MODELES DE LA COURBE DES TAUX DINTERET EVRY - DESS Ingénierie Mathématique 26 février 2003 Philippe PRIAULET HSBC-CCF

MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET

EVRY - DESS Ingénierie Mathématique26 février 2003

Philippe PRIAULETHSBC-CCF

Plan de la Séance

Les modèles stochastiques de déformation de la courbe des taux: Approche détaillée

Rappels de probabilité Le modèle de Black: référence du marché pour l’évaluation de

caps, floors et swaptions Le modèle de Vasicek (1977) Les autres modèles basés sur le taux court

Présentation de quelques options exotiques de taux

cf MP pages 64 à 119

Les modèles stochastiquesRappels de probabilité

Le Lemme d’Itô

Soient les processus continus X et Y qui satisfont

En appliquant le lemme d’Itô, on obtient

.

:

),(),(),(

tt

ttXtXtXtfY

dWXtdtXtbdX

dtXtXtx

fdXXt

x

fdtXt

t

fdY tXttttt ),(),(

2

1),(),( 2

2

2

Les modèles stochastiquesRappels de probabilité (2)

Le Théorème de Girsanov

Soit W(t) un mouvement brownien sous la probabilité P et définissons L(t) comme suit

Si , le processus L(t) est une P-martingale.

Si Q=L(T)P, i.e. si pour toutes variables X -mesurable alors

est un Q-mouvement brownien

.

:

TtdssdWsLt t

st

0 0

2 )(2

1)(exp

1TP LE

TPQ XLEXE

TF

tst dsWtW

0)(

Les modèles stochastiquesRappels de probabilité (3)

La transformée de LaplaceSoit X une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance E(X) et de variance V(X).

La transformée de Laplace de X s’écrit

La notion de MartingaleX est une Ft martingale ssi

.

:

)(21

)( 2 XVXEX eeE

tsXXEFXE stsst )(/

Evaluation et couverture de produits dérivés standards dans le modèle de Black

Ce sont des options européennes dont les prix sont obtenus dans le modèle de Black (1976).

- les caps, floors et collars

- les swaptions

Ces options sont traitées de gré à gré.

Les options sur futures sont également évaluées et couvertes dans ce modèle.

:

Caps, Floors et Collars - Définition

Définition du cap

Un cap est un contrat où le vendeur promet de rétribuer son porteur si le taux d’intérêt de référence vient à dépasser un niveau pré-déterminé (le taux d’exercice du cap) à certaines dates dans le futur.

L’acheteur d’un cap utilise classiquement ce produit pour se couvrir contre une hausse des taux d’intérêt, par exemple pour couvrir un prêt à taux variable consenti par une banque.

Caps, Floors et Collars - Définition (2)

Définition du floor

Le vendeur d’un floor promet de rétribuer son porteur si le taux de référence vient à passer sous le taux d’exercice du floor.

L’acheteur d’un floor utilise classiquement ce produit pour se couvrir contre une baisse des taux d’intérêt, par exemple pour couvrir un placement à taux variable.

Définition du collarIl résulte de l’achat d’un cap et de la vente d’un floor (1), ou de la vente d’un cap et de l’achat d’un floor (2). Il est utilisé afin de diminuer le coût d’une protection contre la hausse (1) et la baisse des taux (2).

Caps, Floors et Collars - Terminologie

Montant nominal: il est fixe en général

Taux de référence: il s’agit du taux d’intérêt sur lequel repose le contrat. Les plus usuels en Europe sont l’Euribor 1 mois, 3 mois, 6 mois et 1 an.

Taux d’exercice: il s’agit d’un niveau prédeterminé. Il reste fixe au cours du contrat.

Fréquence de constatation: il s’agit de la fréquence selon laquelle le taux de référence est comparé au taux d’exercice. Les fréquences les plus usuelles sont tous les mois, tous les trois mois, tous les six mois et tous les ans.

Maturité de l’option: elle peut aller de plusieurs mois jusqu’à 30 ans.

Prime: elle est exprimée en % du montant nominal.

Caps, Floors et Collars - Exemple

Une société contracte au 02/11/01 un cap:

- de date de début le 01/12/01

- de maturité 2 ans

- de montant nominal 1.000.000 d’euros

- de taux d’exercice 4%,

- dont le taux de référence est l’Euribor 6 mois

Les constatations ont lieu tous les 6 mois. Tous les 6 mois aux dates suivantes 01/06/02, 01/12/02, 01/06/03 et au 01/12/03, l’acheteur du cap touche:

1.000.000* [Euribor 6 mois (constaté 6 mois + tôt) -4%]*(1/2)

Le terme 1/2 permet de tenir compte du prorata-temporis.

Caps, Floors et Collars - Cotation

Les caps, floors et collars sont évalués à partir du modèle de Black (1976).

