes sans en changer

l'ordre (il n'y en a pas d'autre que les 5 ci-dessus) sont sans eet sur la valeur de la somme. On peut

3

donc simplement noter : ~u1 ++++ ~u2 ++++ ~u3 ++++ ~u4 cette somme. Plus gnralement, on se permet d'crire :

~u1 ++++ ~u2 ++++ ~u3 ++++ ++++ ~uncar la faon de prciser les parenthses de cette somme est sans importance.

On dnit maintenant les vecteurs de l'espace d'une faon analogue ceux du plan.

Dnition On appelle vecteur de l'espace un triplet de rels (x, y, z). L'ensemble des vecteurs del'espace est donc R3. On dnit l'addition vectorielle ++++ des vecteurs de R3 par :

(x, y, z)++++ (x, y, z) = (x+ x, y + y, z + z)

et la multiplication externe . entre un rel k et un vecteur (x, y, z) par :

k.(x, y, z) = (kx, ky, kz).

L'ensemble des vecteurs de l'espace, muni de ces deux oprations, est alors appel espace vectoriel R3.

Comme pour l'addition vectorielle de R2, on vrie facilement que l'addition vectorielle de R3 estassociative, c'est--dire :

~u++++ (~v++++ ~w) = (~u++++ ~v)++++ ~w,

de sorte que l'on se permet d'crire des sommes de vecteurs de R3 telles que :

~u1 ++++ ~u2 ++++ ~u3 ++++ ++++ ~unsans en prciser le parenthsage.

Les vecteurs de la base canonique (~,~,~k) de R3 sont ~ df= (1, 0, 0), ~ df= (0, 1, 0) et ~k df= (0, 0, 1).Lorsqu'un vecteur ~u de R3 a pour coordonnes (x, y, z) dans cette base, on a donc :

~u = x.~++++ y.~++++ z.~k df= x.(1, 0, 0)++++ y.(0, 1, 0)++++ z.(0, 0, 1) df= (x, 0, 0)++++ (0, y, 0)++++ (0, 0, z) df= (x, y, z).

Proprits algbriques des oprations ++++ et .Passons maintenant en revue quelques proprits qui sont communes aux oprations ++++ , . desvecteurs de R2 et aux oprations ++++ , . des vecteurs de R3. On se contentera de les dmontrer pourles vecteurs de R2, les preuves pour R3 tant analogues. Commenons par rappeler la proprit d'as-sociativit de l'addition, dmontre plus haut :

Associativit de l'addition ++++ : ~u++++ (~v++++ ~w) = (~u++++ ~v)++++ ~w

~u

~v

~w

~u+~v

~v+ ~w~u+~v+ ~w

Pseudo-associativit de la multiplication . : k.(l.~u) = (kl).~uEn eet, pour tout ~u = (x, y), on a : k.(l.~u) = k.(lx, ly) = (klx, kly) = (kl).(x, y) = (kl).~u.Cette proprit est appele pseudo-associativit, car elle met en jeu un produit de rels (kl) et n'estdonc pas une proprit de la seule opration : . (contrairement l'associativit de l'opration ++++ci-dessus).

Distributivit de la multiplication . sur l'addition ++++ : k.(~u++++ ~v) = k.~u++++ k.~v

~u k.~u

~v

k.~v~u+~v

k.~u+k.~vk.(~u+~v)=

En eet, pour tous ~u = (x, y), ~v = (x, y), on a : k.(~u++++ ~v) = k.(x+x, y+y) =(k(x+x), k(y+y)

)=

(kx+kx, ky+ky) = (kx, ky)++++ (kx, ky) = k.(x, y)++++ k.(x, y) = k.~u++++ k.~v.Cette proprit exprime l'antique Thorme de Thals.

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Pseudo-distributivit de la multiplication . sur l'addition ++++ : (k+l).~u = k.~u++++ l.~uEn eet, pour tout vecteur ~u = (x, y), on a : (k+ l).~u =

((k+ l)x, (k+ l)y

)= (kx+ lx, ky+ ly) =

(kx, ky)++++ (lx, ly) = k.(x, y)++++ l.(x, y) = k.~u++++ l.~u.Cette proprit est appele pseudo-distributivit, car avant de distribuer la multiplication par ~u surl'addition, celle-ci n'est qu'une addition de rels (k+l) et non une opration ++++ .

Proprit d'lment neutre du rel 1 : 1.~u = ~uEn eet, pour tout vecteur ~u = (x, y), on a : 1.~u = (1x, 1 y) = (x, y) = ~u.

Proprit d'lment absorbant du rel 0 : 0.~u = 0.~vEn eet, pour tous vecteurs ~u = (x, y), ~v = (x, y), on a : 0.~u = (0x, 0 y) = (0, 0) = (0x, 0 y) = 0.~v.

En rsum :

~u++++ (~v++++ ~w) A= (~u++++ ~v)++++ ~w k.(l.~u) A|= (kl).~u 1.~u 1= ~u k.(~u++++ ~v) D= k.~u++++ k.~v (k+l).~u D|= k.~u++++ l.~u 0.~u 0= 0.~v

(A pour associativit,A| pour pseudo-associativit,D pour distributivit etD| pour pseudo-distributivit.)

1.3 Dnition abstraite d'espace vectoriel rel & exemples concrets

Dnition On appelle espace vectoriel rel un ensemble E 6= d'lments quelconques muni dedeux oprations :

++++ : EE E(u,v) 7 u++++ vet

. : RE E(k,u) 7 k.uvriant les proprits :

u++++ (v++++w) A= (u++++ v)++++w k.(l.u) A|= (kl).u 1.u 1= u k.(u++++ v) D= k.u++++ k.v (k+l).u D|= k.u++++ l.u 0.u 0= 0.v .

