MÉMORIAL DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

PIERRE HUMBERTFonctions de Lamé et fonctions de MathieuMémorial des sciences mathématiques, fascicule 10 (1926)<http://www.numdam.org/item?id=MSM_1926__10__1_0>

© Gauthier-Villars, 1926, tous droits réservés.

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MÉMORIAL DES

SCIENCES MATHÉMATIQUES PUBLIÉ SOUS LE PATRONAGE DE

L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE PARIS DES ACADÉMIES DE BELGRADE, BRUXELLES, BUCAREST, COÏMBRE, CRACOVIE, KIEW,

MADRID, PRAGUE, ROME, STOCKHOLM (FONDATION M[TTAG-LEFFLER), ETC.

DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE, AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVANTS.

DIRECTEUR ;

Henri VILLAT Correspondant do l'Académie des Sciences de Paris •

Professeur à l'Université de Strasbourg.

FASCICULE X.

Fonctions de Lamé et Fonctions de Mathieu, Par PIERRE HUMBERT,

Professeur à la Faculté des Sciences de l'Université de Montpellier.

PARIS GAUTHIER-VILLAKS ET Cie, ÉDITEURS

LIBRAIRES DU BUREAU DES LOXGITUDKS, DE L'ÉCOLE POLYTBCHNIQUB

Quai des Grands-Augustins, 55.

1926

A V E R T I S S E M E N T

La Bibliographie est placée à la fin du fascicule, immédiatement

avant la Table des Matières.

Les numéros en caractères gras figurant entre parenthèses dans

le courant du texte renvoient à cette Bibliographie.

FONCTIONS DE LAMÉ

FONCTIONS DE MATHIEU Par M. Pierre HUMBERT,

Professeur à la Farullé des Sciences de l'Université de Montpellier.

AVAINT-PROPOS.

Je n'ai cherché, dans ce fascicule, qu'à exposer brièvement les propriétés fondamentales des fonctions de Lamé et de Mathieu, ren­voyant parfois le lecteur a des ouvrages plus complets, pour certaines démonstrations trop longues ou délicates. On ne trouvera pas ici de théorie générale des équations à quatre singularités, ni même des équations à coefficients périodiques ou doublement périodiques; de telles études auraient grandement dépassé mon but. J'espère néan­moins avoir résumé ou indiqué d'un mot tout ce que Ton connaît d'important sur les cas particuliers considérés. Je n'ai pas craint d'insister sur les généralisations des fonctions étudiées : c'est vers elles en effet que peuvent surtout se tourner à présent les chercheurs.

En ce qui concerne les fonctions de Mathieu, il m'eût été impos­sible d'en faire un exposé complet sans les nombreux renseignements que m'ont aimablement communiqués mes amis et correspondants britanniques, à qui j'adresse mes remerciements : en premier lieu, M. Whittaker, mon ancien professeur à l'Université d'Edimbourg, le père de la théorie moderne des fonctions du cylindre elliptique; puis MM. E. Lindsay Ince, de l'Université de Liverpool, et E. G. G. Poole, d'Oxford.

Le travail aride de la bibliographie m'a été rendu facile par la collaboration d'un de mes étudiants de Montpellier, M. Jean Becqué; je suis heureux de l'en remercier ici.

PIERRE HUMBERT.

Peu de points restent à l'heure actuelle obscurs, dans la théorie des équations différentielles du type fuchsien, admettant trois singula­rités régulières, c'est-à-dire se rattachant à la fonction P de Ricmann et à ses confluences. On ne saurait en dire autant des équations du même type à quatre singularités. La forme la plus simple à laquelle on puisse réduire ces équations est la suivante, indiquée par Karl He t in ( l ) :

x(x — \) (x — a)y" -h [ioi -h [3 -\-\) xn- — (a -4- (3 -+- ay + aS + i) x -\-i*(\y'

-r-ap(*— q)y = o,

les points singuliers étant o, i, a et co, avec les exposants respectifs o, i —y; o, i — S ; o, 7 + S — a — p ; a, p.

On désigne par V(a, q} a, [3, y, S; .r) l'intégrale régulière au voisi­nage de l'origine, et correspondant à l'exposant zéro. De cette équa­tion générale, l'équation de Lamé est un cas particulier; celle de Mathieu un cas de confluence. Ce sont les seules de ce type dont les solutions aient fait l'objet d'études poussées. L'intérêt de ces deux équations spéciales provient du fait qu'on les rencontre, comme nous le verrons, dans d'assez nombreuses applications, en particulier dans des problèmes de potentiel, point qui les rapproche des équations du type hypergéométrique.

La curieuse remarque suivante a d'ailleurs été faite par Klein (79) et Bôcher (80) que toutes les fonctions jouant un rôle en Physique mathématique satisfont à l'une ou à l'autre des équations différen­tielles que l'on obtient par confluence à partir de l'équation la plus générale à cinq singularités. Désignons en effet par a, , . . . , ati les cinq points singuliers, et faisons-les confluer de toutes les manières possibles : nous obtenons des équations à quatre singularités ou moins, dont nous indiquons ci-dessous les noms et les applications.

i°fl4 = «5- Equation de Lame (fonctions de Laplace pour Vellip­soïde) ;

2° a$ = a-t = a:i. Equation de Mathieu (fonctions du cylindre elliptique)]

3° a2~ «3 ; a.i = a6. Equation de Riemann-Gauss (fonctions spheriques, coniques, loroïdales))

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU. 5

4° a2 = a* = a.s = a.t. Equation de Weber (fonctions du cylindre parabolique)]

5° at = a2, a,i = a = a/t. Equation de Besstd (fonctions du cylindre circulaire)]

6° #, = a2 = a:ï = ak = a,i. Equation de StoAes (qui se ramène au cas précédent).

Divers fascicules du Mémorial sont consacrés à l'étude des fonc­tions satisfaisant aux équations des quatre derniers types; nous consi­dérons dans celui-ci les fonctions de Lamé et de Mathieu.

FONCTIONS DE LAME.

Historique de la question.— Introduites par Gabriel Lamé (o l ) à propos de la distribution de la chaleur dans un ellipsoïde homogène, les fonctions auxquelles on a dès lors donné le nom de Lamé ont fait l'objet d'un grand nombre d'études. Celles de Liouville et de Heine, indépendantes, mais simultanées, sont les premières en date et comptent parmi les plus importantes. Viennent ensuite les belles recherches de Charles Hermite, continuées par divers auteurs, sur l'intégration de l'équation différentielle à laquelle satisfont ces fonc­tions. Plus près de nous se placent deux groupes distincts de travaux considérables : l\ Klein et ses élèves généralisent les fonctions d< Lamé et les en\isagent d'une façon très nouvelle; Poincaré, Lia-pounov et leurs disciples perfectionnent la théorie en vue de son application au problème de l'équilibre d'un fluide tournant. Enfin M. Whittaker a récemment rattaché les fonctions de Lamé aux équa­tions intégrales.

Divers ouvrages généraux font une large place au sujet qui nous occupe : celui de Todhunter (3), clair mais élémentaire, et celui de Heine (4), trop touffu, ne sont plus à jour. On trouvera l'étude com­plète de l'équation différentielle de Lamé dans Forsyth (2) ou dans Halphen (33) , l'exposition des principales propriétés des fonctions dans les traités sur les figures d'équilibre d'un fluide, de Poincaré (6) on de M. Appell (5). Nous pourrons donc, dans ce qui suit, être assez bref sur certaines démonstrations, qu'on lira ailleurs aisément.

Coordonnées elliptiques. Équation de Lamé. — Nous introduirons

4 PIERRE HUMBERT.

l 'équation de Lamé en écrivant l 'équation de Laplace en coordonnées

elliptiques. Soi t 'un système de quadr iques homofocales représentées

par l 'équation x1 r2 32 _

et soient c, u, v les trois coordonnées elliptiques d 'un point de l 'es­

pace, c'est-à-dire les trois valeurs de À définissant les trois quadr iques

du système, passant par ce point . Nous supposerons

c < v < b < \x<a < p.

On fait souvent c = o ] les formules obtenues sont plus simples, mais moins symétr iques.

Les coordonnées cartésiennes du point considéré sont alors expri­

mées par

, _ y/( p» — a2)( \x* — a*- ) (y* — a 2 )

v / ( a 2 — b*) (a* — c>-)

( i ; i ^ = V^ft- — ^ j ) ' [^ ~ 6 2 j ( y » - 6* )^

j \JK b'1 — dl) ( b- — c2)

( y / (p 2 — c 2 ) (|Jta — c*-) ( y 2 — ç-2)

1 " v/(c"2— «2)(t*2~ 62)

Oii sait d 'autre part que si l 'élément linéaire

ds2 = dx* -h dy* -+- dz*

s'écrit, avec les variables p, JJI, V,

ds"- = A*</p2-h l î 2 ^ 2 + C*^y*,

l 'équation de Laplace

v V d2Y <P\ à*y (AT 2 f / > ' 2 6*3-

prend, avec les mêmes variables, la forme

1 -; ûp \ A d? ) + d{x \ n à.J + 5ï V"c" T,) = °*

Dans notre cas, les coefficients du cls'1 étant

( p 2 — « 2 ) ( p 2 _ £ 2 , C p S _ _ c 2 /

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU. 5

on formera aisément l'équation de Laplace. Cherchons-en une solu­

tion qui soit un produit d'une fonction de p seul par une fonction

de u seul et par une fonction de v seul, soit

B ( p ) M ( | i ) Ni 'y i .

L'équation (2) devient

l\(p) dp \ A ~dj) + °'

ou, remplaçant A, B, C par leur valeur,

d \"v/ip'-ga)(pi-6')(p*-c«)rfR"l

dp L ? d? J - 1 - . . . = 0,

les deux termes non écrits étant semblables au premier, toutes per­

mutations effectuées. Nous écrirons, symboliquement, le signe de

sommation ayant une signification évidente,

(;J, 3 ( t l i _ v i ) v < p * - « ' ) f ? ' - » ' ) ( P ' - * )

d_ f y / ( p 2 — <?2) ( p 2 — &) (p*—c*) dR | _

dp L P <*P J °" X

D'autre part, H et h étant des constantes arbitraires, on a identi­

quement

2AO*-v«;=o f

^ H p i f f i » — v*) = o.

L'équation (3) pourra donc s'écrire

y ( v. ) r y 7 ^ - "' J ( P' - *' ) T p ^ ^ 2 " )

r/p \ p <Yp / l I

Elle sera vérifiée si nous annulons séparément les trois quantités

entre crochets; chacune d'elles d'ailleurs ne dépend que d'une seule

variable. On aura ainsi trois équations différentielles, la première

C) PIERRE HUMBERT.

entre R et p,

y/( p2— a 2 ) ( p 2 - - 62 ;~( p 2 ^ c2") <4)

r v / ( p 2 - a 2 ) ( p 2 - ^ 2 ) ( p 2 - c M ^ l | s 2 + , L p dp J v . / » </p

les deux autres, soit entre M et JJI, soit entre N et v, étant de forme

tout à fait semblable. Une fonction harmonique en coordonnées

elliptiques sera alors le produi t RMN, R, M et N définis par les équa­

tions en quest ion.

Cherchons si ce produi t peut être un polynôme en oc, y, z. Il est

évident, d 'après la forme même des équations ( i ) du changement de

coordonnées , que R (p) devra être , soit un polynôme entier en p2 ,

soit un tel polynôme multiplié par une ou plusieurs des trois quan­

tités y^p2— « 2 , y 'p2—/>2 , y / p 2 — c 2 ; M et N s'en déduisant alors par

simples permutat ions . C'est à de telles solutions de l 'équation (4"),

si elles existent, que l 'on donnera le nom de Fonctions de Lamé.