Le modèle de Black est une version du modèle BSM (Black-Scholes-Merton) adapté aux produits de taux d’intérêt.

Les caps sont décomposés en caplets (voir exemple précédent) et les floors en floorlets.

Les caplets et floorlets sont cotés en volatilité, la volatilité implicite de la formule de Black (cf slide suivante).

Caps, Floors et Collars - Cotation (2)

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

20%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Caplet Maturity in Years

Imp

lici

t V

ola

tili

ty

Caps, Floors et Collars - Pricing

Le pay-off d’un caplet à la date Tj est le suivant:

et le pay-off d’un floorlet à la date Tj:

où:

est le taux euribor en de maturité mois.

est exprimé en fractions d’années dans les calculs.

La variable que l’on diffuse dans le modèle de Black est le taux forward linéaire .

On montre que ce taux est une martingale sous la probabilité forward neutre (cf séances 6-7 et MP p 203 à 210).

ETTTFMaxETRMaxC jjjjL

j ),,(;0.),(;0. 111

),( 1 jL TR 1jT

),,( 1 jj TTtF

jTQ

),,(;0.),(;0. 111 jjjjL

j TTTFEMaxTREMaxF

Caps, Floors et Collars - Pricing (2)

La diffusion du taux est la suivante:

où dW(t) est un mouvement brownien sous la probabilité forward neutre , et est la volatilité du taux forward, ce que l’on appelle la volatilité du caplet.

On en déduit en t la formule du cap suivante (somme des n caplets)

tjjj

jjdW

TTtF

TTtdF

),,(

),,(

1

1

jTQ

nj

j jjj

jjjjt tTdE

dTTtFTtBNCAP

1 1

1

)(

)(),,().,(..

j

Caps, Floors et Collars - Pricing (3)

où:

et est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Formule du floor (somme des n floorlets)

Le prix d’un collar est obtenu à partir des deux formules précédentes.

Pour couvrir ces produits, on calcule les grecques, i.e. le delta, le gamma, le véga, le rhô et le théta, de chacun des caplets ou floorlets.

n

j jjj

jjjjt tTdE

dTTtFTtBNFLOOR

1 1

1

)(

)(),,().,(..

tT

tTE

TTtF

djj

jjjj

j

1

1

21 )(

2

),,(ln

Les Grecques du Caplet

On s’intéresse au caplet qui délivre le flux Cj en Tj.

- le delta: dérivée première du caplet par rapport au taux forward sous-jacent

- le gamma: dérivée seconde du caplet par rapport à

),,( 1 jj TTtF

)(),(.. jj dTtBN

),,( 1 jj TTtF

)(

),,(

),(.. '

11j

jjjj

jd

TTtFtT

TtBN

Les Grecques du Caplet (2)

- le vega: dérivée première du caplet par rapport à la volatilité

- le rho: dérivée première du caplet par rapport au taux d’intérêt

- le théta: dérivée première du caplet par rapport au temps

)(),,(),(.. '11 jjjjj dTTtFtTTtBN

tj CaplettT ).(

),(ln1

),( jj

j TtBtT

tTtR

)(2

),,().,(...).,( '

1

1j

j

jjjjtj d

tT

TTtFTtBNCaplettTtR

Les Grecques du Floorlet

On s’intéresse au floorlet qui délivre le flux Fj en Tj.

- le delta: dérivée première du floorlet par rapport au taux forward sous-jacent

- le gamma: dérivée seconde du floorlet par rapport à

),,( 1 jj TTtF

)(),(.. jj dTtBN

),,( 1 jj TTtF

)(

),,(

),(.. '

11j

jjjj

jd

TTtFtT

TtBN

Les Grecques du Floorlet (2)

- le vega: dérivée première du floorlet par rapport à la volatilité

- le rho: dérivée première du floorlet par rapport au taux d’intérêt

- le théta: dérivée première du floorlet par rapport au temps

)(),,(),(.. '11 jjjjj dTTtFtTTtBN

tj FloorlettT ).(

),( tTtR j

)(2

),,().,(...).,( '

1

1j

j

jjjjtj d

tT

TTtFTtBNFloorlettTtR

Exemple Numérique

Une entreprise achète un floorlet le 19/04/02 dont les caractéristiques sont les suivantes:

- montant nominal: 10 000 000 d’euros

- taux de référence: Euribor 6 mois

- taux d’exercice: 4.70%

- Maturité: 27/05/02

- Date de paiement du flux: 27/11/02

En supposant que l’Euribor 6 mois forward est égal à 4.73% à la date t, la volatilité du floorlet 15% et que le taux zéro-coupon venant à échéance le 27/11/02 est égal à 4.80%, quels sont le prix et les grecques de ce floorlet dans le modèle de Black ?