Une grande erreur serait de croire que l'on s'est content de rpter ici ce qu'est l'ensemble des

vecteurs du plan R2 ou celui des vecteurs de l'espace R3 : Quand on parle d'un espace vectoriel rel E,on n'entend par l rien de plus qu'un ensemble muni de deux oprations ++++ , . comme ci-dessus.Les lments de cet ensemble E peuvent bien tre des vecteurs au sens gomtrique plus haut, ouencore des fonctions, des nombres ou des n-uplets d'objets mathmatiques quelconques. Pour biens'en convaincre, donnons quelques exemples courants d'espaces vectoriels rels :

Exemple 0 : E = R2,R3. Les exemples primordiaux sont bien sr ceux des vecteurs du plan R2 et del'espace R3 considrs plus haut.Exemple 1 : E = Rn. Plus gnralement, on peut considrer l'ensemble Rn des n-uplets de rels, munides oprations :

(x1, x2, . . . , xn)++++ (x1, x2, . . . , xn) df= (x1+ x1, x2+ x2, . . . , xn+ xn) k.(x1, x2, . . . , xn) df= (kx1, kx2, . . . , kxn).

On vrie facilement, comme pour les espaces R2 et R3, que ces oprations satisfont les six propritsde la dnition d'espace vectoriel ci-dessus. Serions-nous ici en train d'envisager une pure abstraction

mathmatique ? Ce n'est pas sr. Bien que nous ayons quotidiennement l'impression de vivre dans un

espace trois dimensions, la thorie de la relativit restreinte nous explique que nous serions dans un

espace-temps dont toute la physique se dcrit dans l'espace R4 ; et les direntes thories des cordesnous projettent dans des espaces Rn pour des entiers n bien suprieurs . . .Exemple 2 : E = R[x]. Nous avons vu au chapitre 3 comment faire la somme P (x)++++Q(x) de deuxpolynmes P (x), Q(x) de R[x] et le produit k.P (x) d'un polynme constant k par un polynmequelconque P (x). Par ailleurs, l'associativit de l'addition et de la multiplication des polynmes, ainsique la pleine distributivit de la dernire sur la premire assurent les six proprits de la dnition

d'espace vectoriel rel.

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Exemple 3 : E = RR. L'ensemble RR des fonctions R R est naturellement muni d'oprations f++++get k.f dnies par :

f++++g : R Rt 7 f(t)+g(t)

k.f : R Rt 7 kf(t).Puisque l'addition et la multiplication des rels sont associatives, et la seconde distributive sur la

premire, on vrie aisment x par x chacune des six proprits de la dnition d'espace vectoriel reldans ce cas. Cet exemple d'espace vectoriel est eroyablement plus vaste que les prcdents, comme

nous le sentirons mieux par la suite.

Exemple 4 : E = C. On revient l un exemple beaucoup plus modeste. L'addition z++++z des nombrescomplexes est celle dnie au Chapitre 1, et la multiplication k.z d'un rel k par un complexe z

une simple restriction de la multiplication complexe z.z. Les proprits algbriques des oprationscomplexes assurent videmment les six proprits de la dnition d'espace vectoriel.

Mais pourquoi donc avoir crit cette dnition si gnrale d'espace vectoriel ? Parce tout ce que

l'on va dmontrer pour un espace vectoriel E quelconque sera vrai, et mme trs utile, pour les espacesprcits et bien d'autres encore. Pour un informaticien, cela ressemble de la programmation objet :

on ne sait pas de quoi on parle vraiment, et pourtant tout ce que l'on va tablir pour un espace

vectoriel indtermin E sera illico vri par n'importe quel exemple particulier comme plus haut ou venir.

On commence :

1.4 Proprits algbriques fondamentales d'un espace vectoriel rel

Dans toute cette nouvelle section, on se place dans un espace vectoriel relE quelconque. Autrementdit, on ne sait pas si les vecteurs dont on va parler sont ceux du plan, de l'espace, ou des fonctions,

des nombres, des n-uplets de nombres . . .

Consquemment, nous allons justier trs scrupuleusement chaque galit de chaque dmonstration

ci-dessous en la surmontant d'un signe :

A= , D= ,A|=,

D|= , 1= ou 0= lorsque l'galit rsulte de l'une dessix proprits de la dnition abstraite de E,

R= lorsqu'elle rsulte d'un simple calcul sur les nombresrels et

df= lorsqu'elle rsulte d'une dnition prcdemment pose.

En vertu de la proprit 0.u 0= 0.v, le produit 0.u ne dpend pas du vecteur u :

Dnition On appelle vecteur nul et l'on note 0 l'unique vecteur gal 0.u pour tout uE :

0 df= 0.u

Proposition Le vecteur nul 0 est lment neutre de l'addition vectorielle ++++ , c'est--dire :

u++++ 0 = 0 ++++ u = u

Dmonstration. On a pour tout u E :

u++++ 0 df= u++++ 0.u 1= 1.u++++ 0.uD|= (1 + 0).u R= 1.u 1= u

0 ++++ u df= 0.u++++ u 1= 0.u++++ 1.uD|= (0 + 1).u R= 1.u 1= u

Dnition Pour tout vecteur uE, on note :

u df= (1).uet on note plus simplement u v la somme u++++ (v).

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Proposition Pour tout u E, le vecteur u est l'oppos de u pour l'addition vectorielle ++++ ,c'est--dire :

u u = u++++ u = 0

Dmonstration. On a pour tout u E :

u u df= u++++ (1).u 1= 1.u++++ (1).u D|= (11).u R= 0.u df= 0

u++++ u df= (1).u++++ u 1= (1).u++++ 1.u D|= (1+1).u R= 0.u df= 0

En rsum, l'addition vectorielle ++++ est associative, possde un lment neutre 0 tel que toutvecteur a un oppos. On dit alors que l'ensemble E muni de l'opration ++++ est un groupe.

Proposition L'addition vectorielle ++++ est rgulire, c'est--dire que l'on peut simplier d'un mmeterme gauche ou droite les deux membres d'une galit :

Si u++++ v = u ++++ v, alors u = u. Si v++++ u = v++++ u, alors u = u.

Dmonstration. Si u++++ v = u ++++ v, alors (u++++ v) v = (u ++++ v) v. Comme l'opration ++++est associative, il s'ensuit u++++ (v v) = u ++++ (v v), puis, du fait que v est l'oppos de v :u++++ 0 = u ++++ 0, et puisque 0 est lment neutre : u = u. De mme, si v++++ u = v++++ u, alors v++++ (v++++ u) = v++++ (v++++ u), d'o par associativit :(v++++ v)++++ u = (v++++ v)++++ u, soit encore, du fait que v est l'oppos de v : 0 ++++ u = 0 ++++ u etnalement : u = u puisque 0 est lment neutre de ++++ .

