Mémoire présenté devant … · Introduction Sous la directive Solvabilité II, appliquée depuis le 1 janvier 2016, les assureurs et réassureurs sont ame-nés à évaluer leurs

Mémoire présenté devant

l’UFR de Mathématique et Informatique

pour l’obtention du du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le 14 novembre 2018

Par : Jeannette EVERTSE

Titre: Construction des hypothèses Best Estimate biométriques pour des produits

d’assurance décès et maladies redoutées au Royaume-Uni

Confidentialité : NON OUI Durée : 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Signature :

Membres du jury de l’Unistra :

Entreprise : Partner Reinsurance

Europe SE

Directeur de mémoire en entreprise :

P. ARTZNER Nom : Thong TRAN

J. BERARD Signature :

F. BERTRAND

A. COUSIN

K.-T. EISELE

J. FRANCHI

M. MAUMY-BERTRAND

V. VIGON

Invité :

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents

actuariels (après expiration de

l’éventuel délai de confidentialité)

Jury de l’Institut des

Actuaires :

Signature du responsable entreprise

Secrétariat : Mme Stéphanie Richard Signature du candidat

Bibliothèque : Mme Christine Disdier

Remerciements

Je tiens à remercier toutes les personnes qui ont contribué au succès de mon alternance et qui m’ont aidélors de la rédaction de ce mémoire.

Je remercie l’ensemble de l’équipe Life Reserving and Economic Reporting de PartnerRe pour leur accueilchaleureux et leur esprit d’équipe. En particulier, Romain Bridet et Ludovic Boulanger de m’avoir accueillidans leur service.

Je tiens à remercier vivement mon tuteur professionnel, Thong Tran, pour le partage de son expertise auquotidien.

J’adresse également mes remerciements à l’ensemble des professeurs et intervenants du Diplôme Universi-taires des Actuaires de Strasbourg, et notamment à mon tuteur académique, Jean Bérard qui s’est montrédisponible pendant la réalisation de ce mémoire.

Enfin, un grand merci à mon entourage, spécialement aux amis qui m’ont conseillé et relu lors de la rédac-tion de ce mémoire et aux membres de ma famille qui m’ont accompagné, soutenu et encouragé tout aulong de mes études en France.

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Résumé

Mots clé : Solvabilité II, Provisions Techniques en Best Estimate, Assurance Décès et Maladies Redoutées,Standardized Mortality Ratio, Modèle de Brass, Modèle Linéaire Généralisé, CMI Mortality ProjectionModel, Estimateur de Hoem, Estimateur de Kaplan-Meier

Depuis l’introduction de la directive Solvabilité II, les provisions techniques doivent être évaluées au plusjuste. La définition et la justification statistique et actuarielle des hypothèses Best Estimate constituentainsi une étape incontournable dans la constitution des provisions réglementaires.

Par conséquent, la pertinence des tables d’incidence est essentielle dans le cadre des produits d’assu-rance décès et maladies redoutées. L’objectif du mémoire a été défini dans ce contexte. L’enjeu de l’étudeest la mise en place des hypothèses techniques de mortalité et de morbidité dans le cadre des porte-feuilles regroupant une population relativement jeune résultant peu de sinistralité sur le marché britan-nique.

La méthode présentée consiste à procéder en trois étapes. Premièrement on propose de comparer deuxméthodes d’estimation des taux bruts de sortie : l’estimateur de Hoem et l’estimateur de Kaplan-Meier.Puis, à l’aide de l’estimateur de Hoem, on procède à l’ajustement des tables du moment par rapportaux références externes. Les méthodes d’ajustement appliquées sont le Standardized Mortality Ratio,une version semi-paramétrique du modèle de Brass et un modèle linéaire généralisé. Finalement, onintroduit une vision prospective de l’hypothèse de mortalité en appliquant une dérive de mortalité surles probabilités de décès ajustées à l’aide du modèle proposé par le Continuous Mortality Investigation.

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Abstract

Key words : Solvency II, Best Estimate Liabilities, Term Life and Critical Illness Insurance, StandardizedMortality Ratio, Brass Model, Generalized Linear Model, CMI Mortality Projection Model, Hoem Estima-tor, Kaplan-Meier Estimator

Since the introduction of the Solvency II Directive, technical reserves must be evaluated as accuratelyas possible. The definition and statistical and actuarial justification of best estimate assumptions is anindispensable step in order to calculate regulatory reserves.

Consequently, the relevance of incidence tables is essential within the framework of term life and criticalillness insurance products. The purpose of this thesis has been defined within this context. The aim ofthis study is the establishment of mortality and morbidity technical assumptions for portfolios concer-ning a relatively young population, who have had a low number of claims within the British market.

The presented methodology consists of three steps. Firstly, we propose to compare two types of incidencerate estimators : the Hoem estimator and the Kaplan-Meier estimator. Secondly, by using the Hoem es-timator, periodic life tables will be constructed by amending benchmark incidence rates. Applied fittingmethods are the Standardized Mortality Ratio, a semi-parametric Brass-type relational model and a ge-neralized linear model. Thirdly, we introduce a forward-looking vision for mortality assumptions by ap-plying a mortality drift on the adjusted death probabilities using a model proposed by the ContinuousMortality Investigation.

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Table des matières

Remerciements 2

Résumé 3

Abstract 4

Introduction 7

1 Présentation du produit et contexte réglementaire 81.1 Présentation de l’assurance décès et maladies redoutées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Propriétés communes des deux garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Réassurance de l’assurance décès et maladies redoutées . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Notations actuarielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Méthode de modélisation de la sinistralité de PartnerRe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Garantie LIFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Garantie CI-STA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Garantie CI-ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Limites du LTPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Contexte réglementaire : la directive Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Structure du bilan prudentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Capital de solvabilité requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 Best Estimate Liabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Positionnement des tables de mortalité et de morbidité 242.1 Présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Choix de la segmentation du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Base de données primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3 Base de données sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.4 Tables de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Estimation des taux bruts de mortalité et de morbidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1 Prise en considération des censures et des troncatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2 Estimateur de Hoem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Estimateur de Kaplan-Meier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4 Application : calcul des taux bruts d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Positionnement des taux d’incidence par rapport à une référence . . . . . . . . . . . . . . . 36

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TABLE DES MATIÈRES

2.3.1 Standardized Mortality Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Version semi-paramètrique du modèle de Brass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.3 Modèle linéaire généralisé de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.4 Mesure de la qualité d’ajustements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.5 Intervalle de confiance des taux estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.6 Fermeture de table aux grands âges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Application : méthodes de positionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.1 Positionnement des taux de mortalité du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Positionnement des taux de morbidité du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Calcul des Best Estimate Liabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5.1 Analyse des résultats du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5.2 Analyse des résultats du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Amélioration de mortalité des assurés en prévoyance de long-terme 623.1 Contexte général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2 Taux d’amélioration de mortalité du passé, du présent et du futur . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Modélisation du taux d’amélioration de mortalité : modèle Age-Period-Cohort-Improvement 65

3.3.1 Calibration du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 Estimation de l’amélioration de mortalité récente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.3 Extrapolation des taux d’amélioration de mortalité récents . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.4 Analyse du LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Test de sensibilité sur le LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.1 Adaptation des taux d’amélioration de mortalité sur la table du moment . . . . . . . 753.4.2 Calcul des Best Estimate Liabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Conclusion 79

Bibliographie 80

Liste d’abréviations 82

Table des figures 87

Liste des tableaux 89

Annexes 90A Rappels sur les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90B Matrice de transition Qz du JFLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C Analyse des résidus de la version semi-paramétrique du modèle de Brass . . . . . . . . . . . 92D Graphiques des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100E Graphiques des tables finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104F Cartographie d’amélioration de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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Introduction

Sous la directive Solvabilité II, appliquée depuis le 1 janvier 2016, les assureurs et réassureurs sont ame-nés à évaluer leurs provisions techniques en Best Estimate, autrement dit de fournir la meilleure estima-tion de leurs engagements à l’aide de paramètres reflétant la réalité, qui sont actuariellement et statisti-quement justifiés.

Dans le cadre des produits d’assurance décès et maladies redoutées, les actuaires sont chargés entreautres d’évaluer la meilleure estimation des hypothèses techniques de mortalité et de morbidité.

Contrairement à la pratique du marché français en assurance de prévoyance de long-terme, les acteursdu marché britannique sont incités à déterminer leurs hypothèses biométriques en vision prospectivesuite à une forte présence de la concurrence. De surcroît, cette approche permet de rapprocher davan-tage la définition du Best Estimate.

Toutefois, les études générationnelles d’incidences restent focalisées sur les produits d’épargne-retraite.La principale raison est la forte présence du risque de longévité dans le cas de ces produits d’assu-rance. Plus précisément, les provisions constituées sur les produits d’épargne-retraite sont très sensiblesà l’amélioration de mortalité au long-terme et ainsi, on peut facilement risquer une sous-évaluation desprovisions, contrairement au risque de mortalité où la non-prise en compte de l’amélioration de mor-talité est un choix prudent. De ce fait, un des grands défis de la prévoyance de long-terme britanniqueest la construction des tables d’incidence prospectives spécifiques à la sinistralité des portefeuilles descompagnies d’assurance et de réassurance.

À ce jour, PartnerRe adopte une démarche composée de deux étapes pour la détermination des hypo-thèses biométriques en Best Estimate. Dans un premier temps, le positionnement des taux d’incidencede référence par rapport aux taux bruts estimés à l’aide de l’estimateur de Hoem est effectué en appli-quant un taux d’abattement sur le benchmark, appelé le Standardized Mortality Ratio. Ensuite est ap-pliqué une dérive d’incidence sur les tables du moment ajustées traduisant une vision prospective deshypothèses.

Dans le cadre de ce mémoire, on propose tout d’abord de remettre en question la méthode du position-nement des tables d’incidence récemment utilisée par la compagnie dans le cadre des garanties décèstemporaire et maladies redoutées. Puis, on propose une ouverture sur la détermination d’une dérive demortalité sur les produits d’assurance décès temporaire à travers l’approche proposée par le ContinuousMortality Investigation.

L’étude présentée dans la première partie du mémoire se repose en partie sur les notes de travail présen-tées par l’Institut des Actuaires tandis que la deuxième partie intègre les articles publiées par le MortalityProjections Committee qui est un comité de travail soutenu par l’Institute and Faculty of Actuaries.

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Chapitre 1

Présentation du produit et contexteréglementaire

L’objectif du premier chapitre est l’introduction des notions assurantielles, actuarielles, mathématiqueset réglementaires qui vont nous servir dans la construction de la meilleure estimation des hypothèsesbiométriques utilisées dans le cadre de la constitution des provisions réglementaires sous la directiveSolvabilité II.

Ainsi, dans un premier temps on va présenter le produit d’assurance décès et maladies redoutées. Puis,on va fixer les notions et notations actuarielles de base pour présenter ensuite la méthode de modéli-sation de la sinistralité à travers des chaînes de Markov. Finalement, on va finir la présentation par lesgrandes lignes de la directive Solvabilité II.

1.1 Présentation de l’assurance décès et maladies redoutées

L’assurance décès et maladies redoutées est un contrat d’assurance de prévoyance de long-terme qui secompose de deux garanties différentes :

• La garantie décès temporaire (LIFE) permet le versement d’un capital au bénéficiaire désigné encas de décès de l’assuré pendant la durée de contrat. Le contrat n’est valable que pour une duréedéterminée. L’objectif de cette garantie est de protéger ses proches.

• La garantie maladies redoutées (Critical Illnesses - CI) offre une prestation unique ou forfaitaireen cas d’augmentation des frais médicaux, de perte de revenu ou de modification du mode devie suite à la survenue d’une maladie classée redoutée. La liste de telles maladies varie selon lescompagnies d’assurance. Elle prend en compte le plus souvent le cancer, l’infarctus de myocarde,la transplantation des organes vitaux, le pontage coronarien, la néphropathie en phase terminaleet l’infection par VIH sous certaines conditions.

Ainsi la garantie décès couvre contre un risque de décès tandis que la garantie CI couvre contre le diag-nostic d’une maladie classée redoutée.

Les assureurs distinguent trois types de garanties CI :

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CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DU PRODUIT ET CONTEXTE RÉGLEMENTAIRE

• Accelerated CI (CI-ACC) : offre le paiement anticipé d’une partie du montant assuré en cas dudiagnostic d’une maladie redoutée. Le reste du montant assuré est versé en cas de décès.

• Additional CI (CI-ADD) : offre le paiement d’une prestation en cas du diagnostic d’une maladieredoutée indépendamment du montant assuré pour le risque décès.

• Stand-alone CI (CI-STA) : ne couvre pas la garantie décès. Généralement, le montant assuré estpayé une seule fois après le diagnostic d’une maladie redoutée. Ainsi, l’engagement de l’assureurprend fin.

Une différence caractéristique de la garantie maladies redoutées par rapport à la garantie décès est quela prestation n’est non seulement payée en cas de réalisation d’un risque (comme le décès), mais à partirdu moment où une maladie couverte par la garantie est diagnostiquée.

1.1.1 Propriétés communes des deux garanties

Même si l’objectif des deux garanties n’est pas exactement pareil, une grande partie des propriétés estcommune. Ainsi dans les sous-sections suivantes, on va présenter les caractéristiques qui concernent lesdeux garanties (sauf indication contraire).

Type du montant assuré

Tout d’abord, on introduit les notations suivantes :

• S Ai le montant assuré à la période i , i ∈ 0, ...,n,

• d est le taux annuel qui sert à la ré-évaluation à la baisse, ainsi d (m) est le taux infra-annuel, no-

tamment mensuel avec m = 12 tel que d (m) = (1+d)1m −1,

• i est le taux annuel qui sert à la ré-évaluation à la hausse, comme dans le cas du d (m), ce taux peut

également être exprimé en taux infra-annuel tel que i (m) = (1+ i )1m −1.

Si i = 0, alors S A0 est le montant assuré initial, sinon pour tout i 6= 0, on parle de montants assuréscourants. n est exprimé en fonction de la périodicité (de la valeur de m) : si m = 1, alors n est exprimé enannées, si m = 12, n est exprimé en mois. Quelque soit la garantie en question, on va considérer quatretypes de montants assurés pour ce contrat :

• LTA (Level Term Assurance) : la prestation LTA représente un montant assuré qui est constant pen-dant la période de couverture. Ainsi le montant courant assuré se calcule à la période i comme :

S Ai = S A0 ∀i ∈ 1, ...,n.

• ITA (Increasing Term Assurance) : dans le cas de la prestation ITA, en principe il s’agit d’une presta-tion LTA sauf qu’elle est réévaluée selon l’indice du prix à la consommation (Consumer Price Index- CPI) ou l’indice du prix de détail (Retail Price Index - RPI) 1 tous les ans pendant la validité de lagarantie. D’où le montant assuré courant se calcule comme :

S Ai = S A0 × (1+ i (m))i ∀i ∈ 1, ...,n.

1. L’indice de prix à la consommation mesure la variation des prix payés sur un panier de consommation des biens et desservices. Il ne prend pas en compte le prix des logements, les intérêts hypothécaires, la dépréciation de la valeur des maisons...Tandis que l’indice du prix de détail évalue la variation du prix de détail sur un panier des biens et services en prenant compte lesvaleurs exclues par le CPI.

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• DTA (Decreasing Term Assurance) : en cas du DTA, le montant assuré est réévalué à la baisse àchaque période. En général, il s’agit d’un emprunt ayant un amortissement avec variation du capi-tal restant dû constant. La formule du montant assuré courant est tel que :

S Ai = S A0 × 1− (1+d (m))i−n

1− (1+d (m))−n∀i ∈ 1, ...,n.

• FIB (Family Income Benefit) : la prestation du revenu familial, FIB, offre des prestations pério-diques après la survenue du sinistre pendant une période déterminée. Bien qu’il s’agit des verse-ments forfaitaires par l’assureur, généralement les réassureurs payent en un seul montant leur partdans le sinistre étant donné que la durée de la garantie est fixée à l’avance. Il se peut que les pres-tations forfaitaires soient indexées sur le CPI ou RPI, comme dans le cas des prestations ITA. Lemontant assuré courant est tel que :

S Ai = S A0 × (1+d (m))i ×

(1+i (m)

1+d (m)

)i−

(1+i (m)

1+d (m)

)n

1−(

1+i (m)

1+d (m)

)n ∀i ∈ 1, ...,n.

Type de la prime

On distingue deux types de primes en assurance :

• La prime de risque 2 est une prime proportionnelle au montant assuré. En pratique, elle est cal-culée comme le produit du taux de risque de prime et le montant courant assuré. Ainsi, en cas degarantie décès et de maladies redoutées elle augmente en fonction de l’âge.

• La prime nivelée est une prime constante pendant la durée du contrat d’assurance. Elle permet àl’assureur de créer des recettes pendant la première période du contrat, d’en constituer une provi-sion afin de faire face à un manque de recettes pendant la deuxième période de la couverture.

Par conséquent, la prime nivelée payée par le souscripteur est plus importante pendant la première pé-riode de contrat, puis elle devient plus faible que la prime de risque pendant la deuxième période de lacouverture.

Garanties complémentaires et options

De nombreuses garanties complémentaires et options sont disponibles pour compléter l’une ou l’autredes couvertures de base :

• Invalidité permanente et totale (Total and Permanent Disability - TPD) : le montant de la prestationest payé en fonction du niveau de l’invalidité et non pas en fonction de la condition de la maladiedéfinie dans le contrat. Ce complément permet d’éviter la non-prise en considération de la maladiedans la couverture. On distingue deux classes de TPD :

— Own TPD : le versement d’une prestation sera réalisé si la personne ne peut pas exercer sonpropre métier.

2. A ne pas confondre avec la réassurance à la prime de risque - contraire de la réassurance à la prime commerciale - qui estnégociée entre la cédante et le réassureur et n’est pas directement liée au montant de la prime payée par le souscripteur.

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— Any TPD : l’assuré sera couvert s’il ne peut exercer aucun métier.

Cette option est utilisée dans le cas de la garantie de maladies redoutées.

• Paiements basés sur la sévérité : une somme additionnelle est versée au bénéficiaire de l’assuranceselon la sévérité de la maladie. Comme l’option TPD, ce complément est applicable dans le cas dela garantie CI.

• Paiement multiple : étant donné que de nombreuses maladies redoutées sont corrélées, les condi-tions des contrats sont regroupées afin d’éviter le cumul des sinistres. Évidemment, il est égalementapplicable en cas des garanties CI.

• Garanties sur plusieurs têtes : le versement de la prestation est garanti au cas où soit la première(Joint Life First Death - JLFD), soit la dernière tête décède (Joint Life Last Survivor - JLLS).

• Garantie pour enfants : offre une couverture supplémentaire pour les enfants de l’assuré.

• Services complémentaires : favorisation de la technologie et du mode de vie ayant un effet positifsur la santé de l’assuré par la réduction des primes. La proposition d’un suivi psychologique et unsecond avis médical sont également répandus dans le cas de la garantie CI.

Faculté de rachat

En outre, une police d’assurance est un contrat établi entre deux parties, le souscripteur et l’assureur,qui détermine les engagements des deux parties. Il est donc envisageable qu’une des parties souhaitecesser ses obligations. Le rachat est une option permettant de mettre fin aux engagements des deux par-ties. Dans le cas de l’assurance décès et maladies redoutées l’assureur a l’obligation de verser la part desprimes encaissées au début de la période qui n’était pas encore investie pour la couverture du risquesous-jacent. Cependant le contrat peut prévoir une pénalité sur les remboursements pendant les pre-mières années en cas de rachat. On peut distinguer le rachat total ou partiel des fonds placés par lesouscripteur.

1.1.2 Réassurance de l’assurance décès et maladies redoutées

La réassurance est une transaction par laquelle le réassureur accepte d’indemniser la compagnie réassu-rée (la cédante) contre une partie ou la totalité de la perte que la compagnie pourrait subir à travers lescontrats d’assurance qu’elle a souscrit. Autrement dit, la réassurance est l’assurance de l’assurance.

La réassurance permet aux compagnies d’assurance de transférer le risque, de lisser les résultats à traversla réduction de l’impact des pertes, de répondre aux contraintes réglementaires de solvabilité, de recevoirde l’expertise et des conseils concernant la gestion des produits d’assurance ou de la gestion des risquesou de compenser les coûts d’acquisition trop importants.

Dans le cas où le réassureur a recours à la réassurance, on parle de la rétrocession.

Contrats de réassurance

On distingue quatre grands types de contrats en réassurance :

• Le traité de réassurance permet de réassurer la totalité d’un groupe de polices, voir d’un porte-feuille sans distinction particulière.

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• Le traité facultatif obligatoire (facob) permet à l’assureur de céder une partie des polices d’assu-rance facultativement, contrairement au réassureur qui a l’obligation d’accepter les contrats d’as-surance cédés.

• La réassurance facultative permet de céder des polices d’assurance spécifiques sous des condi-tions particulières. Le réassureur n’a pas l’obligation de l’accepter comme la cédante ne doit pasobligatoirement les céder.

• Les titres financiers liés à l’assurance (Insured Linked Securities - ILS) sont des contrats de réas-surance alternative. Ils sont définis comme des instruments financiers dont la valeur est corréléeavec la probabilité de réalisation des événements assurables résultant une perte à l’assureur.

Dans le cadre de ce mémoire, on va parler des portefeuilles des assurances décès et maladies redoutéesqui sont cédés sous forme de traités.

Structure de réassurance

Une autre possibilité de distinction des types de réassurance se fait selon sa structure :

• La réassurance proportionnelle consiste à partager proportionellement les engagements pris parl’assureur et le réassureur au niveau des primes et des sinistres. Les deux méthodes de réassuranceproportionelle sont :

— Le quote-part (quota-share - QS) permet de partager un pourcentage équivalent des primeset des sinistres du portefeuille entre la cédante et le réassureur.

— L’excédent de pleins (surplus share - SS) permet au réassureur de n’intervenir que dans le casdes sinistres qui dépassent un certain seuil prédéfini - appelé plein de rétention. Les primeset les sinistres sont partagés selon ce ratio.

• La réassurance non-proportionnelle permet au réassureur d’intervenir au-delà d’un certain seuilde la perte des cédantes pour un pourcentage des primes en contrepartie. On distingue deux typesde réassurance non-proportionnelle :

— L’excédent de sinistre (excess of loss - XL) offre la possibilité de déterminer un seuil d’inter-vention par sinistre (la priorité) et une limite d’intervention (la garantie) du réassureur. Ondistingue le XL par risque et le XL par événement.

— L’excédent de perte (stop-loss - SL) permet de fixer un seuil d’intervention du réassureur enfonction d’un pourcentage de la prime jusqu’à une certaine limite (également déterminée enfonction de la prime).

En pratique, il se peut que plusieurs structures soient utilisées sur le même portefeuille (par exemple, onpeut appliquer un excédent de perte sur la partie retenue de l’excédent de plein par l’assureur).

En réassurance vie, les réassurances proportionnelles sont les plus couramment utilisées. Chez Part-nerRe, la plupart des traités comportant des assurances décès et maladies redoutées sont en quote-part.Comme mentionné, on va reprendre un pourcentage des primes et des sinistres de la cédante.

1.2 Notations actuarielles

L’objectif de cette section est l’introduction des notations et hypothèses actuarielles qui vont nous servirdans la suite. On présentera les formules dans le cas de la mortalité. Cependant elles peuvent facilementse transmettre sous forme des probabilités de morbidité.

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Soit T ∈ R+ la variable aléatoire désignant la duré de survie des individus à la naissance. Notons x l’âgede l’individu avec x ∈R+. Soit Fx la fonction de répartition conditionnelle au fait que l’individu est en vieà l’âge x de la variable aléatoire T :

Fx (t ) =P(T ≤ x + t |T > x) =t qx .

Lorsque la densité fx (t ) de Fx (t ) existe, on a :

fx (t ) = d

d tFx (t ).

Notons Sx la fonction de survie conditionnelle de la variable aléatoire T au fait que l’individu d’âge x estvivant :

Sx (t ) = 1−Fx (t ) = 1−P(T ≤ x + t |T > x) =P(T > x + t |T > x) =t px .

La densité de survie conditionnelle sx (t ) s’écrit :

sx (t ) = d

d tSx (t ) = d

d t(1−Fx (t )) =− fx (t ).

Par convention, 1qx = qx et 1px = px . Par définition, on a t px +t qx = 1.La fonction de survie instantanée, notée µ est définie comme :

µx = fx (t )

Sx (t )=−

dd t Sx (t )

Sx (t ).

Dans la suite, on pose x ∈N, t ∈N. Notons lx le nombre de personnes vivantes à l’âge x. Soit dx le nombrede personnes décédées pendant la même période. Ainsi :

t px = lx+t

lxet t qx = lx − lx+t

lx.

Cependant, on sera également intéressé par les taux d’incidence infra-annuels. A ce but on propose deuxhypothèses de passage 3 du cas continu au discret :

• On applique une interpolation linéaire du nombre des survivants entre deux âges consécutifs, au-trement dit on constate une distribution uniforme des sorties sur [x, x +1). Soit s ∈ (0,1), alors :

lx+s = (1− s)× lx + s × lx+1.

• On applique une interpolation exponentielle du nombre des survivants entre deux âges consécu-tifs, autrement dit la force de mortalité est constante entre deux âges consécutifs. Soit s ∈ (0,1),alors :

lx+s = (lx )1−s + (lx+1)s .

