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Mémoire présenté le :

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA

et l’admission à l’Institut des Actuaires

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Modélisation du comportementclient en assurance des

emprunteurs sur le rachat anticipéde crédit

Natixis Assurances

H. Civel ISFA

Master SAF - 2ème Année 15 mars 2015

Pour des raisons de condentialité, les résultats chirés ont été modiés.

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Résumé

Depuis la mise en exergue des droits des emprunteurs après la récente entréeen vigueur des lois Lagarde et Hamon relatives à l'assurance des emprunteurs,l'étude des rachats anticipés apparaît aujourd'hui comme un sujet qui tienttoute sa place dans le paysage actuariel. Les bouleversements liés à l'ouver-ture à la concurrence d'un marché considéré fermé et trop opaque motiventla volonté de modéliser le comportement d'un assuré emprunteur. Ce marchéen plein expansion stimule donc à la fois les assureurs qui souhaitent pouvoirapprécier ce risque et les autorités de contrôle pour qui les droits du consom-mateur et la solvabilité d'un établissement sont des priorités.

Ce mémoire propose une modélisation best estimate du rachat anticipé decrédit par la construction d'une loi d'expérience. Une table de rachat a étéobtenue grâce à l'estimateur de Kaplan Meier combiné à un ajustement para-métrique permettant une extrapolation pour des durées de prêt dicilementobservables. Le caractère conjoncturel que l'on avance dans l'étude du rachaten assurance vie et modélisé à partir de l'écart de taux d'emprunt et des tauxdu marché, ne semble pas interagir dans l'arbitrage du client dans le rachatde prêts par anticipation. Ceci s'explique par la particularité de l'adossementà un crédit et par la conjoncture de taux bas que l'on observe actuellement.

Une application pratique est ensuite mise en ÷uvre avec l'étude de l'eetde la mise en place d'une loi de rachat sur la provision technique pour risquescroissants, permettant ainsi d'estimer un montant de provision accompagnéd'un intervalle de conance. Dans le but de fournir une aide à la décision, unecomparaison a ensuite été faite avec l'utilisation d'un taux de rachat annuelconstant, actuellement pratiqué par le métier.

Depuis le 26 juillet 2014 et l'application de la loi Hamon, tout emprunteurdispose d'un délai de 12 mois pour résilier son contrat d'assurance emprunteurau prot d'un contrat à garanties au moins équivalentes. L'impact d'une telleréforme est un sujet qui préoccupe considérablement le métier, d'où l'intérêtd'anticiper les éventuelles conséquences et la déformation d'un portefeuille em-prunteur. Une modélisation microéconomique du comportement client a prioriest proposée dans ce mémoire, basée sur les fondements de la théorie de l'utilitéespérée. Cette approche expérimentale ne prétend pas être able et nécessi-tera encore d'être rebouclée empiriquement mais peut s'interpréter comme une

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piste de réexion alternative aux modèles existants d'ordre rétrospectif.

Mots clefs : Assurance des emprunteurs, Kaplan-Meier, Loi Lagarde, LoiHamon, microéconomie, théorie de l'utilité espérée, fonction d'utilité, provisionpour risques croissants, rachat anticipé de crédit.

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Abstract

Since the exposure of borrowers' rights due to the recent entry in force ofLagarde's and Hamon's laws related to mortgages' insurance in 2009 in France,the anticipated repayment study appears nowadays as a fully independent sub-ject in the actuarial landscape. Turmoil linked to the opening to competition,considered closed and too opaque before, motivates the willingness to modelthe policyholder's behavior. This booming market stimulates both insurers andregulatory authorities, who respectively want to assess the risk, protect consu-mer's rights and control the solvency of rms.

This paper suggests an expected behavior best estimate modellingthrough a redemption risk table. The anticipated repayment rates were achie-ved using Kaplan Meier's estimator combined with parametric adjustmentsand then extrapolated for longer loan durations. As opposed to life insurancemodelling, the conjunctural nature, given by the interest rates, does not seemto be an essential factor in the consumer's arbitrage for a borrower's portfolio,in the specic market of France with low interest rates.

The ultimate aim is to study the impact of an anticipated repayment tableon the amount of the premium reserve, by estimating an expected amount anda condence interval of this reserve. In order to assist the decision-maker, acomparison is made between the generated table and a constant redemptionrate, currently used by the actuaries managing this portfolio.

Since the enforcement of the Hamon's law on July 26, 2014, each borrowerhas the right to resign his insurance contract at any time within 12 month fromthe date of signature of the loan agreement. This right obviously requires thesubscription of an equivalent contract from another underwriter. The conse-quence of such a reform is a subject of concern for the industry, hence theanticipation is crucial for the actuaries, it has an impacts on a borrowers' insu-rance portfolio. A microeconomic consumer's behavior a priori model is alsoproposed in this paper, based on the expected utility theory. This experimentalapproach does not pretend to be ecient and still requires to be back testedbut it can be interpreted as an alternative reection to existing models.

Key-words : Borrowers' insurance, Kaplan-Meier, law Lagarde, law Hamon,microeconomy, utitlity function, premium reserve, anticipated repayment.

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Remerciements

Je tiens à remercier le service Actuariat de Natixis Assurances et exprime maprofonde gratitude à l'égard de toute l'équipe du pôle Actuariat-Prévoyancepour son aide et sa disponibilité.

Je tiens tout particulièrement à remercier Patrick GOMIS pour avoir par-tagé son exérience et avoir toujours su me diriger vers des axes de réexionspertinents dans mon travail comme dans l'élaboration de ce mémoire.

Enn, je remercie Frédéric PLANCHET pour la relecture de ce mémoireet ses conseils avisés.

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Table des matières

Résumé 4

Abstract 5

Remerciements 6

1 Contexte de l'assurance des emprunteurs 101.1 État de l'art de l'assurance des emprunteurs . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Dénition de l'assurance des emprunteurs . . . . . . . . 101.1.1.1 Rôle de l'assurance des emprunteurs . . . . . . 101.1.1.2 Contrat groupe et individuel . . . . . . . . . . . 111.1.1.3 Acteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1.4 Caractéristiques d'un contrat d'assurance em-

prunteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Actualité et réglementation . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2.1 Rappels historiques . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2.2 Convention BELORGEY du 19 septembre 2001 161.1.2.3 Convention AERAS du 6 janvier 2007 . . . . . 171.1.2.4 Loi Lagarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.3 État du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3.1 Situation du marché . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3.2 En route vers la n d'un quasi-monopole . . . . 19

1.2 Enjeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1 Loi Hamon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Modalités contractuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Perspectives d'avenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3.1 Enjeux de la résiliation . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3.2 Intérêt de l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4 Limites et dangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Approche microéconomique expérimentale : modélisation ducomportement de l'emprunteur 242.1 Théorie de la décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Comportement du consommateur . . . . . . . . . . . . . 252.1.1.1 Hypothèses concernant les préférences du consom-

mateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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2.1.1.2 Courbes d'indiérences . . . . . . . . . . . . . . 262.1.1.3 Taux marginal de substitution . . . . . . . . . . 262.1.1.4 Fonction d'utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Théorie de l'utilité espérée . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Encodage des préférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Encodage des fonctions d'utilités marginales dans uncontexte certain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Encodage des fonctions d'utilités marginales dans uncontexte incertain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Approche expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1 Collecte des informations sous forme d'enquête . . . . . . 342.3.2 Encodage des préférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Détermination des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.4 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.5 Extensions et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Étude de la déformation d'un portefeuille en assurance desemprunteurs 433.1 Présentation et traitement des données . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Données de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2 Hypothèses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2.1 Traitement des données . . . . . . . . . . . . . 463.1.2.2 Traitement des valeurs aberrantes et manquantes 47

3.2 Statistiques descriptives du portefeuille étudié . . . . . . . . . . 483.3 Modélisation de la loi de rachat anticipé de crédit . . . . . . . . 50

3.3.1 Notions de troncatures et censures . . . . . . . . . . . . 513.3.2 Estimateur de Kaplan Meier . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.3 Ajustement et lissage des taux bruts . . . . . . . . . . . 54

3.3.3.1 Lissage non paramétrique . . . . . . . . . . . . 543.3.3.2 Ajustement paramétrique . . . . . . . . . . . . 57

3.3.4 Tests de conformité des ajustements . . . . . . . . . . . . 593.3.4.1 Test du Khi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.4.2 Test des changements de signe . . . . . . . . . . 60

3.3.5 Résultats et analyses de la loi de rachat anticipé . . . . . 613.3.5.1 Présentation des taux bruts . . . . . . . . . . . 623.3.5.2 Taux lissés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.5.3 Comparaison et validation des taux lissés . . . 673.3.5.4 Critiques et extensions possibles . . . . . . . . . 67

3.4 Projection d'un portefeuille emprunteur . . . . . . . . . . . . . . 683.4.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.2 Estimation de la provision pour risques croissants . . . . 723.4.3 PRC négative : futur insatisfait ? . . . . . . . . . . . . . 76

4 Annexes 86

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Introduction

L'assurance des emprunteurs tire sa particularité de son fonctionnement tri-partite faisant intervenir un établissement bancaire, un assureur et un assuré.Si une assurance de prêt était encore accessoire et marginale il y a quelquesannées, elle est maintenant indispensable. Cette obligation est à l'initiative desbanques car la législation française n'oblige pas la souscription d'une assurancede prêt en vue de l'obtention d'un crédit mais les établissements bancaires n'ontplus souhaité accorder un emprunt sans garantie de la part de leur client. Cettevolonté de se couvrir des risques décès ou arrêt de travail explique en partiel'expansion du marché de l'assurance des emprunteurs et sa constante évolu-tion. Il est également important de rappeler que le domaine de l'actuariat estétroitement lié au droit français et les récentes réformes Lagarde et Hamon ensont des illustrations parfaites pour l'assurance des emprunteurs.

Le sujet de l'étude porte sur le rachat anticipé de crédit au sein d'un por-tefeuille emprunteur et s'inscrit dans le cadre de la modélisation best estimateimposée par la réglementation européenne en vigueur. L'angle d'analyse choisiest opérationnel, guidé par l'objectif d'apporter une aide à la décision dansle calcul de la provision technique pour risques croissants. En eet, le rachatanticipé de crédit joue un rôle non négligeable dans la projection des ux etde trésorerie.

Après avoir détaillé l'état actuel du marché de l'assurance des emprunteurset rappelé le contexte historique dans lequel il s'est développé, nous aborde-rons, à titre expérimental, une approche comportementale en réponse à la loiHamon. La troisième partie portera sur la construction d'une loi d'expériencesur le thème du rachat ayant pour nalité l'étude de l'impact sur la provisionpour risques croissants. Cette dernière partie sera complétée par les notions,hypothèses et les outils utilisés dans la modélisation.

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Chapitre 1

Contexte de l'assurance desemprunteurs

1.1 État de l'art de l'assurance des emprunteurs

Cette partie a pour objectif de rappeler les grandes notions de l'assuranceemprunteur dans le but d'une réexion approfondie sur le thème du rachatanticipé de crédit classique. Il sera aussi question d'actualité, qui n'est passans conséquence, dans les problématiques abordées.

1.1.1 Dénition de l'assurance des emprunteurs

1.1.1.1 Rôle de l'assurance des emprunteurs

L'assurance des emprunteurs est double, elle couvre à la fois le prêteur etl'emprunteur contre les risques susceptibles de perturber le remboursement duprêt. En dehors des garanties principales que sont le décès ou la perte totaleet irréversible d'autonomie (PTIA), les garanties de l'assurance peuvent aussijouer en cas d'incapacité de travail (perte d'emploi) ou d'invalidité, partielleou totale. De nos jours, l'assurance des emprunteurs est une étape essentielleet obligatoire pour tout individu qui souhaite obtenir un nancement auprèsd'un établissement prêteur an de mener à bien ses projets d'ordre personnel,professionnel ou immobilier.

Une telle assurance prend en charge les échéances d'un prêt, suite à unarrêt de travail ou le capital restant dû en cas de décès ou PTIA. Ainsi lepatrimoine de l'assuré est préservé et la banque se couvre par la même occasiondu risque de défaut de son client débiteur. Cette assurance garantit la poursuitede l'engagement de l'emprunteur et du prêteur.

La particularité du domaine de l'assurance emprunteur réside donc danssa double fonction de protéger à la fois l'emprunteur et l'établissement deprêt. D'un point de vue pratique, l'emprunteur souscrit, en tant qu'assuré,une assurance en désignant comme bénéciaire l'établissement de crédit.

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1.1.1.2 Contrat groupe et individuel

Historiquement, les établissements de crédits ont souscrit des contrats d'as-surance pour le compte de leurs clients an de simplier les circuits. Les clients,détenteurs de prêts, se voient souscrire par l'établissement bancaire, une as-surance de prêt, appelée alors contrat groupe ou contrat collectif. Opposé àce dernier on retrouve le contrat individuel pur pouvant être proposé par unesociété d'assurance extérieure. Le contrat individuel ore, en théorie, des ta-rifs plus adaptés (segmentation par âge, par capital emprunté etc.), et de cefait il est plus avantageux pour certains prols. En contrepartie, le principede mutualisation est logiquement moins ecient sur le contrat individuel, quide plus, ne bénécie pas d'économie d'échelle liée à la réduction des coûts parassuré. Depuis peu, les banques ont aussi fait le choix de distribuer des assu-rances à segmentation plus ne pour des raisons de parts de marché évidentes,que l'on appellera contrats individuels alternatifs.

La proportion de contrats individuels tendra à augmenter dans les annéesà venir. Cette augmentation s'explique par la mise en lumière des droits del'emprunteur jusqu'alors alors considérés comme trop opaques. Les nouvellesréformes juridiques, détaillées dans la suite, ont un retentissement non négli-geable dans la mutation du secteur de l'assurance des emprunteurs.

1.1.1.3 Acteurs

Présentons dans cette partie les acteurs majeurs du mécanisme de l'assurancedes emprunteurs an de mieux comprendre les forces en présence et le rôle dechacun. Le mécanisme est ainsi résumé par le schéma 1.1, page 11.

Figure 1.1 Acteurs de l'assurance des emprunteurs

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Les échéances de prêts incluent en général la prime d'assurance et doncla mensualité de crédit et la cotisation sont prélevées par le même organismespour le contrat groupe. A l'inverse, dans le cadre d'une délégation d'assurance,deux organismes entrent en jeu, créant ainsi un processus composé de troisacteurs.

1.1.1.4 Caractéristiques d'un contrat d'assurance emprunteur

L'activité d'assurance emprunteur dispose de caractéristiques qui lui sontparticulières et méritent d'être détaillées.

Les garanties

D'après le Code de la Consommation, l'assurance adossée à un prêt est fa-cultative mais a souvent été rendue obligatoire par les établissements bancairespour des raisons de couverture. Les types de couvertures proposées en assu-rance des emprunteurs sont principalement :

• La garantie Décès

• La garantie Perte Totale et Irréversible de l'Autonomie (PTIA), qui ac-compagne souvent la garantie Décès

• La garantie Incapacité Temporaire de Travail

• La garantie Invalidité, partielle ou totale

• La garantie Perte d'Emploi

L'âge à la souscription de l'assurance de prêt est de 65 ans pour les garantiesprésentées ci-dessous et peut atteindre 70 ans pour la garantie décès au titre decertains contrats (Prêt Senior pour Natixis Assurances). Pour ce dernier l'âgelimite de couverture est de 75 ans contre 65 ans pour un contrat classique.

Garantie Décès : Obligatoire dans tout contrat d'assurance emprunteur,l'assureur s'engage, en cas de décès de l'assuré, à prendre en charge le capitalrestant dû à partir du jour du décès. Il existe une option garantie décès ac-cidentel qui peut être proposée. Le décès est considéré comme accidentel s'ilest provoqué par une cause extérieure ou provient d'une action soudaine etviolente.

Garantie Perte Totale et Irréversible de l'Autonomie (PTIA) :Souvent proposée avec la garantie décès, elle intervient lorsque l'assuré est dansl'impossibilité absolue et dénitive de se livrer à toute occupation ou à touttravail procurant un revenu et dont l'état de santé nécessite l'assistance d'unetierce personne pour eectuer les actes ordinaires de la vie. C'est un médecinmandaté par l'établissement d'assurance qui est chargé d'évaluer l'état de santéde l'assuré.

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Garantie Incapacité Temporaire de Travail : Elle intervient lorsquel'assuré est temporairement incapable de se livrer à toute occupation ou à touttravail procurant un revenu, à la suite de maladie ou d'accident. L'incapacitédoit être reconnue médicalement. Pour certains contrats, l'assuré qui bénéciede la prise en charge des mensualités venant à échéance en cas d'arrêt detravail, est exonéré du paiement de ses cotisations relatives à ces garanties.Cette garantie est soumise à des limites de souscription ou de couverture et àdes jours de franchise.

Garantie Invalidité, partielle ou totale : L'invalidité est un état dénitifd'incapacité dans lequel se trouve un individu suite à un accident ou unemaladie. Cet état est permanent et présumé dénitif et ne peut évoluer que demanière défavorable. L'invalidité peut être partielle ou totale.Il existe 3 types d'invalidité. Si le médecin-conseil estime la capacité de travailou de gain réduite au moins des 2/3, il procédera à un classement dans l'unedes trois catégories suivantes :

• Invalidité de première catégorie : L'individu est capable d'exercerune activité professionnelle.

• Invalidité de deuxième catégorie : L'individu est incapable d'exercerune activité professionnelle.

• Invalidité de troisième catégorie : L'individu est incapable d'exercerune activité professionnelle et a besoin de l'aide constante d'une tiercepersonne pour l'assister dans les gestes essentiels de la vie courante (man-ger, se laver, s'habiller, se déplacer, ...).De même que pour l'incapacité, l'assuré peut bénécier de l'exonérationdu paiement de ses cotisations.

Garantie Perte d'Emploi : Cette couverture facultative garantit à l'em-prunteur le remboursement partiel ou total de ses mensualités en cas de chô-mage.

En règle générale, les contrats d'assurance emprunteur comportent des exclu-sions qui doivent être impérativement mentionnées sur la notice d'informationdu contrat. Elles peuvent être d'ordre médical, sportive et professionnel.