Proposition L'addition vectorielle ++++ est commutative, c'est--dire que pour tous u,v E :

u++++ v C= v++++ u

Dmonstration. On a pour tout u,v E :2.(u++++ v) D= 2.u++++ 2.v R= (1+1).u++++ (1+1).v

D|= 1.u++++ 1.u++++ 1.v++++ 1.v 1= u++++ u++++ v++++ v

mais, par ailleurs :

2.(u++++ v) R= (1+1).(u++++ v)D|= 1.(u++++ v)++++ 1.(u++++ v) 1= u++++ v++++ u++++ v

Ainsi, on a :

u++++ u++++ v++++ v = u++++ v++++ u++++ v

Puisque l'addition vectorielle ++++ est rgulire, on peut simplier cette galit gauche par u :

u++++ v++++ v = v++++ u++++ v

puis droite par v :u++++ v = v++++ u

Alors que l'associativit de l'opration ++++ permet seulement d'oublier le parenthsage dans unesomme u1 ++++ u2 ++++ ++++ un, la commutativit de ++++ autorise aussi de changer l'ordre des termesd'une telle somme. Par exemple, u++++ v++++w = v++++w++++ u, car :

u++++ v++++w = (u++++ v)++++w C= (v++++ u)++++w A= v++++ (u++++w) C= v++++ (w++++ u) = v++++w++++ u.

Par contraste, la composition des fonctions, qui est associative mais pas commutative, permet d'crire :

(f g) h = f (g h) = f g h, tandis qu'en gnral : f g h 6= g h f .

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Plus que les notions de somme de vecteurs ou de produit par un rel, la notion d'usage constant

en algbre linaire est celle de combinaison linaire :

Dnition On appelle combinaison linaire de vecteurs v1,v2, . . . ,vn un vecteur qui se laisse criresous la forme :

k1.v1 ++++ k2.v2 ++++ . . . ++++ kn.vn

pour des rels k1, k2, . . . , kn quelconques.

Une proprit de cette notion de combinaison linaire qu'on utilise tout propos est sa transitivit :

Proposition Les combinaisons linaires de combinaisons linaires de vecteurs sont des combinaisons

linaires de ces vecteurs (ce n'est pas un dicton espagnol). En clair : si v1, . . . ,vp sont des combi-naisons linaires de u1, . . . ,un, alors toute combinaison linaire w de v1, . . . ,vp est directement unecombinaison linaire des vecteurs u1, . . . ,un.

Dmonstration. Si w est une combinaison linaire de v1, . . . ,vp, mettons : w = k1.v1 ++++ ++++ kp.vp,et chaque vecteur vi une combinaison linaire de u1, . . . ,un, mettons :

v1 = l11.u1 ++++ ++++ l1n.un, v2 = l21.u1 ++++ ++++ l2n.un . . . vp = lp1.u1 ++++ ++++ lpn.un,

alors :

w = k1.(l11.u1++++ ++++ l1n.un)++++ k2.(l21.u1++++ ++++ l2n.un)++++ ++++ kp.(lp1.u1++++ ++++ lpn.un)D= k1.(l11.u1)++++ ++++k1.(l1n.un)++++k2.(l21.u1)++++ ++++k2.(l2n.un)++++ ++++kp.(lp1.u1)++++ ++++kp.(lpn.un)A|= k1l11.u1++++ ++++ k1l1n.un++++ k2l21.u1++++ ++++ k2l2n.un++++ ++++ kplp1.u1++++ ++++ kplpn.unC= k1l11.u1++++ k2l21.u1++++ ++++ kplp1.u1++++ ++++ k1l1n.un++++ k2l2n.un++++ ++++ kplpn.unD|= (k1l11+ k2l21+ + kplp1).u1 ++++ ++++ (k1l1n+ k2l2n+ + kplpn).un.Remarquons que cette preuve dpend essentiellement de la vaste rorganisation

C= des termes qui yest faite par commutativit.

1.5 Sous-espaces vectoriels

Dsormais, nous utiliserons les notations usuelles, qui consistent noter les vecteurs en caractres

normaux : u, v, v, v, v1, v2, . . . le vecteur nul comme le rel 0, l'addition vectorielle comme l'additiondes rels + et la multiplication externe comme la multiplication des rels : kv. Charge au lecteur decomprendre qui est vecteur, qui est nombre rel et quelles sont les oprations invoques.

Dnition On appelle sous-espace d'un espace vectoriel rel E un sous-ensemble F de E tel que :

0 F u F et v F u+v F k R et u F ku F.N.B. Le 0 dans cette dnition dsigne bien sr le vecteur nul.

Dnition bis On appelle sous-espace d'un espace vectoriel rel E une partie non vide F de Etelle que toute combinaison linaire de vecteurs de F appartient F .

Ces deux dnitions sont quivalentes, car si F est un sous-espace au sens de la premire d'entreelles, alors F est non vide (puisque 0 F ) et pour toute combinaison linaire u = k1v1 + . . . + knvnde vecteurs v1, . . . , vn de F , les vecteurs k1v1, . . . , knvn appartiennent F en vertu du dernier pointde cette premire dnition, donc leur somme u aussi en vertu du second point. Ainsi, F est alors unsous-espace au sens de la dnition bis.

Rciproquement, si F est un sous-espace au sens de la dnition bis, alors pour tous vecteurs u, vde F et tout k R, les combinaisons linaires de vecteurs de F : 0 (=0u), u + v (=1u + 1 v) et k uappartiennent F , donc F est bien un sous-espace au sens de la premire dnition.

Remarque. Un sous-espace quelconque F d'un espace vectoriel E est lui-mme un espace vectoriel.En eet, en restreignant l'addition vectorielle et la multiplication externe de l'espace E la partie F ,on obtient alors deux oprations + : F F F et . : R F F vriant les six proprits de ladnition d'espace vectoriel (ces proprits vries par tous les vecteurs de E le sont a fortiori par

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ceux de F E). Les sous-espaces d'espaces vectoriels orent donc de nouveaux exemples d'espacesvectoriels, parfois bien plus intressants que l'espace E dont ils sont issus :

Exemple 0 : E espace vectoriel quelconque. Soit F ={kv k R}. C'est un sous-espace de E(dmonstration).

