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QUATIONS DIFFRENTIELLES GEN-0135

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26. SYSTME DQUATIONS DIFFRENTIELLES : RSOLUTION PAR LIMINATION DES QUATIONS DORDRE >1

26.1. Introduction :

Dans un systme complexe, il se peut quon veuille observer ltat en plusieurs points du systme la fois. Ds lors on a une quation diffrentielle pour dcrire le comportement de chaque point en question. Cette quation contient non seulement la variable et ses drives du point en cause, mais comporte galement les variables et les drives des autres points, cause de linterdpendance dans un systme. Ainsi, pour chaque point nous avons une quation diffrentielle. Lensemble forme alors un systme dquations diffrentielles. Pour le rsoudre nous abordons ici une technique dlimination des quations dordre plus lev que 1. En fait nous allons transformer une quation dordre n , en n quations dordre 1.

26.2. modlisation dun systme complexe :

EXEMPLE :

Nous allons prendre comme exemple un systme mcanique de translation avec 2 masses et 3 ressorts disposs selon la figure ci-dessous :

NOTE :

Chaque lment ractif ajoute un degr dans lquation diffrentielle, moins quil ne constitue avec un autre lment ractif de mme type, un nud trivial (ici le nud trivial est le nud de rfrence puisque 1 1k m+ forme un combinaison identique 3 2k m+ ).

Chapitre 26 Systmes d'quations - Rsolution par limination d'quations d'ordre > 1

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On veut alors connatre le mouvement des 2 masses 1( )y t et 2 ( )y t . Les quations de nud

( ( ) 0forces = ) sont : 1 1 1 1 2 1 2

2 1 2 2 2 3 2

" ( ) 0( ) " 0m y k y k y yk y y m y k y =

+ =

Ce nous permet de rcrire sous la forme normalise suivante :

1 2 21 1 2

1 1

2 322 1 2

2 2

" ( ) ( )

" ( ) ( )

k k ky y ym m

k kky y ym m

+= +

+= +

Soit sous criture matricielle :

[ ] [ ] [ ]1 2 2

1 11 1

2 22 32

2 2

( ) ( )"

* " *"

( ) ( )

k k km my y

Y A Yy yk kk

m m

+ = = +

Nous verrons plus tard quil y a des techniques (cours de Signaux et Systmes) pour construire rapidement cette matrice.

26.3. Rsolution directe :

tant donn quil sagit dun systme coefficients constants, on peut obtenir la solution homogne en introduisant la forme vectorielle suivante:

[ ] [ ] tY X e= o [ ]X est un vecteur de constantes (on se rappellera que dans le cas dune fonction unique, nous avions

introduit la forme solution par : 1. ty e= ). Aussi les drives successives sont :

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]2

' .

" .

t

t

t

Y X e

Y X e

Y X e

=

=

=

Et le systme dquations devient :

[ ] [ ] [ ]2. *t tX e A X e = Le problme revient maintenant trouver les valeurs propres i et les vecteurs propres associs [ ]iX dun

systme matriciel (voir dans le cours dalgbre linaire et matriciel de votre curriculum) :

quations diffrentielles Chapitre 26

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[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2* . ( )* 0 ,A X X A I X avec = = = Afin de simplifier un peu lcriture pour la suite de la dmonstration, nous allons fixer la valeur des

lments :

1 21

1 31

2

1 .

1 .

2 .

m m Kg

k k N m

k N m

= =

= =

=

De sorte que la recherche des valeurs propres va donner :

[ ]3 2 * 02 3

X

=

On sait quil existe des solutions non-triviales si le dterminant est nul :

12 2

2quation caractristique

1(3 ) 20 (3 ) 2 ( 5)( 1) 0

2 (3 ) 5

= + = + = + + =

+ = upcurlybracketright

Pour chaque valeur propre, nous avons un vecteur propre associ :

[ ] [ ] [ ]111 1 1 112

(3 1) 2 0 11 ( )* 0 *

2 (3 1) 0 1x

A X Xx

= = = =

et :

[ ] [ ] [ ]212 2 2 222

(3 5) 2 0 15 ( )* 0 *

2 (3 5) 0 1x

A X Xx

= = = =

et la solution homogne est alors :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 2. . . .1 1 1 2 1 3 2 4 22

. .i t i t i t i ty

Y c X e c X e c X e c X ey

+ + = = + + +

c'est dire numriquement :

[ ] 12

1 1( cos 1. sin 1. ) ( cos 5. sin 5. )

1 1y

Y A t B t M t N ty

= = + + +

CONSTAT :

Il apparat que nous avons quatre solutions indpendantes et non pas deux dans la solution homogne, pourquoi ? Eh ! bien cest parce quil sagit en ralit dun systme dordre 4. Le systme comporte 5 lments ractifs : 2 masses et 3 ressorts et on aurait donc d avoir un systme dordre 5, mais le fait que le nud de rfrence rceptionne 2 branches de mme type (k m1 1+ dun ct et k m3 2+ de lautre), il devient un nud trivial do la rduction dordre de -1. Cest donc un systme dordre 4 que nous avons mis en quation sous la forme de 2 quations dordre 2.


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26.4. Rsolution par transformation des quations dordre plus grand que 1 :

En poursuivant dans la mme veine, on aurait pu modliser ce systme dordre 4 en dressant 4 quations dordre 1, au lieu de 2 quation dordre 2, ce qui nous viterait de traiter des quations du second ordre. Il suffit pour cela de poser comme suit :

1

2( ) ( 1)

3

( 1)

'si ( , , ', ",..., ), alors poser "

... ....

n n

nn

y yy y

y F t y y y y y y

y y

=

=

= =

= =

De sorte quune quation dordre n se ramne un systme de n quations dordre 1 :

1 1

1 2 )

0 1 0 0 0'0 0 1 0 0. .0 0 0 1 0 *. .0 0 0 0 1. .