Exemple Numérique (2)

Son prix est égal à 3844 euros et nous obtenons les grecques suivantes:

1- Pour une variation du taux forward de 4.73% à 4.74%:

a) variation de prix exacte = -213.41

b) variation de prix estimée par le delta:

c) variation de prix estimée par le delta et le gamma:

211812371

30070848870402

2176437

64.217%01.0

40.2132

%01.0%01.0

2


2- Pour une variation de la volatilité de 15% à 16%:

a) variation de prix exacte = 300.86

b) variation de prix estimée par le véga:

3- Pour une variation du taux zéro-coupon de 4.80% à 5.80%:


b) variation de prix estimée par le rho:

4- Un jour plus tard le 20/04/02 (passage du temps):


b) variation de prix estimée par le théta:

70.300%1

71.23%1

03.58365

1

Swaptions - Définition/Terminologie

DéfinitionUne swaption ou option sur swap européenne est un contrat qui permet à son porteur de rentrer à une date fixée (date de la maturité de l’option) dans un swap aux caractéristiques pré-définies.

TerminologieMontant nominal: il est fixe en général.

Il existe deux types de swaptions, la swaption receveuse et la swaption payeuse:

- la swaption receveuse donne à l’acheteur le droit de recevoir la patte fixe du swap;

- inversement, la swaption payeuse donne à l’acheteur le droit de payer la patte fixe du swap.

Swaptions - Exemple

Taux d’exercice: il s’agit du taux fixe connu à l’avance auquel l’acheteur de l’option va payer ou recevoir la patte fixe.

Maturité de l’option: elle peut aller de plusieurs mois jusqu’à 10 ans.

Prime: elle est exprimée en % du montant nominal.

ExempleSoit une entreprise qui s’est endettée à 5 ans au taux variable euribor 6 mois et qui souhaite dans un an avoir la possibilité de transformer son endettement à taux variable en un endettement à taux fixe. Elle achète alors une swaption de maturité 1 an qui lui permet de rentrer dans le swap payeur du fixe et receveur du variable.

Swaptions - Cotation en volatilité

Les swaptions sont cotées en volatilité, la volatilité implicite du modèle de Black.

9.00%

9.50%

10.00%

10.50%

11.00%

11.50%

12.00%

12.50%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Swaption Maturity in Years

Imp

lici

t V

ola

tili

ty

Swaptions - Pricing

Formule pour une swaption payeuse de montant nominal N, qui, repose sur un swap qui distribue des flux selon la fréquence annuelle

où:

Fs(t) est le taux de swap forward calculé à la date t.

est la volatilité de Fs.

est la date d’échéance de l’option.

n

j SS

jt tTdFdtF

TtBNSWAPTION1 0 )(

)()().,(..

/1

S

0T

tT

tTFtF

dS

SS

0

0

2)(

2)(

ln

Swaptions - Pricing (2)

Formule pour une swaption receveuse de montant nominal N, qui, repose sur un swap qui distribue des flux selon la fréquence annuelle

n

j SS

jt tTdFdtF

TtBNSWAPTION1 0 )(

)()().,(..

/1

Les Grecques de la Swaption Payeuse

- le delta: dérivée première de la swaption par rapport au taux de swap forward sous-jacent

- le gamma: dérivée seconde de la swaption par rapport à

)(tFS

)(),(..1

dTtBNn

jj

)()(

),(

. '

0

1d

tFtT

TtB

NSS

j

n

j

)(tFS

Les Grecques de la Swaption Payeuse (2)

- le vega: dérivée première de la swaption par rapport à la volatilité

- le rho: dérivée première de la swaption par rapport au taux d’intérêt

- le théta: dérivée première de la swaption par rapport au temps

)()(),(. '

01

dtFtTTtBN Sj

n

j

)(2

)(.).,(

.. '

0

1d

tT

tFTtB

NSwaptionR

SSj

n

jt

c

cR

n

j S

Sjj

tTdF

dtFTtBtTN

1 0 )(

)()().,()..(.

Exemple Numérique

Une entreprise achète une swaption payeuse le 19/04/02 dont les caractéristiques sont les suivantes:

- montant nominal: 1 000 000 d’euros;

- swap sous-jacent: le swap Euribor 6 mois de maturité 4 ans qui délivrent des paiements tous les 6 mois sur les 2 pattes;

- taux d’exercice: 5.36%;

- Maturité: 27/05/02

- Date de paiement du flux: 27/11/02

En supposant que le taux de swap forward est égal à 5.36% à la date t, la volatilité de la swaption 20% et que la courbe des taux zéro-coupon est plate à 5%, quels sont le prix et les grecques de cette swaption dans le modèle de Black ?