Si v = 0 (c.--d. si v est le vecteur nul), alors F ={0}. C'est le plus petit sous-espace possible

dans tout espace vectoriel rel E. Si v 6= 0, alors F est appel droite vectorielle Dv.Exemple 1 : E = Rn. Soit F =

{(x1, . . . , xn) Rn

a1x1+ + anxn = 0}, o a1, . . . , an R. C'estun sous-espace de Rn (dmonstration). Si (a1, . . . , an) = (0, . . . , 0), alors F = Rn. C'est le plus grand sous-espace possible. Si (a1, . . . , an) 6= (0, . . . , 0), alors F est appel hyperplan de Rn.Exemple 2 : E = R[x]. Le sous-ensemble Fn des polynmes de degr n n'est pas un sous-espace de R[x],car par exemple P (x) = xn et Q(x) = xn + xn1 sont des vecteurs de Fn, tandis que P +Q / Fn ;plus simplement, Fn ne possde pas le vecteur nul P (x) = 0, dont le degr est . En revanche, pourtout n N, l'ensemble des polynmes de R[x] de degr 6 n, not Rn[x] est un sous-espace de R[x](dmonstration).

Exemple 3 : E = RR. Soit S1 l'ensemble des fonctions x RR solutions de l'quation direntielle :x(t) = a x(t). Cette quation a de nombreuses occurrences dans toutes les sciences : par exemple, si xest la concentration d'un compos chimique en raction lente avec une espce surabondante (cintique

chimique) ou si x est la quantit d'un isotope radioactif (nuclochimie) ou encore si x est le potentielde la grille d'un transitor eet de champ (MOSFET) changeant d'tat 0/1 (hardware informatique,physique). S1 est un sous-espace de RR (dmonstration).Soit S2 l'ensemble des fonctions x RR solutions de l'quation direntielle : ax(t)+bx(t)+cx(t) = 0.Cette quation a aussi beaucoup d'exemples concrets : par exemple, si x est la hauteur de la suspensiond'une roue de voiture dont le ressort a une constante de raideur k et l'amortisseur une constante defrottement , alors : mx(t) + x(t) + kx(t) = 0, o m est la part de masse de l'automobile portesur la suspension. Ou encore si x est le potentiel en un point d'un circuit RLC. S2 est un sous-espacede RR (dmonstration).Exemple 4 : E = C. On va dterminer ici tous les sous-espaces de l'espace vectoriel rel C. En suivantl'exemple 0 plus haut, C contient dj comme sous-espaces : le sous-espace nul {0} (le plus petit sous-espace), la droite vectorielle Dz =

{kz k R} pour tout z C.Soit F un sous-espace de C autre que ceux-l. F possde alors un lment z1 6= 0 (sinon F = {0}) etun lment z2 tel que z2/z1 / R (sinon pour tout zF , z/z1 = k R, z est de la forme kz1, donc F estla droite vectorielle Dz1). Pour tout z C, soit k2 = Im zz1

/Imz2z1; on a alors : Im zz1

= Im(k2z2z1

),

d'o :

zz1 k2 z2z1 = k1 R,

zz1

= k1+ k2z2z1. Ainsi, z = k1z1+ k2z2, combinaison linaire des vecteurs

z1, z2 du sous-espace F , est un vecteur de F , et ce pour tout z C, d'o F = C. Nous venons dedmontrer que le seul autre sous-espace F de C est : le sous-espace plein C.Proposition Si F1, F2, . . . , Fp sont des sous-espaces d'un espace vectoriel E, alors F1F2 . . .Fpest un sous-espace de E.

Dmonstration. Dans ce cas, le vecteur nul 0 appartient chacun des sous-espaces Fi. Il s'ensuit0 F1F2 . . .Fp. De plus, pour tous x, y F1F2 . . .Fp, x+y est pour chaque i la somme dedeux vecteurs du sous-espace Fi, d'o x+y Fi, et donc x+y F1F2 . . .Fp. De mme, pour toutk R et tout x F1F2 . . .Fp, kx appartient chaque sous-espace Fi, donc kx F1F2 . . .Fp.Cela prouve que F1 F2 . . . Fp est un sous-espace de E. Remarque. Cette dernire proposition amne un exemple intressant de (sous-)espace vectoriel :

l'ensemble des solutions d'un systme linaire homogne quelconque. En eet, si un tel systme a pour

inconnues mettons x1, . . . , xn, alors l'ensemble de chaque quation a1x1+ +anxn = 0 de ce systmeest selon l'exemple 1 ci-dessus un hyperplan Fi de Rn. L'ensemble des solutions du systme est alorsF1 F2 . . . Fp, donc un (sous-)espace vectoriel (de Rn).En revanche, la runion F1F2 de deux sous-espaces F1, F2 d'un espace vectoriel E n'est en gnralpas un sous-espace de E : Les hyperplans F1 =

{(x, y) R2 x = 0} et F2 = {(x, y) R2 y = 0} de

R2 ont pour vecteurs (0, 1) F1 F1 F2 et (1, 0) F2 F1 F2 ; pourtant (1, 1) = (0, 1) + (1, 0)n'appartient pas F1 F2.

9

2 Bases et dimension

2.1 Le vrai cadre de cette introduction l'algbre linaire

Cette introduction l'algbre linaire se limite en fait l'tude des espaces vectoriels rels qui sont

niment engendrs au sens suivant :

Dnition On dit qu'un espace E est niment engendr s'il existe un nombre ni de vecteursv1, . . . , vn E tels que tout vecteur de E est combinaison linaire de v1, . . . , vn.Il tait inutile de prciser plus tt cette restriction, puisque les faits tablis jusqu'ici se dmontrent

aussi facilement dans le cas gnral que dans le cadre restreint des espaces niment engendrs. Il n'en

est plus ainsi dornavant. Et nous allons faire un inventaire des exemples prcdents d'espaces vectoriels

et de leurs sous-espaces, an d'en extirper les espaces non niment engendrs. Mais mentionnons

d'abord la proposition suivante, dont on pourra sauter la dmonstration en premire lecture :

Proposition Tout sous-espace d'un espace vectoriel niment engendr est niment engendr.