Or, si l 'on cherche, par subst i tut ion, à quelles condit ions doivent

alors satisfaire le*s constantes arbitraires H et A, on trouve tout

d 'abord, par l 'examen des termes du plus haut degré en p2 , que H

doit être de la forme H = — n(n -+- i),

n étant un entier . Quan t à h, cette quanti té doit a \o i r certaines

valeurs spéciales sur lesquelles nous reviendrons. Admet tant dès lors

que ces diverses conditions soient vérifiées, Véquation différentielle

de Lamé sera

. 5 ) ( p 2 — g-l) ( p 2 _ &2) ( p 2 _ C 2 ) f / 2 R

O2 f /p 2

2p6— ( r t 2 -h& 2 -hc 2 )p ' ' -h r t 2 6 2 c 2 r /R r , , ., , l n -+- -s- - —'-Ï- -7 [n(n^-i)p2-i-h] R = o, p'3 Up

qu 'on pourra encore écrire, en posant p2 = / \

( 6 ) ('• — «*) ( / '— b'2) ( , - - r 2 ) ^

_+_ L [3.,-2 _ 2 ( ci2 -h b'2-h c2 ) r + a2 62 + «4 c2 -+- 62 c2 ] - ^ 'i ' dr

— - [ n ( n -f-1 ) /• H- /* ] R = o. 4

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU. 7

Sous cette forme, on reconnaît une équation à quatre singulari tés.

Faisons en effet (ce qui ne restreint pas la générali té) c = o et b = i ,

une de ses solutions s'écrira, avec la notat ion de Heun ,

h n n + 1 i i -> - y - ; /

/ i ( « + l) 2 2 2 2

Autres formes de l'équation de Lamé. — La présence d 'un poly­

nôme du troisième ordre comme coefficient de la dérivée seconde

suggère l'idée d ' in t roduire les fonctions ell iptiques.

i° Notations de Jacobi. — Faisons c = o, prenons b pour unité

et a (que nous désignerons par k) comme module des fonctions ellip­

t iques ; posons enfin p = /, sn x.

L'équation (5 ) devient alors

(7) LLA — \n (n^- , )/r-$n2x + h] R = o. ' dxl '

2° Notations de \\ eierstrass. — Posons

>lfl*— 62—c2

e\ = 7, •>

_ 2&2 — c 2 — a2

•;.c2 — a2— b'2

e,= 3 ;

considérons la fonction pu définie par

p'u = *\/(pu — ex) (pu — e2) (pU — ez), et soit

« 2 + 6 2 + c 2

P* = » " H 3

L'équation de Lamé s'écrira alors, avec la nous elle variable w,

d2 R — — [/1(/1 + 1) na + /i] R = o.

Dégénérescence des fonctions de Lamé. — Avant d 'étudier les •

fonctions de Lamé elles-mêmes, voyons ce qu'elles deviennent dans

le cas de dégénérescence où, lorsqu 'on fait b = a , les quadr iques du

PIERRE HUMBERT.

système orthogonal primitif sont de révolution. Supposons , pour

simplifier l 'écri ture, c = o. La coordonnée p, qui est comprise

entre a et b, devient égale à ces deux quant i tés . Posons alors p = as,

v = rtcosS, e t , à la l i m i t e , ! / ^ - = coscp. Les coordonnées s, h

et s ainsi introduites sont appelées coordonnées sphéroïdales, et

l 'on a pour les coordonnées cartésiennes les formules de t ransfor­

mation x = as cosÔ,

y = a\/s^ — i sin 6 coscp,

z = a\/si— i sin 6 sin<p.

L'équat ion de Lamé pour R devient

( P 2 - " 2 ) 2 ^7-T + vofo2—a*; ^ - [ / * ( / * + i ) p 2 + A ] R = o, ' dp"2 ' ' dp u L J

ou, avec la variable s,

d* R dR T / , h 1 R

ou encore, avec un léger changement de notat ion,

d r ox dRl r , m» l n

équation des fonctions de Legendre associées, dont une solution est

R = P; ; ' (* ) .

L'équation entre N et v prend une forme analogue, et l 'on en aura

une solution par N = PJi'(cosÔ).

Mais l 'équation en M se simplifie bien davantage et devient

d*M

—— m 2 M = o, t/cp2 '

admettant les solutions M — . m » . sm »

On voit ainsi apparaître un lien de limite entre les fonctions de

Lamé et les fonctions sphér iques . Une nouvelle dégénérescence,

consistant à faire croître a indéfiniment, conduirai t aux fonctions de

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. {)

Bessel. Ces problèmes ont été étudiés de façon approfondie par Hiinlzschel (18) .

Il existe d'ailleurs une relation encore plus nette entre les fonctions de Lamé et les fonctions sphér iques .

Lien avec les fonctions sphériques. — Supposons en effet p con­stant, et faisons correspondre , par la transformation homographique ordinai re , à chacun des points de l 'ellipsoïde ainsi fixé les points d 'une sphère de rayon i. On aura ainsi

x = C / p 2 - « 2 , y = 7j \/p'2-b'2, z = Ç K/p2—c-2

et, sur la sphère , en introduisant les coordonnées polaires,

Ç = cos^, -r) = sin^ cosnr, Ç = sin<LsiriTO.

Si Ton passe maintenant des coordonnées elliptiques p et v aux

coordonnées nouvelles '} et ro, M et N deviendront des fonctions

de ty et Œ; et, si l 'on cherche à quelle équat ion aux dérivées partielles

par rappor t à <]* et GJ satisfait le produit MN, on trouvera l 'équation

. . à r . <J(MN)-| d*-(MN) s m + ^ [ s i n * - 5 f - J + - ^ ^ + » ( # i + i)sin« + .MN = o

qui est celle de la fonction sphér ique Y7I. Le produi t MN, exprimé en '} et rc, est donc une fonction sphérique générale.

Formation des fonctions de Lamé. Leur nombre. — Comme nous

l 'avons vu, nous appelons fonctions de Lamé les solutions de l 'équa­

tion (5) de l 'un des types suivants (appelés classe de la fonction) :

(0 *=.AP2),

(W) \ R = v ,p î=Âî/(p«), R = \ P 2 - c 2 / ( p 2 ) ,

R = v ' ( P , - « , ) ( p , - A f r / ( p 1 ) , Mil) j R = V ' ( p 2 - a 2 ) (p 2 _c 2 ) y (p 2 ) ,

R = v / ( p 2 - ^ ) ( p î _ c î ) / ( p i ) f

(IV) R = v / ( p 2 - « 2 ) ( p ' - - ^ 2 ) ( p 2 - c 2 ) < / ( p 2 / ) J

PIERRE HUMBERT.

/ ( p 2 ) désignant un polynôme dont le degré en p2 est — pour la

classe (I), pour la classe (11), ; i pour la classe (111 ) ou —~— 2 . 2 2

pour la classe (IV). Il n'existe donc de fonctions que des classes (I) et (IH) si n est pair, (II) et (IV) si n est impair.

Nous pourrons dire aussi, passant aux notations de Weierstrass, que les fonctions de Lamé sont les polynômes en pu, multipliés par o, i, 2 ou 3 radicaux de la forme y pu — ea, solutions de l'équa­tion (8). Elles sont donc doublement périodiques en u.

Voyons maintenant comment l'on peut déterminer la constante h pour que les fonctions de Lamé existent. Supposons n pair, et atta­chons-nous aux fonctions de la première classe. Une telle fonction

pourra s'écrire sous forme de polynôme en p2 d ' o rd re - , conte­

nant h i coefficients. La substitution dans l'équation différentielle

donnera un polynôme d'ordre - + i, qui devra être identiquement

nul. Mais nous nous sommes déjà arrangés, en assignant à la constante primitive H la valeur — n(n + î), pour que le coefficient du terme de degré le plus élevé disparaisse de lui-même; il reste donc h i

coefficients à annuler, d'où — \- i équations linéaires et homogènes,

contenant linéairement la constante // : cette constante devra donc

satisfaire à une équation de degré - + i, dite caractéristique, obtenue

par élimination des coefficients entre les •—|-i équations en ques­

tion. Chaque valeur de h donnant naissance à une fonction de Lamé

différente, il existera donc ;—|- i fonctions de première classe.

D'ailleurs, si n est pair, il existera aussi des fonctions de troisième

classe; et le même raisonnement prouvera qu'alors l'équation carac­

téristique est de degré --• A chaque valeur de h correspondra alors

un polynôme / ( p 2 ) , et à chaque polynôme correspondront trois

fonctions R : il y aura donc — fonctions de troisième classe; et par

conséquent, en tout, pour n pair, in + i fonctions de Lamé. On verra que ce nombre est le même quand n est impair; leséqua-

FONCTIONS DE LAAtE ET FONCT1I0INS DE MATHIEU. I I

lions caractérist iques sont alors de degrés n ^ ' pour la classe ( I f ) ,

d'où — - — f o n c t i o n s de cette classe, et ' ~ f pour la classe ( I V ) ,

d ' o ù - - — f o n c t i o n s de classe ( I V ) ; en tout , in-\- \ fonctions de

Lamé.

Exemples des cas les plus simples. — Nous donnerons ici les

valeurs des fonctions de Lamé pour les premières valeurs de n. O n

trouvera ces expressions jusqu 'à n = 10 dans un travail de G. Guer-

ritore ( 1 3 ) . Pour plus de simplicité, nous nous servirons des fonc­

tions ell iptiques, désignant suivant l 'usage par g2 et g 3 les invariants

de la fonction pu :

i° n = \

Trois fonctions, de classe ( 1) :

\ P " — e a (a = i, 2, :i)

2° n = '2

Cinq fonctions de Lamé :

a. Deux fonctions de classe (I ), de la forme

h pu--,

les valeurs de h étant données par l 'équation caractérist ique

A 2 - 3 ^ 2 = o ;

b. Trois fonctions de classe (III) ,

s/ipu—ex) (pu —e$).

3° n = 3

Sept fonctions de Lamé :

a. Une fonction de classe ( I V ) , pu]

b. Six fonctions de classe ( H \

/ ecx. h \ i /

12 PIERRE HUMBERT.

avec l 'équation caractérist ique

/*2— §hev-\- f\ïe\ — i5^ 2 = o.

4° /i = 4

Neuf fonctions de Lamé :

a. Trois fonctions de classe ( I ) ,

p ' „ _ ? A p „ + - 2 - / , . - ^ , ,

équation caractérist ique

/i3 — 52t^2 h + 56o g* = o ;

6. Six fonctions de classe (III),

équation caractérist ique

A2 + io / *^ i — 3 ><?f — 7 -.2 = 0.

Notations. — Poincaré a indiqué (oo) une notat ion à laquelle il

est nécessaire de recour i r lorsqu 'on veut préciser une fonction de

Lamé sans aucune ambiguïté possible. Il faut in t roduire un système

de trois indices, et écrire

R / I V - ( P ) «

Les conventions sont alors les suivantes : on admet tout d 'abord que,

pour simplifier, on fait c = o. Puis :

i° n est Y ordre de la fonction, c'est-à-dire son degré en o.

2° Si R est un polynôme en p2 , ou un tel polynôme multiplié par

y/p2 — c2 , c 'est-à-dire un polynôme en p avec la simplification indi­

quée, on écrira k=\. Si R est un polynôme en p ou en p2 multiplié

par v o2 &2~ 0 Ï 1 fera k = 2] si multiplié par . '02 a2 /• = 3 ; et si

par s ( p 2 — « 2 ) ( p 2 — 62'), A ' = 4 -3° Le dernier indice, /, est choisi de telle façon que, d 'après le

processus de dégénérescence indiqué plus haut , la fonction R • se

confonde pour b = a, avec la fonction sphér ique Pùn. On suppr imera

cet indice lorsque, de ce chef, il ne pourra y avoir ambiguï té .

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU. I 3

Théoriquement parfait, ce mode de désignation des fonctions de Lamé est pratiquement un peu compliqué. Dans les applications, on n'a guère à considérer qu'une seule fonction de chaque ordre : on l'écrira simplement R„.

Néanmoins, d'après une convention adoptée depuis le traité de Poincaré (6), les symboles R,, R2, . . ., R9 s'appliquent aux fonctions d'ordre i, 2, 3 : le tableau ci-dessous indique les valeurs de ces fonctions et la concordance avec les symboles généraux.