3. Nota bene, il existe également l’hypothèse de Balducci qui ne va pas être détaillée dans le cadre de ce mémoire. Dans ce cas-là,on estime les taux d’incidence infra-annuels à l’aide d’une interpolation hyperbolique entre deux âges consécutifs. Autrement dit :

lx+s =[

1−slx

+ slx+1

]−1avec s ∈ (0,1).

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Linéaire Exponentielle

s px 1− s ×qx (px )s

s qx s ×qx 1− (1−qx )s

1−s px+spx

1−s×qx(px )1−s

1−s qx+s(1−s)×px1−s×qx

1− (1−qx )1−s

Lx lx − 12 dx

dx− ln(px )

mxqx

1− 12 qx

− ln(px )

TABLE 1.1 – Taux d’incidence infra-annuels

Ainsi les probabilités d’incidence infra-annuelles selon les deux hypothèses présentées ci-dessus sont re-groupées dans la table 1.1. Lx désigne le nombre moyen des personnes vivantes dans l’intervalle [x, x+1).En suivant la même logique, on peut également déterminer le taux moyen d’incidence dans l’intervalle[x, x +1), noté mx tel que :

mx = dx

Lx.

Ainsi, on peut distinguer deux approches de modélisation des taux d’incidence :

• les taux d’incidence de style q (q-style incidence rates) sont les taux d’incidence déterminés audébut de la période considérée,

• les taux d’incidence de style m (m-style incidence rates) sont les taux d’incidence déterminés commela moyenne sur la période considérée.

1.3 Méthode de modélisation de la sinistralité de PartnerRe

Avant de procéder à l’estimation des taux d’incidence de mortalité et de morbidité, il est essentiel decomprendre la méthode de modélisation des produits de prévoyance de long-terme adoptée par Part-nerRe. Ainsi, on va présenter le Modèle de Prévoyance de Long-Terme (Long-Term Protection Model -LTPM) de la compagnie dans les sections suivantes.

Le LTPM est un modèle qui permet de représenter l’évolution de la sinistralité à l’aide des chaînes deMarkov. Il est notamment utilisé pendant la procédure de tarification et de valorisation des contrats d’as-surance décès et maladies redoutées. Son objectif est l’évaluation correcte des garanties de prévoyanceen fonction de la sinistralité estimée des assurés. Dans ce cadre, on va considérer des couvertures à uneou deux têtes qui offrent des prestations en cas de survenance d’un ou plusieurs sinistres. On considèrequ’un sinistre survient si au moins un des deux assurés a subi un sinistre : maladie redoutée ou décès.Autrement dit, en cas des garanties sur deux têtes, on va raisonner en JLFD.

Des rappels sur les chaînes de Markov sont présentés en annexe du mémoire (cf. Annexe A). Dans le casde ce modèle on va considérer un nombre fini d’états S : en bonne santé, CI, rachat et décès. On va noterla matrice de transition P = [p(h, s)]h∈S

s∈S. Dans la suite du chapitre, on va noter qx le taux de mortalité et

ix le taux de morbidité.

Dans les sections suivantes, on va présenter comment les assurés passent entre les états dans le cadre du

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LTPM pour les polices sur une tête avec un ou plusieurs types de sortie possibles. Ensuite, on élargira lemodèle sur deux têtes avec plusieurs sorties.

1.3.1 Garantie LIFE

La probabilité de sortie de la garantie temporaire décès est équivalente au taux de mortalité en consi-dérant deux éléments dans l’espace S : Bonne santé (1) et Décès (2). La matrice de transition P est telleque :

P =(

p(1,1) p(1,2)p(2,1) p(2,2)

)=

(1−qx qx

0 1

).

La première ligne représente le passage de l’état Bonne santé : avec une probabilité de transition de 1−qx en Bonne santé et de qx en Décès à la période suivante. La deuxième ligne décrit les probabilités detransition de l’état Décès : évidemment, on a une probabilité de maintien égale à 1. Cet état s’appellepoint absorbant.

1.3.2 Garantie CI-STA

La matrice de transition de la garantie CI-STA est similaire à celle du LIFE. L’espace d’état S contient deuxéléments : Bonne santé (1) et CI (2). Son point absorbant est l’état CI. Sa matrice de transition est telleque :

P =(1− ix ix

0 1

).

1.3.3 Garantie CI-ACC

Dans ce modèle, on considère un espace S composé de trois éléments : Bonne santé (1), CI (2) et Décès(3). La matrice de transition se représente comme suit :

P =p(1,1) p(1,2) p(1,3)

p(2,1) p(2,2) p(2,3)p(3,1) p(3,2) p(3,3)

=1− (ix +qx ) ix qx

0 1−qC Ix qC I

x0 0 1

qC I

x représente la probabilité de décès sachant que le diagnostic d’une maladie redoutée a eu lieu chezl’assuré. Pour des raisons de manque d’information PartnerRe considère que qC I

x = qx . Cette chaîne deMarkov peut être graphiquement représentée comme sur la figure 1.1.

Garantie CI-ACC avec plusieurs états de maladies redoutées possibles

Le modèle précédent décrit un contrat qui couvre les assurés suite à la survenance du premier sinistre.Cependant, on pourrait envisager un modèle où les CI sont distinguées selon quelques propriétés commela gestion des sinistres, le type de financement ou les taux d’incidence appliqués. Ainsi, on se retrouve

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Bonne santé CI

Décès

ix

qx qC Ix

1− (ix +qx ) 1−qC Ix

FIGURE 1.1 – Chaîne de Markov de la garantie CI-ACC

avec un espace S se composant de cinq éléments : Bonne santé (1), CI - type 1 (2), CI - type 2 (3), CI - type1&2 (4) et Décès (5).

Soit i jx , j ∈ 1,2 la probabilité de passer à l’état d’un des deux types du CI. On note i 1

x ∧ i 2x la probabilité

que les deux CI interviennent au même moment. De plus, on considère qu’il existe un seul taux pour lamortalité quelque soit l’état de départ. En complément on suppose que pour tout n ≥ 0 :

P(Xn+1 = 4|Xn = 2) = i 2x

P(Xn+1 = 4|Xn = 3) = i 1x .

Par conséquent, la matrice de transition est telle que :

P =

1− (i 1

x + i 2x − i 1

x ∧ i 2x +qx ) i 1

x − i 1x ∧ i 2

x i 2x − i 1

x ∧ i 2x i 1

x ∧ i 2x qx

0 1− (i 2x +qx ) 0 i 2

x qx

0 0 1− (i 1x +qx ) i 1

x qx

0 0 0 1−qx qx

0 0 0 0 1

.

La chaîne de Markov de cette garantie est graphiquement représentée sur la figure 1.2.

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Bonne santé

CI - type 1 CI - type 2

CI - type 1&2 Décès

i 1x − i 1

x ∧ i 2x i 2

x − i 1x ∧ i 2

x

qxi 1x ∧ i 2

x

qxi 2

x i 1x

qx

qx

1− (i 1x + i 2

x − i 1x ∧ i 2

x +qx )

1− (i 1x +qx )1− (i 2

x +qx )

1−qx

FIGURE 1.2 – Chaîne de Markov de la garantie CI-ACC avec plusieurs états de maladies redoutées

Prise en compte du rachat

En plus du décès et des maladies redoutées, les assurés peuvent également sortir par rachat de leurcontrat. Le LTPM prend en considération le rachat total des contrats au niveau de la police, indépen-damment de l’état des assurés. On peut étendre la matrice de transition présentée sur la page précédentecomme suit :

Q =

1− (i 1x + i 2

x − i 1x ∧ i 2

x +qx ) i 1x − i 1

x ∧ i 2x i 2

x − i 1x ∧ i 2

x i 1x ∧ i 2

x qx 00 1− (i 2

x +qx ) 0 i 2x qx 0

0 0 1− (i 1x +qx ) i 1

x qx 00 0 0 1−qx qx 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

.

Les sixièmes ligne et colonne représentent l’état du rachat, cependant la transition vers ce nœud estimpossible pour le moment. En prenant l’hypothèse que la probabilité de rachat est indépendante des

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autres états, les transitions en état de rachat sont déterminées par :

L =

1− lx 0 0 0 0 lx

0 1− lx 0 0 0 lx

0 0 1− lx 0 0 lx

0 0 0 1− lx 0 lx

0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

.

Afin de retrouver la matrice de transition finale P , on combine Q et L en fonction de la survenue durachat pendant la période :

• si on suppose que les rachats surviennent au début de la période : P =Q ×L,

• sinon : P = L×Q.

Prise en compte des sinistres historiques

Certaines transitions des modèles présentés ci-dessus généreront des sinistres et donc des mouvementsdes flux de prestations. Ce paragraphe présente comment on peut intégrer le calcul du volume des si-nistres attendus à chaque période. Afin de simplifier les expressions, on va supposer que les taux d’ac-tualisation sont nuls.

On admet deux hypothèses :

1. Chaque type de sinistres peut survenir une seule fois pendant la durée du contrat. Par conséquent,une fois que la transition a eu lieu, l’assuré ne peut jamais retourner à l’état précédent.

2. Pour qu’on puisse modéliser la garantie CI-ACC, on doit considérer quatre types de prestations :

• soient cC Ii avec i ∈ 1,2,12 les prestations en cas du diagnostic d’une des deux ou des mala-dies redoutées,

• soit cD le capital unique versé au bénéficiaire suite au décès de l’assuré.

Nota bene, même en cas du diagnostic d’une maladie redoutée le réassureur verse un capital unique à lacédante.

La prestation sera générée par la transition vers un nouvel état et non pas par le maintien dans un état. Deplus, étant donné que le montant des prestations est déterminé au moment de la conclusion du contrat,elles sont connues en avance et le volume des sinistres attendus dans une période est égal au montantde la prestation multipliée par la probabilité que le sinistre survienne.

Autrement dit, si on reprend l’exemple de la garantie CI-ACC avec plusieurs types de maladies redoutées,le montant de la prestation attendue pour tout j , s ∈ S et pour tout n ≥ 0 est tel que :

E(Cn+1) =P[Xn = s]p( j , s)c( j , s)>

avec

C =

0 cC I1 cC I2 cC I12 cD 00 0 0 cC I12 cD − cC I1 00 0 0 cC I12 cD − cC I2 00 0 0 0 cD − cC I12 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

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où Cn+1 est une variable aléatoire du volume des sinistres attendus, P[Xn = s] est un vecteur ligne desprobabilités, p( j , s) est l’élément de la j -ème ligne et de la s-ème colonne de la matrice de transition Ptenant compte du rachat et c( j , s) représente le montant de la prestation en passant de l’état j à s.

Assurance sur deux têtes

Pour pouvoir implémenter un modèle des chaînes de Markov en considérant une garantie JLFD, on posedeux hypothèses :

1. l’occurrence des sinistres est indépendante pour les deux têtes,

2. l’état de la police est modélisé séparément par tête, mais le rachat total est calculé au niveau ducontrat.

Dans cette section, on va noter X t t≥0 et Yt t≥0 les processus aléatoires représentant l’état des deux têtesau moment t . Soit Qx et Q y les deux matrices de transition correspondantes. Soient Zt t≥0 le processusaléatoire désignant l’état de la police et P z la matrice de transition de ce processus. Donc le processusZt est la combinaison du processus X t , Yt et l’état du rachat ce qui résulte en 3×3+1 = 10 états au totalpour la garantie CI-ACC avec une seule prestation. La matrice de transition Qz est définie dans l’annexe.La matrice du rachat est telle que :

L =

1− lx 0 0 0 0 0 0 0 0 lx

0 1− lx 0 0 0 0 0 0 0 lx

0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1− lx 0 0 0 0 0 lx

0 0 0 0 1− lx 0 0 0 0 lx

0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1

.

Dans le cas de la prise en compte du volume des sinistres, il faut prêter attention au fait que les presta-tions ne soient pas réclamées deux fois. La matrice des flux de prestations C pour les garanties JLFD &CI-ACC est telle que :

C =

0 cC I cD cC I cC I cD cD cD cD 00 0 cD − cC I 0 0 cD − cC I 0 0 cD − cC I 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 cD − cC I cD − cC I cD − cC I cD − cC I 00 0 0 0 0 cD − cC I 0 cD − cC I cD − cC I 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

.

Finalement, le volume de la prestation attendue pour tout j , s ∈ S et pour tout n ≥ 0 est tel que :

E(Cn+1) =P[Zn = s]p( j , s)c( j , s)>

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où P[Zn = s] est un vecteur ligne des probabilités.

1.3.4 Limites du LTPM

Comme il a été présenté dans les sections précédentes, on a abouti à des matrices de transition uniquessous certaines hypothèses. Cependant ces assomptions prises ont également leurs limites et ne sont pasforcément vérifiées dans la vie réelle.

Dans le cas des garanties CI-ACC, le fait que le LTPM utilise un seul type de taux de mortalité ne reflètepas la réalité car par intuition, il est plus probable de décéder en ayant une maladie redoutée (par ladéfinition de cette dernière) qu’en étant en bonne santé. Néanmoins, il est également envisageable de serétablir d’une telle maladie, ce qui n’est non plus prévu par le modèle.

De même, au niveau des garanties JLFD, on a admis l’indépendance de l’occurrence des sinistres sur lesdeux têtes alors qu’il est très répandu entre les assureurs de proposer au souscripteur une diminution dutaux de la prime de risque dans ce cas (entre 1%-10% en général) ce qui contredit à l’hypothèse.

1.4 Contexte réglementaire : la directive Solvabilité II

Solvabilité II est une directive prudentielle européenne entrée en vigueur le 1 janvier 2016 (Parlementeuropéen et du Conseil du 25 novembre 2009). Elle est appliquée aux assureurs et aux réassureurs. Sesobjectifs sont :

• d’harmoniser les méthodes de mesure de fonds propres et le niveau du capital requis entre les payseuropéen,

• de prendre en compte une palette de différents risques la plus élargie possible dans le cadre del’évaluation de la solvabilité globale de l’entreprise,

• d’inciter les organismes à évaluer, surveiller et contrôler leurs risques

• et d’améliorer la transparence par communication au public et à l’Autorité de Contrôle.

Ces objectifs doivent être appliqués selon le principe de proportionnalité. La directive se compose detrois piliers principaux :

1. Le premier pilier permet de déterminer les exigences quantitatives par la construction d’un bilanprudentiel qui détermine le niveau des actifs et des passifs. Il détaille les méthodes d’évaluation deséléments du bilan prudentiel et les modèles et estimations des capitaux requis pour rester solvable.

2. L’objectif du deuxième pilier est la définition des exigences qualitatives afin d’assurer que la com-pagnie possède un système de gouvernance, des contrôles et une gestion des risques adéquatepour évaluer, surveiller et contrôler ses risques. Il se concentre également sur l’harmonisation descontrôles externes au niveau européen.

3. Le troisième pilier assure la transparence des organismes appliquant la directive à travers la de-mande de rédaction de rapports dédiés au public et à l’Autorité de Contrôle.

Dans la suite, on va focaliser la présentation sur les exigences quantitatives, autrement dit sur le premierpilier.

20


1.4.1 Structure du bilan prudentiel

Le bilan prudentiel de la directive Solvabilité II - comme les bilans comptables en général - décrit ce quel’entreprise possède, appelé l’actif et ce qu’elle doit, nommé le passif.

Sous la directive Solvabilité II, les actifs doivent être évalués en juste valeur (fair value). La juste valeur estéquivalente à la valeur de marché s’il existe (approche mark to market). Sinon la juste valeur sera donnéepar des modèles d’évaluation (approche mark to model).

Les passifs peuvent être classés en quatre catégories :

• Le Best Estimate des provisions techniques est la meilleure estimation des engagements de l’as-sureur (ou du réassureur) qui est une moyenne pondérée probable des flux futurs de trésorerieactualisés avec la courbe des taux sans risque applicable à la date d’évaluation. Les paramètres decalcul doivent être choisis de manière à refléter la réalité et les hypothèses de calcul nécessitentdes justifications actuarielles et statistiques adéquates.

• Le Solvency Capital Requirement (SCR) se traduit comme le capital de solvabilité requis et cor-respond au niveau des fonds propres que la compagnie d’assurance devra détenir pour limiter saprobabilité de ruine à 0,5% sur un an. L’European Insurance and Occupational Pensions Authority(EIOPA) propose une formule prédéterminée pour l’évaluation de ce type de capital requis. Toute-fois, la directive permet aux assureurs et aux réassureurs d’opter pour une méthode de calcul quicorrespond le mieux à leur profil : les modèles internes qui doivent être approuvés par le régula-teur.

• Le Minimum Capital Requirement (MCR), traduit par le capital minimum requis correspond aumontant minimum des fonds propres requis . Dans le cas où la compagnie possède un capitalinférieur au montant du MCR, une intervention prudentielle aura lieu.

• La marge de risque (Risk Margin) est équivalente au coût du transfert des engagements de l’assu-reur (ou du réassureur) à un tiers dans le cas où l’assureur (ou le réassureur) fait faillite.

FIGURE 1.3 – Bilan prudentiel sous la directive Solvabilité II

21


1.4.2 Capital de solvabilité requis

Dans le cadre de la formule standard proposée par l’EIOPA, le capital de solvabilité requis (SCR) est lemontant des fonds propres nécessaire pour faire face à ses engagement dans 99,5% des cas sur un an.Dans le cadre de la formule standard, on associe un besoin en capital à chaque source de risque (cf.figure 1.4), puis on les agrège à l’aide de matrices de corrélation décrivant la dépendance entre risques.

En cas du produit d’assurance décès et maladies redoutées on est concerné par les modules de risquesde marché, de défaut, de la souscription vie et les risques intangibles au niveau de la base du capital desolvabilité requis (BSCR). Puis, on ajuste le montant du BSCR par le SCR opérationnel et en fonction de lacapacité d’absorption des provisions techniques et des impôts différés. Le montant final, le SCR va êtrecomparé au montant des fonds propres économiques détenus par la compagnie.

Au service Life Reserving and Economic Reporintg dans le cadre du traitement des produits d’assurancede décès et maladies redoutées, on est directement concerné notamment par le calcul des sous-modulesSCR souscription vie :

• le risque de mortalité,

• le risque d’invalidité et/ ou de morbidité,

• le risque de frais,

• le risque de rachat

• et le SCR catastrophe regroupant les risques de l’accident de masse, de la concentration d’acci-dents et la pandémie.

FIGURE 1.4 – Sources de risques jouant dans le calcul du capital de solvabilité requis

22


1.4.3 Best Estimate Liabilities

Dans le cadre de ce mémoire on va se concentrer sur l’évaluation des provisions techniques en Best Esti-mate - appelées également les Best Estimate Liabilities (BEL) - qui correspond à la moyenne pondérée etprobabilisée des flux futurs de la trésorerie compte tenu du marché financier. La formule générale s’écritainsi :

BEL =n∑

t=0

Flux sortants probabilisést −Flux entrant probabilisést

(1+ r (m)t )t

où t est un pas de temps mensuel et r (m)t est le taux d’actualisation mensuel sans risque. n est déterminé

comme la dernière période où l’assureur ou le réassureur détient des engagements. Les flux sortants dela compagnie calculés par nombre des contrats en vigueur sont les sinistres payés, les commissions dela réassurance, les coûts liés au courtage, à la gestion et au fonctionnement. Les flux entrants prennenten compte les primes souscrites. Notez bien que les flux listés précédemment doivent être probabilisésafin de tenir compte de l’incertitude de leur réalisation. Ils sont évalués en tant que flux bruts de rétro-cession 4.

Le taux d’actualisation choisi est celui d’EIOPA. En accord avec la directive Solvabilité II, ce taux sansrisque construit sur la base des taux de swaps peut être utilisé afin de calculer la meilleure estimation desengagements de l’assureur (ou du réassureur).

Comme mentionné dans la section précédente, les paramètres du calcul des Best Estimate Liabilitiesdoivent être choisis de manière à refléter la réalité et les hypothèses de calcul nécessitent des justifica-tions actuarielles et statistiques. Dans le cas des assurances décès et maladies redoutées, la probabilisa-tion des flux d’entrées et de sorties pour le calcul du BEL se fait en utilisant des hypothèses biométriquesde mortalité, de morbidité et des hypothèses du rachat. Ce qui conduit au sujet du deuxième chapitre dumémoire : la construction des hypothèses biométriques pour le produit d’assurance décès et CI. Il s’agitnotamment de chercher à déterminer la meilleure estimation des taux d’incidence en fonction des obser-vations historiques et des taux d’incidence de référence (benchmarks), ainsi que de valider et comparerles approches proposées à travers une analyse statistique et du calcul des BEL.

4. C’est le cas particulier de la réassurance. En assurance, les flux doivent être valorisés en brut de réassurance.

23

Chapitre 2

Positionnement des tables de mortalitéet de morbidité

L’objectif du chapitre est la construction des hypothèses Best Estimate pour les garanties décès et ma-ladies redoutées. Il s’agit notamment de l’estimation des taux d’incidence conditionnels à travers deuxapproches afin de les intégrer dans l’évaluation des provisions réglementaires sous la directive SolvabilitéII.

Dans un premier temps, on va présenter les données utilisées pour l’étude. Ensuite, on va estimer lestaux bruts de mortalité et de morbidité en implémentant deux estimateurs différents : l’estimateur deHoem et l’estimateur de Kaplan-Meier. Puis, on ajustera les tables d’incidence de référence selon troisméthodes : la méthode de Standardized Mortality Ratio (SMR), la version semi-paramétrique du modèlede Brass et le modèle linéaire généralisé (GLM) de Poisson. Il faut également envisager l’application d’uneméthode de fermeture de table suite à un manque d’observations aux grands âges dans le cas du risquede décès : une variante de la méthode de fermeture de Denuit & Goderniaux. La qualité des ajustementssera quantifiée avec l’aide de plusieurs métriques, de tests et en analysant les résidus. Enfin, les tablesd’incidence ainsi construites vont être utilisées pour la projection des flux du passif et le calcul des BestEstimate Liabilities.

2.1 Présentation des données

Les informations à exploiter proviennent de deux bases de données séparées : celle des primes et celledes sinistres. Ces données sont nettoyées mensuellement par l’Inforce Management. Dans un premiertemps, on va présenter les données du portefeuille (également appelé base de données primes), puisle contenu de la base de données des sinistres et finalement les tables d’incidence de mortalité et demorbidité de référence à l’aide desquelles on va ajuster les taux bruts estimés.

On limite les données à fin 2016. Afin d’éviter la non-prise en considération des sinistres déclarés maisnon encore liquidés et les sinistres encourus mais non encore déclarés, on exclut l’étude de l’année 2017.De plus, après avoir effectué une étude sur les délais de déclaration et de règlement, on peut supposer

24

CHAPITRE 2. POSITIONNEMENT DES TABLES DE MORTALITÉ ET DE MORBIDITÉ

que toutes les informations concernant la sinistralité sont disponibles avant 2016 dans le cas des deuxtraités qui vont être utilisés pour l’étude. En outre, tous les calculs ont été effectués sur la base des porte-feuilles bruts de rétrocession.

2.1.1 Choix de la segmentation du portefeuille

La segmentation du portefeuille selon les différents critères permet de détecter les particularités des tauxde mortalité et/ ou de morbidité selon les segments choisis. Dans le cas général, on y trouve la segmen-tation selon le sexe, le statut fumeur/ non-fumeur et la catégorie socio-professionelle. Il faut soulignerque la segmentation par sexe est interdite dans le cas de la tarification des contrats d’assurance suite à ladécision de la Cour de Justice de l’Union Européenne depuis le 21 septembre 2012.

Suite à la quantité de données restreinte, PartnerRe a choisi de ne segmenter les portefeuilles que selon lesexe et le statut fumeur des assurés en prévoyance de long-terme. Ainsi, on distinguera quatre catégoriesdans la suite : une population féminine non-fumeur (FN), féminine fumeur (FS), une population mascu-line non-fumeur (MN) et masculine fumeur (MS). Pourtant il serait intéressant d’effectuer une analyseplus détaillée selon d’autres segmentations possibles comme le type du montant réassuré (LTA, DTA,ITA ou FIB), les causes de décès et de maladies redoutées, le montant des capitaux réassurés, le niveaud’invalidité (Own TPD ou Any TPD) ou l’existence d’une surprime.

2.1.2 Base de données primes

Comme mentionné, l’évaluation de l’information contenue des portefeuilles en réassurance vie est géréepar l’Inforce Management sur une plate-forme dédiée à ce but, nommée Life Administration Platform(LAP). L’implémentation des données envoyées par la cédante est supervisée par le service Life Reservingand Economic Reporting de PartnerRe. LAP est accessible par tous les actuaires de l’équipe sans qu’il soitnécessaire de nettoyer les données avant toutes les utilisations.

D’une part ces bases de données - appelées également bordereaux - contiennent les caractéristiques desassurés. Les plus importants sont :

• la date de naissance,

• le sexe (M pour homme et F pour femme)

• et le statut fumeur (N pour non-fumeur et S pour fumeur).

D’autre part, les informations sur les polices d’assurance peuvent également se retrouver :

• le numéro de la police et de la cédante,

• la date du début et de la fin du contrat,

• la date de sortie,

• en cas de primes nivelées, le montant annuel de la prime et les chargements appliqués,

• en cas de primes de risque, le nom des tables des taux de risque de primes et les chargementsappliqués,

• les autres chargements utilisés pour l’ajustement des taux de morbidité et de mortalité,

• le type de la garantie et le nombre de têtes (ré)assurés

• et le type de structure, de fréquence et les taux d’augmentation des montants assurés et réassurés.