Les types de prêt

Il est important de rappeler que l'assurance des emprunteurs n'a de sensque si elle est adossée à un crédit. Les types de prêt classiques proposés enassurance des emprunteurs, dans le cadre de notre étude, sont les

• Crédit immobilier

• Crédit professionnel

• Crédit à la consommation

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Crédit immobilier : C'est un emprunt destiné à couvrir tout ou partie d'unachat immobilier, d'une opération immobilière ou des travaux d'aménagementd'un bien immobilier déjà existant. Sa durée dépasse en général 8 ans.

Crédit professionnel : C'est un emprunt qui vise à nancer tout investis-sement corporel ou incorporel (terrain, construction, travaux, matériel, fondsde commerce, ...) à vocation professionnelle. Ce crédit s'étale de 2 à 10 ans.

Crédit à la consommation : C'est un emprunt que le bénéciaire peututiliser pour tout type de projets (loisirs, travaux, trésorerie, ...) : il peut êtreaecté à un projet précis ou non et dans ce cas ne nécessite aucune justi-cation envers l'établissement prêteur. La durée de l'emprunt est généralementcomprise entre 2 et 6 ans.

Les formalités d'adhésion

Sachant que la banque prend un risque, à savoir celui de devoir rembourserpartiellement ou totalement le remboursement du prêt, il est évident que, pourmieux apprécier ce risque elle s'informe, à la souscription, de l'état de santéde l'assuré via des formalités médicales. L'assureur se garde donc le droit d'ac-corder ou non l'assurance de prêt et ceci a pour conséquence la conclusion ounon de l'emprunt bancaire. Toutefois, s'il estime que le postulant à l'assuranceprésente un risque modéré, il peut tout de même accepter de le couvrir contrele paiement d'une surprime et/ou en apportant des exclusions partielles outotales de garantie.

En pratique il existe quatre niveaux de formalités médicales :

• La déclaration de bonne santé (déclaration sur l'honneur de l'assuré).• Le questionnaire médical simplié (questionnaire qui comporte unedizaine de questions sur les éventuels traitements en cours, opérationssubies, antécédents familiaux, aections diverses, arrêts de travail, cures,traitements spécialisés, ...).

• Le questionnaire médical détaillé et condentiel (questionnaireplus conséquent et plus précis, certié par le médecin agréé par l'établis-sement d'assurance).

• L'examen médical (examen qui consiste en une visite médicale compre-nant un test sanguin, éventuellement un électrocardiogramme ou autresexamens).

En fonction de l'âge ou du montant emprunté, une déclaration d'état desanté ou un questionnaire médical simplié peuvent sure comme justica-tif médical. Cependant, selon les réponses apportées, l'assureur peut vouloircompléter ces formalités par un questionnaire détaillé et condentiel et desexamens médicaux an de mieux cerner le risque qu'il encourt.

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Tarication

Il existe trois types de tarication en assurance des emprunteurs :

• Prime pure exprimée en pourcentage du Capital Initial (CI)Ce taux est une fonction de l'âge à l'adhésion et reste xe sur la durée ducontrat. Ce mode de tarication est généralement utilisé dans le cadrede crédits classiques (immobilier et professionnel).

• Prime pure exprimée en pourcentage du Capital Restant Dû(CRD) et fonction de l'âge atteintCe taux dépend de l'âge et du CRD au paiement de la prime d'assurance.Ce tarif est donc décroissant selon le CRD et croissant avec l'âge. Cetteméthode est plus généralement proposée pour les contrats alternatifs quis'opposent aux contrats collectifs.

• Prime pure exprimée en pourcentage du CRD et de l'âge àl'adhésionCe moyen de tarication a été abandonné dans les années 2000 pourles contrats groupes du fait que les primes initiales étaient largementsupérieures aux primes pour les tarifs en pourcentage du CI. En eet,cette solution était relativement dicile à faire valoir auprès du client.

Le graphique 1.2 ,page 16, représente l'évolution du tarif suivant les deuxpremières tarications présentées sachant un crédit immobilier avec les carac-téristiques suivantes :

• Capital Initial : 150000 euros

• Durée du prêt : 15 ans

• Taux nominal : 3.50%

• Age à la souscription : 35 ans

Dans l'hypothèse d'un contrat bien tarifé, la prime pure est calculée de sorteque l'engagement de l'assureur est égal à l'engagement de l'assuré. Graphique-ment cela revient à ce que les aires triangulaires délimitées par la diérencedes deux droites. Cependant lorsqu'un assuré rembourse son prêt par antici-pation, la durée moyenne de l'emprunt est raccourcie créant un déséquilibredes engagements des parties.

1.1.2 Actualité et réglementation

1.1.2.1 Rappels historiques

De nos jours, il est quasiment impossible de souscrire un prêt dans un éta-blissement bancaire sans que celui-ci ne oblige l'emprunteur à contracter uneassurance de prêt. Il se couvre ainsi des défaillances de l'assuré.

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Figure 1.2 Évolution des primes annuelles selon le type de tarication

Dans un premier temps les banques proposaient automatiquement leurscontrats groupe ou collectif à leur clients, le marché a évolué et est devenuplus concurrentiel. En eet le prêt immobilier et la souscription d'assuranceemprunteur étaient régulièrement associés et proposés au client sous la formed'un "package", allant à l'encontre des articles cités ci-dessus. Se basant surl'article L122-1 du Code de la Consommation, datant du 1986, cette pratiquedu "package" est interdite car considérée comme une vente liée , allant àl'encontre de la réglementation. Le 11 décembre 2001, la loi MURCEF (Me-sures Urgentes de Réformes à Caractère Économique et Financier) appuyacette interdiction en stipulant dans l'article L 312-1-2 :

Est interdite la vente ou ore de vente de produits ou de prestations deservices groupés, sauf lorsque les produits ou prestations de services inclusdans l'ore groupée ne peuvent être achetés individuellement, ou lorsqu'ils sontindissociables

1.1.2.2 Convention BELORGEY du 19 septembre 2001

La convention Belorgey vise à améliorer l'accès aux clients présentant unrisque de santé aggravé pour une assurance décès. Cette réforme s'établit selonun dispositif à trois niveaux : si l'individu se voit refuser l'accès aux deuxpremiers niveaux qui sont l'assurance collective et individuel alors il est orientévers un pool d'assurance-réassureur. Cependant cette convention ne garantitpas nécessairement l'obtention d'une assurance.

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1.1.2.3 Convention AERAS du 6 janvier 2007

La convention AERAS (Assurer et Emprunter avec un Risque Aggravé deSanté) a pour objet de faciliter l'accès à l'assurance et à l'emprunt des per-sonnes ayant ou ayant eu un problème grave de santé. Elle ore à une popula-tion, jusque-là exclue du mécanisme de crédit, la possibilité de contracter unemprunt dont le montant maximum varie en fonction de la capacité de rem-boursement du particulier (montant plafonné à 320 000 euros).

1.1.2.4 Loi Lagarde

Dans le but de promouvoir la protection et l'information de l'emprunteur,Christine Lagarde, alors Ministre de l'économie, annonçait le 25 novembre 2008vouloir entreprendre une vaste réforme [1] de l'assurance emprunteur.

Loi juillet 2009 :

C'est à partir du 1er juillet 2009 que la Loi Lagarde obligea les banquesà distribuer à leur emprunteur, souhaitant souscrire un crédit, une notice in-formative au sujet de l'assurance emprunteur. L'intérêt d'une telle notice estd'orir au client une meilleure compréhension et visibilité de l'assurance em-prunteur an de le guider dans le choix de sa couverture.

Après avoir déni, conjointement avec l'établissement prêteur, le type de prêtque souhaite contracter le client, ce dernier se voit recevoir un résumé de chaquegarantie (Décès, arrêt de travail et perte d'emploi, etc.) an de dénir ses réelsbesoins d'assurance (niveaux de couverture, quotité). Puis dans un deuxièmetemps l'organisme prêteur lui indique le contrat qu'il peut lui proposer, sansoublier de lui fournir un récapitulatif comportant les garanties, la quotité, lafranchise, etc. Pour nir la banque doit fournir à l'usager un exemple du contratselon les critères établis en amont.

Loi juillet 2010 :

La loi de juillet 2010 autorise chaque emprunteur à contracter une assurancedans l'établissement de son choix à condition que celle-ci couvre les mêmesgaranties proposées par l'établissement prêteur. Cette réforme vise à mettreun terme aux éventuels abus émanant des bancassureurs et laisse place à unmarché qui se veut plus concurrentiel. La loi interdit aussi à la banque demodier le taux du prêt initialement proposé dans le but de sélectionner oud'attirer ses clients :

17

"Le prêteur ne peut pas modier les conditions de taux du prêt prévues dansl'ore [...], que celui-ci soit xe ou variable, en contrepartie de son acceptationen garantie d'un contrat d'assurance autre que le contrat d'assurance de groupequ'il propose."

1.1.3 État du marché

1.1.3.1 Situation du marché

Le marché de l'assurance des emprunteurs est actuellement confronté à denouveaux dés : refontes des garanties proposées, réformes et lancements denouvelles ores inuencés en partie par le rôle prépondérant des comparateursd'assurance, prônant la démutualisation. De plus, apparaissent de nouveauxacteurs dans le paysage assurantiel donnant lieu à une redistribution des carteset ce, à court ou moyen terme.

Figure 1.3 Taux de délégation des contrats d'assurance-emprunteur- SourceIGF [2013] [11]

Selon la Fédération Française des Sociétés d'Assurance (FFSA), le marchéde l'assurance des emprunteurs pesait à lui seul 8,2 milliards d'euros en 2011en termes de cotisations versées. Ce montant est en constante progression :plus de 25% d'augmentation entre 2007 et 2011.

Renseignées par la gure 1.4,page 19, les cotisations concernant le créditimmobilier constituent entre 60% et 70% de l'ensemble des primes. Les primesse répartissent selon les diérents risques, à savoir, la garantie décès, la garan-tie invalidité/incapacité et la garantie perte d'emploi, dont la distribution estexplicitée par le graphique 1.5, page 19.

Comme mentionné par l'hebdomadaire spécialisé l'Argus de l'Assurance enjuin 2013 [14], le poids de l'assurance dans le coût total d'un crédit immobilieratteint 30% contre seulement 19% il y a cinq ans. Mais la plupart des intéresséss'accordent à estimer cette assurance emprunteur à environ 25% du coût totald'un prêt immobilier. Cette augmentation s'explique en partie par une baissedes taux d'emprunt liée à une forte concurrence sur le marché, obligeant les

18

Figure 1.4 Cotisations - Marché français de l'assurance des emprunteurs -Source : Association française des assurances (FFSA, Gema)

Figure 1.5 Répartition des primes de l'assurance crédit immobilier - Source :ACPr - le nancement de l'habitat en 2012

établissement prêteurs à diminuer leurs marges pour attirer l'emprunteur. Ilserait donc intéressant de comparer l'évolution des marges bancaires et destaux d'assurances de prêt pour évaluer la variation réelle.

1.1.3.2 En route vers la n d'un quasi-monopole

Il est facile de comprendre que l'objectif premier de la réforme Lagarde estd'ouvrir ce secteur à la concurrence et de faire ainsi baisser les tarifs pour lesconsommateurs, permettant à l'emprunteur de comparer les tarifs des dié-rents établissements d'assurances concurrentes. L'action a pour but de fairejouer la loi de l'ore et la demande et de mettre ainsi n progressivementau quasi-monopole des bancassureurs dans le monde de l'assurance emprun-teur. Les pourfendeurs d'une telle réforme avancent que la durée eective d'uncontrat est bien inférieure à la durée sur laquelle les assureurs se basent pourtarifer leurs contrats, ce qui aurait pour conséquence de surévaluer son prix.Ils postulent, en outre, qu'un démutualisation croissante pourrait accroitre le

19

niveau général des tarifs, ce qui pourrait in ne aller à l'encontre de l'objec-tif recherché initialement. La deuxième volonté est de rendre le marché plustransparent du point de vue du consommateur, et mettre au même niveau deconseil, la souscription du prêt et de son assurance, contrairement à la pratiqueactuelle qui traite du conseil sur la souscription.

Même si, aujourd'hui, le marché de l'assurance emprunteur est toujourstrusté (La Tribune de l'assurance [2014] [19]) par les assurances de groupesbancaires (cf. 1.1.3.2, page 20) et représente environ 90% des cotisations to-tales, 30% des nouvelles souscriptions leur échappent au prot de contratsindividuels. Les nouveaux assureurs entrants sur le marché ciblent essentielle-ment aux jeunes assurés pour qui le tarif collectif est le plus défavorable, pourle contrat groupe, en raison de leur plus faible risque décès. C'est l'une desraisons pour laquelle les établissements prêteurs se diversient et proposentdes contrats d'assurance comportant une segmentation par âge plus ne, ande limiter la fuite de ses bons risques .

AssureursCA 2013 (en mil-lions)

Progression2012/2013

CNP Assurances 2 656,3 +2,9%Crédit agricole Assurances 1 357 +1,4%Groupe des Assurance du Crédit Mutuel 1 123 +1,7%BNP Paribas Cardif 830 +3,7%Natixis Assurances 401 +20,1%Société Générale Assurance 350 +22,4%Suravenir 176 +2,3%HSBC Assurances Vie 55 +0,0%ACMN vie 52,2 +4,1%Antarius 7,3 +0,0%

Figure 1.6 Classement relatif à l'assurance des emprunteurs pour le créditclassique - Source Bilan NA [2014] [8]

La pression d'organismes de protection des consommateurs ainsi que la mon-tée en puissance des ores individuelles proposées par des établissements ex-térieurs, jouent un rôle non négligeable dans le bouleversement actuel du sec-teur de l'assurance emprunteur. Les marges commerciales acquises, considéréescomme trop élevées et concernant les contrats de prêt immobilier poussent desassociations telles qu'UFC que choisir [2013] [16], à revendiquer les droits desconsommateurs.

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1.2 Enjeux

1.2.1 Loi Hamon

Dans le cadre de la loi 2014-344 du 17 mars 2014 relative à la consom-mation [3], on retrouve dans l'article 54 (cf. annexes), la réforme concernantl'activité de l'assurance de prêt. L'amendement gouvernemental permet auxemprunteurs immobiliers de bénécier d'un délai d'un an durant lequel ils pour-ront renégocier l'assurance de leur prêt laissant ainsi la possibilité de changerd'assureur. Il prévoit également que l'assureur ne puisse pas modier la tari-cation du contrat d'assurance en cours de prêt sans l'accord de l'emprunteur,ni même de le résilier en cas d'aggravation du risque. Cette mesure s'inscritdans la loi de la consommation de Benoît Hamon, alors Ministre délégué au-près du Ministre de l'Économie et des Finances. Cette loi est en applicationdepuis le 26 juillet 2014.

1.2.2 Modalités contractuelles

L'emprunteur peut dorénavant faire usage de son droit de résiliation de soncontrat d'assurance de prêt dans un délai de 12 mois à compter de la signaturede l'emprunt. Par la suite, l'établissement prêteur notie à l'assuré sa décisiond'acceptation ou de refus, dans un délai de 10 jours ouvrés, à compter de laréception d'un autre contrat d'assurance proposant des garanties équivalentesau contrat groupe. En cas d'acceptation, le prêteur modie par voie d'avenantle contrat de crédit.

Figure 1.7 Schéma explicatif du processus de résiliation post loi Hamon

L'assuré doit cependant notier au précédent assureur ou à son représentantsa demande de résiliation par lettre recommandée au plus tard quinze joursavant le terme de la période de douze mois susmentionné. L'assuré notieégalement à l'ancien assureur la décision du prêteur, par lettre recommandée,la date de prise d'eet du nouveau contrat d'assurance accepté en substitutionpar le prêteur. En cas d'acceptation par le prêteur, la résiliation du contrat

21

d'assurance prend eet dix jours après la réception par l'assureur de la décisiondu prêteur ou à la date de prise d'eet du contrat accepté en substitutionpar le prêteur si celle-ci est postérieure. En cas de refus par le prêteur, lecontrat d'assurance n'est pas résilié. Cette option de résiliation infra-annuelleappartient exclusivement à l'assuré.

1.2.3 Perspectives d'avenir

1.2.3.1 Enjeux de la résiliation

Le coût de l'assurance représente entre 10% et 25% du coût d'un prêt im-mobilier pouvant même atteindre le tiers, ce qui explique la motivation dulégislateur d'agir sur la réglementation du secteur. L'enjeu est donc à la foisd'ordre politique et actuariel mettant en exergue la libre concurrence et la mu-tualisation. Certaines études ont déjà été eectuées sur son éventuel impactsur le marché notamment par le cabinet BAO [2013] [4].

1.2.3.2 Intérêt de l'étude

Dans le cadre d'une telle réforme, il est naturel de vouloir s'intéresser auxpossibles répercussions économiques et structurelles sur un portefeuille em-prunteur. La déformation de celui-ci liée aux réformes Lagarde et Hamon aurasans nul doute un impact considérable sur le comportement de l'emprunteurainsi que sur celui des nouveaux entrants sur le marché. Se posent donc desquestions d'adaptation et de stratégie suite à la déformation d'un portefeuilleemprunteur pour une entreprise telle que Natixis Assurances.

Dans la suite de ce mémoire, l'objectif est d'apporter des éléments d'aideà la décision an de prévenir les éventuelles conséquences de ces nouveauxamendements. Deux axes d'analyse seront abordés, portant respectivementsur la résiliation sous 12 mois d'un contrat d'assurance emprunteur pour unprêt immobilier et la modélisation de rachat anticipé de crédit tout au long dela durée du prêt.

1.2.4 Limites et dangers

La principale crainte des bancassureurs est la perte de l'eet de mutualisa-tion. En eet, l'un des facteurs prépondérant dans le calcul de la cotisationde l'assuré est la mortalité. Il est évident qu'un jeune assuré est moins exposéau risque de décès ou d'arrêt de travail qu'un assuré d'un âge avancé. Dansle cadre d'une tarication individuelle, un jeune assuré cotiserait à moindrecoût qu'un assuré plus âgé. Il y a donc un risque de fuite de ces "bons risques"vers des assurances individuelles moins coûteuses créant ainsi un déséquilibredans la compensation liée à la solidarité des plus jeunes envers les plus âgéset les individus présentant des risques aggravés de santé. La crainte est doncla disparition de la mutualisation obligeant le contrat groupe à se transformer

22

en contrat individuel. De plus, tout laisse à penser qu'une segmentation tropne exclurait certaines populations. Même si l'aspect concurrentiel est mis enavant par les défendeurs de la réforme, les conséquences d'une telle action nesont pas si évidentes, d'où l'intérêt d'essayer de modéliser le comportementfutur an de fournir une aide à la décision.