Notation Notation Ordre Valeur à 3 ou a indices simplifiée

\ p 2 - a 2 Rf,3 Ri

l p * - & * R,2) R2

[ \ P 2 - c 2 R/ R,

v ( p 2 - c 2 ) ( p 2 - & 2 ) R22 Ri

] V / ( P 2 - C 2 ; ( P 2 - « 2 ) R23 R.

2 \s\j^r^){p2-bT) RU< R,

P 2 - " i , ^ , R,2,2 H:

\ p 2 — a 2 1*2,0 H 3

3 " v / ( p 2 - c 2 ) ( p 2 ~ 6 2 ) ( p 2 - «*) RJ-' R9

Il faut remarquer d'ailleurs que certains auteurs emploient des notations différentes. Heine, et en général les Allemands, préfèrent le symbole E(p) : c'est aussi celui qu'utilise Liapounov, l'affectant d'indices analogues à ceux de Poincaré.

Enfin Darwin (8) , abandonnant complètement la forme ordinaire, qu'il trouve impropre au calcul, et renonçant de parti pris à la symétrie, met deux des fonctions figurant dans le produit de Lamé sous forme de polynômes (dans certains cas multipliés par un radical^ dont les coefficients sont des fonctions sphériques ordinaires, la troisième fonction étant sous forme de polynôme dont les coefficients sont des fonctions circulaires. La complication de cette méthode la rend difficilement assimilable.

Théorèmes sur les fonctions de Lamé. — On trouvera dans les ouvrages généraux la démonstration des points suivants, fort impor­tants, et dont nous avons admis implicitement quelques-uns.

i° Les équations caractéristiques ont toutes leurs racines réelles et distinctes.

l4 PIERRE HUMBERT.

Cependant si les axes de l'ellipsoïde de référence étaient imagi­naires, les équations caractéristiques pourraient avoir des racines doubles; deux des in + i fonctions d'ordre n se confondraient alors. Ce cas a été étudié par Fr. Cohn (17).

2° Le polynôme/(p2) qui figure dans les diverses classes des fonc­tions de Lamé a toutes ses racines réelles, distinctes, et comprises entre c2 et a1.

Il existe d'ailleurs, parmi les polynômes f correspondant à une valeur n paire donnée, un polynôme ayant o racine entre c- et b2

et -en t re b2 et a2] un polynôme ayant i racine entre c2 et 62, et

i entre b2 et a- ; etc. 2 7

3° Propriétés d'intégrales définies. Si l'on désigne par /0 la valeur de la dérivée de u prise suivant la normale extérieure à Pellipsoïde E0

défini par p = p0 (u étant la variable elliptique correspondant à p), on aura la formule

f Ç /0 M ( [JU N (v ) M, CM-) NI (V ) da = o,

l'intégration étant étendue à tous les éléments d& de la surface de l'ellipsoïde E0; M(JJL) et M, (u.) étant, soit des fonctions différentes de même ordre, soit des fonctions d'ordre différent; NetNj les solutions correspondantes en v.

Celte propriété peut s'écrire aussi

/ / (pv — pw) M(>)N(«>) Mi(p) Nl(w)dvdw = o,

v et w étant les variables elliptiques correspondant à j/. et v; les limites de l'intégrale sont

v — « 4ti>' o < — ^ - < — ,

i i

o < w — 10' < 4 <»>•

On aura également, dans les mêmes conditions,

les constantes a, . . ., [3, étant les premiers termes des décompositions

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. l5

eii éléments simples suivants :

[ R « ( p ) ] f = * + Pj>* -+-T.P"" + • • • , [pu R,*(p)]s = tt! + p,ptt + Yi'p/« + . . . .

Ces formules permet tent de calculer les coefficients du développement

d 'une fonction en série de produits MN. Les condit ions de conver­

gence sont les mêmes que celles des développements en séries de

fonctions sphér iques .

Dans un ordre d'idées analogue, Heine ( i ) a développé le poly­

nôme Pn de Legendre en série limitée de produits de Lamé.

Équations intégrales. — M. W h i t t a k e r ( 19) a établi le remarquable

résultat suivant : les fonctions de Lamé, solutions de l 'équation

y" — [/1(/1 + 1) k- s u 2 x + // ] y = o,

sont solutions de diverses équations intégrales dont la plus simple est

j'(x)=}, I (dn x du z + k eux en z )n y ( z ) dz. « - • 0

Il est intéressant de remarquer que le paramètre h ne figure plus dans

cette équat ion intégrale.

Le même auteur a prouvé (20) que les solutions de l 'équation de

Lamé qui sont rationnelles en sn.r sont solutions de l 'équation in té ­

grale »k

y(x) = K / P„(Â su./: 5115)^(3) dz

où Pw est la fonction de Legendre d 'ordre /1.

SOLUTION GÉNÉRALE DE L ' É Q U A T I O N DE LAME.

Fonctions de Lamé de seconde espèce. — O n obt iendra comme à

l 'ordinaire , par la méthode d 'Euler , une seconde solution de l 'équa­

t ion de Lamé : cette fonction connue sous le nom de fonction de

Lamé de seconde espèce, et importante dans la théorie du potentiel ,

est définie par

/*p p do S „ ( p ) = ( 2 / i + i j R w < p ; / — r ' •=

. U R « ( P J ] 2 V ( P 2 - « 2 ) ( P 2 - 6 2 ) ( P 2 - C 2 )

l 6 PIERRE HUMBERT.

ou, avec la variable u,

Lorsque u tend vers zéro, ou p vers l'infini, la valeur principale de

S ; i est p ~ " _ l , alors que celle de R„ est pw.

L ' in t roduct ion et l 'étude de cette seconde solution sont, dues à

Liouville (21) et à Heine (22) . Divers auteurs s'en sont également

occupés. F . Lindemann (26) a développé la quant i té ( s , — z )~* i

où z et z-i sont deux quanti tés réelles quelconques, en série procédant

suivant des produits du type R, i(3)S„.(s , ) ; il étudie aussi d 'autres

développements du même genre, en séries de fonctions de Lamé de

première ou de seconde espèce : les domaines de convergence de ces

diverses séries sont en général limités par des courbes du quatr ième

ordre .

Le rôle fondamental joué , dans le problème de l 'équilibre d 'un

fluide tournant , par des équations où figure le produi t R,*S,/, a amené

les auteurs qui se sont occupés de la question à chercher pour la

fonction S une forme propre au calcul numér ique . Liapounov (27)

donne des expressions où figurent des fonctions symétriques des

racines des fonctions R, ou plus exactement du polynôme / (p 2 ) qui

est attaché à ces fonctions : ces formules sont encore assez com­

pliquées. Celles qu'a indiquées Pierre Humber t (28) sont plus simples :

elles permettent de réduire toute fonction S„ aux fonctions S du pre­

mier ordre . Ainsi , dans le cas où R7i est un polynôme en p, on aura,

en supposant encore c = o,

S,,(p) = B„ (p ) a nn(a) S , ( p ) (2/1 + 1) R „ (p ) R a ( p ) v ' ( p 2 — a 2 ) ( p 2 — 6 2 ) 3 nn(a) v p 2_a2

b Y>n(b) S.2(Q)

3 Hn( b) s/?2_ fc

où B„(p) est le polynôme, de degré en p inférieur à celui de R„,

tel que l 'on ait A „ ( p ) R / i ( p ) + B / i ( p ) R ; i ( p ) = i3

A„(p) étant un polynôme de degré inférieur à celui de Rn. L'applica­

tion de cette formule au cas n = i permet d 'écrire la relation

Si S 2 03 3

R i R-» R3 R9

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 17

Intégration de l'équation différentielle. — De très importants

résultats ont été obtenus par Hermite sur l ' intégration de l 'équation

différentielle de Lamé (29 , 30, 31)

y = [n(n + \)pu + h]y,

dans laquelle on suppose que h n'est plus déterminé par les équations

caractérist iques, mais a une valeur quelconque.

On peut alors satisfaire à l 'équation par une fonction doublement

périodique de deuxième espèce. Prenons en effet y sous forme d 'une

telle fonction, par

• g (" -*-<* | - ) g -„^ ; A i vu.vai i= 1

où les a sont des constantes. De très élémentaires transformations

(décomposit ions en éléments simples, e tc . ) nous montreront que

l 'on a

r" x^ — = n (n + i) pu + (in — i) /kpoj

+ S 2 Pn« ~ PM' X ( " + " ') ~ ^ (" + »' > ~ C "' + » " '•] • 1 ' ' ' P^/ P^/

Si donc nous annulons séparément les coefficients des termes tels

que Ç(M + « ; ) — Ç<7/, nous trouverons (n — i) équations distinctes

entre les in quanti tés pat, p'aL, . . . , qui sont en plus liées par les

n formules fondamentales

p'*ai= $p*ai—gipai—gz.

En y joignant l 'équation

(2/1 — 1) ^ p « / = /i,

on aura déterminé par 2 « é q u a t i o n s les m quanti tés a telles que la

fonction doublement périodique de seconde espèce considérée satis­

fasse à l 'équation de Lamé.

D'ail leurs, si cette fonction est solution, la fonction

n * ( « ' - " ) cMg„,-

<T u. aat

l'est aussi. En sorte que l'intégration complète de l'équation étudiée

l 8 PIKRnE HUMBERT.

pourra s'effectuer par les fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

Ainsi, dans le cas n = i, la solution générale de l'équation

y" ={ipi, -h h)y sera

a (u — a) y a (u -h a) y = c] — e" * '.' + c> — e- " - "

<JU ' ?u

avec pa = II. On trouvera, dans le traité d'Halphen (33), d'importants déve­

loppements sur la recherche pratique des constantes ai dans le cas général. De très nombreux auteurs se sont occupés de la question.

APPLICATIONS DES FONCTIONS DE LAME.

Analyse harmonique. — Les fonctions de Lamé sont, nous l'avons vu, associées à l'ellipsoïde en analyse harmonique : leurs applications sont donc nombreuses; elles s'introduiront dans tous les problèmes où l'on rencontre, conjointement, l'équation de Laplace et les ellipsoïdes.

Divers auteurs anglais ont, à la suite de Darwin (47), considéré les fonctions de Lamé surtout à ce point de vue de l'analyse harmonique : on peut citer à ce propos les travaux de Niven (48), de Dixon (49), de Hargreaves (oO); comme conséquence des équations intégrales indiquées plus haut, M. Whittaker (20) donne d'une fonction harmo­nique générale sur l'ellipsoïde l'expression

l,„ ( .r, y, z) = k P„ ( '-jj- I \\„ (/) dt. «- o * /

Distribution de la chaleur. — Ce sont, nous Pavons dit, les recherches sur cette question qui ont été le point de départ de toute la théorie. Divers Mémoires de Lamé sont consacré* à ce problème, en particulier à l'équilibre des températures à l'intérieur d'un ellipsoïde homogène dont la paroi extérieure est maintenue à des températures fixes, mais variables d'un point à un autre (o l -5 i ) .

Figures d'équilibre d'une masse fluide homogène en rotation. — C'est l'application la plus importante des fonctions de Lamé, celle

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 19

qui a conduit aux plus belles découvertes. On en trouvera Fexposé complet, avec une abondante bibliographie, dans l'ouvrage de M. Appell (o). Nous serons donc très bref sur ce point (5o-60).

Si E0 est un. ellipsoïde correspondant à la valeur p0 du paramètre p, soient (R/)„ et ( S/)0 les valeurs connues que prennent sur cet ellipsoïde les fonctions de Lamé de première et de seconde espèce Rt et S/. On démontre alors que le potentiel intérieur de cet ellipsoïde, supposé homogène et de volume T, est donné par la formule

v _ _ 1 fLËiiïï *. + (Ai° y . + ^ 1 . ~ 2 LvRi)o (K2)o r (»Vo J

Si l'ellipsoïde tourne autour de l'axe des x, avec une vitesse angu­laire 10, pour qu'il soit une figure d'équilibre, il faut que Féquation de sa surface soit identique à l'équation

w2

V + — ( 7 2 + z'2 ) = const.