25


Traité A Traité BPays Royaume-Uni Royaume-UniGarantie LIFE CI-STAAnnée d’ouverture du traité 2009 2005Année de fermeture du traité - 2009Nombre d’assurés présents 311 090 143 461TPD Non NonType de prestation LTA ou DTA LTA ou DTAType de prime Nivelée De risqueRépartition hommes/femmes 52%/48% 51%/49%Répartition fumeur/non-fumeur 18%/82% 21%/79%Âge moyenne à l’entrée - FN 40,46 34,22Âge moyenne à l’entrée - FS 39,77 34,51Âge moyenne à l’entrée - MN 43,40 35,22Âge moyenne à l’entrée - MS 40,42 34,86Âge moyenne à la sortie - FN 45,21 36,96Âge moyenne à la sortie - FS 44,05 36,64Âge moyenne à la sortie - MN 48,14 37,95Âge moyenne à la sortie - MS 44,67 36,90Exposition moyenne - FN 4,76 4,83Exposition moyenne - FS 4,29 4,26Exposition moyenne - MN 4,74 4,83Exposition moyenne - MS 4,26 4,17Âge minimale le 31/12/2016 21 27Âge maximale à la maturité du contrat 91 64

TABLE 2.1 – Statistiques relatives à la base de données primes

Puis des variables supplémentaires ont été crées à partir de ces informations comme :

• la date du début et de la fin d’exposition,

• l’âge des assurés au début et à la fin de l’exposition

• et l’ancienneté du contrat au début et à la fin de l’exposition.

Nota bene, les polices sur plusieurs têtes ont été retraitées d’une façon qu’elles soient présentées sur deuxlignes séparées afin de pouvoir traiter les risques d’une façon adéquate. Ainsi la base de données finalepossède autant de lignes que de têtes. Par abus de langage, le contrat ou police d’assurance désigneraune ligne du portefeuille dans la suite.

Les statistiques relatives aux âges et expositions des traités - qui vont être utilisées pour l’application desméthodes décrites dans la suite - sont présentées ci-dessus (cf. table 2.1). Le Traité A est encore ouvert,ainsi la souscription des nouveaux contrats est envisageable. Cependant on ne considérera que l’in-forcebusiness 1 à la date d’évaluation, surtout qu’on observe une diminution du nombre de nouvelles sous-criptions d’année par année. Le Traité B est déjà fermé : il s’agit d’un portefeuille en run off 2. Il faut

1. In-force business : contrats d’assurance en vigueur.2. Run off : système d’expiration naturelle des polices (ré)assurées.

26


également souligner que ces portefeuilles regroupent une population relativement jeune avec peu d’ex-position au-dessus de 75 ans dans le cas du Traité A. Dans le cas du Traité B, les garanties CI-STA ne sontpas réassurées en-dessus de 65 ans (inclus).

2.1.3 Base de données sinistres

La base de données sinistres - alimentée par les informations envoyées par la cédante - provient égale-ment du service Inforce Management. Le document contient des informations liées à la déclaration d’undécès ou d’une maladie redoutée :

• le numéro de la police et de la cédante,

• la date de naissance de l’assuré, son sexe et son statut fumeur,

• la date de survenance du sinistre et la date d’arrivée de l’information chez le réassureur,

• le montant et le type de bénéfice payée par l’assureur,

• la cause du sinistre

• et le statut de la déclaration : refusé, accepté ou en cours.

A partir des variables fournies on crée des nouvelles :

• l’année de survenance du sinistre,

• l’âge de l’assuré au moment de la survenance,

• le retard de déclaration en mois qui représente la différence entre la date de survenance et la dated’arrivée de l’information chez le réassureur

• et le type du risque déclaré : mortalité ou morbidité.

Les statistiques descriptives relatives aux deux traités concernant la sinistralité sont présentées ci-dessous(cf. table 2.2). Dans le cas du Traité A, la première cause de sortie est le cancer avec 51% des cas, ladeuxième cause est les maladies cardio-vasculaires avec 14% et on a les suicides et les blessures auto-infligées dans 5% des cas. Les motifs les plus fréquents cont le cancer avec 56%, les maladies cardio-vasculaires avec 16% et la sclérose en plaques avec 5% pour le Traité B.

Traité A Traité BPériode 2010-2016 2007-2016Nombre de sinistres 994 1 250Répartition hommes/femmes 55%/45% 50%/50%Répartition fumeur/non-fumeur 13%/87% 25%/75%Âge moyenne au moment du sinistre - FN 54,34 41,66Âge moyenne au moment du sinistre - FS 56,30 42,69Âge moyenne au moment du sinistre - MN 56,43 42,77Âge moyenne au moment du sinistre - MS 53,90 42,74Ancienneté moyenne au moment du sinistre - FN 2,93 4,30Ancienneté moyenne au moment du sinistre - FS 3,04 4,61Ancienneté moyenne au moment du sinistre - MN 2,87 4,55Ancienneté moyenne au moment du sinistre - MS 2,86 4,47

TABLE 2.2 – Statistiques relatives à la base de données sinistres

27


FIGURE 2.1 – Exposition versus nombre d’inci-dences - Traité A

FIGURE 2.2 – Exposition versus nombre d’inci-dences - Traité B

En s’appuyant sur les statistiques descriptives détaillées et les figures présentées (cf. figures 2.1, 2.2), onse limite aux plages d’âges déterminées dans la table 2.3. Plus précisément, on va utiliser les donnéesdisponibles à ces plages d’âges pour ajuster les taux d’incidence de mortalité et de morbidité pour tousles âges. La limitation est justifiée par un nombre restreint des données en dehors de ces intervalles.Évidemment, on ne peut pas seulement se limiter au positionnement des tables de référence aux four-chettes définies ci-dessous car dans le cas du calcul des Best Estimate Liabilities on doit tenir compte desprobabilités de décès jusqu’à l’âge atteint à la sortie qui est de 91 ans pour le Traité A et de 64 ans pour leTraité B.

Traité FN FS MN MSTraité A 20-75 20-68 20-75 20-68Traité B 20-64 20-64 20-64 20-60

TABLE 2.3 – Plages d’âges retenues pour l’étude de l’ajustement des taux de référence

Sur les figures présentées ci-dessous (cf. figures 2.3, 2.4), on trouve l’âge des assurés à la maturité descontrats qui sont en cours le 31/12/2017 (dernières bases de données des primes utilisées pour le pro-

FIGURE 2.3 – Âge des assurés à la maturité ducontrat - Traité A

FIGURE 2.4 – Âge des assurés à la maturité ducontrat - Traité B

28


jection des flux du passif). En traçant des lignes verticales en fonction des plages d’âges choisies, on voitbien qu’une grande partie des âges à la maturité est prise en compte dans les intervalles d’étude. On re-calcule le poids en nombre et en montant (montant réassuré courant le 21/12/2017) des polices in-forcenon-prise en compte au fur et à mesure dans le futur (cf. table 2.4). Leur poids est en-dessous de 5%. Deplus le poids en montant est encore moins important qu’en nombre. Il faut également mentionner quece sont des calculs bruts qui ne tiennent pas compte de la probabilité de sortie suite aux rachats 3 et audécès ou au diagnostic d’une maladie redoutée. Ainsi, c’est une représentation prudente de la durationrestante des contrats.

Traité Poids en nombre Poids en montantTraité A 4,33% 2,21%Traité B 1,97% 1,52%

TABLE 2.4 – Poids des plages d’âges non-prise en compte pour l’étude

2.1.4 Tables de référence

Les tables de référence - appelées également benchmarks - utilisées pour l’établissement des hypothèsesBest Estimate provient du service de tarification (cf. figures 2.5, 2.6, 2.7 et 2.8). Elles contiennent les tauxde mortalité et de morbidité utilisés pour la tarification des contrats de réassurance. Il s’agit des tablesdu moment qui ont été dérivées à partir des tables réglementaires britanniques, nommées ’08 series éta-blies par le Continuous Mortality Investigation (CMI) : T08 pour la mortalité en cas de garantie décèstemporaire et AC08 pour la morbidité.

Les taux de mortalité sont disponibles entre 12 et 120 pendant que les taux de morbidité ne sont présen-tés que jusqu’à 80 ans. La raison est que le risque CI est réassuré seulement jusqu’à 64 ans. En outre, onconstate qu’entre les âges 12 et 20 les tables de référence ne font pas la différence entre le statut fumeuret non-fumeur quelque soit le type de risque. Ce résultat concorde avec notre intuition que les effets né-fastes de la cigarette ne manifestent qu’à partir d’un certain âge. En moyenne, le taux d’incidence des

3. Le taux de rachat joue un rôle important dans le détermination de la duration. Il est déterminé en fonction de l’ancienneté etle type du montant réassuré du contrat.

FIGURE 2.5 – Taux de mortalité de référence - TraitéA

FIGURE 2.6 – Taux de mortalité logarithmique deréférence - Traité A

29


FIGURE 2.7 – Taux de morbidité de référence -Traité B

FIGURE 2.8 – Taux de morbidité logarithmique deréférence - Traité B

femmes et des non-fumeurs reste en-dessous du taux d’incidence des hommes et des fumeurs (respec-tivement).

2.2 Estimation des taux bruts de mortalité et de morbidité

La première étape de l’ajustement des taux d’incidence à une référence est l’estimation des taux brutsd’incidence. Il existe plusieurs approches différentes. Dans le cadre de cette étude on va présenter deuxestimateurs : l’estimateur de Hoem et l’estimateur de Kaplan-Meier.

Dans la suite, on va adopter les notations définies dans la section 1.2.

2.2.1 Prise en considération des censures et des troncatures

Afin d’estimer les taux bruts, on fixe une fenêtre d’observation [c,C ] qui couvre plusieurs périodes (an-nées). Cependant les contrats d’assurance du portefeuille observé ne sont pas tous entièrement couvertspar l’intervalle choisi. Ainsi la non-prise en considération doit être tenue compte dans le calcul de l’ex-position des portefeuilles. On distingue deux phénomènes qui peuvent affecter nos observations :

• On dit qu’il y a une censure si la variable aléatoire Tx désignant la durée de survie à l’âge x n’estpas observable au-dessus d’une certaine période C . Alors on observe seulement l’incidence s’il aeu lieu avant C . La variable aléatoire Zx désigne la durée de vie future tenant compte de la fenêtred’observations, c’est-à-dire Zx = Tx ∧C .

• On parle de troncature si la variable aléatoire Tx n’est pas observable en-dessous d’une certainepériode c. Contrairement à la censure, dans ce cas on est conscient de l’existence de l’informationpar contre on n’arrive pas à mesurer sa valeur.

Les deux phénomènes sont présentés sur la figure 2.9. Il est sous-entendu que les variables qui ne sontpas observables en dehors de l’intervalle [c,C ], elles ne sont pas prises en compte dans l’étude. Il fautnoter que toutes les variables exprimées en nombre de périodes peuvent être converties en date et viceversa. Ainsi c est égal au 01/01/2010 et C est la 21/12/2016 dans le cas du Traité A.

30


FIGURE 2.9 – Présentation des troncatures et censures

2.2.2 Estimateur de Hoem

L’estimateur de Hoem est un estimateur paramétrique qui permet de prendre en compte les censureset les troncatures dans la procédure de l’estimation des taux bruts. Il consiste à les estimer à l’aide d’unrapport entre le nombre de sorties observées et l’exposition.

Afin d’estimer l’estimateur de Hoem pour un âge x fixé, toutes années d’observation confondues, onnote :

• nx le nombre des individus vivants au début de l’âge x,

• Tx,i , i ∈ 1, ...,nx est une suite des variables aléatoires désignant la durée de survie résiduelle,conditionnelle au fait que l’individu i soit en vie à l’âge x. Autrement dit,Tx,i = Ti − x où Ti estune variable aléatoire désignant la durée de survie de l’assuré i à la naissance,

• l’intervalle (αi ,βi ) avec αi ,βi ∈ [x, x +1] qui est la période pendant laquelle l’assuré i était obser-vable à l’âge x

• et l’indicateur I(Ti≤βi |Ti>αi ) suit une loi de Bernoulli de paramètre βi−αi qx+αi avec βi−αi qx+αi =P(Ti ≤βi |Ti >αi ) =P(Tx,i ≤βi −x|Ti >αi −x).

Par la suite, on admet les hypothèses suivantes :

• Les durées de survie des assurés sont indépendantes deux à deux.

• On approche la probabilité d’incidence dans l’intervalle [αi ,βi ] notée βi−αi qx+αi par βi qx −α i qx .Par l’hypothèse de la répartition uniforme des taux infra-annuels on a βi qx −α i qx = (βi −αi )qx .

• Soit Dx le nombre de décès dans l’intervalle (x, x +1] ainsi Dx = ∑nxi=1 I(Ti≤βi |Ti>αi ) suit une loi bi-

nomiale B(nx ,βi−αi qx+αi ).

Il faut noter que l’approximation des taux de mortalité infra-annuels par l’hypothèse de la répartitionuniforme des décès dans l’année est une hypothèse et n’est sûrement pas un fait établi. En outre, l’hy-pothèse de l’indépendance des durées de survie des assurés n’est pas forcément vérifiée : pensons auxaccidents qui peuvent touchés plusieurs personnes en même temps. Surtout dans le cas où il s’agit d’uncouple possédant une assurance sur deux têtes par exemple. Cependant, on a vu dans la section 2.1.3 que

31


les accidents, comme cause de décès ou de maladies redoutées, n’étaient pas une partie représentativedu portefeuille.

En adaptant les hypothèses présentées, on retrouve l’estimateur des taux bruts qx de Hoem à l’aide de laLoi Faible des Grands Nombres 4 :

qx = Dx∑nxi=1βi −αi

= Dx

Ex

où Ex est l’exposition agrégée des assurés dans l’intervalle (x, x+1] en tenant compte des censures et destroncatures. Il s’agit d’un estimateur convergent et sans biais.

Afin d’évaluer la précision des estimations sur l’échantillon, on va introduire les intervalles de confianceasymptotiques. A l’aide du Théorème Central Limite 5 on a que :

Dx −E(Dx )pV(Dx )

= Ex qx −Ex qx√Ex qx (1−qx )

=√

Ex

qx (1−qx )(qx −qx )

loi−−−−→x→∞ N (0,1).

Par conséquent, l’intervalle de confiance asymptotique de qx à un niveau de confiance 1−α avecα ∈ (0;1)est tel que :

ICα =[

qx +Φ−1(α

2

)√ qx (1− qx )

Ex, qx +Φ−1

(1− α

2

)√ qx (1− qx )

Ex

]où Φ−1 représente la fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite. Le critère de Co-chran indique que la loi binomiale peut être approchée par une loi normale dans le cas où Ex qx > 5 etEx (1− qx ) > 5.

2.2.3 Estimateur de Kaplan-Meier

L’estimateur de Kaplan-Meier introduit par E.L. Kaplan et P. Meier (1958) est un estimateur des taux brutsnon-paramétrique. Il permet d’estimer la fonction de survie des individus qui sont soumis à une censurependant la durée d’observation.

Soit T la variable aléatoire désignant la durée de survie des individus à la naissance. Soit x l’âge desindividus. Afin de retrouver l’estimateur en question, il faut d’abord calculer la fonction de survie notéeS. Soit (τi )i∈1,...,m les âges exactes observées. La probabilité de survie est telle que :

S(τi+1) =P(T > τi+1) =P(T > τi+1,T > τi ) =P(T > τi+1|T > τi )P(T > τi ) =P(T > τi+1|T > τi )S(τi ).

Si on définit pi comme pi = P(T > τi+1|T > τi ), alors S(τi+1) = pi S(τi ). La fonction de survie peut êtreexprimée comme :

S(t ) = ∏i∈1,...,m|τi<t

pi .

4. Loi Faible des Grands Nombres : Soit X1, ..., Xn n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espé-rance commune µ et de variance commune σ2 <∞. On pose Xn = 1

n∑n

i=1 Xi la moyenne empirique. Alors ∀ε> 0, limn→+∞P (|Xn −

µ| > ε) = 0.5. Théorème Central Limite : Soit X1, ..., Xn n variables aléatoires indépendantes, de même loi et de carré intégrables (et non

constantes). Notons µ= E(X1),σ2 =V(X1) avec σ> 0 et Sn =∑ni=1 Xi . Alors Sn−E(Sn )p

V(Sn )= Sn−nµ

σp

nl oi−−−−→

n→∞ N (0,1).

32


Or qi = 1−pi a pour estimateur dini

où di désigne le nombre d’incidences dans l’intervalle (τi ,τi+1] et ni

est le nombre des personnées vivantes à la même période. D’où l’estimateur de Kaplan-Meier :

S(t ) = ∏i∈1,...,m|τi<t

(1− di

ni

)avec ni = ni−1 − di−1 − ci−1 + ti−1 où ci−1 est le nombre de personnes censurées entre (τi−1,τi ], ti−1

est l’effectif des personnes tronquées de même période. L’estimateur de survie de Kaplan-Meier est unestimateur positivement biaisé, autrement dit S(t ) ≤ E(S(τi )) ce qui peu résulter en une sous-estimationdes taux d’incidence conditionnels bruts : qx ≥ E(qx ). De plus, il est convergent et asymptotiquementgaussien.

Afin de construire l’intervalle de confiance de cet estimateur, on rapproche sa variance à l’aide de l’esti-mateur de Greenwood. On pose les hypothèses suivantes :

• les variables ln(1−qi ) sont indépendantes deux à deux 6,

• ni (1−qi ) suit une loi binomiale B(ni ,1−qi ).

L’expression de l’estimateur de la fonction de survie nous permet d’écrire :

ln(S(t )) = ∑i∈1,...,m|τi<t

ln(1− di

ni

)

Dans le cas où ni (1−qi ) est non-nul, la variance de ln(S(t )) peut être rapprochée à l’aide de la méthodedelta 7 :

V(ln(S(t ))) = ∑i∈1,...,m|τi<t

dini

ni

(1− di

ni

) .

En ré-appliquant de nouveau la méthode delta, on a :

V(S(t )) = S(t )2∑

i∈1,...,m|τi<t

dini

ni

(1− di

ni

) = S(t )2∑

i∈1,...,m|τi<t

di

ni (ni −di ).

Cet estimateur s’appelle l’estimateur de Greenwood. En s’appuyant sur la propriété de la normalité asymp-totique de l’estimateur de Kaplan-Meier, on peut déterminer les intervalles de confiance de la fonctionde survie de niveau de confiance 1−α avec α ∈ (0;1) :

ICα =[

S(t )

(1+Φ−1

(α2

)√√√√ ∑i∈1,...,m|τi<t

di

ni (ni −di )

), S(t )

(1+Φ−1

(1− α

2

)√√√√ ∑i∈1,...,m|τi<t

di

ni (ni −di )

)]

où Φ−1 représente la fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite. Saporta (2006)indique que la normalité asymptotique de l’estimateur de Kaplan-Meier est vérifiée dans le cas où ni >30.

6. Comme mentionné dans le cas de l’estimateur de Hoem, l’hypothèse de l’indépendance des durées de survie des assurésn’est pas forcément vérifiée. Par contre les accidents, comme cause de décès ou de maladies redoutées, n’étaient pas une partiereprésentative du portefeuille.

7. Méthode delta : Soit X1, ..., Xn une suite des variables aléatoires d’espérance commune µ et de variance commune σ2. Sip

n(Xn −θ)loi−−→N (0,σ2), alors pour toute fonction g dérivable telle que g ′(θ) 6= 0, on a

pn(g (Xn )− g (θ))

l oi−−→N (0,σ2(g ′(θ))2).

33


Finalement, l’estimateur des taux d’incidence bruts qx peut être déduit à partir de l’estimateur de lafonction de survie :

qx = 1− S(x +1)

S(x).

En utilisant la méthode delta, on peut en déduire la variance de l’estimateurs des taux bruts condition-nels qx :

V(qx ) = (1− qx )2∑

i∈1,...,m|τi<t

di

ni (ni −di ).

Par conséquent, l’intervalle de confiance de qx de niveau de confiance 1−α avec α ∈ (0;1) est :

ICα =[

qx + (1− qx )Φ−1(α

2

)√√√√ ∑i∈1,...,m|τi<t

di

ni (ni −di ),

qx + (1− qx )Φ−1(1− α

2

)√√√√ ∑i∈1,...,m|τi<t

di

ni (ni −di )

]

oùΦ−1 représente la fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite.

2.2.4 Application : calcul des taux bruts d’incidence

L’objectif de cette section est l’application de la théorie présentée dans les sections 2.2.2 et 2.2.3 à l’aidedu logiciel R, leur analyse et enfin, le choix d’une des deux méthodes. L’estimateur choisi va nous servirdans l’étude de plusieurs approches de positionnement des tables de référence.

Afin d’évaluer l’exposition du portefeuille pour le calcul de l’estimateur de Hoem en fonction des re-groupements FN, FS, MN et MS, on recalcule αi et βi , i ∈ 1, ...,nx à chaque âge x sur les informationsdisponibles dans la base de données primes. Ensuite, on compte le nombre d’incidences par âge x dis-ponible dans la base de données sinistres.

Dans le cas de l’estimateur de Kaplan-Meier, on effectue une jointure entre la base de données primes etsinistres, afin de récupérer la cause de sortie (rachat ou incidence). Cette jointure est faite à l’aide d’uneclé primaire entre les deux tables qui se compose du numéro de la police et la date de naissance del’assuré. Puis, on détermine les informations nécessaires pour notre calcul, comme l’âge d’entrée et desortie. Toutes les valeurs sont mesurées en jours et non pas en année entière. Les calculs ont été effectuésavec l’aide du survival package du logiciel R.

Le calcul des taux bruts est présenté pour le risque de mortalité dans le cas du Traité A et pour le risquede morbidité dans le cas du Traité B. Dans tous les deux cas, c’est le regroupement MN qui est présentéen détaille dans le mémoire.

En traçant les résultats obtenus pour le segment des hommes non-fumeurs (cf. figures 2.10, 2.11, 2.12,2.13), on remarque que les deux estimateurs évoluent d’une façon très similaire en fonction de l’âge.Cependant aux âges élevés on observe un écart plus important entre les deux méthodes qui est dû à laquantité insuffisante de données. En comparant les intervalles de confiance construits sur les deux types

34


FIGURE 2.10 – Taux bruts de l’estimateur de Hoemavec intervalles de confiance à un niveau deconfiance de 95% - Traité A

FIGURE 2.11 – Taux bruts de l’estimateur deKaplan-Meier avec intervalles de confiance à unniveau de confiance de 95% - Traité A

FIGURE 2.12 – Taux bruts de l’estimateur de Hoemavec intervalles de confiance à un niveau deconfiance de 95% - Traité B

FIGURE 2.13 – Taux bruts de l’estimateur deKaplan-Meier avec intervalles de confiance à unniveau de confiance de 95% - Traité B

de taux d’incidence bruts, on constate que ceux de l’estimateur de Kaplan-Meier sont plus larges maiségalement plus stables pour les âges faibles. La différence est due au fait qu’on doit accepter un critèreplus strict dans le cas de l’estimateur de Hoem pour qu’on puisse approcher la loi de Poisson par une loinormale.

2.2.5 Conclusion

La méthode d’estimation des taux bruts de mortalité et de morbidité retenue est l’estimateur de Hoem.

D’une part, l’utilisation des taux d’incidence de Kaplan-Meier serait favorable car les intervalles de confianceasymptotiquement gaussiens sont stable sur toutes les plages d’âges. D’autre part, il faut noter que l’es-timateur de Hoem est un estimateur sans biais tandis que celui de Kaplan-Meier est positivement biaisé.Ainsi, on risque une sous-estimation des taux conditionnels en adoptant l’approche de Kaplan-Meier cequi n’est pas prudent dans le cas du risque de mortalité et de morbidité. De plus, l’estimateur de Hoemest la méthode la plus adaptée si les hypothèses paramétriques utilisées sont proches de la loi d’incidenced’après Planchet et Thérond (2011).

Finalement, comme mentionné au début de la section, on a besoin d’établir une clé primaire entre labase de données primes et sinistres afin de récupérer toutes les informations qui sont nécessaires pour

35


FIGURE 2.14 – Estimateur de Hoem (bleu) versusKaplan-Meier (rouge) - Traité A

FIGURE 2.15 – Estimateur de Hoem (bleu) versusKaplan-Meier (rouge) - Traité B

le calcul de l’estimateur de Kaplan-Meier. Cette clé se compose du numéro de la police et de la date denaissance de l’assuré. Cependant on pourrait facilement imaginer une assurance sur deux têtes sous-crite par des jumeaux. Par conséquant, la clé primaire n’est plus unique car elle peut être associée à deuxlignes séparées. Ainsi les deux bases de données ne sont plus joignables et les données requises pourle calcul de l’estimateur de Kaplan-Meier, notamment la cause de sortie ne peut pas être récupérée. Enanalysant la faisabilité de la jointure sur tous les traités disponibles en garantie de décès et/ ou de mala-dies redoutées on a aperçu qu’il existait des assurances sur deux têtes souscrites par des jumeaux. Ainsiil serait préférable d’utiliser la méthode Hoem pour l’unanimité des approches de calcul des taux brutsde tous les traités.