Son prix est égal à 2876 euros et nous obtenons les grecques suivantes:

1- Pour une variation du taux de swap forward de 5.36% à 5.37%:


b) variation de prix estimée par le delta:

c) variation de prix estimée par le delta et le gamma:

21916

6593

22967

383927229

1270216

02.127%01.0

95.1282

%01.0%01.0

2


2- Pour une variation de la volatilité de 20% à 21%:


b) variation de prix estimée par le véga:

3- Pour une variation du taux zéro-coupon de 5% à 6%:

a) variation de prix exacte = -65

b) variation de prix estimée par le rho:

4- Un jour plus tard le 20/04/02 (passage du temps):


b) variation de prix estimée par le théta:

67.229%1

93.65%1

39.60365

1

Les modèles stochastiquesLe modèle de Vasicek (1977)

Un seul facteur est à l’origine des déformations de la courbe des taux.

Cet unique facteur est le taux court qui est modélisé sous la forme d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck.

où

r(t): taux court en t (assimilable au taux JJ).

b: moyenne sur long terme du taux court.

a: vitesse de retour à la moyenne.

W(t): mouvement brownien

voir MP p 72 à 74

)()()( tdWdttrbatdr


L’effet de retour à la moyenne des taux

Cette modélisation permet de prendre en compte l’effet de retour à la moyenne constatée sur les taux d’intérêt.

Des valeurs élevées des taux ont tendance à être suivies plus fréquemment par des baisses que par des hausses.

L’effet inverse est également constaté pour des niveaux de taux inhabituellement bas.

Le graphique suivant montrent que les taux n’ont pas de trend sur longue période. Ils évoluent au sein d’un tunnel contrairement aux actions et indices actions.

:


:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

01/0

1/19

90

01/0

7/19

90

01/0

1/19

91

01/0

7/19

91

01/0

1/19

92

01/0

7/19

92

01/0

1/19

93

01/0

7/19

93

01/0

1/19

94

01/0

7/19

94

01/0

1/19

95

01/0

7/19

95

01/0

1/19

96

01/0

7/19

96

01/0

1/19

97

01/0

7/19

97

01/0

1/19

98

01/0

7/19

98

01/0

1/19

99

01/0

7/19

99

Dow Chemical en US $

Taux de swap 10 ans en %


Lorsque r(t) est éloigné de b, l’espérance de variation instantanée de r(t), égale à a(b-r(t)) est positive si r(t) < b.

Dans ce cas, le taux court a tendance à augmenter, se rapprochant de la moyenne sur long terme d’autant plus intensément qu’il s’en est écarté et que le paramètre a est grand.

A l’inverse, si r(t) > b, l’espérance de variation instantanée de r(t) est négative et r(t) diminue dans le temps pour se rapprocher de b.

L’inconvénient de cette modélisation est que le taux court suit un processus gaussien, donc est négatif avec une probabilité non nulle.

:


Nous allons chercher à exprimer le prix d’une obligation zéro-coupon dans ce modèle en utilisant deux approches différentes:

- l’approche par les EDP (développée dans l’article de Vasicek)

- et l’approche martingale (plus récemment introduite)


L’approche par les EDP

Nous considérons que le prix en t d’un zéro-coupon délivrant 1 euro en T, qui est noté B(t,T) est une fonction du temps et du taux court r(t).

B(t,T) = B(t,T,r(t))

En appliquant le lemme d’Itô à B(t,T,r(t))

soit

:

)(2

1))((.

2

22 tdW

r

Bdt

r

Btrba

r

B

t

BdB

)(tBdWBdtdB BB


Nous construisons un portefeuille sans risque P contenant deux zéro-coupon

où

Bi(t,T) = Bi(t,T,r(t)) pour i = 1,2

La quantité est choisie de telle façon que

soit

:

21 .BBP

021

r

B

r

B

r

P

)2(/ 21

r

B

r

B


La variation de prix de P s’écrit

Comme le portefeuille est sans risque, il doit rapporter le taux sans risque soit

:

dtr

Btrba

r

B

t

B

dtr

Btrba

r

B

t

BdP

22

2222

21

2211

2

1))((..

2

1))((.

rdtP

dP


ou encore

En utilisant l’équation (2)

:

2122

2222

21

2211

.2

1))((..

2

1))((.

BBrr

Btrba

r

B

t

B

r

Btrba

r

B

t

B

rB

Brr

Btrba

rB

tB

rB

Brr

Btrba

rB

tB

/

.21

))((.

/

.21

))((.

2

222

2222

1

121

2211


L’équation précédente met en évidence que la quantité suivante notée

est à une date donnée t une constante quelle que soit la maturité du zéro-coupon.

En utilisant l’équation (1), on obtient

:

)3(/.

.21

))((.2

22

rB

Brr

Btrba

rB

tB

BB r .


L’équation précédente montre que l’excès de rendement de l’obligation zéro-coupon au delà du taux sans risque est égal à lambda fois un facteur mesurant le risque de l’obligation, en l’occurrence sa volatilité.