Dmonstration. Soit E un espace vectoriel niment engendr. Il existe donc des vecteurs v1, . . . , vn E tels que toutvecteur de E est combinaison linaire de v1, . . . , vn.Supposons, pour en dduire une contradiction, que E contienne un sous-espace F qui ne soit pas niment engendr.Dans ce cas, F possde un vecteur w1 6= 0 (sinon F ne possderait que le vecteur 0, donc tout vecteur de F seraitcombinaison linaire du vecteur 0 et F serait niment engendr). F possde aussi un vecteur w2 qui n'est pas combinaisonlinaire du seul vecteur w1 (sinon F serait niment engendr). De mme, F possde un vecteur w3 qui n'est pascombinaison linaire de w1, w2 (sinon F serait l encore niment engendr), puis un vecteur w4 qui n'est pas combinaisonlinaire de w1, w2, w3 et ainsi de suite. On dnit de la sorte une suite w1, w2, w3, . . . de vecteurs de F tels que w1 6= 0et tels que pour tout i>2, wi n'est pas combinaison linaire de w1, w2, . . . , , wi1. Arrtons-nous un vecteur wm om>n. Tous ces vecteurs wi sont combinaisons linaires de v1, . . . , vn :

w1 = k11 v1 + k21 v2 + k31 v3 + + kn1 vnw2 = k12 v1 + k22 v2 + k32 v3 + + kn2 vnw3 = k13 v1 + k23 v2 + k33 v3 + + kn3 vn.

.

.

wm= k1mv1+ k2mv2+ k3mv3 + + knmvn

()

Comme le systme suivant a un nombre m d'inconnues strictement suprieur celui n de ses quations :266664k11x1 + k12x2 + k13x3 + + k1mxm = 0k21x1 + k22x2 + k23x3 + + k2mxm = 0k31x1 + k32x2 + k33x3 + + k3mxm = 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

kn1x1 + kn2x2 + kn3x3 + + knmxm = 0il possde une solution (x1, . . . , xm) 6= (0, . . . , 0). Multiplions alors chaque rel nul ki1x1 + ki2x2 + ki3x3 + + kimxmpar le vecteur vi et additionnons le tout :

k11x1 v1 + k12x2 v1 + k13x3 v1 + + k1nxn v1 +k21x1 v2 + k22x2 v2 + k23x3 v2 + + k2nxn v2 +k31x1 v3 + k32x2 v3 + k33x3 v3 + + k3nxn v3 +.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

kn1x1 vn + kn2x2 vn + kn3x3 vn + + knmxnvn = 0Rassemblons les termes de cette somme par colonnes, en mettant xi en facteur de la ime

colonne. On obtient :

x1`k11 v1 + k21 v2 + k31 v3 + + kn1 vn

+

x2`k12 v1 + k22 v2 + k32 v3 + + kn2 vn

+

x3`k13 v1 + k23 v2 + k33 v3 + + kn3 vn

+.

.

.

xm`k1mv1+ k2mv2+ k3mv3 + + knmvn

= 0

donc, en vertu des relations () :x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 + + xm wm = 0.Puisque (x1, . . . , xm) 6= (0, . . . , 0), on peut bien considrer le plus grand indice i tel que xi 6=0. Il ne peut s'agir de i=1,car on aurait alors : x1w1 = 0, ce qui est impossible du fait que w1 6= 0. On a donc : x1w1+ + xi1wi1+ xiwi = 0pour notre indice i > 2, d'o :

wi = x1xi

w1 xi1xi

wi1 ,

ce qui est absurde, puisque par hypothse wi n'est pas combinaison linaire de w1, w2, . . . , , wi1. Il rsulte de cettecontradiction que le sous-espace F de E est en fait niment engendr.

Inventaire des exemples prcdents d'espaces vectoriels rels.

Exemple 1 : E = Rn est niment engendr par les vecteurs e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),e3 = (0, 0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en1 = (0, . . . 0, 1, 0), en = (0, . . . 0, 1). En eet, pour tout (a1, . . . , an)Rn :

(a1, . . . , an) = (a1, 0, . . . , 0) + (0, a2, 0, . . . , 0) + + (0, . . . , 0, an) = a1e1 + a2e2 + + anen.La proposition ci-dessus entrane que tout sous-espace F de Rn est aussi niment engendr.

10

Exemple 2 : E=R[x] n'est pas niment engendr. En eet, toute combinaison linaire de polynmesP1, P2, . . . , Pn est de degr au plus k = max(degP1, degP2, . . . , degPn), de sorte que par exemple lepolynme xk+1 n'est pas combinaison linaire de P1, P2, . . . , Pn. Cela tablit que R[x] n'est engendrpar aucun nombre ni de polynmes P1, P2, . . . , Pn.En revanche, pour tout n N, le sous-espace Rn[x] des polynmes de degrs au plus n, et quiest en lui-mme on le rappelle un espace vectoriel, est niment engendr par les polynmes

1, x, x2, . . . , xn.

Exemple 3 : E = RR n'est pas niment engendr. En eet, si l'on assimile chaque polynme de R[x] sa fonction polynme associe (cf chapitre 3), R[x] devient un sous-espace de l'espace RR des fonctionsRR. Comme R[x] n'est pas niment engendr, la proposition prcdente entrane que l'espace RR nepeut pas l'tre non plus. L'espace RR est en fait bien plus vaste que son sous-espace R[x]. En revanche,son sous-espace S1 des solutions de l'quation direntielle : x(t) = a x(t) et son sous-espace S2 dessolutions de l'quation direntielle : ax(t) + bx(t) + cx(t) = 0 sont niment engendrs, comme onle verra plus bas en dtail.

Exemple 4 : E = C est niment engendr par ses vecteurs 1 et i. En eet, tout vecteur z de C est dela forme : z = a.1 + b.i o a, b R, autrement dit une combinaison linaire de 1 et de i.

2.2 Bases d'espaces vectoriels

Dnition On appelle base d'un espace niment engendr E un n-uplet (u1, . . . , un) de vecteursde E tel que pour tout v E, il existe un unique n-uplet de rels (x1, . . . , xn) satisfaisant :

v = x1u1 + + xnun.

Lorsque tel est le cas, on appelle pour tout v E, coordonnes de v dans la base (u1, . . . , un) l'uniquen-uplet de rels (x1, . . . , xn) comme ci-dessus.