2.3 Positionnement des taux d’incidence par rapport à une référence

Sur les figures 2.14 et 2.15 on observe une certaine irrégularité des taux d’incidence qui même parfoiscontredit avec notre intuition : les taux d’incidence à l’âge x sont plus élevés qu’à l’âge x +1. Ce phéno-mène est le résultat des imperfections de l’expérience. Ainsi, dans cette section on va chercher à ajusterles taux bruts d’incidence afin de trouver une représentation plus cohérente des lois de mortalité et demorbidité.

Il existe plusieurs méthodes qui permettent de réviser les taux bruts :

• On peut appliquer des traitements aux taux bruts afin de les rendre plus ajustés. Ainsi on parle d’unajustement non-paramétrique. On trouve parmi ces méthodes la moyenne mobile et le lissage deWhittaker-Henderson entre autres.

• On peut également fixer une certaine forme de la loi concernée. Dans ce cas-là, on parle d’unajustement paramétrique et on va chercher à estimer la distribution de la loi sous-jacente à traversses paramètres. Cette méthode englobe les ajustements à des lois continues, les lissages par splineset les ajustements à des références externes.

En pratique, l’approche utilisée pour la construction des tables d’incidence dépend du volume des don-nées disponibles. Dans le cas où on a une quantité de données conséquente à notre disposition, on esten situation de référence et les méthodes d’ajustements non-paramétriques peuvent être appliquées. Encas d’un volume de données moins important on peut avoir recours aux ajustements paramétriques.

36


Parmi les ajustement paramétriques ce sont les méthodes à référence externe qui nécessitent le moinsde données.

Or d’après ce qu’on a vu dans la section 2.1 concernant le volume du portefeuille et le niveau de la sinis-tralité, on procédera à l’aide des méthodes de positionnement à une référence externe.

Ainsi l’objectif de cette section est l’ajustement des tables d’incidence de mortalité et de morbidité deréférence présentées dans la section 2.1.3 par rapport aux taux bruts estimés avec la méthode de Hoemdans le cas d’une population des assurés relativement jeune ayant souscrit une garantie LIFE ou de CI-STA. Les approches choisies font partie de la Note de travail II1291-12 v.1.7. de l’Institut des Actuaires. Onva procéder selon la complexité des méthodes :

1. Le Standardized Mortality Ratio (SMR) permet d’appliquer un coefficient d’abattement sur latable de mortalité de référence afin de l’ajuster à la sinistralité observée.

2. La version semi-paramétrique du modèle de Brass offre la possibilité de représenter linéairementla relation entre les taux de référence et les taux bruts estimés à l’aide de la fonction logit.

3. Le modèle linéaire généralisé (GLM) de Poisson cherche à expliquer les taux d’incidence bruts enfonction des taux de référence et de l’âge de l’assuré à l’aide d’un modèle log-linéaire.

Suite à un manque de données et à la surestimation de la mortalité aux grands âges, une fermeture detable est envisagée sur les probabilités de mortalité estimées en s’appuyant sur la méthode de Denuit &Goderniaux (2005).

Dans la suite du mémoire, on notera qr e fx le taux de référénce (également appelé le taux de benchmark).

2.3.1 Standardized Mortality Ratio

Le Standardized Mortality Ratio (SMR) (Liddell, 1984) - également appelé le Standardized Incidence Ratio(SIR) ou Actual over Expected (A/E) dans le cadre général - est un coefficient d’ajustement qui mesure lerapport entre les taux bruts et les taux de référence. Ainsi le taux de mortalité ou de morbidité ajusté auportefeuille est tel que :

qx = SMR ×qr e fx avec SMR =

∑x Dx∑

x,i (βi −αi )mr e fx

où mr e fx = q

r e fx

1− 12 q

r e fx

représente le taux d’incidence au milieu de l’intervalle (x, x +1].

Si le SMR est supérieur à 1, on observe une surmortalité dans le portefeuille par rapport à ce qui estattendu selon la table des taux de référence (tout âge confondu). Dans le cas inverse - si le SMR estinférieur à 1 - on constate une sous-mortalité des assurés.

Test du coefficient SMR

On cherche à savoir si le SMR calculé est significativement différent de 1, i.e. si qx 6= qr e fx . On va avoir

recours au test de SMR (Liddell, 1984). La statistique du test s’écrit sous l’hypothèse nulle qx = qr e fx

37


comme :

ξSMR =

3D

12

(1− 1

9D −(

DE

) 13)

si SMR>1,

3D12+

(1

9D+ +(

D+E

) 13 −1

)si SMR<1

où D =∑x Dx , D+ =∑

x Dx +1 et E =∑x Ex qx . Sous l’hypothèse nulle ξSMR suit une loi normale centrée

réduite. En conséquence, on rejette l’hypothèse nulle avec risque d’erreur de première espèce α si :

ξSMR >Φ−1(1−α)

oùΦ−1 est la fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite. La p-valeur associée à cetest s’écrit :

p-valeur =P(ξSMR >Φ−1(1−α)).

2.3.2 Version semi-paramètrique du modèle de Brass

Dans le cas de la version semi-paramètrique du modèle de Brass, il s’agit d’un modèle relationnel quicherche à expliquer le taux d’incidence en appliquant une fonction logit :

logit(qx ) =α+β× logit(qr e fx )+εx

où εx est le terme d’erreurs aléatoires et logit(qx ) = log( qx1−qx

). Le paramètre β permet de transformerla structure des probabilité d’incidence de mortalité ou de morbidité par âge. Le paramètre α laisse lapossibilité d’un repositionnement global des taux.

Afin d’estimer les paramètresα et β, on minimisera la distance en valeur absolue entre les valeurs obser-vées et estimées. Puis, on retrouve les probabilités d’incidence estimées en posant :

qx = exp(α+ β× logit(qr e fx ))

1+exp(α+ β× logit(qr e fx ))

où α et β sont des estimations de α et β respectivement.

Il faut noter que la fonction logit est concave sur l’intervalle (0;0,5). Or l’inégalité de Jensen nous indiqueque E( f (X )) ≤ f (E(X )) où f est une fonction concave et X est une variable aléatoire. Ainsi les taux d’inci-dence qx sont sous-estimés entre (0;0,5) en utilisant la version semi-paramétrique du modèle de Brasscar E(logit(qx )) ≤ logit(qx ) sous l’hypothèse que les taux d’incidence qx sont non-biaisés. Par conséquent,il faut être prudent avec l’utilisation de cette méthode en cas du risque de décès (Planchet et Thérond,2011).

Les résidus de la version semi-paramétrique du modèle de Brass sont testés en annexe (cf. Annexe C).Dans le cadre de l’étude on montre que les résidus εx ne sont pas issus d’une loi normale centrée devariance commune. Ainsi les tests sur la significativité des coefficients estimés du modèle ne vont pasêtre effectués.

38


2.3.3 Modèle linéaire généralisé de Poisson

Les modèles linéaires généralisés (GLM) - comme leur nom l’indique - sont la généralisation des modèleslinéaires ordinaires permettant de modéliser directement les données en utilisant une loi appropriéepour les variables expliquées. Le modèle a les trois composantes suivantes :

— La variable réponse, notée Y est la composante aléatoire à laquelle on associe une loi de probabilitéappartenant à la famille exponentielle :

g (Yi ,θi ,φ,ωi ) = exp

(Yiθi −b(θi )

a(φ)+ c(Yi ,φ,ωi )

)où Y1, ...,Yn est un échantillon de variables aléatoires indépendantes, θi est le paramètre canoniquequi est fonction de l’espérance de Yi ,φ désigne le paramètre de dispersion etωi est le poids associéà la variable aléatoire Yi .

— Les variables explicatives, notées X1, ..., Xn constituent la composante déterministe. Ce sont desvariables déterministes représentées sous forme d’une combinaison linéaire de type :

β0 +β1X1 + ...+βn Xn .

— Enfin, la fonction de lien, notée f forme la liaison fonctionelle entre l’espérance de la variableréponse et la combinaison linéaire des variables explicatives. Notons µ l’espérance de Y , alors lafonction de lien est telle que :

f (µ) =β0 +β1X1 + ...+βn Xn .

Dans notre étude, on associe la loi de Poisson à la variable réponse Y qui est le nombre d’incidences. Deplus, on désigne la fonction logarithme comme fonction de lien. On utilise le taux de référence et l’âgecomme variables explicatives. Ainsi le modèle devient un modèle log-linéaire. Autrement dit :

Dx ∼P(Ex qx ) avec log(qx ) =β0 +β1 log(qr e fx )+β2x

où Ex est la variable exposition à l’âge x.

L’estimation des paramètres β0, β1 et β2 se fait en maximisant la vraisemblance à l’aide d’une de deuxapproches itératives : Newton-Raphson ou Fisher scoring. Enfin, on retrouve le taux de mortalité ajusté :

qx = exp(β0 + β1 log(qr e fx )+ β2x)

où β0, β1 et β2 sont des estimations de β0, β1 et β2.

Test des coefficients β0, β1 et β2

Afin de vérifier la significativité des variables explicatives choisies, on utilise des tests statistiques. Soit βi

avec i ∈N le coefficient théorique. La statistique de test s’écrit :

ξβi = (βi −βi )2

V(βi )

39


Or sous l’hypothèse nulle (βi =βi ) la différence entre βi et βi suit une loi normale. Ainsi on peut appro-cher ξβi par une loi du Khi-deux à un degré de liberté. Par conséquent on rejette l’hypothèse nulle avecun risque d’erreur de première espèce α si :

ξβi >χ21,1−α.

La p-valeur associé à ce test s’écrit :

p-valeur =P(ξβi >χ21,1−α).

Dans le cas des coefficients β0 et β2 on va tester si βi = 0 avec i ∈ 0,2. Cependant dans le cas du para-mètre β1 il serait plus commode de tester s’il est différent de 1, i.e. on pose β1 = 1.

En ce qui concerne le test de nullité des coefficients β0 et β2 : si on décide de ne pas rejeter H0, onsuppose qu’il n’y a pas de différence statistiquement significative entre le modèle "simplifié" (βi = 0, i ∈0,2) et le modèle "complet" (βi 6= 0, i ∈ 0,2). Ainsi on a une inclination à garder le modèle réduit.

Si de plus, le test statistique sur β1 n’est pas significatif, on peut dire que le taux d’incidence observé nesont pas significativement différents des taux référence. Dans ce cas on peut décider de ne pas pour-suivre le travail concernant le positionnement des taux de référence. L’erreur associée à cette décision(de garder H0 bien que H1 est vraie), l’erreur de deuxième espèce, est notée β.

2.3.4 Mesure de la qualité d’ajustements

Dans le but de comparer la qualité des approches appliquées, on va non seulement avoir recours à l’ana-lyse graphique mais aussi au calcul de différentes métriques qui aideront dans la quantification de lapertinence des ajustements proposés. Il faut noter que les tests qui vont être présentés reposent sur di-verses approximations et que leur validité n’est que approximative dans le cas de cette étude.

Au niveau local, on va analyser les résidus présentés ci-dessous afin de déterminer si on a des écartssystématiques entre l’ajustement et les observations :

— Résidus de la réponse : rx = qx − qx .

— Résidus de Pearson : rx = (Dx −Ex qx )√V(Ex qx ).

— Résidus de la déviance : rx = si g ne(Dx −Ex qx )√

Dévi ancex .

Avec qx les taux bruts d’une personne d’âge x estimés par la méthode de Hoem présentée dans la section

2.2.2 et Dévi ancex =2

(Dx ln

(Dx

Ex qx

)+Ex qx −Dx

)si Dx > 0,

2Ex qx si Dx = 0.

Au niveau global on va étudier l’impact du lissage, notamment si les données ont été sous- ou sur-lissées.On va également calculer les écarts entre estimations et observations en appliquant plusieurs métriques.Dans le cadre général, les mesures d’écarts vont servir à comparer les modèles entre eux mais elles nepermettent pas d’avoir un résultat global sans les comparer aux autres modèles. Tandis que les tests sta-tistiques vont nous aider dans la validation des modèles employés et dans la vérification de l’inexistencedes incompatibilités entre les données observées et ajustées. Finalement, on va recalculer l’espérance devie par regroupement et les comparer à l’espérance de vie nationale britannique afin de tester la cohé-rence des tendances.

40


Etude de la qualité du lissage

On utilisera deux tests non-paramétriques, le test des runs et le test des signs pour déterminer si le lissagedes données a été adéquat.

Test des runs Un run est défini comme la séquence du nombre de valeurs ayant le même signe. Le testdes runs (Wald et Wolfowitz, 1940) - également appelé le test de Wald-Wolfowitz - cherche à déterminersi le nombre de runs est une variable aléatoire dont la distribution conditionnelle - tenant compte dunombre de séquences de signes positifs, noté n+ et négatifs, noté n− - suit une loi normale avec uneespérance µ et une variance σ2 comme suit :

µ= 2n+n−n++n−

+1 et σ2 = 2n+n−(2n+n−− (n++n−))

(n++n−)2(n++n−−1).

Ainsi la statistique associée au nombre des runs est telle que :

ξRU N S = Nombre des runs−µσ

.

L’hypothèse nulle est que la distribution conditionnelle du nombre des runs sachant n+ et n− suit uneloi normale. Ainsi, on rejette H0 avec un risque d’erreur α si :

|ξRU N S | >Φ−1(1− α

2

)oùΦ−1

(1− α

2

)est la fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite.

En pratique les signes sont déterminés en fonction de la variation des observations par rapport aux esti-mations. Imaginons une séquence de signes telle que :

[++++−−+++−−−−+−+++−−].

Ainsi Nombre des runs = 8 et n+ = n− = 4.

Test des signs Dans le cadre du test des signs (Arbutnot, 1710), on va étudier les signes de la diffé-rence entre les valeurs observées et estimées. Notons cette fois-ci n+ le nombre de signes positifs et n−le nombre de signes négatifs. Sous l’hypothèse nulle, la médiane des signes positifs et négatifs est nulle.Notons n le nombre d’observations, alors la statistique du test s’écrit :

ξSIGN S = |n+−n−|−1pn

.

Sous H0 ; ξSIGN S suit une loi normale centrée réduite. On rejette H0 avec un risque de première espècede α si :

|ξSIGN S | >Φ−1(1− α

2

).

Étude de l’écart entre observations et estimaions

Afin d’étudier les écarts entre l’ajustement et les taux bruts, on va avoir recours à différentes métriquesde distance.

41


Distance du Khi-deux La distance du Khi-deux, notée dχ2 est un indicateur qui permet de quantifier ladistance entre les valeurs observées et ajustées :

dχ2 =∑x

(Dx −Ex qx )2

Ex qx (1− qx ).

Mean Average Percentage Error Le Mean Average Percentage Error (MAPE) est la moyenne des écartsabsolus entre les valeurs observées et ajustées :

M APE = 100×∑

x

∣∣∣∣ DxEx

−qx

DxEx

∣∣∣∣∑x Dx

.

Un défaut de cet indicateur est qu’il n’est pas défini quand Dx = 0.

Coefficient de détermination Le coefficient de détermination, noté R2 est le rapport entre la varianceexpliquée par le modèle et la variance totale. Soit n le nombre total des observations, alors :

R2 = 1−∑

x

(DxEx

− qx

)2

∑x

(DxEx

− 1n

∑x

DxEx

)2 .

Espérance de vie L’espérance de vie résiduelle d’un individu d’âge x sur ω années se calcule comme :

ωex =ω∑

i=1

i−1∏j=0

px+ j .

2.3.5 Intervalle de confiance des taux estimés

Afin d’évaluer la précision des estimations sur l’échantillon, on va introduire des intervalles de confianceasymptotiques construits autour des taux d’incidence de mortalité et de morbidité ajustés. Ainsi l’inter-valle de confiance de qx de niveau de confiance 1−α des taux positionnés est tel que :

ICα =[

qx +Φ−1(α

2

)√ qx (1− qx )

Ex, qx +Φ−1

(1− α

2

)√ qx (1− qx )

Ex

]oùΦ−1 représente la fonction de répartition inverse d’une loi normale centrée réduite.

2.3.6 Fermeture de table aux grands âges

Suite à un manque de données aux grands âges et une probabilité de mortalité obtenue plus élevée que1, on va effectuer une fermeture de table sur les taux de mortalité positionnés. Planchet et Thomas (2013)

42


ont retenu la méthode de Denuit & Goderniaux (2005). Cette approche consiste à optimiser un modèlelog-quadratique par la méthode des moindres carrés :

log(qx ) =α+βx +x2 +εx

où εx est le terme d’erreurs aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi nor-male N (0,σ2). Denuit et Goderniaux posent également deux contraintes supplémentaires :

q130 = 1

q ′130 = 0

.

Il en résulte résulte une courbe concave aux âges élevés avec une tangente horizontale à 130 ans. A l’aidede ces deux contraintes on obtient :

log(qx ) = c(1302 −260x +x2)+εx .

Toutefois, il semble qu’une fermeture de table de mortalité à l’âge de 130 ans est peu réaliste dans lecas de la détermination des hypothèses pour le risque de décès. Dans le cadre d’une étude réalisée parle Gerontology Research Group, la personne la plus âgée en Europe a eu 122 ans. Ainsi, on propose unchangement des contraintes comme suit 8 :

q120 = 1

q ′120 = 0

.

Ainsi on trouve le modèle log-quadratique suivant :

log(qx ) = c(1202 −240x +x2)+εx .

De plus, ce changement de la dimension des tables de mortalité nous permet de garder le format destables d’incidence de mortalité utilisées en entreprise.

Quashie & Denuit (2005) proposent de déterminer l’âge de début de la fermeture des tables en maximi-sant le coefficient de détermination R2 sur la plage d’âges de 50 à 85. Afin d’éviter une cassure au début dela fermeture, ils conseillent également de lisser les taux à l’aide d’une moyenne géométrique au voisinagede l’âge de début (+/- 5 ans).

Dans le cas des taux de morbidité positionnés, les portefeuilles ne sont pas réassurés au-delà de 64 ans.Ainsi l’application d’une fermeture de table n’est pas nécessaire.

2.4 Application : méthodes de positionnement

Dans cette section on vise à positionner les taux de référence par rapport aux taux bruts estimés de lasection 2.2. De plus, on va appliquer une approche de fermeture de table dans le cas de l’ajustement destaux de mortalité. Afin d’estimer les paramètres de trois approches proposées, on reprend les informa-tions utilisées pour le calcul des taux bruts de sortie. L’optimisation a été effectuée à l’aide de logiciel Ren s’appuyant sur les exemples du livre de Charpentier, Computational Actuarial Science with R (2015).

8. Nota bene, l’âge proposé pour la fermeture de table du moment ne coïncide pas avec l’âge de la fermeture de table exactedans le futur grâce à une dérive appliquée sur les taux de mortalité futurs (cf. Chapitre 3).

43


2.4.1 Positionnement des taux de mortalité du Traité A

Dans le cas du Traité A, on modélise les taux d’incidence de mortalité sur la période 2010-2016 dans lecas des quatre regroupements présentés dans la section 2.1.

Test des coefficients

Dans un premier temps on trace les résultats sans fermeture de table et on performe les tests proposéssur la significativité des coefficients dans le cas de l’approche de SMR et de GLM de Poisson. Sur lesgraphiques on marque également les intervalles d’âges qui vont être utilisés pour les projections des fluxet ainsi pour le calcul des provisions techniques en Best Estimate.

A l’aide du test de SMR (cf. table 2.5) on rejette l’hypothèse nulle (SMR = 1) avec un risque d’erreur αde 5%. Ainsi on va procéder par l’ajustement des tables de mortalité de référence à l’aide des paramètresprésentés dans le même tableau.

Regroupement SMR ξSMR P-valeurFN 0,7933 3,91 1,000FS 0,8586 1,39 0,9184

MN 0,8438 3,55 0,9998MS 0,8594 2,00 0,9774

TABLE 2.5 – Résultats du test de SMR du Traité A

Les tests de Wald (cf. table 2.6) sur les coefficientsβ0 etβ2 du modèle de GLM de Poisson montrent que lescoefficients sont non-significatifs pour tous les regroupements sauf FN. En même temps sur les figures(cf. figures 2.16, 2.17, 2.18, 2.19) on voit bien que la variable explicative "âge" a un effet important surl’allure de la courbe. De plus, aux petits âges on remarque une cassure de la courbe des taux de mortalitéestimés des femmes avec le modèle GLM. Elle est due à la valeur négative des estimations du paramètreβ1. De surcroît, les taux estimés dépassent 1 sauf pour le regroupement MN.

Les taux de mortalité ainsi construits avec le modèle GLM nous semblent peu réalistes à part des tauxde mortalité des hommes non-fumeurs. Suite à la non-significativité des coefficients et à la raison évo-quée précédemment, on continue l’étude avec la sélection des variables. Il serait possible d’effectuer unesélection sur plusieurs contraintes – comme le AIC (Akaike Information Criterion) – cependant dans ce

Regroupement Paramètre Valeur Ecart-type ξβi P-valeurFN β0 -26,692 8,669 -3,079 0,002FN β2 0,222 0,069 3,215 0,001FS β0 -40,324 27,807 -1,450 0,147FS β2 0,402 0,258 1,560 0,119

MN β0 -7,075 4,387 -1,613 0,107MN β2 0,058 0,036 1,603 0,109MS β0 -9,457 9,561 -0,989 0,323MS β2 0,098 0,089 1,108 0,268

TABLE 2.6 – Résultats du test de Wald avant sélection des variables du Traité A

44


FIGURE 2.16 – Mortalité estimée versus observée dutraité A avant sélection des variables - FN

FIGURE 2.17 – Mortalité estimée versus observée duTraité A avant sélection des variables - FS

FIGURE 2.18 – Mortalité estimée versus observée dutraité A avant sélection des variables - MN

FIGURE 2.19 – Mortalité estimée versus observée duTraité A avant sélection des variables - MS

mémoire on décide d’éliminer la variable âge afin de rester dans le cadre des modèles de positionnementpar rapport à une référence externe.

En appliquant les mêmes méthodes du calcul de GLM de Poisson sans la présence de "l’âge" commevariable explicative on remarque que le coefficient β0 n’est non plus significatif dans le cas du regroupe-ment MN. Ainsi on procède à sa suppression. Les résultats finaux sont présentés sur la page suivante. Onrejette l’hypothèse nulle avec un risque d’erreur α de 0,05 du test de Wald ce qui concerne la nullité descoefficients β0 - sauf regroupement MN (cf. table 2.7). Dans la suite on va regarder si β1 est significative-ment différent de 1 (cf. table 2.8). On accepte l’hypothèse alternative avec un risque d’erreur de premièreespèce α. Cependant sur les graphiques (cf. figures 2.20, 2.21, 2.22 ; 2.23) les taux de mortalité estimésdépassent 1 dans le cas de GLM ce qui justifie l’application d’une fermeture de table dans la suite.

Regroupement Paramètre Valeur Ecart-type Z-valeur P-valeurFN β0 1,162 0,448 2,591 0,010FS β0 3,144 0,747 4,211 0,001

MN β0 -0,039 0,33063 -0,117 0,907MS β0 1,158 0,487 2,376 0,018

TABLE 2.7 – Résultats du test de Wald après sélection des variables du Traité A

45


Regroupement Paramètre Valeur Ecart-type ξβ1 P-valeurFN β1 1,203 0,066 9,592 0,002FS β1 1,543 0,126 18,554 0,001

MN β1 1,026 0,007 12,081 0,001MS β1 1,221 0,082 7,167 0,007

TABLE 2.8 – Test sur le coefficient β1 après sélection des variables du Traité A

Approche Paramètre FN FS MN MSSMR SMR 0,7933 0,8586 0,8438 0,8594Brass α -0,652 4,141 -0,322 1,885Brass β 0,933 1,721 0,982 1,359GLM β0 1,162 3,144 - 1,158GLM β1 1,203 1,543 1,026 1,221

TABLE 2.9 – Valeurs des paramètres estimés finaux du Traité A

FIGURE 2.20 – Mortalité estimée versus observée dutraité A après sélection des variables - FN

FIGURE 2.21 – Mortalité estimée versus observée duTraité A après sélection des variables - FS

FIGURE 2.22 – Mortalité estimée versus observée dutraité A après sélection des variables - MN

FIGURE 2.23 – Mortalité estimée versus observée duTraité A après sélection des variables - MS

Mesure de la qualité d’ajustements

Ensuite on calcule les métriques présentées dans la section 2.3.4 (cf. table 2.10). Les SMR des taux ajustéssont égaux à 1 sauf dans le cas de l’approche de Brass. C’est dans le cas de GLM qu’on retrouve la plus

46


faible déviance totale. Le MAPE est plus important dans le cas des non-fumeurs ce qui peut être expliquépar un volume de données moins important. La mesure de la distance χ2 varie plus par approche dansle cas de la population fumeurs que non-fumeur qui est dû au même effet. Tandis que le coefficient dedétermination diminue en complexifiant le modèle dans le cas des femmes non-fumeurs, on observe lesens inverse pour les femmes fumeurs. Le R2 reste stable pour les différentes méthodes avec les regrou-pements MN et MS.

En ce qui concerne les tests statistiques, le test des runs n’est pas significatif pour les hommes non-fumeurs à un seuil α de 5% dans le cas des méthodes SMR et GLM. Ensuite on y trouve également leshommes fumeurs dans le cas de SMR et les femmes fumeurs dans le cas du modèle de Brass. Concernantle test des runs, c’est le regroupement FS qui ne satisfait pas l’hypothèse nulle, ainsi on la rejette avec unrisque d’erreur de première espèce 5%.

