Mémoire présenté devant l’ENSAE ParisTech pour l’obtention ......Dans le cadre de la couverture du risque de contrepartie, l’équipe Credit Portfolio Management de la Société

Mémoire présenté devant l’ENSAE ParisTech

pour l’obtention du diplôme de la filière actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le _____________________

Par : Valentin AMIOT et Dorothée PAGES

Titre:

Pricing de CDO avec le modèle de Lévy

Application aux pricing de dérivés de crédit exotiques

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Thèse d’actuariat Valentin Amiot et Dorothée Pagès


Thèse d’actuariat Pricing de CDO avec le modèle de Lévy, Application au pricing de dérivésde

crédit exotiques

Valentin Amiot et Dorothée Pagès

01/06/2011

Mémoire d’actuariat présenté à l’institut des actuaires et encadré par M. Mohamed Selmi, analyste

quantitatif au sein de Société Générale CIB.

Abstract

Après avoir connu un important succès dans la première moitié des années 2000, la formule de

pricing standard des CDO fondée sur le modèle gaussien à un facteur fut fortement critiquée

suite à la crise financière. En effet le smile de corrélation déduit de ce modèle est fortement

croissant avec la séniorité ce qui indique que les évènements extrêmes (défaut des tranches les

moins risqués) sont mal modélisés. Nous proposons dans ce mémoire une formule de pricing

s’appuyant sur les processus à saut de Lévy. En effet, après avoir implémenté ces deux méthodes,

le modèle de Lévy permet d’obtenir une courbe de corrélation implicite plus plate. Ainsi nous

concluons que ce modèle est plus précis pour calculer les tranches de CDO bespoke (plus faible

erreur d’interpolation).


Remerciements :

Nous tenons à remercier l’encadrant de notre mémoire, M. Mohamed Selmi, pour son

soutien et ses conseils dans la réalisation de notre sujet.


Contents

Introduction ................................................................................................................................................................... 1

Partie 1. Le marché du crédit................................................................................................................................ 2

I. Le risque de crédit ........................................................................................................................................... 2

A. Définition du risque de crédit .............................................................................................................................................. 2

B. Typologie des risques de crédit ............................................................................................................................................. 3

C. Risque de crédit et régulation .............................................................................................................................................. 3

D. Les dérivés de crédit ............................................................................................................................................................ 4

E. Le marché du risque de crédit et ses évolutions depuis la crise .............................................................................................. 6

II. Modélisation du risque de crédit ................................................................................................................... 9

A. Approche structurelle .......................................................................................................................................................... 9

B. Approche par intensité de défaut ....................................................................................................................................... 15

C. Réconciliation des deux approches : modèles à variables latentes ........................................................................................ 18

III. Les Credit Defaut Swap ...........................................................................................................................20

A. Présentation ...................................................................................................................................................................... 20

B. Evaluation d’un CDS ..................................................................................................................................................... 20

C. Valeur Mark to Market d’un CDS ............................................................................................................................... 22

D. Triangle de crédit .............................................................................................................................................................. 23

IV. Les Collateralised Debt Obligation ........................................................................................................24

A. Du portefeuille d’actifs au CDO ...................................................................................................................................... 24

B. Modélisation..................................................................................................................................................................... 27

C. Valorisation des tranches de CDO .................................................................................................................................. 29

Partie 2. Modèle gaussien à un facteur ..............................................................................................................31

I. Présentation du modèle ................................................................................................................................31

A. Définition ......................................................................................................................................................................... 31

B. Modélisation du défaut ..................................................................................................................................................... 35

II. Evaluation par la méthode de Monte Carlo ..............................................................................................36

A. Simulation des temps de défaut ......................................................................................................................................... 36

B. Nombre de simulation et temps de calcul ........................................................................................................................... 37

III. Evaluation par formule fermée ...............................................................................................................39

A. Résolution dans un cadre homogène ................................................................................................................................... 39

B. Approximation par la loi de Poisson ................................................................................................................................ 40

C. Calcul de l’intégrale des pertes par l’approximation de Gauss-Hermite ............................................................................. 42

IV. Evaluation à l’aide d’une formule récursive ..........................................................................................43

V. Application dans un cadre inhomogène .....................................................................................................45

A. Exemple introductif .......................................................................................................................................................... 45

B. Cas général ....................................................................................................................................................................... 46

VI. Corrélation implicite des tranches de CDO..........................................................................................49


A. Impact de la corrélation sur le prix des tranches ................................................................................................................ 49

B. Corrélation implicite ......................................................................................................................................................... 51

C. Base corrélation ................................................................................................................................................................ 52

D. Smile de corrélation .......................................................................................................................................................... 53

E. L’échec du modèle standard .............................................................................................................................................. 54

Partie 3. Modèle de Lévy .....................................................................................................................................55

I. Cadre générique .............................................................................................................................................55

II. Application ......................................................................................................................................................58

A. Le modèle de Lévy pour la loi Gamma augmentée ............................................................................................................ 58

B. Calibration des paramètres du modèle ............................................................................................................................... 62

III. Lois alternatives .........................................................................................................................................64

A. La loi Gaussienne Inversée augmentée .............................................................................................................................. 64

B. Le modèle CMY augmenté ............................................................................................................................................... 65

D. Commentaires................................................................................................................................................................... 66

Partie 4. Résultats .................................................................................................................................................67

I. Calcul de spreads ...........................................................................................................................................67

A. Présentation des données ................................................................................................................................................... 67

B. Résultats du pricing .......................................................................................................................................................... 68

II. Impliciteurs de corrélation ...........................................................................................................................70

III. Pricing de dérivés exotiques ....................................................................................................................72

Conclusion ....................................................................................................................................................................76

Annexes .........................................................................................................................................................................77

I. Théorie des copules .......................................................................................................................................77

II. Démonstration, approximation de Poisson...............................................................................................79

III. Quadrature de Gauss ................................................................................................................................80

IV. Propriété des processus de Lévy .............................................................................................................82

Bibliographie ................................................................................................................................................................84

Introduction

Thèse d’actuariat Valentin Amiot et Dorothée Pagès Page |1

Introduction

Dans le cadre de la couverture du risque de contrepartie, l’équipe Credit Portfolio

Management de la Société Générale gère un portefeuille de dérivés de crédit (CDS, CDO) afin de

réduire l’exposition de la banque face à ses clients corporates, institutionnels et bancaires. Tandis

que l’équipe structuration est en charge de la mise en place d’opérations de protection à travers

les CDO et dérivés de crédit exotiques, le mémoire est supervisé par M. Mohamed Selmi, analyste

quantitatif, qui, en amont, est en charge de la réalisation et de la validation de modèles de pricing

innovants.

Les dérivés de crédit permettant à la banque de sortir une partie du risque de contrepartie de

son bilan agissent comme des contrats d’assurance. La compréhension des mécanismes financiers

sous-tendus par ses produits ainsi que les méthodes de leur évaluation font donc appel à des

compétences actuarielles. L’objectif du mémoire est l’implémentation d’un pricer de CDO basé

sur de nouveaux modèles et notamment le modèle de Lévy.

L’enjeu de la tarification des tranches de CDO consiste donc à correctement modéliser les

corrélations entre les évènements de défaut des instruments de dette sous-jacents. Ainsi à l’instar

des options vanilles pour lesquelles on déduit une volatilité implicite par inversion de la formule

de pricing retenue, on s’intéresse ici à déduire la corrélation implicite sous-tendue par le prix de

marché de chaque tranche de CDO. La corrélation implicite n’étant pas monotone (pas de

bijection pour les tranches mezzanine), le calcul s’effectue à partir de la base correlation. Après

interpolation entre les différents strikes standard pour une maturité donnée, les bases corrélations

obtenues sont en général croissantes avec les tranches. On parle d’un smile de corrélation.

La formule standard de pricing des CDO repose sur le modèle gaussien à un facteur. Or le

pricing des CDO dans ce cadre est très sensible au smile de corrélation. Ce problème est encore

plus prononcé sur les CDO bespokes et CDO square car leur évaluation s’effectuent à partir de

l’interpolation de la courbe de smile. Afin de résoudre cet inconvénient et avoir un prix de dérivés

structurés peu sensible à la corrélation, le mémoire propose d’étudier de nouvelles approches de

pricing notamment le modèle de Lévy.

La distribution d’un processus de Lévy est en effet caractérisée par la composante de saut des

processus sous-jacents. En intégrant cette composante dans la modélisation des corrélations entre

les émetteurs du CDO, les modèles de Lévy à un facteur permettent d’obtenir des courbes de base

correlation plus plate i.e. moins sensible à ce paramètre. L’objectif du mémoire sera donc de

retrouver ce résultat à partir de données de marché et d’effectuer une analyse comparée des

différents modèles de pricing.

Le marché du crédit


Partie 1. Le marché du crédit

I. Le risque de crédit

Le risque de crédit est l’une des plus ancienne forme de risque présente sur les marchés de

capitaux et tient une part importante dans le risque global auquel sont confrontées les banques.

Lourd de conséquence, il est donc soumis à une règlementation stricte visant à en indiquer et

contrôler une bonne gestion. C’est pourquoi la modélisation de ce risque tient une place

importante dans l’activité bancaire actuelle et est nécessaire à l’évaluation des dérivés de crédit

que nous étudierons ici. Dans cette première partie, nous nous attachons à définir le risque de

crédit et à en dégager les différents aspects. Nous abordons ensuite les deux approches

principales utilisées pour évaluer les dérivés de crédit sur les marchés : l’approche structurelle

d’une part et l’approche par intensité d’autre part. Nous présenterons pour terminer deux des

principaux dérivés de crédit : les Credit Default Swap et les Collateralized Debt Obligation.

A. Définition du risque de crédit

Le risque de crédit, également appelé risque de contrepartie, se définit comme le risque que

l’emprunteur ne rembourse pas la dette qu’il a contracté que ce soit une créance commerciale,

une obligation, un prêt bancaire, etc. Il ne s’arrête pas seulement au défaut de paiement sur le

principal et/ou les intérêts mais comprend également un retard sur ces mêmes paiements, le

risque sur le taux de recouvrement – c’est-à-dire la part du crédit remboursée en cas de défaut –

et aussi un risque de dégradation de la qualité en fonction de la notation qui lui est attribué par les

agences de notation et qui peut varier au cours du temps.

On le distingue des deux autres risques majeurs auxquels sont soumises les grandes

institutions financières : le risque de marché et le risque opérationnel. Tandis que le risque de

marché englobe l’ensemble du risque lié aux variations de la valeur d’un actif (ou d’une dette)

détenu par une banque, le risque opérationnel regroupe tous les risques inhérents à des

défaillances humaines ou de systèmes internes, ainsi qu’aux pertes liées à des évènements

extérieurs (fraudes, incendies…).



B. Typologie des risques de crédit

Divers types de risques de crédit peuvent être distingués selon les instruments financiers

considérés. On se base ici sur la typologie réalisée par (Gouriéroux, et al., 2007) :

Instruments financiers basés sur un échéancier contractuel de remboursement. Les crédits classiques

entrent dans cette catégorie. Le risque se réalise en cas de non-exécution d’un paiement prévu :

absence de paiement, paiement partiel ou report de paiement.

Instruments financiers dont l’échéancier des paiements (dates et/ou montants) n’est pas connu a

priori. Ce risque existe pour des instruments à vue, des crédits à taux variable, des instruments ne

portant que sur l’intérêt, des instruments rachetables.

Produit dont le paiement est fonction de certaines conditions. L’ensemble des options, des swaps de

crédit relatifs à des entreprises, les crédits-bails. Le risque provient ici du risque de défaut d’une

contrepartie, et non du risque de défaut sur l’instrument lui-même.

Le risque de crédit issu du risque de change. La dévaluation d’une devise engendre un risque de crédit.

Les décotes. Bien que ne constituant pas un défaut au sens strict, la perte de valeur d’un instrument

rend le placement moins attrayant et laisse supposer une probabilité de défaut accrue. Il peut exister

une forte propagation des décotes rendant très probable la survenance simultanée de décotes

multiples. On parle alors de corrélation de décote. Au niveau du portefeuille, la diversification peut

atténuer ce risque. Dans le cas d’une décote, il n’est donc pas nécessaire que le défaut se réalise pour

que le risque de crédit affecte négativement la valeur d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs.

Les lignes de crédit. La ligne de crédit que l’on définit comme l’autorisation (droit de tirages) donnée

par une banque à un emprunteur de tirer des fonds jusqu'à un plafond fixé, pendant une période

donnée, peut engendrer un risque de crédit. Dans une mauvaise situation financière, l’emprunteur peut

accroitre l’utilisation de sa ligne et donc l’exposition au défaut. Le risque passe alors par l’augmentation

endogène de cette exposition.

C. Risque de crédit et régulation

Depuis 1988 et les accords de Bâle I, les acteurs du système bancaire sont soumis à des

contraintes d’adéquation de leur capital aux risques qu’ils supportent. Cette adéquation qui

mesure la quantité de fonds propres nécessaire aux banques pour faire face à leurs pertes

inattendues passe notamment par le respect du ratio Cook ou ratio de solvabilité que l’on définit

comme :

( )1

∑ ( )

1 Tier 1 comprend : le capital, les réserves, les primes d’émission tandis Tier 2 englobe les dettes subordonnées et certains instruments hybrides.



Avec :

( ) ( ) 2

La pondération dépend alors du risque présenté par l’actif considéré (nature de la

contrepartie, type d’engagement).

Sous Bâle I, la prise en compte des investissements en tranches de titrisation est assez limitée.

Aucune distinction n’est faite selon la note externe de la tranche (pondération à ) et les

tranches non notées ou notées doivent être déduites des fonds propres.

Les accords de Bâle II (juin 2004) viennent renforcer le contrôle du risque de crédit. La

mesure du risque de crédit ne s’appuie plus seulement sur le type de contrepartie mais sur la

qualité de crédit de l’emprunteur. Il est également créé une disposition spécifique pour les

titrisations.

D. Les dérivés de crédit

Les premiers dérivés de crédit sont apparus sur les marchés au milieu des années 90, et sont

échangés exclusivement sur les marchés de gré à gré3. Bien que représentant une part réduite sur

l’ensemble du marché, ce sont eux qui ont connu la plus forte expansion depuis leur création.

L’émergence de tels produits résulte du besoin accru des institutionnels de se protéger

efficacement contre le risque de contrepartie et de répondre aux exigences croissantes de la

règlementation prudentielle dans ce domaine.

1. Présentation

Ce sont des instruments dont le sous-jacent est un actif de type crédit, par exemple une

créance ou une obligation, et dont le but est de transférer tout ou partie du risque inhérent à ce

sous-jacent à une ou plusieurs contreparties sans avoir à échanger l’actif de base. Ils permettent

ainsi de séparer le risque de crédit et le risque de marché et donc de pouvoir gérer de nouvelles

lignes de crédits sans avoir à en supporter le risque. Ils assurent aux institutions une couverture

efficace et un refinancement plus flexible. Leur utilisation est multiple. Par exemple ils offrent

l’opportunité de couvrir un risque jugé trop important tout en maintenant une bonne relation

commerciale avec des clients corporate. Mais ils permettent également aux institutions financières

de réduire leur coût en capital règlementaire et donc d’améliorer leur rentabilité sur fond propre

en se dégageant de certains risques ou d’avoir accès à des refinancements à taux faibles. Ils sont

aussi très utilisés en gestion de portefeuille pour améliorer la qualité des portefeuilles de dette en

2 désigne la valeur Mark to Market , c’est-à-dire la différence entre le prix de marché de l’actif et son prix

d’achat. Ainsi ( ) désigne les moins-values latentes sur cet actif. désigne le coefficient à appliquer sur le notionnel de l’actif (le nominal d’une obligation par exemple), il varie selon le type d’actifs considéré. 3 La standardisation en cours du marché des CDS pourrait conduire à la constitution d’un marché listé recourant à une chambre de compensation. Sur le marché américain, certains CDS sont déjà collatéralisés



diversifiant les positions ou pour maintenir une couverture sur les actifs déjà présents dans les

portefeuilles. Dans l’industrie des Hedge Fund ils offrent des opportunités d’arbitrage et une

amélioration du rendement par le biais d’effets de levier.