On peut alors, avec Poincaré, déformer l'ellipsoïde en équilibre en lui ajoutant une couche infiniment mince, d'épaisseur tantôt positive et tantôt négative, dont le volume total est nul, et chercher si la nou­velle surface obtenue est une surface d'équilibre. Les résultats de cette discussion appliquée aux ellipsoïdes à trois axes inégaux, dits de Jacobi, sont les suivants (nous laissons de côté le cas des ellipsoïdes de révolution ou de Maclaurin qui se traite par les fonctions sphé­riques ) :

i° Il existe des figures d'équilibre non ellipsoïdales, infiniment voisines de certains ellipsoïdes de Jacobi, dits critiques.

20 Les axes d'un ellipsoïde critique doivent satisfaire aux équations de Poincaré

Ri Si R2 S2 R// Sn

où R„ est une fonction d'ordre n, qui n'est divisible ni par y p2 — c2, ni par y/p2 — b2, et dont tous les zéros sont inférieurs à b2. On doit prendre n ^ 3 .

3° La surface d'équilibre (ou surface de Poincaré) infiniment voi­sine de l'ellipsoïde critique correspondant à R7l s'obtient en portant sur la normale à cet ellipsoïde, en chaque point défini par les deux coordonnées u. et v, une longueur dont la valeur est, en première

2 0 PIERRE HUMBERT.

approximation,

\ " ( P 1 - f * i ) ( ? 1 - v * )

où e est une constante arbitraire, dont on néglige le carré.

On lira dans un autre fascicule du Mémorial les conséquences cosmogoniques que l'on a cru pouvoir tirer delà découverte de Poin­caré.

Problème de Roche. — Dans un ordre d'idées voisin, les fonctions de Lamé s'introduisent dans le problème, posé et résolu par Edouard Roche, de la forme et de la stabilité d'un satellite liquide au voisinage de sa planète; en employant des méthodes partiellement graphiques, Roche a fixé la limite à laquelle peut descendre le rayon de l'orbite d'un satellite infiniment petit à 2,44 rayons équatoriaux de la pla­nète (61). Darwin a repris la question de 1res près, par l'analyse harmonique, a vérifié l'exactitude des résultats de Roche, et a généra­lisé le problème en introduisant l'action des marées (62). Schwarzschild a apporté aussi une contribution à cette étude (63).

Géométrie. — Plusieurs problèmes de géométrie conduisent à l'équation de Lamé (64 bis). Ainsi la recherche de surfaces, non de révolution, admettant un système de lignes de courbure planes, et pouvant être divisées en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure, mène à l'équation pour le cas n = -i. Le problème de Pla­teau, surfaces minima passant par un contour fermé donné, conduit au cas où n est quelconque. Enfin l'équation de Lamé, et d'autres analogues mais plus générales, ont été rencontrées par Darboux (64) dans la recherche de surfaces ayant une représentation sphérique donnée, et par M. Henri Villat (65) dans le problème de la représen­tation conforme d'un domaine plan doublement connexe sur une couronne circulaire.

* Problèmes divers de dynamique. — On est conduit, comme l'a

indiqué Hermite (66), à l'équation de Lamé où n est égal à i et h quelconque, dans les problèmes de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'existe point de forces accélératrices, et de la détermination de la figure d'équilibre d'un ressort; et à la même équation pour n = i dans la théorie du pendule sphérique.

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 21

La recherche de certains mouvements tourbillonnaires des fluides conduit également au cas le plus général (65). Enfin un cas particulier de l'équation a été rencontré dans la théorie des perturbations (07).

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES DES FONCTIONS DE LAMÉ.

Fonctions de Lamé dans le plan. — Le problème des figures d'équi­libre d'une masse fluide en forme de cylindre elliptique indéfini, tournant autour de son axe de figure, conduit à un problème plan, qu'a traité M. Globa-Mikhaïlenko avec les méthodes de Poincaré (68). Il a pour cela défini des fonctions de Lamé dans le plan, solutions de l'équation de Laplace à deux variables en coordonnées elliptiques planes. Ces fonctions se réduisent, par un changement de variables approprié, à des fonctions circulaires ou hyperboliques. Les résultats obtenus sur les figures cylindriques à base infiniment voisine d'une ellipse avaient déjà été signalés par- M. Jeans, qui avait suivi une voie différente.

Fonctions du cône elliptique. — Étudiées par E. Hobson (70), elles jouent le rôle de fonctions harmoniques pour un cône elliptique. Si l'on introduit les trois coordonnées correspondantes r, JJL et v, l'équa­tion de Laplace admettra la solution

\ r c o s

où A satisfait à l'équation

+ (6 2 +a 2 ) a + (p*+L\ JJL2 A = o,

qui n'est autre que l'équation de Lamé, où l'indice n serait remplacé

par — --\-ip. Les fonctions du cône elliptique sont donc des fonc­

tions de Lamé à indices imaginaires, tout de même que les fonctions,

coniques ordinaires sont des fonctions de Legendre à indices imagi­

naires.

Lorsque les axes a et b deviennent égaux et le cône de révolution,

PIERRE HUMBERT.

A se réduit à un sinus ou à un cosinus, et B à la fonction conique de Mehler.

Fonctions de Lamé-Wangerin. — Une nouvelle généralisation de l'équation de Lamé s'obtient lorsqu'on cherche les fonctions de Laplace pour des cyclides de révolution. On est alors amené à une équation différentielle identique à celle de Lamé, mais où l'entier n est remplacé par un paramètre égal à la moitié d'un entier impair. C'est donc exactement le fait qui se produit pour l'équation de Legendre, quand on passe des fonctions sphériques aux fonctions toroïdales. Ce résultat ayant été signalé par A. Wangerin (71), cer­tains auteurs ont proposé de donner à l'équation différentielle consi­dérée et aux fonctions qui s'y rattachent le nom de Lamé-Wangerin, réservant pour le cas ordinaire le nom de Lamé-Hermite.

Fonctions de Lamé généralisées. — F. Klein (75-79) et ses disciples ont obtenu d'importants théorèmes sur des équations analogues à l'équation de Lamé, mais admettant m singularités finies. Si l'on désigne par eK, . . ., em les m points singuliers, et si l'on pose

f (x) •= (x — ex).. .(x — em),

le type le plus général de ces équations sera

ou, en introduisant la variable hyperelliptique,

d2y f m — 4 -i

les nombres arbitraires a, b, ..., I recevant le nom de paramétres accessoires.

Le cas m = 4 conduit simplement à l'équation

d'y

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 2 ^

de sorte que v s'\ exprime par des fonctions circulaires de la variable elliptique /.

r\ i - i l , n - t- • m in

Dans le cas grnrral, les exposants a 1 muni sont — et — — i ; si Xi

nous introduisons des variables homogènes en posant x = — > ces O 1 ,T 2

exposants dépendront o et i. Posons alors

' " - i y = x£' Y (xy, x.2), 2

ni

4 F sera une fonction homogène, de degré i ? que Klein appelle

4

Forme de Lamé. Elle satisfait à une équation aux dérivées partielles que l'on obtiendra facilement, et qui, si l'on pose

s'écrira

= x\ (ad>™-* + bx'»-***-*-...-*- /a-J'-^F,

ce qui peut, en utilisant le théorème d'Euler sur les fonctions homo­gènes, être mis sous la forme

'11 ^ T - _ , ')if (>ip | *fàl* = w ' f / n - 4 ) f t t g „ , - t +_ + /«m-*) F.

/Àr| d r { ' ÔT\Ô3Cx dxi<)xi ()x'\ t)x\ l\ l 2

Le premier membre est un covariant connu, que l'on a l'habitude d'indiquer par le symbole (/, F ) 2 ; et le second membre est le pro­duit de F par une fonction rationnelle entière générale de xt et x2, de degré m — 4i que l'on désignera par vm_>i. L'équation de Lamé généralisée prend alors la forme symbolique très simple suivante :

(fin* F ( „jNj = F i

La propriété qu'elle exprime pourrait, d'après Klein, être prise comme définition des formes et des fonctions de Lamé générales.

Les travaux les plus remarquables de l'école de F. Klein se rapportent à la question suivante : combien les fonctions considérées admettent-elles de racines dans chacun des intervalles e,, e /+1 ? Dans le cas m = 4, où il n'y a qu'un seul paramètre accessoire, la réponse est fournie par les classiques propositions de Sturm; la courbe représen-

2 4 PIERRE HUMBERT.

tative de la fonction, dans les intervalles où / est réel, oscille comme une sinusoïde. Pour m = 5, l 'équation étant

le théorème fondamental de Klein, qui a donné lieu à toute une l i t té­

ra ture de thèses (80-88) , est le suivant : les deux paramètres

accessoires peuvent être déterminés (et d 'une seule manière) de

façon qu'il existe une solution particulière yx qui , dans un intervalle

arbi traire pt j>2 de l'axe des x, effectue/; demi-oscillations, c'est-à-dire

s 'annule p fois, et une autre solution r 3 qui , dans un autre inter­

valle q{c/2, effectue q demi-oscil lat ions; les deux solutions s 'annu-

lant d'ailleurs respectivement aux extrémités des intervalles.

Ce cas m = f> est fort impor tant , car l 'équation correspondante

s ' introduit d'elle-même lorsqu 'on é tud ie , en coordonnées penta-

sphér iques , l 'équation du potentiel pour des volumes limités par

des cvclides quelconques. On l i ra , dans un ouvrage capital de

M. Bôcher (80 ) , tous les renseignements sur cette théorie, ainsi que

son extension à l 'espace à un nombre quelconque de dimensions.

Dans un cas de dégénérescence, les fonctions envisagées se réduisent

à celles de Lamé-Wanger in , pour lesquelles le théorème des oscilla-

lions est dès lors valable.

Fonctions de Heine. — Étant donnés deux polynômes quel­

conques A(x) et B ( # ) , dont les degrés sont respectivement p + î

et/>, considérons l 'équation différentielle

A (x)f--r- 2R (x)y' + G (x)y = o,

où C est un polynôme de degré p — i au plus. Il existe toujours cer­

taines déterminat ions particulières de C telles que l 'équation admette

comme intégrale un polynôme de degré m donné . Cette propr ié té

est le fondement de la théorie des fonctions de Lamé, généralisées

par Heine (89 -90 ) . D 'une façon générale , on appelle Fonction de

Lamé de première espèce, d 'ordre p et de degré m, une fonction

entière de degré m, satisfaisant à l 'équation différentielle

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. ^5

u étant une variable hyperel l ipt ique définie par

, i dz du = •?

où ' i ( s ) est un polynôme donné d 'ordre p + i , et '«?(*) étant un

polynôme d 'ordre p — i qui doit satisfaire à certaines condit ions. Le

nombre des fonctions de Lamé correspondant à des valeurs données

de m et p est ( m + i ) . . . ( m + p — 2 ) . . i / 1 , ) , i'2,n + /> - O-

Ces fonctions, dont Stieltjes a étudié les racines (91), s ' introduisent

clans la théorie du potentiel pour des systèmes orthogonaux d 'hypcr-

quadr iques , dans l 'espace à p + i dimensions. Elles se réduisent,

pour /y = 2 , aux fonctions de Lamé proprement dites, et, dans un

cas particulier, aux fonctions de Gegenbauer .

Équations plus générales . — En même temps que l 'équation de

Lamé, Hermite a considéré les trois équations suivantes, plus géné­

rales, où n et v sont des entiers , et où l'on suppose /*^v (93) :•

d'2}' . , . , sn.r c.nx dy _ . , . . . „ . ,

d'2y . vnx c\i\x dy . . . , -j^z — 2(v + i; -+- = [m — v) (n + v + n A2sn2a? + A j .

Elles s ' intègrent , comme l 'équation de Lamé , par les fonctions

doublement périodiques de seconde espèce. Leur étude a été faite

par Brioschi (94-^6) et par Elliot ( 97 ) . Par un changement d'in­

connue , la première de ces trois équations peut s'écrire

—, \ h + n ( n + i) k2 sn2 x + ni ( m — i ) —-—-— \ z = o. dx'2 L tln2# J

Sous cette forme, elle a pour solutions les fonctions appelées Fonc­

tions de Lamé associées, j ouan t par rappor t aux fonctions de Lamé

ordinaires le rôle que jouen t les fonctions associées P,'" de Legendre

par rapport aux polynômes Pn. l'a. Ince a indiqué une équat ion in té­

grale à laquelle satisfont ces fonctions (100) .