Les résidus de la réponse, de Pearson et de la déviance sont présentés en annexe du mémoire (cf. AnnexeD). En observant les résidus de la réponse, on remarque qu’ils ont plus d’inertie vers les grands âges.Les résidus de Pearson et de la déviance se situent davantage dans l’intervalle [−2;2]. Les résidus quise situent en dehors de cette plage indiquent un ajustement local inapproprié. Ce phénomène est dûà une faible quantité d’observations d’incidence. Ainsi on considère qu’il est cohérent d’observer desfluctuations de cette grandeur. On ne voit pas des tendances fortes dans le nuage des points des résidus,cependant aux âges jeunes on remarque un écart systématique entre les valeurs observées et ajustées.Toutefois, l’origine de cet écart est l’allure de la courbe des taux de référence qui suppose un taux plat

Regroupement FN FN FN FS FS FSMéthodes SMR Brass GLM SMR Brass GLM

SMR 1 0,96 1 1 1,03 1χ2 68,74 72,26 63,69 50,69 35,07 28,81

MAPE 8,73 9,47 8,76 15,65 20,28 18,26R2 0,72 0,73 0,19 0,50 0,67 0,76∑

x Dévi ancex 78,93 86,52 69,54 52,96 35,33 33,34ξRU N S 1,33 1,80 1,22 1,30 2,89 1,49

P-valeur de ξRU N S 0,18 0,07 0,22 0,19 0,00 0,14ξSIGN S 1,47 1,74 1,74 2,57 1,14 1,71

P-valeur de ξSIGN S 0,14 0,08 0,08 0,01 0,25 0,09

Regroupement MN MN MN MS MS MSMéthodes SMR Brass GLM SMR Brass GLM

SMR 1 1,04 1 1 1,07 1χ2 39,18 41,47 39,11 51,77 63,64 49,95

MAPE 3,45 3,33 3,44 10,66 9,71 10,21R2 0,84 0,83 0,84 0,72 0,76 0,78∑




TABLE 2.10 – Métriques pour l’analyse de la qualité des ajustements du Traité A

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FIGURE 2.24 – Décès estimés versus observés duTraité A - FN

FIGURE 2.25 – Décès estimés versus observés duTraité A - FS

FIGURE 2.26 – Décès estimés versus observés duTraité A - MN

FIGURE 2.27 – Décès estimés versus observés duTraité A - MS

pour la mortalité des assurés entre 12 et 20 ans.

En recalculant les décès estimés avec les intervalles de confiance correspondants à un niveau de confiance1−α de 95%, on les superpose sur un graphique (cf. figures 2.24, 2.25, 2.26, 2.27). La différence entre lestaux de mortalité estimés par la méthode de Brass et de GLM n’est pas visible dans le cas des hommesnon-fumeurs grâce à la valeur du coefficient α négligeable de l’approche de Brass. On observe plusd’écart entre les approches dans le cas des regroupements non-fumeurs qui est expliqué par un volumede données moins important. Le modèle de Brass et de GLM permettent d’estimer un nombre de décèsplus important aux grands âges où on observe un volume de données moins important (regroupementsFS et MS).

Fermeture de table

Comme les taux estimés sont supérieurs à 1 dans le cas de l’ajustement par le modèle GLM et on possèdetrès peu d’observations aux grands âges, on va chercher à ajuster un modèle paramétrique qui supposeune certaine allure de la courbe de taux de mortalité aux âges extrêmes. Ainsi on procède avec la ferme-ture des tables en utilisant la variante de la méthode de Denuit & Goderniaux (2005) présentée dans lasection 2.3.6. On détermine l’âge optimal de la fermeture (cf. tables 2.11, 2.12) en fonction de la valeurdu coefficient de détermination de l’ajustement (cf. figures 2.28, 2.29, 2.30). Les âges de début de ferme-ture dans le cas du regroupement FS pour le modèle de Brass et de GLM sont plus faibles suite à unepente très forte aux âges extrêmes. Les tables finales après fermeture sont présentées en annexe du mé-

48


moire (cf. Annexe E). Il est clairement visible sur les graphiques que les courbes de taux de mortalité dedifférentes méthodes s’écartent plus dans le cas des regroupements pour lesquels on possède moins dedonnées, c’est-à-dire FS et MS. On remarque également que les méthodes de Brass et GLM permettentde changer davantage l’allure de la courbe grâce à un plus grand nombre de paramètres. A part du re-groupement MN, on observe des taux observés plus faibles que la référence aux petits âges et des tauxplus importants aux grands âges.

Calcul de l’espérance de vie

Enfin, on recalcule les espérances de vie à l’âge 18 selon plusieurs approches et on les compare aux der-nières études, aux tables de ’08 T Series qui concernent la mortalité des assurés ayant souscrit une ga-

Regroupement SMR Brass GLMFN 71 70 71FS 80 85 80

MN 85 85 85MS 84 84 84

TABLE 2.11 – Âges optimaux de la fermeture

Regroupement SMR Brass GLMFN -0,002 -0,003 -0,002FS -0,002 -0,001 -0,001

MN -0,003 -0,003 -0,003MS -0,002 -0,001 -0,001

TABLE 2.12 – Estimateurs du paramètre c

FIGURE 2.28 – Coefficients de détermination enfonction de l’âge - SMR

FIGURE 2.29 – Coefficients de détermination enfonction de l’âge - Brass

FIGURE 2.30 – Coefficients de détermination en fonction de l’âge - GLM

49


rantie décès temporaire au Royaume-Uni (cf. table 2.13). L’espérance de vie estimée par l’approche deSMR suit la même logique que celle de la référence : l’espérance de vie des femmes est plus importanteque celle des hommes et également, l’espérance de vie des non-fumeurs est plus élevée que celle desfumeurs. Dans le cas de cette approche, l’augmentation de l’espérance de vie par rapport à la référenceest due à l’application d’un taux d’abattement inférieur à 1 sur les taux de mortalité de référence. Cepen-dant, dans le cas de la méthode de Brass, l’espérance de vie des hommes fumeurs est plus importanteque celle des femmes non-fumeurs. En ce qui concerne les taux ajustés par le modèle de GLM de Pois-son, on constate une espérance de vie plus élevée des hommes que du sexe opposé quelque soit le statutfumeur, ce qui contredit complètement avec les valeurs de l’espérance de vie calculées à partir des tablesde ’08 T Series. On constate une diminution de l’espérance de vie (sauf pour le regroupement MN) ce quiest expliquée par le changement de la courbe de probabilité de mortalité, notamment elle est due au faitqu’on estime une mortalité plus importante aux grands âges.

Approche FN FS MN MST series 67,04 61,53 64,80 60,04

Référence 76,68 69,85 75,45 67,97SMR 70,54 64,88 70,26 63,33Brass 70,47 55,86 70,38 58,30GLM 67,23 56,61 69,71 59,32

TABLE 2.13 – Espérance de vie de la table nationale, de la table de référence et des tables ajustées du TraitéA

2.4.2 Positionnement des taux de morbidité du Traité B

Dans le cas des taux de morbidité on va effectuer la même démarche en réutilisant le code construit pourle premier traité.

Test des coefficients

Dans un premier temps on regarde les résultats des tests sur le SMR et la significativité des coefficients dumodèle GLM. On observe que le SMR n’est pas significativement différent de 1 pour les regroupementsFN et MS (cf. table 2.14). On performe également le test de Wald sur les paramètres estimés β0 etβ2 dumodèle GLM : on ne rejette pas l’hypothèse nulle avec un risque de deuxième espèce noté β (cf. table2.15). Pour les mêmes raisons que dans le cas du Traité A, on procède avec la suppression de la variableexplicative "âge". Puis on refait les tests sur l’estimation du paramètre β0 : il n’est pas significativement

Regroupement SMR ξSMR P-valeurFN 1,0254 0,51 0,6936FS 1,2985 3,10 0,999

MN 0,8302 4,03 1,000MS 0,8957 1,36 0,9136

TABLE 2.14 – Résultats du test de SMR du Traité B

50


différent de 0 selon le test de Wald, ainsi on continue à procéder avec la variable explicative "taux de ré-férence" sans β0. Ensuite, on teste l’hypothèse nulle : β1 = 1. Comme dans le cas de SMR, on trouve qu’iln’est pas significativement différent de 1 dans le cas du regroupement FN et MS. Ainsi on conclut quela mise à jour des tables de référence des regroupements FS et MN est requise avec un risque d’erreurde première espèce α de 5%. En outre, le changement des hypothèses de morbidité dans le cas des re-groupements FN et MS ne va pas être effectué. Cette décision engendre un risque d’erreur de deuxièmeespèce, noté β.

Regroupement Paramètre Valeur Ecart-type Z-valeur P-valeurFN β0 -8,873 9,05 -0,98 0,327FN β2 0,077 0,932 0,083 0,934FS β0 -36,512 20,298 -1,800 0,072FS β2 0,347 0,191 1,818 0,069

MN β0 0,614 3,800 0,162 0,872MN β2 -0,007 0,034 -0,221 0,825MS β0 -1,975 12,639 -0,156 0,876MS β2 0,026 0,130 0,200 0,842

TABLE 2.15 – Résultats de test de Wald avant sélection des variables du Traité B

Regroupement Paramètre Valeur Ecart-type Z-valeur P-valeurFN β0 -0,099 0,395 -0,25 0,803FS β0 0,383 0,595 0,643 0,520

MN β0 -0,222 0,362 -0,613 0,540MS β0 0,546 0,542 1,006 0,314

TABLE 2.16 – Résultats de test de Wald après suppression de la variable âge du Traité B

Regroupement Paramètre Valeur Ecart-type ξβ1 P-valeurFN β1 0,996 0,007 0,391 0,532FS β1 0,957 0,013 11,084 0,001

MN β1 1,026 0,007 12,081 0,001MS β1 1,221 0,082 7,167 0,007

TABLE 2.17 – Test sur le coefficient β1 après sélection des variables du Traité B

Approche Paramètre FS MNSMR SMR 1,2985 0,8302Brass α 0,049 0,983Brass β 0,337 1,075GLM β1 0,957 1,026

TABLE 2.18 – Valeurs des paramètres estimés finaux du Traité B

51


FIGURE 2.31 – Taux de morbidité estimés versus ob-servés du Traité B - FS

FIGURE 2.32 – Taux de morbidité estimés versus ob-servés du Traité B - FS

FIGURE 2.33 – Taux de morbidité estimés versus ob-servés du Traité B - MN

FIGURE 2.34 – Taux de morbidité estimés versus ob-servés du Traité B - MN

Mesure de la qualité d’ajustements

Ainsi, on trace les taux de morbidité ajustés en fonction de la plage d’âges qui va être prise en comptedans le calcul des Best Estimate Liabilities (cf. figures 2.31, 2.32, 2.33, 2.34). On observe que l’écart entreles méthodes est plus important aux grands âges ce qui est expliqué par une inertie plus importanteentre les âges 45-60. Puis, on évalue les métriques présentées dans la section précédente (cf. table 2.19).Au niveau du χ2 et de la déviance, c’est le SMR qui performe le mieux. Les modèles ajustés n’expliquentque 37-39% de la variance dans le cas du regroupement FS tandis que plus que 2/3 de la variance estexpliquée pour les hommes non-fumeurs. La valeur faible du R2 est due notamment à un volume dedonnées faible. L’hypothèse nulle des tests statistiques (l’indépendance de changements des signes etséquences des signes mutuellement indépendants) n’est pas rejetée. On associe un risque d’erreur dedeuxième espèce β à cette décision.

Ensuite, on analyse les résidus de la réponse, de Pearson et de la déviance (cf. Annexe D). On ne détecteaucun écart systématique entre les taux estimés et bruts. Les résidus de Pearson et de la déviance varientdavantage dans l’intervalle [−2;2]. Les points qui se trouvent en dehors de cet intervalle sont dûs à laquantité restreinte des données sur la sinistralité.

Enfin, on recalcule le nombre de maladies redoutées observé et estimé et les intervalles de confianceasymptotiques correspondants (cf. figures 2.35, 2.36). Dans le cas du regroupement FS, c’est l’intervallede confiance asymptotique construit à partir du modèle de GLM qui permet de couvrir le nombre d’in-cidences à un seuil α de 5% à tous les âges à part de l’observation à 55 ans. Dans le cas des hommesnon-fumeurs c’est l’approche de GLM qui permet de mieux rapprocher le nombre d’incidences observé

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Regroupement FS FS FS MN MN MNMéthodes SMR Brass GLM SMR Brass GLM

SMR 1,00 1,12 1,00 1,00 0,94 1,00χ2 33,44 39,80 34,29 42,01 42,96 42,08

MAPE 9,90 8,79 9,75 2,71 2,96 2,77R2 0,39 0,37 0,38 0,67 0,68 0,68∑




TABLE 2.19 – Métriques pour l’analyse de la qualité des ajustements du Traité B

FIGURE 2.35 – Morbidité estimée versus observée duTraité B - FS

FIGURE 2.36 – Morbidité estimée versus observée duTraité B - MN

par âge à l’aide des intervalles de confiance.

2.4.3 Conclusion

Les avantages et les inconvénients de trois approches utilisées pour le positionnement des benchmarkssont présentés dans le tableau sur la page suivante (cf. table 2.20). La difficulté de l’interprétation et del’implémentation augmente selon l’ordre de leur présentation. En même temps, on gagne de plus en plusde souplesse sur la méthode de modification de l’allure des courbes de référence.

Dans le cas des méthodes SMR et GLM, on risque de recevoir des probabilités d’incidence supérieuresà 1 pour les âges élevés. Ainsi l’application d’une méthode de fermeture de table dans le cas des tauxd’incidence de mortalité est incontournable. La note de travail de l’Institut des Actuaires propose unefermeture jusqu’à l’âge 130 avec la méthode de Denuit & Goderniaux (2005). Cependant on l’a diminuéà 120 ans pour des raisons évoquées dans la section 2.3.6. Il faut également noter que le modèle de Brass- suite à l’utilisation de la fonction logarithme - risque de sous-estimer les taux d’incidence dans l’inter-valle (0;0,5) qui peut entraîner une sous-estimation de la mortalité à cet intervalle d’âges.

Dans le cadre de cette étude, les coefficients estimés du modèle de GLM de Poisson proposés ne sontpas tous significatifs. Ainsi l’élimination de la variable "âge" et même parfois de l’ordonnée à l’origine

53


était préférable dans le sens où on préfère de garder le modèle plus "simple" si on n’observe pas unedifférence statistiquement significative entre le modèle "complet" et "simplifié".

Il faut également mentionner que dans le cadre de cette étude, on cherche à ajuster les taux de référenceen fonction des observations sur une population relativement jeune. Les données concernant la sinistra-lité du portefeuille sont disponibles jusqu’à l’âge 75 au plus. Par conséquent, on n’arrive pas à contrôlerl’estimation des paramètres du modèle aux grands âges qu’à travers des observations aux petits âges.

Enfin, il nous semble que l’écart entre les résultats de différentes méthodes diminue en augmentant levolume de données (sous réserve que l’allure de la courbe des taux d’incidence des benchmarks à chaqueâge a été relativement bien déterminée au départ).

Approche Avantage InconvénientSMR - simple implémentation et interpréta-

tion.- en cas d’un SMR largement supérieurà 1, les taux d’incidence estimés peuventdépasser 1.

Brass - les taux d’incidence modélisés sontcompris dans l’intervalle [0;1],

- risque une sous-estimation des tauxd’incidence dans l’intervalle (0;0,5) et in-versement, une surestimation dans l’in-tervalle (0,5;1).

- offre la possibilité du choix entre lestypes de distance lors du processus d’op-timisation.

GLM - permet de modifier davantage l’allurede la courbe par rapport à la référence.

- les β0 et β2 ne sont pas toujours signifi-catifs dans l’étude,- en cas de la modélisation sur une popu-lation jeune et/ ou avec peu de données,on risque d’estimer un taux d’incidencetrop important aux grands âges, on peutmême dépasser 1.

TABLE 2.20 – Tableau récapitulatif des avantages et inconvénients des méthodes de positionnement parrapport à une référence externe

54


2.5 Calcul des Best Estimate Liabilities

Le calcul des provisions en Best Estimate nous permet d’évaluer l’impact des trois approches proposéesdans les sections suivantes : celle de SMR, de Brass et de GLM de Poisson. Toutes les comparaisons sonteffectuées par rapport aux résultats en fonction des taux de référence présentés dans la section 2.1.4.

On reprend les bordereaux des in-force polices dans le cas du Traité A et B. Les taux d’actualisation re-tenus sont les taux sans risques sans correction de volatilité publiés par l’EIOPA pour le Royaume-Uni.On projette les contrats en vigueur à partir de la dernière date d’évaluation des données disponibles (mi-lieu de l’année 2018) et on analyse les résultats mensuels à compter du 31/12/2018 à l’aide du progicielMoSes. On reçoit les résultats suivants en terme des BEL :

Traité Benchmark SMR Brass GLMTraité A £57 567 359 -£12 505 238 -£5 140 585 £9 497 915Traité B -£16 189 583 -£20 422 396 -£17 500 112 -£19 872 513

TABLE 2.21 – Montant des BEL des différentes approches

Sur les figures 2.37 et 2.38 on calcule le poids moyen des regroupements par période afin de déterminersi un changement de la structure du portefeuille peut avoir un effet important sur le montant final desBEL. Cependant on n’observe aucune déviation importante de la structure : le poids des effectifs desregroupements ne change pas significativement. Néanmoins on constate une faible variation entre 2058-2062 dans le cas du Traité A qui se ré-stabilise à la période suivante. Dans la suite, on va analyser lesrésultats obtenus selon les différentes méthodes traité par traité.

FIGURE 2.37 – Évolution du poids des regroupe-ments dans le portefeuille - Traité A

FIGURE 2.38 – Évolution du poids des regroupe-ments dans le portefeuille - Traité B

2.5.1 Analyse des résultats du Traité A

On observe qu’avant la mise à jour des hypothèses biométriques le réassureur a estimé moins de fluxentrants que de sortants pour le Traité A. Dans la section 2.4.1. on a montré que le SMR varie entre 79-86% pour tous les regroupements, autrement dit les taux de référence doivent être ajustés à la baisseen moyenne. Or un décroissement des taux de référence conduit à moins de sinistralité estimée, donc à

55


FIGURE 2.39 – Évolution du nombre des contrats -Traité A

FIGURE 2.40 – Évolution du nombre des contrats :zoom - Traité A

moins de prestations payées et ainsi à une somme actualisée des flux sortants probabilisés moins impor-tante. Ainsi, on attend une baisse des BEL qui est confirmée dans la table 2.21.

Afin d’analyser les différences entre les résultats après la mise à jour des hypothèses de mortalité onutilisera les figures présentés dans l’Annexe E. Dans un premier temps, on trace l’évolution du nombrede polices par rapport au benchmark. Le nombre de polices estimé est calculé comme le nombre desin-force polices multiplié par la probabilité de ne pas sortir du portefeuille. La probabilité de rester dansle portefeuille est équivalente à la somme de la probabilité du rachat et de la probabilité de décès. Sur lesgraphiques, on voit que le portefeuille se termine en 2067. Aux dernières années de projection la variationdes flux est plus significative suite à un volume de polices moins important.

Sur la figure 2.40 on voit bien que c’est l’approche de SMR qui permet d’estimer le moins de sorties duportefeuille dans le cas de mortalité. Le nombre de contrats restant en vigueur estimé à l’aide du modèlede Brass se situe en-dessous des prédictions de l’approche de SMR mais au-dessus de celle de GLM.Dans le cadre du positionnement des taux de référence on a vu notamment que la méthode de SMR nepermet qu’un déplacement dont la valeur dépend du taux de référence de départ pendant que les autresméthodes font également changer la valeur des probabilités au niveau général de la population étudiée.Par conséquent, en prenant compte les taux bruts estimés à l’aide de la méthode de Hoem, les modèlesde Brass et de GLM propose des taux de mortalité plus faibles pour les petits âges et plus importants auxgrands âges que l’approche de SMR. En tenant compte du fait qu’en augmentant le nombre d’annéesde projection, l’âge des assurés augmente également, cette différence fondamentale entre les méthodesdevient plus conséquente au niveau du nombre des polices projetées. De plus, on a un effet cumulatifen avançant aux périodes de projections : le taux d’incidence de la période t +1 prend en compte le tauxd’incidence de t où t est le pas du temps de la projection. En conséquence, l’écart entre les méthodesaugmente avec le temps.

En outre, on observe un nombre de polices moins important en utilisant le modèle de GLM qui est expli-qué par le deuxième inconvénient du modèle dans la table 2.20. Ne possédant pas assez d’observationsaux grands âges, on n’estime pas des taux bruts à cette plage d’âges. En conséquence, on ne peut pascontrôler l’estimation des coefficients du modèle aux âges extrêmes et ils peuvent ainsi fortement dé-passer 1 en appliquant un déplacement vertical trop important avec un coefficient directeur de la pentetrès conséquent. Entre 2060-2062, on observe une baisse des variations qui est due aux changements dela structure du portefeuille (cf. figure 2.37).

56


FIGURE 2.41 – Évolution des sinistres payés - TraitéA

FIGURE 2.42 – Évolution des primes souscrites -Traité A

Ensuite, on trace les graphiques du montant des prestations projeté par année, autrement dit on pondèreles montants réassurés courants par la probabilité d’incidence (cf. figure 2.41). Comme attendu, à lapériode t = 0 le montant des sinistres à payer est moins important après ajustement qu’avant. Cependantavec le temps, leur montant accroît qui est dû à l’application d’une méthode de fermeture de table sur latotalité des méthodes et au changement plus important de l’allure de la courbe de référence dans le casdes approches de Brass et de GLM.

Dans le cas des primes (cf. figure 2.42), on observe une variation très similaire des méthodes par rapportaux figures 2.39 et 2.40. Sa raison est que la prime souscrite est calculée comme le produit entre le nombredes in-force polices et un montant des primes qui reste constant pendant la durée de la couverture.

Finalement, on décompose le montant des BEL en flux actualisés par période de projection. On constateque les flux après mise à jours de l’hypothèse de mortalité sont plus faibles, autrement dit on constateplus des flux actualisés entrants que des flux sortants. Le sens de variation est cohérent avec notre intui-tion que le taux de mortalité est sur-estimé en utilisant les taux du benchmark. L’écart entre les méthodesdiminue quand le pas de temps t augmente car le volume des polices en portefeuille diminue. De plus, àl’aide de l’analyse détaillée ci-dessus on peut confortablement conclure que :

FIGURE 2.43 – Flux actualisés des composants des BEL par année de projection - Traité A

57


1. Les montants des BEL après mise à jour des hypothèses sont plus faibles - voir négatifs - car lamortalité brute estimée est inférieure au benchmark.

2. La méthode de GLM de Poisson permet de rapprocher davantage le résultat du benchmark suiteà une de ses grands défauts : en cas du manque des observations aux grands âges, le coefficientdirecteur de la pente de la courbe de mortalité est peu contrôlé et peut rapidement dépasser 1.

3. La méthode de Brass contrôle le coefficient directeur de la pente à travers la fonction logit. Parconséquent, ce modèle permet d’éviter une surestimation importante de la mortalité aux grandsâges et ainsi une prédiction des sinistres à payer et donc des BEL très élevés en cas d’utilisation desobservations sur une population relativement jeune (qui est néanmoins le cas du modèle GLM).

4. L’approche de SMR a consisté de baisser le taux de mortalité de référence de 79-86% environquelque soit l’âge concerné. Afin de récompenser la baisse des taux de mortalité aux âges extrêmeson a eu recours à une méthode de fermeture de table. Cependant ce choix n’était pas assez pouratténuer l’effet d’un SMR inférieur à 1.

2.5.2 Analyse des résultats du Traité B

Dans le cas du Traité B, on constate un enrichissement de la trésorerie avant la mise à jour des hypothèsesqui serait encore plus important après le changement des hypothèses de morbidité. On se rappelle qu’ona observé une morbidité plus importante dans le cas du regroupement FS par rapport aux taux de réfé-rence, contrairement au segment des hommes non-fumeurs où on a proposé une baisse des probabilitésd’incidence. En terme de SMR, on a proposé d’augmenter les taux d’incidence de 130% environ en casdu regroupement FS et de les décroître de 83% dans le cas du regroupement MN. Au total, on attend unimpact positif (i.e. plus de flux projetés entrants que de sortants) car le poids des hommes non-fumeursest plus important que celui des femmes fumeurs (cf. figure 2.38). Cette prévision est confirmée par lemontant des BEL après la mise à jour des hypothèses (cf. table 2.21).

On représente l’évaluation du nombre des polices projeté sur les figures 3.2 et 3.3. On constate une évo-lution très similaire de la méthode de SMR et de GLM tandis que la méthode de Brass reste moins écartéedes valeurs du benchmark en terme du nombre de polices projeté. L’écart faible entre la méthode de SMRet de GLM est dû au fait qu’on a accepté l’hypothèse nulle concernant la nullité des coefficients β0 et β2

FIGURE 2.44 – Évolution du nombre des contrats -Traité B

FIGURE 2.45 – Évolution du nombre des contrats :zoom - Traité B

58


FIGURE 2.46 – Évolution des sinistres payés - TraitéB

FIGURE 2.47 – Évolution des primes souscrites -Traité B

dans le cas du modèle de GLM de Poisson. Par conséquent, dans tous les deux cas on utilise un seulcoefficient pour repositionner les tables de morbidité de référence.