23

Chapitre 2

Approche microéconomiqueexpérimentale : modélisation ducomportement de l'emprunteur

Cette partie propose une modélisation expérimentale du comportement d'unnouvel assuré durant la première année de souscription concernant la possibi-lité de résilier son contrat d'assurance pour un crédit immobilier (loi Hamon).Cette approche se base sur des fondements microéconomiques, et plus par-ticulièrement sur la théorie de l'utilité espérée et donc sur la construction defonction d'utilité. Cette approche propose une alternative dans la modélisationa priori du comportement client et ne prétend pas son utilisation systématiquedans la modélisation. Cette section peut être abordée comme une approche ex-périmentale originale sur la façon de simuler le choix d'un assuré ayant souscritun crédit immobilier. D'un point de vue modélisation, la résiliation durant les12 premiers mois s'apparente à un rachat anticipé de crédit.

2.1 Théorie de la décision

La théorie de la décision a pour but de modéliser le comportement d'unindividu face à des situations de choix. Elle fait intervenir la notion de pré-férence et de fonction d'utilité. En eet, la perception des évènements et desissues peuvent être diérentes selon les agents 1 et dièrent des raisonnementsrationnels. Les choix auxquels un agent est confronté peuvent varier selon lecontexte dans lequel il évolue, celui-ci pouvant être certain ou incertain. L'exis-tence de croyances ou de certitudes biaise la perception des évènements et va àl'encontre du caractère rationnel, nécessaire à des approches telles que l'utilitéespérée, détaillées dans la suite de cette partie.

1. Un agent économique est une personne physique ou morale prenant des décisionsd'ordre économique. Il peut être un individu, un ménage, une entreprise, un pays, unecollectivité territoriale ou encore une instance internationale.

24

Il est donc nécessaire de rappeler quelques fondements microéconomiquesutiles à la modélisation énoncée précédemment.

2.1.1 Comportement du consommateur

La relation de préférence notée "<" entre deux paniers de biens pour unconsommateur est une relation de "classement", elle se caractérise suivant lesrelations ci-dessous. Soient x et y appartenant respectivement à X et Y , desvecteurs de dimension n.

Relation de préférence stricte x est strictement préféré à y ⇐⇒ xy.

Relation de préférence large x est préféré au sens large à y ⇐⇒ x<y.

Relation d'indiérence x est équivalent en matière de préférence à y :x∼y ⇐⇒ x4y et x<y.

2.1.1.1 Hypothèses concernant les préférences du consommateur

Axiome 1 La relation de préférence est une relation complète, i.e. ∀ x et y ∈X alors on a toujours x<y, x4y ou les deux simultanément. Le consommateurest toujours en mesure de comparer deux paniers de biens. Un panier de bienest une combinaison possible de quantités de biens de consommation.

Axiome 2 La relation de préférence est une relation réexive, i.e. ∀ x ∈ X,x<x. Tout panier est au moins aussi désirable que lui-même.

Axiome 3 La relation de préférence est une relation transitive, i.e. ∀ x,y etz ∈ X, si x<y et y<z alors x<z.

Ces trois axiomes susent en général à dénir le terme de préférence pourla théorie du consommateur, les axiomes suivants ne sont pas indispensables.On dit que la relation de préférence est un pré-ordre total ou est rationnelle sielle respecte les trois premiers axiomes ci-dessus.

Axiome 4 La relation de préférence est une relation continue, i.e. ∀ x ∈ X,les ensembles x/x<y et x/x<y sont des ensembles fermés.

Axiome 5 La relation de préférence est une relation de monotonicité faible,i.e. si x>y alors x<y. Une quantité supérieure ou égale d'un même bien est aumoins aussi désirable.

Axiome 6 La relation de préférence est une relation de monotonicité forte,i.e. si x>y alors xy.

25

Axiome 7 La relation de préférence est une relation convexe, i.e. étantdonné x 6=y et z appartenant à X, si x<z et y<z, alors tx+(1-t)y<z pour tout0≤t≤1.

Axiome 8 La relation de préférence est une relation convexe forte, i.e. étantdonné x 6=y et z appartenant à X, si x<z et y<z, alors tx+(1-t)yz pour tout0≤t≤1.

2.1.1.2 Courbes d'indiérences

Les préférences peuvent être représentées graphiquement par des courbesd'indiérence (ou d'utilité), c'est l'ensemble des combinaisons de paniers debiens procurant une satisfaction équivalente au consommateur.Considérons tous les paniers Y équivalents à un panier de référence X pour leconsommateur :

DX = ∀ Y ∈ R2+ | Y ∼ X (2.1)

Cet ensemble est représenté graphiquement par une courbe passant par lepanier X. Tous les paniers se situant sur cette courbe procurent la même sa-tisfaction.

Propriété Les courbes d'indiérence qui orent une satisfaction diérentene peuvent pas se croiser.

Preuve : Soient trois paniers de bien x, y et z tels que x soit situé surune courbe, y sur une autre et z à l'intersection de ces 2 dernières. Par hypo-thèse les courbes correspondent à des niveaux de satisfaction diérents de sortequ'un des paniers, par exemple x est strictement préféré à y. Par dénition descourbes d'indiérence x v z, y v z, et d'après l'axiome de transitivité x v yd'où la contradiction car x et y sont sur des courbes d'indiérence diérentes.

Sur le graphique 2.1, page 27, les paniers A et C procurent une satisfac-tion équivalente car ils sont positionnés sur la même courbe d'indiérence Dx.Cependant, d'après la dénition et la propriété énoncée précédemment, B pro-cure une satisfaction supérieure car ce panier se situe sur une courbe placéeau dessus de Dx.

2.1.1.3 Taux marginal de substitution

Le taux marginal de substitution (TMS) entre le bien 1 et le bien 2 est

déni comme le ratio4x24x1

lorsque les variations sont inniment petites.

TMS1,2 = limh→0

(x2−hh

)

(x1−hh

)(2.2)

26

Figure 2.1 Courbes d'indiérence

De façon géométrique le TMS peut être vu comme la pente de la tangenteau point (x1,x2) de la courbe d'indiérence (au signe près). En d'autres termesle TMS est la quantité nécessaire de bien 2 à laquelle le consommateur doitrenoncer an d'augmenter d'une unité la consommation du bien 1 tout enmaintenant une satisfaction équivalente.

2.1.1.4 Fonction d'utilité

Une fonction d'utilité U(x) associe à chaque panier une valeur numérique.Théoriquement, il s'agit donc d'une fonction de Rn dans R. Plus la valeur dela fonction pour un panier est élevée, plus le panier est apprécié. Elle ordonneles paniers selon les préférences de l'individu.

Plus précisément, on la dénit de la façon suivante :

Dénition Soit U une fonction de Rn dans R. On dit que U représentela préférence 3 si et seulement si quels que soient X = (x1, x2, . . . , xn) etY = (x′1, x

′2, . . . , x

′n), on a U(x1, x2, . . . , xn) ≥ U(x′1, x

′2, . . . , x

′n), X est préféré

à Y .

La fonction U est donc appelée la fonction d'utilité, et la valeur U(X) estl'utilité retirée du panier X pour un individu.

Remarque Il n'y a pas unicité de la fonction d'utilité. Elle est dénie àune fonction ane croissante près, d'après le concept ordinal de l'utilité. Si lepanier U(X) = 2U(Y ) alors cela ne signie pas que le panier X procure deuxfois plus de satisfaction que le panier Y .

27

Grâce à la dénition de la fonction d'utilité il est possible de dénir le TMS,en utilisant les utilités marginales, de la façon suivante :

U

dxdx+

U

dx′dx′ = 0 (2.3)

Ce qui donne donc :

TMS = −dUdxdUdx′

(2.4)

On retrouve aussi dans la littérature cette même formule au signe près.

2.1.2 Théorie de l'utilité espérée

La théorie de l'utilité espérée (Expected Utility Theory) est une approchedéveloppée notamment par Von Neumann et Morgenstern en 1944 pour modé-liser la décision d'un individu dans un univers incertain. Cette théorie consisteà renvoyer un point de vue subjectif d'un montant ou d'une conséquence propreà l'individu : cela correspond à la valeur psychologique qu'on lui accorde etnon à sa valeur réelle. Il est nécessaire d'énoncer cette théorie pour la com-préhension de la partie suivante concernant l'encodage d'une fonction d'utilitédans l'univers certain.

Théorème 1 (Utilité espérée de VON NEUMANN MORGENSTERN)Soit une loterie l = (x1, p1; ...;xn, pn) on dénit l'espérance de l'utilité par :

EU(l) =n∑i=1

u(xi)pi (2.5)

où u est une fonction à valeurs réelles et sous le respect des axiomes 1,2,3et 7.

2.2 Encodage des préférences

Nous reprendrons dans cette partie le processus de construction d'une fonc-tion d'utilité multi-attributs à partir des utilités marginales détaillées dansl'article de ABDELLAOUI et GONZALES [2013] [6].

28

2.2.1 Encodage des fonctions d'utilités marginales dansun contexte certain

L'objectif de l'encodage est de capter la préférence de l'individu à traversune fonction d'utilité. Il faut rappeler que l'intérêt de cette méthode peutprendre en compte des variables qualitatives, sous forme de scores 2, attribuésaux actions ou conséquences du décideur. La méthode présentée ci-dessouscorrespond au cas de deux attributs mais la construction est généralisable àun nombre plus important. Dans un premier temps on se placera dans ununivers certain puis on détaillera l'encodage dans l'univers incertain.

Supposons, en univers certain, que deux choix soient proposés à notre in-dividu et que, ses préférences soient représentées de la façon suivante, sousl'hypothèse d'un modèle additif :

∀x, y ∈ X1 ×X2, x < y ⇐⇒ u1(x1) + u2(x2) ≥ u1(y1) + u2(y2) (2.6)

Supposons que x0i soit la plus petite conséquence de l'ensemble des décisionsde l'individu noté Xi pour i = 1, 2.

On xe dans un premier temps les origines des échelles d'utilités correspon-dantes de la façon suivante :

U(x01, x02) = u1(x

01) = u2(x

02) = 0 (2.7)

U étant la fonction multi-attribut que l'on cherche à encoder.

Pour l'encodage de la fonction marginale u1 on xe ensuite une conséquenceR2 < x02 (qui peut être un montant ou un score selon la dénition de la variablex2) et l'on cherche x11 tel que :

(x11, x02) ∼ (x01, R2) (2.8)

Ces deux paniers procurent par construction une satisfaction identique pourl'individu. L'étape suivante consiste à déterminer de manière analogue uneconséquence x12 telle que :

(x21, x02) ∼ (x11, R2) (2.9)

2. Le scoring est initialement une méthode marketing qui consiste à aecter une note(un "score") à chaque client d'une base de données an de cibler et prospecter avec unemeilleure ecacité

29

En retranchant les deux équations précédentes dans le cas d'un modèle ad-ditif on obtient l'égalité suivante :

u1(x11)− u1(x01) = u1(x

21)− u1(x11) (2.10)

On poursuit ensuite l'encodage par récurrence pour toutes les valeurs prisesdans X1, ce qui donne autant de relations d'indiérence que d'itérations dansla construction :

(xi1, x02) ∼ (xi−11 , R2) pour i = 1, ..., S (2.11)

Où S est l'indice de la plus grande valeur prise par x1.

Un exemple de construction de la fonction d'utilité marginale par récurrenceest résumé dans le schéma 2.2, page 30.

Figure 2.2 Encodage de u1(.) - Source ABDELLAOUI et GONZALES[2013] [6]

30

Par convention on pose u1(x11) = 1, engendrant u1(xi1) = i pour i = 1, ..., S.On eectue ensuite la même manipulation par récurrence pour encoder u2 enposant R1 et l'on fait ensuite varier la quantité de xi2 pour couvrir X2.

Si l'on choisit R1 = x11, cela conduit nécessairement à R2 = x12 et on obtientde façon analogue que pour u2(xi2) = i pour i = 1, ..., L. Cela permet de relierles échelles entre les deux utilités marginales.

Sous l'hypothèse du modèle additif on obtient une fonction d'utilité de laforme suivante :

U(x1, x2) = u1(x1) + u2(x2) (2.12)

2.2.2 Encodage des fonctions d'utilités marginales dansun contexte incertain

Il est aussi possible d'encoder les préférences dans un contexte incertainbasé sur la théorie de l'utilité espérée en supposant que l'individu dispose depréférences fondamentales susamment stables pour pouvoir être observées àtravers des choix risqués simples. Pour construire la fonction d'utilité margi-nale la méthode des fractiles sera détaillée ici.

Supposons que Xi = [x0i ;x∗i ] pour i = 1, ..., n et an de normaliser les

échelles on pose ui(x0i ) = 0 et ui(x∗i ) = 1 comme dans le cas certain. La mé-thode consiste ensuite à xer une probabilité p, dite probabilité de référence, etde soumettre l'individu à la détermination de la quantité x1i dans l'intervalle[x0i , x

∗i ] le rendant indiérent entre cette conséquence certaine (pouvant être

interprétée comme une loterie dégénérée) et la loterie (x∗i , p;x0i , 1 − p) notée

(x∗i , p;x0i ) par la suite.

En passant par la règle de la théorie de l'utilité espérée on obtient ui(x1i ) = p.On applique ensuite la même démarche pour les intervalles [x0i ;x

1i ] et [x1i ;x

∗i ]

qui correspondent à la décomposition de Xi suite à la première itération, ondétermine alors deux nouveaux points de la fonction d'utilité.

Par la relation d'indiérence de l'individu on a :

• x2i ∼ (x1i , p;x0i ) impliquant ui(x

2i ) = p2

• x′2i ∼ (x∗i , p;x1i ) impliquant ui(x

′2i ) = 2p− p2.

Par itérations successives on découpe l'intervalle [x0i ;x∗i ] en autant de points

(xji , ui(xji )) que l'on désire pour encoder la fonction d'utilité marginale.

31

Le graphique 2.3, page 32, représente l'allure de la fonction d'utilité suiteaux deux premières itérations.

Figure 2.3 Encodage de u1(.) par la méthode des fractiles - Source : AB-DELLAOUI et GONZALES [2013] [6]

Il est possible d'aner la fonction en segmentant davantage mais on observedéjà, après 2 itérations, soient 4 intervalles, une allure de courbe assez pro-noncée. Il est ensuite possible d'eectuer une approximation paramétrique àcondition de bien respecter les axiomes énoncés en début de partie.

Cependant cette méthode révèle quelques incohérences violant la théorie del'utilité espérée, soulevées par MACCORD et NEUVILLE [1980] démontrantque le choix de la probabilité de référence p n'est pas sans impact dans l'enco-dage de la fonction. En eet il a été mis en évidence que plus cette probabilitéest élevée, plus la fonction encodée s'avère concave. Le phénomène provientde la transformation subjective des probabilités par l'individu confronté à deschoix risqués simples. An d'y remédier, plusieurs modèles comprenant unefonction de transformation de probabilité, en plus de la fonction d'utilité ontété développés. Ce phénomène ne sera pas abordé ici (pour plus d'explicationsil est possible de se référer à l'article de Mohammed Abdelhaoui et ChristopheGonzales ou encore au modèle de Gul).

32

2.3 Approche expérimentale

Comme il a été expliqué dans la partie précédente, depuis l'application de laloi Hamon en juillet 2014 [3], un souscripteur d'un emprunt immobilier disposed'un délai de 12 mois, à compter de la signature du crédit, pour résilier soncontrat d'assurance de prêt au prot d'une autre assurance à garantie équiva-lente. Cette section a donc pour but de proposer une approche expérimentalede modélisation du comportement client lors de ces 12 mois, basée sur uneenquête. Maître de son choix, l'emprunteur doit donc arbitrer entre un contratgroupe ou individuel alternatif/pur proposé par l'établissement bancaire ou unétablissement concurrent. Les choix possibles d'un nouvel assuré sont repré-sentés par la gure2.4, page 33.

Figure 2.4 Cadre d'étude de l'approche microéconomique

L'objectif est donc de capter le comportement a priori du consommateur àtravers une fonction d'arbitrage basée sur les fondements de la microéco-nomie et la théorie de l'utilité espérée. Même si le tarif se place intuitivementcomme le facteur prépondérant dans le choix d'une assurance de prêt, il existed'autres éléments moins rationnels tel que la qualité du service, la simplicité duprocessus ou encore l'attachement d'un assuré à son établissement bancaire.Ces facteurs non tarifaires rendent la comparaison tarifaire plus subtile carle tarif ne correspond pas forcément au même service proposé. Ces variablesde décisions sont dicilement observables et quantiables historiquement sa-chant que la loi n'est que très récente, il ne semble donc pas aberrant de vouloirapprocher ce comportement de façon a priori.

L'idée de la modélisation s'inspire des recherches d'ABDELLAOUI et GON-ZALES [2013] [6] car elle vise à comparer la satisfaction d'un bien en fonctiond'un autre. L'hypothèse de ce modèle est de supposer que le contrat groupe,pour les raisons explicitées dans le paragraphe précédent , est toujours préféréau contrat individuel à garantie et tarif équivalents, ce qui explique son tarif

33

plus élevé sur le marché de l'assurance des emprunteurs.

Formellement, la fonction d'arbitrage certain dictant la décision d'un nouvelassuré peut se présenter sous la forme suivante :

F = IujCG(TarifCG)≥ujCI(TarifCI) (2.13)

où ujCG(TarifCG) et ujCI(TarifCI) sont des fonctions décroissantes à valeursde R+ dans R− qui quantient l'utilité retirée d'un contrat groupe et individuelselon les tarifs observés sur le marché pour un individu ou un groupe d'individuj. La fonction F prend donc la valeur 1 si le sujet conserve le contrat groupeet la valeur 0 s'il le quitte. On pose arbitrairement ujCG(0) = ujCI(0) = 0.