^ PIERRE HUMBERT.

Darboux intègre par la méthode d'Hermite l'équation

</*• - ^ L ~ ^ ^ ~ + en» g d n l *

H- dn2,r ^sn»^ + w(/i + i)A-.sn.a- + A|

qu'il a rencontrée dans un problème de géométrie (99), et M. de Sparre étudie l'équation plus générale encore (98)

'HZ -L- L,. ^2sn^cn37 snardnar cnxdnxl dy dx* + L" dn* + av ' - 5 T F - - ^ 2 -^x—\ Tx

^ 7 [ Slib ( ^ " Vt) (^a + V* + 0 + ^ ^ (/«!--V, )(/1, + 7, + 1) /f2 en2 .r

+ " J» Ï Ï5" ( | ? I " " V ^ / I l + V + I)

-+ A 2 sn2^( , i H_ v + v , + v,) (/? — v— v , — v 2 + i ) + h\ .

M. Whittaker (101) rattache à la théorie des équations intégrales une équation différentielle à quatre singularités dont une solution, écrite avec la notation de Heun, serait

Enfin A. Markov établit divers théorèmes (séparation des racines, etc.) sur certaines fonctions introduites comme déno­minateurs des réduites successives dans le développement en fraction continue d'une intégrale très générale, et qui comprennent les fonc­tions de Lamé comme cas particuliers (102).

FONCTIONS DE MATHIEU.

Historique. — Comme les fonctions de Lamé, dont elles sont un cas limite, les fonctions de Mathieu s'introduiseat dans la théorie du potentiel : elles jouent le rôle de fonctions harmoniques pour un c>lindre droit à base elliptique. Mais c'est en étudiant le problème des vibrations d'une membrane elliptique qu'Emile Mathieu a été conduit à leur équation différentielle. Heine et, après lui, un très grand nombre d'auteurs allemands, ont cherché quelles pouvaient être les propriétés des solutions de cette équation, qu'ils appelaient

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 27

équation du cylindre elliptique; mais ils n 'ont pas obtenu de résul­

tats bien intéressants ; nous ne les ment ionnerons que pour mé­

moire (104-1 l i ) . Ce n'est que beaucoup plus tard que M. E. T . W h i t -

taker (119) trouva l 'équation intégrale à laquelle satisfont toutes

les solutions périodiques de cette équation différentielle, découverte

fondamentale, qui a suscité de nombreux travaux de l'école br i tan­

nique contemporaine , et qui a rejeté dans l 'ombre presque tout ce

qu i avait été fait auparavant, si ce n 'est les belles recherches de Lin-

demann sur la solution générale de l 'équation.

La théorie des fonctions de Mathieu, dont les applications p h y ­

siques, mécaniques et as t ronomiques sont assez nombreuses , ne se

t rouve exposée, sous cette forme nouvelle, que dans quelques pages

de Modem Analysis, de MM. Whi l t ake r et Wat son (117) ; elle est

bien peu connue , sur tout en F r a n c e , et ne doit pas être regardée

comme définitivement fixée.

Équation différentielle de Mathieu. — P r i v o n s l 'équation de

Laplace dans le changement de variables suivant, qui introduit des

cyl indres droits ayant pour base des coniques homofocales :

X = C<>s£ C i l Y;,

y = sinÊ-slir,.

O n trouve 02V (T-IJ . , , > 2 U

^ + 7 v + , c , 1 T | " c o s S ) ^-et, si l 'on en cherche des solutions de la forme

U = X(È) Y (r,;*'•*=,

on obtient pour X et \ les équations, où A est arbitraire :

_ + (A + /i«cos*Ç)X = o, d¥

dr? (A •+ /«ch-2-rJ Y = o,

q u ' u n changement de variables évident ramènera l 'une à l 'autre .

O n donne le nom à?équation de Mathieu à l 'équation

( I ) '-j-=Ç + (A + /:*cos2.2?)7 = o

28 PIERRE HUMBERT.

ou (le changement de notation avant pour but de la rendre plus maniable)

dzy ( " ) —r^ + (a + iG q C0S2. r ) j = o,

avec k = \/3iq.

La recherche des fonctions de Laplace pour le système orthogonal de paraboloïdes

/9 -H A q + A

conduit à la même équation différentielle.

Fonctions de Mathieu. — Les applications physiques de l'équation conduisent à considérer spécialement ses solutions périodiques, de période 27c. Pour que de telles solutions existent, il est nécessaire, d'après la théorie générale des équations à coefficients périodiques, que les constantes a et q soient liées par une relation, d'ailleurs com­pliquée. Nous admettrons toujours que q est considéré comme donné, et nous supposerons que a est choisi, en fonction de q, de telle sorte que l'équation admette des solutions périodiques. Ainsi, dans l'équa­tion de Lamé, supposions-nous la valeur du paramètre h fixée de telle sorte que l'équation admette des solutions du tv pe R„.

Dans le cas particulier où q == o, l'équation de Mathieu se réduit à

et l'étude de ce cas de dégénérescence va jeter-quelque clarté sur le problème général. L'équation (III) admet une infinité de solutions périodiques, obtenues en donnant à a l'une des valeurs i2 , i-, . . . , m2, . . . ; e t ses solutions périodiques correspondant à a = m- sont cosmx elsinmx. On appellera Fonction de Mathieu d'ordre m , toute solution périodique (de période nz) de l'équation ( I I ) , se réduisant, lorsque q = o (ela = ni'1), à cosmx ou à sin/>?.r. On dési­gnera par cem(x, q), ou plus simplement par cem(x) une fonction de Mathieu paire eii x, et se réduisant pour q = o à cosmx; par sem(x, q) ou plus simplement sem(x), une fonction impaire se rédui­sant à s'mmx; en supposant, ce qui achève de les déterminer, que, dans leurs développements respectifs en série de Fourier, les coeffi­cients de cosmx ou de sin//?tr soient égaux à l'unité.

FONCTIONS DE L U l É I.T FONCTIONS DE MATHIEU. 2 9

Il peut ainsi exister quatre formes différentes pour les fonctions de

Mathieu, dont les développements sont des types suivants :

a

I celn ( x. q) — y ^ ^ c o s - j / ' . r ,

ce.-},,-^! ( .r, y " ) = > a# .cos(2/' + i ) ^ , ( IV) ' ' **

1 se.ln ( .r, y ) = \ /;,. sin 2/\r,

se 2 / i -M ( . r , 7 ) = ^ 8 , . ^ 1 1 ( 2 / - + 1 )./•.

Un problème vient ici se poser naturel lement : dans le cas de dégéné­

rescence q = o, à la même valeur de r/, = //?- correspondent deux solu­

tions pér iodiques, cos/??.r et s i n m r , formant un svstème fondamental .

Peut-i l de même, pour des valeurs convenablement choisies de q et

de a, exister s imultanément deux fonctions de Mathieu? On.a long­

temps pensé qu' i l pouvait en être ainsi, et que l 'équation de Mathieu

admettait , au moins dans certains cas, pour les mêmes valeurs de q

et de a, une solution du type ce et une solution du type se. M. Ince

a montré récemment qu'i l n 'en était rien, par un raisonnement simple

et élégant que nous reproduisons, en nous bornant à considérer le

cas où m est impair ; le cas m pair se traiterait de façon identique (120).

Supposons que l 'équation de Mathieu soit satisfaite s imultanément

par C(?oWf,(.r, q) et par se.ln+x(x, q). En portant dans cette équation •

les séries ( I V ) , on trouve entre les coefficients les relations

( a — I + 8 q ) a0 + X q a, = o,

[(2/;-+- i ) 2 — a] y.p= 8 (7 (2 , ,+!+ * y , - i ) ,

((l _ , _ Sq) Po+St fP i^ o,

[(•ip-hi)*— a] $p= 8 7 ( p / l + l + [},,_, ».

Nous excluons a priori le cas de dégénérescence où q est nul et a

égal au carré d 'un entier impai r ; on voit alors que tous les coeffi­

cients a et [3 sont finis, et que a0 et [30 n e peuvent être nuls . Mais de

ces relations, on tire, quel que soit p,

7P+-\

$P fil* H 1 h 2 2 0 p 0 .

Ces déterminants doivent donc conserver une valeur constante, non

l'IERRE HUMBERT.

nulle, pour toutes les valeurs de //; mais d 'autre part , pour que les

développements ( I V ; convergent, il est nécessaire q u e a ; , et [3;, tendent

vers zéro quand p augmente indéfiniment, d'où une contradict ion,

qui permet d'établir la non-existence simultanée de deux fonctions

de Mathieu du même ordre , correspondant aux mêmes valeurs de q

et a.

Équation intégrale des fonctions de Mathieu. — En utilisant un

résultat établi par lu i -même, sur une expression très générale du

potentiel par une intégrale définie (118) , M. W h i t t a k e r a obtenu

diverses équations intégrales fondamentales, auxquelles satisfont les

fonctions de Mathieu (119). Ainsi , toute fonction de Mathieu, paire

ou impaire , est solution de l 'équation intégrale

( V ) y(.r) = \ / g 'Â-.ln.r*liiO^(0)</0.

On vérifiera bien aisément ce résultat : portons en effet cette valeur

de v(x) dans l 'équation différentielle, il vient

r71

I c « * s i n . r s i n 8 [ _ £2 cos 2ar s i n 2 0 — ik s i n # s i n 0 + a + k* c o s 2 . r ] y (G) d® = o, J—Tl

ou, en remplaçant cos 2 . r s in 2 9 par (i — sin-,Z'v)(i — cos^O),

( V I ) / e//!sin.rsin6|-__ A ' 2 s i n 2 ^ c o s 2 6 — i / » s i n . r s i n 6 + a + A 2 C O S 2 Ô | y ( § ) d b = o.

Mais une intégration par parties nous donnera

— / A-2 si n*.a?cos20e'"*si'' sine^ (0) dO

= [ik sin^ cosG eifcsinjCiin^y ( 0 ) ] ^

— / ?Asina7Cos6e//;sin^sin6-^rff) J-K dQ

-4- / ik s'inx s'inQ eik*inJC*inby (Q) dft.

La relation (VI ) s'écrira donc , en observant que le terme tout intégré

est nul , puisque y(h) est pér iodique,

j etfsInxsInO f ^ s j n x c o s ô -L + (a + À2 cos2 6 )y ( 6 )1 dQ = o,

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 3 l

ou encore, après une seconde intégrat ion par par t ies ,

_e//lSin.rsinO£Z 1 * + C c/*Sln.rsii.O \ f__Z + (a; + -2 C 0 S 2 fi )y ( 0 ) 1 rffl = 0 .

Or , si y est une fonction paire, —• s 'annule pour 8 =±TZ; et si y est

impaire, ^~ prend les mêmes valeurs pour 6 — + 71; le terme tout

intégré est d o n c , là encore , n u l ; et la relation est bien vérifiée,

puisque y vérifie l 'équation de Mathieu, dont le p remier membre se

retrouve, avec la variable S, en facteur sous le signe d ' intégrat ion.

On a, de plus, pour chaque type de fonctions de Mathieu-, les

équations intégrales particulières suivantes :

(VII)

cem (x) = À f e1'™**co* ° cem (6) dO, •o

\seln(x) = \ l sin (k sin.r sinO)se/;i CO) <:/6.

O n remarquera que le paramètre a ne figure pas dans ces diverses équat ions.

M. Poole (128) a donné plusieurs autres équations de ce genre ; il a montré , par exemple, que la fonction se2n+^(x) vérifie une équation intégrale dont le noyau est

sinjr sinO cos (k cos;r cosO),

alors que , pour la fonction se2n(x), on peut prendre le noyau

COSJT cosO <li (X sin x si 116 \.

Il y a lieu de noter qu 'an tér ieurement à M. Whi t t aker , une équation

intégrale pour les fonctions du cylindre elliptique avait été indiquée

par M. Abraham ( l l o ) (qui y était d'ailleurs parvenu en suivant une

voie discutable) et par M. Brillouin (116). Aucun de ces auteurs

n'avait soupçonné l ' importance mathématique de cette équat ion.