Ainsi, une différence moins significative entre le benchmark et l’approche de Brass est dû à l’estimationd’un paramètreα supérieur à 0. Par conséquent, les tables sont déplacées verticalement à la hausse de lamême valeur quelque soit l’âge. Ce choix résulte en une baisse du nombre d’assurés projeté.

En ce qui concerne les sinistres payés, les montants projetés à l’aide de GLM et de SMR restent procheset moins importants que les valeurs du benchmark tandis que les prédictions par la méthode de Brassdépassent même les montants calculés à l’aide des taux de référence. L’accroissement des sinistres payésen fonction de la méthode de Brass est lié à l’allure de la courbe de morbidité (cf. figure ??) : à partir d’uncertain âge les taux de morbidité construits par le modèle semi-paramétrique de Brass dépassent les tauxde référence.

La variation de la projection des primes souscrites est très similaire à celle du nombre de polices grâce aufait que la prime de risque est calculée comme le produit entre le nombre des in-force polices, le montantcourant réassuré et le taux de risque de primes.

Enfin, on tracé le graphique de la variation des flux actualisés, projetés des BEL. Les valeurs des fluxactualisés deviennent de plus en plus importantes, c’est-à-dire on observe un montant des flux sortantsplus significatif que des flux entrants. Le sens de variation est expliqué par l’augmentation du risque de

FIGURE 2.48 – Flux actualisés des composants des BEL par année de projection - Traité B

59


morbidité par âge. Ainsi, on peut conclure que :

1. Le modèle de GLM de Poisson à un paramètre (β1) nous donne des résultats très similaire aux BELévalués à partir de la méthode de SMR.

2. Le fait d’appliquer un paramètre de l’ordonnée à l’origine (α dans le cas du modèle de Brass nouspermet de rapprocher les résultats du benchmark.

2.5.3 Conclusion

Dans cette section on a vu que jusqu’au quel niveau la mise à jour des hypothèses de mortalité et demorbidité affecte le montant des provisions techniques en Best Estimate. L’effet des hypothèses établiessur le montant des BEL est vérifié : on n’observe aucune déviation qui ne peut pas être expliquée par lamise à jour des hypothèses biométriques.

En général, c’est la méthode de SMR qui a le plus d’impact sur les valeurs des provisions techniques. Ilest expliqué par le fait qu’il offre moins de souplesse dans le cadre de la variation de l’allure de la courbede référence. Contrairement aux approches de Brass et de GLM, elle ne permet pas de bien approcher lestaux bruts d’incidence aux petits et grands âges.

Il faut également mentionner que ce qui joue un rôle très important dans la constitution des provisionstechniques, c’est les incidences futures. Ainsi, même si aujourd’hui le SMR reflète bien en moyenne lasituation des taux d’incidence des portefeuilles, on ne peut pas être sûr qu’il offre une solution "idéale"aux âges extrêmes où on possède actuellement très peu d’exposition. Sa raison est que le coefficientd’abattement est construit en fonction du poids (exposition) des âges. A l’autre extrémité, le modèle deGLM permet d’augmenter davantage la sinistralité aux âges extrêmes dans le cas où on se limite pas àune seule variable explicative - le taux de référence.

60


2.6 Conclusion

Dans ce chapitre on a comparé plusieurs méthodes de positionnement dans le cadre de la mise à jourdes hypothèses Best Estimate biométriques (de mortalité et de morbidité). Les sujets de l’étude étaientdeux portefeuilles contenant des populations d’assurés relativement jeunes.

En conséquence, on trouve que la difficulté principale de cette étude est le manque des observations desinistralité aux grands âges qui vont cependant joué un rôle dans la constitution des provisions régle-mentaires sous la directive Solvabilité II.

Dans un premier temps, on a estimé les taux bruts d’incidence à l’aide de deux estimateurs différents :l’estimateur de Hoem et l’estimateur de Kaplan-Meier. On a retenu la méthode de Hoem pour deux rai-sons principales. D’une côté, l’estimateur de survie de Kaplan-Meier est un estimetur positivement biaisépendant que l’estimateur de Hoem est sans biais. Ainsi l’estimateur de Kaplan-Meier peut conduire à unesous-estimation des taux bruts de mortalité qui est moins prudent dans le cas du risque de mortalité etmorbidité. De l’autre côté, le calcul de l’estimateur de Kaplan-Meier n’est pas possible suite à un manquede données dans le cas des autres traités que ceux qui sont présentés dans ce mémoire.

Ensuite, on a procédé à l’estimation des paramètres d’ajustement dans le cas des trois modèles : SMR,Brass et GLM. Comme mentionné dans la conclusion 2.4.3. on gagne de plus en plus de liberté sur lamodification de l’allure des courbes en complexifiant le modèle (sous réserve de la significativité de tousles paramètres). Ainsi, ce sont les méthodes de Brass et de GLM qui permettent de capter davantage leseffets aux âges où on observe peu d’exposition : on arrive de diminuer davantage les valeurs des tauxajustés aux petits âges et inversement de les augmenter aux grands âges. Les méthodes de SMR et deGLM de Poisson ne limite pas la valeur des taux ajustés à 1. Ainsi dans le cas du modèle de GLM on risqueune sur-estimation du coefficient directeur de la pente, d’une part suite à un manque d’observations auxgrands âges et d’autre part suite à une valeur plus faibles des taux bruts d’incidence aux petits âges ainsiqu’à une valeur plus importante des taux bruts d’incidence aux grands âges. On est moins soumise à ceteffet dans le cas de la méthode de SMR où on ne base les estimations que sur un seul coefficient.

Il faut également noter que même si la méthode de SMR ne permet pas d’augmenter considérablementles taux de référence aux grands âges et en même temps de les diminuer aux petits âges, l’applicationd’une fermeture de table peut atténuer ce défaut du Standardized Mortality Ratio. Il faut souligner quemême s’il atténue l’effet de la sous-estimation des taux d’incidence aux grands âges, il le supprime pas,comme on l’a vu au niveau des Best Estimate Libailities du Traité A. Cependant, l’application d’une fer-meture de table n’offre pas forcément une solution contre la sur-estimation des mortalité aux grand âgespour la méthode de GLM de Poisson si on ne possède pas assez d’observations et la pente des courbesd’incidence croît très tôt (c’est-à-dire à partir des âges considérablement jeunes, dans notre cas 75 anspour le regroupement FS du Traité A - cf. figure 55).

Enfin, on a vu que les méthodes de positionnement proposées dans la note de travail de l’Institut des Ac-tuaires étaient non seulement utiles dans le cadre de la mise à jour des hypothèses du risque de mortalitémais également de la morbidité (notamment des maladies redoutées).

61

Chapitre 3

Amélioration de mortalité des assurésen prévoyance de long-terme

L’objectif du mémoire est de déterminer les hypothèses Best Estimate biométriques dans le cadre destraités de prévoyance de long-terme réassurés par PartnerRe. Ces hypothèses vont servir à estimer lesflux futurs et ainsi les provisions réglementaires sous la directive Solvabilité II du réassureur. Ainsi, dansle but de déterminer la meilleure estimation des flux futurs de la trésorerie, on doit tenir compte dansnos estimations de l’évolution des taux d’incidence de la mortalité et morbidité future de plus.

Dans un premier temps, on présentera les données historiques disponibles sur le marché britanniquesur l’amélioration de mortalité. Ensuite, on détaillera la démarche proposée par le Continuous MortalityInvestigation en intégrant des paramètres qui doivent être proposés par la compagnie. Enfin, on appli-quera les hypothèses déterminées dans le modèle de projection des flux du passif afin d’analyser l’impactdu changement sur les provisions techniques en Best Estimate.

Du fait du peu de données à disposition et des récents benchmarks réalisés, l’hypothèse concernantl’évolution de la morbidité ne sera pas mise à jour. De ce fait, notre étude se concentrera sur le risquede décès.

3.1 Contexte général

Le CMI (Continuous Mortality Investigation) est un organisme de recherche fondé en 1942, soutenu parl’Institute and Faculty of Actuaries (IFoA) du Royaume-Uni. Ils ont pour vocation la publication des tablesde mortalité et de morbidité pour des compagnies d’assurance vie et des fonds de pension britanniques.En complément, ils mènent des analyses d’expérience sur la mortalité des rentiers, sur les assurés ayantune garantie décès et/ou maladies redoutées ainsi que sur l’arrêt de travail. Ces analyses sont réalisées àl’aide de bases de données confidentielles provenant des compagnies ayant une activité commerciale auRoyaume-Uni. Depuis 2009, ils publient également un modèle nommé CMI Mortality Projection Modelpermettant aux assureurs d’appliquer un facteur bidimensionnel sur la table de mortalité du momentafin de construire des tables prospectives de mortalité.

62

CHAPITRE 3. AMÉLIORATION DE MORTALITÉ DES ASSURÉS EN PRÉVOYANCE DE LONG-TERME

Dans le cas général, on peut distinguer deux méthodes principales afin de prédire le taux de mortalitéfutur :

1. On extrapole les tables prospectives construites à partir des données fiables en supposant que letaux de mortalité observé du passé caractérise également le futur.

2. On applique une dérive d’amélioration de mortalité (MI - Mortality Improvement, noté mix,t enq-style et mi∗x,t en m-style 1) sur les tables du moment de la forme :

mix,t = 1− qx,t

qx,t−1et mi∗x,t = logmx,t−1 − logmx,t

où qx,t désigne le taux de mortalité des individus d’âge x à l’année calendaire t et mx,t est le tauxde mortalité au milieu de l’intervalle d’âges [x, x +1) de la période t .

Dans le cadre de cette étude, on procédera en appliquant la deuxième méthode sur les tables du momenten Best Estimate utilisées par PartnerRe pour la projection des flux du passif.

Il faut noter qu’il s’agit d’une méthode qui nécessite une grande expertise. Ainsi on aura recours auxnotes de travail et publications réalisées par le CMI et l’ONS (Office for National Statistics) sur la po-pulation anglaise et galloise. Il faut souligner que l’objectif de cette étude n’est pas de déterminer desvaleurs exactes des paramètres à utiliser dans le modèle de projection proposé par le CMI. L’objectifest de comprendre, d’analyser et de proposer une discussion sur l’amélioration de mortalité en pré-voyance de long-terme afin de prendre en compte les tendances futures de la mortalité et ainsi derenforcer l’aspect "Best Estimate" du calcul des BEL.

Le travail s’effectue en deux étapes. Dans un premier temps, on détermine le taux d’amélioration demortalité le plus récent en calibrant un modèle développé par le CMI sur la base de données historique.Ensuite, on analyse la tendance et les causes qui affectent les taux estimés de long-terme (LTR - Long-Term Rate) puis on fait converger les estimations du moment à un objectif de long-terme déterminé enavance par opinion d’expert.

3.2 Taux d’amélioration de mortalité du passé, du présent et du futur

Une augmentation de l’espérance de vie en Europe a été observée durant le 20ème siècle. En 100 ans,celle de la population britannique a presque doublé. La mortalité infantile a fortement diminué durantles cinquante premières années du siècle grâce à un meilleur système de santé, une amélioration del’hygiène et au développement de nouveaux médicaments comme les antibiotiques et les vaccins. Inver-sement, l’amélioration de mortalité durant la deuxième partie du siècle est due notamment à la baissede la mortalité aux grands âges.

Même si la mortalité a diminué pour les deux sexes, on constate un écart de variation de cette baisse parannée calendaire et par sexe. On constate une différence de plus en plus notable entre 1850 et 1970, puisune diminution jusqu’à nos jours. L’amélioration des soins de santé pendant l’accouchement et la baissedu nombre d’enfants par famille ont un effet important dans l’accroissement de l’espérance de vie des

1. Pour rappel sur la définition des taux de mortalité en q-style et m-style, cf. section 1.2 Notations actuarielles.

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FIGURE 3.1 – Taux de mortalité par âge et par cause de décès au Royaume-Uni, source : gov.uk

femmes au début du siècle. Néanmoins cette période a été également marquée par la seconde révolutionindustrielle au Royaume-Uni et ainsi une part importante d’hommes a commencé à travailler dans lesusines dans des conditions difficiles. A partir des années 1970, les conditions de travail ont été amélioréesdans l’industrie lourde, les mines et les manufactures. Par conséquent, on constate une baisse de l’écartentre l’accroissement de l’espérance de vie de deux sexes.

En outre, le département actuariel du gouvernement britannique a publié plusieurs notes de travail danslesquelles ils montrent l’existence d’un effet de cohorte sur la population née entre 1925 et 1945, avec uneforte concentration en 1931, appelé the golden cohort. Pour le moment, les causes précises de cet effet nesont pas connues, mais les études menées par l’IFoA (notamment Willets, 2004) supposent que ce phé-nomène résulte d’un groupe d’effets négligeables. D’une part, on constate un changement des habitudestabagiques via la baisse du nombre des personnes contractant un cancer du poumon, d’autre part on ob-serve une baisse de la fréquence des maladies cardiaques. Cela est probablement dû à une alimentationplus saine chez les jeunes. De plus, Willets (1999) montre que cet effet de cohorte affecte non seulementla population britannique en général mais également la population des assurés. Cependant on constateune atténuation de l’effet de the golden cohort au cours des années. Néanmoins, il existe des hypothèsesselon lesquelles il ne s’agit pas d’un vrai effet cohort mais surtout d’un effet périodique qui se manifestecomme une cohorte dans les modèles statistiques (pseudo cohorte).

Ainsi, les tendances d’amélioration de mortalité sont fortement affectées par l’apparition et la disparitiondes maladies, c’est-à-dire par le progrès médical. Même au début du 21ème siècle on peut retrouver unetendance à la baisse de l’apparition de certains types de maladies comme cause de décès. Même si latendance semble évoluer à la baisse (mise à part la maladie d’Alzheimer), on observe un ralentissementdu décroissement.

Qui dit accroissement de l’espérance de vie, dit amélioration de mortalité. Ainsi sur les figures présentéessur la page suivante, on trouve les taux d’amélioration historiques entre 1962 et 2016 et leurs projectionsjusqu’en 2041 par l’ONS. Les cinquante dernières années le taux d’amélioration était entre -1% et 3,5%.Le MI de la population masculine est caractérisé par une variance plus importante même si les valeursévoluent dans le même sens pour les deux sexes. On observe des améliorations significatives sur deuxparties des graphiques : au milieu, l’effet de cohorte de la génération 1925-1945 et pour les jeunes âges,l’effet de la baisse de la mortalité infantile et le développement du système médical.

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FIGURE 3.2 – MI et sa projection de la populationféminine britannique, source : ons.gov.uk

FIGURE 3.3 – MI et sa projection de la populationmasculine britannique, source : ons.gov.uk

En ce qui concerne l’avenir, on observe un taux d’amélioration prédictif de 1,5-2,0% à long-terme selonla projection effectuée par l’ONS. Intuitivement, on pourrait supposer que l’amélioration de mortalitédes deux sexes convergent vers le même taux d’amélioration à long-terme. Notamment par la tendancegrandissante d’homogénéisation des tâches entre les hommes et les femmes ce qui impliquerait qu’ilssoient exposés aux mêmes risques pouvant affecter leur état de santé et de fait, leur espérance de vie.

En outre, l’ONS publie des hypothèses de mortalité tous les ans en intégrant les nouvelles observationsdisponibles. Dans leur dernière revue publiée le 26 octobre 2017, ils supposent un taux d’améliorationde 1,2%, équivalent au taux d’amélioration observé au 20i ème siècle, tout âge confondu à long-terme.Cependant les futurs changements médicaux, techniques et environnementaux restent incertains. L’uti-lisation des génomiques, l’avancement des recherches en santé numérique, le développement de la ré-sistance antimicrobienne et la découverte de la médecine ré-générative peuvent avoir des effets consi-dérables sur l’espérance de vie future.

3.3 Modélisation du taux d’amélioration de mortalité : modèle Age-Period-Cohort-Improvement

D’une façon générale le MI peut être affecté par trois éléments distincts :

1. l’effet âge qui intègre les changements biologiques et sociaux spécifiques aux individus,

2. l’effet période qui décrit les événements qui affectent le bien-être de la population à un momentdonné, comme la famine, la guerre ou les crises économiques

3. et l’effet de cohorte qui englobe les causes du changement du MI par génération.

Le modèle du CMI suppose que le taux d’amélioration total peut être ainsi décomposé en taux d’amélio-

ration en fonction de l’effet âge-période, noté mi (∗),apx,t et de l’effet de cohorte mi (∗),c

x,t . De plus, les deuxeffets sont additifs.

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Afin d’estimer le taux le plus récent du MI, on aura recours à un modèle qui intègre ces trois effets : lemodèle Age-Period-Cohort Improvement (APCI). Il s’écrit comme :

logmx,t =αx +βx (t − t )+κt +γt−x

où mx,t est le taux de mortalité d’une personne au milieu de l’intervalle d’âge x à la période t et t estl’année qui se situe au centre de l’intervalle de calibration du modèle. Ainsi, αx est fonction de l’âgecaractérisant le taux de mortalité, βx (t − t ) caractérise le MI par âge, le terme κt décrit l’évolution parannée calendaire et γt−x marque l’effet de cohorte.

La fonction objective est basée sur le principe suivant : elle se compose de deux parties et sera minimiséeà l’aide de la méthode de Newton. D’une part, elle prend en compte la déviance totale entre les valeursobservées et estimées représentant le critère de fidélité. D’autre part, elle pénalise le niveau de lissage dechaque paramètre, qui est le critère de régularité. Les grandeurs de pénalisation sont proposées par leCMI et sont le résultat d’une étude détaillée de l’impact de variation.

3.3.1 Calibration du modèle

Afin de calibrer le modèle APCI, on utilisera la base de données par sexe ajustée par CMI, fournie parONS 2 . Elle fournit des données entre 1961 et 2017 entre les âges 20 et 100. La plage de calibration seradéfinie en fonction de quatre paramètres : Xmi n et Xmax désignent les limites minimum et maximumrespectives aux âges de calibration, Tmi n et Tmax donnent les frontières de la plage d’années calendaires.Ainsi les limites de calibration peuvent être également déterminées en fonction de la cohorte : Cmi n =Tmi n −Xmax et Cmax = Tmax −Xmi n .

On lance le modèle avec les paramètres de défaut proposés par CMI. Dans un premier temps on analysela valeur des paramètres estimés :

• On observe un αx qui augmente avec l’âge. Or ce paramètre caractérise le taux de mortalité (enéchelle logarithmique) par âge, donc on peut en déduire que quand l’âge augmente, le taux demortalité augmente également. De plus, on estime une mortalité plus faible pour les femmes quepour les hommes sur la période 1977-2017 (en terme de αx ).

• βx caractérise l’amélioration de mortalité par âge. Il indique que l’amélioration de mortalité dimi-nue pour la population âgée et devient 0 à l’extrémité.

• Le composant périodique κt indique l’évolution de la mortalité par rapport à l’année calendaire.Il prend en compte les événements, comme des hivers doux ou froids et les maladies infectieusesapparues. Ainsi il s’agit d’un paramètre qui est plus volatile.

• γt−x indique l’évolution de la mortalité par génération. Entre 1925-1945 on voit bien the goldencohort.

On analyse la qualité du modèle à l’aide des métriques et tests présentés dans la table 3.1. Il faut noterde la même façon qu’au chapitre 2, les tests et métriques présentés dans la table 3.1 reposent sur di-verses approximations et que leur validité n’est que approximative dans le cadre de cette étude. La valeurde SMR inférieur à 1 nous indique que l’ajustement effectué par le modèle APCI estime une mortalitémoins importante que ce qui est constaté en moyenne sur la population des femmes et des hommes.Cependant, il ne faut pas oublier que, dans cette étude, on est principalement intéressé par la variation

2. La base de donnée brute est disponible sur le site de Human Mortality Database : mortality.org également.

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FIGURE 3.4 – Estimation du paramètre αx - APCImodéle

FIGURE 3.5 – Estimation du paramètre βx - APCImodéle

FIGURE 3.6 – Estimation du paramètre κt - APCImodéle

FIGURE 3.7 – Estimation du paramètre γt−x - APCImodéle

de la mortalité et non pas par son niveau. Le coefficient de détermination R2 nous indique la variationexpliquée par le modèle sur la variation totale. On considère que c’est un indicateur qui permet de quan-tifier la qualité du modèle au niveau des taux d’amélioration de mortalité. Les valeurs 99,8% dans le casdes femmes et 99,5% dans le cas des hommes nous indiquent un ajustement de bonne qualité. On aégalement effectué le test des signs : on a testé si les éléments de la suite des signs sont mutuellement in-dépendants. Les p-valeurs obtenues sont supérieurs au seuil α de 5%, ainsi on ne rejette pas l’hypothèsenulle. L’erreur associée à cette décision est β. Les résidus standardisés calculés sur la plage de calibrationdu modèle sont présentés en Annexe D. Les résidus sont plus importants aux âges extrêmes ce qui est dûà un volume de données moins important. Les figures ne présentent aucun écart systématique très im-

Regroupement Femmes HommesSMR 0,95 0,96χ2 10 587,42 8 800,39

MAPE 0,001 0,001R2 0,998 0,995∑

x Dévi ancex 9 389,85 7 957,03ξSIGN S 1,04 1,94

p-valeur de ξSIGN S 0,298 0,052

TABLE 3.1 – Analyse de la qualité des ajustements par le modèle APCI

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portant. Enfin, en recalculant l’espérance de vie à 20 ans, on observe un bon ajustement des observationsautour des valeurs estimées.

3.3.2 Estimation de l’amélioration de mortalité récente

Afin d’extrapoler les taux d’amélioration de mortalité, on convertit tout d’abord les taux d’incidence es-timés en taux d’amélioration estimés :

mi∗x,t = logmx,t−1 − logmx,t = mi∗,apx,t +mi∗,c

x,t .

Puis on détermine les taux d’amélioration récents en fonction de l’effet âge-période et l’effet cohortepour l’année calendaire Tmax tels que :

mi∗,apx,Tmax

=

−βx +κTmax−1 −κTmax si x ∈ [Xmi n , Xmax ]

X t aper −xX t aper −Xmax

mi∗,apXmax ,Tmax

si x ∈ [Xmax +1, X t aper ]−1

0 si x ≥ X t aper

,

mi∗,cTmax−x,Tmax

=

γTmax−1−x −γTmax−x si x ∈ [Xmi n , Xmax ]

X t aper −xX t aper −Xmax

mi∗,cTmax−Xmax ,Tmax

si x ∈ [Xmax +1, X t aper ]−1

0 si x ≥ X t aper

.

FIGURE 3.8 – Effet âge-période sur le MI récent FIGURE 3.9 – Effet cohorte sur le MI récent

FIGURE 3.10 – MI récent

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Les paramètres du modèle sont tracés en fonction de l’âge sur les figures 3.8, 3.9 et 3.10. Les lignes verti-cales marquent la plage d’âges la plus affectée par l’amélioration de la mortalité de la population globaledans le cas des portefeuilles réassurés par PartnerRe au Royaume-Uni. Le poids de la population entre20 et 75 ans est présenté dans la table 3.2. On remarque que les taux d’amélioration de mortalité im-portants aux grands âges affectent peu les traités réassurés par PartnerRe, cependant on constate uneamélioration de mortalité importante de la population masculine entre 30-45 ans.

Sexe En nombre En montantFemmes 99,80% 99,97%Hommes 99,66% 99,97%

TABLE 3.2 – Poids de la population entre 20-75 ans des traités au Royaume-Uni

On recalcule l’amélioration de mortalité moyenne par sexe, tout âge confondu : dans le cas de la popu-lation féminine, on constate une amélioration de mortalité récente de 0,65% en moyenne sur la plaged’âges 20-110 et 0,84% dans le cas de la population masculine. En se limitant aux âges 20-75, on trouve0,74% pour les femmes et 0,97% pour les hommes. En pondérant les taux d’amélioration en fonction del’exposition du portefeuille pour tout âges on trouve une amélioration de mortalité autour de 0,51-0,56%pour les femmes et 0,98-0,99% pour les hommes (cf. table 3.3).

Sexe Pondération par nombre Pondération par montantFemmes 0,56% 0,51%Hommes 0,98% 0,99%

TABLE 3.3 – Amélioration de mortalité de 2016 à 2017, pondérée par les caractéristiques des portefeillesde PartnerRe

Le fait qu’on observe une amélioration de mortalité plus importante pour les hommes que pour lesfemmes de l’année 2016 à 2017 sur la base des estimations du modèle APCI est dû à un pic constatéentre les âges 30-45 des hommes. Cette observation coïncide avec notre supposition passée. En effet, ellemontre que l’écart entre l’espérance de vie des deux sexes diminue et que l’on tend à une stabilisationégalitaire de l’amélioration de l’espérance de vie des deux sexes.

3.3.3 Extrapolation des taux d’amélioration de mortalité récents

Afin de prédire les taux d’amélioration de mortalité futurs, on extrapole les taux d’amélioration de mor-talité récents définis dans la section précédente. Comme mentionné dans l’introduction, l’objectif est defaire converger les taux estimés d’amélioration de mortalité récents vers un objectif (taux) de long-terme,appelé le taux de long-terme (Long-Term Rate - LTR) à l’aide d’une convergence du type cubique. Ainsi,on introduit le vocabulaire suivant :

• La période de convergence est le nombre de périodes après lequel le taux d’amélioration est égalau LTR.