Parmi les dérivés de crédit, deux grandes familles sont à distinguer. D’une part les

instruments sur nom unique qui ne portent que sur une seule entité et d’autre part les instruments

de portefeuille multi-sous-jacents. La première famille contient en particulier, tous les contrats qui

permettent aux acheteurs de se prémunir contre un évènement de crédit (un Credit Default Swap

ou un Credit Link Note par exemple) ainsi que les dérivés sur différentiel de taux qui permettent

de se couvrir contre les fluctuations des écarts de taux entre les obligations risquées et sans risque

(un Credit Spread Forward ou option par exemple). Concernant les produits multi-sous-jacents, il

y a des produits qui sont une extension directe des produits sur noms uniques (Two-way CDS ou

Basket Default Swap) et les produits plus complexes issus de la titrisation de portefeuilles de

produits mono-sous-jacents (Collateralized Debt Obligation).

2. Les principaux investisseurs du marché

Les quatre principaux investisseurs sur ce type de produits sont : les gestionnaires de

portefeuille au sein des banques d’investissement, les gestionnaires d’actifs, les assureurs vie (et

les Monoliners4) ainsi que les fonds d’investissement. Les objectifs de ces acteurs sur le marché

du risque de crédit sont tous différents et sont résumé dans le tableau suivant :

Acteurs du marché Objectifs

gestionnaire de portefeuille (banque d'investissement)

principalement acheteur de protection couverture contre la trop forte

concentration des portefeuilles de prêt vendent de la protection pour financer

leur couverture et diversifier leur portefeuille

Gestionnaire d'actifs

principalement vendeur de protection capacité à personnaliser les dérivés de

crédit position short sur les marchés marché des CDO : principalement

intéressé par les tranches Mezzanine

Assureur vie / Monoliners

principalement vendeur de protection leviers attractifs marché des CDO : principalement

intéressé par les tranches Senior et Super-senior (les moins risqués, généralement noté AAA)

Fonds d'investissement

A la fois acheteur et vendeur Arbitrage sur les marchés

trading basique : bonds vs. Protection marché des CDO : principalement

intéressé par les rendements attractifs mais plus risqués des tranches Equity

4 Les Monoliners sont des compagnies d’assurances qui apportent un rehaussement de crédit aux intervenants des marchés financiers. Ils assurent uniquement le risque lié à des titres de dettes. En clair, le Monoliner (généralement noté AAA) fait bénéficier une obligation de son propre rating en garantissant irrévocablement et sans condition aux investisseurs le paiement des intérêts et le remboursement du capital.

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_credit.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_risque.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_titres.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_obligation.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_rating.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_remboursement.html

http://www.vernimmen.net/html/glossaire/definition_capital.html



E. Le marché du risque de crédit et ses évolutions depuis la crise

La première moitié des années 2000 a vu l’explosion du marché du crédit comme en

témoigne l’augmentation des volumes5 ainsi que la diversification des instruments. Le

développement de ces produits a en effet été fortement poussé d’une part par la standardisation

des contrats menés par l’ISDA et d’autre part par les institutions financières dans la mesure où

ces dérivés leur permettent d’ajuster leur ratio de solvabilité mais également de libérer des fonds

propres. Ils permettent en effet aux établissements de crédit de sortir une partie du risque de

contrepartie de leur bilan et agissent donc comme des contrats de réassurance.

1. Evolution du marché des CDS

L’essentiel de l’encours du marché se répartit entre les CDS (environ 75% du marché du

crédit) et les CDO (environ 20%). Ces produits connaissent un développement relativement

tardif. En effet, jusqu’en 1998, le développement du marché des Dérivés de Crédit était

handicapé par la multitude des documentations utilisées par chaque contrepartie. A partir de cette

date, l’ISDA (International Swaps & Derivatives Association) a mis en place une documentation

standard qui permet de traiter les CDS dans le cadre d’un ISDA Master Agreement. Ce fut une

étape essentielle dans le développement des Dérivés de crédit du fait de la rapidité de mise en

place des opérations et ainsi de la nette amélioration de la liquidité de ce marché.

Le processus de standardisation est alors étendu grâce à des compléments à la définition de

l’ISDA concernant notamment les obligations convertibles (mai 2001) ou encore la définition des

évènements de crédit (novembre 2001).

Le graphique suivant montre l’explosion du marché depuis le lancement des produits en 2001

et son net repli depuis la crise financière (pic en juin 2007). En effet, les dérivés de crédit suite à la

crise des subprimes ont eu tendance à attirer les suspicions des investisseurs et ont fortement

perdu en attractivité.

5 Le volume des encours en produits dérivés de crédit s’élève à 62 173,2 Mds USD fin juin 2007 selon l’ISDA, l’International Swap & Derivatives Association (http://www.isda.org/statistics/historical.html)



Néanmoins, dans le contexte des nouvelles exigences de Bâle III, ces produits, par leur

capacité à piloter les exigences de fonds propres, conservent un intérêt certain pour les

investisseurs institutionnels.

Le marché des CDS dépasse en effet largement en volume la taille du marché dit « Cash ».

Cela résulte du fait que pour un notionnel donné, plusieurs institutions financières peuvent avoir

des expositions similaires par le biais d’instruments financiers. Par exemple, une banque A peut

être long d’un CDS envers une banque B et en même temps short sur le même notionnel envers

une banque C. En l’absence de chambre de compensation, le volume du marché du crédit est

alors artificiellement gonflé.

En raison de l’opacité de ce marché, les régulateurs européens et surtout américains ont lancé

depuis 2009 un vaste mouvement de réformes afin de rendre ce marché à la fois plus transparent

et plus liquide tout en diminuant le risque de contrepartie total. Ainsi, même s’il est toujours

négocié sur des marchés OTC, le segment des CDS commence à se standardiser. Les principales

mesures amorcées depuis 2009 sont:

i. La création de la Trade Information Warehouse (TIW) : une nouvelle entité destinée à centraliser

l’information sur les contrats CDS et à évaluer les volumes échangés. Rattachée à la

Depositary Trust and Clearing Corporation (ou DTCC, la chambre de compensation et de

règlement américaine), cette structure devra assurer le matching des transactions CDS entre

deux contreparties ;

ii. Afin de limiter le gonflement des volumes échangés (non compensation des trades), les

régulateurs incitent les institutions financières à recourir aux services des deux prestataires

Markit et Optima en charge de la compression des deals. Vivement encouragé par la FED,

l’objectif est triple : réduire le risque de contrepartie, les besoins en refinancement et le risque

opérationnel.

-

10 000,00

20 000,00

30 000,00

40 000,00

50 000,00

60 000,00

70 000,00

1H

01

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02

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05

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08

1H

09

2H

09

1H

10

ISDA Market Survey Adjusted for double-countin, semiannual data, all surveyed contracts,

2001-2010

Credit default swaps Outstanding, Notional amounts in billions of US dollars



iii. Le renforcement de l’ISDA dans la standardisation des contrats CDS et dans la mise en place

de nouveaux protocoles : le Big Bang Protocol (avril 2009) aux Etats-Unis et le Small Bang

Protocol (juillet 2009) en Europe.

iv. Le lancement d’initiatives visant la mise en place de chambre de compensation sur le marché

des CDS. A titre d’exemple, aux Etats-Unis, la Security Exchange Commission (SEC)

autorise désormais l’Intercontinental Exchange (ICE) et le Chicago Mercantile Exchange

(CME) à compenser les indices de CDS américains. Bien que les CDS soient toujours traités

de gré à gré, une Central Counterparty (CCT) s’intercale entre l’acheteur et le vendeur. Les

avantages de la compensation sont multiples. Outre la diminution évidente du risque de

contrepartie, les banques ont la possibilité d’agréger les positions (netting) ; la publication des

prix et volumes améliore la transparence et la liquidité du marché. Enfin les régulateurs sont

désormais tenus informés des volumes et des participants et donc des risques sur le marché

du crédit.

2. Evolution du marché des CDO

Les CDO ABS (Asset Back Security), en particulier les CDO RMBS (Residential Mortgage

Backed Securities) ont été les principaux vecteurs de propagation de la récente crise financière6.

Après avoir connu un franc succès dans la première moitié des années 2000, la crise entraîne un

net repli des volumes échangés comme le montre l’histogramme suivant :

Nous constatons notamment sur ce graphique qu’entre 2007 et 2008, en plein cœur de la

crise, les volumes traités de CDO ont diminué de . Les Residentials Mortgage Backed Securities

ont quasiment disparu.

6 Cf. Rapport du FMI : “Credit Market Turmoil Makes Valuation Key”,

http://www.imf.org/external/pubs/ft/survey/so/2008/res0115a.htm

http://www.imf.org/external/pubs/ft/survey/so/2008/res0115a.htm



II. Modélisation du risque de crédit

Il est usuel de distinguer l’approche structurelle de l’approche sous forme réduite lorsque l’on

s’intéresse à la modélisation du risque de crédit. La première approche, basée sur le célèbre article

de Robert C. Merton7, s’intéresse à la structure et à la valorisation du capital de l’entreprise ainsi

qu’à la part de la dette dans le passif du bilan. L’approche sous forme réduite quant à elle ne

repose que sur la modélisation des temps de défaut, aucune variable financière n’est prise en

considération. La présentation que nous faisons ici se base sur (Braouézec, et al., 2007).

A. Approche structurelle

1. Modélisation de la structure du capital

Dans cette approche, le défaut d’une société est effectif dès lors que la valeur des actifs de

la société franchit un certain seuil de dette. En effet, en cas de liquidation d’une firme, le fruit

de la vente des actifs servira à rembourser les créanciers par ordre de priorité.

Dans son article fondateur, Robert Merton va étudier en détail le cas d’une entreprise

émettant une obligation zéro-coupon de nominal (dette de l’entreprise) pour une maturité . Il

s’inspire alors d’un article de Black and Scholes en comparant cette obligation avec une option

européenne.

On suppose alors que la valeur des actifs de la firme évolue selon la dynamique suivante :

La solution de cette équation différentielle stochastique est alors de la forme suivante :

( (

))( ) ( )

Où désigne le taux sans risque et la volatilité implicite du processus désignent deux

paramètres et , un mouvement brownien standard.

Le graphique ci-dessous présente un exemple de trajectoire possible de la valeur de l’actif en

fonction du temps. Bien sûr cette dernière dépend des paramètres de taux d’intérêt et de

volatilité. Pour cette représentation graphique, nous avons choisi :

-

-

7 Cf. (Merton, 1974)



On peut alors établir une analogie entre cette obligation zéro-coupon et une option

européenne. En effet, on peut montrer que la dette totale et les actions de l’entreprise (l’Equity)

se comportent en fait comme des produits dérivés dont le sous-jacent est , la valeur du capital

de l’entreprise et de strike .

En supposant que le défaut ne peut être déclaré avant la maturité , étudions les deux cas de

figure suivant à la date :

i. Supposons que . Dans ce cas, les actionnaires sont en mesure de rembourser l’intégralité

de et récupèrent sous forme de dividendes. Les détenteurs de l’obligation quant à eux

récupèrent le nominal .

ii. Supposons que . Dans ce cas le montant restant de l’actif ne suffit pas à courvrir le

remboursement du nominal. Les actionnaires ne touchent rien alors que les créanciers obligataires

récupèrent l’intégralité de du capital ( ) et deviennent propriétaire de l’entreprise.

Il est à noter que le taux de recouvrement

est aléatoire et dépend de la réalisation de

à la date . Si l’on note , la valeur de l’equity (les actions) à maturité et la valeur des

bond (la dette) de l’entreprise, il apparaît alors que :

{ } ( )

{ } { } ( )

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0,00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Val

eu

r d

e l'

acti

f

Temps

Evolution de la valeur de l'actif

A



Ainsi l’Equity peut être valorisé comme un Call européen de sous-jacent , de strike et de

maturité tandis que la dette risquée peut se modéliser comme la différence entre la dette

certaine ( ) et un Put européen, de sous-jacent et de strike . Enfin, en supposant que le

marché est complet et sans arbitrage8, il existe une unique manière de rendre martingale le sous-

jacent actualisé. On peut donc utiliser la formule classique de Black-Scholes pour évaluer le prix

du Call européen :

[ ( )( ) ] ( ) ( ) ( )

Avec :

( )

√ ∫

, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

(

) (

)( )

√

√

( ) la distance à la maturité.

( ) désigne l’espérance risque-neutre

De la même manière, la valeur de la dette à la date peut s’écrire dans le cadre des

hypothèses de Black-Scholes :

( )( ( ) ]

( ) ( ( ) ( ) ( ))

On remarque que, puisque la valeur de la dette risquée est égale à celle de la dette sans

risque de défaut (nominal ) moins un Put, le montant du risque de crédit est celui d’un Put

européen. Ainsi si les détenteurs de l’obligation zéro-coupon veulent se couvrir contre ce risque,

ils doivent acheter un put de nominal , de maturité sur le sous-jacent .

Enfin puisque la dette et les actions sont évaluées simultanément, le modèle de Merton établit

un lien entre le marché du crédit et celui de l’Equity pouvant être à la base de stratégies

d’arbitrage de structure de capital.

De manière plus générale, dans les modèles sous forme structurelle, l’évènement de défaut

correspond au franchissement de la valeur du capital d’une barrière qui peut être une

constante (Merton classique, la barrière est assimilée’ à un Strike), une fonction déterministe du

temps, ou même un processus stochastique. Il est important de noter que la continuité de la

trajectoire signifie que le défaut arrive de « manière continue ». Il est donc prévisible. Nous

introduisons plus loin les processus de Lévy qui possèdent une composante en saut et permettent

donc de lever cette critique.

8 L’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA)est classique en finance et s’écrit : ] ] . Autrement dit en AOA, un actif gratuit à l’instant 0 et de valeur positive ou nulle à maturité ne peut que valoir 0 à maturité.



2. Construction de la structure par terme des spreads

Une fois la valorisation de l’Equity et des Bonds en place, nous cherchons à construire la

probabilité risque neutre de défaut à l’horizon . Cette probabilité repose sur trois notions : le

taux interne de rendement, le spread de crédit et la structure par terme des spreads :

On appelle taux de rendement interne à la date d’une obligation de maturité

(yield ou Internal Rate of Return) le taux actuariel ( ) solution de l’équation :

∑

( )

( )

Où est le prix plein coupon de l’obligation et le montant du coupon.

On appelle spread de crédit ( ) à la date pour une obligation de maturité

l’écart entre le taux de rendement interne de l’obligation ( ) et le taux sans risque .

( ) ( ) . Il correspond donc à la prime de risque que le détenteur de l’obligation perçoit pour compenser le risque de crédit qu’il supporte.

Enfin on appelle structure par terme des spreads, l’échéancier des spreads de

crédit, i.e. la fonction : ( )

Puisque la dette émise (zéro coupon) n’implique pas le versement de coupons , alors (en

prenant un taux d’actualisation exponentiel) :

( )( ) Et puisque nous avons également :

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

On a donc :

( )( ) ( ) [ ( )

( ) ( )]

En définissant le ratio de quasi-dette : ( ) ( )

et en remarquant

que ( ) ( ), on en déduit :

( )( ) ( )

( ) ( )

Puisque : ( ) ( ) . On obtient donc l’équation de la structure par terme des spreads :

( ) ( ) [

( ( )

( ) ( ))]



Nous formulons ici quelques remarques concernant le comportement asymptotique de la

structure par terme des spreads dans le modèle de Merton.

A très court terme, et si ( )

, alors pour une obligation émise à la date et de

maturité pour on est sûr que l’émetteur ne fera pas défaut étant donné la

continuité de la trajectoire de . Par conséquent la prime de risque et donc le spread doivent être

nuls pour suffisamment petit. A l’inverse si ( )

, on est certain pour que

l’obligation émise à et de maturité fera défaut. Le spread tend alors vers l’infini.

La limite des modèles structurels à la Merton est donc qu’ils ne permettent pas d’engendrer

des spreads de taux courts finis et non nuls. Cette limite est vérifiée dès lors que l’on suppose que

suit une trajectoire continue. Les processus à saut permettent notamment de lever cet

inconvénient.

A très long terme, quand la maturité , alors la valeur d’un Put européen de maturité

tend vers . Ainsi, étant donné que la valeur du risque de crédit est égale à ce Put, le spread de

crédit doit également tendre vers pour une maturité qui tend vers l’infini.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Spre

ad

Maturité

Structure par terme des spreads

K<A

K>A



3. Construction de la probabilité de défaut

Comme nous l’avons vu, il y a défaillance de l’entreprise dès lors que la valeur de l’actif du

bilan devient inférieure à la valeur des dettes que l’on peut simplifier par le montant du passif

défalquer des fonds propres (l’Equity). Dès lors, il y a défaut dès que :

( ) ( )

La probabilité risque neutre de défaut entre et s’écrit alors :

( ) ( )]

[ ( ) ( ) (

)

√

( ) ( ) (

)

√ ]

Avec :

( (

))( ) ( )

Donc ( ) ( ) (

)

√ ( )

Enfin si on note ( ( )) la probabilité risque neutre de défaut à l’horizon , nous avons :

( ) ( (

) (

) ( )

√ )

{



Ainsi alors qu’intuitivement on pourrait penser que puisque le spread tend vers quand

tend vers l’infini, alors la probabilité de défaut tend également vers , il n’en est rien car cette

conclusion dépend du signe de

.