A ce stade, le choix de l'individu est considéré comme certain mais l'intro-duction d'un facteur stochastique pourra être envisagée dans la suite.

Les informations concernant les individus sont récoltées sous forme d'uneenquête. Le processus de construction du modèle suit les étapes détaillées ci-dessous :

1. Élaboration d'un questionnaire de préférence

2. Construction de la fonction d'utilité

3. Détermination des groupes d'individus selon le comportement mesuré

2.3.1 Collecte des informations sous forme d'enquête

L'élaboration du questionnaire recueillant les préférences des individus estau moins aussi importante que la méthode d'encodage des préférences. L'en-codage se révèlera inutile si le questionnaire n'est pas au préalable bien conçu.Le questionnaire a pour objectif de faire ressortir des groupes distincts d'in-dividus dont les préférences sont signicativement diérentes selon leur prol.L'individu se place donc dans la peau d'un agent économique fraîchement em-prunteur d'un crédit immobilier, à qui s'ore le choix d'un contrat d'assurancede prêt groupe ou individuel. La mise en situation se traduit par des questionsrecherchant le montant qu'un agent serait disposé à céder pour bénécier desavantages d'un contrat groupe (cf. 1.1.1.2, page 11).

Le questionnaire se découpe donc en deux parties, l'une concerne les ca-ractéristiques du sujet interrogé et la seconde aborde l'aspect comportementalde celui-ci. Le montant renseigné par le sujet est ensuite convertit en taux an-nuel pour exprimer la part de ce montant dans le tarif global du prêt. Depuisjuillet 2013, le coût de l'assurance de prêt doit impérativement être présenté àl'assuré sous la forme d'un montant total dû ou en euros par mois, comme ilest mentionné dans l'article L311-6 et L311-4-1 de la loi 2013-672 du 26 juillet

34

2013 [2]. Cette directive s'inscrit dans la politique de transparence permettantde faciliter la comparaison pour le consommateur. En eet, un montant estplus facilement interprétable, par un sujet, qu'un taux.

Les informations renseignées par le sujet concernant son prol sont les sui-vantes :

• Date de naissance

• Sexe

• Profession (CSP)

• Statut

• Nombre d'enfants à charge

• Niveau de revenus déclarés

• Classement des motifs de choix d'une assurance de prêt

Le questionnaire est consultable en annexe de ce mémoire (Cf. Annexe 1,page 87). La question Q1.7 n'a pas de conséquence dans l'encodage de lafonction d'utilité mais permet de reboucler l'étude de MOUILLART [2014] [15]sur les motivations des futurs assurés.

2.3.2 Encodage des préférences

Le caractère non rationnel est capté par la diérence de satisfaction retiréed'un tarif suivant les caractéristiques du contrat, qu'il soit à caractère collec-tif ou individuel. La diérence de satisfaction, pour un même prix, s'expliquedonc, d'après notre hypothèse, par un facteur autre que le tarif, que l'on appellefacteur extérieur. L'écart de tarifs, entre un contrat groupe et individuel procu-rant une satisfaction équivalente, correspond donc au montant que l'agent estprêt à débourser pour s'aranchir des contraintes liées au contrat individuel,citées précédemment. Il est possible d'interpréter ce montant comme un coûtd'opportunité 3.

Cette fonction d'utilité se construit donc par méthode itérative. L'utilitéque procure le tarif du contrat d'assurance individuel est donc exprimée enfonction du tarif du contrat groupe. Cela permet ainsi de simplier la fonctiond'arbitrage et d'encoder qu'une seule fonction de préférence en positionnant letarif individuel perçu par rapport au tarif groupe :

F j = ITarifCG≥ujCI(TarifCI) (2.14)

3. Dénition économique : le coût d'opportunité mesure la perte des biens auxquels onrenonce en aectant les ressources disponibles à un autre usage

35

Implicitement, d'après l'équation ci-dessus, l'utilité retirée d'un tarif groupedevient l'identité et la valeur étalon du modèle.

Chaque question de l'enquête permet d'estimer le niveau de satisfaction d'untarif si celui-ci est un contrat individuel, créant ainsi, pas à pas, la fonctiond'utilité. On cherche donc à déterminer une fonction satisfaisant les conditionssuivantes :

Tarif iCI ∼ (Tarif iCG −Xi) i = 1, ..., n (2.15)

où n est le nombre de questions comportementales posées, Tarif iCG repré-sente le tarif proposé à la question i d'un contrat d'assurance groupe (idempour Tarif iCI concernant un contrat individuel) et Xi représente le coût d'op-portunité d'un contrat individuel par rapport au contrat groupe, obtenu viales réponses au questionnaire.

Il est possible de xer arbitrairement les niveaux de tarifs ou de manièreitératives comme il est présenté dans le graphique 2.5, page 36. Cependant,nous retiendrons la première approche pour des raisons de simplicité an delimiter le nombre de questions.

Figure 2.5 Construction itérative de la fonction d'utilité pour un contratgroupe selon le tarif

2.3.3 Détermination des groupes

Selon l'expression de la fonction encodée, des groupes d'individus sont en-suite extraits suivant leurs comportements, ces derniers étant dénis unique-ment à partir des taux Xi.

36

Soit Xj = (xj1, ..., xjn)′ un vecteur réponse des questions comportementales

de l'enquête pour un agent j, où n est le nombre de questions posées. SuivantXj, chaque individu j est caractérisé par un vecteur d'utilités uj selon unvecteur de tarifs tarif j, ce qui engendre une fonction d'utilité étagée propre àchaque j :

f j(x) =n∑i=1

ujiI[tarifji ;tarifji+1[

(x) (2.16)

La courbe f j est une fonction en escalier dont les instants et l'intensité desauts dièrent selon les individus, suivant la méthode de construction choisie.

L'objectif est donc ensuite de dégager des comportements types suivant lesprols et cibler les variables, parmi celles renseignées dans la première partiedu questionnaire, qui inuent sur le comportement. A titre d'exemple, il estpossible d'utiliser une classication ascendante hiérarchique an de regrouperles individus par groupe en fonction de leurs similarités. Chaque individu estcaractérisé par un prol f j correspondant à une fonction d'utilité en escalier.Les principes des techniques de classication ascendante hiérarchique (CAH)sont assez simples et relèvent plus du bon sens que d'une théorie formaliséecomme il mentionné par LEBART et al. [1997] [7], c'est pour cela que la CAHa été retenue dans notre approche an que le lecteur comprenne facilement leprocessus..

Une classication recherche une segmentation visant à regrouper les indivi-dus dans des classes homogènes les plus distinctes possibles. La classicationascendante hiérarchique tire sa particularité de sa construction par le bas, fa-briquant un arbre de segmentation appelé dendogramme. Les individus sontalors réunis selon un critère caractérisé par une distance. Le nombre de classesest déterminé a posteriori suivant l'allure du dendogramme résumant le pro-cessus de regroupement.

Il existe plusieurs façon de caractériser la distance entre deux individus sui-vant le fait que les variables soient quantitatives ou qualitatives. Ces mesuresd'éloignement sont dénies ci-dessous.

Similarité

Une similarité est un indice de ressemblance dénie de Ω × Ω dans R+ quivérie les axiomes suivants :s(i, j) = s(j, i), ∀(i, j) ∈ Ω× Ω

• s(i, i) = S > 0, ∀i ∈ Ω

• s(i, j) < S, ∀(i, j) ∈ Ω× Ω

37

Exemple : Indice de concordance, Jaccard et Dice

Dissimilarité

Une dissimilarité est un indice de dissemblance dénie de Ω × Ω dans R+

qui vérie :

• ∀(i, j) ∈ Ω× Ω

• d(i, j) = d(j, i)

• d(i, j) = 0⇔ i = j

Distance

Une distance est une dissimilarité complétée de la propriété d'inégalité tri-angulaire. La distance d est une application de Ω× Ω dans R+ telle que :

• d(i, j) = d(j, i), ∀(i, j) ∈ Ω× Ω

• d(i, j) = 0⇔ i = j

• d(i, j) ≤ d(i, k) + d(j, k), ∀(i, j, k) ∈ Ω3

Exemple : Distance euclidienne et ultramétrique

Algorithme de classication ascendante hiérarchique

L'algorithme de classication est ensuite relativement simple et se déroulede la façon suivante :

Étape 1 Construction de la matrice de distances entre les n individus. On re-groupe les deux individus les plus proches an d'obtenir une partition àn− 1 classes.

Étape 2 Construction d'une nouvelle matrice de distance et réitération de l'opé-ration de l'étape 1 an d'obtenir n− 2 classes.

Étape n Dernière itération an de n'avoir plus qu'une seule partition.

Le graphique 2.6, page 39, présente un exemple de dendogramme. L'utili-sateur coupe ensuite l'arbre suivant son appréciation et le nombre de classesqu'il souhaite obtenir. D'autres analyses, telles que des analyses en compo-santes principales, peuvent enrichir l'étude et la détermination de classes.

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Figure 2.6 Exemple de dendogramme

2.3.4 Exemple numérique

An de donner un exemple d'application du modèle présenté, des simulationsde réponses au questionnaire ont été eectuées. Des catégories ont arbitraire-ment été créées en accentuant volontairement les comportements en fonctiondes prols. Il a été supposé que le facteur prix impactait principalement lesjeunes personnes et, par conséquent, les facteurs non rationnels occupent uneplace plus limitée dans leurs décisions. Cette hypothèse a pour unique but decréer des groupes d'individus diérents à titre d'exemple, ceci étant, aucuneinterprétation opérationnelle des résultats présentés n'est donc envisageable àce stade sur le portefeuille réel.

Suite aux simulations eectuées, le processus est résumé par les trois gra-phiques 2.7, page 40, correspondant aux étapes du modèle. Le premier gra-phique recense les réponses brutes des personnes interrogées tandis que ledeuxième graphique représente l'individu moyen par classe suite à notre clas-sication. Le troisième graphique n'est rien d'autre qu'une interpolation para-métrique par un polynôme de degré 3 an de lisser les résultats obtenus.

Comme le montre le dendogramme 2.8, page 40, de nos données simulées,deux groupes se distinguent clairement. Ce cas dégénéré fait apparaître deuxclasses de population : les individus 1 à 3 sont des personnes âgées entre 20 et35 ans tandis que les individus 3 à 6 sont âgés de plus de 50 ans. Le sondagea été construit à titre illustratif, ce qui simplie la lecture et l'interprétation.

En conclusion nous avons obtenu deux fonctions d'utilité captant le com-portement d'un nouvel assuré suivant son âge. En pratique, cette modélisationcherche donc à cibler le prol des futurs assurés susceptibles de quitter ou nonle contrat groupe.Supposons un marché de l'assurance de l'emprunteur uniquement composé

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Figure 2.7 Étape de construction du modèle

Figure 2.8 Dendogramme des données simulées

d'un contrat groupe et d'un contrat individuel. La perception du tarif n'estalors pas identique selon le groupe considéré comme il est schématisé par lagure 2.9, page 41.

Comme il est représenté sur la gure ??, page ??, la perception d'un ta-rifnt individuel varie selon le prol des assurés. Pour un même tarif individuelproposé, les personnes agées choisiront le contrat groupe tandis que les plusjeunes basculeront vers le contrat individuel.

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Figure 2.9 Perception d'un tarif selon le comportement

2.3.5 Extensions et limites

Cette approche étant expérimentale, son intérêt et sa abilité restent doncà vérier. Il faut être conscient que les hypothèses admises par cette démarchepeuvent être considérées comme trop restrictives. Tout d'abord la comparaisonde deux contrats, tel qu'il est expliqué ici, nécessite l'existence d'un contratd'assurance de prêt individuel à garantie équivalente sur le marché au contratproposé par le contrat collectif. Mais on peut considérer que ce facteur de noncomparabilité appartient aux facteurs extérieurs, ce qui n'est donc pas un freindans la modélisation.

De plus, le caractère certain de la fonction d'arbitrage, de par l'indicatrice,ne prend pas en compte la dispersion des réponses de l'échantillon pour desindividus appartenant à un même groupe. Un axe d'amélioration est proposéan de remédier à cette insusance en ajoutant un facteur stochastique dansla modélisation.

Il est envisageable d'eectuer une régression de type GLM de la fonctiond'utilité en escalier suivant les caractéristiques de l'individu. Cela revient àestimer le vecteur réponse X = (x1, ..., xn)′ en fonction des variables explica-tives, qui peuvent être quantitatives et qualitatives (âge, sexe, revenu, ...) touten prenant en compte les interférences entre les variables. Les erreurs d'esti-mations des paramètres de la régression pourront être pris en compte dansla simulation de la valeur de uCI an d'ajouter un facteur stochastique et sedéfaire du caractère déterministe de l'approche.

Pour nir, comme toute méthode basée sur un échantillon, il faut s'assurerque celui-ci soit représentatif et que les personnes interrogées soient sensibi-lisées à la problématique emprunteur, ce qui est de plus en plus le cas avec

41

l'instauration du devoir de conseil lors de la souscription. La correction dubiais de sondage est un aspect important et nécessite d'être pris en comptedans l'application.

42

Chapitre 3

Étude de la déformation d'unportefeuille en assurance desemprunteurs

L'intérêt de cette section est de modéliser le comportement emprunteurconcernant le remboursement anticipé total d'un crédit immobilier, profes-sionnel ou personnel. Durant l'amortissement d'un emprunt, il est possiblepour l'emprunteur de rembourser son crédit par anticipation, souvent majorésde frais de rachat. Ces rachats peuvent être partiels ou totaux. Cette études'intéresse uniquement au remboursement total entrainant immédiatement laclôture du contrat d'assurance de prêt. Nous parlerons de façon similaire derachat total ou de remboursement total dans la suite.Même s'il n'existe pas de loi de rachat réglementaire à proprement parler, laconception d'une telle loi de rachat dite d'expérience s'inscrit dans la réformede solvabilité II an de modéliser au mieux l'évolution d'un portefeuille.

Après avoir présenté les données de travail et leur traitement, quelques statis-tiques descriptives seront exposées an de mieux visualiser le portefeuille étudiéet dégager des catégories objectives d'assurés. Nous aborderons ensuite la mo-délisation du comportement client liée à la loi Hamon suivant une approchemicro-économique expérimentale avant de construire une loi d'expérience surle rachat total de façon plus "classique". Pour nir nous analyserons l'impactde telles lois sur le portefeuille emprunteur de Natixis assurances.

3.1 Présentation et traitement des données

3.1.1 Données de travail

La création de la base d'exposition est une phase à ne pas négliger dansla construction de n'importe quelle loi. Même si les traitements ne sont quebrièvement détaillés dans la suite, il faut garder à l'esprit que c'est une étapefastidieuse nécessitant de lourds traitements et conditionnant considérablement

43

les diérentes études qui suivent. Ces problématiques de gestion de base dedonnées et de qualité des données sont abordées tout au long du processus.Parallèlement au traitement, une évaluation de la complétude, exactitude etla pertinence a été établie pour chaque base de donnée an de faire remonterles qualités des données selon les critères établis par l'EIOPA 1 [2009] [5].

Les données étudiées se présentent donc en cinq tables historisées obtenuespar agrégation des tables mensuelles :

• Table Assuré Cette table contient les informations concernant le contratd'assurance (Date d'eet de la garantie, type de garantie...).

• Table Personne Cette table contient les informations sur les individusemprunteurs (Date de naissance, banque aliée...).

• Table Prêt Cette table contient les informations sur les caractéristiquesdu crédit (Type de prêt , date de début du prêt, date de n du prêt ...).

• Table Sinistres déclarés Cette table contient les informations concer-nant les sinistres déclarés par les assurés.

• Table Sinistres réglés Cette table contient les sinistres ayant été dé-clarés et réglés par l'assureur. Par conséquent les informations de cettetable sont incluses dans la table Sinistres déclarés. De plus elle renseignesur le montant indemnisé, suite au sinistre.

L'observation s'étale d'avril 2009 jusqu'à mars 2014, période durant laquelleles données sont relativement bien fournies et renseignées de façon homogène.An de récupérer les sinistres déclarés tardivement, la base sinistres s'étendsur une période plus large allant jusqu'à juin 2014 (Le délai de déclarationpour un sinistre décès excède rarement 3 mois).

Avant toute opération il a fallu déterminer les clefs primaires de chaque tableet les variables de fusion (les clefs sont indiquées en rouge dans la gure 3.1,page 45). Cependant quelques traitements ont du être eectués pour fusion-ner les tables mensuelles et établir une base d'exposition unique exploitable.Contrairement à la construction de lois d'expérience sur la mortalité ou surl'arrêt de travail, nous avons ici une vision par prêt et non pas par individu.Sachant qu'une ligne correspond à un contrat d'assurance, l'assuré apparaitautant de fois dans la base qu'il possède de prêts.

1. Autorité européenne des assurances et des pensions professionnelles - European Insu-rance and Occupational Pensions Authority, anciennement CEIOPS. Organisme indépen-dant faisant partie des trois autorités de surveillance du système européen de supervisionnancière.

44

3.1.2 Hypothèses de travail

Plusieurs hypothèses ont été admises an de construire la base d'expositionpour la loi de remboursement anticipé total. Elles sont détaillées ci-dessous :

• Indépendances des emprunts et des contrats d'assurance L'hypo-thèse retenue est l'indépendance de chaque emprunt, même si un individuest détenteur de plusieurs contrats. Cela signie que le rachat d'un créditpour un individu n'aecte pas les autres éventuels crédits qu'il possède.

• Contrats sur plusieurs têtes Les contrats ayant plusieurs individusassurés sont considérés comme un unique contrat d'assurance.

• Possibilité de rachat durant un arrêt de travail Par souci de simpli-cation et de modélisation, l'assuré peut rembourser son emprunt mêmecelui-ci est en arrêt de travail. Exemple : suite à un divorce, un coupledécide de se séparer de leur logement alors que le crédit court toujourset que l'assuré est en arrêt de travail.

• Contrat non accordé ou contentieux non pris en compte Lescontrats sans suite, non accordés ou contentieux ont été supprimés dela base d'exposition car ils n'apportent aucune information utile dans lamodélisation (Cela ne représente qu'un millier de lignes sur environ 4millions de prêts).