• La direction du trajet (Direction of Travel - DoT) décrit le sens d’amélioration de mortalité pendantla période de convergence. Autrement dit, il permet à l’utilisateur de modifier la trajectoire initialedes taux d’amélioration. Si l’amélioration de mortalité est définie comme la première dérivée par-

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FIGURE 3.11 – Période de convergence par compo-sant âge-période

FIGURE 3.12 – Période de convergence par compo-sant cohorte

tielle de − logmx,t par rapport à t , alors le DoT est la deuxième dérivée partielle de − logmx,t parrapport à t .

En fonction de ces deux paramètres on fait converger les taux d’amélioration de mortalité récents vers leLTR à l’aide d’une convergence cubique.

Comme l’amélioration de mortalité, la période de convergence et le DoT peuvent également être dé-composés en composant âge-période et en composant cohorte. Par défaut, le DoT est tel que les tauxd’amélioration de mortalité projetés à mi-chemin sont la moyenne des taux d’amélioration de mortalitéinitiaux et le LTR. La période de convergence est visible sur les figures 3.11 et 3.12.

Dû au fait qu’on a très peu de sinistralité sur les portefeuille réassurés par PartnerRe, on préfère ne pasaffecter les paramètres proposés par le CMI qui sont basés sur des études réalisées par des experts surune base de données plus importante.

Ainsi, il nous reste à analyser les valeurs possibles du LTR : notamment du LTR en fonction du composantâge-période et du composant cohorte. Or le LTR du composant cohorte est égal à 0 dans le modèle initialconstruit par le CMI qu’on propose de ne pas changer pour les mêmes raisons que celles qui ont étéprésentées dans le cas de la période de convergence et le DoT.

3.3.4 Analyse du LTR

Comme on l’a décrit dans la section 3.2, l’ONS prédit un taux d’amélioration sur la population globale de1,5-2,0% sur une base de données de calibration entre 1963-2016. Cependant, selon les dernières étudesréalisées par le CMI (le 26 octobre 2017), ils proposent un taux d’amélioration de long-terme de 1,2% toutsexe confondu.

Dans la suite, on analysera le taux d’amélioration de mortalité historique entre 1962 et 2017. On utilise lelogarithme des taux de mortalité standardisés, notés SMr qui permet de comparer les taux de mortalitéentre différentes populations. Il s’écrit comme :

SMr =∑xu

i=xdDx

nxnx∑xu

x=xdnx

où xd représente l’âge de début et xu l’âge finale de la comparaison, Dx est le nombre de décès tandis

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FIGURE 3.13 – Taux d’amélioration de mortalitéhistorique

FIGURE 3.14 – Taux d’amélioration de mortalitéhistorique

que nx est le nombre des personnes vivantes à l’âge x et nx est le nombre des réassurés présents à l’âgex souscrivant des garanties décès temporaires selon les dernières données disponibles.

On décide de comparer les taux de mortalité sur le plage d’âges [20,75]. On trace les taux d’améliorationspar sexe en fonction de SMr et on superpose la moyenne mobile à 5 ans afin de rendre visible l’évolutiondes taux d’améliorations de mortalité (cf. figures 3.13 et 3.14). Sur les 56 dernières années on constate uneévolution qui varie davantage entre 0-2,5% pour les femmes et -0,1-0,3% pour les hommes. Cependantsur les 6 dernières années (depuis 2011) on constate une diminution de l’amélioration, autrement dit unralentissement de la diminution des taux de mortalité entre les âges 20-75. Dans le table 3.4, on analysela valeur de l’amélioration de mortalité par tranches de périodes entre les âges 20-75. En comparant lerésultat entre 2000-2017 et la figure 3.1 on pourrait supposer que le ralentissement de l’amélioration enterme de causes de décès est dû à deux effets inverses : d’une part on constate un décroissement de lavitesse de survenance de certaines maladies comme les maladies cardiaques ou le stroke et d’autre parton constate un accroissement des décès causés par des maladies mentales et comportementales.

Sexe 1961-1975 1975-2000 2000-2011 2011-2017Femmes 0,69% 1,74% 2,08% 0,81%Hommes 0,77% 2,23% 2,53% 0,81%

TABLE 3.4 – Amélioration de mortalité par période de la population britannique.

Afin d’identifier les raisons qui conduisent à un ralentissement de la diminution des taux de mortalité(drivers of mortality), on analyse, dans un premier temps, les paramètres estimés par le modèle APCI(cf. figures 3.4, 3.5, 3.6 et 3.7). On remarque qu’à l’aide du paramètre κt le modèle a réussi à identifierentre 2010 et 2017 un effet période négatif sur l’amélioration de mortalité 3. Or dans la section 3.3 on adéfinit le composant périodique comme une variable décrivant les effets conduits par des événementsqui affectent le bien-être de la population à un moment donné, comme la famine, la guerre ou les criseséconomiques. De manière générale, il s’agit des changements sociaux, économiques ou réglementaires.

Suite à un effet périodique marqué par le modèle, des experts ont identifié un driven of mortality prin-cipal qui est la baisse des dépenses de santé. En 2017, l’Institut d’Etudes Fiscales britannique (Institutefor Fiscal Studies - IFS) a réalisé une note sur les dépenses de santé de l’Etat. Sur la figure 3.15 on voit un

3. Rappel : le composant périodique de l’amélioration de mortalité est calculé comme : κt−1 −κt , ainsi un accroissement de lavaleur de κt en fonction de t conduit à un effet négatif sur l’amélioration de mortalité.

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FIGURE 3.15 – Évolutions des dépenses de santé auRoyaume-Uni, source : IFS, UK Health spendingbriefing note, 2017

FIGURE 3.16 – Prédiction des dépenses de santejusqu’en 2020 au Royaume-Uni, source : IFS, UKHealth spending briefing note, 2017

ralentissement de l’augmentation en termes réels sur la période 2010-2016 et une diminution en termedu PIB sur la même période. L’IFS a également montré ce qu’on peut attendre par rapport aux dépensesréalisées de santé entre 2009 et 2010 jusqu’en 2020 : en termes réels ils s’attendent à une augmentationdes dépenses, en terme du PIB par habitant ils prédisent une stagnation sur la période 2015-2020. Ce-pendant, en tenant compte de l’accroissement et du vieillissement de la population, ils projettent unedétérioration des dépenses de santé (cf. 3.16). Cependant, il faut noter que des études ultérieures ontété réalisées sur la population irlandaise qui montrent également un ralentissement de l’amélioration demortalité sur la population générale irlandaise à partir de 2010. Ainsi, ce ralentissement au niveau de lapopulation britannique ne peut pas (seulement) être la cause d’un phénomène national.

Ainsi la question à se poser dans la suite est que quel LTR à utiliser sur la population des réassurés parPartnerRe. On pourrait considérer un taux d’amélioration de 1,2% à long-terme, cependant il faut noterque ce taux est calculé sur la population globale britannique et ne tient pas compte des spécificités duportefeuille de PartnerRe. Enfin, on regroupe les éléments finaux qui sont les résultats de l’étude et quivont nous conduire à la définition d’une fourchette de LTR :

• Le taux d’amélioration de mortalité proposé par le CMI prend en compte les taux d’amélioration demortalité aux grands âges qui par contre affecte très peu les portefeuilles chez PartnerRe (cf. 3.9).Par contre, on constate un taux d’amélioration important, décrit par un effet de cohorte dans le casde la population masculine entre les âges 30-45. La question à se poser alors : va-t-on observer uneatténuation de l’effet de cohorte de cette génération des hommes comme dans le cas de the goldencohort ?

• La taux d’amélioration récent estimé à l’aide du modèle proposé par le CMI se situe entre 0,51-0,56% pour les femmes et 0,98-0,99% pour les hommes en pondérant les taux d’amélioration enfonction de l’âge par l’effectif des portefeuilles réassurés en nombre et en montant.

• Le taux d’amélioration brut moyen était de 0,81% pour le sexe féminin et de 0,76% pour le sexemasculin sur les six dernières années.

• Sur ces six dernières années on constate une dégradation de l’amélioration de mortalité. Un de cesdrivens principaux est la baisse des dépenses de santé au Royaume-Uni probablement qui vontcontinuer à décroître jusqu’en 2020 selon la note de synthèse présentée par l’IFS. Cependant, unebaisse des dépenses de santé affecte plus la population âgée que les jeunes d’un point de vue gé-

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Sexe Population générale 2000 Population générale 2008 T series ’00 T series ’08Femmes 62,94 64,61 65,70 66,31Hommes 58,33 60,62 61,37 63,99

TABLE 3.5 – Espérance de vie au Royaume-Uni à l’âge 18 en fonction de la population générale et lapopulation ayant une assurance prévoyance

néral. En outre, l’effet de ce phénomène a été identifié comme un effet périodique qui peut notam-ment être très volatile d’une année sur l’autre 4.

• Depuis le début du 21ème siècle, on constate un ralentissement de lu décroissement de l’apparitionde la plupart des maladies, mise à part de la maladie d’Alzheimer dont la fréquence du diagnosticaugmente.

• On constate que la population générale masculine a gagné 2,29 ans en terme d’espérance de vie àl’âge 18 entre 2000 et 2008. Pour la population féminine, l’espérance de vie a augmenté de 1,67 ansdurant cette même période. En ce qui concerne la population des assurés britanniques ayant unecontrat d’assurance de prévoyance de long-terme : les hommes ont gagné 2,62 ans tandis que lesfemmes ont gagné seulement 0,61 ans 5. Ainsi on ne peut pas supposer une certain logique d’évo-lution de l’amélioration de mortalité de la population des assurés ayant un contrat de prévoyancede long-terme par rapport à la population générale (cf. table 3.5).

• On recalcule également l’espérance de vie partielle entre 20 et 75 ans : la population générale fé-minine a gagné 0.47 ans entre 2000-2008 tandis que les femmes ayant un contrat de prévoyanceont gagné 0,65 ans. On observe le même sens de variation dans le cas des hommes : la populationgénérale a gagné 0,8 ans tandis que les hommes ayant un contrat de prévoyance ont gagné 0,95ans entre 2000 et 2008. Ainsi sur cette même période on constate une très légère différence entrel’amélioration de mortalité de la population générale et la population des assurés entre 20 et 75 ansen faveur des assurés (cf. table 3.6). Suite à un écart faible entre l’amélioration de mortalité de lapopulation générale et les assurés en prévoyance, à un manque d’évidence sur la totalité des âgeset à un manque de données sur le marché britannique (cf. table 3.5), on décide de ne pas chercherà différencier le comportement des assurés en prévoyance de celui de la population générale.

• On pose également la question de la différentiation des assurés selon leur qualité de fumeur. Onest conscient que le taux de mortalité des fumeurs est plus important en moyenne que celui des

4. Nota bene, pour le moment l’effet de la baisse des dépenses publiques entre 2010-2017 est décrit comme un effet périodique,cependant s’il se manifeste pendant une plus longue durée il pourra devenir un effet cohorte également.

5. L’espérance de vie à l’âge 18 de la population générale en 2000 était construits à partir du National Life Tables, England1999-2001 et en 2008 du National Life Tables, England 2007-2009. L’espérance de vie des personnes ayant souscrits un contratd’assurance de prévoyance a été calculé en fonction de la Duration +5 afin de ne pas prendre en compte l’effet de la sélectionmédicale.

Sexe Population générale 2000 Population générale 2008 T series ’00 T series ’08Femmes 52,87 53,34 53,87 54,52Hommes 50,99 51,79 53,01 53,96

TABLE 3.6 – Espérance de vie partielle au Royaume-Uni de l’âge 20 à l’âge 75 en fonction de la populationgénérale et la population ayant une assurance prévoyance

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non-fumeurs. Ainsi on peut considérer deux cas différents concernant l’amélioration de mortalitédes fumeurs :

1. L’effet néfaste de la cigarette influence la variation de l’espérance de vie et ainsi de l’amélio-ration de mortalité d’une façon négative. Ainsi on pourrait considérer une amélioration demortalité plus faible des fumeurs que des non-fumeurs.

2. Étant donné que les fumeurs ont une espérance de vie plus faible que les non-fumeurs, ilsont également une plus grande marge d’amélioration de leur mortalité (on peut, par exemple,penser aux avancées médicales concernant le cancer du poumon).

En conséquence, suite à un manque de données et d’études concernant l’amélioration de mortalitéde la population britannique en fonction de la segmentation fumeur/ non-fumeur, on décide dene pas les dissocier et de ne pas définir de LTR différents pour ces deux populations.

• Comme présenté dans la section 1.2, les avancées médicales peuvent avoir des effets considérablessur l’espérance de vie future. Cependant le fruit des recherches qui affectent davantage le prolon-gement de l’espérance de vie future deviendront accessibles d’abord à la population plus aisée,autrement dit aux épargnants et non aux emprunteurs. Par conséquent, on envisage une amélio-ration de mortalité plus importante des rentiers que des assurés en prévoyance de long-terme 6.

• La duration brute (sans la prise en compte des rachats, de la mortalité et de la morbidité) des porte-feuilles réassurés au Royaume-Uni par PartnerRe est de 14 ans. En tenant compte des hypothèsesde rachat et de mortalité-morbidité adoptées par la compagnie, la duration moyenne diminue à8.6 ans. Ainsi, on doit focaliser l’étude sur les années récentes.

• Finalement, il faut mentionner que l’ONS réalise des projections de l’espérance de vie de la po-pulation depuis 1971, cependant sur les figures 3.17 et 3.18 on observe qu’ils ont une tendance àsous-estimer l’amélioration de mortalité future (également vrai pour la période 2012-2016). Unecause principale est que les experts attendent le ralentissement de l’augmentation de l’améliora-tion de mortalité car la mortalité ne peut pas être améliorée à l’infini. La question qui se pose alorsest de savoir quand atteindra-t-on le maximum

FIGURE 3.17 – Projections de l’espérance de vieversus l’observée par ONS - population féminine,source : ONS, National Population Projections Ac-curacy Report, 2015

FIGURE 3.18 – Projections de l’espérance de vie ver-sus l’observée par ONS - population masculine,source : ONS, National Population Projections Ac-curacy Report, 2015

6. Une grande partie des traités réassurés par PartnerRe couvre des assurances emprunteur.

74


Summa summarum, on n’observe pas des évidences qui peuvent avoir des effets considérables dans lareprise de l’amélioration de mortalité des assurés en prévoyance de long-terme réassurés par PartnerReau Royaume-Uni au moins jusqu’en 2020. Cependant les figures 3.17 et 3.18 et le LTR de 1,2% proposépar l’ONS nous invite à une certaine prudence dans la sous-estimation de l’amélioration de mortalité delong-terme. En tenant compte de la duration moyenne courte des contrats (8 ans) et une concentrationdes assurés entre 20 et 75 ans, on propose une fourchette de [0,8%,1,2%] pour la valeur du LTR.

3.4 Test de sensibilité sur le LTR

La dernière étape de l’étude concernant le taux d’amélioration de mortalité est la projection des tauxd’amélioration récents en fonction de la fourchette du LTR proposée. Ainsi on extrapole les estimationsdu modèle APCI en fonction des sexes pour trois LTRs distincts : 0,8%, 1,0% et 1,2% jusqu’en 2067.

Les cartographies (heat maps) des résultats se trouvent en annexe (Annexe F). On trace la limite des âgesen fonction des caractéristiques des portefeuilles réassurés par PartnerRe.

Dans le cas de la population féminine, on constate un taux d’amélioration entre 0,0-2,5% pour les âges20-75. En ce qui concerne la projection des taux d’amélioration de mortalité de la population masculinebritannique on constate une plus forte variation historiques : il est compris entre -1,0-3,0% entre la plaged’âges 20-75. D’une manière générale c’est le LTR de 1,2% qui permet de garder davantage le forme destaux d’amélioration historiques importants tandis que le LTR de 0,8% dissout plus rapidement les tauxd’améliorations importants et laisse manifester les taux faibles.

Dans la suite, on va intégrer les taux d’amélioration de mortalité ainsi construits dans le progiciel de laprojection des flux du passif afin de comparer les résultats des BEL en fonction du LTR choisi.

3.4.1 Adaptation des taux d’amélioration de mortalité sur la table du moment

Comme mentionné dans l’introduction, le taux d’amélioration de mortalité doit être appliqué sur lestables de mortalité du moment comme une certaine dérive de mortalité afin de pouvoir utiliser des tablesde mortalité prospectives pour la projection des flux.

Dans un premier temps on convertit les taux d’amélioration de mortalité du m-style à q-style à l’aide del’hypothèse de force de mortalité constante, autrement dit :

qx,t = 1−exp(−mx,t ) et mix,t = 1− qx,t

qx,t−1.

La dérive, appelée également reduction factor et notée RFx,t est calculée comme suit :

RFx,t =

RFx,t−1 ∗ (1−mix,t ) si t > tbasi s

1 si t = tbasi sRFx,t+1

1−mix,t+1si t < tbasi s .

où tbasi s est l’année de construction de la table du moment et t est le 1er janvier de l’année t . En cas duregroupement de plusieurs années d’observations on détermine tbasi s comme le milieu de l’intervalle decalibration.

75


En conséquence, on peut facilement se retrouver dans une situation où le tbasi s n’est pas le 1er janviermais une autre date. Prenons l’exemple du Traité A, on choisit le 1 juillet 2013 comme tbasi s car il re-présente le milieu de la plage de calibration - du 01/01/2010 au 31/12/2016. Ainsi les reduction factorsvont être calculés du 01/07/t au 01/07/t+1 pout tout t . Le reduction factor au milieu de l’année t est notéRFx,[t− 1

2 ,t+ 12 ) et il est calculé comme :

RFx,[t− 12 ,t+ 1

2 ) = RFx,[t− 12 ,t ) ×RFx,[t ,t+ 1

2 ) = RFf ((t− 1

2 ,t )x,t−1 ×RF

f ((t ,t+ 12 )

x,t

où la fonction f (x, y) représente la proportion de l’année entre x, y avec 0 ≤ y −x ≤ 1.

Finalement, le taux de mortalité à l’âge x au moment t , noté t qx est calculé comme t qx = qx ×RFx,t oùqx est le taux de mortalité à l’âge x de la table du moment.

3.4.2 Calcul des Best Estimate Liabilities

Afin de tester la sensibilité des provisions techniques en Best Estimate, on évalue leur niveau en fonctionde trois LTRs différents. Ils vont être comparés au benchmark qui est les taux d’amélioration de mortalitérécemment utilisés dans le modèle de projection des flux du passif.

Les BEL relatifs aux projections se trouvent dans la table 3.7. On constate des BEL positifs ce qui signifiequ’on estime plus de flux actualisés sortants que de flux actualisés entrants. La principale raison estqu’on est déjà à la deuxième moitié de la duration des contrats dans les portefeuilles britanniques et quela plupart des contrats est souscrite avec une prime nivelée.

En augmentant la valeur du LTR, le montant des provisions techniques en Best Estimate diminue. Saraison principale est qu’en augmentant le taux d’amélioration de mortalité de long-terme, le taux demortalité futur diminue et ainsi le montant des sinistres à payer dans l’avenir aussi. Par conséquent, lemontant des flux sortants actualisés diminue et enfin, les provisions techniques décroissent.

Benchmark LTR de 0,8% LTR de 1,0% LTR de 1,2%BEL £ 69 083 384 £ 77 020 097 £ 71 602 989 £ 66 389 672

TABLE 3.7 – Montant des BEL en fonction de l’hypothèse de taux d’amélioration de mortalité auRoyaume-Uni

En traçant le graphique du nombre des contrats en fonction de la période de projection (cf. figure 3.19),l’évolution suit la même logique : en augmentant l’amélioration de mortalité, l’espérance de vie et doncle nombre des contrats en vigueur accroît.

On recalcule le montant actualisé des sinistres probables à payer dans la table 3.8 et on trace le gra-phique du montant actualisé des sinistres à payer par période de projection 3.20. La variation des fluxsuit la même logique que celle évoquée dans le cas de l’évolution des BEL. On constate également quele benchmark utilisé actuellement pour la projection des flux du passif est équivalent à un LTR entre 1,0-1,2%. Enfin, on considère que les résultats présentés sont cohérents en terme de variation des flux dupassif en fonction de la variation du LTR du modèle du CMI.

76


FIGURE 3.19 – Évolution du nombre des contrats enfonction du LTR

FIGURE 3.20 – Évolution des sinistres payés en fonc-tion du LTR

Benchmark LTR de 0,8% LTR de 1,0% LTR de 1,2%PV claims £ 503 745 059 £ 511 581 036 £ 506 233 198 £ 501 086 928

TABLE 3.8 – Somme actualisée des sinistres à payer (PV claims) en fonction de l’hypothèse de taux d’amé-lioration de mortalité au Royaume-Uni

3.5 Conclusion

L’objectif de ce chapitre était de proposer une discussion sur l’amélioration de mortalité des assurés enprévoyance de long-terme au Royaume-Uni à l’aide de l’outil du CMI.

Il s’agit d’un sujet peu développé qui est dû à deux principales raisons. D’une part PartnerRe ne disposepas assez de données pour avoir une historique fiable pour la construction d’une position endogène,propre à l’entreprise. D’autre part, on trouve très peu d’études sur l’amélioration de mortalité sur la po-pulation des assurés en prévoyance de long-terme au Royaume-Uni.

De surcroît, l’analyse de l’évolution de l’espérance de vie entre la population générale et la populationdes assurés ne montre pas des fortes évidences concernant l’existence d’une différence importante. Demême, dans le cas du statut fumeur, on décide de ne pas segmenter le portefeuille suite à un manque dedonnées et d’études.

Pour des raisons évoquées précédemment, on a eu recours au modèle proposé par le CMI : le CMI Morta-lity Projection Model. En conséquence, la problématique principale était de déterminer la valeur du tauxd’amélioration de mortalité à long-terme à utiliser dans le modèle. La fourchette principale de sa valeura été choisie en prenant compte la concentration du portefeuille récent entre 20 et 75 ans, le ralentisse-ment de l’amélioration de mortalité les sept dernières années et la duration restante courte des contrats.Finalement, on a proposé un LTR entre 0,8-1,2%.

Néanmoins, le but du chapitre était non seulement de proposer un modèle et des paramètres utilisablesdans le futur dans le cas des produits d’assurance décès et maladies redoutées au Royaume-Uni, mais deproposer une discussion sur le sujet et de faire preuve d’ouverture dans le but d’aboutir à des hypothèsesbiométriques du calcul des provisions techniques sous Solvabilité II rapprochant davantage la définitiondu Best Estimate.

77


Il faut mentionner que la détermination du LTR final engendre beaucoup de l’incertitude. Notamment, ilest connu que depuis 1972 l’ONS a une tendance de sous-estimer l’espérance de vue future de la popu-lation britannique. Une des principales raisons est qu’on attend à atteindre le maximum d’améliorationqui est possible biologiquement. En outre, on doit également tenir compte de la recherche médicale.

Finalement, il faut évoquer qu’on a décidé d’utiliser les paramètres fondamentaux du Mortality Projec-tion Model. Cependant il serait possible de choisir le réglage de certaines valeurs, comme la plage d’âgeset d’années calendaires de calibration, le niveau de pénalisation des paramètres de lissage, la période etla direction de la convergence de taux d’amélioration de mortalité vers le LTR et le LTR par âges...

78

Conclusion

L’objectif de ce mémoire est la construction des hypothèses Best Estimate biométriques dans le cadredes produits d’assurance décès et maladies redoutées. Plus précisément, on détermine les hypothèsestechniques de mortalité et de morbidité pour le calcul des provisions réglementaires sous la directiveSolvabilité II. Dans le cadre de l’étude on a utilisé deux portefeuilles réassurés par PartnerRe au Royaume-Uni. Une spécificité est qu’ils contiennent une population d’assurés relativement jeune : entre 20 et 75ans.

Dans la première partie du mémoire on a appliqué trois approches différentes pour positionner nos tauxde référence par rapport aux taux bruts estimés : le SMR, la version semi-paramétrique du modèle deBrass et un modèle de GLM de Poisson. Le but était de remettre en question la méthode de SMR utiliséeen compagnie. D’une part, on a remarqué que l’écart entre les méthodes proposées diminue en aug-mentant le volume des données disponibles sous réserve que l’allure de la courbe des taux d’incidencedes benchmarks à chaque âge a été relativement bien déterminée au départ. D’autre part, l’utilisationde plusieurs paramètres offre une plus grande souplesse et ainsi plus de possibilité dans la déformationdes courbes d’incidence de référence. Il peut être notamment utile dans le cas où on observe une sous-estimation importante des taux d’incidence aux grands âges, ou inversement, une sur-estimation auxpetits âges. Dans le cadre de cette étude, ce caractéristique se manifeste dans le cas des regroupementsFS et MS. Cependant, aux grands et petits âges on ne possède pas assez d’observations pour avoir unevision crédible concernant la sur- ou sous-estimation des taux d’incidence. Par conséquent, on conclutcette partie de l’étude en gardant l’approche du Standardized Mortality Ratio comme référence dans lecas de la mise à jour des tables du moment de mortalité et morbidité de ces traités. Néanmoins, il fautrester vigilant et effectuer un suivi permanent de l’évolution de sinistralité car la plage d’âges utiliséepour la calibration des modèles ne prend pas en compte tous les âges qui sont intégrés dans le calcul desprovisions techniques en Best Estimate.