Maintenant que nous avons développé le cadre général des modèles structurels à la Merton,

intéressons-nous à un autre type d’approche, les modèles sous formes réduites qui eux ne se

basent sur aucune variable économique et financière.

B. Approche par intensité de défaut

Dans ce type d’approche, seul le temps de défaut est modélisé et l’évaluation de la

jambe fixe et de la jambe variable des dérivés de crédit en découlent facilement. Dans ce cadre, le

taux de recouvrement des entreprises est considéré comme une variable exogène du modèle et est

donc connu à chaque date. Il est important de noter qu’ici on n’utilise aucune variable

économique. En particulier, le défaut est modélisé indépendamment de la valeur liquidative de

l’entreprise. On introduit alors le paramètre principal du modèle : l’intensité de défaut, notée .

Pour une date donnée et un intervalle de temps infinitésimal , la probabilité que le

défaut survienne entre et vaut :

( ) ( )

Et la probabilité de survie est donc donnée par :

( ) ( )

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Pro

bab

ilité

de

dé

fau

t

Maturité

Evolution de la probabilité de défaut selon la maturité

r-sigma²/2<0

r-sigma²/2>0



En découpant l’intervalle ] en intervalles de temps, on obtient donc la probabilité de survie

à la date comme le produit des probabilités de survivre sur chacun des petits intervalles de

temps :

( ) ∏( ( ) )

D’où :

( ( )) ∑ ( ( ) )

En considérant le développement limité à l’ordre de 1 de cette relation, on obtient :

( ( )) ∑( ( ) )

Puis on passe en temps continue en faisant tendre vers :

( ) ( ∫ ( )

)

Et la probabilité que le défaut survienne à la date est donc :

( ) ( ∫ ( )

)

Et on vérifie bien les conditions suivantes :

- est croissante

-

- Et les conditions aux limites :

( )

( )



Les deux approches que nous venons de présenter pour modéliser le risque de crédit semble

assez éloignées puisque, comme nous venons de le voir, le défaut est totalement imprévisible et

indépendant des variables financières liées à l’entreprise dans l’approche sous forme réduit tandis

qu’il est prévisible et repose sur la valeur liquidative de la firme dans l’approche à la Merton.

Ces deux approches sont néanmoins compatibles si l’on affine certaines des hypothèses du

modèle de Merton. Si il est clair que le défaut est prévisible dès lors que l’on suppose que la

dynamique de est un processus log normal en temps continu, cette conclusion n’est plus vraie

si l’on se place en temps discret, i.e. si l’investisseur a un accès parcellaire à l’information. Cette

hypothèse est d’ailleurs plus vraisemblable. Dans les faits, le risque de défaut est drivé par la

diffusion spontanée et inattendue d’informations financières sur les marchés. L’investisseur ne

connait pas à chaque instant la capacité exacte de remboursement de son débiteur.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Pro

bab

ilité

Maturité

Probabilité de défaut

Probabilitéde défaut



C. Réconciliation des deux approches : modèles à variables latentes

Les modèles à variables latentes permettent de faire le lien entre les modèles structurels et

l’approche sous forme réduite. En suivant la méthodologie de (Frey, et al., 2001), un modèle à

variable latente se définit par le couple ( ) et vérifie la propriété suivante :

Avec :

( ), une variable aléatoire de Bernouilli représentant l’indicatrice de défaut du nom à

l’horizon ;

la variable latente (variable aléatoire de distribution marginale continue) ;

un seuil.

Une propriété remarquable est que deux modèles à variables latentes ( ) et (

)

sont équivalents dès lors que : ( ) ( ). Nous pouvons ainsi établir un lien entre

l’approche structurelle et l’approche sous forme réduite.

En reprenant modèle de Merton développé précédemment, nous avons vu qu’il y a défaut

à l’horizon , si la valeur des actifs ne permettait pas de couvrir le nominal de la dette. La

probabilité risque neutre de défaut à l’horizon comme :

( ) ( )

Où :

(

) (

)

√ , on suppose ici que

afin que la probabilité de défaut soit une

fonction croissante la maturité .

est une variable normale centrée réduite (on peut donc poser √ ;

], désigne la probabilité risque neutre.

Appliqué à un modèle à intensité déterministe, le défaut est déclaré lorsque à une

date . Nous avons vu dans la sous partie, Approche par intensité de défaut, que :

( ) ( ∫ ( )

)

Où ( ) désigne l’intensité de défaut telle que :

( ) ( )

En se plaçant sous la probabilité risque neutre, nous avons par équivalence des deux modèles à

variables latentes :

( ) ( )

( ) ( )



( ) ( ∫ ( )

)

On peut alors impliciter :

[ ( ∫ ( )

)]

En réinjectant cette formule dans l’expression de l’égalité ( ) ( ), nous

trouvons :

( ) ( )

( [ ( ∫ ( )

)])

( ] ( ∫ ( )

))

( ( ]) ( ∫ ( )

))

( ) ( ) ( ( ]) ∫ ( )

)

Il est maintenant nécessaire d’appliquer ces éléments de théorie à la modélisation de réels

dérivés de crédit. Après avoir expliqué le fonctionnement des CDS, nous nous pencherons sur la

construction des CDO.



III. Les Credit Defaut Swap

A. Présentation

Comme nous l’avons vu dans la première partie, le marché des CDS est le premier marché

des dérivés de crédit synthétique tant au niveau de l’historique qu’au niveau des volumes. Depuis

une décennie, il a tendance à se standardiser et les produits qu’il propose sont très liquides. En

effet, les maturités et les périodicités de paiement ont été régularisées9 et le marché indique le

bid/ask du spread correspondant à chacun de ces contrats. Les maturités standards sont 1 an, 2

ans, 3 ans, 5 ans, 7 ans, 10 ans, et le produit le plus liquide est celui de maturité 5 ans, ce qui

n’empêche pas les autres points d’être tout de même assez liquides.

Les CDS sont des produits dérivés de crédit échangés sur les marchés de gré à gré. C’est un

contrat entre un acheteur et un vendeur dont le fonctionnement est similaire à celui d’une police

d’assurance et qui permet le transfert du risque de crédit lié à un émetteur de dette quelconque.

Ainsi, l’acheteur de protection qui souhaite s’assurer en cas d’un évènement de crédit du sous-

jacent paie une prime périodique – appelée spread – au vendeur de protection qui s’engage en

contrepartie à rembourser les pertes provoquées par l’évènement lorsque celui-ci survient.

Lorsqu’on parle d’évènements de crédit, il ne s’agit pas seulement de faillite (bankruptcy) mais il

faut aussi considérer les défauts de paiement (failure to pay) et les restructurations de la dette

(restructuring) par exemple. Naturellement, plus le risque de crédit est élevé plus le spread augmente.

Le contrat du CDS est défini par les éléments suivants :

- Un sous-jacent, c'est-à-dire l’émetteur de dette contre lequel on souhaite couvrir le risque

de défaut.

- Un nominal N qui correspond au montant couvert par le contrat.

- Une date de maturité T jusqu’à laquelle la protection s’applique.

- Un spread contractuel exprimé en point de base (1bps=0,01%) payé périodiquement

par la partie vendeuse de protection.

- Un taux de recouvrement implicite sur la base duquel est coté le CDS et qui

correspond au taux de pertes auquel on s’attend.

B. Evaluation d’un CDS

L’évaluation d’un CDS, se décompose en deux phases : la valorisation de la jambe fixe

(premium leg) et la valorisation de la jambe variable (default leg). La présentation que nous faisons ici,

s’inspire de (Braouézec, et al., 2007).

9 Cf. Le Big Bang Protocol et le Small Bang Protocol dans la partie : Evolution du marché des CDS.



1. Valorisation de la jambe fixe

Par analogie avec les swaps de taux, on appelle jambe fixe la partie du CDS qui concerne

le paiement de la prime périodique.

On se place à une date à laquelle on souhaite évaluer la valeur de la prime. On se confronte à

deux situations distinctes :

- Soit le défaut à eu lieu à une date antérieure et la prime n’est pas payée.

- Soit le défaut n’a pas encore eu lieu et l’acheteur de protection verse une prime d’un montant

La valeur de la prime à la date est donc égale à l’espérance actualisée du payoff à cette date :

[ ( ) ]

Où est le taux d’actualisation à la date

La valeur de la jambe des primes à la date s’obtient en sommant sur toutes les périodes, on a

donc :

∑ [ ( )

]

Or d’après la partie précédente :

[ ] ( ) ( ∫ ( )

)

D’où

∑ ( ∫ ( )

) ( ∫ ( )

)

∑

( ∫ ( ( ) ( ))

)

∑

Intuitivement, on voit que est un taux d’actualisation ajusté du risque. Finalement notons :

∑

Et on obtient que :



Le facteur ou Risky Basis Point Value est la sensibilité de la valeur de la jambe fixe

au spread, c'est-à-dire l’augmentation de relativement à une augmentation du spread de

point de base.

2. Valorisation de la jambe variable

La jambe variable correspond au montant versé par le vendeur de protection au moment

du défaut. De ce point de vue, deux cas peuvent se produire :

- Le défaut est constaté à la date : il doit couvrir la perte engendrée par l’évènement de crédit. Il

verse donc ( ) à la partie acheteuse.

- Le défaut n’est pas constaté à la maturité et le vendeur n’a rien à payer.

Vu de la date initiale, le temps de défaut n’est pas connu mais nous l’avons modélisé dans le

paragraphe précédent. La valeur de la jambe de protection est donc égale à l’espérance risque

neutre actualisée du paiement.

( ) ]

∑ ( ) ( ) ( )

∑ (

) ( )

Ainsi pour évaluer un CDS, on a besoin de connaître pour toutes les maturités. On a donc

besoin d’hypothèses supplémentaires sur sa forme.

On peut par exemple supposer que ce paramètre est :

- Constant

- Constant par palier

- De forme polynomiale

- Un polynôme d’exponentielle

C. Valeur Mark to Market d’un CDS

Pour un acheteur de protection, la valeur Mark to Market d’un CDS à un temps

intermédiaire est la différence entre la jambe variable (ce qu’il reçoit) et la jambe fixe (ce qu’il

paie) :

( ) ( ) ( )



Or à cette date, le spread de marché est le spread censé annuler la valeur Mark to

Market d’un nouveau CDS qui démarre en soit :

( )

D’où finalement, comme on est entré dans un CDS à la date avec un spread contractuel :

( ) ( )

Ainsi, au premier ordre, RBPV est la sensibilité de la valeur du CDS au spread de marché. On

peut voir cette valeur comme la durée espérée résiduelle pendant laquelle le contrat à encore

cours. C’est en quelque sorte une duration risquée qui dépend du moment où l’évènement de

crédit survient et donc du paramètre du modèle .

D. Triangle de crédit

Cette relation est très précieuse car elle permet de relier facilement l’intensité au spread et

au taux de recouvrement. On suppose pour la démontrer que l’intensité de défaut est constante

ce qui constitue une grosse approximation mais qui se révèle en pratique très utile.

A la date initiale, on entre dans un CDS au spread de marché , ce spread est celui qui annule la

valeur Mark to Market à cette date, la valeur des jambes fixe et variable sont donc égales vu de

cette date. On a donc :

( ) ( )

( )

( )

Ainsi, comme est donné par le marché et que est estimé par les desks de trading de CDS, on

peut utiliser cette relation pour calibrer le paramètre à tout moment.

Bien sûr, cette relation doit être réajustée si on considère que l’intensité n’est pas constante mais

seulement déterministe voire stochastique.



IV. Les Collateralised Debt Obligation

Maintenant que nous avons introduit les principes de base des CDS, nous pouvons nous

pencher sur la construction de s CDO.

A. Du portefeuille d’actifs au CDO

On appelle titrisation la technique de gestion qui consiste à créer une société ad hoc, que l’on

appelle SPV (special purpose vehicle) et qui va :

- acheter un ensemble de créances peu liquides (par exemple un portefeuille de prêts immobiliers

accordés par une banque à ses clients). Ce portefeuille va constituer l’actif du SPV,

- émettre d’autres créances de « format » plus adapté à des investisseurs. Ces créances émises constituent

le passif du SPV et capturent la totalité du risque de crédit du portefeuille de créances qui se trouve à

l’actif.

La titrisation présente un intérêt évident pour les banques puisqu’elle leur permet de

transférer leur excès de risque de crédit à des investisseurs, de la même manière que les

particuliers transfèrent le risque de sinistre aux compagnies d’assurances. La vente d’une partie de

leurs risques sur les marchés permet alors aux banques de réduire leur capital réglementaire.

Cependant les produits titrisés intéressent également beaucoup les investisseurs. En effet ce type

de produit permet de booster les rendements et d’accéder à des actifs illiquides habituellement

réservés aux seules banques (prêts, etc.).

La banque crée ainsi le SPV qui achète des créances qu’elle détient passivement à son

bilan, et les packagent pour en faire des titres qui seront ensuite vendus aux investisseurs.

Un CDO est donc un instrument de dette issu d’un mécanisme de titrisation permettant à

l’investisseur d’acquérir une exposition sur un portefeuille composé d’autres instruments de dette

(CDS, obligation, prêts, etc).

1. Exemple de construction d’un CDO

L’exemple suivant permet de comprendre comment se construit un CDO à partir d’un

portefeuille de « bonds ». On considère le portefeuille suivant :

Nominal (MUSD) Rating Pourcentage(%) Coupon Spread (bps)

12 AA/Aa2 4% 8,00% 100

36 A/A2 12% 8,50% 150

180 BBB/Baa2 60% 9,00% 200

36 BB/Ba2 12% 10,00% 300

12 B/B2 4% 16,00% 900

6 CCC/Caa 2% 17,00% 1000

18 NR 6% 18,00% 1100

300 100% 10,00% 300



Le nominal total du portefeuille est 300 MUSD. Les bonds le composant sont classés

selon leurs ratings qui déterminent leur spread (croissant avec le risque de défaut, donc

décroissant avec la note). Les spreads sont extraits du marché. Les coupons sont la somme du

spread avec le taux LIBOR (ici 7%).

Le spread du portefeuille total est alors la somme des spreads des bonds pondérés par

leur poids dans le portefeuille. A partir de ces données, on peut calculer la prime de risque de

crédit comme le produit du nominal du portefeuille avec le spread du portefeuille. Ici la prime

vaut 300 MUSD*300‰ = 9 MUSD.

Pour un nominal de 300 MUSD, ce portefeuille rapporte chaque année 9 MUSD de plus

que s’il avait été investi dans le taux sans risque LIBOR. Cette prime compense donc le risque de

défaut des produits sous-jacents.

Supposons maintenant que le détenteur du portefeuille souhaite libérer du cash en revendant

une partie de son portefeuille. Sur un nominal de 300 MUSD, il conserve 45 MUSD et cède les

255 MUSD restants. En particulier, il est prêt à renoncer à une partie de la prime de risque contre

le transfert d’une partie du risque de crédit aux investisseurs. Le portefeuille est ainsi coupé en

trois tranches :

- la tranche Equity est associée aux premiers 45 MUSD du portefeuille de [0 ; 15%]. Cette tranche,

conservée par l’investisseur est rémunéré avec 6 MUSD de prime de risque (sur les 9 au total).

- la tranche Mezzanine est associée aux 30 MUSD suivants i.e. de [15%; 25%]. Cette tranche est

rémunérée par 1,5 MUSD de la prime de risque.

- la tranche Senior est associée aux 225 MUSD restants dans le portefeuille [25% ; 100%]. Cette tranche

est rémunérée par le 1,5 MUSD restant de la prime de risque.

Le CDO construit à partir du portefeuille initial se résume donc ainsi :

Le spread de la tranche A se calcule alors comme :

Le coupon s’obitent en ajoutant le taux LIBOR de 7%.

Dans les faits le détenteur du portefeuille (une banque) crée une institution ad hoc (une SPV ou

Special Purpose Vehicle) indépendante à laquelle elle transfère le portefeuille.