Le paramètre lambda peut être interprété comme le prix de marché unitaire du risque (de taux d’intérêt).

Plus la volatilité de l’obligation est élevée autrement dit plus le risque pris est grand, plus l’excès de rendement au delà du taux sans risque est important.

:


L’approche martingale

Cette approche s’appuie sur un changement de probabilité. L’idée consiste à passer de la probabilité historique P à la probabilité risque-neutre Q pour exprimer le prix actualisé de l’obligation comme une martingale sous cette probabilité.

Sous la probabilité P, le processus de taux court et le processus de rendement de l’obligation zéro-coupon B vont s’écrire respectivement

.

:

)()()(.)( tdWdttrbatdWdttdr

)(tdWdtB

dBBB


Nous savons qu’il existe le paramètre lambda tel que pour tout actif financier dépendant de r(t) on ait

On peut donc réécrire le processus du rendement de B sous la forme

où est un Q-mouvement brownien par

application du théorème de Girsanov, Q étant definie par la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à P

:

B

B r

)(tWdrdtdWdtrdtB

dBBtB

tt dsWtW

0)(


Nous introduisons à présent la notion de prix actualisés en définissant

En utilisant le lemme d’Itô, on a

:

TtdsdWTdP

dQ T ts

0 0

2

2

1exp)(

),(.),( 0* TtBeTtBtsdsr

)(),(

),(

),(

),(*

*tWddtr

TtB

TtdB

TtB

TtdBBt


On en déduit que les prix actualisés sont des martingales sous Q, ce qui implique

ou de façon équivalente

soit

qui est la formule d’évaluation générale pour l’obligation zéro-coupon B(t,T).

:

),(),( ** TTBETtB Qs

),(.),(. 00 TTBeETtBe

Ts

ts dsrQ

tdsr

Tt sdsrQ

t eETtB ),(


Dans le modèle de Vasicek, le processus du taux court r(t) s’écrit sous Q de la façon suivante

où

La solution de cette EDS classique est donnée par

Le processus r(t) est gaussien si r(0) est gaussien. Il est en particulier indépendant de W(s) pour s supérieur à 0.

:

)()()( tWddttrbatdr Q

abbQ

)(1.0

)(0 sWdeeberr

t staatQatt


Ceci implique que la variable est gaussienne

de moyenne m(t,T) et de variance V(t,T)

Comme

on obtient par application de la transformée de Laplace

Il reste donc à calculer m(t,T) et V(t,T).

:

dsrTtIT

t s),(

Tt sdsrQ

t eETtB ),(

),(21

),(),(

TtVTtmeTtB


Calcul de l’espérance m(t,T)

soit finalement

:

dsrETtIETtm sT

tQt

Qt ),(),(

dseberTtmT

tasQas 1.),( 0

)1.().()(),( )(0

tTaat

QQ ea

ebrtTbTtm


Calcul de la variance V(t,T)

Notons d’après l’équation du taux court r(t) que

V(t,T) s’écrit alors

:

)(),(.).( tTQ

tT WWTtIatTabrr

).(1

),(),( tTabWWrra

VTtIVTtV QtTTt

Qt

Qt

tTtTQt WWrrV

aTtV

21

),(



soit

:

)(1.

)(1.1

),(

0)(

0

)()()(2

sWdeeber

sWdeeberVa

TtV

t staatQat

T

tsTatTaQtTa

tQt

tTsT

tsTaQ

t WWWdeVa

TtV )(2

1),(

dse

aWdeV

aTtV

T

tsTa

sT

tsTaQ

t

2)(

2

2)(

211

1),(



Finalement on obtient

d’où le prix du zéro-coupon B(t,T)

On en déduit le taux zéro-coupon

:

a

etT

ae

aTtV

tTatTa

)(

2

22)(3

2 1)(1

2),(

),(ln1

),(

ttBtR

23

2

3

2

3

21

4

1.

22),(

a

a

tQQ e

a

er

ab

abtR


On peut réécrire la fonctionnelle des taux zéro-coupon sous la forme suivante:

en posant:

cf séance 3

L’idée consiste alors à déterminer les coefficients b, a, sigma et lambda en minimisant l’écart au carré entre le prix de marché et le prix théorique pour un ensemble d’obligations.

En pratique, on fixe d’abord le paramètre lambda, puis on cherche les valeurs optimales pour les 3 autres paramètres.

:

23

2

14

1.),(

a

a

t ea

erRRtR

3

2

3

2

22 aab

abR Q


Evaluation d’options sur obligation zéro-coupon

Prix en t d’une option délivrant le Pay-off suivant à la date T

option d’achat: Max [0, B(T,T1) - K]

option de vente: Max [0; K - B(T,T1)]

:

Auteur Formule du prix de l'option d'achat

Merton

C B t T h EB t T ht B C ( , ) ( ) ( , ) ( )

où: h

B t T

EB t TB

C

C

ln

( , )

( , )

2 ; C BT T T t2 2 2

Vasicek4 idem avec

CBt T a T T

a

( , ) exp ( )1 et

( , )

expt T

a T t

a2

2 1 2

2


Ces formules de call sont obtenues en utilisant la formule suivante:

Le prix des puts sont obtenus à l’aide de la formule de parité call-put.