Exemple 1 : E = Rn. Les vecteurs e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), e3 = (0, 0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,en1 = (0, . . . 0, 1, 0), en = (0, . . . 0, 1) forment une base (e1, . . . , en) de Rn, appele base canonique deRn. En eet, pour tout (a1, . . . , an) Rn, il y a un unique n-uplet de rels (x1, . . . , xn) tel que :

(a1, . . . , an) = x1e1 + x2e2 + + xnen(= (x1, 0, . . . , 0) + (0, x2, 0, . . . , 0) + + (0, . . . , 0, xn) = (x1, . . . , xn)

) savoir videmment (x1, . . . , xn) = (a1, . . . , an).

Nouvelle notation des vecteurs de Rn. Dans les calculs pratiques, il est souvent bien plus commode dereprsenter les vecteurs (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) . . . de Rn en colonnes :x1..

.

xn

,y1..

.

yn

. . .Ces reprsentations sont appeles vecteurs colonnes et constituent la variante la plus simple de matri-

ces. Gardons en mmoire qu'il ne s'agit l que d'une reprsentation des vecteurs de Rn et non d'unenouvelle sorte d'objet mathmatique. Dans cette notation, les vecteurs de la base canonique de Rnsont :

e1 =

100.

.

.

0

, e2 =010.

.

.

0

, e3 =001.

.

.

0

, . . . . . . en =000.

.

.

1

.Exemple 2 : E = Rn[x] (nN) a pour base (1, x, x2, . . . , xn), appele base canonique de Rn[x]. En eet,tout vecteur P (x) de Rn[x] s'crit de faon unique sous la forme : P (x) = a0.1+a1x+a2x2+ +anxn.Exemple 3 : E = S1, espace des solutions de l'quation direntielle : x(t) = a x(t) a pour base : (eat)constitue de l'unique vecteur t 7 eat. En eet, pour tout x S1, posons (t) = eatx(t). On a alors :(t) = a eatx(t) + eatx(t) = a eatx(t) + eata x(t) = 0, donc est une fonction constante,mettons (t) = k, d'o : x(t) = (t) eat = k eat. De plus, pour tout k R tel que x(t) = keat, on a :k = x(0) = k, donc k est l'unique rel tel que x(t) = k eat, (eat) est bien une base de S1 et k l'uniquecoordonne de x(t) = k eat dans cette base.

11

E = S2, espace des solutions de l'quation direntielle : ax(t)+ bx(t)+ cx(t) = 0 (a 6= 0), vriela proposition suivante, que l'on admettra ici :

Proposition Soit ax2 + bx+ c = 0 R2[x] (a 6= 0) et = b24ac le discriminant de ce trinme. Si > 0, alors ax2+ bx+ c a deux racines relles distinctes r1, r2 et toute solution de l'quationdirentielle ax(t) + bx(t) + cx(t) = 0 s'crit de faon unique sous la forme :

x(t) = k1 er1t + k2 er2t.

Si = 0, alors ax2 + bx + c a une racine double r et toute solution de l'quation direntielleax(t) + bx(t) + cx(t) = 0 s'crit de faon unique sous la forme :

x(t) = k1 ert + k2 tert.

Si < 0, alors ax2 + bx + c a deux racines complexes r i et toute solution de l'quationdirentielle ax(t) + bx(t) + cx(t) = 0 s'crit de faon unique sous la forme :

x(t) = k1 ert cost+ k2 ert sint.

Exemple 4 : E = C a pour base (1, i). En eet, tout vecteur z de C s'crit de faon unique sous laforme : z = a.1 + b.i o a, b R, car alors a = Re z, b = Im z.Exemple 5 : Nous avons remarqu la n de la section prcdente que l'ensemble des solutions

(x1, . . . , xn) d'un systme linaire homogne quelconque :a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = 0a31x1 + a32x2 + a33x3 + + a3nxn = 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ap1x1 + ap2x2 + ap3x3 + + apnxn = 0constitue un sous-espace F de Rn. En rsolvant le systme comme dans le chapitre 4, on aboutit un systme exprimant chaque inconnue xi en fonction de certaines d'entre elles (les inconnues qui nesont pas inconnues pivots, cf chapitre 4) utilises comme paramtres. Il est alors toujours possible

d'exprimer cette solution gnrale (x1, . . . , xn) comme une combinaison linaire xk1u1 + + xkpup devecteurs u1, . . . , up de Rn, o xk1 , . . . , xkp sont prcisment les composantes de (x1, . . . , xn) qui ontservi de paramtres. Il s'ensuit qu'on ne peut avoir (x1, . . . , xn) = 1u1+ +pup pour d'autres coef-cients 1, . . . , p que ces composantes xk1 , . . . , xkp . Ainsi, (u1, . . . , up) est alors une base de l'espaceF des solutions du systme.

Par exemple, pour le systme (S3) de l'exemple 3 du chapitre 4, on a trouv comme solution gnrale :x= 5z + 3vy = 2z 2vz = zt = vu = 2vv = v.

On en dduit dans les nouvelles notations des vecteurs de R6 :xyztuv

=5z+3v2z2v

zv

2vv

=5z2zz000

+

3v2v0v

2vv

= z521000

+ v

3201

21

,donc

((5, 2, 1, 0, 0, 0), (3,2, 0, 1,2, 1)) est une base de l'espace des solutions du systme (S3).Concluons cette section 2 par deux thormes fondamentaux.

2.3 Le Thorme de la Base

Thorme de la base Tout espace vectoriel niment engendr possde une base.

Dmonstration. Soit E un espace vectoriel niment engendr quelconque. Il existe donc un nombreni de vecteurs v1, . . . , vn tels que tout vecteur v de E est combinaison linaire de v1, . . . , vn.

12

Supposons que (v1, . . . , vn) ne soit pas une base de E (dans le cas contraire, il n'y a plus rien prouver). Alors il existe un vecteur v de E qui ne s'crit pas de faon unique sous la forme :v = x1v1 + + xnvn. Puisque par hypothse v a une telle forme, c'est qu'il en a une deuxime,mettons v = x1v1+ +xnvn, et puisque celle-ci est bien distincte de la premire, on a xk 6= xk pourun certain indice k. On peut alors crire :

v xkvk = x1v1 + + xk1vk1 + xk+1vk+1 + + xnvnv xkvk = x1v1 + + xk1vk1 + xk+1vk+1 + + xnvnet en faisant la dirence de ces deux vecteurs :

(v xkvk) (v xkvk) = 1v1 + + k1vk1 + k+1vk+1 + + nvno 1 = x1 x1, 2 = x2 x2, 3 = x3 x3 . . . soit encore :

(xk xk) vk = 1v1 + + k1vk1 + k+1vk+1 + + nvn.