Calcul effectif de la fonction d'ordre zéro. — La fonction de

Mathieu la plus simple, ce0(x), est celle qui se réduit à l 'unité

pour q = o. Nous allons calculer les coefficients de son développe-

3¾ PlEltRE HUMBERT.

ment en série, /• = ce

ce[)(x, y) = i + J y arc<)>'irx,

r = 1

en nous servant de l 'équation intégrale (VII ) qu'elle vérifie.

Remarquons tout d'abord que , si l 'on fait dans cette équation .r = r ,

on obtient

ce() (~j=\ f ce0 ( 0 ) dO = >i~ A. «- 'o

L'équation s'écrira donc

(VIII) Ce»(x ) = — C 0 (^ ) / e/.eos^cosOç.^f) } ,/o.

O r on connaît , pa r l a théorie des fonctions de Bessel, le dé \ e loppe -ment , où h est quelconque,

00

e'< cosu- = j 0 ( lu ) __ .2 2 j . / 4 ( £-/4 j c o s „ r

On tirera donc de l 'équation ( VIII) , en égalant dans les deux membres les coefficients de cos2/".r

( — n'' / 7 : \ r'1' «/•= —-—ce 0 [ - ) J hr(Mcosb)ce0( 0 ) rfO.

Remplaçant alors, au second membre , les fonctions de Mathieu et de

Bessel par leurs développements et appliquant la formule

i r'171

- / cos2 '"0 cos 27? 0 </8 = '11m-\(in -+.p}\ (,n-.p)\

nous obtenons a,-sous forme de série procédant suivant les puissances croissantes de A, à coefficients d'ailleurs très compliqués, et dont les premiers termes sont

/•*'• /-(3/- + 4) A~2'+*

i i r ~ l r \ r l 2 4 | , + : i / - - H I ) ! ( / • + i ; ! " '

d'où le développement de ce0(x), que l'on pourra écr i re , en in t ro-

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU.

duisant , au lieu de k, le paramètre q,

33

ce0ix) =.+y ^< \l'-+lqr 2'1+-3/-(3/- + 4 ) ( 7 ^ 2 "1 / , i f i i r • . . COS AI' X. • J L /•! /•! (/- + 1 ) 1 ( / + 1 ) 1 |

La valeur du paramètre a donnant naissance à cette; solution pério­

dique peut s 'écrire sous forme de série dont les premiers termes sont

a = — 3-2 <72+ 2>4 q'* - 2,0<7* + .

On pourra écrire de la même manière les développements des fonc­tions du premier ordre ,

ceAx) = cos r + > — 1 . L /• = 1

2' ' .<7 ' -+ 2

+ ^ ( / '-

avec ( /* — i ) ! ( r + ?. ) !

COS (-21' + I I 2 1

a = \ — Sq — 8<72 + 8(73 — ^ v + .

et

, N V 1 r ir.qr l'^r.q'-i i „e j (x) = sin.z* + > — '- . H L

/• = i

2 ' . t f ' + 2 "1 . H ~ : + . . . sinC

( /• — i ) ! ( / • + 2 ) ! J

ir + i ï a?

avec

a = i + 8<7 — 8<72 — 8^ s — -<7* +

D'ai l leurs, ordonnées suivant les puissances de q, ces séries se met­t ront sous la forme

cex ('x) = cosa; + q cos3# + q'- l- cos5a; — cos3x ) + . . .,

seY (x) = sina? + q sin3.r + q'2 I T b\\\5x + sin3.r) +

La relation qui doit, dans chaque cas, avoir lieu entre les constantes q

et a pour que la solution pér iodique existe, a été spécialement étudiée par M. Burgess (122).

Propriétés diverses des fonctions de Mathieu. — Les relations

3 j PIERRE HUMBERT.

d'orthogonali té suivantes s'établissent immédiatement , lorsqu'on sait

que toutes les fonctions de Mathieu sont solutions d 'une équat ion

intégrale homogène à noyau symétr ique :

/ celn (x, q ) sen (x, q ) dx = o,

/ cein (x, q ) ce„(x. q ) dx = o,

/ se,a (x, q ) se,i (x, q ) dx = o.

«-- — T:

Citons aussi la relation intéressante

Cé?.2//+, ( r , q) = (—i)"seÎN+i (x + -^, — q) •

Quand l 'excentricité de l'ellipse fondamentale tend vers zéro, les

fonctions cem et sem se réduisent l 'une et l 'autre à la fonction de

Bessel im ( ik cos x ) .

Si cette excentricité tend vers l 'uni té , on est conduit aux fonctions

de W e b e r ou du cylindre parabolique (cas part iculier de la série de

K u m m e r ).

Divers auteurs ont traité la quest ion de la convergence des séries

représentant les fonctions de Mathieu. L'extrême complication des

coefficients de ces séries rend cette étude fort a rdue . M. W a t s o n , en

considérant une série majorante, a établi assez simplement la conver­

gence de la série ce0 (121).

La distr ibution dans le plan complexe des zéros des fonctions de

Mathieu a été étudiée en détail par M. Einar Hille (126) .

Enfin, à la recherche de séries représentant as>mptot iquement les

solutions de l 'équation de Math ieu , sont attachés les noms de

MM. Maclaurin, Marschall, Dougall (148, 123-125), tandis que

M. Jeffreys (126 bis) indique des valeurs approchées de ces solutions

quand k est très grand.

SOLUTION GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION DE MATHIEU.

Fonctions de Mathieu de seconde espèce. — Une seconde solut ion,

non périodique, de l 'équation de Mathieu où l'on suppose a choisi

comme ci-dessus, s 'écrira par la lormule d 'Euler . Les diverses fonc-

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 3 )

l ions de ce type, que l'on appellera Fonctions de Mathieu de seconde

espèce, et q u i , comme dans tous les cas analogues, s ' introduisent

dans les problèmes de potentiel extér ieur , sont désignées par les

notat ions

"x dz inm (x) = cem(x) / — r

jnm(x) = se,lt (x) f

(*)

se?ni.z)

la limite inférieure des intégrales étant arbi t ra i re . L'étude de ces

fonctions a été faite par M. Ince (127).

Pour les premières valeurs de l ' indice, on aura

in0(x) = xce0(x) — 4*7 si 11257 — 3 q'2 Hii4-r + </3 ^sinG-r + î\ sin 2r -h...,

inx (x) — — tiqxcei (x ) \ 1 — 3 q2 + 6q'à H q* +... + sin x + q sin 3a? +. . . ,

jti\ (x) = — tiqxsex < x)\ 1 — 3q'2 — G73 H q* +.. . + cos.r + <7C0s3.r +. . . .

11 existe pour ces fonctions des propriétés de quasi périodicité

don t la plus» simple est

in0(x + 27:) = in0(x) + IT. ce0(X).

Solutions à période 4^- — La très intéressante remarque suivante

a été faite récemment par M. Poole (128) : q étant toujours considéré

comme donné , on peut déterminer une valeur de a, se réduisant

pour r/ = o à l n -h -) ,11 étant un entier, et telle que l 'équation dif­

férentielle admette des solutions périodiques de pér iode /\iz,

se réduisant pour q = o, soit à cos ( / i -\- - jx, soit à s i n ( / i -\— )x.

On les désigne par ce A(x) ou se {(x). Ce ne sont pas de véri-« -h - n + - L

tables fonctions de Mathieu, mais leur intérêt est que , pour une

même valeur de a, une solution ce et une solution se existent simul­

tanément , formant un système fondamental, à l 'inverse de ce qui a

lieu dans le cas des solutions à période IT.. On a d'ailleurs la relation

ce„ + l(K — x) r= se„+i (x).

M. Poole a indiqué pour ces fonctions des équations intégrales telles

36 PIERRE HUMBERT.

que la suivante :

sen+.^(x) = X I G(x,y)setl + ±(y)dy, * o

OÙ . x . r *sni-ssir-

G(x, y) = e -cosjrcosjr / " ~elfa*dt.

*-' 0

Il existe également des couples de solutions pér iodiques de période 6 TU, 8 - , etc.

Intégration de l'équation générale. Méthode de Whittaker. — Si*

nous supposons à présent le paramètre a quelconque, l 'équation de

Mathieu n 'admett ra plus de solutions pér iodiques . On sait alors,

d 'après la théorie générale des équations à coefficients pér iodiques ,

due à Floquet , qu'elle admet une solution du type

( IX) y = eV-^^ix),

JJL étant une constante, et 'f(x') une fonction pér iodique, de période ITZ.

Le changement de x en — x n 'a l térant pas l 'équation différentielle,

on voit que la solution générale sera de la forme

y = keV-xo(x) + he~V-xo(—x),

A et B étant des constantes arbi t raires .

Le problème revient donc à déterminer l 'exposant JJL en fonction

de a et de q; il est très a rdu . C'est à propos de recherches semblables

que Hill, é tudiant une équation différentielle dont , comme nous le

verrons plus loin, l 'équation de Mathieu est un cas particulier, a

introduit dans l 'Analyse les déterminants infinis. M. Whi t t ake r (129)

est parvenu, au moyen d 'un changement de paramètre , à exprimer u

d 'une façon moins compliquée et plus propre aux calculs numér iques .

11 détermine u et a sous forme de séries procédant suivant les puis­

sances de q et dont les coefficients sont fonctions d 'un nouveau para­

mètre c, de telle sorte que l 'équation sera vérifiée par une fonction du

type ( I X ) , où

<p (x) = sin (x — cr) + «3 cos ( 3# — a) + (î3?in ( 3x — cr)

+ a;j cos (5x — <r ) + 35sin (5x — a )

+ . . . ,

a3 , J3.J, . . . étant des fonctions de q et de <r. Le cas particulier où n = o

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU. 3j

conduirai t à la fonction de Mathieu se{, le cas n = - à la fonction ceK.

Les premiers termes de la série donnant [JL sont alors

4 q si n 11 — i 2 </3's i n 2 J — 11 q ' s i n 4 ? — . . . ,

ceux de la série donnant a sont

i + 8 q o s 2 7 + C— iG + 8 co§4T) 72 — $ </3 cos 2 7 + . . . ,

et les coefficients successifs des séries représentant a3, ,3;], . . . s 'ob­

t iennent par une formule de récurrence assez simple. Si l 'on désigne

par \(x, ?, q) la solution ainsi déterminée, une seconde solution

sera A(.r, — T, c/\.

Une contr ibut ion à l 'étude des solutions de ce genre a été apportée

par A. W . i oung (130).

Méthode de F. Lindemann. — On peu t , comme l'a fait Lindc-

mann (131), é tudier et former, en suivant une tout autre voie, la

solution générale de l 'équation de Mathieu. Faisons en effet dans

cette équation le changement de variable

COS"2J7 = Z.

Nous obtenons une équation à coefficients rationnels,

( X ) 43(1 — «) - ^ - + 2( [ ~ ' 2 - ' ) - r + ( a - i ( H / + 3^qz)y = o, ciz~ cl z

qui possède deux singularités régulières (aux points o et 1) et une

singularité irrégulière à l 'infini. C'est donc un cas de confluence de

l 'équat ion générale à quatre singularités régul ières ; et l 'une de ses

solutions pourra s 'écrire, dans la notation de Heun ,

p > oo \ 2 A - 2 2

Les exposants, pour chacune des singularités o et 1, sont o e t - ,

l 'équation a donc des solutions de la forme

jKoo = 2 an z»,

yol= \zZbnZ»,

yl0= Za'tlû - z)»,

yn = \ i — zZb^i

3 8 PIERRE HUMBERT.

et il existera des relations telles que

^ 1 0 = CjjKoo + C2J01

yu = Kj r 0 0 + K2jKoi.