On peut en déduire le prix de caps et de floors en montrant que (cf séance 7):

- un cap est équivalent à une somme de puts sur obligation zéro-coupon.

- un floor est équivalent à une somme de calls sur obligation zéro-coupon.

:

KTTBMaxeECeEC

T

t sT

t s dsrQtT

dsrQtt ),(;0[.. 1


Pricing d’options sur obligations à coupons

Le pay-off en T d’un call sur une obligations à coupons est le suivant:

Soit , la valeur du taux court en T telle que:

On a aussi:

d’où:

:

C Max c B r T T ET i T ii

n

0

1

; , ,

rT

c B r T T Ei T ii

n

, ,1

B r T T ET i i , ,

C c Max B r T T ET ii

n

T i i

1

0; ( , , )


Le call initial est équivalent à un portefeuille de calls sur obligation zéro-coupon de maturité T et de strike .

On peut en déduire le prix d’une swaption en montrant qu’elle est équivalente à un put sur une obligation à coupons.

:

E i


Avantages du modèle

- Modèle à un facteur simple à comprendre d’un point de vue théorique

- Il fournit des expressions analytiques pour le pricing des produits de taux standards (zéro-coupon, obligation à coupons, caps, floors, swaptions...)

- Un modèle qui fournit des réponses rapides d’un point de vue informatique


Inconvénients du modèle

- Variations des taux parfaitement corrélées entre elles.

- Les taux sont négatifs avec une probabilité non nulle.

- La courbe des taux zéro-coupon au comptant du modèle est différente de la courbe des taux zéro-coupon observée sur le marché. En particulier, on ne peut obtenir dans le modèle des courbes inversées sur le court puis croissantes, ni des formes à un creux et une bosse.

- Le pricing au comptant de produits de taux simples comme les obligations est déficient dans ce modèle, ce qui rend encore plus aléatoire le pricing d’options sur ces produits comme le pricing de caps, floors et swaptions.

:

Les modèles stochastiquesLes autres modèles basés sur le taux court

L’équation générale du taux court:

L’approche par les EDP et l’approche martingale exposées lors de l’examen du modèle de Vasicek fonctionnent de la même façon pour ces modèles.

:

)()()()( 2121 tdWtrdttrtdr

Modèle1 2 1 2

Brennan-Schwartz (1980)* * *1Cox-Ingersoll-Ross (1985)* * *0.5

Dothan (1978) *1Merton (1973) * * 1

Pearson-Sun (1994) * ** *0.5Vasicek (1977) * ** 1

Les modèles stochastiquesLes autres modèles basés sur le taux court (2)

1- Le modèle de Merton

Le taux court s’écrit:

En supposant que la prime de risque est nulle, la fonctionnelle des taux zéro-coupon s’écrit:

Cette fonctionnelle n’autorise qu’un nombre très limité de formes de courbes. En outre, quand la maturité du taux tend vers l’infini, le taux zéro-coupon tend vers moins l’infini.

:

R t T t r ta

T t T t( , ) ( ) 2 6

22

dr t adt dW t( ) ( )


2- Le modèle CIR

Le taux court s’écrit:

Ce processus bénéficie du même effet de retour à la moyenne que dans le modèle de Vasicek, et reste toujours positif.

La fonctionnelle des taux zéro-coupon vérifie:

:

0)0()()()()( ravectdWtrdttrbatdr

R t T tab

T tA T t

r t

T tC T t( , )

( )ln

( )( )

2

2


où:

Cette fonctionnelle ne permet pas l’obtention de courbes à un creux et une bosse.

:

A s

a s

a s( )

exp

exp

22

1 2

C ss

a s( )

exp

exp

2 1

1 2

a

2 22


Evaluation en t d’un call de maturité T, de prix d’exercice E, sur une obligation zéro-coupon de maturité TB

où:

:

C B t T r C T tab r T t

C T t

EB t T rab r T t

t Bt

t

( , ) ( ) ; ,exp[ ( )]

( )

( , ) ; ,exp[ ( )]

22

2

22

2

24 2

24 2

2

12 exp[ ( )]T t

a

2

r

A T T

E

C T T

B

B

ln( )

( )


Les modèles linéaires

Les modèles de Merton, Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross, et Pearson-Sun font partie de la classe affine. La fonctionnelle des taux zéro-coupon s’écrit linéairement par rapport au taux court.