Le SPV a donc à son actif le portefeuille initial et à son passif les différentes tranches de CDO

vendues aux investisseurs.

Nominal (MUSD) Type Pourcentage (%) Coupon Spread (bps) Prime de risque

225 Senior 75% 7,67% 0,67% 1,5

30 Mezzanine 10% 12,00% 5,00% 1,5

45 Equity 15% 20,33% 13,33% 6

300 100% 10% 3%

9



2. CDO Cash, CDO synthétique

Suivant le type des actifs constituants le portefeuille du CDO, on parle de :

- CDO cash si le SPV investit sur des produits du type obligations, crédits bancaires ou des ABS.

Comme dans l’exemple, le SPV doit sortir du cash pour acheter le portefeuille. On dit que la structure

du capital a été émise. Pour les CDOs cash, on observe donc un transfert total de propriété et de

risque de crédit ;

- CDO synthétique : le SPV s’expose à des crédits via des instruments du type CDS. Il n’y a pas de

rachat d’obligation ou de prêts par exemple, le SPV entre directement dans des CDS. Ici il n’y a pas de

transferts de propriétés mais simplement transfert de risque de crédit.

Si le portefeuille de référence est défini à l’initiation de la transaction et ne bouge plus, on

parle de CDO qui s’oppose aux CDO managés. Un gérant désigné à la possibilité d’effectuer un

certain nombre de transactions sur le portefeuille de référence10. La Figure 1 Construction d'un CDO,

schéma récapitulatif résume la construction d’un CDO synthétique sur CDS.

10 Il retient en général une position sur une des tranches basses du deal et est rémunéré par une commission.

CDS

CDS

CDS

CDS

CDS

CDS

CDS

……

Single tranche

(mezzanine)

Non émis

Non émis

Pertes du portefeuille

Probabilité

Détachement B

CDS

Loss

La probabilité que les pertes

du portefeuille atteignent cette

zone est déterminant pour le

pricing de la tranche. Cette

probabilité dépend des

probabilités individuelles de

défaut des CDS et de la

correlation entre les noms.

Attachement A

Figure 1 Construction d'un CDO, schéma récapitulatif



B. Modélisation

La titrisation se fait surtout de manière synthétique, c'est-à-dire par le biais de dérivés de

crédit, ce qui implique que le SPV rentre directement dans des contrats de CDS (plutôt que

d’acheter des obligations), et investit dans un collatéral (typiquement une obligation notée AAA

qui présente donc un risque de défaut très faible) qui assure le paiement du taux LIBOR.

Ces titres émis par le SPV sont des obligations collatéralisées (c'est-à-dire assurées) par les

créances à l’actif du SPV. Chacun de ces titres est donc une Collateralized Debt Obligation. En

général, ces titres vont exposer les investisseurs à différentes tranches du risque total du

portefeuille de créances. Comme pour le CDS, il y a un vendeur et un acheteur de protection. Le

contrat d’une tranche k de CDO comporte :

- un portefeuille sous-jacent de I noms (i.e. émetteurs de dette), chacun de nominal Ni, pour i = 1,2…I ;

- un point d’attachement, noté KA (strike bas) ;

- un point de détachement, noté KB (strike haut) ;

- Un spread contractuel pour la tranche k, noté

;

- Une maturité et des dates de paiements, .

Notons CDSi le CDS émis sur le nom i, et notons τi la date de défaut de i. La perte cumulée du

CDO est exprimée en pourcentage de la taille totale du portefeuille, c’est-à-dire ∑ . Notons :

∑ ( )

Avec :

∑

Le poids du nominal de l’émetteur i dans le nominal total du portefeuille. Les trois tranches

standard d’un CDO sont :

- la tranche equity : [0 ; KA] ;

- la tranche mezzanine : [KB ; KA] ;

- la tranche senior : [0 ; KB].

Pour comprendre le déroulement des paiements entre acheteurs et de protection des

différentes tranches, étudions le cas de la tranche equity. A l’initiation du CDO, la perte cumulée

du portefeuille est nulle, c’est-à-dire que L0 est nulle. Tant qu’aucun défaut n’est constaté, le

vendeur de protection ne verse rien à l’acheteur de protection. Toutefois, dès qu’un défaut est

constaté, par exemple le nom i, le vendeur de protection paie ( – ) à l’acheteur de

protection. L’acheteur de protection verse, lui, à intervalles de temps régulier un spread

contractuel, noté Sc,k, au vendeur de protection sur le notionnel restant. A la différence d’un CDS,

le notionnel de chaque tranche est variable. En effet, à la date t = 0, le notionnel de la tranche

equity est égal à KA. En revanche, lorsqu’il y a eu quelques défauts mais que la tranche equity est

toujours active à la date t, le notionnel est égal à . Comme pour le CDS, le montant payé



à la date t est égal à ( ) sur une base annuelle et se poursuit tant que ( ) est

positif. Dès que , le contrat entre l’acheteur et le vendeur de protection de la tranche

equity prend fin.

Le CDO ne s’arrête pas pour autant. C’est désormais la tranche mezzanine qui prend le relais

jusqu’à ce que , puis la tranche senior.

Si l’on considère une tranche CDO caractérisée par une borne inférieure et une borne

supérieure du montant total du CDO ∑ . Par définition la tranche subit une perte

à la data t si et seulement si :

La perte cumulée ( ) d’une tranche (A, B) où et s’écrit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

La perte cumulée d’une tranche de CDO a donc le même profil qu’un Call-spread (cf. figure).

La structure par terme de l’intensité stochastique ayant été calibré, la probabilité risque neutre

de défaut d’un émetteur l’est aussi. En revanche, rien n’est dit à ce stade sur la dépendance des

temps de défaut.

Les acteurs du marché des CDO ont formulé une manière de coter les tranches en termes de

« corrélation implicite », l’équivalent de la volatilité implicite sur les marchés des options sur

actions. En pratique, les acteurs de marché implicitent la corrélation des tranches equity pour

plusieurs strikes et maturités avec le modèle gaussien à un facteur. C’est ce modèle standard que

nous reprenons. La corrélation implicite qui en résulte porte le nom de base corrélation.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Payoff d'une tranche de CDO

Pertes du portefeuille



C. Valorisation des tranches de CDO

A la date le spread payé par l’acheteur de protection est égal à ( ) Le

vendeur de protection quant à lui paie

à l’acheteur de protection, qui n’est autre que

l’incrément de la perte dans la tranche pendant la période.

Pour une tranche définie par des strikes et , une maturité et un spread contractuel , on

note sa valeur actuelle nette sous la forme :

( )

En supposant un cadre gaussien à un facteur et en supposant que les dépendances se résument à

une unique corrélation , la valeur actuelle nette de la tranche ] est égale à :

( ) ( )

( )

En rappelant que :

( ) ∑[ (

)]

( )

La valeur de la jambe fixe est l’espérance de la somme actualisée des cash-flows . Et en

rappelant que :

( ) ∑[ (

)]

( ) ∫

La valeur de la jambe variable est l’espérance actualisée de l’accroissement de perte

.

Le pricing d’une tranche de CDO est alors semblable à celui d’un CDS et se décompose en trois

étapes :

- Estimation de la jambe de défaut (

, ou Default Leg).On estime ici la valeur présente de la perte

cumulée due à l’évènement de crédit.

- Calcul de la valeur présente de la jambe fixe ( ( ), ou Premium Leg) où l’acheteur de protection

paie, périodiquement une marge ajustée avec un nominal décroissant.

- Déduction du Marked-to-Market (MtM) d’un acheteur de CDO qui est par définition la différence entre

ces deux jambes. Le break-even ou marge ATM d’une tranche CDO est par définition la marge qui

annule ce MtM.



Par conséquent les hypothèses de modélisation pour calibrer les intensités de défaut et les

corrélations entre les noms composant le portefeuille, impactent le calcul de la jambe variable et

donc impacte le prix de la tranche.

Dans la partie suivante nous développons le modèle standard de pricing dit gaussien à un

facteur.

Modèle gaussien à un facteur


Partie 2. Modèle gaussien à un facteur

I. Présentation du modèle

La première partie de ce mémoire nous a permis d’aboutir aux temps de défaut individuels de

chaque nom. Il s’agit maintenant d’introduire une structure de dépendance entre les différents

sous-jacents pour parvenir à calculer le prix du produit final. Dans la suite, nous étudierons le

modèle standard de marché : le modèle gaussien à un facteur et sa mise en pratique pour la

valorisation des CDO.

A. Définition

(Li, 2000)11 est le premier à utiliser la notion de copule pour évaluer les produits dérivés de

crédit multi-sous-jacents. Ce modèle permet d’introduire une structure de dépendance entre les

différents noms du portefeuille et de calculer la loi jointe des temps de défaut à partir des lois

marginales qui sont déjà connues.

Ce modèle simple exprime la valeur de l’actif en fonction d’une part d’un facteur commun et

d’autre part d’un facteur individuel propre à chaque nom. Nous avons donc :

√ √

Où l’on suppose que sont indépendant et identiquement distribués selon une loi normale

centrée et réduite. Il est alors aisé de vérifier qu’il en est de même pour En effet :

] √ ] √ ]

]

Et

( ) ]

( ) [ ( ) √ ( ) ]

( ) ( )

( )

Par indépendance entre

11 David Li est un actuaire chinois pionnier dans l’utilisation des copules dans le pricing des produits dérivés tantôt

encensé par la presse financière, son modèle et le mauvais usage qu’il en fut fait furent sévèrement jugés (« Recipe for

Disaster: The Formula That Killed Wall Street » lors de la crise financière 2007/2008 :

http://www.wired.com/techbiz/it/magazine/17-03/wp_quant



De plus, il est facile de voir que la corrélation entre deux noms est égale à

( ) ( )

( ) ( )

( ) [( ])( [ ])]

( ) [(√ √ )(√ √ )]

( ) ]

( )

Par indépendance des variables entre elles.

Ainsi la dépendance entre les noms est résumée à travers un seul paramètre en relation avec un

facteur commun unique qui représente en quelque sorte l’état global de l’économie. Si celui-ci

est faible représentant une économie en mauvais état, les probabilités de défaut seront alors

élevée et inversement si ce facteur est élevé. Il correspond alors au risque systémique et est le

risque idiosyncratique porté par chaque nom.

Cette modélisation implique que la corrélation est la même pour chaque couple ( ) ce qui

est une hypothèse assez forte mais qui permet d’avoir une forme simple pour la matrice de

variance-covariance du vecteur ( ) :

(

)

Finalement on note ( ) où est la loi normale multivariée de dimension

Figure 2 - Densité d'une loi normale bivariée pour rho = 0.1 ; 0.3 ; 0.7 ; 0.9

uv

rho3

uv

rho4

uv

rho1

uv

rho2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35



Or, la théorie des copules12 affirme que si est une fonction de répartition multivariée de marges

continues alors il existe une unique fonction copule telle que :

( ) ( ( ) ( ))

D’après ce qui précède la copule des ( ) peut donc s’écrire :

( ) ( ( ) ( ))

Figure 3 - Densité d'une copule gaussienne biavariée pour quatre valeurs de corrélation

12 Cf. Théorie des copules en annexe, en particulier le théorème de Sklar.

uv

rho3

uv

rho4

uv

rho1

uv

rho2

0

2

4

6

8

10

12

14

16



Les graphiques suivant illustrent la répartition d’une copule gaussienne bivariée pour différentes

valeurs de la corrélation :

A l’aide des copules, nous avons pu exprimer la loi jointe des grâce aux lois marginales

de chaque noms. A partir de là, nous allons pouvoir calculer la loi jointe des temps de défaut et

ainsi parvenir à la valorisation des produits dérivés de crédit.


Thèse d’actuariat Valentin Amiot et Dorothée Pagès p. 35

B. Modélisation du défaut

Nous nous intéressons ici aux probabilités de défaut conditionnellement au facteur commun

Dans un modèle de type Merton, nous avons vu que le nom était en défaut si sa valeur passait

en dessous d’un certain seuil Nous avons donc :

( ) ( | )

( ) (√ √ | )

( ) (

√

√ )

( ) (

√

√ )

Plaçons nous par ailleurs dans le cadre d’un modèle à intensité constante. A l’horizon la

probabilité de défaut est donnée par :

( )

( )

Cette égalité nous donne la loi marginale que nous notons du temps de défaut du nom .

Considérons l’équivalence suivante :

( ) ( )

Les deux probabilités de défaut sont égales si et seulement si :

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

Finalement :

( ) (

( ( )) √

√ )



II. Evaluation par la méthode de Monte Carlo

Les méthodes de Monte Carlo bien connues en finance permettent de calculer des valeurs

numériques à partir de générations aléatoires. Il s’agit donc de simuler des évènements décrits

par des lois de probabilité afin de pouvoir en déterminer l’espérance ou la variance. La méthode

repose sur la loi des grands nombre qui assure la convergence des estimateurs statistiques à

condition que le nombre de scénarii générés soit suffisamment grand. Nous allons dans cette

partie, présenter la mise en place de ce procédé et les résultats obtenus.

A. Simulation des temps de défaut

La méthode repose dans ce cas sur les modèles à intensité et il s’agit de modéliser la loi jointe

des temps de défaut. Nous nous plaçons alors dans le cadre simplifié où les intensités de défaut

sont constantes. Les lois marginales sont donc données par :

( ) ( ) ( )

Or comme nous l’avons vu auparavant, la probabilité de défaut peut aussi être exprimée de la

manière suivante :

( ( ( )))

Finalement nous arrivons à une formule explicite du temps de défaut :

( ( ))

De plus, nous connaissons la loi jointe des fournie par le modèle gaussien à un facteur :

√ √

Où ( ) est un vecteur de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées

selon une loi normale centrée réduite. est également gaussienne standard et indépendante des

.

Nous pouvons à partir de ces informations parvenir au prix final de la tranche en suivant les

étapes suivantes. Il faut commencer par simuler le facteur systémique et les facteurs

idyosynchratiques selon une loi normale de d’espérance nulle et de variance 1. Il est ensuite

possible d’en déduire les variables aléatoires à l’aide du facteur de corrélation entré comme

paramètre. Il est également nécessaire de connaître les intensités de défaut, ce qui est fait à l’aide

de la relation du triangle de crédit et grâce aux taux de recouvrement et spreads de chaque nom

fournis par le marché. A partir de ces résultats, et de la formule ci-dessus, nous sommes capables

de déterminer le temps de défaut de tous les noms dans le panier.



Maintenant, que nous avons accès aux temps de défaut, il est facile de calculer à chaque date

la perte globale sur le portefeuille. Il suffit en effet de comparer à , si alors le nom a

fait défaut et il suffit d’ajouter le nominal au montant de la perte. Nous pouvons ainsi

reconstituer le montant des pertes à chaque date de paiement.

Il ne reste plus alors qu’à calculer la valeur de la jambe fixe et de la jambe variable du CDO

pour finalement en déduire le spread.

B. Nombre de simulation et temps de calcul

Cette méthode est très efficace car elle ne s’appuie que sur les hypothèses du modèle et ne

réclame aucune autre approximation. En suivant les différentes étapes et en les répétant un

nombre de fois suffisamment élevé, la moyenne empirique des spreads obtenus pour chaque

scenario est assurée de converger vers la vraie valeur du prix. Cependant, que signifie un nombre

de fois suffisamment élevé et quels en sont les conséquences sur le temps de calcul ?

Considérons un panier de noms. Pour la simulation d’un scénario, le tableau suivant liste les

opérations à effectuer et la dépendance en temps de calcul qui y correspondent.

Opérations Temps de calcul

Génération de lois normales Linéaire en

Calcul des Linéaire en

Calcul des Linéaire en

Calcul du vecteur des pertes Linéaire en

Calcul du spread Linéaire en

Total Linéaire en

Finalement, le temps de calcul dépend linéairement du nombre de noms dans le portefeuille

et du nombre de dates de paiements. Il faut ensuite prendre en compte le nombre de simulations

utilisées pour aboutir au résultat. Au bout du compte, le temps de calcul est une fonction linéaire

de

.

Il est alors clair que cette méthode n’est pas la plus rapide. Par exemple, si on considère un

panier d’une centaine de noms, il faut choisir un nombre de simulations de l’ordre de 100 000 si

l’on veut assurer la convergence du résultat. Si la maturité est de 3 ans et que les paiements sont

trimestriels, il faut calculer les pertes du portefeuille pour 12 dates. Il faudra alors environ un

nombre d’opérations de l’ordre de cent millions pour obtenir le spread du CDO. Le temps de



calcul dépend ensuite de la fréquence du ou des processeurs de la machine utilisée mais est

surement important (de l’ordre de 2 minutes).