Comme xk 6= xk, r = 1/(xk xk) est un rel bien dni. En multipliant les deux membres de ladernire galit par r, on obtient :

vk = r1v1 + + rk1vk1 + rk+1vk+1 + + rnvn.

Ainsi, vk est combinaison linaire des autres vecteurs vi (i 6= k). Comme ces derniers sont videmmentcombinaisons linaires d'eux-mmes, tous les vecteurs v1, . . . , vn (y compris vk) sont combinaisonslinaires des seuls vecteurs v1, . . . , vk1, vk+1, . . . , vn. Puisque par hypothse, tout v E est com-binaison linaire de v1, . . . , vn, la proposition concluant la section 1.4 entrane que tout v E estcombinaison linaire des seuls vecteurs v1, . . . , vk1, vk+1, . . . , vn.Si (v1, . . . , vk1, vk+1, . . . , vn) n'est toujours pas une base de E, on peut rpter exactement lemme raisonnnement et retirer un autre vecteur vk de sorte que tout v E soit encore combinaisonlinaire des vecteurs vi restants. Et ainsi de suite : tant que les vecteurs vi restants ne forment pas unebase, on peut toujours en retirer un de telle sorte que tout v E soit encore combinaison linaire desautres. Comme on ne peut pas retirer indniment des vecteurs vi (puisqu'ils sont en nombre ni),il faut bien que l'on aboutisse un certain point un ensemble de vecteurs vi restants formant unebase de E.

2.4 Le Thorme de la Dimension

Thorme de la dimension Deux bases quelconques d'un espace vectoriel niment engendr ont

le mme nombre de vecteurs.

Dmonstration. Soit (u1, . . . , up) et (v1, . . . , vq) deux bases d'un mme espace vectoriel. Exprimonsles vecteurs de la seconde dans la premire :

v1 = k11 u1 + k21 u2 + k31 u3 + + kp1 upv2 = k12 u1 + k22 u2 + k32 u3 + + kp2 upv3 = k13 u1 + k23 u2 + k33 u3 + + kp3 up.

.

.

vq = k1q u1 + k2q u2 + k3q u3 + + kpq up

()

et considrons une solution quelconque (x1, . . . , xq) du systme linaire suivant :k11x1 + k12x2 + k13x3 + + k1qxq = 0k21x1 + k22x2 + k23x3 + + k2qxq = 0k31x1 + k32x2 + k33x3 + + k3qxq = 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

kp1x1 + kp2x2 + kp3x3 + + kpqxq = 0

(S)

13

En multipliant pour i = 1, 2, . . . , n le membre gauche de la i me quation du systme par le vecteur uiet en additionnant les n vecteurs nuls ainsi obtenus, on aboutit :

k11x1 u1 + k12x2 u1 + k13x3 u1 + + k1nxp u1 +k21x1 u2 + k22x2 u2 + k23x3 u2 + + k2nxp u2 +k31x1 u3 + k32x2 u3 + k33x3 u3 + + k3nxp u3 +.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

kp1x1 up + kp2x2 up + kp3x3 up + + kpqxp up = 0Rassemblons par colonnes les termes de cette vaste somme. On remarque que l'on peut mettre xi enfacteur des termes de la i me colonne. Cela donne :

x1(k11 u1 + k21 u2 + k31 u3 + + kp1 up

)+

x2(k12 u1 + k22 u2 + k32 u3 + + kp2 up

)+

x3(k13 u1 + k23 u2 + k33 u3 + + kp3 up

)+.

.

.

xq(k1q u1 + k2q u2 + k3q u3 + + kpq up

)= 0

c'est--dire, en vertu des relations () :x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 + + xq vq = 0Or 0 = 0 v1+ 0 v2+ 0 v3+ + 0 vq est l'unique expression du vecteur nul dans la base (v1, . . . , vq),donc x1 = x2 = . . . = xq = 0. Ainsi, le systme (S) n'a pas d'autre solution que la solution nulle.Il s'ensuit que ce systme possde au moins autant d'quations que d'inconnues, c'est--dire : p > q.Si l'on reproduit ce raisonnement en intervertissant les rles des bases (u1, . . . , up) et (v1, . . . , vq),on obtient de mme q > p. On a donc bien p = q.

Les deux thormes fondamentaux ci-dessus permettent de poser enn la dnition suivante :

Dnition On appelle dimension d'un espace niment engendr quelconque E, et l'on note : dimEle nombre de vecteurs de l'une quelconque de ses bases.

Ceci dnit bien la dimension de n'importe quel espace niment engendr, puisque tout espace

niment engendr a au moins une base d'aprs le thorme de la base, et que le nombre de ses vecteurs

ne dpend pas du choix de la base d'aprs le thorme de la dimension.

Exemples. En reprenant les exemples prcdents, on obtient immdiatement :

dimRn = n, dimRn[x] = n+1, dimS1 = 1, dimS2 = 2, dimC = 2.

3 Familles libres & familles gnratrices (Notes de cours abrges)

3.1 Une dcomposition de la notion de base

Soit u1, . . . , up des vecteurs quelconques d'un espace vectoriel E. Considrons l'application :

: Rp E(x1, . . . , xp) 7 x1u1+ + xpupPar dnition, (u1, . . . , up) est une base ssi pour tout vE, il existe un unique p-uplet (x1, . . . , xp)Rptel que v = x1u1+ + xpup = (x1, . . . , xp). Ainsi :

(u1, . . . , up) est une base est bijective.De mme que la proprit de bijectivit se dcompose naturellement en celles d'injectivit et de

surjectivit, la notion de base s'analyse en posant :

(u1, . . . , up) est une famille libredf est injective.

(u1, . . . , up) est une famille gnratricedf est surjective.Ainsi, une famille (u1, . . . , up) est libre ssi tout v E s'crit d'au plus une faon sous la formev = x1u1+ + xpup ; elle est gnratrice ssi tout v E s'crit (d'au moins une faon) sous la formev = x1u1+ + xpup et c'est une base ssi elle est la fois libre et gnratrice.