La gure 3.1, page 45, représente la construction de la base d'exposition àpartir des bases mensuelles :

04/2009 ... 04/2014 04/2009 ... 04/2014 04/2009 … 04/2014

Base Assurés Historisée Base Personnes Historisée Base Prêts Historisée

...

Base Sinistres Réglés Historisée

...

Base Sinistres déclarés Historisée

Base Sinistres

Bases Encours Assurés Mensuelles

Bases Encours Personnes Mensuelles

Bases Encours Prêts Mensuelles Historiques des sinistres réglésHistoriques des sinistres

déclarés

Numero_pretMatricule_assuCode_banque

Matricule_persDate_naiss_pers

Sexe_persNumero_pretCode_banque

Numero_pretCode_banque

Date_debut_pretType_pret

Base Prêts enrichis des sinistres

Montant_cumul_reglementCode_banqueNum_pret_bpCode_garantie

Date_survenance_sinDate_fin_sinistre

Reg

Numero_pretCode_banque

Date_debut_pretType_pretCode_sortieDate_sortie

Base d’exposition DC (vision par individu)

Base d’exposition Rachat (vision par prêt)

TRAITEMENT ENCOURS

TRAITEMENT SINISTRESBASES D’EXPOSITION

Numero_pretCode_banque

Date_debut_pretCode_sortieDate_sortieSexe_pers

Date_naiss_pers

Direction Actuariat - Modélisation actuarielle

Base Inidvidu Historisée

Numero_pretMatricule

Code_banqueDate_naiss_pers

Sexe_pers

Montant reglementCode_banqueNum_pret_BPCode_garantie

Date_reglement

Code_banqueNum_pret_BP

Date_survenanceDate_fin_sinistre

Figure 3.1 Processus de construction de la base d'exposition

45

Cette base d'exposition est commune dans la construction d'une loi de mor-talité et d'arrêt de travail chez Natixis Assurance, ce qui explique les nombreuxtraitements eectués et la conservation de nombreuses variables parfois inutilespour la modélisation du rachat anticipé. Il a fallu par exemple aborder les casde multi-prêts de façon diérentes dans le cadre de la création de la base d'ex-position pour le risque décès et arrêt de travail.

La base d'exposition pour l'étude du rachat anticipé de crédit se présentesous la forme illustrée par la gure 3.2, page 46.

Figure 3.2 Aperçu de la base d'exposition pour l'étude du rachat

La variable code_sortie renseigne le motif de sortie de l'individu (0=Encours, 1= Rachat , 2=Fin de prêt, 99=Décès) et les variables duree_e_moiset duree_theorique indiquent respectivement l'ancienneté dans le prêt à la datede sortie et la durée d'emprunt initiale.

3.1.2.1 Traitement des données

Les bases ayant évolué au l du temps (nouveau logiciel de gestion, fusionde banques, etc ...), il a fallu prendre en compte les diérentes modicationssuivantes :

• Fusion de banques Le code identiant de la banque associé au prêtayant été modié lors de fusions, la prolongation des contrats concernésa dû être assurée. Le contrat existant apparaît comme un nouveau prêtdonc avec un nouveau numéro de contrat dans la banque absorbante,laissant ainsi le contrat initial vacant. D'un point de vue technique, tousles contrats à cheval sur la période de fusion ont été supprimés, conservantainsi toute l'information du prêt dans la nouvelle banque. Il est à noterque ce choix sera à prendre en compte de le cas d'une étude par banque,en eet une partie des contrats reste attribuée à la banque absorbante.

• Recodage de variables Certaines variables ont subi des modicationsde codage comme par exemple les variables "matricule" qui étaient ini-tialement codées en alphanumérique puis actuellement en numérique. De

46

même la variable "sexe" de l'individu a été recodée pour les tables lesplus récentes.

• Création de nouvelles variables Recherche et création de nouvellesclefs primaires suite à l'entrée de nouvelles banques. Les clefs primairespar banque ne sont plus des clefs primaires après agrégation des basesde données. Le numéro de prêt ainsi que le code banque déterminent àprésent l'unicité d'un contrat emprunteur.

• Identication et suppression des prêts relais Recherche des prêtsrelais dans la base prêt an de les supprimer. Le principe du prêt relaisconsiste pour la banque à avancer les fonds pour un nouvel achat en at-tendant que l'ancien bien soit vendu. Nous avons fait le choix de ne pasles prendre en compte car la date du rachat est plus ou moins connue àl'avance et nécessite une modélisation indépendante des rachats antici-pés. En eet la durée moyenne d'un prêt relai est de 1 à 4 mois. Il seradonc intéressant et plus rigoureux de modéliser les prêts relais suivantune loi particulière.

• Eet de bord Il peut y avoir un décalage d'un mois d'avance ou deretard concernant le situation du prêt à l'instant t lié au système degestion. Suivant les informations disponibles à la date d'actualisation dusystème de gestion, la situation du prêt sera renseignée avec une légèreavance ou un léger retard. Prenons l'exemple d'un prêt qui a pour datede n de prêt le 02/02/2010 : il arrive que la ligne concernant ce prêtsoit déjà supprimée dans la base mensuelle de mars 2010 car on peutsupposer que la dernière mensualité a été réglée et que le dossier est clos(de manière similaire, si le dossier n'est pas encore clos, on retrouve laligne correspondante le mois suivant).

3.1.2.2 Traitement des valeurs aberrantes et manquantes

Les lignes dont la date de sortie n'est pas comprise entre la date de début duprêt et la date de n d'observation ont été supprimées. De plus les lignes dontles clefs ne sont pas renseignées et qu'il est impossible de récupérer à partird'autres tables ont été supprimées. En eet certains individus ont souscrit àune assurance de prêt dans un établissement extérieur, ce qui explique parfoisle fait que l'on ne puisse pas associer un assuré à chaque emprunt de la table"Prêt". Certains prêts ont été eectués par des entreprises ; et donc dans lesanalyses du portefeuille par âge ou par sexe, les lignes concernées seront omises.

Tous les traitements sur les bases de données ont été eectués à l'aide dulogiciel SAS compte tenu de la volumétrie importante (∼ 5 millions de lignespar bases historisées).

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3.2 Statistiques descriptives du portefeuille étu-dié

Sont détaillées dans cette partie quelques statistiques élémentaires sur le por-tefeuille étudié. Comme il sera expliqué plus loin, l'échantillon est segmenté partype de prêt. Le comportement client dière considérablement selon ce critère,ce qui justie cette distinction. Cependant il faut rappeler que le portefeuillen'est pas en mode pérenne, donc le rythme de croisière n'est pas encore atteint.

Immobilier Professionnel PersonnelÂge moyen homme 48,5 49,0 47,7Âge moyen femme 47,1 48,3 48,1

Figure 3.3 Âge moyen des assurés par sexe selon le type de prêt

L'âge moyen des assurés est relativement stable, autour de 48 ans, quel quesoient les types de prêt. Cet âge est calculé à n 2013.

Sexe Immobilier Professionnel Personnel TotalHomme 54% 78% 57% 61%Femme 46% 22% 43% 39%

Figure 3.4 Répartition par sexe selon le type de prêt

La proportion homme/femme est relativement disparate selon les types deprêt mais contrairement à des lois de mortalité ou d'arrêt de travail, on s'aper-cevra, par la suite, que le sexe n'est pas une variable de décision dans le choixd'un rachat anticipé de crédit. C'est pour cela que nous ne pousserons pas plusloin son analyse dans la suite de cette étude. A contrario l'âge ou le capitalinitial emprunté pourrait jouer davantage dans le comportement client.

Un lien entre l'âge de l'assuré et le capital emprunté est observé selon lestypes de prêt (cf. gure 3.5, page 49). A la suite d'étude sur ce sujet, il ena été conclu qu'une segmentation par âge ou par capital emprunté renvoyaitdes résultats relativement similaire ne justiant par son approfondissement.La forme concave de cette relation s'explique par un comportement diérentselon l'âge et est typique de l'assurance des emprunteurs notamment pour lesprêts immobiliers. La connaissance de cette relation sera importante pour lasegmentation du portefeuille dans la partie modélisation.

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Figure 3.5 Lien entre le capital emprunté et l'âge

Sachant que la tarication ou le calcul de provisions se basent sur l'engage-ment de l'assureur et de l'assuré, il est évident que cet écart entre la durée duprêt initial et la durée réelle joue un rôle et suscite des interrogations. Les sor-ties de la base d'exposition pour rachat anticipé ou pour décès sont les causesprincipales du raccourcissement de la durée du prêt.

Figure 3.6 Durée moyenne d'emprunt

Dans la suite de l'étude, sera retenue comme variable de segmentation le typede prêt. En eet cette variable permet de capter une variation de comportement

49

assez importante tout en gardant un nombre restreint de catégories. Suivantla loi de rachat observée, cette durée moyenne sera donc à comparer avec ladurée réelle. Cependant, les périodes d'étude sont diérentes selon les types deprêt comme le justie la distribution des eectifs 3.7, page 62.

Figure 3.7 Eectifs selon le type de prêt

3.3 Modélisation de la loi de rachat anticipé decrédit

Cette partie concerne la construction de la loi d'expérience du rachat an-ticipé total. Cette modélisation s'inscrit dans le cadre de solvabilité II ande respecter le caractère Best Estimate 2 imposé par la directive européenne.Coller au plus près du risque est l'une des recommandations primordiales sou-haitée par l'EIOPA. Comme il a été annoncé précédemment l'objectif est decréer trois lois d'expérience selon le type de prêt. Elles se présenteront sous laforme de lois à double entrée suivant la durée du prêt et l'ancienneté dans leprêt.

2. Dénition Solvabilité II : "La meilleure estimation correspond à la moyenne pondéréepar leur probabilité des ux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle del'argent (valeur actuelle probable des ux de trésorerie), estimée sur la base de la courbe destaux sans risque pertinente".

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3.3.1 Notions de troncatures et censures

Concernant l'étude du rachat anticipé, il est évident qu'il est impossibled'observer l'intégralité du déroulement d'un contrat d'assurance. Cela pro-vient du fait que l'on n'a pas accès à toute l'information : au lieu d'étudierdes réalisations indépendantes et identiquement distribuées de durées T , onétudie la réalisation de la variable aléatoire T soumis à diverses perturbations,indépendantes ou non du phénomène. Il faut noter que la plupart des obser-vations sont incomplètes pour des raisons particulières, telles que la gestioninformatique défaillante ou encore le décès de l'assuré. Il est donc importantde dénir les termes de censure et de troncature an d'évaluer les causes desorties de l'échantillon. La construction de cette loi s'apparente beaucoup àcelle d'une loi de maintien en arrêt de travail.

Censure La censure est le phénomène le plus couramment rencontré dans laconception d'une base d'exposition pour un modèle de survie. Il faut cependantfaire la distinction entre la censure droite et la censure gauche.

Un sujet est dit censuré à droite dans deux cas :

1. Le sujet n'a pas subi d'évènement avant la date de n d'observation xéepar l'étude.

2. Le sujet est sorti de l'échantillon pour une raison autre que celle étudiée(dans notre étude sera considéré comme une censure un évènement autreque le rachat anticipé). Cela suppose l'indépendance entre le motif decensure et l'évènement étudié, mais dans le cas contraire, on peut alorsobserver un biais dans l'estimation de notre fonction de survie. Cepen-dant le choix de l'hypothèse d'indépendance a été retenu dans la suitede notre étude.

On peut caractériser la censure droite formellement de la façon suivante :

Soient un échantillon de durées de survie (T1, ..., Tn) et un échantillonindépendant (C1, ..., Cn) tel que Ci > 0,∀i. Ainsi nous n'observons pas(T1, ..., Tn) mais le couple (X1, d1), ..., (Xn, dn) avec :

Xi = Ti ∧ Ci di =

1 Ti ≤ Ci0 Ti > Ci

(3.1)

La censure gauche correspond au cas où l'individu a déjà subi l'évènementà la date d'observation. L'unique information disponible est que la date de

51

l'évènement est antérieure à une date connue. La censure gauche se caractérisedonc sous la forme suivante :

Xi = Ti ∨ Ci di =

1 Ti ≥ Ci0 Ti < Ci

(3.2)

Troncature L'observation est dite tronquée si elle n'est observable qu'à lacondition X > T (pour la troncature gauche) ; où T est une variable aléatoireque l'on suppose dépendante deX, cette variable est considérée comme un seuilde censure. Le phénomène de troncature dière du phénomène de censure parle fait que l'on perd complètement l'information sur le sujet, concernant lesplages en dehors de la période d'observation. Si le contrat est présent dans lesbases de données alors nous disposons de toute l'information le concernant,cela signie qu'il n'existe pas de troncature gauche.

Dans notre cas, rappelons que les causes de sorties considérées pour notreétude sont les suivantes :

• Décès ou perte totale et irréversible d'autonomie (PTIA)

• Fin de prêt

• Rachat anticipé total

3.3.2 Estimateur de Kaplan Meier

Nous avons fait le choix de modéliser le rachat anticipé comme un modèle dedurée contrairement à une modélisation d'arbitrage par écart de taux commepour le rachat de contrats en assurance vie. S'étant aperçu que les écarts detaux ne semblent pas aecter la motivation des individus dans le rachat decrédit de par leur stabilité sur la période d'observation quelque soit leur géné-ration. Le processus s'apparente donc au construction de tables de mortalité etd'arrêt de travail à l'aide d'une approche paramétrique. Il sut de considérerla probabilité de survie, comme la probabilité de maintien dans le crédit et ledécès, comme le rachat anticipé du crédit.

La dénition de l'estimateur de Kaplan Meier d'après PLANCHET et THE-ROND [2006][ [9] peut ainsi être adaptée de la façon suivante : la probabilitéque l'assuré poursuive le remboursement de son prêt au delà de t > s et peuts'écrire :

S(t) = P (T > t|T > s)× P (T > s) = P (T > t|T > s)× S(T > s) (3.3)

Nous pouvons ensuite faire apparaître les probabilités de la forme :

pi = P (T > T(i)|T > T(i−1)) (3.4)

52

où pi est la probabilité que le crédit "coure" sur l'intervalle ]T(i−1);T(i)] sa-chant que le crédit "courait" à l'instant précédent. L'estimateur du taux dechute s'écrit naturellement sous la forme suivante :

qi = 1− pi (3.5)

soit

qi =diri

=di

n− i+ 1(3.6)

L'estimateur de Kaplan Meier s'écrit donc nalement :

S(t) =∏T(i)≤t

(1− 1

n− i+ 1

)D(i)

(3.7)

où le D(i) renseigne sur le motif de sortie de l'individu.

Cependant, en discrétisant par année, par mois ou même par jour, il peutévidemment y avoir plusieurs sorties au même instant d'où l'expression usuellede l'estimateur de Kaplan Meier qui peut s'écrire :

S(t) =∏T(i)≤t

(1− di

ri

)(3.8)

où di est le nombre de sortie à l'instant i et ri est le nombre d'individusexposés au risque de rachat non censuré à l'instant i.

Les instants de sauts matérialisent uniquement les sorties non censurées (icile rachat) et le ri assure la continuité de la fonction de survie.

Nous pouvons déterminer des intervalles de conance pour les taux condi-tionnels de sortie à l'aide de la variance de l'estimateur de la façon suivante :

q(t) = 1− S(t+ 1)

S(t)(3.9)

53

et on en déduit de

S(t) =∏T(i)≤t

(1− diri

) (3.10)

que

1− q(t) =∏

t≤T(i)≤t+1

(1− diri

) (3.11)

On obtient donc comme expression de la variance appelée estimateur deGreenwood :

V (q(t)) = (1− q(t))2∑

t≤T(i)≤t+1

diri(ri − di)

(3.12)

On obtient donc un intervalle de conance asymptotique pour les taux condi-tionnels de sortie :

q±(t) = 1− (1− q(t))×

1± u1−α

2

×

√√√√ ∑t≤T(i)≤t+1

diri(ri − di)

(3.13)

où u1−α

2

est le quantile de la loi normale centrée réduite.

3.3.3 Ajustement et lissage des taux bruts

3.3.3.1 Lissage non paramétrique

An d'ajuster nos taux bruts, l'une des méthodes les plus courantes estle lissage non paramétrique de Whittaker-Henderson. Sa particularité et sonintérêt est la combinaison d'un critère de délité et d'un critère de régularité.Est présenté ci-dessous le cas unidimensionnel mais cette méthode de lissageest généralisable en dimension deux.

Nous xons dans un premier temps des poids (wi) et posons le critère dedélité ("Fit") comme la distance euclidienne classique entre les taux lissés etbruts. Le critère de délité est donné par :

F =

p∑i=1

wi(qi − qi)2 (3.14)

54

Le poids wi intervient dans l'ajustement et caractérise l'importance que l'onsouhaite donner à certaines valeurs.

• a priori, si l'on remarque des aberrations pour certaines estimations ouabsences de données :

wi = 0 si qi = 0wi = 1 sinon

(3.15)

• a posteriori, si l'on remarque que le lissage tient trop compte de certainesdonnées. Dans ce cas il possible de prendre en considération la taille del'eectif observé :

wi =Ni

N(3.16)

où Ni représente l'eectif observé à la date i et N =

∑ni=1

nl'eectif

moyen sur la plage étudiée.

Cependant l'utilisation de ces ajustements nuit au calcul de la distance duKhi deux rendant son calcul impossible.

et le critère de régularité ("Smoothness") :

S =

p−z∑i=1

(∆zqi)2 (3.17)

où z est un paramètre du modèle et ∆, l'opérateur diérence.

Nous cherchons ensuite à minimiser une combinaison linéaire de la régularitéet de la délité selon la forme suivante :

M = F + h× S (3.18)

où h est un paramètre de contrôle donnant plus ou moins d'importance surla régularité du lissage.

Cela revient donc à résoudre :

∀i, ∂M∂qi

= 0 (3.19)

55

On pose les vecteurs suivants :

q =

q1q2......qn

V =

q1q2......qn

W =

w1 0 ... ... 00 w2 0 ... 0... ... ... ... ...... ... ... ... ...0 ... ... 0 wn

où W est la matrice diagonale des poids (w1, w2, ..., wn).