Nous avons résumé les informations précédentes dans le graphique suivant. Il représente les

résultats obtenus et le temps de calcul associé en fonction du nombre de simulation.

Il faut noter que l’échelle des abscisses est logarithmique. C’est pourquoi la courbe a un profil

exponentiel (la dépendance étant linéaire). Nous voyons que pour un nombre de simulations

faibles, le prix obtenu est assez éloigné de la valeur réelle. Puis la courbe oscille autour de la limite

avec des oscillations dont la fréquence est de moins en moins importante avec le nombre de

scenarii pris en compte. Ce graphique prouve que la méthode converge mais qu’elle n’est pas

adaptée en raison du temps de calcul qui devient très important quand le nombre de simulations

est élevé.

Nous devons donc remettre en question l’utilisation de ce procédé et considérer d’autres

méthodes permettant d’accroître la rapidité des calculs.

0

2

4

6

8

10

12

0,15

0,155

0,16

0,165

0,17

0,175

0,18

0,185

0,19

10

50

10

0

50

0

1 0

00

5 0

00

10

00

0

20

00

0

30

00

0

40

00

0

50

00

0

60

00

0

70

00

0

80

00

0

90

00

0

10

0 0

00

20

0 0

00

30

0 0

00

40

0 0

00

50

0 0

00

1 0

00

00

0

Tem

ps

de

cal

cul (

min

)

Spre

ad

Nombre de simulations

Evaluation par méthode de Monte Carlo

Prix Limite Temps de calcul



III. Evaluation par formule fermée

Etant donné les limites évoquées par la méthode de valorisation de Monte-Carlo, la

résolution de l’équation de pricing par formule fermée et méthode numérique de calcul des

intégrales permet une plus grande précision et une amélioration considérable des temps de calcul.

A. Résolution dans un cadre homogène

Les simulations étant coûteuses en calcul, d’autres méthodes permettent de calculer

directement la structure par terme des pertes espérées. En effet la connaissance de cette structure

permet de déduire le spread de chaque tranche comme le montre l’équation suivante :

∑ ( ) [ ( ) ( )]

∑ ( ) [ ( )]

Nous présentons ici une première méthode dite d’inversion de la fonction caractéristique des

pertes en utilisant

Puisque :

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

Il vient que :

( )] [( ( ) ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]

( )] ∑ ( ) ( ( ) )]

( ) ∑ ( ( ) )

( )

( )] ∑ ( ) ( ( ) )]

( ) [ ∑ ( ( ) )

( )

]

Les termes ( ( ) ) ne sont pas directement calculables puisque la perte réalisée

dépend, dans le modèle à un facteur, de la réalisation de . Pour résoudre ce problème, nous

présentons une première méthode dans un cadre simplifié où tous les noms du portefeuille sont

tels que .

Dans ce cadre la perte réalisée est donc égale au nombre de défaut multiplié par ( ) :

( ) ( ) ( )

Avec ( ), le nombre de défaut à la date .



B. Approximation par la loi de Poisson

En notant ( ), la probabilité de défaut de chaque CDS pris individuellement

(conditionnellement à la réalisation du facteur commun , les CDS sont indépendants), la

probabilité d’avoir défauts dans un portefeuille de taille suit une loi binomiale telle que :

( ) | ] ( ) ( ) ( ( ))

( ) | ]

( ) ( ) ( ( ))

Le calcul de ( ) à l’instant t s’obtient de la façon suivante :

( ) ( | ) ( | )

( )

[ ( )

√

]

( )

[ ( ( ))

√

]

Avec ( ), probabilité de défaut définie par:

( ) ( ) ( )

( ) { ∫ ( )

}

Les ( ) sont déduits des spreads extraits du marché à la date t pour chaque CDS ainsi

que des recovery rates estimés par la relation suivante :

( ) ( )

En définissant :

( ) ( )

Il vient que13:

( ) | ] →

( )

( )

13 Cf. Démonstration, approximation de Poisson, en annexe.



On calcule alors l’espérance des pertes cumulées conditionnellement à une réalisation :

( )| ] ∑ ( ) ( ( ) | )]

( ) [ ∑ ( ( ) | )

( )

]

( )| ] ∑ [( ) ( ( )

( )| )]

( ) [ ∑ ( ( )

( )| )

( )

]

( )| ] ∑ ( ) ( ( ) | )]

( )

( )

( )

[

∑ ( ( ) | )

( ) ]

( )| ] ∑ [( ) ( )

( )]

( )

( )

( )

[

∑ ( )

( )

( )

]

( )| ] ∑ [( ) ( )

( )]

( )

( )

( )

[

∑ ( )

( )

( ) ]

On en conclut que :

( )| ] ( )[ ( )] ( )

[

∑ ( ) ( )

( )

( )

( ) ∑ ( )

( ) ]

Enfin en utilisant la propriété d’espérance conditionnelle et comme ( ):

( )] ∫ ( )| ] ( )

( )]

√ ∫ ( )| ]



C. Calcul de l’intégrale des pertes par l’approximation de Gauss-Hermite

Le calcul de l’intégrale précédente se fait en utilisant la quadrature de Gauss-Hermite14. On

effectue le changement de variable

:

( )]

√ ∫ [ ( )| √ ]

On a alors :

( )]

√ ∑

[ ( )| √ ]

Les sont alors calculées comme les n racines du nème polynôme d’Hermite ( ) et les

pondérations sont celles obtenues à partir :

√

(√ )

14 Cf. Quadrature de Gauss en annexe. La programmation de cette fonction est extraite de (Press, et al., 2007)



IV. Evaluation à l’aide d’une formule récursive

L’approximation de Poisson bien que plus rapide qu’une méthode Monte Carlo présente tout

de même des défauts numériques. Nous allons dans cette partie présenter une formule récursive

qui permet de retrouver les probabilités d’une loi binomiale. Par ailleurs cette formule sera

facilement extensible au cas des portefeuilles inhomogènes et représente donc en ce sens une

solution idéale.

Rappelons que nous sommes toujours dans le cas où tous les noms du portefeuille ont le

même nominal et le même taux de recouvrement et qu’il s’agit de calculer la probabilité

que noms soient en défaut . Nous disposons des probabilités de défaut individuelles de

défaut notées . Nous omettrons l’indice pour des raisons évidentes de clarté.

Pour arriver à ce résultat, nous allons travailler par récurrence sur le nombre de noms dans le

panier. Commençons par un panier à un nom.

La probabilité qu’il n’y ait aucun défaut est donnée par :

Et la probabilité qu’il y ait un défaut :

Maintenant, rajoutons un nom dans ce portefeuille. La probabilité qu’il n’y ait aucun défaut

est donnée par la formule suivante :

( )( )

( )

La probabilité qu’il y ait un défaut se décompose en deux parties : soit le nom 1 fait défaut et

pas le nom 2 soit le nom 2 fait défaut et pas le nom 1.

( ) ( )

( )

Et enfin la probabilité qu’il y ait deux défauts :

Ce raisonnement peut être maintenu jusqu’au rang et nous obtenons les formules de

récurrence ci-dessous. La probabilité qu’il y ait zéro défaut parmi est la probabilité qu’il y en ait

zéro parmi et que le dernier nom ne fasse pas défaut.

( )



De même, pour obtenir défauts parmi noms, soit il y avait déjà défauts dans le sous-

panier de noms et le dernier ne fait pas défaut, soit il n’y avait que défauts parmi

et le dernier fait défaut.

( )

Enfin la probabilité que tous les noms aient fait défaut dans le portefeuille de noms se

déduit directement de l’étape précédente comme suit :

Finalement, nous pouvons grâce à cette méthode obtenir la probabilité que noms aient fait

défaut pour n’importe quel portefeuille et ainsi en déduire la distribution de la loi des pertes

attendues. Bien entendu ces probabilités sont conditionnelles au facteur commun à ce stade et le

calcul se poursuit comme pour les méthodes précédentes par un déconditionnement à l’aide de la

quadrature de Gauss-Hermite.



V. Application dans un cadre inhomogène

Jusqu’à présent et pour des raisons de simplicité nous n’avons travaillé que dans le cadre d’un

portefeuille de noms homogènes c’est-à-dire de même nominaux et de mêmes taux de

recouvrement. En pratique cela est rarement le cas et il nous faut donc étendre la méthode

présentée ci-dessus dans le cas où le panier de noms est inhomogène.

A. Exemple introductif

Il s’agit toujours de calculer l’espérance des pertes de la tranche ] à la date et il faut

donc sommer sur l’ensemble des pertes que peut subir la tranche. A priori, cet ensemble peut

paraître complexe et vaste (en théorie les pertes possibles parcourent l’ensemble des réels positifs)

mais il existe une méthode simple permettant de détailler cet ensemble et les probabilités qui sont

associées à chacun de ces membres.

Considérons l’exemple fictif suivant :

NOMS Nominal Taux de recouvrement

Perte si défaut Probabilité de défaut

CDS 1 100 000 60% 40 000 25%

CDS 2 80 000 50% 40 000 25%

CDS 3 100 000 40% 60 000 25%

CDS 4 100 000 40% 60 000 25%

CDS 5 50 000 20% 40 000 25%

L’espace des pertes atteignables est alors le suivant :

Pertes Cas possibles Probabilité

0 Aucun défaut 23,73%

40 000 1 ou 2 ou 5 23,73%

60 000 3 ou 4 15,82%

80 000 (1 et 2) ou (1 et 5) ou (2 et 5) 7,91%

100 000 (1 et 3) ou (1 et 4) ou (2 et 3) ou (2 et 4) ou (5 et 3) ou (5 et 4) 15,82%

120 000 (3 et 4) ou (1 et 2 et 5) 3,52%

140 000 (1 et 2 et 3) ou (1 et 2 et 4) ou (1 et 5 et 3) ou (1 et 5 et 4) ou (2 et 5 et 3) ou (2 et 5 et 4)

5,27%

160 000 (3 et 4 et 1) ou (3 et 4 et 2) ou (3 et 4 et 5) 2,64%

180 000 (1 et 2 et 5 et 3) ou (1 et 2 et 5 et 4) 0,59%

200 000 (1 et 2 et 3 et 4) ou (1 et 5 et 3 et 4) ou (2 et 5 et 3 et 4) 0,88%

240 000 1 et 2 et 3 et 4 et 5 0,10%



Il suffit alors de calculer les probabilités de défaut associées à chaque perte en considérant

l’ensemble des évènements qui y sont associées. Par exemple la perte du portefeuille peut être

égale à 40 000 si l’un des noms 1, 2 ou 5 est en défaut sans que ce soit le cas pour les quatre

autres. La probabilité associée à cet évènement est alors :

(

) ∑ ∏(

)

Et de même pour les autres évènements. Il est clair que les niveaux de perte intermédiaires ne

pouvant être atteint sont associés à une probabilité nulle. Ainsi il n’est pas besoin de considérer

l’espace des pertes possibles comme continu et on peut se limiter à un nombre fini de valeurs.

B. Cas général

Nous allons généraliser cette méthode de calcul à un portefeuille quelconque de noms. Soit

le nominal associé au nom du portefeuille et son taux de recouvrement. La perte attendue

si le nom fait défaut est alors ( ). L’incrément des niveaux de pertes pour le portefeuille

est alors le plus grand dénominateur commun des pertes individuelles de tous les noms du panier.

On retrouve bien ce résultat sur notre exemple ou le plus petit saut entre deux niveaux de pertes

est de . Nous allons ainsi pouvoir détailler l’ensemble des pertes possibles que peut subir

notre portefeuille.

L’écart entre deux niveaux de perte consécutif est :

( ( ))

La perte maximale associée à ce portefeuille est :

∑ ( )

L’ensemble des pertes possibles s’écrit alors de la façon suivante :

{ }

Où

Il s’agit maintenant de calculer les probabilités associées à chaque niveau de perte contenu dans

cet espace. Nous allons comme précédemment utiliser une formule récursive. Le schéma suivant

illustre le principe de la méthode récursive de manière synthétique et permet de mieux

appréhender les formules théoriques.



Probabilité que k noms parmi

n fassent défaut :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

… …

( ) ( )]

Probabilité que deux noms

parmi n fassent défaut :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ]

Probabilité que le nominal du CDO perde 2.pgcd :

Car aucun nom dans le CDO ne vaut 2PGCD.

( ) ]

Probabilité que le nominal du CDO perde N1+N2

(7PGCD) :

Figure 2 Espace des pertes dans un cadre inhomogène

Vecteur des probabilités de perte dans un cadre homogène :

Vecteur des probabilités de perte dans un cadre inhomogène :



Il s’agit donc dans cette partie, de calculer ( ) ] avec

{ }. Nous allons comme précédemment raisonner par récurrence. Mais il faut dans ce cas

tenir compte à la fois de la dimension du portefeuille et de la dimension de l’espace des pertes.

Pour commencer notre calcul, nous allons raisonner sur le sous-portefeuille ne contenant

que le premier nom. Nous savons que la perte associée à ce nom vaut ( ) et nous

pouvons alors déterminer le rang de cette perte dans l’espace global par ( )

. La

probabilité associée à cette perte est alors :

Bien entendu la probabilité que la perte soit nulle correspond au rang de l’espace des pertes

et vaut donc :

( )

Etendons maintenant ce raisonnement à un panier de noms. A chaque nom dans le

portefeuille correspond un rang dans l’espace des pertes donné par la formule suivante ( )

. Supposons que nous ayons déterminé le vecteur des probabilités sur l’ensemble de

l’espace des pertes pour le sous-portefeuille à noms et calculons le pour le portefeuille

complet.

L’important est de remarquer que toutes les pertes ne sont pas atteignables et que le défaut du

nom ne permet d’atteindre que certains rangs et plus précisément tous ceux qui sont supérieurs

à . En effet pour que la perte soit atteinte, soit elle était déjà atteinte et le dernier nom

survit, soit la perte ( ) était déjà atteinte et le dernier nom

fait défaut. On voit alors que tous les rangs strictement inférieurs à ne peuvent être impactés

par le défaut du nième nom et les formules récursives s’écrivent comme suit :

( )

( )

Ce nouveau vecteur de probabilité peut alors être réinjecté pour calculer le prix comme nous

l’avons vu précédemment :

( )| ] ∑ ( ) ( ( ) | )]

( ) [ ∑ ( ( ) | )

( )

]

Et le reste de la méthodologie (déconditionnement par la quadrature de Gauss-Hermite) reste

valable.



VI. Corrélation implicite des tranches de CDO

La récente explosion du marché des dérivés de crédit et l’augmentation de la liquidité des

différentes tranches standard des CDO ont conduit le marché à coter ces tranches en termes de

corrélations implicites plutôt qu’en termes de spreads. La notion de corrélation est intéressante

pour les différents acteurs de marché car elle facilite la comparaison des prix entre les différentes

tranches. Cette pratique a été inspirée par l’utilisation du modèle de Black and Scholes et des

volatilités implicites sur le marché des actions. Le but est donc de déterminer la corrélation qui

permet de retrouver le prix du marché à l’aide du modèle gaussien à un facteur.

A. Impact de la corrélation sur le prix des tranches

Nous allons ici chercher à décrire l’impact de la corrélation sur les prix des tranches standard.

Nous considérons donc un CDO à 5 tranches découpé de la manière suivante : une tranche

equity [0%,3%], puis des tranches à la séniorité croissante, [3%,6%], [6%,9%],

[9%,12%],[12%,22%].

Faire varier la corrélation revient à modifier la distribution des pertes. Intuitivement, plus

celle-ci augmente et plus la distribution présente alors des queues épaisses. Les probabilités des

évènements extrêmes sont renforcées. Si la corrélation est très élevée, le défaut d’un nom peut

rapidement entraîner celui de tous les autres, ainsi les pertes se concentrent sur les bornes de

l’intervalle : soit tous les noms font défaut soit tous survivent. Les graphiques suivants

représentent la distribution théorique des pertes du portefeuille total pour des niveaux de

corrélation différents et illustrent ces intuitions.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7

0,8

0,9

1,0

Freq

ue

nce

Distribution des pertes 1

Histo Perte (rho = 0)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7

0,8

0,9

1,0

Freq

ue

nce


Histo Perte (rho = 0,5)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7

0,8

0,9

1,0

Freq

ue

nce



0,0

0,1

0,2

0,3

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7

0,8

0,9

1,0

Freq

ue

nce



Il est alors logique que le prix de la tranche equity (qui ne prend en compte que la première

portion des pertes) soit une fonction décroissante de la corrélation et inversement pour la tranche

senior. En effet quand augmente, une partie du risque est transféré vers les tranches les plus

hautes, le rendement de la tranche equity diminue tandis que celui de la tranche senior doit

augmenter pour compenser cette élévation du risque.