14

3.2 Familles libres

Il existe une dnition de famille libre quivalente la prcdente, plus simple vrier pour une

famille (u1, . . . , up) donne (mais dont le sens est moins clair) :

Dnition On dit qu'une famille (u1, . . . , up) est libre si pour tous rels 1, . . . , p :

1u1+ + pup = 0 = 1= = p = 0.

Commenons par vrier l'quivalence de ces deux dnitions : Supposons que (u1, . . . , up) est libreau sens de la section 3.1. Pour tous rels 1, . . . , p, si 1u1+ +pup = 0, alors 1u1+ +pup nepeut tre que l'unique expression 0u1+ +0up du vecteur 0 sous cette forme, d'o : 1= = p = 0,et (u1, . . . , up) est donc bien libre au sens de la dnition ci-dessus.Rciproquement, supposons que (u1, . . . , up) est libre au sens de cette dernire dnition. Si un quel-conque vecteur v de E peut s'crire : v = x1u1+ + xpup et encore : v = x1u1+ + xpup, alors :(x1u1+ + xpup) (x1u1+ + xpup) = (x1x1)u1+ + (xpxp)up = 0, donc en vertu de ladnition ci-dessus : x1x1 = = xpxp = 0, d'o : x1 = x1, . . . , xp = xp. Autrement dit, lesexpressions x1u1+ + xpup et x1u1+ + xpup sont une seule et mme expression, de sorte que vs'exprime sous cette forme de faon unique.

Dnition On dit qu'une famille (u1, . . . , up) est lie si elle n'est pas libre, autrement dit s'il existedes rels 1, . . . , p tels que :

1u1+ + pup = 0 et pourtant (1, . . . , p) 6= (0, . . . , 0),c'est--dire encore s'il existe des rels 1, . . . , p non tous nuls tels que 1u1+ + pup = 0.Exemples simples. Tout vecteur u 6= 0 forme une famille libre, car alors : u = 0 = = 0. Le vecteur 0 est le seul vecteur li lui tout seul, car par exemple : 1.0 = 0. Deux vecteurs colinaires u, v sont lis, car alors soit u = kv (et donc 1u k v = 0), soit v = ku(et donc k u 1 v = 0). Deux vecteurs non colinaires u, v sont libres, car si u+v = 0, alors = 0 (sinon u = (/) v)et = 0 (sinon v = (/)u).Mais attention ! ! ! u1, . . . , un non colinaires =/\ (u1, . . . , un) famille libre.Par exemple, les vecteurs u1 = (1, 0), u2 = (0, 1) et u3 = (1, 1) de R2 ne sont pas colinaires, etpourtant 1u1 + 1u2 1u3 = 0, donc la famille (u1, u2, u3) est lie.Dnition On dit qu'une famille (u1, . . . , up) de E est libre maximale si elle est libre, et si quel quesoit le vecteur v E que l'on tente d'y rajouter, la famille (u1, . . . , up, v) devient lie.Proposition Une famille (u1, . . . , up) de E est libre maximale ssi c'est une base de E.

Dmonstration. (Cf cours du 05/11/2010.)

3.3 Familles gnratrices

Rappelons la dnition de la section 3.1 :

Dnition On dit qu'une famille (u1, . . . , up) d'un espace vectoriel E est gnratrice si tout vecteurv E est combinaison linaire des vecteurs u1, . . . , up.Dnition On dit qu'une famille (u1, . . . , up) d'un espace vectoriel E est gnratrice minimale sielle est gnratrice, et si quel que soit le vecteur ui E que l'on tente de lui ter, la famille obtenue(u1, . . . , ui1, ui+1, . . . , up) n'est plus gnratrice.

Proposition Une famille (u1, . . . , up) d'un espace E est gnratrice minimale ssi c'est une base de E.

Dmonstration. (Cf cours du 10/11/2010.)

Remarque. Pour toute famille (u1, . . . , up) d'un espace E, l'ensemble F des combinaisons linaires deu1, . . . , up est un sous-espace de E, car 0 = 0u1+ + 0up F , la somme de deux combinaisonslinaires de u1, . . . , up est une combinaison linaire de u1, . . . , up et le produit d'une combinaisonlinaire de u1, . . . , up par un rel k est une combinaison linaire de u1, . . . , up. Cela fonde la dnitionsuivante qui suit.

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Dnition Soit (u1, . . . , up) une famille de vecteurs d'un espace vectoriel E. On appelle sous-espaceengendr par (u1, . . . , up), et l'on note Vect(u1, . . . , up), le sous-espace des combinaisons linaires deu1, . . . , up.

Remarque importante. Ainsi, toute famille (u1, . . . , up) d'un espace E est gnratrice du sous-espaceF = Vect(u1, . . . , up) de E, qui est en lui-mme un espace vectoriel. Autrement dit, toute famille(u1, . . . , up) est gnratrice d'un certain espace vectoriel. C'est pourquoi, plutt que de dire que lafamille (u1, . . . , up) est gnratrice (de quoi ?), il vaut mieux prciser que (u1, . . . , up) est une famillegnratrice de E (si c'est bien sr le cas), ou encore que (u1, . . . , up) engendre E.La notion de famille libre ne pose pas le mme problme, car une famille libre (u1, . . . , up) d'unespace E reste libre dans n'importe quel espace contenant les vecteurs u1, . . . , up, de par la dnitionmme de famille libre.

3.4 Conclusion

Thorme de la base incomplte Soit E un espace vectoriel, (u1, . . . , up) une famille libre de Eet (v1, . . . , vn) une famille gnratrice de E. Alors la famille (u1, . . . , up) (la base incomplte) peuttre complte en une base, en lui rajoutant certains des vecteurs de la famille (v1, . . . , vn).

Dmonstration. (Cf cours du 10/11/2010.)

Corollaire Si F est un sous-espace d'un espace vectoriel E, alors : dimF 6 dimE.

Thorme Soit E un espace vectoriel et F = (u1, . . . , un) une famille quelconque de vecteurs de E.Les hypothses suivantes sont alors quivalentes :

F est une base de E F est une famille libre et gnratrice de E F est une famille libre maximale de E F est une famille gnratrice minimale de E F est une famille libre de E et n = dimE F est une famille gnratrice de E et n = dimE.

Dmonstration. (Cf cours du 10/11/2010.)

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