F peut donc s'écrire sous forme matricielle de la forme suivante :

F = (V − q)T ×W × (V − q) (3.20)

Nous dénissons également le vecteur suivant, représentant les diérencesd'ordre z de V de taille n− z lignes :

∆zV =

∆q1∆q2......

∆qn−z

(3.21)

Ce qui permet d'écrire la matrice R sous la forme suivante :

R = (∆zV )T · (∆zV ) (3.22)

Pour déterminer ∆zV , nous réécrivons ce vecteur en fonction de V en utili-sant la matriceK ci-dessous, dont les coecients binomiaux d'ordre z changentde signes.La dimension de K est (n−z)×n. Par exemple, pour z = 2 et n = 5 :

K =

1 −2 1 0 00 1 −2 1 00 0 1 −2 0

On obtient alors :

∆zV = K · V (3.23)

La matrice M peut s'écrire comme ci-dessous ;

M = (V − q)T ·W · (V − q) + hV T ·KT ·K · V (3.24)

56

Après développement de l'équation puis en regroupant les termes, nous ob-tenons :

M = V T ·W · V − 2V T ·W · q + qT ·W · q + hV T ·KT ·K · V (3.25)

Nous dérivons ensuite M :

∂M

∂qi= 2W · V − 2W · q + 2hKT ·K · V = 0 (3.26)

La résolution de cette équation conduit donc aux taux ajustés :

q∗ = (W + hKT ·K)−1 ·W · q (3.27)

L'inversion de la matrice C = W+hKTK est toutefois nécessaire et nécessitequelques étapes supplémentaires délicates.

La détermination du paramètre h et des poids wi sont à l'appréciation del'actuaire selon son désir d'obtenir la courbe la plus adéquate possible tout enperdant un minimum d'information. Cette méthode est souvent accompagnéede méthodes paramétriques an d'obtenir des taux similaires confortant lesrésultats.

L'extension du lissage de Whittaker-Henderson en dimension 2 se décom-pose de façon analogue mais doit s'eectuer à la fois sur l'axe horizontal etvertical tout en conservant le principe de régularité et de délité. Le lissage endimension 2 est davantage utilisé pour les lois à double entrée comme les loisde maintien en arrêt de travail ou encore le rachat anticipé de crédit commedans notre étude. La méthode est détaillée dans les annexes [13].

3.3.3.2 Ajustement paramétrique

L'une des méthodes d'ajustement paramétrique adaptée est le lissage parsplines. Cette méthode a pour avantage d'eectuer un ajustement par inter-valle. Elle n'entraine aucune contrainte générale, qui s'avèrerait parfois troprestrictive, surtout si les taux bruts ne rencontrent pas de monotonie majeure.Cependant il faut prendre la précaution d'ajuster les raccordements entre lesplages étudiées. Le lissage paramétrique est souvent préféré au lissage nonparamétrique pour des raisons d'extrapolation.

Les polynômes sont des fonctions simples d'utilisation et sont très couram-ment utilisés pour construire des lissages par splines. Le raccordement entreles n÷uds s'eectuent aux points de jonction, en s'assurant de la continuité,ainsi que de l'égalité des dérivés et des courbures.

57

Spline cubique pour un cas général

Supposons que nous disposons de m observations des taux bruts ux comprisdans l'intervalle [a, b] en n n÷uds aux points x = k1, k2, ..., kn. Alors on posen+ 1 polynômes :

νx =

p0(x) a 6 x 6 k1pi(x) ki 6 x 6 ki+1 k = 1, ..., n− 1pn(x) kn 6 x 6 b

(3.28)

Les contraintes imposées sont les suivantes :

pi−1(k) = pi(k)p′i−1(k) = p′i(k)p′′i−1(k) = p′′i (k)

pour i = 1, 2, ..., n (3.29)

Nous pouvons écrire les équations des pi(x) comme suit :

pi(x) = p0(x) + c5(x− k1)3 + ...+ ci+4(x− ki)3 i = 1, 2, ..., n (3.30)

En substituant les équations de pi(k), nous obtenons la sommes des erreursau carré pondérées :

S =∑h1

x=awx · (ux − c1 − c2x− c3x2 − c4x3)2

+∑h2

x=h+1wx · (ux − c1 − c2x− c3x2 − c4x3 − c5(x− k1)3)2 + ...

+∑b

x=h+1wx · (ux − c1 − c2x− c3x2 − c4x3 − c5(x− k1)3 − ...− cn+4(x− kn)3)2

(3.31)

où h est la plus grande valeur de x ≤ k pour laquelle il existe une valeur deux.

On cherche ensuite à minimiser S par rapport à C caractérisé par la formulesuivante :

XT ·W ·X · C = XT ·W · U (3.32)

58

où

C =

c1c2......Cn+4

U =

uaua+1

...

...ub

W =

wa 0 ... 00 wa + 1 ... 0

... .... . . ...

0 0 ... wb

et à titre d'exemple de X dans le cas d'un seul n÷ud, de taille [m× 5] :

X =

1 a a2 a3 0... ... ... ... ...1 h1 h21 h31 01 h1 + 1 (h1 + 1)2 (h1 + 1)3 (h1 + 1− a)3

... ... ... ... ...1 b b2 b3 (b− k1)3

Le résultat s'écrit donc sous une forme explicite :

C = (XT ·W ·X)−1 ·XT ·W · U (3.33)

L'étape suivante est de déterminer l'emplacement des n÷uds et leurs nombres.Il faut donc arbitrer, comme pour le lissage de Whittaker-Henderson, entre ré-gularité et délité. En pratique l'allure des taux bruts donne une indication surle positionnement de chacun, cela relève donc de l'appréciation de l'actuaire.

Il existe aussi un ajustement par splines en dimension 2. En eet cetteextension permet de prendre en compte le fait que l'on souhaite ajuster unesurface et pas uniquement une seule courbe. L'idée de l'ajustement par splinesest de découper la plage de la fonction en sous-intervalles puis d'ajuster cettefonction sur chaque sous intervalle tout en conservant les mêmes contraintesde raccordements qu'en unidimensionnel.

3.3.4 Tests de conformité des ajustements

Après avoir ajusté les taux bruts il est nécessaire de garantir la abilité del'ajustement par des tests statistiques. Nous présentons ci-dessous deux testsvériant la qualité globale des taux ajustés. D'un point de vue métier, les tauxbruts ne seront pas recalculés à chaque utilisation ou modélisation, il faut doncs'assurer que la loi soit pérenne et dans le cas contraire en informer l'utilisateur.

59

3.3.4.1 Test du Khi deux

Le test du Khi deux est très utilisé an de vérier que les taux ajustésne s'éloignent pas signicativement des taux bruts (hypothèses H0). Ce tests'applique aussi bien après un ajustement paramétrique ou non. La statistiquese calcule de la manière suivante :

X2 =m∑i=1

p∑j=1

(qi,j − qi,j)2

qi,j(3.34)

La variable X suit donc une distribution du Khi deux de degré (m− 1)(p−1). Par conséquent m est égal au nombre de durées de prêt ou aux tranchesde durées suivant l'ajustement eectué et p la durée de prêt. Dans le casd'un lissage non paramétrique, la détermination du degré de liberté n'est pasimmédiate. Pour l'étude du rachat, l'ancienneté ne peut dépasser la duréeinitiale du prêt, cela engendre donc la condition p = i dans le calcul de lastatistique.

3.3.4.2 Test des changements de signe

Le test statistique des changements de signe consiste à compter le nombre dediérences premières positives entre deux échantillons. Il est basé uniquementsur l'étude des signes des diérences observées entre paires sans tenir comptede leurs valeurs.

L'hypothèse nulle du test :

P (+) = P (−) = 1/2 (3.35)

Avec P (+) et P (−) les probabilités d'observer une diérence respectivementpositive et négative.

On en déduit que le nombre de changement de signes est distribué selonune loi binomiale de paramètres (p − 1, 1/2), p étant le nombre de valeur à

comparer. Le nombre moyen de changement de signes de signe estp− 1

2.

Lorsque l'on dispose d'un faible échantillon (<30), on utilisera une tablede la loi binomiale pour comparer la valeur de la statistique du test. Dans lecas d'échantillon plus important on préfère souvent l'approximation normaleréduite suivante :

Z =2n− (p− 1)√

p− 1(3.36)

60

Où n représente le nombre de diérence positive.

3.3.5 Résultats et analyses de la loi de rachat anticipé

Cette partie détaille les diérents résultats et traitements eectués permet-tant de passer des taux bruts à la loi d'expérience qui sera utilisée pour notresimulation. Il est dans un premier temps important de rappeler que la loi seprésente comme une loi à double entrée selon la durée du prêt et l'anciennetédans le prêt. An de justier la segmentation de l'étude par type de prêt pre-nons comme exemple la comparaison des fonctions de maintien pour un prêtde 5 ans illustrée par le graphique 3.8, page 61.

Figure 3.8 Fonctions de maintien pour un crédit de 5 ans par année

Il est clair que l'on observe une diérence importante de comportement selonle type de prêt. Cette preuve graphique est appuyée par le test des Log-rank etde Kolmogorov Smirnov qui rejettent l'hypothèse d'une distribution identiquedes lois par durée selon le type de prêt.

Test de Kolmogorov-Smirnov Le test de Kolmogorov-Smirnov est un testpour lequel on compare la distribution de deux échantillons contrairement au

61

test de Kolmogorov pour lequel la comparaison s'eectue entre une distributionobservée d'un échantillon statistique à une distribution théorique.

Soient n observations d'une variable aléatoire X et m observations d'unevariable aléatoire Y . On suppose que les deux échantillons sont indépendantset que FX et FY sont continues. On souhaite tester les hypothèses suivantes :

H0 : FX − FYH1 : FX 6= FY (3.37)

Or on peut montrer que sous H0,

Dn =

√nm

n+mSupx|F n

X(x)− F nY (x)| (3.38)

converge en loi vers la même loi où F nX et Fm

Y sont les fonctions de répartitionempirique des deux échantillons. Cette convergence découle de la loi des grandsnombres et nécessite donc de grandes valeurs pour n et m.

3.3.5.1 Présentation des taux bruts

Dans un premier temps, il est judicieux d'observer le nombre d'observationsselon la durée de prêt. Cela permet d'avoir une indication visuelle sur la duréemoyenne des prêts selon leurs types.

Figure 3.9 Eectifs par type de prêt selon la durée d'emprunt initiale

62

La répartition des eectifs, selon le type de prêt, renseigne sur la duréemoyenne d'emprunt des clients et justie une fois de plus leur distinction.La présence de pics, principalement pour le crédit immobilier, est à signaler,correspondant à des durées dites "classiques" comme 5,10 et 15 ans, ce quipourra être pris en considération lors de la pondération des années dans le cadred'un lissage. Plus l'eectif est important, plus l'information retirée est able.D'après la gure 3.9, page 62, il est donc tolérable de restreindre notre étudesur des prêts de durée 18, 14 et 8 ans respectivement pour les prêts immobiliers,professionnels et personnels. Les irrégularités au-delà de ces durées pourraientaltérer le lissage. Cependant il sera ensuite possible d'extrapoler les donnéesan d'obtenir une loi couvrant toutes les durées de prêt.

Figure 3.10 Surfaces de maintien empiriques par type de prêt

Comme pour la plupart des lois d'expérience, les résultats obtenus parKaplan Meier présentent certaines irrégularités, comme le montrent les gra-phiques 3.10, page 63, qui seront traitées dans un deuxième temps à l'aide delissages et d'ajustements. Les termes lissage et ajustement s'opposent par lecaractère paramétrique de l'ajustement. Si l'on met en relation les deux guresprécédentes, nous observons un lien évident entre le nombre d'observations etles irrégularités des courbes de maintien.Si l'on considère les prêts personnels nous remarquons qu'au delà de 8 ans lesirrégularités s'intensient et cela se justie par le fait qu'il existe très peu deprêts personnels d'une durée supérieure à 10 ans. De ce fait il faut prendre encompte cette particularité et eectuer une extrapolation concernant la ferme-ture de chaque table au delà d'un certain seuil. Ce seuil sera déterminé selonles eectifs et l'estimateur de Greenwood.

D'après la gure des eectifs et suivant la concentration pour certaines an-nées, il est possible d'associer davantage de poids certains d'entre eux. Nous

63

observons une concentration plus importante pour les prêts de courte durée etde moyenne durée respectivement pour les crédits personnel et professionnel,tandis que les prêts immobiliers sont davantage répartis sur la plage d'étude.Cependant la mise en place d'une pondération a un impact sur la détermina-tion du degré de liberté dans le cadre d'un test du Khi deux.

Nous prendrons donc en compte ces deux critères à savoir l'eectif observéet l'estimateur de Greenwood (cf. equation (3.3.2), page 54) dans la partiesuivante an d'établir la fenêtre d'ajustement. L'estimateur de la variancepermet d'avoir un regard critique sur l'ajustement et si besoin de pondérercertaines valeurs à la hausse comme à la baisse. Tous ces aspects sont abordésdans la partie suivante concernant l'ajustement des taux bruts.

3.3.5.2 Taux lissés

Les méthodes de lissage et d'ajustement sont mises en ÷uvre en spéciantdes poids ou des n÷uds, respectivement pour les méthodes de Whittaker Hen-derson et d'ajustement par splines. Avant tout ajustement il est importantde déterminer les points d'inexion. Pour cela nous avons utilisé l'estimateurde Greenwood an de cibler les points pour lesquels l'erreur est moindre. Cetestimateur pourra être utilisé dans la détermination de poids dans le cadred'un lissage de Whittaker Henderson. Cependant il faut garder à l'esprit quela pondération des valeurs s'eectue souvent selon le dire d'expert, les testssont donc à confronter à la perception de ce dernier.

A titre d'exemple le graphique 3.11, page 65 représente le logarithme del'estimateur de Greenwood pour le crédit immobilier :

De façon pratique, des poids plus importants sont associés pour les valeursles plus faibles observées sur le graphique. Nous observons que les erreurs sontplus faibles pour les prêts de durées 5, 10, 12, 15 et 20 ans : durées dites"classiques" pour les prêts immobiliers. En eet plus il existe de prêts pourune durée plus l'erreur sera faible. Concernant le crédit immobilier et d'aprèsle graphique ci-dessus nous pouvons armer que l'estimateur de Kaplan Meierest d'autant plus able si l'on se trouve en début de prêt à condition que cedernier soit un prêt d'une durée supérieure à 5 ans. Cette remarque coïncideavec l'intuition, basée sur les eectifs, énoncée précédemment.

Nous pouvons observer pour que le crédit personnel (cf. gure 3.12, page 65),contrairement au crédit immobilier, la qualité de l'estimateur est plus ablepour les prêts de courte durée et d'une faible ancienneté. Le fait qu'il n'existe

64

Figure 3.11 Logarithme de l'estimateur de Greenwood pour le crédit im-mobilier

Figure 3.12 Logarithme de l'estimateur de Greenwood pour le crédit per-sonnel

que très peu de prêt personnel dépassant 10 ans se traduit de façon signicatifsur ce graphique.

Après lissage des taux bruts par la méthode non paramétrique de WhittakerHenderson, nous obtenons les fonctions de maintien représentées par les troisgraphiques 3.13, page 66. Les fenêtres de lissage ont été restreintes selon lesirrégularités observés et la taille des eectifs.

65

Figure 3.13 Surfaces de maintien lissées selon type de prêt par WhittakerHenderson

Dans le cadre d'un ajustement paramétrique par splines, eectué de façonanalogue que dans le papier de PLANCHET et WINTER [2010] [10] pour lemaintient en arrêt de travail, nous obtenons les fonctions de maintien lisséesreprésentées par la gure 3.14, page 66. L'allure général est sensiblement lamême à l'exception que l'ajustement paramétrique s'étale sur 20 ans pourchaque type de prêt.

Figure 3.14 Surfaces de maintien lissées selon type de prêt par splines

Le choix des intervalles de lissage a été motivé par le nombre d'eectif pardurée de prêt, nous avons donc retenu une fenêtre de 18, 14 et 8 ans respecti-vement pour les prêts immobiliers, professionnels et personnels dans le cadred'un lissage de Whittaker Henderson. Pour ce qui est de l'ajustement paramé-trique la durée de 20 ans a été conservée pour les 3 lois car les irrégularités

66

sont atténuées par cette méthode contrairement au lissage non paramétrique.

La détermination des taux bruts ainsi que les fonctions de maintien ont étéobtenus à l'aide du logiciel de statistique R et le package "Survival Analysis".L'utilisation de l'outil se base sur les papiers de GEFFRAY [2009] [12] etTHERNEAU [2014] [17].

3.3.5.3 Comparaison et validation des taux lissés

Le lissage de Whittaker Henderson a été eectué sur des durées de 18, 14et 8 ans respectivement pour les prêts immobiliers, professionnel et personneltandis que l'ajustement par splines a été appliqué sur des durées de 20 anspour l'ensemble des types de prêt.

Les tests du Khi deux et des changements de signe valident donc les ajus-tements des taux lissés par les méthodes de Whittaker Henderson et splineshormis pour la loi sur le prêt personnel. L'ajustement par splines sur 20 ansdu prêt personnel est invalidé d'après le test des changement de signes. Cepen-dant il n'existe quasiment aucun prêt personnel excédant 10 ans et si l'on serestreint sur 10 ans, ce test est validé. On peut donc considérer que ce défautest négligeable et l'impact sera nul.

D'un point de vue pratique les taux lissés par splines seront retenus pourmodéliser le comportement de rachat anticipé. Sachant que les deux ajuste-ments sont validés, l'approche bidimensionnelle paramétrique ore davantagede possibilités de part son utilisation plus simple. En eet cette méthode per-met une extrapolation immédiate quelque soit l'unité désirée, les valeurs sontdirectement observables pour n'importe quelle durée et ancienneté dans le prêt,ne nécessitant pas d'interpolation comme pour Whittaker Henderson.