Pour les tranches mezzanine, l’analyse est plus compliquée et l’impact de la corrélation n’est

pas aussi clair. Lorsque la corrélation est suffisamment faible, une augmentation marginale de

celle-ci accroit le risque d’une tranche intermédiaire et de ce fait son prix doit augmenter pour

rémunérer ce risque. Cependant, à partir d’un certain point, une augmentation de la corrélation

déplace le risque vers une tranche de séniorité supérieure et le prix de la tranche intermédiaire

diminue. Ainsi la fonction liant le spread d’une tranche mezzanine à la corrélation n’est pas

monotone et présente une forme de cloche.

Figure 3 Impact de la corrélation sur les spreads de tranche

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

Spre

ad

Corrélation

Influence de la corrélation sur le prix des tranches

Tranche [3,6] Tranche [6,9] Tranche [9,12]

Tranche [12,22] Tranche [22,100] Tranche [0,3]



B. Corrélation implicite

Le but dans cette partie est de retrouver à partir des données de marché la corrélation utilisée

pour valoriser le CDO. Or, nous savons que le prix du produit est le spread qui annule sa valeur

du marché à la signature du contrat. Il faut donc résoudre l’équation suivante dont l’équation est

( )

( )

Où est le prix de marché du produit à la date t.

Nous voyons tout de suite qu’une inversion de la formule de calcul du spread est dans ce cas

inenvisageable. Cependant, ce genre d’équation se résout facilement à l’aide de méthodes

numériques. Puisque le domaine de recherche de est connu à l’avance, nous pouvons par

exemple utiliser un algorithme dichotomique qui divise en deux l’espace des possibilités à chaque

étape et converge de manière certaine.

Le problème est ici l’unicité de la solution. Si elle est acquise pour la tranche equity – il est

clair sur le graphique que la fonction qui donne le spread en fonction de la corrélation est

strictement monotone – ce n’est pas le cas pour les tranches mezzanines pour lesquelles cette

fonction n’est pas bijective. Pour chaque niveau de spread, il existe deux corrélations possibles

permettant de parvenir au résultat.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,0

10

,04

0,0

70

,10

,13

0,1

60

,19

0,2

20

,25

0,2

80

,31

0,3

40

,37

0,4

0,4

30

,46

0,4

90

,52

0,5

50

,58

0,6

10

,64

0,6

70

,70

,73

0,7

60

,79

0,8

20

,85

0,8

8

Spre

ad

Corrélation

Corrélation implicite d'une tranche mezzanine

Tranche [3%,6%] Spread de marché



Dans ce cas, laquelle choisir ? Et pour quelles raisons ? Pour éviter d’avoir à se confronter à

ce problème et pour pouvoir impliciter la corrélation quelle que soit la tranche, J.P Morgan

(Ahluwalia, et al., 2004) introduit le concept de Base Corrélation.

C. Base corrélation

Cette notion a été introduite dans le but de pouvoir établir une bijection entre spread et

corrélation et repose sur l’additivité des pertes à l’intérieur du portefeuille. En effet, il est évident

que :

]( ) ]( ) ]( )

Et donc :

]( ) ]( ) ]( )

C’est-à-dire que pour calculer les pertes d’une tranche mezzanine, on peut utiliser les pertes

de deux tranches equity dont la dépendance à la corrélation est monotone. Il est alors possible de

reconstituer une courbe à partir des corrélations des tranches ], que l’on appelle base

corrélation.

Ainsi pour valoriser une tranche intermédiaire, nous avons besoin non plus d’une mais de

deux (base) corrélations : celles correspondants aux tranches equity impliquées. Il suffit ensuite de

calculer les pertes associées à chacune de ces deux tranches puis de reconstituer les pertes de la

tranche mezzanine à l’aide de la formule ci-dessus.

La reconstitution de la courbe des base corrélations à partir des données du marché utilise le

principe décrit ci-après. Tout d’abord, on utilise le prix de la première tranche ] pour

calculer sa corrélation implicite en résolvant l’équation :

( ] )

( ] )

L’une des pratiques communes du marché est de coter la tranche equity sous la forme 500

bps running + Upfront, c’est-à-dire que l’acheteur de protection paye tous les ans un spread de

500 bps et une somme tout de suite d’un montant égale à l’upfront (exprimé en pourcentage du

nominal). En tenant compte de cette convention, il faut résoudre :

( )

( )

Maintenant que l’on dispose de ce résultat , on cherche à calculer la base corrélation

associée à la tranche suivante ] à l’aide du prix de la tranche ]. Or d’après la

formule d’additivité des pertes, on a :

( ] )

( ] )

( ( ] )

( ] ))

( ( ] )

( ] ))



Et puisque que l’on connait et ] la seule inconnue de cette équation est . Ainsi, de

proche en proche, on obtient les corrélations successives pour chacun des points de détachement

utilisés sur le marché.

D. Smile de corrélation

Une des hypothèses du modèle gaussien à un facteur est que la corrélation est constante

quelle que soit la tranche considérée. En théorie donc, la courbe des base corrélation devrait être

horizontale. En pratique cependant, la courbe présente une déformation et est croissante en

fonction de la corrélation. C’est ce que l’on appelle le smile de corrélation similairement au smile

de volatilité constaté sur le marché des actions.

Le graphique suivant présente une des formes que peut prendre la courbe de corrélation dans

le cadre du modèle gaussien à un facteur.

Nous constatons tout de suite que l’écart entre la corrélation des différentes tranches est

important. Ce résultat amène des questions quant à la validité du modèle gaussien utilisé par tous

les acteurs de marché. Dans les faits, il semble que ce modèle et les erreurs de pricing qu’il

implique aient eu des conséquences non négligeables lors de la récente crise financière. Bien

qu’incohérent, c’est ce type de formule de pricing et l’usage des copules gaussiennes qui fut

promu par les régulateurs. Aujourd’hui ce modèle standard doit être remis en question.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

Co

rré

lati

on

Strike

Base correlation

Base correlation



E. L’échec du modèle standard

Le modèle gaussien à un facteur est dit incohérent puisque l’un de ses paramètres (la

corrélation implicite) dépend de la tranche dans laquelle on se situe. Ce problème n’a pas de réelle

importance dès lors que l’on price une tranche standard. En effet dans ce cas, le point

d’attachement et de détachement coïncident avec des strikes standards et la corrélation implicite

sera déduite de réelles cotations du marché (pricing mark to market). En revanche dans le cas d’une

tranche non standard (CDO bespoke ou sur-mesure), la corrélation implicite est déduite par

extrapolation du smile de corrélation. Dans ce cas la valeur calculée pour ce paramètre est

beaucoup plus incertaine.

De plus les tranches seniors et super-seniors enregistrent des corrélations implicites très

élevées et laissent à penser que les risques de crédit sous-jacents seraient vraisemblablement mal

pris en compte dans un cadre gaussien15. Dans l’article (Lardy, et al., 2009), les auteurs proposent

d’intégrer dans la modélisation de ces tranches une composante captant le risque systémique de

défaut (a systemic default intensity). En particulier, le recours à des processus à saut permettrait

d’affiner le pricing de ces tranches et de modéliser tous les risques sous-jacents, notamment les

risques systémiques comme ceux observés lors de la crise des subprimes déclenchés par les CDO

ABS (Asset Back Securities) adossés aux fameux prêts immobiliers californiens.

Lors de la crise financière, plusieurs modèles alternatifs ont alors été proposés afin de prendre

en compte les risques systémiques. Nous pouvons citer les modèles suivants :

Le modèle ERFL comme Enhanced Random Factor Loading (Lardy, et al., 2009)dans lequel la

corrélation dépend de manière déterministe du facteur commun. Ce modèle tient également

compte du risque systémique de défaut.

Le modèle top-down16 proposé par (Gaspard, et al., 2009) qui propose d’affiner le pricing des

CDO en introduisant un affine shot-noise permettant en particulier de capter l’impact des

évènements extrêmes.

Dans ce contexte, le but de la prochaine partie est de présenter un autre type de modèle basé

sur les processus de Lévy et qui permet de corriger le smile de corrélation et ainsi d’être mieux

adapté à la réalité.

15 cf. chapitre 2: Correlation, CDOS of ABS and the subprime crisis dans (Gourieroux, et al., 2009) 16 L’approche » top-down suppose de modéliser le panier de noms composant le CDO comme un tout. Cette bottom-up qui, elle, modélise le rsique de crédit et les corrélations de défaut de chaque élément du panier. Cf. (Gaspard, et al., 2009) pour les détails de modélisation qui dépasse le cadre de notre propos.

Modèle de Lévy


Partie 3. Modèle de Lévy

Le modèle gaussien à un facteur est connu pour ne pas parvenir à correctement pricer

simultanément les différentes tranches du CDO ce qui conduit au smile de corrélation. Nous

développons dans la partie suivante le modèle de Lévy et son application pour une loi Gamma.

La Lévy base correlation obtenue donne des courbes de smile beaucoup plus plate ce qui indique

une meilleure adéquation du modèle aux données ainsi qu’un potentiel de pricing plus fin pour

les tranches bespoke (plus faible erreur d’interpolation).

I. Cadre générique

Ce modèle17 repose également sur une approche structurelle à la Merton. L’émetteur

d’obligation fait défaut dès lors que la valeur totale de l’actif, , est inférieure à la barrière (le

montant de l’Equity), noté . On modélise alors la valeur de l’actif de la firme par :

Avec :

- : nombre d’émetteurs d’obligations dans le CDO (on se place ici dans un cadre homogène);

- ( ) Processus de Lévy standards sur des intervalles de temps et respectivement

indépendants et identiquement distribués de lois de distribution infiniment divisible et de fonction

de répartition ].

La distribution des processus étant standards, on a par hypothèse :

{ ] ] }

D’après les propriétés des fonctions caractéristiques, on a en notant celle du processus :

] ( )

]

( )

Ce qui implique alors :

( )

( )

D’où l’on déduit la propriété sur la variance :

]

On remarque alors en particulier que :

17 La présentation du modèle repose sur (Joao Garcia, 2007) qui introduit le concept de Lévy base corrélation, cependant le modèle générique de Lévy à un facteur vient originellement de (Albrecher, et al., 2007)

Modèle de Lévy


] ] [ ]

De cette propriété, il sort que :

[ ] [ ] ] [ ]

√ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

A l’instar du modèle gaussien à un facteur, désigne bien la corrélation entre deux noms du

CDO. est donc équivalent à un facteur commun et à un facteur spécifique.

Comme précédemment, on définit la probabilité de défaut du nom par ( ) comme :

( ) ( ( ) ( ))

( ( ) ( ( )))

( ( ( ))) ( )

Où désigne la fonction de distribution de la loi suivie par le processus de Lévy . D’après

les propriétés de stationnarité des incréments des processus de Lévy, on déduit en particulier

que : .

On définit alors la probabilité à la date t de défaut du nom i conditionnellement à une réalisation

du facteur commun. On a :

( ) ( ( ) ( )| )

( ( )| )

( ( ) )

( ( ) )

( ) ( ( ( )) )

Au moyen de la formule récursive de la distribution des pertes18, on peut alors construire

le vecteur des probabilités de pertes à une date t. Soit ( ), la probabilité que noms parmi

face défaut à la date sachant que . On a alors pour :

( )

( )( ( )

( )

( )( ( )) ( ) ( )

( )

( ) ( )

La probabilité d’avoir défauts parmi n entreprises déconditionnée du facteur spécifique

est alors donnée par l’intégrale sur suivante :

18 Cf. Partie 2

Modèle de Lévy


( ) ∫

( ) ( )

Où désigne la fonction de répartition de la loi du processus de Lévy . En posant ( ), la

densité du processus de Lévy, nous avons :

( ) ∫

( ) ( ) ( )

Enfin, partant de cette nouvelle construction des probabilités de défaut, on peut déduire

l’espérance de perte à la date pour un portefeuille de noms.

[ ]

∑

( )

∑

( )

∑

∫ ( )

( ) ( )

La somme étant finie, nous pouvons alors l’inverser avec l’intégrale, ce qui donne :

[ ] ∫ [

∑

( )

( )] ( )

[ ] ∫ [ | ] ( ) ( )

Le calcul de cette dernière intégrale s’effectue comme précédemment en utilisant la

méthode des quadratures gaussiennes pour approximer les intégrales. Le type de quadrature

retenue dépendra alors de la loi choisie19. De cette formule, on peut alors calculer le montant

espéré des pertes à une date , pour une tranche de point d’attachement et de point de

détachement :

[ ( )] [ { }] [ { }]

19 Pour une présentation détaillée des quadratures gaussiennes et des polynômes orthogonaux, on se référera au chapitre 4.6 de (Press, et al., 2007)

Modèle de Lévy


II. Application

Le modèle de Lévy est un cadre général relativement souple. Différentes hypothèses de

modélisation peuvent alors être envisagées concernant la loi suivie par les processus de Lévy.

En suivant les résultats de (Garcia, et al., 2007), nous nous sommes focalisés sur la loi Gamma

augmentée.

A. Le modèle de Lévy pour la loi Gamma augmentée

Le modèle de Lévy à un facteur appliqué pour la loi Gamma augmentée s’écrit ainsi :

( )

Pour des processus de Lévy défini comme :

√ ]

Où ( ) désigne un processus Gamma de paramètres et √ de densité telle

que :

( )

( ) ( )

Avec :

( ) ∫

( ) ( )

Modèle de Lévy


Ainsi le processus ( ) suit une tendance √ soumise à des chocs aléatoires .

On déduit alors la fonction de répartition des processus de Lévy en fonction de celle des

processus Gamma :

( ) [√ ]

[ √ ]

(√ √ ) [ √ ]

On injecte ensuite la formule de la densité de dans le calcul de l’intégral de [ ].

On remarque en particulier20 que puisque:

( √ ) [ ]

√ √

On a :

( √ ) (√ √ )

(√ )

( )(√ )

( (√ )√ ) √

20 On rappelle que pour ( ) alors la densité de est définit par : ( )

( )

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Temps

Processus de Lévy

Processus de Lévy

Modèle de Lévy


On réinjecte alors cette formule dans l’intégrale de l’espérance des pertes [ ] On a :

[ ] ∫ [ | ] ( ) ( )

∫ [ | ](√ )

( )(√ )

( (√ )√ ) √ ( )

On effectue alors le changement de variable : √ . Ce qui donne :

[ ] ∫ [ | √ ](√ )

( )( ) ( √ ) ( )

Et enfin le dernier changement de variable, √ . Ce qui donne :

[ ] ∫ [ | √

√ ]

( )( ) ( ) ( )

L’intérêt de cette dernière formule est que l’on retrouve la forme usuelle permettant le calcul de

l’intégral par la méthode de la quadrature gaussienne de Gauss-Laguerre. En effet, on a bien :

[ ] ∫ ( )

[ ] ∑ ( )

Où :

désigne le nombre de degré choisi pour approximer l’intégral par la méthode de Gauss-

Laguerre ;

( ) désigne la racine du polynôme de Laguerre.

désigne les pondérations obtenues par la formule :

( ) [ ( )]

où ( ) est le polynôme de Laguerre à degrés ;

( ) est la fonction définie par :

( ) [ | √

√ ]

( )

( )

∑

√

√

( )

( )

Modèle de Lévy


De plus nous avons vu précédemment que :

( )

( )( ( )) ( ) ( )

Avec :

( ) ( ( ( )) )

Par conséquent pour terminer le calcul, nous avons besoin de la formule de la fonction de

répartition pour ( √ ) ainsi que de son inverse .

Nous avons :

( )

(

√ )

( )

Où ( ) désigne la fonction Gamma incomplète définit par :

( ) ( ) ( ) ∫

L’inverse de la fonction de répartition s’obtient alors facilement :

( )

(

√ )

( )

( ) (

√ )

√ ( ( ))

( ) √ ( ( ))

Où ( ) désigne la fonction inverse de la fonction Gamma incomplète. Les fonctions

Gamma, Gamma incomplète et inverse de la Gamma incomplète sont toutes calculées par

méthode numérique (cf. (Press, et al., 2007) p. 256 et suivantes.).

Nous disposons donc de tous les éléments nécessaires à la correcte implémentation de ce

modèle.

