Modelisation Actions Libre

Cours modlisation des actions mcaniques BTS L.D.14/03/2005 PAGE 1/5

MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

1. INTRODUCTION

La modlisation des actions mcaniques est la base de toute tude statique, dynamique ou de rsistance des matriaux. Son but est de fournir une reprsentation simple et proche de la ralit.

2. DEFINITION

On appelle Action Mcanique toute cause capable de :

- Maintenir un solide en quilibre

- Engendrer ou modifier le mouvement dun solide

- Dformer un solide

Il existe deux types daction mcanique:

* celles dites de contact : Elles sont engendres par un contact physique entre deux corps (liaison entre deux pices, pression dun fluide, action dun ressort )

* celles dites distance :Elles sont engendres par autre chose quun contact cest dire par un champ: Champ de pesanteur, Champ magntique

3. MODELISATION DES ACTIONS DE CONTACT

3.1. Introduction

Ces A.M. relles sont souvent trs complexes et on ignore leur rpartition exacte sur le lieu du contact. A priori chaque point lmentaire Mi de contact transmet une force lmentaire

Fi .

Exemple : Cas dune liaison encastrement. (4 modles possibles)

Cas rel Hypothse de rpartition

Cas quivalent avec 2 forces reprsentant chaque partie du chargement

Cas quivalent avec 1 force et 1 moment crit au centre de la liaison

Fi

F F

F F1

F2 F

MF


Suivant le type dtude que lon ralise on peut choisir diffrentes modlisations pour un mme problme. Pour les tudes statiques et dynamiques, on cherche en gnral globaliser le plus possible les Actions Mcaniques afin de simplifier le problme (dernier modle de lexemple). Pour les tudes de Rsistance Des Matriaux, on cherche au contraire dtailler le plus possible les actions mcaniques ( 2me modle de lexemple).

3.2. Modle mathmatique

Le modle physique prend en compte lensemble des forces lmentaires de contact et les

globalise sous la forme dune force rsultante et dun moment rsultant crit au centre de la liaison.

Le modle mathmatique associ au modle physique est le torseur. Il regroupe sous une mme criture les deux composantes du modle physique : la force et le moment rsultant.

Notation:

3.3. Interprtation du moment dune force

Un moment (ou couple) a pour unit le newton-mtre. Cest donc le produit dune force par une

longueur appele: Bras de Levier.

Le bras de levier correspond la plus courte distance entre le support de la force et le point considr.

Exemple: Soit un systme bielle-manivelle reprsent lchelle 1:2.

On suppose laction de 2/1 modlisable par une force constante. F = 1500 N

Dterminer de deux manires pour les deux premires positions la valeur du couple exerc par F sur la

manivelle 1. Dterminer et reprsenter sur le 3me schma la position particulire pour laquelle ce couple est maximal.

y

3

O B

x

y

O B

A

1

2

3

F

x

y

O BA

2 3

F

x

1


3.4. Actions mcaniques entre un fluide et un solide

3.4.1. Dfinitions sur les fluides

- Fluide: Milieu continu formant un corps sans forme propre (il prend celle du contenant).

- Fluide parfait: Fluide sans aucune force de cohsion (hypothtique).

- Fluide rel: Fluide soumis des forces de cohsion engendrant une rsistance la dformation (viscosit).

- Fluide incompressible: le volume occup par une masse donne ne varie pas avec la pression extrieure. Les liquides peuvent tre considrs incompressibles (eau, huile, ...).

- Fluide compressible: le volume occup par une masse donne varie avec la pression extrieure. Les gaz sont compressibles (air, azote, ...).

3.4.2. Proprit de laction mcanique engendre par un fluide sur un solide

Les fluides parfaits ainsi que les fluides rels au repos (donc sans mouvement)

exercent des forces lmentaires de contact perpendiculaires aux lments de

surfaces des solides.

3.4.3. Action Mcanique de pression

Soit un fluide au repos de pression (p) et en contact avec une paroi plane dun solide (S).

Chaque lment de surface dS est soumis une force lmentaire

dF

perpendiculaire.

La force rsultante Fp sapplique au centre de surface G, sa direction est la normale

n la surface (S) et sa norme vaut p* S

torseur associ laction de pression:

3.4.4. Units de pression

Lunit lgale est le pascal: 1 Pa = 1 N/m2 mais tant trop petite,

on utilise plutt un multiple: 1 Mpa = 106 Pa = 1 N/mm2 ou encore une autre unit

le bar pression atmosphrique: 1 bar = 1 daN/cm2 = 105 Pa = 0,1 MPa

Exemple: Vrin pneumatique double effet

Caractristiques du vrin: Diamtre du piston: D = 100 mm Diamtre de la tige: d = 10 mm

1) Dterminer leffort fourni par le vrin en phase de sortie si la pression est de 10 bars

2) Dterminer leffort fourni par le vrin en phase de rentre si la pression est de 0,6 MPa

3) Dterminer la pression ncessaire pour vaincre un effort de 500 N sopposant la sortie de la tige

p

n

S G


3.5. Actions mcaniques entre les solides.

Les diffrentes natures et formes des contacts entre solides dfinissent les liaisons. Ces liaisons seront toujours supposes gomtriquement parfaites et sans jeu de fonctionnement. Elles se ralisent toutes avec un frottement plus ou moins important selon la nature des matriaux et lventuelle lubrification. Dans la plupart des cas, il est possible de ngliger ces frottements.