3.3.5.4 Critiques et extensions possibles

La principale critique que l'on pourrait émettre concernant la modélisationde cette loi d'expérience sur le rachat anticipé est son caractère statique parrapport aux taux moyen d'emprunt. En eet il est d'usage de mesurer l'impactd'une variation de taux sur le comportement. Il est possible dans un premiertemps de faire l'hypothèse que cette loi est modélisée ceteris paribus, ou alorsque l'inuence du taux d'emprunt est captée dans l'intervalle de conanceproposé dans la construction. Nous avons considéré que la stabilité des tauxde rachat anticipé de crédit invalidait l'hypothèse que le taux moyen d'empruntjouait un rôle dans le comportement client. Les taux étant relativement bassur ces dernières années, cela explique en partie sa faible inuence. Cependantnous n'écartons évidemment pas son inuence mais cette approche n'est pastraitée dans ce mémoire, car non pertinente.

67

La méthode de Whittaker Henderson nécessite une extrapolation pour lesdurées plus longues que celles étudiées contrairement à la méthode d'ajuste-ment par splines. L'ajustement paramétrique est donc privilégié si les testsd'ajustement sont équivalents et valident les taux lissés.

3.4 Projection d'un portefeuille emprunteur

Cette partie a pour but d'évaluer l'impact du rachat anticipé sur l'évaluationdu montant de provision technique pour risques croissants (PRC) d'un porte-feuille emprunteur chez Natixis Assurances. La PRC est calculée au 31/12/2013et concerne le crédit classique du contrat groupe. La projection s'étale sur unedurée égale à la date du prêt se terminant le plus tard. La projection est donceectuée jusqu'à la n de chaque prêt en cours.

Pour des raisons de volumétrie et de temps de calcul, la base des encoursa été agrégée dans un model point. L'introduction d'un facteur stochastiquedans la loi de rachat et le nombre important de simulations ne permettent pasd'eectuer une projection tête par tête et nécessitent donc une agrégation desinformations. Le but est ensuite d'utiliser la méthode de Monte Carlo an dedéterminer le montant de provision moyen et son erreur d'estimation.

3.4.1 Dénitions

Sont détaillés ci dessous les concepts abordés et nécessaires pour la bonnecompréhension de la partie analyse des simulations.

Théorème 2 (Théorème central limite) Soit une suite de variables aléa-toires X1, X2, ..., Xn indépendantes et identiquement distribuées d'espérance met d'écart type σ, alors

Y =Xn −m

σ√n

−→n→+∞

N (0, 1) (3.39)

La variable aléatoire Y converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

Méthode de Monte Carlo La méthode de Monte Carlo vise à calculerune valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires permettant ainsid'estimer une espérance et une variance. Il est ensuite possible d'en déduire unintervalle de conance et des indicateurs tels que la Value at Risk ou encorela Tail Value at Risk détaillés dans cette même partie.

Le processus de Monte Carlo permet de calculer une approximation de l'es-pérance d'une variable dont on ne connait pas la loi à l'aide de simulations.On cherche donc à approximer :

I = E(f(X)) (3.40)

68

Pour ce faire il faut choisir une grande valeur N représentant le nombre desimulations et simuler une réalisation de (x1, ..., xn) de N variables aléatoiresindépendantes et de même loi que X. On calcule ensuite la moyenne des f(Xi)qui donne donc une approximation de I.

La convergence d'une telle méthode est dite "lente" car elle est de l'ordre de1√N. La convergence est donnée par le théorème central limite :

f(X1) + ...+ f(Xn)

N− I =

1√NGN (3.41)

oùGN suit approximativement, lorsqueN est grand, une loi normaleN (0, V ar(f(X)).

Model Point

Un model point est généré par agrégation des informations sur les assurésdisponibles dans la base de données entrainant la création de prols types selondes caractéristiques xées au préalable. Cela permet de réduire la volumétried'une base de données, réduisant considérablement le temps d'exécution desprojections. Cette agrégation est couramment utilisée par le métier dès lorsque l'on souhaite introduire du stochastique dans la modélisation. Le caractèrealéatoire ralentit énormément le temps d'exécution des outils.

La création d'un model point n'est pas sans conséquence sur les résultatset nécessite donc d'être validée avant toute utilisation. Cependant ce mémoirea pour objectif de mettre en évidence l'impact de la loi de rachat sur unportefeuille, c'est pour cela que l'élaboration et les critères de validation dumodel point ne seront pas approfondis dans cette partie. Il a fallu, en amont,s'assurer que la perte d'information, suite à l'agrégation, était négligeable.

Sont détaillés ci-dessous les variables de segmentation utilisées pour la créa-tion du model point. La valeur des autres variables est remplacée par leurmoyenne. Chaque variable est découpée selon des catégories ou tranches res-pectivement pour les variables qualitatives et quantitatives. Se baser sur lasegmentation tarifaire du produit d'assurance est un bon commencement pourdéterminer les groupes d'agrégation.

Les variables retenues sont les suivantes :

• Capital initial emprunté

• Durée du prêt

• Type de prêt

• Type de garantie

69

• Sexe

• Âge de l'assuré

• Génération du prêt

L'agrégation a donc permis de réduire la taille de la table de 97% passantd'un eectif de 1 556 437 à 43 505 lignes. Le temps d'exécution en fonctionde la taille de l'échantillon est détaillé dans le tableau 3.15, page 70. Par soucide condentialité le model point ne reète pas le portefeuille de Natixis Assu-rances, ce qui implique que toutes les valeurs chirées ne sont pas utilisablesd'un point de vue opérationnel.

Nombre de lignes Durée en heures1 000 110 000 3.1625 000 6.9543 505 11.5050 000 13.16100 000 25.63200 000 51.77500 000 128.171 000 000 256.331 556 437 402.88

Figure 3.15 Temps d'exécution estimé pour 10 000 simulations

Provision pour risques croissants

Conformément aux références réglementaires de l'article R331-6 du Code desassurances, la provision pour risques croissants est une provision pouvant êtreexigée pour les opérations d'assurance contre les risques de maladie et d'inva-lidité et égale à la diérence des valeurs actuelles des engagements respective-ment pris par l'assureur et les assurés. Dans le cas de l'assurance emprunteur,l'hypothèse de non compensation entre individus a été retenue, cependant ilest possible de compenser les PRC positives et négatives entre elles à condi-tion que cela concerne une même et unique tête. Cette hypothèse est un sujetsensible, d'autant plus que l'ACPr n'a pas encore ociellement statué sur cepoint de méthodologie. Il faut donc savoir que dans le cas d'une projection parmodel point, cette liberté ne pourra pas être prise en compte et les provisionsnégatives (créances de l'assureur) seront initialisées à 0.

70

Le détail de la PRC à la date k pour un individu d'âge x est détaillée ci-dessous :

EngAssureurxDC(k) =n−k−1∑j=0

CRDk+j× k+j12px× 1

12qx+ k+j

12× (1+ i)

−j−0.512 (3.42)

où CRD représente le capital restant dû et i le taux d'actualisation.

EngAssureurxIT/IP (k) =n−k−1∑j=0

k+j12px × Freqx+j × a× Provn,xIncap(x+

j + k

12, 3)

+ a× Provn,xIncInv(x+j + k

12, 0) × (1 + i)

−j−0.512

(3.43)

où Freq est la probabilité de dépasser la franchise de 90 jours pour unindividu âgé de x+ j mois.

EngAssux(k) =n−k−1∑j=1

τ × CRDk+j × k+j12px × (1 + i)

−j−0.512 (3.44)

où τ est le taux de prime associé à un individu pouvant varier selon son âgeatteint.

d'où le montant global de PRC selon la vision de l'ACPr :

PRCglobale(k) =m∑i=1

max (EngAssureurm(k)− EngAssum(k), 0) (3.45)

Value at Risk

La Value at Risk (VaR) est une mesure de risque indiquant la perte querisque de subir un portefeuille à un horizon donné T et à un certain niveau deprobabilité α. En d'autres termes, la VaR correspond à la pire perte attenduesur un horizon de temps donné pour un certain niveau de conance.

Formellement, la VaR s'écrit de la manière suivante :

P [LT < V aR(L)α] = α (3.46)

LT étant la valeur de la variable aléatoire à la date T .

71

Figure 3.16 Value at Risk au seuil α

Tail Value at Risk

La Tail Value at Risk s'intéresse à la perte moyenne lorsque des évènementsextrêmes surviennent. Elle se dénit comme suit :

TV aR(L)α =1

1− α

∫ 1

α

V aR(L)t dt (3.47)

Autrement dit, la TVaR apparaît comme l'espérance des VaR de niveausupérieur à α.

3.4.2 Estimation de la provision pour risques croissants

Cette partie porte sur l'estimation du montant de PRC pour le portefeuilleemprunteur étudié. Les simulations permettent de donner une approximationde l'espérance ainsi qu'un intervalle de conance à 95% de ce montant.

An de s'assurer de la convergence de l'espérance de la provision pour risquescroissants, le nombre de simulations N a été déterminé suivant la conditionsuivante : ∣∣∣∣ICsupN(PRC)− ICsupN+1(PRC)

ICsupN(PRC)

∣∣∣∣ < ε (3.48)

Il est a été arbitrairement xé que ε = 0.0000000001, équivalent à unevariation autour de la moyenne d'un montant de 16 369 et le nombre de simu-lations minimal correspondant est de 4 886. Ce montant est considéré commenégligeable comparé à l'approximation de la provision pour risques croissants(0.024%).

72

Figure 3.17 Convergence de l'intervalle de conance

On observe sur le graphique 3.17, page 73 la diminution de la largeur del'intervalle de conance suivant le nombre de simulations. N'ayant pas decontrainte temporelle sur le temps d'exécution, nous avons fait le choix dese baser sur un nombre bien supérieur de simulations, permettant ainsi d'obte-nir un intervalle de conance plus étroit. Grâce à celles-ci, nous avons construitun intervalle de conance à 95% du montant de la provision pour risques crois-sants résumé dans le tableau 3.18, page 74.

Dans le but de calculer un intervalle de conance du montant de PRC, lestaux de rachat anticipé ont été simulés suivant une loi normale de moyenne met d'écart type σ, où m est le taux de rachat suivant la durée et l'anciennetédu prêt et σ l'écart type correspondant à l'erreur d'estimation de l'estimateurde Kaplan Meier. La fonction "survt" (sous le logiciel R) fournit donc àl'utilisateur l'erreur type et se formalise de la façon suivante :

SEx =s√n

(3.49)

où s est l'écart type empirique et n le nombre d'observation sous risque.

Les montants de provision pour risques croissants ainsi que la valeur desbornes de l'intervalle de conance à 95% sont résumés dans le tableau 3.19,page 74.

Le grand nombre de simulations a permis de réduire considérablement l'in-tervalle de conance an donner une estimation able et robuste du montant

73

Figure 3.18 Approximation du montant de PRC

IC Inf 95% PRC estimée IC Sup 95%68 356 086 68 362 970 68 369 853

Figure 3.19 Résultats simulation Monte Carlo

de PRC. Nous observons que l'intervalle de conance atteint assez rapidementune taille stable (4 000 simulations), ce qui signie que l'erreur d'estimationdes taux est relativement faible.

S'il est intéressant de commenter l'intervalle de conance, il est tout aussiprimordial de comparer sa variation au montant global de la PRC. Nous re-marquons en eet que, même si le rachat joue un rôle non négligeable dans lecalcul des ces provisions, il n'en reste pas moins qu'un facteur parmi d'autres.Le calcul d'une PRC s'accompagne évidemment d'une estimation des tauxde mortalité, d'arrêt de travail ou encore de perte d'emploi qui font l'objetd'études spéciques.

Comme il a été rappelé plus haut, la Value at Risk et la Tail Value atRisk sont des mesures de risque sur la perte maximale probable dans le casextrême. Dans notre cas cette perte correspond au montant maximal que l'ondoit provisionner en cas d'évènement rare. La probabilité de ruine étant xéeà 0.5% conformément à la réglementation de Solvabilité II, le graphique ci-dessous place la VaR et la TVaR sur les simulations eectuées.

74

Figure 3.20 Interprétation de la VaR et TVaR

Les simulations sur la gure 3.20, page 75 ont été préalablement triées parmontant de PRC croissant. Déterminer la VaR à 99.5% revient à prendre le50ème pire scénario que l'on dispose tandis que la TVaR à 99.5% n'est riend'autre que la moyenne des 50 pires scénarios. A titre d'information, ces indica-teurs interviennent dans le calcul du Solvency Capital Requirement préconisépar Solvabilité II. Le SCR représente le capital requis ou imposé aux sociétésd'assurance pour garantir leur solvabilité. En pratique , l'EIOPA et la com-mission européenne ont retenu une probabilité de ruine de 1/200.

D'un point de vue pratique et opérationnel, il est aussi intéressant de com-parer le montant ce PRC estimée avec celui calculé selon un taux de rachatconstant par type de prêt. Les taux actuellement utilisés par le métier sontrésumés dans le tableau 3.21, page 75.

Taux immobilier Taux professionnel Taux personnel4% 4% 12%

Figure 3.21 Taux de rachat anticipé crédit classique par défaut

Comme le montre le tableau 3.22, page 76, la loi de rachat anticipé généréeengendre une provision pour risques croissants supérieure à celle calculée avecun taux uniforme, la variation atteint 7.33% du montant initial.

75

PRC à taux constant PRC estimée VaR(PRC) à 0.99563 698 115 68 362 970 68 369 095

Figure 3.22 Comparaison de PRC

3.4.3 PRC négative : futur insatisfait ?

Selon une récente étude de l'observatoire des crédits aux ménages par MOUILLART[2014] [15], le tarif de l'assurance de prêt est le principal facteur de décisiondans le choix de son assureur. La provision pour risques croissants étant ladiérence d'engagement probable actualisé entre l'assureur et l'assuré, une va-leur négative signie que l'assuré cotise en théorie plus que le coût actuarielde son risque. Il est donc raisonnable de supposer que ces individus aurontdavantage de raisons pour éventuellement préférer un contrat individuel moinsonéreux que le contrat groupe. L'idée de cette partie consiste donc à analyserces individus ayant une PRC négative, pour en dégager les prols susceptiblesde quitter le contrat groupe, en se basant sur l'hypothèse que le tarif est leprincipal facteur de décision. Pour cette étude, nous avons travaillé sur la basedes encours à n 2013 soit un total de 1.5 millions de lignes.

La méthode consiste à appliquer un modèle linéaire généralisée sur le mon-tant de la PRC. L'étude a été restreinte aux individus âgés de 18 à 65 ans àla date de projection. Cette recherche pourra dans un deuxième temps fournirdes pistes de segmentation concernant la détermination de groupes dans l'ap-proche microéconomique en chapitre 2 de ce mémoire.

La variable à expliquer est donc :

RatioPRC =PRC

CRD(3.50)

La PRC est divisée par le capital restant an de mettre à la même échelleles valeurs comparées.

Les variables explicatives retenues dans la détermination de la PRC sont lessuivantes :

• Âge de l'assuré à n 2013

• Garantie souscrite (DC ou DC/IT)

• Type de prêt (Immobilier, professionnel ou personnel)

Les graphiques 3.23, page 77 comparent le ratio de PRC pour chacune desvariables explicatives. Les niveaux de ces ratios ne sont évidemment pas si-gnicatifs et interprétables dans un premier temps, seules leurs comparaisonsapportent une information sur leur inuence dans le montant de PRC. Il faut

76

rappeler qu'une PRC ou un ratio de PRC négatif signie, selon notre hypo-thèse, un sur-engagement de la part de l'assuré. De ce fait, plus le ratio estnégatif, plus nous supposons que la cotisation trop élevée pour cet individu.Il est clair, d'après le premier graphique 3.23, page 77 que l'âge est une fonc-tion croissante du ratio de PRC, plus l'individu est âgé plus le ratio tend vers0. Cette armation corrobore et appuie l'argument avancé comme quoi lesjeunes, considérés comme des "bons risques" sont davantage enclins à quitterle contrat groupe. Il est aussi observable que le choix de couverture, ou le typede prêt souscrit, inue de façon diérente sur le montant de PRC. Comme ilest visible dans les deux derniers graphiques, la garantie décès (sans couver-ture pour l'arrêt de travail) et le prêt personnel sont nettement à l'avantagede l'assureur d'un point de vue engagement. Un montant de provision négatifne signie pas forcément un départ certain de l'individu vers un contrat indi-viduel, mais peut donner une indication sur sa probabilité à quitter le contratgroupe selon la seule hypothèse tarifaire.

Figure 3.23 Statistiques descriptives PRC

Il faut observer qu'en moyenne et quelque soit la segmentation, la PRC estnégative, ce qui signie que les créances probables actualisées de l'assureurcouvrent ses dettes probables actualisées.

Une simple régression selon un modèle linéaire généralisé a ensuite été ef-fectuée sur nos données en guise de conrmation de ces premières déductions.D'après la distribution observée 5, page 95, des ratios de PRC et des testsde Kolmogorov Smirnov et Shapiro, qui ne rejettent pas la normalité, une ré-gression gaussienne a été retenue avec pour fonction lien l'identité. Le détail

77

de la construction d'une régression GLM se trouve en annexe de ce mémoire.La variable concernant le sexe de l'individu a été ajouté au modèle pour plusd'information. Le modèle étudié est donc le suivant :

g(µ) = β0 +Xgeβ′1 +Xcouvβ

′2 +Xprtβ

′3 +Xsexeβ

′4 (3.51)

E(Y ) = g−1(β0 +Xgeβ′1 +Xcouvβ

′2 +Xprtβ

′3 +Xsexeβ

′4) (3.52)

La variable Xge est une variable quantitative tandis que Xcouv, Xsexe et Xprt

sont qualitatives.

La sortie sous R de la procédure GLM renvoie les résultats résumés dansla gure 4, page 94 des annexes. L'individu de référence est une femme ayantune couverture décès et un prêt immobilier. Toutes les variables, de par leurp-value signicativement inférieure à 0.05, inuent dans la détermination dumontant de PRC. Le signe du coecient estimé rattaché à la variable explica-tive renseigne donc sur son eet positif ou négatif par rapport à l'individu deréférence. D'un point de vue assureur, un signe positif a pour conséquence uneamélioration du montant de PRC et a contrario un signe négatif correspond àun eet défavorable.