Supposons que ^ décrive un circuit fermé autour de l 'origine :

alors r 0 , change de signe, v o 0 restant le même, donc r l 0 devient

Cj >'00—Ci» ^01 ? et y 11 devient K,Voo—rv 2 y o l ; de sorte que, en posant

la fonction Y de 3 restera ident ique à elle-même quand z aura décri t

le circuit, si l 'on a la relation

A s (Ci jKoo-H C 2 j 0 i / 2 -+- B*(K, j 0 l ) + KoJ'oi)2

= A 2 ( C , j ' 0 o — C,yQl ) ï+J î> ( I M J O O — K , J > ' 0 I ) - ,

c'est-à-dire si les constantes initiales sont liées par

A2<:,C,+ BaK,K, = o.

D'ailleurs la fonction Y n'est pas altérée par un circuit décrit,

par z au tour du point v = 1 : et comme elle ne saurait évidemment

avoir d 'autres points singuliers, à distance finie, que o ou 1, c'est une

fonction entière de ; .

Ainsi nous parvenons au résultat fondamental suivant : il existe

deux solutions de l 'équation de Mathieu,

"1 = A v , ( , + iUyw, u,= A j - 1 0 — iV>yn,

dont le pro luit est une fonction entière de z.

Pour intégrer complètement l 'équation de Mathieu, il faut donc

commencer par déterminer la fonction \ , ce qui peut se faire assez

aisément. O n sait former en effet l 'équation différentielle (du t ro i ­

sième ordre) à laquelle satisfont les carrés des intégrales de l 'équa­

tion de Mathieu, et par conséquent toute combinaison linéaire de ces

carrés ; on trouve ainsi pour \ l 'équation

d*Y ,Q .d2X , . , dX . v * ( 1 — z)— — + ( 3 — z) —j—r + ( a — 1 — \Ç>q -\- Siq z)— h 1 G<7 1 = 0 dz* dz- ' J dz J

et, en y posant 00

Y = S Y " 2 "'

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DK MVTHIEU. 3 9

on obtiendra pour les coefficients y des formules de récurrence suffi­samment maniables, pouvant d'ailleurs être rattachées à la théorie des fractions cont inues .

La fonction Y étant connue, on pourra former sans difficulté les solutions u{ et //, de l 'équation de Mathieu, telles que

u] u.2 = V.

En effet, de cette relation on tire

«xii, îli + ^ = L' ii\ u.> Y

et de l 'équation de Mathieu el le-même,

C U | u, — U .2ll\

\ Z(l— Z)

Donc

< \ I I I , ^ _ ^ C< "1 "2 \ \ Z ( l — Z)

C étant une constante. Les équations (XII ) et (XI11) permet t ront de

calculer les rapports ^ - , ^ , d'où par intégration 1 1 11,1t., l o

//, = sfX eÎJ* v ^ ' - ; i ,

et la constante C pourra se calculer en portant dans l 'équation de

Mathieu les premiers termes du développement de //, autour de l 'or i­

gine. On a ainsi ent ièrement résolu le problème proposé.

CI-.NÉRALISATIONS DIVl.R.sES DE l/ÉQUATlON DE MATHIEU,

Fonct ions de Mathieu associées. — L'équat ion suivante

, v 11 ' \ d'2 y dy { XI \ ) -j-^ ~^ 9 - v col g a: -j + ( a + k'2 QO$'2X ) y = o,

que l'on peut écrire encore , en posant c =ys\ri'x,

,^\> d-z T v( v — i ) "1 dx2 [ si n2 a? J

40 PII RRE HUMBERT.

est une généralisation de l 'équation de Mathieu, à laquelle elle se

réduit pour v = o ou v = i . Ses solutions pér iodiques ont été étu­

diées simultanément par E. L. lnce ( 133-134) et P . Humber t ( 13o ), :

on les désigne sous le nom de Fonct ions de Mathieu associées, ou

d 'ordre supér ieur .

Comme pour l 'équation de Mathieu, les solutions peuvent être de

quatre types. On représente par ce\u(x) ou ce\n+K (x) celles qui se

réduisent p o u r v = o à ce.>n(x) ou ce.lfl^ l (x). Elles sont solutions de

l 'équation intégrale

(XVI) u(x) = \ f e*«-,0S-rc08Ôsiiiva7siiiv6 M(6)</6 «' o

et peuvent se développer en séries de fonctions de Mathieu, oc

ce*!t N(x) = s i nv x N A,. ce.», (x),

o

o

D'autres solutions, du type se, ont des propriétés analogues, et l 'on a d'ailleurs les relations

se\ni.K) = ce^/;>_l(x),

Pour k = o, ces diverses fonctions se réduisent aux fonctions de

Gegenbauer .

Les solutions d 'une équation analogue à ( X V ) , mais où le s\n'2x

du dénominateur est remplacé par cos2 .r , satisfont à une équation

intégrale analogue à ( X V I ) .

Équat ion de Hill . — Le problème des petites oscillations d 'un pla-

nétoïde au tour d 'une de ses orbites périodiques conduit à une équa­

tion, célèbre en analyse et en astronomie, étudiée par Hill à propos*

du mouvement du périgée lunaire , et dont l 'équation de Mathieu est

un cas très part iculier . Si , au temps t, on désigne par o> la dislance

normale du planétoïde à l 'orbite connue , on a en effet entre to et t

l 'équat ion différentielle (136)

-jx + (^0+ 6i cos2^ + 0.2cos4* + • •.) w = o,

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 4 l

où les 9 sont des constantes, décroissant rapidement . En se bornant

donc dans la parenthèse aux deux premiers t e rmes , on retrouve

l 'équation de Mathieu générale. Divers travaux ont été faits sur

l 'équation de Hill ; on en trouvera le détail dans le Traité de

Mécanique céleste de Tisserand (139 ) . Indiquons simplement la

marche suivie par Hill pour en obtenir la solution.

D'après la théorie générale, cette solution est de la forme

(o = A e"'* / i ( t) + B e-'ct /»(/.),

f\ et / 2 étant des fonctions pér iodiques, et les constantes ic et — i c

ayant reçu de Poincaré le nom d'exposants caractérist iques. Pou r

dé terminer c, Hill pose e" = Ç ;

le coefficient de <o dans l 'équation différentielle est alors

2<u«». Faisant

— »

portant dans l 'équation et identifiant, Hill trouve pour les b des

équations linéaires en nombre infini, d'où l 'on tire, en éliminant

les b, un déterminant d 'ordre infini ne contenant que les quanti tés

connues 9 et l ' inconnue c. Poincaré (137-138) démontre la conver­

gence de ce déterminant , et que les solutions sont stables si les expo­

sants caractérist iques sont purement imaginaires. Le calcul de c est

chose malaisée : Hill a indiqué qu 'on avait une approximation très

suffisante en ne considérant que les trois lignes et colonnes centrales

du déterminant infini.

M. Irice a appliqué avec succès à l 'équation de Hill la méthode du

changement de paramètre donnée par M. W h i t t a k e r pour celle de

Mathieu ( 1 4 0 ) .

Équation de Whittaker. — L'équat ion différentielle

d^ y dy ( X V I I ) ~^ + {• sin ix-~ -+- ('/] — p\ cos ix) y = o,

ri PIERRE HUMBERT.

où p, i,r{ désignent des constantes, joui t de propriétés intéressantes

qui ont été indiquées par M. \ \ hi t taker (144) . Si l 'on fait tendre p

vers l'infini et ç vers zéro, le produi t pq restant fini, l 'équation se

rédui t à celle de Mathieu. Si d'ailleurs dans ( X V I I ) on pose

- \ cos 2.v y = e* u,

on trouve pour u l 'équation

-3 + U — ô£"2— (P "T" ' ) ÇCOS237+ - Ç2 COS 4 x\ U = O. d*u dx'2

Donc ( X V I I ) , plus générale que l ' équa t ion de Mathieu, est néan­

moins un cas part iculier de l 'équation de Hill.

Le point intéressant est que , si p est un entier positif, l 'équation

admet comme solutions des polynômes d 'ordre p en sin x e t e o s . r ,

lorsque certaine relation existe entre ç et 7,. Ces solutions satisfont

également à l 'équation intégrale

y( x ) = A I cos/' ( x — s ) e ' y( s ) as.

La relation entre ç et 7,, F , , ! ; , TJ) = o, donne p -f- 1 valeurs d is ­

tinctes de 7j, fonctions de ç. \ chacune de ces valeurs de r\ corres­

pond une solution du type polynôme. M. Ince a é tudié de très près

les familles de courbes planes définies par l 'équation F7,(£, 7|) = o ;

il a obtenu ainsi diverses propriétés des fonctions considérées, et, en

passant à la l imite, des fonctions de Mathieu (145) .

Fonction de l'hyper cylindre elliptique. — Le changement de

variables dans l 'espace à quatre dimension,

x = a sin u sin v coscp,

y = a «in u sin v s ino ,

s = ai cos M cose,

t = t,

in t rodui t des hypercyl indres parallèles à l'axe des t, ayant pour base

dans l 'espace des xyz des quadr iques de révolution. L 'équat ion de

Laplace à quatre variables AU = o peut être vérifiée par le p rodui t

U = eht cosjjicp sinl M sin^f V(if, v),

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 4^

V, fonction de l 'hypercyl indre ell iptique, étant solution de

<r-\ (P-V d\ àV

+ li-a-(cos2 u — cos- v) V = o.

On pourra prendre , comme solution de cette équat ion, so i t l e produi t

de deux fonctions de Mathieu associées, soit un cas très particulier

d 'une fonction M( / / , e ) , généralisation des fonctions de Mathieu, et

pour cette raison appelée Fonction de Mathieu à deux variables, et dont les principales propriétés , ind iquée* par P . Humber t , sontles .

suivantes ( 146 ) :

i° Elle vérifie le système de deux équat ions aux dérivées par­

tielles

^M ôn\ àM N r)M -—- — coi^f/, coini> ; // cm g u h ( m + i ) cot£(> -T-Otti n r ou dv r <)u ' p (h

+ (a +Â-2cos2*0 M = o,

<)*M <)2M <)\\ , N àM -(n + i ; c o t g « ^

• ('<?' + k2 C O S 2 P ) M = o.

-i—: cot^ u cotq- v -—; m cotç r h (n + i) cotg u • > ôv'L ° ()a t)v ' <h ou

2° On suppose que , pour k — o, a et a! se réduisent respective­

ment à (m -f- i ) (/M H- /* + i ") et (// -\- i ) ( m + /*'-+- ' )) l a fonction

de Mathieu à deux variables se réduit alors à 'U,,, „ (cos u, cos e ) , l 'un

des polynômes hypergéométr iques à deux variables étudiés par Her -

mite, et qui généralise la fonction cos nx.

3° Il existe une relation telle que

Ml M, 1 M = A / / e^'cos/#cos? f cnsrcosTi s j n p s j n c r N ( p, <5)dpd<J,

*- —T: *- —Ti

où la fonction N, pér iodique en p et T, satisfait au système

à2N ()2N , n rA\ r>N -—- cotise c o t g 7 - — ; h (n + 3) col go - h m c o t g a - r -<)/2 " l dp (h K l c/p ° ^7

+ ( a + m — /i — i + / 2 cos2 p ) N = o, — r — colgpcolgtx j—j- + i m + o ; c o l g 7 ^ + / i C o t g p ^ -

+ ( « ' + /« — m — i + A2 cos2a) N = o.

Pour / -•= o, ce système se réduit précisément à celui que vérifie le

polynôme ' s ^ j c o s c , cos a-), associé de 1 1 .

44 PIE RU:-: I I I \ I I $ ; . R I \

APPLICATIONS DI:S FONCTIONS DE MATHIEU.

Mouvements vibratoires. — Ainsi que nous l 'avons dit, c'est le

problème des vibrations d 'une membrane ell iptique qui a conduit

Mathieu (147) à l 'équation différentielle considérée. Lne membrane

tendue dont le contour est une ellipse étant mise en vibration, les

lignes nodales qui se forment sont des coniques homofocales; le dépla­

cement to, normal au plan de la membrane , pour un point de coor­

données x: y, étant donné par

ô-iii d2to i ô-u>

<)x- dy'2 ni- dt-

où 1)1 est une constante, il est indiqué de faire le changement de

variables x = c cos y. ch p. y = c sina sli (3,

qu i , si l 'on pose

(o = s'iwilml P(a) Q( p),

amène aux équations

d 2P • — h ( N — 4 A2 C2 COS2 X ) V = o,

dy.1

^ - ( N - 4 À 2 c 2 c h 2 f J , Q = o ,

c 'est-à-dire à l 'équation de Mathieu.