Il y a équivalence entre les 2 propositions suivantes (cf Duffie et Kan)

(a) Le prix d ’un zéro-coupon vérifie:

:

B t T A T t B T t r t( , ) exp ( ) ( ) ( )


et il existe deux maturités et telles que la matrice C ci-dessous soit inversible

(b) Sous la probabilité risque-neutre Q, le taux court admet l'EDS suivante:

où:

:

1 2

CB

B

BB

( )( )

( )( )

11

2

22

22

2

dr t r t dt r t dW t( ) ( ) ( ) ( )

r t r t( ) ( ) 1 2 r t r t( ) ( )2

1 2


et le système suivant est supposé avoir une solution finie:

avec: A(0) = 0 et B(0) = 0

:

A T t B T t B T t

B T t B T t B T t

' ( ) ( ) ( )

' ( ) ( ) ( )

1 12

2 22

1

21

21

Quelques Options Exotiques de Taux

Ce sont des options crées sur-mesure par les banques pour leurs clients.

Elles sont utilisées généralement:

- par les entreprises afin de créer des structures de couverture plus adaptées aux risques encourus;

- par les gérants de portefeuille afin d ’augmenter le rendement de leurs actifs;

- par certaines institutions financières, afin de combler le «mismatch» entre leur actif et leur passif.

Ils en existent de très nombreuses.

:

Quelques Options Exotiques de Taux (2)

Nous allons étudier les suivantes:

- les caps/floors à barrière;

- les «incremental fixed swaps»;

- les N-caps et floors

- les options sur spread

- les «subsidised swaps»

Ces options sont évaluées et couvertes à l’aide de méthodes numériques (Monte Carlo, Schéma aux différences finies, Treillis) dans les modèles de marché (BGM, Jamshidian) et/ou dans les versions markoviennes du modèle HJM.

:

Caps et Floors à Barrière

Les caps et floors à barrières européens sont des caps et floors européens classiques qui fournissent un cash-flow selon que le taux de référence atteint ou non une barrière déterminée à maturité de l’option.

Il y a 4 différents types de caps et floors à barrière:

- le cap up-and in: le cap est activé dès lors que le taux de référence atteint ou dépasse la barrière (supérieure au strike);

- le cap up-and-out: le cap est désactivé dès lors que le taux de référence atteint ou dépasse la barrière (supérieure au strike);

- le floor down-and-in: le floor est activé dès lors que le taux de référence atteint ou passe sous la barrière (inférieure au strike);

- le floor down-and-out: le floor est désactivé dès lors que le taux de référence atteint ou passe sous la barrière (inférieure au strike).

:

Exemple de Cap Up-and-Out

Le 02/01/01, une entreprise qui a contracté un prêt de maturité deux ans indexé sur l’Euribor 3 mois s’attend à une hausse raisonnable des taux. Plutôt que de contracter un cap de strike 5%, elle achète le cap up-and-out suivant:

- montant nominal: 10.000.000 euros

- taux de référence: Euribor 3 mois

- strike: 5%

- barrière: 6%

- date de démarrage: 08/01/01

- maturité: 08/01/03

- fréquence de constatation: tous les 3 mois

:

Exemple de Cap Up-and-Out (2)

Payoff de l’option au 08/04/01:

où est le taux Euribor 3 mois au 08/01/01, et si l’événement A se passe, et zéro sinon.

Le cap à barrière est identique à un cap classique si le taux euribor au 08/01/01 n’atteint pas la barrière. Il est désactivé dès lors que cette barrière est atteinte ou dépassée.

En supposant que la prime est égale à 0.08% du montant nominal, nous traçons le P&L de ce cap up-and-out.

:

%601/01/087

01/01/081.%5;0.

360

90.10 LLMaxoffPay

01/01/08L 11 A

Exemple de Cap Up-and-Out (3)

:

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0%

Value of the 3-month Libor on 01/08/01

P&

L i

n $

Incremental Fixed Swaps

Un incremental fixed swap est un swap dont la patte fixe peut être transformée en la combinaison d’une patte fixe et d’une patte variable, en fonction du niveau du taux variable.

Quand le taux variable augmente, la composante fixe augmente en proportion. Une entreprise endettée à taux variable et payeuse de la patte fixe bénéficiera ainsi d ’une couverture efficace en cas de hausse des taux tout en profitant d’un coût de financement réduit si les taux restent bas.

Le taux de swap d’un incremental fixed swap est supérieur à celui d’un swap standard.

:

Exemple d’Incremental Fixed Swap

Soit l’incremental fixed swap de montant nominal 10.000.000 d’euros qui repose sur le taux euribor 3 mois.

La proportion fixe sur la patte fixe est déterminée comme suit:

La patte fixe est payée annuellement tandis que la patte variable est payée tous les 3 mois. Le taux fixe de ce swap est égal à 6.3%.