Le tableau 3.24, page 78 résume les interprétations de l'analyse des statis-tiques descriptives et de la sortie GLM en considérant pour les deux cas lemême individu de référence, à savoir une femme ayant souscrit un prêt im-mobilier et une garantie décès uniquement. Les eets sont catégoriquementidentiques et confortent donc l'intuition avancée. Étant dans une optique des-criptive et non prédictive, la sélection du meilleur modèle n'est une priorité,c'est pour cela que nous ne détaillons pas les tests et critères de choix dans cemémoire.

Âge DC/IT Prêt professionnel Prêt personnelAnalyse graphique + + - -Analyse GLM + + - -

Figure 3.24 Comparaison analyse de PRC

Selon cette analyse, le prol d'assuré ayant le plus de probabilité de quitterle contrat groupe pour des raisons tarifaires, serait une femme âgée entre 25et 30 ans ayant un crédit personnel et couvert pour le décès uniquement. Il estévident que cela suggère qu'il existe un contrat individuel à garantie équiva-lente sur le marché. Dans un deuxième temps une étude du contrat individuelalternatif Natixis Assurances pourrait apporter un élément de validation de laconclusion avancée par cette étude. En eet si le contrat individuel se compose

78

à majorité de jeunes assurés alors nous pourrions en conclure que l'eet prixest une variable de décision de l'assuré et ensuite mesurer son impact suivantle taux de fuite. Le reste pourra être expliqué par d'autres facteurs abordés enchapitre 2 de ce mémoire.

79

Conclusion

Le marché de l'assurance des emprunteurs est, par dénition, étroitementlié au marché de l'emprunt bancaire par le calcul des cotisations et celui desprestations basées sur le capital restant dû. Chez les bancassureurs, l'assurancedes emprunteurs est une activité très rentable, vendu via les contrats groupes.Mais la possibilité de changer d'assureur est de plus en plus encouragée parle législateur, aussi l'étude des rachats est un enjeu majeur dans l'analyse del'équilibre des contrats. Dans ce mémoire ce sujet a été appréhendé de façontrès opérationnelle.

A cet eet, le premier objectif était d'obtenir, après d'importants traite-ments sur une base de données issue d'un portefeuille emprunteur de chezNatixis Assurances, une loi de rachat anticipé d'expérience à l'aide de l'esti-mateur de Kaplan-Meier, ajustée ensuite de façon paramétrique grâce à uneinterpolation par splines cubiques. Évoluant dans un contexte d'assurance desemprunteurs avec des taux d'emprunt très faibles, l'approche structurelle sedéfend, contrairement aux approches conjoncturelles par écarts de taux utili-sées en épargne pour modéliser l'arbitrage. Conrmée par des tests statistiques,cette loi de rachat se découpe selon le type, la durée et l'ancienneté du prêt.La variance estimée de l'estimateur a été conservée dans le but d'introduireun facteur stochastique et de juger de la abilité des taux observés. Le facteuraléatoire a ensuite été repris dans un calcul de la provision technique pourrisques croissants permettant d'estimer un montant de PRC ainsi qu'un inter-valle de conance dans le but de mesurer sa dispersion. Les simulations ontainsi montré que les taux d'expérience majorent légèrement la PRC d'environ7% comparé aux taux constants utilisés par le métier.

Il a également été important de rappeler que les bouleversements actuelsdans le milieu de l'assurance des emprunteurs ne sont pas sans lien avec lesrécentes réformes Lagarde (2009 et 2011) et Hamon (2014). La mise en lumièreet l'extension des droits du consommateur ont, et auront, un impact capitalsur le comportement des clients ou la stratégie des établissements bancaires.Cet intérêt d'anticiper le comportement des clients a été abordé en deuxièmepartie de ce mémoire avec une approche expérimentale basée sur la microéco-nomie. Un parallèle proposant un rebouclage a aussi été développé avec l'étudede la PRC en troisième partie. Il a été présumé que les individus ayant unePRC négative, équivalent à un engagement probable supérieur de la part de

80

l'assuré, avaient une probabilité plus importante de basculer vers un contratindividuel. En conclusion de cette étude, les caractéristiques, inuant de ma-nière signicative sur le montant de PRC, sont l'âge de l'assuré, la couverturesouscrite ainsi que le type de prêt.

Même si aujourd'hui les discussions penchent en faveur d'une accommoda-tion des établissements bancaires possédant un contrat groupe, il n'en restepas moins un sujet controversé et ouvert. Tant le comportement de l'assuréque la législation sur l'assurance des emprunteurs peuvent évoluer à court etmoyen terme, il est donc impossible de prédire de façon certaine les réactionsdes acteurs.

81

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83

Table des gures

1.1 Acteurs de l'assurance des emprunteurs . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Évolution des primes annuelles selon le type de tarication . . . 161.3 Taux de délégation des contrats d'assurance-emprunteur- Source

IGF [2013] [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Cotisations - Marché français de l'assurance des emprunteurs -

Source : Association française des assurances (FFSA, Gema) . . 191.5 Répartition des primes de l'assurance crédit immobilier - Source :

ACPr - le nancement de l'habitat en 2012 . . . . . . . . . . . . 191.6 Classement relatif à l'assurance des emprunteurs pour le crédit

classique - Source Bilan NA [2014] [8] . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Schéma explicatif du processus de résiliation post loi Hamon . . 21

2.1 Courbes d'indiérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Encodage de u1(.) - Source ABDELLAOUI et GONZALES [2013] [6]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Encodage de u1(.) par la méthode des fractiles - Source : AB-

DELLAOUI et GONZALES [2013] [6] . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Cadre d'étude de l'approche microéconomique . . . . . . . . . . 332.5 Construction itérative de la fonction d'utilité pour un contrat

groupe selon le tarif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Exemple de dendogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7 Étape de construction du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Dendogramme des données simulées . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9 Perception d'un tarif selon le comportement . . . . . . . . . . . 41

3.1 Processus de construction de la base d'exposition . . . . . . . . 453.2 Aperçu de la base d'exposition pour l'étude du rachat . . . . . . 463.3 Âge moyen des assurés par sexe selon le type de prêt . . . . . . 483.4 Répartition par sexe selon le type de prêt . . . . . . . . . . . . . 483.5 Lien entre le capital emprunté et l'âge . . . . . . . . . . . . . . 493.6 Durée moyenne d'emprunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Eectifs selon le type de prêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.8 Fonctions de maintien pour un crédit de 5 ans par année . . . . 613.9 Eectifs par type de prêt selon la durée d'emprunt initiale . . . 623.10 Surfaces de maintien empiriques par type de prêt . . . . . . . . 633.11 Logarithme de l'estimateur de Greenwood pour le crédit immo-

bilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

84

3.12 Logarithme de l'estimateur de Greenwood pour le crédit personnel 653.13 Surfaces de maintien lissées selon type de prêt par Whittaker

Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.14 Surfaces de maintien lissées selon type de prêt par splines . . . . 663.15 Temps d'exécution estimé pour 10 000 simulations . . . . . . . . 703.16 Value at Risk au seuil α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.17 Convergence de l'intervalle de conance . . . . . . . . . . . . . . 733.18 Approximation du montant de PRC . . . . . . . . . . . . . . . . 743.19 Résultats simulation Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.20 Interprétation de la VaR et TVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.21 Taux de rachat anticipé crédit classique par défaut . . . . . . . 753.22 Comparaison de PRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.23 Statistiques descriptives PRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.24 Comparaison analyse de PRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1 Questionnaire - Partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Questionnaire - Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Taux bruts Kaplan-Meier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944 Sortie GLM sous le logiciel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945 Distribution des ratios de PRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

85

Chapitre 4

Annexes

Extrait de la loi 2014-344 du 17 mars 2014 relativeà la consommation - Article 54

[...] Il en est de même lorsque l'emprunteur fait usage du droit de résiliationmentionné au premier alinéa de l'article L. 113-12-2 du code des assurancesou au deuxième alinéa de l'article L. 221-10 du code de la mutualité dansun délai de douze mois à compter de la signature de l'ore de prêt dénieà l'article L. 312-7 du présent code. Au-delà de la période de douze moissusmentionnée, le contrat de prêt peut prévoir une faculté de substitution ducontrat d'assurance en cas d'exercice par l'emprunteur du droit de résiliationd'un contrat d'assurance de groupe ou individuel mentionné à l'article L. 113-12 du code des assurances ou au premier alinéa de l'article L. 221-10 du codede la mutualité. Dans ce cas, l'existence d'une faculté de substitution ainsi queses modalités d'application sont dénies dans le contrat de prêt. ;4o Le sixième alinéa est complété par quatre phrases ainsi rédigées : Si l'emprunteur fait usage du droit de résiliation du contrat d'assurance dansle délai de douze mois à compter de la signature de l'ore de prêt dénie àl'article L. 312-7, le prêteur notie à l'emprunteur sa décision d'acceptation oude refus dans un délai de dix jours ouvrés à compter de la réception d'un autrecontrat d'assurance. En cas d'acceptation, le prêteur modie par voie d'avenantle contrat de crédit conformément à l'article L. 312-14-1, en y mentionnant,notamment, le nouveau taux eectif global calculé, conformément à l'article L.313-1, en se fondant sur les informations transmises par l'assureur délégué dansles conditions xées au septième alinéa du présent article. Lorsque l'avenantcomporte un ou plusieurs éléments chirés sur le coût de l'assurance, ce coûtest exprimé selon les modalités dénies à l'article L. 312-6-1. Le prêteur nepeut exiger de frais supplémentaires de l'emprunteur pour l'émission de cetavenant. ; [..]

86

Enquête sur la résiliation d'un crédit immobilier

Partie I : Information personnelle du sujet

Questions Réponses

Q1.1 Date de naissanceQ1.2 Sexe Masculin FémininQ1.3 ProfessionQ1.4 Statut Célibataire Marié(e) Divorcé(e)

Veuf(ve)Q1.5 Nombre d'enfants àcharge

0 1 2 3 ou plus

Q1.6 Niveau de revenus dé-clarés

<1 SMIC 1-2 SMIC 3-5 SMIC >6 SMIC

Q1.7 Numérotez par ordrede préférence les facteursde décision d'une assurancede prêt immobilier

Tarif : ...Qualité du service : ...Simplicité de la procédure : ...Attachement à votre banque : ...Autres : ...

Figure 1 Questionnaire - Partie I

Partie II : Comportement du sujet en situation

Cette partie nécessite la bonne compréhension de la dénition d'un contratgroupe et individuel en assurance des emprunteurs, ainsi qu'être familier avecleurs caractéristiques qui en découlent.

Suite à l'acceptation, par votre banque, d'un emprunt pour l'achat d'un bienimmobilier, cette dernière vous impose de souscrire une assurance de prêt. Vousavez donc eu l'autorisation d'emprunter la somme de 150 000 euros sur unedurée de 15 ans avec un remboursement mensuel constant basé sur le capitalemprunté initial. Les intérêts sont de 3,5%, soit une mensualité de 1072,32euros.

Vous avez donc le choix de souscrire l'assurance de prêt de votre établis-sement de crédit ou une assurance de prêt individuel dans un établissementextérieur. Les questions qui vont suivre cherchent à déterminer le coût d'op-portunité d'un contrat individuel par rapport au contrat groupe.

Considérez à présent que vous avez choisi de souscrire l'assurance de prêtgroupe rattaché à votre établissement bancaire.

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Exemple Votre mensualité (remboursement du capital, intérêt et assurancecompris) s'élève à 320 euros par mois. A partir de quel montant xe êtes-vousdisposés à quitter le contrat groupe ?Réponse : 300 Cela signie que vous êtes prêts à payer 20 euros supplémen-taires chaque mois pour souscrire un contrat groupe plutôt qu'un contrat indi-viduel, autrement dit vous êtes prêts à basculer vers une ore individuelle si laconcurrence vous propose un prix inférieur ou égale à 300 euros par mois.

Questions Réponses

Q2.1 Votre mensualité d'assurance s'élève à 100 euros.A partir de quelle mensualité êtes vous prêt à quitter lecontrat groupe ?Q2.2 Votre mensualité d'assurance s'élève à 250 euros.A partir de quelle mensualité êtes vous prêt à quitter lecontrat groupe ?Q2.3 Votre mensualité d'assurance s'élève à 350 euros.A partir de quelle mensualité êtes vous prêt à quitter lecontrat groupe ?Q2.4 Votre mensualité d'assurance s'élève à 450 euros.A partir de quelle mensualité êtes vous prêt à quitter lecontrat groupe ?Q2.5 Votre mensualité d'assurance s'élève à 600 euros.A partir de quelle mensualité êtes vous prêt à quitter lecontrat groupe ?

Figure 2 Questionnaire - Partie II

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Whittaker-Henderson en dimension deux

La généralisation de la méthode de Whittaker-Henderson en dimension 2conserve la même approche. Le lissage s'eectue cependant sur deux axes maison retrouve toujours, comme pour le cas unidimensionnel les critère de délitéet de régularité.

On dispose des estimations des taux bruts q = (qij)1≤i≤p,1≤j≤q et le critèrede délité se dénit de la façon suivante :

F =

p∑i=1

q∑j=1

wij(qij − qij)2 (1)

Le critère de régularité horizontale Sv s'écrit comme suit :

Sv =

q∑j=1

p∑i=1

(4zqij)2 (2)

où 4 est l'opérateur diérence déni comme 4f(x) = f(x + 1) − f(x) etz est représente l'ordre de la diérence avant selon la dimension verticale. Demanière analogue on calcule Sh : le critère de régularité horizontale.

On pose ensuite le problème de minimisation suivant :

M = F + α× Sv + β × Sh (3)

α et β témoignent de l'ampleur accordée aux critères de régularité horizon-tale et verticale. La solution du problème d'optimisation est la suivante :

q∗ = (w∗ + α(Kvz )′Kv

z + β(Khy )′Kh

y )−1w∗u (4)

Le but est de se ramener au cas unidimensionnel en passant par le vecteuru de taille p× q tel que uq(i−1)+j = qij. Successivement les lignes de la matricedes données brutes sont transposées et mises les unes autres après les autrespour former un vecteur tel que :

u[q(i− 1) + j] = qij (5)

avec 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ q.

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w∗ est une matrice diagonale de taille pq×pq. Successivement les poids sonttransposée et mis les uns après les pour former la diagonale. La transformationpermettant le passage de w à w∗ est :

w∗(q(i− 1) + j, q(i− 1) + j] = wij (6)

avec 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ q.

Kzv est une matrice dont la dimension est (p−z)q×pq, formée des coecients

binomiaux d'ordre z.

Kyh est une matrice dont la dimension est (q−y)q×pq, formée des coecients

binomiaux d'ordre y.

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Modèles linéaires généralisés (GLM)

Les GLM ont pour but d'exprimer l'espérance d'un variable réponse Y enfonction d'une combianaison linéaire des variables explicatives. Les modèlessont caractérisés pas trois composantes, à savoir la distribution, le prédicteurlinéaire et la fonction lien.

La distribution est la composante aléatoire du modèle et identie la distri-bution de probabilités de la variables à expliquer. Soient n variables aléatoiresYi, i = 1, ..., n indépendantes admettant des distributions issues de la familleexponentielle dont leurs densités peut s'écrire sous la forme suivante :

f(yi, θi, φ) = exp

(yiθi − v(θi)

u(φ)+ w(yi, φ)

)(7)

Cette formulation permet d'écrire la plupart des lois usuelles sous la mêmeforme suivant des paramètres. Le paramètre θ est appelé paramètre naturel dela famille exponentielle. Pour certaines lois, la fonction u est de la forme :

u(φ) =φ

wi(8)

où wi sont les poids des observations, xés à 1 pour simplier. φ est appeléparamètre de dispersion ou paramètre de nuisance. L'expression de la structureexponentielle se met alors sous la forme canonique en posant :

Q(θ) =θ

wi(9)

a(θ) = expv(θ

φ (10)

b(y) = expw(y, φ) (11)

On obtient :

f(yi, θi) = a(θi)b(yi)expyiQ(θi) (12)

Le prédicteur linéaire est la composante déterministe et représente lesvariables déterministes explicatives du modèle Xi.Soit β un vecteur de p paramètres tel que :

η = Xβ (13)

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La fonction lien est la troisième composante du modèle et exprime unerelation fonctionnelle entre la composante aléatoire et le prédicteur linéaire.Soit µi = E(Yi), i = 1, ..., n, on pose

η = g(µi) , i = 1, ..., n (14)

où g, appelée fonction lien, est supposée monotone et diérentiable. Cecirevient donc à écrire un modèle dans lequel une fonction de la moyenne ap-partient au sous-espace engendré par les variables explicatives :

g(µi) = x′iβ , i = 1, ..., n (15)

La fonction lien qui associe la moyenne µi au paramètre naturel est appeléefonction lien canonique. Dans ce cas

g(µi) = θi = x′iβ , i = 1, ..., n (16)

Pour le cas gaussien (utilisé dans notre étude), la densité d'une loi normaleN (µi, σ

2) s'écrit :

f(yi, µi) = exp−1

2

µ2i

σ2exp−1

2

y2iσ2− 1

2ln(2πσ2)expyi

µiσ2 (17)

La famille gaussienne se met sous la forme canonique avec θi = σ2 et l'iden-tité comme fonction de lien de telle sorte que :

θi = E(Yi) = µi (18)

Estimation

L'estimation des paramètres β est calculée par le maximum de vraisemblancedu modèle en exprimant les moments d'ordre 1 et 2 satisfaisant les conditionsci-dessous :

E(∂l

∂θ) = 0 (19)

E(∂2l

∂θ2) = E(

∂l

∂θ)2 (20)

où l est la log-vraisemblance du modèle. Des conditions ci-dessus, on peuten déduire que :

E(Yi) = µi = v′(θi) (21)

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et comme

Ev′′( θiu(φ)

) = EYi − v′(θi)

u(φ)2 =

V ar(Yi)

u2(φ)(22)

On obtient alors V ar(Yi) = v′′(θi)u(φ).

Les équations de vraisemblance sont non linéaires en β et la résolution re-quiert des algorithmes itératifs dans lesquelle interviennent le Hessien (Newton-Raphson) ou la matrice d'information (Scores de Fisher).

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Sorties Logiciels

Figure 3 Taux bruts Kaplan-Meier

Figure 4 Sortie GLM sous le logiciel R

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Figure 5 Distribution des ratios de PRC

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