( , , ,...,' nn n

y y

F t y y yy y

=

Appliquons cette mthode notre problme mcanique de masses-ressorts. En posant :

1 1 1 1

2 1 2 1

3 2 3 2

4 2 4 2

' '' ' "

' '' ' "

z y z yz y z yz y z yz y z y

= =

= =

= = = =

nous obtenons alors un systme 4 quations du premier ordre suivant :

1 11 2 2

1 12 2

3 3

4 42 32

2 2

0 1 0 0'

( ) 0 ( ) 0'

*' 0 0 0 1'

( ) 0 ( ) 0

z zk k km mz z

z zz zk kk

m m

+

=

+

Posons la forme de la solution comme auparavant :

[ ] [ ][ ] [ ]' .

t

t

Z X e

Z X e

=

=

Cette fois-ci, nous navons pas besoin de plus que la drive premire de [ ]Z . Et [ ]X est un vecteur de constantes de dimension 4. Il sagit maintenant de trouver les valeurs propres et les vecteurs propres:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. * ( )* 0t tX e A X e A X = =


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numriquement :

[ ]1

2

3

4

1 0 0 1 0 03 2 0 3 2 0

* 0 00 0 1 0 0 12 0 3 2 0 3

xxxx

= =

do les racines de lquation caractristique :

4 2

1

22 2

3quation caractristqiue

4

1 0 02 0 2 0 3

3 2 00 1 1 1 0 6 5 0

0 0 10 3 3 2

2 0 3

1

1( 5)( 1) 0

5

5

i

i

i

i

= = + + =

= + =

= + + = = +

= +

et les vecteurs propres associs sont:

[ ] [ ] [ ]11

121 1 1 1

13

14

1 1 0 0 1

3 1 2 0 11 ( )* 0 *

10 0 1 112 0 3 1

i xxi i

i A X Xxix ii

= + = =

[ ] [ ] [ ]21

222 2 2 2

23

24

1 1 0 0 1

3 1 2 0 11 ( )* 0 *

10 0 1 112 0 3 1

i xxi i

i A X Xxix ii

= = =

[ ] [ ] [ ]31

323 3 3 3

33

34

5 1 0 0 1

3 5 2 0 55 ( )* 0 *

10 0 5 152 0 3 5

i xxi i

i A X Xxix ii

= + = =

[ ] [ ] [ ]41

424 4 4 4

43

44

5 1 0 0 1

3 5 2 0 55 ( )* 0 *

10 0 5 152 0 3 5

i xxi i

i A X Xxix ii

= = =

La solution homogne en [ ]Z est alors:

( 5)( 1) 0 + + =


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[ ]1

1 1. 1. 5. 5.1 2 3 4

2

2

1 1 1 1

' 1 1 5 5. .

1 1 1 1' 1 1 5 5

i t i t i t i t

yy i i i i

Z c e c e c e c eyy i i i i

+ +

+ +

= = + + +

+ +

Nous retrouvons exactement les expressions pour 1( )y t et 2 ( )y t ; en plus davoir les expressions de leur drive dordre 1 : 1 '( )y t et 2 '( )y t .

26.5. Rsum du chapitre :

Dans ce chapitre, nous avons abord la rsolution dun systme complexe comportant des lments ractifs (chacun des lments ractifs donne une drive ou une intgrale). Lordre n du systme est donn par le nombre dlments ractifs non connectes en nuds triviaux.

Pour rsoudre ce systme, nous avons le choix de poser une quation diffrentielle unique dordre n , ou bien de poser n quations diffrentielles dordre 1, ou encore toutes combinaisons entre les 2 situations (le cumul des ordres de lensemble des quations donnant un total de n ).

Quoiquil en soit on devra toujours rsoudre une quation caractristique dordre n :

1 2 01 2 .... 0

n n nn + + + + =

pour trouver les n racines. Ces racines conduisent n formes solutions indpendantes qui constitue la solution homogne.


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EXERCICES

Trouver la solution gnrale pour les systmes dquations suivants:

1. 1 22 1

' 4' 4

y yy y

=

=

2. 1 22 1

' 2' 2

y yy y

=

=

3. 1 1 22 1 2

''

y y yy y y

=

= +

4. 1 1 22 1 2

' 2 2'

y y yy y y

=

= +

Trouver la solution spcifique pour les systmes dquation suivants avec conditions initiales :

5. 1 2 12 1 2

' 4 (0) 3' 4 (0) 1

y y yavec

y y y= =

= =

6. 1 2 12 1 2

' 2 (0) 1' 2 (0) 2

y y yavec

y y y= =

= =

7. 1 1 2 12 1 2 2

' (0) 1' (0) 2

y y y yavec

y y y y= =

= + =

8. 1 1 2 12 1 2 2

' 2 2 (0) 1' (0) 1

y y y yavec

y y y y= =

= + =

QUESTIONS & PROBLMES

1. Expliquez comment on dtermine lordre dun systme dquations selon le nombre dlments ractifs ou passifs dans un circuit.

2. Soit le circuit lectrique suivant :

Montrer travers les quations des nuds quil sagit dun systme du 5me ordre.

3. Soit le circuit suivant :

Montrer travers les quations des nuds quil sagit dun systme du 4me ordre.

4. Dans quels cas de configuration des lments ractifs peut-on avoir une rduction de lordre du systme dquations.


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5. Si Y remplace yhdans la solution gnrale dun systme dquations diffrentielles, donner lexpression de Y en fonction des formes solutions. Combien doit-il y avoir de formes indpendantes?

6.


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SOLUTIONNAIRE


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