Dans un deuxième temps, on a déterminé la dérive de mortalité afin de construire une table de morta-lité prospective spécifique à la compagnie. En utilisant le modèle proposé par le CMI, la problématiqueprincipale du dernier chapitre était la définition du LTR. On a proposé une fourchette de 0,8-1,2%. Lechoix effectué a été expliqué en grande partie par les caractéristiques de la plage d’âges étudiée, la du-ration restante faible des contrats et une baisse permanente de l’amélioration de mortalité depuis 2010.Cependant il faut noter que le volume restreint des données disponibles aujourd’hui et l’incertitude liéeaux avancées médicales et technologiques laissent une porte ouverte aux discussions et recherches enassurance de prévoyance de long-terme au Royaume-Uni et également au monde entier.

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Bibliographie

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Liste d’abréviations

APCI Age-Period-Cohort Improvement

BEL Best Estimate Liabilities

CI Critical Illness

CI-ACC Garantie Accelerated Critical Illness

CI-ADD Garantie Additional Critical Illness

CI-STA Garantie Stand-Alone Critical Illness

CMI Continuous Mortality Investigation

DoT Direction of Travel

DTA Decreasing Term Assurance

EIOPA European Insurance and Occupational Pensions Authority

FIB Family Income Benefit

FN Femmes non-fumeurs

FS Femmes fumeurs

GLM Generalized Linear Model

IFoA Institute and Faculty of Actuaries

IFS Institute for Fiscal Studies

ITA Increasing Term Assurance

JLFD Joint Life First Death

JLLS Joint Life Last Survivor

LAP Life Administration Platform

LIFE Garantie décès temporaire

LTA Level Term Assurance

LTPM Long-Term Protection Model

LTR Long-Term Rate

82

LISTE D’ABRÉVIATIONS

MAPE Mean Average Percentage Error

MI Mortality Improvement

MN Hommes non-fumeurs

MS Hommes fumeurs

ONS Office for National Statistics

SCR Solvency Capital Requirement

SMR Standardized Mortality Ratio

TPD Total and Permanent Disability

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Table des figures

1.1 Chaîne de Markov de la garantie CI-ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Chaîne de Markov de la garantie CI-ACC avec plusieurs états de maladies redoutées . . . . . 171.3 Bilan prudentiel sous la directive Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Sources de risques jouant dans le calcul du capital de solvabilité requis . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Exposition versus nombre d’incidences - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Exposition versus nombre d’incidences - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Âge des assurés à la maturité du contrat - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Âge des assurés à la maturité du contrat - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Taux de mortalité de référence - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Taux de mortalité logarithmique de référence - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Taux de morbidité de référence - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8 Taux de morbidité logarithmique de référence - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9 Présentation des troncatures et censures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.10 Taux bruts de l’estimateur de Hoem avec intervalles de confiance à un niveau de confiance

de 95% - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.11 Taux bruts de l’estimateur de Kaplan-Meier avec intervalles de confiance à un niveau de

confiance de 95% - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.12 Taux bruts de l’estimateur de Hoem avec intervalles de confiance à un niveau de confiance

de 95% - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.13 Taux bruts de l’estimateur de Kaplan-Meier avec intervalles de confiance à un niveau de

confiance de 95% - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.14 Estimateur de Hoem (bleu) versus Kaplan-Meier (rouge) - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . 362.15 Estimateur de Hoem (bleu) versus Kaplan-Meier (rouge) - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . 362.16 Mortalité estimée versus observée du traité A avant sélection des variables - FN . . . . . . . . 452.17 Mortalité estimée versus observée du Traité A avant sélection des variables - FS . . . . . . . . 452.18 Mortalité estimée versus observée du traité A avant sélection des variables - MN . . . . . . . . 452.19 Mortalité estimée versus observée du Traité A avant sélection des variables - MS . . . . . . . . 452.20 Mortalité estimée versus observée du traité A après sélection des variables - FN . . . . . . . . 462.21 Mortalité estimée versus observée du Traité A après sélection des variables - FS . . . . . . . . 462.22 Mortalité estimée versus observée du traité A après sélection des variables - MN . . . . . . . . 462.23 Mortalité estimée versus observée du Traité A après sélection des variables - MS . . . . . . . . 462.24 Décès estimés versus observés du Traité A - FN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.25 Décès estimés versus observés du Traité A - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

84

TABLE DES FIGURES

2.26 Décès estimés versus observés du Traité A - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.27 Décès estimés versus observés du Traité A - MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.28 Coefficients de détermination en fonction de l’âge - SMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.29 Coefficients de détermination en fonction de l’âge - Brass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.30 Coefficients de détermination en fonction de l’âge - GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.31 Taux de morbidité estimés versus observés du Traité B - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.32 Taux de morbidité estimés versus observés du Traité B - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.33 Taux de morbidité estimés versus observés du Traité B - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.34 Taux de morbidité estimés versus observés du Traité B - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.35 Morbidité estimée versus observée du Traité B - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.36 Morbidité estimée versus observée du Traité B - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.37 Évolution du poids des regroupements dans le portefeuille - Traité A . . . . . . . . . . . . . . 552.38 Évolution du poids des regroupements dans le portefeuille - Traité B . . . . . . . . . . . . . . 552.39 Évolution du nombre des contrats - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.40 Évolution du nombre des contrats : zoom - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.41 Évolution des sinistres payés - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.42 Évolution des primes souscrites - Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.43 Flux actualisés des composants des BEL par année de projection - Traité A . . . . . . . . . . . 572.44 Évolution du nombre des contrats - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.45 Évolution du nombre des contrats : zoom - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.46 Évolution des sinistres payés - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.47 Évolution des primes souscrites - Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.48 Flux actualisés des composants des BEL par année de projection - Traité B . . . . . . . . . . . 59

3.1 Taux de mortalité par âge et par cause de décès au Royaume-Uni, source : gov.uk . . . . . . . 643.2 MI et sa projection de la population féminine britannique, source : ons.gov.uk . . . . . . . . 653.3 MI et sa projection de la population masculine britannique, source : ons.gov.uk . . . . . . . . 653.4 Estimation du paramètre αx - APCI modéle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Estimation du paramètre βx - APCI modéle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6 Estimation du paramètre κt - APCI modéle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.7 Estimation du paramètre γt−x - APCI modéle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.8 Effet âge-période sur le MI récent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.9 Effet cohorte sur le MI récent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10 MI récent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.11 Période de convergence par composant âge-période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.12 Période de convergence par composant cohorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.13 Taux d’amélioration de mortalité historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.14 Taux d’amélioration de mortalité historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.15 Évolutions des dépenses de santé au Royaume-Uni, source : IFS, UK Health spending briefing

note, 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.16 Prédiction des dépenses de sante jusqu’en 2020 au Royaume-Uni, source : IFS, UK Health

spending briefing note, 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.17 Projections de l’espérance de vie versus l’observée par ONS - population féminine, source :

ONS, National Population Projections Accuracy Report, 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.18 Projections de l’espérance de vie versus l’observée par ONS - population masculine, source :

ONS, National Population Projections Accuracy Report, 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

85

TABLE DES FIGURES

3.19 Évolution du nombre des contrats en fonction du LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.20 Évolution des sinistres payés en fonction du LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7721 QQ-plot des résidus standardisés - FN, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422 QQ-plot des résidus standardisés - FS, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9423 QQ-plot des résidus standardisés - MN, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9424 QQ-plot des résidus standardisés - MS, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9425 QQ-plot des résidus standardisés - FN, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9526 QQ-plot des résidus standardisés - FS, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9527 QQ-plot des résidus standardisés - MN, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9528 QQ-plot des résidus standardisés - MS, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529 Analyse de l’homoscédasticité - FN, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9630 Analyse de l’homoscédasticité - FS, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9631 Analyse de l’homoscédasticité - MN, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9632 Analyse de l’homoscédasticité - MS, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9633 Analyse de l’homoscédasticité - FN, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9734 Analyse de l’homoscédasticité - FS, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9735 Analyse de l’homoscédasticité - MN, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9736 Analyse de l’homoscédasticité - MS, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9737 Analyse de l’indépendance - FN, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9838 Analyse de l’indépendance - FS, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9839 Analyse de l’indépendance - MN, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9840 Analyse de l’indépendance - MS, Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9841 Analyse de l’indépendance - FN, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9942 Analyse de l’indépendance - FS, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9943 Analyse de l’indépendance - MN, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9944 Analyse de l’indépendance - MS, Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9945 Résidus de l’approche SMR du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10046 Résidus de l’approche de Brass du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10147 Résidus de l’approche GLM du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10148 Résidus de l’approche SMR du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10249 Résidus de l’approche de Brass du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10250 Résidus de l’approche GLM du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10251 Résidus du modèle APCI - population féminine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10352 Résidus du modèle APCI - population masculine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10353 Table de mortalité ajustée - FN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10454 Table de mortalité ajustée - FN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10455 Table de mortalité ajustée - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10456 Table de mortalité ajustée - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10457 Table de mortalité ajustée - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10458 Table de mortalité ajustée - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10459 Table de mortalité ajustée - MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10460 Table de mortalité ajustée - MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10461 Table de morbidité ajustée- FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10562 Table de morbidité ajustée - FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10563 Table de morbidité ajustée - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10564 Table de morbidité ajustée - MN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

86

TABLE DES FIGURES

65 LTR de 0,8%, population féminine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10666 LTR de 1,0%, population féminine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10667 LTR de 1,2%, population féminine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10668 LTR de 0,8%, population masculine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10669 LTR de 1,0%, population masculine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10670 LTR de 1,2%, population masculine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

87

Liste des tableaux

1.1 Taux d’incidence infra-annuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Statistiques relatives à la base de données primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Statistiques relatives à la base de données sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Plages d’âges retenues pour l’étude de l’ajustement des taux de référence . . . . . . . . . . 282.4 Poids des plages d’âges non-prise en compte pour l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Résultats du test de SMR du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Résultats du test de Wald avant sélection des variables du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Résultats du test de Wald après sélection des variables du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . 452.8 Test sur le coefficient β1 après sélection des variables du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9 Valeurs des paramètres estimés finaux du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.10 Métriques pour l’analyse de la qualité des ajustements du Traité A . . . . . . . . . . . . . . . 472.11 Âges optimaux de la fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.12 Estimateurs du paramètre c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.13 Espérance de vie de la table nationale, de la table de référence et des tables ajustées du

Traité A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.14 Résultats du test de SMR du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.15 Résultats de test de Wald avant sélection des variables du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . 512.16 Résultats de test de Wald après suppression de la variable âge du Traité B . . . . . . . . . . . 512.17 Test sur le coefficient β1 après sélection des variables du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . 512.18 Valeurs des paramètres estimés finaux du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.19 Métriques pour l’analyse de la qualité des ajustements du Traité B . . . . . . . . . . . . . . . 532.20 Tableau récapitulatif des avantages et inconvénients des méthodes de positionnement par

rapport à une référence externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.21 Montant des BEL des différentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 Analyse de la qualité des ajustements par le modèle APCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Poids de la population entre 20-75 ans des traités au Royaume-Uni . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Amélioration de mortalité de 2016 à 2017, pondérée par les caractéristiques des portefeilles

de PartnerRe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Amélioration de mortalité par période de la population britannique. . . . . . . . . . . . . . 713.5 Espérance de vie au Royaume-Uni à l’âge 18 en fonction de la population générale et la

population ayant une assurance prévoyance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6 Espérance de vie partielle au Royaume-Uni de l’âge 20 à l’âge 75 en fonction de la popula-

tion générale et la population ayant une assurance prévoyance . . . . . . . . . . . . . . . . 73

88

LISTE DES TABLEAUX

3.7 Montant des BEL en fonction de l’hypothèse de taux d’amélioration de mortalité au Royaume-Uni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8 Somme actualisée des sinistres à payer (PV claims) en fonction de l’hypothèse de tauxd’amélioration de mortalité au Royaume-Uni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Résultats du test de Shapiro-Wilk sur les résidus standardisés du modèle de Brass - Traité A 9310 Résultats du test de Shapiro-Wilk sur les résidus standardisés du modèle de Brass - Traité B 93

89

Annexes

A Rappels sur les chaînes de Markov

Soit S un ensemble fini ou dénombrable. On appelle noyau de transition sur cet espace d’état une fonc-tion p : S ×S →R+ qui vérifié la propriété suivante :

∀h ∈ S,∑s∈S

p(h, s) = 1.

Une chaîne de Markov homogène d’espace d’états S est une suite des variables aléatoire notées (Xn)n≥0

définie sur (Ω,F ,P) à valeurs dans S telle qu’il existe p, un noyau de transition sur S tels que pour toutn ≥ 0 et x0, ..., xn une suite d’éléments de S :

P(X0:n = x0:n) = ν(x0)n−1∏i=0

p(xi , xi+1:).

En appliquant cette équation avec n = 0, on a :

∀x0 ∈ S,P(X0 = x0) = ν(x0),

i.e., ν est la loi initiale de la chaîne de Markov. Une autre conséquence est que pour tout n ≥ 0, et pourtout h ∈ S tel que P (Xn = h) > 0 on a :

∀s ∈ S,P (Xn+1 = s|Xn = h) = p(h, s).

On dit que p(h, s) est la probabilité de transition de l’état h vers s.

De plus, on admet les deux propriétés suivantes :

1. Considérons une chaîne de Markov homogène de loi initiale ν et de noyau de transition p. Alors, ona pour tout m ≥ 0 et n ≥ m +1, et toute suite x0, ..., xn d’éléments de S telle que P(X0:m = x0:m) > 0,les identités :

P (Xm+1:n = xm+1:n |X0:m = x0:m) = P (Xm+1:n = xm+1:n |Xm = xm)

=n−1∏i=m

p(xi , xi+1).

2. Pour tout 0 ≤ m ≤ n, tout h, s ∈ S tel que P(Xm = h) > 0,

P (Xn = s|Xm = h) = pn−m(h, s).

90

ANNEXES

BM

atri

ced

etr

ansi

tio

nQ

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LD

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,2)p

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,1)

px

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(1,2

)p

x(1

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,1)p

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x(1

,2)p

y(2

,1)

px

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)py

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)p

x(1

,2)p

y(2

,3)

px

(1,3

)py

(2,1

)p

x(1

,3)p

y(2

,2)

px

(1,3

)py

(2,3

)0

px

(1,1

)py

(3,1

)p

x(1

,1)p

y(3

,2)

px

(1,1

)py

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)p

x(1

,2)p

y(3

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px

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)py

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)p

x(1

,2)p

y(3

,3)

px

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)p

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,3)p

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,2)

px

(1,3

)py

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px

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)p

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,1)p

y(1

,2)

px

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)py

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)py

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)p

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)p

x(2

,2)p

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,1)

px

(2,2

)py

(2,2

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x(2

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,3)

px

(2,3

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(2,1

)p

x(2

,3)p

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px

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px

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px

(3,3

)py

(2,1

)p

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)py

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)p

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px

(3,1

)py

(3,3

)p

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,2)p

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,1)

px

(3,2

)py

(3,2

)p

x(3

,2)p

y(3

,3)

px

(3,3

)py

(3,1

)p

x(3

,3)p

y(3

,2)

px

(3,3

)py

(3,3

)0

00

00

00

00

01

=

px

(1,1

)py

(1,1

)p

x(1

,1)p

y(1

,2)

px

(1,1

)py

(1,3

)p

x(1

,2)p

y(1

,1)

px

(1,2

)py

(1,2

)p

x(1

,2)p

y(1

,3)

px

(1,3

)py

(1,1

)p

x(1

,3)p

y(1

,2)

px

(1,3

)py

(1,3

)0

0p

x(1

,1)p

y(2

,2)

px

(1,1

)py

(2,3

)0

px

(1,2

)py

(2,2

)p

x(1

,2)p

y(2

,3)

0p

x(1

,3)p

y(2

,2)

px

(1,3

)py

(2,3

)0

00

px

(1,1

)0

0p

x(1

,2)

00

px

(1,3

)0

00

0p

x(2

,2)p

y(1

,1)

px

(2,2

)py

(1,2

)p

x(2

,2)p

y(1

,3)

px

(2,3

)py

(1,1

)p

x(2

,3)p

y(1

,2)

px

(2,3

)py

(1,3

)0

00

00

px

(2,2

)py

(2,2

)p

x(2

,2)p

y(2

,3)

0p

x(2

,3)p

y(2

,2)

px

(2,3

)py

(2,3

)0

00

00

0p

x(2

,2)

00

px

(2,3

)0

00

00

00

py

(1,1

)p

y(1

,2)

py

(1,3

)0

00

00

00

0p

y(2

,2)

py

(2,3

)0

00

00

00

00

10

00

00

00

00

01

91

ANNEXES

C Analyse des résidus de la version semi-paramétrique du modèle deBrass

Pour rappel, la version semi-paramétrique du modèle de Brass est telle que :

logit(qx ) =α+β× logit(qr e fx )+εx

où εx est le terme d’erreurs aléatoires et logit(qx ) = log( qx1−qx

). Dans la suite on va s’interroger sur lespropriétés de εx , notamment on s’intéresse si :

• les estimations de εx , autrement dit les résidus valident l’hypothèse de normalité,

• les résidus sont homoscédastiques

• et si les résidus sont indépendants.

Afin d’analyser ces propriétés on va avoir recours à deux types de résidus :

• Les résidus standardisés sont définis comme :

r st anx =

qx − DxEx√

qxEx

où qx représente le taux d’incidence ajusté à l’âge x, Dx est le nombre de personnes décédées aumême âge et Ex est l’exposition de la même période.

• Les résidus studentisés sont définis comme :

r studx = r st an

x

√n −3

n −2− (r st anx )2

où n représente le nombre d’observations.

92

ANNEXES

Normalité des résidus

Tout d’abord on trace les normal QQ-plot. Si les résidus standardisés sont issus d’une loi normale, onattend que le nuage des points serait réparti sur la première bissectrice.

Puis, afin d’analyser la normalité des résidus, on utilisera le test de Shapiro-Wilk. Sous l’hypothèse nulleles résidus standardisés r st an

x sont issus d’une loi normale. Ainsi sous l’hypothèse nulle la statistique dutest suit une loi normale centrée réduite. Par conséquent, on rejette l’hypothèse nulle avec un risqued’erreur de première espèce α si la p-valeur est inférieur au seuil α.

Traité A Sur les graphiques présentées ci-dessous on constate que c’est dans le cas du regroupementMN que les quantiles empiriques sont les plus distribués sur la première bissectrice. Cependant les quan-tiles faibles et extrêmes sont très écartés dans le cas des non-fumeurs. Cet écart est considérablement dûà une quantité faible de données.

Les résultats du test de Shapiro-Wilk sont résumés dans la table 9. Les résultats des tests coïncident avecnotre intuition : c’est seulement dans le cas du regroupement MN qu’on ne peut pas rejeter l’hypothèsenulle.

FN FS MN MSp-valeur 0,03 0,03 0,06 0,00

TABLE 9 – Résultats du test de Shapiro-Wilk sur les résidus standardisés du modèle de Brass - Traité A

Traité B Il est clairement visible sur les QQ-plot du Traité B que ce sont les nuages de points des regrou-pements FN et MN qui sont les mieux répartis sur la première bissectrice. Comme dans le cas du TraitéA, l’écart observé dans le cas des non-fumeurs est probablement dû à un volume de données moinsimportant. Le test de Shapiro-Wilk nous confirme notre analyse (cf. table 10).

FN FS MN MSp-valeur 0,99 0,01 0,57 0,02

TABLE 10 – Résultats du test de Shapiro-Wilk sur les résidus standardisés du modèle de Brass - Traité B

93

ANNEXES

FIGURE 21 – QQ-plot des résidus standardisés - FN,Traité A

FIGURE 22 – QQ-plot des résidus standardisés - FS,Traité A

FIGURE 23 – QQ-plot des résidus standardisés -MN, Traité A

FIGURE 24 – QQ-plot des résidus standardisés - MS,Traité A

94

ANNEXES

FIGURE 25 – QQ-plot des résidus standardisés - FN,Traité B

FIGURE 26 – QQ-plot des résidus standardisés - FS,Traité B

FIGURE 27 – QQ-plot des résidus standardisés -MN, Traité B

FIGURE 28 – QQ-plot des résidus standardisés - MS,Traité B

95

ANNEXES

Homoscédasticité des résidus

Afin de vérifier l’homoscédasticté des résidus, on utilise les résidus studentisés. On les trace en fonctiondes taux d’incidence ajustés qx . Dans le cas où les résidus sont homoscédastiques, le nuage des pointsdu couple (qx , |r stud

x |) ne doit pas posséder aucune forme particulière.

Traité A Dans le cas du Traité A, on observe une forte concentration en bas à gauche des graphiques.Cette distorsion est due à l’allure de la courbe de référence : entre les âges 12-20 les taux de référence sontconstants, non-nuls. En même temps, les taux bruts observés sont nuls. La valeur des erreurs estiméesdiminue en fonction de la valeur des taux d’incidence estimés, ainsi l’hypothèse de l’homoscédasticitén’est pas validée.

FIGURE 29 – Analyse de l’homoscédasticité - FN,Traité A

FIGURE 30 – Analyse de l’homoscédasticité - FS,Traité A

FIGURE 31 – Analyse de l’homoscédasticité - MN,Traité A

FIGURE 32 – Analyse de l’homoscédasticité - MS,Traité A

96

ANNEXES

Traité B Dans le cas du Traité B, on constate également le même type de concentration, cependant elleest moins forte. On observe une diminution de la valeur des erreurs estimées en fonction de la valeurdes taux d’incidence positionnés. Même dans le cas de ce traité, l’hypothèse de l’homoscédasticité ainsin’est pas validée.

FIGURE 33 – Analyse de l’homoscédasticité - FN,Traité B

FIGURE 34 – Analyse de l’homoscédasticité - FS,Traité B

FIGURE 35 – Analyse de l’homoscédasticité - MN,Traité B

FIGURE 36 – Analyse de l’homoscédasticité - MS,Traité B

97

ANNEXES

Indépendance des résidus

Dans le but de vérifier si les erreurs estimées sont indépendantes, on utilise l’analyse graphique : on traceles résidus studentisés en fonction de la valeur des variables explicatives - dans notre cas les taux de réfé-

rence. On valide l’hypothèse de l’indépendance des résidus si le nuage des point du couple (qr e fx , |r stud

x |)ne présente aucune structure particulière.

Traité A Comme dans le cas de l’analyse de l’homoscédasticité des résidus, on observe une forte concen-tration du nuage des points à gauche en bas des graphiques. Ainsi l’hypothèse de l’indépendance desrésidus n’est pas vérifiée graphiquement.

FIGURE 37 – Analyse de l’indépendance - FN, TraitéA

FIGURE 38 – Analyse de l’indépendance - FS, TraitéA

FIGURE 39 – Analyse de l’indépendance - MN,Traité A

FIGURE 40 – Analyse de l’indépendance - MS, TraitéA

98

ANNEXES

Traité B Dans le cas du Traité B, on constate une concentration moins forte, cependant elle est encoreprésente. La valeur des résidus studentisés diminue en fonction de la valeur du taux de référence.

FIGURE 41 – Analyse de l’indépendance - FN, TraitéB

FIGURE 42 – Analyse de l’indépendance - FS, TraitéB

FIGURE 43 – Analyse de l’indépendance - MN,Traité B

FIGURE 44 – Analyse de l’indépendance - MS, TraitéB

Conclusion

On ne valide pas l’hypothèse que εx ∼ N (0,σ2). En effet, le test sur la normalité des résidus (test deShapiro-Wilk) nous permet de ne garder l’hypothèse nulle que dans le cas des hommes non-fumeursdu Traité A et les femmes et hommes non-fumeurs du Traité B. Les QQ-plot confirment ce choix. Deplus, l’hypothèse de l’homoscédasticité et de l’indépendace des résidus ne sont pas acceptées suite àune concentration des nuages de points à gauche, en bas des graphiques tracées.

99

ANNEXES

D Graphiques des résidus

Traité A

FIGURE 45 – Résidus de l’approche SMR du Traité A

100

ANNEXES

FIGURE 46 – Résidus de l’approche de Brass du Traité A

FIGURE 47 – Résidus de l’approche GLM du Traité A

101

ANNEXES

Traité B

FIGURE 48 – Résidus de l’approche SMR du Traité B

FIGURE 49 – Résidus de l’approche de Brass du Traité B

FIGURE 50 – Résidus de l’approche GLM du Traité B

102

ANNEXES

Modèle APCI

FIGURE 51 – Résidus du modèle APCI - population féminine

FIGURE 52 – Résidus du modèle APCI - population masculine

103

ANNEXES

E Graphiques des tables finales

Traité A

FIGURE 53 – Table de mortalité ajustée - FN FIGURE 54 – Table de mortalité ajustée - FN

FIGURE 55 – Table de mortalité ajustée - FS FIGURE 56 – Table de mortalité ajustée - FS

FIGURE 57 – Table de mortalité ajustée - MN FIGURE 58 – Table de mortalité ajustée - MN

FIGURE 59 – Table de mortalité ajustée - MS FIGURE 60 – Table de mortalité ajustée - MS

104

ANNEXES

Traité B

FIGURE 61 – Table de morbidité ajustée- FS FIGURE 62 – Table de morbidité ajustée - FS

FIGURE 63 – Table de morbidité ajustée - MN FIGURE 64 – Table de morbidité ajustée - MN

105

ANNEXES

F Cartographie d’amélioration de mortalité

Population féminine

FIGURE 65 – LTR de 0,8%, popula-tion féminine



Population masculine

FIGURE 68 – LTR de 0,8%, popula-tion masculine



106

Documents

Mémoire présenté devant … · Introduction Sous la directive Solvabilité II, appliquée depuis le 1 janvier 2016, les assureurs et réassureurs sont ame-nés à évaluer leurs