Modèle de Lévy


B. Calibration des paramètres du modèle

1. Sensibilité des prix aux paramètres du modèle

Avant de déterminer une méthode de calibration pertinente, il convient tout d’abord d’étudier

la sensibilité des prix aux paramètres du modèle. Les graphiques suivant représentent d’une part

la sensibilité du modèle au paramètre pour une corrélation constante et d’autre part la

sensibilité au paramètre pour un paramètre constant.

0,234

0,235

0,236

0,237

0,238

0,239

0,24

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,7

0,7

8

0,8

6

0,9

4

1,0

2

1,1

1,1

8

1,2

6

1,3

4

1,4

2

1,5

1,5

8

1,6

6

1,7

4

1,8

2

1,9

1,9

8

Up

fro

nt

Spre

ad

a

Sensibilité au paramètre a

Tranche [3,6]

Tranche [6,9]

Tranche [9,12]

Tranche [12,22]

Tranche [22,100]

Tranche [0,3]

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,0

1

0,0

5

0,0

9

0,1

3

0,1

7

0,2

1

0,2

5

0,2

9

0,3

3

0,3

7

0,4

1

0,4

5

0,4

9

0,5

3

0,5

7

Up

fro

nt

Spre

ad

Rho

Sensibilité au paramètre rho

Tranche [3,6]

Tranche [6,9]

Tranche [9,12]

Tranche [12,22]

Tranche [22,100]

Tranche [0,3]

Modèle de Lévy


Ces graphiques permettent de tirer plusieurs conclusions d’ordre général. Tout d’abord, les

tranches les plus sensibles aux paramètres sont clairement les deux premières. Il sera donc très

pertinent de les retenir pour calibrer le modèle. Nous voyons également que les deux dernières

tranches sont quasiment insensibles au paramètre . Nous constatons aussi que l’effet de ce

paramètre sur le prix de la première tranche est l’inverse de celui sur le spread de toutes les autres

tranches (négatif pour la tranche Equity et positif pour le reste). Concernant la corrélation, nous

retrouvons les mêmes résultats que pour le modèle gaussien. Le prix de la tranche equity est

strictement décroissant en fonction de la corrélation tandis que le spread des tranches senior est

strictement croissant. L’effet de la corrélation sur les tranches Mezzanine est quant à lui toujours

ambigu.

2. Calibration du modèle

Comme nous l’avons vu, un processus de Lévy suivant une loi gamma augmentée telle que

( √ ) dépend donc de la calibration de . Deux alternatives sont alors possibles. L’une

consiste à calibrer le paramètre à partir d’un historique de données tandis que l’autre consiste

simplement à choisir avec pertinence une valeur constante pour .

Dans leur article (Garcia, et al., 2007), les auteurs calibrent à partir d’un historique sur deux

ans de donnée iTtraxx (valeurs hebdomadaires). Ils pricent successivement les tranches

] ] ] ] ] ] et effectue la

calibration à l’aide d’une méthode des moindres carrés pondérés ; les poids les plus importants

étant alors alloués aux deux premières tranches. Il s’agit dans un premier temps de trouver un

paramètre de corrélation global qui minimise les écarts entre les prix théoriques et les prix du

marché. Ce paramètre de corrélation est choisi à partir des données concernant la première

tranche. C’est en effet pour celle-ci qu’il est le plus pertinent : l’effet est strictement positif et la

dépendance est forte Il est alors possible de déterminer à partir des tranches restantes le

paramètre qui permet de faire correspondre au mieux les prix issus du pricing de Lévy et les

prix du marché. Un premier ajustement est réalisé à partir de la série des prix de la tranche

[3%,6%] puis, il suffit de raffiner l’estimation à l’aide des historiques des autres tranches La

corrélation étant considérée comme constante quelle que soit la date et quelle que soit la tranche,

la distance entre les prix théoriques et les prix cotés ne peut donc pas être nulle. Cette méthode

bien que visiblement adaptée requiert un temps de calcul important. Elle nécessite en effet de

calculer les prix théoriques pour chaque date (une centaine environ) et chaque tranche et pour

différentes valeurs de et de .

Une autre méthode consiste à fixer et à étudier empiriquement la variance des résultats

pour ]. Ayant constaté la convergence du paramètre vers , l’article fondateur de

(Joao Garcia, 2007) s’accorde sur cette méthode. Néanmoins, pour notre implémentation, nous

préviligierons une calibration sur un historique de spread.

Modèle de Lévy


III. Lois alternatives

Le modèle générique de Lévy à un facteur peut aussi s’appliquer avec d’autres lois. En

particulier la loi Gaussienne Inversée augmentée et les distributions de type CMY. A la suite de

l’article (Garcia, et al., 2007), V. Masol et W. Schoutens21 ont entrepris un travail plus approfondi

de comparaison de ces lois.

A. La loi Gaussienne Inversée augmentée

Comme pour la loi Gamma, la loi Gaussienne Inversée ( ) repose sur les deux

paramètres . Sa fonction caractéristique s’écrit alors :

( ) ( )] { (√ )}

On définit alors le processus { (

)} dont les variables aléatoires

suivent des lois Gaussiennes inversées. est bien un processus de Lévy car il vérifie ses

propriétés. Il est en effet infiniment divisible à incréments stationnaires et indépendants. Sa

densité s’écrit alors comme :

( )

√ ( )

(

( )

)

On peut alors définir la variable aléatoire qui suit une loi gaussienne inversée augmentée

définit par :

]

Comme précédemment, on définit alors que la valeur totale de l’actif pour la firme par :

Dans ce cadre, le calcul des probabilités déconditionnées de pertes s’effectue soit par des

méthodes numérique d’approximation des intégrales (quadrature de Gauss) soit par la méthode

des transformées de Laplace.

21 (Masol, et al., 2008)

Modèle de Lévy


B. Le modèle CMY augmenté

Ce type de distribution repose sur les trois paramètres et , et a pour

fonction caractéristique :

( ) ( )] { ( ) ( ) ]}

Là encore, ce type de distribution est infiniment divisible et l’on peut définir un processus de

Lévy { ( )} démarrant à avec des incréments

stationnaires et indépendants.

En suivant l’article (Masol, et al., 2009) on peut choisir pour paramètres

et ( ( ))

de telle sorte que { }, une variable suivant une

distribution CMY augmentée soit telle que si :

]

Alors,

] ( ( )( ) )

]

Enfin on peut poser le modèle CMY-Lévy augmenté, où , la valeur de l’actif pour la

firme , se modélise comme :

Pour ce type de distribution, la fonction de répartition , ne peut se calculer directement

avec une formule fermée. Ainsi son calcul s’effectue numériquement par inversion de la

transformée de Laplace.donnée par la formule :

( ) { ( ) ( ) ]}

Pour le détail de la méthode numérique, on se réfèrera à (Abate, et al., 1995).

Modèle de Lévy


D. Commentaires

Les différentes classes de modèles de Lévy aboutissent tous à la même conclusion principale.

Le smile de corrélation est plus plat pour les différents paramètres testés que celui obtenu avec le

modèle gaussien à un facteur. Nous n’avons pas mis en œuvre le modèle CMY mais si l’on suit

les conclusions de (Masol, et al., 2008), toutes les courbes de Levy base corrélation sont très

proches quel que soit le modèle retenu (Gamma Inverse, Gaussienne Inverse, CMY). Il en va de

même pour la sensibilité des paramètres de hedging.

Le modèle Gamma Inverse est celui préféré dans la littérature en raison de sa robustesse et

des meilleurs temps calcul obtenu pour le pricing. En particulier pour , le processus de

Lévy pour la loi Gamma Inverse augmentée se ramène alors à une distribution exponentielle

simple. Pour cette valeur de , les résultats du pricing, nous trouvons bien un smile de corrélation

plus plat que dans le cas gaussien à un facteur. De plus la fonction de densité de la distribution

exponentielle pure présentant des queues plus épaisses que la distribution gaussienne, nous

captons alors mieux la probabilité des évènements extrêmes (risque systémique). Ce point était en

effet la principale critique faite au modèle gaussien à un facteur lors de la crise financière.

Résultats


Partie 4. Résultats

Nous présentons dans cette partie, les résultats obtenus après implémentation22 des différents

modèles présentés. Après avoir effectué une analyse comparée du modèle gaussien à un facteur et

du modèle de Lévy pour le calcul des spreads de tranches de CDO, nous étudions les smiles de

corrélation respectifs obtenus à partir de ces deux modèles. Dans la mesure où le modèle de Lévy

permet d’obtenir une courbe de corrélation implicite plus plate, nous concluons que ce modèle

est plus précis pour calculer des tranches de CDO bespoke.

I. Calcul de spreads

L’implémentation de ces deux modèles a été réalisée sous C++. La structure de ce mémoire

reflète bien les différentes étapes de la programmation. Nous avons tout d’abord commencé par

utiliser la méthode de Monte Carlo avant de se servir de la formule récursive. Dans un premier

temps, nous avons travaillé sur le modèle gaussien pour s’assurer que les prix obtenus étaient

cohérents avec ceux fournis par le marché. Une fois cette étape de vérification achevée, nous

avons pu ajouter la valorisation à l’aide des processus de Lévy. En effet, si la structure de

dépendance change, les étapes de calcul sont exactement les mêmes.

A. Présentation des données

Pour ce premier exercice, nous disposons d’un panier de 125 noms équipondérés et de la

courbe des bases corrélations fournie par le marché. La maturité de ce contrat est de trois ans et

les spreads individuels des CDS sont donnés en bps. Nous considèrerons que le paiement du

spread s’effectue tous les ans et que le taux de recouvrement est le même pour tous les noms égal

à 40%. Par ailleurs, le taux d’intérêt sans risque sera fixé à 2% tout au long du calcul. L’ensemble

des données date du 13/04/2011 et a été récupéré à l’aide de la plateforme Bloomberg. Le

tableau suivant, présente les inputs et la courbe de corrélation utilisée pour valoriser les

différentes tranches de ce CDO.

Noms Poids Spread en bps

Adecco 0,008 50,21

Aegon 0,008 114,90

Ahold 0,008 65,15

AkzoNobel 0,008 42,17

Allianz 0,008 44,15

22 Le pricer réalisé a été codé en C++. Nous avons implémenté trois méthodes différentes pour pricer les tranches de CDO : le modèle gaussien à un facteur calculé par la méthode de Monte Carlo, le même modèle avec calcul de l’intégral des pertes par la quadrature de Gauss-Hermite et enfin le modèle de Lévy calculé avec la quadrature de Gauss-Laguerre.

Résultats


Strike haut 3% 6% 9% 12% 22%

Base corrélation 37,46% 42,34% 46,84% 51,76% 66,08%

B. Résultats du pricing

Le but est dans cette partie de présenter et de comparer les résultats obtenus avec les

différents modèles. Pour le modèle gaussien à un facteur, nous utiliserons la courbe de

corrélation ci-dessus. En revanche, pour le modèle de Lévy-Gamma, nous considèrerons que la

corrélation est identique quelle que soit la tranche pricée et nous choisirons le paramètre en

fonction des résultats de la calibration présentés dans le paragraphe précédent. Nous disposons

de plus des prix du marché pour ce produit et nous pourrons ainsi conclure sur la qualité du

modèle employé.

Gaussien Levy Gamma Marché

3% 1380,334 1296,535 1362,125

6% 349,9464 309,5885 337,6928

9% 153,9946 145,1629 150,3267

12% 77,23996 89,03902 75,45675

22% 30,21283 39,0956 28,84561

100% 9,074065 11,7482 8,084551

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Spre

ad

Tranche

Spread des tranches standard

Gaussien Levy Gamma

Résultats


Nous constatons donc que les prix trouvés avec le modèle de Lévy sont moins précis que

ceux obtenus avec le modèle gaussien à un facteur. Ce résultat semble tout à fait logique au vue

des pratiques courantes du marché. C’est en effet, le modèle gaussien à un facteur qui est

employé pour pricer ce type de produit. Nous constatons cependant quelques écarts entre les

résultats ce qui peut être dû à des erreurs numériques d’approximation du fait des méthodes

employées. Nous observons toutefois que l’ordre de grandeur des prix calculés à l’aide du modèle

de Lévy est cohérent. Il faut également noter que la précision est forcément réduite car la courbe

de corrélation pour ce modèle ne peut être connue à l’avance.

Le tableau suivant compare les prix obtenus avec le modèle gaussien et le modèle de Lévy

avec une corrélation constante quelle que soit la tranche.

Gaussien Levy Gamma

Marché Ecart Ecart

3% 1380,334 1296,535 1362,125 -18,2092 65,58977

6% 440,4851 309,5885 337,6928 -102,792 28,1043

9% 211,7506 145,1629 150,3267 -61,4239 5,1638

12% 114,8195 89,03902 75,45675 -39,3628 -13,5823

22% 39,54786 39,0956 28,84561 -10,7023 -10,25

100% 1,043379 11,7482 8,084551 7,041171 -3,66365

Globalement, nous voyons que les résultats de pricing obtenus avec le modèle gaussien sont

très largement dégradés par l’utilisation d’une corrélation identique pour chaque tranche. Nous

voyons également que les écarts pour les tranches mezzanines et sénior sont très importants. En

conclusion, nous voyons bien que les évènements extrêmes (qui correspondent aux défauts dans

les tranches de séniorité élevée) sont mal modélisés et conduisent à des erreurs de pricing. Nous

constatons également que ces erreurs sont moins importante avec le modèle de Lévy qui devrait

donc mieux prendre en compte l’occurrence d’évènements rares

Résultats


II. Impliciteurs de corrélation

L’intérêt du modèle de Lévy ne réside pas dans le pricing de tranches standard qui sont

encore cotés à l’aide du modèle gaussien à un facteur. Cependant, il est possible à partir des prix

de marché de recomposer la courbe de corrélation pour les deux modèles. Les données utilisées

sont des cotations JP Morgan du 09/05/2011 sur l’iTraxx série 9 de maturité 20/06/2013.

L’iTraxx est un indice sur CDS synthétiques composé d’un panier représentatif des noms les plus

liquides. Les tranches sur cet indice se décomposent de manière standard. Nous disposons donc

de six prix de marché à partir desquels nous pourrons impliciter la courbe des bases corrélation.

Points de détachement standard

3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 22,00%

Spreads de marché 1562 283 100 48 19

Base correlation pour le modèle gaussien

29,74% 38,03% 45,43% 52,22% 69,59%

Base correlation pour le modèle Lévy-Gamma

35,75% 30,34% 29,45% 31,29% 37,84%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 22,00%

Bas

e c

orr

éla

tio

n

Strike haut

Courbes de corrélation

Base correlation pour le modèle Lévy-Gamma Base correlation pour le modèle gaussien

Résultats


Ainsi nous voyons que la courbe des corrélations implicites est largement plus plate dans le

cadre du modèle de Lévy. Ce résultats confirme les précédents et montre que le modèle de Lévy

est le plus proche du cadre théorique d’une corrélation unique pour chaque tranche. Par ailleurs,

nous pouvons voir que cet écart est stable dans le temps. Nous disposons de l’historique des prix

de chaque tranche ainsi que des spread individuels sur une durée de un an et nous pouvons donc

reproduire la courbe des corrélations pour chaque date. Nous pouvons alors calculer la

profondeur de la courbe qui correspond à la différence entre le point le plus haut et le point le

plus bas. Les résultats sont alors présentés sur le graphique suivant :

Résultats


III. Pricing de dérivés exotiques

Le principal avantage d’avoir une courbe de corrélation plate est que les erreurs

d’interpolation pour les points intermédiaires sont considérablement diminuées. Ainsi, la

valorisation de tranche non standard à la demande de clients s’en trouve nettement amélioré.

Imaginons que nous souhaitions valoriser une tranche [5%-10%], nous devons alors

connaître la corrélation implicite de la tranche [0%,5%] et celle de la tranche [0%,10%].

Malheureusement, le marché ne fournit que celles des tranches [0%,3%], [0%,6%], [0%,9%],

[0%,12%] et [0%,22%]. Il nous faut alors en déduire les corrélations recherchées.