On rencontre également cette équation dans un grand nombre de

problèmes du mênre genre , en rapport avee le cylindre el l ipt ique :

vibrations de l 'air dans un tuyau eylindro-ell iplique, ondes de marée

ou tourbillons dans un vase de même forme ou dans un lac ellip­

tique (156) , etc. Toutes ces questions sont étudiées avec grands détails

dans un fort important Mémoire de IL Maclaurin, malheureusemenl

un peu ancien, mais où théorie et applications sont exposées de façon

remarquable ( 1 i 8 ) .

Questions diverses. — Le même travail fait intervenir , soit l 'équa­

tion de Mathieu elle-même, soit l 'équation des fonctions associées, à

propos de problèmes analogues pour des sphéroïdes. L 'étude des

oscillations hertziennes à la surface d 'un sphéroïde conduit à f équa -

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU. 4)

tion

(XVIII) ( ^ , / ^ + ^ + ^ - ^ ) 7 = 0,

qui s'avère identique à l'équation de Mathieu par le changement de variables i* = cos;r. L'intérêt mathématique de cette question est que les développements asymptotiques des solutions s'introduisent natu­rellement. Un autre problème d'électricité, l'étude du courant obtenu en faisant varier les constantes d'un circuit oscillant, par modulation sur la fréquence, amène aussi à l'équation de Mathieu (155).

Les vibrations des couches sphéroïdales d'air, la dispersion d'ondes planes brisées par un obstacle sphéroïdal, la propagation delà chaleur dans les sphéroïdes, etc., sont autant de problèmes conduisant à une

équation semblable à (XVIII), mais où le coefficient de -^- est

i(n -f- i)£ : le même changement de variable la ramènera à l'équation des fonctions de Mathieu associées. Elle a d'ailleurs été rencontrée dans des questions du même genre par M.Abraham, et, d'après M. Poole, dans la théorie des marées sur un globe tournant (149-152).

Une équation très analogue à celles qui nous occupent,

-—- + A- - — i - (n2 —2a sin int) 0 = o, dl2 dt v '

définit, comme l'a montré Lord Rayleigh, la vibration d'une corde lorsque le point d'attache est lui-même soumis à une vibration de période connue (153).

Problème des deux équilibristes. — Enfin l'équation de Mathieu se rencontre, fait assez inattendu, dans un problème de mécanique de genre entièrement différent, dont on peut donner l'énoncé sous la forme suivante :

Un équilibriste E! se tient sur une sphère qui peut rouler sur le plan horizontal. Il supporte, sur sa tête, une longue perche verticale, rigide, à l'extrémité de laquelle se tient un deuxième équilibriste E2. Déterminer les petits mouvements que doit imprimer nécessairement à la sphère l'acrobate E, pour que le système entier demeure en équilibre.

Tel qu'il est posé, le problème est fort compliqué. Hamel, qui l'a étudié (154), est arrivé, en le schématisant et en le simplifiant autant

•ffi PIERRE HUMBERT.

que faire se pouvait, au résultat suivant : l'abscisse x du centre de la sphère, à partir d'une origine convenablement choisie, satisfait à l'équation différentielle, où T est proportionnel au temps,

d2 x —j— + ( A + B C O S 2 T ) x — o .

d~l

qui n'est autre que l'équation de Mathieu.

CONCLUSION.

Le bref exposé qui précède montre que les fonctions de Lamé, et surtout celles de Mathieu, offrent encore aux recherches un champ étendu.

C'est probablement dans le domaine des équations intégrales que l'on pourra obtenir les plus fructueux résultats. Ainsi, nous l'avons vu, l'équation intégrale des fonctions de Mathieu a jeté un jour nou­veau sur leur théorie : il serait intéressant de refaire l'étude des fonctions de Lamé à partir de leur équation intégrale : peut-être arriverait-on ainsi à des propriétés nouvelles.

11 y aurait lieu également de rechercher les équations intégrales attachées à des équations différentielles plus générales que celles de Lamé et Mathieu, ce qui n'a été fait que partiellement.

D'autre part, existe-t-il quelque chose d'analogue à ces équations intégrales lorsqu'on passe aux équations différentielles ayant plus de quatre singularités? Problème qui mérite fort d'être étudié, et qu'on pourrait aborder en commençant par les équations de Klein et Bôcher.

Il serait curieux aussi de généraliser les fonctions de Mathieu dans le sens de Klein; peut-être pourrait-ori rattacher de telles fonctions à des problèmes de potentiel.

Enfin, puisque les fonctions de Klein permettent d'exprimer le potentiel des cyclides, ne pourrait-on pas, leur appliquant les méthodes de Poincaré, arriver à répondre à la question suivante, jadis posée par M. Appell, très difficile mais du plus grand intérêt : Existerait-il, pour un fluide tournant, des figures d'équilibre en forme de cyclides ?

FONCTIONS DE LAME ET FONCTIONS DE MATHIEU.

INOEX BIBLIOGRAPHIQUE.

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VIL — GÉNÉRALISATIONS DIVERSES DES FONCTIONS DE LAMÉ.

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FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 5l

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5 2 PII.RRE HUMBERT.

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VIII . — FONCTIONS DU CYLINDRE ELLIPTIQUE. TRAVAUX ANCIENS.

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FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 53

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IX. — FONCTIONS DE MATHIEL^. TRAVAUX RÉCENTS.

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1261er. J E F F R E Y S (Harold). — On the modificd Mathicu's équation (Ibid, t. 23, 1923).

X. — SOLUTIONS PARTICULIÈRES ET SOLUTION GÉNÉRALE

DE L'ÉQUATION DE MATHIEU.

127. INCE (E.-L.). — Elliptic cylindcr functions of the second kind (Proc Edinburgh Math. Soc, t. 33, 1914-1915).

128. POOLE (E.-C.-G.). — On certain classes of Mathieu functions (Proc. London Math. Soc, t. 20, 1921).

129. WHITTAKER (E.-T.). — On a gênerai solution of Mathieu équation (Proc. Edinburgh Math. Soc, t. 32, 1913-T91Î).

54 PIERRE HUMRERT.

130. YOUNG (A.-W.). — On the quasi-periodic solutions of Mathieu difïerential équation (Ibid., t. 32, 1918-191 'î).

131. LINDEMANN (F.). — Di Aèrent ialgleichung der Funct. des ellipt. Cylinders (Math. Ann., t. 22, i883).

132. STIELTJES (T.-.J.). — Quelques remarques sur l'intégration d'une équation différentielle (Astron. Nadir., t. 109, 188\).

X I . — GÉNÉRALISATIONS DES FONCTIONS DE MATHIEU.

A. — Fonctions associées.

133. INCE (E.-L.). — On the connexion between linear difïerential Systems and intégral équations (Proc Roy. Soc. Edinburgh, t. 42, 1922-1923).

134. INCE (E.-L.). — Associated Mathieu functions (Proc. Edinburgh Math. Soc, t. 41, 1922-1923).

135. HUMBERT (P.). — On Mathieu functions of higher order (Ibid., t. 40, 1921-1922).

B. — Équation de Hill.

136. H I L L . — On the part of the motion of the lunar périgée... (Acta math., t. 8). 137. POINCARÉ (H.) — Sur les déterminants d'ordre infini (Bull. Soc math.

Fr., 1886). 138. POINCARÉ ( IL) .— Sur le problème des trois corps... (Acta math.,t.\3, 1890). 139. TISSERAND. — Traité de Mécanique céleste, t. III . 140. INCE (E.-L.). — On a gênerai solution of Hill's équation (Monlhly Notices,

t. 75, 76, 77). 141. BRUNS. — Ueber einc Differentialgleichung der Storungstheorie (Aslr.

Nachr., t. 106, 107). 142. CALLANDREAU. — Sur une équation différentielle de la théorie des pertur­

bations {Ibid., t. 107). 143. RIEHLMANX. — Ueber einen besonderen Fait der Differentialgleichung

x" + x (q2 -f- 2 qx cos 2 t -f- 2 q2 cos \ t) = O (Dissert. Zurich, 1908).

C. — Equation de Whittaker.

144. WHITTAKER (E.-T.). — On a class of difïerential équations whose solutions satisfy intégral équations (Proceedings Edinburgh Math. Soc, i. 33, 1914-1915).

145. INCE (E.-L.). — A linear difïerential équation vvith periodic coefficients (Proc. London Math. Soc, 2e série, t. 23, 1923).

D. — Fondions de l'hypercylindre elliptique.

146. HUMBERT (P.). — Sur le produit de Laplace relatif à certains hypercylindres (C. R. Acad. se, t. 174, 1922).

FONCTIONS DE LAMÉ ET FONCTIONS DE MATHIEU. 55

X I I . — A P P L I C A T I O N S D E S F O N C T I O N S D E M A T H I E U .

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de Liouvitle, 2 e sér ie , t . 13 , 1888).

148 . M A C L A U R I N (R . ) . — On i h e so lu t i ons of t h e é q u a t i o n (V2 - j - K2) <l> = o in

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Cambridge Philos. Soc, t . 27, 1899).

149 . A B R A H A M (Max) . — Op. cit. supra.

150 . P O O L E (E. -C. -G. ) . — A po in t in t h e d y n a m i c a l T h e o r y of t ides (Proc

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Math., 1. 49) .

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(Math. Ann., t. 73 , 1913).

1 5 5 . C A R S O N ( J . - R . ) . — j N o t e s on t h e t h e o r y of m o d u l a t i o n (Proc. Institute oj

Radio Engineers, N e \ v - \ o r k , 1922).

1 5 6 J E F F R E Y S ( H a r o l d ) . — T h e froc o s c i l l a t i o n , of w a t e r in a n clii].<tic l a k e

(Proc London Math. Soc., t . 2 3 , i>;23).

TABLE DES MATIÈRES

roues AVANT-PROPOS l

FONCTIONS DE LA Ml"..

Historique de ia question 3 Coordonnées elliptiques. Équation de Lamé 3 Autres formes de l'équation de Lamé 7 Dégénérescence des fonctions de Lamé 7 Lien avec les fonctions sphériques 9 Formai ion des fonctions de Lamé. Leur nombre 9 Exemple des cas les plus simples 11 Notations 12 Théoicmes sur les fonctions de Lamé i3 Équations intégrales 15

SOLUTION GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION DE LAMÉ.

Fonctions de Lamé de seconde espèce i5 Intégration de l'équation différentielle 17

APPLICATIONS DES FONCTIONS DE 1 AME.

Analyse harmonique 18 Distribution de la chaleur 18 Figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation 18 Problème de Roche ' 20 Géométrie 20 Problèmes divers de dynamique 20

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES DES FONCTIONS DE LAMÉ.

Fonctions de Lamé dans le plan 21 Fonctions du cône elliptique 21 Fonctions de Lamé-Wangerin 22 Fonctions de Lamé généralisées 22

58 TABLE DES MATIÈRES.

Papes.

Fonctions de Heine 24 Équations plus générales 25

FONCTIONS DE MATHIEU.

Historique 26 Équation différentielle de Mathieu 27 Fonctions de Mathieu 28 Équation intégrale des fonctions de Mathieu 3o Calcul effectif de la fonction d'ordre zéro 3i Propriétés diverses des fonctions de Mathieu 33

SOLUTION GÉNÉRALE DE L'ÉQUATION DE MATHIEU.

Fonctions de Mathieu de seconde espèce 34 Solutions à période 4 T: 35 Intégration de l'équation générale. Méthode de Whit taker 3G Méthode de F. Lindemann 37

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES DE L'ÉQUATION DE MATHIEU.

Fonctions de Mathieu associées 39 Équation de Hill /\o Équation de Whit taker . . . t- \ i Fonctions de Thypercylindre elliptique ù\i

APPLICATIONS DES FONCTIONS DE MATHIEU.

Mouvements vibratoires 44 Questions diverses 44 Problème des deux équilibristes 45

CONCLI SION 46

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE 47