Actions Mcaniques transmissibles par les liaisons parfaites (sans frottement)

Remarque : la forme du torseur des A.M transmissibles par une liaison parfaite est complmentaire la matrice des degrs de libert (ou de mobilit).

Exemple : liaison pivot glissant daxe

y

schma de la liaison matrice des d.d.l. torseur transmissible

Translation Rotation

o

y

Cas gnral : Voir tableau en annexe

4. MODELISATION DES ACTIONS A DISTANCE

4.1. Introduction

Afin de rester homogne, et bien que les Actions Mcaniques distance soient toujours modlisables par des rsultantes (ou forces), les modles physiques et mathmatiques sont conservs. On obtient dans ce cas des torseurs dont le moment est nul au point dapplication

de la force rsultante. Ces torseurs particuliers sont appels glisseurs. (Il est possible de les faire glisser le long du support de la force sans que leur forme ne change)

4.2. Cas particulier de la pesanteur z

Laction de la pesanteur sexerce sur chaque particule ou volume lmentaire. Elle dpend de lattraction de la plante sur laquelle on se trouve et de la masse de chaque particule. Dans le cas gnral on tudie des corps homognes sur terre, ce qui permet de simplifier considrablement la modlisation.

Sur un corps (S) de masse (m), et de centre de gravit (G), lA.M. de pesanteur a pour G expression:

S

P


5. MODELISATION DES ACTIONS EXERCEES PAR LES PIECES ELASTIQUES

En mcanique, lusage dlments dformables et lastiques est frquent. Ils ont la proprit de fournir un effort proportionnel leur dformation.

Les organes lastiques les plus courants sont:

- Les ressorts : ils peuvent tre de traction, de compression ou de torsion. ils sont raliss partir dun fil dacier que lon enroule en spirales. ils permettent de grandes dformations (de lordre de plusieurs mm ou cm)

- Les barres : elles peuvent tre de torsion ou de flexion. elles sont ralises dans de lacier, et on utilise llasticit du matriau. elles permettent de trs petites dformations (de lordre de 0,001 1 mm)

- Les rondelles Bellevilles : elles sassemblent comme des rondelles classiques mais prsentent la particularit dtre coniques et donc dformables.

elles permettent de petites dformations (de lordre de 0,1 quelques mm).

Tous ces lments ont une grandeur caractristique: La raideur (K)

Dans le cas dun ressort de compression, leffort axial F ncessaire pour obtenir une dformation (appele aussi flche (f)) est donn par la relation de proportionnalit suivante:

Pour les autres lments lastiques, il existe des relations similaires de proportionnalit entre laction mcanique fournie ( Force ou Moment ) et la dformation obtenue (distance ou angle)

Exemples: Ressort de compression

F -

F

Caractristiques du ressort: Raideur: K = 160 N/mm Longueur libre: L0 = 45 mm Dformation dsire: f = 20 mm

Dterminer la force ncessaire F

Association en parallle

F -

F

Caractristiques des ressorts: Raideur du ressort 1: k1 = 120 N/mm Raideur du ressort 2: k2 = 80 N/mm Longueur libre: L0 = 40 mm Dformation dsire: f = 10 mm

Dterminer la raideur K quivalente celle des deux

ressorts puis la force F.

Association en srie

F -

F

Caractristiques des ressorts: Raideur du ressort 1: k1 = 180 N/mm Raideur du ressort 2: k2 = 50 N/mm Longueur libre: L0 = 40 mm Force applique: F = 300 N

Dterminer la raideur K quivalente celle des deux

ressorts puis la flche f.

1. Introduction2. Dfinition3. Modlisation des actions de contact3.1 Introduction3.2 Modle mathmatique3.3 Interprtation du moment d'une force3.4 Actions mcaniques entre un fluide et un solide3.4.1 Dfinitions sur les fluides3.4.2 Proprits de l'action mcanique engendre par un fluide sur un solide3.4.3 Action mcanique de pression3.4.4 Units de pression

3.5 Actions mcaniques entre les solides

4. Modlisation des actions distance4.1 Introduction4.2 Cas particulier de la pesanteur

5. Modlisation des actions exerces par les pices lastiques

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