:

Niveau de l’Euribor3 mois

Proportion à taux fixe

Euribor%5.5 100%%5.5%5.4 Euribor 75%%5.4%5.3 Euribor 50%

%5.3Euribor 0%

Exemple d’Incremental Fixed Swap (2)

Le swap est comme suit:

où y est la proportion à taux fixe qui dépend du niveau du taux Euribor 3 mois.

Le taux de swap du swap standard est égal à 6% et nous calculons le coût de financement d’une entreprise endettée à taux variable Euribor 3 mois dans les 3 situations suivantes:

- quand elle ne fait rien;

- quand elle contracte le swap standard où elle paie la patte fixe;

- quand elle contracte l’incremental fixed swap précédent.

:

Euriboriablepatte

Euriboryyfixepatte

4

10var

)1(%3.6.107

7


Le coût de financement est résumé dans le tableau suivant:

Nous traçons sur la slide suivante le graphique des trois coûts de financement comparés.

:


Etv Etv + SPV Etv + IFS

Euribor%5.5 Euribor 6% 6.3%%5.5%5.4 Euribor Euribor 6% 4.725% +0.25% .Euribor%5.4%5.3 Euribor Euribor 6% 3.15% +0.5.Euribor

%5.3Euribor Euribor 6% Euribor


:

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

Libor Level

Fin

anci

ng

Co

st

Floating-Rate Debt

Swapped Floating-Rate Debt

Incremental Fixed Swap

Les N-Caps et Floors

Le N-cap (N-floor) est:une version modifiée du cap up-and-out (floor down-and-out). Quand la barrière est atteinte le cap (le floor) est remplacé par un autre cap (floor) de strike supérieur (inférieur).

Le prix d’un N-cap (N-floor) est supérieur à celui d’un cap up-and-out (floor down-and-out) mais inférieur à celui d’un cap (floor).

Logiquement, la protection obtenue par un N-cap (N-floor) se situe entre celle d’un cap up-and-out (floor down-and-out) et d’un cap (floor).

:

Exemple de N-Floor

Une entreprise, qui détient un portefeuille obligataire de maturité 5 ans indexé sur l’Euribor 1 an, anticipe que les taux vont baisser dans le futur. Il achète un N-floor de maturité 5 ans, de strike 5%, de barrière 4% avec un deuxième strike à 3.5%. Les paiements sont annuels, et le montant nominal est égal à 10.000.000 d’euros.

Payoff de chacun des floorlets:

où est le taux Euribor 1 an constaté un an auparavant.

Nous traçons sur la slide suivante le graphique de ce payoff.

:

%41%417

111).%5.3(1.%5.10

LL LLPayoff

1L

Exemple de N-Floor (2)

:

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0%

Reference Rate Level

Pay

-Off

Les Subsidized Swaps

Un subsidized swap est la combinaison d’un swap standard payeur du fixe et de la vente d’un cap.

Ce produit est particulièrement adapté pour une entreprise endettée à taux variable:

- si le taux variable reste inférieur au strike du cap, l’entreprise paie sur la période le taux fixe moins la prime du caplet;

- si le taux variable est supérieur au strike du cap, l’entreprise paie sur la période le taux variable moins la différence entre le strike du cap plus la prime du caplet moins le taux fixe du swap.

:

Exemple de Subsidized Swap

Une entreprise a contracté une dette de montant nominal 10.000.000 d’euros, de maturité 2 ans indexée sur l’Euribor 3 mois. Elle rentre dans un subsidized swap:

- elle paie le taux fixe à 5% d’un swap standard contre Euribor 3 mois, de montant nominal 10.000.000 d’euros et durée 2 ans.

- et vend un cap de mêmes durée et montant nominal de taux de référence l’Euribor 3 mois, et de strike 6.5%. La prime de chacun des caplets est égal à 0.2% du montant nominal.

Nous calculons le coût de financement d’une entreprise endettée à taux variable Euribor 3 mois dans les 3 situations suivantes:

- quand elle ne fait rien;

- quand elle contracte le swap standard où elle paie la patte fixe;

- quand elle rentre dans un subsidized swap..

:

Exemple de Subsidized Swap (2)

Le résultat en termes de coût de financement est résumé dans le tableau suivant:

Nous traçons sur la slide suivante le graphique des trois coûts de financement comparés.

:


Etv Etv +SPV

Etv + Sub. Swap

%5.6Euribor Euribor 5% 4.80%Euribor%5.6 Euribor 5% Euribor-1.70%

Exemple de Subsidized Swap (3)

:

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

Libor Level

Fin

anci

ng

Co

st

Floating-Rate Debt

Swapped Floating-Rate Debt

Subsidised Swap

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MODELES DE LA COURBE DES TAUX DINTERET EVRY - DESS Ingénierie Mathématique 26 février 2003 Philippe PRIAULET HSBC-CCF