Reprenons les données de la partie précédente, nous sommes en mesure d’interpoler les bases

corrélation de tous les points de détachement intermédiaires. Nous utilisons pour cela une

formule simple d’interpolation linéaire. Par exemple, pour le point de détachement 5%, la

corrélation est calculée de la manière suivante :

( )

Nous obtenons alors les résultats suivants :

Gaussien Lévy

4% 32,51% 33,94%

5% 35,27% 32,14%

7% 40,50% 30,04%

8% 42,96% 29,75%

10% 47,69% 30,06%

11% 49,96% 30,68%

13% 53,96% 31,94%

14% 55,70% 32,60%

15% 57,43% 33,25%

16% 59,17% 33,91%

17% 60,91% 34,57%

18% 62,64% 35,22%

19% 64,38% 35,88%

20% 66,12% 36,53%

21% 67,85% 37,19%

Résultats


L’intérêt d’avoir une courbe plate est qu’elle laisse moins de marge pour commettre des

erreurs. Supposons en effet que la vraie courbe des corrélations ne soit pas linéaire entre deux

points mais convexe ou concave, les graphiques suivants montrent que les erreurs possibles

d’interpolation sont beaucoup plus élevées dans le cas du modèle gaussien que dans celui du

modèle de Lévy-Gamma. Ces représentations ne sont que des exemples qui illustrent une erreur

éventuelle, la forme de la courbe de corrélation n’est en réalité pas connue entre deux points

intermédiaires.

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10

%

11

%

12

%

13

%

14

%

15

%

16

%

17

%

18

%

19

%

20

%

21

%

22

%

Co

rré

lati

on

Strike haut

Erreur commise

Gaussien

Courbe convexe

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10

%

11

%

12

%

13

%

14

%

15

%

16

%

17

%

18

%

19

%

20

%

21

%

22

%

Co

rré

lati

on

Strike haut

Erreur commise

Lévy

Courbe convexe

Résultats


Cela ne veut cependant pas dire que les erreurs possibles commises avec le modèle de Lévy

sont nulles. L’échelle des graphiques et le fait que la corrélation varie peut ont aplati les

différences.

Grâce à cette formule d’interpolation linéaire, nous pouvons à présent valoriser des tranches

non standard. Considérons par exemple les deux tranches suivantes [4%,7%], [5%,10%]. Les

corrélations utilisées sont donc :

Strike 4% 7% 5% 10%

Gaussien 32,51% 40,50% 35,27% 47,69%

Lévy-Gamma 33,94% 30,04% 32,14% 30,06%

Les prix obtenus sont alors les suivants :

Gaussien Lévy-Gamma

[4%,7%] 191,165371 202,680432

[5%,10%] 106,958135 113,362104

Nous constatons que les résultats obtenus sont tout à fait similaires malgré un écart de

quelques bps.

25,00%

27,00%

29,00%

31,00%

33,00%

35,00%

37,00%

39,00%3

%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10

%

11

%

12

%

13

%

14

%

15

%

16

%

17

%

18

%

19

%

20

%

21

%

22

%

Co

rré

lati

on

Strike haut

Erreur commise

Lévy Courbe convexe

Résultats


Supposons maintenant, qu’une erreur ait été commise par rapport aux « vraies » valeurs de la

corrélation. Nous prenons alors les valeurs de corrélation à partir des courbes convexes présentée

précédemment. Le tableau suivant permet de voir l’impact d’une telle erreur sur les prix obtenus.

Gaussien Lévy-Gamma

Interpolation linéaire

Courbe convexe

Interpolation linéaire

Courbe convexe

[4%,7%] Spread 191,165371 137,710121 202,680432 192,962689

Ecart 0,00% -27,96% 0,00% -4,79%

[5%,10%] Spread 106,958135 96,5357874 113,362104 113,877141

Ecart 0,00% -9,74% 0,00% 0,45%

Nous voyons ainsi que les erreurs d’interpolation ont des conséquences plus graves lorsqu’il

s’agit du modèle gaussien à un facteur par rapport au modèle de Lévy Gamma.

L’intérêt de ce modèle réside donc dans la précision supplémentaire qu’il procure lorsqu’il

s’agit de traiter de produits dérivés exotiques. Son utilisation assure que les erreurs commises sur

les prix de ces produits est moins importante que celles obtenues avec le modèle gaussien à un

facteur. Celui qui l’utilise est alors en mesure de donner un prix plus près de la « vraie » valeur du

produit et d’en déduire la couverture adéquate. Les risques pris sur ce produit sont donc

diminués.

Bien que ce modèle semble efficace, depuis la crise, le consensus de marché concernant le

modèle à appliquer n’a pas changé et c’est toujours le modèle gaussien à un facteur qui est

employé pour la valorisation des CDO. Cependant, l’hypothèse des taux de recouvrement

constant a été remise en cause et ils sont maintenant en pratique considérés comme étant

aléatoires. Par ailleurs, d’autres modèles plus poussés utilisent une intensité stochastique. Il est

donc encore possible d’améliorer le cadre de modélisation en combinant ces différents éléments.

Si la complexité des calculs s’en trouve augmentée, la précision des résultats obtenus également.

Conclusion


Conclusion

Depuis la crise financière dont les CDO RMBS ont été un important vecteur, la littérature sur

l’évaluation des dérivés de crédit est particulièrement active. Nous avons en effet vu les profonds

changements que connaissent actuellement le marché des CDS (standardisation accrue, recours

aux chambres de compensation afin de mieux réguler le risque de contrepartie) ainsi que celui des

dérivés de crédit titrisés. Ces derniers bien que critiqués connaissent encore un engouement de la

part des institutions financières. Tandis que les banques y voient un moyen de mieux piloter leur

risque de crédit et donc leur besoin en fonds propres – ce qui est au cœur des exigences de Bâle

III –, les investisseurs institutionnels quant à eux y voient un moyen d’investir dans des actifs à

haut rendement jusqu’alors illiquides (prêts, etc.).

Par conséquent la compréhension des mécanismes financiers ainsi que l’amélioration des

méthodes d’évaluation de ces produits sont des enjeux capitaux pour les actuaires. Au cours de

cette étude, nous nous sommes attachés à rappeler les cadres de la modélisation du risque de

crédit des CDS et des CDO : l’approche structurelle héritée du modèle de Merton, l’approche

sous forme réduite focalisée sur les intensités de défaut et les modèles à variable latente. En effet,

ces éléments de théorie sont des préalables indispensables pour comprendre la formule de pricing

standard qui prévaut aujourd’hui pour évaluer les dérives de crédit tittrisés. C’est en particulier

cette méthode, le modèle gaussien à un facteur, qui prévaut sur le marché des CDO synthétiques

sur lesquels nous concentrons notre étude.

Néanmoins ce modèle est fortement critiqué depuis la récente crise financière. En effet le

modèle gaussien à un facteur, reposant sur une copule gaussienne pour modéliser la loi jointe des

défauts, a du mal à correctement prendre en compte les évènements rares (défaut des tranches les

plus seniors). Cette limite se manifeste notamment dès lors que l’on étudie le smile de corrélation

du CDO qui fait correspondre à chaque prix de tranche la corrélation implicite du modèle. En

théorie cette dernière doit être constant, hors elle est croissante avec la séniorité dans le modèle

standard. Ainsi nous avons proposé dans notre étude une formule innovante de pricing fondée

sur les processus de Lévy. Dans la mesure où ces processus intègrent une partie en saut, ils sont

mieux à même de modéliser les évènements rares.

Après avoir implémenté les deux méthodes de pricing, nous avons pu confirmer ce résultat.

En effet, le pricing des tranches de CDO avec le modèle de Lévy pour la loi Gamma Inverse

augmentée donne des courbes de corrélation systématiquement plus plates que pour la formule

standard. Nous pouvons donc montrer que ce modèle permet de pricer des tranches de CDO

bespoke avec plus de précision. En effet, le smile de corrélation étant plus aplati, nous

minimisons alors les erreurs d’interpolation, étape nécessaire pour déduire la corrélation implicite

de tranches non-standards.

Annexes


Annexes

I. Théorie des copules

Nous rappelons ici quelques éléments de base de la théorie des copules.

Définition, copule bivariée : La copule bivariée, ] ] est déinie par les

caractéristiques suivantes :

i. ( ) ( ) ]

ii. ( ) ( ) ]

iii. ( ) ] ( ) ]

( ) ( ) ( ) ( )

Cette définition s’étend au cas d’une copule multivariée en dimension n.

Une copule est donc déterminée soit ex-nihilo à partir de la définition précédente, soit à l’aide

d’une loi bivariée pré-existante. Dans ce cas on fait appel au théorème de Sklar du nom de celui

qui a introduit le concept copule en 1959.

Ce théorème précise le lien défini par la copule , déterminée à partir de la distribution jointe ,

entre les fonctions de répartition marginales univariées et et la distribution complète

bivariée .

Théorème de Sklar : soit , une distribution bivariée de marges et . La copule associée à

s’écrit :

( ) ( ( ) ( ))

( ( )

( ))

( )

est unique lorsque les marges et sont continues.

Propriété, Bornes de Fréchet :

Définissons deux copules remarquables ( ) ] :

i. La copule minimum qui a pour expression : ( ) { };

ii. La copule maximum qui s’écrit ( ) { }.

Ces deux copules que l’on appelle bornes de Fréchet définissent des copules extrêmales. En

effet, on a pour toute copule , nous avons la propriété suivante :

( ) ] ( ) ( ) ( )

Nous finissons cette annexe en définissant la copule gaussienne.

Annexes


Définition, Copule gaussienne : La copule Gaussienne bivariée s’écrit :

( ) ( ( ) ( ))

Où est le coefficient de corrélation et la distribution normale bivariée standard de matrice

de corrélation fonction de .

Toutes les propriétés des copules bivariées présentées peuvent s’étendre au cas multivarié.

Annexes


II. Démonstration, approximation de Poisson

( ) | ]

( ) ( ) ( ( ))

( ) | ] ( ) ( )

( ) ( ( ))

( ) | ] (

) (

)

( ) ( ( ))

( ) | ] ( ( ))

(

) (

)

( ( ))

( ) | ] ( ( ))

(

) (

)

( ( ))

( ( ))

( ) | ] ( ( ))

(

) (

)

( ( )

)

( ( )

)

On pose : ( ) ( ). Comme ( ( )

)

( )

on a alors :

( ( )

) ( )

( ( )

)

( )

D’où il vient que :

(

( )

) ( )

(

( )

)

Enfin puisque :

( ( ))

( )

Et :

(

) (

) (

)

On a bien :

( ) | ]

( ) ( ) ( ( ))

→

( )

( )

Annexes


III. Quadrature de Gauss

On appelle quadrature une méthode numérique de calcul d’intégral suivant la forme très

générale :

∫ ( )

Les quadratures de Gauss, contrairement aux méthodes classiques qui approximent cette

intégrale en calculant les valeurs prises par () sur un intervalle d’abscisse équidistants, la calcule

en l’approchant par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine

d’intégration. Cette méthode de quadrature est exacte pour un polynôme de degré 2n-1 avec n

points pris sur le domaine d'intégration. Il est ainsi possible de choisir une pondération et une

séquence d’abscisses de telle sorte que l’intégrale soit exacte pour une certaine classe

d’intégrantes: un polynôme multiplié par une fonction de pondération ( ).

En d’autres termes, sachant ( ) et un entier correspondant au nombre de degrés du

polynôme, il est possible de trouver un ensemble de poids ( ) et un ensemble

d’abscisses ( ) de telle sorte que l’approximation :

∫ ( ) ( ) ∑ ( )

Soit exacte si la fonction ( ) est un polynôme.

Le calcul des poids s’effectue en résolvant23 la formule générale suivante :

⟨ | ⟩

( ) ( )

Où ( ) , désigne une suite de polynômes orthogonaux permettant de construire par

récurrence la fonction de poids ( ). ( ) désigne alors la dérivée du énième polynôme de

cette suite pris à la racine .

Certaines fonctions de poids ( ) et les relations de récurrence générant les polynômes

sont remarquables. Pour notre étude, nous recourons aux polynômes de Gauss-Hermite

(déconditionnement de l’intégrale des pertes dans le modèle gaussien à un facteur) ainsi qu’au

polynôme de Gauss-Laguerre (déconditionnement de l’intégrale des pertes dans le modèle de

Lévy pour loi Gamma Inverse augmentée). En effet dans ces deux cas, un changement de

variable judicieux permet de retrouver la forme canonique de la formule de poids. Le tableau

suivant résume les caractéristiques de ces deux formes remarquables :

23 La démonstration de cette formule dépasse le cadre de notre propos. On se réfère à (Press, et al., 2007) pour plus de détail.

Annexes


Méthode Gauss-Hermite Gauss-Laguerre domaine

d'intégration ] ]

fonction de poids ( )

( ) ( )

formule de

récurrence générant le

polynôme

( )

( ) ( )

Formule du poids √

(√ )

( ) [ ( )]

Il est à noter que d’autres formes remarquables existent telles les quadratures de Gauss-

Legendre, Gauss-Chebyshev ou encore Gauss-Jacobi.

Annexes


IV. Propriété des processus de Lévy

Définition, Processus de Lévy : Un processus stochastique continu à droite et limité à gauche

( ) sur un espace de probabilité ( ) à valeur dans , tel que presque

sûrement, est un processus de Lévy s’il possède les propriétés suivantes :

i. Indépendance des accroissements : pour toute suite croissant de temps ,

les variables aléatoires

sont indépendants ;

ii. Stationnarité des accroissements : la loi de ne dépend pas de ;

iii. Continuité stochastique : (| | ) .

Les processus de Lévy incluent donc les mouvements browniens (trajectoires continues) et les

processus de sauts purs tels que les processus de Poisson.

Propriété, infinie divisibilité des processus de Lévy : Soit ( ) un processus de Lévy, ,

la loi de , est infiniment divisible. Réciproquement, si est une distribution infiniment

divisible, alors il existe un processus de Lévy ( ) tel que la distribution de soit donnée .

De l’indépendance des accroissements et de la continuité stochastique, nous pouvons énoncer la

proposition suivante.

Propriété, fonction caractéristique exponentielle : Soit ( ) un processus de Lévy définie

sur , alors appelée fonction carctéristique exponentielle de telle que :

( ) ( )

Définition, saut de processus : Si est un processus de Lévy, ses trajectoires sont cadlags.

Soit la version cadlag de . On définit le saut du processus par .

On peut alors définir la mesure de Lévy comme :

Définition, mesure de Lévy : Soit ( ) un processus de Lévy définie sur , on définit la

mesure de Lévy par :

( ) { ]| }] ( )

( ) compte le nombre de sauts par unité de temps.

Pour tout processus de Lévy ( ) définie sur , on peut définir une mesure aléatoire sur

décrivant le saut de et définie pour tout ensemble mesurable

par :

( ) {( ) }

Pour tout ensemble mesurable , ( ] ) compte le nombre de sauts de

entre et tels que la longueur de chaque saut est comprise dans . La mesure aléatoire

suit une loi de Poisson d’intensité de mesure ( ) :

Annexes


[ ( ] ) ] ∫ ∫ ( )

(∫ ∫ ( )

)

Propriété, mesure de Lévy : ( ) un processus de Lévy définie sur et sa mesure telle

que définie précédemment. On a alors les propriétés suivantes :

i. est une mesure aléatoire définie sur { } et vérifie :

∫ | | ( )| |

∫ ( )| |

ii. La mesure de saut de , notée , est une mesure aléatoire de Poisson sur avec comme

mesure d’intensité ( ) ;

iii. Il existe un vecteur et un mouvement brownien de dimension ( ) de matrice de covariance

tel que :

Avec :

∫ ( )

| | ]

∫ { ( )

| | ]

( ) } ∫ ( )| | ]

La décomposition de Lévy-Itô implique que pour chaque processus de Lévy, il existe un

vecteur , une matrice définie positive et une mesure positive qui définit de manière unique

sa distribution. Le triplet ( ) est appelé triplet caractéristique ou triplet de Lévy du

processus . La structure des trajectoires d’un processus de Lévy permet d’obtenir le second

résultat fondamental de la théorie : l’expression de la fonction caractéristique d’un processus par

son triplet ( ).

Théorème, la réprésentation de Lévy-Khintchine : Soit ( ) un processus de Lévy définie

sur avec pour triplet caractéristique triplet ( ). Alors :

[ ] ( )

Avec :

( )

∫ ( | | ) ( )

Les accroissements des processus de Lévy sont appelés subordinateurs. Ils sont utilisés

comme des changements de temps pour d’autres processus de Lévy (en particulier pour les

subordinateurs browniens). On peut remarquer que les subordinateurs ne contiennent pas de

composante brownienne.

Bibliographie


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Mémoire présenté devant l’ENSAE ParisTech pour l’obtention ......Dans le cadre de la couverture du risque de contrepartie, l’équipe Credit Portfolio Management de la Société